---
title: "درب التبانة والمجرّات"
book: "علوم الأرض والفضاء الجامعية — السنة الثالثة"
subject: earth
language: ar
chapter: 29
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/5/ar/chapter/29-the-milky-way-and-galaxies
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
---

# الفصل 29 — درب التبانة والمجرّات

في المجموعة الشمسية تتحرّك الكواكب البعيدة عن الشمس ببطء: يدور عطارد حولها بسرعة $47.4\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$، ونبتون بسرعة $5.4\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$، كما يقتضي قانون كبلر الثالث للأجسام المرتبطة بكتلة مركزية واحدة. أمّا نجوم درب التبانة فلا تسلك هذا السلوك. ويُقاس من حركات أكثر من عشرين ألف عملاق أحمر، وتبلغ سرعة مداراتها الدائرية $227\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ على بعد $5\,\mathrm{kpc}$ من المركز، و$229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ عند الشمس، ولا تزال $198\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ عند $25\,\mathrm{kpc}$، حيث يكاد لا يبقى أيّ نجوم أو غاز. ولو كانت الكتلة المرئية هي كلّ ما هناك، لكانت النجوم الخارجية أبطأ بكثير. ثمّة شيء غير مرئي يُمسكها. يصف هذا الفصل درب التبانة التي نعيش فيها، ويزنها من دورانها، ويصنّف المجرّات الأخرى إلى أنماط، ويصعد سلسلة الطرائق التي تُقاس بها مسافاتها، وكذلك توسّع الكون.

**ما تعرفه من قبل.**

درب التبانة، وتأثير دوبلر، وقوانين كبلر، ومبرهنة نيوتن عن جذب القشرة الكروية، والمادة المظلمة، والثقب الأسود ونصف قطر شوارتزشيلد له، والمستعرات الأعظم، والأقزام البيضاء، وخطّ 21 سم للهيدروجين الذرّي، وقانون هابل ترد في كتب الفيزياء. أمّا الاختلاف المنظري السنوي والفرسخ الفلكي والدفق والإشعاعية، والقدر الظاهري والمطلق، ومعامل المسافة، والنطاقات الضوئية ودليل اللون، فترد في مجلد السنة الأولى، في فصله عن التلسكوبات والقياس الضوئي. أمّا الوسط بين النجمي وغباره فترد في مجلد السنة الثانية، في فصله عن الوسط بين النجمي وتكوّن النجوم.

## 29.1 بنية درب التبانة

عند النظر من الأرض، يبدو درب التبانة حزامًا من الضوء يحيط بالسماء كلّها، تقطعه ممرّات معتمة من الغبار، وأشدّ ما يكون سطوعًا نحو كوكبة القوس حيث يقع مركزه. والحزام هو القرص الذي تقع فيه الشمس، ويُرى من داخله على حافّته.

![السماء كلّها في صورة واحدة، مُسقطةً بحيث يمتدّ مستوى درب التبانة عبر وسط الصورة ويقع مركزه عند مركز الصورة. والحزام هو القرص المرئي من داخله، والممرّات المعتمة هي غبار في القرص يحجب النجوم خلفه، والانتفاخ المركزي ينتفخ حول المركز. والبقعتان الصغيرتان أسفل الحزام، إلى اليمين، هما سحابتا ماجلان الكبرى والصغرى، وهما مجرّتان تابعتان؛ والبقعة الباهتة أسفل الحزام قرب الحافّة اليسرى هي مجرّة أندروميدا. الصورة: ESO/S. Brunier, CC BY 4.0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-milky-way-galaxies/img-49f8d59f9b9f.jpg)

*السماء كلّها في صورة واحدة، مُسقطةً بحيث يمتدّ مستوى درب التبانة عبر وسط الصورة ويقع مركزه عند مركز الصورة. والحزام هو القرص المرئي من داخله، والممرّات المعتمة هي غبار في القرص يحجب النجوم خلفه، والانتفاخ المركزي ينتفخ حول المركز. والبقعتان الصغيرتان أسفل الحزام، إلى اليمين، هما سحابتا ماجلان الكبرى والصغرى، وهما مجرّتان تابعتان؛ والبقعة الباهتة أسفل الحزام قرب الحافّة اليسرى هي مجرّة أندروميدا. الصورة: ESO/S. Brunier, CC BY 4.0 .*

**تعريف 29.1 (القرص المجرّي، والقرص السميك، والانتفاخ المجرّي والهالة النجمية).**

*القرص المجرّي* هو المكوّن المفلطح من درب التبانة، ويتألّف من نجوم وغاز وغبار في مدارات شبه دائرية حول مركزه؛ تتناقص كثافته تقريبًا تناقصًا أُسّيًّا مع الارتفاع فوق مستواه المتوسّط ومع البعد عن مركزه، ويُعبَّر عن ذلك بالارتفاع المميّز والطول المميّز. *القرص السميك* مكوّن قرصي ثانٍ أقدم، ذو ارتفاع مميّز أكبر وكتلة أصغر. أمّا *الانتفاخ المجرّي* هو التجمّع المركزي للنجوم الذي ينتفخ خارج القرص. أمّا *الهالة النجمية* فهي المكوّن المتفرّق شبه الكروي من النجوم القديمة والعناقيد الكروية التي تحيط بالقرص والانتفاخ.

درب التبانة مجرّة حلزونية ذات قضيب. وفي جوار الشمس يبلغ الارتفاع المميّز للقرص الرقيق نحو $300\,\mathrm{pc}$، وللقرص السميك $900\,\mathrm{pc}$؛ وتبلغ أطوالها المميّزة نحو $2.6\,\mathrm{kpc}$ و$2.0\,\mathrm{kpc}$. يحتوي [القرص السميك](#def-b3-milky-way-galaxies-structure) على نحو $6 \times 10^{9}$ كتلة شمسية، نحو خُمس كتلة القرص الرقيق. ويبدو الانتفاخ من الجانب كصندوق أو كالفول السوداني، وهو الجزء الداخلي المنتفخ من قضيب نجمي يبلغ نصف طوله نحو $5\,\mathrm{kpc}$، ويصنع محوره الطويل زاوية قدرها $27{}^{\circ}$ مع الخطّ الواصل من الشمس إلى المركز. وتضمّ [الهالة النجمية](#def-b3-milky-way-galaxies-structure) نحو واحد في المئة فقط من النجوم. وفي المجموع تزن نجوم درب التبانة نحو $5 \times 10^{10}$ كتلة شمسية.

![رسم تخطيطي لدرب التبانة بالمقياس الصحيح لأبعادها الرئيسية. (أ) منظورًا من الحافّة: القرص الرقيق (النطاق الداكن)، والقرص السميك (النطاق الفاتح)، والانتفاخ ذو الهيئة الصندوقية، والهالة النجمية مع عناقيدها الكروية (النقاط البرتقالية)؛ وتقع الشمس في القرص على بعد نحو 8.2\, kpc من المركز، وعلى ارتفاع نحو 25\, pc فوق المستوى المتوسّط (أصغر من أن يظهر). (ب) منظورًا من القطب المجرّي الشمالي: القضيب، ويبلغ نصف طوله نحو 5\, kpc، ومائل بزاوية 27 عن الخطّ الواصل من الشمس إلى المركز (منقّطًا)؛ والدائرة الشمسية (متقطّعة)؛ والأذرع الحلزونية مرسومة تخطيطيًّا؛ وتدور درب التبانة في اتجاه عقارب الساعة في هذا المنظور.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-milky-way-galaxies/fig-8cd2cff7dd3c.svg)

*رسم تخطيطي لدرب التبانة بالمقياس الصحيح لأبعادها الرئيسية. (أ) منظورًا من الحافّة: القرص الرقيق (النطاق الداكن)، [والقرص السميك](#def-b3-milky-way-galaxies-structure) (النطاق الفاتح)، والانتفاخ ذو الهيئة الصندوقية، [والهالة النجمية](#def-b3-milky-way-galaxies-structure) مع عناقيدها الكروية (النقاط البرتقالية)؛ وتقع الشمس في القرص على بعد نحو $8.2\,\mathrm{kpc}$ من المركز، وعلى ارتفاع نحو $25\,\mathrm{pc}$ فوق المستوى المتوسّط (أصغر من أن يظهر). (ب) منظورًا من القطب المجرّي الشمالي: القضيب، ويبلغ نصف طوله نحو $5\,\mathrm{kpc}$، ومائل بزاوية $27{}^{\circ}$ عن الخطّ الواصل من الشمس إلى المركز (منقّطًا)؛ والدائرة الشمسية (متقطّعة)؛ والأذرع [الحلزونية](#def-b3-milky-way-galaxies-types) مرسومة تخطيطيًّا؛ وتدور درب التبانة في اتجاه عقارب الساعة في هذا المنظور.*

**تعريف 29.2 (الجمهرة النجمية).**

*الجمهرة النجمية* هي مجموعة من النجوم في مجرّة ما تتشارك مدًى من الأعمار والتراكيب الكيميائية والمدارات. النجوم الفتيّة في القرص الرقيق، الغنيّة بعناصر أثقل من الهيليوم والواقعة في مدارات شبه دائرية، يُطلق عليها تقليديًّا الجمهرة I؛ أمّا النجوم القديمة في الهالة وفي العناقيد الكروية، الفقيرة في العناصر الثقيلة والواقعة في مدارات ذات حركات عشوائية كبيرة مع دوران صافٍ ضئيل، فتُعرف بالجمهرة II.

يقع [القرص السميك](#def-b3-milky-way-galaxies-structure) بين الاثنين: نجومه أقدم في الغالب من نجوم القرص الرقيق، وهي عند محتوى حديد معيّن أغنى بالعناصر الخفيفة التي يسمّيها الفلكيون عناصر ألفا، مقيسةً نسبةً إلى الحديد. [والهالة النجمية](#def-b3-milky-way-galaxies-structure) هي سجلّ أحفوريّ: جرى تجميع معظمها من مجرّات صغيرة سقطت في المجرّة ومزّقتها قوى مدّها، ولا يزال بعض تيّاراتها من النجوم ممكنةَ التتبّع عبر السماء.

**تعريف 29.3 (الإحداثيات المجرّية).**

*الإحداثيات المجرّية* لاتجاهٍ ما هي *خط العرض المجرّي* $b$، أي الزاوية المقيسة من المستوى المجرّي (موجبة نحو القطب المجرّي الشمالي)، و*خط الطول المجرّي* $\ell$، ويُقاس في المستوى من اتجاه مركز المجرّة ($\ell = 0$) عبر $\ell = 90{}^{\circ}$، وهو الاتجاه الذي يحمل دوران المجرّة الشمسَ نحوه. عُرّف المستوى في عام 1958 بوصفه المستوى الرئيسي للهيدروجين الذرّي في المجرّة؛ ويقع القطب المجرّي الشمالي عند المطلع المستقيم $192.25{}^{\circ}$ ($12^\mathrm{h}49^\mathrm{m}$) والانحراف المغناطيسي $27.4{}^{\circ}$ (في الاعتدال 1950).

