---
title: "Magmatische differentiatie"
book: "Universitaire aard- en ruimtewetenschappen — jaar 2"
subject: earth
language: nl
chapter: 8
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/8-magmatische-differentiatie
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
---

# Hoofdstuk 8 — Magmatische differentiatie

Op 20 februari 1943 begon in het westen van Mexico een vulkaan uit te barsten, en dat duurde negen jaar. Zijn eerste lava’s waren basaltische andesieten met $55\,\%$ silica; zijn laatste, in februari 1952, waren andesieten met iets meer dan $60\,\%$. De vulkaan, Parícutin, schakelde intussen niet over op een andere bron, en zijn lava’s werden een voor een geanalyseerd naarmate ze naar buiten kwamen. Het [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma) eronder veranderde zelf: het liet kristallen groeien en achter, en het verteerde een deel van het granitische gesteente eromheen. Een [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma) dat de mantel als basalt verlaat, kan als rhyoliet eindigen, en de gesteenten die het onderweg achterlaat, leggen vast hoe dat ging. Dit hoofdstuk volgt een [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma) terwijl het afkoelt: de volgorde waarin mineralen kristalliseren, de wetten die zeggen hoe hoofd- en [sporenelementen](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/3-de-elementen-in-de-aarde#def-b2-elements-in-the-earth-trace) veranderen wanneer kristallen worden verwijderd, de gesteenten die uit die kristallen worden opgebouwd, en wat er gebeurt wanneer het [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma) een ander [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma) of de korst opneemt.

**Wat je al weet.**

**Uit Boek 2**: stollingsgesteenten en hun texturen; de volgorde waarin mineralen uit een basaltisch [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma) kristalliseren, olivijn eerst en kwarts als laatste, gevonden met de experimenten van Bowen. **Uit het scheikundeboek van het tweede jaar universiteit**: binaire fasediagrammen, vaste oplossingen en de hefboomregel. **Uit Boek 3**: plagioklaas, een vaste oplossing tussen anorthiet $\ce{CaAl2Si2O8}$ en albiet $\ce{NaAlSi3O8}$, en de andere gesteentevormende silicaten; slijpplaatjes tussen gekruiste nicols. **Uit [Hoofdstuk 3](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/3-de-elementen-in-de-aarde#ch-b2-elements-in-the-earth)**: de verdelingscoëfficiënten mineraal–smelt en de globale, $\bar D = \sum_i x_i D_i$, compatibele en [incompatibele elementen](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/3-de-elementen-in-de-aarde#def-b2-elements-in-the-earth-partition), genormaliseerde diagrammen en de [europiumanomalie](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/3-de-elementen-in-de-aarde#prop-b2-elements-in-the-earth-normalised). **Uit [Hoofdstuk 4](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/4-isotopengeochemie#ch-b2-isotope-geochemistry)**: isotopenverhoudingen als tracers en de [menghyperbool](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/4-isotopengeochemie#prop-b2-isotope-geochemistry-mixing). **Uit [Hoofdstuk 7](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/7-de-mantel-smelten#ch-b2-mantle-melting)**: het eutecticum diopsied–anorthiet, [incongruent smelten](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/7-de-mantel-smelten#def-b2-mantle-melting-peritectic), ternaire diagrammen en [primaire magma’s](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/7-de-mantel-smelten#def-b2-mantle-melting-primary).

## 8.1 Kristallisatiereeksen

Een basaltisch [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma) kristalliseert niet al zijn mineralen tegelijk. Bowen vond experimenteel dat olivijn normaal als eerste kristalliseert, tussen 1200 en $1300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; dat het calciumrijke plagioklaas ongeveer begint waar pyroxeen begint; en dat de laatste, silicarijke vloeistof kaliveldspaat, kwarts en eventueel muscoviet geeft, rond 750 tot $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Daartussen stapelen de mafische mineralen zich niet eenvoudig op: elk reageert met de vloeistof tot het volgende.

**Definitie 8.1 (Reactiereeks van Bowen).**

De *reactiereeks van Bowen* is de volgorde waarin de gewone silicaten uit een afkoelend basaltisch [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma) kristalliseren, als twee takken die aan het eind samenkomen. In de *discontinue tak* reageert elk mafisch mineraal met de vloeistof tot een nieuw mineraal met een andere structuur: olivijn, pyroxeen, amfibool, biotiet. In de *continue tak* kristalliseert plagioklaas de hele weg door, terwijl zijn samenstelling continu verandert van calciumrijk naar natriumrijk. De laatste vloeistof kristalliseert kaliveldspaat, muscoviet en kwarts.

![De reactiereeks van Bowen. Olivijn en calciumrijk plagioklaas kristalliseren als eerste uit een basaltisch magma; links reageert elk mafisch mineraal met de vloeistof tot het volgende, rechts wordt het plagioklaas steeds rijker aan natrium; de laatste, silicarijke vloeistof geeft kaliveldspaat, muscoviet en kwarts. De temperaturen zijn typische waarden voor basaltisch magma bij lage druk.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magmatic-differentiation/fig-42ffe68a3c4b.svg)

*De [reactiereeks van Bowen](#def-b2-magmatic-differentiation-bowen). Olivijn en calciumrijk plagioklaas kristalliseren als eerste uit een basaltisch [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma); links reageert elk mafisch mineraal met de vloeistof tot het volgende, rechts wordt het plagioklaas steeds rijker aan natrium; de laatste, silicarijke vloeistof geeft kaliveldspaat, muscoviet en kwarts. De temperaturen zijn typische waarden voor basaltisch [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma) bij lage druk.*

De twee takken komen overeen met de twee soorten fasediagram van [Hoofdstuk 7](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/7-de-mantel-smelten#ch-b2-mantle-melting). Een discontinue reactie is het [incongruente smelten](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/7-de-mantel-smelten#def-b2-mantle-melting-peritectic) van enstatiet in omgekeerde richting: forsterietkristallen reageren met een silicarijkere vloeistof tot enstatiet. De continue tak is een vaste oplossing. Bowen mat haar in 1913 aan synthetische plagioklazen: hij hield elke samenstelling op een bekende temperatuur en zocht naar glas en kristallen. Anorthiet smelt bij $1550\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, albiet bij ongeveer $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, en elk tussenliggend plagioklaas smelt over een interval tussen een onderste kromme, de solidus, en een bovenste, de liquidus (de figuur hieronder).

![De plagioklaasveldspaten bij atmosferische druk, uit de afschrikexperimenten van Bowen (1913): begin (cirkels) en einde (stippen) van het smelten, met krommen door de metingen getrokken. In rood de evenwichtskristallisatie van een vloeistof met 50\,\% anorthiet: het eerste kristal, bij 1450\, C, heeft 81\,\% anorthiet; bij 1394\, C bestaan kristallen met 71\,\% naast een vloeistof met 33\,\%; de laatste vloeistof, bij 1287\, C, heeft 14\,\% ().](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magmatic-differentiation/fig-d28a959711ac.svg)

*De plagioklaasveldspaten bij atmosferische druk, uit de afschrikexperimenten van Bowen (1913): begin (cirkels) en einde (stippen) van het smelten, met krommen door de metingen getrokken. In rood de [evenwichtskristallisatie](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) van een vloeistof met $50\,\%$ anorthiet: het eerste kristal, bij $1450\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, heeft $81\,\%$ anorthiet; bij $1394\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ bestaan kristallen met $71\,\%$ naast een vloeistof met $33\,\%$; de laatste vloeistof, bij $1287\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, heeft $14\,\%$ ([Oefening 8.1](#exo-b2-magmatic-differentiation-1)).*

Een vloeistof die een vaste oplossing kristalliseert, verrijkt zich in de component die bij de laagste temperatuur smelt: het eerste plagioklaas uit een vloeistof met $50\,\%$ anorthiet heeft er $81\,\%$, en de vloeistof schuift op naar albiet. Wat daarna gebeurt, hangt ervan af of de kristallen met de vloeistof blijven uitwisselen.

**Definitie 8.2 (Evenwichtskristallisatie en fractionele kristallisatie).**

Bij *evenwichtskristallisatie* blijven de kristallen tot het einde in chemisch evenwicht met de hele vloeistof, en stellen ze zich opnieuw in naarmate de vloeistof verandert; het systeem eindigt met de samenstelling waarmee het begon. Bij *fractionele kristallisatie* wordt elk kristal, eenmaal gevormd, aan de reactie met de vloeistof onttrokken, doordat het uitzakt, tegen de wanden van de kamer wordt geplakt, of door latere groei wordt afgeschermd; de vloeistof ontwikkelt zich dan alsof de kristallen uit het systeem waren gehaald.

Bij [evenwichtskristallisatie](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) verandert het plagioklaas van de figuur hierboven van $81\,\%$ naar $50\,\%$ anorthiet terwijl het groeit, waarbij elk kristal zich door diffusie opnieuw met de vloeistof in evenwicht stelt, en de laatste vloeistof verdwijnt bij de solidus, $1287\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Diffusie in veldspaat is traag, en natuurlijke kristallen houden zelden bij: het binnenste van elk kristal raakt van de vloeistof afgesneden, die zich dan gedraagt als bij [fractionele kristallisatie](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) en kan doorgaan tot samenstellingen dicht bij albiet. De figuur in de laatste paragraaf van dit hoofdstuk berekent beide paden.

