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title: "A fusão do manto"
book: "Ciências da Terra e do espaço universitárias — 2.º ano"
subject: earth
language: pt
chapter: 7
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/7-a-fusao-do-manto
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Capítulo 7 — A fusão do manto

O manto é sólido. As ondas sísmicas de cisalhamento o atravessam de cima a baixo, e o [peridotito](#def-b2-mantle-melting-peridotites) trazido dele é uma rocha cristalina. No entanto, só ao longo das dorsais oceânicas ele fornece uns vinte quilômetros cúbicos de crosta oceânica nova por ano, cada metro cúbico dela feito a partir de um fundido. O paradoxo se desfaz quando se sabe que o manto não funde porque é aquecido: ele funde porque a pressão sobre ele cai, ou porque se lhe acrescenta água. Sob uma dorsal, o manto sobe, sua pressão cai mais depressa que sua temperatura, e ele cruza sua curva de fusão; acima de uma placa que afunda, a água liberada pela placa rebaixa essa curva sob a cunha mantélica. Nos dois casos, só uma pequena fração da rocha funde, e essa fração, separada de seu resíduo, torna-se o basalto do fundo oceânico e dos arcos vulcânicos. Este capítulo descreve primeiro a rocha do manto e os diagramas de fase que dizem como tais rochas fundem, e depois acompanha o manto em sua subida sob uma dorsal até a espessura da crosta que ele produz.

**O que você já sabe.**

**Do volume do segundo ano dos livros de química**: os diagramas de fase binários, o solidus e o liquidus, o ponto eutético, a fusão congruente, as soluções sólidas e a regra da alavanca, pela qual as proporções de duas fases coexistentes são inversamente proporcionais às suas distâncias à composição global. **Dos livros de física**: o calor específico, o calor latente, a entropia e o segundo princípio, pelo qual um processo adiabático reversível conserva a entropia. **Do volume do primeiro ano**: os principais minerais formadores de rochas, olivina, piroxênios, granada e espinélio, suas soluções sólidas e o número de Mg; a adiabática do manto, $\mathrm dT/\mathrm dz = \alpha gT/c_p$; a crosta oceânica, com $(7.1 \pm 0.8)\,\mathrm{km}$ de espessura longe dos pontos quentes e cerca de $20\,\mathrm{km}$ sobre o centro de uma pluma; as placas em subducção e a água que elas carregam. **Do [Capítulo 3](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/3-os-elementos-na-terra#ch-b2-elements-in-the-earth)**: o [basalto de dorsal meso-oceânica](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/3-os-elementos-na-terra#def-b2-elements-in-the-earth-morb-oib) (MORB), os coeficientes de partição e os [elementos incompatíveis](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/3-os-elementos-na-terra#def-b2-elements-in-the-earth-partition).

## 7.1 A rocha do manto

A rocha do manto chega à superfície como fragmentos trazidos por [magmas](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma), os xenólitos, e como a base de lascas de litosfera oceânica empurradas sobre os continentes, os ofiolitos. Quase toda ela é [peridotito](#def-b2-mantle-melting-peridotites).

**Definição 7.1 (O peridotito e seus tipos).**

Um *peridotito* é uma rocha ultramáfica de granulação grossa que contém mais de $40\,\%$ de olivina, sendo o resto piroxênios e um pouco de um mineral aluminoso (espinélio ou granada). Um *dunito* contém mais de $90\,\%$ de olivina. Abaixo disso, um *lherzolito* contém ortopiroxênio e clinopiroxênio; um *harzburgito* contém ortopiroxênio, mas quase nenhum clinopiroxênio; um wehrlito contém clinopiroxênio, mas quase nenhum ortopiroxênio. As rochas com menos de $40\,\%$ de olivina são piroxenitos.

A classificação é lida em um triângulo cujos vértices são a olivina, o ortopiroxênio e o clinopiroxênio (a figura abaixo): cada ponto representa uma rocha, e suas distâncias aos três lados dão as proporções dos três minerais. Uma composição modelo do manto superior empobrecido que funde sob as dorsais tem $57\,\%$ de olivina, $28\,\%$ de ortopiroxênio, $13\,\%$ de clinopiroxênio e $2\,\%$ de espinélio: um [lherzolito](#def-b2-mantle-melting-peridotites).

![Classificação dos peridotitos e dos piroxenitos por suas proporções de olivina, ortopiroxênio e clinopiroxênio (segundo o esquema do British Geological Survey). As faixas estreitas ao longo dos dois lados superiores contêm as rochas quase sem clinopiroxênio (harzburgito) ou sem ortopiroxênio (wehrlito). O ponto vermelho é o manto superior modelo sob as dorsais (57, 28 e 13\,\%, renormalizados sem seus 2\,\% de espinélio).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-mantle-melting/fig-28760251dbf6.svg)

*Classificação dos [peridotitos](#def-b2-mantle-melting-peridotites) e dos piroxenitos por suas proporções de olivina, ortopiroxênio e clinopiroxênio (segundo o esquema do British Geological Survey). As faixas estreitas ao longo dos dois lados superiores contêm as rochas quase sem clinopiroxênio ([harzburgito](#def-b2-mantle-melting-peridotites)) ou sem ortopiroxênio (wehrlito). O ponto vermelho é o manto superior modelo sob as dorsais (57, 28 e $13\,\%$, renormalizados sem seus $2\,\%$ de espinélio).*

Os três [peridotitos](#def-b2-mantle-melting-peridotites) não são três tipos de rocha independentes: são etapas de um mesmo processo. O clinopiroxênio e o mineral aluminoso se esgotam primeiro quando o [peridotito](#def-b2-mantle-melting-peridotites) funde ([Seção 7.4](#sec-7-4)), de modo que um [lherzolito](#def-b2-mantle-melting-peridotites) que perdeu um fundido fica mais pobre neles; após fusão suficiente, ele é um [harzburgito](#def-b2-mantle-melting-peridotites), e uma rocha que perdeu quase todo o seu piroxênio é um [dunito](#def-b2-mantle-melting-peridotites).

**Definição 7.2 (Manto fértil e manto residual).**

Um *manto fértil* é um [peridotito](#def-b2-mantle-melting-peridotites), tipicamente um [lherzolito](#def-b2-mantle-melting-peridotites), que ainda contém o clinopiroxênio e o mineral aluminoso a partir dos quais se faz o basalto. Um *manto residual* é o [peridotito](#def-b2-mantle-melting-peridotites) deixado para trás depois que um fundido foi extraído dele: mais pobre em clinopiroxênio, alumínio, cálcio e [elementos incompatíveis](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/3-os-elementos-na-terra#def-b2-elements-in-the-earth-partition), mais rico em olivina e com um número de Mg mais alto.

O [manto empobrecido](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/4-geoquimica-isotopica#def-b2-isotope-geochemistry-reservoirs) isotópico do [Capítulo 4](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/4-geoquimica-isotopica#ch-b2-isotope-geochemistry) é um reservatório, definido por suas razões; um [manto residual](#def-b2-mantle-melting-fertility) é uma rocha, definida pelo que perdeu. Os dois estão ligados, já que o [manto empobrecido](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/4-geoquimica-isotopica#def-b2-isotope-geochemistry-reservoirs) é empobrecido porque um fundido foi extraído dele há muito tempo, mas um se lê em um espectrômetro de massa e o outro ao microscópio.

## 7.2 Diagramas de fase das rochas

Uma rocha é uma mistura de minerais, e ela funde em um intervalo de temperaturas, não em um ponto. Os diagramas que descrevem isso foram medidos primeiro em misturas de minerais sintéticos puros, mantendo uma pequena carga a uma temperatura conhecida até que ela atingisse o equilíbrio, temperando-a e procurando ao microscópio o vidro, que era líquido, e os cristais.