لا تقع الشمس تمامًا في المستوى، بل تبعد نحو $25\,\mathrm{pc}$ شمالَه. وكانت مسافتها من المركز، $R_0$، لوقتٍ طويل أكثرَ الأعداد غموضًا في علم الفلك المجرّي. وتُقاس الآن هندسيًّا: إذ يدور النجم S2 حول الثقب الأسود المركزي للمجرّة في مدار مدّته $16$ سنة، الذي يعطي حجمُه الزاوي على السماء وسرعتُه على خط النظر، المرصودان خلال 27 سنة، المسافةَ إلى المركز مباشرةً: $R_0 = 8178\,\mathrm{pc}$، بخطأ إحصائي مقداره $13\,\mathrm{pc}$ وخطأ منهجي مقداره $22\,\mathrm{pc}$. وتعطي مراجعةٌ لجميع الطرائق: $R_0 = (8.2 \pm 0.1)\,\mathrm{kpc}$.

## 29.2 الدوران والهالة المظلمة

**تعريف 29.4 (معيار السكون المحلي).**

*معيار السكون المحلي* (LSR) هو الإطار المرجعي الذي يتحرّك على المدار الدائري حول مركز المجرّة المارّ بالموضع الحالي للشمس. وتُقاس سرعات النجوم والغاز القريبة منسوبةً إليه.

تتحرّك الشمس بالنسبة إلى [معيار السكون المحلي](#def-b3-milky-way-galaxies-lsr) بمقدار نحو $10\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ باتجاه مركز المجرّة، و$11\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ في اتجاه الدوران، و$7\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ باتجاه القطب المجرّي الشمالي: حركةٌ خاصّة صغيرة تُضاف إلى مدار بسرعة $V_0$ تبلغ بضع مئات من الكيلومترات في الثانية. وعند رصده من الأرض، المصدر الراديوي عند مركز المجرّة ينجرف على امتداد المستوى المجرّي بمقدار $6.411\,\mathrm{mas}$ في السنة؛ وتقريبًا كلُّ هذا الانجراف انعكاسٌ لمدار الشمس، ومنه تُستخرج السرعة الكلّية للشمس حول المركز، $(248 \pm 3)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ (انظر [التمرين 29.2](#exo-b3-milky-way-galaxies-2)).

**تعريف 29.5 (منحنى الدوران؛ ثابتا أورت).**

*منحنى الدوران* لمجرّة قرصية هو السرعة $V(R)$ لمدار دائري في مستويها بوصفها دالّةً للبُعد $R$ عن مركزها. وبالنسبة إلى المجرّة، مع $V_0 = V(R_0)$ و$V'_0 = \mathrm{d}V/\mathrm{d}R$ عند $R_0$، فإنّ *ثابتا أورت* هما

$$
A = \frac12\left(\frac{V_0}{R_0} - V'_0\right), \qquad
B = -\frac12\left(\frac{V_0}{R_0} + V'_0\right).
$$

يقيس $A$ قصّ دوران القرص، و$B$ دوّاميّته: في قرصٍ يدور كجسم صلب $V'_0 = V_0/R_0$ و$A = 0$؛ وعلى منحنى دوران مسطّح $A = -B$. ويمثّل فرقُهما السرعةَ الزاوية [لمعيار السكون المحلي](#def-b3-milky-way-galaxies-lsr)، $A - B = V_0/R_0 = \omega_0$، ويمثّل مجموعهما الميلَ $A + B = -V'_0$.

**مبرهنة 29.6 (صيغ أورت).**

نجمٌ على بُعد $d \ll R_0$ من الشمس، في المستوى المجرّي عند خط الطول $\ell$، على مدار دائري، له بالنسبة إلى [معيار السكون المحلي](#def-b3-milky-way-galaxies-lsr) السرعةَ الشعاعية $v_r$ والسرعةَ المستعرضة $v_t$ (موجبة في اتجاه تزايد $\ell$)

$$
v_r = A\,d\sin 2\ell, \qquad v_t = d\,(A\cos 2\ell + B),
$$

إلى الرتبة الأولى في $d/R_0$.

**برهان.** لنفرض أنّ $\omega(R) = V(R)/R$ هي السرعة الزاوية للمدار عند $R$. نضع مركز المجرّة في نقطة الأصل، والشمس على بُعد $R_0$، وليكن النجم على بُعد $R$ من المركز، وموضعه مرئيًّا من المركز مُشكِّلًا الزاويةَ $\theta$ مع موضع الشمس. وبإسقاط سرعة النجم $\omega R$ وسرعة [معيار السكون المحلي](#def-b3-milky-way-galaxies-lsr) $\omega_0 R_0$ على خط النظر، ومن علم المثلّثات البسيط في المثلّث الشمس–النجم–المركز (قاعدة الجيب تُعطي $R\sin(\ell + \theta) = R_0\sin\ell$) النتيجةَ الدقيقة $v_r = R_0\,[\omega(R) - \omega_0]\sin\ell$. وبالمثل، في اتجاه عموديّ على خط النظر، $v_t = R_0\,[\omega(R) - \omega_0]\cos\ell - \omega(R)\,d$. ولنجم قريب، $\omega(R) - \omega_0 \approx \omega'_0\,(R - R_0)$ و$R - R_0 \approx -d\cos\ell$. فيكون $v_r \approx -R_0\omega'_0\,d\cos\ell\sin\ell = -\tfrac12 R_0\omega'_0\,
d\sin 2\ell$ ومُبقين حدود الرتبة الأولى، $v_t \approx -R_0\omega'_0\,d\cos^2\ell - \omega_0 d$. ومع $\omega'_0 = V'_0/R_0 - V_0/R_0^2$، و$-\tfrac12 R_0\omega'_0 = A$ و$-R_0\omega'_0\cos^2\ell - \omega_0 = A(1 + \cos 2\ell) - (A - B) =
A\cos 2\ell + B$. ∎

تتغيّر السرعات الشعاعية للنجوم القريبة إذن وفق $\sin 2\ell$ حول السماء، وتتغيّر حركاتها الذاتية وفق $\cos 2\ell$ حول متوسط يحدّده $B$. ومن الحركات الذاتية والاختلافات المنظرية لعدد $304\,267$ من النجوم في الكتالوج الأول لبعثة غايا، وعلى بُعد نموذجي قدره $230\,\mathrm{pc}$، [ثابتا أورت](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve) هما $A = (15.3 \pm 0.4)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$ و$B = (-11.9 \pm 0.4)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$. حدّان إضافيّان لا يملكهما القرص المتناظر محوريًا، يُسمّيان $C$ و$K$، وكانت قيمتهما نحو $-3\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$: يضطرب القرص المحلي بفعل القضيب والأذرع [الحلزونية](#def-b3-milky-way-galaxies-types).

### منحنى الدوران من خط 21 سم

يملأ الهيدروجين الذرّي القرص ويُصدر خط 21 سم، عند $1420.405\,751\,\mathrm{MHz}$؛ وتخترق الموجات الراديوية الغبار الذي يحجب القرصَ البعيد عند الأطوال الموجية المرئية. وعلى امتداد خط نظر يقع في المستوى، تُضيف كل سحابة غازية خطّها عند إزاحة دوبلر لسرعتها الشعاعية، ويُعدّ شكل الخط طيفًا من السرعات. وداخل الدائرة الشمسية تتميّز سرعةٌ واحدة.

**مبرهنة 29.7 (طريقة نقطة المماسّ).**

ليكن الغاز متحرّكًا على مدارات دائرية بسرعة زاوية $\omega(R)$ التي تتناقص نحو الخارج. وعلى امتداد خط نظر عند خط الطول $0 < \ell < 90{}^{\circ}$، تبلغ السرعة الشعاعية بالنسبة إلى [معيار السكون المحلي](#def-b3-milky-way-galaxies-lsr) أكبرَها عند نقطة المماسّ، حيث يكون خط النظر مماسًّا لمدار، عند $R = R_0\sin\ell$، وتكون قيمتُها العظمى

$$
v_\mathrm{max} = V(R_0\sin\ell) - V_0\sin\ell .
$$

**برهان.** بالاستناد إلى برهان صيغ أورت، يكون للغاز الواقع على بُعد $R$ من المركز على خط النظر سرعةٌ شعاعية $v_r = R_0\,[\omega(R) - \omega_0]\sin\ell$. ومع $\sin\ell > 0$ و$\omega$ متناقصة، تكون $v_r$ أكبر ما يمكن حيث تكون $R$ أصغر ما يمكن. وعلى طول خط النظر تكون $R$ أصغر ما يمكن عند قدم العمود المُسقَط من المركز، حيث $R = R_0\sin\ell$. وهناك $R_0\,\omega(R)\sin\ell = \omega(R)\,R = V(R)$ و$R_0\,\omega_0\sin\ell = V_0\sin\ell$. ∎

![طريقة نقطة المماسّ، كما تُرى من القطب المجرّي الشمالي. وعلى امتداد خط نظر عند خط الطول ، يقع الغاز الأقرب إلى المركز عند نقطة المماسّ، عند R = R_0 (باللون الأحمر)؛ وسرعته المدارية V(R) تقع على امتداد خط النظر، والسرعة الشعاعية هناك هي الأكبر التي يُظهرها شكل الخط. ويعطي كل خط طول واحدًا من نقاط منحنى الدوران داخل الدائرة الشمسية.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-milky-way-galaxies/fig-56daf246ce86.svg)

*طريقة نقطة المماسّ، كما تُرى من القطب المجرّي الشمالي. وعلى امتداد خط نظر عند خط الطول $\ell$، يقع الغاز الأقرب إلى المركز عند نقطة المماسّ، عند $R = R_0\sin\ell$ (باللون الأحمر)؛ وسرعته المدارية $V(R)$ تقع على امتداد خط النظر، والسرعة الشعاعية هناك هي الأكبر التي يُظهرها شكل الخط. ويعطي كل خط طول واحدًا من نقاط [منحنى الدوران](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve) داخل الدائرة الشمسية.*

وبذلك تعطي أعلى سرعة في كل شكل لخط 21 سم القيمة $V$ عند $R_0\sin\ell$، ويعطي مسح خطوط الطول من $0{}^{\circ}$ إلى $90{}^{\circ}$ [منحنى الدوران](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve) من المركز حتى الشمس. وخارج الدائرة الشمسية لا يكون أي خط نظر مماسًّا لمدار، وتفشل الطريقة: هناك، يجب قياس بُعد كل متتبِّع إلى جانب سرعته. ومنذ عام 2014 قاس قمرٌ صناعي الاختلافات المنظرية لأكثر من مليار نجم، ويُرسم [منحنى الدوران](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve) الخارجي الآن بالنجوم.

