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title: "Os magmas e seu alojamento"
book: "Ciências da Terra e do espaço universitárias — 2.º ano"
subject: earth
language: pt
chapter: 5
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Capítulo 5 — Os magmas e seu alojamento

Um fundido basáltico a $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ escoa com uma viscosidade de cerca de $70\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$: espesso, mas ele se derrama. Um fundido riolítico seco a $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ tem uma viscosidade perto de $10^{11}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, e um bloco dele levaria horas para ceder visivelmente sob o próprio peso. Entre os dois há dez ordens de grandeza, mais do que entre a água e o basalto, e a maior parte da diferença vem de duas coisas: a sílica, que liga o fundido em uma rede, e a temperatura, várias centenas de graus mais baixa nos [magmas](#def-b2-magma-emplacement-magma) silícicos. Alguns por cento de água dissolvida, que um [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) riolítico pode conter em profundidade, reduzem sua viscosidade por um fator $10^{5}$, e esse efeito se perde de novo quando o [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) sobe e a água sai na forma de bolhas. Esses números decidem se um [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) chega à superfície tranquilamente, explode ou se solidifica a quilômetros de profundidade como um [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies), uma [soleira](#def-b2-magma-emplacement-bodies) ou um [plúton](#def-b2-magma-emplacement-bodies). Este capítulo trata um [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) como um material: sua densidade, sua viscosidade e seus voláteis, a física de sua ascensão por fraturas e como corpos isolados, as formas que ele assume quando para, e o calor que cede às rochas ao seu redor.

**O que você já sabe.**

**Escoamento viscoso** (livros de física, volume do segundo ano): em um fluido newtoniano de viscosidade $\eta$, a tensão de cisalhamento é $\eta$ vezes o gradiente de velocidade; entre duas paredes paralelas, um gradiente de pressão impõe um perfil parabólico (de Poiseuille plano); uma esfera que se move lentamente em um fluido viscoso sofre o arrasto de Stokes $6\pi\eta a v$. **Condução de calor** (mesmo volume): a temperatura obedece a $\partial T/\partial t = \kappa\,\partial^2T/\partial x^2$, com difusividade $\kappa = k/(\rho
c)$, e um degrau de temperatura se espalha como uma função erro sobre uma distância da ordem de $\sqrt{\kappa t}$. **Empuxo** (livros de física, volume do primeiro ano): um corpo imerso em um fluido mais denso sofre uma força resultante para cima igual ao peso do fluido deslocado menos o seu próprio. **Equilíbrio químico** (livros de química): no equilíbrio, as atividades dos produtos e dos reagentes satisfazem a lei de ação das massas com uma constante $K$ que depende da temperatura. Do volume do primeiro ano desta série: a pressão litostática $p = \rho g z$ e a geoterma; dos volumes escolares: rochas máficas e félsicas, fenocristais e texturas porfiríticas.

## 5.1 O que é um magma

**Definição 5.1 (Magma).**

Um *magma* é rocha fundida ou parcialmente fundida sob a superfície: um *fundido silicático*, o líquido formado sobretudo de silício, oxigênio e cátions metálicos, junto com os cristais e as bolhas de gás que ele carrega. Um *mush cristalino* é um magma tão rico em cristais que estes se tocam e formam um arcabouço: ele não pode escoar como um líquido, e seu fundido só pode se mover pelos poros entre os cristais.

A composição do fundido é dada, como para as rochas, em porcentagem em peso de óxidos. Três fundidos servem de referência ao longo do capítulo, todos eles estudados em laboratório: um basalto toleítico dragado em uma dorsal meso-oceânica (cerca de $51\,\%$ de SiO$_2$, $12\,\%$ de óxido de ferro, $7\,\%$ de MgO), um andesito ($63\,\%$ de SiO$_2$) e um riolito ($78\,\%$ de SiO$_2$, $8\,\%$ de Na$_2$O $+$ K$_2$O e quase nada de ferro ou de magnésio). Suas temperaturas de erupção diferem tanto quanto suas composições: os [magmas](#def-b2-magma-emplacement-magma) basálticos entram em erupção a $1000\text{ a }1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (a lava que corre em um tubo no Kilauea foi medida perto de $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$), os [magmas](#def-b2-magma-emplacement-magma) andesíticos a $800\text{ a }1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, os [magmas](#def-b2-magma-emplacement-magma) riolíticos a $650\text{ a }800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Um [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) riolítico é mais frio porque é o resíduo de uma longa cristalização ou o primeiro fundido de rochas crustais, dois processos que ocorrem a baixa temperatura ([Capítulo 8](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/8-a-diferenciacao-magmatica#ch-b2-magmatic-differentiation)).

O teor de cristais decide se um [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) escoa. Estudos de campo e geocronológicos de grandes corpos graníticos concluem que o escoamento magmático em massa exige uma fração de fundido de pelo menos $30\text{ a }50\,\%$ em volume; abaixo disso, os cristais estão soldados aos seus vizinhos e o material se deforma como um sólido com poros cheios de fundido. Pensa-se que boa parte do [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) armazenado na crosta esteja nesse estado, como um mush que volta a ficar móvel quando [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) quente é acrescentado por baixo.

## 5.2 Densidade e viscosidade

### 5.2.1 A densidade de um fundido

Um [fundido silicático](#def-b2-magma-emplacement-magma) não tem rede cristalina, mas seu volume ainda pode ser construído a partir de seus componentes. Experimentos com muitos fundidos mostram que cada óxido contribui com um volume quase fixo por mol, seu volume molar parcial, que varia lenta e linearmente com a temperatura e a pressão; o volume do fundido é a soma dessas contribuições. A tabela abaixo dá os valores usados neste capítulo.

| Óxido | $\bar V_i$ ($\mathrm{cm}^{3}/\mathrm{mol}$) | $\partial\bar V_i/\partial T$ ($10^{-3}$ $\mathrm{cm}^{3}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$) | $\partial\bar V_i/\partial p$ ($10^{-4}$ $\mathrm{cm}^{3}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{bar})$) |
| --- | --- | --- | --- |
| SiO$_2$ | 26.86 | 0 | $-1.89$ |
| Al$_2$O$_3$ | 37.42 | 2.62 | $-2.26$ |
| FeO | 12.68 | 3.69 | $-0.45$ |
| MgO | 12.02 | 3.27 | $0.27$ |
| CaO | 16.90 | 3.74 | $0.34$ |
| Na$_2$O | 29.65 | 7.68 | $-2.40$ |
| K$_2$O | 47.28 | 12.08 | $-6.75$ |
| H$_2$O | 22.9 | 9.5 | $-3.20$ |

***Table 5.1.** Volumes molares parciais dos componentes óxidos nos [fundidos silicáticos](#def-b2-magma-emplacement-magma) a $1\,\mathrm{bar}$, com suas derivadas em relação à temperatura e à pressão. Temperatura de referência $1773\,\mathrm{K}$ (FeO $1723\,\mathrm{K}$, H$_2$O $1273\,\mathrm{K}$). Dados: compilação do programa DensityX (Iacovino e Till, 2019).*

**Proposição 5.2 (Densidade de um fundido silicático).**

Suponha-se que um fundido contenha componentes óxidos $i$ de frações molares $X_i$, massas molares $M_i$ e volumes molares parciais $\bar V_i(T, p) = \bar V_i^{\circ} + (\partial\bar
V_i/\partial T)(T - T_{\mathrm{ref}}) + (\partial\bar V_i/\partial p)(p - p_{\mathrm{ref}})$. Se os componentes se misturam idealmente em volume,

$$
\rho = \frac{\sum_i X_i M_i}{\sum_i X_i \bar V_i(T,p)}.
$$

**Demonstração.** Um mol de fundido contém $X_i$ mols do componente $i$, de massa $X_iM_i$. A mistura ideal em volume significa que cada mol do componente $i$ acrescenta o volume $\bar V_i$ quaisquer que sejam os outros, de modo que o mol de fundido ocupa $\sum_i X_i\bar V_i$. A densidade é a razão entre os dois. ∎

A água tem uma massa molar de apenas $18\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$, mas um volume molar parcial de $22.9\,\mathrm{cm}^{3}/\mathrm{mol}$, próximo do da sílica: ela reduz fortemente a densidade de um fundido. Aplicada aos três fundidos de referência, a proposição dá $2730\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ para o basalto a $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $2480\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ para o andesito a $1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $2340\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ para o riolito seco a $850\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; um por cento de água dissolvida tira cerca de $70\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ do basalto, tanto quanto várias centenas de graus de aquecimento. Um fundido basáltico é portanto mais leve que o peridotito mantélico de onde vem (cerca de $3380\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ sob a crosta no modelo de Terra de referência) e um pouco mais leve que a crosta inferior desse modelo ($2900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$), ao passo que um fundido riolítico é mais leve até que sua crosta superior ($2600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$). Essa diferença impele os [magmas](#def-b2-magma-emplacement-magma) para cima.

