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title: "A diferenciação magmática"
book: "Ciências da Terra e do espaço universitárias — 2.º ano"
subject: earth
language: pt
chapter: 8
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/8-a-diferenciacao-magmatica
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Capítulo 8 — A diferenciação magmática

Em 20 de fevereiro de 1943, um vulcão entrou em erupção no oeste do México, e a erupção continuou durante nove anos. Suas primeiras lavas foram andesitos basálticos com $55\,\%$ de sílica; as últimas, em fevereiro de 1952, andesitos com pouco mais de $60\,\%$. O vulcão, o Parícutin, não mudou de fonte nesse meio-tempo, e suas lavas foram analisadas uma após a outra à medida que saíam. O [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) sob ele mudou por si mesmo: formou cristais e os deixou para trás, e assimilou parte da rocha granítica ao seu redor. Um [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) que deixa o manto como basalto pode terminar como riolito, e as rochas que ele deixa pelo caminho registram como isso aconteceu. Este capítulo acompanha um [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) enquanto ele se resfria: a ordem em que os minerais cristalizam, as leis que dizem como os elementos maiores e os [elementos-traço](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/3-os-elementos-na-terra#def-b2-elements-in-the-earth-trace) mudam quando cristais são removidos, as rochas construídas com esses cristais, e o que acontece quando o [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) incorpora outro [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) ou a crosta.

**O que você já sabe.**

**Do volume do ensino médio**: as rochas ígneas e suas texturas; a ordem em que os minerais cristalizam a partir de um [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) basáltico, a olivina primeiro e o quartzo por último, encontrada pelos experimentos de Bowen. **Do volume do segundo ano dos livros de química**: os diagramas de fase binários, as soluções sólidas e a regra da alavanca. **Do volume do primeiro ano**: o plagioclásio, uma solução sólida entre a anortita $\ce{CaAl2Si2O8}$ e a albita $\ce{NaAlSi3O8}$, e os outros silicatos formadores de rochas; as lâminas delgadas entre polarizadores cruzados. **Do [Capítulo 3](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/3-os-elementos-na-terra#ch-b2-elements-in-the-earth)**: os [coeficientes de partição mineral–fundido](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/3-os-elementos-na-terra#def-b2-elements-in-the-earth-partition) e global, $\bar D = \sum_i x_i D_i$, os [elementos compatíveis](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/3-os-elementos-na-terra#def-b2-elements-in-the-earth-partition) e incompatíveis, os [diagramas normalizados](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/3-os-elementos-na-terra#def-b2-elements-in-the-earth-normalised) e a [anomalia de európio](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/3-os-elementos-na-terra#prop-b2-elements-in-the-earth-normalised). **Do [Capítulo 4](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/4-geoquimica-isotopica#ch-b2-isotope-geochemistry)**: as razões isotópicas como traçadores e a [hipérbole de mistura](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/4-geoquimica-isotopica#prop-b2-isotope-geochemistry-mixing). **Do [Capítulo 7](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/7-a-fusao-do-manto#ch-b2-mantle-melting)**: o eutético diopsídio–anortita, a [fusão incongruente](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/7-a-fusao-do-manto#def-b2-mantle-melting-peritectic), os diagramas ternários e os [magmas primários](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/7-a-fusao-do-manto#def-b2-mantle-melting-primary).

## 8.1 Sequências de cristalização

Um [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) basáltico não cristaliza todos os seus minerais de uma vez. Bowen verificou experimentalmente que a olivina normalmente cristaliza primeiro, entre 1200 e $1300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; que o plagioclásio rico em cálcio começa mais ou menos quando começa o piroxênio; e que o último líquido, rico em sílica, dá feldspato potássico, quartzo e talvez muscovita, por volta de 750 a $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Entre os dois, os minerais máficos não simplesmente se acumulam: cada um reage com o líquido para dar o seguinte.

**Definição 8.1 (Série de reações de Bowen).**

A *série de reações de Bowen* é a ordem em que os silicatos comuns cristalizam a partir de um [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) basáltico que se resfria, como dois ramos que se encontram no final. No *ramo descontínuo*, cada mineral máfico reage com o líquido para formar um novo mineral de outra estrutura: olivina, piroxênio, anfibólio, biotita. No *ramo contínuo*, o plagioclásio cristaliza durante todo o processo, com sua composição variando continuamente de rica em cálcio a rica em sódio. O último líquido cristaliza feldspato potássico, muscovita e quartzo.

![A série de reações de Bowen. A olivina e o plagioclásio rico em cálcio cristalizam primeiro a partir de um magma basáltico; à esquerda, cada mineral máfico reage com o líquido para dar o seguinte; à direita, o plagioclásio fica cada vez mais rico em sódio; o último líquido, rico em sílica, dá feldspato potássico, muscovita e quartzo. As temperaturas são valores típicos para um magma basáltico a baixa pressão.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magmatic-differentiation/fig-ee495715f64f.svg)

*A [série de reações de Bowen](#def-b2-magmatic-differentiation-bowen). A olivina e o plagioclásio rico em cálcio cristalizam primeiro a partir de um [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) basáltico; à esquerda, cada mineral máfico reage com o líquido para dar o seguinte; à direita, o plagioclásio fica cada vez mais rico em sódio; o último líquido, rico em sílica, dá feldspato potássico, muscovita e quartzo. As temperaturas são valores típicos para um [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) basáltico a baixa pressão.*

Os dois ramos correspondem aos dois tipos de diagrama de fase do [Capítulo 7](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/7-a-fusao-do-manto#ch-b2-mantle-melting). Uma reação descontínua é a [fusão incongruente](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/7-a-fusao-do-manto#def-b2-mantle-melting-peritectic) da enstatita percorrida ao contrário: cristais de forsterita reagem com um líquido mais rico em sílica para dar enstatita. O ramo contínuo é uma solução sólida. Bowen a mediu em 1913 em plagioclásios sintéticos, mantendo cada composição a uma temperatura conhecida e procurando vidro e cristais: a anortita funde a $1550\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, a albita a cerca de $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, e todo plagioclásio intermediário funde em um intervalo entre uma curva inferior, o solidus, e uma superior, o liquidus (a figura abaixo).

![Os feldspatos plagioclásios à pressão atmosférica, segundo os experimentos de têmpera de Bowen (1913): início (círculos) e fim (pontos) da fusão, com curvas traçadas pelas medidas. Em vermelho, a cristalização em equilíbrio de um líquido com 50\,\% de anortita: o primeiro cristal, a 1450\, C, tem 81\,\% de anortita; a 1394\, C, cristais com 71\,\% coexistem com um líquido com 33\,\%; o último líquido, a 1287\, C, tem 14\,\% ().](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magmatic-differentiation/fig-0d8dc3ef9d03.svg)

*Os feldspatos plagioclásios à pressão atmosférica, segundo os experimentos de têmpera de Bowen (1913): início (círculos) e fim (pontos) da fusão, com curvas traçadas pelas medidas. Em vermelho, a [cristalização em equilíbrio](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) de um líquido com $50\,\%$ de anortita: o primeiro cristal, a $1450\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, tem $81\,\%$ de anortita; a $1394\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, cristais com $71\,\%$ coexistem com um líquido com $33\,\%$; o último líquido, a $1287\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, tem $14\,\%$ ([Exercício 8.1](#exo-b2-magmatic-differentiation-1)).*

Um líquido que cristaliza uma solução sólida se enriquece no componente que funde à temperatura mais baixa: o primeiro plagioclásio de um líquido com $50\,\%$ de anortita tem $81\,\%$, e o líquido se desloca em direção à albita. O que acontece em seguida depende de os cristais continuarem ou não a dialogar com o líquido.

**Definição 8.2 (Cristalização em equilíbrio e cristalização fracionada).**

Na *cristalização em equilíbrio*, os cristais permanecem em equilíbrio químico com a totalidade do líquido até o fim, reequilibrando-se à medida que o líquido muda; o sistema termina com a composição com que começou. Na *cristalização fracionada*, cada cristal, uma vez formado, é retirado da reação com o líquido, por decantação, por ser colado às paredes da câmara ou por ser encapsulado por um crescimento posterior; o líquido evolui então como se os cristais tivessem sido retirados do sistema.

Na [cristalização em equilíbrio](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation), o plagioclásio da figura acima passa de $81\,\%$ a $50\,\%$ de anortita à medida que cresce, cada cristal se reequilibrando por difusão com o líquido, e o último líquido desaparece no solidus, a $1287\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. A difusão no feldspato é lenta, e os cristais naturais raramente acompanham: o interior de cada cristal fica isolado do líquido, que então se comporta como na [cristalização fracionada](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) e pode chegar a composições próximas da albita. A figura da última seção deste capítulo calcula os dois caminhos.

