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title: "Métodos de campo e de laboratório II"
book: "Ciências da Terra e do espaço universitárias — 2.º ano"
subject: earth
language: pt
chapter: 31
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/31-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-ii
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Capítulo 31 — Métodos de campo e de laboratório II

Cada número dos capítulos de petrologia deste livro começou como uma rocha num saco, uma lâmina delgada sob um microscópio e um pó num instrumento. Uma composição mineral lançada num diagrama de fases, o teor de sílica que dá nome a uma lava, a razão isotópica do estrôncio que rastreia uma fonte mantélica: cada um saiu de uma cadeia de operações que começou num afloramento, e cada um carrega os erros de cada elo. Este capítulo segue essa cadeia para as rochas do embasamento das Varden Hills: ler as texturas em lâmina delgada, contar os minerais, analisar a rocha total, depois os minerais isolados, depois os isótopos, perguntando a cada passo quão bom é o número.

**O que você já sabe.**

**Do volume do primeiro ano**: a estação de campo, a caderneta de campo, a amostra orientada, a lâmina delgada, o microscópio de polarização, a luz plano-polarizada, os polarizadores cruzados; a identificação óptica dos minerais formadores de rocha; o recálculo de uma fórmula mineral a partir de uma análise de óxidos sobre um número fixo de oxigênios, e do ferro férrico pelo balanço de cargas; a foliação e a xistosidade; a isócrona, a razão inicial e a reta de mínimos quadrados. **Dos livros de química**: a espectrometria de massa, o plasma indutivamente acoplado; a curva de calibração, o limite de detecção, o limite de quantificação, a precisão, a veracidade, o viés, a repetibilidade, o desvio-padrão da média. **Dos livros de física**: os raios X característicos e a lei de Moseley; a lei de Bragg; a tensão superficial; a propagação de incertezas. **Dos livros de matemática**: a distribuição binomial, sua média e sua variância. **Do [Capítulo 9](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/9-series-magmaticas-e-contextos-tectonicos#ch-b2-magmatic-series)**: a [composição modal](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/9-series-magmaticas-e-contextos-tectonicos#def-b2-magmatic-series-qapf), o [diagrama QAPF](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/9-series-magmaticas-e-contextos-tectonicos#def-b2-magmatic-series-qapf). **Do [Capítulo 4](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/4-geoquimica-isotopica#ch-b2-isotope-geochemistry)**: o [traçador isotópico radiogênico](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/4-geoquimica-isotopica#def-b2-isotope-geochemistry-tracer), o [padrão isotópico de referência](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/4-geoquimica-isotopica#def-b2-isotope-geochemistry-standards).

## 31.1 Petrografia: as texturas como uma história

O volume do primeiro ano usou o microscópio de polarização para identificar minerais. Um petrógrafo também lê como os grãos estão arranjados, porque o arranjo registra a ordem em que cresceram. Duas texturas são as testemunhas mais comuns da cristalização a partir de um líquido magmático e da recristalização no estado sólido.

**Definição 31.1 (Textura ofítica, textura granoblástica).**

Uma rocha ígnea tem *textura ofítica* quando grandes cristais de piroxênio englobam pequenas ripas de plagioclásio orientadas ao acaso; a textura é típica do diabásio, do gabro e do basalto. Uma rocha metamórfica tem *textura granoblástica* quando é um agregado de cristais aproximadamente equidimensionais e de tamanho semelhante, em muitos casos anédricos, cujos limites retos se encontram três a três em ângulos próximos de $120{}^{\circ}$.

Numa rocha ofítica as ripas englobadas são inteiras e euédricas, e o piroxênio preenche o espaço entre elas: o plagioclásio cresceu primeiro, o piroxênio em volta dele. Os ângulos de $120{}^{\circ}$ de uma [textura granoblástica](#def-b2-field-lab-methods-2-textures) são os de grãos que tiveram tempo de ajustar seus limites; o material didático de petrografia lê essas junções tríplices como sinal de equilíbrio químico e textural. O ângulo decorre de um equilíbrio de forças, os limites de grão puxando sua linha comum como películas de sabão (a tensão superficial, dos livros de física).

**Proposição 31.2 (Ângulos numa junção tríplice).**

Suponha-se que três limites de grão se encontrem ao longo de uma linha, com tensões (energias por unidade de área) $\gamma_1$, $\gamma_2$, $\gamma_3$, e seja $\theta_i$ o ângulo entre os dois limites que não o limite $i$. No equilíbrio,

$$
\frac{\gamma_1}{\sin\theta_1} = \frac{\gamma_2}{\sin\theta_2} = \frac{\gamma_3}{\sin\theta_3},\tag{31.1}
$$

e três tensões iguais encontram-se em três ângulos de $120{}^{\circ}$.

**Demonstração.** Num plano perpendicular à junção, cada limite puxa a junção ao longo de seu próprio traço com a força $\gamma_i$ por unidade de comprimento. No equilíbrio as três forças somam zero, de modo que, colocadas uma após a outra, elas fecham um triângulo. O ângulo do triângulo oposto ao lado $\gamma_i$ é $\pi - \theta_i$, cujo seno é $\sin\theta_i$, e a lei dos senos no triângulo dá [(31.1)](#eq-b2-field-lab-methods-2-lami). Se as três tensões são iguais, o triângulo é equilátero, e cada ângulo externo $\theta_i$ vale $\pi - \pi/3 = 2\pi/3$, isto é, $120{}^{\circ}$. ∎

![Duas texturas entre polarizadores cruzados. À esquerda: um único cristal de augita (azul e verde) engloba ripas de plagioclásio listradas por sua geminação, o arranjo de uma textura ofítica; campo de visão de 7\, mm. Fotografia de Strekeisen, CC BY-SA 4.0 (Wikimedia Commons). À direita: um granada–mica xisto. A granada, preta porque é isótropa, é um grande cristal que cresceu no estado sólido; inclusões de quartzo a atravessam em trilhas, e a foliação de muscovita (cores vivas), biotita (marrom) e quartzo (cinza) contorna-a. Fotografia de Jackdann88, CC BY 3.0 (Wikimedia Commons).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-field-lab-methods-2/img-34ae9ac56750.jpg)

![Duas texturas entre polarizadores cruzados. À esquerda: um único cristal de augita (azul e verde) engloba ripas de plagioclásio listradas por sua geminação, o arranjo de uma textura ofítica; campo de visão de 7\, mm. Fotografia de Strekeisen, CC BY-SA 4.0 (Wikimedia Commons). À direita: um granada–mica xisto. A granada, preta porque é isótropa, é um grande cristal que cresceu no estado sólido; inclusões de quartzo a atravessam em trilhas, e a foliação de muscovita (cores vivas), biotita (marrom) e quartzo (cinza) contorna-a. Fotografia de Jackdann88, CC BY 3.0 (Wikimedia Commons).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-field-lab-methods-2/img-2e4b5325e277.jpg)

*Duas texturas entre polarizadores cruzados. À esquerda: um único cristal de augita (azul e verde) engloba ripas de plagioclásio listradas por sua geminação, o arranjo de uma [textura ofítica](#def-b2-field-lab-methods-2-textures); campo de visão de $7\,\mathrm{mm}$. Fotografia de Strekeisen, CC BY-SA 4.0 (Wikimedia Commons). À direita: um granada–mica xisto. A granada, preta porque é isótropa, é um grande cristal que cresceu no estado sólido; inclusões de quartzo a atravessam em trilhas, e a foliação de muscovita (cores vivas), biotita (marrom) e quartzo (cinza) contorna-a. Fotografia de Jackdann88, CC BY 3.0 (Wikimedia Commons).*

Os minerais metamórficos não crescem todos no mesmo ritmo. Algumas espécies crescem sobre as outras em cristais muito grandes, que englobam os pequenos grãos à sua volta à medida que crescem.