### Um eutético binário: diopsídio e anortita

Um basalto é formado essencialmente de um plagioclásio cálcico e de um clinopiroxênio, e Bowen escolheu a anortita e o diopsídio puros como seu modelo mais simples. Misturados e aquecidos, eles formam um sistema eutético comum (a figura abaixo): o diopsídio funde a $1391.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e a anortita a $1550\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, mas uma mistura de $58\,\%$ de diopsídio e $42\,\%$ de anortita em massa funde completamente a $1270\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

![O sistema diopsídio–anortita à pressão atmosférica, segundo os experimentos de têmpera de Bowen (1915): temperaturas do liquidus (pontos, médias dos intervalos de têmpera) e o eutético E. Em vermelho, o resfriamento de um líquido com 20\,\% de anortita: o diopsídio cristaliza a partir de 1350\, C, o líquido desce pelo liquidus até E, e o resto cristaliza ali como uma mistura dos dois minerais.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-mantle-melting/fig-54a239c7d9eb.svg)

*O sistema diopsídio–anortita à pressão atmosférica, segundo os experimentos de têmpera de Bowen (1915): temperaturas do liquidus (pontos, médias dos intervalos de têmpera) e o eutético E. Em vermelho, o resfriamento de um líquido com $20\,\%$ de anortita: o diopsídio cristaliza a partir de $1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, o líquido desce pelo liquidus até E, e o resto cristaliza ali como uma mistura dos dois minerais.*

Lido de cima, o diagrama dá a ordem de cristalização. Um líquido com $20\,\%$ de anortita começa a cristalizar diopsídio a $1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; o líquido, perdendo diopsídio, enriquece-se em anortita e desce pelo liquidus até atingir o eutético, onde a anortita se junta ao diopsídio e a temperatura permanece em $1270\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ até que todo o líquido tenha desaparecido. Lido de baixo, ele diz como a rocha funde: quaisquer que sejam as proporções dos dois minerais, o primeiro líquido aparece a $1270\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e tem a composição eutética. Essa é a primeira lição para o manto. O primeiro fundido de uma rocha não tem a composição da rocha: tem a composição fixada pelos minerais a partir dos quais funde, e aparece a uma temperatura bem abaixo dos pontos de fusão de todos eles.

### Fusão incongruente: forsterita e sílica

Certos minerais não fundem em um líquido de sua própria composição.

**Definição 7.3 (Fusão incongruente, ponto peritético).**

Um mineral apresenta *fusão incongruente* quando, ao ser aquecido, se decompõe em outro sólido e em um líquido de composição diferente, em vez de fundir em um líquido de sua própria composição. Em um diagrama de fase binário, o ponto em que esse líquido coexiste com os dois sólidos é um *ponto peritético*: ao contrário de um eutético, ele não fica entre as composições dos dois sólidos.

A enstatita, o ortopiroxênio magnesiano $\ce{MgSiO3}$, funde de modo incongruente. À pressão atmosférica, ela se decompõe a $1557\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ em forsterita, $\ce{Mg2SiO4}$, e em um líquido ligeiramente mais rico em sílica que ela; só a $1577\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ toda a forsterita se dissolveu (a figura abaixo). Bowen e Andersen verificaram em 1914 que a decomposição dá $5.5\,\%$ de forsterita e $94.5\,\%$ de líquido, como a regra da alavanca prevê a partir das três composições ([Exercício 7.6](#exo-b2-mantle-melting-6)). Mais para o lado da sílica, a enstatita e a cristobalita fundem juntas em um eutético, a $1543\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

![Parte do sistema MgO–SiO2 à pressão atmosférica, segundo Bowen e Andersen (1914). A enstatita (MgSiO3) funde de modo incongruente no peritético P, a 1557\, C, em forsterita e em um líquido com 60.9\,\% de SiO2; E é o eutético enstatita–cristobalita, a 1543\, C. O liquidus da forsterita só foi medido perto da enstatita: a parte tracejada é traçada em linha reta até o ponto de fusão da forsterita.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-mantle-melting/fig-00de293165e2.svg)

*Parte do sistema $\ce{MgO}$–$\ce{SiO2}$ à pressão atmosférica, segundo Bowen e Andersen (1914). A enstatita ($\ce{MgSiO3}$) funde de modo incongruente no peritético P, a $1557\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, em forsterita e em um líquido com $60.9\,\%$ de $\ce{SiO2}$; E é o eutético enstatita–cristobalita, a $1543\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. O liquidus da forsterita só foi medido perto da enstatita: a parte tracejada é traçada em linha reta até o ponto de fusão da forsterita.*

O peritético é a segunda lição para o manto. Quando um [peridotito](#def-b2-mantle-melting-peridotites) funde, seu ortopiroxênio não se dissolve simplesmente: ele cede olivina ao resíduo e sílica ao fundido. O fundido é portanto mais rico em sílica que os piroxênios, e o resíduo mais rico em olivina que a rocha: o caminho do [lherzolito](#def-b2-mantle-melting-peridotites) ao [harzburgito](#def-b2-mantle-melting-peridotites) e ao [dunito](#def-b2-mantle-melting-peridotites).

### Três componentes: o diagrama ternário

As rochas reais têm mais de dois minerais. Com três, a composição exige um triângulo, e a temperatura torna-se uma terceira dimensão.

**Definição 7.4 (Diagrama de fase ternário, linha cotética, eutético ternário).**

Um *diagrama de fase ternário* representa os equilíbrios de um sistema de três componentes a uma pressão dada: cada ponto de um triângulo representa uma composição, os vértices os componentes puros, e a superfície do liquidus é traçada como curvas de nível de temperatura ou como os campos dos minerais que cristalizam primeiro. Uma *linha cotética* é a linha ao longo da qual o líquido está saturado em dois minerais ao mesmo tempo e cristaliza ambos ao se resfriar. As linhas cotéticas descem a partir dos eutéticos binários situados nos lados do triângulo e se encontram no *eutético ternário*, a temperatura mais baixa na qual existe líquido, onde os três minerais cristalizam juntos.

**Método 7.5 (Ler um caminho de cristalização em um diagrama ternário).**

Localize-se a composição global $X$ no triângulo e o campo em que ela se encontra: o mineral desse campo cristaliza primeiro. Enquanto esse mineral cristaliza sozinho, o líquido se desloca em linha reta afastando-se diretamente do vértice do mineral, passando por $X$, porque retirar um componente puro só altera sua proporção; pela regra da alavanca, a fração em massa de cristais é a distância de $X$ ao líquido dividida pela distância do vértice ao líquido. Quando o líquido atinge uma [linha cotética](#def-b2-mantle-melting-ternary), o segundo mineral se junta a ele e o líquido segue a cotética descendo até o [eutético ternário](#def-b2-mantle-melting-ternary), onde o último líquido cristaliza. Um componente que não entra em nenhum dos cristais permanece no líquido, de modo que sua concentração dá a fração de líquido restante: $f_{\text{líquido}} = c_X/c_{\text{líquido}}$.

![Um sistema eutético ternário (esquemático). Cada campo contém os líquidos a partir dos quais seu mineral cristaliza primeiro; as linhas cotéticas (setas no sentido da temperatura decrescente) vão dos eutéticos binários e ao eutético ternário E. Um líquido X no campo A cristaliza A e se afasta do vértice A até encontrar a cotética A–B em L_1; A e B cristalizam então juntos até E, onde C se junta a eles ().](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-mantle-melting/fig-a0a63d66a868.svg)

*Um sistema [eutético ternário](#def-b2-mantle-melting-ternary) (esquemático). Cada campo contém os líquidos a partir dos quais seu mineral cristaliza primeiro; as [linhas cotéticas](#def-b2-mantle-melting-ternary) (setas no sentido da temperatura decrescente) vão dos eutéticos binários $e$ ao [eutético ternário](#def-b2-mantle-melting-ternary) E. Um líquido $X$ no campo A cristaliza A e se afasta do vértice A até encontrar a cotética A–B em $L_1$; A e B cristalizam então juntos até E, onde C se junta a eles ([Exercício 7.11](#exo-b2-mantle-melting-11)).*

Os sistemas de três minerais formadores de rochas são lidos da mesma maneira. As regras que fixam quantas fases podem coexistir, e as superfícies de energia livre a partir das quais tais diagramas são calculados, pertencem ao volume do terceiro ano desta série.