**Definição 8.3 (Linha de descida do líquido).**

A *linha de descida do líquido* de um [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) é a sequência das composições assumidas por seu líquido à medida que ele cristaliza, lançada em um diagrama de variação ou em um diagrama de fase.

Uma [linha de descida do líquido](#def-b2-magmatic-differentiation-lld) é uma propriedade apenas do líquido. As lavas emitidas com cristais não ficam exatamente sobre ela, e Wilcox, estudando as lavas do Parícutin, usou tanto suas análises de rocha total quanto as composições de sua matriz, a parte líquida, calculadas removendo-se os cristais.

## 8.2 Cristalização fracionada dos elementos maiores

Remover cristais altera a composição do líquido de maneira simples e linear, e a ferramenta mais antiga para lê-la é um gráfico de cada óxido em função da sílica.

**Definição 8.4 (Diagrama de Harker).**

Um *diagrama de Harker* (diagrama de variação em sílica) lança a porcentagem em massa de cada óxido de uma suíte de rochas aparentadas em função de sua porcentagem em massa de $\ce{SiO2}$, um painel por óxido.

As lavas do Parícutin mostram tais tendências (os [diagramas de Harker](#def-b2-magmatic-differentiation-harker) depois da próxima proposição): à medida que a sílica aumenta, a magnésia, a cal e a alumina diminuem e a potassa aumenta. É o que faria a remoção de olivina e de plagioclásio: a olivina retira magnésia e ferro, o plagioclásio cal e alumina, e ambos deixam o líquido mais rico em sílica e em álcalis. Saber se a remoção de minerais conhecidos pode explicar quantitativamente as tendências é uma questão de balanço de massa.

**Proposição 8.5 (Balanço de massa da remoção de cristais).**

Suponha-se que um [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) parental de composição $\mathbf p$ (um vetor de frações em massa de óxidos) cristalize minerais de composições $\mathbf m_1, \dots, \mathbf m_k$ em massas $x_1, \dots, x_k$ por unidade de massa de [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) parental, e seja $\mathbf d$ a composição do líquido restante. Então

$$
\mathbf p = \Big(1 - \sum_i x_i\Big)\mathbf d + \sum_i x_i \mathbf m_i .
$$

Para um único mineral, o [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) parental fica sobre o segmento de reta que une o líquido e o mineral em todo diagrama de variação, e a fração em massa removida é $x = (p_j - d_j)/(m_j - d_j)$ para qualquer óxido $j$: a regra da alavanca.

**Demonstração.** Todo óxido se conserva: a massa $p_j$ do óxido $j$ em uma unidade de massa de [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) parental termina ou no líquido, de massa $1 - \sum_i x_i$ e concentração $d_j$, ou nos minerais. Escrever isso para cada $j$ dá a equação vetorial. Com um único mineral, ela se escreve $\mathbf p = (1-x)\mathbf d + x\mathbf m$, um ponto do segmento de $\mathbf d$ a $\mathbf m$ que o divide na razão $x : (1-x)$, em qualquer par de eixos; resolver uma componente dá $x$. ∎

![Diagramas de Harker das 22 lavas do Parícutin analisadas por Wilcox (1954), emitidas de fevereiro de 1943 (sílica mais baixa) a fevereiro de 1952. À medida que a sílica aumenta cinco por cento, a magnésia, a cal e a alumina diminuem e a potassa quase dobra.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magmatic-differentiation/fig-3294ed274760.svg)

*[Diagramas de Harker](#def-b2-magmatic-differentiation-harker) das 22 lavas do Parícutin analisadas por Wilcox (1954), emitidas de fevereiro de 1943 (sílica mais baixa) a fevereiro de 1952. À medida que a sílica aumenta cinco por cento, a magnésia, a cal e a alumina diminuem e a potassa quase dobra.*

Com vários minerais, as massas são encontradas resolvendo as equações de conservação de outros tantos óxidos. Wilcox fez isso graficamente em 1954; hoje é um pequeno sistema linear.

**Método 8.6 (Balanço de massa por mínimos quadrados).**

Para testar se um líquido derivado $\mathbf d$ provém de um [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) parental $\mathbf p$ pela remoção dos minerais $\mathbf m_1, \dots, \mathbf m_k$ (e pela adição, se necessário, de uma rocha assimilada, introduzida com massa negativa): (1) para cada óxido $j$, escreva-se a conservação da proposição reorganizada como uma equação linear nas massas removidas por $100\,\mathrm{g}$ de [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) parental,

$$
\sum_i x_i\,(m_{ij} - d_j) = 100\,(p_j - d_j);
$$

(2) com exatamente $k$ óxidos, escolhidos entre os que os minerais mais alteram, resolva-se o sistema $k \times k$; com mais óxidos, resolva-se por mínimos quadrados (minimizando a soma dos quadrados das diferenças entre os dois membros); (3) recalcule-se o líquido derivado a partir das massas encontradas e compare-se com a análise, óxido por óxido: resíduos maiores que os erros analíticos, ou uma massa negativa para um mineral, rejeitam o modelo.

Wilcox escolheu a sílica, a alumina e a magnésia como seus três controles, e três materiais: olivina de composição Fo$_{80}$, plagioclásio An$_{70}$ e a média de quatro xenólitos graníticos ($72.5\,\%$ de $\ce{SiO2}$, $3.6\,\%$ de $\ce{K2O}$) encontrados nas lavas. Ele mostrou que nenhuma combinação de olivina e plagioclásio sozinhos se ajusta à série, e que acrescentar $25.4\,\mathrm{g}$ de xenólito e remover $2.9\,\mathrm{g}$ de olivina e $9.6\,\mathrm{g}$ de plagioclásio de $100\,\mathrm{g}$ da matriz da primeira lava dá $112.9\,\mathrm{g}$ de um material próximo da matriz da lava de 1950. Resolver exatamente suas três equações dá $24.6\,\mathrm{g}$, $3.1\,\mathrm{g}$ e $9.9\,\mathrm{g}$; os mínimos quadrados sobre sete óxidos dão uma resposta diferente, $28.7\,\mathrm{g}$, $2.4\,\mathrm{g}$ e $5.7\,\mathrm{g}$, o que lembra que tais resultados dependem dos controles escolhidos. De um modo ou de outro, o [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) incorporou mais granito do que cristalizou. As lavas do Parícutin registram um sistema aberto, o assunto da última seção.

## 8.3 Os elementos-traço

Um [elemento-traço](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/3-os-elementos-na-terra#def-b2-elements-in-the-earth-trace) não altera os minerais que cristalizam; ele os acompanha, com seu coeficiente de partição global $\bar D$ ([Capítulo 3](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/3-os-elementos-na-terra#ch-b2-elements-in-the-earth)), aqui escrito $D$, entre os cristais que se formam a cada momento e o líquido.

**Teorema 8.7 (Lei de fracionamento de Rayleigh).**

Na [cristalização fracionada](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) perfeita com um coeficiente de partição global constante $D$, a concentração de um [elemento-traço](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/3-os-elementos-na-terra#def-b2-elements-in-the-earth-trace) no líquido é

$$
\frac{C_L}{C_0} = F^{\,D-1},
$$

onde $C_0$ é sua concentração no líquido inicial e $F$ a fração em massa de líquido restante. Esta é a *lei de fracionamento de Rayleigh*.

**Demonstração.** Seja $M$ a massa de líquido. Quando uma pequena massa $-\mathrm dM > 0$ de cristais se forma, em equilíbrio com o líquido apenas naquele momento, ela leva o elemento à concentração $DC_L$. A massa do elemento no líquido, $MC_L$, varia portanto de $\mathrm d(MC_L) = DC_L\,\mathrm dM$. Desenvolvendo, $M\,\mathrm dC_L = (D-1)C_L\,
\mathrm dM$, logo $\mathrm dC_L/C_L = (D-1)\,\mathrm dM/M$. Integrar a partir de $M_0$, onde $C_L = C_0$, dá $\ln(C_L/C_0) = (D-1)\ln(M/M_0)$, e $F = M/M_0$. ∎

**Proposição 8.8 (Cristalização em equilíbrio de um elemento-traço).**

Se os cristais permanecem em equilíbrio com o líquido, $C_L/C_0 = 1/(D + F(1-D))$.

**Demonstração.** Toda a massa cristalina $1-F$ (por unidade de massa inicial) contém $DC_L$, de modo que a conservação da massa do elemento se escreve $C_0 = FC_L + (1-F)DC_L$. ∎

**Corolário 8.9 (Razões de elementos incompatíveis).**

Para dois elementos de coeficientes de partição $D_1$ e $D_2$, a razão entre suas concentrações no líquido muda pelo fator $F^{\,D_1-D_2}$ na [cristalização fracionada](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation). Se ambos são fortemente incompatíveis ($D_1, D_2 \ll 1$), a razão quase não muda: conserva o valor do [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) parental, e portanto de sua fonte.