**Definição 31.3 (Porfiroblasto, poiquiloblasto, trilha de inclusões, coroa).**

Um *porfiroblasto* é um grande cristal que cresceu durante o [metamorfismo](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/10-reacoes-e-facies-metamorficas#def-b2-metamorphic-facies-metamorphism) numa matriz de granulação mais fina; granada, estaurolita, cordierita e cloritoide formam-nos, de milímetros a vários centímetros de diâmetro. Um *poiquiloblasto* é um porfiroblasto que contém muitas inclusões de outros minerais. Uma *trilha de inclusões* é uma linha de inclusões alinhadas dentro de um porfiroblasto, que preserva a trama da matriz no momento em que o cristal cresceu sobre ela. Uma *coroa* é uma orla de um ou mais minerais novos que envolve completamente um mineral que estava se decompondo, porque deixara de ser estável com seus vizinhos: uma textura de reação, congelada antes que a reação se completasse.

Comparar a [trilha de inclusões](#def-b2-field-lab-methods-2-porphyroblast) ($S_i$, a trama interna) com a foliação fora do cristal ($S_e$, a trama externa) data o crescimento de um [porfiroblasto](#def-b2-field-lab-methods-2-porphyroblast) em relação à deformação que produziu a foliação. Os critérios abaixo, desenhados na figura, são os das notas didáticas correntes.

**Método 31.4 (Datar um porfiroblasto por suas trilhas de inclusões).**

Encontre uma seção cortada perpendicularmente à foliação e compare $S_i$ e $S_e$.

1. **Inclusões ao acaso** , $S_e$ defletida em volta do cristal: ele cresceu antes da formação da foliação ( *pré-tectônico* ).
2. **$S_i$ reta truncada na borda** , descontínua com uma $S_e$ defletida: ele cresceu sobre uma foliação mais antiga, entre duas deformações ( *intertectônico* ).
3. **$S_i$ curva** , contínua com $S_e$ : ele cresceu enquanto a foliação se formava, girando ou sendo sobrecrescido à medida que crescia ( *sintectônico* ; a espiral de uma granada em bola de neve).
4. **$S_i$ reta contínua com uma $S_e$ não defletida** : ele cresceu depois da foliação ( *pós-tectônico* ).

![Trilhas de inclusões (em preto, tracejadas) num porfiroblasto (vermelho) e a foliação fora dele (cinza), em seções perpendiculares à foliação (esquemático). Da esquerda para a direita: inclusões crescidas antes da foliação, que se curva em volta do cristal; uma trama mais antiga reta truncada na borda; uma trilha que se curva até a foliação, tendo o cristal girado enquanto crescia; uma trilha reta que prolonga a foliação não perturbada.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-field-lab-methods-2/fig-de53a3148c88.svg)

*[Trilhas de inclusões](#def-b2-field-lab-methods-2-porphyroblast) (em preto, tracejadas) num [porfiroblasto](#def-b2-field-lab-methods-2-porphyroblast) (vermelho) e a foliação fora dele (cinza), em seções perpendiculares à foliação (esquemático). Da esquerda para a direita: inclusões crescidas antes da foliação, que se curva em volta do cristal; uma trama mais antiga reta truncada na borda; uma trilha que se curva até a foliação, tendo o cristal girado enquanto crescia; uma trilha reta que prolonga a foliação não perturbada.*

A petrografia também é quantitativa. As proporções dos minerais de uma rocha ígnea de granulação grossa dão-lhe nome no [diagrama QAPF](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/9-series-magmaticas-e-contextos-tectonicos#def-b2-magmatic-series-qapf) ([Capítulo 9](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/9-series-magmaticas-e-contextos-tectonicos#ch-b2-magmatic-series)), e são medidas ao microscópio.

**Definição 31.5 (Análise modal, contagem de pontos).**

Uma *análise modal* é a medida da [composição modal](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/9-series-magmaticas-e-contextos-tectonicos#def-b2-magmatic-series-qapf) de uma rocha. Na *contagem de pontos*, uma lâmina delgada é deslocada sob os fios do retículo do microscópio em passos iguais ao longo de uma malha regular, e o mineral sob os fios do retículo é registrado em cada ponto; a proporção dos pontos que caem sobre um mineral estima sua proporção na rocha.

**Proposição 31.6 (O que a contagem de pontos mede, e com que qualidade).**

(a) Numa rocha sem orientação preferencial, a fração de área de um mineral numa seção posicionada ao acaso tem, em média, o valor de sua fração volumétrica. (b) Se $n$ pontos caem independentemente sobre um mineral de fração de área $p$, a proporção contada $\hat p = k/n$ tem média $p$ e desvio-padrão

$$
\sigma = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} , \qquad\text{de modo que}\qquad n = \frac{p(1-p)}{\sigma^2}\tag{31.2}
$$

pontos são necessários para atingir um desvio-padrão $\sigma$.

**Demonstração.** (a) Corte-se um bloco de rocha de altura $H$ em seções paralelas de área $S$. O volume do mineral é $\int_0^H a(z)\,\mathrm{d}z$, onde $a(z)$ é sua área na seção à altura $z$; dividindo pelo volume $SH$, a fração volumétrica é a média da fração de área $a(z)/S$ sobre todas as alturas, que é o valor esperado para uma altura sorteada ao acaso. (b) Cada ponto cai sobre o mineral com probabilidade $p$, independentemente dos outros, de modo que o número $k$ de acertos segue a distribuição binomial de parâmetros $n$ e $p$, de média $np$ e variância $np(1-p)$. Dividindo por $n$ obtêm-se a média $p$ e a variância $p(1-p)/n$ de $\hat p$. ∎

A prova de (b) supõe pontos independentes, o que um passo de malha maior que os grãos aproxima. Para um mineral que constitui $30\,\%$ de uma rocha, 500 pontos dão $\sigma =
\sqrt{0.3 \times 0.7/500} = 0.020$, dois pontos percentuais; chegar a um ponto percentual exige $0.21/0.01^2 = 2100$ pontos, quatro vezes mais, porque $\sigma$ só decresce como $1/\sqrt n$. O erro relativo, $\sigma/p = \sqrt{(1-p)/(np)}$, é pior para os minerais raros (figura abaixo, à esquerda). As proporções contadas são então recalculadas para dar nome à rocha: uma moda com $10\,\%$ de quartzo, 30 de feldspato alcalino, 20 de plagioclásio e 40 de minerais máficos dá Q, A e P de 16.7, 50.0 e 33.3 depois que os três componentes félsicos são levados a uma soma de 100. No triângulo QAP uma rocha com Q entre 20 e 60 é um granito quando sua razão P/(A+P) está entre 10 e $65\,\%$: um sienogranito abaixo de 35, um monzogranito acima; de 65 a 90 é um granodiorito, acima de 90 um tonalito. O índice de cor $M'$ é a proporção de minerais escuros, isto é, os minerais máficos e afins exceto muscovita, apatita e carbonato primário; uma rocha é leucocrática abaixo de 35, mesocrática de 35 a 65, melanocrática de 65 a 90.

