---
title: "المغناطيسية الأرضية والمغناطيسية القديمة"
book: "علوم الأرض والفضاء الجامعية — السنة الثالثة"
subject: earth
language: ar
chapter: 4
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/5/ar/chapter/4-geomagnetism-and-palaeomagnetism
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
---

# الفصل 4 — المغناطيسية الأرضية والمغناطيسية القديمة

تدفّقٌ بازلتيّ ثار قبل ستين مليون سنة، فبرد وحبيباتُ المغنتيت الدقيقة فيه محبوسةٌ موازيةً لمجال ذلك الزمن. يُثقب اليوم ويُوجَّه في موضعه، ويُقطَّع إلى أسطوانات صغيرة، ويُسخَّن خطوةً خطوةً في غرفةٍ معزولةٍ عن المجال الحالي، فإنّه ما يزال يدلّ على مدى بُعده آنذاك عن القطب، وعلى الجهة التي كان يواجهها. آلاف من هذه القياسات، من كل قارّة وكل عصر، بيّنت كيف تحرّكت القارّات قبل أن تتكوّن قيعان المحيطات التي تسجّل حركتها، وفي أيّ ترتيبٍ انعكس فيه المجال عبر طبقات مقطعٍ رسوبيّ. يصف هذا الفصل المجال كما هو اليوم، وكيف تسجّله الصخور، كيف يُستخلص اتجاهٌ ويُحسب متوسطه، وماذا يقول القطب المغناطيسي القديم عن حركة صفيحة.

**ما تعرفه من قبل.**

الأرض بوصفها مغناطيسًا والانحراف المغناطيسي وردا في كتب الفيزياء المدرسية؛ النطاقات المغناطيسية والتخلّف المغناطيسي والمغنطة المتبقية ودرجة حرارة كوري في مجلد السنة الثالثة؛ ومجال ثنائي القطب المغناطيسي في مجلد السنة الأولى. وقد عُرضت الانعكاسات المغناطيسية والقطبيتان العادية والمعكوسة في الصف 11. وعُرِّفت الدائرة العظمى والمثلّث الكروي في مجلد السنة الأولى، في فصله عن الفلك الكروي؛ والحقبة القطبية، والمقياس الزمني لقطبية المجال المغناطيسي الأرضي، والشذوذ المغناطيسي البحري، والدورانات المنتهية حول قطب أويلر في فصله عن حركيات الصفائح على الكرة؛ ومسار البقعة الساخنة في فصله عن البقع الساخنة. والتوافقيات الكروية ودوال ليجندر المعيارية وفق شميدت $P_n^m$ استُخدمت للجاذبية في الفصل عن الجاذبية وشكل الأرض ([الفصل 3](https://one-course.com/books/earth/5/ar/chapter/3-gravity-and-the-figure-of-the-earth#ch-b3-gravity-geodesy)).

## 4.1 المجال الرئيسي

**تعريف 4.1 (المجال المغناطيسي الأرضي الرئيسي؛ ثنائي القطب المحوري المركزي الأرضي).**

*المجال المغناطيسي الأرضي الرئيسي* هو الجزء من المجال المغناطيسي للأرض الناشئ داخلها، في لبّها الخارجي السائل المكوّن من الحديد؛ يتغيّر خلال سنوات حتى ملايين السنين، على خلاف مجالي الغلاف الأيوني والغلاف المغناطيسي، اللذين يتغيّران خلال ثوانٍ إلى أيام. أمّا *ثنائي القطب المحوري المركزي الأرضي* فهو مجال ثنائي قطب مغناطيسي موضوع في مركز الأرض ومحاذٍ لمحور دورانها، موجّهًا نحو الجنوب، بحيث تخرج خطوط مجاله من نصف الكرة الجنوبي وتدخل إلى نصف الكرة الشمالي.

عند أيّ نقطة من السطح، المجال $\mathbf F$ متجهةٌ. ويُوصَف في إطار محلي (انظر الشكل أدناه): $X$ نحو الشمال الجغرافي، و$Y$ نحو الشرق، و$Z$ نحو الأسفل. مركبته الأفقية هي $H = \sqrt{X^2 + Y^2}$، وشدّته الكلية $F = |\mathbf F|$، والانحراف المغناطيسي $D$ هو الزاوية من الشمال الجغرافي إلى $\mathbf H$ مقيسةً في اتجاه عقارب الساعة، [والميل المغناطيسي](#def-b3-palaeomagnetism-inclination) $I$ هو الزاوية من الأفق إلى $\mathbf F$.

**تعريف 4.2 (الميل المغناطيسي).**

*الميل المغناطيسي* $I$ للمجال عند نقطةٍ ما هي الزاوية بين متجهة المجال والمستوى الأفقي، موجبةً عندما يتّجه المجال نحو الأسفل: $\tan I = Z/H$، مع $-90{}^{\circ} \le I
\le 90{}^{\circ}$.

