---
title: "التأريخ المتقدّم"
book: "علوم الأرض والفضاء الجامعية — السنة الثالثة"
subject: earth
language: ar
chapter: 13
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/5/ar/chapter/13-advanced-geochronology
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
---

# الفصل 13 — التأريخ المتقدّم

بلورة من الزركون طولها عُشر ملليمتر أبقت ساعتين تعملان منذ تبلور الغرانيت الذي تحويه: اليورانيوم-238 المتفكّك إلى الرصاص-206، واليورانيوم-235 المتفكّك إلى الرصاص-207. عندما تتّفق الساعتان يكون العمر بلا شكّ. وعندما تختلفان يمكن تأريخ الاختلاف نفسه: فقد خسرت البلورة جزءًا من رصاصها في حدث لاحق، وإذا قُرئت الساعتان معًا أعطتا عمر الغرانيت وعمر ذلك الحدث. يقرأ هذا الفصل ساعات عدّة في وقت واحد: في اليورانيوم والرصاص، وفي الأرغون، وفي النيوديميوم، وفي آثار الانشطار والهليوم، وفي الذرّات النادرة التي تصنعها الأشعة الكونية، ويبيّن إلى أيّ مدى يمكن الوثوق بكلّ عمر.

**ما تعرفه من قبل.**

التفكّك الإشعاعي، ومعادلة العمر، والإيزوكرون ونسبته الابتدائية، وخطّ المربعات الصغرى، والتفكّك المتفرّع، وعمر البوتاسيوم-الأرغون، ودرجة حرارة الإغلاق وعمر التبرّد، ترد في مجلد السنة الأولى، في فصله عن التأريخ الإشعاعي؛ أمّا صيغة التعرية المستقرّة للنويدات الكونية المنشأ فترد في فصله عن التعرية والنقل. ويرد الخزّان الكوندريتي المنتظم، وترميز إبسيلون والوشاح المستنفد في مجلد السنة الثانية، في فصله عن الجيوكيمياء النظيرية؛ أمّا التأيّن الحراري وقياس الطيف الكتلي متعدّد المجمّعات فيردان في فصله عن طرائق الحقل والمختبر. ويرد التأريخ الحراري والعلاقة بين العمر والارتفاع في [الفصل 10](https://one-course.com/books/earth/5/ar/chapter/10-thrust-belts-and-orogenic-wedges#ch-b3-orogenic-wedges).

## 13.1 اليورانيوم والرصاص والكونكورديا

لليورانيوم نظيران طويلا العمر. يتفكّك اليورانيوم-238 عبر سلسلة من النويدات الابنة قصيرة العمر إلى الرصاص-206 بثابت $\lambda_{238} =
1.551\,25 \times 10^{-10}\,\mathrm{yr}^{-1}$؛ ويتفكّك اليورانيوم-235 إلى الرصاص-207 بثابت $\lambda_{235}
= 9.8485 \times 10^{-10}\,\mathrm{yr}^{-1}$، أي أسرع بست مرّات. ونسبتهما الحالية هي $^{235}\mathrm{U}/^{238}\mathrm{U} = 0.0072567$، أو $^{238}\mathrm{U}/^{235}\mathrm{U}
= 137.8$، وهي النسبة نفسها في كلّ صخرة أرضية. يستوعب الزركون، $\mathrm{ZrSiO_4}$، كمّيات كبيرة من اليورانيوم وقليلة جدًّا من الرصاص عند نموّه، ويقاوم التجوية ويصمد أمام التحوّل، وأغلب رصاصه مُشعّ المنشأ.

لنكتب $x = {}^{207}\mathrm{Pb}^*/{}^{235}\mathrm{U}$ و$y =
{}^{206}\mathrm{Pb}^*/{}^{238}\mathrm{U}$ للنسبتين الحاليتين للرصاص المُشعّ المنشأ إلى أمّه. ويعطي كلّ منهما عمرًا، $t_{206} = \ln(1 + y)/\lambda_{238}$ و$t_{207} = \ln(1 + x)/\lambda_{235}$.

**تعريف 13.1 (الكونكورديا، الديسكورديا، التقاطعات، مخطط تيرا–فاسربورغ).**

*الكونكورديا* هي المنحنى في المستوى $(x, y)$ الذي يتساوى عنده عمرا اليورانيوم–الرصاص. و*الديسكورديا* هو خطّ مستقيم تصطفّ على امتداده التحليلات المتقاطعة لمجموعة واحدة من البلورات؛ وتقاطعاته مع الكونكورديا هي *التقاطع العلوي* (الأقدم) و*التقاطع السفلي* (الأحدث). أمّا *مخطط تيرا–فاسربورغ* فيرسم $X = {}^{238}\mathrm{U}/{}^{206}\mathrm{Pb}^*$ مقابل $Y =
{}^{207}\mathrm{Pb}^*/{}^{206}\mathrm{Pb}^*$.

**مبرهنة 13.2 (الكونكورديا).**

بلورة بقيت مغلقة أمام اليورانيوم والرصاص منذ تكوّنها، أي منذ زمن $t$ مضى، تقع عند

$$
C(t) = \bigl(e^{\lambda_{235}t} - 1,\; e^{\lambda_{238}t} - 1\bigr).
$$

مع ازدياد $t$ يصعد المنحنى مقابل $x$ بصورة أبطأ فأبطأ: ميله، $\mathrm dy/\mathrm dx = (\lambda_{238}/\lambda_{235})\,e^{(\lambda_{238} -
\lambda_{235})t}$، يتناقص من $\lambda_{238}/\lambda_{235} = 0.1575$ عند المبدأ، لذا [فالكونكورديا](#def-b3-advanced-geochronology-concordia) مقعّرة باتجاه المحور $x$.

**برهان.** لكلّ أمّ، عدد الذرّات الابنة المشعّة المنشأ لكلّ ذرّة أمّ متبقّية هو $e^{\lambda t} - 1$، وهي معادلة العمر في مجلد السنة الأولى. وبتفاضل الإحداثيين كليهما بالنسبة إلى $t$ والقسمة نحصل على الميل؛ وبما أنّ $\lambda_{235} > \lambda_{238}$، فإنّ الميل يتناقص مع $t$. ∎

الرصاص أيون كبير لا يستقرّ جيّدًا في شبكة الزركون. وفي الأجزاء من البلورة المتضرّرة بإشعاعها الذاتي، يمكن أن يخرج أثناء حدث لاحق من التسخين أو دوران السوائل.

**مبرهنة 13.3 (فقد الرصاص المتقطّع يعطي وترًا).**

بلورة تكوّنت قبل زمن $t_1$، وفقدت قبل زمن $t_2$ كسرًا $f$ من رصاصها المشعّ المنشأ، وبقيت مغلقة فيما عدا ذلك، وتقع اليوم عند

$$
(1 - f)\,C(t_1) + f\,C(t_2),
$$

على الوتر الواصل بين النقطتين $t_1$ و$t_2$ من [الكونكورديا](#def-b3-advanced-geochronology-concordia). والبلورات التي فقدت كسورًا مختلفة تقع على ذلك الوتر، وهو ديسكورديا تقاطعه العلوي هو $t_1$ وتقاطعه السفلي هو $t_2$.

**برهان.** نأخذ نظام تفكّك واحدًا ثابته $\lambda$، ونعدّ لكلّ ذرّة أمّ موجودة اليوم. قبل زمن $t_2$ كان هناك $e^{\lambda t_2}$ من ذرّات الأمّ، وكانت الذرّات الابنة المشعّة المنشأ $e^{\lambda t_2}(e^{\lambda(t_1 - t_2)} - 1) =
e^{\lambda t_1} - e^{\lambda t_2}$. أمّا الحدث فقد ترك $(1 - f)(e^{\lambda t_1} -
e^{\lambda t_2})$؛ ومنذ ذلك الحين أنتجت الأمّ $e^{\lambda t_2} - 1$ إضافية. والمجموع هو $(1 - f)(e^{\lambda t_1} - 1) + f(e^{\lambda t_2} - 1)$. ويسلك نظيرا الرصاص سلوكًا كيميائيًّا متشابهًا، فإنّ $f$ واحدة لكليهما، ويجتمع الإحداثيان في النقطة المذكورة. ∎

![(أ) الكونكورديا، مع أعمارها بالملايين من السنين، خمسة زركونات مصطنعة غير متوافقة من جرانيت واحد (باللون الأحمر؛ قطوع الخطأ الناقصة لها أصغر من الرموز)، مصطفّةً على خطّ الديسكورديا (المتقطّع) الذي يلتقي بالكونكورديا قرب 311 و100\, Ma. (ب) الزركونات نفسها والخط نفسه في مخطط تيرا–فاسربورغ، حيث يبقى الديسكورديا خطًّا مستقيمًا.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-advanced-geochronology/fig-c4f794a58b50.svg)