## 7.3 Solidus, adiabática e três maneiras de fundir

O [peridotito](#def-b2-mantle-melting-peridotites) do manto tem um solidus, a temperatura na qual aparece seu primeiro fundido, e um liquidus muito acima dele. Ambos sobem com a pressão. Experimentos com [peridotitos](#def-b2-mantle-melting-peridotites) naturais, compilados e ajustados por Katz, Spiegelman e Langmuir em 2003, dão para o solidus seco

$$
T_{\mathrm{s}}(P) = 1085.7 + 132.9\,P - 5.1\,P^2
$$

(em graus Celsius, $P$ em gigapascals): $1086\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ na superfície, $1331\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a $2\,\mathrm{GPa}$. Às mesmas profundidades, o manto é mais quente ou mais frio do que isso conforme o lugar, e para comparar mantos remove-se o efeito da profundidade.

**Definição 7.6 (Temperatura potencial do manto).**

A *temperatura potencial do manto* $T_p$ é a temperatura que uma parcela de manto em convecção teria se fosse trazida até a superfície ao longo da adiabática do manto, sem trocar calor e sem fundir.

Ao longo da adiabática, $\mathrm dT/\mathrm dP = \alpha T/(\rho c_p)$, a forma em pressão do gradiente $\alpha gT/c_p$ lembrado acima, já que $\mathrm dP = \rho
g\,\mathrm dz$. Com $\alpha = 4 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, $\rho = 3300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ e $c_p = 1000\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$, ela vale cerca de $20\,\mathrm{K}$ por gigapascal, um gigapascal correspondendo a $30.9\,\mathrm{km}$ de manto ([Exercício 7.3](#exo-b2-mantle-melting-3)). O volume do primeiro ano deu ao manto uma temperatura potencial de cerca de $1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a partir da física mineral; as estimativas petrológicas para o manto sob as dorsais vão de 1280 a $1400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**Proposição 7.7 (Início da fusão por descompressão).**

Um manto de temperatura potencial $T_p$ que sobe ao longo da adiabática $T = T_p + GP$ ($G$ constante) começa a fundir à pressão $P_0$ em que a adiabática encontra o solidus $T_{\mathrm s}(P) = a_1 + a_2P + a_3P^2$, a menor raiz de

$$
-a_3P^2 + (G - a_2)P + (T_p - a_1) = 0 .
$$

Um manto mais quente de $\Delta T_p$ começa a fundir mais fundo, de $\Delta P_0 \approx
\Delta T_p/(T_{\mathrm s}'(P_0) - G)$.

**Demonstração.** Em profundidade, a adiabática é mais fria que o solidus, porque o solidus sobe mais abruptamente ($T_{\mathrm
s}' \approx 110\,\mathrm{K}/\mathrm{GPa}$ contra $G \approx 20$). As duas curvas se cruzam onde $T_p + GP = a_1 + a_2P + a_3P^2$, que se reescreve como a equação do segundo grau. Diferenciar $T_p + GP_0 = T_{\mathrm s}(P_0)$ dá $\mathrm dT_p = (T_{\mathrm s}'(P_0) -
G)\,\mathrm dP_0$. ∎

Para $T_p = 1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, o início fica a $2.66\,\mathrm{GPa}$, cerca de $82\,\mathrm{km}$ de profundidade, a $1403\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; cada $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ de temperatura potencial o desloca em cerca de $0.12\,\mathrm{GPa}$, ou $3.6\,\mathrm{km}$. A figura abaixo mostra o solidus e as adiabáticas.

![Curvas de fusão do peridotito seco e solidus saturado em água segundo a parametrização de Katz e colaboradores (2003), com adiabáticas sólidas para três temperaturas potenciais; os pontos marcam o início da fusão, 2.08\, GPa para 1300\, C, 2.66\, GPa para 1350\, C e 4.00\, GPa para 1450\, C. Entre o solidus e o liquidus do lherzolito, a rocha funde conservando seu clinopiroxênio. Escala de profundidade para um manto de 3300\, kg/ m3.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-mantle-melting/fig-f81cf7487811.svg)

*Curvas de fusão do [peridotito](#def-b2-mantle-melting-peridotites) seco e solidus saturado em água segundo a parametrização de Katz e colaboradores (2003), com adiabáticas sólidas para três temperaturas potenciais; os pontos marcam o início da fusão, $2.08\,\mathrm{GPa}$ para $1300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $2.66\,\mathrm{GPa}$ para $1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $4.00\,\mathrm{GPa}$ para $1450\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Entre o solidus e o liquidus do [lherzolito](#def-b2-mantle-melting-peridotites), a rocha funde conservando seu clinopiroxênio. Escala de profundidade para um manto de $3300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$.*

O diagrama mostra as três maneiras de levar uma rocha acima de seu solidus.

**Definição 7.8 (Fusão parcial, por descompressão e por fluxo).**

A *fusão parcial* é a fusão de uma fração de uma rocha, entre seu solidus e seu liquidus. A *fusão por descompressão* é a fusão parcial de uma rocha que sobe, e assim perde pressão, mais depressa do que se resfria, até cruzar seu solidus. A *fusão por fluxo*, ou fusão hidratada, é a fusão parcial causada pela adição de um volátil, principalmente a água, que rebaixa o solidus abaixo da temperatura da rocha. A terceira maneira, aquecer uma rocha acima de seu solidus a pressão constante, exige uma fonte externa de calor, como um [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) quente.

O aquecimento é a menos eficiente no manto, que conduz mal o calor; na crosta, o calor do [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) basáltico pode fundir as rochas ao seu redor ([Capítulo 12](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/12-a-fusao-da-crosta-migmatitos-e-granitos#ch-b2-crustal-melting)). A descompressão alimenta as dorsais e os pontos quentes; a [fusão por fluxo](#def-b2-mantle-melting-melting) alimenta os arcos vulcânicos.

## 7.4 Fusão por descompressão sob uma dorsal

Uma vez que o manto em ascensão cruza seu solidus, ele continua subindo, e a questão passa a ser quanto fundido ele produz.

**Definição 7.9 (Fração de fundido).**

A *fração de fundido* $F$ de uma rocha parcialmente fundida é a massa de fundido que ela produziu dividida por sua massa inicial. Entre o solidus ($F = 0$) e o liquidus ($F = 1$), a temperatura na superfície de fusão é uma função $T(P, F)$.

A fusão consome calor: o calor latente, $T\Delta S$ por quilograma de fundido, onde $\Delta S$ é a entropia de fusão. Uma parcela em ascensão não troca calor com o ambiente, de modo que o calor latente vem de sua própria temperatura, e ela sobe ao longo de um caminho de entropia constante situado entre o solidus e o liquidus.

**Proposição 7.10 (Produtividade isentrópica de fundido).**

Para um manto que sobe sem trocar calor, com calor específico $c_p$, coeficiente de dilatação térmica $\alpha$, densidade $\rho$ e entropia de fusão $\Delta S$, a *produtividade de fundido*, o fundido produzido por unidade de queda de pressão, é

$$
-\frac{\mathrm dF}{\mathrm dP} =
  \frac{\dfrac{c_p}{T}\Big(\dfrac{\partial T}{\partial P}\Big)_F - \dfrac{\alpha}{\rho}}
       {\Delta S + \dfrac{c_p}{T}\Big(\dfrac{\partial T}{\partial F}\Big)_P}\,,
$$

com $T$ em kelvins.