**Definitie 8.3 (Afdalingslijn van de vloeistof).**

De *afdalingslijn van de vloeistof* van een [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma) is de opeenvolging van samenstellingen die zijn vloeistof aanneemt terwijl het kristalliseert, uitgezet in een variatiediagram of een fasediagram.

Een [afdalingslijn van de vloeistof](#def-b2-magmatic-differentiation-lld) is een eigenschap van de vloeistof alleen. Lava’s die met kristallen erin uitvloeien, liggen er niet precies op, en Wilcox gebruikte bij zijn studie van de lava’s van Parícutin zowel hun analyses van het totale gesteente als de samenstellingen van hun grondmassa, het vloeibare deel, berekend door de kristallen eraf te trekken.

## 8.2 Fractionele kristallisatie van de hoofdelementen

Kristallen verwijderen verandert de samenstelling van de vloeistof op een eenvoudige, lineaire manier, en het oudste hulpmiddel om dat te lezen is een grafiek van elk oxide tegen silica.

**Definitie 8.4 (Harkerdiagram).**

Een *Harkerdiagram* (silicavariatiediagram) zet het massapercentage van elk oxide van een reeks verwante gesteenten uit tegen hun massapercentage $\ce{SiO2}$, één paneel per oxide.

De lava’s van Parícutin vertonen zulke trends (de [Harkerdiagrammen](#def-b2-magmatic-differentiation-harker) na de volgende propositie): naarmate silica stijgt, dalen magnesia, kalk en aluinaarde en stijgt kali. Dat is wat het verwijderen van olivijn en plagioklaas zou doen: olivijn neemt magnesia en ijzer weg, plagioklaas kalk en aluinaarde, en beide laten de vloeistof rijker aan silica en alkaliën achter. Of het verwijderen van bekende mineralen de trends kwantitatief kan verklaren, is een vraag van massabalans.

**Propositie 8.5 (Massabalans van het verwijderen van kristallen).**

Laat een oudermagma met samenstelling $\mathbf p$ (een vector van massafracties van oxiden) mineralen met samenstellingen $\mathbf m_1, \dots, \mathbf m_k$ kristalliseren in massa’s $x_1, \dots, x_k$ per massa-eenheid ouder, en zij $\mathbf d$ de samenstelling van de overgebleven vloeistof. Dan geldt

$$
\mathbf p = \Big(1 - \sum_i x_i\Big)\mathbf d + \sum_i x_i \mathbf m_i .
$$

Bij één mineraal ligt de ouder op het rechte lijnstuk tussen de vloeistof en het mineraal in elk variatiediagram, en de verwijderde massafractie is $x = (p_j - d_j)/(m_j - d_j)$ voor elk oxide $j$: de hefboomregel.

**Bewijs.** Elk oxide blijft behouden: de massa $p_j$ van oxide $j$ in een massa-eenheid ouder komt terecht in de vloeistof, met massa $1 - \sum_i x_i$ en concentratie $d_j$, of in de mineralen. Dit voor elke $j$ uitschrijven geeft de vectorvergelijking. Met één mineraal luidt ze $\mathbf p = (1-x)\mathbf d + x\mathbf m$, een punt van het lijnstuk van $\mathbf d$ naar $\mathbf m$ dat het verdeelt in de verhouding $x : (1-x)$, in elk paar assen; één component oplossen geeft $x$. ∎

![Harkerdiagrammen van de 22 lava’s van Parícutin die Wilcox (1954) analyseerde, uitgevloeid van februari 1943 (laagste silica) tot februari 1952. Terwijl silica met vijf procent stijgt, dalen magnesia, kalk en aluinaarde en verdubbelt kali bijna.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magmatic-differentiation/fig-3294ed274760.svg)

*[Harkerdiagrammen](#def-b2-magmatic-differentiation-harker) van de 22 lava’s van Parícutin die Wilcox (1954) analyseerde, uitgevloeid van februari 1943 (laagste silica) tot februari 1952. Terwijl silica met vijf procent stijgt, dalen magnesia, kalk en aluinaarde en verdubbelt kali bijna.*

Met meerdere mineralen vindt men de massa’s door de behoudsvergelijkingen van evenveel oxiden op te lossen. Wilcox deed dat in 1954 grafisch; tegenwoordig is het een klein lineair stelsel.

**Methode 8.6 (Massabalans met kleinste kwadraten).**

Om te toetsen of een dochtervloeistof $\mathbf d$ uit een ouder $\mathbf p$ ontstaat door het verwijderen van mineralen $\mathbf m_1, \dots, \mathbf m_k$ (en zo nodig het toevoegen van een geassimileerd gesteente, ingevoerd met een negatieve massa): (1) schrijf voor elk oxide $j$ het behoud van de propositie herschikt als een lineaire vergelijking in de massa’s die per $100\,\mathrm{g}$ ouder worden verwijderd,

$$
\sum_i x_i\,(m_{ij} - d_j) = 100\,(p_j - d_j);
$$

(2) los met precies $k$ oxiden, gekozen uit die welke de mineralen het sterkst veranderen, het $k \times k$-stelsel op; los het met meer oxiden op met kleinste kwadraten (minimaliseer de som van de gekwadrateerde verschillen tussen beide leden); (3) bereken de dochter opnieuw uit de gevonden massa’s en vergelijk haar oxide per oxide met de analyse: residuen groter dan de analysefouten, of een negatieve massa voor een mineraal, verwerpen het model.

Wilcox koos silica, aluinaarde en magnesia als zijn drie controle-oxiden, en drie materialen: olivijn met samenstelling Fo$_{80}$, plagioklaas An$_{70}$, en het gemiddelde van vier granitische xenolieten ($72.5\,\%$ $\ce{SiO2}$, $3.6\,\%$ $\ce{K2O}$) die in de lava’s werden gevonden. Hij toonde aan dat geen combinatie van alleen olivijn en plagioklaas de reeks verklaart, en dat het toevoegen van $25.4\,\mathrm{g}$ xenoliet en het verwijderen van $2.9\,\mathrm{g}$ olivijn en $9.6\,\mathrm{g}$ plagioklaas uit $100\,\mathrm{g}$ grondmassa van de eerste lava $112.9\,\mathrm{g}$ materiaal oplevert dat dicht bij de grondmassa van de lava van 1950 ligt. Zijn drie vergelijkingen exact oplossen geeft $24.6\,\mathrm{g}$, $3.1\,\mathrm{g}$ en $9.9\,\mathrm{g}$; kleinste kwadraten over zeven oxiden geeft een ander antwoord, $28.7\,\mathrm{g}$, $2.4\,\mathrm{g}$ en $5.7\,\mathrm{g}$, een herinnering dat zulke resultaten van de gekozen controle-oxiden afhangen. Hoe dan ook nam het [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma) meer graniet op dan het kristalliseerde. De lava’s van Parícutin leggen een open systeem vast, het onderwerp van de laatste paragraaf.

## 8.3 Sporenelementen

Een [sporenelement](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/3-de-elementen-in-de-aarde#def-b2-elements-in-the-earth-trace) verandert de mineralen die kristalliseren niet; het volgt ze, met zijn globale verdelingscoëfficiënt $\bar D$ ([Hoofdstuk 3](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/3-de-elementen-in-de-aarde#ch-b2-elements-in-the-earth)), hier $D$ geschreven, tussen de kristallen die op elk moment ontstaan en de vloeistof.

**Stelling 8.7 (Fractioneringswet van Rayleigh).**

Bij volmaakte [fractionele kristallisatie](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) met een constante globale verdelingscoëfficiënt $D$ is de concentratie van een [sporenelement](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/3-de-elementen-in-de-aarde#def-b2-elements-in-the-earth-trace) in de vloeistof

$$
\frac{C_L}{C_0} = F^{\,D-1},
$$

waarin $C_0$ zijn concentratie in de oorspronkelijke vloeistof is en $F$ de massafractie overgebleven vloeistof. Dit is de *fractioneringswet van Rayleigh*.

**Bewijs.** Zij $M$ de massa vloeistof. Wanneer een kleine massa $-\mathrm dM > 0$ kristallen ontstaat, alleen op dat moment in evenwicht met de vloeistof, voert ze het element mee in de concentratie $DC_L$. De massa van het element in de vloeistof, $MC_L$, verandert dus met $\mathrm d(MC_L) = DC_L\,\mathrm dM$. Uitgewerkt geeft dat $M\,\mathrm dC_L = (D-1)C_L\,
\mathrm dM$, dus $\mathrm dC_L/C_L = (D-1)\,\mathrm dM/M$. Integreren vanaf $M_0$, waar $C_L = C_0$, geeft $\ln(C_L/C_0) = (D-1)\ln(M/M_0)$, en $F = M/M_0$. ∎

**Propositie 8.8 (Evenwichtskristallisatie van een sporenelement).**

Als de kristallen met de vloeistof in evenwicht blijven, geldt $C_L/C_0 = 1/(D + F(1-D))$.

**Bewijs.** De hele kristalmassa $1-F$ (per eenheid beginmassa) bevat $DC_L$, dus het massabehoud van het element luidt $C_0 = FC_L + (1-F)DC_L$. ∎

**Gevolg 8.9 (Verhoudingen van incompatibele elementen).**

Voor twee elementen met verdelingscoëfficiënten $D_1$ en $D_2$ verandert de verhouding van hun concentraties in de vloeistof bij [fractionele kristallisatie](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) met de factor $F^{\,D_1-D_2}$. Zijn beide sterk incompatibel ($D_1, D_2 \ll 1$), dan verandert de verhouding nauwelijks: ze behoudt de waarde van het oudermagma, en dus van zijn bron.

