---
title: "Formação dos planetas e meteoritos"
book: "Ciências da Terra e do espaço universitárias — 2.º ano"
subject: earth
language: pt
chapter: 2
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/2-formacao-dos-planetas-e-meteoritos
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
---

# Capítulo 2 — Formação dos planetas e meteoritos

Todos os anos, cerca de quinze mil toneladas de poeira vinda do espaço entram na atmosfera da Terra; a maior parte queima ou se deposita como esférulas microscópicas, e de vez em quando uma pedra do tamanho de um punho cai com uma bola de fogo e um estrondo sônico. A maioria dessas pedras são fragmentos de asteroides, e muitas quase não mudaram desde que se formaram. Serrada uma delas e polida a superfície, ela mostra contas milimétricas de rocha que já esteve fundida, grãos brancos irregulares de minerais de cálcio e de alumínio, lascas de metal, tudo preso em um cimento escuro de grão fino. Os grãos brancos são os sólidos mais antigos do Sistema Solar: os isótopos do chumbo os datam de 4567 milhões de anos. Um segundo relógio, o decaimento de um isótopo radioativo do alumínio desaparecido há muito tempo, data os outros componentes em relação a eles com precisão de uma fração de milhão de anos. Este capítulo acompanha o disco do capítulo anterior enquanto ele se transforma em planetas: que sólidos se condensam a partir do gás que esfria, e onde; como a poeira cresce até corpos de quilômetros de diâmetro e depois até planetas; o que são os [meteoritos](#def-b2-planet-formation-meteorites-fall-find), e como eles datam esses acontecimentos; e por que alguns dos primeiros corpos fundiram e formaram núcleos de ferro, enquanto outros permaneceram como se haviam formado.

**O que você já sabe.**

As estrelas jovens são cercadas por [discos protoplanetários](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/1-o-meio-interestelar-e-a-formacao-das-estrelas#def-b2-ism-star-formation-disc), que desaparecem em poucos milhões de anos; um grão iluminado, à distância $r$ de uma estrela de luminosidade $L$, estabiliza-se em $T = \bigl(L/(16\pi\sigma r^2)\bigr)^{1/4}$ ([Capítulo 1](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/1-o-meio-interestelar-e-a-formacao-das-estrelas#ch-b2-ism-star-formation)). Os asteroides são os pequenos corpos rochosos ou metálicos do Sistema Solar, a maioria dos quais orbita entre Marte e Júpiter (volume do primeiro ano). Um núcleo radioativo decai com a probabilidade $\lambda$ por unidade de tempo: $N = N_0 e^{-\lambda t}$; a meia-vida é $\ln 2/\lambda$, e a vida média, $\tau = 1/\lambda$ (física). Em um sistema fechado, amostras cogenéticas de razões pai/filho diferentes ficam sobre uma reta, a isócrona, cuja inclinação dá a idade e cujo intercepto é a razão inicial (volume do primeiro ano). Aquecer uma massa $m$ de capacidade térmica específica $c$ de $\Delta T$ exige a energia $mc\,\Delta T$ (física).

## 2.1 A nebulosa solar

**Definição 2.1 (Nebulosa solar).**

A *nebulosa solar* é o [disco protoplanetário](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/1-o-meio-interestelar-e-a-formacao-das-estrelas#def-b2-ism-star-formation-disc) de gás e poeira que cercava o Sol jovem e a partir do qual se formaram os planetas, seus satélites, os asteroides e os cometas.

Quanta matéria ela continha? Um limite inferior vem dos próprios planetas. Acrescente-se a cada planeta hidrogênio e hélio suficientes para lhe dar a composição do Sol, espalhe-se o resultado sobre um anel centrado em sua órbita, e a densidade superficial, a massa por unidade de área do disco, decresce com a distância ao Sol. Essa reconstrução é a *nebulosa solar de massa mínima*. Em uma versão muito usada, a densidade superficial do gás é

$$
\Sigma_g = 2200\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}\left(\frac{r}{1\,\mathrm{au}}\right)^{-3/2},
$$

e a dos sólidos, $\Sigma_p = 33\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}\,Z_{\mathrm{rel}}\,
(r/1\,\mathrm{au})^{-3/2}$, em que $Z_{\mathrm{rel}}$ é a fração da matéria condensável efetivamente sólida: $0.33$ onde só a rocha e o metal se condensaram, cerca de $0.78$ onde o gelo de água se juntou a eles, $1$ além do ponto em que o metano congela. Os números são incertos: o teor de elementos pesados de Júpiter só é conhecido a menos de um fator quatro, e os planetas não precisam ter se formado onde orbitam hoje.

**Proposição 2.2 (Massa de um disco).**

Um disco de densidade superficial $\Sigma(r) = \Sigma_1 (r/r_1)^{-3/2}$ contém, dentro do raio $R$, a massa

$$
M(R) = 4\pi\Sigma_1 r_1^2 \left(\frac{R}{r_1}\right)^{1/2}.
$$

A maior parte da massa fica longe: dobrar o raio acrescenta $41\,\%$ à massa.

**Demonstração.** Um anel de raio $r$ e largura $\mathrm dr$ tem a área $2\pi r\,\mathrm dr$, de modo que

$$
M(R) = \int_0^R 2\pi r\,\Sigma_1 \left(\frac{r}{r_1}\right)^{-3/2}\mathrm dr
       = 2\pi\Sigma_1 r_1^{3/2}\int_0^R r^{-1/2}\,\mathrm dr
       = 4\pi\Sigma_1 r_1^{3/2} R^{1/2},
$$

que é a fórmula; a integral converge em $r = 0$. Dobrar $R$ multiplica $M$ por $\sqrt 2 = 1.41$. ∎

Com $\Sigma_1 = 2.2 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$ em $r_1 = 1\,\mathrm{au}$, a nebulosa de massa mínima contém $0.03$ massa solar dentro de $100\,\mathrm{au}$ ([Exercício 2.5](#exo-b2-planet-formation-meteorites-5)). Os discos observados em torno de estrelas de um milhão de anos, pesados pelo brilho milimétrico de sua poeira, contêm $0.001\text{ a }0.1$ massa solar: a nebulosa de massa mínima fica confortavelmente entre eles.

Quase toda essa massa é gás que nunca se condensará. O Sol nasceu com uma fração mássica de hidrogênio $X_0 = 0.711$, de hélio $Y_0 = 0.274$ e de todos os elementos mais pesados juntos de apenas $Z_0 = 0.0149$. Resfriar um gás com essa composição até que tudo o que pode congelar tenha congelado transforma em sólidos apenas $1.5\,\%$ de sua massa: $0.49\,\%$ de rocha e metal, e $1.0\,\%$ de gelos de água, metano e amônia, sendo o gelo de água sozinho $0.57\,\%$. Todos os planetas rochosos, e os núcleos dos gigantes, foram construídos a partir dessa pequena fração.

A temperatura do disco decide o que é sólido e onde. Um disco aquecido apenas por sua estrela, um disco *passivo*, é morno em sua superfície, onde os grãos veem a estrela diretamente (a proposição do [Capítulo 1](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/1-o-meio-interestelar-e-a-formacao-das-estrelas#ch-b2-ism-star-formation)), e muito mais frio em seu plano médio, que recebe apenas o infravermelho reemitido por esses grãos superficiais. Para uma estrela jovem de uma massa solar, um modelo de disco assim dá a temperatura do plano médio

$$
T = 120\,\mathrm{K}\left(\frac{r}{1\,\mathrm{au}}\right)^{-3/7}.
$$

A acreção de gás através do disco, que libera energia gravitacional, torna o plano médio mais quente, sobretudo no início e perto da estrela (figura abaixo).

![Duas temperaturas de um disco em torno de uma estrela de uma luminosidade solar. Vermelho: um grão negro iluminado diretamente pela estrela (). Azul: o plano médio de um disco passivo em torno de uma estrela jovem de uma massa solar, protegido da luz direta. O gelo de água é estável abaixo de 182\, K: as setas marcam onde cada curva cruza essa linha. A verdadeira linha de neve ficava entre esses limites e se deslocou à medida que o disco evoluiu. Dados: Chiang e Youdin (2010); Lodders (2003).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-planet-formation-meteorites/fig-30b28075ef77.svg)

*Duas temperaturas de um disco em torno de uma estrela de uma luminosidade solar. Vermelho: um grão negro iluminado diretamente pela estrela ([Capítulo 1](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/1-o-meio-interestelar-e-a-formacao-das-estrelas#ch-b2-ism-star-formation)). Azul: o plano médio de um disco passivo em torno de uma estrela jovem de uma massa solar, protegido da luz direta. O gelo de água é estável abaixo de $182\,\mathrm{K}$: as setas marcam onde cada curva cruza essa linha. A verdadeira [linha de neve](#def-b2-planet-formation-meteorites-snow-line) ficava entre esses limites e se deslocou à medida que o disco evoluiu. Dados: Chiang e Youdin (2010); Lodders (2003).*

## 2.2 A sequência de condensação

Imagine-se o gás da nebulosa, perto do Sol jovem, quente o bastante para que todos os elementos estejam em vapor, e deixe-se que ele esfrie devagar o bastante para que gás e sólidos permaneçam em equilíbrio químico. À medida que a temperatura cai, cada elemento deixa, por sua vez, o gás e passa para um sólido, seja como um composto próprio, seja dissolvido em um sólido que já se formou.

