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title: "Termodinâmica da atmosfera"
book: "Ciências da Terra e do espaço universitárias — 2.º ano"
subject: earth
language: pt
chapter: 21
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/21-termodinamica-da-atmosfera
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Capítulo 21 — Termodinâmica da atmosfera

Em 16 de abril de 2026, às 12 UTC, um balão subiu da estação meteorológica de Norman, Oklahoma, como sobem balões de mais de oitocentas estações a essa hora todos os dias. O instrumento que ele levava transmitiu por rádio um perfil vertical que um meteorologista lê de relance: ar junto ao solo quase saturado, uma fina tampa quente a seiscentos metros de altura e, acima dela, uma temperatura que caía depressa ao longo de dez quilômetros. Levantado através da tampa, o ar da superfície teria se encontrado mais quente que o ambiente em quase toda a troposfera, com uns dois mil joules por quilograma para gastar na subida. Este capítulo aprende a ler essa energia numa sondagem: quanta água o ar contém, como uma parcela que sobe se resfria antes e depois de condensar, como os diagramas dos meteorologistas transformam áreas em energias, e como as gotículas de nuvem chegam a se formar.

**O que você já sabe.**

**Dos livros de física**: a [pressão de vapor](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) de saturação, a umidade relativa, o ponto de orvalho, o calor latente, a relação de Clausius–Clapeyron e sua forma integrada; a nucleação e o sobrerresfriamento; a primeira lei, as transformações adiabáticas e as capacidades térmicas de um gás ideal. **Dos livros de química**: as pressões parciais, a lei de Raoult, a tensão superficial e a equação de Kelvin. **Dos volumes escolares**: o [nível de condensação](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-lcl) e sua regra de $125\,\mathrm{m}$ por grau, o ar estável e instável, o [núcleo de condensação](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-microphysics), os processos de chuva quente e dos cristais de gelo. **Do volume do primeiro ano**: a atmosfera padrão, os gradientes térmicos ambiental e adiabático seco ($\Gamma_d = 9.8\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$), a parcela de ar, a temperatura potencial, a estabilidade estática, as inversões térmicas e a equação hipsométrica.

Ao longo de todo o capítulo: $R_d = R/M_d = 287.0\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ para o ar seco de massa molar $28.97\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$; $R_v = R/M_w = 461.5\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ para o vapor de água, de massa molar $18.0153\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$; $\varepsilon = M_w/M_d = 0.622$; $c_p = \tfrac72 R_d =
1004.5\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ (o volume do primeiro ano, com a razão das capacidades térmicas 1.4); $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$; e o calor latente de vaporização no ponto triplo, $L = 2.501 \times 10^{6}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$.

## 21.1 O ar úmido

O ar é uma mistura de ar seco e vapor de água, ambos próximos de gases ideais. Os livros de física medem sua água pela umidade relativa e pelo ponto de orvalho; uma parcela que sobe precisa de medidas que não mudem quando ela se expande.

**Definição 21.1 (Pressão de vapor; razão de mistura; umidade específica).**

A *pressão de vapor* $e$ do ar úmido é a pressão parcial de seu vapor de água. Sua *razão de mistura* é $r = m_v/m_d$, a massa de vapor de água por unidade de massa de ar seco no mesmo volume, e sua *umidade específica* é $q = m_v/(m_d + m_v)$, a massa de vapor por unidade de massa de ar úmido. Ambas são dadas em geral em gramas por quilograma.

**Proposição 21.2 (Variáveis de umidade).**

Num ar úmido à pressão total $p$ com a [pressão de vapor](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) $e$,

$$
r = \frac{\varepsilon e}{p - e}, \qquad q = \frac{r}{1 + r} = \frac{\varepsilon e}{p - (1 -
  \varepsilon)e} .
$$

Na saturação, $e = e_s(T)$ e $r = r_s(T, p)$, a [razão de mistura](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) de saturação. Nem $r$ nem $q$ mudam quando uma parcela se expande ou é comprimida sem ganhar nem perder água.

**Demonstração.** No mesmo volume $V$ à temperatura $T$, cada gás obedece à sua própria lei dos gases ideais com sua pressão parcial: $m_v = eV/(R_vT)$ e $m_d = (p - e)V/(R_dT)$, de modo que $r = (R_d/R_v)\,e/(p - e)$, e $R_d/R_v = M_w/M_d = \varepsilon$. Dividindo $m_v$ por $m_d + m_v$ obtém-se $q = r/(1 + r)$. A expansão muda $V$, $p$ e $e$, mas não as duas massas. ∎

**Definição 21.3 (Temperatura virtual).**

A *temperatura virtual* $T_v$ do ar úmido é a temperatura que o ar seco precisaria ter, à mesma pressão, para ter a mesma densidade:

$$
T_v = T\,\frac{1 + r/\varepsilon}{1 + r} \approx T\,(1 + 0.61\,r) .
$$

A prova de que essa temperatura faz o que diz cabe numa linha: a densidade do ar úmido é $(m_d + m_v)/V = \bigl(p - e\bigr)/(R_dT) + e/(R_vT)$, que, com $e = pr/(\varepsilon + r)$, é igual a $p/(R_dT_v)$. O vapor de água é mais leve que o ar seco, de modo que o ar úmido é menos denso que o ar seco à mesma temperatura e pressão, como se fosse um pouco mais quente.

**Exemplo 21.4 (O ar de Norman).**

No solo a sondagem dá $p = 971.1\,\mathrm{hPa}$, $T = 19.0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e um ponto de orvalho de $18.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. A [pressão de vapor](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) é a [pressão de vapor](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) de saturação no ponto de orvalho, $e = e_s(18.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}) = 21.5\,\mathrm{hPa}$ ([Proposição 21.5](#prop-b2-atmospheric-thermodynamics-es) adiante). Então $r = 0.622 \times 21.5/(971.1 - 21.5) = 14.1\,\mathrm{g}/\mathrm{kg}$, $q = 13.9\,\mathrm{g}/\mathrm{kg}$, e $T_v - T = 0.61 \times 0.0141 \times 292.15\,\mathrm{K} = 2.5\,\mathrm{K}$: este ar é tão leve quanto um ar seco dois graus e meio mais quente.

## 21.2 A pressão de vapor de saturação

Sobre uma superfície plana de água pura, a [pressão de vapor](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) de equilíbrio depende apenas da temperatura. Os livros de física deduzem sua lei, a relação de Clausius–Clapeyron, e a integram com um calor latente constante; para o vapor de água, $M L/R = L/R_v$.

**Proposição 21.5 (Pressão de vapor de saturação).**

Com o calor latente $L$ mantido constante, a [pressão de vapor](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) de saturação sobre a água é

$$
e_s(T) = e_t \exp\!\Bigl[\frac{L}{R_v}\Bigl(\frac{1}{T_t} - \frac{1}{T}\Bigr)\Bigr],
  \qquad e_t = 6.117\,\mathrm{hPa}, \quad T_t = 273.16\,\mathrm{K}, \quad \frac{L}{R_v} =
  5419\,\mathrm{K},
$$

onde $(T_t, e_t)$ é o ponto triplo da água.

**Corolário 21.6 (Sete por cento por kelvin).**

A taxa relativa de aumento da [pressão de vapor](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) de saturação é $\mathrm{d}\ln e_s/\mathrm{d}T = L/(R_v T^2)$: $7.3\,\%$ por kelvin a $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $6.3\,\%$ a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $5.9\,\%$ a $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

O calor latente constante é o único defeito da fórmula: o calor latente cai de $2500.9\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ no ponto triplo para $2453.5\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, de modo que a fórmula se adianta aos valores medidos à medida que a temperatura sobe, em $1.2\,\%$ a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $2.5\,\%$ a $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (figura abaixo). Uma fórmula empírica ajustada às medidas, $e_s = 6.112\,\mathrm{hPa} \times \exp[17.67\,t/(t + 243.5)]$ com $t$ em graus Celsius, fica dentro de algumas partes por mil; os produtos de dados a usam, mas a proposição é a que se pode derivar e compreender, e este capítulo a mantém.