**Bewijs.** Deel de twee wetten van Rayleigh op elkaar: $(C_1/C_2)/(C_{1,0}/C_{2,0}) = F^{D_1-1}/F^{D_2-1}$; voor $F = 0.5$ en $D_1 - D_2 = 0.05$ is de factor $0.5^{0.05} = 0.97$. ∎

![Concentratie van een sporenelement in de vloeistof tegen de overgebleven fractie vloeistof, voor globale verdelingscoëfficiënten van 0.01 tot 10: fractionele kristallisatie (doorgetrokken, wet van Rayleigh) en evenwichtskristallisatie (gestreept, voor D = 0.01, 0.1, 2 en 10). Incompatibele elementen stijgen hoogstens met 1/F; compatibele elementen kelderen, des te sneller naarmate D groot is, en fractionele kristallisatie haalt ze er bijna volledig uit.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magmatic-differentiation/fig-fcaa8b1ddfc1.svg)

*Concentratie van een [sporenelement](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/3-de-elementen-in-de-aarde#def-b2-elements-in-the-earth-trace) in de vloeistof tegen de overgebleven fractie vloeistof, voor globale verdelingscoëfficiënten van 0.01 tot 10: [fractionele kristallisatie](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) (doorgetrokken, wet van Rayleigh) en [evenwichtskristallisatie](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) (gestreept, voor $D = 0.01$, 0.1, 2 en 10). [Incompatibele elementen](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/3-de-elementen-in-de-aarde#def-b2-elements-in-the-earth-partition) stijgen hoogstens met $1/F$; [compatibele elementen](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/3-de-elementen-in-de-aarde#def-b2-elements-in-the-earth-partition) kelderen, des te sneller naarmate $D$ groot is, en [fractionele kristallisatie](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) haalt ze er bijna volledig uit.*

De figuur hierboven laat zich in twee richtingen lezen. [Incompatibele elementen](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/3-de-elementen-in-de-aarde#def-b2-elements-in-the-earth-partition) ($D \ll 1$) gedragen zich vrijwel gelijk: hun concentratie stijgt bijna als $1/F$, zodat een vloeistof die tienvoudig in zirkonium is verrijkt, ongeveer negen tiende van haar massa heeft gekristalliseerd. [Compatibele elementen](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/3-de-elementen-in-de-aarde#def-b2-elements-in-the-earth-partition) zijn veel gevoeliger. Nikkel gaat in olivijn met een verdelingscoëfficiënt van ongeveer 5 in hete, magnesiumrijke vloeistoffen: gemeten op 3.8 bij $1550\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en 5.0 bij $1400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, stijgt hij met ongeveer 0.8 per $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ afkoeling; strontium gaat in plagioklaas met ongeveer 2.7; een basalt die een vijfde van zijn massa als olivijn kristalliseert, verliest meer dan de helft van zijn nikkel ([Oefening 8.5](#exo-b2-magmatic-differentiation-5)). Nikkel is daarom het gevoeligste archief van olivijnfractionering, en een nikkelrijke basalt ligt dicht bij een [primair magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/7-de-mantel-smelten#def-b2-mantle-melting-primary) ([Hoofdstuk 7](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/7-de-mantel-smelten#ch-b2-mantle-melting)).

Twee opmerkingen bakenen de reikwijdte van deze wetten af. Ten eerste is $D$ geen constante: hij verandert wanneer een nieuw mineraal zich bij de kristalliserende associatie voegt, en de wet wordt dan in etappes toegepast ([Oefening 8.12](#exo-b2-magmatic-differentiation-12)). Ten tweede beschrijven dezelfde vergelijkingen, met de rollen van vaste stof en vloeistof verwisseld, het smelten van een bron; hoe batch- en fractioneel smelten de [sporenelementen](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/3-de-elementen-in-de-aarde#def-b2-elements-in-the-earth-trace) fractioneren, komt aan bod in Boek 5.

## 8.4 Cumulaten en gelaagde intrusies

Waar gaan de kristallen heen die uit een [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma) worden verwijderd? In een magmakamer die langzaam afkoelt, zakken ze naar de bodem, groeien ze aan de wanden en het dak, en bouwen ze gesteenten van een bijzondere soort op.

**Definitie 8.10 (Cumulaat; gelaagde intrusie).**

Een *cumulaat* is een stollingsgesteente gevormd door de ophoping van kristallen (de cumuluskristallen) uit een [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma), samen met de mineralen die later zijn gegroeid uit de vloeistof die ertussen gevangen zat (het intercumulusmateriaal); zijn samenstelling is die van kristallen plus een beetje vloeistof, niet die van enig [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma). Een *gelaagde intrusie* is een groot, langzaam afgekoeld lichaam van mafische of ultramafische cumulaten in lagen, dat de [fractionele kristallisatie](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) vastlegt van het [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma) dat het vulde.

De Skaergaard-intrusie in Oost-Groenland, ongeveer $56\,\mathrm{Ma}$ oud, is de referentie. Haar gelaagde gabbro’s dagzomen over zo’n 11 bij $8\,\mathrm{km}$, en leggen de ononderbroken differentiatie van een tholeïtische basalt vast: een Gelaagde Serie groeide op de bodem, Randseries aan de wanden en het dak, en de twee kwamen samen in de Sandwichhorizont, waar de laatste, meest geëvolueerde vloeistof in het binnenste kristalliseerde (de figuur hieronder). De bodemcumulaten worden van onder naar boven verdeeld in een Verborgen Zone, die niet dagzoomt, en de dagzomende Onderste, Middelste en Bovenste Zone. Haar onderzoekers schatten de massafractie $F$ vloeistof die over was toen elk niveau kristalliseerde, gefit langs het referentieprofiel van de Gelaagde Serie met

$$
F = 1.091 \times 10^{-7}\,H^2 - 5.9064 \times 10^{-4}\,H + 0.7678
$$

($H$ in meter boven de basis van de Onderste Zone). Een kwart van het [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma) was al gekristalliseerd, in de wanden, het dak en een verborgen zone, toen de dagzomende bodemopeenvolging begon; de Sandwichhorizont, $F = 0$, ligt zo’n $2.2\,\mathrm{km}$ hoger ([Oefening 8.7](#exo-b2-magmatic-differentiation-7)).

![Een gelaagde intrusie van het Skaergaard-type (schematisch, niet op schaal). Cumulaten groeiden tegelijk vanaf alle zijden van de kamer naar binnen: de Gelaagde Serie op de bodem (oranje, met gelaagdheid), de Marginale Randserie aan de wanden en de Bovenste Randserie onder het dak (blauw), elk met dezelfde opeenvolging van zones. Ze kwamen samen in de Sandwichhorizont, waar de laatste vloeistof kristalliseerde.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magmatic-differentiation/fig-464410d7daec.svg)

*Een [gelaagde intrusie](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) van het Skaergaard-type (schematisch, niet op schaal). [Cumulaten](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) groeiden tegelijk vanaf alle zijden van de kamer naar binnen: de Gelaagde Serie op de bodem (oranje, met gelaagdheid), de Marginale Randserie aan de wanden en de Bovenste Randserie onder het dak (blauw), elk met dezelfde opeenvolging van zones. Ze kwamen samen in de Sandwichhorizont, waar de laatste vloeistof kristalliseerde.*

Analyses van het totale gesteente van 134 monsters langs dit profiel tonen de wetten van de vorige paragraaf aan het werk (de figuur hieronder). Nikkel, compatibel, daalt van ongeveer $180\,\mathrm{ppm}$ in de [cumulaten](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) van de Onderste Zone tot $54\,\mathrm{ppm}$ in de Middelste Zone en $6\,\mathrm{ppm}$ in de Bovenste Zone. Een [cumulaat](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) bevat $D$ keer het nikkel van de vloeistof waaruit het groeide, dus op logaritmische assen geldt $\ln \mathrm{Ni} = \text{const} +
(D-1)\ln F$: de helling over de Onderste en Middelste Zone, 1.38, geeft een schijnbare $D \approx 2.4$. Zirkonium, incompatibel, varieert nauwelijks in de [cumulaten](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate): het blijft in de vloeistof, en komt alleen via de gevangen vloeistof in een [cumulaat](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate), tot de laatste gesteenten van de Bovenste Zone, gekristalliseerd uit een vloeistof waarin het zich had opgehoopt.

