---
title: "Jazidas minerais"
book: "Ciências da Terra e do espaço universitárias — 2.º ano"
subject: earth
language: pt
chapter: 29
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/29-jazidas-minerais
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
---

# Capítulo 29 — Jazidas minerais

O cobre constitui cerca de $0.006\,\%$ da crosta; ele é lavrado em rochas que contêm cerca de $0.5\,\%$. Toda mina de cobre assenta portanto numa rocha cerca de oitenta vezes mais rica que a crosta à sua volta, e toda [jazida](#def-b2-ore-deposits-deposit) é obra de um concentrador natural: um [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) que segregou um líquido sulfetado, uma salmoura quente que dissolveu metais e os depositou numa fratura, um rio que separou grãos pesados de leves, a chuva que lixiviou o topo de um corpo de minério e redepositou seu cobre mais abaixo. Este capítulo segue esses concentradores, depois mede seus produtos — quanto minério, com que [teor](#def-b2-ore-deposits-grade) — e termina com a maneira como as [jazidas](#def-b2-ore-deposits-deposit) são encontradas.

**O que você já sabe.**

**Dos volumes escolares**: [jazida](#def-b2-ore-deposits-deposit) e [fator de concentração](#def-b2-ore-deposits-cf), veio, [placer](#def-b2-ore-deposits-placer), reserva e recurso; a circulação hidrotermal e as fumarolas negras das dorsais. **Dos livros de química**: o minério; a solubilidade, os íons complexos e a oxirredução. **Do volume do primeiro ano**: a velocidade de sedimentação de um grão e a lei de Stokes; a laterita; o evaporito. **Do [Capítulo 3](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/3-os-elementos-na-terra#ch-b2-elements-in-the-earth)**: o [elemento calcófilo](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/3-os-elementos-na-terra#def-b2-elements-in-the-earth-goldschmidt), o [coeficiente de partição mineral–fundido](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/3-os-elementos-na-terra#def-b2-elements-in-the-earth-partition). **Do [Capítulo 8](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/8-a-diferenciacao-magmatica#ch-b2-magmatic-differentiation)**: a [intrusão acamada](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/8-a-diferenciacao-magmatica#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) e o [cumulato](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/8-a-diferenciacao-magmatica#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate). **Do [Capítulo 18](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/18-a-terra-pre-cambriana#ch-b2-precambrian-earth)**: a [formação ferrífera bandada](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/18-a-terra-pre-cambriana#def-b2-precambrian-earth-bif), o [cráton](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/18-a-terra-pre-cambriana#def-b2-precambrian-earth-craton). **Dos livros de matemática**: as distribuições normal e lognormal, e a função de distribuição normal $\Phi$.

## 29.1 Minério, teor e concentração

**Definição 29.1 (Ganga).**

Num minério, a *ganga* é tudo o que não tem valor econômico: os minerais formadores de rocha, hidrotermais e de alteração intempérica que acompanham os minerais de minério e são separados deles e descartados durante o beneficiamento.

A maior parte do minério é [ganga](#def-b2-ore-deposits-ore). Numa [jazida de cobre pórfiro](#def-b2-ore-deposits-hydrothermal), a principal fonte mundial de cobre, mais de $98\,\%$ do minério é [ganga](#def-b2-ore-deposits-ore), e os minerais de cobre constituem o resto.

**Definição 29.2 (Teor, teor de corte, tonelagem).**

O *teor* de um volume de rocha é a fração mássica do elemento ou mineral valioso que ele contém: em porcentagem para os metais básicos, em gramas por tonelada para o ouro, a prata e os elementos do grupo da platina. O *teor de corte* é o menor teor com o qual um bloco de rocha é contado como minério; abaixo dele, o bloco é estéril. A *tonelagem* de uma [jazida](#def-b2-ore-deposits-deposit) é a massa de rocha acima do teor de corte; com seu teor médio $\bar g$ ela dá o metal contido, $M = T\bar g$.

A [tonelagem](#def-b2-ore-deposits-grade) e o [teor](#def-b2-ore-deposits-grade) de uma [jazida](#def-b2-ore-deposits-deposit) não são, portanto, dois fatos sobre a rocha, mas duas respostas a uma só pergunta, feita para um dado [teor de corte](#def-b2-ore-deposits-grade). Batu Hijau, uma [jazida](#def-b2-ore-deposits-deposit) de cobre–ouro pórfiro na Indonésia, é declarada com $914\,\mathrm{Mt}$ a $0.53\,\%$ de cobre acima de um [teor de corte](#def-b2-ore-deposits-grade) de $0.3\,\%$, e com $1640\,\mathrm{Mt}$ a $0.44\,\%$ numa compilação mundial que adota o menor [teor de corte](#def-b2-ore-deposits-grade) disponível: baixar o [teor de corte](#def-b2-ore-deposits-grade) quase dobra a [tonelagem](#def-b2-ore-deposits-grade) e reduz o [teor](#def-b2-ore-deposits-grade) médio. Numa [jazida](#def-b2-ore-deposits-deposit) sedimentar de zinco–chumbo, a [jazida](#def-b2-ore-deposits-deposit) de Tom no Canadá, uma redução do [teor de corte](#def-b2-ore-deposits-grade) de cerca de um por cento de zinco mais chumbo multiplicaria as reservas por cinco.

**Definição 29.3 (Fator de concentração).**

O *fator de concentração* de um elemento num minério é a razão $\mathrm{CF} = g/a$ entre seu [teor](#def-b2-ore-deposits-grade) $g$ e sua abundância $a$ num reservatório de referência, indicado junto: a crosta continental inteira, a crosta continental superior, ou a rocha a partir da qual a [jazida](#def-b2-ore-deposits-deposit) se formou.

O fator depende da referência. Tomando $0.006\,\%$ de cobre para a crosta e $0.5\,\%$ para o minério, obtém-se um fator de 83; tomando a crosta continental superior, $28\,\mathrm{ppm}$, e o [teor](#def-b2-ore-deposits-grade) médio dos cobres pórfiros de 2008, $0.44\,\%$, obtém-se 157. O ouro, a $1.5\,\mathrm{ng}/\mathrm{g}$ na crosta superior e lavrado a alguns gramas por tonelada, tem fatores da ordem dos milhares; o ferro, a vários por cento na crosta e lavrado a cerca de $50\,\%$, precisa de um fator de apenas cerca de dez.

**Definição 29.4 (Jazida).**

Uma *jazida* é um corpo de rocha no qual processos naturais concentraram um elemento ou um mineral a um [teor](#def-b2-ore-deposits-grade) acima do [teor de corte](#def-b2-ore-deposits-grade), numa [tonelagem](#def-b2-ore-deposits-grade) grande o bastante para que seja extraído com lucro. É ao mesmo tempo um objeto geológico, definido pelos processos que o formaram, e um objeto econômico, definido pelos preços, pelos custos e pela tecnologia.

Por causa de sua metade econômica, o tamanho de uma [jazida](#def-b2-ore-deposits-deposit) muda com o tempo. Os recursos identificados de um elemento são as concentrações das quais a extração é viável hoje ou pode vir a sê-lo; suas reservas são a parte que poderia ser extraída economicamente no momento em que foram determinadas. As reservas mundiais de cobre eram de $280\,\mathrm{Mt}$ em 1970; cerca de $697\,\mathrm{Mt}$ foram lavradas desde então, e elas eram de $980\,\mathrm{Mt}$ em 2024.

**Proposição 29.5 (Balanço de massa de uma jazida).**

Uma [jazida](#def-b2-ore-deposits-deposit) que contém uma massa $M$ de um elemento com [teor](#def-b2-ore-deposits-grade) médio $g$ foi alimentada por uma fonte na qual o elemento tinha abundância $a$. Se o processo concentrador extraiu uma fração $\eta \leq 1$ do elemento da fonte e a entregou à [jazida](#def-b2-ore-deposits-deposit), a massa de rocha-fonte processada foi

$$
m_{\mathrm{source}} = \frac{M}{\eta\,a} = \frac{\mathrm{CF}}{\eta}\, T ,\tag{29.1}
$$

com $T = M/g$ a [tonelagem](#def-b2-ore-deposits-grade) e $\mathrm{CF} = g/a$: pelo menos CF toneladas de fonte por tonelada de minério.

**Demonstração.** A fonte perdeu $\eta\,a\,m_{\mathrm{source}}$ do elemento e a [jazida](#def-b2-ore-deposits-deposit) recebeu $M$; igualando as duas obtém-se a primeira forma, e $M = gT$ dá a segunda. Como $\eta \leq 1$, $m_{\mathrm{source}} \geq
\mathrm{CF}\,T$. ∎

Bingham Canyon, a [jazida](#def-b2-ore-deposits-deposit) pórfira mostrada abaixo, é listada com $3230\,\mathrm{Mt}$ a $0.882\,\%$ de cobre, $28.5\,\mathrm{Mt}$ de cobre. Seu fator em relação à crosta superior é 315, e mesmo um processo perfeitamente eficiente teria tido de drenar $1.02 \times 10^{12}$ toneladas de crosta superior média, cerca de $377\,\mathrm{km}^{3}$: um cubo de $7.2\,\mathrm{km}$ de lado. Os processos formadores de minério são portanto processos que movem muita matéria — [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma), água, sedimento — através de um pequeno volume onde o elemento fica retido.