![عناصر المجال عند نقطة: المركبات الشمالية X والشرقية Y والمركبة نحو الأسفل Z، والمركبة الأفقية H، والمجال الكلي F، والانحراف المغناطيسي D (في المستوى الأفقي، باللون الرمادي) والميل المغناطيسي I (في المستوى الرأسي الذي يحتوي F).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-palaeomagnetism/fig-c9d9d46b35bf.svg)

*عناصر المجال عند نقطة: المركبات الشمالية $X$ والشرقية $Y$ والمركبة نحو الأسفل $Z$، والمركبة الأفقية $\mathbf H$، والمجال الكلي $\mathbf F$، والانحراف المغناطيسي $D$ (في المستوى الأفقي، باللون الرمادي) [والميل المغناطيسي](#def-b3-palaeomagnetism-inclination) $I$ (في المستوى الرأسي الذي يحتوي $\mathbf
F$).*

**مبرهنة 4.3 (صيغة ثنائي القطب).**

عند سطح كرة نصف قطرها $a$، لمجال [ثنائي القطب المحوري المركزي الأرضي](#def-b3-palaeomagnetism-main-field) ذي العزم $m$ له عند خط العرض $\lambda$ القيم الآتية:

$$
H = B_0\cos\lambda,\qquad Z = 2B_0\sin\lambda,\qquad
  F = B_0\sqrt{1 + 3\sin^2\lambda},\qquad
  \tan I = 2\tan\lambda,\qquad D = 0,
$$

حيث $B_0 = \mu_0 m/(4\pi a^3)$ هو المجال عند خط الاستواء. وهذه هي *صيغة ثنائي القطب*.

**برهان.** خارج مصادره يُشتقّ المجال من كمونٍ سلّمي مغناطيسي، $\mathbf B = -\nabla V$. بالنسبة إلى ثنائي قطب عزمه $m$ موجّه على طول $-z$، أي نحو الجنوب الجغرافي، $V = -\mu_0 m\cos\theta/(4\pi r^2)$، حيث $\theta$ متمّم خط العرض. في الإحداثيات الكروية، $B_r = -\partial V/\partial r =
-2\mu_0 m\cos\theta/(4\pi r^3)$ و$B_\theta = -(1/r)\,\partial V/\partial\theta =
-\mu_0 m\sin\theta/(4\pi r^3)$، و$B_\varphi = 0$. عند $r = a$، تكون المركبة نحو الأسفل هي $Z = -B_r = 2B_0\cos\theta = 2B_0\sin\lambda$، ولأنّ $\mathbf e_\theta$ يشير نحو الجنوب، فإنّ المركبة الشمالية هي $X = -B_\theta =
B_0\sin\theta = B_0\cos\lambda$، مع $Y = 0$. إذن $H = X$، و$D = 0$، و$\tan I =
Z/H = 2\tan\lambda$ و$F^2 = B_0^2(\cos^2\lambda + 4\sin^2\lambda) =
B_0^2(1 + 3\sin^2\lambda)$. ∎

يكون الميل صفرًا عند خط الاستواء، و$90{}^{\circ}$ عند القطب الشمالي، وسالبًا في نصف الكرة الجنوبي؛ وتكون الشدّة ضعف قيمتها عند القطبين مقارنةً بخط الاستواء. المجال الحقيقي ليس ثنائي قطب مثاليًا، ويُوصف، كما هو الحال مع الجاذبية، بالتوافقيات الكروية.

**تعريف 4.4 (المجال المغناطيسي الأرضي المرجعي الدولي).**

*المجال المغناطيسي الأرضي المرجعي الدولي* (IGRF) هو النموذج المتفق عليه دوليًا للمجال الرئيسي: الكمون، على السطح وفوقه،

$$
V(r,\theta,\varphi) = a\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac ar\Bigr)^{n+1}\sum_{m=0}^{n}
  \bigl(g_n^m\cos m\varphi + h_n^m\sin m\varphi\bigr)P_n^m(\cos\theta),
$$

حيث $a = 6371.2\,\mathrm{km}$، و$\mathbf B = -\nabla V$، ومعاملات غاوس $g_n^m$، $h_n^m$ (بوحدة $\mathrm{nT}$) تُعطى كل خمس سنوات منذ 1900، مع معدّل تغيّرها خلال الخمس سنوات التالية.

يُصان النموذج من قِبل الجمعية الدولية للمغناطيسية وفيزياء الغلاف العلوي؛ وقد اكتمل جيله الرابع عشر في تشرين الثاني/نوفمبر 2024، ويُقتصر على الدرجة $N = 13$. الحد الأول، $g_1^0$، هو ثنائي القطب المحوري: وبالمقارنة مع البرهان أعلاه، $B_0 = -g_1^0$، و$g_1^0 = -29\,350\,\mathrm{nT}$ في عام 2025. ومع الحدّين الآخرين من الدرجة الأولى يكون ثنائي القطب مائلًا؛ ويلتقي محوره بالسطح عند القطب المغناطيسي الأرضي الشمالي، عند $80.79{}^{\circ}$ شمالًا، $72.76{}^{\circ}$ غربًا في عام 2025، وعزمه $m = 4\pi a^3\sqrt{(g_1^0)^2 + (g_1^1)^2 +
(h_1^1)^2}/\mu_0 = 7.69 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$.

![المجال الرئيسي في عام 2025 من المجال المغناطيسي الأرضي المرجعي الدولي الرابع عشر، عند سطح الكرة ذات نصف القطر 6371.2\, km. (أ) الميل بالدرجات؛ الخطّ السميك، I = 0، هو خط الميل الصفري. (ب) الشدّة الكلّية بوحدة nT؛ العلامة المتقاطعة تمثّل أضعف مجال، نحو 22\,100\, nT، فوق جنوب الأطلسي، مقابل نحو 66\,600\, nT عند أقواها، جنوب أستراليا.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-palaeomagnetism/fig-9bdfffc721e7.svg)

*المجال الرئيسي في عام 2025 من [المجال المغناطيسي الأرضي المرجعي الدولي](#def-b3-palaeomagnetism-igrf) الرابع عشر، عند سطح الكرة ذات نصف القطر $6371.2\,\mathrm{km}$. (أ) الميل بالدرجات؛ الخطّ السميك، $I = 0$، هو خط الميل الصفري. (ب) الشدّة الكلّية بوحدة $\mathrm{nT}$؛ العلامة المتقاطعة تمثّل أضعف مجال، نحو $22\,100\,\mathrm{nT}$، فوق جنوب الأطلسي، مقابل نحو $66\,600\,\mathrm{nT}$ عند أقواها، جنوب أستراليا.*

تُبيّن الخرائط أعلاه مدى ابتعاد المجال عن ثنائي القطب. يتحرّك خط الميل الصفري حتى نحو $12{}^{\circ}$ بعيدًا عن خط الاستواء الجغرافي، وتتغيّر الشدّة، التي كان ثنائي القطب سيجعلها منتظمة على طول الدائرة الموازية، بعامل قدره ثلاثة، مع منخفض واسع فوق جنوب الأطلسي.