**Demonstração.** A entropia específica da rocha parcialmente fundida varia de $\mathrm ds = c_p\,
\mathrm dT/T - (\alpha/\rho)\,\mathrm dP + \Delta S\,\mathrm dF$: os dois primeiros termos são os de um sólido (o segundo é uma relação de Maxwell, lembrada dos livros de física), o terceiro é a entropia ganha pela massa $\mathrm dF$ que funde. Uma ascensão adiabática reversível mantém $\mathrm ds = 0$. Sobre a superfície de fusão, $\mathrm dT = (\partial T/\partial P)_F\,\mathrm dP + (\partial
T/\partial F)_P\,\mathrm dF$. Substituindo,

$$
\Big[\frac{c_p}{T}\Big(\frac{\partial T}{\partial P}\Big)_F - \frac{\alpha}{\rho}\Big]\mathrm dP
  + \Big[\Delta S + \frac{c_p}{T}\Big(\frac{\partial T}{\partial F}\Big)_P\Big]\mathrm dF = 0,
$$

que é o resultado. ∎

O numerador é o excesso da inclinação das curvas de fusão sobre a da adiabática, o motor; o denominador contém o calor latente e o calor necessário para elevar a temperatura da rocha que funde ao longo do intervalo de fusão, os freios. Com os parâmetros de Katz e colaboradores, $\Delta S = 300\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$, e uma [fração de fundido](#def-b2-mantle-melting-fraction) que cresce linearmente entre o solidus e o liquidus do [lherzolito](#def-b2-mantle-melting-peridotites), a produtividade a $2\,\mathrm{GPa}$ é de cerca de $11\,\%$ por gigapascal ([Exercício 7.8](#exo-b2-mantle-melting-8)): cada quilômetro de ascensão funde cerca de um terço de por cento da rocha. Sua função de fusão ajustada, que faz o primeiro por cento de fundido vir devagar, dá um pouco menos em média, cerca de $9\,\%$ por gigapascal do início até a superfície para $T_p = 1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. A produtividade cai quando o clinopiroxênio se esgota, após [frações de fundido](#def-b2-mantle-melting-fraction) de $M_{\mathrm{cpx}}/(0.50 + 0.08P)$ em seu modelo, uns 25 a $30\,\%$ para um manto com 13 a $15\,\%$ de clinopiroxênio: um resíduo harzburgítico funde com relutância.

![Fração de fundido de uma coluna de peridotito seco que sobe sem trocar calor, do início da fusão até a superfície, calculada conservando a entropia com a função de fusão de Katz e colaboradores (2003), para uma rocha com 15\,\% de clinopiroxênio. A 1450\, C o clinopiroxênio se esgota perto de 25\, km e a curva se torna mais inclinada.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-mantle-melting/fig-df12352cf226.svg)

*[Fração de fundido](#def-b2-mantle-melting-fraction) de uma coluna de [peridotito](#def-b2-mantle-melting-peridotites) seco que sobe sem trocar calor, do início da fusão até a superfície, calculada conservando a entropia com a função de fusão de Katz e colaboradores (2003), para uma rocha com $15\,\%$ de clinopiroxênio. A $1450\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ o clinopiroxênio se esgota perto de $25\,\mathrm{km}$ e a curva se torna mais inclinada.*

O fundido não permanece onde se forma. Com cerca de $2900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, ele é mais leve que o [peridotito](#def-b2-mantle-melting-peridotites) sólido, $3300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, de modo que se separa de seu resíduo e sobe através dele; sob uma dorsal, ele é reunido em direção ao eixo. A crosta é construída a partir dos fundidos de toda uma região do manto.

**Proposição 7.11 (Crosta de uma região de fusão triangular).**

Sob uma dorsal que se abre à semivelocidade $U$, suponha-se que o manto suba verticalmente à velocidade $U$ através de uma região de fusão triangular de altura $H$, com o vértice no topo, sob o eixo, e lados a $45{}^{\circ}$, e saia dela horizontalmente à velocidade $U$ através de seus lados; e que a [fração de fundido](#def-b2-mantle-melting-fraction) cresça linearmente de $0$ na base até $F_{\max}$ no vértice, seja todo o fundido extraído para a crosta, e tenham o manto e a crosta a mesma densidade. Então a crosta tem

$$
h_c = \int_0^H F(z)\,\mathrm dz = \tfrac12 F_{\max}H
$$

de espessura, e o fundido agregado tem a [fração de fundido](#def-b2-mantle-melting-fraction) média $F_{\max}/2$.

**Demonstração.** Meça-se $x$ a partir do eixo e a altura $y$ acima da base. O manto entra pela base em $|x| \le H$ e sobe até encontrar um lado, em $y = H - |x|$, tendo fundido até $F = F_{\max}(H - |x|)/H$. Por unidade de comprimento de dorsal e por unidade de tempo, o fundido produzido é $\int_{-H}^{H} U F\,\mathrm dx = 2UF_{\max}\int_0^H (1 - x/H)\,\mathrm dx =
UF_{\max}H$. A crosta sai pelos dois lados à velocidade $U$: $2Uh_c = UF_{\max}H$. O manto processado é $2UH$, de modo que a [fração de fundido](#def-b2-mantle-melting-fraction) média é $UF_{\max}H/(2UH) =
F_{\max}/2$. Por fim, $\int_0^H F_{\max}\,y/H\,\mathrm dy = F_{\max}H/2$. ∎

O resultado não depende da velocidade de expansão, como se observa (volume do primeiro ano). Para $T_p = 1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, a coluna da figura acima, com seu início lento, dá $\int F\,\mathrm dz = 9.0\,\mathrm{km}$ de crosta, um pouco mais que os $7.1\,\mathrm{km}$ medidos; um manto $50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ mais frio dá $5.5\,\mathrm{km}$, e um $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ mais quente $19\,\mathrm{km}$, perto dos $20\,\mathrm{km}$ sobre o centro de uma pluma (a figura abaixo). A espessura da crosta é um termômetro, e sensível: como $h_c \propto P_0^2$ quando a produtividade é constante, dez graus a alteram em cerca de um décimo (problema de fim de semana).

![Uma região de fusão triangular sob uma dorsal (esquemático, fora de escala; na realidade, z_0 é dez vezes a espessura da crosta). O manto que sobe sob o eixo cruza seu solidus em z_0, funde enquanto sobe e para de fundir quando seu fluxo se torna horizontal sob as placas em movimento; o fundido percola para cima e em direção ao eixo e constrói a crosta.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-mantle-melting/fig-ca1d3d293475.svg)

*Uma região de fusão triangular sob uma dorsal (esquemático, fora de escala; na realidade, $z_0$ é dez vezes a espessura da crosta). O manto que sobe sob o eixo cruza seu solidus em $z_0$, funde enquanto sobe e para de fundir quando seu fluxo se torna horizontal sob as placas em movimento; o fundido percola para cima e em direção ao eixo e constrói a crosta.*

![Espessura da crosta produzida por uma região de fusão triangular, ∈t F\, dz ao longo do eixo, em função da temperatura potencial do manto (colunas como na figura acima), comparada com a espessura sísmica da crosta oceânica normal e da crosta sobre o centro de uma pluma (faixas).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-mantle-melting/fig-70fed01c1b79.svg)

*Espessura da crosta produzida por uma região de fusão triangular, $\int F\,\mathrm dz$ ao longo do eixo, em função da [temperatura potencial do manto](#def-b2-mantle-melting-tp) (colunas como na figura acima), comparada com a espessura sísmica da crosta oceânica normal e da crosta sobre o centro de uma pluma (faixas).*

## 7.5 Fusão por fluxo acima de uma placa

Em uma zona de subducção, a cunha mantélica não sobe; ela é arrastada para baixo ao longo da placa. O que a funde é a água. A placa leva água para baixo em seus minerais e a libera à medida que eles se decompõem com a pressão e a temperatura (volume do primeiro ano); a água sobe para a cunha quente acima. A água se dissolve no [fundido silicático](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma), e um fundido que contém água é estável a uma temperatura mais baixa. Na parametrização de Katz e colaboradores, $X$ por cento de água dissolvida no fundido rebaixam o solidus de

$$
\Delta T = 43\,X^{0.75} \quad ({}^{\circ}\mathrm{C}),
$$

$43\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ para $1\,\%$, $144\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ para $5\,\%$, até a quantidade que satura o fundido, que é nula à pressão atmosférica, cerca de $13\,\%$ a $1\,\mathrm{GPa}$, e cresce com a pressão. O solidus saturado em água é a curva azul da figura do solidus: perto de $920\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ entre 1 e $2\,\mathrm{GPa}$, uns $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a $400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ abaixo do solidus seco ([Exercício 7.12](#exo-b2-mantle-melting-12)).