**Definição 2.3 (Temperatura de condensação, sequência de condensação).**

A *temperatura de condensação* de um elemento em um gás que esfria, de composição e pressão dadas, é a temperatura na qual metade dele passou para os sólidos em equilíbrio químico (a *temperatura de condensação de 50 por cento*; a temperatura em que aparece seu primeiro sólido é a temperatura de *aparecimento*). A *sequência de condensação* é a ordem em que os elementos e seus compostos sólidos aparecem à medida que o gás esfria.

Os cálculos para um gás de composição solar são feitos a uma pressão total de $10^{-4}$ bar, típica da nebulosa perto de $1\,\mathrm{au}$. Os primeiros sólidos são óxidos de alumínio e de cálcio (tabela abaixo), que se formam a cerca de $1700\,\mathrm{K}$; a maior parte da matéria formadora de rochas, silicato de magnésio e ferro metálico, condensa-se perto de $1350\,\mathrm{K}$; o sulfeto de ferro espera até $704\,\mathrm{K}$, e o gelo de água até $182\,\mathrm{K}$.

| sólido | fórmula | aparece a (K) |
| --- | --- | --- |
| coríndon | $\ce{Al2O3}$ | 1677 |
| hibonita | $\ce{CaAl12O19}$ | 1659 |
| perovskita | $\ce{CaTiO3}$ | 1593 |
| espinélio | $\ce{MgAl2O4}$ | 1397 |
| metal ferro–níquel | $\ce{Fe}$, com $\ce{Ni}$, $\ce{Co}$, $\ce{Cr}$ | 1357 |
| forsterita | $\ce{Mg2SiO4}$ | 1354 |
| schreibersita | $\ce{Fe3P}$ | 1248 |
| troilita | $\ce{FeS}$ | 704 |
| magnetita | $\ce{Fe3O4}$ | 371 |
| gelo de água | $\ce{H2O}$ | 182 |
| hidrato de amônia | $\ce{NH3.H2O}$ | 131 |
| clatrato de metano | $\ce{CH4.7H2O}$ | 78 |

***Table 2.1.** A [sequência de condensação](#def-b2-planet-formation-meteorites-condensation) de um gás de composição do Sistema Solar a $10^{-4}$ bar: a temperatura em que cada sólido aparece pela primeira vez. O sódio e o potássio entram no feldspato; o níquel, o cobalto e o cromo se dissolvem no metal. Dados: Lodders (2003).*

As [temperaturas de condensação](#def-b2-planet-formation-meteorites-condensation) de 50 por cento classificam os elementos em grupos de volatilidade (figura abaixo). Os elementos que se condensam acima do magnésio, do silício e do ferro são *refratários*; os que se condensam abaixo deles, *voláteis*. Lodders subdivide cada lado: os elementos ultrarrefratários, acima de $1650\,\mathrm{K}$, incluem o alumínio, o zircônio, as terras raras pesadas e os metais ósmio, rênio e tungstênio; os altamente refratários ($1500\text{ a }1650\,\mathrm{K}$) incluem o cálcio e o titânio; os refratários ($1360\text{ a }1500\,\mathrm{K}$) incluem o estrôncio, o bário, o vanádio e a platina; os elementos *comuns* magnésio, silício e ferro condensam-se entre $1290$ e $1360\,\mathrm{K}$, junto com o níquel, o cobalto e o cromo; os elementos moderadamente voláteis, entre eles o sódio, o potássio, o fósforo, o cobre, o zinco e o chumbo, condensam-se entre $1290\,\mathrm{K}$ e o aparecimento da troilita, a $704\,\mathrm{K}$; os voláteis, entre eles o enxofre, o cádmio e o tálio, entre $704$ e $371\,\mathrm{K}$; e os elementos altamente voláteis, o carbono, o nitrogênio, o oxigênio na forma de gelo, os gases nobres e o mercúrio, abaixo disso.

![As temperaturas de condensação de 50 por cento de 36 elementos em um gás de composição do Sistema Solar a 10-4 bar, coloridas segundo os grupos de volatilidade de Lodders (oxigênio: como gelo de água; carbono: como clatrato de metano e gelo). Dados: Lodders (2003).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-planet-formation-meteorites/fig-074e1c3a5a16.svg)

*As [temperaturas de condensação](#def-b2-planet-formation-meteorites-condensation) de 50 por cento de 36 elementos em um gás de composição do Sistema Solar a $10^{-4}$ bar, coloridas segundo os grupos de volatilidade de Lodders (oxigênio: como gelo de água; carbono: como clatrato de metano e gelo). Dados: Lodders (2003).*

A sequência explica um padrão que atravessa todo o Sistema Solar. Os sólidos mais antigos dos [meteoritos](#def-b2-planet-formation-meteorites-fall-find) são feitos dos primeiros condensados; a Terra e os outros planetas rochosos são pobres em elementos voláteis; as regiões distantes do disco, frias o bastante para conservar gelos, formaram corpos gelados. A fronteira mais importante é a da água, porque o gelo de água é o sólido mais abundante de todos: em massa, há em um gás de composição solar quase tanto gelo de água quanto rocha e metal juntos, $1.17$ vezes mais.

**Definição 2.4 (Linha de neve).**

A *linha de neve* de um [disco protoplanetário](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/1-o-meio-interestelar-e-a-formacao-das-estrelas#def-b2-ism-star-formation-disc) é a distância à estrela além da qual o plano médio é frio o bastante para que o gelo de água seja estável, cerca de $180\,\mathrm{K}$ nas pressões do disco.

**Proposição 2.5 (Linha de neve de um disco passivo).**

Se a temperatura do plano médio decresce como $T = T_1 (r/r_1)^{-3/7}$, a [linha de neve](#def-b2-planet-formation-meteorites-snow-line) da água, que se condensa a $T_w$, fica em

$$
r_s = r_1 \left(\frac{T_1}{T_w}\right)^{7/3},
$$

e, além dela, a densidade superficial dos sólidos salta pelo fator $1 + m_w/m_r$, em que $m_w$ e $m_r$ são as massas de gelo de água e de rocha no gás.

**Demonstração.** Resolver $T_w = T_1 (r_s/r_1)^{-3/7}$ para $r_s$ dá $r_s/r_1 = (T_1/T_w)^{7/3}$. Dentro de $r_s$, só a rocha e o metal são sólidos; além dela, o gelo de água acrescenta sua massa $m_w$ à rocha $m_r$ do mesmo gás, de modo que a massa sólida é multiplicada por $(m_r + m_w)/m_r$. ∎

Para o disco passivo acima, $T_1 = 120\,\mathrm{K}$ e $T_w = 182\,\mathrm{K}$ dão $r_s = 0.38\,\mathrm{au}$; o metano, a $41\,\mathrm{K}$, congela além de $12\,\mathrm{au}$ ([Exercício 2.6](#exo-b2-planet-formation-meteorites-6)). Com $0.57\,\%$ de gelo de água e $0.49\,\%$ de rocha, os sólidos saltam por um fator $1 + 0.571/0.489 = 2.2$. O modelo coloca a [linha de neve](#def-b2-planet-formation-meteorites-snow-line) bem dentro da órbita da Terra, o que mostra apenas que um disco jovem não era passivo: aquecido pela acreção, seu plano médio interno era mais quente, e a [linha de neve](#def-b2-planet-formation-meteorites-snow-line) ficava mais longe, deslocando-se para dentro à medida que o disco se adelgaçava. Além dela, os planetas tinham mais que o dobro de matéria sólida com que se construir, e isso, mais que qualquer outra coisa, separa os pequenos planetas rochosos dos gigantes.

## 2.3 Da poeira aos planetas

Entre os grãos micrométricos do [meio interestelar](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/1-o-meio-interestelar-e-a-formacao-das-estrelas#def-b2-ism-star-formation-ism) e planetas de milhares de quilômetros de diâmetro há cerca de treze ordens de grandeza de tamanho. O crescimento é melhor descrito em três etapas. Abaixo de cerca de um centímetro, os grãos que colidem suavemente grudam, presos por ligações químicas e forças de van der Waals, e formam agregados fofos. Bem acima de um quilômetro, os corpos se mantêm coesos pela própria gravidade, e os fragmentos de uma colisão caem de volta sobre o corpo maior. Entre os dois fica a etapa mais difícil: corpos de centímetros a metros são grandes demais para grudar e pequenos demais para se atraírem, e o gás os arrasta para dentro. Em simulações numéricas, sólidos de $10\text{ a }100\,\mathrm{cm}$ se reúnem em enxames densos que colapsam sob o próprio peso diretamente em corpos de quilômetros de diâmetro, saltando os tamanhos problemáticos; como o Sistema Solar atravessou essa etapa ainda é debatido.

**Definição 2.6 (Planetesimal, embrião planetário).**

Um *planetesimal* é um corpo sólido de um [disco protoplanetário](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/1-o-meio-interestelar-e-a-formacao-das-estrelas#def-b2-ism-star-formation-disc) grande o bastante, de cerca de um quilômetro a algumas centenas de quilômetros de diâmetro, para que seu crescimento seja governado pela gravidade e não pela aderência. Um *embrião planetário* é um corpo que cresceu, por acreção de planetesimais, o suficiente para dominar sua própria região do disco e varrê-la de planetesimais.

Uma vez que a gravidade passa a governar, o crescimento dispara: um corpo um pouco maior que seus vizinhos atrai para si [planetesimais](#def-b2-planet-formation-meteorites-planetesimal) vindos de mais longe, cresce mais depressa que eles e se distancia. Seu crescimento só desacelera quando ele já varreu os sólidos a seu alcance. Cada embrião passa então a dominar seu próprio anel do disco, e muitos embriões dividem a região dos planetas rochosos.

