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title: "O meio interestelar e a formação das estrelas"
book: "Ciências da Terra e do espaço universitárias — 2.º ano"
subject: earth
language: pt
chapter: 1
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/1-o-meio-interestelar-e-a-formacao-das-estrelas
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Capítulo 1 — O meio interestelar e a formação das estrelas

Na constelação de Touro, a cerca de $140\,\mathrm{pc}$ do Sol, uma mancha escura apaga as estrelas que estão atrás dela. Vista com um radiotelescópio sintonizado nas linhas do monóxido de carbono, a mancha é uma nuvem de gás frio com cerca de vinte mil vezes a massa do Sol, atravessada por filamentos; nos nós mais densos estão nascendo estrelas jovens e, em torno de uma delas, HL Tauri, um disco de poeira exibe um padrão de anéis claros e escuros onde planetas talvez já estejam se formando. O Sol, a Terra e cada átomo das rochas deste livro estiveram um dia em uma nuvem assim. Este capítulo acompanha a matéria de um sistema planetário desde o gás rarefeito entre as estrelas até um disco em torno de uma estrela recém-nascida: de que é feito o [meio interestelar](#def-b2-ism-star-formation-ism), por que uma nuvem sustentada pelo próprio calor chega a colapsar, quanto tempo dura o colapso, como uma estrela reúne sua massa e por que a matéria que não cai nela acaba em um disco.

**O que você já sabe.**

Uma estrela da sequência principal brilha fundindo hidrogênio em hélio em seu núcleo e se sustenta pela própria pressão contra o próprio peso; sua posição no diagrama de Hertzsprung–Russell é fixada por sua massa (física, terceiro ano universitário). Um corpo em órbita fechada em torno de uma massa $M$ obedece à terceira lei de Kepler, $T^2 = 4\pi^2 a^3/(GM)$ (física, primeiro ano universitário). Um corpo negro à temperatura $T$ emite $\sigma T^4$ por unidade de área (física, segundo ano universitário). Em um gás ideal de $N$ partículas, a energia cinética média de translação é $\tfrac32 N k_{\mathrm B} T$. O parsec, $3.086 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$, é a unidade de distância do volume do primeiro ano.

## 1.1 A matéria entre as estrelas

O espaço entre as estrelas não é vazio. Perto do Sol, ele contém em média cerca de um átomo de hidrogênio por centímetro cúbico, uma densidade de massa de $2.7 \times 10^{-24}\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$; o ar que respiramos contém umas $10^{19}$ vezes mais moléculas no mesmo volume ([Exercício 1.1](#exo-b2-ism-star-formation-1)). Espalhada pela Galáxia, essa matéria rarefeita ainda soma $10\text{ a }15\,\%$ da massa do disco galáctico.

**Definição 1.1 (Meio interestelar, poeira interestelar).**

O *meio interestelar* é o gás e a poeira que preenchem o espaço entre as estrelas de uma galáxia. A *poeira interestelar* é a parte dele na forma de grãos sólidos, de alguns nanômetros a cerca de um micrômetro de diâmetro, feitos de silicatos, compostos de carbono e, nas regiões frias, gelos.

Sua composição é a medida no Sol e nos meteoritos: em massa, $70.4\,\%$ de hidrogênio, $28.1\,\%$ de hélio e $1.5\,\%$ de elementos mais pesados. Só $0.5\text{ a }1\,\%$ da massa está na poeira, e no entanto a poeira retém a maior parte de certos elementos: o gás é mais pobre que o Sol em magnésio, silício e ferro por fatores de 10 a 100, porque esses átomos estão presos nos grãos, ao passo que carbono, nitrogênio e oxigênio são empobrecidos apenas por fatores de 1.2 a 3. Os grãos são os primeiros sólidos de um futuro sistema planetário; o [Capítulo 2](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/2-formacao-dos-planetas-e-meteoritos#ch-b2-planet-formation-meteorites) os acompanha.

### 1.1.1 Cinco fases

O gás está longe de ser uniforme. Ele se apresenta em alguns estados distintos, ou fases, cada um com sua faixa de temperatura e de densidade (tabela abaixo). Cerca de metade de sua massa está em nuvens que ocupam apenas $1\text{ a }2\,\%$ do volume; o resto, morno ou quente, preenche o espaço entre elas.

| fase | temperatura (K) | densidade $n$ ($\mathrm{cm}^{-3}$) |
| --- | --- | --- |
| molecular | 10–20 | $10^2$–$10^6$ |
| atômica fria | 50–100 | 20–50 |
| atômica morna | 6000–10 000 | 0.2–0.5 |
| ionizada morna | cerca de 8000 | 0.2–0.5 |
| ionizada quente | cerca de $10^6$ | cerca de 0.0065 |

***Table 1.1.** As fases do gás interestelar perto do Sol; $n$ é a densidade numérica de núcleos de hidrogênio.*

A tabela esconde uma regularidade. A pressão de um gás ideal é $P = n k_{\mathrm B} T$, de modo que o produto $nT$ a mede. Para o gás atômico frio, $nT$ vale cerca de $30\times75 \approx 2000$ (em $\mathrm{K}\,\mathrm{cm}^{-3}$); para o gás atômico morno, cerca de $0.3\times8000 \approx 2400$; para o gás quente, cerca de $0.0065\times10^6 = 6500$: a menos de um fator de poucas unidades, as três fases que dividem o espaço entre as nuvens estão à mesma pressão (figura abaixo). Onde um gás quente e um gás frio se tocam à mesma pressão, nenhum empurra o outro para longe; um gás que esfria a pressão constante fica mais denso na mesma proporção e passa da fase morna para a fria. As [nuvens moleculares](#def-b2-ism-star-formation-molecular-cloud) atingem pressões muito mais altas, até milhares de vezes maiores em suas partes densas: elas são mantidas coesas pela própria gravidade, e não pela pressão do meio que as cerca.

![As fases do gás interestelar perto do Sol (faixas da tabela acima; as fases ionizada morna e quente, dadas por valores únicos, são desenhadas como caixas de largura igual a um fator 1.4). Ao longo de cada linha cinza, a pressão nk_ BT é constante: as fases fria, morna e quente ficam perto da mesma pressão, a menos de um fator de poucas unidades, enquanto as nuvens moleculares, ligadas pela própria gravidade, atingem pressões até milhares de vezes maiores. Dados: Ferrière (2001).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-ism-star-formation/fig-7b0d1de7c838.svg)

*As fases do gás interestelar perto do Sol (faixas da tabela acima; as fases ionizada morna e quente, dadas por valores únicos, são desenhadas como caixas de largura igual a um fator 1.4). Ao longo de cada linha cinza, a pressão $nk_{\mathrm B}T$ é constante: as fases fria, morna e quente ficam perto da mesma pressão, a menos de um fator de poucas unidades, enquanto as [nuvens moleculares](#def-b2-ism-star-formation-molecular-cloud), ligadas pela própria gravidade, atingem pressões até milhares de vezes maiores. Dados: Ferrière (2001).*

A poeira se revela de três maneiras. Ela atenua a luz das estrelas que estão atrás dela, e atenua mais a luz azul que a vermelha, de modo que as estrelas vistas através dela parecem mais vermelhas do que são. Ela brilha no infravermelho distante e em comprimentos de onda milimétricos, à temperatura de algumas dezenas de kelvins a que a luz das estrelas a aquece. E ela esconde dos telescópios ópticos o que existe no interior de uma nuvem densa, e é por isso que a formação estelar é observada em comprimentos de onda de rádio e de infravermelho. O gás é rastreado por suas linhas: o hidrogênio atômico por sua linha de rádio de $21\,\mathrm{cm}$, o hidrogênio molecular, que quase não irradia quando frio, pelas linhas das moléculas que o acompanham, a começar pelo monóxido de carbono.