![Nikkel en zirkonium in 134 cumulaten van het referentieprofiel van de Gelaagde Serie van Skaergaard tegen de overgebleven fractie smelt (gegevens van Tegner en anderen, 2023, CC BY 4.0). Nikkel, compatibel, daalt met een factor dertig; zirkonium, incompatibel, blijft laag tot de allerlaatste cumulaten. De lijn is de kleinstekwadratenfit van Ni op F over de Onderste en Middelste Zone.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magmatic-differentiation/fig-b748ad9b268b.svg)

*Nikkel en zirkonium in 134 [cumulaten](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) van het referentieprofiel van de Gelaagde Serie van Skaergaard tegen de overgebleven fractie smelt (gegevens van Tegner en anderen, 2023, CC BY 4.0). Nikkel, compatibel, daalt met een factor dertig; zirkonium, incompatibel, blijft laag tot de allerlaatste [cumulaten](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate). De lijn is de kleinstekwadratenfit van $\ln \mathrm{Ni}$ op $\ln F$ over de Onderste en Middelste Zone.*

Dikkere intrusies bevatten erts: de [gelaagde intrusies](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) met chromitiet zijn gemiddeld minstens $2\,\mathrm{km}$ dik. Het Bushveldcomplex in Zuid-Afrika, $(2043 \pm 11)\,\mathrm{Ma}$ oud, beslaat $60\,000\text{ tot }65\,000\,\mathrm{km}^{2}$, en zijn gelaagde reeks is ongeveer $5\,\mathrm{km}$ dik, plaatselijk tot $9\,\mathrm{km}$. Zijn Kritieke Zone, 1500 tot $1700\,\mathrm{m}$ dik, herhaalt cycli van pyroxeniet, noriet en anorthosiet en bevat lagen chromitiet, een gesteente met meer dan $90\,\%$ chromiet; een ervan, de LG6-laag, is 0.5 tot $1.05\,\mathrm{m}$ dik. Thermische modellen geven de intrusie van zijn [magma’s](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma) ongeveer $75\,000$ jaar en hun kristallisatie $200\,000$. Hoe zulke dunne en zulke regelmatige lagen ontstaan, door uitzakken van kristallen, door kristallisatie ter plaatse op de bodem, door toevoer van nieuw [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma), staat nog ter discussie.

![Links: zwarte lagen chromitiet en grijze lagen anorthosiet van de Kritieke Zone van het Bushveldcomplex, Zuid-Afrika (Kevin Walsh, CC BY 2.0). Rechts: de gelaagde gabbro’s van de Middelste Zone van de Skaergaard-intrusie, Oost-Groenland, hellend van linksboven naar rechtsonder (C. Tegner, CC BY 4.0).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magmatic-differentiation/img-9d0da1c99548.jpg)

![Links: zwarte lagen chromitiet en grijze lagen anorthosiet van de Kritieke Zone van het Bushveldcomplex, Zuid-Afrika (Kevin Walsh, CC BY 2.0). Rechts: de gelaagde gabbro’s van de Middelste Zone van de Skaergaard-intrusie, Oost-Groenland, hellend van linksboven naar rechtsonder (C. Tegner, CC BY 4.0).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magmatic-differentiation/img-078c243ccfe0.jpg)

*Links: zwarte lagen chromitiet en grijze lagen anorthosiet van de Kritieke Zone van het Bushveldcomplex, Zuid-Afrika (Kevin Walsh, CC BY 2.0). Rechts: de gelaagde gabbro’s van de Middelste Zone van de Skaergaard-intrusie, Oost-Groenland, hellend van linksboven naar rechtsonder (C. Tegner, CC BY 4.0).*

## 8.5 Open systemen

Een magmakamer is zelden gesloten. Nieuw [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma) komt van onderen aan, en de wanden van de kamer zijn gesteenten die het [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma) kan verhitten, smelten en oplossen.

**Definitie 8.11 (Magmamenging; korstassimilatie; AFC).**

*Magmamenging* is het samengaan van twee [magma’s](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma) met verschillende samenstellingen tot één. *Korstassimilatie* is de opname van korstgesteente in een [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma), door smelten en oplossen van het nevengesteente of van blokken die erin zijn gevallen. *Assimilatie–fractionele kristallisatie* (AFC) is hun combinatie in één kamer: het [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma) kristalliseert, en de vrijgekomen latente warmte smelt en assimileert het nevengesteente.

**Propositie 8.12 (Menging is lineair in de concentraties).**

Een mengsel van een massafractie $s$ [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma) A en $1-s$ [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma) B heeft voor elke concentratie $C = sC_A + (1-s)C_B$: in elk diagram van de ene concentratie tegen de andere liggen mengsels op het rechte lijnstuk van A naar B, en de hefboomregel geeft $s$.

**Bewijs.** Elk element blijft behouden: $C(m_A + m_B) = m_AC_A + m_BC_B$; deel door $m_A + m_B$. ∎

Menging en het verwijderen van kristallen trekken beide rechte lijnen in [Harkerdiagrammen](#def-b2-magmatic-differentiation-harker); isotopenverhoudingen onderscheiden ze. Kristallisatie verandert een isotopenverhouding niet, terwijl menging met een gesteente met een andere verhouding dat wel doet, langs de hyperbool van [Hoofdstuk 4](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/4-isotopengeochemie#ch-b2-isotope-geochemistry). Een stijging van $^{87}$Sr/$^{86}$Sr met silica in een vulkanische reeks is daarom het kenmerk van assimilatie.

**Propositie 8.13 (Assimilatie met fractionele kristallisatie).**

Een [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma) kristalliseert kristallen met globale verdelingscoëfficiënt $D$ voor een element en assimileert nevengesteente met concentratie $C_a$ met een snelheid die $r$ keer de kristallisatiesnelheid is ($r \ne 1$). Met $F$ de massa [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma) ten opzichte van zijn beginmassa en $z = (r + D - 1)/(r - 1)$ geldt

$$
\frac{C}{C_0} = F^{-z} + \frac{r}{r - 1 + D}\,\frac{C_a}{C_0}\,\bigl(1 - F^{-z}\bigr).
$$

Voor $r = 0$ is dit de wet van Rayleigh. De isotopenverhouding van het element in het [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma) is het gemiddelde van die van het beginmagma en die van het nevengesteente, gewogen met de twee termen van deze som.

**Bewijs.** Per eenheid beginmassa wordt, wanneer een massa $\mathrm dm_c$ kristalliseert, een massa $r\,\mathrm dm_c$ geassimileerd en verandert de magmamassa met $\mathrm dM =
-(1-r)\,\mathrm dm_c$. De balans van het element is $\mathrm d(MC) = rC_a\,\mathrm dm_c -
DC\,\mathrm dm_c$. Door het linkerlid uit te werken en $\mathrm dm_c$ te vervangen door $-\mathrm dM/(1-r)$ volgt

$$
M\frac{\mathrm dC}{\mathrm dM} = -C - \frac{rC_a - DC}{1-r}
= \frac{(r - 1 + D)\,C - rC_a}{1 - r} = -z\,\bigl(C - C^*\bigr),
\qquad C^* = \frac{rC_a}{r - 1 + D}.
$$

Dus $\mathrm d(C - C^*)/(C - C^*) = -z\,\mathrm dM/M$, en $C - C^*$ is evenredig met $M^{-z}$; met $C = C_0$ bij $M = 1$ volgt $C = C^* + (C_0 - C^*)F^{-z}$, wat de formule is. Voor $r = 0$ geldt $z = 1 - D$ en $C^* = 0$. De atomen die uit het beginmagma komen, gehoorzamen aan dezelfde vergelijking met $C_a = 0$, dus hun concentratie is $C_0F^{-z}$; de rest komt uit de wand: vandaar de weging van de isotopenverhoudingen. ∎

DePaolo gaf deze vergelijkingen in 1981, en ze zijn het standaardmodel van een [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma) dat op zijn weg door de korst wordt verontreinigd. Ze verbergen een thermische voorwaarde. De warmte om gesteente te assimileren komt van de latente warmte van de kristallen: korst verhitten van 150 tot $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ kost ongeveer $1\,\mathrm{kJ}/\mathrm{g}$, haar smelten $300\,\mathrm{J}/\mathrm{g}$, terwijl kristalliserend [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma) ongeveer $400\,\mathrm{J}/\mathrm{g}$ levert; er moet dus zo’n $3.25\,\mathrm{g}$ [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma) kristalliseren voor elke gram geassimileerd gesteente, en $r$ ligt ruim onder 1. Wilcox maakte dezelfde berekening voor Parícutin: zijn $25.4\,\mathrm{g}$ kwartsmonzoniet, genomen bij ongeveer $200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, had zo’n $31\,350\,\mathrm{J}$ nodig om tot $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ te worden verhit en gesmolten, de kristallisatiewarmte van ongeveer $85\,\mathrm{g}$ plagioklaas, veel meer dan de $12.5\,\mathrm{g}$ kristallen die zijn massabalans verwijderde. Het uitgebarsten [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma) kon zijn eigen assimilatie niet hebben betaald: de warmte moet zijn gekomen van een groter magmalichaam dan het lichaam dat uitbarstte, dat buiten het zicht kristalliseerde ([Oefening 8.11](#exo-b2-magmatic-differentiation-11)).

![Assimilatie met fractionele kristallisatie voor strontium (D = 1.5, nevengesteente met de helft van het strontium van het magma en 87Sr/86Sr = 0.7200, magma 0.7035; illustratieve waarden). Links: de concentratie daalt sneller naarmate de assimilatiesnelheid r toeneemt, omdat het nevengesteente minder strontium aanvoert en er voor dezelfde F meer kristallen ontstaan. Rechts: de isotopenverhouding, die door kristallisatie alleen niet verandert (r = 0), klimt naar die van de wand.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magmatic-differentiation/fig-b7222d442fcc.svg)

*Assimilatie met [fractionele kristallisatie](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) voor strontium ($D = 1.5$, nevengesteente met de helft van het strontium van het [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma) en $^{87}$Sr/$^{86}$Sr = 0.7200, [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma) 0.7035; illustratieve waarden). Links: de concentratie daalt sneller naarmate de assimilatiesnelheid $r$ toeneemt, omdat het nevengesteente minder strontium aanvoert en er voor dezelfde $F$ meer kristallen ontstaan. Rechts: de isotopenverhouding, die door kristallisatie alleen niet verandert ($r = 0$), klimt naar die van de wand.*

## 8.6 Gezoneerde kristallen lezen

**Definitie 8.14 (Samenstellingszonering).**

Een kristal van een vaste oplossing vertoont *samenstellingszonering* wanneer zijn samenstelling van kern naar rand varieert, en zo de veranderende vloeistof vastlegt waaruit de opeenvolgende lagen groeiden. De zonering is *normaal* wanneer de rand rijker is aan de lagetemperatuurcomponent (natrium in plagioklaas), *omgekeerd* wanneer hij rijker is aan de hogetemperatuurcomponent, en *oscillerend* wanneer ze afwisselt.