A água é incompatível: ela entra no fundido muito mais facilmente que nos minerais, com um coeficiente de partição de cerca de 0.01. Mesmo um manto com uma centena de partes por milhão de água produz portanto um primeiro fundido com cerca de um por cento de água, o que rebaixa seu solidus em uns $50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, de modo que a fusão começa mais fundo que no manto seco e se forma uma longa cauda de pequenas [frações de fundido](#def-b2-mantle-melting-fraction) ([Exercício 7.9](#exo-b2-mantle-melting-9)). Acima de uma placa, o suprimento de água é muito maior, e a cunha funde onde sua temperatura excede o solidus úmido: os fundidos dos arcos nascem úmidos.

## 7.6 Grau de fusão e magmas primários

**Definição 7.12 (Magma primário).**

Um *magma primário* é um fundido cuja composição não mudou desde que deixou sua fonte: ele está em equilíbrio com o [manto residual](#def-b2-mantle-melting-fertility), e não cristalizou minerais nem reagiu com as rochas em seu caminho de subida.

Um [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) que cristaliza minerais em sua subida, ou se mistura com outros, deixa de ser primário; como ele muda então é o assunto do [Capítulo 8](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/8-a-diferenciacao-magmatica#ch-b2-magmatic-differentiation). Um [magma primário](#def-b2-mantle-melting-primary) registra sua fonte: sua [fração de fundido](#def-b2-mantle-melting-fraction), já que um baixo grau de fusão concentra os [elementos incompatíveis](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/3-os-elementos-na-terra#def-b2-elements-in-the-earth-partition) no fundido ([Capítulo 3](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/3-os-elementos-na-terra#ch-b2-elements-in-the-earth)), e a pressão na qual ele se equilibrou pela última vez com o resíduo. Como os [elementos-traço](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/3-os-elementos-na-terra#def-b2-elements-in-the-earth-trace) se repartem entre fundido e resíduo durante a fusão em lote e a fusão fracionada é modelado no volume do terceiro ano. O resíduo, por sua vez, é o [harzburgito](#def-b2-mantle-melting-peridotites) e o [peridotito](#def-b2-mantle-melting-peridotites) encontrados na base dos ofiolitos.

**No campo — Ler o manto na superfície.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-mantle-melting/img-5ab88fd44d8f.jpg)

*Um [dunito](#def-b2-mantle-melting-peridotites), quase inteiramente de olivina, com pequenos grãos negros de cromita; a amostra tem $8.5\,\mathrm{cm}$ de largura (Mike Davis, CC0).*

Os geólogos encontram o manto sob duas formas. Os xenólitos mantélicos, nódulos de [peridotito](#def-b2-mantle-melting-peridotites) verde em basaltos e kimberlitos, foram arrancados das paredes do conduto e trazidos para cima em dias ou semanas, depressa demais para perderem os minerais que tinham em profundidade. Os ofiolitos expõem o manto sob uma seção de crosta oceânica, seu [harzburgito](#def-b2-mantle-melting-peridotites) e outros [peridotitos](#def-b2-mantle-melting-peridotites) na base da sequência. Ali, os geólogos cartografam os [peridotitos](#def-b2-mantle-melting-peridotites) e o [dunito](#def-b2-mantle-melting-peridotites) entre eles, amostram-nos ao longo de perfis e medem em laboratório as proporções dos minerais, suas composições e os [elementos-traço](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/3-os-elementos-na-terra#def-b2-elements-in-the-earth-trace) dos resíduos; cada amostra é situada no triângulo de classificação e nos caminhos de fusão deste capítulo.

## 7.7 Exercícios

**Exercício 7.1 ★.**

Dê o nome de cada rocha a partir de suas proporções de olivina, ortopiroxênio e clinopiroxênio (por cento): (a) 93, 5, 2; (b) 75, 25, 0; (c) 60, 27, 13; (d) 30, 45, 25. (e) Dê o nome do manto superior modelo (57, 28, 13 e $2\,\%$ de espinélio) depois de renormalizar seus três silicatos a $100\,\%$.

**Solução de Exercício 7.1.**

(a) Mais de $90\,\%$ de olivina: [dunito](#def-b2-mantle-melting-peridotites). (b) Olivina e ortopiroxênio sem clinopiroxênio: [harzburgito](#def-b2-mantle-melting-peridotites). (c) Mais de $40\,\%$ de olivina com os dois piroxênios: [lherzolito](#def-b2-mantle-melting-peridotites). (d) Menos de $40\,\%$ de olivina: um piroxenito (um olivina-websterito, com os dois piroxênios). (e) $57/98 = 58.2\,\%$, $28/98 = 28.6\,\%$, $13/98 = 13.3\,\%$: um [lherzolito](#def-b2-mantle-melting-peridotites).

**Exercício 7.2 ★.**

No diagrama diopsídio–anortita, um líquido com $60\,\%$ de anortita se resfria. (a) A que temperatura ele começa a cristalizar, e que mineral se forma? (b) A que temperatura aparece o segundo mineral, e qual é então a composição do líquido? (c) Qual é a composição do primeiro líquido quando uma rocha com $80\,\%$ de diopsídio e $20\,\%$ de anortita é aquecida, e a que temperatura ele aparece?

**Solução de Exercício 7.2.**

(a) O liquidus a $60\,\%$ de anortita é de $1390\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, no campo da anortita: a anortita cristaliza primeiro. (b) O diopsídio aparece no eutético, a $1270\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, quando o líquido tem $42\,\%$ de anortita. (c) O primeiro líquido de qualquer mistura dos dois minerais é o líquido eutético, com $42\,\%$ de anortita, a $1270\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**Exercício 7.3 ★.**

(a) Calcule o gradiente adiabático $\alpha T/(\rho c_p)$ em kelvins por gigapascal para $T_p = 1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $\alpha = 4.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, $\rho =
3300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $c_p = 1000\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$. (b) Quantos quilômetros de manto correspondem a um gigapascal ($g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$)? Converta o gradiente em kelvins por quilômetro e compare com um gradiente geotérmico típico perto da superfície, cerca de $30\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$.

**Solução de Exercício 7.3.**

(a) $4.0 \times 10^{-5}\times1623/(3300\times1000) = 1.97 \times 10^{-8}\,\mathrm{K}/\mathrm{Pa} =
19.7\,\mathrm{K}/\mathrm{GPa}$. (b) $10^{9}/(3300\times9.81) = 3.09 \times 10^{4}\,\mathrm{m}$, ou $30.9\,\mathrm{km}$ por gigapascal; $19.7/30.9 = 0.64\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$, cerca de cinquenta vezes menos que os $30\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ perto da superfície, onde o calor é conduzido, e não transportado.

**Exercício 7.4 ★.**

(a) Calcule o solidus seco do [peridotito](#def-b2-mantle-melting-peridotites) a 0, 1, 2 e $3\,\mathrm{GPa}$. (b) De quantos graus ele sobe por gigapascal perto de $2\,\mathrm{GPa}$? (c) Explique em uma frase por que um manto a $1400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a $3\,\mathrm{GPa}$ é sólido, e o mesmo manto levado a $2\,\mathrm{GPa}$ sem trocar calor está parcialmente fundido.

**Solução de Exercício 7.4.**

(a) $T_{\mathrm s}(0) = 1085.7\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; $T_{\mathrm s}(1) = 1085.7 +
132.9 - 5.1 = 1213.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; $T_{\mathrm s}(2) = 1085.7 + 265.8 - 20.4 =
1331.1\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; $T_{\mathrm s}(3) = 1085.7 + 398.7 - 45.9 =
1438.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (b) $132.9 - 2\times5.1\times2 = 112.5\,\mathrm{K}/\mathrm{GPa}$. (c) A $3\,\mathrm{GPa}$, $1400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ está abaixo do solidus, $1438.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; subindo até $2\,\mathrm{GPa}$ ao longo da adiabática, o manto esfria apenas cerca de $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, até uns $1380\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, enquanto o solidus cai para $1331.1\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: a rocha está agora acima de seu solidus e parte dela funde.