Abaixo de $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, a água pode permanecer líquida nas nuvens, sobrerresfriada, e existem duas [pressões de vapor](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) de saturação: sobre a água líquida e sobre o gelo. A segunda é menor, porque o calor latente de sublimação excede o de vaporização pelo calor latente de fusão. Um ar saturado em relação a gotículas sobrerresfriadas está supersaturado em relação ao gelo, em $10\,\%$ a $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $22\,\%$ a $-20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: a última seção volta a essa diferença.

![Esquerda: a pressão de vapor de saturação sobre a água pela , pela fórmula empírica e tal como medida. Direita: a razão entre as pressões de vapor de saturação sobre a água sobrerresfriada (fórmula empírica) e sobre o gelo (equação de sublimação da IAPWS).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-atmospheric-thermodynamics/fig-c6c05232a6be.svg)

*Esquerda: a [pressão de vapor](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) de saturação sobre a água pela [Proposição 21.5](#prop-b2-atmospheric-thermodynamics-es), pela fórmula empírica e tal como medida. Direita: a razão entre as [pressões de vapor](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) de saturação sobre a água sobrerresfriada (fórmula empírica) e sobre o gelo (equação de sublimação da IAPWS).*

## 21.3 O ar úmido que sobe

Uma parcela que sobe sem trocar calor resfria-se segundo o gradiente adiabático seco, conserva sua temperatura potencial e, se não condensa, conserva sua [razão de mistura](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air). Sua [pressão de vapor](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) $e = pr/(\varepsilon + r)$ cai com a pressão, mas sua [pressão de vapor](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) de saturação cai mais depressa, com sua temperatura. As duas se encontram num nível que os volumes escolares obtinham por uma regra.

**Definição 21.7 (Nível de condensação por levantamento).**

O *nível de condensação por levantamento* (NCL) de uma parcela é o nível em que ela se torna saturada quando é levantada adiabaticamente a seco. É o *nível de condensação* dos volumes escolares, a altura das bases planas das nuvens que se formam por levantamento.

**Proposição 21.8 (Altura do nível de condensação por levantamento).**

Uma parcela à temperatura $T$ com o ponto de orvalho $T_d$ atinge a saturação a cerca de

$$
z_{\text{NCL}} \approx \frac{T - T_d}{\Gamma_d - \Gamma_{\text{orv}}}, \qquad
  \Gamma_{\text{orv}} = \frac{g R_v T_d^2}{L R_d T} \approx 1.8\,\mathrm{K}/\mathrm{km},
$$

acima de seu nível de partida: cerca de $125\,\mathrm{m}$ para cada grau de depressão do ponto de orvalho.

**Demonstração.** A temperatura da parcela cai segundo $\Gamma_d$. Seu ponto de orvalho é a temperatura na qual sua [pressão de vapor](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) $e$ saturaria; com $r$ constante, $e$ é proporcional a $p$, de modo que $\mathrm{d}\ln e = \mathrm{d}\ln p = -g\,\mathrm{d}z/(R_dT)$ pelo equilíbrio hidrostático. Pela [Proposição 21.5](#prop-b2-atmospheric-thermodynamics-es), $\mathrm{d}\ln e = L\,\mathrm{d}T_d/(R_vT_d^2)$. Daí $\mathrm{d}T_d/\mathrm{d}z = -gR_vT_d^2/(LR_dT) = -\Gamma_{\text{orv}}$: o ponto de orvalho também cai, mas mais devagar. A diferença $T - T_d$ fecha-se à taxa $\Gamma_d - \Gamma_{\text{orv}}$. Com $T \approx T_d \approx 288\,\mathrm{K}$, $\Gamma_{\text{orv}} = 1.8\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$, e $1/(9.8 - 1.8)$ quilômetros por kelvin são $125\,\mathrm{m}$. ∎

Em Norman a depressão do ponto de orvalho era de $0.5\,\mathrm{K}$: o ar da superfície teria condensado depois de $63\,\mathrm{m}$ de subida, a $964\,\mathrm{hPa}$. O cálculo completo, que segue a adiabática seca e a [razão de mistura](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) de saturação sem linearizar, dá $64\,\mathrm{m}$.

Acima do NCL a parcela condensa à medida que sobe. A condensação libera calor latente, e a parcela resfria-se mais devagar.

**Definição 21.9 (Gradiente adiabático saturado; adiabática úmida).**

O *gradiente adiabático saturado* $\Gamma_s$ é a taxa à qual a temperatura de uma parcela saturada cai à medida que ela sobe, com seu vapor condensando para mantê-la saturada. A curva que ela segue num diagrama de temperatura em função da pressão é uma *adiabática úmida*. Quando se supõe que a água condensada cai imediatamente, a subida é chamada pseudoadiabática.

**Proposição 21.10 (Gradiente adiabático saturado).**

Para uma subida pseudoadiabática, com $r_s = r_s(T, p)$,

$$
\Gamma_s = g\,\frac{1 + \dfrac{L r_s}{R_d T}}{c_p + \dfrac{L^2 r_s}{R_v T^2}} .
$$

Ele tende a $\Gamma_d = g/c_p$ quando $r_s$ tende a zero, e é menor nos outros casos.

**Demonstração.** Por unidade de massa de ar seco, a primeira lei para uma parcela que recebe o calor latente do vapor que condensa, $-L\,\mathrm{d}r_s$, escreve-se $c_p\,\mathrm{d}T - (R_dT/p)\,\mathrm{d}p = -L\,
\mathrm{d}r_s$; com o equilíbrio hidrostático $(R_dT/p)\,\mathrm{d}p = -g\,\mathrm{d}z$, ela se torna $c_p\,\mathrm{d}T + g\,\mathrm{d}z + L\,\mathrm{d}r_s = 0$. Com $r_s \approx \varepsilon e_s/p$, $\mathrm{d}r_s = r_s\,(\mathrm{d}\ln e_s - \mathrm{d}\ln p) = r_s\bigl(L\,\mathrm{d}T/(R_vT^2) +
g\,\mathrm{d}z/(R_dT)\bigr)$. Substituindo e agrupando os termos em $\mathrm{d}T$ e em $\mathrm{d}z$ obtém-se $-\mathrm{d}T/\mathrm{d}z = \Gamma_s$. ∎

O gradiente depende de quanta água há para condensar. A $1000\,\mathrm{hPa}$ ele vale $6.5\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ a $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $5.2\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ a $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $4.2\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $3.4\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ a $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; no alto da troposfera, a $200\,\mathrm{hPa}$ e $-60\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, volta a $9.6\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$, quase o gradiente seco. Uma [adiabática úmida](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-adiabat) é, portanto, íngreme perto do solo quente e se inclina para as adiabáticas secas em altitude.

**Definição 21.11 (Temperatura potencial equivalente).**

A *temperatura potencial equivalente* $\theta_e$ de uma parcela é a temperatura que ela teria se fosse levantada até que todo o seu vapor tivesse condensado e caído, e depois trazida de volta adiabaticamente a seco até $1000\,\mathrm{hPa}$. Uma boa aproximação é

$$
\theta_e \approx \theta \exp\!\Bigl(\frac{L r}{c_p T_{\text{NCL}}}\Bigr),
$$

sendo $\theta$ a temperatura potencial e $T_{\text{NCL}}$ a temperatura no [nível de condensação por levantamento](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-lcl) da parcela.

A temperatura potencial só se conserva na subida seca; $\theta_e$ conserva-se, nesta aproximação, tanto na subida seca quanto na saturada, porque o calor que ela conta como já liberado é exatamente o calor que a condensação libera. Ela rotula uma [adiabática úmida](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-adiabat) como $\theta$ rotula uma seca. O ar da superfície de Norman tem $\theta = 292.15 \times (1000/971.1)^{2/7} = 294.6\,\mathrm{K}$ e $\theta_e = 294.6 \exp[2.501 \times 10^6 \times 0.0141/(1004.5 \times 291.5)] = 332\,\mathrm{K}$.