**Demonstração.** Dividam-se as duas leis de Rayleigh: $(C_1/C_2)/(C_{1,0}/C_{2,0}) = F^{D_1-1}/F^{D_2-1}$; para $F = 0.5$ e $D_1 - D_2 = 0.05$, o fator é $0.5^{0.05} = 0.97$. ∎

![Concentração de um elemento-traço no líquido em função da fração de líquido restante, para coeficientes de partição globais de 0.01 a 10: cristalização fracionada (linhas cheias, lei de Rayleigh) e cristalização em equilíbrio (tracejadas, para D = 0.01, 0.1, 2 e 10). Os elementos incompatíveis aumentam no máximo como 1/F; os elementos compatíveis despencam, tanto mais depressa quanto maior for D, e a cristalização fracionada os remove quase completamente.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magmatic-differentiation/fig-6cf14d28dceb.svg)

*Concentração de um [elemento-traço](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/3-os-elementos-na-terra#def-b2-elements-in-the-earth-trace) no líquido em função da fração de líquido restante, para coeficientes de partição globais de 0.01 a 10: [cristalização fracionada](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) (linhas cheias, lei de Rayleigh) e [cristalização em equilíbrio](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) (tracejadas, para $D = 0.01$, 0.1, 2 e 10). Os [elementos incompatíveis](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/3-os-elementos-na-terra#def-b2-elements-in-the-earth-partition) aumentam no máximo como $1/F$; os [elementos compatíveis](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/3-os-elementos-na-terra#def-b2-elements-in-the-earth-partition) despencam, tanto mais depressa quanto maior for $D$, e a [cristalização fracionada](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) os remove quase completamente.*

A figura acima se lê em dois sentidos. Os [elementos incompatíveis](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/3-os-elementos-na-terra#def-b2-elements-in-the-earth-partition) ($D \ll 1$) se comportam quase da mesma forma: sua concentração aumenta quase como $1/F$, de modo que um líquido enriquecido dez vezes em zircônio cristalizou cerca de nove décimos de sua massa. Os [elementos compatíveis](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/3-os-elementos-na-terra#def-b2-elements-in-the-earth-partition) são muito mais sensíveis. O níquel entra na olivina com um coeficiente de partição de cerca de 5 nos líquidos magnesianos quentes: medido em 3.8 a $1550\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e em 5.0 a $1400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, ele aumenta cerca de 0.8 a cada $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ de resfriamento; o estrôncio entra no plagioclásio com cerca de 2.7; um basalto que cristaliza um quinto de sua massa como olivina perde mais da metade de seu níquel ([Exercício 8.5](#exo-b2-magmatic-differentiation-5)). O níquel é portanto o registro mais sensível do fracionamento da olivina, e um basalto rico em níquel está próximo de um [magma primário](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/7-a-fusao-do-manto#def-b2-mantle-melting-primary) ([Capítulo 7](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/7-a-fusao-do-manto#ch-b2-mantle-melting)).

Duas observações fixam o alcance dessas leis. Primeiro, $D$ não é uma constante: ele muda quando um novo mineral se junta à assembleia que cristaliza, e a lei é então aplicada por etapas ([Exercício 8.12](#exo-b2-magmatic-differentiation-12)). Segundo, as mesmas equações, com os papéis do sólido e do líquido trocados, descrevem a fusão de uma fonte; como a fusão em lote e a fusão fracionada fracionam os [elementos-traço](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/3-os-elementos-na-terra#def-b2-elements-in-the-earth-trace) é tratado no volume do terceiro ano.

## 8.4 Cumulatos e intrusões acamadas

Para onde vão os cristais removidos de um [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma)? Em uma câmara magmática que se resfria lentamente, eles decantam em seu assoalho, crescem em suas paredes e em seu teto, e constroem rochas de um tipo particular.

**Definição 8.10 (Cumulato; intrusão acamada).**

Um *cumulato* é uma rocha ígnea formada pela acumulação de cristais (os cristais cúmulus) a partir de um [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma), junto com os minerais que cresceram depois a partir do líquido aprisionado entre eles (o material intercúmulus); sua composição é a de cristais mais um pouco de líquido, e não a de um [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma). Uma *intrusão acamada* é um grande corpo, resfriado lentamente, de cumulatos máficos ou ultramáficos dispostos em camadas, que registra a [cristalização fracionada](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) do [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) que o preencheu.

A intrusão de Skaergaard, no leste da Groenlândia, com cerca de $56\,\mathrm{Ma}$, é a referência. Seus gabros acamados afloram em cerca de 11 por $8\,\mathrm{km}$, e registram a diferenciação ininterrupta de um basalto toleítico: uma Série Acamada cresceu no assoalho, uma Série Marginal nas paredes e no teto, e as duas se encontraram no Horizonte Sanduíche, onde o último líquido, o mais evoluído, cristalizou no interior (a figura abaixo). Os [cumulatos](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) do assoalho são divididos, da base para o topo, em uma Zona Oculta, não exposta, e nas Zonas Inferior, Média e Superior, expostas. Seus estudiosos estimaram a fração em massa $F$ de líquido restante quando cada nível cristalizou, ajustada ao longo da seção de referência da Série Acamada por

$$
F = 1.091 \times 10^{-7}\,H^2 - 5.9064 \times 10^{-4}\,H + 0.7678
$$

($H$ em metros acima da base da Zona Inferior). Um quarto do [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) já tinha cristalizado, nas paredes, no teto e em uma zona oculta, quando a sequência exposta do assoalho começou; o Horizonte Sanduíche, $F = 0$, fica uns $2.2\,\mathrm{km}$ acima ([Exercício 8.7](#exo-b2-magmatic-differentiation-7)).

![Uma intrusão acamada do tipo Skaergaard (esquemático, fora de escala). Os cumulatos cresceram para dentro a partir de todos os lados da câmara ao mesmo tempo: a Série Acamada no assoalho (laranja, com acamamento), a Série Marginal Lateral nas paredes e a Série Marginal Superior sob o teto (azul), cada uma com a mesma sucessão de zonas. Elas se encontraram no Horizonte Sanduíche, onde o último líquido cristalizou.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magmatic-differentiation/fig-cecea0ba0b13.svg)

*Uma [intrusão acamada](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) do tipo Skaergaard (esquemático, fora de escala). Os [cumulatos](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) cresceram para dentro a partir de todos os lados da câmara ao mesmo tempo: a Série Acamada no assoalho (laranja, com acamamento), a Série Marginal Lateral nas paredes e a Série Marginal Superior sob o teto (azul), cada uma com a mesma sucessão de zonas. Elas se encontraram no Horizonte Sanduíche, onde o último líquido cristalizou.*

As análises de rocha total de 134 amostras ao longo dessa seção mostram as leis da seção anterior em ação (a figura abaixo). O níquel, compatível, cai de cerca de $180\,\mathrm{ppm}$ nos [cumulatos](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) da Zona Inferior para $54\,\mathrm{ppm}$ na Zona Média e $6\,\mathrm{ppm}$ na Zona Superior. Um [cumulato](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) contém $D$ vezes o níquel do líquido a partir do qual cresceu, de modo que, em eixos logarítmicos, $\ln \mathrm{Ni} = \text{const} +
(D-1)\ln F$: a inclinação sobre as Zonas Inferior e Média, 1.38, dá um coeficiente aparente $D \approx 2.4$. O zircônio, incompatível, quase não varia nos [cumulatos](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate): ele permanece no líquido, e só entra em um [cumulato](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) pelo líquido aprisionado, até as últimas rochas da Zona Superior, cristalizadas a partir de um líquido em que ele havia se acumulado.

![Níquel e zircônio em 134 cumulatos da seção de referência da Série Acamada de Skaergaard em função da fração de fundido restante (dados de Tegner e colaboradores, 2023, CC BY 4.0). O níquel, compatível, cai por um fator trinta; o zircônio, incompatível, permanece baixo até os últimos cumulatos. A reta é o ajuste por mínimos quadrados de Ni em F sobre as Zonas Inferior e Média.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magmatic-differentiation/fig-e164614eef54.svg)

*Níquel e zircônio em 134 [cumulatos](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) da seção de referência da Série Acamada de Skaergaard em função da [fração de fundido](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/7-a-fusao-do-manto#def-b2-mantle-melting-fraction) restante (dados de Tegner e colaboradores, 2023, CC BY 4.0). O níquel, compatível, cai por um fator trinta; o zircônio, incompatível, permanece baixo até os últimos [cumulatos](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate). A reta é o ajuste por mínimos quadrados de $\ln \mathrm{Ni}$ em $\ln F$ sobre as Zonas Inferior e Média.*

As intrusões mais espessas contêm minério: as intrusões acamadas que hospedam cromititos têm em média pelo menos $2\,\mathrm{km}$ de espessura. O Complexo de Bushveld, na África do Sul, com $(2043 \pm 11)\,\mathrm{Ma}$, cobre $60\,000\text{ a }65\,000\,\mathrm{km}^{2}$, e sua suíte acamada tem cerca de $5\,\mathrm{km}$ de espessura, até $9\,\mathrm{km}$ em alguns lugares. Sua Zona Crítica, de 1500 a $1700\,\mathrm{m}$ de espessura, repete ciclos de piroxenito, norito e anortosito e contém camadas de cromitito, uma rocha com mais de $90\,\%$ de cromita; uma delas, a camada LG6, tem de 0.5 a $1.05\,\mathrm{m}$ de espessura. Os modelos térmicos dão cerca de $75\,000$ anos ao alojamento de seus [magmas](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) e $200\,000$ à sua cristalização. Como se formam camadas tão finas e tão regulares, por decantação de cristais, por cristalização no lugar sobre o assoalho, por afluxos de [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) novo, ainda é debatido.