**Exercício 7.5 ★★.**

Um líquido com $70\,\%$ de diopsídio e $30\,\%$ de anortita se resfria. (a) Estime sua temperatura do liquidus interpolando entre o liquidus a $20\,\%$ de anortita ($1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$) e a $40\,\%$ ($1277.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$). (b) Que mineral cristaliza primeiro? (c) Que fração em massa do sistema cristalizou quando o líquido atinge o eutético? (d) Quais são as proporções de diopsídio e de anortita na rocha final?

**Solução de Exercício 7.5.**

(a) $1350 + (1277.5 - 1350)\times(30 - 20)/(40 - 20) = 1314\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (b) A composição fica do lado do diopsídio em relação ao eutético: diopsídio. (c) O líquido atinge o eutético com $42\,\%$ de anortita; a anortita permanece no líquido, de modo que a fração de líquido é $30/42 = 0.714$ e $1 - 0.714 =
29\,\%$ do sistema cristalizou como diopsídio. (d) Tudo cristaliza: $70\,\%$ de diopsídio e $30\,\%$ de anortita, a composição global.

**Exercício 7.6 ★★.**

(a) Calcule a porcentagem em massa de $\ce{SiO2}$ na forsterita $\ce{Mg2SiO4}$ e na enstatita $\ce{MgSiO3}$ ($M_{\ce{MgO}} = 40.30\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$, $M_{\ce{SiO2}} =
60.08\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$). (b) Bowen e Andersen encontraram para o líquido peritético $97.5\,\%$ de $\ce{MgSiO3}$ e $2.5\,\%$ de $\ce{SiO2}$: qual é seu teor de sílica? (c) Use a regra da alavanca para calcular a fração em massa de forsterita formada quando a enstatita funde no peritético, e compare com seus $5.5\,\%$. (d) O que isso implica para o teor de sílica de um fundido de [peridotito](#def-b2-mantle-melting-peridotites) comparado com o de seu ortopiroxênio?

**Solução de Exercício 7.6.**

(a) Forsterita: $60.08/(2\times40.30 + 60.08) = 60.08/140.68 =
42.71\,\%$ de $\ce{SiO2}$; enstatita: $60.08/100.38 = 59.85\,\%$. (b) $0.975\times59.85 + 2.5 = 60.85\,\%$. (c) A enstatita fica entre a forsterita e o líquido: a fração de forsterita é $(60.85 - 59.85)/(60.85 -
42.71) = 1.00/18.14 = 5.5\,\%$, o valor de Bowen e Andersen. (d) O fundido é mais rico em sílica que o ortopiroxênio de onde vem, e o resíduo ganha olivina.

**Exercício 7.7 ★★.**

Com a adiabática $T = T_p + 20P$ e o solidus seco do texto, calcule a pressão e a profundidade ($30.9\,\mathrm{km}$ por gigapascal) em que a fusão começa para (a) $T_p = 1300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e (b) $T_p = 1450\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (c) De quantos quilômetros por $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ o início se aprofunda perto de $T_p = 1300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$? Use a [Proposição 7.7](#prop-b2-mantle-melting-onset).

**Solução de Exercício 7.7.**

(a) $5.1P^2 - 112.9P + 214.3 = 0$: $P_0 = (112.9 - \sqrt{12746.4 -
4371.7})/10.2 = (112.9 - 91.51)/10.2 = 2.10\,\mathrm{GPa}$, a $2.097\times30.9 =
64.8\,\mathrm{km}$. (b) $5.1P^2 - 112.9P + 364.3 = 0$: $P_0 = (112.9 -
72.90)/10.2 = 3.92\,\mathrm{GPa}$, a $121\,\mathrm{km}$. (c) $T_{\mathrm s}'(2.10) = 132.9
- 21.4 = 111.5\,\mathrm{K}/\mathrm{GPa}$, logo $\Delta P_0 = 10/(111.5 - 20) = 0.109\,\mathrm{GPa}$ por $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, ou $3.4\,\mathrm{km}$.

**Exercício 7.8 ★★.**

A $2.0\,\mathrm{GPa}$, suponha que a [fração de fundido](#def-b2-mantle-melting-fraction) cresce linearmente do solidus seco até o liquidus do [lherzolito](#def-b2-mantle-melting-peridotites) $T_{\mathrm l} = 1475.0 + 80.0P - 3.2P^2$. Para $F = 0.10$: (a) calcule a temperatura da rocha que funde; (b) calcule $(\partial
T/\partial P)_F$ e $(\partial T/\partial F)_P$; (c) calcule a produtividade com $c_p = 1000\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$, $\alpha/\rho = 1.21 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{3}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ e $\Delta S = 300\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$. (d) Qual seria ela sem calor latente?

**Solução de Exercício 7.8.**

(a) $T_{\mathrm s} = 1331.1\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $T_{\mathrm l} = 1475.0 + 160.0 -
12.8 = 1622.2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; $T = 1331.1 + 0.10\times291.1 =
1360.2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, ou $1633\,\mathrm{K}$. (b) $(\partial T/\partial P)_F = 112.5
+ 0.10\times(67.2 - 112.5) = 108.0\,\mathrm{K}/\mathrm{GPa}$; $(\partial T/\partial F)_P =
T_{\mathrm l} - T_{\mathrm s} = 291.1\,\mathrm{K}$. (c) $c_p/T = 0.612$; com $\alpha/\rho
= 12.1\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ por gigapascal, o numerador é $0.612\times108.0 - 12.1
= 54.0$ e o denominador $300 + 0.612\times291.1 = 478.2$: $-\mathrm dF/\mathrm
dP = 0.113$, $11.3\,\%$ por gigapascal. (d) $54.0/178.2 = 0.303$, $30\,\%$ por gigapascal: o calor latente reduz a produtividade por um fator 2.7.

**Exercício 7.9 ★★.**

(a) De quanto 1, 5 e $13\,\%$ de água dissolvida no fundido rebaixam o solidus? (b) Qual é o solidus saturado em água a $1\,\mathrm{GPa}$? (c) Um manto contém $125\,\mathrm{ppm}$ de água em massa, e o coeficiente de partição da água entre minerais e fundido é 0.01. No início da fusão, o fundido contém $X =
X_{\text{total}}/D$: calcule-o e o rebaixamento do solidus que ele causa.

**Solução de Exercício 7.9.**

(a) $43\times1 = 43\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; $43\times5^{0.75} = 43\times3.34 =
144\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; $43\times13^{0.75} = 43\times6.85 = 294\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (b) $1213.5 - 294 = 919\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (c) $125\,\mathrm{ppm}$ são $0.0125\,\%$, logo $X = 0.0125/0.01 = 1.25\,\%$ e $\Delta T =
43\times1.25^{0.75} = 43\times1.18 = 51\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**Exercício 7.10 ★★★.**

(a) Na [Proposição 7.11](#prop-b2-mantle-melting-triangle), verifique que o manto que entra pela base do triângulo a cada ano é igual ao manto que sai por seus lados. Por que os lados devem estar a $45{}^{\circ}$ para um manto que sobe a $U$ e sai a $U$? (b) Mostre que, com produtividade constante $\Pi$ por gigapascal, $h_c = \Pi\,\rho
g\,z_0^2/2$ (com $P_0 = \rho g z_0$), de modo que a crosta cresce com o quadrado da profundidade do início. (c) Uma dorsal se abre a uma velocidade total de $50\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ e produz $7.1\,\mathrm{km}$ de crosta: que volume de crosta cada quilômetro de dorsal produz por ano, e que volume de manto ele funde se a [fração de fundido](#def-b2-mantle-melting-fraction) média for de $12\,\%$?