![منحنى دوران درب التبانة. النقاط: السرعة الدائرية المقاسة من العمالقة الحمراء بين 5 و25\, kpc (إيلرز وآخرون، 2019)، مع أشرطة الخطأ الخاصة بها. المنحنيات: السرعات التي ستعطيها وحدها الانتفاخ المجرّي والقرص الرقيق والقرص السميك لنموذجٍ كتلي منشور (بوليازيس وآخرون، 2017)، ومجموعها (باللون الرمادي)، وهالةُ المادة المظلمة المُطابَقة هنا مع القياسات (بخط متقطع أحمر)، والتي تتولّى الدور من الباريونات بعد 14\, kpc؛ وتجمع هذه المنحنيات تربيعيًّا إلى المجموع الكلّي (باللون الأزرق). أمّا المنطقة الداخلية حتى 5\, kpc، حيث يجعل القضيب المدارات بعيدة عن الدائرية، فتُستبعد من القياس.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-milky-way-galaxies/fig-5c268231cdfb.svg)

*منحنى دوران درب التبانة. النقاط: السرعة الدائرية المقاسة من العمالقة الحمراء بين 5 و$25\,\mathrm{kpc}$ (إيلرز وآخرون، 2019)، مع أشرطة الخطأ الخاصة بها. المنحنيات: السرعات التي ستعطيها وحدها [الانتفاخ المجرّي](#def-b3-milky-way-galaxies-structure) والقرص الرقيق [والقرص السميك](#def-b3-milky-way-galaxies-structure) لنموذجٍ كتلي منشور (بوليازيس وآخرون، 2017)، ومجموعها (باللون الرمادي)، وهالةُ المادة المظلمة المُطابَقة هنا مع القياسات (بخط متقطع أحمر)، والتي تتولّى الدور من الباريونات بعد $14\,\mathrm{kpc}$؛ وتجمع هذه المنحنيات تربيعيًّا إلى المجموع الكلّي (باللون الأزرق). أمّا المنطقة الداخلية حتى $5\,\mathrm{kpc}$، حيث يجعل القضيب المدارات بعيدة عن الدائرية، فتُستبعد من القياس.*

المنحنى الوارد في الشكل أعلاه قيس من المواضع والمسافات، والسرعات لأكثر من ثلاثة وعشرين ألف عملاق أحمر مضيء، باستعمال معادلة الهيدروديناميكا النجمية التي تربط الحركات المتوسّطة لجمهرة نجمية بالجاذبية التي تُبقيها (معادلة جينز). عند الشمس يعطي $V_0 = 229.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$، مع عدم يقين منهجي يتراوح بين اثنين وخمسة بالمئة؛ وبعدها يتناقص ببطء، بمقدار $(1.7 \pm 0.1)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ لكلّ كيلوفرسخ. وهو لا يهبط بالطريقة التي تقتضيها الكتلة المرئية.

### وزن المجرّة

إنّ جاذبية القرص ليست جاذبية الكرة، لكنّ منحنى السرعة لنموذج كتلي يُحسب بسهولة عندما يملك كلّ مكوّن جهدًا في صيغة مغلقة. والجهود في المستوي أدناه هي جهود نموذج منشور لنجوم المجرّة.

**قضية 29.8 (السرعات الدائرية لثلاثة نماذج كتلية).**

في المستوي $z = 0$، السرعة الدائرية $V^2 = R\,\partial\Phi/\partial R$ تساوي، من أجل

- كرة بلومر كتلتها $M$ ونصف قطر لبّها $b$، وجهدها $\Phi = -GM/\sqrt{r^2 + b^2}$: $$V^2 = \frac{GMR^2}{(R^2 + b^2)^{3/2}}\,;$$
- قرص ميّاموتو–ناغاي كتلته $M$ وطول مقياسه $a$ وارتفاع مقياسه $b$، وجهده $\Phi = -GM\big/\sqrt{R^2 + \bigl(a + \sqrt{z^2 + b^2}\,\bigr)^2}$: $$V^2 = \frac{GMR^2}{\bigl(R^2 + (a + b)^2\bigr)^{3/2}}\,;$$
- هالة نافارو–فرنك–وايت ذات كثافة $\rho = \rho_0\big/\bigl[x(1 + x)^2\bigr]$ ، $x = r/R_s$ : الكتلة ضمن $r$ هي $M(r) = 4\pi\rho_0R_s^3\bigl[\ln(1 + x) - x/(1 + x)\bigr]$ و $V^2 = GM(r)/r$ .

ولعدّة مكوّنات تُجمع مربّعات السرعات.

**برهان.** بالنسبة إلى الأولين، نفاضل الجهد بالنسبة إلى $R$ عند $z = 0$. أمّا الهالة فنكامل $4\pi r^2\rho$ من 0 إلى $r$، مع $u = 1 + x'$، $\int_0^x x'\,\mathrm{d}x'/(1 + x')^2 =
\int_1^{1+x}(u - 1)\,\mathrm{d}u/u^2 = \ln(1 + x) + 1/(1 + x) - 1$؛ والكتلة الكروية تؤثّر في مدار عند $r$ كما لو أنّ كلّ كتلتها ضمن $r$ كانت في المركز (مبرهنة نيوتن). وتُجمع الجهود، ومن ثمّ مشتقّاتها الشعاعية. ∎

يتضمّن النموذج المستعمل في الشكل انتفاخًا بلومريًّا كتلته $1.07 \times 10^{10}$ كتلة شمسية بقيمة $b = 0.3\,\mathrm{kpc}$، وقرصًا رقيقًا وقرصًا سميكًا، كتلة كلّ منهما $3.94 \times 10^{10}$ كتلة شمسية، مع $(a, b) =
(5.3\,\mathrm{kpc}, 0.25\,\mathrm{kpc})$ و$(2.6\,\mathrm{kpc}, 0.8\,\mathrm{kpc})$. مع $G = 4.301 \times 10^{-6}\,\mathrm{kpc}\,(\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1})^{2}$ لكلّ كتلة شمسية، فإنّ نجومه وحدها تمنح الشمسَ سرعةً مدارية مقدارها $184\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$، وتمنح نجمًا عند $20\,\mathrm{kpc}$ سرعةً مقدارها $134\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$؛ أمّا السرعات المقاسة فهي 229 و$200\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. وتُطابَق هالةٌ مع القياسات، مع تثبيت النجوم ثابتةً، فلها $R_s = 14.75\,\mathrm{kpc}$ و$\rho_0 = 1.06 \times 10^{7}$ كتلة شمسية لكلّ كيلوفرسخ مكعّب، وهي نفس قيمة الهالة التي طابقها مؤلّفوها ($R_s = (14.8 \pm 0.4)\,\mathrm{kpc}$، $\rho_0 = (1.06 \pm 0.09 \times 10^{7})\,$ كتلة شمسية لكلّ كيلوفرسخ مكعّب). وتهيمن الهالة بعد حوالي $14\,\mathrm{kpc}$.

**تعريف 29.9 (هالة المادة المظلمة).**

*هالة المادة المظلمة* لأيّ مجرّة هي التوزيعُ شبهُ الكروي للمادة المظلمة الذي تُغمَر فيه نجومُها وغازُها، وهو أكبر بكثير وأكثر كتلةً من مكوّناتها المرئية، ويُستدلّ عليه من جاذبيّته: من [منحنى الدوران](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve)، ومن حركات المجرّات التابعة ونجوم الهالة، ومن انحناء الضوء.

**مبرهنة 29.10 (الكتلة ضمن نصف قطر).**

بالنسبة إلى توزيع كروي للكتلة، تعطي السرعة الدائرية عند نصف القطر $r$ الكتلةَ ضمنه، $M(r) = rV^2/G$. [ومنحنى الدوران](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve) المسطّح، $V =$ ثابت، يقتضي $M(r) \propto r$ وكثافةً $\rho(r) = V^2/(4\pi G r^2)$.

**برهان.** بحسب مبرهنة نيوتن، الجاذبية عند $r$ هي $GM(r)/r^2$، وهي تمدّ بالتسارع المركزي $V^2/r$ لمدار دائري. فإذا كانت $V$ ثابتة، $\mathrm{d}M/\mathrm{d}r = V^2/G = 4\pi r^2\rho$. ∎

بالنسبة إلى الأقراص المفلطحة، ليس $rV^2/G$ الكتلةَ ضمن $r$ تمامًا، لكنّه هو الكتلةُ التي تحتاجها كرةٌ لتُنتج المدار نفسه، وهي تُستعمل هنا، كما هو شائع، بوصفها الكتلة *الديناميكية*. ويقارن الشكل أدناه هذه الكتلة للنجوم وللمجرّة بأكملها.

![الكتلة الديناميكية RV2/G ضمن نصف القطر R. أمّا الكتلة المرئية فتستقرّ عند نحو 9×1010 كتلة شمسية، أي كتلة انتفاخ النموذج وأقراصه؛ والكتلة الكلّية تواصل النموّ تقريبًا بتناسب مع R، كما يقتضي منحنى الدوران المسطّح. وعند 20\, kpc تزيد الكتلة الكلّية على ضعف الكتلة المرئية.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-milky-way-galaxies/fig-97b54191f784.svg)

*الكتلة الديناميكية $RV^2/G$ ضمن نصف القطر $R$. أمّا الكتلة المرئية فتستقرّ عند نحو $9\times10^{10}$ كتلة شمسية، أي كتلة انتفاخ النموذج وأقراصه؛ والكتلة الكلّية تواصل النموّ تقريبًا بتناسب مع $R$، كما يقتضي [منحنى الدوران](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve) المسطّح. وعند $20\,\mathrm{kpc}$ تزيد الكتلة الكلّية على ضعف الكتلة المرئية.*

أمّا مدى امتداد الهالة وكتلتها الكلّية، فهذا ما لا يُبيّنه منحنى دوران القرص. ويُقدَّر، بإسقاط نموذجه الملائم حتى نصف قطره الفيريالي، أي نحو $190\,\mathrm{kpc}$، أنّ الهالة التي قدّرها أصحاب القياس تحتوي على نحو $7 \times 10^{11}$ كتلة شمسية؛ أمّا مراجعة تقديرات أخرى فتعطي $1.3 \times 10^{12}$، لا تتجاوز الباريونات منها نحو سبعة بالمئة. والمادة المظلمة قرب الشمس خفيفة: نحو $0.30\,\mathrm{GeV}$ من كتلة-طاقة في كل سنتيمتر مكعّب، أي ثلث كتلة البروتون، ولذلك لا تُحسّ إلا بجاذبيتها المتراكمة.

## 29.3 المجرّات

**تعريف 29.11 (متتالية هابل؛ المجرّات الإهليلجية والعدسية والحلزونية وغير المنتظمة).**

تُصنِّف *متتالية هابل* المجرّات حسب مظهرها. المجرّة *الإهليلجية* (من النوع E) منظومة ملساء من النجوم، يتناقص سطوعها بانتظام من المركز ولا يوجد لها قرص؛ يُرمز إليها بالرمز E$n$، حيث $n = 10(1 - b/a)$ و$b/a$ نسبة المحور الظاهرية، وتتدرّج من E0 (مستديرة) إلى E7. أمّا المجرّة *الحلزونية* فلها قرص تمتدّ منه أذرع حلزونية حول انتفاخ مركزي؛ تُرمز بالرموز Sa وSb وSc بحسب ترتيب تناقص الانتفاخ وانفتاح الأذرع وتفتّتها إلى عقد تتكوّن فيها النجوم، وSBa وSBb وSBc إذا عبر المركز قضيب. أمّا المجرّة *العدسية* (S0) فلها قرص وانتفاخ دون أذرع. والمجرّة *غير المنتظمة* (Irr, Im) لا تملك بنية منظّمة.