**Proposição 2.7 (Massa de isolamento).**

Um embrião de massa $M$ à distância $r$ de uma estrela de massa $M_*$ atrai os sólidos de um anel cuja meia-largura é algumas vezes seu raio de Hill $R_H = r\,(M/3M_*)^{1/3}$. Se ele reúne todos os sólidos de um anel de largura total $bR_H$ e densidade superficial $\Sigma_p$, para de crescer na *massa de isolamento*

$$
M_{\mathrm{iso}} = \frac{(2\pi b\, r^2 \Sigma_p)^{3/2}}{(3M_*)^{1/2}} .
$$

**Demonstração.** O anel de raio $r$ e largura $bR_H$ contém a massa $2\pi r\, bR_H\,\Sigma_p$. O embrião o engoliu quando $M = 2\pi b r\Sigma_p\, r\,(M/3M_*)^{1/3}$, isto é, $M^{2/3} = 2\pi b r^2\Sigma_p/(3M_*)^{1/3}$; elevar os dois membros à potência $3/2$ dá a fórmula. ∎

Os modelos tomam $b \approx 5$. Na nebulosa de massa mínima, a massa de isolamento é de cerca de $0.05$ massa terrestre a $1\,\mathrm{au}$, entre as massas da Lua ($0.012$) e de Marte ($0.11$): os embriões do Sistema Solar interno eram corpos desse tamanho, e a Terra precisou de muitos deles. Além da [linha de neve](#def-b2-planet-formation-meteorites-snow-line), a $5.2\,\mathrm{au}$, os sólidos ricos em gelo dão cerca de $0.8$ massa terrestre, e um disco com $3.5$ vezes a massa mínima de sólidos dá umas cinco massas terrestres ([Exercício 2.7](#exo-b2-planet-formation-meteorites-7)): o suficiente, nos modelos de crescimento de Júpiter, para que um núcleo capture seu envelope de gás em três milhões de anos. Os planetas gigantes tiveram de se formar antes que o gás do disco desaparecesse, em poucos milhões de anos; Urano e Netuno são $80\text{ a }90\,\%$ rocha e gelo em massa: eles reuniram pouco gás.

A última etapa dos planetas rochosos foi violenta. Uma vez desaparecido o gás, as órbitas dos embriões se cruzaram, e eles se fundiram em colisões gigantes; acredita-se que a Lua tenha se formado a partir dos destroços de uma delas, que atingiu a Terra jovem. A figura abaixo resume a sequência.

![Da poeira aos planetas na região dos planetas rochosos (esquema, fora de escala). Os grãos grudam em agregados; enxames de seixos colapsam em planetesimais; a gravidade faz alguns planetesimais crescerem descontroladamente até virar embriões, que acabam se fundindo em planetas. Além da linha de neve, os embriões cresceram mais e puderam capturar gás. Tamanhos segundo Chiang e Youdin (2010) e Lugaro e colaboradores (2018).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-planet-formation-meteorites/fig-867daf0feb0e.svg)

*Da poeira aos planetas na região dos planetas rochosos (esquema, fora de escala). Os grãos grudam em agregados; enxames de seixos colapsam em [planetesimais](#def-b2-planet-formation-meteorites-planetesimal); a gravidade faz alguns [planetesimais](#def-b2-planet-formation-meteorites-planetesimal) crescerem descontroladamente até virar embriões, que acabam se fundindo em planetas. Além da [linha de neve](#def-b2-planet-formation-meteorites-snow-line), os embriões cresceram mais e puderam capturar gás. Tamanhos segundo Chiang e Youdin (2010) e Lugaro e colaboradores (2018).*

Os planetas guardaram pouca memória dessa história: eles fundiram, misturaram e retrabalharam sua matéria. O registro está nos corpos que pararam de crescer, os asteroides, e nos fragmentos deles que chegam à Terra.

## 2.4 Meteoritos

**Definição 2.8 (Meteorito, queda, achado).**

Um *meteorito* é um objeto sólido natural vindo do espaço que sobreviveu à passagem pela atmosfera e chegou ao solo. Uma *queda* é um meteorito coletado depois que sua chegada foi observada, em geral como uma bola de fogo; um *achado* é um meteorito reconhecido no solo sem que sua queda tenha sido vista.

A Terra recolhe muito mais poeira que pedras. Medido na neve do planalto antártico, cerca de $5200\,\mathrm{t}$ de poeira extraterrestre chegam ao solo a cada ano como micrometeoritos e esférulas fundidas, de umas $15\,000\,\mathrm{t}$ que entram na atmosfera, a maior parte liberada por cometas e cerca de um quinto por asteroides. Os [meteoritos](#def-b2-planet-formation-meteorites-fall-find), as pedras e os ferros grandes o bastante para serem reconhecidos um a um, são menos numerosos: o catálogo mundial contém cerca de $45\,000$, dos quais apenas $1107$ são [quedas](#def-b2-planet-formation-meteorites-fall-find).

A distinção é importante. Uma [queda](#def-b2-planet-formation-meteorites-fall-find) é coletada em poucos dias, antes que a chuva e o oxigênio a alterem, e todos os tipos de [meteorito](#def-b2-planet-formation-meteorites-fall-find) que caem são coletados da mesma forma; um [achado](#def-b2-planet-formation-meteorites-fall-find) pode ter ficado no solo por milhares de anos, e sua chance de ser encontrado depende de sua aparência e de onde caiu. Metade de todos os [achados](#def-b2-planet-formation-meteorites-fall-find) foi feita na Antártida (quadro abaixo), onde a busca é sistemática. As [quedas](#def-b2-planet-formation-meteorites-fall-find) são a amostra mais fiel do que chega (figura abaixo): mais de quatro em cada cinco são [condritos](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule), e três em cada quatro, [condritos](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule) ordinários.

![Meteoritos por classe, em porcentagem das quedas e dos achados (escala logarítmica); HED: howarditos, eucritos e diogenitos. Dados: exportação da NASA da Meteoritical Bulletin Database da The Meteoritical Society (45\,641 meteoritos válidos).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-planet-formation-meteorites/fig-f700b0f9127f.svg)

*[Meteoritos](#def-b2-planet-formation-meteorites-fall-find) por classe, em porcentagem das [quedas](#def-b2-planet-formation-meteorites-fall-find) e dos [achados](#def-b2-planet-formation-meteorites-fall-find) (escala logarítmica); HED: howarditos, eucritos e diogenitos. Dados: exportação da NASA da Meteoritical Bulletin Database da The Meteoritical Society ($45\,641$ [meteoritos](#def-b2-planet-formation-meteorites-fall-find) válidos).*

**No campo — Em busca de meteoritos no gelo azul.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-planet-formation-meteorites/img-1f73e0b86ffa.jpg)

*Uma fileira de pesquisadores em motos de neve atravessando um campo de gelo azul abaixo de um pico rochoso (ilustração gerada por IA).*

A maior parte do manto de gelo antártico é neve branca, mas em cerca de $1\,\%$ de sua superfície, onde montanhas bloqueiam o fluxo do gelo, cerca de $5\,\mathrm{cm}$ de gelo se perdem a cada ano e o gelo azul fica exposto. Os [meteoritos](#def-b2-planet-formation-meteorites-fall-find) que caíram sobre a neve a montante, ao longo de dezenas de milhares de anos, são soterrados, transportados no gelo e trazidos de volta à superfície onde ele se consome: o gelo azul é uma armadilha. Desde que a coleta sistemática começou, em meados da década de 1970, equipes recuperaram mais de $30\,000$ espécimes desses campos, e no catálogo metade de todos os [achados](#def-b2-planet-formation-meteorites-fall-find) vem do sul de $60{}^{\circ}$ S. Os pesquisadores atravessam o gelo em fileiras, a pé ou em motos de neve, e toda pedra encontrada é coletada, por mais comum que pareça, para que a coleção não seja enviesada em favor das mais chamativas. Cada [achado](#def-b2-planet-formation-meteorites-fall-find) é fotografado onde está, para registrar seu contexto, e recebe um número de campo; mais tarde ele recebe seu nome oficial, um código de três letras para o campo de gelo seguido do ano da temporada e de um número de série. No laboratório de curadoria, as pedras são lascadas com ferramentas de aço inoxidável ou cortadas a seco com uma serra de fita; os [condritos carbonáceos](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule), que podem conter compostos orgânicos, têm um gabinete só para eles desde 1978.

### 2.4.1 Condritos

**Definição 2.9 (Condrito, condrito carbonáceo, côndrulo, CAI).**

Um *condrito* é um [meteorito](#def-b2-planet-formation-meteorites-fall-find) rochoso que nunca fundiu depois de agregado, e cuja composição, exceto pelos elementos mais voláteis, é próxima da do Sol. A maior parte dele é feita de *côndrulos*, gotículas arredondadas, de um décimo de milímetro a cerca de um centímetro de diâmetro, de rocha silicática solidificada a partir de um fundido, imersas em uma matriz de grão fino com grãos de metal ferro–níquel e sulfeto de ferro. Alguns condritos contêm *inclusões ricas em cálcio e alumínio* (CAIs), grãos brancos irregulares de minerais de cálcio, alumínio e titânio que são os primeiros condensados da nebulosa. Um *condrito carbonáceo* é um condrito rico em carbono, em minerais hidratados e em matriz, cujo teor de elementos voláteis é o mais próximo do do Sol.