**Solução de Exercício 7.10.**

(a) A base tem largura $2H$ e o manto a atravessa a $U$: $2UH$ por unidade de comprimento de dorsal e de tempo. Cada lado abrange a altura $H$ e é atravessado horizontalmente a $U$: $UH$ cada um, $2UH$ no total. Com lados a $\theta$, a base teria largura $2H/\tan\theta$ e o fluxo de entrada seria $2UH/\tan\theta$, igual ao de saída somente se $\tan\theta = 1$: nesse modelo, o ângulo é fixado pela conservação da massa. (b) Com produtividade constante, a [fração de fundido](#def-b2-mantle-melting-fraction) no vértice é $F_{\max} = \Pi P_0 = \Pi\rho
g z_0$, e $H = z_0$: $h_c = F_{\max}z_0/2 = \Pi\rho g z_0^2/2$. (c) A cada ano, $50\,\mathrm{mm}$ de placa nova, $0.05\,\mathrm{m}\times1000\,\mathrm{m}\times7100\,\mathrm{m} =
3.6 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{3}$ de crosta por quilômetro de dorsal; com $12\,\%$ de [fração de fundido](#def-b2-mantle-melting-fraction) média, ela vem de $3.6 \times 10^{5}/0.12 = 3.0 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$ de manto.

**Exercício 7.11 ★★★.**

No sistema ternário da figura esquemática, o líquido $X$ tem $60\,\%$ de A, $20\,\%$ de B e $20\,\%$ de C; o eutético binário $e_{AB}$ está em A 40, B 60 (por cento), e o [eutético ternário](#def-b2-mantle-melting-ternary) E em A 25, B 30, C 45. (a) Escreva a composição do líquido quando uma fração em massa $t$ de A puro cristalizou, e mostre que a razão entre B e C permanece igual a 1. (b) A cotética de $e_{AB}$ a E é a linha dos pontos $e_{AB} + s(E - e_{AB})$: encontre onde o líquido a encontra, e a fração de A cristalizada até então. (c) Quando o líquido atinge E, que fração do sistema ainda está líquida? (C não entra em nenhum cristal antes de E.) (d) Quanto de A e quanto de B cristalizaram até então?

**Solução de Exercício 7.11.**

(a) Depois que uma massa $t$ de A deixou uma unidade de massa de líquido, o líquido contém $0.6 -
t$ de A, 0.2 de B e 0.2 de C em uma massa $1 - t$: $\big((0.6 - t), 0.2,
0.2\big)/(1 - t)$, e B/C permanece 1. (b) Sobre a cotética, $(0.40 - 0.15s, 0.60 -
0.30s, 0.45s)$; B = C dá $0.60 - 0.30s = 0.45s$, $s = 0.8$: $L_1$ tem A 28, B 36, C 36. Então $0.2/(1 - t) = 0.36$, $t = 0.44$: $44\,\%$ do sistema cristalizou como A. (c) Todo o C está no líquido: $f = 20/45 = 0.44$, $44\,\%$ ainda líquidos. (d) A: $0.60 - 0.444\times0.25 = 0.49$; B: $0.20 -
0.444\times0.30 = 0.07$; com o líquido, $49 + 7 + 44 = 100\,\%$.

**Exercício 7.12 ★★★.**

O teor de água de um fundido saturado é $X_{\mathrm{sat}} = 12P^{0.6} + P$ (por cento, $P$ em gigapascals). (a) Calcule-o a 1 e a $2\,\mathrm{GPa}$, o rebaixamento do solidus que ele produz, e o solidus saturado em água nas duas pressões. (b) Por que o solidus saturado quase não muda entre 1 e $2\,\mathrm{GPa}$, enquanto o seco sobe mais de $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$? (c) Em uma cunha mantélica a $2\,\mathrm{GPa}$ e $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, quanta água o fundido deve conter para que a rocha funda?

**Solução de Exercício 7.12.**

(a) $X_{\mathrm{sat}}(1) = 12 + 1 = 13\,\%$, $\Delta T =
294\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, solidus saturado $1213.5 - 294 = 919\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; $X_{\mathrm{sat}}(2) = 12\times1.516 + 2 = 20.2\,\%$, $\Delta T =
43\times20.2^{0.75} = 43\times9.53 = 410\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, solidus saturado $1331.1
- 410 = 921\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (b) O fundido dissolve mais água a pressão mais alta, e o rebaixamento maior compensa a subida de $118\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ do solidus seco. (c) O solidus precisa cair $1331.1 - 1100 = 231\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: $X =
(231/43)^{1/0.75} = 5.37^{1.333} = 9.4\,\%$ de água, menos que os $20.2\,\%$ da saturação, de modo que a cunha pode fundir.

## 7.8 Problema: sob a dorsal

**Problema 7.1.**

Problema de fim de semana — da adiabática do manto à espessura da crosta oceânica, e de volta à temperatura do manto

O manto sobe sob uma dorsal ao longo da adiabática e funde. Dados: coeficiente de dilatação térmica $\alpha = 4.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$; densidade $\rho = 3300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$; calor específico $c_p = 1000\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$; entropia de fusão $\Delta S =
300\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$; $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; solidus seco $T_{\mathrm s} =
1085.7 + 132.9P - 5.1P^2$ e liquidus do [lherzolito](#def-b2-mantle-melting-peridotites) $T_{\mathrm l} = 1475.0 +
80.0P - 3.2P^2$ (${}^{\circ}\mathrm{C}$, $P$ em $\mathrm{GPa}$); produtividade média do modelo de fusão ajustado, $\Pi = 9\,\%$ por gigapascal; coeficiente de reação do clinopiroxênio perto da superfície 0.50; crosta observada $(7.1 \pm 0.8)\,\mathrm{km}$ nas dorsais normais e $20\,\mathrm{km}$ sobre o centro da pluma da Islândia. Tome o manto e a crosta com a mesma densidade.

**Parte I — Onde a fusão começa.**

1. Converta $T_p = 1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ em kelvins.
2. Calcule o gradiente adiabático $\alpha T_p/(\rho c_p)$ em kelvins por gigapascal, e arredonde-o para a dezena mais próxima.
3. Quantos quilômetros de manto correspondem a um gigapascal? Dê o gradiente em kelvins por quilômetro.
4. Com a adiabática $T = 1350 + 20P$ , escreva a equação do segundo grau para a pressão de início $P_0$ e resolva-a.
5. Dê a profundidade e a temperatura em que a fusão começa.
6. Verifique que o solidus em $P_0$ dá a mesma temperatura.

**Parte II — Quanto fundido.**

7. A $1.5\,\mathrm{GPa}$ , calcule o solidus, o liquidus do [lherzolito](#def-b2-mantle-melting-peridotites) e sua diferença.
8. Com uma [fração de fundido](#def-b2-mantle-melting-fraction) que cresce linearmente entre eles, dê a temperatura da rocha em $F = 0.10$ , em graus Celsius e em kelvins.
9. Calcule ali $(\partial T/\partial P)_F$ e $(\partial T/\partial F)_P$ .
10. Calcule a produtividade da [Proposição 7.10](#prop-b2-mantle-melting-productivity) , em por cento por gigapascal.
11. O modelo ajustado dá $\Pi = 9\,\%$ por gigapascal em média. Por que é menor? Com $\Pi$ , qual é a [fração de fundido](#def-b2-mantle-melting-fraction) $F_{\max}$ atingida na superfície?
12. O manto modelo contém $13\,\%$ de clinopiroxênio. Em que [fração de fundido](#def-b2-mantle-melting-fraction) ele se esgota perto da superfície? O resíduo sob o eixo é um [lherzolito](#def-b2-mantle-melting-peridotites) ou um [harzburgito](#def-b2-mantle-melting-peridotites) ?

**Parte III — A crosta.**

13. Use a [Proposição 7.11](#prop-b2-mantle-melting-triangle) com $H = z_0$ para calcular a espessura da crosta.
14. Qual é a [fração de fundido](#def-b2-mantle-melting-fraction) média do fundido agregado?
15. Compare com a espessura observada.
16. O modelo completo da figura dá $9.0\,\mathrm{km}$ . Por que é mais delgado que sua estimativa?
17. Mostre que $h_c = k P_0^2$ e calcule $k$ em quilômetros por gigapascal ao quadrado.

