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title: "Ameaças e riscos geológicos"
book: "Ciências da Terra e do espaço universitárias — 2.º ano"
subject: earth
language: pt
chapter: 28
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/28-ameacas-e-riscos-geologicos
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Capítulo 28 — Ameaças e riscos geológicos

Um edifício projetado para o movimento do solo que é excedido, em média, uma vez em 475 anos tem uma chance em dez de enfrentá-lo durante uma vida útil de cinquenta anos. As duas afirmações são o mesmo número lido de duas maneiras, e passar de uma à outra é o trabalho diário da ciência das ameaças. Este capítulo constrói suas ferramentas: a probabilidade dos eventos raros, a [curva de ameaça](#def-b2-geological-hazards-psha) de um local, a estabilidade de uma encosta, a velocidade e a [altura máxima de inundação de um tsunami](#def-b2-geological-hazards-tsunami), a frequência das cheias, e a física que fixa quanto aviso prévio cada ameaça pode dar.

**O que você já sabe.**

**Dos volumes escolares**: ameaça natural, desastre natural e deslizamento; vulnerabilidade, risco, prevenção e o mapa de ameaças; o tsunami; o [período de retorno](#def-b2-geological-hazards-return) de uma cheia, e a fórmula dos postos $T = (n + 1)/m$ para um registro de $n$ picos anuais. **Do volume do primeiro ano**: a lei de Gutenberg–Richter $\log_{10} N(\geq M) = a - bM$ e seu valor b; o momento sísmico e a magnitude de momento; a pressão de fluido nos poros, a tensão efetiva $\sigma' = \sigma - u$ e o critério de ruptura de Coulomb $\tau = c' + \sigma' \tan\varphi'$. **Do [Capítulo 6](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/6-as-erupcoes-vulcanicas#ch-b2-eruptive-styles)**: as [correntes de densidade piroclásticas](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/6-as-erupcoes-vulcanicas#def-b2-eruptive-styles-pdc), os [lahares](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/6-as-erupcoes-vulcanicas#def-b2-eruptive-styles-lahar) e a queda de [tefra](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/6-as-erupcoes-vulcanicas#def-b2-eruptive-styles-tephra). **Dos livros de matemática**: as distribuições de Poisson e exponencial, a distribuição normal e sua função de distribuição $\Phi$. **Do volume do segundo ano dos livros de física**: a relação de dispersão das ondas de gravidade de superfície, $\omega^2 = gk\tanh(kh)$.

## 28.1 Ameaça, exposição e risco

**Definição 28.1 (Ameaça geológica, exposição, risco de desastre).**

Uma *ameaça geológica* é um processo ou fenômeno que se origina nos processos internos da Terra — um terremoto, uma erupção, um movimento de massa como um deslizamento ou um [fluxo de detritos](#def-b2-geological-hazards-slope) — e pode causar perda de vidas, ferimentos, danos ou perturbações. Ela é caracterizada por sua localização, sua intensidade ou magnitude, e sua frequência ou probabilidade. A *exposição* a uma ameaça é a situação das pessoas, dos edifícios, da infraestrutura e de outros bens situados onde a ameaça pode chegar, medida por seu número ou seu valor. O *risco de desastre* é a perda potencial de vidas, de saúde ou de bens que poderia ocorrer num período dado, determinada probabilisticamente a partir da ameaça, da exposição e da vulnerabilidade do que está exposto.

A terminologia internacional classifica os tsunamis à parte: desencadeados por terremotos e outros eventos geológicos, eles se tornam um processo oceânico e atingem como uma ameaça costeira, ligada à água. Este capítulo trata-os com as outras, porque sua fonte é geológica.

A definição contém um produto. Se eventos de intensidade $i$ ocorrem a uma taxa anual $\lambda_i$, se os bens expostos valem $E$, e se um evento de intensidade $i$ destrói uma fração $V_i$ deles (a vulnerabilidade, entre 0 e 1), a perda anual esperada é

$$
L = \sum_i \lambda_i \, E \, V_i ,\tag{28.1}
$$

frequentemente abreviada como risco = ameaça $\times$ [exposição](#def-b2-geological-hazards-risk) $\times$ vulnerabilidade. O risco anula-se quando qualquer fator se anula: um vulcão violento numa ilha vazia, uma cidade populosa num [cráton](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/18-a-terra-pre-cambriana#def-b2-precambrian-earth-craton) tranquilo, ou edifícios que resistem ao abalo. A ciência das ameaças mede o primeiro fator; a figura abaixo o situa entre os três.

![Os três fatores do risco de desastre. A perda esperada só é não nula onde os três se sobrepõem: uma ameaça que atinge algo exposto e capaz de ser prejudicado.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-geological-hazards/fig-cad2b5943dce.svg)

*Os três fatores do [risco de desastre](#def-b2-geological-hazards-risk). A perda esperada só é não nula onde os três se sobrepõem: uma ameaça que atinge algo exposto e capaz de ser prejudicado.*

## 28.2 A probabilidade dos eventos raros

**Definição 28.2 (Período de retorno).**

Sejam eventos de um tipo dado — uma cheia acima de uma vazão, um movimento do solo acima de um nível, um terremoto acima de uma magnitude — que ocorrem a uma taxa anual média $\lambda$. Seu *período de retorno* é $T = 1/\lambda$: o intervalo médio entre dois deles, e o inverso de sua taxa anual, não um calendário.

**Definição 28.3 (Probabilidade de excedência).**

A *probabilidade de excedência* de um nível num tempo de exposição $t$ é a probabilidade de que o nível seja igualado ou excedido pelo menos uma vez durante $t$.

**Proposição 28.4 (Modelo de recorrência de Poisson).**

Suponha-se que os eventos ocorram um de cada vez, independentemente uns dos outros e do tempo decorrido, a uma taxa média constante $\lambda = 1/T$. Então o número $N$ de eventos num tempo $t$ segue a distribuição de Poisson de média $\lambda t$; a [probabilidade de excedência](#def-b2-geological-hazards-poisson) em $t$ é

$$
P(t) = 1 - e^{-t/T};\tag{28.2}
$$

e o intervalo entre eventos sucessivos segue a distribuição exponencial de média $T$.