![A cava a céu aberto de Bingham Canyon, Utah, vista da Estação Espacial Internacional (2007): mais de 4\, km de largura e 1200\, m de profundidade, escavada em bancadas de 16 a 25\, m de altura numa jazida de cobre pórfiro; as colinas de topo plano à sua volta são pilhas de estéril. Fotografia: NASA, tripulação da Expedição 15 (domínio público).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-ore-deposits/img-f287989c2e47.jpg)

*A cava a céu aberto de Bingham Canyon, Utah, vista da Estação Espacial Internacional (2007): mais de $4\,\mathrm{km}$ de largura e $1200\,\mathrm{m}$ de profundidade, escavada em bancadas de 16 a $25\,\mathrm{m}$ de altura numa [jazida de cobre pórfiro](#def-b2-ore-deposits-hydrothermal); as colinas de topo plano à sua volta são pilhas de estéril. Fotografia: NASA, tripulação da Expedição 15 (domínio público).*

**Definição 29.6 (Tipos de jazida).**

Um *tipo de jazida* é uma classe de [jazidas](#def-b2-ore-deposits-deposit) que compartilham um contexto geológico, uma rocha encaixante, uma forma, uma mineralogia de minério e um processo de formação, de modo que uma descrição da classe prevê onde seus membros ocorrem. Os tipos dividem-se em quatro famílias segundo o processo: magmáticas (o metal é concentrado por um [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) enquanto ele cristaliza ou se segrega), hidrotermais (por um fluido aquoso quente), sedimentares (pelo transporte e pela deposição de sedimento, ou por precipitação a partir da água na superfície), e supergênicas (pelo intemperismo de uma [jazida](#def-b2-ore-deposits-deposit) anterior).

## 29.2 Jazidas magmáticas

**A cromita nas intrusões acamadas.** A cromita, a única fonte comercial de cromo, acumula-se em camadas de cromitito maciço, com mais de $90\,\%$ de cromita, nas partes inferiores ultramáficas das intrusões acamadas. As intrusões têm de 2 a $180\,\mathrm{km}$ de diâmetro e até $15\,\mathrm{km}$ de espessura, e as camadas vão de menos de um centímetro a 5–$8\,\mathrm{m}$; juntas elas contêm a maior parte das reservas mundiais de cromo, e o Complexo de Bushveld, encontrado no [Capítulo 8](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/8-a-diferenciacao-magmatica#ch-b2-magmatic-differentiation), é o único lavrado para cromita hoje. Sua origem, uma camada de [cumulato](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/8-a-diferenciacao-magmatica#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) forçada para o campo da cromita pela [mistura de magmas](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/8-a-diferenciacao-magmatica#def-b2-magmatic-differentiation-open) ou por uma mudança de pressão ou de estado de oxidação, ainda é debatida.

**Sulfetos de níquel–cobre–EGP.** Um [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) máfico ou ultramáfico, produzido por grandes graus de fusão do manto ($20\,\%$ a $25\,\%$ ou mais, com mais de 12 por cento de MgO em massa), sobe subsaturado em enxofre. Se assimila enxofre da crosta, ou se resfria o bastante, torna-se saturado e um líquido sulfetado imiscível separa-se em gotículas. Os metais calcófilos passam para essas gotículas: a razão $D$ entre sua concentração no líquido sulfetado e no líquido silicático, o mesmo tipo de coeficiente de partição que entre um mineral e um líquido, é de $10^2$ a $10^3$ para o cobre e o níquel e de $10^3$ a $10^4$ para os elementos do grupo da platina. Quanto metal uma gotícula recolhe depende então de quanto [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) ela encontra.

**Proposição 29.7 (Fator R).**

Suponha-se que uma massa unitária de líquido sulfetado se separe de uma massa $R$ de [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) silicático, e atinja o equilíbrio com ela (essa massa é o *fator R*), num sistema fechado; seja $C_L$ a concentração de um metal no [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) antes da separação do sulfeto, e $D$ seu coeficiente de partição sulfeto–silicato. Então a concentração do metal no sulfeto é

$$
C_S = C_L\,\frac{D\,(R + 1)}{R + D} .\tag{29.2}
$$

Para $R \gg D$, $C_S \to D\,C_L$; para $R \ll D$, $C_S \approx (R + 1)\,C_L$.

**Demonstração.** O sistema de massa $R + 1$ continha $(R + 1)C_L$ do metal antes da separação. Depois dela, o silicato contém $R\,C_{\mathrm{sil}}$ e o sulfeto $C_S$, com $C_S = D\,C_{\mathrm{sil}}$ no equilíbrio. A conservação dá $(R + 1)C_L = R\,C_S/D + C_S = C_S\,(R + D)/D$, donde [(29.2)](#eq-b2-ore-deposits-r-factor). Se $R \gg D$, $(R + 1)/(R + D) \to 1$; se $R \ll D$, $D/(R + D) \to 1$. ∎

Os dois limites explicam por que existem dois tipos de minério sulfetado. Quando $R \ll D$ o sulfeto toma quase todo o metal do [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) que encontra e $C_S$ cresce com $R$; quando $R \gg D$ ele fica saturado em $D\,C_L$ e mais [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) não acrescenta nada. O níquel e o cobre, com $D$ de algumas centenas, atingem seu teto com $R$ de algumas centenas a alguns milhares, a faixa da maioria dos minérios de níquel–cobre; a platina e o paládio, com $D$ perto de $10^4$, continuam ganhando até $R$ de $10\,000$ a $100\,000$. Os minérios ricos em elementos do grupo da platina, como o Merensky Reef do Bushveld e alguns minérios de Norilsk, registram portanto uma pequena massa de sulfeto lavada por uma massa muito grande de [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) (exercícios [29.5](#exo-b2-ore-deposits-5) e [29.11](#exo-b2-ore-deposits-11)).

**Kimberlitos e diamantes.** A maioria dos diamantes, e quase todos os lavrados, formou-se na base da litosfera continental espessa, nas raízes dos [crátons](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/18-a-terra-pre-cambriana#def-b2-precambrian-earth-craton); os [magmas](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) kimberlíticos, vindos de profundidades maiores que 120 a $150\,\mathrm{km}$ e subindo a até $20\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, levam-nos à superfície depressa o bastante para que sobrevivam. Os kimberlitos irrompem preferencialmente através de litosfera espessa e antiga, que é onde a prospecção de diamantes procura.

**Pegmatitos.** Os pegmatitos de lítio–césio–tântalo são [diques](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-bodies) graníticos enriquecidos nesses elementos raros, produzidos em [orógenos](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/13-anatomia-de-um-cinturao-de-montanhas-os-alpes#def-b2-alpine-orogen-orogen) colisionais; cristalizam a cerca de 350 a $550\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, temperatura notavelmente baixa para um líquido granítico, em dias a anos, e formam cristais enormes — um cristal de espodumênio media $14\,\mathrm{m}$ de comprimento. Seus minerais de lítio, espodumênio, petalita e lepidolita, fornecem cerca de um quarto do lítio mundial.

## 29.3 Jazidas hidrotermais

**Definição 29.8 (Fluido hidrotermal e tipos de jazidas hidrotermais).**

Um *fluido hidrotermal* é um fluido aquoso quente, liberado por um [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma), por [reações metamórficas](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/10-reacoes-e-facies-metamorficas#def-b2-metamorphic-facies-reaction), ou água do mar, água meteórica ou salmoura de bacia aquecidas, que dissolve, transporta e deposita elementos ao fluir através da rocha. Os principais [tipos de jazidas](#def-b2-ore-deposits-types) hidrotermais são:

- a *jazida de cobre pórfiro* : um corpo grande, de baixo [teor](#def-b2-ore-deposits-grade) , de vênulas e sulfetos de cobre disseminados dentro e em torno de um pequeno stock pórfiro, formado por fluidos magmáticos a poucos quilômetros da superfície acima de uma zona de subducção;
- a *jazida epitermal* : veios e disseminações de ouro–prata formados a menos de cerca de $1.5\,\mathrm{km}$ da superfície, a cerca de 100 a $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , em arcos vulcânicos;
- a *jazida de sulfeto maciço vulcanogênico* (VMS): uma lente de sulfetos maciços formada sobre o fundo do mar ou logo abaixo dele, numa fonte hidrotermal num contexto vulcânico submarino;
- a *jazida sedimentar exalativa* (sedex): sulfetos laminados de zinco–chumbo em folhelhos marinhos de uma [bacia de rifte](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/16-bacias-sedimentares-comparadas#def-b2-basins-compared-types) , precipitados sobre o fundo do mar ou logo abaixo dele a partir de salmouras de bacia que sobem ao longo de falhas;
- a *jazida do tipo Mississippi Valley* (MVT): sulfetos de zinco–chumbo que substituem carbonatos de plataforma, epigenéticos e sem relação com atividade ígnea, depositados por salmouras de bacia;
- a *jazida de ouro orogênico* : veios de quartzo aurífero em cinturões metamórficos, ao longo de grandes falhas, depositados por fluidos de baixa salinidade, ricos em CO $_2$ , de origem metamórfica.