## 21.4 Diagramas termodinâmicos

**Definição 21.12 (Sondagem atmosférica).**

Uma *sondagem atmosférica* é um perfil vertical da pressão, da temperatura, da umidade e do vento da atmosfera acima de um lugar, medido por um instrumento levado ao alto, geralmente uma radiossonda sob um balão.

Uma sondagem não é bem vertical, porque o balão deriva com o vento, nem bem instantânea, porque leva vários minutos para chegar à alta troposfera; e a rede principal só faz lançamentos duas vezes por dia. Seus números tornam-se úteis quando traçados num diagrama em que uma parcela que sobe pode ser acompanhada com uma régua.

**Definição 21.13 (Diagrama termodinâmico; diagrama skew-T log-p; tefigrama).**

Um *diagrama termodinâmico* é um gráfico cujas coordenadas são funções da pressão e da temperatura, no qual estão impressas isóbaras, isotermas, adiabáticas secas, [adiabáticas úmidas](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-adiabat) e linhas de [razão de mistura](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) de saturação constante, e no qual uma sondagem é traçada como duas curvas, sua temperatura e seu ponto de orvalho. Num *diagrama skew-T log-p* a coordenada vertical é $-\ln p$ e a horizontal é $T + k\ln(p_0/p)$, de modo que as isóbaras são horizontais e as isotermas são retas inclinadas subindo para a direita. Um *tefigrama* usa como coordenadas a temperatura e a entropia por unidade de massa $c_p\ln\theta$, de modo que as isotermas e as adiabáticas secas são retas perpendiculares.

**Proposição 21.14 (As áreas são energias).**

Num [diagrama skew-T log-p](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-diagram), a área compreendida entre duas curvas $T_1(p)$ e $T_2(p)$ entre as pressões $p_b > p_a$ é proporcional a $\int_{p_a}^{p_b} R_d\,(T_1 - T_2)\,\mathrm{d}\ln p$, a energia por unidade de massa que a [Proposição 21.19](#prop-b2-atmospheric-thermodynamics-buoyancy) adiante dá a uma parcela que segue $T_1$ através de um ambiente $T_2$.

**Demonstração.** Tome-se $Y = \ln(p_0/p)$ e $X = T + kY$. O jacobiano de $(T, Y) \mapsto (X, Y)$ é 1, de modo que as áreas no plano $(X, Y)$ são iguais às áreas no plano $(T, Y)$, onde a área entre duas curvas é $\int (T_1 - T_2)\,\mathrm{d}Y = \int (T_1 - T_2)\,\mathrm{d}\ln p$ tomada de $p_a$ a $p_b$ com o sinal fixado. Multiplicando por $R_d$ e pela escala do diagrama obtém-se a energia. ∎

**Método 21.15 (Levantar uma parcela num diagrama).**

1. Trace a temperatura e o ponto de orvalho da sondagem em função da pressão.
2. A partir da temperatura da parcela, siga a adiabática seca para cima; a partir de seu ponto de orvalho, siga a linha de [razão de mistura](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) de saturação. Onde elas se encontram fica o NCL.
3. A partir do NCL, siga a [adiabática úmida](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-adiabat) para cima.
4. Onde a curva da parcela fica à direita da temperatura da sondagem, a parcela está mais quente que o ambiente; os níveis onde as duas curvas se cruzam são os níveis da [Definição 21.17](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-parcel-levels) adiante.

## 21.5 Estabilidade e energia convectiva

O volume do primeiro ano comparou o gradiente $\Gamma$ de uma camada com $\Gamma_d$. Uma parcela saturada resfria-se segundo $\Gamma_s$, e um terceiro caso aparece entre os dois gradientes.

**Definição 21.16 (Instabilidade condicional).**

Uma camada cujo gradiente fica entre o [gradiente adiabático saturado](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-adiabat) e o seco, $\Gamma_s < \Gamma < \Gamma_d$, está em *instabilidade condicional*: estável para as parcelas não saturadas, instável para as saturadas.

Em Norman a temperatura caiu $37.0\,\mathrm{K}$ entre $850\,\mathrm{hPa}$ ($1489\,\mathrm{m}$) e $500\,\mathrm{hPa}$ ($5725\,\mathrm{m}$), a $8.7\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$: [instabilidade condicional](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-instability) ao longo de quatro quilômetros. Se a instabilidade é liberada depende de onde uma parcela vinda de baixo se torna saturada e depois mais quente que o ambiente.

**Definição 21.17 (Nível de convecção espontânea; nível de equilíbrio).**

O *nível de convecção espontânea* (NCE) de uma parcela levantada é o nível acima do qual, saturada, ela se torna mais quente que o ambiente e sobe livremente. O *nível de equilíbrio* (NE) é o nível acima do NCE em que sua temperatura volta a igualar a do ambiente.

![A sondagem das 12 UTC de Norman, Oklahoma, em 16 de abril de 2026, num diagrama skew-T log-p, com a parcela da superfície levantada ao longo de sua adiabática seca até o NCL e sua adiabática úmida acima dele. Vermelho: a área positiva (CAPE); azul: a área negativa abaixo do NCE (CIN), ambas calculadas com a temperatura. Razões de mistura de saturação em gramas por quilograma, indicadas a 600\, hPa.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-atmospheric-thermodynamics/fig-0c7b16d51f90.svg)

*A sondagem das 12 UTC de Norman, Oklahoma, em 16 de abril de 2026, num [diagrama skew-T log-p](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-diagram), com a parcela da superfície levantada ao longo de sua adiabática seca até o NCL e sua [adiabática úmida](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-adiabat) acima dele. Vermelho: a área positiva (CAPE); azul: a área negativa abaixo do NCE (CIN), ambas calculadas com a temperatura. Razões de mistura de saturação em gramas por quilograma, indicadas a $600\,\mathrm{hPa}$.*

**Definição 21.18 (Energia potencial convectiva disponível; inibição convectiva).**

A *energia potencial convectiva disponível* (CAPE) de uma parcela é o trabalho da força de empuxo sobre uma unidade de massa dela entre seu NCE e seu NE,

$$
\text{CAPE} = \int_{z_{\text{NCE}}}^{z_{\text{NE}}} g\,\frac{T_{v,\text{parcela}} -
  T_{v,\text{amb}}}{T_{v,\text{amb}}}\,\mathrm{d}z ,
$$

e sua *inibição convectiva* (CIN) é a mesma integral, negativa, de seu nível de partida até seu NCE.

**Proposição 21.19 (O empuxo num diagrama; a velocidade da parcela).**

1. Em termos de pressão, $\text{CAPE} = R_d \int_{p_{\text{NE}}}^{p_{\text{NCE}}}  (T_{v,\text{parcela}} - T_{v,\text{amb}})\,\mathrm{d}\ln p$ : num [diagrama skew-T log-p](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-diagram) , ela é proporcional à área entre a curva da parcela e a sondagem.
2. Uma parcela que deixa o NCE em repouso e conserva todo o trabalho de seu empuxo chega ao NE com a velocidade vertical $w_{\max} = \sqrt{2\,\text{CAPE}}$ .