**Demonstração.** Seja $P_k(t)$ a probabilidade de $k$ eventos em $[0, t]$. Num intervalo curto $\mathrm{d}t$ um evento ocorre com probabilidade $\lambda\,\mathrm{d}t$, independentemente do passado, e dois com uma probabilidade de ordem superior. Logo $P_0(t + \mathrm{d}t) = P_0(t)(1 - \lambda\,\mathrm{d}t)$, isto é, $P_0' = -\lambda P_0$ com $P_0(0) = 1$: $P_0(t) = e^{-\lambda t}$, e $P(t) = 1 - P_0(t)$. Da mesma forma $P_k' = \lambda(P_{k-1} - P_k)$ para $k \geq 1$, resolvido por indução: $P_k(t) = (\lambda t)^k e^{-\lambda t}/k!$, a distribuição de Poisson de média $\lambda t$. A partir de um evento, o mesmo argumento dá a probabilidade de que o seguinte venha depois de $t$: $e^{-\lambda t}$, a função de sobrevivência da distribuição exponencial, cuja média é $\int_0^\infty e^{-\lambda t}\,\mathrm{d}t = 1/\lambda = T$. ∎

Duas consequências são usadas em toda parte. Para uma probabilidade $p$ num tempo de exposição $t$, o [período de retorno](#def-b2-geological-hazards-return) é $T = -t/\ln(1 - p)$: $10\,\%$ em 50 anos dá $T = 50/0.10536 =
474.6$ anos, o movimento “de 475 anos” das normas de construção, e $2\,\%$ em 50 anos dá 2475 anos. E quando $t \ll T$, $P \approx t/T$: a taxa pode ser lida como uma probabilidade por ano. Ao longo de um [período de retorno](#def-b2-geological-hazards-return) inteiro, ao contrário, a probabilidade é $1 - e^{-1} =
63\,\%$, não 1. A figura abaixo (à esquerda) traça [(28.2)](#eq-b2-geological-hazards-poisson) para três [períodos de retorno](#def-b2-geological-hazards-return).

O modelo é verdadeiro? O catálogo global de terremotos de magnitude pelo menos 7 contém 696 eventos de 1976 a 2025, 695 intervalos com uma média de 26.2 dias. Se fossem um processo de Poisson, a fração de intervalos mais longos que $t$ seria $e^{-t/26.2}$, uma reta num eixo logarítmico. A figura abaixo (à direita) mostra que quase é: $30.4\,\%$ dos intervalos são mais longos que 30 dias, contra $31.8\,\%$ para o modelo, e o desvio-padrão dos intervalos é 1.07 vez sua média, contra exatamente 1. O defeito está nos intervalos curtos: 36 pares caem no mesmo dia, réplicas e dupletos que um processo sem memória não agruparia. Os mapas de ameaça por isso removem de um catálogo os eventos dependentes, desagrupando-o, de modo que os choques principais restantes possam ser tratados como um processo de Poisson; suas taxas por magnitude vêm da lei de Gutenberg–Richter.

![À esquerda: a probabilidade de pelo menos um evento num tempo de exposição t para períodos de retorno de 50, 475 e 2475 anos; o evento de 475 anos tem uma chance de 10\,\% em 50 anos. À direita: os intervalos entre os 696 terremotos de magnitude pelo menos 7 do catálogo global de 1976–2025, comparados com a lei exponencial de um processo de Poisson de mesma taxa. Dados: catálogo ANSS ComCat do USGS.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-geological-hazards/fig-7a8163a6dc75.svg)

![À esquerda: a probabilidade de pelo menos um evento num tempo de exposição t para períodos de retorno de 50, 475 e 2475 anos; o evento de 475 anos tem uma chance de 10\,\% em 50 anos. À direita: os intervalos entre os 696 terremotos de magnitude pelo menos 7 do catálogo global de 1976–2025, comparados com a lei exponencial de um processo de Poisson de mesma taxa. Dados: catálogo ANSS ComCat do USGS.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-geological-hazards/fig-2ecce5df20da.svg)

*À esquerda: a probabilidade de pelo menos um evento num tempo de exposição $t$ para [períodos de retorno](#def-b2-geological-hazards-return) de 50, 475 e 2475 anos; o evento de 475 anos tem uma chance de $10\,\%$ em 50 anos. À direita: os intervalos entre os 696 terremotos de magnitude pelo menos 7 do catálogo global de 1976–2025, comparados com a lei exponencial de um processo de Poisson de mesma taxa. Dados: catálogo ANSS ComCat do USGS.*

## 28.3 A ameaça sísmica

**Definição 28.5 (Análise probabilística da ameaça sísmica, equação de predição do movimento do solo, aceleração de pico do solo, curva de ameaça).**

A *aceleração de pico do solo* (PGA) num local é a maior aceleração horizontal absoluta do solo durante um terremoto, expressa em geral como uma fração de $g$. Uma *equação de predição do movimento do solo* (GMPE) dá a distribuição de probabilidade de uma medida do abalo, como a PGA, num local — uma mediana e uma dispersão — em função da magnitude, da distância à fonte e das condições do terreno. A *análise probabilística da ameaça sísmica* (PSHA) combina todos os terremotos que podem afetar um local, com suas taxas e distâncias, com uma GMPE, para dar a taxa anual à qual cada nível de abalo é excedido. A curva dessa taxa em função do nível é a *curva de ameaça* do local.

A PGA é o que uma partícula do solo sente. Um edifício responde à parte do movimento perto de seu próprio período natural, e as normas também mapeiam essa resposta, a aceleração espectral; a PGA mantém o raciocínio simples e é usada aqui.

**Método 28.6 (Uma análise probabilística da ameaça sísmica).**

1. **Fontes.** Mapeie as falhas e as zonas sismogênicas em torno do local, e a distância $d$ de cada uma ao local.
2. **Recorrência.** Para cada fonte, tome a taxa anual de terremotos por magnitude a partir de uma lei de Gutenberg–Richter, truncada numa magnitude máxima $M_{\max}$ : $N(\geq m) = 10^{a - bm} - 10^{a - bM_{\max}}$ , a partir de uma magnitude mínima $M_{\min}$ . Corte o intervalo em faixas de taxa $\nu_j$ em torno das magnitudes $m_j$ .
3. **Movimento do solo.** A partir da GMPE, tome a mediana $\mu_j = \log_{10}\mathrm{PGA}$ e a dispersão $\sigma$ para cada faixa; a probabilidade de que a PGA exceda $a$ é $1 - \Phi\bigl((\log_{10} a - \mu_j)/\sigma\bigr)$ .
4. **Soma.** A taxa anual de excedência de $a$ é $\lambda(a) = \sum_j \nu_j  \bigl[1 - \Phi\bigl((\log_{10} a - \mu_j)/\sigma\bigr)\bigr]$ , somada sobre todas as fontes.
5. **Leitura.** A PGA com uma probabilidade $p$ de excedência em $t$ anos é o nível em que $\lambda(a) = -\ln(1 - p)/t$ : $2.107 \times 10^{-3}$ por ano para $10\,\%$ em 50 anos.

A GMPE usada neste capítulo é a de Boore, Joyner e Fumal, ajustada a 271 registros de 20 terremotos do oeste da América do Norte: para uma componente horizontal aleatória, em unidades de $g$,

$$
\log_{10}\mathrm{PGA} = -0.105 + 0.229\,(M - 6) - 0.778\log_{10} r + 0.162\,G_B + 0.251\,G_C,
\qquad r = \sqrt{d^2 + 5.57^2},\tag{28.3}
$$

com $M$ a magnitude de momento, $d$ a distância em quilômetros à projeção na superfície da ruptura, e uma dispersão $\sigma = 0.230$ em torno da mediana. Ela vale para $5.0 \leq M \leq 7.7$ e $d
\leq 100\,\mathrm{km}$. A constante $5.57\,\mathrm{km}$ é uma profundidade fictícia ajustada pela regressão, que mantém o movimento finito acima da fonte. Uma magnitude 6 a $15\,\mathrm{km}$ dá uma mediana de $0.091\,\mathrm{g}$, uma magnitude 7.5 $0.200\,\mathrm{g}$; um desvio-padrão multiplica ou divide a mediana por $10^{0.230} = 1.70$.