### 5.2.2 A viscosidade

A viscosidade de um [fundido silicático](#def-b2-magma-emplacement-magma) é fixada pela rede de tetraedros SiO$_4$ ligados por oxigênios compartilhados: para escoar, o fundido precisa romper e refazer ligações silício–oxigênio. A sílica e a alumina constroem a rede; os cátions de magnésio, de ferro, de cálcio e os álcalis a rompem, e a água também, que transforma oxigênios em ponte em grupos hidroxila. As medidas de laboratório em fundidos naturais cobrem mais de quinze ordens de grandeza, de $0.1\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ a $10^{14}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, e não seguem uma lei de Arrhenius simples: a viscosidade cresce mais depressa que uma exponencial em $1/T$ à medida que o fundido se resfria em direção à sua transição vítrea.

**Proposição 5.3 (Lei de Vogel–Fulcher–Tammann).**

A viscosidade de um [fundido silicático](#def-b2-magma-emplacement-magma) de composição fixa segue, a alguns décimos de unidade logarítmica,

$$
\log_{10}\eta = A + \frac{B}{T - C},
$$

com $\eta$ em pascal-segundos e $T$ em kelvins. Para os fundidos naturais, $A$ é próximo de $-4.55$ qualquer que seja a composição; $B$ e $C$ (em kelvins) são combinações lineares das porcentagens molares dos óxidos, com alguns produtos entre elas, ajustadas a cerca de $1800$ medidas.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

A figura abaixo mostra a lei para os três fundidos de referência e para o riolito com água dissolvida. A $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ o basalto tem $\eta \approx 70\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$; o andesito a $1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, cerca de $10^{6}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$; o riolito seco a $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, cerca de $10^{10.9}$ $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Quatro por cento de água levam o mesmo riolito a $10^{5.5}$ $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, seis por cento a $10^{4.6}$ $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Uma equação independente, ajustada apenas a fundidos graníticos hidratados, dá os mesmos valores a meia unidade logarítmica ([Exercício 5.1](#exo-b2-magma-emplacement-1)). O efeito da água é máximo a baixa temperatura, onde alguns décimos de por cento alteram a viscosidade em ordens de grandeza.

![Viscosidade dos fundidos silicáticos em função da temperatura, pela lei de Vogel–Fulcher–Tammann com os parâmetros dependentes da composição de Giordano, Russell e Dingwell (2008). Basalto: um toleíto de dorsal meso-oceânica; andesito e riolito: fundidos de referência de laboratório (Moore e colaboradores, 1998). Cada curva é traçada no intervalo de temperaturas em que tal magma pode estar fundido.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magma-emplacement/fig-a9229305c4c6.svg)

*Viscosidade dos [fundidos silicáticos](#def-b2-magma-emplacement-magma) em função da temperatura, pela lei de Vogel–Fulcher–Tammann com os parâmetros dependentes da composição de Giordano, Russell e Dingwell (2008). Basalto: um toleíto de dorsal meso-oceânica; andesito e riolito: fundidos de referência de laboratório (Moore e colaboradores, 1998). Cada curva é traçada no intervalo de temperaturas em que tal [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) pode estar fundido.*

Os cristais tornam um [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) ainda mais rígido. Uma suspensão de partículas rígidas resiste ao cisalhamento mais que seu líquido sozinho, porque o líquido precisa contornar as partículas, e, quando as partículas estão apertadas a ponto de se tocar, elas se travam em um arcabouço.

**Proposição 5.4 (Relação de Einstein–Roscoe).**

Uma suspensão de uma fração volumétrica $\phi$ de esferas rígidas em um líquido newtoniano de viscosidade $\eta_{\ell}$ tem a viscosidade

$$
\eta = \eta_{\ell}\,(1 - R\phi)^{-2.5}, \qquad R = 1/\phi_m \approx 1.35,
$$

onde $\phi_m$ é a fração de empacotamento máximo, na qual a suspensão trava. Para $\phi$ pequeno, isso se reduz à relação de Einstein, $\eta = \eta_{\ell}(1 + 2.5\phi)$.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

Vinte por cento de cristais dobram a viscosidade, quarenta por cento a multiplicam por sete, sessenta por cento por mais de sessenta ([Exercício 5.5](#exo-b2-magma-emplacement-5)); nos [magmas](#def-b2-magma-emplacement-magma) reais, onde os cristais são alongados e de muitos tamanhos, o travamento chega antes, perto dos $50\text{ a }70\,\%$ de cristais nos quais as evidências de campo situam o fim do escoamento em massa.

## 5.3 Os voláteis

**Definição 5.5 (Voláteis magmáticos).**

Um *volátil magmático* é um componente de um [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) que está dissolvido no fundido em profundidade e forma uma fase gasosa separada a baixa pressão: principalmente a água, depois o dióxido de carbono, depois as espécies de enxofre. A *exsolução de voláteis* é a separação de um volátil do fundido em bolhas de gás. A *pressão de saturação em voláteis* de um fundido é a pressão abaixo da qual seus voláteis dissolvidos excedem sua solubilidade, de modo que uma fase gasosa precisa se formar.

Os [magmas](#def-b2-magma-emplacement-magma) máficos carregam tipicamente $1\text{ a }3\,\%$ de voláteis em massa, os [magmas](#def-b2-magma-emplacement-magma) intermediários $3\text{ a }4\,\%$, os [magmas](#def-b2-magma-emplacement-magma) félsicos $4\text{ a }7\,\%$, e a exsolução de $4\text{ a }6\,\%$ de água impele a maioria das erupções explosivas. A quantidade de água que um fundido pode conter depende sobretudo da pressão. A figura abaixo mostra medidas em fundidos basálticos e riolíticos mantidos sob uma pressão de água conhecida até a saturação, depois temperados em vidro e analisados: a solubilidade cresce rapidamente a baixa pressão e mais lentamente a alta pressão.

**Proposição 5.6 (Lei da raiz quadrada para a água).**

Suponha-se que a água se dissolva em um [fundido silicático](#def-b2-magma-emplacement-magma) sobretudo como grupos hidroxila, pela reação $\mathrm{H_2O\,(\text{gás})} + \mathrm{O^{2-}\,(fundido)} \rightleftharpoons
2\,\mathrm{OH^-\,(fundido)}$, com o oxigênio do fundido em grande excesso. Então, a baixos teores de água, a água dissolvida é proporcional à raiz quadrada da pressão de água: $w \approx s\sqrt{p}$, sendo $s$ uma constante do fundido e da temperatura.

**Demonstração.** A lei de ação das massas dá $x_{\mathrm{OH}}^2 = K\,x_{\mathrm{O}}\,f$, onde $f$ é a fugacidade da água (próxima de sua pressão a pressões moderadas) e os $x$ são frações molares. O oxigênio do fundido está em grande excesso, de modo que $x_{\mathrm{O}}$ permanece quase constante, e $x_{\mathrm{OH}} = \sqrt{Kx_{\mathrm{O}}}\,
\sqrt f$. Cada molécula de água dissolvida produz duas hidroxilas, de modo que a água dissolvida é $x_{\mathrm{OH}}/2$, proporcional a $\sqrt f$. A teores mais altos, parte da água se dissolve como moléculas, em proporção ao próprio $f$, e a solubilidade cresce mais depressa que a raiz quadrada ([Exercício 5.10](#exo-b2-magma-emplacement-10)). ∎

Ajustada por mínimos quadrados às medidas, $w = s\sqrt p$ dá $s = 0.34$ por cento em peso por $\sqrt{\mathrm{MPa}}$ para os basaltos e $s = 0.44$ para os riolitos; toda medida fica a menos de um por cento de água de sua curva. A pressão de saturação de um fundido com $w$ por cento de água é então $p_s = (w/s)^2$: $129\,\mathrm{MPa}$ para um riolito com $5\,\%$ de água, cerca de $5\,\mathrm{km}$ de profundidade na crosta, mas apenas $2\,\mathrm{MPa}$ para um basalto com $0.5\,\%$, cem metros ou menos.