**Demonstração.** 1. A parcela e o ambiente compartilham a pressão, de modo que a razão das densidades é a razão das temperaturas virtuais e a força de empuxo por unidade de massa é $g(T_{v,\text{parcela}} - T_{v,\text{amb}})/T_{v,\text{amb}}$. O ambiente é hidrostático: $\mathrm{d}z = -R_dT_{v,\text{amb}}\,\mathrm{d}\ln p/g$. A substituição cancela $g$ e $T_{v,\text{amb}}$; a área decorre da [Proposição 21.14](#prop-b2-atmospheric-thermodynamics-areas). 2. Sendo $b$ a força de empuxo por unidade de massa, $\mathrm{d}w/\mathrm{d}t = b$ e $w = \mathrm{d}z/
\mathrm{d}t$ dão $w\,\mathrm{d}w = b\,\mathrm{d}z$; integrando do NCE, onde $w = 0$, até o NE obtém-se $w^2/2 = \text{CAPE}$. ∎

**Exemplo 21.20 (A energia na sondagem de Norman).**

Levante-se o ar da superfície do [Exemplo 21.4](#ex-b2-atmospheric-thermodynamics-norman). Ele se satura a $964\,\mathrm{hPa}$, $64\,\mathrm{m}$ acima, e segue uma [adiabática úmida](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-adiabat). Abaixo de $900\,\mathrm{hPa}$ a sondagem está ela própria quase saturada e a parcela fica alguns décimos de grau mais fria que o ambiente; vem então a inversão entre $908\,\mathrm{hPa}$ e $889\,\mathrm{hPa}$, onde a temperatura sobe $4.1\,\mathrm{K}$ em $178\,\mathrm{m}$ e a parcela se vê $5\,\mathrm{K}$ fria demais. Ela só fica mais quente que o ambiente a $732\,\mathrm{hPa}$, $2.4\,\mathrm{km}$ acima do solo, seu NCE, e continua mais quente até seu NE a $236\,\mathrm{hPa}$, $10.9\,\mathrm{km}$ acima do nível do mar, logo abaixo da tropopausa que a sondagem indica a $235\,\mathrm{hPa}$. Numa grade fina de pressões as áreas da figura skew-T são CAPE $= 2100\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ e CIN $= -200\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ com a temperatura, e $2230\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ e $-130\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ com a [temperatura virtual](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-virtual): a umidade da parcela acrescenta seu próprio empuxo. A teoria da parcela dá $w_{\max} = \sqrt{2 \times 2100} =
65\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

As tabelas dos meteorologistas chamam uma CAPE de até $1500\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ de positiva, uma entre 1500 e $2500\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ de grande e uma acima de $2500\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ de extrema; valores acima de $1000\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ são comuns em ambientes de tempestades, e raros excedem $5000\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$. A CAPE é maior na estação quente, especialmente no fim da primavera. O índice de levantamento, a temperatura da sondagem a $500\,\mathrm{hPa}$ menos a da parcela levantada, resume a mesma informação num só número: em Norman, $-18.4 - (-8.9) = -9.5\,\mathrm{K}$, na classe de $-8$ a $-10$ que as tabelas dos meteorologistas chamam de instabilidade extrema. Nenhum desses valores é um limiar acima do qual as tempestades têm de se formar.

A CIN é o preço da entrada. A tampa quente impedia o ar da superfície de subir por si mesmo: uma parcela teria de ser empurrada através dela, por uma frente ou pela lenta ascensão do ar à frente de uma perturbação em altitude, ou aquecida por baixo pelo sol da tarde até ter empuxo em toda a subida. E a velocidade $w_{\max}$ é um limite superior: uma corrente ascendente real carrega sua água condensada, que a torna mais pesada, e mistura-se com o ar mais seco à sua volta, que a resfria por evaporação. O [nível de equilíbrio](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-parcel-levels) continua sendo um bom guia para onde os topos das tempestades se espalham numa bigorna.

![Uma tempestade sobre o Nebraska, 20 de abril de 1985: sua corrente ascendente se espalha numa bigorna ao atingir seu nível de equilíbrio, perto da tropopausa. (Stephen Corfidi, NOAA/NWS, domínio público, via Wikimedia Commons.)](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-atmospheric-thermodynamics/img-b38e76dafbad.jpg)

*Uma tempestade sobre o Nebraska, 20 de abril de 1985: sua corrente ascendente se espalha numa bigorna ao atingir seu [nível de equilíbrio](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-parcel-levels), perto da tropopausa. (Stephen Corfidi, NOAA/NWS, domínio público, via Wikimedia Commons.)*

## 21.6 Microfísica das nuvens

Uma parcela no seu NCL está saturada em relação a uma superfície plana de água. Uma gotícula não é plana: os livros de física mostram que uma nova fase não aparece no equilíbrio, mas apenas por nucleação, e os livros de química que a [pressão de vapor](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) sobre uma superfície curva excede a pressão sobre uma superfície plana (a equação de Kelvin). Com a constante $A$ da [Proposição 21.22](#prop-b2-atmospheric-thermodynamics-kohler) adiante, uma gotícula de água pura de $2\,\mathrm{nm}$ de diâmetro só está em equilíbrio com a razão de saturação $\exp(2.1/2) = 2.9$, uma [supersaturação](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-microphysics) de $190\,\%$, muito acima das frações de um por cento com que as partículas se ativam: as gotículas formam-se sobre partículas.

**Definição 21.21 (Supersaturação; núcleo de condensação de nuvens).**

A *supersaturação* do ar é $s = e/e_s - 1$, o excesso de sua [pressão de vapor](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) sobre a [pressão de vapor](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) de saturação acima de uma superfície plana de água pura, dado em geral em porcentagem. Um *núcleo de condensação de nuvens* (NCN) é uma partícula de aerossol sobre a qual uma gotícula de nuvem se forma às pequenas supersaturações das nuvens. É o *núcleo de condensação* dos volumes escolares.

**Proposição 21.22 (Curva de Köhler).**

Uma gotícula de solução de diâmetro $D$ crescida sobre uma partícula seca de diâmetro $D_d$ e higroscopicidade $\kappa$ está em equilíbrio com a razão de saturação

$$
S(D) = \frac{D^3 - D_d^3}{D^3 - D_d^3(1 - \kappa)}\,\exp\Bigl(\frac{A}{D}\Bigr), \qquad
  A = \frac{4\sigma M_w}{R T\rho_w},
$$

sendo $\sigma$ a tensão superficial e $\rho_w$ a densidade da água (admitido). A curva $S(D)$ é a *[curva de Köhler](#prop-b2-atmospheric-thermodynamics-kohler)*. Para $D \gg D_d$,

$$
s = S - 1 \approx \frac{A}{D} - \frac{\kappa D_d^3}{D^3},
$$

que é máxima no diâmetro e na [supersaturação](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-microphysics) críticos

$$
D_c = \sqrt{\frac{3\kappa D_d^3}{A}}, \qquad s_c = \sqrt{\frac{4A^3}{27\,\kappa D_d^3}} .
$$

**Demonstração da aproximação.** A exponencial é o fator de Kelvin; a fração é a atividade da água, uma versão da lei de Raoult na qual $\kappa$ mede quanta água a matéria dissolvida retém. Para $D \gg D_d$ e $A \ll D$, $\exp(A/D) \approx 1 + A/D$ e a fração é $1 - \kappa D_d^3/D^3$ em primeira ordem; o produto, em primeira ordem, é $1 + A/D - \kappa D_d^3/D^3$. Anulando a derivada $-A/D^2 + 3\kappa D_d^3/D^4$ obtém-se $D_c^2 = 3\kappa D_d^3/A$, e então $s_c = A/D_c -
A/(3D_c) = 2A/(3D_c)$, que é a fórmula. ∎

Com $\sigma = 0.072\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}$ a $298.15\,\mathrm{K}$, $A = 2.1\,\mathrm{nm}$. O sulfato de amônio tem $\kappa = 0.61$; o cloreto de sódio é ainda mais higroscópico ($\kappa = 1.28$), e as partículas atmosféricas ficam em geral entre 0.1 e 0.9. Uma partícula seca de $50\,\mathrm{nm}$ de sulfato de amônio tem $D_c = 0.33\,\text{µ}\mathrm{m}$ e $s_c =
0.42\,\%$; uma de $100\,\mathrm{nm}$, $0.93\,\text{µ}\mathrm{m}$ e $0.15\,\%$. A aproximação difere do máximo exato em menos de $1\,\%$.