**تعريف 4.5 (التغيّر القرني).**

*التغيّر القرني* هو التغيّر البطيء للمجال الرئيسي مع الزمن، على مدى سنوات إلى قرون، ويُقاس بمعدّل تغيّر معاملات غاوس أو عناصره عند موضع ما.

خلال آخر 125 سنة انخفض عزم ثنائي القطب من $8.32 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ إلى $7.69 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$، أي بنسبة $7.6\,\%$، وانتقل القطب المغناطيسي الأرضي الشمالي من $78.61{}^{\circ}$ شمالًا، $68.79{}^{\circ}$ غربًا إلى موقعه الحالي (الشكل أدناه)؛ و$g_1^0$ لا يزال يتزايد بمقدار $12.6\,\mathrm{nT}$ في السنة، وهذا إضعاف لثنائي القطب.

![جزء ثنائي القطب من المجال الرئيسي، من 1900 إلى 2025، كل خمس سنوات، من المجال المغناطيسي الأرضي المرجعي الدولي: عزمه (يسارًا) وخط عرض القطب المغناطيسي الأرضي الشمالي (يمينًا).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-palaeomagnetism/fig-b110b139ab80.svg)

*جزء ثنائي القطب من المجال الرئيسي، من 1900 إلى 2025، كل خمس سنوات، من [المجال المغناطيسي الأرضي المرجعي الدولي](#def-b3-palaeomagnetism-igrf): عزمه (يسارًا) وخط عرض القطب المغناطيسي الأرضي الشمالي (يمينًا).*

من أين يأتي المجال؟ يُستبعد أن يكون المغناطيس الدائم هو المصدر: فدرجة كيوري للمغنتيت نحو $580\,{}^{\circ}\mathrm{C}$، وللهيماتيت $675\,{}^{\circ}\mathrm{C}$، ولبّ الأرض العميق أشدّ حرارةً بكثير من ذلك. يتجدّد المجال باستمرار بحركة السائل الموصل للكهرباء في اللبّ الخارجي.

**تعريف 4.6 (الدينامو الأرضي).**

*الدينامو الأرضي* هو العملية ذاتية الاستدامة التي يُحدِث بها الحمل في سبيكة الحديد السائلة الموصلة للكهرباء في اللبّ الخارجي، المنحرفة بفعل دوران الأرض، تيارات كهربائية يحفظ مجالها المغناطيسي نفسه في مواجهة الاضمحلال الأومي.

**قضية 4.7 (معادلة الحث).**

في موصل ذي انتشارية مغناطيسية $\eta = 1/(\mu_0\sigma)$ يتحرك بالسرعة $\mathbf u$، يخضع المجال المغناطيسي للمعادلة

$$
\frac{\partial\mathbf B}{\partial t} = \nabla\times(\mathbf u\times\mathbf B)
  + \eta\nabla^2\mathbf B .
$$

**برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎

يُطيل الحدّ الأول خطوط المجال التي يحملها السريان ويلويها، أمّا الحدّ الثاني فيجعل المجال يضمحلّ، في جسم حجمه $L$، خلال زمن من مرتبة $L^2/\eta$. يعمل الدينامو حين يُعيد السريان توليد المجال أسرع مما ينتشر بعيدًا. تُعيد المحاكاة الحاسوبية لغلافٍ مائعٍ دوّارٍ يحدث فيه الحمل إنتاج ثنائي القطب المحوري السائد وانقلابًا بين حين وآخر، غير أنّ معادلاتُ [الدينامو الأرضي](#def-b3-palaeomagnetism-geodynamo) المقترنةُ بمعادلات السريان تتجاوز نطاق هذا الكتاب. وإلى جانب الانقلابات الكاملة، يحفظ السجلّ أحداثًا أقصر.

**تعريف 4.8 (الانحراف المغناطيسي العابر).**

*الانحراف المغناطيسي العابر* هو انحراف كبير لاتّجاه المجال عن اتّجاه ثنائي القطب المحوري، حين يبتعد القطبُ المغناطيسي الأرضي الافتراضي (انظر [التعريف 4.16](#def-b3-palaeomagnetism-vgp)) بعيدًا عن القطب الجغرافي، ثمّ يعود إلى القطبية الأصلية بدلًا من أن يُتمّ انقلابًا.

## 4.2 كيف تسجّل الصخور المجال

تحمل المعادن الحديدية المغناطيسية بالمعنى الواسع، وأهمّها المغنتيت في الصخور النارية، والهيماتيت في الرواسب الحمراء مغنطةً متبقية. فوق درجة حرارة كوري الخاصة بها لا تكون للحبيبة أيّ مغنطة؛ وتحتها تكون الحبيبة الصغيرة نطاقًا مغناطيسيًّا مفردًا يتقلّب عزمه بين اتّجاهاتها السهلة بتنشيط حراري، بعد زمن استرخاء

$$
\tau = \frac1C\exp\Bigl(\frac{K V}{k_B T}\Bigr),
$$

حيث $K$ طاقةُ الاتّجاهية المغناطيسية لوحدة الحجم، و$V$ حجمُ الحبيبة و$C$ عامل تردّد. وهذه قاعدة نيل للاسترخاء، نُسلّم بها هنا. ولأنّ $\tau$ يتزايد أُسّيًّا مع انخفاض $T$، تعبر الحبيبة فترةً ضيقةً من درجات الحرارة من التقلّب الحرّ إلى الاحتفاظ بعزمها لمدّة تبلغ مليارات السنين.