**Transporte e deposição.** A maioria dos metais é transportada nos fluidos hidrotermais como complexos: o zinco, o chumbo e o cobre como clorocomplexos, de modo que a salinidade controla sua solubilidade, e o ouro, em fluidos reduzidos, como complexos de enxofre como AuHS(H$_2$S)$_3$. Um fluido deposita sua carga quando a solubilidade cai: quando ele se resfria; quando ferve com a queda de sua pressão, perdendo H$_2$S e CO$_2$ e mudando o pH; quando se mistura com um fluido de composição diferente — uma salmoura que encontra água rica em H$_2$S precipita esfalerita e galena quase de imediato; e quando reage com a rocha encaixante, o que muda seu pH ou seu estado de oxidação. Cada [tipo de jazida](#def-b2-ore-deposits-types) é uma combinação de fluido, caminho e armadilha.

**Cobre pórfiro.** As [jazidas](#def-b2-ore-deposits-deposit) pórfiras fornecem cerca de $60\,\%$ do cobre mundial e contêm cerca de $65\,\%$ de seus recursos. Elas se centram em pequenos stocks cilíndricos ou enxames de [diques](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-bodies), os topos de [plútons](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-bodies) maiores, alojados a menos de 5–$10\,\mathrm{km}$ de profundidade em arcos acima de zonas de subducção, o contexto do [Capítulo 9](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/9-series-magmaticas-e-contextos-tectonicos#ch-b2-magmatic-series). Uma [jazida](#def-b2-ore-deposits-deposit) tem de 0.1 a $1\,\mathrm{km}$ de diâmetro, com altura semelhante; a rocha alterada pode estender-se por $10\,\mathrm{km}$ ou mais à sua volta. À medida que o [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) cristaliza, um fluido com 3 a 5 por cento de sal em massa separa-se dele; subindo e descomprimindo-se, divide-se numa salmoura e num vapor, ambos portadores de metais, e sua sobrepressão fratura a rocha. Veios de quartzo precipitam a cerca de 700 a $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, e a reação do fluido com a rocha zoneia a alteração, como no corte abaixo. Como se formam rasas em margens ativas, onde a erosão é rápida, mais de $90\,\%$ das [jazidas](#def-b2-ore-deposits-deposit) pórfiras conhecidas são cenozoicas ou mesozoicas.

![Um sistema de cobre pórfiro em corte (um desenho, sem escala): a zona potássica no núcleo, profunda e quente; a zona sericítica para cima e para fora, onde a pirita é abundante; a casca de minério de cobre entre elas; o halo propilítico a profundidades rasas a moderadas em volta; a alteração sódico-cálcica nos flancos profundos; um capeamento argílico avançado e, em alguns sistemas, veios epitermais perto da superfície.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-ore-deposits/fig-70612de69cd4.svg)

*Um sistema de cobre pórfiro em corte (um desenho, sem escala): a zona potássica no núcleo, profunda e quente; a zona sericítica para cima e para fora, onde a pirita é abundante; a casca de minério de cobre entre elas; o halo propilítico a profundidades rasas a moderadas em volta; a alteração sódico-cálcica nos flancos profundos; um capeamento argílico avançado e, em alguns sistemas, veios epitermais perto da superfície.*

**Ouro epitermal.** Acima de alguns sistemas pórfiros, e nos arcos vulcânicos em geral, o mesmo tipo de fluido atinge os $1.5\,\mathrm{km}$ superiores da crosta a cerca de 100 a $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, onde ferve e se mistura com a água subterrânea; ele deposita ouro e prata em veios de quartzo, com uma alteração que registra fluidos quase neutros (adulária, illita) ou muito ácidos (caulinita, dickita, pirofilita).

**Sulfetos maciços no fundo do mar.** A água do mar aspirada para a crosta quente de uma dorsal ou de um arco retorna nas fontes como fumarolas negras a cerca de $350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, vistas pela primeira vez na Dorsal do Pacífico Leste em 1979. Onde o campo de fontes perdura, seus sulfetos constroem um monte; o minério tem mais de $40\,\%$ de sulfetos, sobre um stockwork de veios que marca o conduto alimentador. Os metais são zoneados pela temperatura, ferro e cobre na base quente, zinco, ferro, chumbo e bário no topo e nas margens mais frias, como no monte desenhado na próxima seção. As [jazidas de sulfeto maciço vulcanogênico](#def-b2-ore-deposits-hydrothermal) vão de bolsões de menos de uma tonelada aos $1.5\,\mathrm{Gt}$ de Rio Tinto na Espanha, e em idade de $3.55\,\mathrm{Ga}$ a [jazidas](#def-b2-ore-deposits-deposit) que se formam hoje.

**Salmouras de bacia: sedex e MVT.** As salmouras de bacia com 10 a $30\,\%$ de sais dissolvidos, aquecidas a 100–$200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ pelo soterramento, transportam zinco e chumbo como clorocomplexos e formam os dois tipos hospedados em sedimentos. As [jazidas](#def-b2-ore-deposits-deposit) sedex formam-se onde a salmoura sai numa bacia restrita e redutora ao longo de uma falha de rifte e encontra sulfeto de hidrogênio, produzindo lamas sulfetadas laminadas; elas contêm mais da metade das reservas mundiais de zinco e chumbo. As [jazidas](#def-b2-ore-deposits-deposit) MVT formam-se onde a salmoura, expulsa de uma bacia, atinge uma plataforma carbonática em sua margem e a substitui a 75 a cerca de $200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; elas contêm $38\,\%$ do chumbo e do zinco das [jazidas](#def-b2-ore-deposits-deposit) hospedadas em sedimentos, com cerca de dez vezes mais zinco que chumbo.

**Ouro orogênico.** Nos cinturões metamórficos, [reações de desvolatilização](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/10-reacoes-e-facies-metamorficas#def-b2-metamorphic-facies-reaction) liberam um fluido quase neutro, de baixa salinidade e rico em CO$_2$; canalizado ao longo de grandes falhas, ele deposita veios de quartzo auríferos a cerca de $350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e 4 a $12\,\mathrm{km}$ de profundidade. Os veios são contínuos ao longo de grandes alturas: $3.2\,\mathrm{km}$ em Kolar, na Índia.

## 29.4 Jazidas sedimentares e supergênicas

**Definição 29.9 (Depósito de placer).**

Um *placer* é uma [jazida](#def-b2-ore-deposits-deposit) sedimentar de minerais densos e duráveis concentrados pela água ou pelo vento em movimento porque, para o mesmo tamanho, eles sedimentam mais depressa e são arrastados com menos facilidade que os grãos de quartzo à sua volta.

Os minerais com densidade acima de cerca de 2.85 são chamados pesados, contra 2.65 para o quartzo: ilmenita e zircão perto de 4.7, magnetita 5.2, ouro 15 a 19.3. Pela lei de Stokes a velocidade de sedimentação de um grão cresce com seu excesso de densidade $\rho_s - \rho_w$, onze vezes maior para o ouro que para o quartzo, de modo que o ouro de um dado tamanho fica junto com quartzo três vezes maior (exercício [29.3](#exo-b2-ore-deposits-3)); o ouro fica em geral nos cascalhos fluviais sobre o embasamento, enquanto a ilmenita, o rutilo e o zircão chegam às praias e às dunas. Os [teores](#def-b2-ore-deposits-grade) das areias de minerais pesados são a porcentagem em massa de minerais pesados.

Os sedimentos químicos também são minérios. As [formações ferríferas bandadas](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/18-a-terra-pre-cambriana#def-b2-precambrian-earth-bif) do [Capítulo 18](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/18-a-terra-pre-cambriana#ch-b2-precambrian-earth), precipitadas quando o ferro dissolvido dos oceanos foi oxidado, são um minério de ferro comum; os evaporitos fornecem a halita e os sais de potássio; as lateritas, resíduo do intemperismo tropical profundo, concentram o alumínio como bauxita. O intemperismo também enriquece [jazidas](#def-b2-ore-deposits-deposit) anteriores.

**Definição 29.10 (Enriquecimento supergênico, gossan).**

O *enriquecimento supergênico* é a concentração de um metal pela água subterrânea descendente: acima do nível freático, a água oxigenada e ácida dissolve o metal dos sulfetos de um corpo de minério, e abaixo dele, em condições redutoras, deposita-o de novo, sobretudo substituindo os sulfetos primários. Um *gossan* é a rocha porosa, rica em óxidos de ferro, deixada na superfície sobre um corpo sulfetado intemperizado, com seus sulfetos substituídos por goethita, hematita e jarosita.