![Curvas de Köhler de partículas de sulfato de amônio (= 0.61) de três diâmetros secos a 298.15\, K, com seus pontos críticos (pontos). Num ar a 0.5\,\% de supersaturação, as partículas de 50\, nm e de 100\, nm crescem sem limite; a partícula de 30\, nm continua sendo uma gotícula de névoa seca.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-atmospheric-thermodynamics/fig-e22b74521be4.svg)

*[Curvas de Köhler](#prop-b2-atmospheric-thermodynamics-kohler) de partículas de sulfato de amônio ($\kappa = 0.61$) de três diâmetros secos a $298.15\,\mathrm{K}$, com seus pontos críticos (pontos). Num ar a $0.5\,\%$ de [supersaturação](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-microphysics), as partículas de $50\,\mathrm{nm}$ e de $100\,\mathrm{nm}$ crescem sem limite; a partícula de $30\,\mathrm{nm}$ continua sendo uma gotícula de névoa seca.*

A curva separa as partículas. Abaixo de seu pico uma gotícula está em equilíbrio estável: se cresce, o ar já não está supersaturado o bastante para ela e ela volta a encolher; essas gotículas de névoa seca incham e encolhem com a umidade. Quando a [supersaturação](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-microphysics) do ar excede $s_c$, a gotícula é *ativada*: passado o pico, ela precisa de cada vez menos [supersaturação](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-microphysics) à medida que cresce, e cresce enquanto houver vapor. Uma parcela que sobe resfria-se, sua [supersaturação](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-microphysics) aumenta, e as partículas maiores e mais solúveis ativam-se primeiro; as gotículas que elas formam absorvem então o vapor e limitam a [supersaturação](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-microphysics). Sobre os oceanos remotos há cerca de 110 NCN por centímetro cúbico ativos a $0.4\,\%$, sobre os continentes remotos quase o dobro, e no ar poluído cerca de dez vezes mais. A mesma água repartida entre mais gotículas as torna menores.

**Observação 21.23 (Por que a condensação sozinha não produz chuva).**

Uma gotícula cresce pela difusão do vapor em sua direção. O fluxo através de uma esfera em torno de uma gotícula de raio $r$ é $4\pi r D_v\,\Delta\rho_v$, sendo $D_v$ a difusividade do vapor e $\Delta\rho_v$ o excesso de densidade de vapor ao longe, de modo que sua massa $\tfrac43\pi r^3\rho_w$ cresce a uma taxa proporcional a $r$: $r\,\mathrm{d}r/\mathrm{d}t$ é constante e $r^2$ cresce linearmente com o tempo. As gotículas grandes crescem mais devagar que as pequenas, e uma população que cresce só por condensação torna-se mais estreita, não mais larga. As gotas de chuva formam-se quando gotículas de tamanhos diferentes, caindo a velocidades diferentes, colidem e coalescem.

Acima do nível de $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ uma nuvem é feita de gotículas sobrerresfriadas até que partículas nucleadoras de gelo iniciem cristais de gelo. Então age a diferença do painel direito da figura de saturação: o ar saturado em relação às gotículas está $10\,\%$ supersaturado em relação ao gelo a $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, dezenas de vezes as [supersaturações](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-microphysics) com que as gotículas se ativaram. Os cristais crescem por deposição à custa das gotículas, que evaporam (o processo de Bergeron, o processo dos cristais de gelo dos volumes escolares), e coletam gotículas que congelam sobre eles (acreção, ou riming).

![Os dois caminhos do vapor à precipitação: ativação e crescimento das gotículas, depois colisão e coalescência (em cima); cristais de gelo que crescem à custa das gotículas sobrerresfriadas, recebem acreção e derretem ao cair em ar mais quente (embaixo).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-atmospheric-thermodynamics/fig-6b43f07f2121.svg)

*Os dois caminhos do vapor à precipitação: ativação e crescimento das gotículas, depois colisão e coalescência (em cima); cristais de gelo que crescem à custa das gotículas sobrerresfriadas, recebem acreção e derretem ao cair em ar mais quente (embaixo).*

**No campo — Um lançamento matinal.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-atmospheric-thermodynamics/img-4d198de31f8a.jpg)

*Uma radiossonda lançada ao amanhecer de uma estação meteorológica (ilustração gerada por IA).*

Em cada estação de altitude o técnico prepara o balão e a radiossonda na hora anterior às 00 e às 12 UTC, os horários em que mais de oitocentas estações do mundo observam juntas. O instrumento, de 60 a $80\,\mathrm{g}$, fica pendurado abaixo do balão e transmite a pressão, a temperatura, a umidade e sua posição por satélite a cada segundo. O balão sobe cerca de $300\,\mathrm{m}$ por minuto, durante duas horas ou mais, passando dos $35\,\mathrm{km}$ antes de estourar, e pode derivar mais de $300\,\mathrm{km}$. Os meteorologistas traçam o perfil num diagrama skew-T e, nos dias em que se espera tempo severo, algumas estações lançam balões extras.

## Exercícios

Dados para os exercícios, salvo indicação em contrário: $e_s(T) = 6.117\,\mathrm{hPa} \times
\exp[5419\,\mathrm{K} \times (1/273.16\,\mathrm{K} - 1/T)]$; $\varepsilon = 0.622$, $R_d =
287.0\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $R_v = 461.5\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $c_p =
1004.5\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $L = 2.501 \times 10^{6}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$, $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $\Gamma_d = 9.8\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$.

**Exercício 21.1 ★.**

A $850\,\mathrm{hPa}$ a temperatura é $10.0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e o ponto de orvalho $5.0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (a) Calcule a [pressão de vapor](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) e a [pressão de vapor](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) de saturação. (b) Calcule a umidade relativa. (c) Calcule a [razão de mistura](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) e a [umidade específica](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air), em gramas por quilograma.

**Solução de Exercício 21.1.**

(a) $e = e_s(278.15\,\mathrm{K}) = 8.73\,\mathrm{hPa}$ e $e_s(283.15\,\mathrm{K}) = 12.32\,\mathrm{hPa}$. (b) $8.73/12.32 = 70.9\,\%$. (c) $r = 0.622 \times 8.73/(850 - 8.73) =
6.45\,\mathrm{g}/\mathrm{kg}$ e $q = r/(1 + r) = 6.41\,\mathrm{g}/\mathrm{kg}$.

**Exercício 21.2 ★.**

(a) Em quantos por cento por kelvin $e_s$ aumenta a $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}$? (b) Calcule $e_s$ a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e a $25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, e sua razão; compare com $1.063^5$. (c) O valor medido a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ é $23.39\,\mathrm{hPa}$. Quanto a fórmula erra, e em que sentido? Por quê?

**Solução de Exercício 21.2.**

(a) $\mathrm{d}\ln e_s/\mathrm{d}T = 5419/T^2$: $7.26\,\%$ por kelvin a $273.15\,\mathrm{K}$, $6.31\,\%$ a $293.15\,\mathrm{K}$, $5.90\,\%$ a $303.15\,\mathrm{K}$. (b) $e_s(20\,{}^{\circ}\mathrm{C}) = 23.66\,\mathrm{hPa}$ e $e_s(25\,{}^{\circ}\mathrm{C})
= 32.26\,\mathrm{hPa}$; razão 1.363, contra $1.063^5 = 1.357$. A taxa é uma derivada de $\ln e_s$, de modo que em $5\,\mathrm{K}$ o fator é $\exp(5 \times 0.0620) = 1.363$, sendo 0.0620 a taxa no ponto médio, $22.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; compor $6.3\,\%$ cinco vezes chega perto, mas não é exato. (c) $23.66/23.39 = 1.012$: a fórmula dá $1.2\,\%$ a mais, porque conserva o calor latente do ponto triplo, enquanto o calor latente diminui quando a temperatura sobe; a inclinação da fórmula é forte demais, e seu erro cresce com a distância a $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**Exercício 21.3 ★.**

Ao meio-dia o ar da superfície está a $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ com um ponto de orvalho de $14\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (a) A que altura acima do solo se formam as bases dos cúmulos? (b) Qual é a temperatura de uma parcela ali, pela adiabática seca? (c) Qual é seu ponto de orvalho ali, com $\Gamma_{\text{orv}} =
1.8\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$? Comente. (d) Mais tarde o ar aquece até $33\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, com o ponto de orvalho inalterado. Onde ficam agora as bases das nuvens?