## 1.2 Nuvens moleculares

A fase mais fria e mais densa é aquela em que as estrelas se formam.

**Definição 1.2 (Nuvem molecular, núcleo denso).**

Uma *nuvem molecular* é uma região do [meio interestelar](#def-b2-ism-star-formation-ism) densa e opaca o bastante para que seu hidrogênio esteja principalmente na forma de moléculas, $\ce{H2}$, protegidas pela poeira da luz ultravioleta das estrelas, que as quebraria; sua temperatura é de cerca de $10\,\mathrm{K}$ a $20\,\mathrm{K}$. Um *núcleo denso* é uma condensação compacta no interior de uma nuvem molecular, com alguns décimos de parsec de diâmetro ou menos, densidades de $10^4$ a $10^5$ partículas por centímetro cúbico, e da qual se forma uma única estrela ou um pequeno grupo de estrelas.

As nuvens se organizam em uma hierarquia (tabela abaixo). Uma nuvem escura como a de Touro contém grumos, e os grumos contêm núcleos, cada nível mais denso, menor e mais calmo que o de cima: em um núcleo, o gás se move a no máximo alguns décimos de quilômetro por segundo, a velocidade do som em um gás a $10\,\mathrm{K}$. A região de Touro mapeada em monóxido de carbono contém cerca de $2.4 \times 10^{4}$ massas solares de gás; apenas $0.3\text{ a }1.2\,\%$ dele se transformou nas estrelas jovens vistas ali, a uma taxa de cerca de oito estrelas a cada cem mil anos nos últimos três milhões de anos. A formação estelar é lenta e perdulária.

|  | nuvens escuras | grumos | [núcleos densos](#def-b2-ism-star-formation-molecular-cloud) |
| --- | --- | --- | --- |
| massa (massas solares) | $10^3$–$10^4$ | 50–500 | 0.5–5 |
| tamanho (pc) | 2–15 | 0.3–3 | 0.03–0.2 |
| densidade média ($\mathrm{cm}^{-3}$) | 50–500 | $10^3$–$10^4$ | $10^4$–$10^5$ |
| temperatura do gás (K) | cerca de 10 | 10–20 | 8–12 |
| exemplos | Touro, Musca | — | L1544, B68 |

***Table 1.2.** A hierarquia de uma [nuvem molecular](#def-b2-ism-star-formation-molecular-cloud) escura. As densidades contam todas as partículas. Dados: Bergin e Tafalla (2007).*

Por que as nuvens são tão frias? Um gás perde energia emitindo fótons que escapam, e as moléculas são emissoras eficientes: uma colisão eleva uma molécula de monóxido de carbono a um nível de rotação mais alto, a molécula volta a cair emitindo um fóton de comprimento de onda milimétrico, e o fóton sai da nuvem, levando consigo a energia da colisão. A poeira, aquecida pela fraca luz estelar que penetra, irradia no infravermelho distante. O aquecimento, pelos raios cósmicos e pela luz estelar filtrada pela poeira, é fraco; o equilíbrio se estabelece perto de $10\,\mathrm{K}$. Em um gás assim, a pressão térmica é pequena, e a gravidade pode vencer.

![Os “Pilares da Criação” na Nebulosa da Águia, fotografados pelo Telescópio Espacial Hubble em luz visível. As colunas são gás molecular frio e denso e poeira, com anos-luz de comprimento, erodidas e iluminadas de cima pela luz ultravioleta de estrelas jovens de grande massa situadas fora da imagem; a poeira as torna opacas. Pequenas condensações em suas pontas estão formando estrelas. NASA, ESA e Hubble Heritage Team (STScI/AURA), domínio público.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-ism-star-formation/img-63af11b1f188.jpg)

*Os “Pilares da Criação” na Nebulosa da Águia, fotografados pelo Telescópio Espacial Hubble em luz visível. As colunas são gás molecular frio e denso e poeira, com anos-luz de comprimento, erodidas e iluminadas de cima pela luz ultravioleta de estrelas jovens de grande massa situadas fora da imagem; a poeira as torna opacas. Pequenas condensações em suas pontas estão formando estrelas. NASA, ESA e Hubble Heritage Team (STScI/AURA), domínio público.*

## 1.3 Colapso gravitacional

Uma nuvem é um equilíbrio entre duas energias: a energia térmica de seu gás, que empurra para fora, e sua energia gravitacional, que puxa para dentro. A segunda cresce mais depressa com a massa que a primeira; acima de uma certa massa, a gravidade vence.

**Proposição 1.3 (Energia gravitacional de uma esfera homogênea).**

Uma esfera de densidade uniforme, de massa $M$ e raio $R$, tem a energia potencial gravitacional

$$
U = -\frac{3}{5}\,\frac{G M^2}{R}.
$$

**Demonstração.** Construa-se a esfera camada por camada. Quando seu raio é $r$, ela tem a massa $m(r) = M r^3/R^3$; trazer do infinito até sua superfície uma camada de espessura $\mathrm dr$, de massa $\mathrm dm = 3M r^2\,\mathrm dr/R^3$, libera a energia $G m(r)\,\mathrm dm/r$, porque uma esfera atrai, do lado de fora, como se sua massa estivesse em seu centro (o teorema das cascas, física). Logo

$$
U = -\int_0^R \frac{G}{r}\,\frac{M r^3}{R^3}\,\frac{3 M r^2}{R^3}\,\mathrm dr
    = -\frac{3 G M^2}{R^6}\int_0^R r^4\,\mathrm dr = -\frac{3}{5}\,\frac{G M^2}{R}.
  \qedhere
$$

∎

Um corpo autogravitante em equilíbrio obedece ao teorema do virial: em média no tempo, o dobro de sua energia cinética mais sua energia gravitacional é nulo, $2K + U = 0$ (física, terceiro ano universitário, onde ele é deduzido das equações do movimento). Para uma nuvem em repouso, $K$ é a energia térmica de suas partículas. Se $2K > |U|$, o gás se expande; se $2K < |U|$, a gravidade não encontra equilíbrio que se oponha a ela, e a nuvem se contrai.

**Proposição 1.4 (Critério de Jeans).**

Uma nuvem homogênea e isotérmica de temperatura $T$ e densidade $\rho$, formada de partículas de massa média $\mu m_u$, colapsa sob a própria gravidade se sua massa excede a *[massa de Jeans](#def-b2-ism-star-formation-jeans)*

$$
M_J = \left(\frac{5 k_{\mathrm B} T}{G\mu m_u}\right)^{3/2}
        \left(\frac{3}{4\pi\rho}\right)^{1/2},
$$

ou, de modo equivalente, se seu raio excede o *[comprimento de Jeans](#def-b2-ism-star-formation-jeans)*

$$
R_J = \left(\frac{15 k_{\mathrm B} T}{4\pi G\mu m_u\,\rho}\right)^{1/2}.
$$

Este é o *critério de Jeans*.