![À esquerda: camadas de cromitito negro e de anortosito cinza da Zona Crítica do Complexo de Bushveld, África do Sul (Kevin Walsh, CC BY 2.0). À direita: os gabros acamados da Zona Média da intrusão de Skaergaard, leste da Groenlândia, inclinados do alto à esquerda para baixo à direita (C. Tegner, CC BY 4.0).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magmatic-differentiation/img-9d0da1c99548.jpg)

![À esquerda: camadas de cromitito negro e de anortosito cinza da Zona Crítica do Complexo de Bushveld, África do Sul (Kevin Walsh, CC BY 2.0). À direita: os gabros acamados da Zona Média da intrusão de Skaergaard, leste da Groenlândia, inclinados do alto à esquerda para baixo à direita (C. Tegner, CC BY 4.0).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magmatic-differentiation/img-078c243ccfe0.jpg)

*À esquerda: camadas de cromitito negro e de anortosito cinza da Zona Crítica do Complexo de Bushveld, África do Sul (Kevin Walsh, CC BY 2.0). À direita: os gabros acamados da Zona Média da intrusão de Skaergaard, leste da Groenlândia, inclinados do alto à esquerda para baixo à direita (C. Tegner, CC BY 4.0).*

## 8.5 Sistemas abertos

Uma câmara magmática raramente é fechada. [Magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) novo chega por baixo, e as paredes da câmara são rochas que o [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) pode aquecer, fundir e dissolver.

**Definição 8.11 (Mistura de magmas; assimilação crustal; AFC).**

A *mistura de magmas* é a combinação de dois [magmas](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) de composições diferentes em um só. A *assimilação crustal* é a incorporação de rocha crustal a um [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma), por fusão e dissolução da rocha das paredes ou de blocos caídos nele. A *assimilação–cristalização fracionada* (AFC) é sua combinação em uma mesma câmara: o [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) cristaliza, e o calor latente liberado funde e assimila a rocha das paredes.

**Proposição 8.12 (A mistura é linear nas concentrações).**

Uma mistura de uma fração em massa $s$ do [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) A e $1-s$ do [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) B tem toda concentração $C = sC_A + (1-s)C_B$: em qualquer diagrama de uma concentração em função de outra, as misturas ficam sobre o segmento de reta de A a B, e a regra da alavanca dá $s$.

**Demonstração.** Cada elemento se conserva: $C(m_A + m_B) = m_AC_A + m_BC_B$; divida-se por $m_A + m_B$. ∎

A mistura e a remoção de cristais traçam ambas retas nos [diagramas de Harker](#def-b2-magmatic-differentiation-harker); as razões isotópicas as distinguem. A cristalização não altera uma razão isotópica, ao passo que a mistura com uma rocha de razão diferente a altera, ao longo da hipérbole do [Capítulo 4](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/4-geoquimica-isotopica#ch-b2-isotope-geochemistry). Um aumento de $^{87}$Sr/$^{86}$Sr com a sílica em uma suíte vulcânica é portanto a marca da assimilação.

**Proposição 8.13 (Assimilação com cristalização fracionada).**

Um [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) cristaliza cristais de coeficiente de partição global $D$ para um elemento e assimila rocha das paredes de concentração $C_a$ a uma taxa igual a $r$ vezes a taxa de cristalização ($r \ne 1$). Sendo $F$ a massa de [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) relativa à sua massa inicial e $z = (r + D - 1)/(r - 1)$,

$$
\frac{C}{C_0} = F^{-z} + \frac{r}{r - 1 + D}\,\frac{C_a}{C_0}\,\bigl(1 - F^{-z}\bigr).
$$

Para $r = 0$, esta é a lei de Rayleigh. A razão isotópica do elemento no [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) é a média da do [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) inicial e da da rocha das paredes, ponderada pelos dois termos desta soma.

**Demonstração.** Por unidade de massa inicial, quando uma massa $\mathrm dm_c$ cristaliza, uma massa $r\,\mathrm dm_c$ é assimilada e a massa de [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) varia de $\mathrm dM =
-(1-r)\,\mathrm dm_c$. O balanço do elemento é $\mathrm d(MC) = rC_a\,\mathrm dm_c -
DC\,\mathrm dm_c$. Desenvolvendo o membro da esquerda e substituindo $\mathrm dm_c$ por $-\mathrm dM/(1-r)$,

$$
M\frac{\mathrm dC}{\mathrm dM} = -C - \frac{rC_a - DC}{1-r}
= \frac{(r - 1 + D)\,C - rC_a}{1 - r} = -z\,\bigl(C - C^*\bigr),
\qquad C^* = \frac{rC_a}{r - 1 + D}.
$$

Assim, $\mathrm d(C - C^*)/(C - C^*) = -z\,\mathrm dM/M$, e $C - C^*$ é proporcional a $M^{-z}$; com $C = C_0$ em $M = 1$, $C = C^* + (C_0 - C^*)F^{-z}$, que é a fórmula. Para $r = 0$, $z = 1 - D$ e $C^* = 0$. Os átomos que vêm do [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) inicial obedecem à mesma equação com $C_a = 0$, de modo que sua concentração é $C_0F^{-z}$; o resto vem da parede: daí a ponderação das razões isotópicas. ∎

DePaolo deu essas equações em 1981, e elas são o modelo padrão de um [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) contaminado em sua passagem pela crosta. Elas escondem uma restrição térmica. O calor para assimilar rocha vem do calor latente dos cristais: aquecer crosta de 150 a $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ exige cerca de $1\,\mathrm{kJ}/\mathrm{g}$, fundi-la $300\,\mathrm{J}/\mathrm{g}$, enquanto o [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) que cristaliza fornece cerca de $400\,\mathrm{J}/\mathrm{g}$; assim, uns $3.25\,\mathrm{g}$ de [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) precisam cristalizar para cada grama de rocha assimilada, e $r$ fica bem abaixo de 1. Wilcox fez o mesmo cálculo para o Parícutin: seus $25.4\,\mathrm{g}$ de quartzo-monzonito, tomados a cerca de $200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, precisavam de uns $31\,350\,\mathrm{J}$ para serem aquecidos a $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e fundidos, o calor da cristalização de cerca de $85\,\mathrm{g}$ de plagioclásio, muito mais que os $12.5\,\mathrm{g}$ de cristais que seu balanço de massa removia. O [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) emitido não poderia ter pago sua própria assimilação: o calor deve ter vindo de um corpo de [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) maior que aquele que entrou em erupção, cristalizando longe da vista ([Exercício 8.11](#exo-b2-magmatic-differentiation-11)).

![Assimilação com cristalização fracionada para o estrôncio (D = 1.5, rocha das paredes com metade do estrôncio do magma e 87Sr/86Sr = 0.7200, magma 0.7035; valores ilustrativos). À esquerda: a concentração cai mais depressa à medida que a taxa de assimilação r aumenta, já que a rocha das paredes traz menos estrôncio e mais cristais se formam para o mesmo F. À direita: a razão isotópica, inalterada pela cristalização sozinha (r = 0), sobe em direção à da parede.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magmatic-differentiation/fig-c73d64a42563.svg)

*Assimilação com [cristalização fracionada](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) para o estrôncio ($D = 1.5$, rocha das paredes com metade do estrôncio do [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) e $^{87}$Sr/$^{86}$Sr = 0.7200, [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) 0.7035; valores ilustrativos). À esquerda: a concentração cai mais depressa à medida que a taxa de assimilação $r$ aumenta, já que a rocha das paredes traz menos estrôncio e mais cristais se formam para o mesmo $F$. À direita: a razão isotópica, inalterada pela cristalização sozinha ($r = 0$), sobe em direção à da parede.*

## 8.6 Ler cristais zonados

**Definição 8.14 (Zonação composicional).**

Um cristal de uma solução sólida apresenta *zonação composicional* quando sua composição varia do núcleo à borda, registrando o líquido em mudança a partir do qual cresceram as camadas sucessivas. A zonação é *normal* quando a borda é mais rica no componente de baixa temperatura (o sódio no plagioclásio), *inversa* quando é mais rica no de alta temperatura, e *oscilatória* quando alterna.