**Solução de Exercício 21.3.**

(a) $125 \times (30 - 14) = 2000\,\mathrm{m}$. (b) $30 - 9.8 \times 2.0 = 10.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (c) $14 - 1.8 \times 2.0 = 10.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: a temperatura e o ponto de orvalho se encontram, como devem no nível de saturação; a regra é esse cálculo. (d) $125 \times (33 - 14) = 2375\,\mathrm{m}$: as bases sobem à medida que a tarde aquece o ar junto ao solo.

**Exercício 21.4 ★.**

Leia o diagrama skew-T da sondagem de Norman. (a) Até que pressão o ar junto ao solo está saturado, ou quase? (b) Onde está a inversão, e como ela aparece? (c) Leia o NCL, o NCE e o NE da parcela da superfície. (d) Como se comparam o ponto de orvalho e a temperatura logo acima da inversão, e o que isso diz sobre esse ar?

**Solução de Exercício 21.4.**

(a) A curva do ponto de orvalho coincide com a curva da temperatura do solo até cerca de $908\,\mathrm{hPa}$: o meio quilômetro mais baixo está saturado, ou quase. (b) Entre cerca de 908 e $889\,\mathrm{hPa}$ a curva da temperatura volta-se para a direita, para valores mais quentes, à medida que a pressão diminui: a temperatura sobe com a altitude. (c) NCL a cerca de $964\,\mathrm{hPa}$, algumas dezenas de metros acima; NCE a cerca de $730\,\mathrm{hPa}$; NE a cerca de $235\,\mathrm{hPa}$. (d) No topo da inversão o ponto de orvalho está $11\,\mathrm{K}$ abaixo da temperatura, e $20\,\mathrm{K}$ abaixo dela a $850\,\mathrm{hPa}$: um ar quente e muito seco assenta-se sobre um ar fresco e úmido. Sua umidade relativa é baixa, de modo que ele não adquiriu seu calor por condensação; um ar que desce aquece-se por compressão segundo o gradiente adiabático seco conservando sua [razão de mistura](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air), o que daria uma camada assim.

**Exercício 21.5 ★★.**

Um ar tropical a $1000\,\mathrm{hPa}$ tem $T = 30.0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $r = 20\,\mathrm{g}/\mathrm{kg}$. (a) Calcule sua [temperatura virtual](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-virtual) exatamente e com a aproximação $T(1 + 0.61\,r)$. (b) Calcule as densidades desse ar e do ar seco à mesma temperatura e pressão. (c) Quanto o ar seco teria de ser aquecido para ficar tão leve? (d) Por que isso importa para a convecção sobre mares quentes?

**Solução de Exercício 21.5.**

(a) $T_v = 303.15 \times (1 + 0.020/0.622)/1.020 = 306.76\,\mathrm{K}$; a aproximação dá $303.15 \times (1 + 0.61 \times 0.020) = 306.85\,\mathrm{K}$. (b) $\rho = p/(R_dT_v) = 10^5/(287.0
\times 306.76) = 1.1358\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, contra $10^5/(287.0 \times 303.15) =
1.1494\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ para o ar seco: $1.2\,\%$ mais leve. (c) Em $T_v - T =
3.6\,\mathrm{K}$. (d) Uma parcela que sobe só precisa ser mais leve que o ambiente: sobre mares quentes a umidade do ar acrescenta um empuxo equivalente a vários kelvin, tanto quanto um excesso apreciável de temperatura.

**Exercício 21.6 ★★.**

Use a [Proposição 21.10](#prop-b2-atmospheric-thermodynamics-gamma-s) a $1000\,\mathrm{hPa}$, com $r_s$ da [Proposição 21.2](#prop-b2-atmospheric-thermodynamics-humidity). (a) Calcule $r_s$ e $\Gamma_s$ a $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (b) Quanto mais quente que uma parcela seca está uma parcela saturada a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ depois de subir $1\,\mathrm{km}$, se seu gradiente continuar o mesmo? (c) Por que a diferença diminui mais acima?

**Solução de Exercício 21.6.**

(a) $e_s$ = 6.11, 23.66 e $43.54\,\mathrm{hPa}$; $r_s = 0.622\,e_s/(1000 - e_s)$ = 3.82, 15.07 e $28.31\,\mathrm{g}/\mathrm{kg}$; $\Gamma_s$ = 6.48, 4.20 e $3.44\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$. (b) A parcela seca resfria-se $9.8\,\mathrm{K}$, a saturada $4.2\,\mathrm{K}$: a parcela saturada está $5.6\,\mathrm{K}$ mais quente. (c) Mais acima o ar é mais frio, $r_s$ é menor, resta pouco vapor para condensar, e $\Gamma_s$ volta a se aproximar de $\Gamma_d$.

**Exercício 21.7 ★★.**

A parcela da superfície de Norman ($p = 971.1\,\mathrm{hPa}$, $T = 19.0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $T_d =
18.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$) tem seu NCL a $18.35\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (a) Calcule sua [razão de mistura](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air), sua temperatura potencial e sua [temperatura potencial equivalente](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-theta-e). (b) Levantada, ela está a $-8.9\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a $500\,\mathrm{hPa}$, saturada. Calcule ali seus $\theta$ e $\theta_e$. (c) Qual dos dois se conserva?

**Solução de Exercício 21.7.**

(a) $e = e_s(291.65\,\mathrm{K}) = 21.52\,\mathrm{hPa}$, $r = 0.622 \times 21.52/(971.1 - 21.52) =
14.1\,\mathrm{g}/\mathrm{kg}$; $\theta = 292.15 \times (1000/971.1)^{0.2857} = 294.6\,\mathrm{K}$; $\theta_e =
294.6 \exp[2.501 \times 10^6 \times 0.0141/(1004.5 \times 291.5)] = 294.6 \times 1.128 =
332.3\,\mathrm{K}$. (b) $e_s(264.25\,\mathrm{K}) = 3.13\,\mathrm{hPa}$, $r_s = 0.622 \times 3.13/(500 -
3.13) = 3.92\,\mathrm{g}/\mathrm{kg}$; $\theta = 264.25 \times 2^{0.2857} = 322.1\,\mathrm{K}$; a parcela está saturada, logo $T_{\text{NCL}} = T$ e $\theta_e = 322.1 \exp[2.501 \times 10^6 \times
0.00392/(1004.5 \times 264.25)] = 334.3\,\mathrm{K}$. (c) $\theta$ subiu $27.5\,\mathrm{K}$, aquecida pelo calor latente dos $10.2\,\mathrm{g}/\mathrm{kg}$ de vapor que condensaram; $\theta_e$ variou $0.6\,\%$, dentro da precisão de sua fórmula aproximada: ela se conserva.

**Exercício 21.8 ★★.**

Uma parcela é mais quente que o ambiente em $4\,\mathrm{K}$ entre $700\,\mathrm{hPa}$, seu NCE, e $300\,\mathrm{hPa}$, seu NE; despreze a correção de [temperatura virtual](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-virtual). (a) Calcule sua CAPE. (b) Calcule $w_{\max}$. (c) Em que classe cai a CAPE? (d) Num diagrama skew-T, que forma tem a área positiva, e por que sua área é a que foi calculada?

**Solução de Exercício 21.8.**

(a) $\text{CAPE} = 287.0 \times 4 \times \ln(700/300) = 287.0 \times 4 \times 0.847 =
973\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$. (b) $\sqrt{2 \times 973} = 44.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (c) Entre 1 e $1500\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$: positiva, mas não grande. (d) Uma faixa de largura horizontal constante entre duas curvas; pela [Proposição 21.14](#prop-b2-atmospheric-thermodynamics-areas) sua área é proporcional a $\int
\Delta T\,\mathrm{d}\ln p = 4 \ln(700/300)$, qualquer que seja a inclinação das isotermas.

**Exercício 21.9 ★★.**

Tome $A = 2.1\,\mathrm{nm}$ e o sulfato de amônio, $\kappa = 0.61$. (a) Calcule o diâmetro crítico e a [supersaturação](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-microphysics) crítica de uma partícula seca de $80\,\mathrm{nm}$. (b) Qual é a menor partícula seca ativada num ar a $0.3\,\%$ de [supersaturação](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-microphysics)? E a $0.1\,\%$? (c) Uma corrente ascendente eleva a [supersaturação](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-microphysics) de $0.1\,\%$ para $0.3\,\%$: o que acontece com o número de gotículas, e com seu tamanho para a mesma água líquida?