**Demonstração.** A nuvem contém $N = M/(\mu m_u)$ partículas, com a energia térmica $K = \tfrac32 N k_{\mathrm B}T = \tfrac32 M k_{\mathrm B}T/(\mu m_u)$. Pela [Proposição 1.3](#prop-b2-ism-star-formation-grav-energy), ela colapsa se $2K < \tfrac35 GM^2/R$, isto é,

$$
\frac{3 M k_{\mathrm B} T}{\mu m_u} < \frac{3}{5}\,\frac{G M^2}{R}
  \iff M > \frac{5 k_{\mathrm B} T}{G \mu m_u}\, R .
$$

Elimine-se $R$ com $M = \tfrac43\pi R^3\rho$, isto é, $R = (3M/4\pi\rho)^{1/3}$: $M^{2/3} > \frac{5 k_{\mathrm B}T}{G\mu m_u}\,(3/4\pi\rho)^{1/3}$, e elevar os dois membros à potência $3/2$ dá $M > M_J$. Eliminando-se $M$ em vez disso, $\tfrac43\pi R^3\rho > 5 k_{\mathrm B}T R/(G\mu m_u)$ dá $R^2 > 15
k_{\mathrm B}T/(4\pi G\mu m_u\rho)$, isto é, $R > R_J$. ∎

**Definição 1.5 (Massa de Jeans, comprimento de Jeans).**

A *massa de Jeans* $M_J$ e o *comprimento de Jeans* $R_J$ de um gás de temperatura e densidade dadas são a massa e o raio acima dos quais uma esfera homogênea desse gás colapsa sob a própria gravidade ([Proposição 1.4](#prop-b2-ism-star-formation-jeans)).

A [massa de Jeans](#def-b2-ism-star-formation-jeans) cresce como $T^{3/2}$ e cai como $\rho^{-1/2}$: o gás frio e denso é o que colapsa com mais facilidade. Em uma [nuvem molecular](#def-b2-ism-star-formation-molecular-cloud), a massa média por partícula é $\mu = 2.33$ unidades de massa atômica: hidrogênio molecular com um átomo de hélio para cada cinco moléculas, aproximadamente. A $10\,\mathrm{K}$ e $10^4$ partículas por centímetro cúbico, $\rho = \mu m_u n = 3.87 \times 10^{-17}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ e $M_J = 5.5$ massas solares, dentro de um [comprimento de Jeans](#def-b2-ism-star-formation-jeans) de $0.13\,\mathrm{pc}$: a massa e o tamanho de um [núcleo denso](#def-b2-ism-star-formation-molecular-cloud). Na densidade média de uma nuvem escura, $100$ partículas por centímetro cúbico, a [massa de Jeans](#def-b2-ism-star-formation-jeans) é dez vezes maior, 55 massas solares, e uma nuvem de $24\,000$ massas solares como a de Touro contém centenas delas (figura abaixo).

![(a) A massa de Jeans em função da densidade de partículas para três temperaturas (= 2.33). O retângulo sombreado marca as massas e densidades dos núcleos densos observados: a 10\, K, sua massa é próxima da massa de Jeans. (b) O tempo de queda livre da : um terço de milhão de anos com 104 partículas por centímetro cúbico, dez vezes mais com 102.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-ism-star-formation/fig-80d1f338edfc.svg)

*(a) A [massa de Jeans](#def-b2-ism-star-formation-jeans) em função da densidade de partículas para três temperaturas ($\mu = 2.33$). O retângulo sombreado marca as massas e densidades dos [núcleos densos](#def-b2-ism-star-formation-molecular-cloud) observados: a $10\,\mathrm{K}$, sua massa é próxima da [massa de Jeans](#def-b2-ism-star-formation-jeans). (b) O [tempo de queda livre](#def-b2-ism-star-formation-free-fall) da [Proposição 1.6](#prop-b2-ism-star-formation-free-fall): um terço de milhão de anos com $10^4$ partículas por centímetro cúbico, dez vezes mais com $10^2$.*

Uma nuvem que começa a colapsar fica mais densa, e sua [massa de Jeans](#def-b2-ism-star-formation-jeans) cai como $\rho^{-1/2}$ enquanto ela permanece fria, o que acontece enquanto ela consegue irradiar o calor da compressão. Partes da nuvem tornam-se então instáveis por conta própria e colapsam separadamente: a nuvem se *fragmenta*. É por isso que as estrelas se formam em grupos e que suas massas são pequenas comparadas com as das nuvens que as originam. A fragmentação cessa quando o gás fica denso demais para deixar sua radiação escapar: o calor da compressão fica aprisionado, a temperatura sobe e a [massa de Jeans](#def-b2-ism-star-formation-jeans) para de cair.

Quanto tempo dura um colapso? Se a pressão for desprezível, cada camada da nuvem cai livremente em direção ao centro.

**Proposição 1.6 (Tempo de queda livre).**

Uma esfera homogênea de densidade $\rho$, inicialmente em repouso e sem pressão, colapsa até seu centro no tempo

$$
t_{\mathrm{ff}} = \left(\frac{3\pi}{32\,G\rho}\right)^{1/2},
$$

independente de seu raio.

**Demonstração.** Considere-se uma partícula em repouso à distância $R$ do centro, na superfície da esfera. As camadas internas a ela caem mais depressa ou junto com ela, nunca atrás, de modo que a massa $M = \tfrac43\pi R^3\rho$ que a atrai permanece a mesma durante todo o percurso. Sua trajetória é uma órbita de Kepler degenerada: uma elipse achatada até virar um segmento de reta, com a extremidade mais distante em $R$ e o centro de atração na outra extremidade, de modo que seu semieixo maior é $a = R/2$. Cair da extremidade distante até o centro leva meio período; pela terceira lei de Kepler,

$$
t_{\mathrm{ff}} = \frac12\cdot 2\pi\sqrt{\frac{(R/2)^3}{GM}}
  = \pi\sqrt{\frac{R^3}{8\,G\cdot\frac43\pi R^3\rho}}
  = \sqrt{\frac{3\pi}{32\,G\rho}} .
$$

$R$ se cancela: todas as camadas de uma esfera homogênea chegam ao centro no mesmo instante. ∎

**Definição 1.7 (Tempo de queda livre).**

O *tempo de queda livre* de um gás de densidade $\rho$ é $t_{\mathrm{ff}} = (3\pi/32G\rho)^{1/2}$, o tempo que uma esfera homogênea com essa densidade levaria para colapsar apenas sob a própria gravidade.

Para um [núcleo denso](#def-b2-ism-star-formation-molecular-cloud) de $10^4$ partículas por centímetro cúbico, o [tempo de queda livre](#def-b2-ism-star-formation-free-fall) é de $0.34\,\mathrm{Myr}$; para uma nuvem escura inteira, de $10^2$, $3.4\,\mathrm{Myr}$. Se todas as [nuvens moleculares](#def-b2-ism-star-formation-molecular-cloud) da Galáxia colapsassem em um [tempo de queda livre](#def-b2-ism-star-formation-free-fall) e se transformassem em estrelas, a Galáxia formaria estrelas muito mais depressa do que forma: em Touro, o gás efetivamente transformado em estrelas nos últimos três milhões de anos é cerca de um por cento da nuvem. As nuvens são contidas por movimentos turbulentos e por campos magnéticos que a fração ionizada do gás arrasta consigo, e a maior parte de seu gás é dispersa pelos ventos e pela luz das primeiras estrelas de grande massa antes de poder colapsar: daí a baixa eficiência medida em Touro.