*(أ) [الكونكورديا](#def-b3-advanced-geochronology-concordia)، مع أعمارها بالملايين من السنين، خمسة زركونات مصطنعة غير متوافقة من جرانيت واحد (باللون الأحمر؛ قطوع الخطأ الناقصة لها أصغر من الرموز)، مصطفّةً على خطّ [الديسكورديا](#def-b3-advanced-geochronology-concordia) (المتقطّع) الذي يلتقي [بالكونكورديا](#def-b3-advanced-geochronology-concordia) قرب 311 و$100\,\mathrm{Ma}$. (ب) الزركونات نفسها والخط نفسه في [مخطط تيرا–فاسربورغ](#def-b3-advanced-geochronology-concordia)، حيث يبقى [الديسكورديا](#def-b3-advanced-geochronology-concordia) خطًّا مستقيمًا.*

تُحسب التقاطعات حيث $a + b\,x(t) = y(t)$، وهي معادلة في $t$ تُحلّ بطريقة نيوتن: مع $g(t) = e^{\lambda_{238}t} - 1 - a -
b(e^{\lambda_{235}t} - 1)$ و$g'(t) = \lambda_{238}e^{\lambda_{238}t} -
b\lambda_{235}e^{\lambda_{235}t}$، نكرّر $t \leftarrow t - g/g'$ انطلاقًا من تخمين قرب كلّ تقاطع. تهمّ ثلاث خصائص للنتيجة في التطبيق. أوّلًا، لا يكون [التقاطع العلوي](#def-b3-advanced-geochronology-concordia) دقيقًا إلّا إذا قطع [الديسكورديا](#def-b3-advanced-geochronology-concordia) [الكونكورديا](#def-b3-advanced-geochronology-concordia) بزاوية كبيرة. [الديسكورديا](#def-b3-advanced-geochronology-concordia) الفتيّ، كما في الشكل أعلاه، يمتدّ تقريبًا على طول [الكونكورديا](#def-b3-advanced-geochronology-concordia)، ويكفي تغيّرٌ صغير في ميله لنقل التقاطع بعيدًا. ثانيًا، إذا كان فقد الرصاص حديثًا، $t_2 = 0$، يمرّ [الديسكورديا](#def-b3-advanced-geochronology-concordia) بنقطة الأصل، ويكون لكلّ بلّورة النسبة نفسها $^{207}\mathrm{Pb}^*/^{206}\mathrm{Pb}^*$،

$$
\frac{^{207}\mathrm{Pb}^*}{^{206}\mathrm{Pb}^*} = \frac{1}{137.8}\,
\frac{e^{\lambda_{235}t_1} - 1}{e^{\lambda_{238}t_1} - 1},
$$

وهي تعطي $t_1$ دون الحاجة إلى اليورانيوم، وهو عمر الرصاص–الرصاص. ثالثًا، يتحوّل الخطّ في مخطّط [الكونكورديا](#def-b3-advanced-geochronology-concordia)، $x = (y - a)/b$، في إحداثيات تيرا–فاسربورغ $Y = (1 - aX)/(137.8\,b)$، إلى خطّ مجدّدًا. يستخدم مخطّط تيرا–فاسربورغ نسبًا قيست مباشرةً دون الحاجة إلى حساب اليورانيوم-235 من اليورانيوم-238، ويقع مزيجٌ مع الرصاص الشائع، غير المشعّ وغنيّ بالرصاص-207، على خطّ يبلغ محور $Y$ عند نسبة الرصاص الشائع.

تُقاس أعمار اليورانيوم–الرصاص بطريقتين. البلّورات المفردة أو الشظايا، تُذاب بعد إزالة المناطق المتضرّرة بالإذابة الجزئية، وفصل الرصاص واليورانيوم منها، تُقاس بمطياف الكتلة بالتأيّن الحراري، وهي أدقّ أعمار في الجيولوجيا. تُقاس البقع بعرض بضعة عشرات من الميكرومترات في موضعها، بمسبار أيوني أو بالاستئصال بالليزر، أقلّ دقّةً، لكنّها تُقاس منطقةً تلو أخرى عبر بلّورة نمت خلال عدّة أحداث.

**في المختبر — مختبر التأريخ الجيولوجي.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-advanced-geochronology/img-b66d1562c6f6.jpg)

*مطياف الكتلة في مختبر نظيف: برج العيّنات إلى اليسار، وأنبوب الطيران والمغناطيس الكهربائي (رسم توضيحي مولَّد بالذكاء الاصطناعي).*

يبدأ تأريخ الزركون بصخرة مسحوقة وينتهي في مختبر نظيف. يفصل الباحثون الزركونات حسب الكثافة والمغناطيسية، ويختارون أوضح البلّورات تحت المجهر الثنائي العينيّة، ويصوّرون تدرّجها. تُذاب البلّورات جزئيًّا لإزالة مناطقها المتضرّرة، ثم تُذاب كلّيًّا بمُنشِّط من نظائر معلومة، ويُفصل اليورانيوم والرصاص على أعمدة راتنجية دقيقة، في هواء مُرشَّح لاستبعاد غبار الرصاص. يقيس مطياف الكتلة نِسَب النظائر. وتسلك عيّنات الأرغون مسارًا مختلفًا: مفاعلًا، ثم خطَّ غازات يُسخَّن فيه كلّ طور بالليزر، ويُنقّى الأرغون قبل مطياف الكتلة.

## 13.2 التأريخ بطريقة الأرغون–الأرغون

تقيس طريقة البوتاسيوم–الأرغون الواردة في مجلد السنة الأولى البوتاسيوم والأرغون في عيّنتين جزئيّتين منفصلتين من معدن. وتقيس طريقة الأرغون–الأرغون الأرغونَ وحده، في عيّنة جزئية واحدة، على هيئة نِسب نظائر. وتُشعَّع العيّنة بنيوترونات سريعة في قلب مفاعل نووي، حيث يحوّل التفاعل $^{39}\mathrm{K}(n,p)^{39}\mathrm{Ar}$ نسبةً ثابتةً من البوتاسيوم-39 إلى الأرغون-39، وهو بديلٌ عن البوتاسيوم. ويُشعَّع بجوارها معدن معلوم العمر، وهو المراقِب.

**تعريف 13.4 (التأريخ بطريقة الأرغون–الأرغون، العامل J، طيف الأعمار، عمر الهضبة).**

*التأريخ بطريقة $^{40}\mathrm{Ar}/^{39}\mathrm{Ar}$* يؤرّخ معدنًا يحوي البوتاسيوم بالنسبة $R =
{}^{40}\mathrm{Ar}^*/{}^{39}\mathrm{Ar}_{\mathrm K}$ للأرغون-40 المشعّ إلى الأرغون-39 المتكوّن من بوتاسيومه بالتشعيع النيوتروني. *العامل J* للتشعيع هو $J = (e^{\lambda
t_m} - 1)/R_m$، ويُحسب انطلاقًا من مراقِب معلوم العمر $t_m$ والنسبة المقيسة $R_m$، حيث $\lambda$ ثابت الاضمحلال الكلّي للبوتاسيوم-40. وحين تُزال غازات العيّنة على خطوات متزايدة الحرارة، يرسم *طيف الأعمار* عمرَ كلّ خطوة مقابل الكسر التراكمي للأرغون-39 المحرَّر. أمّا *عمر الهضبة* فهو المتوسّط المرجّح لأعمار خطوات متتالية تتّفق ضمن حدود عدم اليقين فيها، وتحرّر جزءًا كبيرًا من الأرغون-39.

**مبرهنة 13.5 (عمر الأرغون–الأرغون).**

يكون لعيّنةٍ مُشعَّعةٍ مع مراقِب العمرُ

$$
t = \frac1\lambda\ln(1 + JR).
$$

**برهان.** الأرغون المشعّ هو $^{40}\mathrm{Ar}^* = (\lambda_e/\lambda)\,
{}^{40}\mathrm{K}\,(e^{\lambda t} - 1)$، بحسب الاضمحلال المتفرّع الوارد في مجلد السنة الأولى. والأرغون-39 المتكوّن هو $^{39}\mathrm{Ar}_{\mathrm K} =
{}^{39}\mathrm{K}\,\Phi$، حيث يجمع $\Phi$ الجرعة النيوترونية والمقطع العرضي للتفاعل. إذن $R = (e^{\lambda t} - 1)/J$ مع $J =
\lambda\,\Phi\,{}^{39}\mathrm{K}/(\lambda_e\,{}^{40}\mathrm{K})$. تكون النسبة $^{40}\mathrm{K}/^{39}\mathrm{K}$ هي نفسها في كلّ البوتاسيوم، و$\Phi$ نفسه لعيّنتين شُعّعتا جنبًا إلى جنب، فيكون $J$ واحدًا للعيّنة والمراقِب؛ ويُعطى بعمر المراقِب ونسبته، وبعكس $R$ نحصل على $t$. ∎

الثوابت هي ثوابت طريقة البوتاسيوم–الأرغون، $\lambda =
5.543 \times 10^{-10}\,\mathrm{yr}^{-1}$. ويُستعمل مراقِب شائع، هو السانيدين من تُفّ بركاني مؤرَّخٌ عند $28.201\,\mathrm{Ma}$؛ ونسبة المراقِب $R_m = 1.3129$ تعطي $J =
0.01200$. يُطرح الأرغون الجوّي، ذو النسبة $^{40}\mathrm{Ar}/^{36}\mathrm{Ar} = 295.5$، مستعملًا الأرغون-36 المقيس في كلّ خطوة، ويُصحَّح الأرغون المتكوّن بالنيوترونات من الكالسيوم ومن البوتاسيوم نفسه بأملاح شُعّعت في الحزمة نفسها.