Os termos $G_B$ e $G_C$ carregam o efeito de sítio. Os locais são classificados pela velocidade média das ondas de cisalhamento em seus $30\,\mathrm{m}$ superiores: classe A acima de $750\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ ($G_B = G_C = 0$), classe B de 360 a $750\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ ($G_B = 1$) e classe C de 180 a $360\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ ($G_C = 1$). Um terreno mole multiplica o movimento da rocha por $10^{0.162} = 1.45$ na classe B e $10^{0.251} = 1.78$ na classe C: uma onda que entra num material mais lento desacelera, encurta e cresce em amplitude, e uma camada mole ou uma bacia preenchida de sedimentos pode entrar em ressonância e aprisioná-la.

A figura abaixo aplica o método a uma única zona sismogênica a $15\,\mathrm{km}$ de um local em rocha, com $a
= 4.0$, $b = 1.0$, $M_{\min} = 5$ e $M_{\max} = 7.5$: cerca de 0.1 terremoto de magnitude 5 ou mais por ano. Para PGA pequenas a curva tende a essa taxa, pois todo terremoto excede um nível fraco. A PGA de $10\,\%$ em 50 anos é $0.22\,\mathrm{g}$. Se cada terremoto tivesse produzido exatamente sua mediana, a mesma taxa seria atingida a $0.13\,\mathrm{g}$, e nenhum nível acima da mediana do maior terremoto, $0.20\,\mathrm{g}$, poderia jamais ser excedido. A dispersão domina os níveis raros: o movimento de 475 anos vem em grande parte de terremotos moderados que abalam mais forte que sua mediana.

![Uma curva de ameaça: a taxa anual à qual a PGA num local em rocha excede cada nível, para uma zona sismogênica a 15\, km (recorrência de Gutenberg–Richter truncada, b = 1, magnitudes 5 a 7.5) e a GMPE de Boore, Joyner e Fumal. As linhas pontilhadas leem o nível de 10\,\% em 50 anos. Sem a dispersão (tracejado) a curva para no movimento mediano do maior terremoto.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-geological-hazards/fig-3713a694c695.svg)

*Uma [curva de ameaça](#def-b2-geological-hazards-psha): a taxa anual à qual a PGA num local em rocha excede cada nível, para uma zona sismogênica a $15\,\mathrm{km}$ (recorrência de Gutenberg–Richter truncada, $b = 1$, magnitudes 5 a 7.5) e a GMPE de Boore, Joyner e Fumal. As linhas pontilhadas leem o nível de $10\,\%$ em 50 anos. Sem a dispersão (tracejado) a curva para no movimento mediano do maior terremoto.*

## 28.4 A ameaça vulcânica

Um vulcão ameaça por meio de vários processos ao mesmo tempo, cada um com seu próprio alcance: a [tefra](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/6-as-erupcoes-vulcanicas#def-b2-eruptive-styles-tephra) cai longe na direção do vento, as [correntes de densidade piroclásticas](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/6-as-erupcoes-vulcanicas#def-b2-eruptive-styles-pdc) e os [lahares](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/6-as-erupcoes-vulcanicas#def-b2-eruptive-styles-lahar) seguem os vales, os derrames de lava avançam lentamente ([Capítulo 6](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/6-as-erupcoes-vulcanicas#ch-b2-eruptive-styles)). Seu mapa de ameaças traça uma zona para cada um, a partir dos depósitos de erupções passadas e de modelos de escoamento e de queda. As probabilidades são construídas de modo diferente das dos terremotos, porque um vulcão que desperta não é um processo estacionário. Uma árvore de eventos leva da agitação aos desfechos por ramos, cada um de um evento prévio necessário a um desfecho mais específico — agitação, magmática ou não; erupção ou não; explosiva ou efusiva; um [fluxo piroclástico](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/6-as-erupcoes-vulcanicas#def-b2-eruptive-styles-pdc) que atinge um dado vale ou não. A probabilidade de um desfecho é o produto das probabilidades condicionais ao longo de seu ramo. Com $M$ uma agitação magmática, $E$ uma erupção, $X$ uma [erupção explosiva](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/6-as-erupcoes-vulcanicas#def-b2-eruptive-styles-regimes) e $V$ um fluxo no vale,

$$
P(V) = P(M) \, P(E \mid M) \, P(X \mid E) \, P(V \mid X),
$$

cada fator estimado a partir do passado do vulcão, de vulcões comparáveis ou de modelos, e revisto com o teorema de Bayes à medida que chegam novos dados de monitoramento ([Exercício 28.8](#exo-b2-geological-hazards-8)).

## 28.5 Os deslizamentos

Uma encosta permanece de pé enquanto a resistência de seu material, ao longo de qualquer superfície sobre a qual poderia deslizar, excede a tensão que a gravidade aplica ali. A resistência é o critério de Coulomb do volume do primeiro ano, escrito em tensão efetiva: a água nos poros suporta parte da carga normal e reduz o atrito.

**Definição 28.7 (Fator de segurança, fluxo de detritos).**

O *fator de segurança* $F$ de uma encosta ao longo de uma superfície potencial de deslizamento é a razão entre a resistência ao cisalhamento disponível na superfície e a tensão de cisalhamento necessária para o equilíbrio. A encosta é estável para $F > 1$ e rompe quando $F$ cai a 1. Um *fluxo de detritos* é um escoamento rápido de lama, areia, cascalho, blocos e madeira saturados de água que desce por um canal como uma só massa densa, os grãos suportando grande parte de seu peso, e se espalha no leque na saída do canal.

**Proposição 28.8 (Encosta infinita).**

Uma camada de solo de peso específico $\gamma$ e espessura $z$, medida na vertical, repousa sobre uma superfície de deslizamento paralela ao terreno a um ângulo $\beta$; sua resistência é $c'$ e $\varphi'$, e a pressão neutra na superfície é $u = r_u \gamma z$. Se a camada for longa o bastante para que suas extremidades sejam desprezadas,

$$
F = \frac{c' + \gamma z\,(\cos^2\beta - r_u)\tan\varphi'}{\gamma z \sin\beta\cos\beta}.\tag{28.4}
$$

Para uma camada seca e sem coesão, $F = \tan\varphi'/\tan\beta$: ela se mantém até $\beta = \varphi'$.