**História — James Jeans.**

James Jeans (1877–1946) publicou em 1902 a análise da estabilidade de um gás sob a própria gravidade da qual descendem a massa e o [comprimento de Jeans](#def-b2-ism-star-formation-jeans). Ele estudou o crescimento de pequenas ondas de densidade em um gás homogêneo infinito e descobriu que as ondas mais longas que um comprimento crítico não são contidas pela pressão, mas crescem: o gás se divide em condensações com aproximadamente esse tamanho. Seu comprimento crítico difere do raio encontrado acima apenas por um fator numérico; a física, gravidade contra pressão térmica, é a mesma.

## 1.4 Protoestrelas

O colapso de um núcleo não é homogêneo. O centro, um pouco mais denso, cai primeiro; ali se forma um objeto pequeno, denso e quente, que cresce engolindo o gás que continua a chover sobre ele.

**Definição 1.8 (Protoestrela).**

Uma *protoestrela* é uma estrela em formação que ainda ganha a maior parte de sua massa por acreção do gás de seu núcleo de origem; ela brilha pela energia que o gás em queda libera, e não por fusão nuclear.

Com que rapidez cresce uma [protoestrela](#def-b2-ism-star-formation-protostar)? Um núcleo prestes a colapsar contém cerca de uma [massa de Jeans](#def-b2-ism-star-formation-jeans) e cai em cerca de um [tempo de queda livre](#def-b2-ism-star-formation-free-fall), de modo que a massa chega a uma taxa da ordem de $M_J/t_{\mathrm{ff}}$.

**Proposição 1.9 (Taxa de acreção de uma protoestrela).**

Seja $c_s = (k_{\mathrm B}T/\mu m_u)^{1/2}$ a velocidade do som isotérmica do gás de um núcleo. A razão entre a [massa de Jeans](#def-b2-ism-star-formation-jeans) e o [tempo de queda livre](#def-b2-ism-star-formation-free-fall) não depende da densidade, e

$$
\frac{M_J}{t_{\mathrm{ff}}} \approx 10\,\frac{c_s^3}{G}:
$$

uma [protoestrela](#def-b2-ism-star-formation-protostar) cresce a uma taxa da ordem de $c_s^3/G$, fixada apenas pela temperatura de seu núcleo.

**Demonstração.** Com $k_{\mathrm B}T/(\mu m_u) = c_s^2$, $M_J = 5^{3/2}\,c_s^3\,G^{-3/2}
(3/4\pi\rho)^{1/2}$ e $t_{\mathrm{ff}} = (3\pi/32)^{1/2}(G\rho)^{-1/2}$, de modo que

$$
\frac{M_J}{t_{\mathrm{ff}}} = 5^{3/2}\left(\frac{3}{4\pi}\right)^{1/2}
  \left(\frac{32}{3\pi}\right)^{1/2}\frac{c_s^3}{G}
  = 11.18\times0.489\times1.84\,\frac{c_s^3}{G} \approx 10\,\frac{c_s^3}{G},
$$

em que $\rho$ se cancelou. O fator depende da forma do núcleo; modelos de núcleos cuja densidade decresce para fora, como se observa, dão taxas mais próximas do próprio $c_s^3/G$. ∎

A $10\,\mathrm{K}$, $c_s = 0.19\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ e $c_s^3/G$ vale $1.6 \times 10^{-6}$ massas solares por ano: uma estrela como o Sol se forma em cerca de $600\,000$ anos, um tempo comparável ao [tempo de queda livre](#def-b2-ism-star-formation-free-fall) de seu núcleo. Em um núcleo mais quente, a $20\,\mathrm{K}$, a taxa é $2^{3/2} = 2.8$ vezes maior.

![De um núcleo denso a um sistema planetário (esquema, fora de escala). (1) Um núcleo frio próximo da massa de Jeans. (2) Seu centro colapsa primeiro e uma protoestrela se forma. (3) A protoestrela cresce por acreção através de um disco, enquanto um fluxo bipolar limpa o gás ao longo do eixo de rotação. (4) Desaparecido o envelope, uma estrela T Tauri, ainda em contração, está cercada por seu disco. (5) O disco se dispersou; o que resta de seus sólidos são planetas. Tempos tirados das estimativas de queda livre e de acreção do texto e das durações de vida dos discos da última seção.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-ism-star-formation/fig-6560be990cd2.svg)

*De um [núcleo denso](#def-b2-ism-star-formation-molecular-cloud) a um sistema planetário (esquema, fora de escala). (1) Um núcleo frio próximo da [massa de Jeans](#def-b2-ism-star-formation-jeans). (2) Seu centro colapsa primeiro e uma [protoestrela](#def-b2-ism-star-formation-protostar) se forma. (3) A [protoestrela](#def-b2-ism-star-formation-protostar) cresce por acreção através de um disco, enquanto um [fluxo bipolar](#def-b2-ism-star-formation-t-tauri) limpa o gás ao longo do eixo de rotação. (4) Desaparecido o envelope, uma [estrela T Tauri](#def-b2-ism-star-formation-t-tauri), ainda em contração, está cercada por seu disco. (5) O disco se dispersou; o que resta de seus sólidos são planetas. Tempos tirados das estimativas de queda livre e de acreção do texto e das durações de vida dos discos da última seção.*

Enquanto acreta, a [protoestrela](#def-b2-ism-star-formation-protostar) brilha pela energia do gás em queda. Uma vez esgotado o envelope, ela continua a brilhar, ainda sem fusão, contraindo-se.

**Proposição 1.10 (A contração alimenta uma estrela jovem).**

Uma esfera de gás autogravitante em equilíbrio que se contrai lentamente irradia metade da energia gravitacional que libera e guarda a outra metade como calor: ela fica mais quente enquanto perde energia.

**Demonstração.** Em equilíbrio, o teorema do virial dá $2K + U = 0$, de modo que a energia total é $E = K + U = U/2$. Se o raio diminui, $U$ diminui de uma quantidade $\Delta < 0$; então $E$ varia de $\Delta/2$, que é a energia irradiada para fora, e $K = -U/2$ varia de $-\Delta/2 > 0$: a energia térmica, e portanto a temperatura, aumentam da outra metade. ∎

**Definição 1.11 (Escala de tempo de Kelvin–Helmholtz).**

A *escala de tempo de Kelvin–Helmholtz* de uma estrela de massa $M$, raio $R$ e luminosidade $L$ é $t_{\mathrm{KH}} = GM^2/(RL)$, a ordem de grandeza do tempo durante o qual a contração sozinha consegue fornecer sua luminosidade.

Para o Sol atual, $t_{\mathrm{KH}} = 31\,\mathrm{Myr}$: muito menos que sua idade, e é por isso que o Sol precisa queimar hidrogênio. Para uma estrela jovem de uma massa solar, com o dobro do raio do Sol e o dobro de sua luminosidade, são $8\,\mathrm{Myr}$ ([Exercício 1.6](#exo-b2-ism-star-formation-6)). A contração termina quando o centro fica quente o bastante para que a fusão do hidrogênio forneça a luminosidade: a estrela chega à sequência principal (como lembrado no início do capítulo).

**Definição 1.12 (Estrela T Tauri, fluxo bipolar).**

Uma *estrela T Tauri* é uma estrela jovem de menos de cerca de duas massas solares que já se livrou de seu envelope e se tornou visível, mas que ainda não chegou à sequência principal: ela brilha por contração, varia de brilho e em geral está cercada por um disco do qual ainda acreta matéria. Um *fluxo bipolar* é um par de jatos ou ventos rápidos de gás ejetados por uma estrela jovem em sentidos opostos ao longo do eixo de rotação de seu disco.