التسخين المتدرّج هو نقطة قوّة الطريقة. تُسخَّن العيّنة في فرن أو بالليزر على خطوات متزايدة الحرارة، وتعطي كلّ خطوة عمرًا. إن بقي المعدن مغلقًا منذ تبرّده، تتّفق الخطوات كلّها: يكون الطيف مسطّحًا. وإن فقد الأرغون من أطراف حبيباته، فإنّ الخطوات الأولى، التي تأتي من الأطراف، تكون أحدث، وترتفع الأعمار كدرج نحو هضبة تعطيها لُبوب الحبيبات. ومن معايير الهضبة الموصى بها أن تكون خمس خطوات متتالية على الأقل تحمل أكثر من $50\,\%$ من الأرغون-39، دون أيّ اتجاه بينها؛ وتُفسَّر خطوات الدرج ذات الحرارة المنخفضة عادةً بوصفها فقدانًا للأرغون المشعّ المنشأ. أمّا الأرغون الزائد، المحبوس من مائع عند نمو المعدن، فيفعل العكس: يجعل بعض الخطوات أقدم من اللازم، وغالبًا الأولى والأخيرة، في طيف على شكل سرج. ومجموع الخطوات كلّها، أي عمر الغاز الكلّي، هو ما كان سيعطيه عمر البوتاسيوم–الأرغون: متوسّطًا يُخفي التاريخ.

![طيف الأعمار المُفترَض لمعدن البيوتيت من الغرانيت في الشكل الأول: تُرسم كلّ خطوة عند عمرها، ويمثّل عرضها حصّتها من الأرغون-39 المتحرّر منها. (أ) ترتفع ثلاث خطوات ذات حرارة منخفضة كدرج نحو هضبة. (ب) الخطوات السبع للهضبة، التي تحوي 82\,\% من الأرغون-39، مع مداها عند انحرافين معياريين (مظلَّلة)، وعمر الهضبة (بالأحمر).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-advanced-geochronology/fig-4ea3e4a6f752.svg)

*[طيف الأعمار](#def-b3-advanced-geochronology-arar) المُفترَض لمعدن البيوتيت من الغرانيت في الشكل الأول: تُرسم كلّ خطوة عند عمرها، ويمثّل عرضها حصّتها من الأرغون-39 المتحرّر منها. (أ) ترتفع ثلاث خطوات ذات حرارة منخفضة كدرج نحو هضبة. (ب) الخطوات السبع للهضبة، التي تحوي $82\,\%$ من الأرغون-39، مع مداها عند انحرافين معياريين (مظلَّلة)، [وعمر الهضبة](#def-b3-advanced-geochronology-arar) (بالأحمر).*

## 13.3 أعمار النموذج للنيوديميوم

عندما يُستخلَص مصهور من الوشاح لتكوين القشرة القارّية، يبقى السماريوم، الأكثر توافقًا، في المصدر أكثر من النيوديميوم: تملك القشرة الجديدة نسبة أدنى $^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd}$ من مصدرها، نحو 0.13 لمعظم الصخور القشرية، مقابل 0.1966 للخزّان الكوندريتي. ونسبة $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ فيها تنمو ببطء أكبر. وما إن تتكوّن صخرة قشرية، تميل إلى الحفاظ على نسبة السماريوم–النيوديميوم، عبر التعرية، والترسيب بل وحتى إعادة الانصهار، فيحفظ نيوديميومها ذكرى وقت مغادرته الوشاح.

**تعريف 13.6 (العمر النموذجي).**

*العمر النموذجي* لصخرة في نظام نظيري هو الزمن الذي تساوي فيه نسبتها، مُسقَطةً إلى الخلف بنسبة الأمّ–البنت الحالية، نسبة خزّان نموذجي. وفي حالة النيوديميوم، يعتمد $T_{\mathrm{CHUR}}$ على الخزّان الكوندريتي المتجانس، و$T_{\mathrm{DM}}$ على الوشاح المستنفد.

**مبرهنة 13.7 (العمر النموذجي).**

لعيّنة ذات النسب الحالية $I_s = {}^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ و$R_s = {}^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd}$، تُقارَن بخزّان ذي النسب الحالية $I_m$ و$R_m$، يكون لها [العمر النموذجي](#def-b3-advanced-geochronology-model-age)

$$
T = \frac1\lambda\ln\left(1 + \frac{I_s - I_m}{R_s - R_m}\right),
\qquad \lambda = \lambda_{147}.
$$

**برهان.** كان لنظام مغلق قبل الزمن $T$ النسبة $I - R(e^{\lambda T} - 1)$: معادلة الإيزوكرون مقروءةً بالعكس. وبمساواة هذا للعيّنة والخزّان نجد $I_s - I_m = (R_s - R_m)(e^{\lambda T} - 1)$. ∎

مع $\lambda_{147} = 6.524 \times 10^{-12}\,\mathrm{yr}^{-1}$، الخزّانان هما الكوندريتي بقيمة 0.512638 و0.1966 اليوم، والوشاح المستنفد، بقيمة 0.51315 اليوم، أي نحو $\varepsilon_{\mathrm{Nd}} = +10$، وهي القيمة التي يعطيها تطوّر مغلق من القيم الكوندريتية منذ $4.55\,\mathrm{Ga}$ النسبة $^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.2137$. وغرانيت مُفترَض ذو $I_s = 0.511900$ و$R_s = 0.1100$ يملك $\varepsilon_{\mathrm{Nd}} = -14.4$ اليوم، و$T_{\mathrm{CHUR}} = 1.30\,\mathrm{Ga}$ و$T_{\mathrm{DM}} =
1.84\,\mathrm{Ga}$. ويقرأ الشكل أدناه القيمتين. ويُعدّ عمر الوشاح المستنفد التقديرَ الأفضل، لأنّ القشرة تُستخلَص من وشاح مستنفد أصلًا؛ فهو متوسّط العمر الذي غادر فيه نيوديميوم العيّنة الوشاح، وهو عمر إقامتها القشرية. ويحدّ منه قيدان: يجب ألّا تكون القشرة قد غيّرت نسبة السماريوم–النيوديميوم منذ ذلك، وأنّ الصخرة المكوّنة بخلط قشرة قديمة بمصهورات وشاح جديد لها عمر نموذجي وسيط لا معنى له.

![_ Nd لغرانيت مفترض مُسقَط إلى الماضي بنسبة السماريوم–النيوديميوم الخاصة به (الأحمر). يلتقي المستودع الكوندريتي عند T_ CHUR = 1.30\, Ga والوشاح المستنفد (الأزرق) عند T_ DM = 1.84\, Ga.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-advanced-geochronology/fig-824ae9843d2a.svg)

*$\varepsilon_{\mathrm{Nd}}$ لغرانيت مفترض مُسقَط إلى الماضي بنسبة السماريوم–النيوديميوم الخاصة به (الأحمر). يلتقي المستودع الكوندريتي عند $T_{\mathrm{CHUR}} = 1.30\,\mathrm{Ga}$ والوشاح المستنفد (الأزرق) عند $T_{\mathrm{DM}} = 1.84\,\mathrm{Ga}$.*

## 13.4 آثار الانشطار والهيليوم

يتحلّل اليورانيوم-238 أيضًا، وذلك نادرًا جدًّا، بالانشطار التلقائي: تنشطر النواة إلى شظيّتين تتباعدان وتتركان مسارًا من التلف في البلورة، يبلغ عرضه حتى $9\,\mathrm{nm}$ وطوله نحو $23\,\text{µ}\mathrm{m}$ في الأباتيت. بعد تنميشها بالحمض تصبح المسارات مرئية تحت المجهر. تلتئم حين تُسخَّن البلورة، عبر نحو 20 إلى $350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$، حسب المعدن؛ وفي الأباتيت تتقلّص في نطاق التلدين الجزئي، نحو 60 إلى $120\,{}^{\circ}\mathrm{C}$، وتختفي فوق ذلك.

**تعريف 13.8 (التأريخ بآثار الانشطار، تلدين الآثار).**

*التأريخ بآثار الانشطار* يؤرّخ معدنًا بكثافة الآثار التي يتركها فيه الانشطار التلقائي لليورانيوم-238 مقارنةً بمحتواه من اليورانيوم. *تلدين الآثار* هو تقلّص الآثار واختفاؤها بفعل إصلاح البلورة عند تسخينها.