**تعريف 4.9 (درجة حرارة الحجب).**

*درجة حرارة الحجب* للحبيبة المغناطيسية هي الدرجة التي يتجاوز دونها زمنُ استرخائها زمنَ التجربة، فيبقى عزمها ثابتًا: عند التبريد عبرها تُسجّل الحبيبة المجالَ؛ وعند التسخين عبرها في غياب المجال تفقد ذلك التسجيلَ.

**تعريف 4.10 (المغنطة المتبقية الطبيعية والحرارية والفتاتية والكيميائية).**

*المغنطة المتبقية الطبيعية* (NRM) للصخر، وهي المغنطة المتبقية التي يحملها وقت جمعه، أي مجموع المركّبات المكتسبة في أزمنة مختلفة. و*المغنطة المتبقية الحرارية* (TRM) تُكتسب بالتبريد عبر [درجات الحجب](#def-b3-palaeomagnetism-blocking) في مجال مغناطيسي، كما في جريان الحمم أو جسم متداخل. و*المغنطة المتبقية الفتاتية* (DRM) تُكتسب حين تستقرّ حبيبات مغناطيسية في الماء، أو في الرواسب الرطبة الواقعة تحت سطحها مباشرةً، فتدور نحو المجال قبل أن تُحبَس. و*المغنطة المتبقية الكيميائية* (CRM) تُكتسب حين ينمو معدنٌ مغناطيسي، عبر حجم حجب، في مجال، كما يحدث للهيماتيت عند تكوّن طبقة حمراء.

يُسجّل TRM المجال لحظة التبريد، و DRM خلال الزمن الذي يستغرقه الرسوب في التراصّ؛ و CRM فيُسجّل متى نما المعدن، وقد يكون ذلك بعيدًا عن الترسيب. ويُضيف تسخينٌ لاحق، أو المجال الحالي المؤثّر زمنًا طويلًا في حبيبات ذات زمن استرخاء قصير، مركّبةً ثانويةً تُضاف فوق ما سبق: مغنطةً متبقيةً لزجةً على امتداد المجال الحديث.

## 4.3 من العيّنة إلى الاتّجاه

تُحفر أسطوانات موجَّهة في عدّة مواقع من التكوين، بضع أسطوانات في كلّ موقع، وتُقطَّع إلى عيّنات حجمها بضعة سنتيمترات مكعّبة. تُقاس NRM لكلّ عيّنة، ثمّ تُزال تدريجيًّا.

**تعريف 4.11 (إزالة المغنطة المتدرّجة).**

*إزالة المغنطة المتدرّجة* هي إزالة المغنطة المتبقية للعيّنة على خطوات متزايدة الشدّة، مع قياس المتجهة الباقية بعد كلّ خطوة: بالتسخين إلى درجات متزايدة ثمّ بالتبريد في غياب المجال (الإزالة الحرارية)، وهي تزيل المركّبات ذات درجة الحجب الأدنى أوّلًا، أو بمجالات مغناطيسية متناوبة متزايدة القيمة القصوى، تتناقص إلى الصفر (الإزالة بالمجال المتناوب)، وهي تزيل تلك ذات القسرية الأدنى أوّلًا.

**تعريف 4.12 (مخطط زيجدرفيلد؛ المغنطة المتبقية المميِّزة).**

*مخطط زيجدرفيلد* يرسم نقاط نهاية متجهة المغنطة المتبقية الباقية بعد كلّ خطوة من الإزالة، على مستويين معًا: المستوي الأفقي (الشمال مقابل الشرق) ومستوٍ رأسي (الشمال مقابل الأسفل)، بمحور شمالي مشترك. والمركّبة المُزالة وحدها عبر مدًى من الخطوات تُرسم قطعةً مستقيمة؛ والقطعة المنتهية عند نقطة الأصل هي *المغنطة المتبقية المميِّزة* (ChRM)، أي المركّبة الأكثر ثباتًا، وتُفسَّر بوصفها الأولية متى سمحت الاختبارات بذلك.

تحمل العيّنة الواردة في الشكل أدناه مركّبتين: طبعةً لزجةً على امتداد المجال الحالي، تُزال عند $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$، ومركّبةُ ChRM تتحرّر من الحجب من 300 إلى $580\,{}^{\circ}\mathrm{C}$، وهي درجة كوري للمغنتيت. وفوق $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ يمتدّ الإسقاطان مستقيمين نحو نقطة الأصل؛ واتّجاه تلك القطعة هو اتّجاهُ المركّبة ChRM.

![(أ) إزالة المغنطة الحرارية لعيّنة اصطناعية، من 20\, C إلى 580\, C: نقاط مملوءة للإسقاط الأفقي، ونقاط مفرّغة للإسقاط الرأسي. (ب) الاتجاهات الستّة للمغنطة المتبقية المميِّزة ChRM للموقع A من مسألة نهاية الأسبوع (نقاط)، ومتوسطها (نجمة)، ومخروط الثقة بنسبة 95 في المئة (دائرة).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-palaeomagnetism/fig-0e6baa4fcecd.svg)

*(أ) إزالة المغنطة الحرارية لعيّنة اصطناعية، من $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ إلى $580\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: نقاط مملوءة للإسقاط الأفقي، ونقاط مفرّغة للإسقاط الرأسي. (ب) الاتجاهات الستّة للمغنطة المتبقية المميِّزة ChRM للموقع A من مسألة نهاية الأسبوع (نقاط)، ومتوسطها (نجمة)، ومخروط الثقة بنسبة 95 في المئة (دائرة).*

تتبعثر اتجاهات عيّنات الموقع حول متوسط، ويُوصَف إحصاء هذا التبعثر بتوزيع على الكرة.