Os [fluxos bipolares](#def-b2-ism-star-formation-t-tauri) levam embora parte do momento angular do gás que o disco entrega à estrela, e limpam o envelope ao longo do eixo; a estrela de HL Tauri, no fim de seu estágio protoestelar, produz um fluxo fortemente colimado.

## 1.5 Discos

Um [núcleo denso](#def-b2-ism-star-formation-molecular-cloud) gira, lentamente: de um lado a outro de um núcleo, a velocidade do gás varia de alguns décimos de quilômetro por segundo por parsec. Quando o núcleo colapsa, seu momento angular se conserva, e a rotação lenta se torna rápida.

**Proposição 1.13 (Raio centrífugo).**

Um gás de momento angular específico $j$ (momento angular por unidade de massa) que cai em direção a uma massa $M$ não consegue chegar ao centro: ele se instala em uma órbita circular de raio

$$
r_c = \frac{j^2}{G M}.
$$

**Demonstração.** Sem atrito, o momento angular do gás em queda se conserva, de modo que à distância $r$ sua velocidade de rotação é $v = j/r$. O gás pode circular em $r$ se a gravidade fornecer exatamente a aceleração centrípeta, $GM/r^2 = v^2/r = j^2/r^3$, isto é, em $r = j^2/(GM)$. Mais para dentro, a aceleração centrípeta necessária, $j^2/r^3$, excede a atração da gravidade, e o gás não consegue avançar. ∎

O gás que cai ao longo do eixo de rotação tem pouco momento angular e vai direto para a estrela; o gás que cai no plano equatorial conserva sua rotação. O gás que cai de lados opostos por trajetórias diferentes colide acima e abaixo do plano equatorial, perde seu movimento vertical e se acumula em um disco fino em rotação, de raio da ordem de $r_c$. Para um núcleo de $0.1\,\mathrm{pc}$ que dá uma volta em uns vinte milhões de anos, $r_c$ é de algumas centenas de unidades astronômicas ([Exercício 1.11](#exo-b2-ism-star-formation-11)): o tamanho dos discos observados.

**Definição 1.14 (Disco protoplanetário).**

Um *disco protoplanetário* (ou *disco protoestelar*) é o disco achatado de gás e poeira em rotação quase kepleriana em torno de uma estrela jovem, formado pela matéria de seu núcleo de origem que conservou momento angular demais para cair na estrela; os planetas se formam nele.

![O disco da estrela jovem HL Tauri, a 140\, pc de distância em Touro, fotografado pelo interferômetro ALMA em um comprimento de onda de cerca de um milímetro, em que a poeira fria brilha. O disco, com cerca de 120\, au de raio e visto inclinado de 47, mostra anéis claros e escuros de algumas unidades astronômicas de largura; o sistema tem no máximo um ou dois milhões de anos, e os anéis são interpretados como os primeiros sinais de planetas abrindo caminho. ALMA (ESO/NAOJ/NRAO), CC BY 4.0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-ism-star-formation/img-2f9a97e27127.jpg)

*O disco da estrela jovem HL Tauri, a $140\,\mathrm{pc}$ de distância em Touro, fotografado pelo interferômetro ALMA em um comprimento de onda de cerca de um milímetro, em que a poeira fria brilha. O disco, com cerca de $120\,\mathrm{au}$ de raio e visto inclinado de $47{}^{\circ}$, mostra anéis claros e escuros de algumas unidades astronômicas de largura; o sistema tem no máximo um ou dois milhões de anos, e os anéis são interpretados como os primeiros sinais de planetas abrindo caminho. ALMA (ESO/NAOJ/NRAO), CC BY 4.0.*

O disco é aquecido pela estrela. Um grão à distância $r$ absorve a luz estelar em sua seção transversal e irradia por toda a sua superfície.

**Proposição 1.15 (Temperatura de um grão iluminado por uma estrela).**

Um grão pequeno que se comporta como um corpo negro, à distância $r$ de uma estrela de luminosidade $L$ e iluminado de um só lado, estabiliza-se à temperatura

$$
T = \left(\frac{L}{16\pi\sigma r^2}\right)^{1/4},
$$

que decresce como $r^{-1/2}$.

**Demonstração.** Um grão esférico de raio $a$ intercepta a potência $\pi a^2\,L/(4\pi r^2)$ e, à temperatura $T$, irradia $4\pi a^2\sigma T^4$ por sua superfície. No equilíbrio as duas são iguais: $T^4 = L/(16\pi\sigma r^2)$; $a$ se cancela. ∎

A $1\,\mathrm{au}$ de uma estrela como o Sol, o grão está a $278\,\mathrm{K}$; a $5.2\,\mathrm{au}$, onde Júpiter orbita, a $122\,\mathrm{K}$. O gelo de água se condensa onde os grãos estão mais frios que cerca de $180\,\mathrm{K}$ (as temperaturas de condensação são as do [Capítulo 2](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/2-formacao-dos-planetas-e-meteoritos#ch-b2-planet-formation-meteorites)), isto é, além de cerca de $2.4\,\mathrm{au}$: o primeiro indício da fronteira, a linha de neve, que separa os planetas rochosos dos gelados. Um disco real é opaco, e seu plano médio fica protegido da luz estelar direta; a proposição dá a ordem de grandeza certa e a inclinação certa para as camadas superficiais que a estrela enxerga.

Os discos não duram. O excesso infravermelho, o brilho da poeira morna acima do que a estrela sozinha emitiria, revela se uma estrela ainda tem um disco. Contar as estrelas que têm esse excesso em aglomerados de idades diferentes dá a fração de estrelas que conservam seu disco em função do tempo (figura abaixo): a maioria das estrelas tem um ao nascer, metade já o perdeu por volta de três milhões de anos, e quase nenhuma o conserva além de seis. Os gigantes gasosos, que precisam reunir seu gás no disco, têm de se formar nesses poucos milhões de anos.

![Fração das estrelas de aglomerados jovens que mostram o excesso infravermelho de um disco, em função da idade do aglomerado (com seu erro), segundo Haisch, Lada e Lada (2001). A reta tracejada é a reta de mínimos quadrados ajustada aos cinco aglomerados mais jovens: ela atinge 0.5 em 3.0\, Myr e zero em 6.1\, Myr ().](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-ism-star-formation/fig-691e2eafb5b7.svg)

*Fração das estrelas de aglomerados jovens que mostram o excesso infravermelho de um disco, em função da idade do aglomerado (com seu erro), segundo Haisch, Lada e Lada (2001). A reta tracejada é a reta de mínimos quadrados ajustada aos cinco aglomerados mais jovens: ela atinge $0.5$ em $3.0\,\mathrm{Myr}$ e zero em $6.1\,\mathrm{Myr}$ ([Exercício 1.12](#exo-b2-ism-star-formation-12)).*

**No laboratório — Ver através da poeira com ondas de rádio.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-ism-star-formation/img-6810197117c8.jpg)

*Um conjunto de antenas de rádio em um planalto desértico elevado ao entardecer (ilustração gerada por IA).*

O gás frio e a poeira são invisíveis aos telescópios ópticos, mas brilham em comprimentos de onda milimétricos, nos quais a atmosfera só é transparente acima de locais altos e secos. Uma antena de rádio do tamanho de uma casa resolve pouco nesses comprimentos de onda, por isso os astrônomos combinam muitas: em um interferômetro, cada par de antenas, separadas por uma linha de base, mede uma componente do padrão de brilho do céu, e um computador monta a imagem a partir das centenas de pares que umas trinta antenas formam. A resolução é a de um único telescópio tão largo quanto a linha de base mais longa: com antenas espalhadas por $15\,\mathrm{km}$, o disco de HL Tauri foi fotografado com detalhes de algumas unidades astronômicas a $140\,\mathrm{pc}$. Operadores deslocam as antenas em transportadores entre configurações, e o correlacionador combina seus sinais em tempo real.