**مبرهنة 13.9 (عمر آثار الانشطار).**

ليكن $\lambda_f$ ثابت تفكّك الانشطار التلقائي، و$\lambda =
\lambda_{238}$ الثابت الكلّي، فإنّ بلورةً فيها $N_s$ من حالات الانشطار التلقائي لكلّ وحدة حجم و$N$ ذرّة من اليورانيوم-238 لها العمر

$$
t = \frac1\lambda\ln\left(1 + \frac{\lambda}{\lambda_f}\,\frac{N_s}{N}\right).
$$

في المختبر يُقاس اليورانيوم بإحداث انشطار اليورانيوم-235 بالنيوترونات الحرارية، ويصبح العمر

$$
t = \frac1\lambda\ln\left(1 + \lambda\,\zeta\,g\,\rho_d\,\frac{\rho_s}{\rho_i}\right),
$$

حيث $\rho_s$ و$\rho_i$ كثافتا الآثار التلقائية والمستحثّة، و$\rho_d$ كثافة الآثار في زجاج قياس الجرعة، و$g = 0.5$ عاملًا هندسيًّا و$\zeta$ ثابت معايرة يُحصل عليه من عيّنات معيارية معلومة العمر.

**برهان.** تفكّك اليورانيوم-238 $N(e^{\lambda t} - 1)$ مرّة، وكان الكسر $\lambda_f/\lambda$ من هذه التفكّكات انشطارات: $N_s =
(\lambda_f/\lambda)N(e^{\lambda t} - 1)$، وبإعادة ترتيبها تنتج الصيغة الأولى. تتناسب كثافتا الآثار طرديًّا مع $N_s$ ومع عدد الانشطارات المستحثّة، $N\,\sigma\,\Phi/137.8$، حيث $\sigma$ مقطع الانشطار لليورانيوم-235 و$\Phi$ التدفّق النيوتروني المتكامل، وهو بدوره متناسب مع $\rho_d$. والنسبة $\rho_s/\rho_i$ تساوي إذن $N_s/N$ مضروبةً في جداءً من ثوابت، وتُضَمّ $\lambda_f$ و$\sigma$ و$137.8$ وكفاءةُ التنميش والعدّ مع $g$ في $\zeta$. ∎

لا يُعرف ثابت تفكّك الانشطار إلّا ضمن نحو $10\,\%$، بين $7.9 \times 10^{-17}$ و$8.7 \times 10^{-17}\,\mathrm{yr}^{-1}$، ولهذا تفضّل معظم المختبرات معايرة $\zeta$. وتحفظ أطوال الآثار سجلًّا لمسار درجة الحرارة. فالصخرة التي بردت بسرعة عبر نطاق التلدين الجزئي لها آثار طويلة متقاربة الطول تقريبًا؛ وأمّا التي مكثت فيه فلها آثار أقصر متفاوتة الأطوال تفاوتًا كبيرًا، وعمرُ آثار الانشطار عندئذٍ عمرٌ مختلط، لا زمنُ مرورٍ عبر درجة حرارة واحدة.

![رسم تخطيطي. (أ) آثار الانشطار التلقائي، المكشوفة بالتنميش على حبيبة أباتيت مصقولة، وتُعدّ لكلّ وحدة مساحة. (ب) جسيم ألفا يقطع نحو 20\, µ m: فما ينبعث ضمن هذه المسافة من السطح (خارج الخط المتقطّع) قد يغادر الحبيبة، ولذلك تحتفظ الحبيبة الصغيرة بقدر أقلّ من هيليومها.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-advanced-geochronology/fig-b1201c6d6731.svg)

*رسم تخطيطي. (أ) آثار الانشطار التلقائي، المكشوفة بالتنميش على حبيبة أباتيت مصقولة، وتُعدّ لكلّ وحدة مساحة. (ب) جسيم ألفا يقطع نحو $20\,\text{µ}\mathrm{m}$: فما ينبعث ضمن هذه المسافة من السطح (خارج الخط المتقطّع) قد يغادر الحبيبة، ولذلك تحتفظ الحبيبة الصغيرة بقدر أقلّ من هيليومها.*

يُطلق كلّ تفكّك ألفا نواةَ هيليوم-4. ويراكم اليورانيوم والثوريوم وسلاسلهما الهيليوم في البلورة، ولا تحتفظ به إلا وهي باردة.

**تعريف 13.10 (التأريخ بطريقة (U–Th)/He، نطاق الاحتفاظ الجزئي).**

*التأريخ بطريقة (U–Th)/He* يؤرّخ معدنًا بالهيليوم-4 المتراكم من تفكّكات ألفا لليورانيوم والثوريوم ونواتجها، مقارنةً بمحتواه من اليورانيوم والثوريوم. *نطاق الاحتفاظ الجزئي* هو مدى درجة الحرارة الذي يُحتفَظ فيه جزئيًّا بالهيليوم المتكوّن، ويُفقَد جزء منه بالانتشار.

**مبرهنة 13.11 (تراكم الهيليوم).**

تحتوي بلورة مغلقة أمام الهيليوم لمدّة $t$

$$
\mathrm{He} = 8\,{}^{238}\mathrm U\,(e^{\lambda_{238}t} - 1)
+ 7\,{}^{235}\mathrm U\,(e^{\lambda_{235}t} - 1)
+ 6\,{}^{232}\mathrm{Th}\,(e^{\lambda_{232}t} - 1),
$$

بعدد الذرّات، مع قياس النويدات الأمّ اليوم؛ ويُضيف السماريوم-147 حدًّا صغيرًا.

**برهان.** تفقد كلّ سلسلة فرق كتلتها على هيئة جسيمات ألفا، بأربع وحدات كتلة لكلّ منها: $(238 - 206)/4 = 8$، $(235 - 207)/4 = 7$، $(232 - 208)/4 = 6$، في حين أنّ تحلّلات بيتا لا تغيّر العدد الكتلي. كلّ سلسلة في حالة التوازن العلماني، فيتبع كلّ تحلّل للأمّ سلسلتَها كاملةً، وعدد تحلّلات كلّ أمّ هو ذاك الوارد في معادلة العمر. ∎

في البلّورة الفتيّة، $e^{\lambda t} - 1 \approx \lambda t$ ويُستنتج العمر بقسمة واحدة. يقطع جسيم ألفا نحو $20\,\text{µ}\mathrm{m}$ قبل أن يتوقّف، فتفقد البلّورة الهيليوم المتكوّن قرب سطحها؛ ويُقسم العمر المقاس على الكسر المحتفظ به $F_T$، وهو أصغر في الحبيبات الصغيرة ($F_T = 0.70$ تعني فقدان $30\,\%$ منه). يُغلق الأباتيت أمام الهيليوم عند نحو 50 إلى $80\,{}^{\circ}\mathrm{C}$، والزركون عند 160 إلى $200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: ومع آثار الانشطار في الأباتيت، قرب 90 إلى $120\,{}^{\circ}\mathrm{C}$، تؤرّخ المؤقّتات منخفضة الحرارة آخر بضعة كيلومترات من صعود الصخرة إلى السطح، كما استخدمتها في [الفصل 10](https://one-course.com/books/earth/5/ar/chapter/10-thrust-belts-and-orogenic-wedges#ch-b3-orogenic-wedges).

## 13.5 النويدات الكونية المنشأ

تُحدث الأشعّة الكونية الساقطة على الغلاف الجوي زخّات من الجسيمات الثانوية. تكسر النيوترونات السريعة التي تصل إلى الأرض أنوية المعادن في الأمتار العليا من الصخر، بالتفتّت: يتحوّل الأكسجين في الكوارتز إلى البريليوم-10، والسيليكون إلى الألومنيوم-26. وتكوّن الميونات بعض النويدات أعمق، وتهيمن تحت نحو $3\,\mathrm{m}$.

**تعريف 13.12 (النويدة الكونية المنشأ، عمر التعرّض، معدّل الإنتاج).**

*النويدة الكونية المنشأ* نويدة تتكوّن في معدنٍ عند السطح أو قربه بفعل الجسيمات الثانوية للأشعّة الكونية. أمّا *معدّل الإنتاج* $P$ فهو عدد الذرّات المتكوّنة لكلّ وحدة كتلة من المعدن ولكلّ سنة. ويُعرَّف *عمر التعرّض* لسطحٍ بأنّه الزمن منذ أوّل تعرّضه للأشعّة الكونية، ويُستخلص من تركيز النويدة الكونية المنشأ.

يتناقص [معدّل الإنتاج](#def-b3-advanced-geochronology-cosmogenic) مع العمق وفق $P_0e^{-\rho z/\Lambda}$، حيث يُؤخذ طول التوهين $\Lambda = 160\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$، أي نحو $60\,\mathrm{cm}$ من الجرانيت كثافته $2.7\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. وعند السطح يزداد المعدّل مع الارتفاع، لأنّ هواءً أقلّ يحمي الصخر، ومع خطّ العرض المغناطيسي، لأنّ المجال يحرف عددًا أقلّ من الجسيمات قرب القطبين. تُعطى المعدّلات لمرجعٍ عند مستوى سطح البحر وخطّ عرض مرتفع، وتُكيَّف لكلّ موقع: تعطي معايرة واحدة $P_0 = 4.96\text{ ذرّة}\,\mathrm{g}^{-1}\,\mathrm{yr}^{-1}$ للبريليوم-10 في الكوارتز عند ذلك المرجع. يبلغ عمر النصف للبريليوم-10 $1.388\,\mathrm{Myr}$، $\lambda = 4.994 \times 10^{-7}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

**مبرهنة 13.13 (التعرّض مع التحلّل والتعرية).**

سطح يتراجع بالمعدّل الثابت $\varepsilon$، ومُعرَّض لمدّة $t$ دون أن يرث أيّ نويدة، يحمل عند سطحه التركيز

$$
N(t) = \frac{P_0}{\mu}\bigl(1 - e^{-\mu t}\bigr), \qquad
\mu = \lambda + \frac{\rho\varepsilon}{\Lambda}.
$$

بدون تعرية، $N = (P_0/\lambda)(1 - e^{-\lambda t})$؛ وبعد زمن طويل، $N = P_0/\mu$، وبإهمال التحلّل تكون هذه الصيغة $P_0\Lambda/(\rho\varepsilon)$ من مجلد السنة الأولى.