Os [côndrulos](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule) ficaram fundidos por apenas minutos e esfriaram em horas ou dias: um aquecimento breve, local e súbito na nebulosa, de causa ainda desconhecida, fundiu aglomerados de poeira, que se solidificaram como gotículas antes de serem varridos, junto com poeira e metal, para um [planetesimal](#def-b2-planet-formation-meteorites-planetesimal). Eles ocupam até $90\,\%$ do volume dos [meteoritos](#def-b2-planet-formation-meteorites-fall-find) mais primitivos. As CAIs representam de menos de $1\,\%$ dos [condritos](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule) ordinários a mais de $10\,\%$ de alguns carbonáceos, e elas se formaram com no máximo cerca de cem mil anos de diferença entre si.

![Uma face cortada do condrito carbonáceo Allende (classe CV3), que caiu no norte do México em 1969: cerca de duas toneladas foram coletadas. Os grãos cinza arredondados são côndrulos; as manchas brancas irregulares são CAIs; o cimento escuro é a matriz. O campo tem alguns centímetros de largura. James St. John, CC BY 2.0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-planet-formation-meteorites/img-137647bf6c7a.jpg)

*Uma face cortada do [condrito carbonáceo](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule) Allende (classe CV3), que caiu no norte do México em 1969: cerca de duas toneladas foram coletadas. Os grãos cinza arredondados são [côndrulos](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule); as manchas brancas irregulares são CAIs; o cimento escuro é a matriz. O campo tem alguns centímetros de largura. James St. John, CC BY 2.0.*

Os [condritos](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule) se dividem em grupos que diferem no tamanho e na abundância de seus [côndrulos](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule), em seu teor de metal, no teor de ferro de sua olivina e na proporção de sua matriz (tabela abaixo). Os [condritos](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule) ordinários H, L e LL têm teores altos, baixos e muito baixos de metal e de ferro total (razões atômicas Fe/Si de $0.80$, $0.59$ e $0.53$).

|  | H | L | LL | CI | CM | CV |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| [côndrulos](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule) (vol. %) | 60–80 | 60–80 | 60–80 | $\ll 1$ | 20 | 45 |
| diâmetro médio dos [côndrulos](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule) (mm) | 0.3 | 0.7 | 0.9 | — | 0.3 | 1.0 |
| CAIs (vol. %) | 0.1–1 | 0.1–1 | 0.1–1 | $\ll 1$ | 5 | 10 |
| matriz (vol. %) | 10–15 | 10–15 | 10–15 | $> 99$ | 70 | 40 |
| metal ferro–níquel (vol. %) | 10 | 5 | 2 | 0 | 0.1 | 0–5 |
| faialita na olivina (mol %) | 16–20 | 23–26 | 27–32 |  |  |  |
| [tipos petrológicos](#def-b2-planet-formation-meteorites-type) | 3–6 | 3–6 | 3–6 | 1 | 2 | 3 |
| temperatura máxima (K) | 1220 | 1220 | 1220 | 430 | 670 | 870 |

***Table 2.2.** Propriedades dos [condritos](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule) ordinários (H, L, LL) e de três grupos de [condritos carbonáceos](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule). Faialita: o membro extremo ferroso da olivina. Dados: Gail e colaboradores (2014).*

**Definição 2.10 (Tipo petrológico).**

O *tipo petrológico* de um [condrito](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule) é um número de 1 a 6 que registra o que lhe aconteceu em seu corpo parental: o tipo 3 é o menos alterado; os tipos 4 a 6 são cada vez mais aquecidos, com [côndrulos](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule) esmaecidos e minerais recristalizados e de composição uniforme; os tipos 2 e 1 são cada vez mais alterados pela água líquida, que transformou seus minerais em argilas.

A última linha da tabela dá as temperaturas máximas atingidas por cada grupo: até cerca de $1220\,\mathrm{K}$ para os [condritos](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule) ordinários mais aquecidos, nunca mais de $430\,\mathrm{K}$ para os [condritos](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule) CI, encharcados de água, mas nunca quentes. O aquecimento, como mostra a última seção, veio do interior dos corpos parentais.

### 2.4.2 Acondritos e meteoritos ferrosos

**Definição 2.11 (Acondrito, meteorito ferroso, meteorito metalo-rochoso).**

Um *acondrito* é um [meteorito](#def-b2-planet-formation-meteorites-fall-find) rochoso que cristalizou a partir de um fundido ou recristalizou a alta temperatura em um corpo que fundiu, e por isso não tem [côndrulos](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule). Um *meteorito ferroso* é feito principalmente de metal ferro–níquel. Um *meteorito metalo-rochoso* é feito de metal e silicato em quantidades aproximadamente iguais.

Eles são os fragmentos de corpos que fundiram e se diferenciaram: os [acondritos](#def-b2-planet-formation-meteorites-classes) são suas crostas e mantos, os ferrosos, seus núcleos metálicos, e os metalo-rochosos vêm do lugar onde metal e silicato se encontravam. A maior família de [acondritos](#def-b2-planet-formation-meteorites-classes), a dos howarditos, eucritos e diogenitos (HED), basaltos e rochas ricas em piroxênio, representa $5.5\,\%$ de todas as [quedas](#def-b2-planet-formation-meteorites-fall-find). Sua fonte foi identificada, por seu espectro e sua órbita, como o asteroide Vesta, com cerca de $525\,\mathrm{km}$ de diâmetro, e a sonda Dawn, que chegou a Vesta em 2011, confirmou isso: a química e a mineralogia da superfície de Vesta correspondem às dos [meteoritos](#def-b2-planet-formation-meteorites-fall-find) HED, uma bacia de $500\,\mathrm{km}$ de largura perto de seu polo sul mostra de onde os fragmentos foram arrancados, e seu campo de gravidade indica um núcleo de ferro de cerca de $225\,\mathrm{km}$ de diâmetro. Vesta fundiu, quase ou totalmente, no início de sua história. Outros [acondritos](#def-b2-planet-formation-meteorites-classes) vêm da Lua e de Marte. Os [meteoritos](#def-b2-planet-formation-meteorites-fall-find) das coleções parecem vir de cerca de cem corpos parentais diferentes.

Os [meteoritos ferrosos](#def-b2-planet-formation-meteorites-classes) guardam o registro de como seus núcleos esfriaram. Uma face cortada e atacada por ácido mostra um entrecruzado de placas (figura abaixo): a alta temperatura, o metal é uma única liga de ferro e níquel; com o resfriamento lento, uma liga pobre em níquel cresce em placas ao longo dos planos do cristal original, e quanto mais lento o resfriamento, mais largas as placas. Medidas em muitos [meteoritos ferrosos](#def-b2-planet-formation-meteorites-classes), as larguras das placas dão as taxas de resfriamento dos núcleos de onde eles vieram.

![A face cortada, polida e atacada por ácido de um fragmento do meteorito ferroso Gibeon, encontrado na Namíbia: o entrecruzado de placas de liga ferro–níquel (o padrão de Widmanstätten) cresceu enquanto o núcleo metálico de seu corpo parental esfriava lentamente. James St. John, CC BY 2.0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-planet-formation-meteorites/img-10215cbec286.jpg)

*A face cortada, polida e atacada por ácido de um fragmento do [meteorito ferroso](#def-b2-planet-formation-meteorites-classes) Gibeon, encontrado na Namíbia: o entrecruzado de placas de liga ferro–níquel (o padrão de Widmanstätten) cresceu enquanto o núcleo metálico de seu corpo parental esfriava lentamente. James St. John, CC BY 2.0.*

## 2.5 Datando o Sistema Solar

A idade do Sistema Solar é a idade de seus sólidos mais antigos. As isócronas urânio–chumbo das CAIs, construídas como no volume do primeiro ano, dão $4567\text{ a }4568\,\mathrm{Ma}$; as CAIs se formaram com no máximo cerca de $0.1\,\mathrm{Myr}$ de diferença entre si, um tempo curto o bastante para que sua idade seja tomada como o nascimento do Sol. Os acontecimentos dos poucos milhões de anos seguintes, a formação dos [côndrulos](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule) e a agregação e a fusão dos primeiros corpos, são mais bem datados em relação às CAIs, com relógios que corriam depressa e pararam cedo.

**Definição 2.12 (Radionuclídeo de vida curta).**

Um *radionuclídeo de vida curta* é um nuclídeo radioativo com meia-vida de aproximadamente $0.1$ a $100\,\mathrm{Myr}$, presente quando o Sistema Solar se formou e hoje extinto, cuja presença passada é revelada por um excesso de seu filho em minerais que eram ricos em seu elemento.

O mais conhecido é o alumínio-26, que decai em magnésio-26 com meia-vida de $0.717\,\mathrm{Myr}$ (vida média de $1.035\,\mathrm{Myr}$). Quando as CAIs se formaram, um átomo de alumínio em cerca de $19\,000$ era alumínio-26: a razão $\ce{^{26}Al}/\ce{^{27}Al}$ era $(5.23 \pm 0.13)\times10^{-5}$, o valor *canônico*. Outros nuclídeos de vida curta cobrem intervalos mais longos (tabela abaixo).

| nuclídeo | filho | referência | meia-vida (Myr) | razão inicial |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $\ce{^{26}Al}$ | $\ce{^{26}Mg}$ | $\ce{^{27}Al}$ | 0.717 | $5.23\times10^{-5}$ |
| $\ce{^{60}Fe}$ | $\ce{^{60}Ni}$ | $\ce{^{56}Fe}$ | 2.62 | $1.0\times10^{-8}$ |
| $\ce{^{53}Mn}$ | $\ce{^{53}Cr}$ | $\ce{^{55}Mn}$ | 3.74 | $7\times10^{-6}$ |
| $\ce{^{107}Pd}$ | $\ce{^{107}Ag}$ | $\ce{^{108}Pd}$ | 6.5 | $6.6\times10^{-5}$ |
| $\ce{^{182}Hf}$ | $\ce{^{182}W}$ | $\ce{^{180}Hf}$ | 8.90 | $1.02\times10^{-4}$ |
| $\ce{^{129}I}$ | $\ce{^{129}Xe}$ | $\ce{^{127}I}$ | 15.7 | $1.28\times10^{-4}$ |

***Table 2.3.** Alguns [radionuclídeos de vida curta](#def-b2-planet-formation-meteorites-slr) do Sistema Solar primitivo, seu filho estável, o isótopo estável do mesmo elemento usado como referência, sua meia-vida e sua razão em relação à referência quando as CAIs se formaram. Dados: Lugaro e colaboradores (2018).*

**Proposição 2.13 (Idade relativa a partir de um nuclídeo extinto).**

Se a razão entre um nuclídeo de vida curta e seu isótopo de referência era $R_0$ em toda parte quando as CAIs se formaram, e se constata que ela era $R$ em um objeto quando ele se formou, o objeto se formou

$$
\Delta t = \tau \ln\frac{R_0}{R}
$$

depois das CAIs, em que $\tau$ é a vida média do nuclídeo. Um erro $\delta R$ em $R$ dá o erro $\tau\,\delta R/R$ em $\Delta t$.