![À esquerda: erro-padrão relativo de uma proporção modal p medida por contagem de pontos, , para um mineral raro, um comum e um abundante. À direita: exatidão da sílica por fluorescência de raios X em pastilhas fundidas para dez materiais de referência de rochas, do basalto ao granito; cada ponto é a média de 2 a 30 análises menos o valor recomendado, com o desvio-padrão das análises como barra. Dados: Taggart e Siems (2002), USGS.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-field-lab-methods-2/fig-f450da41b11c.svg)

![À esquerda: erro-padrão relativo de uma proporção modal p medida por contagem de pontos, , para um mineral raro, um comum e um abundante. À direita: exatidão da sílica por fluorescência de raios X em pastilhas fundidas para dez materiais de referência de rochas, do basalto ao granito; cada ponto é a média de 2 a 30 análises menos o valor recomendado, com o desvio-padrão das análises como barra. Dados: Taggart e Siems (2002), USGS.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-field-lab-methods-2/fig-14609ad377db.svg)

*À esquerda: erro-padrão relativo de uma proporção modal $p$ medida por [contagem de pontos](#def-b2-field-lab-methods-2-modal), [(31.2)](#eq-b2-field-lab-methods-2-binomial), para um mineral raro, um comum e um abundante. À direita: exatidão da sílica por fluorescência de raios X em [pastilhas fundidas](#def-b2-field-lab-methods-2-xrf) para dez materiais de referência de rochas, do basalto ao granito; cada ponto é a média de 2 a 30 análises menos o valor recomendado, com o desvio-padrão das análises como barra. Dados: Taggart e Siems (2002), USGS.*

## 31.2 A análise de rocha total

Uma análise de rocha total precisa de uma amostra que represente a rocha: uma ficha didática da coleção de geoquímica do SERC recomenda coletar uma amostra várias vezes maior que o maior grão, que é britada em etapas e moída até um pó fino. O método de rotina para os elementos maiores é a fluorescência de raios X. Um feixe de raios X, tipicamente de um tubo com alvo de ródio, arranca elétrons internos dos átomos da amostra, e cada elemento emite então raios X em suas próprias energias características (lei de Moseley, dos livros de física).

**Definição 31.7 (Análise por fluorescência de raios X, pastilha fundida, perda ao fogo).**

A *análise por fluorescência de raios X* mede as concentrações dos elementos de um sólido a partir das intensidades dos raios X característicos que ele emite sob um feixe de raios X, por comparação com padrões de composição conhecida. Uma *pastilha fundida* é um disco de vidro feito fundindo um pó de rocha pesado com um fundente pesado, como o tetraborato de lítio, e vertendo o líquido; ela é homogênea quaisquer que fossem os grãos do pó. A *perda ao fogo* é a fração de sua massa que um pó perde quando aquecido a uma alta temperatura fixa, sobretudo água e dióxido de carbono expulsos.

A intensidade de uma linha só é proporcional à abundância de seu elemento quando as amostras e os padrões são semelhantes, pois os outros elementos absorvem e reforçam a radiação: esses efeitos de matriz, e os do tamanho de grão, são a razão pela qual o pó é fundido num vidro, e pela qual uma correção matemática ainda é aplicada. A FRX mede os dez elementos maiores e, acima de cerca de $1\,\mathrm{ppm}$, [elementos-traço](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/3-os-elementos-na-terra#def-b2-elements-in-the-earth-trace) como Rb, Sr, Zr e Ba, com limites de detecção de algumas partes por milhão. Ela é fraca para os elementos leves (número atômico abaixo de 11) e não vê nem os isótopos nem o estado de oxidação do ferro.

**No laboratório — Uma série de pastilhas fundidas.**

Num procedimento publicado pelo Serviço Geológico dos Estados Unidos, $0.8000\,\mathrm{g}$ de pó de rocha são aquecidos num cadinho de platina–ouro a $925\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ durante 40 minutos, e a perda de massa é registrada como a [perda ao fogo](#def-b2-field-lab-methods-2-xrf). Junta-se tetraborato de lítio, o bastante para deixar $8.0000\,\mathrm{g}$ após a fusão; sete cadinhos de cada vez são mantidos num forno a $1120\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e agitados durante 35 minutos, depois vertidos em moldes. No espectrômetro, um tubo de ródio de janela frontal irradia cada pastilha, e as intensidades dos dez elementos maiores são comparadas com as dos padrões. Uma análise cujos óxidos somam menos de 97 ou mais de $101\,\%$ é repetida; um analista completa cerca de 250 amostras por mês.

Os próprios padrões são rochas, analisadas tantas vezes que sua composição é conhecida melhor do que qualquer análise isolada pode medi-la.

**Definição 31.8 (Material de referência geoquímico).**

Um *material de referência geoquímico* é uma rocha, um mineral ou um sedimento natural, moído e homogeneizado num grande lote, para o qual uma ou mais concentrações têm valores bem estabelecidos ou certificados, usado para calibrar instrumentos e testar a exatidão de um método.

O basalto BHVO-2 do USGS, coletado em 1995 numa lava que transbordou da cratera Halemaumau do Kilauea em 1919, tem um $\ce{SiO2}$ recomendado de $49.60\,\%$ e $394.1\,\mathrm{ppm}$ de estrôncio. Um laboratório verifica sua própria veracidade analisando esses materiais como amostras desconhecidas, nas extremidades inferior, média e superior de sua faixa: na figura acima, o método do USGS recupera a sílica a menos de $0.6\,\%$ do valor recomendado para as dez rochas, de $\ce{SiO2}$ 54 a $74\,\%$. Seus brancos fixam seus limites: o limite de detecção é tomado como três desvios-padrão de brancos preparados independentemente, o limite inferior de relato como cinco, e dez são frequentemente sugeridos para o limite de quantificação.

**Método 31.9 (Calibrar e verificar uma análise de rocha total).**

1. **Calibrar.** Meça a intensidade $I$ de cada elemento em pastilhas de vários materiais de referência, e ajuste a reta de mínimos quadrados $c = aI + b$ da concentração recomendada em função da intensidade.
2. **Medir.** Converta a intensidade de cada amostra desconhecida numa concentração com a reta.
3. **Verificar.** Analise um material de referência como amostra desconhecida em cada série e compare-o com seu valor recomendado; some os óxidos e a [perda ao fogo](#def-b2-field-lab-methods-2-xrf) , que devem chegar perto de $100\,\%$ .
4. **Relatar.** Dê a análise tal como medida, com sua [perda ao fogo](#def-b2-field-lab-methods-2-xrf) ; para os diagramas de classificação, recalcule os óxidos a uma soma de 100 sem os voláteis.