**Demonstração.** Tome-se uma coluna da camada de largura horizontal $b$. Seu peso é $W = \gamma z b$ por unidade de comprimento transversal à encosta, e sua base, paralela à superfície, tem comprimento $b/\cos\beta$. As forças em seus dois lados são iguais e opostas numa encosta infinita e se anulam. Decompondo $W$ normal e paralelamente à base, e dividindo por seu comprimento, as tensões normal e de cisalhamento na base são $\sigma = \gamma z\cos^2\beta$ e $\tau = \gamma z \sin\beta\cos\beta$. A tensão normal efetiva é $\sigma' = \sigma - u = \gamma z(\cos^2\beta - r_u)$, a resistência disponível $c' +
\sigma'\tan\varphi'$, e $F$ é a razão entre elas. Com $c' = 0$ e $r_u = 0$, $F = \cos^2\beta
\tan\varphi'/(\sin\beta\cos\beta) = \tan\varphi'/\tan\beta$. ∎

![À esquerda: a encosta infinita, uma camada de espessura z sobre uma superfície de deslizamento paralela ao terreno, com uma coluna de peso W. À direita: seu fator de segurança em função da razão de pressão neutra, para c' = 5\, kPa, ' = 35, = 19\, kN\, m-3 e z = 2\, m, para três ângulos de encosta. A pressão neutra crescente leva cada encosta à ruptura.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-geological-hazards/fig-70e26dcbb511.svg)

![À esquerda: a encosta infinita, uma camada de espessura z sobre uma superfície de deslizamento paralela ao terreno, com uma coluna de peso W. À direita: seu fator de segurança em função da razão de pressão neutra, para c' = 5\, kPa, ' = 35, = 19\, kN\, m-3 e z = 2\, m, para três ângulos de encosta. A pressão neutra crescente leva cada encosta à ruptura.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-geological-hazards/fig-5ea04db0cb1c.svg)

*À esquerda: a encosta infinita, uma camada de espessura $z$ sobre uma superfície de deslizamento paralela ao terreno, com uma coluna de peso $W$. À direita: seu [fator de segurança](#def-b2-geological-hazards-slope) em função da razão de pressão neutra, para $c' = 5\,\mathrm{kPa}$, $\varphi' = 35{}^{\circ}$, $\gamma = 19\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}^{-3}$ e $z =
2\,\mathrm{m}$, para três ângulos de encosta. A pressão neutra crescente leva cada encosta à ruptura.*

A equação [(28.4)](#eq-b2-geological-hazards-infinite-slope) nomeia os dois gatilhos comuns. A chuva eleva o nível freático e com ele $r_u$; $F$ cai linearmente com $r_u$, de modo que uma encosta segura quando seca rompe quando molhada: na figura acima, a encosta de $35{}^{\circ}$ rompe em $r_u = 0.19$, a de $25{}^{\circ}$ só em 0.46. O abalo acrescenta uma força horizontal: se ela é representada por $kW$, sendo $k$ uma fração de $g$, o numerador perde $\gamma z k \sin\beta\cos\beta\tan\varphi'$ e o denominador ganha $\gamma z k\cos^2\beta$ — uma análise pseudoestática, admitida aqui, que substitui um abalo breve por uma força constante. O termo de coesão, $c'/(\gamma z\sin\beta\cos\beta)$, diminui à medida que a camada se espessa, de modo que a coesão protege os solos finos mais que os profundos.

Em dezembro de 1999 uma tempestade de três dias despejou $911\,\mathrm{mm}$ de chuva em Maiquetía, no litoral ao norte de Caracas. Milhares de deslizamentos rasos começaram nas encostas da Serra de Ávila, em declives de $30{}^{\circ}$ a mais de $60{}^{\circ}$, $42{}^{\circ}$ em média. Nos canais eles se juntaram em [fluxos de detritos](#def-b2-geological-hazards-slope), que se moviam a 3 a $14\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ segundo a superelevação de sua superfície nas curvas, e transportaram blocos de até $11\,\mathrm{m}$ de comprimento. No leque de Caraballeda, mostrado abaixo, deixaram até $6\,\mathrm{m}$ de detritos com blocos, cerca de 1.8 milhão de metros cúbicos. O número de mortos é geralmente dado como cerca de $30\,000$.

![Depósitos de fluxos de detritos no leque de Caraballeda, no litoral da Venezuela, depois da tempestade de dezembro de 1999: os fluxos saíram do canal principal e soterraram a cidade sob blocos. Fotografia de Lawson Smith, U.S. Army Corps of Engineers (domínio público).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-geological-hazards/img-2a81411162ce.jpg)

*Depósitos de [fluxos de detritos](#def-b2-geological-hazards-slope) no leque de Caraballeda, no litoral da Venezuela, depois da tempestade de dezembro de 1999: os fluxos saíram do canal principal e soterraram a cidade sob blocos. Fotografia de Lawson Smith, U.S. Army Corps of Engineers (domínio público).*

## 28.6 Os tsunamis

Um tsunami produzido pelo soerguimento brusco do fundo do mar tem um comprimento de onda de dezenas a centenas de quilômetros, muito mais que a profundidade do oceano. É uma onda longa, e sua velocidade depende apenas da profundidade.

**Proposição 28.9 (Ondas longas).**

Uma onda de gravidade de superfície cujo comprimento de onda é muito maior que a profundidade $h$ da água propaga-se a $c = \sqrt{gh}$, qualquer que seja seu comprimento de onda. Onde ela avança lentamente para águas mais rasas sem se refletir nem quebrar, sua amplitude $A$ cresce como $h^{-1/4}$.

**Demonstração.** A relação de dispersão dá a velocidade de fase $c = \omega/k = \sqrt{(g/k)\tanh(kh)}$. Para uma onda longa $kh = 2\pi h/\lambda \ll 1$, e $\tanh(kh) \approx kh$, logo $c = \sqrt{gh}$, independente de $k$: as ondas longas não se dispersam. A energia da onda por unidade de área da superfície do mar é $\frac12
\rho g A^2$, e ela se propaga a $c$. Se nenhuma energia é refletida ou perdida, o fluxo $\frac12\rho g A^2
c$ através de qualquer seção é o mesmo ao longo do trajeto: $A^2 \sqrt{h}$ é constante, e $A \propto
h^{-1/4}$. ∎

Sobre $4000\,\mathrm{m}$ de água um tsunami propaga-se a $198\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, $713\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$; sobre $5000\,\mathrm{m}$, $797\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$, os “mais de 800 km/h” citados pelos serviços de alerta. Perto da costa, em $10\,\mathrm{m}$ de água, ele desacelera para $36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$; sua frente é alcançada pela água de trás, a onda encurta e se empina, e sua altura cresce.

**Definição 28.10 (Altura máxima de inundação de um tsunami).**

A *altura máxima de inundação de um tsunami* num ponto da costa é a altura, acima do nível do mar no momento, do terreno mais alto que a água atinge ali, terra adentro. A distância horizontal da linha de costa até esse ponto é a distância de inundação.

As equipes de levantamento medem as alturas máximas de inundação a partir de marcas de água, linhas de detritos e danos depois de cada tsunami. O banco de dados global de tsunamis contém $2177$ observações de altura máxima de inundação para o tsunami do oceano Índico de 26 de dezembro de 2004, produzido por um terremoto de magnitude 9.1 ao largo de Sumatra, com uma altura máxima da água de $50.9\,\mathrm{m}$, e $6429$ para o tsunami de 11 de março de 2011 ao largo de Honshu, também de magnitude 9.1, com um máximo de $39.3\,\mathrm{m}$. Os dois mataram $227\,899$ e $18\,423$ pessoas. Em Banda Aceh, a água atingiu o meio do segundo andar da mesquita abaixo.