**Solução de Exercício 21.9.**

(a) $D_c = \sqrt{3 \times 0.61 \times 80^3/2.1}\,\mathrm{nm} = 668\,\mathrm{nm} =
0.668\,\text{µ}\mathrm{m}$; $s_c = 2A/(3D_c) = 2 \times 2.1/(3 \times 668) = 0.00210 =
0.210\,\%$. (b) Resolvendo $s_c = \sqrt{4A^3/(27\kappa D_d^3)}$ em $D_d$: $D_d =
\bigl(4A^3/(27\kappa s_c^2)\bigr)^{1/3}$, $63\,\mathrm{nm}$ a $0.3\,\%$ e $131\,\mathrm{nm}$ a $0.1\,\%$. (c) Todas as partículas entre 63 e $131\,\mathrm{nm}$ passam a se ativar também: mais gotículas e, para a mesma água líquida, menores.

**Exercício 21.10 ★★★.**

A parcela da superfície de Norman tinha uma CIN de cerca de $-130\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ com a [temperatura virtual](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-virtual). (a) Com que velocidade vertical ela teria de deixar o solo para chegar a seu NCE por seu próprio impulso? (b) O topo da inversão está a $889.1\,\mathrm{hPa}$ e $20.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Até que temperatura o ar da superfície a $971.1\,\mathrm{hPa}$ deve aquecer para que uma parcela levantada adiabaticamente a seco não fique mais fria que o topo da inversão? (c) Se seu ponto de orvalho ficasse em $18.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, onde ficaria a base de sua nuvem? (d) Cite duas maneiras pelas quais a atmosfera remove uma tampa assim sem o sol.

**Solução de Exercício 21.10.**

(a) $w = \sqrt{2 \times 130} = 16.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, impossível para um ar em repouso junto ao solo. (b) A temperatura potencial do topo da inversão é $293.65 \times (1000/889.1)^{0.2857} =
303.7\,\mathrm{K}$; uma parcela da superfície com esse $\theta$ tem $T = 303.7 \times (971.1/1000)^{0.2857}
= 301.2\,\mathrm{K}$, $28.0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (c) $125 \times (28.0 - 18.5) = 1190\,\mathrm{m}$ acima do solo, acima do antigo topo da inversão. (d) Uma frente, que levanta o ar sobre sua rampa; a lenta ascensão do ar à frente de uma perturbação em altitude, que resfria a própria tampa.

**Exercício 21.11 ★★★.**

(a) Mostre a partir da [Proposição 21.10](#prop-b2-atmospheric-thermodynamics-gamma-s) que $\Gamma_s \to \Gamma_d$ quando $r_s \to 0$. (b) Mostre que, quando $Lr_s/(R_dT) \gg 1$, $\Gamma_s \to gR_vT/(LR_d)$, e calcule-o a $303\,\mathrm{K}$. (c) Compare com o $\Gamma_{\text{orv}}$ da [Proposição 21.8](#prop-b2-atmospheric-thermodynamics-lcl) quando $T_d = T$, e explique por que os dois limites coincidem. (d) O limite de (b) é atingido na atmosfera? Use o valor $\Gamma_s =
3.4\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ a $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $1000\,\mathrm{hPa}$.

**Solução de Exercício 21.11.**

(a) Quando $r_s \to 0$, o numerador tende a $g$ e o denominador a $c_p$. (b) Escreva-se $L^2r_s/(R_vT^2) = c_p \times \bigl(Lr_s/(R_dT)\bigr) \times LR_d/(R_vTc_p)$, com $LR_d/(R_vTc_p) = 5.1$ a $303\,\mathrm{K}$: quando $Lr_s/(R_dT) \gg 1$, também $L^2r_s/(R_vT^2) \gg c_p$, e $\Gamma_s \to g\,(Lr_s/(R_dT))/(L^2r_s/(R_vT^2)) = gR_vT/(LR_d) = 9.81 \times 461.5 \times
303/(2.501 \times 10^6 \times 287.0) = 1.91\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$. (c) Com $T_d = T$, $\Gamma_{\text{orv}} = gR_vT/(LR_d)$, o mesmo. Nesse limite o calor latente é tão grande que a parcela quase não pode condensar seu vapor sem se aquecer muito acima de seu ponto de saturação: ela conserva sua [razão de mistura](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) e segue a linha de [razão de mistura](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) constante, ao longo da qual a temperatura cai segundo $\Gamma_{\text{orv}}$. (d) A $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $1000\,\mathrm{hPa}$, $Lr_s/(R_dT) = 0.81$, não muito maior que 1, e $L^2r_s/(R_vT^2) = 4180$, quatro vezes $c_p$: $\Gamma_s = 3.4\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$, ainda longe de $1.9\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$. O limite não é atingido.

**Exercício 21.12 ★★★.**

Sobre a água sobrerresfriada e sobre o gelo as [pressões de vapor](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) de saturação são 2.868 e $2.599\,\mathrm{hPa}$ a $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, 1.257 e $1.032\,\mathrm{hPa}$ a $-20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (a) Calcule a [supersaturação](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-microphysics) em relação ao gelo de um ar saturado em relação à água nas duas temperaturas. (b) Compare com as [supersaturações](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-microphysics) com que as gotículas se ativam. (c) Explique por que uma nuvem de gotículas sobrerresfriadas que recebe alguns cristais de gelo se transforma em gelo. (d) Por que o efeito é mais fraco perto de $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$?

**Solução de Exercício 21.12.**

(a) $2.868/2.599 = 1.104$ e $1.257/1.032 = 1.218$: $10.4\,\%$ e $21.8\,\%$. (b) As gotículas ativam-se a alguns décimos de por cento de [supersaturação](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-microphysics), dezenas de vezes menos. (c) Os cristais crescem depressa por deposição; retiram vapor do ar, que fica abaixo da saturação em relação às gotículas; as gotículas evaporam e seu vapor vai para o gelo (o processo de Bergeron), até a nuvem estar glaciada. (d) A $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ as duas [pressões de vapor](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) de saturação são iguais: encontram-se no ponto triplo, e a razão tende a um perto dele.

**Problema 21.1.**

Problema de fim de semana — ler a sondagem da manhã

A tabela dá a sondagem das 12 UTC de Norman, Oklahoma, em 16 de abril de 2026, nos níveis usados aqui: pressão, altitude acima do nível do mar, temperatura, ponto de orvalho, e a temperatura da parcela da superfície levantada como no [Método 21.15](#met-b2-atmospheric-thermodynamics-lift), calculada integrando a [Proposição 21.10](#prop-b2-atmospheric-thermodynamics-gamma-s) em pequenos passos. A sondagem indica a tropopausa a $235.3\,\mathrm{hPa}$ e $10\,954\,\mathrm{m}$. Use os dados dos exercícios e as temperaturas (não as temperaturas virtuais), salvo indicação em contrário.

| $p$ ($\mathrm{hPa}$) | $z$ ($\mathrm{m}$) | $T$ (${}^{\circ}\mathrm{C}$) | $T_d$ (${}^{\circ}\mathrm{C}$) | $T_{\text{parcel}}$ (${}^{\circ}\mathrm{C}$) |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 971.1 | 345 | 19.0 | 18.5 | 19.0 |
| 925.0 | 763 | 17.3 | 17.3 | 16.9 |
| 907.7 | 924 | 16.4 | 16.4 | 16.2 |
| 889.1 | 1102 | 20.5 | 9.5 | 15.4 |
| 850.0 | 1489 | 18.6 | $-1.8$ | 13.7 |
| 700.0 | 3110 | 4.5 | $-12.2$ | 6.1 |
| 500.0 | 5725 | $-18.4$ | $-36.6$ | $-8.9$ |
| 400.0 | 7357 | $-30.4$ | $-55.6$ | $-20.4$ |
| 300.0 | 9349 | $-42.7$ | $-66.3$ | $-37.1$ |
| 250.0 | 10560 | $-49.8$ | $-69.8$ | $-48.3$ |
| 200.0 | 12006 | $-52.3$ | $-78.3$ | $-61.8$ |

**Parte I — O ar junto ao solo.**

1. Calcule a [pressão de vapor](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) do ar da superfície, com uma casa decimal.
2. Calcule sua [razão de mistura](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) , com uma casa decimal.
3. Calcule sua [umidade específica](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-moist-air) .
4. Calcule sua umidade relativa.
5. Quanto sua [temperatura virtual](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-virtual) excede sua temperatura?
6. Calcule a altura de seu NCL acima do solo com a regra dos $125\,\mathrm{m}$ , e a pressão ali (tome uma [temperatura virtual](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-virtual) média de $294.7\,\mathrm{K}$ para a camada).
7. Calcule sua temperatura potencial.