**Demonstração.** O isótopo de referência é estável, de modo que a razão decai como o próprio nuclídeo radioativo: $R = R_0 e^{-\Delta t/\tau}$. Tomando logaritmos, $\Delta t = \tau\ln(R_0/R)$. Diferenciando, $\mathrm d(\Delta t) =
-\tau\,\mathrm dR/R$. ∎

Um erro relativo de $10\,\%$ na razão custa, assim, $0.1\,\mathrm{Myr}$ com o alumínio-26, mas $0.54\,\mathrm{Myr}$ com o manganês-53 e $1.3\,\mathrm{Myr}$ com o háfnio-182: cada relógio só é preciso ao longo de algumas de suas próprias vidas médias, e o relógio certo depende do acontecimento. A razão $R$ em um objeto é lida em seus minerais.

**Proposição 2.14 (Isócrona alumínio–magnésio).**

Sejam vários minerais de um mesmo objeto formados juntos no instante $\Delta t$ com a mesma composição isotópica do magnésio, $(\ce{^{26}Mg}/\ce{^{24}Mg})_0$, mas razões $\ce{^{27}Al}/\ce{^{24}Mg}$ diferentes, e fechados desde então. Hoje eles ficam sobre a reta

$$
\frac{\ce{^{26}Mg}}{\ce{^{24}Mg}}
  = \left(\frac{\ce{^{26}Mg}}{\ce{^{24}Mg}}\right)_0
  + R\,\frac{\ce{^{27}Al}}{\ce{^{24}Mg}},
$$

cuja inclinação é a razão $R = \ce{^{26}Al}/\ce{^{27}Al}$ do objeto quando ele se formou.

**Demonstração.** Todo átomo de alumínio-26 presente na formação tornou-se desde então um átomo de magnésio-26, de modo que um mineral ganhou $\ce{^{26}Al}_{\text{inicial}} = R\,\ce{^{27}Al}$ átomos de magnésio-26, sendo o alumínio-27 estável. Dividir pelo número de átomos de magnésio-24, que não muda, dá a reta. ∎

Os minerais ricos em alumínio e pobres em magnésio, como o plagioclásio, mostram grandes excessos de magnésio-26; a olivina, quase sem alumínio, não mostra nenhum. Foi assim que se construiu a sequência temporal do Sistema Solar primitivo: primeiro as CAIs; os [côndrulos](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule) ao longo dos poucos milhões de anos seguintes, com os indícios dos [côndrulos](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule) fixando a duração de vida do disco de gás em menos de cinco milhões de anos; os corpos parentais dos [condritos](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule) agregados depois de seus [côndrulos](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule) mais jovens. Os diogenitos, rochas do manto de Vesta, começaram a cristalizar cerca de um milhão de anos depois das CAIs, e o núcleo de Vesta se formou entre o primeiro e o quarto milhão de anos: os [meteoritos ferrosos](#def-b2-planet-formation-meteorites-classes) e os [acondritos](#def-b2-planet-formation-meteorites-classes) são mais velhos que muitos [condritos](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule).

## 2.6 O calor do alumínio-26 e as primeiras fusões

De onde veio o calor que fundiu Vesta e metamorfizou os [condritos](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule) ordinários? Modelos e [meteoritos](#def-b2-planet-formation-meteorites-fall-find) concordam que, nos corpos mais antigos, a fonte dominante foi o decaimento do alumínio-26. Em uma rocha de composição condrítica, ele trazia, no início, $5\,\mathrm{MJ}$ por quilograma prontos para serem liberados em poucos milhões de anos: o suficiente para aquecer a rocha em milhares de kelvins, se o calor não pudesse escapar.

**Proposição 2.15 (Aquecimento de um planetesimal pelo alumínio-26).**

Uma rocha que recebe a potência radioativa $H_0 e^{-t/\tau}$ por quilograma, que tem a capacidade térmica específica $c$ e não perde calor, aquece-se depois de sua acreção no instante $t_a$ segundo

$$
T(t) = T_0 + \frac{H_0\tau}{c}\left(e^{-t_a/\tau} - e^{-t/\tau}\right),
$$

e tende para a temperatura máxima $T_{\max} = T_0 + (H_0\tau/c)\,e^{-t_a/\tau}$. Uma temperatura crítica $T_c > T_0$ só é atingida se o corpo se agregou antes de

$$
t_a^* = \tau\ln\frac{H_0\tau}{c\,(T_c - T_0)}.
$$

**Demonstração.** Sem perdas, $c\,\mathrm dT/\mathrm dt = H_0 e^{-t/\tau}$. Integrar a partir de $t_a$, em que $T = T_0$, dá $c\,(T - T_0) = H_0\tau\,(e^{-t_a/\tau} - e^{-t/\tau})$, que tende para $H_0\tau e^{-t_a/\tau}$ quando $t \to \infty$. Fazer $T_{\max} = T_c$ e resolver para $t_a$ dá $t_a^*$; para uma acreção mais precoce, o máximo é mais alto. ∎

Um modelo do corpo parental dos [condritos](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule) ordinários usa $H_0 = 1.9 \times 10^{-7}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$, $c = 837\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ e $T_0 = 250\,\mathrm{K}$. Então $H_0\tau/c$ vale cerca de $7400\,\mathrm{K}$. Três temperaturas importam: perto de $750\,\mathrm{K}$, a rocha porosa começa a sinterizar e se torna compacta; perto de $1200\,\mathrm{K}$, o metal e o sulfeto de ferro começam a fundir juntos; perto de $1700\,\mathrm{K}$, os últimos silicatos fundem. Um corpo que se agregou antes de $1.7\,\mathrm{Myr}$ fundiu inteiramente; antes de $2.1\,\mathrm{Myr}$, seu metal e seu sulfeto fundiram e puderam afundar formando um núcleo; até cerca de $2.8\,\mathrm{Myr}$, ele foi pelo menos sinterizado e metamorfizado; os corpos posteriores permaneceram frios (figura abaixo).

![Aquecimento pelo alumínio-26 do interior de um corpo condrítico sem perda de calor (a proposição acima; H_0 = 1.9 × 10-7\, W\, kg-1, c = 837\, J\, kg-1\, K-1, T_0 = 250\, K, = 1.035\, Myr). À esquerda: temperatura em função do tempo para corpos agregados 1.5, 2, 2.5 e 3\, Myr depois das CAIs. À direita: temperatura máxima em função do tempo de acreção; os corpos agregados antes de 1.7\, Myr fundiram, e, antes de 2.1\, Myr, seu metal e seu sulfeto fundiram. Os corpos reais gastam parte do calor na fusão, o que limita a temperatura, e perdem calor perto da superfície. Valores do modelo: Gail e colaboradores (2014).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-planet-formation-meteorites/fig-fc3c545173a9.svg)

*Aquecimento pelo alumínio-26 do interior de um corpo condrítico sem perda de calor (a proposição acima; $H_0 = 1.9 \times 10^{-7}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$, $c = 837\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $T_0 = 250\,\mathrm{K}$, $\tau = 1.035\,\mathrm{Myr}$). À esquerda: temperatura em função do tempo para corpos agregados 1.5, 2, 2.5 e $3\,\mathrm{Myr}$ depois das CAIs. À direita: temperatura máxima em função do tempo de acreção; os corpos agregados antes de $1.7\,\mathrm{Myr}$ fundiram, e, antes de $2.1\,\mathrm{Myr}$, seu metal e seu sulfeto fundiram. Os corpos reais gastam parte do calor na fusão, o que limita a temperatura, e perdem calor perto da superfície. Valores do modelo: Gail e colaboradores (2014).*

A proposição ignora a perda de calor, o que só é válido no interior profundo de um corpo grande. O calor se difunde na distância $\sqrt{\kappa t}$ no tempo $t$, em que $\kappa$ é a difusividade térmica da rocha: com os valores do modelo, cerca de $5\,\mathrm{km}$ em uma vida média do alumínio-26 ([Exercício 2.12](#exo-b2-planet-formation-meteorites-12)). Os corpos muito menores que isso perdem seu calor tão depressa quanto o produzem; modelos detalhados mostram que corpos de mais de $10\text{ a }20\,\mathrm{km}$ de diâmetro podiam fundir.

**Definição 2.16 (Diferenciação planetária).**

A *diferenciação planetária* é a separação de um corpo, depois de fundido total ou parcialmente, em camadas de composição e densidade diferentes: um núcleo metálico, um manto silicático e uma crosta feita dos últimos fundidos.