**قضية 4.13 (توزيع فيشر).**

يُعطي *توزيع فيشر* ذو معامل الدقّة $\kappa > 0$ حول اتجاه متوسط، للمتجهة الوحدوية كثافةَ الاحتمال، لكلّ وحدة زاوية مجسّمة،

$$
f(\theta) = \frac{\kappa}{4\pi\sinh\kappa}\,e^{\kappa\cos\theta},
$$

حيث $\theta$ زاوية المتجهة عن المتوسط. إذا أُخذت $N$ متجهة وحدوية $\mathbf u_i$ من هذا التوزيع، ومحصّلتها $\mathbf R = \sum\mathbf u_i$ طولها $R$، فإنّ أفضل تقدير لاتجاه المتوسط هو اتجاه $\mathbf R$؛ ويُقدَّر معامل الدقّة بالعلاقة $k = (N - 1)/(N - R)$؛ ويقع المتوسط الحقيقي، باحتمال $1 - p$، ضمن الزاوية $\alpha_{1-p}$ عن المتوسط المقدَّر، حيث

$$
\cos\alpha_{1-p} = 1 - \frac{N - R}{R}\Bigl[\Bigl(\frac1p\Bigr)^{1/(N-1)} - 1\Bigr].
$$

**برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎

**تعريف 4.14 (ألفا-95).**

*ألفا-95* ($\alpha_{95}$) لاتجاه متوسط هو نصف زاوية مخروط ثقته بنسبة 95 في المئة، أي الزاوية $\alpha_{1-p}$ في [القضية 4.13](#prop-b3-palaeomagnetism-fisher) عند $p = 0.05$.

تكامل الكثافة يساوي الواحد، مع $\mathrm d\Omega = 2\pi\sin\theta\,\mathrm
d\theta$, $\int_0^\pi f\,2\pi\sin\theta\,\mathrm d\theta =
\frac{\kappa}{2\sinh\kappa}\cdot\frac{e^\kappa - e^{-\kappa}}{\kappa} = 1$. تُتوسَّط الاتجاهات بوصفها متجهات وحدوية لا زوايا، فمتوسط الانحرافين المغناطيسيين $350{}^{\circ}$ و$10{}^{\circ}$ هو شمالًا لا جنوبًا. يدلّ $k$ الكبير على تجمّع محكم، و$\alpha_{95}$ يتناقص تقريبًا وفق $1/\sqrt{kN}$.

**طريقة 4.15 (اختبارات حقلية لاتجاه مغنطيسي قديم).**

يمكن إثبات أنّ ChRM تسبق حدثًا باختبار يُجرى في الميدان.

- **اختبار الطية.** مواقع على جناحَي الطية: إذا تجمّعت الاتجاهات أشدّ تجمّعًا بعد إعادة الطبقات إلى الأفقية منه قبلها، فإنّ المغنطة أقدم من عملية الطيّ.
- **اختبار الانعكاس.** إذا احتوى التكوين على القطبيتين، فينبغي أن يتطابق متوسّط الاتجاهات المعكوسة بعد قلبها مع متوسّط الاتجاهات العادية ضمن مخاريط ثقتهما؛ فالتراكب اللزج الذي تُرك دون إزالة سينحرف كلاهما في الاتجاه نفسه، ويكسر التقابل القطري.
- **اختبار التلامس المُحرَق.** يُسخّن القاطع الصخر المضيف المجاور له، فيكتسب مغنطة متبقية حرارية جديدة TRM: إذا حمل الصخر المحروق اتجاه القاطع، والصخر المضيف الأبعد اتجاهًا مختلفًا، فإنّ مغنطة القاطع لم تُعَد تهيئتها منذ أن بَرَد.

## 4.4 الأقطاب والصفائح

إذا كان المجال، متوسّطًا على بضعة آلاف من السنين لتنعيم [التغيّر القرني](#def-b3-palaeomagnetism-secular) هو [ثنائي القطب المحوري المركزي الأرضي](#def-b3-palaeomagnetism-main-field)، فإنّ [صيغة ثنائي القطب](#thm-b3-palaeomagnetism-dipole) تحوّل [الميل المغناطيسي](#def-b3-palaeomagnetism-inclination) المتوسّط إلى خط عرض، ويشير الانحراف المغناطيسي المتوسّط إلى القطب.

**تعريف 4.16 (خط العرض القديم؛ القطب المغناطيسي الأرضي الافتراضي).**

*خط العرض القديم* للموقع هو خط العرض $\lambda$ الذي يعطيه الميل المتوسّط عبر [صيغة ثنائي القطب](#thm-b3-palaeomagnetism-dipole)، $\tan I =
2\tan\lambda$. *القطب المغناطيسي الأرضي الافتراضي* (VGP) لاتجاه $(D, I)$ مُلاحَظ عند موقع هو القطب الشمالي [لثنائي القطب المحوري المركزي الأرضي](#def-b3-palaeomagnetism-main-field) الذي كان سيُنتج ذلك الاتجاه هناك.