Um cristal zonado é a [cristalização fracionada](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) apanhada em flagrante: seu núcleo não se reequilibrou com o líquido posterior. A figura abaixo calcula, sobre o fuso de Bowen, o plagioclásio que cresce a partir de um líquido com $50\,\%$ de anortita. Em equilíbrio, os cristais permanecem homogêneos e terminam com $50\,\%$; na [cristalização fracionada](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) perfeita, cada nova camada está em equilíbrio com um líquido cada vez mais sódico, e a borda dos últimos cristais é quase albita pura. A zonação normal, de núcleo cálcico a borda sódica, é o que a série de Bowen prevê para um [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) que se resfria. Uma zona inversa, uma faixa cálcica por fora de uma faixa sódica, diz que o cristal foi subitamente banhado por um líquido mais quente ou mais cálcico: muitas vezes a chegada de [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) novo, a mistura na câmara.

![Plagioclásio que cristaliza a partir de um líquido com 50\,\% de anortita, calculado sobre o fuso de Bowen (1913). Na cristalização fracionada, as camadas sucessivas dos cristais, do núcleo (à esquerda) à borda (à direita), ficam cada vez mais sódicas, e o líquido chega à albita quando cerca de 82\,\% cristalizaram; na cristalização em equilíbrio, os cristais permanecem uniformes e terminam com a composição do líquido de onde vieram.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-4/b2-magmatic-differentiation/fig-6cdcf1aa6bca.svg)

*Plagioclásio que cristaliza a partir de um líquido com $50\,\%$ de anortita, calculado sobre o fuso de Bowen (1913). Na [cristalização fracionada](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation), as camadas sucessivas dos cristais, do núcleo (à esquerda) à borda (à direita), ficam cada vez mais sódicas, e o líquido chega à albita quando cerca de $82\,\%$ cristalizaram; na [cristalização em equilíbrio](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation), os cristais permanecem uniformes e terminam com a composição do líquido de onde vieram.*

**No laboratório — Ler cristais zonados.**

Os petrólogos leem a zonação primeiro entre polarizadores cruzados, onde as zonas de um plagioclásio se extinguem em ângulos ligeiramente diferentes e aparecem como faixas concêntricas. Em seguida, eles a medem: uma microssonda eletrônica ([Capítulo 31](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/31-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-ii#ch-b2-field-lab-methods-2)) analisa pontos de alguns micrômetros ao longo de um perfil do núcleo à borda, e mapas de cálcio e de sódio mostram as zonas diretamente. A partir de tal perfil, eles calculam a composição do líquido a partir do qual cada zona cresceu, com o fuso da figura acima ou com coeficientes de partição, e contam as zonas inversas como o número de recargas da câmara. Os [elementos-traço](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/3-os-elementos-na-terra#def-b2-elements-in-the-earth-trace) medidos ao longo do mesmo perfil por ablação a laser, e as razões isotópicas medidas zona por zona, separam cristalização, mistura e assimilação na história de um único cristal.

## 8.7 Exercícios

**Exercício 8.1 ★.**

Use as medidas de Bowen sobre os plagioclásios (solidus / liquidus, ${}^{\circ}\mathrm{C}$): An$_{100}$ 1550 / 1550; An$_{83.3}$ 1465 / 1521; An$_{66.7}$ 1372 / 1490; An$_{50}$ 1287 / 1450; An$_{33.3}$ 1205 / 1394; An$_{20}$ liquidus 1334; An$_{11.1}$ liquidus 1265, e interpole linearmente entre pontos vizinhos. Um líquido com $50\,\%$ de anortita se resfria em equilíbrio. (a) A que temperatura ele começa a cristalizar, e qual é a composição do primeiro cristal? (b) A $1394\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, quais são as composições do líquido e dos cristais, e que fração em massa cristalizou (use as frações molares como se fossem frações em massa)? (c) Qual é a composição da última gota de líquido?

**Solução de Exercício 8.1.**

(a) O liquidus de An$_{50}$ é $1450\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. O primeiro cristal fica sobre o solidus a essa temperatura, entre An$_{66.7}$ (1372) e An$_{83.3}$ (1465): $66.7 + 16.6\times(1450 - 1372)/(1465 - 1372) = 66.7 + 13.9 = 80.6\,\%$ de anortita. (b) A $1394\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, o líquido está sobre o liquidus, An$_{33.3}$; os cristais, sobre o solidus, $66.7 + 16.6\times22/93 =
70.6\,\%$. Pela regra da alavanca, a fração cristalizada é $(50 -
33.3)/(70.6 - 33.3) = 16.7/37.3 = 0.448$. (c) O último líquido desaparece quando os cristais chegam a An$_{50}$, à temperatura do solidus $1287\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; o liquidus ali fica entre An$_{11.1}$ (1265) e An$_{20}$ (1334): $11.1 +
8.9\times22/69 = 13.9\,\%$ de anortita.

**Exercício 8.2 ★.**

Um [cumulato](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) gabroico contém $50\,\%$ de plagioclásio, $35\,\%$ de clinopiroxênio e $15\,\%$ de olivina. Com os coeficientes de partição (olivina / clinopiroxênio / plagioclásio) Sr 0.000063 / 0.157 / 2.7, Zr 0.00068 / 0.195 / 0.001 e Rb 0.000044 / 0.0033 / 0.025, calcule o coeficiente de partição global de cada elemento, e diga qual é compatível.

**Solução de Exercício 8.2.**

$\bar D_{\ce{Sr}} = 0.15\times0.000063 + 0.35\times0.157 + 0.50\times2.7 = 0.00001 +
0.0550 + 1.35 = 1.40$; $\bar D_{\ce{Zr}} = 0.0001 + 0.0683 + 0.0005 = 0.069$; $\bar D_{\ce{Rb}} = 0.00001 + 0.0012 + 0.0125 = 0.014$. Só o estrôncio, retido pelo plagioclásio, é compatível ($\bar D > 1$); o zircônio e o rubídio são incompatíveis, o rubídio ainda mais.

**Exercício 8.3 ★.**

O [cumulato](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) do [Exercício 8.2](#exo-b2-magmatic-differentiation-2) cristaliza a partir de um basalto, por [cristalização fracionada](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation), até que reste metade do líquido. (a) Por que fator cada um de Sr, Zr e Rb variou no líquido (tome os coeficientes globais 1.40, 0.069 e 0.014)? (b) Por que fator a razão Zr/Rb variou? Comente com o corolário sobre as razões.

**Solução de Exercício 8.3.**

(a) $C_L/C_0 = 0.5^{D-1}$: Sr $0.5^{0.40} = 0.758$ (ele cai); Zr $0.5^{-0.931} =
1.907$; Rb $0.5^{-0.986} = 1.981$, perto do limite 2. (b) Zr/Rb varia por um fator de $0.5^{0.069 - 0.014} = 0.5^{0.055} = 0.963$, menos de $4\,\%$, enquanto cada elemento quase dobrou: como diz o corolário, a razão de dois [elementos incompatíveis](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/3-os-elementos-na-terra#def-b2-elements-in-the-earth-partition) conserva o valor do [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) parental, e assim informa sobre a fonte, não sobre a cristalização.

**Exercício 8.4 ★.**

A primeira lava do Parícutin (fevereiro de 1943) tinha $55.04\,\%$ de $\ce{SiO2}$, $5.68\,\%$ de $\ce{MgO}$ e $0.85\,\%$ de $\ce{K2O}$; a última (fevereiro de 1952), 60.07, 3.73 e $1.67\,\%$. (a) Calcule a variação de cada óxido. (b) A potassa não entra em nenhum dos minerais que cristalizam. Se ela tivesse sido concentrada apenas pela [cristalização fracionada](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation), que fração do líquido teria restado? (c) O balanço de massa de Wilcox remove apenas cerca de $12.5\,\mathrm{g}$ de cristais por $100\,\mathrm{g}$ de [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma). O que a comparação sugere?

**Solução de Exercício 8.4.**

(a) $\ce{SiO2}$ $+5.03$, $\ce{MgO}$ $-1.95$, $\ce{K2O}$ $+0.82$ (por cento), a potassa multiplicada por $1.67/0.85 = 1.96$. (b) Para um elemento perfeitamente incompatível, $C_L/C_0 = 1/F$, logo $F = 0.85/1.67 = 0.509$: metade do [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) teria de cristalizar. (c) Remover $12.5\,\mathrm{g}$ por $100\,\mathrm{g}$ deixa $F \approx 0.88$ e elevaria a potassa apenas por um fator de cerca de $1/0.88 = 1.14$: a cristalização sozinha não pode explicar o aumento. A potassa veio de fora, dos xenólitos graníticos, ricos em potassa ($3.6\,\%$), que o [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) assimilou.