Een gezoneerd kristal is [fractionele kristallisatie](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) op heterdaad betrapt: zijn kern heeft zich niet opnieuw met de latere vloeistof in evenwicht gesteld. De figuur hieronder berekent, op de lus van Bowen, het plagioklaas dat groeit uit een vloeistof met $50\,\%$ anorthiet. Bij evenwicht blijven de kristallen homogeen en eindigen ze op $50\,\%$; bij volmaakte [fractionele kristallisatie](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) is elke nieuwe laag in evenwicht met een steeds natriumrijkere vloeistof, en is de rand van de laatste kristallen bijna zuiver albiet. Normale zonering, van calciumrijke kern naar natriumrijke rand, is wat de reeks van Bowen voorspelt voor een afkoelend [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma). Een omgekeerde zone, een calciumrijke band buiten een natriumrijke, zegt dat het kristal plotseling werd omspoeld door een hetere of calciumrijkere vloeistof: vaak de aankomst van nieuw [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma), menging in de kamer.

![Plagioklaas dat kristalliseert uit een vloeistof met 50\,\% anorthiet, berekend op de lus van Bowen (1913). Bij fractionele kristallisatie worden de opeenvolgende lagen van de kristallen, van kern (links) naar rand (rechts), steeds natriumrijker, en bereikt de vloeistof albiet wanneer ongeveer 82\,\% is gekristalliseerd; bij evenwichtskristallisatie blijven de kristallen uniform en eindigen ze met de samenstelling van de vloeistof waaruit ze kwamen.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magmatic-differentiation/fig-f5b80b071912.svg)

*Plagioklaas dat kristalliseert uit een vloeistof met $50\,\%$ anorthiet, berekend op de lus van Bowen (1913). Bij [fractionele kristallisatie](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) worden de opeenvolgende lagen van de kristallen, van kern (links) naar rand (rechts), steeds natriumrijker, en bereikt de vloeistof albiet wanneer ongeveer $82\,\%$ is gekristalliseerd; bij [evenwichtskristallisatie](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) blijven de kristallen uniform en eindigen ze met de samenstelling van de vloeistof waaruit ze kwamen.*

**In het laboratorium — Gezoneerde kristallen lezen.**

Petrologen lezen zonering eerst tussen gekruiste nicols, waar de zones van een plagioklaas bij iets verschillende hoeken uitdoven en als concentrische banden verschijnen. Daarna meten ze haar: een elektronenmicrosonde ([Hoofdstuk 31](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/31-veldwerk-en-laboratoriummethoden-ii#ch-b2-field-lab-methods-2)) analyseert vlekjes van enkele micrometer langs een traverse van kern naar rand, en kaarten van calcium en natrium tonen de zones rechtstreeks. Uit zo’n profiel berekenen ze de samenstelling van de vloeistof waaruit elke zone groeide, met de lus van de figuur hierboven of met verdelingscoëfficiënten, en ze tellen de omgekeerde zones als het aantal aanvullingen van de kamer. [Sporenelementen](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/3-de-elementen-in-de-aarde#def-b2-elements-in-the-earth-trace) die langs dezelfde traverse met laserablatie worden gemeten, en isotopenverhoudingen die zone per zone worden gemeten, scheiden kristallisatie, menging en assimilatie in de geschiedenis van één enkel kristal.

## 8.7 Oefeningen

**Oefening 8.1 ★.**

Gebruik de metingen van Bowen aan de plagioklazen (solidus / liquidus, ${}^{\circ}\mathrm{C}$): An$_{100}$ 1550 / 1550; An$_{83.3}$ 1465 / 1521; An$_{66.7}$ 1372 / 1490; An$_{50}$ 1287 / 1450; An$_{33.3}$ 1205 / 1394; An$_{20}$ liquidus 1334; An$_{11.1}$ liquidus 1265, en interpoleer lineair tussen naburige punten. Een vloeistof met $50\,\%$ anorthiet koelt af in evenwicht. (a) Bepaal bij welke temperatuur ze begint te kristalliseren, en de samenstelling van het eerste kristal. (b) Bepaal bij $1394\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ de samenstellingen van de vloeistof en van de kristallen, en de gekristalliseerde massafractie (gebruik molfracties alsof het massafracties waren). (c) Bepaal de samenstelling van de laatste druppel vloeistof.

**Oplossing van Oefening 8.1.**

(a) De liquidus van An$_{50}$ ligt op $1450\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Het eerste kristal ligt bij die temperatuur op de solidus, tussen An$_{66.7}$ (1372) en An$_{83.3}$ (1465): $66.7 + 16.6\times(1450 - 1372)/(1465 - 1372) = 66.7 + 13.9 = 80.6\,\%$ anorthiet. (b) Bij $1394\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ligt de vloeistof op de liquidus, An$_{33.3}$; de kristallen op de solidus, $66.7 + 16.6\times22/93 =
70.6\,\%$. Volgens de hefboomregel is de gekristalliseerde fractie $(50 -
33.3)/(70.6 - 33.3) = 16.7/37.3 = 0.448$. (c) De laatste vloeistof verdwijnt wanneer de kristallen An$_{50}$ bereiken, bij de solidustemperatuur $1287\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; de liquidus ligt daar tussen An$_{11.1}$ (1265) en An$_{20}$ (1334): $11.1 +
8.9\times22/69 = 13.9\,\%$ anorthiet.

**Oefening 8.2 ★.**

Een gabbroïsch [cumulaat](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) bevat $50\,\%$ plagioklaas, $35\,\%$ clinopyroxeen en $15\,\%$ olivijn. Bereken met de verdelingscoëfficiënten (olivijn / clinopyroxeen / plagioklaas) Sr 0.000063 / 0.157 / 2.7, Zr 0.00068 / 0.195 / 0.001 en Rb 0.000044 / 0.0033 / 0.025 de globale verdelingscoëfficiënt van elk element, en zeg welk compatibel is.

**Oplossing van Oefening 8.2.**

$\bar D_{\ce{Sr}} = 0.15\times0.000063 + 0.35\times0.157 + 0.50\times2.7 = 0.00001 +
0.0550 + 1.35 = 1.40$; $\bar D_{\ce{Zr}} = 0.0001 + 0.0683 + 0.0005 = 0.069$; $\bar D_{\ce{Rb}} = 0.00001 + 0.0012 + 0.0125 = 0.014$. Alleen strontium, vastgehouden door het plagioklaas, is compatibel ($\bar D > 1$); zirkonium en rubidium zijn incompatibel, rubidium het sterkst.

**Oefening 8.3 ★.**

Het [cumulaat](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) van [Oefening 8.2](#exo-b2-magmatic-differentiation-2) kristalliseert door [fractionele kristallisatie](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) uit een basalt, tot de helft van de vloeistof over is. (a) Bepaal met welke factor Sr, Zr en Rb elk zijn veranderd in de vloeistof (neem de globale coëfficiënten 1.40, 0.069 en 0.014). (b) Bepaal met welke factor de verhouding Zr/Rb is veranderd. Becommentarieer aan de hand van het gevolg over verhoudingen.

**Oplossing van Oefening 8.3.**

(a) $C_L/C_0 = 0.5^{D-1}$: Sr $0.5^{0.40} = 0.758$ (het daalt); Zr $0.5^{-0.931} =
1.907$; Rb $0.5^{-0.986} = 1.981$, dicht bij de limiet 2. (b) Zr/Rb verandert met $0.5^{0.069 - 0.014} = 0.5^{0.055} = 0.963$, minder dan $4\,\%$, terwijl elk element bijna verdubbelde: zoals het gevolg zegt, behoudt de verhouding van twee [incompatibele elementen](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/3-de-elementen-in-de-aarde#def-b2-elements-in-the-earth-partition) de waarde van het oudermagma, en zegt ze dus iets over de bron, niet over de kristallisatie.

**Oefening 8.4 ★.**

De eerste lava van Parícutin (februari 1943) had $55.04\,\%$ $\ce{SiO2}$, $5.68\,\%$ $\ce{MgO}$ en $0.85\,\%$ $\ce{K2O}$; de laatste (februari 1952), 60.07, 3.73 en $1.67\,\%$. (a) Bereken de verandering van elk oxide. (b) Kali gaat in geen van de kristalliserende mineralen. Bepaal welke fractie van de vloeistof over zou zijn geweest als het alleen door [fractionele kristallisatie](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) was geconcentreerd. (c) De massabalans van Wilcox verwijdert maar ongeveer $12.5\,\mathrm{g}$ kristallen per $100\,\mathrm{g}$ [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma). Wat suggereert de vergelijking?