![Solubilidade da água em fundidos basálticos e riolíticos a 800 to 1200\, C em função da pressão de água: medidas compiladas por Moore e colaboradores (1998), e leis de raiz quadrada ajustadas por mínimos quadrados. A 100\, MPa, cerca de 4\, km de profundidade na crosta, um riolito pode conter 4.4\,\% de água, um basalto 3.4\,\%.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magma-emplacement/fig-8322ddf433c6.svg)

*Solubilidade da água em fundidos basálticos e riolíticos a $800\text{ a }1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ em função da pressão de água: medidas compiladas por Moore e colaboradores (1998), e leis de raiz quadrada ajustadas por mínimos quadrados. A $100\,\mathrm{MPa}$, cerca de $4\,\mathrm{km}$ de profundidade na crosta, um riolito pode conter $4.4\,\%$ de água, um basalto $3.4\,\%$.*

O dióxido de carbono é muito menos solúvel que a água. Ele se dissolve como moléculas nos riolitos e como grupos carbonato nos basaltos, mais nos fundidos alcalinos que nos toleítos, e sua solubilidade também cresce com a pressão. Um [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) que carrega os dois gases começa portanto a exsolver em profundidade, com um gás muito rico em CO$_2$, e o gás se enriquece em água à medida que o [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) sobe. Os basaltos emitidos no fundo do mar profundo contêm vesículas com mais de $95\,\%$ de CO$_2$, o que exigiu saturação em CO$_2$ mesmo sob $5\,\mathrm{km}$ de água. As estimativas do teor inicial de CO$_2$ dos basaltos parentais do Kilauea vão de $0.2\text{ a }0.6\,\%$, e inclusões de fundido aprisionadas em seus cristais de olivina registram pressões de saturação de até $500\,\mathrm{MPa}$.

O gás exsolvido ocupa um grande volume. Um por cento de água em um [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) a $900\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ocupa, como gás ideal, cerca de $12\,\%$ do volume a $100\,\mathrm{MPa}$, $57\,\%$ a $10\,\mathrm{MPa}$ e mais de $99\,\%$ à pressão atmosférica ([Exercício 5.7](#exo-b2-magma-emplacement-7)). As bolhas reduzem ainda mais a densidade do [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) e o impelem para cima mais depressa; em um [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) viscoso elas não conseguem escapar, e o [Capítulo 6](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/6-as-erupcoes-vulcanicas#ch-b2-eruptive-styles) mostra como elas o fragmentam.

## 5.4 A ascensão

Um corpo de [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) menos denso que suas encaixantes sofre uma força de empuxo de $\Delta\rho\,g$ por unidade de volume, onde $\Delta\rho$ é a diferença de densidade. Ele pode subir de duas maneiras: por uma fratura que abre à sua frente, ou como um corpo quente e mole que empurra a rocha ao redor para os lados.

### 5.4.1 Os diques

Em profundidade a rocha está sob uma grande pressão litostática, mas uma fratura preenchida por [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) a uma pressão ligeiramente superior à tensão principal mínima pode se abrir e se alongar em sua ponta. O [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) preenche a fratura à medida que ela cresce, e o resultado é uma fina lâmina de [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma), com metros de largura e quilômetros de comprimento, que abre caminho para cima: um [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) em formação. O [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) escoa então entre duas paredes quase paralelas.

**Proposição 5.7 (Escoamento do magma em um dique).**

Um [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) newtoniano de viscosidade $\eta$, impelido para cima por um gradiente de pressão $G$ (para um escoamento por empuxo, $G = \Delta\rho\,g$) entre duas paredes paralelas separadas por uma distância $w$, escoa com a velocidade média

$$
\bar u = \frac{G w^2}{12\,\eta},
$$

e o fluxo volumétrico por unidade de comprimento de [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) é $q = \bar u w = G w^3/(12\eta)$.

**Demonstração.** Em escoamento laminar estacionário, o perfil de velocidade através do [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) é a parábola de Poiseuille plana $u(x) = \frac{G}{2\eta}\left(\frac{w^2}{4} - x^2\right)$, para $-w/2 \le x \le w/2$, que se anula nas duas paredes. Sua média é $\bar u = \frac1w\int_{-w/2}^{w/2}u\,dx = \frac{G}{2\eta}\left(\frac{w^2}{4} -
\frac{w^2}{12}\right) = \frac{Gw^2}{12\eta}$. ∎

O cubo da largura torna os [diques](#def-b2-magma-emplacement-bodies) largos muito mais eficientes que os estreitos. Um basalto de $100\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ em um [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de $1\,\mathrm{m}$ de largura, com $\Delta\rho =
300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, sobe a cerca de $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e atravessa $10\,\mathrm{km}$ de crosta em uma hora; um riolito de $10^{6}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ no mesmo [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) levaria mais de um ano, e se solidificaria no caminho, de modo que os [magmas](#def-b2-magma-emplacement-magma) silícicos precisam de [diques](#def-b2-magma-emplacement-bodies) muito mais largos ([Exercício 5.6](#exo-b2-magma-emplacement-6)). O número de Reynolds $\rho\bar u w/\eta$ desses escoamentos é pequeno o bastante para que permaneçam laminares. As velocidades de ascensão estimadas para os [magmas](#def-b2-magma-emplacement-magma) durante as erupções separam as erupções efusivas, abaixo de cerca de $0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, das explosivas, acima disso, com um intervalo de transição de $0.005\text{ a }0.25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em que os dois estilos ocorrem; os kimberlitos, que vêm de profundidades além de $150\,\mathrm{km}$, foram estimados em $0.1\text{ a }30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, e um estudo de difusão de um deles dá $0.02\text{ a }0.23\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em média sobre os últimos $80\text{ a }110\,\mathrm{km}$, uma viagem de $5\text{ a }74$ dias.

### 5.4.2 Os diápiros

**Definição 5.8 (Diápiro, nível de flutuabilidade neutra, desmoronamento magmático).**

Um *diápiro* é um corpo de material flutuante, [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) ou rocha parcialmente fundida, que sobe através de suas encaixantes fazendo-as escoar para os lados. O *nível de flutuabilidade neutra* de um [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) é a profundidade na qual sua densidade é igual à da rocha ao redor: abaixo dele o [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) flutua, acima dele é mais denso que suas encaixantes. O *desmoronamento magmático* é o desprendimento de blocos da rocha das paredes ou do teto, que afundam no [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma); os blocos que ficam inclusos na rocha solidificada são xenólitos.

**Proposição 5.9 (Ascensão de Stokes).**

Uma esfera de raio $a$ e déficit de densidade $\Delta\rho$ que sobe lentamente através de um meio newtoniano de viscosidade $\eta$ atinge a velocidade terminal

$$
v = \frac{2\,\Delta\rho\,g\,a^2}{9\,\eta}
$$

se for rígida, e $1.5$ vez essa velocidade se for um fluido de viscosidade desprezível.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

A rocha em torno de um [diápiro](#def-b2-magma-emplacement-ascent) não é um fluido de $100\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, mas um sólido quente, cuja viscosidade é muitas ordens de grandeza maior que a de qualquer fundido: na crosta, uma esfera de [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) de um quilômetro de diâmetro sobe apenas milímetros por ano, e perde seu calor muito antes de ter subido muito ([Exercício 5.9](#exo-b2-magma-emplacement-9)). Os [diápiros](#def-b2-magma-emplacement-ascent) funcionam onde as encaixantes são quentes e moles, no manto e nas raízes profundas das cadeias de montanhas, e onde o material flutuante é uma massa parcialmente fundida de quilômetros de diâmetro; a crosta rasa é atravessada por [diques](#def-b2-magma-emplacement-bodies).

## 5.5 O alojamento

A maior parte do [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) nunca chega à superfície. Ela para onde deixa de flutuar, ou onde é bloqueada por uma camada mais resistente, e se espalha em um corpo cuja forma registra como ele abriu espaço para si.

**Definição 5.10 (Corpos intrusivos).**

Um *plúton* é qualquer corpo de [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) que se solidificou dentro da crosta. Um *dique* é um plúton tabular que corta o acamamento de sua rocha encaixante (ou qualquer lâmina, se a encaixante não tem acamamento); uma *soleira* é um plúton tabular paralelo ao acamamento. Um *lacólito* é uma soleira que se espessou empurrando para cima as camadas sobrejacentes em forma de domo. Um *batólito* é um grande plúton, ou um conjunto de plútons, com área exposta de mais de $100\,\mathrm{km}^{2}$.