Os [meteoritos](#def-b2-planet-formation-meteorites-fall-find) registram, assim, dois tipos de corpos primitivos. Os que se formaram nos primeiros dois milhões de anos, aproximadamente, tinham alumínio-26 suficiente para fundir e se diferenciar: seus núcleos são os [meteoritos ferrosos](#def-b2-planet-formation-meteorites-classes), suas crostas e mantos, os [acondritos](#def-b2-planet-formation-meteorites-classes), e Vesta é o sobrevivente. Os que se formaram mais tarde permaneceram [condritos](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule), aquecidos por dentro em um grau fixado por sua data de nascimento e pela profundidade de cada fragmento: os mais profundos tornaram-se tipo 6, os mais rasos permaneceram tipo 3. A própria Terra, construída a partir de embriões e [planetesimais](#def-b2-planet-formation-meteorites-planetesimal) dos dois tipos e atingida por impactos gigantes, diferenciou-se em núcleo, manto e crosta.

## 2.7 Exercícios

**Exercício 2.1 ★.**

Na [nebulosa solar](#def-b2-planet-formation-meteorites-nebula) de massa mínima, calcule a densidade superficial do gás a $1\,\mathrm{au}$ e a $5.2\,\mathrm{au}$, e a densidade superficial dos sólidos a $1\,\mathrm{au}$ (só rocha, $Z_{\mathrm{rel}} = 0.33$) e a $5.2\,\mathrm{au}$ (todos os gelos condensados, $Z_{\mathrm{rel}} = 1$). Quantas vezes mais pesado que os sólidos é o gás a $5.2\,\mathrm{au}$?

**Solução de Exercício 2.1.**

Gás: $2200\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$ a $1\,\mathrm{au}$; a $5.2\,\mathrm{au}$, $2200\times5.2^{-3/2} = 2200/11.86 = 186\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$. Sólidos: $33\times0.33 = 10.9\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$ a $1\,\mathrm{au}$; $33/11.86 = 2.78\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$ a $5.2\,\mathrm{au}$. A $5.2\,\mathrm{au}$, o gás é $186/2.78 = 67$ vezes mais pesado que os sólidos.

**Exercício 2.2 ★.**

Usando a figura das [temperaturas de condensação](#def-b2-planet-formation-meteorites-condensation), ordene o alumínio, o sódio, o magnésio, o ferro, o enxofre e o oxigênio (como gelo de água) do primeiro a se condensar ao último, e dê o grupo de volatilidade de cada um. Quais deles você esperaria encontrar enriquecidos nas CAIs, e quais empobrecidos na Terra em comparação com o Sol?

**Solução de Exercício 2.2.**

Alumínio ($1653\,\mathrm{K}$, ultrarrefratário), magnésio ($1336\,\mathrm{K}$, comum), ferro ($1334\,\mathrm{K}$, comum), sódio ($958\,\mathrm{K}$, moderadamente volátil), enxofre ($664\,\mathrm{K}$, volátil), oxigênio como gelo de água ($180\,\mathrm{K}$, altamente volátil). As CAIs, os primeiros condensados, são enriquecidas em alumínio (e em cálcio e titânio); a Terra é empobrecida nos voláteis, sódio, enxofre e água, em relação ao magnésio e ao alumínio.

**Exercício 2.3 ★.**

O catálogo lista $1107$ [quedas](#def-b2-planet-formation-meteorites-fall-find), das quais 856 são [condritos](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule) ordinários e 49 ferrosos, e $44\,534$ [achados](#def-b2-planet-formation-meteorites-fall-find), dos quais $38\,647$ são [condritos](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule) ordinários, $1020$ ferrosos e $22\,096$ vêm do sul de $60{}^{\circ}$ S. Calcule a parcela de [condritos](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule) ordinários e de ferrosos entre as [quedas](#def-b2-planet-formation-meteorites-fall-find) e entre os [achados](#def-b2-planet-formation-meteorites-fall-find), e a parcela de [achados](#def-b2-planet-formation-meteorites-fall-find) antárticos. Que amostra você usaria para estimar as proporções em que as classes chegam à Terra, e por quê?

**Solução de Exercício 2.3.**

[Quedas](#def-b2-planet-formation-meteorites-fall-find): [condritos](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule) ordinários $856/1107 = 77.3\,\%$, ferrosos $49/1107 = 4.4\,\%$. [Achados](#def-b2-planet-formation-meteorites-fall-find): $38647/44534 = 86.8\,\%$ e $1020/44534 = 2.3\,\%$. [Achados](#def-b2-planet-formation-meteorites-fall-find) antárticos: $22096/44534 =
49.6\,\%$. As [quedas](#def-b2-planet-formation-meteorites-fall-find): toda [queda](#def-b2-planet-formation-meteorites-fall-find) observada é coletada, qualquer que seja sua classe, ao passo que um [achado](#def-b2-planet-formation-meteorites-fall-find) depende de quão bem o [meteorito](#def-b2-planet-formation-meteorites-fall-find) sobrevive no solo, de sua aparência e de onde as pessoas procuram, e metade dos [achados](#def-b2-planet-formation-meteorites-fall-find) vem de um único tipo de lugar.

**Exercício 2.4 ★.**

Os minerais de um objeto dão a razão inicial $\ce{^{26}Al}/\ce{^{27}Al} = 1.0 \times 10^{-5}$. Quanto tempo depois das CAIs ele se formou? Tome $R_0 = 5.23 \times 10^{-5}$ e uma vida média de $1.035\,\mathrm{Myr}$.

**Solução de Exercício 2.4.**

$\Delta t = 1.035\ln(5.23 \times 10^{-5}/1.0 \times 10^{-5}) = 1.035\ln 5.23 =
1.035\times1.654 = 1.71\,\mathrm{Myr}$ depois das CAIs.

**Exercício 2.5 ★★.**

Usando a [Proposição 2.2](#prop-b2-planet-formation-meteorites-disc-mass) com $\Sigma_1 = 2.2 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$ a $1\,\mathrm{au}$ ($1\,\mathrm{au}$ $=
1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$, $M_\odot = 1.989 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$), calcule a massa da nebulosa de massa mínima dentro de $30\,\mathrm{au}$ e dentro de $100\,\mathrm{au}$, em massas solares. Compare com os discos observados, $0.001\text{ a }0.1$ massa solar.

**Solução de Exercício 2.5.**

$4\pi\Sigma_1 r_1^2 = 4\pi\times2.2 \times 10^{4}\times(1.496 \times 10^{11})^2 =
6.19 \times 10^{27}\,\mathrm{kg}$. Dentro de $30\,\mathrm{au}$: $\times\sqrt{30} = 5.48$, portanto $3.39 \times 10^{28}\,\mathrm{kg}$ $= 0.017$ massa solar; dentro de $100\,\mathrm{au}$: $\times10$, $6.19 \times 10^{28}\,\mathrm{kg}$ $= 0.031$ massa solar. Ambas ficam dentro da faixa observada, mais perto de seu limite superior: a nebulosa era um disco comum.

**Exercício 2.6 ★★.**

No disco passivo $T = 120\,\mathrm{K}\,(r/1\,\mathrm{au})^{-3/7}$, determine onde o gelo de água ($182\,\mathrm{K}$) e o gelo de metano ($41\,\mathrm{K}$) se tornam estáveis. Um grão iluminado diretamente pelo Sol atinge $182\,\mathrm{K}$ a $2.3\,\mathrm{au}$. Por que as duas estimativas da [linha de neve](#def-b2-planet-formation-meteorites-snow-line) diferem, e qual delas se aplica aos corpos que construíram os planetas?

**Solução de Exercício 2.6.**

$r = (120/T)^{7/3}$ au: para a água, $(120/182)^{7/3} = 0.659^{7/3} =
0.38\,\mathrm{au}$; para o metano, $(120/41)^{7/3} = 2.93^{7/3} = 12.3\,\mathrm{au}$. O grão iluminado diretamente pelo Sol é a camada superficial do disco; o plano médio, protegido pela poeira acima dele, é mais frio, de modo que o gelo sobrevive mais perto. Os [planetesimais](#def-b2-planet-formation-meteorites-planetesimal) se formaram no plano médio, portanto vale a estimativa do plano médio, desde que o disco seja passivo; o aquecimento por acreção desloca a [linha de neve](#def-b2-planet-formation-meteorites-snow-line) para fora.

**Exercício 2.7 ★★.**

Calcule a massa de isolamento, com $b = 5$, de um embrião a $1\,\mathrm{au}$ na nebulosa de massa mínima ($\Sigma_p = 10.9\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$), e a $5.2\,\mathrm{au}$, além da [linha de neve](#def-b2-planet-formation-meteorites-snow-line) ($\Sigma_p = 2.78\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$), em massas terrestres ($M_\oplus = 5.972 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, $M_\odot = 1.989 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$). Em quanto ela se transforma a $5.2\,\mathrm{au}$ em um disco com $3.5$ vezes mais sólidos?