Nas [jazidas](#def-b2-ore-deposits-deposit) pórfiras, o capeamento lixiviado acima do nível freático tem até várias centenas de metros de espessura; abaixo dele, zonas de sulfetos enriquecidos em calcocita, com dezenas a várias centenas de metros de espessura, atingem mais de $1.5\,\mathrm{Gt}$ a 0.4 a $1.7\,\%$ de cobre, sempre mais ricas que o minério primário hipogênico subjacente. Os óxidos de ferro de um [gossan](#def-b2-ore-deposits-supergene) e de um capeamento lixiviado conservam as texturas dos sulfetos que substituíram, e guiam a busca em profundidade; os [gossans](#def-b2-ore-deposits-supergene) e suas manchas de ferro revelaram muitas [jazidas](#def-b2-ore-deposits-deposit) de sulfeto maciço aos antigos mineradores.

![À esquerda: um perfil supergênico sobre um corpo de sulfeto de cobre (um desenho, sem escala): a água ácida lixivia o cobre acima do nível freático e o redeposita como calcocita abaixo, deixando um gossan na superfície. À direita: um monte de sulfeto maciço vulcanogênico em corte (um desenho): a água do mar aquecida na crosta sobe por um stockwork e sai como fumarola negra; o monte é zoneado de ferro e cobre na base quente a zinco, ferro, chumbo e bário no topo e nas margens.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-ore-deposits/fig-5f63d1f83a23.svg)

![À esquerda: um perfil supergênico sobre um corpo de sulfeto de cobre (um desenho, sem escala): a água ácida lixivia o cobre acima do nível freático e o redeposita como calcocita abaixo, deixando um gossan na superfície. À direita: um monte de sulfeto maciço vulcanogênico em corte (um desenho): a água do mar aquecida na crosta sobe por um stockwork e sai como fumarola negra; o monte é zoneado de ferro e cobre na base quente a zinco, ferro, chumbo e bário no topo e nas margens.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-ore-deposits/fig-1771cb9c83e6.svg)

*À esquerda: um perfil supergênico sobre um corpo de sulfeto de cobre (um desenho, sem escala): a água ácida lixivia o cobre acima do nível freático e o redeposita como calcocita abaixo, deixando um [gossan](#def-b2-ore-deposits-supergene) na superfície. À direita: um monte de sulfeto maciço vulcanogênico em corte (um desenho): a água do mar aquecida na crosta sobe por um stockwork e sai como fumarola negra; o monte é zoneado de ferro e cobre na base quente a zinco, ferro, chumbo e bário no topo e nas margens.*

![Gossan da jazida de sulfeto maciço de Flambeau, Wisconsin: uma rocha porosa de hidróxi-óxidos de ferro deixada pelo intemperismo de pirita, calcopirita, calcocita e bornita num arco vulcânico paleoproterozoico; os pequenos pontos alaranjados são cobre nativo. Fotografia de James St. John (CC BY 2.0).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-ore-deposits/img-20d1578a9a20.jpg)

*[Gossan](#def-b2-ore-deposits-supergene) da [jazida](#def-b2-ore-deposits-deposit) de sulfeto maciço de Flambeau, Wisconsin: uma rocha porosa de hidróxi-óxidos de ferro deixada pelo intemperismo de pirita, calcopirita, calcocita e bornita num arco vulcânico paleoproterozoico; os pequenos pontos alaranjados são cobre nativo. Fotografia de James St. John (CC BY 2.0).*

## 29.5 Teor e tonelagem

Uma compilação mundial lista 422 [jazidas de cobre pórfiro](#def-b2-ore-deposits-hydrothermal) com sua [tonelagem](#def-b2-ore-deposits-grade), ao menor [teor de corte](#def-b2-ore-deposits-grade) disponível, e seu [teor](#def-b2-ore-deposits-grade) médio de cobre. Um décimo delas excede $1500\,\mathrm{Mt}$ e um décimo contém menos de $33\,\mathrm{Mt}$, com uma mediana de $240\,\mathrm{Mt}$; os [teores](#def-b2-ore-deposits-grade) vão de $0.24\,\%$ a $0.75\,\%$ entre os mesmos decis, com uma mediana de $0.44\,\%$. Entre os decis a [tonelagem](#def-b2-ore-deposits-grade) espalha-se por um fator de 45, o [teor](#def-b2-ore-deposits-grade) por um fator de 3. Em eixos logarítmicos os dois histogramas aproximam-se de curvas normais, como mostra a figura abaixo: os logaritmos da [tonelagem](#def-b2-ore-deposits-grade) têm média de 2.373 e desvio-padrão de 0.654, os do [teor](#def-b2-ore-deposits-grade) $-0.364$ e 0.199 (logaritmos de base 10, [tonelagem](#def-b2-ore-deposits-grade) em megatoneladas, [teor](#def-b2-ore-deposits-grade) em porcentagem). O ajuste é imperfeito: os [teores](#def-b2-ore-deposits-grade) são mais concentrados em torno do pico que uma lei lognormal, e algumas [jazidas](#def-b2-ore-deposits-deposit) de [teor](#def-b2-ore-deposits-grade) muito baixo fazem-nos afastar-se dela num teste formal. E as duas grandezas são quase independentes, com uma correlação de 0.1 entre seus logaritmos.

![A tonelagem (à esquerda) e o teor de cobre (à direita) das 422 jazidas de cobre pórfiro da compilação mundial, em eixos logarítmicos, com as curvas normais de mesma média e mesmo desvio-padrão em vermelho. Dados: Singer, Berger e Moring (2008), USGS.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-ore-deposits/fig-3c6a188ac92b.svg)

![A tonelagem (à esquerda) e o teor de cobre (à direita) das 422 jazidas de cobre pórfiro da compilação mundial, em eixos logarítmicos, com as curvas normais de mesma média e mesmo desvio-padrão em vermelho. Dados: Singer, Berger e Moring (2008), USGS.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-ore-deposits/fig-1320213723cf.svg)

*A [tonelagem](#def-b2-ore-deposits-grade) (à esquerda) e o [teor](#def-b2-ore-deposits-grade) de cobre (à direita) das 422 [jazidas de cobre pórfiro](#def-b2-ore-deposits-hydrothermal) da compilação mundial, em eixos logarítmicos, com as curvas normais de mesma média e mesmo desvio-padrão em vermelho. Dados: Singer, Berger e Moring (2008), USGS.*

**Proposição 29.11 (Produto de variáveis lognormais).**

Se $\log_{10} T$ e $\log_{10} g$ são conjuntamente normais, com médias $\mu_T$ e $\mu_g$, desvios-padrão $\sigma_T$ e $\sigma_g$ e correlação $\rho$, então o metal contido $M = Tg/100$ ($g$ em porcentagem) é lognormal: $\log_{10} M$ é normal com

$$
\mu_M = \mu_T + \mu_g - 2 , \qquad
\sigma_M^2 = \sigma_T^2 + \sigma_g^2 + 2\rho\,\sigma_T\sigma_g .\tag{29.3}
$$

**Demonstração.** $\log_{10} M = \log_{10} T + \log_{10} g - 2$. Uma combinação linear de variáveis conjuntamente normais é normal (admitido dos livros de matemática); sua média é a soma das médias e sua variância $\operatorname{var}(X + Y) = \operatorname{var} X + \operatorname{var} Y + 2\operatorname{cov}(X, Y)$, com $\operatorname{cov}(X, Y) = \rho\,\sigma_T\sigma_g$. ∎

Para as [jazidas](#def-b2-ore-deposits-deposit) pórfiras, $\sigma_M = \sqrt{0.654^2 + 0.199^2 + 2 \times 0.1 \times 0.654 \times
0.199} = 0.702$ e $\mu_M = 0.009$: a [jazida](#def-b2-ore-deposits-deposit) mediana contém cerca de $1\,\mathrm{Mt}$ de cobre, e o metal contido espalha-se ainda mais amplamente que a [tonelagem](#def-b2-ore-deposits-grade). Uma lei lognormal com dispersão tão grande põe a maior parte do metal em poucas [jazidas](#def-b2-ore-deposits-deposit): o décimo maior contém cerca de $63\,\%$ do cobre segundo a lei, $64\,\%$ nos dados (exercício [29.12](#exo-b2-ore-deposits-12)). A figura abaixo situa cada [jazida](#def-b2-ore-deposits-deposit) por sua [tonelagem](#def-b2-ore-deposits-grade) e seu [teor](#def-b2-ore-deposits-grade), com linhas de igual cobre contido; Bingham, com $28.5\,\mathrm{Mt}$, fica entre as linhas de 10 e de $100\,\mathrm{Mt}$.