![Formas de corpos intrusivos em uma encaixante acamada (esquemático, fora de escala): um dique alimentador que corta as camadas, uma soleira ao longo de um plano de acamamento, um lacólito que arqueia em domo as camadas acima dele, um dique que corta até a superfície e um batólito com blocos desprendidos de seu teto e uma auréola de contato.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magma-emplacement/fig-9f0b86a680f7.svg)

*Formas de corpos intrusivos em uma encaixante acamada (esquemático, fora de escala): um [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) alimentador que corta as camadas, uma [soleira](#def-b2-magma-emplacement-bodies) ao longo de um plano de acamamento, um [lacólito](#def-b2-magma-emplacement-bodies) que arqueia em domo as camadas acima dele, um [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) que corta até a superfície e um [batólito](#def-b2-magma-emplacement-bodies) com blocos desprendidos de seu teto e uma [auréola de contato](#def-b2-magma-emplacement-aureole).*

O lugar onde um [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) para depende primeiro de sua densidade. Em uma crosta cuja densidade aumenta com a profundidade, um [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) sobe até seu [nível de flutuabilidade neutra](#def-b2-magma-emplacement-ascent) e ali se espalha lateralmente, como uma [soleira](#def-b2-magma-emplacement-bodies) ou uma lente; os sedimentos leves perto da superfície são armadilhas especialmente eficazes para o [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) basáltico denso. Uma camada resistente e rígida também pode deter um [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) e desviá-lo ao longo de sua base. A figura abaixo mostra o princípio.

![O nível de flutuabilidade neutra (esquemático). A densidade da crosta aumenta com a profundidade, pela compactação dos sedimentos e pela passagem a rochas mais densas; um magma de densidade fixa sobe enquanto é mais leve que suas encaixantes (sombreado) e se espalha onde as duas densidades se igualam.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magma-emplacement/fig-1ecefd820801.svg)

*O [nível de flutuabilidade neutra](#def-b2-magma-emplacement-ascent) (esquemático). A densidade da crosta aumenta com a profundidade, pela compactação dos sedimentos e pela passagem a rochas mais densas; um [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) de densidade fixa sobe enquanto é mais leve que suas encaixantes (sombreado) e se espalha onde as duas densidades se igualam.*

Um [plúton](#def-b2-magma-emplacement-bodies) precisa abrir espaço para si. Ele pode levantar seu teto, como faz um [lacólito](#def-b2-magma-emplacement-bodies); pode empurrar suas paredes para os lados onde elas são moles; pode preencher o espaço aberto por falhamento; e pode desmoronar seu teto, bloco por bloco. Os grandes [plútons](#def-b2-magma-emplacement-bodies) foram por muito tempo imaginados como enormes tanques de [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) alojados de uma só vez. A datação mudou essa imagem. Os zircões da Suíte Intrusiva de Tuolumne, um [batólito](#def-b2-magma-emplacement-bodies) granítico na Califórnia, mostram que ela foi alojada entre $95$ e $85\,\mathrm{Ma}$, mais antiga nas margens e mais jovem no centro, e uma de suas unidades sozinha ao longo de mais de $3\,\mathrm{Myr}$, entre $92.8\,\mathrm{Ma}$ e $88.8\,\mathrm{Ma}$. Um único corpo de [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) de $5\,\mathrm{km}$ de espessura e $20\,\mathrm{km}$ de largura alojado a $15\,\mathrm{km}$ de profundidade teria se resfriado abaixo de $750\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, temperatura em que está cerca de meio cristalizado, em cerca de $500\,000$ anos. Tais [plútons](#def-b2-magma-emplacement-bodies) devem ter sido montados incrementalmente, a partir de muitas intrusões menores, como lâminas e [diques](#def-b2-magma-emplacement-bodies), ao longo de milhões de anos ([Exercício 5.11](#exo-b2-magma-emplacement-11)).

![Um dique perto de Shiprock, no Campo Vulcânico Navajo (Novo México): a rocha do dique resistiu à erosão melhor que o arenito e o folhelho que cortou, e hoje se ergue como um muro; ao fundo, o neck vulcânico do qual irradiam vários diques como este. Fotografia: Dexter Perkins (CC0).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magma-emplacement/img-275f4c2b5c29.jpg)

*Um [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) perto de Shiprock, no Campo Vulcânico Navajo (Novo México): a rocha do [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) resistiu à erosão melhor que o arenito e o folhelho que cortou, e hoje se ergue como um muro; ao fundo, o neck vulcânico do qual irradiam vários [diques](#def-b2-magma-emplacement-bodies) como este. Fotografia: Dexter Perkins (CC0).*

## 5.6 Resfriamento e metamorfismo de contato

Uma intrusão perde seu calor por condução para suas rochas encaixantes. O modelo mais simples trata a intrusão e sua encaixante como um único meio condutor de difusividade uniforme $\kappa$: no instante zero, uma lâmina de espessura $b$ está à temperatura de intrusão $T_m$ e a encaixante a $T_0$. A solução da equação do calor, com $x$ medido a partir do meio da lâmina, é

$$
T(x,t) = T_0 + \frac{T_m - T_0}{2}\left[\operatorname{erf}\frac{b/2 - x}{2\sqrt{\kappa t}}
+ \operatorname{erf}\frac{b/2 + x}{2\sqrt{\kappa t}}\right].
$$

A figura abaixo a mostra para uma [soleira](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de $100\,\mathrm{m}$ de espessura.

**Proposição 5.11 (Temperatura de contato).**

Nesse modelo, enquanto $\sqrt{\kappa t}$ é pequeno comparado com $b$, a temperatura no contato da intrusão permanece na média $(T_m + T_0)/2$ das temperaturas da intrusão e da encaixante.

**Demonstração.** No contato $x = b/2$, a primeira função erro é $\operatorname{erf}0 = 0$ e a segunda é $\operatorname{erf}(b/(2\sqrt{\kappa t}))$, próxima de $1$ enquanto $b \gg 2\sqrt{\kappa t}$. Então $T = T_0 + (T_m - T_0)/2$. ∎

Um [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) basáltico a $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ em rochas a $50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ aquece assim seu contato a $600\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. O calor de cristalização, tipicamente de $700\text{ a }1000\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$, mantém o [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) quente por mais tempo e eleva esse valor: com $900\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$ liberados entre $1150$ e $950\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, o mesmo modelo dá $690\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, enquanto condutividades dependentes da temperatura e encaixantes úmidas reduzem as duas estimativas em 50 a $75\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

![Resfriamento por condução de uma soleira de 100\, m de espessura (sombreada), intrudida a 1150\, C em rocha a 100\, C, com = 0.7 × 10-6\, m2/ s e sem calor latente. O contato permanece perto de 625\, C durante décadas enquanto o calor se espalha na encaixante; após dois séculos, a soleira e suas vizinhanças formam uma única zona morna e larga.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magma-emplacement/fig-d78f93ec4600.svg)

*Resfriamento por condução de uma [soleira](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de $100\,\mathrm{m}$ de espessura (sombreada), intrudida a $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ em rocha a $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, com $\kappa = 0.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ e sem calor latente. O contato permanece perto de $625\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ durante décadas enquanto o calor se espalha na encaixante; após dois séculos, a [soleira](#def-b2-magma-emplacement-bodies) e suas vizinhanças formam uma única zona morna e larga.*

A escala de tempo do resfriamento é o tempo de que o calor precisa para se difundir através da intrusão, da ordem de $(b/2)^2/\kappa$: cerca de $16$ dias para um [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de $2\,\mathrm{m}$ de largura, um século para uma [soleira](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de $100\,\mathrm{m}$ de espessura, cem mil anos para um [plúton](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de alguns quilômetros. O calor latente a alonga, assim como a necessidade de solidificar o [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma), e não apenas resfriá-lo.

**Proposição 5.12 (Solidificação de uma intrusão).**

Suponha-se que um [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) à sua temperatura de solidificação $T_m$, com calor latente $L$ por unidade de volume, ocupe o semiespaço $y > 0$ ao lado de uma rocha encaixante a $T_0$ que ocupa $y < 0$, ambos de capacidade térmica $\rho c$ por unidade de volume e difusividade $\kappa$. A frente de solidificação avança como $y_s = 2\lambda\sqrt{\kappa t}$, onde $\lambda$ é a raiz de

$$
\frac{L\sqrt\pi}{\rho c\,(T_m - T_0)} = \frac{e^{-\lambda^2}}{\lambda\,(1 + \operatorname{erf}\lambda)},
$$

e o contato permanece a $T_0 + (T_m - T_0)/(1 + \operatorname{erf}\lambda)$. Uma [soleira](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de espessura $b$, que se solidifica a partir das duas paredes, está sólida após $t = b^2/(16\lambda^2\kappa)$.