## 1.6 Exercícios

**Exercício 1.1 ★.**

A densidade interestelar média perto do Sol é $2.7 \times 10^{-24}\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. Tomando a massa de um átomo de hidrogênio como $1.67 \times 10^{-24}\,\mathrm{g}$, calcule o número de átomos de hidrogênio por centímetro cúbico. Compare com o número de moléculas por centímetro cúbico do ar a $101\,325\,\mathrm{Pa}$ e $288\,\mathrm{K}$ ($n = P/k_{\mathrm B}T$).

**Solução de Exercício 1.1.**

$n = 2.7 \times 10^{-24}/1.67 \times 10^{-24} = 1.6$ átomos de hidrogênio por centímetro cúbico. No ar, $n = P/k_{\mathrm B}T = 101325/(1.381 \times 10^{-23}\times288) = 2.55 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$, isto é, $2.5 \times 10^{19}$ moléculas por centímetro cúbico: cerca de $1.6\times10^{19}$ vezes mais.

**Exercício 1.2 ★.**

Usando o valor $M_J = 5.46$ massas solares a $10\,\mathrm{K}$ e $10^4$ partículas por centímetro cúbico, e a dependência de $M_J$ com a densidade, calcule a [massa de Jeans](#def-b2-ism-star-formation-jeans) a $10\,\mathrm{K}$ e $10^2$ partículas por centímetro cúbico. Quantas [massas de Jeans](#def-b2-ism-star-formation-jeans) contém a nuvem de Touro, de $24\,000$ massas solares?

**Solução de Exercício 1.2.**

$M_J \propto n^{-1/2}$: dividir $n$ por 100 multiplica $M_J$ por 10, de modo que $M_J = 54.6$ massas solares com $10^2$ partículas por centímetro cúbico. A nuvem contém $24\,000/54.6 \approx 440$ [massas de Jeans](#def-b2-ism-star-formation-jeans): ela não pode ser estável como um todo e precisa se fragmentar.

**Exercício 1.3 ★.**

Calcule a velocidade do som isotérmica $c_s = (k_{\mathrm B}T/\mu m_u)^{1/2}$ do gás molecular ($\mu = 2.33$, $m_u = 1.661 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$) a $10\,\mathrm{K}$ e a $100\,\mathrm{K}$. Quanto tempo uma onda sonora leva para atravessar um núcleo de raio $0.1\,\mathrm{pc}$ a $10\,\mathrm{K}$, em milhões de anos?

**Solução de Exercício 1.3.**

$c_s = \sqrt{1.381 \times 10^{-23}\times10/(2.33\times1.661 \times 10^{-27})} =
189\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ a $10\,\mathrm{K}$; $\sqrt{10}$ vezes mais, $597\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, a $100\,\mathrm{K}$. Travessia de $0.1\,\mathrm{pc}$: $3.086 \times 10^{15}/189 = 1.63 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$, isto é, $0.52\,\mathrm{Myr}$.

**Exercício 1.4 ★.**

Calcule o [tempo de queda livre](#def-b2-ism-star-formation-free-fall) de um [núcleo denso](#def-b2-ism-star-formation-molecular-cloud) de $10^5$ partículas por centímetro cúbico e de uma nuvem escura de $10^2$ ($\mu = 2.33$). Qual colapsa mais depressa, e por que fator?

**Solução de Exercício 1.4.**

$\rho = 2.33\times1.661 \times 10^{-27}\times n$ com $n$ em $\mathrm{m}^{-3}$. Para $10^5$ partículas por centímetro cúbico, $\rho = 3.87 \times 10^{-16}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ e $t_{\mathrm{ff}} = \sqrt{3\pi/(32G\rho)} = 3.38 \times 10^{12}\,\mathrm{s} = 0.107\,\mathrm{Myr}$; para $10^2$, $\rho$ é $1000$ vezes menor e $t_{\mathrm{ff}}$, $\sqrt{1000} = 31.6$ vezes mais longo, $3.38\,\mathrm{Myr}$. O [núcleo denso](#def-b2-ism-star-formation-molecular-cloud) colapsa 32 vezes mais depressa.

**Exercício 1.5 ★★.**

Mostre que $M_J$ pode ser escrita $M_J = 5^{3/2}\,(3/4\pi)^{1/2}\,c_s^3\,G^{-3/2}\rho^{-1/2}$. A temperatura fixa, por que fator a densidade de um núcleo precisa aumentar para reduzir sua [massa de Jeans](#def-b2-ism-star-formation-jeans) à metade? A densidade fixa, por que fator muda a [massa de Jeans](#def-b2-ism-star-formation-jeans) se o núcleo se aquece de $10\,\mathrm{K}$ para $20\,\mathrm{K}$?

**Solução de Exercício 1.5.**

Com $k_{\mathrm B}T/(\mu m_u) = c_s^2$, $(5k_{\mathrm B}T/G\mu m_u)^{3/2} =
5^{3/2}c_s^3G^{-3/2}$, o que dá a fórmula. Como $M_J \propto \rho^{-1/2}$, reduzir $M_J$ à metade exige uma densidade quatro vezes maior. Como $M_J \propto T^{3/2}$, aquecer de $10\,\mathrm{K}$ para $20\,\mathrm{K}$ a multiplica por $2^{3/2} = 2.83$.

**Exercício 1.6 ★★.**

Uma estrela jovem tem a massa do Sol, o dobro de seu raio e o dobro de sua luminosidade ($M_\odot = 1.989 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$, $R_\odot = 6.96 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, $L_\odot = 3.83 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$). Calcule seu tempo de Kelvin–Helmholtz em milhões de anos e compare-o com as durações de vida dos discos.

**Solução de Exercício 1.6.**

$t_{\mathrm{KH}} = GM^2/(RL) = 6.674 \times 10^{-11}\times(1.989 \times 10^{30})^2/(2\times
6.96 \times 10^{8}\times2\times3.83 \times 10^{26}) = 2.48 \times 10^{14}\,\mathrm{s}$, isto é, $7.8\,\mathrm{Myr}$. É mais longo que a duração de vida da maioria dos discos (metade desaparece depois de cerca de $3\,\mathrm{Myr}$): a estrela ainda está se contraindo quando seu disco desaparece.

**Exercício 1.7 ★★.**

Calcule a taxa de acreção $c_s^3/G$ de uma [protoestrela](#def-b2-ism-star-formation-protostar) em um núcleo a $10\,\mathrm{K}$, em massas solares por ano, e o tempo que ela leva para reunir uma massa solar. Mesmas perguntas para um núcleo a $20\,\mathrm{K}$.

**Solução de Exercício 1.7.**

A $10\,\mathrm{K}$, $c_s^3/G = 189^3/6.674 \times 10^{-11} = 1.01 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$, isto é, $1.01 \times 10^{17}\times3.156 \times 10^{7}/1.989 \times 10^{30} = 1.6 \times 10^{-6}$ massas solares por ano, e uma massa solar leva $0.62\,\mathrm{Myr}$. A $20\,\mathrm{K}$, a taxa é $2^{3/2} = 2.83$ vezes maior, $4.5 \times 10^{-6}$ massas solares por ano, e uma massa solar leva $0.22\,\mathrm{Myr}$.