**برهان.** نتبّع الحبيبة التي تقع عند السطح اليوم. قبل زمن $s$ كانت في العمق $\varepsilon s$، حيث اكتسبت ذرّات بالمعدّل $P_0e^{-\rho\varepsilon
s/\Lambda}$؛ ويبقى اليوم من تلك الذرّات الكسرُ $e^{-\lambda s}$. ونجمع على مدّة التعرّض،

$$
N = \int_0^t P_0e^{-\rho\varepsilon s/\Lambda}e^{-\lambda s}\,\mathrm ds
= \frac{P_0}{\mu}\bigl(1 - e^{-\mu t}\bigr).
$$

تنتج النهايات بوضع $\varepsilon = 0$، وجعل $t \to \infty$، ثمّ وضع $\lambda = 0$. ∎

بدون تعرية يتشبّع التركيز عند $P_0/\lambda$ بعد عدّة أعمار نصف: يبلغ السطح $90\,\%$ منه بعد $\ln 10/\lambda
= 4.6\,\mathrm{Myr}$، وبعد ذلك لا يمكن تأريخه. ومع التعرية، تُبلَغ الحالة المستقرّة أسرع، بعد عدّة أضعاف $1/\mu$، ويعطي تركيزه $\varepsilon$؛ ويُحسب المعدّل متوسطًا على الزمن $\Lambda/(\rho\varepsilon)$ الذي استغرقته الحبيبة لتصعد عبر طول توهين واحد، وهو بضعة عشرات الآلاف من السنين عند معدّلات بضعة عشرات الأمتار لكلّ مليون سنة. تتعرّى مكاشف الصخر الأساسي بمعدّل بضعة أمتار إلى بضعة عشرات الأمتار لكلّ مليون سنة؛ وأحواض الأنهار، المقاسة من رمال أنهارها، فأسرع.

تؤرّخ نويدتان ذواتا عمرَي نصفٍ مختلفين الدفنَ. يتكوّن البريليوم-10 والألومنيوم-26 معًا في الكوارتز بنسبة ثابتة؛ فإذا دُفنت حبيبةٌ عميقًا في كهف أو تحت رسوبيّات سميكة، يتوقّف الإنتاج، ويتخلّف الألومنيوم-26، الذي يتحلّل أسرع: تتناقص نسبة الاثنين مع الزمن، فتؤرّخ الدفن.

## 13.6 إحصاءات العمر

يصحب العمرَ عدمُ يقينه، وتصحب مجموعةُ الأعمار السؤالَ عمّا إذا كانت متّفقة. لتكن $n$ قياسات $x_i$ لكمّيّة واحدة لها انحرافات معيارية $\sigma_i$. ومتوسطها الموزون هو $\bar x = \sum w_ix_i/W$، حيث $w_i = 1/\sigma_i^2$ و$W = \sum w_i$، وانحرافه المعياري هو $1/\sqrt W$.

**تعريف 13.14 (متوسط مربع الانحرافات الموزونة).**

يُعرَّف *متوسط مربع الانحرافات الموزونة* (MSWD) للقياسات $n$ حول نموذجٍ مُلائَمٍ ذي $p$ من المعاملات المعدَّلة هو

$$
\mathrm{MSWD} = \frac{1}{n - p}\sum_i \frac{(x_i - \hat x_i)^2}{\sigma_i^2},
$$

حيث $\hat x_i$ هي قيمة النموذج: $p = 1$ للمتوسط الموزون، و$p = 2$ من أجل خطّ مستقيم، مثل الإيزوكرون أو [الديسكورديا](#def-b3-advanced-geochronology-concordia).

**قضية 13.15 (توقّع MSWD يساوي واحدًا).**

إذا كانت $x_i$ مستقلّةً وطبيعيةً، ذات المتوسط $\mu$ والانحرافات المعيارية $\sigma_i$، فإنّ MSWD حول متوسطها الموزون له توقّع 1.

**برهان.** بالنشر $x_i - \mu = (x_i - \bar x) + (\bar x - \mu)$ وباستعمال $\sum
w_i(x_i - \bar x) = 0$,

$$
\sum w_i(x_i - \mu)^2 = \sum w_i(x_i - \bar x)^2 + W(\bar x - \mu)^2.
$$

في الطرف الأيسر، لكلّ حدّ توقّع يساوي 1، فيكون للمجموع توقّع $n$. وفي الطرف الأيمن، تباين $\bar x$ هو $1/W$، فللحدّ الأخير توقّع 1. ومنه فإنّ $\sum w_i(x_i - \bar x)^2$ له توقّع $n - 1$. ∎

يتشتّت MSWD حول 1 بقدر أكبر عندما تكون درجات الحرّية قليلة، $f = n - p$، ويبلغ حدّه الأعلى عند $95\,\%$ نحو $1 +
2\sqrt{2/f}$، أي 2.63 من أجل $f = 3$ و2.15 من أجل $f = 6$. فوق الحدّ، تتشتّت القياسات أكثر مما تسمح به شكوكها: إمّا أنّ العيّنات ليست كلّها ذات العمر نفسه، أو أنّ النظام قد اضطرب. وإذا كانت القيمة أدنى كثيرًا من 1، فقد بُولغ في تقدير الشكوك.

**طريقة 13.16 (ملاءمة الإيزوكرون بأخطاء على المحورين).**

عندما تحمل الإحداثيّتان أخطاءً $\sigma_{x,i}$، $\sigma_{y,i}$، مترابطةً بالمعامل $r_i$، كما في بيانات اليورانيوم–الرصاص والإيزوكرون:

1. ابدأ من ميل $b$ لخطّ المربعات الصغرى العادي؛
2. أعطِ كلّ نقطة الوزن $W_i = 1/(\sigma_{y,i}^2 + b^2\sigma_{x,i}^2 - 2br_i\sigma_{x,i}\sigma_{y,i})$ ، أي مقلوب تباين بُعدها عن الخطّ مقيسًا على طول $y$ ؛
3. لاءِم الخطّ الموزون بهذه الأوزان، فيُعطي $b$ جديدًا، وعُدْ إلى الخطوة 2 حتّى لا يتغيّر $b$ ؛
4. احسب MSWD بالأوزان $W_i$ ودرجات الحرّية $n - 2$ ، وعدم اليقين في الميل والتقاطع من الأوزان النهائية.

مع $\sigma_{x,i} = 0$ لا تعتمد الأوزان على $b$، ويُختزل الطريقة إلى المربعات الصغرى الموزونة لانحدار $y$ على $x$ المستعملة في المسألة.

عدم اليقين في ثابت الاضمحلال هو نفسه لكلّ عمر من نظام واحد: لا يدخل في مقارنة أعمار النظام الواحد، لكنّه يجب أن يُضاف عند مقارنة أعمار نظامين. فثابت اضمحلال السماريوم-147، على سبيل المثال، معلوم بدقّة نحو $0.4\,\%$؛ أمّا ثوابت البوتاسيوم-40، المتفرّعة والبطيئة، فتحدّ من دقّة أعمار الأرغون.

## 13.7 التمارين

**تمرين 13.1 ★.**

لدينا عيّنة من الزركون فيها $^{206}\mathrm{Pb}^*/^{238}\mathrm{U} = 0.04500$ و$^{207}\mathrm{Pb}^*/^{235}\mathrm{U} = 0.3300$. احسب عمريها الاثنين بطريقة اليورانيوم–الرصاص. هل هي متوافقة؟ وعلى أيّ جانب من [الكونكورديا](#def-b3-advanced-geochronology-concordia) تقع النقطة الممثِّلة لها؟

**حل التمرين 13.1.**

$t_{206} = \ln(1.04500)/\lambda_{238} = 283.8\,\mathrm{Ma}$; $t_{207} =
\ln(1.3300)/\lambda_{235} = 289.6\,\mathrm{Ma}$. تختلف الأعمار بمقدار $6\,\mathrm{Ma}$: الزركون غير متوافق. و$t_{207}$ هو الأقدم، لذا يقع أسفل [الكونكورديا](#def-b3-advanced-geochronology-concordia)، على جانب فقد الرصاص.