![Banda Aceh, Sumatra, em 21 de janeiro de 2005, depois do tsunami de 26 de dezembro de 2004: uma mesquita permanece de pé no meio dos escombros dos edifícios ao seu redor. Fotografia do U.S. Geological Survey (domínio público).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-geological-hazards/img-bd08782a390e.jpg)

*Banda Aceh, Sumatra, em 21 de janeiro de 2005, depois do tsunami de 26 de dezembro de 2004: uma mesquita permanece de pé no meio dos escombros dos edifícios ao seu redor. Fotografia do U.S. Geological Survey (domínio público).*

## 28.7 As cheias

**Definição 28.11 (Curva de frequência de cheias).**

A *curva de frequência de cheias* de um rio numa estação fluviométrica é a curva da vazão de pico anual em função de seu [período de retorno](#def-b2-geological-hazards-return), ou de sua probabilidade anual de excedência, construída a partir do registro de picos anuais da estação e em geral estendida por uma lei de probabilidade ajustada.

A fórmula dos postos dos volumes escolares posiciona os pontos da curva. Ela tem uma razão.

**Proposição 28.12 (Posição de plotagem de Weibull).**

Sejam $n$ picos anuais independentes e extraídos da mesma distribuição contínua, e seja $G(x)$ a probabilidade de que o pico de um ano exceda $x$. O pico de posto $m$, contado a partir do maior, tem uma [probabilidade de excedência](#def-b2-geological-hazards-poisson) esperada $m/(n + 1)$, de modo que é plotado em $T = (n +
1)/m$.

**Demonstração.** $U = G(X)$ é uniforme em $[0, 1]$ para uma lei contínua, e $G$ é decrescente, logo o $m$-ésimo maior pico corresponde ao $m$-ésimo menor de $n$ variáveis uniformes independentes, $U_{(m)}$. Sua densidade é $f(u) = \frac{n!}{(m-1)!\,(n-m)!}u^{m-1}(1-u)^{n-m}$: um dos $n$ valores em $u$, $m - 1$ abaixo e $n - m$ acima. Com a integral Beta $\int_0^1 u^{p}(1-u)^{q}\,\mathrm{d}u
= p!\,q!/(p + q + 1)!$,

$$
\mathbb{E}[U_{(m)}] = \frac{n!}{(m-1)!\,(n-m)!}\cdot\frac{m!\,(n-m)!}{(n+1)!} = \frac{m}{n+1}. \qedhere
$$

∎

O maior pico de um registro de 30 anos é portanto plotado em 31 anos, e nada no registro fixa a cheia de 100 anos. Para alcançá-la, os picos são ajustados com uma lei de extremos, frequentemente a de Gumbel, $\Pr(\text{pico} \leq x) = \exp\bigl(-e^{-(x - u)/\alpha}\bigr)$, cuja cheia de $T$ anos é $x_T = u
- \alpha\ln\bigl(-\ln(1 - 1/T)\bigr)$: uma reta em função de $-\ln(-\ln(1 - 1/T))$, extrapolada além do registro com um risco que cresce com a distância.

## 28.8 Monitoramento e alerta precoce

**Definição 28.13 (Sistema de alerta precoce).**

Um *sistema de alerta precoce* é um sistema integrado de monitoramento de ameaças, previsão, avaliação de risco, comunicação e preparação que permite uma ação oportuna antes de um evento perigoso. Ele reúne quatro elementos: o conhecimento do risco; a detecção, o monitoramento e a previsão da ameaça; a difusão dos alertas; e a preparação para responder.

A física fixa quanto tempo cada alerta pode dar. As ondas sísmicas não podem ser ultrapassadas, mas as ondas S destrutivas propagam-se a cerca de $3.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ na crosta superior, contra $5.8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ para as ondas P: um alerta calculado a partir das primeiras ondas P registradas perto do epicentro chega a uma cidade antes das ondas S, em $d(1/3.2 - 1/5.8) = 0.14\,\mathrm{s}$ por quilômetro de distância $d$, menos o tempo de detectar e calcular. Uma cidade a $100\,\mathrm{km}$ ganha no máximo $14\,\mathrm{s}$; perto da fonte uma zona cega não ganha nada ([Exercício 28.12](#exo-b2-geological-hazards-12)). Um tsunami que atravessa $100\,\mathrm{km}$ de mar de $2000\,\mathrm{m}$ de profundidade leva 12 minutos; através de um oceano, leva horas. Em 2011, o alerta japonês foi emitido cerca de três minutos depois do terremoto, mas com uma magnitude estimada baixa demais, porque os instrumentos saturaram; ele foi atualizado com dados de uma boia GPS ao largo cerca de 28 minutos depois. Registradores de pressão de oceano profundo, que convertem a pressão no fundo do mar a cada 15 segundos numa altura da superfície do mar, transmitem hoje por satélite a passagem dos tsunamis.

**No campo — Acompanhar uma encosta em movimento.**

Numa encosta conhecida por rastejar, as equipes de monitoramento instalam instrumentos que medem as variáveis da equação da encosta infinita. Piezômetros em furos de sondagem registram a pressão neutra na superfície de deslizamento; tubos inclinométricos, lidos a intervalos de profundidade, mostram onde o terreno se curva e com que rapidez; estações GNSS e extensômetros registram o movimento da superfície; um pluviômetro registra o gatilho. As equipes comparam o movimento com a chuva e a pressão da água, estação após estação, e procuram a aceleração que precede a ruptura.

## Exercícios

Dados para os exercícios, salvo indicação em contrário: $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$; peso específico da água $9.81\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}^{-3}$; a GMPE [(28.3)](#eq-b2-geological-hazards-gmpe) em rocha ($G_B = G_C = 0$), $\sigma = 0.230$; velocidades P e S na crosta superior 5.8 e $3.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Arredonde a três algarismos significativos.

**Exercício 28.1 ★.**

Pelo modelo de Poisson: (a) qual é a probabilidade de pelo menos uma cheia de 100 anos em 30 anos? (b) Qual é a probabilidade de que um século passe sem uma cheia de 100 anos? (c) Encontre o [período de retorno](#def-b2-geological-hazards-return) do movimento com uma chance de $5\,\%$ de excedência em 50 anos.

**Solução de Exercício 28.1.**

(a) $1 - e^{-30/100} = 0.259$. (b) $e^{-100/100} = e^{-1} = 0.368$: mais de um século em cada três passa sem nenhuma. (c) $T = -50/\ln 0.95 = 975$ anos.

**Exercício 28.2 ★.**

Duas cidades enfrentam abalos fortes. Na cidade A, eles ocorrem a uma taxa de uma vez em 200 anos e destruiriam $2\,\%$ de seus 5000 edifícios; na cidade B, uma vez em 50 anos, destruindo $10\,\%$ de seus 800 edifícios. (a) Encontre o número esperado de edifícios destruídos por ano em cada cidade. (b) Qual cidade tem o maior risco, embora tenha a menor [exposição](#def-b2-geological-hazards-risk)? (c) Qual dos três fatores faz a diferença?

**Solução de Exercício 28.2.**

(a) Cidade A: $(1/200) \times 5000 \times 0.02 = 0.5$ edifício por ano; cidade B: $(1/50) \times 800
\times 0.10 = 1.6$. (b) A cidade B, com 6.25 vezes menos edifícios expostos. (c) Sua ameaça é 4 vezes mais frequente e sua vulnerabilidade 5 vezes maior: juntas, um fator 20, que supera a [exposição](#def-b2-geological-hazards-risk) menor.