**Definição 29.12 (Curva teor–tonelagem).**

A *curva teor–tonelagem* de uma [jazida](#def-b2-ore-deposits-deposit) dá, como funções do [teor de corte](#def-b2-ore-deposits-grade) $c$, a [tonelagem](#def-b2-ore-deposits-grade) $T(c)$ dos blocos com [teor](#def-b2-ore-deposits-grade) acima de $c$ e seu [teor](#def-b2-ore-deposits-grade) médio $\bar g(c)$.

**Proposição 29.13 (Curva teor–tonelagem de uma jazida lognormal).**

Se os [teores](#def-b2-ore-deposits-grade) dos blocos de uma [jazida](#def-b2-ore-deposits-deposit) de [tonelagem](#def-b2-ore-deposits-grade) total $T_0$ são lognormais, com $\ln g$ normal de média $\mu$ (o [teor](#def-b2-ore-deposits-grade) mediano é $e^{\mu}$) e desvio-padrão $s$, então, com $z = (\mu -
\ln c)/s$,

$$
T(c) = T_0\,\Phi(z), \qquad
\bar g(c) = e^{\mu + s^2/2}\,\frac{\Phi(z + s)}{\Phi(z)} ,\tag{29.4}
$$

e o metal acima do [teor de corte](#def-b2-ore-deposits-grade) é $M(c) = T_0\,e^{\mu + s^2/2}\,\Phi(z + s)$, uma fração $\Phi(z +
s)$ do total.

**Demonstração.** Escreva-se $\ln g = \mu + s u$, com $u$ normal padrão. Um bloco está acima do [teor de corte](#def-b2-ore-deposits-grade) quando $u > (\ln c -
\mu)/s = -z$, o que tem probabilidade $1 - \Phi(-z) = \Phi(z)$; daí $T(c)$. O metal acima do [teor de corte](#def-b2-ore-deposits-grade) por unidade de [tonelagem](#def-b2-ore-deposits-grade) total é $\int_{-z}^{\infty} e^{\mu + s u}\,\varphi(u)\,\mathrm{d}u$, com $\varphi$ a densidade normal padrão. Completando o quadrado, $e^{su}\varphi(u) =
e^{s^2/2}\varphi(u - s)$, de modo que a integral vale $e^{\mu + s^2/2}\,[1 - \Phi(-z - s)] = e^{\mu +
s^2/2}\,\Phi(z + s)$. Dividindo por $\Phi(z)$ obtém-se o [teor](#def-b2-ore-deposits-grade) médio. ∎

Para $c \to 0$ toda a [jazida](#def-b2-ore-deposits-deposit) é mantida, com o [teor](#def-b2-ore-deposits-grade) médio $e^{\mu + s^2/2}$, que está acima da mediana. Elevar o [teor de corte](#def-b2-ore-deposits-grade) remove [tonelagem](#def-b2-ore-deposits-grade) mais depressa que metal, porque os blocos removidos são os mais pobres: na [jazida](#def-b2-ore-deposits-deposit) ilustrativa da figura, elevar o [teor de corte](#def-b2-ore-deposits-grade) de 0.2 para $0.5\,\%$ mantém $41\,\%$ da [tonelagem](#def-b2-ore-deposits-grade) mas $61\,\%$ do cobre.

![À esquerda: tonelagem e teor de cobre das 422 jazidas de cobre pórfiro, com linhas de igual cobre contido (0.1 a 100\, Mt); o quadrado vermelho é Bingham Canyon. Dados: Singer, Berger e Moring (2008), USGS. À direita: a curva teor–tonelagem de uma jazida ilustrativa de 1000\, Mt, teor mediano 0.40\,\%, s = 0.60: tonelagem acima do teor de corte (azul) e seu teor médio (vermelho, tracejado), segundo .](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-ore-deposits/fig-1fe7fce271e1.svg)

![À esquerda: tonelagem e teor de cobre das 422 jazidas de cobre pórfiro, com linhas de igual cobre contido (0.1 a 100\, Mt); o quadrado vermelho é Bingham Canyon. Dados: Singer, Berger e Moring (2008), USGS. À direita: a curva teor–tonelagem de uma jazida ilustrativa de 1000\, Mt, teor mediano 0.40\,\%, s = 0.60: tonelagem acima do teor de corte (azul) e seu teor médio (vermelho, tracejado), segundo .](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-ore-deposits/fig-67317295eacf.svg)

*À esquerda: [tonelagem](#def-b2-ore-deposits-grade) e [teor](#def-b2-ore-deposits-grade) de cobre das 422 [jazidas de cobre pórfiro](#def-b2-ore-deposits-hydrothermal), com linhas de igual cobre contido (0.1 a $100\,\mathrm{Mt}$); o quadrado vermelho é Bingham Canyon. Dados: Singer, Berger e Moring (2008), USGS. À direita: a [curva teor–tonelagem](#def-b2-ore-deposits-gt) de uma [jazida](#def-b2-ore-deposits-deposit) ilustrativa de $1000\,\mathrm{Mt}$, [teor](#def-b2-ore-deposits-grade) mediano $0.40\,\%$, $s = 0.60$: [tonelagem](#def-b2-ore-deposits-grade) acima do [teor de corte](#def-b2-ore-deposits-grade) (azul) e seu [teor](#def-b2-ore-deposits-grade) médio (vermelho, tracejado), segundo [(29.4)](#eq-b2-ore-deposits-gt).*

## 29.6 A prospecção

As [jazidas](#def-b2-ore-deposits-deposit) são encontradas pelos vestígios que deixam além de seu minério. O halo de alteração de um sistema pórfiro tem quilômetros de largura, e onde a rocha aflora seus minerais podem ser mapeados a partir de aviões e satélites por seus espectros infravermelhos; seus metais dispersam-se nos solos, nos sedimentos de corrente, nas águas e nas plantas em volta; e seus sulfetos e rochas alteradas mudam as propriedades físicas que a geofísica mede.

**Definição 29.14 (Anomalia geoquímica).**

Uma *anomalia geoquímica* é uma concentração de um elemento, ou de um grupo de elementos, num meio amostrado — rocha, solo, sedimento de corrente, água, plantas — que se afasta de seu fundo regional, a faixa de concentrações encontrada onde nenhuma mineralização está presente.

Como os [teores](#def-b2-ore-deposits-grade), as concentrações espalham-se por ordens de grandeza, de modo que uma anomalia é em geral julgada em logaritmos; um limiar simples, usado no exercício [29.9](#exo-b2-ore-deposits-9), é a média dos logaritmos do fundo mais duas vezes seu desvio-padrão. Uma amostra de sedimento de corrente mistura o sedimento de toda a sua bacia, de modo que uma anomalia se atenua a jusante à medida que sedimento limpo se junta a ela, e o gradiente das concentrações aponta rio acima, em direção à fonte. Em solos sobre pegmatitos soterrados, anomalias de lítio, rubídio, césio, tântalo e estanho foram rastreadas acima de corpos que não afloram.

Os métodos geofísicos são escolhidos pelo contraste que um [tipo de jazida](#def-b2-ore-deposits-types) oferece. Os sulfetos disseminados fazem uma rocha agir como um capacitor: o método de polarização induzida, que mede essa cargabilidade, foi desenvolvido para o cobre pórfiro e responde sobretudo à zona sericítica rica em pirita, sendo o núcleo potássico mais pobre em sulfetos. Os levantamentos magnéticos e gravimétricos mapeiam os [plútons](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-bodies) aos quais as [jazidas](#def-b2-ore-deposits-deposit) estão relacionadas. Nenhum método vê o minério diretamente, e toda interpretação é não única até que um furo de sondagem a teste.

**Método 29.15 (Das análises a uma estimativa de recursos).**

Os dados são furos de sondagem numa malha através da [jazida](#def-b2-ore-deposits-deposit), com seus testemunhos descritos e analisados em intervalos de comprimento conhecido.

1. **Compostas.** Faça a média das análises sobre comprimentos iguais, ponderando cada análise por seu comprimento, de modo que cada amostra composta represente o mesmo volume.
2. **Modelo.** Divida a [jazida](#def-b2-ore-deposits-deposit) em blocos e estime o [teor](#def-b2-ore-deposits-grade) de cada um a partir das compostas próximas, ponderando-as pela distância e pela correlação espacial dos [teores](#def-b2-ore-deposits-grade) (o método geoestatístico da krigagem, admitido).
3. **Relatório.** Aplique um [teor de corte](#def-b2-ore-deposits-grade) : [tonelagem](#def-b2-ore-deposits-grade) e [teor](#def-b2-ore-deposits-grade) médio dos blocos acima dele, com a densidade da rocha, em cada nível de confiança permitido pelo espaçamento dos furos.