**تمرين 13.2 ★.**

عيّنة مرجعية بعمر $28.201\,\mathrm{Ma}$ تعطي $R_m = 1.3129$. احسب $J$ بالثابت $\lambda
= 5.543 \times 10^{-10}\,\mathrm{yr}^{-1}$، ثمّ عمر عيّنة من التشعيع نفسه عندما $R = 10.000$ (استعمل $J = 0.01200$).

**حل التمرين 13.2.**

$J = (e^{5.543\times10^{-10}\times2.8201\times10^7} - 1)/1.3129 =
0.015754/1.3129 = 0.01200$. ثم $t = \ln(1 + 0.01200\times10.000)/\lambda =
\ln 1.12/(5.543\times10^{-10}) = 204.5\,\mathrm{Ma}$.

**تمرين 13.3 ★.**

لدينا عيّنة من الطَّفل فيها $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.51180$ و$^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.1200$. احسب $T_{\mathrm{CHUR}}$ و$T_{\mathrm{DM}}$ بالقيم الواردة في هذا الفصل.

**حل التمرين 13.3.**

$T_{\mathrm{CHUR}} = \ln\bigl(1 + (0.51180 - 0.512638)/(0.1200 -
0.1966)\bigr)/\lambda = \ln(1.010940)/\lambda = 1.67\,\mathrm{Ga}$; $T_{\mathrm{DM}} = \ln\bigl(1 + (0.51180 - 0.51315)/(0.1200 - 0.2137)\bigr)/\lambda
= \ln(1.014408)/\lambda = 2.19\,\mathrm{Ga}$.

**تمرين 13.4 ★.**

لدينا صخرة كبيرة من الكوارتز على ركام جليدي في الموقع المرجعي تحتوي على $2.0 \times 10^{5}$ ذرّةً من البريليوم-10 لكلّ غرام. بافتراض عدم وجود تعرية ولا وراثة، احسب [عمر التعرّض](#def-b3-advanced-geochronology-cosmogenic) دون الاضمحلال ثمّ معه، مع $P_0 =
4.96\text{ ذرّةً}\,\mathrm{g}^{-1}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

**حل التمرين 13.4.**

بدون تفكّك، $t = N/P_0 = 2.0 \times 10^{5}/4.96 = 40.3\,\mathrm{kyr}$. مع التفكّك، $t = -\ln(1 - N\lambda/P_0)/\lambda = -\ln(1 - 0.02014)/\lambda =
40.7\,\mathrm{kyr}$، أي أقدم بنسبة $1\,\%$.

**تمرين 13.5 ★★.**

أثبِت أنّ [الكونكورديا](#def-b3-advanced-geochronology-concordia) قرب المبدأ خطٌّ ميله $\lambda_{238}/\lambda_{235}$، واحسب قيمته. فسّر لماذا تمرّ [الديسكورديا](#def-b3-advanced-geochronology-concordia) الخاصّة بالبلّورات التي فقدت الرصاص منذ وقت قريب جدًّا بالمبدأ، وما الذي يقيسه عمر الرصاص–الرصاص لهذه البلّورات.

**حل التمرين 13.5.**

من أجل $t$ صغيرة، $x \approx \lambda_{235}t$ و$y \approx \lambda_{238}t$، ومنه $y \approx (\lambda_{238}/\lambda_{235})x$، وميله $0.1575$. إذا فُقد الرصاص حديثًا جدًّا، $t_2 \approx 0$ ويكون [التقاطع السفلي](#def-b3-advanced-geochronology-concordia) $C(0)$، أي نقطة الأصل. على مستقيم يمرّ بنقطة الأصل يكون $y/x$ ثابتًا، وكذلك $^{207}\mathrm{Pb}^*/^{206}\mathrm{Pb}^* = x/(137.8\,y)$: كلّ بلّورة تعطي عمر الرصاص–الرصاص للتقاطع العلوي، أي عمر التكوين.

**تمرين 13.6 ★★.**

أربعة أعمار تدريجية لهضبة هي $296.4 \pm 0.8$، $295.1 \pm 1.0$، $297.0 \pm
0.9$ و$(295.8 \pm 0.7)\,\mathrm{Ma}$ ($1\sigma$). احسب متوسطها الموزون، وانحرافها المعياري وMSWD. هل تتّفق؟

**حل التمرين 13.6.**

الأوزان $1.5625$، $1$، $1.2346$، $2.0408$، $W = 5.838$؛ $\bar x =
296.09\,\mathrm{Ma}$، $\sigma = 1/\sqrt W = 0.41\,\mathrm{Ma}$. مجموع مربعات الانحرافات الموزونة يساوي $2.32$؛ مع $f = 3$، $\mathrm{MSWD} = 0.77$، أدنى من $1 + 2\sqrt{2/3} = 2.63$: الأعمار متوافقة.

**تمرين 13.7 ★★.**

لدينا عيّنة من الأباتيت فيها $\rho_s = 1.20 \times 10^{6}\,\mathrm{cm}^{-2}$ و$\rho_i =
2.40 \times 10^{6}\,\mathrm{cm}^{-2}$، مع $\rho_d = 1.10 \times 10^{6}\,\mathrm{cm}^{-2}$، $g = 0.5$ ومعايرةً مخبرية $\zeta = 350\,\mathrm{yr}\,\mathrm{cm}^{2}$. احسب عمرها بطريقة آثار الانشطار. ما الحدث الذي يؤرّخه؟

**حل التمرين 13.7.**

$\lambda\zeta g\rho_d\rho_s/\rho_i = 1.55125\times10^{-10}\times350\times0.5
\times1.10 \times 10^{6}\times0.5 = 0.014931$; $t = \ln(1.014931)/\lambda =
95.5\,\mathrm{Ma}$. إذا بَرد الصخر بسرعة، فإنّه يؤرّخ مروره عبر نطاق التلدين الجزئي للأباتيت، نحو 60 إلى $120\,{}^{\circ}\mathrm{C}$؛ وإذا بَرد ببطء، فهو عمر مختلط، ويجب أن تُبيّن أطوال الآثار ذلك.

**تمرين 13.8 ★★.**

يحتوي الأباتيت على $20\,\mathrm{ppm}$ من اليورانيوم (بنسبة $99.2742\,\%$ من اليورانيوم-238، و$0.7204\,\%$ من اليورانيوم-235 بالعدد)، $40\,\mathrm{ppm}$ من الثوريوم-232 (عمر النصف $1.40 \times 10^{10}\,\mathrm{yr}$) و$1.0\,\mathrm{nmol}\,\mathrm{g}^{-1}$ من الهيليوم. احسب عمره بطريقة (U–Th)/He باستعمال التقريب الخطّي، ثمّ العمر المصحَّح لقذف ألفا بالمعامل $F_T = 0.75$.

**حل التمرين 13.8.**

لكلّ غرام: اليورانيوم $20\times10^{-6}/238.05\times N_A = 5.06 \times 10^{16}$ ذرّة، منها $5.02 \times 10^{16}$ من اليورانيوم-238 و$3.64 \times 10^{14}$ من اليورانيوم-235؛ الثوريوم $1.038 \times 10^{17}$، $\lambda_{232} = \ln 2/1.40 \times 10^{10} = 4.95 \times 10^{-11}\,\mathrm{yr}^{-1}$; الهليوم $10^{-9}N_A = 6.02 \times 10^{14}$. [معدّل الإنتاج](#def-b3-advanced-geochronology-cosmogenic) هو $8\lambda_{238}{}^{238}\mathrm U + 7\lambda_{235}{}^{235}\mathrm U +
6\lambda_{232}\mathrm{Th} = (6.23 + 0.25 + 3.08)\times10^7 =
9.57 \times 10^{7}\text{ ذرّة}\,\mathrm{g}^{-1}\,\mathrm{yr}^{-1}$، و$t = 6.02 \times 10^{14}/9.57 \times 10^{7} =
6.29\,\mathrm{Myr}$. بعد التصحيح: $6.29/0.75 = 8.39\,\mathrm{Ma}$.

**تمرين 13.9 ★★.**

بالنسبة إلى البيريليوم-10 عند الموقع المرجعي، احسب تركيز التشبّع دون تعرية، والزمن اللازم للوصول إلى $90\,\%$ منه. احسب التركيز المستقرّ لسطح يتعرّى بمعدّل $10\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1}$ (غرانيت، $2.7\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$، $\Lambda = 160\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$).

**حل التمرين 13.9.**

$P_0/\lambda = 4.96/4.994 \times 10^{-7} = 9.93 \times 10^{6}\text{ ذرّة}\,\mathrm{g}^{-1}$، ويبلغ $90\,\%$ بعد $\ln 10/\lambda = 4.6\,\mathrm{Myr}$. عند $10\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1}$ $= 1 \times 10^{-3}\,\mathrm{cm}\,\mathrm{yr}^{-1}$: $\rho\varepsilon/\Lambda =
2.7\times10^{-3}/160 = 1.69 \times 10^{-5}\,\mathrm{yr}^{-1}$, $\mu = 1.74 \times 10^{-5}\,\mathrm{yr}^{-1}$ و$N = 4.96/1.74 \times 10^{-5} = 2.85 \times 10^{5}\text{ ذرّة}\,\mathrm{g}^{-1}$، أي أقلّ بنحو 35 مرّة.