**Parte II — A tampa e as camadas acima.**

8. A $925\,\mathrm{hPa}$ , a parcela está mais quente ou mais fria que o ambiente, e quanto?
9. Calcule o gradiente entre 907.7 e $889.1\,\mathrm{hPa}$ . Que tipo de camada é essa?
10. Quanto a parcela está mais fria que o ambiente a $889.1\,\mathrm{hPa}$ ?
11. Calcule a umidade relativa a $850\,\mathrm{hPa}$ . De onde poderia ter vindo esse ar?
12. Calcule o gradiente médio entre 850 e $500\,\mathrm{hPa}$ e classifique a camada.
13. Calcule o índice de levantamento e sua classe.

**Parte III — A energia.**

14. Calcule o excesso $\Delta T = T_{\text{parcela}} - T$ em cada nível da tabela.
15. Encontre o NCE interpolando $\Delta T$ linearmente em $\ln p$ , com aproximação de um hectopascal, e sua altitude interpolando $z$ da mesma maneira.
16. Encontre o NE e sua altitude da mesma maneira. Compare com a tropopausa.
17. Calcule a CAPE pela regra dos trapézios em $\ln p$ , do NCE ao NE passando pelos níveis da tabela.
18. Em que classe ela cai?
19. Calcule a CIN da mesma maneira, do solo até o NCE.
20. Um cálculo numa grade de $1\,\mathrm{hPa}$ dá uma CAPE de $2100\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ com as temperaturas e $2230\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ com as temperaturas virtuais. Por que os três valores diferem?

**Parte IV — A tempestade que o ar poderia alimentar.**

21. Que velocidade vertical dá a teoria da parcela com a CAPE da questão 17?
22. À metade dessa velocidade o tempo todo, quanto tempo o ar levaria para subir do NCE ao NE?
23. Cite dois efeitos que tornam mais lenta uma corrente ascendente real.
24. Em resumo: que velocidade de corrente ascendente a teoria da parcela prevê para uma tempestade alimentada pelo ar da superfície desta manhã?

**Solução de Problema 21.1.**

**1.** $e = e_s(291.65\,\mathrm{K}) = 21.5\,\mathrm{hPa}$. **2.** $r = 0.622 \times 21.5/(971.1 - 21.5) = 14.1\,\mathrm{g}/\mathrm{kg}$. **3.** $q = 14.1/1.0141 = 13.9\,\mathrm{g}/\mathrm{kg}$. **4.** $e_s(292.15\,\mathrm{K}) = 22.2\,\mathrm{hPa}$; $21.5/22.2 = 97\,\%$. **5.** $0.61 \times 0.0141 \times 292.15 = 2.5\,\mathrm{K}$. **6.** $125 \times 0.5 = 63\,\mathrm{m}$; $p = 971.1 \exp[-9.81 \times 62.5/(287.0 \times 294.7)]
= 964\,\mathrm{hPa}$. **7.** $\theta = 292.15 \times (1000/971.1)^{0.2857} = 294.6\,\mathrm{K}$. **8.** $16.9 - 17.3 = -0.4\,\mathrm{K}$: mais fria. **9.** $(20.5 - 16.4)/(1102 - 924) = 4.1/178$: a temperatura sobe $23\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$, um gradiente de $-23\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$. Uma inversão: absolutamente estável, uma tampa. **10.** $15.4 - 20.5 = -5.1\,\mathrm{K}$. **11.** $e_s(-1.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}) = 5.4\,\mathrm{hPa}$ e $e_s(18.6\,{}^{\circ}\mathrm{C}) =
21.7\,\mathrm{hPa}$: $25\,\%$. Quente e seco, pode ser um ar que desceu e se aqueceu por compressão, ou um ar aquecido sobre um solo seco a barlavento; não é o ar úmido de baixo. **12.** $18.6 + 18.4 = 37.0\,\mathrm{K}$ em $5725 - 1489 = 4236\,\mathrm{m}$, $8.73\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$: entre $\Gamma_s$ e $\Gamma_d$, condicionalmente instável. **13.** $-18.4 - (-8.9) = -9.5\,\mathrm{K}$: instabilidade extrema (de $-8$ a $-10$). **14.** Do solo para cima: 0, $-0.4$, $-0.2$, $-5.1$, $-4.9$, $+1.6$, $+9.5$, $+10.0$, $+5.6$, $+1.5$, $-9.5$ $\mathrm{K}$. **15.** Entre 850 ($-4.9$) e $700\,\mathrm{hPa}$ ($+1.6$), na fração $4.9/6.5 = 0.754$: $\ln p = \ln 850 + 0.754 \ln(700/850)$, $p = 734\,\mathrm{hPa}$; $z = 1489 + 0.754 \times 1621 =
2711\,\mathrm{m}$, $2.37\,\mathrm{km}$ acima do solo. **16.** Entre 250 ($+1.5$) e $200\,\mathrm{hPa}$ ($-9.5$), na fração $1.5/11.0 =
0.136$: $p = 242.5\,\mathrm{hPa}$ e $z = 10560 + 0.136 \times 1446 = 10\,757\,\mathrm{m}$, cerca de $200\,\mathrm{m}$ abaixo da tropopausa indicada ($10\,954\,\mathrm{m}$). **17.** Os segmentos ($\Delta T$ médio vezes o $\ln$ da razão de pressões): $0.80 \times 0.0474
= 0.038$; $5.55 \times 0.3365 = 1.867$; $9.75 \times 0.2231 = 2.176$; $7.80 \times 0.2877 =
2.244$; $3.55 \times 0.1823 = 0.647$; $0.75 \times 0.0305 = 0.023$; soma $6.995\,\mathrm{K}$. $\text{CAPE} = 287.0 \times 6.995 = 2010\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$, com três algarismos. **18.** Entre 1500 e $2500\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$: grande. **19.** $-0.2 \times 0.0486 - 0.3 \times 0.0189 - 2.65 \times 0.0207 - 5.0 \times 0.0450 -
2.45 \times 0.1467 = -0.655$ $\mathrm{K}$; $\text{CIN} = 287.0 \times (-0.655) = -188\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$. **20.** A tabela guarda apenas onze níveis: entre eles a regra dos trapézios substitui as curvas por segmentos retos em $\ln p$ e perde suas curvaturas. A grade de $1\,\mathrm{hPa}$ segue as curvas. A [temperatura virtual](#def-b2-atmospheric-thermodynamics-virtual) acrescenta o empuxo do vapor de água da parcela, mais abundante na parcela saturada que no ar seco à sua volta: uma CAPE maior, uma CIN menor. **21.** $\sqrt{2 \times 2010} = 63\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. **22.** $10757 - 2711 = 8046\,\mathrm{m}$ a $63.4/2 = 31.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $254\,\mathrm{s}$, cerca de quatro minutos. **23.** O peso da água condensada que a corrente ascendente carrega; a mistura com o ar mais seco à sua volta (entranhamento), que a resfria quando as gotículas evaporam. **24.** A teoria da parcela dá à corrente ascendente de uma tempestade alimentada por esse ar uma velocidade de cerca de **$63\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$**, um limite superior.