**Exercício 8.5 ★★.**

Compare a [cristalização fracionada](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) e a [cristalização em equilíbrio](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation): calcule $C_L/C_0$ pelas duas leis (a) para o níquel, $D = 5$, quando $20\,\%$ do líquido cristalizou; (b) para um [elemento incompatível](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/3-os-elementos-na-terra#def-b2-elements-in-the-earth-partition), $D = 0.01$, quando $90\,\%$ cristalizaram. (c) Quais são os limites das duas leis quando $F \to 0$? Qual lei pode esgotar completamente um líquido de um [elemento compatível](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/3-os-elementos-na-terra#def-b2-elements-in-the-earth-partition)?

**Solução de Exercício 8.5.**

(a) $F = 0.8$, $D = 5$. Fracionada: $0.8^{4} = 0.410$; equilíbrio: $1/(5 + 0.8\times(1 - 5)) = 1/1.8 = 0.556$. (b) $F = 0.1$, $D = 0.01$. Fracionada: $0.1^{-0.99} = 9.77$; equilíbrio: $1/(0.01 + 0.1\times0.99) = 1/0.109 = 9.17$. (c) Quando $F \to 0$, a lei de Rayleigh tende a $0$ para $D > 1$ e ao infinito para $D < 1$, ao passo que a lei de equilíbrio tende a $1/D$ (o último líquido em equilíbrio com cristais da composição global). Só a [cristalização fracionada](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) pode esgotar completamente um líquido de um [elemento compatível](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/3-os-elementos-na-terra#def-b2-elements-in-the-earth-partition).

**Exercício 8.6 ★★.**

(a) Calcule as porcentagens em massa de $\ce{MgO}$, $\ce{FeO}$ e $\ce{SiO2}$ na olivina Fo$_{80}$, $(\ce{Mg}_{0.8}\ce{Fe}_{0.2})_2\ce{SiO4}$ ($M$ = 40.30, 71.84 e $60.08\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$). (b) Um basalto com $10.0\,\%$ de $\ce{MgO}$ e $49.0\,\%$ de $\ce{SiO2}$ cristaliza apenas essa olivina até que seu líquido tenha $8.0\,\%$ de $\ce{MgO}$. Que fração em massa de olivina foi removida? (c) Qual é então o teor de sílica do líquido?

**Solução de Exercício 8.6.**

(a) Uma unidade de fórmula contém 1.6 $\ce{MgO}$, 0.4 $\ce{FeO}$ e um $\ce{SiO2}$: $1.6\times
40.30 = 64.48$, $0.4\times71.84 = 28.74$, 60.08, total $153.30\,\mathrm{g}$. Porcentagens em massa: $\ce{MgO}$ $42.06\,\%$, $\ce{FeO}$ $18.75\,\%$, $\ce{SiO2}$ $39.19\,\%$. (b) Regra da alavanca sobre $\ce{MgO}$: $x = (10.0 - 8.0)/(42.06
- 8.0) = 2.0/34.06 = 0.0587$, cerca de $6\,\%$ de olivina. (c) Sílica do líquido: $(49.0 - 0.0587\times39.19)/(1 - 0.0587) = 46.70/0.9413 =
49.61\,\%$. Remover olivina, mais pobre em sílica que o basalto, eleva a sílica do líquido, mas só lentamente.

**Exercício 8.7 ★★.**

Para a intrusão de Skaergaard, $F = 1.091 \times 10^{-7}H^2 - 5.9064 \times 10^{-4}H + 0.7678$. (a) Calcule $F$ em $H = 0$, 1000 e $2000\,\mathrm{m}$. (b) A que altura $F = 0$? (c) Que fração do [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) tinha cristalizado antes de se formar a base da sequência exposta do assoalho, e onde ela poderia estar?

**Solução de Exercício 8.7.**

(a) $F(0) = 0.768$; $F(1000) = 0.1091 - 0.5906 + 0.7678 = 0.286$; $F(2000) = 0.4364
- 1.1813 + 0.7678 = 0.023$. (b) O discriminante é $(5.9064\times10^{-4})^2 -
4\times1.091\times10^{-7}\times0.7678 = 3.4885\times10^{-7} - 3.3507\times10^{-7} =
1.379\times10^{-8}$, de raiz quadrada $1.174\times10^{-4}$; a raiz menor é $H = (5.9064 - 1.174)\times10^{-4}/(2.182\times10^{-7}) = 2169\,\mathrm{m}$, o Horizonte Sanduíche. (c) $1 - 0.768 = 0.232$: quase um quarto do [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) tinha cristalizado antes de se formar a base da Zona Inferior exposta, na Zona Oculta abaixo dela e na Série Marginal ao longo das paredes e do teto.

**Exercício 8.8 ★★.**

Ao longo da seção de Skaergaard, o [cumulato](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) mediano contém $177\,\mathrm{ppm}$ de Ni em $F = 0.70$ (Zona Inferior a), $54\,\mathrm{ppm}$ em $F = 0.29$ (Zona Média) e $6.2\,\mathrm{ppm}$ em $F = 0.17$ (Zona Superior a). (a) Supondo que os [cumulatos](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) contêm $D$ vezes o níquel de seu líquido e que o líquido segue a lei de Rayleigh, calcule o $D$ aparente entre os dois primeiros níveis. (b) Faça o mesmo entre os dois últimos. (c) O que pode fazer o $D$ aparente variar?

**Solução de Exercício 8.8.**

O [cumulato](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) contém $D\,C_L = D\,C_0F^{D-1}$, de modo que, entre dois níveis, $\ln(\mathrm{Ni}_2/\mathrm{Ni}_1) = (D - 1)\ln(F_2/F_1)$. (a) $D - 1 = \ln(54/177)/
\ln(0.29/0.70) = (-1.187)/(-0.881) = 1.35$, logo $D \approx 2.35$ (a regressão sobre os 66 [cumulatos](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) com $F \ge 0.23$ dá 2.38). (b) $D - 1 = \ln(6.2/54)/\ln(0.17/0.29) = (-2.164)/(-0.534)
= 4.05$, logo $D \approx 5.05$. (c) O $D$ global muda quando a assembleia que cristaliza muda (um novo mineral que capta níquel, ou um que sai), e os próprios coeficientes mineral–fundido aumentam à medida que o líquido se resfria e muda de composição, como foi medido para a olivina; o líquido aprisionado nos [cumulatos](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) borra a estimativa.

**Exercício 8.9 ★★.**

Verifique a resposta de Wilcox: $100\,\mathrm{g}$ de matriz da primeira lava ($\ce{SiO2}$ 55.53, $\ce{MgO}$ 4.66, $\ce{K2O}$ $0.88\,\%$) mais $25.4\,\mathrm{g}$ de xenólito médio (72.48, 0.77, 3.64) menos $2.9\,\mathrm{g}$ de olivina Fo$_{80}$ (39.19, 42.06, 0) menos $9.6\,\mathrm{g}$ de plagioclásio An$_{70}$ (50.54, 0, 0). (a) Que massa resta? (b) Calcule seus teores de $\ce{SiO2}$, $\ce{MgO}$ e $\ce{K2O}$ e compare com a matriz da lava 19 (60.16, 3.19 e $1.75\,\%$). (c) Qual óxido se ajusta pior?

**Solução de Exercício 8.9.**

(a) $100 + 25.4 - 2.9 - 9.6 = 112.9\,\mathrm{g}$. (b) Gramas de $\ce{SiO2}$: $55.53 +
25.4\times0.7248 - 2.9\times0.3919 - 9.6\times0.5054 = 55.53 + 18.41 - 1.14 - 4.85 =
67.95\,\mathrm{g}$, logo $67.95/112.9 = 60.19\,\%$, contra 60.16. $\ce{MgO}$: $4.66 + 0.20 - 1.22 = 3.64\,\mathrm{g}$, $3.22\,\%$ contra 3.19. $\ce{K2O}$: $0.88 + 0.92 = 1.80\,\mathrm{g}$, $1.60\,\%$ contra 1.75. (c) A sílica e a magnésia, dois dos três controles, ajustam-se a menos de 0.03; a potassa, não usada como controle, fica baixa em 0.15, quase um décimo de seu valor: o material assimilado tinha mais potassa que o xenólito médio, ou um fundido rico em potassa foi tomado preferencialmente.