**No campo — Descrever testemunhos de sondagem.**

![Um galpão de testemunhos num projeto de prospecção (ilustração gerada por IA).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-ore-deposits/img-7afafa5a24aa.jpg)

*Um galpão de testemunhos num projeto de prospecção (ilustração gerada por IA).*

Num projeto de prospecção, os testemunhos de cada furo são dispostos em caixas metálicas na ordem em que saíram do terreno. Os geólogos percorrem as caixas, intervalo por intervalo, e registram qual é a rocha, como está alterada, que veios a cortam e em que proporção, e que sulfetos ela contém; marcam onde o testemunho será serrado e amostrado. A descrição vem antes das análises e é comparada com elas: uma zona de alteração ou um tipo de veio que carrega o metal torna-se a coisa a seguir de furo em furo, e a partir da descrição os geólogos traçam as seções com as quais os próximos furos são planejados.

## Exercícios

Dados para os exercícios, salvo indicação em contrário: crosta continental superior, cobre $28\,\mathrm{ppm}$, ouro $1.5\,\mathrm{ng}/\mathrm{g}$, cromo $92\,\mathrm{ppm}$; a população de cobres pórfiros da [Seção 29.5](#sec-29-5), $\log_{10}$ da [tonelagem](#def-b2-ore-deposits-grade) (Mt) com média 2.373 e desvio-padrão 0.654, $\log_{10}$ do [teor](#def-b2-ore-deposits-grade) (%) com média $-0.364$ e desvio-padrão 0.199, correlação $\rho = 0.100$. Arredonde a três algarismos significativos.

**Exercício 29.1 ★.**

Encontre o [fator de concentração](#def-b2-ore-deposits-cf) em relação à crosta superior de: (a) um minério de cobre a $0.5\,\%$; (b) um minério de ouro a $6\,\mathrm{g}/\mathrm{t}$; (c) um cromitito com $90\,\%$ de cromita, tomando a cromita como FeCr$_2$O$_4$ (massas atômicas Cr 52.00, Fe 55.85, O 16.00).

**Solução de Exercício 29.1.**

(a) $0.5\,\% = 5000\,\mathrm{ppm}$, e $5000/28 = 179$. (b) $6\,\mathrm{g}/\mathrm{t} = 6000\,\mathrm{ng}/\mathrm{g}$, e $6000/1.5 = 4000$. (c) A cromita contém $2 \times 52.00/(55.85 + 104.00 + 64.00) = 0.4646$ de cromo em massa; o cromitito, $0.9 \times 0.4646 = 0.418$, ou $418\,000\,\mathrm{ppm}$, e $418000/92 = 4540$.

**Exercício 29.2 ★.**

Batu Hijau é declarada com $914\,\mathrm{Mt}$ a $0.53\,\%$ de Cu e $0.40\,\mathrm{g}/\mathrm{t}$ de Au acima de um [teor de corte](#def-b2-ore-deposits-grade) de $0.3\,\%$, e com $1640\,\mathrm{Mt}$ a $0.44\,\%$ de Cu e $0.45\,\mathrm{g}/\mathrm{t}$ de Au ao menor [teor de corte](#def-b2-ore-deposits-grade) disponível. (a) Encontre o cobre contido (Mt) e o ouro (t) de cada estimativa. (b) Que [tonelagem](#def-b2-ore-deposits-grade) e que cobre os blocos adicionais da segunda estimativa acrescentam, e com que [teor](#def-b2-ore-deposits-grade) médio? (c) Por que as duas estimativas estão corretas?

**Solução de Exercício 29.2.**

(a) $914 \times 0.0053 = 4.84\,\mathrm{Mt}$ de cobre e $914 \times 10^6 \times 0.40 = 3.66 \times 10^{8}$ g, $366\,\mathrm{t}$ de ouro; $1640 \times 0.0044 = 7.22\,\mathrm{Mt}$ e $738\,\mathrm{t}$. (b) $1640 - 914 =
726\,\mathrm{Mt}$ contendo $7.216 - 4.844 = 2.37\,\mathrm{Mt}$ de cobre, com [teor](#def-b2-ore-deposits-grade) médio de $2.372/726 = 0.327\,\%$: os blocos adicionais ficam abaixo do [teor de corte](#def-b2-ore-deposits-grade) de $0.3\,\%$ e logo acima dele. (c) Elas respondem à pergunta para dois [teores de corte](#def-b2-ore-deposits-grade); nenhuma é o tamanho da [jazida](#def-b2-ore-deposits-deposit) sem seu [teor de corte](#def-b2-ore-deposits-grade).

**Exercício 29.3 ★.**

Na lei de Stokes a velocidade de sedimentação de um grão de diâmetro $d$ é proporcional a $(\rho_s -
\rho_w)\,d^2$. Tome $\rho_w = 1.00$, quartzo 2.65, ouro 19.3, zircão 4.7 (em $\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$). (a) Quantas vezes mais depressa um grão de ouro sedimenta que um grão de quartzo do mesmo tamanho? (b) Qual é a razão entre os diâmetros de um grão de ouro e de um de quartzo que sedimentam à mesma velocidade? (c) Que grão de quartzo sedimenta como um grão de zircão de $0.1\,\mathrm{mm}$?

**Solução de Exercício 29.3.**

(a) $(19.3 - 1.00)/(2.65 - 1.00) = 18.3/1.65 = 11.1$. (b) Velocidades iguais exigem $(\rho_g - 1)d_g^2 =
(\rho_q - 1)d_q^2$, donde $d_g/d_q = \sqrt{1.65/18.3} = 0.300$: um grão de ouro sedimenta como um grão de quartzo cerca de três vezes maior. (c) $d_q = 0.1\sqrt{3.7/1.65} = 0.150\,\mathrm{mm}$.

**Exercício 29.4 ★.**

Um minério primário de cobre tem um [teor](#def-b2-ore-deposits-grade) de $0.4\,\%$. O intemperismo lixivia todo o seu cobre numa espessura de $150\,\mathrm{m}$ e redeposita-o num manto de $50\,\mathrm{m}$ de espessura logo abaixo, sendo a densidade a mesma. (a) Encontre o [teor](#def-b2-ore-deposits-grade) do manto. (b) O mesmo se apenas $80\,\%$ do cobre lixiviado for redepositado. (c) Que espessura lixiviada daria $1.7\,\%$ com redeposição completa?

**Solução de Exercício 29.4.**

Por unidade de área e de densidade, o manto conserva seu próprio cobre e recebe o da coluna lixiviada: $g = g_0(h_e + \eta h_l)/h_e$. (a) $0.4 \times (50 + 150)/50 = 1.6\,\%$. (b) $0.4 \times (50 + 0.8 \times 150)/50 = 1.36\,\%$. (c) $h_l = 50 \times (1.7/0.4 - 1)
= 163\,\mathrm{m}$. Esses [teores](#def-b2-ore-deposits-grade) estão na faixa de 0.4–$1.7\,\%$ dos mantos de enriquecimento das [jazidas](#def-b2-ore-deposits-deposit) pórfiras.

**Exercício 29.5 ★★.**

Um [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) contém $10\,\mathrm{ppb}$ de platina e $200\,\mathrm{ppm}$ de níquel; tome $D_{\mathrm{Pt}} =
10^4$ e $D_{\mathrm{Ni}} = 500$. (a) Usando [(29.2)](#eq-b2-ore-deposits-r-factor), encontre os [teores](#def-b2-ore-deposits-grade) de platina (ppm) e de níquel (% em massa) do sulfeto para $R = 100$, $1000$, $10\,000$ e $100\,000$. (b) Encontre seus limites para $R \to \infty$. (c) Explique por que um minério de níquel diz pouco sobre $R$, e um minério de platina muito.

**Solução de Exercício 29.5.**

(a) Platina, $C_S = 10 \times 10^4 (R + 1)/(R + 10^4)$ ppb: $1.00\,\mathrm{ppm}$ para $R = 100$, $9.10\,\mathrm{ppm}$ para $1000$, $50.0\,\mathrm{ppm}$ para $10\,000$, $90.9\,\mathrm{ppm}$ para $100\,000$. Níquel, $C_S = 200 \times 500 (R + 1)/(R + 500)$ ppm: $1.68\,\%$, $6.67\,\%$, $9.52\,\%$, $9.95\,\%$. (b) $D\,C_L$: $100\,\mathrm{ppm}$ de platina, $10\,\%$ de níquel. (c) O níquel fica a menos de $5\,\%$ de seu teto a partir de $R = 10\,000$, de modo que seu [teor](#def-b2-ore-deposits-grade) quase não muda ao longo de um fator dez em $R$; a platina ainda quase dobra nessa faixa, de modo que seu [teor](#def-b2-ore-deposits-grade) mede $R$.

**Exercício 29.6 ★★.**

Usando [(29.3)](#eq-b2-ore-deposits-product) para a população de cobres pórfiros: (a) encontre a média e o desvio-padrão de $\log_{10} M$, e o cobre contido mediano. (b) Que fração das [jazidas](#def-b2-ore-deposits-deposit) contém mais de $10\,\mathrm{Mt}$ de cobre? Quantas das 422? (c) Refaça (b) ignorando a correlação.