**Oplossing van Oefening 8.4.**

(a) $\ce{SiO2}$ $+5.03$, $\ce{MgO}$ $-1.95$, $\ce{K2O}$ $+0.82$ (procent), kali vermenigvuldigd met $1.67/0.85 = 1.96$. (b) Voor een volmaakt [incompatibel element](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/3-de-elementen-in-de-aarde#def-b2-elements-in-the-earth-partition) geldt $C_L/C_0 = 1/F$, dus $F = 0.85/1.67 = 0.509$: de helft van het [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma) had moeten kristalliseren. (c) $12.5\,\mathrm{g}$ per $100\,\mathrm{g}$ verwijderen laat $F \approx 0.88$ over en zou kali maar met ongeveer $1/0.88 = 1.14$ verhogen: kristallisatie alleen kan de stijging niet verklaren. De kali kwam van buiten, uit de granitische xenolieten, rijk aan kali ($3.6\,\%$), die het [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma) assimileerde.

**Oefening 8.5 ★★.**

Vergelijk [fractionele kristallisatie](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) en [evenwichtskristallisatie](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation): bereken $C_L/C_0$ met beide wetten (a) voor nikkel, $D = 5$, wanneer $20\,\%$ van de vloeistof is gekristalliseerd; (b) voor een [incompatibel element](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/3-de-elementen-in-de-aarde#def-b2-elements-in-the-earth-partition), $D = 0.01$, wanneer $90\,\%$ is gekristalliseerd. (c) Bepaal de limieten van beide wetten voor $F \to 0$. Welke wet kan een vloeistof volledig van een [compatibel element](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/3-de-elementen-in-de-aarde#def-b2-elements-in-the-earth-partition) ontdoen?

**Oplossing van Oefening 8.5.**

(a) $F = 0.8$, $D = 5$. Fractioneel: $0.8^{4} = 0.410$; evenwicht: $1/(5 + 0.8\times(1 - 5)) = 1/1.8 = 0.556$. (b) $F = 0.1$, $D = 0.01$. Fractioneel: $0.1^{-0.99} = 9.77$; evenwicht: $1/(0.01 + 0.1\times0.99) = 1/0.109 = 9.17$. (c) Voor $F \to 0$ gaat de wet van Rayleigh naar $0$ voor $D > 1$ en naar oneindig voor $D < 1$, terwijl de evenwichtswet naar $1/D$ gaat (de laatste vloeistof in evenwicht met kristallen van de totale samenstelling). Alleen [fractionele kristallisatie](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) kan een vloeistof volledig van een [compatibel element](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/3-de-elementen-in-de-aarde#def-b2-elements-in-the-earth-partition) ontdoen.

**Oefening 8.6 ★★.**

(a) Bereken de massapercentages $\ce{MgO}$, $\ce{FeO}$ en $\ce{SiO2}$ in olivijn Fo$_{80}$, $(\ce{Mg}_{0.8}\ce{Fe}_{0.2})_2\ce{SiO4}$ ($M$ = 40.30, 71.84 en $60.08\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$). (b) Een basalt met $10.0\,\%$ $\ce{MgO}$ en $49.0\,\%$ $\ce{SiO2}$ kristalliseert alleen deze olivijn tot zijn vloeistof $8.0\,\%$ $\ce{MgO}$ bevat. Bepaal welke massafractie olivijn werd verwijderd. (c) Bepaal dan het silicagehalte van de vloeistof.

**Oplossing van Oefening 8.6.**

(a) Eén formule-eenheid bevat 1.6 $\ce{MgO}$, 0.4 $\ce{FeO}$ en één $\ce{SiO2}$: $1.6\times
40.30 = 64.48$, $0.4\times71.84 = 28.74$, 60.08, totaal $153.30\,\mathrm{g}$. Massapercentages $\ce{MgO}$ $42.06\,\%$, $\ce{FeO}$ $18.75\,\%$, $\ce{SiO2}$ $39.19\,\%$. (b) Hefboomregel op $\ce{MgO}$: $x = (10.0 - 8.0)/(42.06
- 8.0) = 2.0/34.06 = 0.0587$, ongeveer $6\,\%$ olivijn. (c) Silica van de vloeistof: $(49.0 - 0.0587\times39.19)/(1 - 0.0587) = 46.70/0.9413 =
49.61\,\%$. Het verwijderen van olivijn, armer aan silica dan basalt, verhoogt het silica van de vloeistof, maar slechts langzaam.

**Oefening 8.7 ★★.**

Voor de Skaergaard-intrusie geldt $F = 1.091 \times 10^{-7}H^2 - 5.9064 \times 10^{-4}H + 0.7678$. (a) Bereken $F$ bij $H = 0$, 1000 en $2000\,\mathrm{m}$. (b) Bepaal op welke hoogte $F = 0$. (c) Bepaal welke fractie van het [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma) was gekristalliseerd voordat de basis van de dagzomende bodemopeenvolging ontstond, en waar die zich zou kunnen bevinden.

**Oplossing van Oefening 8.7.**

(a) $F(0) = 0.768$; $F(1000) = 0.1091 - 0.5906 + 0.7678 = 0.286$; $F(2000) = 0.4364
- 1.1813 + 0.7678 = 0.023$. (b) De discriminant is $(5.9064\times10^{-4})^2 -
4\times1.091\times10^{-7}\times0.7678 = 3.4885\times10^{-7} - 3.3507\times10^{-7} =
1.379\times10^{-8}$, met vierkantswortel $1.174\times10^{-4}$; de kleinste wortel is $H = (5.9064 - 1.174)\times10^{-4}/(2.182\times10^{-7}) = 2169\,\mathrm{m}$, de Sandwichhorizont. (c) $1 - 0.768 = 0.232$: bijna een kwart van het [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma) was gekristalliseerd voordat de basis van de dagzomende Onderste Zone ontstond, in de Verborgen Zone eronder en in de Randseries langs de wanden en het dak.

**Oefening 8.8 ★★.**

Langs het profiel van Skaergaard bevat het mediane [cumulaat](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) $177\,\mathrm{ppm}$ Ni bij $F = 0.70$ (Onderste Zone a), $54\,\mathrm{ppm}$ bij $F = 0.29$ (Middelste Zone) en $6.2\,\mathrm{ppm}$ bij $F = 0.17$ (Bovenste Zone a). (a) Neem aan dat de [cumulaten](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) $D$ keer het nikkel van hun vloeistof bevatten en dat de vloeistof de wet van Rayleigh volgt, en bereken de schijnbare $D$ tussen de eerste twee niveaus. (b) Doe hetzelfde tussen de laatste twee. (c) Wat kan de schijnbare $D$ doen veranderen?

**Oplossing van Oefening 8.8.**

Het [cumulaat](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) bevat $D\,C_L = D\,C_0F^{D-1}$, dus tussen twee niveaus geldt $\ln(\mathrm{Ni}_2/\mathrm{Ni}_1) = (D - 1)\ln(F_2/F_1)$. (a) $D - 1 = \ln(54/177)/
\ln(0.29/0.70) = (-1.187)/(-0.881) = 1.35$, dus $D \approx 2.35$ (de regressie over de 66 [cumulaten](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) met $F \ge 0.23$ geeft 2.38). (b) $D - 1 = \ln(6.2/54)/\ln(0.17/0.29) = (-2.164)/(-0.534)
= 4.05$, dus $D \approx 5.05$. (c) De globale $D$ verandert wanneer de kristalliserende associatie verandert (een nieuw mineraal dat nikkel opneemt, of een dat verdwijnt), en de coëfficiënten mineraal–smelt zelf stijgen naarmate de vloeistof afkoelt en van samenstelling verandert, zoals voor olivijn gemeten; gevangen vloeistof in de [cumulaten](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) vertroebelt de schatting.

**Oefening 8.9 ★★.**

Controleer het antwoord van Wilcox: $100\,\mathrm{g}$ grondmassa van de eerste lava ($\ce{SiO2}$ 55.53, $\ce{MgO}$ 4.66, $\ce{K2O}$ $0.88\,\%$) plus $25.4\,\mathrm{g}$ gemiddelde xenoliet (72.48, 0.77, 3.64) min $2.9\,\mathrm{g}$ olivijn Fo$_{80}$ (39.19, 42.06, 0) min $9.6\,\mathrm{g}$ plagioklaas An$_{70}$ (50.54, 0, 0). (a) Bepaal welke massa overblijft. (b) Bereken het $\ce{SiO2}$, $\ce{MgO}$ en $\ce{K2O}$ ervan en vergelijk met de grondmassa van lava 19 (60.16, 3.19 en $1.75\,\%$). (c) Welk oxide past het slechtst?

**Oplossing van Oefening 8.9.**

(a) $100 + 25.4 - 2.9 - 9.6 = 112.9\,\mathrm{g}$. (b) Grammen $\ce{SiO2}$: $55.53 +
25.4\times0.7248 - 2.9\times0.3919 - 9.6\times0.5054 = 55.53 + 18.41 - 1.14 - 4.85 =
67.95\,\mathrm{g}$, dus $67.95/112.9 = 60.19\,\%$ tegen 60.16. $\ce{MgO}$: $4.66 + 0.20 - 1.22 = 3.64\,\mathrm{g}$, $3.22\,\%$ tegen 3.19. $\ce{K2O}$: $0.88 + 0.92 = 1.80\,\mathrm{g}$, $1.60\,\%$ tegen 1.75. (c) Silica en magnesia, twee van de drie controle-oxiden, passen binnen 0.03; kali, niet als controle gebruikt, ligt 0.15 te laag, bijna een tiende van zijn waarde: het geassimileerde materiaal had meer kali dan de gemiddelde xenoliet, of er werd bij voorkeur een kalirijke smelt ervan opgenomen.