**مبرهنة 4.17 (قطب الاتجاه).**

ليكن للموقع خط العرض $\lambda_s$ وخط الطول $\varphi_s$ واتجاه متوسّط $(D, I)$. وليكن $p$ متمّم [خط العرض القديم](#def-b3-palaeomagnetism-vgp)، $\cot p = \tfrac12\tan I$، حيث $0 \le p \le 180{}^{\circ}$. يكون للقطب المغناطيسي الأرضي الافتراضي خط عرض $\lambda_p$ وخط الطول $\varphi_p$ المعطيان بما يلي:

$$
\sin\lambda_p = \sin\lambda_s\cos p + \cos\lambda_s\sin p\cos D,\qquad
  \sin\beta = \frac{\sin p\sin D}{\cos\lambda_p},
$$

حيث $\varphi_p = \varphi_s + \beta$ إذا كان $\cos p \ge \sin\lambda_s\sin\lambda_p$، و$\varphi_p = \varphi_s + 180{}^{\circ} - \beta$ في غير ذلك.

**برهان.** على الكرة، يُشكّل الموقع $S$ والقطب الشمالي الجغرافي $N$ [والقطب المغناطيسي الأرضي الافتراضي](#def-b3-palaeomagnetism-vgp) $P$ مثلثًا كرويًّا (الشكل أدناه). وضلع $NS$ هو متمّم خط عرض الموقع، $90{}^{\circ} - \lambda_s$؛ والضلع $SP$ هو المسافة الزاوية من الموقع إلى قطب ثنائي القطب، وتُعطيها [صيغة ثنائي القطب](#thm-b3-palaeomagnetism-dipole) بالقيمة $p$، لأنّ خط العرض المغناطيسي للموقع هو $90{}^{\circ} - p$، والزاوية عند $S$ بين الاتجاهين نحو $N$ ونحو $P$ تساوي الانحراف المغناطيسي $D$. وتُعطي قاعدة جيب التمام للضلع $NP = 90{}^{\circ} - \lambda_p$ العلاقةَ الأولى؛ وأمّا قاعدة الجيب، $\sin\beta/\sin p = \sin D/\sin(90{}^{\circ} - \lambda_p)$، فتُعطي الزاوية $\beta$ عند $N$، أي فرق خطَّي الطول. ولا يحدّد الجيب $\beta$ إلّا حتى مكمِّلها: تُبيّن قاعدة جيب التمام للضلع $SP$، $\cos p = \sin\lambda_s
\sin\lambda_p + \cos\lambda_s\cos\lambda_p\cos\beta$، أنّ $\cos\beta \ge
0$ تحديدًا عندما $\cos p \ge \sin\lambda_s\sin\lambda_p$. ∎

![المثلث الكروي للقطب المغناطيسي الأرضي الافتراضي: القطب الشمالي الجغرافي N، والموقع S، والقطب P. الزاوية عند الموقع هي الانحراف المغناطيسي D؛ والزاوية عند القطب N هي فرق خطوط الطول .](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-palaeomagnetism/fig-4ff46ba2dcff.svg)

*المثلث الكروي للقطب المغناطيسي الأرضي الافتراضي: القطب الشمالي الجغرافي $N$، والموقع $S$، والقطب $P$. الزاوية عند الموقع هي الانحراف المغناطيسي $D$؛ والزاوية عند القطب $N$ هي فرق خطوط الطول $\beta$.*

يصبح المخروط $\alpha_{95}$ حول الاتجاه المتوسّط بيضويًا حول القطب، بنصفَي محوره $\mathrm dp = \tfrac12\alpha_{95}(1 + 3\cos^2p)$ على طول الدائرة العظمى الواصلة من الموقع، و$\mathrm dm = \alpha_{95}\sin p/\cos I$ عموديًا عليها. القطب المتوسَّط عبر عدّة مواقع من تكوينٍ واحد، وكلٌّ منها قطب مغناطيسي أرضي افتراضي، هو قطب مغناطيسي قديم بمخروطه الخاص $A_{95}$. الصخور ذات العمر نفسه على صفيحة صلبة واحدة تعطي القطب نفسه؛ أمّا الصخور ذات الأعمار المختلفة فتعطي أقطابًا مختلفة.

**تعريف 4.18 (التجوال القطبي الظاهري؛ مسار التجوال القطبي الظاهري).**

*التجوال القطبي الظاهري* هو التغيّر، مع عمر الصخور، للقطب المغناطيسي القديم لصفيحة ما منظورًا إليه من تلك الصفيحة، مع تثبيتها. و*مسار التجوال القطبي الظاهري* هو المنحنى الواصل بين الأقطاب المغناطيسية القديمة لصفيحة ما مرتَّبةً بحسب الأعمار.

القطب لا يتجوّل: الصفيحة هي التي تتحرّك، والمسار يسجّل تلك الحركة معكوسةً. للصفيحتين اللتين ابتعدتا عن بعضهما مساران مختلفان للفترة السابقة لانفصالهما، ويُدار كلّ مسار على الآخر بالدوران المنتهي الذي يُغلق المحيط الفاصل بينهما. القطب المغناطيسي القديم يحدّد خطّ عرض الكتلة واتجاهها، لا خطّ طولها: فدوران الكتلة حول محور الدوران لا يغيّر أيًّا منهما.