**Solução de Exercício 29.6.**

(a) $\mu_M = 2.373 - 0.364 - 2 = 0.009$; $\sigma_M = 0.702$; mediana $10^{0.009} = 1.02\,\mathrm{Mt}$. (b) $z = (1 - 0.009)/0.702 = 1.412$, $1 - \Phi(1.412) = 0.0790$: cerca de 33 [jazidas](#def-b2-ore-deposits-deposit) das 422. (c) $\sigma = \sqrt{0.654^2 + 0.199^2} = 0.684$, $z = 1.449$, $1 - \Phi = 0.0737$, cerca de 31: a fraca correlação acrescenta algumas gigantes.

**Exercício 29.7 ★★.**

Para a [jazida](#def-b2-ore-deposits-deposit) ilustrativa da figura ($T_0 = 1000\,\mathrm{Mt}$, mediana $0.40\,\%$, $s = 0.60$), use [(29.4)](#eq-b2-ore-deposits-gt) para encontrar a [tonelagem](#def-b2-ore-deposits-grade), o [teor](#def-b2-ore-deposits-grade) médio e o cobre contido acima de [teores de corte](#def-b2-ore-deposits-grade) de $0.3\,\%$ e $0.6\,\%$. Verifique um ponto na figura.

**Solução de Exercício 29.7.**

Média de todos os blocos $0.40\,e^{0.18} = 0.479\,\%$. Para $c = 0.3$: $z = \ln(0.40/0.3)/0.60 =
0.4795$, $\Phi(z) = 0.6842$, $\Phi(z + s) = 0.8598$: $T = 684\,\mathrm{Mt}$, $\bar g = 0.479 \times
0.8598/0.6842 = 0.602\,\%$, $M = 1000 \times 0.00479 \times 0.8598 = 4.12\,\mathrm{Mt}$. Para $c = 0.6$: $z = -0.6758$, $\Phi = 0.2496$, $\Phi(z + s) = 0.4698$: $250\,\mathrm{Mt}$ a $0.901\,\%$, $2.25\,\mathrm{Mt}$. Na figura, com [teor de corte](#def-b2-ore-deposits-grade) de $0.3\,\%$, a curva azul dá cerca de $680\,\mathrm{Mt}$ e a vermelha cerca de $0.6\,\%$.

**Exercício 29.8 ★★.**

Uma [jazida](#def-b2-ore-deposits-deposit) pórfira contém $5\,\mathrm{Mt}$ de cobre. Suponha que seu fluido magmático transportasse $1000\,\mathrm{ppm}$ de cobre, metade do qual tenha sido depositada no minério, e que o [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) tenha liberado $3.5\,\%$ de sua massa como fluido. (a) Encontre a massa de fluido e de [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) necessária. (b) Encontre o volume do [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma), de densidade $2600\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. (c) Se o [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) continha $50\,\mathrm{ppm}$ de cobre, que fração dele terminou no minério?

**Solução de Exercício 29.8.**

(a) Fluido: $5 \times 10^{6}/(1 \times 10^{-3} \times 0.5) = 1.00 \times 10^{10}\,\mathrm{t}$; [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma): $1 \times 10^{10}/0.035 =
2.86 \times 10^{11}\,\mathrm{t}$. (b) $2.86 \times 10^{14}/2600 = 1.10 \times 10^{11}\,\mathrm{m}^{3}$, $110\,\mathrm{km}^{3}$, um cubo de [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) de cerca de $4.8\,\mathrm{km}$ de lado. (c) O [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) continha $2.86 \times 10^{11}
\times 50 \times 10^{-6} = 1.43 \times 10^{7}\,\mathrm{t}$ de cobre, e o minério $5/14.3 = 0.350$ dele.

**Exercício 29.9 ★★.**

Oito sedimentos de corrente de fundo dão $\log_{10}$ Cu (ppm) de 1.30, 1.45, 1.38, 1.52, 1.41, 1.35, 1.48 e 1.40. (a) Encontre a média e o desvio-padrão (populacional) dos logaritmos, a mediana de fundo e o limiar média mais dois desvios-padrão, em ppm. (b) Um afluente que drena $4\,\mathrm{km}^{2}$ de terreno mineralizado transporta sedimento a $400\,\mathrm{ppm}$; ele se junta a uma corrente que drena $36\,\mathrm{km}^{2}$ com a mediana de fundo. Supondo que cada quilômetro quadrado forneça a mesma massa de sedimento, o sedimento misturado é anômalo? (c) Até que área total de bacia a anomalia permanece acima do limiar?

**Solução de Exercício 29.9.**

(a) A média dos logaritmos é 1.411 e seu desvio-padrão, 0.0664; a mediana é $10^{1.411} = 25.8\,\mathrm{ppm}$; limiar $10^{1.411 + 0.133} = 10^{1.544} = 35.0\,\mathrm{ppm}$. (b) $(4 \times 400 + 36 \times 25.8)/40 =
63.2\,\mathrm{ppm}$, acima de $35.0\,\mathrm{ppm}$: ainda anômalo após a diluição por nove partes de sedimento limpo. (c) $4 \times 400 + (A - 4) \times 25.8 = 35.0\,A$ dá $A = 4 \times (400 -
25.8)/(35.0 - 25.8) = 163\,\mathrm{km}^{2}$.

**Exercício 29.10 ★★★.**

(a) Prove que $e^{su}\varphi(u) = e^{s^2/2}\varphi(u - s)$. (b) Deduza a média de uma variável lognormal, $e^{\mu + s^2/2}$. (c) Mostre que a fração do metal acima do [teor de corte](#def-b2-ore-deposits-grade), $\Phi(z + s)$, sempre excede a fração da [tonelagem](#def-b2-ore-deposits-grade), $\Phi(z)$, e interprete.

**Solução de Exercício 29.10.**

(a) $e^{su}\,e^{-u^2/2} = e^{-(u - s)^2/2 + s^2/2}$; divida por $\sqrt{2\pi}$. (b) $E[e^{\mu + su}] =
e^{\mu}\int e^{su}\varphi(u)\,\mathrm{d}u = e^{\mu + s^2/2}\int\varphi(u - s)\,\mathrm{d}u = e^{\mu +
s^2/2}$. (c) $\Phi$ é crescente e $s > 0$, logo $\Phi(z + s) > \Phi(z)$: os blocos mantidos são mais ricos que os descartados, de modo que cada [teor de corte](#def-b2-ore-deposits-grade) mantém uma parcela maior do metal que da rocha; a diferença cresce com $s$, a variabilidade da [jazida](#def-b2-ore-deposits-deposit).

**Exercício 29.11 ★★★.**

(a) A partir de [(29.2)](#eq-b2-ore-deposits-r-factor), encontre o $R$ para o qual $C_S$ atinge uma fração $f$ de seu teto $D\,C_L$. (b) Calcule-o para $f = 0.5$ e $0.9$ com $D = 300$ (níquel) e $D =
10^4$ (platina). (c) Compare com as faixas de $R$ dos minérios de níquel–cobre e dos recifes de EGP dadas no texto.

**Solução de Exercício 29.11.**

(a) $D(R + 1)/(R + D) = fD$ dá $R + 1 = fR + fD$, $R = (fD - 1)/(1 - f)$. (b) $f = 0.5$: $R = D - 2$, 298 e $9998$; $f = 0.9$: $R = 9D - 10$, $2690$ e $89\,990$. (c) O níquel atinge $50\,\%$ de seu teto dentro da faixa dos minérios de níquel–cobre (100 a $2000$), e 90 logo acima dela; a platina precisa de $R$ de $10\,000$ a $100\,000$, a faixa dos recifes de EGP.

**Exercício 29.12 ★★★.**

(a) Para uma variável lognormal $M$ com $\ln M$ de desvio-padrão $s$, mostre que as [jazidas](#def-b2-ore-deposits-deposit) acima do quantil de ordem $q$ contêm uma fração $\Phi\bigl(s - \Phi^{-1}(q)\bigr)$ do metal total. (b) Calcule-a para a população de pórfiros e $q = 0.9$. (c) O mesmo para $q = 0.99$; compare com as quatro maiores [jazidas](#def-b2-ore-deposits-deposit), que contêm $26.6\,\%$ do cobre da compilação.

**Solução de Exercício 29.12.**

(a) Com $\ln M = m + s u$, as [jazidas](#def-b2-ore-deposits-deposit) acima do quantil são as que têm $u > \Phi^{-1}(q)$, e seu metal é $\int_{\Phi^{-1}(q)}^{\infty} e^{m + su}\varphi(u)\,\mathrm{d}u = e^{m + s^2/2}[1 - \Phi(\Phi^{-1}(q) -
s)]$, e dividir pelo total $e^{m + s^2/2}$ dá $\Phi(s - \Phi^{-1}(q))$. (b) $s = 0.702 \ln 10 =
1.616$; $\Phi(1.616 - 1.282) = \Phi(0.334) = 0.631$. (c) $\Phi(1.616 - 2.326) = \Phi(-0.710) = 0.239$, contra 0.266 para as quatro maiores: as maiores [jazidas](#def-b2-ore-deposits-deposit) são um pouco maiores do que a lei lognormal prevê.