## 31.3 A análise mineral: a microssonda eletrônica

A FRX dá a composição da rocha total. O zoneamento de um [porfiroblasto](#def-b2-field-lab-methods-2-porphyroblast) de granada, as reações registradas por uma [coroa](#def-b2-field-lab-methods-2-porphyroblast) ou os pares minerais de um [geotermômetro](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/11-termobarometria-e-trajetorias-ptt#def-b2-pt-paths-thermobarometry) precisam da composição de um único grão, e de pontos dentro dele.

**Definição 31.10 (Microssonda eletrônica, espectrometria por dispersão de comprimento de onda).**

Uma *microssonda eletrônica* é um instrumento que focaliza um feixe de elétrons num ponto de uma seção polida e mede os raios X característicos ali emitidos, dando uma análise quantitativa de um volume de alguns micrômetros. Na *espectrometria por dispersão de comprimento de onda*, os raios X incidem sobre um cristal analisador que só reflete para um detector o comprimento de onda que satisfaz a lei de Bragg em seu ângulo; cristal e detector movem-se juntos sobre um círculo (o círculo de Rowland) para selecionar a linha de cada elemento sucessivamente.

Os pontos podem ser tão pequenos quanto 1 a $2\,\text{µ}\mathrm{m}$, e a detecção chega a algumas dezenas de ppm em massa, para os elementos a partir do boro (número atômico 5). As contagens são comparadas com as dos padrões e corrigidas dos efeitos de número atômico, absorção e fluorescência (uma correção ZAF). Uma microssonda com quatro ou cinco espectrômetros de cristal mede de 10 a 12 elementos numa só análise. Ela não detecta o hidrogênio, o hélio nem o lítio, de modo que a água das micas e dos anfibólios falta em seus totais; não distingue o ferro ferroso do férrico; e relata óxidos, a partir dos quais a fórmula mineral é recalculada como no volume do primeiro ano.

**No laboratório — Um dia na microssonda.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-field-lab-methods-2/img-2f5dd60f0c4c.jpg)

*Uma [microssonda eletrônica](#def-b2-field-lab-methods-2-epma): a coluna eletrônica, com seus espectrômetros em volta, e a mesa do operador. Fotografia de Kallerna, CC BY-SA 4.0 (Wikimedia Commons).*

As lâminas delgadas para a microssonda são em geral retângulos de $27\,\mathrm{mm} \times 46\,\mathrm{mm}$, desbastadas até $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ e deixadas sem lamínula, depois polidas até ficarem planas. A maioria dos silicatos é isolante elétrica, de modo que a seção é recoberta por uma fina película condutora, quase sempre de carbono, para escoar a carga do feixe. O analista marca os grãos a medir em fotografias tiradas ao microscópio de polarização, carrega os padrões com as seções, e deixa o instrumento percorrer uma lista de pontos: um perfil do núcleo à borda através de uma granada, por exemplo.

## 31.4 A análise isotópica

Os [traçadores isotópicos radiogênicos](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/4-geoquimica-isotopica#def-b2-isotope-geochemistry-tracer) e as idades ([Capítulo 4](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/4-geoquimica-isotopica#ch-b2-isotope-geochemistry)) apoiam-se em razões medidas com 0.01–$0.001\,\%$, de elementos separados da rocha por dissolução e cromatografia de troca iônica num laboratório limpo, com ar filtrado (tipicamente da classe 100 a 1000), para que a poeira nada acrescente às pequenas quantidades analisadas.

**Definição 31.11 (Espectrometria de massa por ionização térmica, ICP-MS multicoletor, viés de massa).**

Na *espectrometria de massa por ionização térmica* (TIMS), um elemento purificado é depositado num fino filamento metálico e ionizado por aquecimento sob vácuo; os íons são acelerados por uma diferença de potencial de até $10\,\mathrm{kV}$, separados por massa num setor magnético e coletados. No *ICP-MS multicoletor* os íons vêm de um plasma indutivamente acoplado, que ioniza elementos difíceis de ionizar termicamente, e vários coletores medem ao mesmo tempo os feixes de massas diferentes. O *viés de massa* de uma medida é o desvio de uma razão isotópica medida em relação à razão verdadeira da amostra causado pelo instrumento, que transmite ou ioniza uma massa mais facilmente que outra.

Os dois instrumentos atingem essa precisão. A TIMS ioniza em geral menos de $1\,\%$ dos átomos, e seu [viés de massa](#def-b2-field-lab-methods-2-tims) muda continuamente durante uma corrida. O viés é corrigido fixando a razão de dois isótopos que nenhum decaimento altera, o que exige um elemento com pelo menos três isótopos, dois deles estáveis e não radiogênicos. Para o estrôncio, $^{86}\mathrm{Sr}/^{88}\mathrm{Sr}$ é fixada em 0.1194, e uma forma comum da correção é a lei exponencial.

**Proposição 31.12 (Lei exponencial do viés de massa).**

Suponha-se que toda razão medida entre dois isótopos de massas $m_i$ e $m_j$ se relacione com a razão verdadeira por $R_{ij}^{\mathrm{true}} = R_{ij}^{\mathrm{meas}}\,(m_i/m_j)^{\beta}$, com um só expoente $\beta$ para toda a corrida. Então a razão medida $r$ de um par de referência, cujo valor verdadeiro $r_0$ é conhecido, dá

$$
\beta = \frac{\ln(r_0/r)}{\ln(m_k/m_l)}\tag{31.3}
$$

para o par de referência $k/l$, e toda outra razão é corrigida com o mesmo $\beta$.

**Demonstração.** Aplicada ao par de referência, a lei diz $r_0 = r\,(m_k/m_l)^\beta$; tomando logaritmos, $\ln(r_0/r) = \beta\ln(m_k/m_l)$, que é [(31.3)](#eq-b2-field-lab-methods-2-beta). O expoente é comum a todas as razões da corrida por hipótese, de modo que corrige cada uma delas. ∎

Para o estrôncio o par de referência é $^{86}\mathrm{Sr}/^{88}\mathrm{Sr}$ com $r_0 = 0.1194$, e a razão $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ corrigida é a razão medida vezes $(m_{87}/m_{86})^\beta$. As abundâncias da CIAAW, $9.86\,\%$ de estrôncio-86 e $82.58\,\%$ de estrôncio-88, dão o mesmo valor. Cada sessão também analisa um [padrão isotópico de referência](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/4-geoquimica-isotopica#def-b2-isotope-geochemistry-standards): um laboratório mediu $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr} = 0.710252 \pm
0.000007$ no material de referência NBS 987 em sete corridas.

As razões sozinhas não dão uma concentração. Para isso, uma quantidade conhecida de um *traçador isotópico*, uma solução do elemento artificialmente enriquecida num isótopo, é misturada à amostra dissolvida antes da química, e a razão é medida na mistura. Os laboratórios de TIMS usam-no tanto para as concentrações quanto para as razões pai–filho.