![تمثيل تخطيطي لمتتالية هابل على شكل شوكة رنّانة. تُوسَم الإهليلجيات بحسب تسطّحها الظاهري؛ تتفرّع الشوكة عند العدسيات إلى حلزونيات عادية ومقضّبة، مرتّبة من انتفاخات كبيرة وأذرع ملتفّة بإحكام (أ) إلى انتفاخات صغيرة وأذرع منفتحة (ج)؛ وتُنهي غير المنتظمة المتتالية.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-milky-way-galaxies/fig-ad64ccc22658.svg)

*تمثيل تخطيطي [لمتتالية هابل](#def-b3-milky-way-galaxies-types) على شكل شوكة رنّانة. تُوسَم الإهليلجيات بحسب تسطّحها الظاهري؛ تتفرّع الشوكة عند العدسيات إلى حلزونيات عادية ومقضّبة، مرتّبة من انتفاخات كبيرة وأذرع ملتفّة بإحكام (أ) إلى انتفاخات صغيرة وأذرع منفتحة (ج)؛ وتُنهي [غير المنتظمة](#def-b3-milky-way-galaxies-types) المتتالية.*

تصف الفئات أشكالًا تُرى في السماء، ويُخفي الوسم الواحد مدًى كاملًا: [فالإهليلجية](#def-b3-milky-way-galaxies-types) التي تُرى على طول محورها الأقصر تبدو مستديرة مهما كان تسطّحها الحقيقي، وحدود الفئات المتجاورة مسألة تقدير. في فهرس المجرّات القريبة منّا يُدرج درب التبانة بوصفها S(B)bc، أي حلزونية بين Sb وSc ذات قضيب؛ أمّا جارتها الكبيرة أندروميدا (M31) فهي Sb، ومجرّة المثلث (M33) Sc، وسحابتا ماجلان الكبرى والصغرى غير منتظمتين.

![المجرّة الحلزونية M101 مرئيّة من الأعلى بتلسكوب هابل الفضائي، وهي فسيفساء من 51 تعريضًا، وقد قُصّت حوافها. انتفاخ صغير ساطع يميل إلى الاصفرار؛ أذرع منفتحة أكثر زرقة ومعقودة بتجمّعات من النجوم الفتيّة؛ وشرائط بنّية من الغبار على طول الأذرع. الصورة: ESA وNASA (Hubble, heic0602), CC BY 4.0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-milky-way-galaxies/img-94ac2f00138d.jpg)

*[المجرّة الحلزونية](#def-b3-milky-way-galaxies-types) M101 مرئيّة من الأعلى بتلسكوب هابل الفضائي، وهي فسيفساء من 51 تعريضًا، وقد قُصّت حوافها. انتفاخ صغير ساطع يميل إلى الاصفرار؛ أذرع منفتحة أكثر زرقة ومعقودة بتجمّعات من النجوم الفتيّة؛ وشرائط بنّية من الغبار على طول الأذرع. الصورة: ESA وNASA (Hubble, heic0602), CC BY 4.0 .*

لماذا لا تلتفّ الأذرع [الحلزونية](#def-b3-milky-way-galaxies-types) على نفسها؟ في قرص يكون منحنى دورانه مسطّحًا، تقطع نجمة تبعد نصف المسافة عن المركز الدورة في نصف الزمن. فلو كانت الأذرع مؤلّفة من نجوم لالتفّت أكثر بإحكام مع كل دورة، ولصارت بعد بضع دورات من القرص لفافة ضيّقة (انظر [التمرين 29.11](#exo-b3-milky-way-galaxies-11)).

**تعريف 29.12 (نظرية موجة الكثافة).**

تفسّر *نظرية موجة الكثافة* الأذرع [الحلزونية](#def-b3-milky-way-galaxies-types) بوصفها موجة من كثافة أعلى في القرص، نمطًا حلزونيًّا يدور بصلابة بسرعته الزاوية الخاصّة، أي سرعة النمط، بينما تمرّ النجوم والغاز عبره، فتتباطأ عند دخولها الذراع المزدحمة وتُسرع عند خروجها منها، كما تمرّ السيارات عبر ازدحام مروري.

اقترحت النظرية عام 1964، فحرّرت الأذرع من مشكلة الالتفاف. يُضغط الغاز الداخل إلى الذراع، وتتكوّن فيه النجوم: تُبرز الأذرعَ النجومُ الفتيّة والغازُ المتوهّج، فيما تنتشر النجوم المسنّة توزيعًا أكثر انتظامًا بكثير. وما إذا كانت الأذرع موجات طويلة العمر فلا يزال محلّ جدل؛ فمحاكاة الأقراص الحاسوبية تُنتج في الغالب أذرعًا عابرة، تتفكّك وتعاود التشكّل، ويمكن لمرور مجرّة أو لقضيب أن يُولِّد حلزونًا ذا ذراعين.

**تعريف 29.13 (الثقب الأسود الفائق الكتلة).**

*الثقب الأسود الفائق الكتلة* هو ثقب أسود كتلته مليون كتلة شمسية أو أكثر في مركز مجرّة.

في مركز درب التبانة، يقع المصدر الراديوي المدمج الرامي A* (الرامي A*) بين نجوم تدور في مدارات ضيّقة سريعة. تتطلّب مداراتها كتلة مركزية تبلغ نحو أربعة ملايين شمس، $4.2 \pm 0.2 \times 10^{6}$ كتلة شمسية في مراجعة للقياسات. الرامي A* بالكاد يتحرّك بالنسبة إلى المجرّات البعيدة: بعد إزالة حركة الشمس المدارية، تكون حركته الباقية لا تتجاوز بضعة كيلومترات في الثانية، فهو يحتفظ بما لا يقلّ عن ربع تلك الكتلة. حجمه قابل للمقارنة مع شفارتزشيلد نصف قطره، وكثافته التي تتجاوز $4 \times 10^{23}$ كتلة شمسية لكلّ فرسخ فلكي مكعّب، قريبة جدًّا من تلك المتوقّعة لثقب أسود: والدليل على أنّ الرامي A* ثقب أسود ساحق.

**تعريف 29.14 (المجموعة المحلية؛ عنقود المجرّات).**

*المجموعة المحلية* هي المجموعة المترابطة بالجاذبية من المجرّات، تهيمن عليها درب التبانة وأندروميدا، ولكلٍّ منهما مجرّاته التابعة. *عنقود المجرّات* هو أحد أكبر الأنظمة المترابطة بالجاذبية: مجرّات كثيرة محتجزة، مع غاز ساخن يُشعّ الأشعّة السينية، في بئر جذبية مشتركة معظمها من المادة المظلمة.

يقع أكثر من مئة مجرّة ضمن $3\,\mathrm{Mpc}$ من الشمس، معظمها مجرّات قزمة. تبعد سحابة ماجلان الكبرى نحو $50\,\mathrm{kpc}$، وأندروميدا على بُعد $783\,\mathrm{kpc}$ وتقترب منّا بسرعة $300\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$، وأعضاء المجموعة المرتبطة تقع ضمن نحو $1.06\,\mathrm{Mpc}$ من مركز كتلتها، بين درب التبانة وأندروميدا، حيث تنأى عن توسّع الكون. وتُستنتج كتلتها من حركة المجرّتين الكبيرتين نحو بعضهما، فتبلغ من رتبة $5 \times 10^{12}$ كتلة شمسية. وفي [عنقود مجرّات](#def-b3-milky-way-galaxies-groups) ضخم، يحتفظ الغاز الساخن عند نحو $10^{8}\,\mathrm{K}$، بكتلة تبلغ نحو عشرة أضعاف كتلة النجوم؛ والمجرّات والغاز معًا أخفّ من أن تفسّر عمق البئر الجذبية، ومعظم كتلة العنقود، من رتبة $10^{15}$ كتلة شمسية، فهي مظلمة.

## 29.4 سلّم المسافات

يعطي الانزياح الظاهري مسافةً بالهندسة وحدها، لكنّ الانزياحات تتناقص مع البُعد. أفضل كتالوج لها يقيس الانزياح الظاهري بعدم يقين قدره 0.02 إلى $0.03\,\mathrm{mas}$ للنجوم الأسطع من القدر 15، فنحصل على مسافة دقيقة بنحو $10\,\%$ حتى نحو $4\,\mathrm{kpc}$؛ أمّا سحابة ماجلان الكبرى، على بُعد $50\,\mathrm{kpc}$، فيبلغ انزياحها الظاهري $0.02\,\mathrm{mas}$. أمّا ما بعد ذلك، فتعتمد المسافات على أجرام تُعرف إشعاعيتها.

**تعريف 29.15 (الشمعة المعيارية؛ سلّم المسافات).**

*الشمعة المعيارية* هي فئة من الأجرام تُعرف قدرها المطلق، أو يمكن استنتاجه من خاصّية تُقاس بمعزل عن المسافة، بحيث يعطي قدرها الظاهر معامل المسافة له. *سلّم المسافات* هو سلسلة من الطرائق، تُعاير كلٌّ منها على أجرام قريبة بما يكفي لتُقاس أيضًا بالطريقة التي تسبقها، والتي تنقل المسافات من الانزياحات الظاهرية حتى الكون المتمدّد.

**تعريف 29.16 (المتغيّر القيفاوي؛ قانون ليفيت).**

*المتغيّر القيفاوي* هو نجم فتيّ، مشعّ، نابض، يتغيّر سطوعه بدورة منتظمة تمامًا، تتراوح من نحو يوم إلى عدّة أسابيع. أمّا *قانون ليفيت*، أو علاقة الدور–الإشعاعية، وهي العلاقة الخطّية بين متوسّط القدر المطلق للمتغيّر القيفاوي ولوغاريتم دوره، فتكون الأدوار أطول للنجوم الأسطع.

اكتُشفت العلاقة في سحابة ماجلان الصغرى، التي تكون نجومها جميعها على المسافة نفسها تقريبًا، وذلك عام 1908. الغبار في المجرّة التي تحوي متغيّرًا قيفاويًّا يُخفته ويحمّره؛ لكنّ الإخماد يكون أكبر في الضوء المرئي منه في تحت الحمراء القريبة، بنسبة ثابتة لنوع معيّن من الغبار، ويُختار المزيج $W_I = I - 1.55\,(V - I)$ للأقدار في النطاقين I وV، دليل ويسنهايت، بحيث يُلغى الإخماد. يبيّن الشكل أدناه ذلك لعدد 2315 من المتغيّرات القيفاوية في سحابة ماجلان الكبرى: [قانون ليفيت](#def-b3-milky-way-galaxies-cepheid) خطّ محكم، مع تشتّت قدره $0.078\,\mathrm{mag}$، أي $3.6\,\%$ في المسافة لنجم واحد.