**Exercício 28.3 ★.**

(a) Encontre a velocidade de um tsunami sobre profundidades de 4000, 200 e $10\,\mathrm{m}$. (b) Quanto tempo ele leva para atravessar $1500\,\mathrm{km}$ de oceano de $4000\,\mathrm{m}$ de profundidade? (c) A que profundidade ele se propagaria a $800\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$?

**Solução de Exercício 28.3.**

(a) $\sqrt{9.81 \times 4000} = 198\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\sqrt{9.81 \times 200} = 44.3\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\sqrt{9.81 \times 10} = 9.90\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) $1.5 \times 10^{6}/198.1 = 7570\,\mathrm{s}$, $2.10\,\mathrm{h}$. (c) $800/3.6 = 222.2\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, e $h = c^2/g = 222.2^2/9.81 = 5030\,\mathrm{m}$.

**Exercício 28.4 ★.**

Uma areia seca e sem coesão com $\varphi' = 33{}^{\circ}$ forma uma encosta longa. (a) Encontre seu [fator de segurança](#def-b2-geological-hazards-slope) a $25{}^{\circ}$. (b) Qual é a encosta mais íngreme que ela pode formar? (c) A encosta fica saturada, com o nível freático na superfície e percolação paralela a ela, de modo que $r_u = \gamma_w\cos^2\beta/\gamma$ com $\gamma = 20\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}^{-3}$. Mostre que $F = (1 - \gamma_w/\gamma)\tan\varphi'/\tan\beta$ e calcule-o a $25{}^{\circ}$.

**Solução de Exercício 28.4.**

(a) $\tan33{}^{\circ}/\tan25{}^{\circ} = 0.6494/0.4663 = 1.39$. (b) $F = 1$ quando $\beta = \varphi' =
33{}^{\circ}$. (c) Com $c' = 0$, $F = (\cos^2\beta - r_u)\tan\varphi'/(\sin\beta\cos\beta)$, e $\cos^2\beta
- r_u = \cos^2\beta\,(1 - \gamma_w/\gamma)$, logo $F = (1 - \gamma_w/\gamma)\tan\varphi'/\tan\beta$: a água reduz o atrito à metade. $(1 - 9.81/20) \times 1.393 = 0.510 \times 1.393 = 0.710$: a encosta rompe.

**Exercício 28.5 ★★.**

O catálogo global contém 696 terremotos de magnitude pelo menos 7 nos 50 anos de 1976–2025, e o intervalo médio entre eles é de 26.2 dias. (a) Encontre sua taxa anual média. (b) Pelo modelo de Poisson, qual é a probabilidade de que 30 dias passem sem nenhum? Compare com a fração observada de intervalos mais longos que 30 dias, 0.304. (c) Qual é a probabilidade de pelo menos um numa semana dada?

**Solução de Exercício 28.5.**

(a) $696/50 = 13.9$ por ano. (b) $e^{-30/26.2} = 0.318$, contra 0.304 observado: próximo. O valor observado é um pouco menor porque as réplicas e os dupletos agrupados acrescentam intervalos curtos. (c) $1 - e^{-7/26.2} = 0.234$.

**Exercício 28.6 ★★.**

(a) Encontre a PGA mediana de um terremoto de magnitude 6.5 em rocha a $d = 0$, 10, 30 e $100\,\mathrm{km}$. (b) Qual seria ela a $10\,\mathrm{km}$ num local de classe C? (c) Entre que valores fica a PGA em rocha a $10\,\mathrm{km}$ com uma probabilidade de cerca de $68\,\%$?

**Solução de Exercício 28.6.**

(a) O termo de magnitude é $-0.105 + 0.229 \times 0.5 = 0.0095$. Para $d = 0$, 10, 30 e $100\,\mathrm{km}$, $r = 5.57$, 11.45, 30.51 e $100.2\,\mathrm{km}$, $\log_{10}\mathrm{PGA} = -0.571$, $-0.814$, $-1.145$ e $-1.547$, e a PGA mediana é 0.269, 0.153, 0.0715 e $0.0284\,\mathrm{g}$. (b) $0.153 \times 10^{0.251} = 0.153 \times 1.78 = 0.272\,\mathrm{g}$. (c) Um desvio-padrão de cada lado: de $0.153/1.70 = 0.0900\,\mathrm{g}$ a $0.153 \times 1.70 = 0.260\,\mathrm{g}$.

**Exercício 28.7 ★★.**

Os picos anuais de um rio ao longo de 12 anos foram, em $\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-1}$: 212, 148, 305, 176, 251, 133, 188, 420, 160, 229, 195, 268. (a) Dê os [períodos de retorno](#def-b2-geological-hazards-return) dos quatro maiores. (b) Estime a cheia de 10 anos interpolando linearmente em $\ln T$ entre os dois maiores. (c) Por que este registro não pode dizer nada confiável sobre a cheia de 100 anos?

**Solução de Exercício 28.7.**

(a) Em ordem: 420 ($T = 13/1 = 13$ anos), 305 (6.5), 268 (4.33), 251 (3.25). (b) $305 + (420 -
305)\ln(10/6.5)/\ln(13/6.5) = 305 + 115 \times 0.621 = 376\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-1}$. (c) O maior pico é plotado em 13 anos; qualquer valor em 100 anos extrapola muito além do registro, com uma lei de extremos cuja escolha e cujos parâmetros os 12 pontos mal restringem.

**Exercício 28.8 ★★.**

Num vulcão agitado o observatório estima: agitação magmática 0.6; erupção se magmática 0.4; explosiva se houver erupção 0.5; um [fluxo piroclástico](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/6-as-erupcoes-vulcanicas#def-b2-eruptive-styles-pdc) que atinge um dado vale se explosiva 0.3. (a) Encontre a probabilidade de um [fluxo piroclástico](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/6-as-erupcoes-vulcanicas#def-b2-eruptive-styles-pdc) no vale. (b) Encontre a probabilidade de uma erupção, e de uma erupção sem fluxo no vale. (c) Novos dados de deformação elevam a probabilidade de uma erupção, se a agitação é magmática, para 0.7. Atualize (a).

**Solução de Exercício 28.8.**

(a) $0.6 \times 0.4 \times 0.5 \times 0.3 = 0.036$. (b) $P(\text{erupção}) = 0.6 \times 0.4 = 0.24$; sem fluxo no vale, $0.24 - 0.036 = 0.204$. (c) $0.6 \times 0.7 \times 0.5 \times 0.3 =
0.063$.

**Exercício 28.9 ★★.**

Um solo seco com $c' = 8\,\mathrm{kPa}$, $\varphi' = 30{}^{\circ}$ e $\gamma = 19\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}^{-3}$ repousa sobre uma encosta de $35{}^{\circ}$. (a) Encontre a espessura $z_c$ para a qual $F = 1$. (b) Encontre $F$ para uma camada de $2\,\mathrm{m}$ de espessura. (c) A mesma camada fica saturada, com o nível freático na superfície e $r_u = \gamma_w\cos^2\beta/\gamma$. Encontre $F$.