**Proposição 31.13 (Diluição isotópica).**

Suponha-se que uma amostra contenha $N_x$ mols de um isótopo de referência $b$ e um traçador $N_s$ mols dele, e sejam $R_x$, $R_s$ e $R_m$ as razões de um segundo isótopo $a$ para $b$ na amostra, no traçador e na mistura. Então

$$
N_x = N_s\,\frac{R_s - R_m}{R_m - R_x} .\tag{31.4}
$$

Um erro relativo $\varepsilon$ sobre $R_m$ dá a $N_x$ o erro relativo $\mathcal{M}\varepsilon$, com a amplificação do erro

$$
\mathcal{M} = \frac{R_m\,(R_s - R_x)}{(R_s - R_m)(R_m - R_x)} ,\tag{31.5}
$$

que é mínima quando $R_m = \sqrt{R_s R_x}$.

**Demonstração.** O isótopo $a$ conserva-se na mistura: $R_m(N_x + N_s) = R_x N_x + R_s N_s$, de modo que $N_x(R_m - R_x) =
N_s(R_s - R_m)$, que é [(31.4)](#eq-b2-field-lab-methods-2-id). Sua derivada logarítmica é $\mathrm{d}\ln N_x/\mathrm{d}\ln R_m = R_m\,[-1/(R_s - R_m) - 1/(R_m - R_x)] = -\mathcal{M}$, com $\mathcal{M}$ como em [(31.5)](#eq-b2-field-lab-methods-2-mag). A menos da constante positiva $R_s - R_x$, $1/\mathcal{M} = (R_s - R_m)(R_m - R_x)/R_m = R_s + R_x - R_m - R_sR_x/R_m$, cuja derivada $-1 + R_sR_x/R_m^2$ se anula em $R_m = \sqrt{R_sR_x}$, um máximo de $1/\mathcal{M}$. ∎

A [diluição isotópica](#prop-b2-field-lab-methods-2-id) não precisa nem de reta de calibração nem de recuperação completa do elemento ao longo da química: uma vez misturados traçador e amostra, as perdas afetam ambos igualmente. Um traçador de estrôncio publicado, por exemplo, contém $99.65\,\%$ de estrôncio-84, com $^{84}\mathrm{Sr}/^{88}\mathrm{Sr} = 561.4$ e $^{86}\mathrm{Sr}/^{88}\mathrm{Sr} = 0.7661$, com $15.271\,\text{µ}\mathrm{g}$ de estrôncio por grama de solução. Sua razão 86/88 mostra por que o [viés de massa](#def-b2-field-lab-methods-2-tims) de uma mistura com traçador não pode ser corrigido fixando $^{86}\mathrm{Sr}/^{88}\mathrm{Sr}$ em seu valor natural: o traçador deslocou essa razão.

## 31.5 Uma campanha de mapeamento na janela erosiva de Varden

No núcleo do anticlinal de Varden, a erosão cortou a cobertura arenítica e expôs o embasamento: xisto intrudido por um granito. Uma campanha destinada a abastecer o laboratório começa no campo. Dois perfis são percorridos de oeste para leste através da janela erosiva, com uma estação a cada $100\,\mathrm{m}$; em cada uma a unidade é registrada, e amostras frescas são coletadas onde a rocha não está intemperizada, numeradas com a estação e, onde tramas devem ser medidas, orientadas. A figura mostra o que as estações encontram: das 30, dez estão sobre o granito, dez sobre a cobertura arenítica, uma sobre o xisto, uma sobre o calcário e oito sobre o aluvião do fundo do vale, onde nenhuma rocha aflora.

![A janela de embasamento das Varden Hills com as 30 estações de dois perfis oeste–leste, a 100\, m um do outro. Pontos vermelhos: estações sobre o granito. Rosa com cruzes: granito; cinza: xisto; roxo: arenito triássico; azul: calcário jurássico; azul-claro: folhelho jurássico; creme: aluvião do rio, que corre para leste. A amostra de granito do problema de fim de semana vem da estação 23.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-field-lab-methods-2/fig-7b99dd6220e6.svg)

*A janela de embasamento das Varden Hills com as 30 estações de dois perfis oeste–leste, a $100\,\mathrm{m}$ um do outro. Pontos vermelhos: estações sobre o granito. Rosa com cruzes: granito; cinza: xisto; roxo: arenito triássico; azul: calcário jurássico; azul-claro: folhelho jurássico; creme: aluvião do rio, que corre para leste. A amostra de granito do problema de fim de semana vem da estação 23.*

**No campo — Amostrar para o laboratório.**

![Uma equipe de campo planeja os perfis do dia seguinte (ilustração gerada por IA).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-field-lab-methods-2/img-74e8784a88f1.jpg)

*Uma equipe de campo planeja os perfis do dia seguinte (ilustração gerada por IA).*

À noite a equipe passa as estações para o mapa, verifica se cada número de amostra das cadernetas corresponde a um saco, e decide que amostras vão para que laboratório. Uma amostra de cada unidade vai para o laboratório de laminação; o granito e o xisto mais frescos vão para britagem e análise de rocha total; algumas amostras de granito são reservadas para os isótopos. O número da estação acompanha cada amostra em todas as etapas, do saco à lâmina delgada, ao pó, à pastilha e à linha de uma tabela de dados, de modo que qualquer resultado estranho possa ser rastreado até seu afloramento.

## 31.6 A qualidade de um número

Cada etapa da cadeia acrescenta seu próprio erro, e os métodos deste capítulo mostram os dois tipos que os livros de química distinguem. A [contagem de pontos](#def-b2-field-lab-methods-2-modal) e as razões isotópicas têm erros sobretudo aleatórios, que diminuem à medida que as contagens crescem, como $1/\sqrt n$; a calibração tem erros sistemáticos, que a repetição não reduz e que só um material de referência revela. A figura das análises de sílica mostra ambos: as barras são a precisão do método, e um ponto que se afasta de zero muitas vezes sua barra dividida pela raiz quadrada do número de análises é um viés. O mesmo elemento medido por dois métodos, o estrôncio por FRX e por [diluição isotópica](#prop-b2-field-lab-methods-2-id), é uma verificação adicional, pois os dois não compartilham calibração. Os resultados são relatados com sua incerteza, arredondados a ela, e com os materiais de referência analisados junto; um número sem eles não pode ser comparado com nenhum outro.

## Exercícios

Dados para os exercícios, salvo indicação em contrário: massas atômicas H 1.008, O 15.999, Mg 24.305, Al 26.982, Si 28.085, K 39.098, Sr 87.62; massas isotópicas $^{86}\mathrm{Sr}$ 85.909261, $^{87}\mathrm{Sr}$ 86.908878, $^{88}\mathrm{Sr}$ 87.905612; estrôncio natural $^{84}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr} = 0.05680$, $9.86\,\%$ de $^{86}\mathrm{Sr}$; o traçador do texto, $^{84}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr} = 732.8$, $0.135\,99\,\%$ de $^{86}\mathrm{Sr}$, massa atômica 83.9242, $15.271\,\text{µ}\mathrm{g}/\mathrm{g}$. Arredonde a três algarismos significativos salvo indicação em contrário.