**Demonstração.** O [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) à frente da frente permanece a $T_m$, de modo que o calor só flui no sólido e na encaixante, onde se tenta $T = T_0 + (T_m - T_0)(1 + \operatorname{erf}\xi)/(1 +
\operatorname{erf}\lambda)$ com $\xi = y/(2\sqrt{\kappa t})$. Toda função de $\xi$ da forma $\alpha + \beta\operatorname{erf}\xi$ resolve a equação do calor; esta tende a $T_0$ longe, dentro da encaixante ($\xi \to -\infty$), e é igual a $T_m$ na frente $\xi = \lambda$. Em $y = 0$ ela dá a temperatura de contato enunciada. Na frente, o calor latente liberado pelo sólido que avança, $L\,dy_s/dt = L\lambda\sqrt{\kappa/t}$ por unidade de área e de tempo, precisa ser conduzido para longe, $k\,\partial T/\partial y = k(T_m -
T_0)\,e^{-\lambda^2}/[(1 + \operatorname{erf}\lambda)\sqrt{\pi\kappa t}]$. Igualar os dois e usar $k = \rho c\kappa$ dá a equação para $\lambda$. Cada parede da [soleira](#def-b2-magma-emplacement-bodies) faz crescer sua própria frente, de modo independente enquanto o núcleo permanece a $T_m$; as duas frentes se encontram quando $2\lambda\sqrt{\kappa t} = b/2$. ∎

Com o calor latente de um basalto e uma encaixante a cerca de $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $\lambda$ vale cerca de $0.65$: uma [soleira](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de $100\,\mathrm{m}$ de espessura se solidifica em cerca de setenta anos, e seu contato permanece perto de $740\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ em vez de $625\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ durante esse tempo. O problema de fim de semana percorre esse caso. Como o tempo cresce com o quadrado da espessura, uma [soleira](#def-b2-magma-emplacement-bodies) dez vezes mais espessa leva cem vezes mais tempo.

**Definição 5.13 (Auréola de contato e suas rochas).**

Uma *margem resfriada* é a borda de granulação fina ou vítrea de uma intrusão, onde o [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) se resfriou depressa contra uma encaixante mais fria. Uma *auréola de contato* é a zona de rocha encaixante em torno de uma intrusão que foi metamorfizada por seu calor. O *hornfels* é a rocha dura, de granulação fina e não foliada em que se transformam os lamitos e as rochas vulcânicas em uma auréola de contato. O *escarnito* é a rocha formada onde fluidos magmáticos quentes reagem com uma encaixante carbonática, depositando silicatos de cálcio, ferro e magnésio, como granada e piroxênio, muitas vezes com magnetita e sulfetos metálicos.

As [auréolas de contato](#def-b2-magma-emplacement-aureole) vão de alguns centímetros em torno de pequenos [diques](#def-b2-magma-emplacement-bodies) e [soleiras](#def-b2-magma-emplacement-bodies) a várias dezenas de metros em torno de um grande stock, e o metamorfismo de contato abrange de cerca de $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a mais de $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Um lamito torna-se um [hornfels](#def-b2-magma-emplacement-aureole), um calcário um mármore, um arenito um quartzito. Um [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) alojado em profundidade em rochas já quentes quase não produz auréola: a largura depende do tamanho e da temperatura da intrusão e da temperatura de sua encaixante, como prevê o modelo de resfriamento ([Exercício 5.12](#exo-b2-magma-emplacement-12)). Os minerais que crescem em uma auréola, e o que eles dizem sobre a temperatura, pertencem ao [Capítulo 10](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/10-reacoes-e-facies-metamorficas#ch-b2-metamorphic-facies); os metais que os [escarnitos](#def-b2-magma-emplacement-aureole) concentram, ao [Capítulo 29](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/29-jazidas-minerais#ch-b2-ore-deposits).

**No campo — Ler os contatos de um dique.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magma-emplacement/img-b11b8d5434ec.jpg)

*Uma geóloga examina o contato de um [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) escuro com uma rocha encaixante clara (ilustração gerada por IA).*

Onde um [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) aflora, um geólogo segue primeiro seus contatos com a rocha encaixante. Uma margem de granulação mais fina ou mais vítrea que o centro do [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) mostra que o [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) foi resfriado bruscamente contra rocha fria; um [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de $25\,\mathrm{cm}$ de largura estudado na costa da Colúmbia Britânica tem margens resfriadas de $2\,\mathrm{cm}$ de espessura. A rocha encaixante é examinada junto ao contato em busca de cozimento: uma mudança de cor, um endurecimento, minerais novos que desaparecem à medida que se afasta do [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies). A largura da zona cozida e da [margem resfriada](#def-b2-magma-emplacement-aureole), comparada com a largura do [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies), indica quão quente estava a encaixante quando o [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) chegou; um [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) sem [margem resfriada](#def-b2-magma-emplacement-aureole) e sem auréola foi intrudido em rochas que já estavam quentes. Coletam-se amostras através do [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies), da margem ao centro, para a geoquímica de seu fundido e para o tamanho de seus cristais.

## 5.7 Exercícios

**Exercício 5.1 ★.**

Para fundidos graníticos hidratados, uma equação ajustada às medidas dá $\log_{10}\eta = [-3.545 + 0.833\ln w] + [9601 - 2368\ln w]/\{T - [195.7 + 32.25\ln
w]\}$, com $\eta$ em $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, $w$ o teor de água em porcentagem em peso e $T$ em kelvins. Calcule $\log_{10}\eta$ a $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ para $w = 1$ e $w = 4$, e o fator pelo qual os três por cento adicionais de água reduzem a viscosidade.

**Solução de Exercício 5.1.**

$T = 1073\,\mathrm{K}$. Para $w = 1$, $\ln w = 0$: $\log_{10}\eta = -3.545 +
9601/(1073 - 195.7) = -3.545 + 10.94 = 7.40$. Para $w = 4$, $\ln 4 = 1.386$: $A = -3.545 + 1.155 = -2.390$, $B = 9601 - 3283 = 6318$, $C = 195.7 + 44.7 =
240.4$, e $\log_{10}\eta = -2.390 + 6318/832.6 = -2.390 + 7.588 = 5.20$. A viscosidade cai por um fator $10^{7.40 - 5.20} = 10^{2.20} \approx 160$.

**Exercício 5.2 ★.**

Com a lei da raiz quadrada, $s = 0.44$ para um riolito e $s = 0.34$ para um basalto (por cento em peso por $\sqrt{\mathrm{MPa}}$), calcule a pressão de saturação de um riolito com $6\,\%$ de água e de um basalto com $0.5\,\%$, e as profundidades correspondentes em uma crosta de densidade $2600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ($g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$).

**Solução de Exercício 5.2.**

Riolito: $p_s = (6/0.44)^2 = 186\,\mathrm{MPa}$, a uma profundidade de $186 \times 10^{6}/(2600\times9.81)
= 7.3\,\mathrm{km}$. Basalto: $p_s = (0.5/0.34)^2 = 2.16\,\mathrm{MPa}$, a $2.16 \times 10^{6}/(2600\times9.81) = 85\,\mathrm{m}$. O riolito começa a formar bolhas no interior profundo da crosta, o basalto só perto da superfície (se não carregar CO$_2$).

**Exercício 5.3 ★.**

Calcule a temperatura de contato de um [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) basáltico a $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ intrudido em rochas a $50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, depois em rochas a $400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Qual dos dois [diques](#def-b2-magma-emplacement-bodies) terá a [margem resfriada](#def-b2-magma-emplacement-aureole) mais larga?

**Solução de Exercício 5.3.**

$(1150 + 50)/2 = 600\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $(1150 + 400)/2 = 775\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. O [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) na rocha fria é resfriado mais bruscamente em seu contato, e tem a [margem resfriada](#def-b2-magma-emplacement-aureole) mais larga.

**Exercício 5.4 ★.**

Dê o nome de cada corpo. (a) Uma lâmina de dolerito de $30\,\mathrm{m}$ de espessura situada entre duas camadas de arenito ao longo de $20\,\mathrm{km}$. (b) Uma lâmina vertical de basalto de $2\,\mathrm{m}$ de largura que corta calcários horizontais. (c) Um granito exposto em $2000\,\mathrm{km}^{2}$, formado por uma dúzia de unidades de idades diferentes. (d) Uma lente de pórfiro de $1\,\mathrm{km}$ de diâmetro, plana na base, acima da qual as camadas estão arqueadas. (e) Uma lâmina horizontal de basalto em um granito.