**Oefening 8.10 ★★★.**

Een [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma) assimileert nevengesteente met $r = 0.2$ terwijl het kristalliseert, met $D_{\ce{Sr}} =
1.5$, $C_a/C_0 = 0.5$, begin-$^{87}$Sr/$^{86}$Sr = 0.7035 en nevengesteente 0.7200. (a) Bereken $z$, $F^{-z}$ en $C/C_0$ bij $F = 0.7$. (b) Vergelijk met zuivere [fractionele kristallisatie](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) bij dezelfde $F$, en verklaar het verschil met de massa kristallen die in elk geval ontstaat. (c) Bereken de $^{87}$Sr/$^{86}$Sr van het [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma).

**Oplossing van Oefening 8.10.**

(a) $z = (0.2 + 1.5 - 1)/(0.2 - 1) = 0.7/(-0.8) = -0.875$; $F^{-z} = 0.7^{0.875} =
0.7319$; $C^*/C_0 = 0.2\times0.5/(0.2 - 1 + 1.5) = 0.1/0.7 = 0.1429$, dus $C/C_0 =
0.7319 + 0.1429\times(1 - 0.7319) = 0.7319 + 0.0383 = 0.770$. (b) Rayleigh: $0.7^{0.5} = 0.837$. Het [AFC-magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma) heeft om twee redenen minder strontium: om $30\,\%$ van zijn massa te verliezen terwijl het $r$ keer wint wat het kristalliseert, moet het $(1 - 0.7)/(1 - 0.2) = 0.375$ kristalliseren in plaats van 0.30, en het strontium dat het wint, komt uit een gesteente dat half zo rijk is. (c) $(0.7319\times0.7035 + 0.0383\times0.7200)/0.7702
= (0.5149 + 0.0276)/0.7702 = 0.70432$: de verhouding is met 0.0008 gestegen, terwijl kristallisatie alleen haar op 0.7035 zou hebben gelaten.

**Oefening 8.11 ★★★.**

Volg het warmtebudget van Wilcox voor Parícutin. (a) Bepaal hoeveel warmte een gram kwartsmonzoniet nodig heeft om van 200 tot $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ te gaan (warmtecapaciteit $1.1\,\mathrm{J}/(\mathrm{g}\,\mathrm{K})$) en daarna te smelten ($250\,\mathrm{J}/\mathrm{g}$). (b) Bepaal hoeveel voor $25.4\,\mathrm{g}$. (c) Bepaal welke massa plagioklaas An$_{70}$ (latente warmte $370\,\mathrm{J}/\mathrm{g}$) moet kristalliseren om haar te leveren. (d) Vergelijk met de $12.5\,\mathrm{g}$ kristallen van de massabalans, bereken de verhouding $r$ van assimilatie tot kristallisatie, en zeg wat dit inhoudt.

**Oplossing van Oefening 8.11.**

(a) $1.1\times(1100 - 200) + 250 = 990 + 250 = 1240\,\mathrm{J}$ per gram. (b) $25.4\times1240 = 31\,496\,\mathrm{J}$, dicht bij de $31\,350\,\mathrm{J}$ van Wilcox. (c) $31496/370 = 85.1\,\mathrm{g}$ plagioklaas. (d) De massabalans verwijderde maar $2.9 +
9.6 = 12.5\,\mathrm{g}$ kristallen, waarvan de latente warmte (ongeveer $4600\,\mathrm{J}$) minder dan een zesde van de behoefte dekt; $r = 25.4/12.5 = 2.03$, tweemaal zoveel gesteente geassimileerd als kristallen gevormd, terwijl het warmtebudget een $r$ ruim onder 1 toelaat. Het uitgebarsten [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma) kan de warmte niet zelf hebben geleverd: een grotere massa [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma) moet in de diepte, buiten het zicht, zijn gekristalliseerd en afgekoeld.

**Oefening 8.12 ★★★.**

Een basalt met $250\,\mathrm{ppm}$ Ni kristalliseert eerst alleen olivijn ($D = 5$) tot $F = 0.8$, daarna olivijn met plagioklaas en clinopyroxeen (globale $D = 1.5$). (a) Bereken de factor waarmee nikkel in elke etappe verandert, en het nikkelgehalte van de vloeistof bij $F = 0.5$. (b) Bepaal wat één enkele wet met $D = 5$ zou hebben voorspeld. (c) Verklaar waarom de wet van Rayleigh in etappes moet worden toegepast.

**Oplossing van Oefening 8.12.**

(a) Etappe 1, $F$ van 1 tot 0.8 met $D = 5$: factor $0.8^{4} = 0.4096$. Etappe 2, van 0.8 tot 0.5 met $D = 1.5$: de wet geldt voor de overgebleven vloeistof, dus de factor is $(0.5/0.8)^{0.5} = 0.7906$. Nikkel: $250\times0.4096\times0.7906 =
81.0\,\mathrm{ppm}$. (b) $250\times0.5^{4} = 15.6\,\mathrm{ppm}$, vijf keer te laag. (c) De wet van Rayleigh veronderstelt een constante $D$; wanneer de kristalliserende associatie verandert, springt $D$, en moet de wet opnieuw beginnen vanaf de samenstelling van de vloeistof die bij de verandering is bereikt, met $F$ gemeten ten opzichte van die vloeistof.

## 8.8 Probleem: De intrusie die haar eigen geschiedenis schreef

**Probleem 8.1.**

Weekendprobleem — van de lagen van een gabbro naar de fractie van zijn magma die aan het eind nog vloeibaar was

Een (verzonnen) gelaagde gabbrosill kristalliseerde uit een basalt waarvan de [afschrikrand](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-aureole) de oudersamenstelling geeft: $\ce{SiO2}$ 49.5, $\ce{Al2O3}$ 16.0, $\ce{FeO}$ 10.0, $\ce{MgO}$ 9.0, $\ce{CaO}$ 11.5, $\ce{Na2O}$ 2.5, $\ce{K2O}$ $0.30\,\%$; $150\,\mathrm{ppm}$ Ni en $80\,\mathrm{ppm}$ Zr. De [cumulaten](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) van de onderste zone bestaan uit $20\,\%$ olivijn, $50\,\%$ plagioklaas en $30\,\%$ clinopyroxeen; boven het niveau waar olivijn verdwijnt, uit $55\,\%$ plagioklaas en $45\,\%$ clinopyroxeen. Neem de verdelingscoëfficiënten (olivijn / plagioklaas / clinopyroxeen) Ni 5.0 / 0 / 2.0 en Zr 0.0007 / 0.001 / 0.195. Samenstellingen van de mineralen ($\%$): olivijn $\ce{MgO}$ 42.06, $\ce{CaO}$ 0, $\ce{Al2O3}$ 0, $\ce{SiO2}$ 39.19; plagioklaas 0, 14.36, 31.70, 50.54; clinopyroxeen 16.0, 20.5, 3.0, 51.5. Een [gang](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-bodies) van fijnkorrelig gesteente, gevoed vanuit de kamer toen de bovenste laag kristalliseerde, heeft $\ce{SiO2}$ 50.0, $\ce{Al2O3}$ 14.1, $\ce{FeO}$ 16.7, $\ce{MgO}$ 4.9, $\ce{CaO}$ 7.3, $\ce{Na2O}$ 3.4, $\ce{K2O}$ $0.75\,\%$ en $188\,\mathrm{ppm}$ Zr.

**Deel I — De verdelingscoëfficiënten van de lagen.**

1. Bereken de globale verdelingscoëfficiënt van nikkel in de onderste zone.
2. Bereken die van zirkonium in de onderste zone.
3. Bereken beide in de bovenste zone.
4. Zeg welk element in elke zone compatibel is. Blijft nikkel compatibel wanneer olivijn verdwijnt?
5. Zeg welk mineraal het meeste zirkonium van de [cumulaten](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) bevat, en waarom.
6. Bepaal met welke factor Ni/Zr in de vloeistof verandert per halvering van $F$ in de onderste zone.

**Deel II — Rayleighkrommen langs het profiel omhoog.**

7. Bepaal welk nikkelgehalte te verwachten is in het onderste [cumulaat](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) , gekristalliseerd bij $F = 1$ .
8. Een [cumulaat](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) van de onderste zone hoger in het profiel bevat $190\,\mathrm{ppm}$ Ni. Bepaal bij welke $F$ het ontstond.
9. Bepaal het zirkoniumgehalte van de vloeistof op dat moment.
10. Vergelijk bij die $F$ het nikkel van de vloeistof volgens de fractionele en de evenwichtswet.
11. Olivijn verdwijnt bij $F = 0.55$ . Bereken het nikkelgehalte van de vloeistof op dat punt.
12. Bereken het nikkel van de [cumulaten](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) die net onder en net boven dat niveau ontstaan. Welk kenmerk zou een geoloog in het profiel zien?
13. Bereken het nikkel van de vloeistof en van het [cumulaat](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) bij $F = 0.40$ . Verklaar de trend.

**Deel III — De massabalans van de laatste vloeistof.**

14. Schrijf de behoudsvergelijking van de methode voor één oxide, met de massa’s $x_{\mathrm{ol}}, x_{\mathrm{pl}}, x_{\mathrm{cpx}}$ die per $100\,\mathrm{g}$ ouder worden verwijderd en de [gang](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-bodies) als dochter.
15. Schrijf ze voor $\ce{MgO}$ , $\ce{CaO}$ en $\ce{Al2O3}$ .
16. Los het $3 \times 3$ -stelsel op.
17. Bepaal welke fractie van de ouder als vloeistof overblijft.
18. Controleer het antwoord met $\ce{SiO2}$ : bereken het silica van de vloeistof opnieuw uit de gevonden massa’s.
19. Vergelijk de verhoudingen van de verwijderde mineralen met de modi van de twee zones.
20. Kali gaat in geen van de mineralen: bepaal welke fractie vloeistof het geeft.