**Exercício 31.1 ★.**

(a) Dê nome à textura ou ao cristal: (i) um diabásio no qual ripas de plagioclásio estão inteiramente englobadas em grandes cristais de augita; (ii) um mármore de grãos de calcita de tamanho igual cujos limites retos se encontram três a três; (iii) um cristal de estaurolita de $5\,\mathrm{mm}$ de comprimento repleto de inclusões de quartzo num mica xisto; (iv) uma granada envolvida por uma orla contínua de plagioclásio e piroxênio. (b) Três limites de grão se encontram a $104{}^{\circ}$, $128{}^{\circ}$ e $128{}^{\circ}$. Encontre a razão entre a tensão do limite oposto ao ângulo de $104{}^{\circ}$ e a dos outros.

**Solução de Exercício 31.1.**

(a) (i) [Textura ofítica](#def-b2-field-lab-methods-2-textures); (ii) [textura granoblástica](#def-b2-field-lab-methods-2-textures); (iii) um [poiquiloblasto](#def-b2-field-lab-methods-2-porphyroblast), um [porfiroblasto](#def-b2-field-lab-methods-2-porphyroblast) cheio de inclusões; (iv) uma [coroa](#def-b2-field-lab-methods-2-porphyroblast), uma orla de reação em volta de uma granada que estava se decompondo. (b) Por [(31.1)](#eq-b2-field-lab-methods-2-lami), $\gamma_1/\gamma_2 = \sin104{}^{\circ}/\sin128{}^{\circ} =
0.9703/0.7880 = 1.23$: esse limite puxa $23\,\%$ mais forte que os outros dois.

**Exercício 31.2 ★.**

Uma rocha de granulação grossa contém $25\,\%$ de quartzo, 15 de feldspato alcalino, 40 de plagioclásio, 12 de biotita e 8 de hornblenda. (a) Recalcule Q, A e P. (b) Encontre P/(A+P) e dê nome à rocha. (c) Encontre seu índice de cor e qualifique-o.

**Solução de Exercício 31.2.**

(a) $Q + A + P = 80$: Q $= 100 \times 25/80 = 31.3$, A $= 18.8$, P $= 50.0$. (b) P/(A+P) $=
40/55 = 72.7\,\%$, entre 65 e 90 com Q entre 20 e 60: um granodiorito. (c) $M' = 12 + 8 = 20\,\%$, abaixo de 35: leucocrático.

**Exercício 31.3 ★.**

Uma contagem de 800 pontos encontra um mineral a $12\,\%$. (a) Encontre o desvio-padrão dessa proporção, e seu valor relativo. (b) Qual seria ele com 3200 pontos?

**Solução de Exercício 31.3.**

(a) $\sigma = \sqrt{0.12 \times 0.88/800} = 0.0115$, isto é, $12.0 \pm 1.1$ pontos percentuais, um erro relativo de $0.0115/0.12 = 9.6\,\%$. (b) Quatro vezes mais pontos o reduzem à metade: $0.0057$.

**Exercício 31.4 ★.**

Um pó de $0.8000\,\mathrm{g}$ pesa $0.7712\,\mathrm{g}$ após a calcinação, e o resíduo é fundido com $8.0000\,\mathrm{g}$ de fundente. (a) Encontre a [perda ao fogo](#def-b2-field-lab-methods-2-xrf). (b) Encontre a fração mássica da amostra na pastilha. (c) O vidro contém $5.20\,\%$ de $\ce{SiO2}$. Encontre a sílica do pó calcinado e do pó original.

**Solução de Exercício 31.4.**

(a) A perda é de $0.0288\,\mathrm{g}$, e $0.0288/0.8000 = 3.60\,\%$. (b) $0.7712/8.7712 = 0.0879$. (c) Pó calcinado: $5.20/0.08792 = 59.1\,\%$; pó original: $59.14 \times (1 - 0.0360) = 57.0\,\%$.

**Exercício 31.5 ★★.**

(a) Quantos pontos são necessários para medir um mineral acessório que constitui $2\,\%$ de uma rocha com um erro-padrão relativo de $10\,\%$? (b) E um mineral que constitui $30\,\%$, com o mesmo erro relativo? (c) Comente o esforço que um mineral raro exige.

**Solução de Exercício 31.5.**

(a) $\sigma = 0.10 \times 0.02 = 0.002$ e $n = 0.02 \times 0.98/0.002^2 = 4900$ pontos. (b) $\sigma = 0.03$ e $n = 0.30 \times 0.70/0.03^2 = 233.3$, ou seja, 234 pontos. (c) Para um erro relativo fixo, $n = (1-p)/(p\,\varepsilon^2)$ cresce como $1/p$: o mineral acessório exige 21 vezes mais pontos, mais do que uma lâmina costuma oferecer.

**Exercício 31.6 ★★.**

Nos resultados do USGS da figura, o riolito RGM-1 deu $\ce{SiO2}$ $= 72.89$ com desvio-padrão de 0.19 em 20 análises (recomendado 73.45), e o basalto BCR-2 deu 54.17 com 0.13 em 20 análises (recomendado 54.1). (a) Encontre a recuperação de cada um, em porcentagem. (b) Encontre o desvio-padrão de cada média, e exprima cada diferença em relação ao valor recomendado em unidades dele. (c) Que resultado mostra um viés? O método é menos preciso para o RGM-1?

**Solução de Exercício 31.6.**

(a) RGM-1: $72.89/73.45 = 99.2\,\%$; BCR-2: $54.17/54.1 = 100.1\,\%$. (b) RGM-1: $0.19/\sqrt{20} = 0.042$, e $-0.56/0.042 = -13.2$; BCR-2: $0.13/\sqrt{20} = 0.029$, e $0.07/0.029 = 2.4$. (c) O RGM-1 tem viés: sua média se afasta do valor recomendado 13 vezes seu próprio desvio-padrão, muito mais do que o acaso permite (se o valor recomendado estiver certo). O BCR-2 está no limite do que o acaso dá. O RGM-1 não é menos preciso: seu desvio-padrão relativo, $0.19/72.89 = 0.26\,\%$, é próximo do do BCR-2, $0.24\,\%$. O problema é a veracidade, não a precisão.

**Exercício 31.7 ★★.**

Uma análise de microssonda de uma flogopita pura, $\mathrm{KMg_3AlSi_3O_{10}(OH)_2}$, deve ser verificada. (a) Encontre a massa molar da fórmula e a fração mássica de $\ce{H2O}$ que ela contém. (b) Encontre as frações mássicas de $\ce{K2O}$, $\ce{MgO}$, $\ce{Al2O3}$ e $\ce{SiO2}$, e o total que uma análise exata daria. (c) Por que um total de cerca de $96\,\%$ para uma mica não é uma análise ruim?

**Solução de Exercício 31.7.**

(a) $M = 39.098 + 3 \times 24.305 + 26.982 + 3 \times 28.085 + 12 \times 15.999 + 2 \times 1.008 =
417.25\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$; os dois OH formam um $\ce{H2O}$ ($18.015$), $4.32\,\%$. (b) $\ce{K2O}$ $47.10/417.25 = 11.3\,\%$; $\ce{MgO}$ $3 \times 40.304/417.25 =
29.0\,\%$; $\ce{Al2O3}$ $50.98/417.25 = 12.2\,\%$; $\ce{SiO2}$ $3 \times
60.083/417.25 = 43.2\,\%$; total $95.7\,\%$. (c) A microssonda não detecta o hidrogênio: falta a uma análise de mica sua água, cerca de $4\,\%$, e seu total deve ficar perto de 96.