**Solução de Exercício 5.4.**

(a) Uma [soleira](#def-b2-magma-emplacement-bodies), paralela ao acamamento. (b) Um [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies), que corta o acamamento. (c) Um [batólito](#def-b2-magma-emplacement-bodies), com mais de $100\,\mathrm{km}^{2}$ e montado a partir de muitas intrusões. (d) Um [lacólito](#def-b2-magma-emplacement-bodies), que arqueou seu teto em domo. (e) Um [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies): o granito não tem acamamento, de modo que qualquer lâmina nele é um [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies), qualquer que seja sua orientação.

**Exercício 5.5 ★★.**

Um fundido basáltico tem $\eta_{\ell} = 100\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Com a relação de Einstein–Roscoe ($R = 1.35$), calcule a viscosidade do [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) com $5\,\%$, $20\,\%$, $40\,\%$ e $60\,\%$ de cristais, e compare o primeiro valor com a fórmula diluída de Einstein. Em que fração de cristais a relação prevê o travamento?

**Solução de Exercício 5.5.**

$(1 - 1.35\phi)^{-2.5}$: para $\phi = 0.05$, $0.9325^{-2.5} = 1.19$, portanto $119\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, contra $1 + 2.5\times0.05 = 1.125$, $113\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, com a fórmula de Einstein (próximos, como deve ser no limite diluído). Para $0.20$: $0.73^{-2.5} =
2.20$, $220\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$; para $0.40$: $0.46^{-2.5} = 6.97$, $697\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$; para $0.60$: $0.19^{-2.5} = 63.6$, cerca de $6360\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Travamento em $\phi = 1/1.35 = 0.74$.

**Exercício 5.6 ★★.**

Um [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) com densidade $300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ menor que a de suas paredes sobe por um [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies). (a) Para um basalto ($\eta = 100\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, $\rho = 2700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$) em um [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de $1\,\mathrm{m}$ de largura, calcule a velocidade média, o fluxo por metro de [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies), o número de Reynolds e o tempo para subir $10\,\mathrm{km}$. (b) O mesmo tempo para um riolito de $10^{6}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ em um [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de $1\,\mathrm{m}$ de largura, depois de $10\,\mathrm{m}$ de largura. (c) Um [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de $1\,\mathrm{m}$ de largura perde seu calor em um tempo da ordem de $(w/2)^2/\kappa$, com $\kappa =
1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$: qual das três ascensões pode ter êxito?

**Solução de Exercício 5.6.**

$G = 300\times9.81 = 2943\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$. (a) $\bar u = 2943\times1^2/(12\times100) =
2.45\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $q = 2.45\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$; $Re = 2700\times2.45\times1/100 = 66$, laminar; $t = 10000/2.45 = 4080\,\mathrm{s}$, cerca de $1.1\,\mathrm{h}$. (b) $\bar u =
2943/(12\times10^{6}) = 2.45 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $t = 4.08 \times 10^{7}\,\mathrm{s} = 472$ dias; com $w = 10\,\mathrm{m}$, $\bar u$ é cem vezes maior, $0.0245\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, e $t =
4.08 \times 10^{5}\,\mathrm{s} = 4.7$ dias. (c) O [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de $1\,\mathrm{m}$ se resfria em cerca de $0.5^2/10^{-6} = 2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$, 2.9 dias; o [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de $10\,\mathrm{m}$ em $5^2/10^{-6} =
2.5 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, 289 dias. O basalto ($1.1\,\mathrm{h}$) e o riolito no [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) largo (4.7 dias) chegam antes que seus [diques](#def-b2-magma-emplacement-bodies) se solidifiquem; o riolito no [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de $1\,\mathrm{m}$ (472 dias) não consegue.

**Exercício 5.7 ★★.**

Um [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) de densidade $2400\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ a $900\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ libera $1\,\%$ de sua massa como vapor de água. Tratando o vapor como gás ideal ($R = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$, $18.015\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$), calcule a fração volumétrica de gás no [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) a $100\,\mathrm{MPa}$, $10\,\mathrm{MPa}$ e $0.1\,\mathrm{MPa}$. Qual dos três valores é o menos confiável, e por quê?

**Solução de Exercício 5.7.**

Por quilograma de [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma), $n = 10/18.015 = 0.555\,\mathrm{mol}$ de água e $nRT =
0.555\times8.314\times1173 = 5414\,\mathrm{J}$; o fundido restante ocupa $0.99/2400 =
4.13 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$. A $100\,\mathrm{MPa}$: $V = 5.41 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}$, fração $5.41/(5.41 + 41.3) = 0.12$. A $10\,\mathrm{MPa}$: $V = 5.41 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$, fração $0.57$. A $0.1\,\mathrm{MPa}$: $V = 0.0541\,\mathrm{m}^{3}$, fração $0.992$. O valor a $100\,\mathrm{MPa}$ é o menos confiável: o vapor de água a essa pressão é denso e está longe de ser ideal (e boa parte da água ainda estaria, na verdade, dissolvida).

**Exercício 5.8 ★★.**

Em uma bacia, a densidade das rochas aumenta com a profundidade $z$ como $\rho(z) =
2300 + 60\,z$ ($\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $z$ em $\mathrm{km}$) até $10\,\mathrm{km}$. (a) Onde está o [nível de flutuabilidade neutra](#def-b2-magma-emplacement-ascent) de um fundido basáltico de $2650\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$? (b) O modelo de densidade deste capítulo mostra que um por cento de água dissolvida reduz a densidade de um fundido basáltico em cerca de $70\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$. Onde para um fundido com um por cento a mais de água? (c) Qual é a força de empuxo por metro cúbico do fundido seco $2\,\mathrm{km}$ abaixo de seu [nível de flutuabilidade neutra](#def-b2-magma-emplacement-ascent)?

**Solução de Exercício 5.8.**

(a) $2300 + 60z = 2650$ dá $z = 5.8\,\mathrm{km}$. (b) O fundido tem $2580\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$: $z = 280/60 = 4.7\,\mathrm{km}$, cerca de $1.2\,\mathrm{km}$ mais acima. (c) Em $z = 7.8\,\mathrm{km}$ a rocha tem $2300 + 60\times7.8 = 2770\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$; a força é $(2770 - 2650)\times9.81 = 1.2\,\mathrm{kN}$ por metro cúbico, para cima.

**Exercício 5.9 ★★.**

Suponha que um [diápiro](#def-b2-magma-emplacement-ascent) granítico de raio $1\,\mathrm{km}$ e déficit de densidade $300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ suba através de uma crosta inferior de viscosidade $10^{19}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Calcule sua velocidade de Stokes (esfera rígida) em milímetros por ano e o tempo para subir $10\,\mathrm{km}$. Compare com a escala de tempo $a^2/\kappa$ de seu resfriamento, com $\kappa
= 1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. O que você conclui?

**Solução de Exercício 5.9.**

$v = 2\times300\times9.81\times(1000)^2/(9\times10^{19}) = 6.5 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, ou $6.5 \times 10^{-11}\times3.156 \times 10^{7} = 2.1 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}$ por ano, $2.1\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$. Subir $10\,\mathrm{km}$ leva $10^{4}/2.1 \times 10^{-3} = 4.8\,\mathrm{Myr}$. A escala de tempo do resfriamento é $(1000)^2/10^{-6} = 10^{12}\,\mathrm{s} = 32\,\mathrm{kyr}$: o corpo se solidifica depois de subir cerca de $32000\times0.0021 \approx 70\,\mathrm{m}$. Um [diápiro](#def-b2-magma-emplacement-ascent) magmático não consegue atravessar uma crosta assim; ele precisa de encaixantes mais quentes e mais moles.

**Exercício 5.10 ★★★.**

A água se dissolve em um fundido ao mesmo tempo como moléculas, $x_m = K_1 f$, e como grupos hidroxila, $x_{\mathrm{OH}}^2 = K_2 x_m$ (com o oxigênio do fundido em grande excesso), de modo que a água dissolvida total é $x = x_m + x_{\mathrm{OH}}/2$. (a) Exprima $x$ em função de $f$ e mostre que ele se comporta como $\sqrt f$ para $f$ baixo e como $f$ para $f$ alto. (b) Em que fugacidade as duas formas de água são igualmente abundantes? (c) Com $K_1 = 1 \times 10^{-4}\,\mathrm{MPa}^{-1}$ e $K_2 = 0.2$, calcule essa fugacidade e a fração de água dissolvida como hidroxila a $100\,\mathrm{MPa}$.