تُختبر الكتلة المزاحة، أي الرقعة القشرية، على مسار الصفيحة المستقرّة التي هي جزءٌ منها الآن. ومن القطب المرجعي ذي العمر الصحيح نحسب الاتجاه المتوقَّع $(D_x, I_x)$ عند الموقع، بقراءة [المبرهنة 4.17](#thm-b3-palaeomagnetism-pole) بالعكس. يُقاس دوران الكتلة في اتجاه عقارب الساعة حول محور شاقولي بالمقدار $R = D_o - D_x$، وإزاحتها نحو القطب بالمقدار $P = \lambda_x -
\lambda_o$، أي الفرق بين خطّي العرض القديمين المتوقَّع والمرصود؛ ويبلغ خطأ الانحراف المغناطيسي تقريبًا $\Delta D = \arcsin(\sin\alpha_{95}/\cos I)$، وتُجمع الأخطاء بوصفها جذرًا لمجموع مربّعاتها. وقد خضعت سلسلة هاواي–الإمبراطور لهذا الاختبار في مجلد السنة الأولى، في فصلها عن البقعة الساخنة: أظهرت خطوط العرض القديمة المقاسة على الجبال البحرية للإمبراطور أنّ البقعة الساخنة نفسها تتحرّك جنوبًا بأكثر من $40\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ من 81 إلى $47\,\mathrm{Ma}$.

![مخطّط قطبي متساوي المساحة للمنطقة القطبية الشمالية، حتى 45 شمالًا (الدائرة الخارجية)، ودوائر العرض كلّ 10 ابتداءً من 50 شمالًا، وخطوط الزوال كلّ 30 (مُعنونةً بالدرجات شرقًا). المربّعات: مسار التجوال القطبي الظاهري لقارّة مستقرّة متخيَّلة، مع دوائر A_95 لأقطابها؛ المثلّثات: الأقطاب المغناطيسية الأرضية الافتراضية للتكوينات الثلاثة من الرقعة القشرية المتخيَّلة كيستا الواردة في مسألة نهاية الأسبوع، مع دوائر _95 الخاصة بها (بخطوط متقطّعة). القطب الجغرافي هو النقطة الواقعة في المركز.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-palaeomagnetism/fig-5f1bcd439097.svg)

*مخطّط قطبي متساوي المساحة للمنطقة القطبية الشمالية، حتى $45{}^{\circ}$ شمالًا (الدائرة الخارجية)، ودوائر العرض كلّ $10{}^{\circ}$ ابتداءً من $50{}^{\circ}$ شمالًا، وخطوط الزوال كلّ $30{}^{\circ}$ (مُعنونةً بالدرجات شرقًا). المربّعات: [مسار التجوال القطبي الظاهري](#def-b3-palaeomagnetism-apw) لقارّة مستقرّة متخيَّلة، مع دوائر $A_{95}$ لأقطابها؛ المثلّثات: الأقطاب المغناطيسية الأرضية الافتراضية للتكوينات الثلاثة من الرقعة القشرية المتخيَّلة كيستا الواردة في مسألة نهاية الأسبوع، مع دوائر $\alpha_{95}$ الخاصة بها (بخطوط متقطّعة). القطب الجغرافي هو النقطة الواقعة في المركز.*

قد يعني تحرّك القطب بالنسبة إلى محور الدوران إمّا أنّ الصفائح تحرّكت أو أنّ الأرض الصلبة كلّها دارت تحت محور الدوران.

**تعريف 4.19 (التجوال القطبي الحقيقي).**

*التجوال القطبي الحقيقي* هو دوران الأرض الصلبة بكاملها، مع الوشاح والقشرة معًا، بالنسبة إلى محور دورانها، مدفوعًا بتغيّرات في توزيع الكتلة داخلها. وهو يُزيح كلّ الأقطاب المغناطيسية القديمة لكلّ الصفائح معًا بالدوران نفسه، في حين أنّ حركة الصفيحة تُزيح أقطاب كلّ صفيحة بطريقة مختلفة.

ولا يُكشف إلّا بمقارنة مسارات كلّ الصفائح ضمن إطار مستقلّ عن محور الدوران، كإطار البقع الساخنة؛ ومقدار هذا التجوال في الماضي ما زال محلّ جدل، ولا يُذكر هنا أيّ معدّل.

## 4.5 الستراتيغرافيا المغناطيسية

**تعريف 4.20 (الستراتيغرافيا المغناطيسية).**

*الستراتيغرافيا المغناطيسية* هي تقسيم متتالية من الصخور إلى نطاقات قطبية، وهي فترات ذات قطبية عادية أو معكوسة متجانسة، وتأريخ المتتالية بمطابقة نمط نطاقاتها مع نمط المقياس الزمني للقطبية المغناطيسية الأرضية.

يُسجَّل الانقلاب، ضمن دقّة أخذ العيّنات، في كلّ مكان في الزمن نفسه: حدّ الانقلاب في مقطعٍ ما سطحٌ متساوي الزمن. نمط النطاقات وعددها وسماكاتها النسبية هو ما يُطابَق؛ إذ إنّ نطاقًا واحدًا وحده قد يكون أيّ كرون من قطبيّته. ويُثبِّت المطابقةَ عمرٌ أو عمران مستقلّان، من رماد بركاني أو أحفورة، ثمّ يُؤرِّخ كلّ حدّ انقلاب المقطعَ. وفي الشكل أدناه، يُظهر مقطعٌ بطول $64\,\mathrm{m}$ ثلاثة نطاقات عادية؛ وعند مطابقته مع الكرونات الفرعية العادية للكرون C2An، من 3.596 إلى $2.581\,\mathrm{Ma}$، تعطي حدوده معدّل التراكم يبلغ نحو $40\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$ أسفل $20\,\mathrm{m}$ و$55\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$ أعلاه.