**Exercício 31.8 ★★.**

Uma corrida de TIMS num padrão de estrôncio dá $^{86}\mathrm{Sr}/^{88}\mathrm{Sr} = 0.11905$ e $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr} = 0.71062$. (a) Encontre o expoente $\beta$ da lei exponencial. (b) Corrija a razão $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$, com cinco casas decimais. (c) O isótopo leve ou o pesado foi favorecido na corrida?

**Solução de Exercício 31.8.**

(a) $\beta = \ln(0.1194/0.11905)/\ln(85.909261/87.905612) = 0.002936/(-0.02297) = -0.1278$. (b) $0.71062 \times (86.908878/85.909261)^{-0.1278} = 0.70957$. (c) A razão 86/88 medida está abaixo da razão verdadeira: o isótopo pesado foi favorecido, e a 87/86 medida está alta demais.

**Exercício 31.9 ★★.**

Para verificar sua [diluição isotópica](#prop-b2-field-lab-methods-2-id), um laboratório adiciona a $0.0500\,\mathrm{g}$ do basalto de referência BHVO-2 $0.1000\,\mathrm{g}$ do traçador do texto, e mede $^{84}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr} =
0.874$ na mistura. (a) Encontre os mols de $^{86}\mathrm{Sr}$ na alíquota de traçador. (b) Encontre os mols de $^{86}\mathrm{Sr}$ na amostra, e sua concentração de estrôncio em ppm. (c) Compare com os $394.1\,\mathrm{ppm}$ recomendados.

**Solução de Exercício 31.9.**

(a) $0.1000 \times 15.271 \times 10^{-6}/83.9242 \times 1.3599 \times 10^{-3} = 2.474 \times 10^{-11}\,\mathrm{mol}$. (b) Por [(31.4)](#eq-b2-field-lab-methods-2-id), $N_x = 2.474 \times 10^{-11} \times (732.8 -
0.874)/(0.874 - 0.0568) = 2.216 \times 10^{-8}\,\mathrm{mol}$ de $^{86}\mathrm{Sr}$; estrôncio: $2.216 \times
10^{-8}/0.0986 \times 87.62 = 1.969 \times 10^{-5}\,\mathrm{g}$ em $0.0500\,\mathrm{g}$, $394\,\mathrm{ppm}$ (393.9). (c) Uma recuperação de $99.95\,\%$: o método é exato dentro do arredondamento da razão.

**Exercício 31.10 ★★★.**

Para o traçador de estrôncio do texto ($R_s = 732.8$, $R_x = 0.05680$): (a) encontre a razão da mistura que minimiza a amplificação do erro, e seu valor ali; (b) calcule $\mathcal M$ para $R_m = 0.1$, 0.5, 1.664 e 100; (c) explique por que uma mistura próxima de um dos dois membros extremos deve ser evitada, e quanta liberdade o analista tem na prática.

**Solução de Exercício 31.10.**

(a) $R_m = \sqrt{732.8 \times 0.05680} = 6.45$, onde $\mathcal M = 1.018$. (b) $\mathcal M = 2.31$ em 0.1, 1.13 em 0.5, 1.038 em 1.664 e 1.16 em 100. (c) Perto de $R_x$ a mistura quase não difere da amostra, perto de $R_s$ do traçador, e a diferença que carrega a informação perde-se no erro de $R_m$: $\mathcal M$ diverge nas duas extremidades. Entre elas o mínimo é muito achatado ($\mathcal M < 1.2$ de cerca de 0.4 a 100), de modo que o analista só precisa da ordem de grandeza certa do traçador, que uma concentração aproximada, por FRX por exemplo, fornece.

**Exercício 31.11 ★★★.**

Uma contagem num granito encontra 400 pontos de feldspato, $62\,\%$ deles de plagioclásio. (a) Tratando o plagioclásio entre os pontos de feldspato como uma contagem binomial, encontre o desvio-padrão de P/(A+P). (b) A quantos desvios-padrão o resultado está do limite do granodiorito? (c) Quantos pontos de feldspato o colocariam a dois desvios-padrão do limite?

**Solução de Exercício 31.11.**

(a) $\sigma = \sqrt{0.62 \times 0.38/400} = 0.0243$: $62 \pm 2.4$. (b) $(65 - 62)/2.43 = 1.2$ desvio-padrão: a rocha pode muito bem ser um granodiorito. (c) $\sigma = 0.015$ exige $0.62 \times
0.38/0.015^2 = 1047.1$, ou seja, 1048 pontos de feldspato.

**Exercício 31.12 ★★★.**

Um mineral ocupa uma fração $p$ de uma rocha. (a) Mostre que a probabilidade de que $n$ pontos independentes o errem todos é $(1-p)^n$. (b) Quantos pontos dão pelo menos $95\,\%$ de chance de atingir ao menos uma vez um mineral que constitui $1\,\%$ da rocha? (c) O mesmo para o zircão a $0.05\,\%$, e conclua sobre como um mineral acessório deve ser procurado.

**Solução de Exercício 31.12.**

(a) Cada ponto erra com probabilidade $1 - p$, independentemente: $(1-p)^n$. (b) $0.99^n \le 0.05$ dá $n \ge \ln 0.05/\ln 0.99 = 298.1$: 299 pontos. (c) $n \ge \ln 0.05/\ln 0.9995 = 5990$: uma contagem em malha é a ferramenta errada; um mineral acessório raro é procurado varrendo a lâmina inteira.

## Problema de fim de semana

**Problema 31.1.**

Problema de fim de semana — do afloramento à análise

A amostra VH-23 do granito de Varden foi coletada na estação 23 da campanha. Uma lâmina delgada teve seus pontos contados numa malha regular de 1200 pontos: quartzo 372, feldspato alcalino 348, plagioclásio 324, biotita 108, muscovita 36, óxidos opacos 12. Um pó de $0.8000\,\mathrm{g}$ pesou $0.7949\,\mathrm{g}$ após calcinação a $925\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e foi fundido com $8.0000\,\mathrm{g}$ de fundente. Pastilhas de três materiais de referência deram estas intensidades de $\ce{SiO2}$ (milhares de contagens por segundo, kcps): BCR-2, recomendado $54.1\,\%$, 21.66; AGV-2, 59.3, 23.70; RGM-1, 73.45, 29.37; a pastilha do granito deu 28.63. Os outros óxidos do granito somam $27.15\,\%$. Para os isótopos, $0.1000\,\mathrm{g}$ de pó foi dissolvido e misturado com $0.2500\,\mathrm{g}$ do traçador do texto; supõe-se que a amostra tem as abundâncias naturais de estrôncio dos exercícios. Use os dados dos exercícios.

**Parte I — A moda.**

1. Encontre a proporção modal de cada mineral.
2. Encontre o desvio-padrão da proporção de quartzo, e o desvio-padrão relativo da proporção de muscovita.
3. Encontre $M$ e o índice de cor $M'$ , e qualifique a rocha.
4. Recalcule Q, A e P a uma soma de 100.
5. Encontre P/(A+P) e dê nome à rocha no [diagrama QAPF](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/9-series-magmaticas-e-contextos-tectonicos#def-b2-magmatic-series-qapf) .
6. Com o desvio-padrão binomial de P/(A+P) sobre os 672 pontos de feldspato, o nome é seguro?
7. Quantos pontos levariam o desvio-padrão da proporção de quartzo a um ponto percentual?