**Solução de Exercício 5.10.**

(a) $x_{\mathrm{OH}} = \sqrt{K_2x_m} = \sqrt{K_1K_2f}$, logo $x = K_1f + \frac12\sqrt{K_1K_2f}$. A razão entre o primeiro termo e o segundo é $2\sqrt{K_1f/K_2}$: ela tende a zero quando $f \to 0$ (a raiz quadrada domina) e cresce sem limite com $f$ (o termo linear domina). (b) $K_1 f = \frac12\sqrt{K_1K_2 f}$ dá $K_1^2f^2 =
K_1K_2f/4$, logo $f = K_2/(4K_1)$. (c) $f = 0.2/(4 \times 10^{-4}) = 500\,\mathrm{MPa}$. A $100\,\mathrm{MPa}$: $x_m = 0.0100$, $\frac12\sqrt{10^{-4}\times0.2\times100} =
\frac12\times0.0447 = 0.0224$, logo $x = 0.0324$ e a fração em hidroxila é $0.0224/0.0324 = 69\,\%$.

**Exercício 5.11 ★★★.**

Um [plúton](#def-b2-magma-emplacement-bodies) granítico de $1000\,\mathrm{km}^{3}$ é montado ao longo de $4\,\mathrm{Myr}$. (a) Calcule seu suprimento médio de [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) em $\mathrm{km}^{3}$ por ano e em $\mathrm{m}^{3}$ por segundo. (b) Um único [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de $1\,\mathrm{km}$ de comprimento e $2\,\mathrm{m}$ de largura, com velocidade média de $0.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, o alimenta: quanto tempo o [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) levaria para fornecer todo o [plúton](#def-b2-magma-emplacement-bodies)? Que fração dos $4\,\mathrm{Myr}$ isso representa? (c) Se o [plúton](#def-b2-magma-emplacement-bodies) é formado por lâminas de $20\,\mathrm{m}$ de espessura e $10\,\mathrm{km}$ por $10\,\mathrm{km}$ de extensão, quantas lâminas são necessárias, e quanto tempo separa duas delas em média? (d) Com $\lambda = 0.65$ e $\kappa = 0.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, quanto tempo uma lâmina leva para se solidificar? O [plúton](#def-b2-magma-emplacement-bodies) chega a ser um único grande corpo de [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma)?

**Solução de Exercício 5.11.**

(a) $1000/4 \times 10^{6} = 2.5 \times 10^{-4}\,\mathrm{km}^{3}$ por ano, isto é, $2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{3}$ por ano, ou $2.5 \times 10^{5}/3.156 \times 10^{7} = 0.0079\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, cerca de oito litros por segundo. (b) O [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) transporta $1000\times2\times0.8 = 1600\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, e fornece $10^{12}\,\mathrm{m}^{3}$ em $6.25 \times 10^{8}\,\mathrm{s}$, cerca de 20 anos: $5 \times 10^{-6}$ dos $4\,\mathrm{Myr}$. (c) Cada lâmina contém $20\times10^{4}\times10^{4} = 2 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{3} =
2\,\mathrm{km}^{3}$, logo 500 lâminas, uma a cada $4 \times 10^{6}/500 = 8000$ anos em média. (d) $t = (10)^2/(4\times0.65^2\times0.7 \times 10^{-6}) = 8.5 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, 2.7 anos. Cada lâmina se solidifica milhares de anos antes que chegue a seguinte: a menos que o suprimento venha em pulsos rápidos, o [plúton](#def-b2-magma-emplacement-bodies) nunca é um único grande corpo de [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma), como sugere a datação dos grandes [plútons](#def-b2-magma-emplacement-bodies).

**Exercício 5.12 ★★★.**

Longe de um [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) delgado de largura $b$ (a distâncias $x \gg b$), seu calor age como uma fonte plana instantânea: $T - T_0 = (T_m - T_0)\,b\,e^{-x^2/(4\kappa
t)}/\sqrt{4\pi\kappa t}$. (a) Mostre que, à distância $x$, a temperatura é máxima em $t^* = x^2/(2\kappa)$, e que essa elevação máxima é $\Delta T_{\max} = (T_m -
T_0)\,b/(x\sqrt{2\pi e})$. (b) Para um [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de $2\,\mathrm{m}$ de largura com $T_m - T_0 =
1100\,\mathrm{K}$, a que distância a rocha se aquece no máximo $100\,\mathrm{K}$, e quando ($\kappa = 0.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$)? (c) Por que as auréolas dos [diques](#def-b2-magma-emplacement-bodies) delgados são tão estreitas?

**Solução de Exercício 5.12.**

(a) Com $x$ fixo, $\ln(T - T_0) = \text{const} - \frac12\ln t - x^2/(4\kappa t)$, cuja derivada $-1/(2t) + x^2/(4\kappa t^2)$ se anula em $t^* = x^2/(2\kappa)$. Então $e^{-x^2/(4\kappa t^*)} = e^{-1/2}$ e $\sqrt{4\pi\kappa t^*} = x\sqrt{2\pi}$, logo $\Delta
T_{\max} = (T_m - T_0)\,b\,e^{-1/2}/(x\sqrt{2\pi}) = (T_m - T_0)\,b/(x\sqrt{2\pi e})$. (b) $\sqrt{2\pi e} = 4.13$: $x = 1100\times2/(100\times4.13) = 5.3\,\mathrm{m}$, atingidos após $t^* = 5.3^2/(2\times0.7 \times 10^{-6}) = 2.0 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, cerca de 230 dias (a apenas 2.7 larguras de [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies), a aproximação de fonte plana é grosseira). (c) O aquecimento decresce como $b/x$: um [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) delgado carrega pouco calor, e a rocha só é aquecida de modo apreciável a poucas larguras de [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies).

## 5.8 Problema: a soleira sob o planalto

**Problema 5.1.**

Problema de fim de semana — seguir um magma basáltico de seu dique alimentador até uma soleira, sua água e o tempo que a soleira leva para se solidificar

Sob um planalto imaginário, sedimentos (folhelho e arenito) de densidade média $2450\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ repousam a $3.0\,\mathrm{km}$ de profundidade sobre um embasamento cristalino de densidade $2800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$. Um [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) basáltico subiu de $15\,\mathrm{km}$ por um [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de $2.0\,\mathrm{m}$ de largura e se espalhou ao longo da base dos sedimentos como uma [soleira](#def-b2-magma-emplacement-bodies) de dolerito de $100\,\mathrm{m}$ de espessura. Dados: temperatura de intrusão $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; lei de viscosidade do fundido $\log_{10}\eta = -4.55 + 5510/(T - 611)$ ($T$ em kelvins); densidade do fundido com sua água $2710\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$; $20\,\%$ de cristais em volume (Einstein–Roscoe, $R = 1.35$); água dissolvida $0.40\,\%$, solubilidade $s = 0.34$ por cento por $\sqrt{\mathrm{MPa}}$; temperatura da encaixante no nível da [soleira](#def-b2-magma-emplacement-bodies) $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; $\kappa = 0.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $\rho c = 2.5\,\mathrm{MJ}/(\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{K})$, calor latente $900\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$, sendo o [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) tratado como se solidificando à sua temperatura de intrusão; $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; um ano vale $3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$.

**Parte I — O magma.**

1. Calcule $\log_{10}\eta$ e $\eta$ do fundido a $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $1423\,\mathrm{K}$ ).
2. O mesmo a $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Por que fator a viscosidade varia nesses $50\,\mathrm{K}$ ?
3. Calcule a viscosidade do [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) com seus cristais a $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
4. Em que fração de cristais a relação de Einstein–Roscoe faria o [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) travar? Compare com a estimativa de campo do fim do escoamento em massa.
5. Calcule a diferença de densidade entre o [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) e o embasamento, e entre o [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) e os sedimentos.
6. Calcule a pressão litostática no nível da [soleira](#def-b2-magma-emplacement-bodies) .

**Parte II — Subindo pelo dique.**

7. Calcule o gradiente de pressão de empuxo $\Delta\rho\,g$ que impele o [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) através do embasamento.
8. Calcule a velocidade média do [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) no [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) .
9. Calcule o fluxo por metro de [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) , e o fluxo total se o [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) tiver $1.0\,\mathrm{km}$ de comprimento.
10. Calcule o número de Reynolds do escoamento. Ele é laminar?
11. Quanto tempo o [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) leva para subir de $15\,\mathrm{km}$ a $3.0\,\mathrm{km}$ ?
12. Compare com a escala de tempo $(w/2)^2/\kappa$ em que o [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) perde seu calor. Ele consegue permanecer aberto?
13. Explique por que o [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) parou a $3.0\,\mathrm{km}$ e se espalhou lateralmente, usando o vocabulário do capítulo.