**تمرين 13.10 ★★★.**

يُجمع قياسان $x_1 \pm \sigma_1$ و$x_2 \pm \sigma_2$ لعمر واحد. بيّن أنّ MSWD لهما حول المتوسط الموزون هو $(x_1 - x_2)^2/(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)$، وأثبت مباشرةً أنّ توقّعه يساوي 1 حين يقيسان العمر نفسه.

**حل التمرين 13.10.**

مع $W = w_1 + w_2$، $x_1 - \bar x = w_2(x_1 - x_2)/W$ و$x_2 - \bar x =
-w_1(x_1 - x_2)/W$، ومنه $\sum w_i(x_i - \bar x)^2 = (x_1 - x_2)^2(w_1w_2^2 +
w_2w_1^2)/W^2 = (x_1 - x_2)^2w_1w_2/W = (x_1 - x_2)^2/(\sigma_1^2 +
\sigma_2^2)$؛ مع $f = 1$ يكون هذا هو MSWD. إذا قاس الاثنان العمر نفسه، $x_1 - x_2$ له متوسط 0 وتباين $\sigma_1^2 + \sigma_2^2$، ومنه فإنّ يكون توقّع مربّعه مقسومًا على هذا التباين يساوي 1.

**تمرين 13.11 ★★★.**

زركون عمره $2700\,\mathrm{Ma}$ فقد رصاصًا عند $500\,\mathrm{Ma}$، ونسبته اليوم $^{206}\mathrm{Pb}^*/^{238}\mathrm{U} = 0.300$. ما الكسر من رصاصه الذي فقده؟ احسب $^{207}\mathrm{Pb}^*/^{235}\mathrm{U}$ وعمريه اليورانيوم–الرصاص الاثنين، ثمّ بالتكرار عمر الرصاص–الرصاص. أيّ الأعمار الثلاثة له معنًى؟

**حل التمرين 13.11.**

$C(2700) = (13.283, 0.52019)$، $C(500) = (0.63628, 0.08065)$. $f = (0.52019 -
0.300)/(0.52019 - 0.08065) = 0.501$، نصف رصاصه. $x = 0.499\times13.283 +
0.501\times0.63628 = 6.948$. $t_{206} = 1691\,\mathrm{Ma}$، $t_{207} =
2105\,\mathrm{Ma}$؛ النسبة $x/(137.8\,y) = 0.1681$ تعطي بالتكرار عمرًا عمر الرصاص–الرصاص $2537\,\mathrm{Ma}$. لا معنى لأيّ من الأعمار الثلاثة، فهي خلائط من الحدثين، ولا يؤرّخها إلا التقاطعات. عمر الرصاص–الرصاص هو حدّ أدنى لزمن التبلّور.

**تمرين 13.12 ★★★.**

سطح صخر أساسي عند الموقع المرجعي يحتوي على $1.0 \times 10^{6}$ ذرّة من البيريليوم-10 لكلّ غرام. احسب [عمر التعرّض](#def-b3-advanced-geochronology-cosmogenic) بافتراض عدم التعرية، ثمّ معدّل التعرية بافتراض الحالة المستقرّة. بيّن أنّ كلّ زوج $(t, \varepsilon)$ بين هذين الحدّين يطابق القياس، واذكر أيّ قياس ثانٍ يفصل بينهما.

**حل التمرين 13.12.**

بدون تعرية: $t = -\ln(1 - 1.0 \times 10^{6}\times4.994 \times 10^{-7}/4.96)/\lambda =
212\,\mathrm{kyr}$. الحالة المستقرّة: $\rho\varepsilon/\Lambda = P_0/N - \lambda =
4.46 \times 10^{-6}\,\mathrm{yr}^{-1}$، $\varepsilon = 2.64 \times 10^{-4}\,\mathrm{cm}\,\mathrm{yr}^{-1} =
2.6\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1}$. لأيّ $\varepsilon$ أدنى من هذه القيمة، $N =
P_0(1 - e^{-\mu t})/\mu$ يحدّد زمنًا واحدًا $t$، يتراوح من $212\,\mathrm{kyr}$ صعودًا حتى اللانهاية: لدى القياس الواحد مجهولان. تفصلهما نويدة ثانية ذات عمر نصف آخر، مثل الألومنيوم-26 في الكوارتز نفسه، أو تركيز النويدة عند عمق في لُبّ الرواسب.

## 13.8 مسألة: زركونات غرانيت فاردن

**مسألة 13.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — تبلور غرانيت مختلق وتبرّده وكشف سطحه، يُقرأ على أربع ساعات

غرانيت تلال فاردن، المنطقة المختلقة في السلسلة، أُزيل غطاؤه الصخري بحلول الترياسي، ودُفن تحت غطاء الميزوزوي ثم أُعيد إلى السطح. تعطي خمسة من زركوناته، بأخطاء انحراف معياري واحد على $y$ (نعتبر $x$ دقيقًا):

| الزركون | Z1 | Z2 | Z3 | Z4 | Z5 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $x = {}^{207}\mathrm{Pb}^*/^{235}\mathrm U$ | 0.3467 | 0.3260 | 0.3027 | 0.2793 | 0.2535 |
| $y = {}^{206}\mathrm{Pb}^*/^{238}\mathrm U$ | 0.04794 | 0.04505 | 0.04207 | 0.03892 | 0.03553 |
| $\sigma_y$ | 0.00010 | 0.00009 | 0.00008 | 0.00008 | 0.00007 |

استعمل ثوابت الفصل. جميع التحاليل بيانات تمرينية.

**الجزء الأول — الزركونات.**

1. احسب عمرَي اليورانيوم–الرصاص لكلّ زركون. هل هما متوافقان؟
2. لماذا تتناقص الأعمار من Z1 إلى Z5، مع $t_{207} > t_{206}$ لكلّ منها؟
3. احسب إحداثيّات Z1 وZ5 في [مخطط تيرا–فاسربورغ](#def-b3-advanced-geochronology-concordia) .
4. باستعمال الأوزان $w_i = 1/\sigma_{y,i}^2$ ، احسب المتوسطين الموزونين $\bar x$ و $\bar y$ و $S_{xx} = \sum w_i(x_i - \bar x)^2$ .
5. احسب ميل [الديسكورديا](#def-b3-advanced-geochronology-concordia) $b = \sum w_i(x_i - \bar x)(y_i - \bar y)/S_{xx}$ وتقاطعها $a$ .
6. قارن $b$ بميل [الكونكورديا](#def-b3-advanced-geochronology-concordia) قرب $310\,\mathrm{Ma}$ . ماذا يُنبئ هذا؟

**الجزء الثاني — التقاطعات.**

7. أوجد [التقاطع العلوي](#def-b3-advanced-geochronology-concordia) بطريقة نيوتن انطلاقًا من $310\,\mathrm{Ma}$ .
8. أوجد [التقاطع السفلي](#def-b3-advanced-geochronology-concordia) انطلاقًا من $100\,\mathrm{Ma}$ .
9. احسب البواقي الموزونة وMSWD. هل المطابقة مقبولة؟
10. الانحراف المعياري للميل هو $1/\sqrt{S_{xx}}$ . احسبه.
11. أدِر المستقيم حول $(\bar x, \bar y)$ إلى الميلين $b \pm 2s_b$ وأعِد حساب [التقاطع العلوي](#def-b3-advanced-geochronology-concordia) لكلٍّ منهما. ما عدم يقين العمر؟
12. ما الكسر من رصاصه الذي فقده Z1 وZ5؟

**الجزء الثالث — البيوتيت.** بيوتيت من الغرانيت، أُشعّ مع معيار عمره $28.201\,\mathrm{Ma}$ يعطي $R_m = 1.3129$، ثمّ أُخرج منه الغاز على عشر خطوات:

| الخطوة | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $^{39}\mathrm{Ar}$ ($\%$) | 4 | 6 | 8 | 12 | 14 | 15 | 14 | 12 | 9 | 6 |
| $R$ | 7.225 | 11.226 | 13.937 | 14.891 | 14.820 | 14.869 | 14.918 | 14.847 | 14.907 | 14.804 |
| العمر ($\mathrm{Ma}$) |  | 228.0 | 279.0 |  | 295.3 | 296.2 | 297.1 | 295.8 | 296.9 |  |
| $\sigma$ ($\mathrm{Ma}$) | 0.6 | 0.9 | 1.0 | 1.1 | 1.1 | 1.1 | 1.1 | 1.1 | 1.1 | 1.1 |

13. احسب $J$ ؛ وقرّبه إلى 0.01200.
14. احسب أعمار الخطوات 1، 4 و10.
15. أيّ الخطوات تُكوّن هضبة وفق معايير الفصل؟
16. احسب [عمر الهضبة](#def-b3-advanced-geochronology-arar) وانحرافها المعياري وMSWD.
17. احسب نسبة الغاز الكلّي والعمر. لماذا هو أصغر من [عمر الهضبة](#def-b3-advanced-geochronology-arar) ؟
18. بافتراض أنّ الغرانيت تبلور عند $700\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ وأنّ البيوتيت يُغلق عند $375\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ، احسب متوسّط معدّل التبرّد.
19. ماذا ربّما حدث عند [التقاطع السفلي](#def-b3-advanced-geochronology-concordia) ؟ هل طيف أعمار الأرغون متّسق معه؟

**الجزء الرابع — كشف السطح.** أُخذت أربع عيّنات من الأباتيت على منحدر من التلال، وأعطت أعمار (U–Th)/He هي 43.1، 46.0، 49.2 و$52.0\,\mathrm{Ma}$ عند 310، 370، 430 و$490\,\mathrm{m}$. قمّة الغرانيت على تلّ لطيف الانحدار، عند موقع يبلغ فيه $P_0 = 5.6\text{ ذرّة}\,\mathrm{g}^{-1}\,\mathrm{yr}^{-1}$، تحتوي على $1.64 \times 10^{5}$ ذرّة من البيريليوم-10 لكلّ غرام من الكوارتز.