**Deel IV — De fractie vloeistof aan de top.**

21. Bepaal met welke factor zirkonium in de vloeistof was gestegen toen olivijn verdween bij $F = 0.55$ . Geef het zirkoniumgehalte op dat moment.
22. Bereken uit het zirkonium van de [gang](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-bodies) de fractie vloeistof die over was toen die ontstond, door de wet van de bovenste zone toe te passen vanaf $F = 0.55$ .
23. Herhaal de berekening met één enkele $D = 0.07$ vanaf het begin. Is het antwoord gevoelig voor de details van $D$ ?
24. IJzer steeg in de vloeistof van 10.0 tot $16.7\,\%$ , terwijl silica nauwelijks veranderde. Zeg welke mineralen daarvoor verantwoordelijk zijn, en welk soort magmatische reeks dit aankondigt ( [Hoofdstuk 9](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/9-magmatische-reeksen-en-tektonische-omgevingen#ch-b2-magmatic-series) ).
25. De bovenste [cumulaten](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) bevatten $47\,\mathrm{ppm}$ Zr. Cumuluskristallen alleen zouden $\bar D$ keer het zirkonium van de vloeistof bevatten; bepaal welke massafractie gevangen vloeistof (met de samenstelling van de [gang](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-bodies) ) de analyse verklaart.
26. Geef de fractie van het oorspronkelijke [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma) die nog vloeibaar was toen de bovenste laag kristalliseerde, het kerngetal van dit probleem, en vergelijk de drie schattingen (hoofdelementen, kali, zirkonium).

**Oplossing van Probleem 8.1.**

**Deel I.**

**1.** $\bar D_{\ce{Ni}} = 0.20\times5.0 + 0.50\times0 + 0.30\times2.0 = 1.60$.

**2.** $\bar D_{\ce{Zr}} = 0.20\times0.0007 + 0.50\times0.001 + 0.30\times0.195 =
0.00014 + 0.0005 + 0.0585 = 0.059$.

**3.** Bovenste zone: $\bar D_{\ce{Ni}} = 0.45\times2.0 = 0.90$; $\bar D_{\ce{Zr}} =
0.55\times0.001 + 0.45\times0.195 = 0.088$.

**4.** Nikkel is compatibel in de onderste zone (1.60) en wordt licht incompatibel (0.90) wanneer olivijn verdwijnt; zirkonium is in beide incompatibel.

**5.** Clinopyroxeen: het levert $0.0585$ van de $0.059$ van de onderste zone, bijna alles, omdat het het enige mineraal is met een coëfficiënt ver van nul.

**6.** $(C_{\ce{Ni}}/C_{\ce{Zr}})$ verandert met $F^{D_{\ce{Ni}} - D_{\ce{Zr}}}$; per halvering $0.5^{1.60 - 0.059} = 0.5^{1.541} = 0.344$.

**Deel II.**

**7.** $1.60\times150 = 240\,\mathrm{ppm}$.

**8.** De vloeistof had $190/1.60 = 118.75\,\mathrm{ppm}$; $F = (118.75/150)^{1/0.6} =
0.7917^{1.667} = 0.68$.

**9.** $80\times0.68^{-0.941} = 80\times1.438 = 115\,\mathrm{ppm}$.

**10.** Fractioneel: $150\times0.68^{0.6} = 150\times0.793 = 119.0\,\mathrm{ppm}$; evenwicht: $150/(1.6 + 0.68\times(1 - 1.6)) = 150\times0.839 = 125.8\,\mathrm{ppm}$. Het verschil is maar $6\,\%$ nadat een derde van het [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma) is gekristalliseerd: voor een matig [compatibel element](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/3-de-elementen-in-de-aarde#def-b2-elements-in-the-earth-partition) blijven de twee wetten in het begin dicht bij elkaar.

**11.** $150\times0.55^{0.6} = 104.8\,\mathrm{ppm}$.

**12.** Net eronder: $1.60\times104.8 = 167.7\,\mathrm{ppm}$; net erboven: $0.90\times104.8 = 94.3\,\mathrm{ppm}$. Het nikkelprofiel van de [cumulaten](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) daalt abrupt met $44\,\%$ op het niveau waar olivijn uit de lagen verdwijnt: een trap, geen vloeiende kromme.

**13.** Vloeistof: $104.8\times(0.40/0.55)^{0.90 - 1} = 104.8\times1.032 =
108.2\,\mathrm{ppm}$; [cumulaat](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) $0.90\times108.2 = 97.4\,\mathrm{ppm}$. Met $\bar D < 1$ stijgt nikkel nu langzaam in de vloeistof en in de [cumulaten](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate): het profiel klimt na zijn trap zachtjes.

**Deel III.**

**14.** $x_{\mathrm{ol}}(m_{\mathrm{ol},j} - d_j) + x_{\mathrm{pl}}
(m_{\mathrm{pl},j} - d_j) + x_{\mathrm{cpx}}(m_{\mathrm{cpx},j} - d_j) = 100\,(p_j -
d_j)$.

**15.** $\ce{MgO}$: $37.16\,x_{\mathrm{ol}} - 4.9\,x_{\mathrm{pl}} +
11.1\,x_{\mathrm{cpx}} = 410$; $\ce{CaO}$: $-7.3\,x_{\mathrm{ol}} +
7.06\,x_{\mathrm{pl}} + 13.2\,x_{\mathrm{cpx}} = 420$; $\ce{Al2O3}$: $-14.1\,x_{\mathrm{ol}} + 17.6\,x_{\mathrm{pl}} - 11.1\,x_{\mathrm{cpx}} = 190$.

**16.** Oplossen (door eliminatie of met de regel van Cramer): $x_{\mathrm{ol}} = 9.03$, $x_{\mathrm{pl}} = 30.84$, $x_{\mathrm{cpx}} = 20.32$ gram per $100\,\mathrm{g}$.

**17.** Kristallen $9.03 + 30.84 + 20.32 = 60.19\,\mathrm{g}$; vloeistof $39.81\,\mathrm{g}$: $F = 0.398$.

**18.** $(4950 - 9.03\times39.19 - 30.84\times50.54 - 20.32\times51.5)/39.81 =
(4950 - 353.9 - 1558.7 - 1046.5)/39.81 = 1990.9/39.81 = 50.0\,\%$, zoals in de [gang](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-bodies): het oxide dat niet als controle werd gebruikt, wordt gereproduceerd.

**19.** De verwijderde kristallen zijn $9.03/60.19 = 15\,\%$ olivijn, $51\,\%$ plagioklaas en $34\,\%$ clinopyroxeen, tussen de modi van de twee zones in. Ze komen overeen met de onderste associatie die kristalliseert van $F = 1$ tot 0.55 ($0.45\times20 = 9.0$, $0.45\times50 = 22.5$, $0.45\times30 = 13.5$), gevolgd door de bovenste van 0.55 tot 0.40 ($0.15\times55 = 8.25$, $0.15\times45 = 6.75$): 9.0, 30.75 en 20.25 gram.

**20.** $0.30/0.75 = 0.40$.

**Deel IV.**

**21.** $0.55^{0.059 - 1} = 0.55^{-0.941} = 1.755$; $80\times1.755 =
140.4\,\mathrm{ppm}$.

**22.** $188/140.4 = 1.339 = (F/0.55)^{0.088 - 1}$, dus $F = 0.55\times1.339^{-1/
0.912} = 0.55\times0.726 = 0.399$.

**23.** $(188/80)^{1/(0.07 - 1)} = 2.35^{-1.075} = 0.399$. Voor [incompatibele elementen](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/3-de-elementen-in-de-aarde#def-b2-elements-in-the-earth-partition) geldt $C_L/C_0 \approx 1/F$, wat de kleine $D$ ook is: het antwoord hangt nauwelijks af van de details van $D$, wat [incompatibele elementen](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/3-de-elementen-in-de-aarde#def-b2-elements-in-the-earth-partition) tot de beste meters van $F$ maakt.

**24.** Plagioklaas, dat geen ijzer bevat, vormt de helft van de kristallen, en pyroxeen en olivijn samen bevatten minder ijzer dan magnesia: de vloeistof wordt rijker aan ijzer en armer aan magnesia zonder silica te winnen. Deze ijzerverrijking bij bijna constant silica is het kenmerk van de tholeïtische reeks van het volgende hoofdstuk.

**25.** Zuivere cumuluskristallen zouden $0.088\times188 = 16.5\,\mathrm{ppm}$ bevatten. Met een massafractie $t$ gevangen vloeistof geldt $16.5(1 - t) + 188\,t = 47$, dus $t = (47 -
16.5)/(188 - 16.5) = 30.5/171.5 = 0.18$: ongeveer $18\,\%$ gevangen vloeistof.

**26.** De drie schattingen, hoofdelementen (0.398), kali (0.40) en zirkonium (0.399), stemmen overeen: toen de bovenste laag kristalliseerde, was **$40\,\%$** van het oorspronkelijke [magma](https://one-course.com/books/earth/4/nl/chapter/5-magmas-en-hun-intrusie#def-b2-magma-emplacement-magma) nog vloeibaar.