![قانون ليفيت في سحابة ماجلان الكبرى: دليل ويسنهايت لعدد 2315 من المتغيّرات القيفاوية النابضة بنمطها الأساسي مقابل لوغاريتم أدوارها (مسح OGLE، سوشينسكي وآخرون، 2015، عبر CDS). النجوم الأسطع تقع أعلى. خطّ مستقيم مُلائم بطريقة المربعات الصغرى، بعد استبعاد 92 نجمًا تبعد أكثر من ثلاثة انحرافات معيارية عنه، يعيد إنتاج العلاقة المنشورة (-3.314، 15.888). ومع معامل المسافة للسحابة، 18.477، يعطي الخطّ يعطي قدر ويسنهايت المطلق لأيّ متغيّر قيفاوي انطلاقًا من دوره.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-milky-way-galaxies/fig-db60567bf4b0.svg)

*[قانون ليفيت](#def-b3-milky-way-galaxies-cepheid) في سحابة ماجلان الكبرى: دليل ويسنهايت لعدد 2315 من المتغيّرات القيفاوية النابضة بنمطها الأساسي مقابل لوغاريتم أدوارها (مسح OGLE، سوشينسكي وآخرون، 2015، عبر CDS). النجوم الأسطع تقع أعلى. خطّ مستقيم مُلائم بطريقة المربعات الصغرى، بعد استبعاد 92 نجمًا تبعد أكثر من ثلاثة انحرافات معيارية عنه، يعيد إنتاج العلاقة المنشورة ($-3.314$، $15.888$). ومع معامل المسافة للسحابة، 18.477، يعطي الخطّ يعطي قدر ويسنهايت المطلق لأيّ متغيّر قيفاوي انطلاقًا من دوره.*

**تعريف 29.17 (قمّة فرع العمالقة الحمراء).**

*قمّة فرع العمالقة الحمراء* (TRGB) هي الحدّ الأعلى الحادّ لإشعاعيات العمالقة الحمراء في لجمهرة نجمية قديمة، يحدّده إشعال الهيليوم في لُبّ نجومها، الوميض الهيليومي؛ وفي نطاق I يقع القدر المطلق تقريبًا عند القيمة نفسها في كلّ جمهرة قديمة، عند قدر $M_I \approx -4.05$ وعند لون $V - I = 1.6$، ويعتمد اعتمادًا ضعيفًا فقط على التركيب الكيميائي.

تُقاس القمّة في الهالات المتناثرة للمجرّات، حيث قليل الغبار وقليل الازدحام؛ فهي تستعمل نجومًا هالية قديمة، حيث تستعمل القيفاويات نجومًا قرصية فتية، ولا تشترك الطريقتان في أيّ مبدأ فيزيائي. تبلغ القيفاويات وTRGB بضع عشرات من الميغابارسك، وتصل إلى مجرّات انفجرت فيها شمعة معيارية نادرة وأشدّ سطوعًا بكثير: المستعر الأعظم من النوع Ia، وهو الانفجار النووي الحراري لقزم أبيض، كما ورد في كتب الفيزياء، الذي يبلغ قدره المطلق الذروي، بعد تصحيحه من أجل شكل منحنى ضوئه ولونه، هو $M_B = (-19.253 \pm 0.027)\,\mathrm{mag}$. وتُرصد هذه المستعرات عبر مئات الميغابارسكات.

**تعريف 29.18 (علاقة تولي–فيشر).**

*علاقة تولي–فيشر* هي الترابط بين الإشعاعية، أو بالأحرى كتلة النجوم والغاز، لمجرّة حلزونية وسرعة منحنى دورانها المسطّح؛ وفي صيغته الباريونية $M_\mathrm{b} = A\,V^4$، فإنّه يصحّ من نحو 30 إلى $300\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

يعطي طيف 21 سم لمجرّة ما أقصى سرعة دورانها، وتعطي العلاقة إشعاعيتها مستقلّةً عن بُعدها، ثم يعطي فيضُها البُعدَ: مرتبةٌ للمجرّات [الحلزونية](#def-b3-milky-way-galaxies-types) البعيدة أكثر مما تبلغه النجوم المفردة. ويقع درب التبانة، بإشعاعيته ودورانه، على العلاقة.

![مراتب سلّم المسافات، مع المدى الذي تُستعمل فيه كلّ مرتبة هنا: عمليات قياس التزيّح المنظوري لأفضل كتالوج، حتى 10\,\% حتى 4\, kpc؛ القيفاويات وفرع العمالقة الحمراء من سحابة ماجلان الكبرى حتى مضيفات أقرب المستعرات الأعظم من النوع Ia، 45\, Mpc؛ المستعرات الأعظم للتمدّد المنتظم، عند إزاحات حمراء من 0.023 إلى 0.15 (96 to 616\, Mpc من أجل H_0 = 73). المنقّطة: مرساتان لمقياس القيفاويات بمسافات هندسية (الثنائيات الكاسفة في سحابة ماجلان الكبرى، والمازرات المائية التي تدور حول الثقب الأسود في NGC 4258)، وM31، أقرب حلزونية كبيرة. الأسهم: تُعايَر كلّ مرتبة على أجرام تقيسها أيضًا المرتبة الواقعة تحتها، فالقيفاويات في المجرّة بتزيّحاتها المنظورية، والمستعرات الأعظم في المجرّات القريبة بالقيفاويات وفرع العمالقة الحمراء في مضيفاتها.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-milky-way-galaxies/fig-6e89d10139e3.svg)

*مراتب [سلّم المسافات](#def-b3-milky-way-galaxies-ladder)، مع المدى الذي تُستعمل فيه كلّ مرتبة هنا: عمليات قياس التزيّح المنظوري لأفضل كتالوج، حتى $10\,\%$ حتى $4\,\mathrm{kpc}$؛ القيفاويات وفرع العمالقة الحمراء من سحابة ماجلان الكبرى حتى مضيفات أقرب المستعرات الأعظم من النوع Ia، $45\,\mathrm{Mpc}$؛ المستعرات الأعظم للتمدّد المنتظم، عند إزاحات حمراء من 0.023 إلى 0.15 ($96\text{ ⁧إلى⁩ }616\,\mathrm{Mpc}$ من أجل $H_0 = 73$). المنقّطة: مرساتان لمقياس القيفاويات بمسافات هندسية (الثنائيات الكاسفة في سحابة ماجلان الكبرى، والمازرات المائية التي تدور حول الثقب الأسود في NGC 4258)، وM31، أقرب حلزونية كبيرة. الأسهم: تُعايَر كلّ مرتبة على أجرام تقيسها أيضًا المرتبة الواقعة تحتها، فالقيفاويات في المجرّة بتزيّحاتها المنظورية، والمستعرات الأعظم في المجرّات القريبة بالقيفاويات وفرع العمالقة الحمراء في مضيفاتها.*

في أعلى السلّم، تقيس المستعرات الأعظم تمدّد الكون. ينصّ قانون هابل، كما ورد في كتب الفيزياء، على أنّ سرعة التباعد $cz$ لمجرّة بعيدة تتناسب طرديًّا مع بُعدها $d$، $cz = H_0 d$ عند إزاحات حمراء صغيرة $z$؛ وثابت هابل $H_0$ هو الميل، والمستعرات الأعظم، مع مسافاتها المأخوذة من السلّم، تعطيه.

**تعريف 29.19 (توتّر هابل).**

*توتّر هابل* هو الخلاف بين قيمة ثابت هابل المقاسة محلّيًّا [بسلّم المسافات](#def-b3-milky-way-galaxies-ladder)، والقيمة المستنتجة من خلفية الموجات الدقيقة الكونية بالنموذج الكوني المعياري.

**أرقام عام 2022.**

القيفاويات في مضيفات 42 مستعرًا أعظم من النوع Ia، مرساةً على تزيّحات غايا المنظورية، والمازرات NGC 4258 والثنائيات الكاسفة في سحابة ماجلان الكبرى، تعطي $H_0 = (73.04 \pm 1.04)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Mpc}^{-1}$. وأعطت [قمّة فرع العمالقة الحمراء](#def-b3-milky-way-galaxies-trgb)، بمعايرة نحو مائة مستعر أعظم، في عام 2019 $H_0 = 69.8 \pm 0.8 \pm 1.7\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Mpc}^{-1}$ (إحصائي ومنهجي). وخريطة القمر الصناعي بلانك للخلفية الكونية للموجات الدقيقة، وإذا قُرئت بالنموذج الكوني المعياري، تُفضي إلى $H_0 = (67.4 \pm 0.5)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Mpc}^{-1}$. وتختلف قيمة القيفاويات عن قيمة الخلفية بمقدار خمسة انحرافات معيارية؛ وتقع قيمة TRGB بينهما. ومصدر التناقض غير معروف: خطأ لم يُكتشف بعدُ في أحد السلّمين، أو فيزياء ناقصة في النموذج.

**في المختبر — ساتل قياس المواقع الفلكية وكتالوجه.**

يمسح الساتل غايا السماءَ وفق نمطٍ مُبرمَج، بحيث تُقاس كلُّ نجمٍ مرارًا وتكرارًا خلال المهمّة. وعلى الأرض، تحوّل وحدات التنسيق في كونسورتيوم معالجة البيانات هذه القياسات إلى موضعٍ وانزياحٍ منظوريٍّ وحركةٍ ذاتيةٍ لكلّ مصدرٍ من أكثر من مليار مصدر: فمن الحركات الصغيرة لنجمٍ على السماء، يكون الانزياح المنظوري هو الجزء الذي يتكرّر كلّ عام، والحركة الذاتية هي الجزء الذي يتراكم. وتُنشر كلّ قائمة مع أوراقٍ تصف معالجتها وتحقّقها، وكلّ مسافة في أشكال هذا القسم التي تعتمد على انزياحٍ منظوريٍّ تعتمد في النهاية على كتالوج من هذا النوع.

**أرقام عام 2022.**

الكتالوج الثالث للساتل غايا، الصادر في 13 يونيو 2022 من 34 شهرًا من الرصد، يعطي المواضع والانزياحات المنظورية والحركات الذاتية لنحو 1.46 مليار مصدر، من القدر 3 إلى 21، ومتوسّطات السرعة الشعاعية 33 مليون نجم. وتبلغ شكوك الانزياح المنظوري 0.02 إلى $0.03\,\mathrm{mas}$ للنجوم الأسطع من القدر 15، و$0.07\,\mathrm{mas}$ عند القدر 17، و$0.5\,\mathrm{mas}$ عند القدر 20.