20. احسب ميل [علاقة العمر بالارتفاع](https://one-course.com/books/earth/5/ar/chapter/10-thrust-belts-and-orogenic-wedges#def-b3-orogenic-wedges-age-elevation) ، بالأمتار لكلّ مليون سنة.
21. بدرجة حرارة إغلاق $65\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ، وسطح عند $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ وبمنحنى حراري $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}\,\mathrm{km}^{-1}$ ، على أيّ عمق أُغلق أدنى أباتيت؟ وما معدّل كشف السطح المتوسّط منذ ذلك الحين؟
22. احسب معدّل التعرية الحالي من البيريليوم-10، بافتراض الحالة المستقرّة.
23. ما المعدّل الذي تعطيه صيغة مجلد السنة الأولى، دون اعتبار الاضمحلال؟
24. على أيّ زمن يُتوسّط معدّل البيريليوم-10؟ قارن المعدّلات الثلاثة.
25. اذكر عمر تبلور غرانيت فاردن مع عدم يقينه.

**حل المسألة 13.1.**

**1.** $t_{206}$ / $t_{207}$، بوحدة $\mathrm{Ma}$: Z1 301.9 / 302.2، Z2 284.1 / 286.5، Z3 265.7 / 268.5، Z4 246.1 / 250.1، Z5 225.1 / 229.4. خطأ قدره $0.2\,\%$ في $y$ نحو $0.6\,\mathrm{Ma}$: الزركونة Z1 متوافقة ضمن الخطأ، والزركونات الأخرى غير متوافقة، ويتزايد عدم التوافق من Z2 إلى Z5.

**2.** فقدت الزركونات كسورًا متزايدة من رصاصها في حدث لاحق واحد: فهي تقع أبعد فأبعد أسفل الوتر. ويقع الوتر أسفل [الكونكورديا](#def-b3-advanced-geochronology-concordia) المقعّرة، حيث يكون $x$ أكبر لقيمة معلومة من $y$: $t_{207} > t_{206}$.

**3.** الزركونة Z1 : $X = 1/0.04794 = 20.859$، $Y = 0.3467/(137.8\times0.04794) =
0.05248$. الزركونة Z5 : $X = 28.145$، $Y = 0.05178$.

**4.** الأوزان $1.000$، $1.235$، $1.563$، $1.563$، $2.041$ (بوحدة $10^8$)؛ $\bar x = 0.29402$، $\bar y = 0.040892$، $S_{xx} = 7.845 \times 10^{5}$.

**5.** $b = 0.13260$، $a = \bar y - b\bar x = 0.001905$.

**6.** عند $310\,\mathrm{Ma}$، $\mathrm dy/\mathrm dx = 0.1575\,
e^{(\lambda_{238} - \lambda_{235})t} = 0.1218$. [الديسكورديا](#def-b3-advanced-geochronology-concordia) أشدّ انحدارًا من [الكونكورديا](#def-b3-advanced-geochronology-concordia) بنسبة $9\,\%$ فقط: تلتقي معها بزاوية صغيرة، وسيكون [التقاطع العلوي](#def-b3-advanced-geochronology-concordia) غير دقيق.

**7.** بطريقة نيوتن ابتداءً من $310\,\mathrm{Ma}$: $t = 311.2\,\mathrm{Ma}$.

**8.** ابتداءً من $100\,\mathrm{Ma}$: $t = 99.7\,\mathrm{Ma}$.

**9.** $(y_i - a - bx_i)/\sigma_i = 0.64$، $-0.91$، $0.35$، $-0.24$، $0.17$؛ $\mathrm{MSWD} = 1.435/3 = 0.48$، أقل من الحدّ $2.63$ عند $f = 3$: تتوافق الزركونات مع خطّ واحد.

**10.** $s_b = 1/\sqrt{7.845 \times 10^{5}} = 0.00113$.

**11.** عند $b - 2s_b = 0.13034$ يكون [التقاطع العلوي](#def-b3-advanced-geochronology-concordia) $322.9\,\mathrm{Ma}$؛ وعند $b + 2s_b = 0.13485$ يكون $302.6\,\mathrm{Ma}$. ويكون العمر $311 \pm 10\,\mathrm{Ma}$ عند انحرافين معياريين.

**12.** $f = (x(311.2) - x_i)/(x(311.2) - x(99.7))$: الزركونة Z1 $4.7\,\%$، Z5 $41\,\%$.

**13.** $J = 0.015754/1.3129 = 0.0119999$، $0.01200$.

**14.** الخطوة 1: $150.0\,\mathrm{Ma}$؛ الخطوة 4: $296.6\,\mathrm{Ma}$؛ الخطوة 10: $295.0\,\mathrm{Ma}$.

**15.** الخطوات من 4 إلى 10: سبع خطوات متتالية، تمثّل $82\,\%$ من الأرغون-39، دون اتجاه واضح. وتتزايد الخطوات من 1 إلى 3 على شكل درج.

**16.** أخطاء متساوية: المتوسط هو $2072.9/7 = 296.1\,\mathrm{Ma}$، $\sigma =
1.1/\sqrt7 = 0.42\,\mathrm{Ma}$؛ ومجموع مربعات الانحرافات يساوي $3.83$، $\mathrm{MSWD} = 3.83/(1.21\times6) = 0.53$، أقل من $2.15$.

**17.** $\bar R = \sum f_iR_i = 14.270$، $t = 285.2\,\mathrm{Ma}$: إنّ الأرغون المفقود من الأطراف، المحرَّر في الخطوات الأولى، يخفّض المتوسط، كما يخفّض عمر البوتاسيوم–الأرغون.

**18.** $(700 - 375)/(311.2 - 296.1) = 21.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}\,\mathrm{Myr}^{-1}$ (مع مدى واسع، لأنّ عمر الزركون معلوم بدقّة $\pm10\,\mathrm{Ma}$).

**19.** قرب $100\,\mathrm{Ma}$ كان الغرانيت مدفونًا تحت غطائه الميزوزوي، وأدّى التسخين أو دوران السوائل إلى فقدان الزركونات للرصاص. فقد البيوتيت الأرغون من أطرافه، وهو ما سجّله الدرج؛ وأدنى خطوة له، $150\,\mathrm{Ma}$، هي خليط من أرغون قديم وأرغون أُعيد ضبطه. ولم تتأثّر هضبة العمر: لم يُسخَّن البيوتيت بما يكفي ليفقد كلّ أرغونه.

**20.** ميل الارتفاع بدلالة العمر وفق المربعات الصغرى هو $20.1\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1}$.

**21.** $(65 - 10)/30 = 1.83\,\mathrm{km}$؛ منذ $43.1\,\mathrm{Ma}$، بمتوسط $1830/43.1 = 42\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1}$.

**22.** $\rho\varepsilon/\Lambda = P_0/N - \lambda = 3.415 \times 10^{-5} -
0.050 \times 10^{-5} = 3.365 \times 10^{-5}\,\mathrm{yr}^{-1}$؛ $\varepsilon = 3.365 \times 10^{-5}\times
160/2.7 = 1.99 \times 10^{-3}\,\mathrm{cm}\,\mathrm{yr}^{-1} = 19.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1}$.

**23.** $P_0\Lambda/(\rho N) = 20.2\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1}$، $1.5\,\%$ أكثر: يكاد التفكّك لا يؤثّر عند هذا المعدّل.

**24.** $\Lambda/(\rho\varepsilon) = 160/(2.7\times1.99 \times 10^{-3}) =
30\,\mathrm{kyr}$. ارتفع الغرانيت بنحو $20\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1}$ بين 52 و$43\,\mathrm{Ma}$، وبمتوسط $42\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1}$ منذ ذلك، وتتعرّض للتعرية بمعدّل $20\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1}$ الآن: كان الانكشاف أسرع في وقت ما خلال السينوزوي.

**25.** تبلّر غرانيت فاردن منذ **$(311 \pm 10)\,\mathrm{Ma}$** ([التقاطع العلوي](#def-b3-advanced-geochronology-concordia)، عند انحرافين معياريين).