**Exercício 1.8 ★★.**

Com a [Proposição 1.15](#prop-b2-ism-star-formation-grain) e $L_\odot = 3.83 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$, calcule a distância ao Sol, em unidades astronômicas, na qual um grão atinge $1300\,\mathrm{K}$, perto da temperatura em que os silicatos comuns se condensam ([Capítulo 2](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/2-formacao-dos-planetas-e-meteoritos#ch-b2-planet-formation-meteorites)), e a temperatura de um grão à distância de Júpiter, $5.2\,\mathrm{au}$.

**Solução de Exercício 1.8.**

$r = \sqrt{L/(16\pi\sigma)}/T^2$ com $\sqrt{3.83 \times 10^{26}/(16\pi\times5.67 \times 10^{-8})}
= 1.159 \times 10^{16}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}^{2}$: a $1300\,\mathrm{K}$, $r = 6.86 \times 10^{9}\,\mathrm{m} = 0.046\,\mathrm{au}$, bem dentro da órbita de Mercúrio. A $5.2\,\mathrm{au}$, $T = 278/\sqrt{5.2} = 122\,\mathrm{K}$.

**Exercício 1.9 ★★.**

O gás do disco de HL Tauri gira em torno de uma estrela de cerca de $1.3$ massas solares. Calcule a velocidade kepleriana e o período orbital a $100\,\mathrm{au}$. Se o sistema tem um milhão de anos, quantas voltas o gás a $100\,\mathrm{au}$ deu desde que a estrela se formou?

**Solução de Exercício 1.9.**

$v = \sqrt{GM/r} = \sqrt{6.674 \times 10^{-11}\times1.3\times1.989 \times 10^{30}/1.496 \times 10^{13}}
= 3.40\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, e $P = 2\pi r/v = 2.77 \times 10^{10}\,\mathrm{s} = 877$ anos (ou, de modo equivalente, $\sqrt{100^3/1.3}$ anos). Em um milhão de anos, o gás deu $10^6/877 \approx 1140$ voltas: o disco é velho comparado com sua própria rotação, e é por isso que seus anéis são círculos regulares.

**Exercício 1.10 ★★★.**

Determine a energia gravitacional de uma esfera de raio $R$ na qual a densidade decresce como $\rho(r) = \rho_0 R/r$, e compare-a com a de uma esfera homogênea de mesma massa e mesmo raio. Concentrar a massa em direção ao centro torna a nuvem mais fácil ou mais difícil de sustentar por sua energia térmica?

**Solução de Exercício 1.10.**

$M = \int_0^R 4\pi r^2\rho_0R/r\,\mathrm dr = 2\pi\rho_0R^3$, e, dentro de $r$, $m(r) = 2\pi\rho_0Rr^2$. Com $\mathrm dm = 4\pi\rho_0Rr\,\mathrm dr$,

$$
U = -\int_0^R \frac{G\,m(r)}{r}\,\mathrm dm
    = -8\pi^2G\rho_0^2R^2\int_0^R r^2\,\mathrm dr = -\frac{8\pi^2}{3}G\rho_0^2R^5
    = -\frac23\,\frac{GM^2}{R},
$$

usando $\rho_0 = M/(2\pi R^3)$. Ela vale $\tfrac{2/3}{3/5} = 1.11$ vezes o valor homogêneo: a nuvem concentrada é mais fortemente ligada e precisa de $11\,\%$ mais energia térmica para ser sustentada; ela colapsa mais facilmente.

**Exercício 1.11 ★★★.**

Um núcleo de raio $0.1\,\mathrm{pc}$ gira como um corpo rígido à velocidade angular $\Omega = 1 \times 10^{-14}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$. Calcule seu período de rotação, o momento angular específico $j = \Omega R^2$ do gás em seu equador e o raio centrífugo desse gás em torno de uma estrela de uma massa solar, em unidades astronômicas. Por que o gás do interior do núcleo cai mais perto da estrela?

**Solução de Exercício 1.11.**

Período $2\pi/\Omega = 6.28 \times 10^{14}\,\mathrm{s}$, cerca de $20\,\mathrm{Myr}$. Com $R = 3.086 \times 10^{15}\,\mathrm{m}$, $j = \Omega R^2 = 9.52 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, e $r_c = j^2/(GM) = 9.07 \times 10^{33}/1.327 \times 10^{20} = 6.83 \times 10^{13}\,\mathrm{m} = 457\,\mathrm{au}$. Em rotação de corpo rígido, $j = \Omega r^2$ cresce com o quadrado da distância ao eixo: o gás do interior do núcleo tem menos momento angular e cai mais perto da estrela.

**Exercício 1.12 ★★★.**

As frações de estrelas com disco dos cinco aglomerados mais jovens da figura da última seção são $0.85$, $0.80$, $0.65$, $0.52$ e $0.12$ a 0.3, 1.5, 2.3, 3.2 e $5.0\,\mathrm{Myr}$. Ajuste à mão uma reta de mínimos quadrados $f = a - bt$ (calcule as médias, depois $\sum(t - \bar t)(f - \bar f)$ e $\sum(t - \bar t)^2$). Com que idade ela atinge um meio, e zero? Por que uma reta é um modelo ruim além dessa idade?

**Solução de Exercício 1.12.**

$\bar t = 2.46$, $\bar f = 0.588$; $\sum(t - \bar t)^2 = 12.612$, $\sum(t - \bar t)(f - \bar f) = -2.018$, portanto $b = 2.018/12.612 = 0.160$ por milhão de anos e $a = 0.588 + 0.160\times2.46 = 0.982$. A reta atinge $0.5$ em $(0.982 - 0.5)/0.160 = 3.0\,\mathrm{Myr}$ e zero em $0.982/0.160 = 6.1\,\mathrm{Myr}$, como na figura. Uma fração não pode cair abaixo de zero: aglomerados mais velhos, como NGC 1960, com $30\,\mathrm{Myr}$, conservam uma pequena fração próxima de zero que uma reta não consegue descrever.

## 1.7 Problema: um núcleo na nuvem de Aldra

**Problema 1.1.**

Problema de fim de semana — a massa e a estabilidade de um núcleo denso lidas em um mapa de poeira, o nascimento de sua protoestrela e o tamanho de seu disco

A nuvem de Aldra é uma nuvem escura inventada. Um mapa milimétrico de sua poeira mostra um núcleo redondo de raio $0.08\,\mathrm{pc}$, com uma densidade de coluna média de $N(\ce{H2}) = 1.5 \times 10^{22}$ moléculas de hidrogênio por centímetro quadrado. Uma linha da amônia dá a temperatura do gás, $10\,\mathrm{K}$, e um gradiente de velocidade de $0.4\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ por parsec de um lado a outro do núcleo, interpretado como rotação de corpo rígido. Use $G = 6.674 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$, $k_{\mathrm B} = 1.381 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}$, $m_u = 1.661 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$, $1\,\mathrm{pc}$ $= 3.086 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$, $1\,\mathrm{au}$ $= 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$, um ano de $3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, $M_\odot = 1.989 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$, $R_\odot = 6.96 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, $L_\odot = 3.83 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$, $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$; a massa por molécula de hidrogênio, hélio incluído, é $2.8\,m_u$, e a massa média por partícula, $2.33\,m_u$.