**Solução de Exercício 2.7.**

A $1\,\mathrm{au}$: $r^2 = 2.238 \times 10^{22}$, $\Sigma_p = 109\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$, portanto $2\pi b r^2\Sigma_p = 31.42\times2.238 \times 10^{22}\times109 = 7.66 \times 10^{25}$; $(7.66 \times 10^{25})^{3/2} = 6.71 \times 10^{38}$, dividido por $(3\times1.989 \times 10^{30})^{1/2} = 2.443 \times 10^{15}$: $2.75 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$ $= 0.046$ massa terrestre. A $5.2\,\mathrm{au}$: $r^2 = 6.05 \times 10^{23}$, $\Sigma_p = 27.8\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$, $2\pi b r^2\Sigma_p = 5.29 \times 10^{26}$, $M = 1.22 \times 10^{40}/2.443 \times 10^{15} = 4.98 \times 10^{24}\,\mathrm{kg} = 0.83$ massa terrestre. Com $3.5$ vezes mais sólidos, $M$ cresce como $3.5^{3/2} = 6.55$: 5.5 massas terrestres.

**Exercício 2.8 ★★.**

Uma rocha de composição CI continha $1.01 \times 10^{16}$ átomos de alumínio-26 por grama quando as CAIs se formaram, e cada decaimento deixa $5.00 \times 10^{-13}\,\mathrm{J}$ de calor. Calcule o calor liberado por quilograma ao longo de todo o decaimento, e o aumento de temperatura que ele daria com $c = 837\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ e sem perdas. Quantas vezes maior ele é que o calor necessário para aquecer a rocha de $250$ a $1700\,\mathrm{K}$?

**Solução de Exercício 2.8.**

Por quilograma, $1.01 \times 10^{19}$ átomos, portanto $1.01 \times 10^{19}\times5.00 \times 10^{-13} = 5.05 \times 10^{6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$. O aumento de temperatura seria $5.05 \times 10^{6}/837 = 6030\,\mathrm{K}$. Aquecer de $250$ a $1700\,\mathrm{K}$ exige $837\times1450 = 1.21 \times 10^{6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$: o alumínio-26 fornecia cerca de quatro vezes isso.

**Exercício 2.9 ★★.**

Ao longo de todo o seu decaimento, o alumínio-26 libera $5.07 \times 10^{10}\,\mathrm{erg}$ por grama de rocha CI, e o ferro-60, $7.49 \times 10^{7}\,\mathrm{erg}$ por grama. Calcule a razão entre as duas energias. A meia-vida do ferro-60 é $2.62\,\mathrm{Myr}$: calcule sua vida média e a razão entre as duas potências de aquecimento iniciais, energia dividida pela vida média.

**Solução de Exercício 2.9.**

$5.07 \times 10^{10}/7.49 \times 10^{7} = 677$. A vida média do ferro-60 é $2.62/\ln2 = 3.78\,\mathrm{Myr}$. Potências iniciais por grama: $5.07 \times 10^{10}/1.035 = 4.90 \times 10^{10}$ e $7.49 \times 10^{7}/3.78 = 1.98 \times 10^{7}$ erg por grama por milhão de anos, uma razão de cerca de $2470$: o alumínio-26 dominava de longe.

**Exercício 2.10 ★★★.**

Com os resultados do [Exercício 2.9](#exo-b2-planet-formation-meteorites-9), determine o instante a partir do qual o ferro-60 aquece a rocha mais depressa que o alumínio-26. O ferro-60 poderia ter fundido um corpo agregado tão tarde? (Compare a energia que ele ainda tem a liberar nesse momento com os $1.2 \times 10^{6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$ necessários para aquecer a rocha de $250$ a $1700\,\mathrm{K}$.)

**Solução de Exercício 2.10.**

As potências são iguais quando $4.90 \times 10^{10}\,e^{-t/1.035} = 1.98 \times 10^{7}\,e^{-t/3.78}$, isto é, $t(1/1.035 - 1/3.78) = \ln(4.90 \times 10^{10}/1.98 \times 10^{7}) = \ln 2475 = 7.81$; com $0.966 - 0.265 = 0.702$ por milhão de anos, $t = 11.1\,\mathrm{Myr}$. Nesse momento, o ferro-60 tem ainda $7.49 \times 10^{7}\,e^{-11.1/3.78} = 7.49 \times 10^{7}\times0.053 =
4.0 \times 10^{6}\,\mathrm{erg}\,\mathrm{g}^{-1}$ a liberar, isto é, $400\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$: milhares de vezes menos do que o necessário para fundir qualquer coisa.

**Exercício 2.11 ★★★.**

Com $H_0 = 1.9 \times 10^{-7}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$, $\tau = 1.035\,\mathrm{Myr}$, $c = 837\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ e $T_0 = 250\,\mathrm{K}$ (um ano de $3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$), calcule os instantes de acreção mais tardios para os quais o centro de um corpo grande atinge $1200\,\mathrm{K}$ e $1700\,\mathrm{K}$. Algumas medidas sugerem que o alumínio-26 inicial era só metade do valor canônico em partes do disco: de quanto se deslocariam os dois instantes? Mostre que o deslocamento não depende da temperatura crítica.

**Solução de Exercício 2.11.**

$\tau = 1.035\times3.156 \times 10^{13} = 3.267 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$ e $H_0\tau = 6.21 \times 10^{6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$. Para $1200\,\mathrm{K}$: $t_a^* = 1.035\ln\bigl(6.21 \times 10^{6}/(837\times950)\bigr) = 1.035\ln7.81 =
2.13\,\mathrm{Myr}$; para $1700\,\mathrm{K}$: $1.035\ln\bigl(6.21 \times 10^{6}/(837\times1450)\bigr)
= 1.035\ln5.12 = 1.69\,\mathrm{Myr}$. Reduzir $H_0$ à metade subtrai $\tau\ln2 =
0.72\,\mathrm{Myr}$ dos dois, pois $t_a^* = \tau\ln H_0 + \tau\ln(\tau/c(T_c -
T_0))$ e só o primeiro termo muda: o deslocamento é uma meia-vida, qualquer que seja a temperatura crítica.

**Exercício 2.12 ★★★.**

Uma rocha de condutividade $2.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, densidade $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ e capacidade térmica específica $837\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ tem a difusividade térmica $\kappa = k/(\rho c)$. Calcule-a, e a distância $\sqrt{\kappa\tau}$ na qual o calor se difunde em uma vida média do alumínio-26. Explique por que a proposição do aquecimento se aplica ao centro de um corpo de $100\,\mathrm{km}$ de diâmetro, mas não a um corpo de $2\,\mathrm{km}$ de diâmetro, e compare com os menores corpos que podiam fundir, de $10\text{ a }20\,\mathrm{km}$ de diâmetro.

**Solução de Exercício 2.12.**

$\kappa = 2.1/(3300\times837) = 7.60 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ e $\sqrt{\kappa\tau} = \sqrt{7.60 \times 10^{-7}\times3.267 \times 10^{13}} = 4980\,\mathrm{m}$, cerca de $5\,\mathrm{km}$. O centro de um corpo de $100\,\mathrm{km}$ de diâmetro está a $50\,\mathrm{km}$ de profundidade, dez vezes essa distância: seu calor não consegue escapar enquanto o alumínio-26 decai, e a proposição se aplica. Um corpo de $2\,\mathrm{km}$ de diâmetro perde seu calor tão depressa quanto o produz. A fusão exige um raio de algumas vezes $5\,\mathrm{km}$, isto é, um diâmetro de uns $10\text{ a }20\,\mathrm{km}$ ou mais, como encontram os modelos.

## 2.8 Problema: a pedra que caiu no lago gelado

**Problema 2.1.**

Problema de fim de semana — classificar uma pedra recém-caída, datar seus côndrulos com o alumínio-26 e descobrir quão quente seu corpo parental ficou

Em uma noite de inverno, uma bola de fogo cruza o céu acima de um lago setentrional inventado, e ouve-se um estrondo. Na manhã seguinte, uma pedra de crosta negra de $2.4\,\mathrm{kg}$ é recolhida no gelo, no meio de uma cratera recente na neve. A pedra cortada mostra [côndrulos](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule) que ocupam $75\,\%$ de seu volume, de $0.3\,\mathrm{mm}$ de diâmetro em média, com bordas esmaecidas; o metal ocupa $9\,\%$ de seu volume, e sua olivina contém 18 por cento molares de faialita. Um laboratório analisa um [côndrulo](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule) (tabela abaixo). Use as tabelas do capítulo, $R_0 = 5.23 \times 10^{-5}$, $\tau = 1.035\,\mathrm{Myr}$, um ano de $3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, $H_0 = 1.9 \times 10^{-7}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$, $c = 837\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $T_0 = 250\,\mathrm{K}$, uma condutividade de $2.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, uma densidade de $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $1\,\mathrm{au}$ $= 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$, $M_\odot = 1.989 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ e $M_\oplus = 5.972 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$.

| mineral | $\ce{^{27}Al}/\ce{^{24}Mg}$ | $\ce{^{26}Mg}/\ce{^{24}Mg}$ |
| --- | --- | --- |
| olivina | 0.05 | $0.139\,500$ |
| vidro | 3.00 | $0.139\,518$ |
| plagioclásio | 15.0 | $0.139\,590$ |

**Parte I — A pedra.**

1. A pedra é uma [queda](#def-b2-planet-formation-meteorites-fall-find) ou um [achado](#def-b2-planet-formation-meteorites-fall-find) ? Por que isso a torna valiosa?
2. Das $1107$ [quedas](#def-b2-planet-formation-meteorites-fall-find) do catálogo, 856 são [condritos](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule) ordinários. Qual é a probabilidade de que uma [queda](#def-b2-planet-formation-meteorites-fall-find) , tomada ao acaso, seja um deles?
3. Usando a tabela dos grupos de [condritos](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule) , diga a que grupo a pedra pertence.
4. Seus [côndrulos](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule) têm bordas esmaecidas e seus minerais são de composição uniforme. Que [tipos petrológicos](#def-b2-planet-formation-meteorites-type) isso sugere, e qual é a temperatura máxima que seu grupo atingiu, em kelvins e em graus Celsius?
5. Por que você esperaria poucas CAIs nela, e por que a pedra é, ainda assim, mais jovem que qualquer CAI?