**Exercício 8.10 ★★★.**

Um [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) assimila rocha das paredes a $r = 0.2$ enquanto cristaliza, com $D_{\ce{Sr}} =
1.5$, $C_a/C_0 = 0.5$, $^{87}$Sr/$^{86}$Sr inicial = 0.7035 e rocha das paredes 0.7200. (a) Calcule $z$, $F^{-z}$ e $C/C_0$ em $F = 0.7$. (b) Compare com a [cristalização fracionada](#def-b2-magmatic-differentiation-crystallisation) pura no mesmo $F$, e explique a diferença pela massa de cristais formada em cada caso. (c) Calcule a $^{87}$Sr/$^{86}$Sr do [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma).

**Solução de Exercício 8.10.**

(a) $z = (0.2 + 1.5 - 1)/(0.2 - 1) = 0.7/(-0.8) = -0.875$; $F^{-z} = 0.7^{0.875} =
0.7319$; $C^*/C_0 = 0.2\times0.5/(0.2 - 1 + 1.5) = 0.1/0.7 = 0.1429$, logo $C/C_0 =
0.7319 + 0.1429\times(1 - 0.7319) = 0.7319 + 0.0383 = 0.770$. (b) Rayleigh: $0.7^{0.5} = 0.837$. O [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) AFC tem menos estrôncio por duas razões: para perder $30\,\%$ de sua massa enquanto ganha $r$ vezes o que cristaliza, ele precisa cristalizar $(1 - 0.7)/(1 - 0.2) = 0.375$ em vez de 0.30, e o estrôncio que ganha vem de uma rocha duas vezes mais pobre. (c) $(0.7319\times0.7035 + 0.0383\times0.7200)/0.7702
= (0.5149 + 0.0276)/0.7702 = 0.70432$: a razão subiu 0.0008, ao passo que a cristalização sozinha a teria deixado em 0.7035.

**Exercício 8.11 ★★★.**

Siga o balanço térmico de Wilcox para o Parícutin. (a) Quanto calor um grama de quartzo-monzonito precisa para ir de 200 a $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (capacidade térmica $1.1\,\mathrm{J}/(\mathrm{g}\,\mathrm{K})$) e depois fundir ($250\,\mathrm{J}/\mathrm{g}$)? (b) Quanto para $25.4\,\mathrm{g}$? (c) Que massa de plagioclásio An$_{70}$ (calor latente $370\,\mathrm{J}/\mathrm{g}$) precisa cristalizar para fornecê-lo? (d) Compare com os $12.5\,\mathrm{g}$ de cristais do balanço de massa, calcule a razão $r$ entre assimilação e cristalização, e diga o que isso implica.

**Solução de Exercício 8.11.**

(a) $1.1\times(1100 - 200) + 250 = 990 + 250 = 1240\,\mathrm{J}$ por grama. (b) $25.4\times1240 = 31\,496\,\mathrm{J}$, perto dos $31\,350\,\mathrm{J}$ de Wilcox. (c) $31496/370 = 85.1\,\mathrm{g}$ de plagioclásio. (d) O balanço de massa removia apenas $2.9 +
9.6 = 12.5\,\mathrm{g}$ de cristais, cujo calor latente (cerca de $4600\,\mathrm{J}$) cobre menos de um sexto da necessidade; $r = 25.4/12.5 = 2.03$, duas vezes mais rocha assimilada que cristais formados, ao passo que o balanço térmico admite $r$ bem abaixo de 1. O [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) emitido não pode ter fornecido o calor por si mesmo: uma massa maior de [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) deve ter cristalizado e se resfriado em profundidade, longe da vista.

**Exercício 8.12 ★★★.**

Um basalto com $250\,\mathrm{ppm}$ de Ni cristaliza primeiro só olivina ($D = 5$) até $F = 0.8$, depois olivina com plagioclásio e clinopiroxênio (coeficiente global $D = 1.5$). (a) Calcule o fator pelo qual o níquel varia em cada etapa, e o teor de níquel do líquido em $F = 0.5$. (b) O que uma lei única com $D = 5$ teria previsto? (c) Explique por que a lei de Rayleigh deve ser aplicada por etapas.

**Solução de Exercício 8.12.**

(a) Etapa 1, $F$ de 1 a 0.8 com $D = 5$: fator $0.8^{4} = 0.4096$. Etapa 2, de 0.8 a 0.5 com $D = 1.5$: a lei se aplica ao líquido restante, de modo que o fator é $(0.5/0.8)^{0.5} = 0.7906$. Níquel: $250\times0.4096\times0.7906 =
81.0\,\mathrm{ppm}$. (b) $250\times0.5^{4} = 15.6\,\mathrm{ppm}$, cinco vezes baixo demais. (c) A lei de Rayleigh supõe um $D$ constante; quando a assembleia que cristaliza muda, $D$ salta, e a lei deve ser reiniciada a partir da composição do líquido atingida na mudança, com $F$ medido em relação a esse líquido.

## 8.8 Problema: a intrusão que escreveu sua própria história

**Problema 8.1.**

Problema de fim de semana — das camadas de um gabro à fração de seu magma que ainda estava líquida no fim

Uma [soleira](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-bodies) de gabro acamado (inventada) cristalizou a partir de um basalto cuja [margem resfriada](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-aureole) fornece a composição parental: $\ce{SiO2}$ 49.5, $\ce{Al2O3}$ 16.0, $\ce{FeO}$ 10.0, $\ce{MgO}$ 9.0, $\ce{CaO}$ 11.5, $\ce{Na2O}$ 2.5, $\ce{K2O}$ $0.30\,\%$; $150\,\mathrm{ppm}$ de Ni e $80\,\mathrm{ppm}$ de Zr. Os [cumulatos](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) da zona inferior são formados de $20\,\%$ de olivina, $50\,\%$ de plagioclásio e $30\,\%$ de clinopiroxênio; acima do nível em que a olivina desaparece, de $55\,\%$ de plagioclásio e $45\,\%$ de clinopiroxênio. Tome os coeficientes de partição (olivina / plagioclásio / clinopiroxênio) Ni 5.0 / 0 / 2.0 e Zr 0.0007 / 0.001 / 0.195. Composições dos minerais ($\%$): olivina $\ce{MgO}$ 42.06, $\ce{CaO}$ 0, $\ce{Al2O3}$ 0, $\ce{SiO2}$ 39.19; plagioclásio 0, 14.36, 31.70, 50.54; clinopiroxênio 16.0, 20.5, 3.0, 51.5. Um [dique](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-bodies) de rocha de granulação fina, alimentado pela câmara quando a camada mais alta cristalizou, tem $\ce{SiO2}$ 50.0, $\ce{Al2O3}$ 14.1, $\ce{FeO}$ 16.7, $\ce{MgO}$ 4.9, $\ce{CaO}$ 7.3, $\ce{Na2O}$ 3.4, $\ce{K2O}$ $0.75\,\%$ e $188\,\mathrm{ppm}$ de Zr.

**Parte I — Os coeficientes de partição das camadas.**

1. Calcule o coeficiente de partição global do níquel na zona inferior.
2. Calcule o do zircônio na zona inferior.
3. Calcule ambos na zona superior.
4. Qual elemento é compatível em cada zona? O níquel continua compatível quando a olivina desaparece?
5. Que mineral contém a maior parte do zircônio dos [cumulatos](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) , e por quê?
6. Por que fator Ni/Zr no líquido varia a cada redução de $F$ à metade na zona inferior?

**Parte II — Curvas de Rayleigh ao longo da seção.**

7. Que teor de níquel você espera no [cumulato](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) mais baixo, cristalizado em $F = 1$ ?
8. Um [cumulato](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) da zona inferior, mais acima, contém $190\,\mathrm{ppm}$ de Ni. Em que $F$ ele se formou?
9. Qual era então o teor de zircônio do líquido?
10. Nesse $F$ , compare o níquel do líquido dado pelas leis fracionada e de equilíbrio.
11. A olivina desaparece em $F = 0.55$ . Calcule o teor de níquel do líquido nesse ponto.
12. Calcule o níquel dos [cumulatos](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) formados logo abaixo e logo acima desse nível. Que feição um geólogo veria no perfil?
13. Calcule o níquel do líquido e do [cumulato](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) em $F = 0.40$ . Explique a tendência.

**Parte III — O balanço de massa do último líquido.**

14. Escreva a equação de conservação do método para um óxido, com as massas $x_{\mathrm{ol}}, x_{\mathrm{pl}}, x_{\mathrm{cpx}}$ removidas por $100\,\mathrm{g}$ de [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) parental e o [dique](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-bodies) como líquido derivado.
15. Escreva-a para $\ce{MgO}$ , $\ce{CaO}$ e $\ce{Al2O3}$ .
16. Resolva o sistema $3 \times 3$ .
17. Que fração do [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) parental resta como líquido?
18. Verifique a resposta com $\ce{SiO2}$ : recalcule a sílica do líquido a partir das massas encontradas.
19. Compare as proporções dos minerais removidos com as modas das duas zonas.
20. A potassa não entra em nenhum dos minerais: que fração de líquido ela dá?