**Parte IV — A temperatura do manto.**

18. Calcule a pressão de início $P_0$ que produz $7.1\,\mathrm{km}$ de crosta.
19. Dê a profundidade correspondente do início.
20. Com a adiabática $T = T_p + 20P$ , calcule a temperatura potencial que coloca o início nessa pressão.
21. Refaça o cálculo para 6.3 e $7.9\,\mathrm{km}$ : que intervalo de $T_p$ a dispersão da crosta permite?
22. A crosta tem $20\,\mathrm{km}$ de espessura sobre o centro da pluma da Islândia. Calcule ali a temperatura potencial, e seu excesso sobre a da questão 20.
23. As lavas das ilhas oceânicas sugerem plumas 200 a $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ mais quentes que o manto ambiente. Sugira por que a crosta dá um excesso menor.
24. Em quantos por cento a crosta se espessa para um manto $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ mais quente, perto da dorsal normal?
25. As dorsais muito lentas produzem crosta mais delgada. Explique por quê com o triângulo.
26. Indique a [temperatura potencial do manto](#def-b2-mantle-melting-tp) sob uma dorsal normal que a espessura da crosta dá, o número-chave deste problema, e compare-a com os $1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ da física mineral e com o intervalo de 1280 a $1400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ das lavas.

**Solução de Problema 7.1.**

**1.** $1350 + 273 = 1623\,\mathrm{K}$. **2.** $4.0 \times 10^{-5}\times1623/(3300\times1000) = 1.97 \times 10^{-8}\,\mathrm{K}/\mathrm{Pa} =
19.7\,\mathrm{K}/\mathrm{GPa}$, arredondado para $20\,\mathrm{K}/\mathrm{GPa}$. **3.** $10^{9}/(3300\times9.81) = 30.9\,\mathrm{km}$; $20/30.9 =
0.65\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$. **4.** $1350 + 20P = 1085.7 + 132.9P - 5.1P^2$, isto é, $5.1P^2 - 112.9P +
264.3 = 0$: $P_0 = (112.9 - \sqrt{12746.4 - 5391.7})/10.2 = (112.9 - 85.76)/10.2 =
2.66\,\mathrm{GPa}$. **5.** $2.66\times30.9 = 82\,\mathrm{km}$; $T = 1350 + 20\times2.66 =
1403\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. **6.** $1085.7 + 132.9\times2.66 - 5.1\times2.66^2 = 1085.7 + 353.5 - 36.1 =
1403\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. **7.** $T_{\mathrm s} = 1085.7 + 199.4 - 11.5 = 1273.6\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; $T_{\mathrm l} = 1475.0 + 120.0 - 7.2 = 1587.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; diferença de $314.2\,\mathrm{K}$. **8.** $1273.6 + 0.10\times314.2 = 1305.0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $1578\,\mathrm{K}$. **9.** $T_{\mathrm s}' = 132.9 - 15.3 = 117.6\,\mathrm{K}/\mathrm{GPa}$, $T_{\mathrm l}' =
80.0 - 9.6 = 70.4\,\mathrm{K}/\mathrm{GPa}$: $(\partial T/\partial P)_F = 117.6 +
0.10\times(70.4 - 117.6) = 112.9\,\mathrm{K}/\mathrm{GPa}$; $(\partial T/\partial F)_P =
314.2\,\mathrm{K}$. **10.** $c_p/T = 1000/1578 = 0.634$; numerador $0.634\times112.9 - 12.1 = 71.6
- 12.1 = 59.5$; denominador $300 + 0.634\times314.2 = 499.2$: $0.119$, ou $11.9\,\%$ por gigapascal. **11.** Com a função ajustada $F = T'^{1.5}$, sendo $T'$ a fração do caminho entre o solidus e o liquidus, a temperatura precisa subir abruptamente com $F$ para produzir o primeiro por cento de fundido, de modo que $(\partial T/\partial F)_P$ é grande perto do solidus e a fusão começa devagar. $F_{\max} = 0.09\times2.66 = 0.24$, $24\,\%$. **12.** $0.13/0.50 = 0.26$: o clinopiroxênio se esgota a $26\,\%$ de fusão. A $24\,\%$, o resíduo sob o eixo ainda contém um pouco dele: um [lherzolito](#def-b2-mantle-melting-peridotites) pobre em clinopiroxênio, no limiar do [harzburgito](#def-b2-mantle-melting-peridotites). **13.** $h_c = 0.24\times82/2 = 9.8\,\mathrm{km}$. **14.** $F_{\max}/2 = 12\,\%$. **15.** $9.8\,\mathrm{km}$ são $38\,\%$ a mais que $7.1\,\mathrm{km}$, acima do intervalo da crosta normal. **16.** A produtividade constante dá fundido demais ao manto mais profundo; o modelo ajustado produz o primeiro fundido devagar, $F(z)$ permanece mais baixo perto do início, e $\int F\,\mathrm dz$ é menor. **17.** $F_{\max} = \Pi P_0$ e $H = 30.9P_0$ (km): $h_c = \Pi P_0\times30.9P_0/2
= kP_0^2$ com $k = 0.09\times30.9/2 = 1.39\,\mathrm{km}/\mathrm{GPa}^{2}$. **18.** $P_0 = \sqrt{7.1/1.39} = \sqrt{5.11} = 2.26\,\mathrm{GPa}$. **19.** $2.26\times30.9 = 70\,\mathrm{km}$. **20.** $T_{\mathrm s}(2.26) = 1085.7 + 300.4 - 26.0 = 1360.0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, e $T_p = 1360.0 - 20\times2.26 = 1360.0 - 45.2 = 1315\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. **21.** Para $6.3\,\mathrm{km}$: $P_0 = \sqrt{4.53} = 2.13\,\mathrm{GPa}$, $T_{\mathrm s}
= 1345.6\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $T_p = 1303\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Para $7.9\,\mathrm{km}$: $P_0 =
\sqrt{5.68} = 2.38\,\mathrm{GPa}$, $T_{\mathrm s} = 1373.1\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $T_p =
1326\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. A dispersão da crosta permite $1315 \pm
12\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. **22.** $P_0 = \sqrt{20/1.39} = \sqrt{14.39} = 3.79\,\mathrm{GPa}$; $T_{\mathrm s} =
1085.7 + 503.7 - 73.3 = 1516.1\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; $T_p = 1516.1 - 75.8 =
1440\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, um excesso de $1440 - 1315 = 125\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. **23.** As duas usam evidências diferentes. As lavas registram o manto mais quente, no centro da pluma; a crosta faz a média dos fundidos de todo o manto que atravessa a região de fusão, boa parte dele mais frio. O modelo simples também mantém a produtividade constante, embora o clinopiroxênio se esgote a $26\,\%$, ao passo que aqui $\Pi P_0 = 0.09\times3.79 = 0.34$: o manto quente real funde menos, e precisa de uma temperatura mais alta para produzir a mesma crosta. **24.** $T_{\mathrm s}'(2.26) = 132.9 - 23.1 = 109.8\,\mathrm{K}/\mathrm{GPa}$; $\Delta P_0 =
10/(109.8 - 20) = 0.111\,\mathrm{GPa}$; como $h_c \propto P_0^2$, $\Delta h_c/h_c =
2\times0.111/2.26 = 9.8\,\%$, cerca de um décimo por $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. **25.** Em uma dorsal muito lenta, o manto sobe tão devagar que perde calor por condução em direção à superfície fria; ele deixa a adiabática, sua fusão para mais fundo, e o topo do triângulo, onde $F$ é máximo, é cortado: a crosta é mais delgada. **26.** A crosta das dorsais normais dá uma [temperatura potencial do manto](#def-b2-mantle-melting-tp) de **$1315\,{}^{\circ}\mathrm{C}$**, a cerca de $12\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: $35\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ abaixo dos $1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ da física mineral, que é incerta em aproximadamente o mesmo tanto, e bem dentro do intervalo de 1280 a $1400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ das lavas. Três termômetros independentes concordam em um manto perto de $1300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a $1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.