## 29.5 التمارين

**تمرين 29.1 ★.**

سنة الشمس المجرّية. (أ) بأخذ $R_0 = 8.178\,\mathrm{kpc}$ و$V_0 = 229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$، احسب دور مدار الشمس حول مركز المجرّة، بالملايين من السنين. (ب) كم مرّةً دارت الشمس منذ تشكّل المجموعة الشمسية، قبل $4.54\,\mathrm{Gyr}$؟

**حل التمرين 29.1.**

(أ) $2\pi R_0 = 2\pi\times2.523 \times 10^{17}\,\mathrm{km} = 1.585 \times 10^{18}\,\mathrm{km}$؛ عند $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ يستغرق هذا $6.92 \times 10^{15}\,\mathrm{s}$، أي $219\,\mathrm{Myr}$. (ب) $4540/219 = 20.7$: نحو عشرين دورة.

**تمرين 29.2 ★.**

الحركة الارتدادية للمصدر الرامي A*. (أ) حركة ذاتية مقدارها $1\,\mathrm{mas}$ في السنة عند $1\,\mathrm{kpc}$ تكافئ سرعة مستعرضة قدرها $1\,\mathrm{au}$ في السنة: عبّرْ عنها بالكيلومترات في الثانية. (ب) المصدر الرامي A*، مفترَضًا ساكنًا عند مركز المجرّة عند $8.178\,\mathrm{kpc}$، ينجرف على طول المستوى المجرّي بمقدار $6.411\,\mathrm{mas}$ في السنة. احسب سرعة الشمس حول المركز، وقارنها بالقيمة المرجعية، $(248 \pm 3)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. (ج) اطرح الحركة الخاصة للشمس في اتجاه الدوران، $11\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$، ثم قارن النتيجة بالقيمة $V_0$ المستخرجة من [منحنى الدوران](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve).

**حل التمرين 29.2.**

(أ) $1\,\mathrm{au}/1\,\mathrm{yr} = 1.496 \times 10^{8}/3.156 \times 10^{7} =
4.74\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. (ب) $v = 4.74\times6.411\times8.178 =
248.5\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$، ضمن ما تُقدّمه المراجعة $(248 \pm 3)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. (ج) $248.5 - 11 = 237.5\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$، أعلى بنحو $8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ من $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ لدى العمالقة الحمراء: يرتكز الرقمان على قيمتين مختلفتين للمسافة $R_0$ (8.178 و$8.122\,\mathrm{kpc}$)، [ومعيار السكون المحلي](#def-b3-milky-way-galaxies-lsr) نفسه قد ينساب بمقدار يصل إلى نحو $15\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ بالنسبة إلى مدار دائري حقيقي.

**تمرين 29.3 ★.**

تصنيف المجرّات [الإهليلجية](#def-b3-milky-way-galaxies-types). (أ) لخطوط التساوي الضوئي في مجرّة إهليلجية نسبةُ محورين قدرها 0.6: حدّد صنفها. (ب) ما نسبة المحورين لمجرّة E7؟ (ج) لماذا قد تكون المجرّة E0 نظامًا مفلطحًا؟

**حل التمرين 29.3.**

(أ) $n = 10(1 - 0.6) = 4$: E4. (ب) $b/a = 1 - 7/10 = 0.3$. (ج) يعتمد التصنيف على نسبة المحورين الظاهرية؛ فالمجسّم الإهليلجي المفلطح المرئي على طول محوره القصير له مخطّط دائري ويُصنَّف E0.

**تمرين 29.4 ★.**

نقاط الارتكاز. احسب مسافات سحابة ماجلان الكبرى ($\mu = 18.477$)، وأندروميدا ($\mu = 24.47$) وNGC 4258 ($\mu = 29.398$). ما الانزياح المنظوري الذي يكون لنجمٍ في السحابة، ولماذا لا يمكن قياس مسافة السحابة بالانزياحات المنظورية؟

**حل التمرين 29.4.**

$d = 10^{\mu/5 + 1}$ pc : سحابة ماجلان الكبرى $49.6\,\mathrm{kpc}$، أندروميدا $783\,\mathrm{kpc}$، NGC 4258 $7.58\,\mathrm{Mpc}$. لنجمٍ في السحابة اختلاف منظر قدره $1/49.6\,\mathrm{kpc} = 0.020\,\mathrm{mas}$، وهو مقدار عدم اليقين في أفضل كتالوج للنجوم الساطعة: فاختلاف المنظر الواحد لا يعطي أيّ مسافة على الإطلاق، ويُحدَّد موضع السحابة بوسائل أخرى (الثنائيات الكاسفة)، ومنها يبدأ [سلّم المسافات](#def-b3-milky-way-galaxies-ladder) القيفاوي.

**تمرين 29.5 ★★.**

انطلاقًا من ثابتي أورت $A = 15.3\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$ و$B = -11.9\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$: (أ) احسب السرعة الزاوية [لمعيار السكون المحلي](#def-b3-milky-way-galaxies-lsr) LSR، ثم، بأخذ $R_0 = 8.178\,\mathrm{kpc}$، السرعة الدائرية $V_0$؛ (ب) احسب ميل [منحنى الدوران](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve) عند الشمس. (ج) قارن بمنحنى دوران العمالقة الحمراء ($V_0 = 229.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$، ميله $-1.7\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ لكلّ كيلوفرسخ)، واقترح سببَ اختلاف المنحنيين، علمًا بأنّ القياس نفسه وجد $C$ و$K$ غيرَ صفريّين.

**حل التمرين 29.5.**

(أ) $\omega_0 = A - B = 27.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$ و$V_0 =
27.2\times8.178 = 222\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. (ب) $V'_0 = -(A + B) =
-3.4\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$: منحنى يهبط ببطء. (ج) كلتاهما أدنى من قيم العمالقة الحمراء (229 و$-1.7\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ لكلّ كيلوفرسخ فلكي)؛ وجد مؤلفو ذلك المنحنى النتيجة نفسها، فقيمة $V_0$ أدنى بنحو انحرافين معياريين بالنسبة إلى $R_0$ وثابتَي أورت هذين. صيغُ أورت تفترض مدارات دائرية في قرص متماثل محوريًّا؛ والثابتان $C$ و$K$ غير الصفريّين يدلّان على أنّ حقل السرعة المحلي يتأثّر بالعصابة والأذرع [الحلزونية](#def-b3-milky-way-galaxies-types)، وأنّ الثابتان المحليّان $A$ و$B$ يحملان تلك الاضطرابات.

**تمرين 29.6 ★★.**

الكثافة المحلية [ومنحنى الدوران](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve) المستوي. (أ) لمجرّة كروية ذات منحنى دوران مستوٍ عند $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$، احسب الكثافة عند $8.178\,\mathrm{kpc}$، بوحدة الكتل الشمسية لكلّ فرسخ فلكي مكعّب ($G = 4.301 \times 10^{-6}\,\mathrm{kpc}\,(\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1})^{2}$ لكلّ كتلة شمسية). (ب) بيّن أنّ كتلة شمسية واحدة لكلّ فرسخ فلكي مكعّب تساوي $37.96\,\mathrm{GeV}\,\mathrm{cm}^{-3}$، وعبّر عن كثافة المادة المظلمة المحلية، $0.30\,\mathrm{GeV}\,\mathrm{cm}^{-3}$، بوحدة الكتل الشمسية لكلّ فرسخ فلكي مكعّب. (ج) لماذا تكون الكثافة في (أ) أكبر؟

**حل التمرين 29.6.**

(أ) $\rho = V^2/(4\pi GR^2) = 229^2/(4\pi\times4.301 \times 10^{-6}\times
8.178^2) = 1.45 \times 10^{7}$ كتلةً شمسية لكلّ كيلوفرسخ فلكي مكعّب، أو $0.0145$ لكلّ فرسخ فلكي مكعّب. (ب) $M_\odot c^2 = 1.9884 \times 10^{30}\times
(2.998 \times 10^{8})^2 = 1.787 \times 10^{47}\,\mathrm{J} = 1.115 \times 10^{57}\,\mathrm{GeV}$ و$1\,\mathrm{pc}^{3} = (3.0857 \times 10^{18}\,\mathrm{cm})^3 = 2.938 \times 10^{55}\,\mathrm{cm}^{3}$: والنسبة هي $37.96\,\mathrm{GeV}\,\mathrm{cm}^{-3}$. ثمّ $0.30/37.96 = 0.0079$ كتلة شمسية لكلّ فرسخ فلكي مكعّب. (ج) تُحصي كثافةُ المنحنى المسطّح كلَّ الكتلة التي تُمسك بالمدارات، بما فيها النجوم والغاز، كأنّها موزَّعة في كرة؛ والمادة المظلمة ليست إلّا جزءًا منها، نحو نصفها هنا.

**تمرين 29.7 ★★.**

مسافة متغيّر قيفاوي. في مجرّة حلزونية متخيَّلة، لدينا متغيّر قيفاوي دوره $30\,\mathrm{d}$، ومتوسط دليل فيسنهايت $W_I = 25.00\,\mathrm{mag}$. (أ) باستخدام [قانون ليفيت](#def-b3-milky-way-galaxies-cepheid) لسحابة ماجلان الكبرى، $W_I = -3.314\log_{10}P + 15.888$، ومعامل المسافة للسحابة 18.477، احسب القدر المطلق لفيسنهايت للمتغيّر القيفاوي. (ب) احسب مسافة المجرّة. (ج) يبلغ تشتّت القانون $0.077\,\mathrm{mag}$: ما الخطأ النسبي في المسافة من متغيّر قيفاوي واحد، ومن خمسين؟

**حل التمرين 29.7.**

(أ) $W_I(\mathrm{LMC}) = -3.314\times1.4771 + 15.888 = 10.993\,\mathrm{mag}$، أي $M_W = 10.993 - 18.477 = -7.484\,\mathrm{mag}$. (ب) $\mu = 25.00 + 7.484 =
32.484$ و$d = 10^{32.484/5 + 1}~\mathrm{pc} = 31.4\,\mathrm{Mpc}$. (ج) $\delta d/d = (\ln 10/5)\,\delta\mu = 0.4605\times0.077 =
3.5\,\%$ لنجمٍ واحد، و$3.5/\sqrt{50} = 0.5\,\%$ لخمسين نجمًا، إذا كانت أخطاؤها مستقلّة (إذ يُضاف خطأ مسافة السحابة نفسها إلى الجميع بالقدر نفسه).

**تمرين 29.8 ★★.**

مسافة TRGB. في هالة مجرّة متخيَّلة، تقع [قمّة فرع العمالقة الحمراء](#def-b3-milky-way-galaxies-trgb) عند $I = 26.00\,\mathrm{mag}$؛ ويُخفّت الغبار على امتداد خط النظر نطاقَ I بمقدار $0.05\,\mathrm{mag}$. بفرض $M_I = -4.05$، احسب معامل المسافة والمسافة. ماذا يعني عدم اليقين البالغ $0.04\,\mathrm{mag}$ في القمّة بالنسبة إلى المسافة؟

**حل التمرين 29.8.**

$\mu = I - A_I - M_I = 26.00 - 0.05 + 4.05 = 30.00$، أي $d =
10^{7}~\mathrm{pc} = 10.0\,\mathrm{Mpc}$. خطأ قدره $0.04\,\mathrm{mag}$ يساوي $0.4605\times0.04 = 1.8\,\%$ في المسافة.