**Problema 29.1.**

Problema de fim de semana — um prospecto pórfiro

Um prospecto pórfiro (inventado) foi sondado. Seu furo de descoberta cortou oito intervalos, de cima para baixo (comprimento em metros, [teor](#def-b2-ore-deposits-grade) de cobre em porcentagem): 30 m a 0.12; 40 a 0.35; 50 a 0.62; 60 a 0.48; 40 a 0.27; 30 a 0.81; 50 a 0.41; 30 a 0.18. Um estudo geoestatístico de todos os furos conclui que os [teores](#def-b2-ore-deposits-grade) dos blocos são lognormais, com mediana $0.38\,\%$ e $s = 0.55$ para $\ln g$. O corpo mineralizado é próximo de um cilindro vertical de raio $450\,\mathrm{m}$ e altura $700\,\mathrm{m}$, de densidade $2.7\,\mathrm{t}\,\mathrm{m}^{-3}$. Use os dados dos exercícios, e arredonde a três algarismos significativos (as probabilidades a quatro).

**Parte I — O furo de descoberta.**

1. Encontre o comprimento amostrado do furo e seu [teor](#def-b2-ore-deposits-grade) médio ponderado pelo comprimento.
2. Encontre a média aritmética dos oito [teores](#def-b2-ore-deposits-grade) . Por que a média ponderada é a correta?
3. Que fração do comprimento está acima de $0.3\,\%$ , e com que [teor](#def-b2-ore-deposits-grade) médio?
4. Encontre o [fator de concentração](#def-b2-ore-deposits-cf) do [teor](#def-b2-ore-deposits-grade) médio ponderado em relação à crosta superior.
5. O mesmo para o intervalo mais rico.
6. Encontre o [teor](#def-b2-ore-deposits-grade) médio de todos os blocos da [jazida](#def-b2-ore-deposits-deposit) . O furo de descoberta é representativo?

**Parte II — A tonelagem acima do teor de corte.**

7. Encontre o volume e a [tonelagem](#def-b2-ore-deposits-grade) $T_0$ do corpo; mantenha $T_0 = 1200\,\mathrm{Mt}$ .
8. Para um [teor de corte](#def-b2-ore-deposits-grade) de $0.3\,\%$ , encontre $z$ e a fração dos blocos acima dele.
9. Encontre a [tonelagem](#def-b2-ore-deposits-grade) acima de [teores de corte](#def-b2-ore-deposits-grade) de 0.2, 0.3 e $0.5\,\%$ .
10. Encontre o [teor](#def-b2-ore-deposits-grade) médio acima do [teor de corte](#def-b2-ore-deposits-grade) de $0.3\,\%$ .
11. O mesmo acima de 0.2 e de $0.5\,\%$ .
12. Elevando o [teor de corte](#def-b2-ore-deposits-grade) de 0.3 para $0.5\,\%$ : por que fatores mudam a [tonelagem](#def-b2-ore-deposits-grade) e o [teor](#def-b2-ore-deposits-grade) médio?
13. Com que [teor de corte](#def-b2-ore-deposits-grade) metade da [tonelagem](#def-b2-ore-deposits-grade) é mantida, e qual é seu [teor](#def-b2-ore-deposits-grade) médio?

**Parte III — O prospecto entre os pórfiros do mundo.**

14. Encontre o cobre contido no corpo inteiro, com seu [teor](#def-b2-ore-deposits-grade) médio.
15. Encontre o escore padrão de sua [tonelagem](#def-b2-ore-deposits-grade) na população mundial, e seu percentil.
16. O mesmo para seu [teor](#def-b2-ore-deposits-grade) médio.
17. Encontre o desvio-padrão de $\log_{10} M$ com a correlação, e sem ela.
18. Encontre o percentil de seu cobre contido.
19. Quantas das 422 [jazidas](#def-b2-ore-deposits-deposit) se esperaria que contivessem mais cobre?

**Parte IV — O cobre acima do teor de corte.**

20. Encontre o cobre contido acima do [teor de corte](#def-b2-ore-deposits-grade) de $0.2\,\%$ .
21. O mesmo acima de $0.5\,\%$ .
22. Que fração do cobre está acima de $0.3\,\%$ , e que fração da [tonelagem](#def-b2-ore-deposits-grade) ?
23. Explique por que baixar o [teor de corte](#def-b2-ore-deposits-grade) abaixo de $0.3\,\%$ acrescenta muita rocha e pouco cobre, usando as respostas às questões 9 e 20.
24. Em resumo: quanto cobre o prospecto contém acima do [teor de corte](#def-b2-ore-deposits-grade) de $0.3\,\%$ ?

**Solução de Problema 29.1.**

**1.** $330\,\mathrm{m}$; $\sum l\,g = 138.4$, média $138.4/330 = 0.419\,\%$. **2.** $3.24/8 = 0.405\,\%$; cada intervalo representa um comprimento de testemunho, portanto um volume de rocha: um intervalo longo deve pesar mais que um curto. **3.** $230/330 = 0.697$, a $118.6/230 = 0.516\,\%$. **4.** $4190/28 = 150$. **5.** $8100/28 = 289$. **6.** $0.38\,e^{0.55^2/2} = 0.38\,e^{0.1513} = 0.442\,\%$; o furo, com $0.419\,\%$, fica a menos de $6\,\%$ disso: representativo. **7.** $\pi \times 450^2 \times 700 = 4.45 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{3}$; $\times 2.7 = 1.20 \times 10^{9}$ t, $1200\,\mathrm{Mt}$. **8.** $z = \ln(0.38/0.3)/0.55 = 0.4298$; $\Phi(z) = 0.6663$. **9.** $z = 1.167$, 0.4298, $-0.4990$; $\Phi = 0.8784$, 0.6663, 0.3089; $T = 1050\,\mathrm{Mt}$, $800\,\mathrm{Mt}$, $371\,\mathrm{Mt}$. **10.** $\Phi(z + s) = \Phi(0.9798) = 0.8364$; $\bar g = 0.442 \times 0.8364/0.6663 =
0.555\,\%$. **11.** $0.442 \times 0.9570/0.8784 = 0.482\,\%$; $0.442 \times 0.5203/0.3089 =
0.744\,\%$. **12.** [Tonelagem](#def-b2-ore-deposits-grade) $\times\, 370.7/799.6 = 0.464$; [teor](#def-b2-ore-deposits-grade) $\times\, 0.744/0.555 = 1.34$. **13.** Na mediana, $0.38\,\%$ ($z = 0$): $600\,\mathrm{Mt}$ a $0.442 \times
\Phi(0.55)/0.5 = 0.442 \times 0.7088/0.5 = 0.627\,\%$. **14.** $1200 \times 0.00442 = 5.30\,\mathrm{Mt}$. **15.** $(\log_{10} 1200 - 2.373)/0.654 = (3.0792 - 2.373)/0.654 = 1.080$; $\Phi = 0.8599$: percentil 86, uma [jazida](#def-b2-ore-deposits-deposit) grande. **16.** $(\log_{10} 0.442 + 0.364)/0.199 = (-0.3546 + 0.364)/0.199 = 0.047$; $\Phi = 0.5187$: um [teor](#def-b2-ore-deposits-grade) comum, percentil 52. **17.** 0.702 com a correlação, 0.684 sem ela. **18.** $\mu_M = 0.009$; $(\log_{10} 5.30 - 0.009)/0.702 = (0.7243 - 0.009)/0.702 = 1.019$; $\Phi =
0.8459$: percentil 85. **19.** $422 \times (1 - 0.8459) = 65$. **20.** $M = T_0\,e^{\mu + s^2/2}\,\Phi(z + s) = 1200 \times 0.00442 \times 0.9570 =
5.08\,\mathrm{Mt}$. **21.** $1200 \times 0.00442 \times 0.5203 = 2.76\,\mathrm{Mt}$. **22.** $\Phi(z + s) = 0.8364$ do cobre, em $\Phi(z) = 0.6663$ da [tonelagem](#def-b2-ore-deposits-grade). **23.** De 0.3 para $0.2\,\%$ a [tonelagem](#def-b2-ore-deposits-grade) cresce $1054 - 800 = 254\,\mathrm{Mt}$ ($32\,\%$) e o cobre $5.08 - 4.44 = 0.64\,\mathrm{Mt}$ ($14\,\%$): os blocos acrescentados têm em média $0.64/254 = 0.25\,\%$, os mais pobres da [jazida](#def-b2-ore-deposits-deposit). **24.** $1200 \times 0.00442 \times 0.8364 = 800 \times 0.00555$: o prospecto contém **$4.44\,\mathrm{Mt}$** de cobre acima do [teor de corte](#def-b2-ore-deposits-grade) de $0.3\,\%$.