**Parte III — A água.**

14. Calcule a pressão de saturação da água do fundido, e a profundidade nos sedimentos em que ela é atingida.
15. Quanta água o fundido poderia conter no nível da [soleira](#def-b2-magma-emplacement-bodies) ? O [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) da [soleira](#def-b2-magma-emplacement-bodies) exsolve água?
16. As vesículas da [margem resfriada](#def-b2-magma-emplacement-aureole) da [soleira](#def-b2-magma-emplacement-bodies) contêm sobretudo CO $_2$ . Explique.
17. Se todos os $0.40\,\%$ de água saíssem na superfície, a $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $0.1\,\mathrm{MPa}$ , que fração volumétrica do [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) o vapor ocuparia (gás ideal)?

**Parte IV — Resfriamento e solidificação.**

18. Desprezando o calor latente, calcule a temperatura de contato da [soleira](#def-b2-magma-emplacement-bodies) .
19. Desprezando o calor latente, calcule a temperatura $10\,\mathrm{m}$ acima do contato superior $10$ anos após a intrusão.
20. Mesmo modelo: calcule a temperatura no meio da [soleira](#def-b2-magma-emplacement-bodies) após $10$ anos e $50$ anos.
21. Mesmo modelo: $80\,\mathrm{m}$ acima do contato superior, calcule a temperatura após $300$ , $363$ e $420$ anos. A rocha ali chega a atingir $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ?
22. Calcule $L\sqrt\pi/(\rho c\,(T_m - T_0))$ para a [soleira](#def-b2-magma-emplacement-bodies) .
23. Calcule $e^{-\lambda^2}/(\lambda(1 + \operatorname{erf}\lambda))$ para $\lambda = 0.64$ , $0.65$ e $0.66$ ( $\operatorname{erf}0.64 = 0.6346$ , $\operatorname{erf}0.65 = 0.6420$ , $\operatorname{erf}0.66 = 0.6494$ ), e dê $\lambda$ com duas casas decimais.
24. Com calor latente, calcule a temperatura de contato enquanto a [soleira](#def-b2-magma-emplacement-bodies) se solidifica. Por que ela é mais alta que na questão 18?
25. Calcule a escala de tempo $(b/2)^2/\kappa$ em anos.
26. Calcule o tempo que a [soleira](#def-b2-magma-emplacement-bodies) leva para se solidificar, em anos, o número-chave deste problema, e explique por que ele é mais curto que a escala de tempo da questão anterior, embora o calor latente precise ser removido.

**Solução de Problema 5.1.**

**1.** $\log_{10}\eta = -4.55 + 5510/(1423 - 611) = -4.55 + 6.786 = 2.24$; $\eta = 172\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$.

**2.** $-4.55 + 5510/762 = -4.55 + 7.231 = 2.68$, $\eta = 480\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$: um fator de $480/172 = 2.8$ para $50\,\mathrm{K}$.

**3.** $172\times(1 - 1.35\times0.20)^{-2.5} = 172\times0.73^{-2.5} = 172\times2.20 =
378\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$.

**4.** $\phi = 1/1.35 = 0.74$. As evidências de campo situam o fim do escoamento em massa em uma fração de fundido de $30\text{ a }50\,\%$, isto é, $50\text{ a }70\,\%$ de cristais: antes, porque os cristais reais não são esferas de um só tamanho.

**5.** Embasamento: $2800 - 2710 = 90\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, o [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) é mais leve. Sedimentos: $2450 - 2710 = -260\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, o [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) é mais denso.

**6.** $p = 2450\times9.81\times3000 = 72.1\,\mathrm{MPa}$.

**7.** $90\times9.81 = 883\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$.

**8.** $\bar u = 883\times2.0^2/(12\times378) = 3532/4536 = 0.78\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**9.** $q = 0.78\times2.0 = 1.56\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$; ao longo de $1.0\,\mathrm{km}$, cerca de $1560\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

**10.** $Re = 2710\times0.78\times2.0/378 = 11$: laminar.

**11.** $12000/0.78 = 15\,400\,\mathrm{s}$, cerca de $4.3\,\mathrm{h}$.

**12.** $(1.0)^2/0.7 \times 10^{-6} = 1.43 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$, 16.5 dias, muito mais que $4.3\,\mathrm{h}$: o [dique](#def-b2-magma-emplacement-bodies) permanece aberto enquanto o [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) escoa.

**13.** A $3.0\,\mathrm{km}$ o [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) encontra sedimentos mais leves que ele: a base dos sedimentos é seu [nível de flutuabilidade neutra](#def-b2-magma-emplacement-ascent). Acima dela o [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) seria mais denso que suas encaixantes, de modo que se espalha lateralmente ao longo do contato como uma [soleira](#def-b2-magma-emplacement-bodies).

**14.** $p_s = (0.40/0.34)^2 = 1.38\,\mathrm{MPa}$, atingida a $1.38 \times 10^{6}/(2450\times9.81) = 58\,\mathrm{m}$ abaixo da superfície.

**15.** $0.34\times\sqrt{72.1} = 0.34\times8.49 = 2.9\,\%$, muito mais que os $0.40\,\%$ presentes: o [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) da [soleira](#def-b2-magma-emplacement-bodies) não exsolve água.

**16.** O CO$_2$ é muito menos solúvel que a água: ele satura e forma bolhas logo no início da ascensão, em profundidade, de modo que o primeiro gás de um basalto é sobretudo CO$_2$.

**17.** Por quilograma, $n = 4.0/18.015 = 0.222\,\mathrm{mol}$, $V = 0.222\times8.314\times1423/
10^{5} = 0.0263\,\mathrm{m}^{3}$; o fundido ocupa $0.996/2710 = 3.68 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$; a fração é $0.0263/(0.0263 + 0.000368) = 0.986$, $98.6\,\%$.

**18.** $(1150 + 100)/2 = 625\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**19.** Após 10 anos, $2\sqrt{\kappa t} = 2\sqrt{0.7 \times 10^{-6}\times3.156 \times 10^{8}} =
29.7\,\mathrm{m}$. O ponto está a $x = 60\,\mathrm{m}$ do meio: $T = 100 +
525\,[\operatorname{erf}(-10/29.7) + \operatorname{erf}(110/29.7)] = 100 + 525\,(-0.365 +
1.000) = 433\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**20.** No meio, $T = 100 + 1050\operatorname{erf}(50/2\sqrt{\kappa t})$: após 10 anos, $1050\operatorname{erf}(1.68) = 1050\times0.983$, $T = 1132\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; após 50 anos, $2\sqrt{\kappa t} = 66.5\,\mathrm{m}$, $1050\operatorname{erf}(0.752) = 1050\times0.713$, $T = 848\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**21.** Em $x = 130\,\mathrm{m}$: $294\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ após 300 anos, $295\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ após 363 anos (o máximo), $295\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ após 420 anos. Sem calor latente, a rocha $80\,\mathrm{m}$ acima da [soleira](#def-b2-magma-emplacement-bodies) nunca chega a atingir $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**22.** $9 \times 10^{8}\times1.772/(2.5 \times 10^{6}\times1050) = 0.608$.

**23.** $\lambda = 0.64$: $e^{-0.4096}/(0.64\times1.6346) = 0.6639/1.0461 = 0.635$; $0.65$: $0.6554/1.0673 = 0.614$; $0.66$: $0.6469/1.0886 = 0.594$. O valor $0.608$ fica entre $0.65$ e $0.66$, perto de $0.65$: $\lambda = 0.65$.

**24.** $100 + 1050/(1 + 0.642) = 100 + 640 = 740\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. O calor latente liberado na frente de solidificação mantém o lado do [magma](#def-b2-magma-emplacement-magma) a $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por mais tempo, de modo que o contato recebe mais calor.

**25.** $(50)^2/0.7 \times 10^{-6} = 3.57 \times 10^{9}\,\mathrm{s}$, 113 anos.

**26.** $t = (100)^2/(16\times0.65^2\times0.7 \times 10^{-6}) = 10^{4}/4.73 \times 10^{-6} =
2.11 \times 10^{9}\,\mathrm{s}$, logo $2.11 \times 10^{9}/3.156 \times 10^{7}$: a [soleira](#def-b2-magma-emplacement-bodies) está sólida após **$67\,$ anos**. É mais curto que $(b/2)^2/\kappa$ pelo fator $1/(4\lambda^2) = 0.59$: essa escala de tempo só fixa a ordem de grandeza, e as duas paredes da [soleira](#def-b2-magma-emplacement-bodies) extraem calor para uma encaixante fria ao mesmo tempo, depressa o bastante para remover também o calor latente.