**تمرين 29.9 ★★.**

ثابت هابل من المستعرات العظمى. لمستعر أعظم في التمدّد المنتظم، $\log_{10}(cz) - 0.2\,m_B = a_B$، وهو مقطع مخطط هابل للمستعرات العظمى، ومعامل المسافة هو $m_B - M_B = 5\log_{10}(d/\mathrm{Mpc}) + 25$. (أ) بيّن أنّ $\log_{10}H_0 = 0.2\,M_B + a_B + 5$ ($H_0$ بالكيلومترات في الثانية لكلّ ميغافرسخ). (ب) بأخذ $M_B = -19.253$ و$a_B = 0.714158$، احسب $H_0$. (ج) ما $M_B$ الذي يعطي $H_0 = 67.4\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Mpc}^{-1}$؟ بكم قدرًا، وبأيّ كسرٍ من المسافات، تختلف المعايرتان؟

**حل التمرين 29.9.**

(أ) $d = cz/H_0$ يعطي $5\log_{10}d = 5\log_{10}(cz) - 5\log_{10}H_0$، أي $m_B - M_B - 25 = 5\log_{10}(cz) - 5\log_{10}H_0$؛ ومع $\log_{10}(cz) = a_B + 0.2\,m_B$، و$5\log_{10}H_0 = 5a_B + M_B + 25$، وهي النتيجة المطلوبة. (ب) $\log_{10}H_0 = -3.8506 + 0.714158 + 5 = 1.8636$، أي $H_0 = 73.04\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Mpc}^{-1}$. (ج) $M_B = 5(\log_{10}67.4 -
5.714158) = -19.427\,\mathrm{mag}$: المستعرات الأعظم أكثر سطوعًا بمقدار $0.174\,\mathrm{mag}$، وبذلك تكون كلّ المسافات أكبر بعامل $10^{0.2\times0.174} = 1.084$، أي نسبة $73.04/67.4$. ويمثّل التوتّر خلافًا بنحو ثمانية في المئة في مقياس المسافات.

**تمرين 29.10 ★★★.**

من أين تأتي [علاقة تولي–فيشر](#def-b3-milky-way-galaxies-tully-fisher). (أ) لمجرّة قرصية كتلتها $M$ ونصف قطرها $R$ تدور بسرعة $V$: بيّن أنّ $M \approx RV^2/G$. (ب) إذا كانت جميع المجرّات [الحلزونية](#def-b3-milky-way-galaxies-types) تملك متوسط كثافة السطح نفسها $\Sigma = M/(\pi R^2)$، بيّن أنّ $M \propto V^4$. (ج) مجرّتان متخيَّلتان على العلاقة الباريونية نفسها تدوران بسرعة 100 و$229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$: ما نسبة كتلتيهما؟ (د) تدور مجرّتان بالسرعة نفسها، ولهما الإشعاعية نفسها؛ وتعطي إحداهما أربعة أمثال دفق الأخرى. قارن بين مسافتيهما.

**حل التمرين 29.10.**

(أ) نجمٌ عند الحافة، في مدار دائري، يحقّق $V^2/R \approx GM/R^2$ (تقريب كروي). (ب) $R = \sqrt{M/(\pi\Sigma)}$، أي $V^2 =
GM/R = G\sqrt{\pi\Sigma}\,M^{1/2}$ و$M = V^4/(\pi\Sigma G^2) \propto
V^4$؛ مع نسبة مشتركة بين الكتلة والضوء، $L \propto V^4$ أيضًا. (ج) $(100/229)^4 = 0.036$: المجرّة الأسرع تزيد كتلتها بمقدار 27 مرّة. (د) عند تساوي الإشعاعية يتناسب الفيض مع $1/d^2$، فالمجرّة الأخفت تبعد ضعف المسافة.

**تمرين 29.11 ★★★.**

مسألة الالتفاف. يدور قرص بمنحنى دوران مستوٍ عند $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. (أ) حوّل هذه السرعة إلى كيلوفرسخ فلكي لكل مليار سنة. (ب) ذراعٌ مستقيم من النجوم يمتدّ عند الزمن صفر من 4 إلى $12\,\mathrm{kpc}$. احسب دورَي المدار عند طرفيه. (ج) بعد $1\,\mathrm{Gyr}$، بأيّ زاوية تقدّم طرفه الداخلي على طرفه الخارجي؟ كم لفّة حلزونية يمثّل ذلك، وكيف يبدو الذراع؟ (د) كيف تتجنّب موجة الكثافة ذلك؟

**حل التمرين 29.11.**

(أ) $1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1} = 1.0227\,\mathrm{kpc}\,\mathrm{Gyr}^{-1}$، أي $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ تساوي $234.2\,\mathrm{kpc}\,\mathrm{Gyr}^{-1}$. (ب) $2\pi R/V$: $107\,\mathrm{Myr}$ عند $4\,\mathrm{kpc}$، و$322\,\mathrm{Myr}$ عند $12\,\mathrm{kpc}$. (ج) $\Delta\phi = Vt\,(1/4 - 1/12) = 234.2\times0.1667 = 39.0\,\mathrm{rad}$، أي نحو 6.2 دورة: سيكون الذراع لولبًا من ست لفّات محكمة بين 4 و$12\,\mathrm{kpc}$، أضيق بكثير من الأذرع المرصودة، وأضيق أكثر عند كلّ دورة أخرى. (د) في موجة الكثافة يدور النمط بسرعة زاوية واحدة، كما يدور جسم صلب، وتعبره النجوم والغاز؛ ولذلك لا يلتفّ شكل الأذرع.

**تمرين 29.12 ★★★.**

الثقب الأسود في المركز. لتكن الكتلة المركزية $4.2 \times 10^{6}$ كتلة شمسية و$R_0 = 8178\,\mathrm{pc}$. (أ) النجم S2 يدور حوله في $16$ سنة: احسب نصف المحور الأكبر لمداره بالوحدة الفلكية (قانون كبلر الثالث بالوحدات الشمسية، $a^3 = MP^2$ مع $a$ بالوحدة الفلكية، $P$ بالسنوات و$M$ بالكتل الشمسية)، والحجم الزاوي لمداره كما يُرى من الأرض. (ب) احسب نصف قطر شفارتزشيلد للثقب الأسود بالأمتار وبالوحدات الفلكية، والزاوية التي يحصرها قطره من الأرض، بالميكروثانية القوسية. (ج) احسب متوسط كثافة الكتلة داخل نصف قطر شفارتزشيلد، بالكتل الشمسية لكل فرسخ فلكي مكعّب، وقارنها بالحدّ الأدنى الذي تفرضه حركة الرامي A*، $4 \times 10^{23}$ كتلة شمسية لكل فرسخ فلكي مكعّب.

**حل التمرين 29.12.**

(أ) $a = (4.2\times10^6\times16^2)^{1/3} = 1024\,\mathrm{au}$؛ عند $8178\,\mathrm{pc}$ يقابلها زاوية $1024/8178 = 0.125{}^{\prime\prime}$ (الوحدة الفلكية عند فرسخ فلكي واحد تقابل ثانية قوسية واحدة). (ب) $R_S = 2GM/c^2 = 2\times6.674 \times 10^{-11}
\times8.35 \times 10^{36}/(2.998 \times 10^{8})^2 = 1.24 \times 10^{10}\,\mathrm{m} = 0.083\,\mathrm{au}$؛ يقابل القطر $2R_S$ زاوية $0.166/8178 = 2.0 \times 10^{-5}$ ثانية قوسية، أي نحو $20\,\text{µ}\mathrm{as}$. (ج) $R_S = 4.02 \times 10^{-7}\,\mathrm{pc}$، و$M/(\tfrac43\pi
R_S^3) = 1.5 \times 10^{25}$ كتلةً شمسية لكلّ فرسخ فلكي مكعّب، أربعين ضعفًا من الحدّ الأدنى الذي تفرضه حركة الرامي A* وحجمه: يقع الحدّ على بُعد عامل أربعين من كثافة الثقب الأسود نفسه.

## 29.6 مسألة: وزن المجرّة

**مسألة 29.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — من حركات النجوم والغاز إلى المادة المظلمة داخل $20\,\mathrm{kpc}$

لتكن $R_0 = 8.18\,\mathrm{kpc}$، و$G = 4.301 \times 10^{-6}\,\mathrm{kpc}\,(\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1})^{2}$ لكل كتلة شمسية، و$4.74\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ للحركة الذاتية البالغة $1\,\mathrm{mas}$ سنويًا عند $1\,\mathrm{kpc}$. تُقاس جميع السرعات بالنسبة إلى LSR. استعمل مبرهنتَي أورت ومبرهنة النقطة المماسّية في الفصل، والتقريب الكروي $M = RV^2/G$ للكتل الديناميكية.

**الجزء الأول — الدوران المحلي.** مسحٌ مُتخيَّل لنجوم التجمّع الأحمر، جميعها عند $d = 1.00\,\mathrm{kpc}$ في المستوي المجرّي، يعطي متوسط السرعة الشعاعية $+15.4\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ عند $\ell = 45{}^{\circ}$ و$-15.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ عند $\ell = 135{}^{\circ}$، ومتوسط الحركات الذاتية في خط الطول $-5.91\,\mathrm{mas}$ سنويًا عند $\ell = 90{}^{\circ}$ و$+0.55\,\mathrm{mas}$ سنويًا عند $\ell = 0{}^{\circ}$.

1. ماذا تتنبّأ صيغة أورت للسرعات الشعاعية عند $\ell = 45{}^{\circ}$ ، $90{}^{\circ}$ ، $135{}^{\circ}$ و $180{}^{\circ}$ ؟
2. احسب $A$ من السرعتين الشعاعيتين.
3. احسب $B$ من الحركة الذاتية عند $\ell = 90{}^{\circ}$ .
4. احسب $B$ مرّةً أخرى من الحركة الذاتية عند $\ell = 0{}^{\circ}$ ، وقارِن النتيجتين.
5. احسب السرعة الزاوية [لمعيار السكون المحلي](#def-b3-milky-way-galaxies-lsr) LSR والسرعة الدائرية $V_0$ .
6. احسب ميل [منحنى الدوران](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve) عند الشمس. هل المنحنى صاعد أم مستوٍ أم هابط؟
7. احسب دور مدار الشمس وعدد الدورات التي تتمّها خلال $4.54\,\mathrm{Gyr}$ .