**Solução de Exercício 28.9.**

Aqui $\sin\beta\cos\beta = 0.4698$, $\cos^2\beta = 0.6710$ e $\tan30{}^{\circ}/\tan35{}^{\circ} =
0.8245$. (a) $F = c'/(\gamma z\sin\beta\cos\beta) + 0.8245 = 1$ dá $z_c = 8/(19 \times 0.4698
\times 0.1755) = 5.11\,\mathrm{m}$. (b) $8/(19 \times 2 \times 0.4698) + 0.8245 = 0.448 + 0.825 =
1.27$. (c) $r_u = 9.81 \times 0.6710/19 = 0.3465$; $F = [8 + 38 \times (0.6710 - 0.3465) \times
0.5774]/(38 \times 0.4698) = 15.12/17.85 = 0.847$: a camada saturada rompe.

**Exercício 28.10 ★★★.**

(a) Mostre que o modelo de Poisson não tem memória: a probabilidade de nenhum evento em $[s, s + t]$, dado que não houve nenhum em $[0, s]$, é $e^{-t/T}$, qualquer que seja $s$. (b) Uma falha tem um [período de retorno](#def-b2-geological-hazards-return) de 475 anos para seus grandes terremotos e não teve nenhum nos últimos 400 anos. Qual é, segundo o modelo, a probabilidade de um nos próximos 50 anos? (c) O rebote elástico do volume do primeiro ano sugere que a probabilidade deveria, ao contrário, crescer com o tempo desde o último terremoto. Que hipótese do modelo de Poisson ele contradiz, e por que os mapas de ameaça mantêm o modelo para as fontes areais?

**Solução de Exercício 28.10.**

(a) $\Pr(\text{nenhum em } [0, s+t] \mid \text{nenhum em } [0, s]) = e^{-(s+t)/T}/e^{-s/T} = e^{-t/T}$. (b) Os 400 anos tranquilos não mudam nada: $1 - e^{-50/475} = 0.0999$, $10\,\%$. (c) Ele contradiz a hipótese de que a taxa não depende do tempo decorrido: depois do rebote a tensão precisa acumular-se de novo, de modo que a taxa é baixa logo após um terremoto e cresce depois. Uma zona sismogênica contém muitas falhas em fases diferentes de seus ciclos; a soma de muitas sequências independentes de eventos comporta-se quase como um processo de Poisson, e a taxa é tudo o que se conhece de cada uma.

**Exercício 28.11 ★★★.**

Um tsunami de amplitude $0.5\,\mathrm{m}$ e período de 20 minutos atravessa um oceano de $4000\,\mathrm{m}$ de profundidade. (a) Usando o argumento do fluxo de energia da proposição sobre as ondas longas, encontre sua amplitude em $10\,\mathrm{m}$ de água. (b) Encontre seu comprimento de onda nas duas profundidades. (c) Dê duas razões pelas quais a altura máxima de inundação na costa pode diferir muito desta estimativa.

**Solução de Exercício 28.11.**

(a) $A = 0.5 \times (4000/10)^{1/4} = 0.5 \times 4.47 = 2.24\,\mathrm{m}$. (b) $\lambda = cT$: $198.1 \times 1200 = 238\,\mathrm{km}$ no oceano profundo, $9.90 \times 1200 = 11.9\,\mathrm{km}$ em $10\,\mathrm{m}$ de água. (c) A amplitude já não é pequena diante da profundidade ($2.2\,\mathrm{m}$ em $10\,\mathrm{m}$), de modo que a onda se empina e pode quebrar; parte da energia é refletida ou concentrada pela forma do fundo do mar e das baías; em terra a altura máxima de inundação depende da declividade e da rugosidade do terreno.

**Exercício 28.12 ★★★.**

Um [sistema de alerta sísmico precoce](#def-b2-geological-hazards-warning) emite um alerta 4 segundos depois que a onda P atinge sua estação mais próxima do epicentro, a $10\,\mathrm{km}$. Despreze a profundidade da fonte. (a) Quando o alerta é emitido depois do terremoto? (b) Quantos segundos antes da onda S uma cidade a $50\,\mathrm{km}$ do epicentro o recebe? E uma cidade a $100\,\mathrm{km}$? (c) Encontre o raio da zona cega, onde a onda S chega antes do alerta.

**Solução de Exercício 28.12.**

(a) $10/5.8 + 4 = 1.72 + 4 = 5.72\,\mathrm{s}$. (b) A onda S atinge $50\,\mathrm{km}$ depois de $50/3.2 =
15.6\,\mathrm{s}$: $15.6 - 5.72 = 9.90\,\mathrm{s}$ de aviso; a $100\,\mathrm{km}$, $31.3 - 5.72 =
25.5\,\mathrm{s}$. (c) $3.2 \times 5.72 = 18.3\,\mathrm{km}$.

**Problema 28.1.**

Problema de fim de semana — uma cidade entre uma falha e uma encosta

Uma cidade sobre rocha fica a $10\,\mathrm{km}$ de uma zona sismogênica; todos os seus terremotos são tomados a $d = 10\,\mathrm{km}$. Sua recorrência é $\log_{10} N(\geq M) = 4.0 - 1.0\,M$ por ano para $M \geq 5$, truncada em $M_{\max} = 7.5$. O abalo segue a GMPE [(28.3)](#eq-b2-geological-hazards-gmpe) com $\sigma = 0.230$. Acima da cidade, uma camada de solo de $3\,\mathrm{m}$ de espessura repousa sobre uma encosta de $30{}^{\circ}$, com $\gamma = 19\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}^{-3}$, $c' = 4\,\mathrm{kPa}$ e $\varphi' = 34{}^{\circ}$; a água tem peso específico $9.81\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}^{-3}$. Arredonde a três algarismos significativos.

**Parte I — Recorrência.**

1. Encontre as taxas anuais de terremotos de magnitude pelo menos 5, 6 e 7, ignorando a truncagem.
2. Dê os [períodos de retorno](#def-b2-geological-hazards-return) correspondentes.
3. Com a truncagem, encontre a taxa de terremotos acima de 7.5, e a taxa dos que ficam entre 7 e 7.5.
4. Encontre as taxas das classes de magnitude 5–6 e 6–7.
5. Qual é a probabilidade de pelo menos um terremoto de magnitude 6 ou mais em 50 anos?
6. E de magnitude 7 ou mais?

**Parte II — O movimento do solo na cidade.**

7. Encontre $r$ , e o termo de distância $-0.778\log_{10} r$ .
8. Represente as três classes pelas magnitudes 5.5, 6.5 e 7.25. Encontre o $\log_{10}\mathrm{PGA}$ mediano e a PGA mediana de cada uma.
9. Encontre a PGA excedida com uma probabilidade de $16\,\%$ por uma magnitude 6.5.
10. Qual é a probabilidade de que uma magnitude 6.5 produza mais de $0.3\,\mathrm{g}$ ?
11. Qual é a PGA mediana do maior terremoto possível?