**Parte II — A sílica por fluorescência de raios X.**

8. Encontre a [perda ao fogo](#def-b2-field-lab-methods-2-xrf) .
9. Encontre a fração mássica da amostra na pastilha, e a sílica do vidro se o pó calcinado contém $72\,\%$ .
10. Ajuste a reta de mínimos quadrados $c = aI + b$ pelos três materiais de referência; dê $a$ com quatro casas decimais e $b$ com duas.
11. Encontre o $\ce{SiO2}$ do granito, com duas casas decimais.
12. Encontre os resíduos dos três materiais de referência. A reta é adequada?
13. Some os óxidos e a [perda ao fogo](#def-b2-field-lab-methods-2-xrf) . O procedimento do USGS repetiria essa análise?
14. Recalcule a sílica a uma soma de 100 sem os voláteis.

**Parte III — O viés de massa.**

15. A partir das abundâncias da CIAAW, encontre a razão natural $^{86}\mathrm{Sr}/^{88}\mathrm{Sr}$ e compare-a com o valor usado para normalizar.
16. Uma alíquota sem traçador dá $^{86}\mathrm{Sr}/^{88}\mathrm{Sr} = 0.11853$ . Encontre $\beta$ com quatro casas decimais.
17. Ela dá $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr} = 0.71655$ . Corrija-a, com cinco casas decimais.
18. Encontre o viés por unidade de massa, em porcentagem.
19. Por que essa correção não pode ser feita na mistura com traçador da Parte IV?

**Parte IV — A diluição isotópica.**

20. Verifique que o traçador contém $99.65\,\%$ de estrôncio-84 e $0.135\,99\,\%$ de estrôncio-86.
21. Encontre os mols de estrôncio e de $^{86}\mathrm{Sr}$ na alíquota de traçador, com quatro algarismos significativos.
22. Verifique os valores $R_s = 732.8$ e $R_x = 0.05680$ dos exercícios.
23. A razão corrigida da mistura é $R_m = 1.6812$ . Encontre os mols de $^{86}\mathrm{Sr}$ da amostra.
24. Encontre a amplificação do erro. Com $R_m$ conhecida a $0.01\,\%$ e a concentração do traçador a $\pm0.031\,\text{µ}\mathrm{g}/\mathrm{g}$ , encontre a incerteza relativa do resultado.
25. Encontre a concentração de estrôncio do granito de Varden, em ppm.

**Solução de Problema 31.1.**

**Parte I.** **1.** Quartzo $372/1200 = 31.0\,\%$, feldspato alcalino 29.0, plagioclásio 27.0, biotita 9.0, muscovita 3.0, óxidos opacos 1.0. **2.** $\sqrt{0.31 \times 0.69/1200} = 0.0134$; muscovita: $\sqrt{0.97/(0.03 \times 1200)} =
16.4\,\%$. **3.** $M = 9 + 3 + 1 = 13.0\,\%$; $M' = 13 - 3 = 10.0\,\%$ sem a muscovita: leucocrática. **4.** $Q + A + P = 1044$ pontos: Q $= 35.6$, A $= 33.3$, P $= 31.0$. **5.** $324/672 = 48.2\,\%$, com Q entre 20 e 60: um granito, e, entre 35 e 65, um monzogranito. **6.** $\sqrt{0.482 \times 0.518/672} = 0.0193$: os limites em 35 e 65 ficam a 6.9 e 8.7 desvios-padrão. O nome é seguro. **7.** $0.31 \times 0.69/0.01^2 = 2139$ pontos.

**Parte II.** **8.** $0.0051/0.8000 = 0.64\,\%$. **9.** $0.7949/8.7949 = 0.0904$, e $72 \times 0.0904 = 6.51\,\%$ de $\ce{SiO2}$ no vidro: a fusão dilui a amostra onze vezes. **10.** $\bar I = 24.91$, $\bar c = 62.283$, $\sum(I - \bar I)^2 = 31.918$, $\sum(I - \bar I)(c -
\bar c) = 80.009$: $a = 2.5067$ por kcps, $b = 62.283 - 2.5067 \times 24.91 = -0.16$. **11.** $2.5067 \times 28.63 - 0.16 = 71.61\,\%$. **12.** BCR-2 $-0.04$, AGV-2 $+0.05$, RGM-1 $-0.01$: todos menores que os desvios-padrão do método (0.1 a 0.2), de modo que a reta é adequada nessa faixa. **13.** $71.61 + 27.15 + 0.64 = 99.40\,\%$, entre 97 e 101: não é repetida. **14.** $71.61 \times 100/(71.61 + 27.15) = 72.51\,\%$.

**Parte III.** **15.** $0.0986/0.8258 = 0.1194$: o valor de normalização é a razão natural. **16.** $\beta = 0.007313/(-0.022972) = -0.3183$. **17.** $0.71655 \times (86.908878/85.909261)^{-0.3183} = 0.71392$. **18.** A razão 86/88 medida está a $0.11853/0.1194 - 1 = -0.73\,\%$ do valor verdadeiro em duas unidades de massa: cerca de $0.36\,\%$ por unidade de massa, a favor dos isótopos pesados. **19.** A razão $^{86}\mathrm{Sr}/^{88}\mathrm{Sr}$ do traçador é 0.7661: a razão 86/88 da mistura já não é a natural, 0.1194, e fixá-la em 0.1194 trataria o traçador como um viés instrumental.

**Parte IV.** **20.** Soma das razões a 88: $561.4 + 0.7661 + 0.1819 + 1 = 563.348$; $561.4/563.348 =
99.65\,\%$ e $0.7661/563.348 = 0.135\,99\,\%$. **21.** $0.2500 \times 15.271 \times 10^{-6}/83.9242 = 4.549 \times 10^{-8}\,\mathrm{mol}$ de estrôncio, e $\times 1.3599 \times 10^{-3} = 6.186 \times 10^{-11}\,\mathrm{mol}$ de $^{86}\mathrm{Sr}$. **22.** $561.4/0.7661 = 732.8$ e $0.0056/0.0986 = 0.05680$. **23.** $N_x = 6.186 \times 10^{-11} \times (732.8 - 1.6812)/(1.6812 - 0.0568) =
2.784 \times 10^{-8}\,\mathrm{mol}$. **24.** $\mathcal M = 1.6812 \times 732.74/(731.12 \times 1.6244) = 1.04$; a razão acrescenta $1.04 \times 0.01\,\%$, o traçador $0.031/15.271 = 0.20\,\%$; em quadratura, $0.20\,\%$, dominados pela calibração do traçador. **25.** Estrôncio: $2.784 \times 10^{-8}/0.0986 = 2.824 \times 10^{-7}\,\mathrm{mol}$, isto é, $2.824 \times
10^{-7} \times 87.62 = 2.474 \times 10^{-5}\,\mathrm{g}$ em $0.1000\,\mathrm{g}$. O granito de Varden contém **$247\,\mathrm{ppm}$** de estrôncio, $\pm 0.5$.