**Parte I — Massa e densidade.**

1. Converta o raio do núcleo em metros.
2. Calcule a massa por metro quadrado da coluna, $2.8\,m_u N$ .
3. Deduza a massa do núcleo, em quilogramas e em massas solares.
4. Calcule seu volume e sua densidade média.
5. Calcule o número de partículas por centímetro cúbico.
6. Trata-se de um [núcleo denso](#def-b2-ism-star-formation-molecular-cloud) no sentido da tabela da segunda seção?

**Parte II — Estabilidade.**

7. Calcule a [massa de Jeans](#def-b2-ism-star-formation-jeans) do gás do núcleo, em massas solares.
8. Quantas [massas de Jeans](#def-b2-ism-star-formation-jeans) o núcleo contém? Ele é estável?
9. Calcule o [comprimento de Jeans](#def-b2-ism-star-formation-jeans) e compare-o com o raio do núcleo.
10. Qual seria a [massa de Jeans](#def-b2-ism-star-formation-jeans) se o gás estivesse a $20\,\mathrm{K}$ ? O núcleo ainda colapsaria?
11. Calcule o [tempo de queda livre](#def-b2-ism-star-formation-free-fall) do núcleo, em milhares de anos.
12. Compare-o com o tempo que uma onda sonora leva para atravessar o núcleo. Qual processo é mais rápido, e o que isso significa?

**Parte III — A protoestrela.**

13. Calcule a velocidade do som no núcleo.
14. Calcule a taxa de acreção $c_s^3/G$ , em massas solares por ano.
15. Calcule o tempo necessário para reunir uma massa solar a essa taxa.
16. Se um terço do núcleo acaba em estrelas, quantas estrelas de uma massa solar ele pode formar?
17. Desaparecido o envelope, a estrela tem uma massa solar, três raios solares e quatro luminosidades solares. Calcule seu tempo de Kelvin–Helmholtz.
18. Ele é mais longo ou mais curto que o tempo de acreção? Que tipo de estrela ela é então?

**Parte IV — O disco.**

19. Converta o gradiente de velocidade em uma velocidade angular $\Omega$ , em $\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$ .
20. Calcule o momento angular específico $j = \Omega R^2$ do gás no equador do núcleo.
21. Calcule seu raio centrífugo em torno de uma estrela de uma massa solar, em unidades astronômicas.
22. Calcule a temperatura de um grão a $1\,\mathrm{au}$ e a $30\,\mathrm{au}$ de uma estrela de uma luminosidade solar.
23. Onde fica a linha de neve desse disco, se o gelo de água sobrevive abaixo de $180\,\mathrm{K}$ ?
24. Indique o tempo necessário para formar a estrela da pergunta 15, o número-chave deste problema, em milhares de anos, e compare-o com o [tempo de queda livre](#def-b2-ism-star-formation-free-fall) da pergunta 11.

**Solução de Problema 1.1.**

**1.** $R = 0.08\times3.086 \times 10^{16} = 2.469 \times 10^{15}\,\mathrm{m}$.

**2.** $N = 1.5 \times 10^{26}\,\mathrm{m}^{-2}$, portanto $2.8\times1.661 \times 10^{-27}\times1.5 \times 10^{26} =
0.698\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$.

**3.** $M = 0.698\times\pi R^2 = 0.698\times1.915 \times 10^{31} = 1.34 \times 10^{31}\,\mathrm{kg}$, isto é, $6.7$ massas solares.

**4.** $V = \tfrac43\pi R^3 = 6.30 \times 10^{46}\,\mathrm{m}^{3}$ e $\rho = M/V = 2.12 \times 10^{-16}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

**5.** $n = \rho/(2.33m_u) = 5.48 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-3}$, isto é, $5.5 \times 10^{4}$ partículas por centímetro cúbico.

**6.** Sim: sua densidade fica entre $10^4$ e $10^5$, seu raio entre 0.03 e $0.2\,\mathrm{pc}$; sua massa, 6.7 massas solares, está no topo da faixa dos núcleos.

**7.** $M_J = 5.46\times(10^4/5.48 \times 10^{4})^{1/2} = 2.33$ massas solares.

**8.** $6.7/2.33 = 2.9$ [massas de Jeans](#def-b2-ism-star-formation-jeans): o núcleo é instável e colapsa.

**9.** $R_J = 0.1316\times(10^4/5.48 \times 10^{4})^{1/2} = 0.056\,\mathrm{pc}$, menor que o raio, $0.08\,\mathrm{pc}$: a mesma conclusão.

**10.** $2^{3/2}\times2.33 = 6.6$ massas solares: aproximadamente a massa do núcleo. A $20\,\mathrm{K}$, o núcleo seria marginal; é o frio que o faz colapsar.

**11.** $t_{\mathrm{ff}} = \sqrt{3\pi/(32\times6.674 \times 10^{-11}\times2.12 \times 10^{-16})}
= 4.56 \times 10^{12}\,\mathrm{s}$, cerca de $145\,000$ anos.

**12.** $R/c_s = 2.469 \times 10^{15}/189 = 1.31 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$, $414\,000$ anos: três vezes mais que a queda livre. Uma onda de pressão não consegue atravessar o núcleo antes que ele tenha colapsado; a pressão não consegue reagir depressa o bastante para deter o colapso.

**13.** $c_s = 189\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ ([Exercício 1.3](#exo-b2-ism-star-formation-3)).

**14.** $c_s^3/G = 1.01 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$, $1.6 \times 10^{-6}$ massas solares por ano.

**15.** $1/1.6 \times 10^{-6} = 624\,000$ anos.

**16.** Um terço de 6.7 é $2.2$: duas estrelas de uma massa solar.

**17.** $t_{\mathrm{KH}} = GM_\odot^2/(3R_\odot\times4L_\odot) = 8.25 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$, $2.6\,\mathrm{Myr}$.

**18.** Mais longo, quatro vezes o tempo de acreção: quando a acreção cessa, a estrela ainda está se contraindo, brilhando sem fusão; é uma [estrela T Tauri](#def-b2-ism-star-formation-t-tauri), ainda fora da sequência principal.

**19.** $\Omega = 0.4 \times 10^{3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}/3.086 \times 10^{16}\,\mathrm{m} = 1.30 \times 10^{-14}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**20.** $j = 1.30\times10^{-14}\times(2.469 \times 10^{15})^2 = 7.90 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**21.** $r_c = j^2/(GM_\odot) = 6.24 \times 10^{33}/1.327 \times 10^{20} = 4.70 \times 10^{13}\,\mathrm{m}$, isto é, $314\,\mathrm{au}$: maior que o disco de HL Tauri, como se espera de um gás vindo da borda do núcleo.

**22.** $T = (L/16\pi\sigma r^2)^{1/4} = 278\,\mathrm{K}$ a $1\,\mathrm{au}$, e $278/\sqrt{30} = 51\,\mathrm{K}$ a $30\,\mathrm{au}$.

**23.** $r = 1.159 \times 10^{16}/180^2 = 3.58 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$, isto é, $2.4\,\mathrm{au}$, como no texto.

**24.** A estrela de uma massa solar leva **$624\,$ mil anos** para se formar, cerca de quatro vezes o [tempo de queda livre](#def-b2-ism-star-formation-free-fall) de seu núcleo ($145\,000$ anos): o gás exterior chega à [protoestrela](#def-b2-ism-star-formation-protostar) só aos poucos, de dentro para fora.