**Parte III — A curva de ameaça.**

12. Encontre a taxa anual de excedência de $0.2\,\mathrm{g}$ , somada sobre as três classes.
13. O mesmo para $0.3\,\mathrm{g}$ .
14. O mesmo para $0.4\,\mathrm{g}$ .
15. Que taxa anual corresponde a $10\,\%$ em 50 anos?
16. Entre quais dos três níveis fica essa taxa?
17. Interpolando linearmente em $\ln\lambda$ em função de $\ln a$ , encontre a PGA com uma chance de $10\,\%$ de excedência em 50 anos.
18. Que classes contribuem mais para a taxa a $0.3\,\mathrm{g}$ ? Comente, usando a resposta à questão 11.

**Parte IV — A encosta acima da cidade.**

19. Encontre o [fator de segurança](#def-b2-geological-hazards-slope) da encosta seca.
20. Encontre-o quando a camada está saturada, com o nível freático na superfície ( $r_u =  \gamma_w\cos^2\beta/\gamma$ ).
21. Até que fração da espessura da camada o nível freático pode subir antes que a encosta rompa?
22. Numa análise pseudoestática (admitida), o abalo acrescenta uma força horizontal $kW$ . Encontre o $k$ crítico da encosta seca, para o qual $F = 1$ .
23. Tomando $k$ igual à PGA em unidades de $g$ , que magnitude produz o valor crítico como sua mediana na cidade? Compare com a resposta à questão 17.
24. Em resumo: qual é a [aceleração de pico do solo](#def-b2-geological-hazards-psha) com uma chance de $10\,\%$ de ser excedida em 50 anos na cidade?

**Solução de Problema 28.1.**

Os logaritmos são mantidos com quatro casas decimais nas etapas intermediárias. **1.** $10^{4-5} = 0.1$, $10^{4-6} = 0.01$ e $10^{4-7} = 0.001$ por ano. **2.** 10, 100 e 1000 anos. **3.** $10^{4-7.5} = 3.16 \times 10^{-4}$ por ano; $0.001 - 3.16 \times 10^{-4} = 6.84 \times 10^{-4}$ por ano. **4.** $0.1 - 0.01 = 0.09$ e $0.01 - 0.001 = 0.009$ por ano. **5.** $1 - e^{-0.01 \times 50} = 0.393$. **6.** $1 - e^{-0.001 \times 50} = 0.0488$. **7.** $r = \sqrt{10^2 + 5.57^2} = 11.45\,\mathrm{km}$; $\log_{10} r = 1.0588$ e $-0.778 \times
1.0588 = -0.8237$. **8.** $\mu = -0.105 + 0.229(M - 6) - 0.8237$: $-1.0432$, $-0.8142$ e $-0.6424$; medianas 0.0905, 0.153 e $0.228\,\mathrm{g}$. **9.** $10^{-0.8142 + 0.230} = 0.260\,\mathrm{g}$. **10.** $z = (\log_{10} 0.3 + 0.8142)/0.230 = (-0.5229 + 0.8142)/0.230 = 1.266$, e $1 -
\Phi(1.266) = 0.103$. **11.** $-0.105 + 0.229 \times 1.5 - 0.8237 = -0.5852$: $0.260\,\mathrm{g}$. **12.** As probabilidades de exceder $0.2\,\mathrm{g}$ ($\log_{10} 0.2 = -0.6990$) são 0.0672 ($z = 1.497$), 0.308 ($z = 0.501$) e 0.597 ($z = -0.246$): $\lambda = 0.09 \times 0.0672 + 0.009
\times 0.308 + 6.84 \times 10^{-4} \times 0.597 = 6.05 \times 10^{-3} + 2.77 \times 10^{-3} + 4.08 \times 10^{-4} =
9.23 \times 10^{-3}$ por ano. **13.** Para $0.3\,\mathrm{g}$: $z = 2.262$, 1.266 e 0.520, probabilidades 0.0118, 0.103 e 0.302; $\lambda = 1.07 \times 10^{-3} + 9.24 \times 10^{-4} + 2.06 \times 10^{-4} = 2.20 \times 10^{-3}$ por ano. **14.** Para $0.4\,\mathrm{g}$ ($\log_{10} 0.4 = -0.3979$): $z = 2.805$, 1.810 e 1.063, probabilidades 0.00251, 0.0352 e 0.144; $\lambda = 2.26 \times 10^{-4} + 3.17 \times 10^{-4} + 9.84 \times 10^{-5} =
6.41 \times 10^{-4}$ por ano. **15.** $-\ln 0.9/50 = 2.107 \times 10^{-3}$ por ano, um [período de retorno](#def-b2-geological-hazards-return) de 475 anos. **16.** Entre $0.3\,\mathrm{g}$ ($2.20 \times 10^{-3}$) e $0.4\,\mathrm{g}$ ($6.41 \times 10^{-4}$). **17.** A inclinação é $\ln(6.41/22.0)/\ln(4/3) = -1.233/0.2877 = -4.29$, e $a = 0.3 \times
(2.107/2.20)^{-1/4.29} = 0.3 \times 1.0101 = 0.303\,\mathrm{g}$. **18.** A $0.3\,\mathrm{g}$, a classe 5–6 dá $48.5\,\%$ da taxa, a 6–7 $42.1\,\%$ e a 7–7.5 apenas $9.4\,\%$. Mesmo o maior terremoto tem uma mediana de $0.260\,\mathrm{g}$, abaixo de $0.3\,\mathrm{g}$: o nível só é atingido na cauda superior da dispersão, e são os terremotos moderados frequentes que fornecem a maior parte dele. **19.** $4/(19 \times 3 \times 0.4330) + \tan34{}^{\circ}/\tan30{}^{\circ} = 0.162 + 1.168 = 1.33$. **20.** $r_u = 9.81 \times 0.75/19 = 0.387$; $F = [4 + 57 \times (0.75 - 0.387) \times
0.6745]/(57 \times 0.4330) = 17.95/24.68 = 0.727$: a encosta saturada rompe. **21.** Com o nível freático a uma fração $m$ da espessura, $r_u = 0.387\,m$. $F = 1$ quando $0.75 - 0.387\,m = (24.68 - 4)/(57 \times 0.6745) = 0.538$: $m = 0.548$, um nível freático a $55\,\%$ da camada. **22.** Dividindo $F = 1$ por $\gamma z$: $0.0702 + (0.75 - 0.4330\,k) \times 0.6745 = 0.4330 +
0.75\,k$, logo $k_c = (0.0702 + 0.5059 - 0.4330)/(0.2921 + 0.75) = 0.1431/1.042 = 0.137$. **23.** $\log_{10} 0.137 = -0.8633 = -0.105 + 0.229(M - 6) - 0.8237$ dá $M = 6.29$. Esses terremotos ocorrem a $10^{4 - 6.29} - 10^{-3.5} = 4.81 \times 10^{-3}$ por ano, cerca de uma vez em 208 anos, e a PGA de 475 anos da questão 17 é mais que o dobro dos $0.137\,\mathrm{g}$ críticos: segundo esta análise, a encosta seca rompe com um abalo muito inferior ao movimento de 475 anos. **24.** A [aceleração de pico do solo](#def-b2-geological-hazards-psha) com uma chance de $10\,\%$ de ser excedida em 50 anos na cidade é de **$0.303\,\mathrm{g}$**.