**Parte IV — A fração de líquido no topo.**

21. Por que fator o zircônio tinha aumentado no líquido quando a olivina desapareceu em $F = 0.55$ ? Dê o teor de zircônio nesse momento.
22. A partir do zircônio do [dique](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-bodies) , calcule a fração de líquido restante quando ele se formou, aplicando a lei da zona superior a partir de $F = 0.55$ .
23. Refaça o cálculo com um $D = 0.07$ único desde o início. A resposta é sensível aos detalhes de $D$ ?
24. O ferro subiu de 10.0 para $16.7\,\%$ no líquido enquanto a sílica quase não mudou. Que minerais são responsáveis, e que tipo de série magmática isso prenuncia ( [Capítulo 9](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/9-series-magmaticas-e-contextos-tectonicos#ch-b2-magmatic-series) )?
25. Os [cumulatos](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) mais altos contêm $47\,\mathrm{ppm}$ de Zr. Os cristais cúmulus sozinhos conteriam $\bar D$ vezes o zircônio do líquido; que fração em massa de líquido aprisionado (com a composição do [dique](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-bodies) ) explica a análise?
26. Indique a fração do [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) original ainda líquida quando a camada mais alta cristalizou, o número-chave deste problema, e compare as três estimativas (elementos maiores, potassa, zircônio).

**Solução de Problema 8.1.**

**Parte I.**

**1.** $\bar D_{\ce{Ni}} = 0.20\times5.0 + 0.50\times0 + 0.30\times2.0 = 1.60$.

**2.** $\bar D_{\ce{Zr}} = 0.20\times0.0007 + 0.50\times0.001 + 0.30\times0.195 =
0.00014 + 0.0005 + 0.0585 = 0.059$.

**3.** Zona superior: $\bar D_{\ce{Ni}} = 0.45\times2.0 = 0.90$; $\bar D_{\ce{Zr}} =
0.55\times0.001 + 0.45\times0.195 = 0.088$.

**4.** O níquel é compatível na zona inferior (1.60) e se torna ligeiramente incompatível (0.90) quando a olivina desaparece; o zircônio é incompatível nas duas.

**5.** O clinopiroxênio: ele fornece $0.0585$ dos $0.059$ da zona inferior, quase tudo, porque é o único mineral com um coeficiente longe de zero.

**6.** $(C_{\ce{Ni}}/C_{\ce{Zr}})$ varia por um fator de $F^{D_{\ce{Ni}} - D_{\ce{Zr}}}$; a cada redução à metade, $0.5^{1.60 - 0.059} = 0.5^{1.541} = 0.344$.

**Parte II.**

**7.** $1.60\times150 = 240\,\mathrm{ppm}$.

**8.** O líquido tinha $190/1.60 = 118.75\,\mathrm{ppm}$; $F = (118.75/150)^{1/0.6} =
0.7917^{1.667} = 0.68$.

**9.** $80\times0.68^{-0.941} = 80\times1.438 = 115\,\mathrm{ppm}$.

**10.** Fracionada: $150\times0.68^{0.6} = 150\times0.793 = 119.0\,\mathrm{ppm}$; equilíbrio: $150/(1.6 + 0.68\times(1 - 1.6)) = 150\times0.839 = 125.8\,\mathrm{ppm}$. A diferença é de apenas $6\,\%$ depois que um terço do [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) cristalizou: para um elemento moderadamente compatível, as duas leis permanecem próximas no início.

**11.** $150\times0.55^{0.6} = 104.8\,\mathrm{ppm}$.

**12.** Logo abaixo: $1.60\times104.8 = 167.7\,\mathrm{ppm}$; logo acima: $0.90\times104.8 = 94.3\,\mathrm{ppm}$. O perfil de níquel dos [cumulatos](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) cai abruptamente $44\,\%$ no nível em que a olivina desaparece das camadas: um degrau, não uma curva suave.

**13.** Líquido: $104.8\times(0.40/0.55)^{0.90 - 1} = 104.8\times1.032 =
108.2\,\mathrm{ppm}$; [cumulato](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate) $0.90\times108.2 = 97.4\,\mathrm{ppm}$. Com $\bar D < 1$, o níquel agora sobe lentamente no líquido e nos [cumulatos](#def-b2-magmatic-differentiation-cumulate): o perfil, depois de seu degrau, sobe suavemente.

**Parte III.**

**14.** $x_{\mathrm{ol}}(m_{\mathrm{ol},j} - d_j) + x_{\mathrm{pl}}
(m_{\mathrm{pl},j} - d_j) + x_{\mathrm{cpx}}(m_{\mathrm{cpx},j} - d_j) = 100\,(p_j -
d_j)$.

**15.** $\ce{MgO}$: $37.16\,x_{\mathrm{ol}} - 4.9\,x_{\mathrm{pl}} +
11.1\,x_{\mathrm{cpx}} = 410$; $\ce{CaO}$: $-7.3\,x_{\mathrm{ol}} +
7.06\,x_{\mathrm{pl}} + 13.2\,x_{\mathrm{cpx}} = 420$; $\ce{Al2O3}$: $-14.1\,x_{\mathrm{ol}} + 17.6\,x_{\mathrm{pl}} - 11.1\,x_{\mathrm{cpx}} = 190$.

**16.** Resolvendo (por eliminação ou pela regra de Cramer): $x_{\mathrm{ol}} = 9.03$, $x_{\mathrm{pl}} = 30.84$, $x_{\mathrm{cpx}} = 20.32$ gramas por $100\,\mathrm{g}$.

**17.** Cristais $9.03 + 30.84 + 20.32 = 60.19\,\mathrm{g}$; líquido $39.81\,\mathrm{g}$: $F = 0.398$.

**18.** $(4950 - 9.03\times39.19 - 30.84\times50.54 - 20.32\times51.5)/39.81 =
(4950 - 353.9 - 1558.7 - 1046.5)/39.81 = 1990.9/39.81 = 50.0\,\%$, como no [dique](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-bodies): o óxido não usado como controle é reproduzido.

**19.** Os cristais removidos são $9.03/60.19 = 15\,\%$ de olivina, $51\,\%$ de plagioclásio e $34\,\%$ de clinopiroxênio, entre as modas das duas zonas. Eles correspondem à assembleia inferior cristalizando de $F = 1$ a 0.55 ($0.45\times20 = 9.0$, $0.45\times50 = 22.5$, $0.45\times30 = 13.5$) seguida da superior de 0.55 a 0.40 ($0.15\times55 = 8.25$, $0.15\times45 = 6.75$): 9.0, 30.75 e 20.25 gramas.

**20.** $0.30/0.75 = 0.40$.

**Parte IV.**

**21.** $0.55^{0.059 - 1} = 0.55^{-0.941} = 1.755$; $80\times1.755 =
140.4\,\mathrm{ppm}$.

**22.** $188/140.4 = 1.339 = (F/0.55)^{0.088 - 1}$, logo $F = 0.55\times1.339^{-1/
0.912} = 0.55\times0.726 = 0.399$.

**23.** $(188/80)^{1/(0.07 - 1)} = 2.35^{-1.075} = 0.399$. Para [elementos incompatíveis](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/3-os-elementos-na-terra#def-b2-elements-in-the-earth-partition), $C_L/C_0 \approx 1/F$ qualquer que seja o $D$ pequeno: a resposta quase não depende dos detalhes de $D$, o que faz dos [elementos incompatíveis](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/3-os-elementos-na-terra#def-b2-elements-in-the-earth-partition) os melhores medidores de $F$.

**24.** O plagioclásio, que não contém ferro, forma metade dos cristais, e o piroxênio e a olivina juntos contêm menos ferro do que magnésia: o líquido se enriquece em ferro e se empobrece em magnésia sem ganhar sílica. Esse enriquecimento em ferro com sílica quase constante é a marca da série toleítica do capítulo seguinte.

**25.** Cristais cúmulus puros conteriam $0.088\times188 = 16.5\,\mathrm{ppm}$. Com uma fração em massa $t$ de líquido aprisionado, $16.5(1 - t) + 188\,t = 47$, logo $t = (47 -
16.5)/(188 - 16.5) = 30.5/171.5 = 0.18$: cerca de $18\,\%$ de líquido aprisionado.

**26.** As três estimativas, elementos maiores (0.398), potassa (0.40) e zircônio (0.399), concordam: quando a camada mais alta cristalizou, **$40\,\%$** do [magma](https://one-course.com/books/earth/4/pt/chapter/5-os-magmas-e-seu-alojamento#def-b2-magma-emplacement-magma) original ainda estava líquido.