**الجزء الثاني — [منحنى الدوران](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve) الداخلي.** لتكن $V_0 = 229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. أعلى السرعات الشعاعية في ملامح 21-cm عند $\ell = 40{}^{\circ}$، $50{}^{\circ}$، $60{}^{\circ}$ و$70{}^{\circ}$ هي 82.9، 55.6، 32.4 و$14.9\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

8. لماذا تحتاج طريقة النقطة المماسّية إلى $0{}^{\circ} < \ell < 90{}^{\circ}$ (أو الربع المرآتي)، ولماذا تفشل خارج الدائرة الشمسية؟
9. احسب نصف قطر النقطة المماسّية لكل خط طول.
10. احسب $V(R)$ عند كل نقطة مماسّية.
11. بكم، بالكيلوهرتز، يُزاح خط الغاز عند النقطة المماسّية عند $\ell = 40{}^{\circ}$ عن تردّده السكوني، $1420.405\,751\,\mathrm{MHz}$ ، وفي أيّ اتجاه؟
12. قارِن بمنحنى العمالقة الحمراء، الذي يعطي $226.8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ عند $5.27\,\mathrm{kpc}$ و $229.6\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ عند $7.22\,\mathrm{kpc}$ . هل المنحنى الداخلي صاعد أم مستوٍ أم هابط؟
13. لو كانت السرعة عند النقطة المماسّية عند $\ell = 40{}^{\circ}$ هي سرعة كتلة نقطية في المركز تحمل الشمس بالسرعة $V_0$ ، فكم تكون؟ ماذا تقول المقارنة عن توزيع الكتلة؟

**الجزء الثالث — الكتلة المرئية.** استعمل نموذج الكتلة في الفصل، بوحدات الكتل الشمسية والكيلوفرسخ الفلكي: انتفاخ بلامر $M = 1.067 \times 10^{10}$، $b = 0.3$؛ قرص رقيق من نوع مياموتو–ناغاي $M = 3.944 \times 10^{10}$، $a = 5.3$، $b = 0.25$؛ وقرص سميك من الكتلة نفسها مع $a = 2.6$، $b = 0.8$.

14. احسب الكتلة المرئية الكلّية للنموذج، وقارنها بالقيمة المرجعية لكتلة المجرّة النجمية، $(5 \pm 1 \times 10^{10})\,$ كتل شمسية.
15. احسب السرعة الدائرية للانتفاخ وحده عند $20\,\mathrm{kpc}$ .
16. احسب السرعتين الدائريتين للقرص الرقيق [والقرص السميك](#def-b3-milky-way-galaxies-structure) عند $20\,\mathrm{kpc}$ .
17. احسب السرعة الدائرية لكل الكتلة المرئية عند $20\,\mathrm{kpc}$ .
18. احسب القيمة نفسها عند $R_0$ ، وقارنها بالسرعة $V_0$ .
19. لو تركّزت الكتلة المرئية كلّها في المركز، فما السرعة عند $20\,\mathrm{kpc}$ ؟ لماذا تقترب قيمة النموذج منها؟

**الجزء الرابع — المادة المظلمة.** العمالقة الحمراء تعطي سرعة دائرية قدرها $200\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ عند $20\,\mathrm{kpc}$.

20. احسب الكتلة الديناميكية داخل $20\,\mathrm{kpc}$ .
21. احسب الكتلة الديناميكية للمادة المرئية داخل $20\,\mathrm{kpc}$ .
22. احسب كتلة المادة المظلمة داخل $20\,\mathrm{kpc}$ ، وبيّن أنّ نسبتها هي $1 - (V_\mathrm{vis}/V)^2$ .
23. الهالة NFW المُطابَقة على المنحنى كلّه تملك $\rho_0 = 1.06 \times 10^{7}$ كتلة شمسية لكل كيلوفرسخ فلكي مكعّب، و $R_s = 14.8\,\mathrm{kpc}$ . احسب كتلتها داخل $20\,\mathrm{kpc}$ والنسبة المظلمة التي تُنتجها. لماذا تختلف عن الإجابة السابقة؟
24. احسب كثافة تلك الهالة عند $R_0$ ، بالكتل الشمسية لكل فرسخ فلكي مكعّب، وبالوحدة $\mathrm{GeV}\,\mathrm{cm}^{-3}$ (كتلة شمسية واحدة لكل فرسخ فلكي مكعّب تساوي $37.96\,\mathrm{GeV}\,\mathrm{cm}^{-3}$ ).
25. أعطِ نسبة المادة المظلمة من الكتلة داخل $20\,\mathrm{kpc}$ المستخلصة من السرعة المقيسة، بالنسبة المئوية، إلى رقمين معنويين.

**حل المسألة 29.1.**

**الجزء الأول.**

**1.** $v_r = A\,d\sin2\ell$: $+A d$ عند $45{}^{\circ}$، 0 عند $90{}^{\circ}$، $-A d$ عند $135{}^{\circ}$، 0 عند $180{}^{\circ}$.

**2.** $A = (15.4 + 15.2)/(2\times1.00\,\mathrm{kpc}) =
15.3\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$.

**3.** عند $90{}^{\circ}$، $v_t = d(B - A) = 4.74\times(-5.91)\times1.00 =
-28.02\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$، ومنه $B = 15.3 - 28.02 =
-12.72\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$.

**4.** عند $0{}^{\circ}$، $v_t = d(A + B) = 4.74\times0.55 =
2.61\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$، ومنه $B = 2.61 - 15.3 = -12.69$: القيمتان تتّفقان ضمن $0.03$.

**5.** $\omega_0 = A - B = 28.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$ و$V_0 = 28.0\times8.18 = 229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**6.** $V'_0 = -(A + B) = -2.6\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$: يتناقص برفق.

**7.** $P = 2\pi/\omega_0$: $2\pi\times8.18\,\mathrm{kpc}/229.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}
= 219\,\mathrm{Myr}$؛ $4540/219 = 20.7$ دورة.

**الجزء الثاني.**

**8.** تحتاج نقطة المماسّ إلى خط النظر الذي يمرّ أقرب إلى المركز من الشمس، $\sin\ell > 0$ مع $\ell < 90{}^{\circ}$ (أو الربع المتناظر، $270{}^{\circ} < \ell < 360{}^{\circ}$، حيث تكون أكبر سرعة هي الأكثر سلبيةً). خارج الدائرة الشمسية تتزايد المسافة إلى المركز على امتداد خط النظر كلّه: فلا تُفرَد نقطة بعينها، ولا تُخبر السرعة وحدها أين يقع الغاز.

**9.** $R = 8.18\sin\ell$: $5.26\,\mathrm{kpc}\text{, }6.27\,\mathrm{kpc}\text{, }7.08\,\mathrm{kpc}\text{ ⁧و⁩}7.69\,\mathrm{kpc}$.

**10.** $V = v_\mathrm{max} + V_0\sin\ell$: $82.9 + 147.2 = 230.1$, $55.6 + 175.4 = 231.0$, $32.4 + 198.3 = 230.7$, $14.9 + 215.2 =
230.1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**11.** $\Delta\nu = \nu v/c = 1.420\,406 \times 10^{9}\times82.9/299792 =
393\,\mathrm{kHz}$، نحو ترددات أدنى: الغاز يبتعد.

**12.** ضمن نحو $3\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ من العمالقة الحمراء: بين 5 و$8\,\mathrm{kpc}$ يكون [منحنى الدوران](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve) مستويًا.

**13.** تُعطي الكتلة النقطية $V = V_0\sqrt{R_0/R} = 229\times\sqrt{8.18/5.26} =
286\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ عند نقطة المماسّ الأولى، وهي أسرع بكثير من $230\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ المستخلصة: الكتلة غير متمركزة عند المركز، ومعظمها يقع بين 5 و$8\,\mathrm{kpc}$ وما وراءها.

**الجزء الثالث.**

**14.** $1.067 \times 10^{10} + 2\times3.944 \times 10^{10} = 8.96 \times 10^{10}$ كتلةً شمسية، أي نحو ضعف تقدير المراجعة $5 \pm 1 \times 10^{10}$؛ ربما تكون نجوم النموذج أثقل من اللازم، ولو صحّ ذلك لجعل المادة المظلمة المستخلصة أدناه تقديرًا ناقصًا.

**15.** $V_b^2 = GMR^2/(R^2 + b^2)^{3/2} = 4.301 \times 10^{-6}\times1.067 \times 10^{10}
\times400/(400.09)^{3/2}$, $V_b = 47.9\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**16.** القرص الرقيق: $(a + b)^2 = 30.80$، $V^2 = 4.301 \times 10^{-6}\times3.944 \times 10^{10}
\times400/(430.8)^{3/2}$، $V = 87.1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. [القرص السميك](#def-b3-milky-way-galaxies-structure): $(a + b)^2 = 11.56$, $V = 90.1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**17.** $V_\mathrm{vis} = \sqrt{47.9^2 + 87.1^2 + 90.1^2} =
134.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**18.** عند $8.18\,\mathrm{kpc}$: 74.8، 108.4 و$127.8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$، مجتمعةً $183.5\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$، مقابل $V_0 = 229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$: تقصر الكتلة المرئية عن المطلوب حتى عند الشمس.

**19.** $\sqrt{G\times8.96 \times 10^{10}/20} = 138.8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. قيمة النموذج $134.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ قريبة منها، لأنّ عند $20\,\mathrm{kpc}$، على بُعد أربعة إلى ستة أطوال مقياس القرص، تقع معظم الكتلة المرئية داخل المدار: صار المنحنى المرئي كيبلريًّا.

**الجزء الرابع.**

**20.** $M = 20\times200^2/4.301 \times 10^{-6} = 1.860 \times 10^{11}$ كتلةً شمسية.

**21.** $M_\mathrm{vis} = 20\times134.2^2/4.301 \times 10^{-6} = 8.37 \times 10^{10}$ كتلةً شمسية.

**22.** $M_\mathrm{dark} = 1.860 \times 10^{11} - 8.37 \times 10^{10} = 1.02 \times 10^{11}$; لأنّ الكتلتين كلتيهما تساويان $RV^2/G$ عند نفس $R$، فإنّ الكسر هو $1 - (V_\mathrm{vis}/V)^2 = 1 - (134.2/200)^2 = 0.550$.

**23.** $x = 20/14.8 = 1.351$, $\ln(2.351) - 1.351/2.351 = 0.8549 - 0.5748
= 0.2801$, $M = 4\pi\times1.06 \times 10^{7}\times14.8^3\times0.2801 =
1.21 \times 10^{11}$ كتلةً شمسية؛ ونسبة المادة المظلمة هي $1.21/(1.21 + 0.837) = 0.59$. تُطابَق [هالة المادة المظلمة](#def-b3-milky-way-galaxies-halo) على المنحنى كلّه، الذي تتجاوزه الهالة عند $20\,\mathrm{kpc}$: تنخفض القياسات هناك بنحو $10\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ دون النموذج الأملس (وهو $209\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$).

**24.** $x = 8.18/14.8 = 0.553$, $\rho = 1.06 \times 10^{7}/(0.553\times1.553^2)
= 7.95 \times 10^{6}$ كتلةً شمسية لكلّ كيلوفرسخ فلكي مكعّب، أي $0.0080$ لكلّ فرسخ فلكي مكعّب، أو $0.30\,\mathrm{GeV}\,\mathrm{cm}^{-3}$، وهي القيمة التي يذكرها مؤلّفو المطابقة.

**25.** $1 - 8.37/18.60 = 0.550$: نسبة المادة المظلمة من الكتلة الواقعة ضمن $20\,\mathrm{kpc}$ هي **$55\,\%$**.