**Parte II — Quando o côndrulo se formou?**

6. Explique por que a razão $\ce{^{26}Mg}/\ce{^{24}Mg}$ aumenta com $\ce{^{27}Al}/\ce{^{24}Mg}$ de um mineral para outro.
7. A partir da olivina e do plagioclásio, calcule a inclinação da isócrona. O que ela mede?
8. Verifique que o vidro fica sobre a mesma reta.
9. Quanto tempo depois das CAIs o [côndrulo](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule) se formou?
10. Tomando para as CAIs a idade de $4567.5\,\mathrm{Ma}$ , dê a idade do [côndrulo](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule) .
11. Qual teria sido a razão $\ce{^{26}Al}/\ce{^{27}Al}$ em um mineral formado $10\,\mathrm{Myr}$ depois das CAIs? Que nuclídeo da tabela dataria melhor um tal acontecimento?

**Parte III — O aquecimento do corpo parental.** O corpo parental da pedra, de $20\,\mathrm{km}$ de raio, agregou-se $2.4\,\mathrm{Myr}$ depois das CAIs, pouco depois de seus [côndrulos](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule).

12. Calcule a difusividade térmica da rocha e o tempo $R^2/\kappa$ que o calor leva para escapar do centro, em milhões de anos. Pode-se considerar que o centro não perde calor?
13. Calcule a potência de aquecimento do alumínio-26 por quilograma de rocha no instante da agregação.
14. Calcule o calor ainda por liberar por quilograma depois da agregação.
15. Calcule o aumento de temperatura e a temperatura máxima no centro.
16. Compare com as três temperaturas críticas do capítulo. O centro fundiu? Isso é coerente com a pergunta 4?
17. Qual é o instante de agregação mais tardio para o qual o metal e o sulfeto do centro teriam começado a fundir?
18. Quanto tempo depois da agregação se atinge $90\,\%$ do aumento de temperatura? Dê a data em relação às CAIs.

**Parte IV — Os vizinhos.**

19. Um [acondrito](#def-b2-planet-formation-meteorites-classes) vem de um corpo que se agregou $0.8\,\mathrm{Myr}$ depois das CAIs. Calcule a temperatura máxima que a proposição daria, e diga o que realmente aconteceu com o corpo.
20. Quantas vezes mais alumínio-26 por quilograma esse corpo tinha em sua agregação do que o corpo parental da pedra?
21. A pedra é mais pobre que o Sol em zinco e chumbo, mas não em magnésio nem em alumínio. Use as [temperaturas de condensação](#def-b2-planet-formation-meteorites-condensation) para explicar por quê.
22. Na nebulosa de massa mínima, calcule a densidade superficial da rocha ( $Z_{\mathrm{rel}} = 0.33$ ) a $2.5\,\mathrm{au}$ , onde o corpo parental orbitava.
23. Calcule a massa de isolamento a $2.5\,\mathrm{au}$ , com $b = 5$ , em quilogramas e em massas terrestres, e compare-a com a massa do corpo parental.
24. Indique a temperatura máxima do centro do corpo parental, o número-chave deste problema, em graus Celsius.

**Solução de Problema 2.1.**

**1.** Uma [queda](#def-b2-planet-formation-meteorites-fall-find): sua chegada foi vista e ela foi recolhida na manhã seguinte. Ela não está alterada pelo intemperismo e se soma à amostra não enviesada do que chega à Terra.

**2.** $856/1107 = 0.77$: cerca de três chances em quatro.

**3.** [Côndrulos](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule) de $0.3\,\mathrm{mm}$ de diâmetro, $9\,\%$ de metal e olivina com $18\,\%$ de faialita: um [condrito](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule) H ($10\,\%$ de metal, Fa 16–20).

**4.** [Côndrulos](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule) esmaecidos e minerais uniformes indicam metamorfismo térmico: tipos 5 a 6. Os [condritos](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule) ordinários atingiram no máximo cerca de $1220\,\mathrm{K}$, isto é, $947{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**5.** Os [condritos](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule) ordinários contêm apenas $0.1\text{ a }1\,\%$ de CAIs em volume. A pedra é feita de [côndrulos](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule) e matriz agregados depois das CAIs, que são os sólidos mais antigos: toda rocha que os contém é mais jovem.

**6.** Cada mineral recebeu na formação o mesmo magnésio mais alumínio-26 em proporção ao seu alumínio; desde então, o alumínio-26 transformou-se em magnésio-26, de modo que, quanto mais alumínio por magnésio um mineral tinha, mais magnésio-26 ele ganhou.

**7.** $(0.139590 - 0.139500)/(15.0 - 0.05) = 0.000\,090/14.95 =
6.02 \times 10^{-6}$: a razão $\ce{^{26}Al}/\ce{^{27}Al}$ do [côndrulo](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule) quando ele se formou.

**8.** $0.139500 + 6.02 \times 10^{-6}\times3.00 = 0.139518$: sobre a reta.

**9.** $\Delta t = 1.035\ln(5.23 \times 10^{-5}/6.02 \times 10^{-6}) = 1.035\ln8.69 =
1.035\times2.162 = 2.24\,\mathrm{Myr}$.

**10.** $4567.5 - 2.2 = 4565.3\,\mathrm{Ma}$.

**11.** $5.23 \times 10^{-5}\,e^{-10/1.035} = 5.23 \times 10^{-5}\times6.4 \times 10^{-5} =
3.3 \times 10^{-9}$, magnésio-26 pouco demais para ser medido. O háfnio-182 (meia-vida de $8.9\,\mathrm{Myr}$) ou o manganês-53 ($3.7\,\mathrm{Myr}$) convêm a acontecimentos ocorridos uns dez milhões de anos depois das CAIs.

**12.** $\kappa = 2.1/(3300\times837) = 7.60 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$; $R^2/\kappa = 4 \times 10^{8}/7.60 \times 10^{-7} = 5.26 \times 10^{14}\,\mathrm{s} = 16.7\,\mathrm{Myr}$, dezesseis vezes a vida média do alumínio-26: o centro conserva seu calor.

**13.** $1.9 \times 10^{-7}\,e^{-2.4/1.035} = 1.9 \times 10^{-7}\times0.0984 =
1.87 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$.

**14.** $1.87 \times 10^{-8}\times3.267 \times 10^{13} = 6.11 \times 10^{5}\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$.

**15.** $\Delta T = 6.11 \times 10^{5}/837 = 730\,\mathrm{K}$; máximo de $250 + 730 = 980\,\mathrm{K}$.

**16.** Acima de $750\,\mathrm{K}$, portanto a rocha sinterizou e foi metamorfizada; abaixo de $1200\,\mathrm{K}$, portanto nem o metal nem o sulfeto fundiram. A pedra é um [condrito](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule) aquecido, de [tipo petrológico](#def-b2-planet-formation-meteorites-type) alto, abaixo dos $1220\,\mathrm{K}$ da pergunta 4: coerente.

**17.** $1.035\ln\bigl(6.21 \times 10^{6}/(837\times950)\bigr) = 2.13\,\mathrm{Myr}$: cerca de $0.3\,\mathrm{Myr}$ antes.

**18.** O aumento é $\Delta T(1 - e^{-(t - t_a)/\tau})$; $90\,\%$ exigem $e^{-(t - t_a)/\tau} = 0.1$, $t - t_a = 1.035\ln10 = 2.38\,\mathrm{Myr}$, isto é, $4.8\,\mathrm{Myr}$ depois das CAIs.

**19.** $\Delta T = 7420\,e^{-0.8/1.035} = 7420\times0.462 = 3430\,\mathrm{K}$, máximo de $3680\,\mathrm{K}$, muito acima dos $1700\,\mathrm{K}$ em que os silicatos estão fundidos. O corpo fundiu (o calor de fusão manteve sua temperatura mais baixa) e diferenciou-se em um núcleo metálico e um manto e uma crosta silicáticos.

**20.** $e^{(2.4 - 0.8)/1.035} = e^{1.546} = 4.7$ vezes mais.

**21.** O zinco e o chumbo se condensam perto de $727\,\mathrm{K}$, moderadamente voláteis; o magnésio ($1336\,\mathrm{K}$) e o alumínio ($1653\,\mathrm{K}$) se condensam muito antes. Os sólidos da região da pedra se reuniram antes que o gás tivesse esfriado o bastante para que todo o zinco e todo o chumbo se condensassem.

**22.** $33\times0.33\times2.5^{-3/2} = 10.89/3.95 = 2.76\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$, $27.6\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$.

**23.** $r^2 = (3.74\times10^{11})^2 = 1.40 \times 10^{23}$; $2\pi\times5\times1.40 \times 10^{23}\times27.6 = 1.21 \times 10^{26}$; $(1.21 \times 10^{26})^{3/2}/2.443 \times 10^{15} = 5.45 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$, $0.091$ massa terrestre. O corpo parental, $\tfrac43\pi(2 \times 10^{4})^3\times3300 = 1.1 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}$, é cinco milhões de vezes mais leve: um [planetesimal](#def-b2-planet-formation-meteorites-planetesimal), não um embrião.

**24.** O centro do corpo parental atingiu um máximo de cerca de **$707{}^{\circ}\mathrm{C}$** ($980 - 273$): quente o bastante para recristalizar o [condrito](#def-b2-planet-formation-meteorites-chondrule), frio demais para fundir seu metal.