![ترابط الستراتيغرافيا المغناطيسية: نطاقات القطبية لمقطعٍ مُتخيَّل (أسود: عادية؛ أبيض: معكوسة) مُطابَقةً مع المقياس الزمني للقطبية بين 3.8 و2.3\, Ma. تصل الخطوط المتقطعة كلّ حدّ الانقلاب بعمره.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-palaeomagnetism/fig-7046a0ca73bb.svg)

*ترابط [الستراتيغرافيا المغناطيسية](#def-b3-palaeomagnetism-magnetostratigraphy): نطاقات القطبية لمقطعٍ مُتخيَّل (أسود: عادية؛ أبيض: معكوسة) مُطابَقةً مع المقياس الزمني للقطبية بين 3.8 و$2.3\,\mathrm{Ma}$. تصل الخطوط المتقطعة كلّ حدّ الانقلاب بعمره.*

**في المختبر — مختبر محمي للمغنطيسية القديمة.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-palaeomagnetism/img-99fe920720b1.jpg)

*تحميل العيّنات على صينية العيّنات لمقياس المغناطيسية في غرفة محمية (رسم توضيحي مولَّد بالذكاء الاصطناعي).*

المختبر غرفة داخل درع مغناطيسي، طبقات من معدن عالي النفاذية يُقلِّص حقل الأرض إلى جزء صغير من قيمته، بحيث لا تكتسب العيّنات مغنطةً متبقية جديدة أثناء مناولتها. يُحمِّل عالم المغنطيسية القديمة العيّنات، وهي أسطوانات صغيرة من الصخر، يحمل كلٌّ منها سهمًا توجيه، على صينية طويلة تحملها واحدةً تلو الأخرى إلى مقياس مغناطيسية شديد البرودة، مستشعراته فائقة الموصلية والمبرَّدة بالهيليوم السائل، تقيس المركّبات الثلاث للمغنطة المتبقية، وهي أضعف بكثير مما تستطيع البوصلة أن تحسّه. بين القياسات تُنقل العيّنات إلى فرنٍ محمي من أجل خطوة التسخين التالية، أو عبر ملفّات مُزيل مغنطة بمجال متناوب المتّصل بالخطّ نفسه، ويرسم البرنامج كلّ [مخطط زيجدرفيلد](#def-b3-palaeomagnetism-zijderveld) بينما تتراكم الخطوات.

## 4.6 التمارين

**تمرين 4.1 ★.**

في حقل [ثنائي القطب المحوري المركزي الأرضي](#def-b3-palaeomagnetism-main-field)، احسب [الميل المغناطيسي](#def-b3-palaeomagnetism-inclination) عند خط العرض $30{}^{\circ}$ شمالًا، وخط العرض لموقع يبلغ فيه الميل $-20{}^{\circ}$.

**حل التمرين 4.1.**

$\tan I = 2\tan30{}^{\circ} = 1.1547$، إذن $I = 49.1{}^{\circ}$. وبالعكس، $\tan\lambda
= \tfrac12\tan(-20{}^{\circ}) = -0.1820$، فإنّ $\lambda = -10.3{}^{\circ}$، أي $10.3{}^{\circ}$ جنوبًا.

**تمرين 4.2 ★.**

عند محطة، للحقل المركّبات $X = 20\,000\,\mathrm{nT}$، $Y =
-2000\,\mathrm{nT}$ و$Z = 40\,000\,\mathrm{nT}$. احسب $H$، $F$، الانحراف المغناطيسي [والميل المغناطيسي](#def-b3-palaeomagnetism-inclination).

**حل التمرين 4.2.**

$H = \sqrt{20000^2 + 2000^2} = 20\,100\,\mathrm{nT}$; $F = \sqrt{20000^2 + 2000^2 + 40000^2} = 44\,770\,\mathrm{nT}$. الانحراف المغناطيسي هو $\arctan(-2000/20000) = -5.7{}^{\circ}$، $5.7{}^{\circ}$ إلى الغرب من الشمال؛ [الميل المغناطيسي](#def-b3-palaeomagnetism-inclination) $\arctan(40000/20100) = 63.3{}^{\circ}$، نحو الأسفل.

**تمرين 4.3 ★.**

في 2025، $g_1^0 = -29\,350\,\mathrm{nT}$. باعتبار الحقل ثنائي قطب محوري، احسب الحقل عند خط الاستواء وعند القطبين، وعزم ثنائي القطب ($a = 6371.2\,\mathrm{km}$, $\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H}\,\mathrm{m}^{-1}$).

**حل التمرين 4.3.**

$B_0 = -g_1^0 = 29\,350\,\mathrm{nT}$ عند خط الاستواء، و$2B_0 = 58\,700\,\mathrm{nT}$ عند القطبين. $m = 4\pi a^3B_0/\mu_0 = a^3B_0/10^{-7} = 2.5862 \times 10^{20}\times
2.935 \times 10^{-5}/10^{-7} = 7.59 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$، أقل قليلًا من $7.69 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ لثنائي القطب الكامل، الذي يضيف $g_1^1$ و$h_1^1$.

**تمرين 4.4 ★.**

سمِّ نوع المغنطة المتبقية المكتسبة، ومتى تسجّل الحقل، في الحالات التالية: (أ) تبرّد تدفّق الحمم؛ (ب) ترسّب الطمي في بحيرة هادئة؛ (ج) حجر رملي تتحوّل فيه طلاءاتُ أكاسيد الحديد إلى الهيماتيت أثناء الدفن المبكّر؛ (د) بازلت يستقرّ مدّةَ مليون سنة في الحقل الحالي.

**حل التمرين 4.4.**

(أ) [المغنطة المتبقية الحرارية](#def-b3-palaeomagnetism-nrm)، تسجّل المجال أثناء برودة الحمم عبر [درجات حرارة الحجب](#def-b3-palaeomagnetism-blocking) لحبيباتها. (ب) [المغنطة المتبقية الفتاتية](#def-b3-palaeomagnetism-nrm)، تسجّل المجال خلال الزمن الذي استغرقه الغرين كي يستقرّ، ويتثبّت بالانضغاط. (ج) [المغنطة المتبقية الكيميائية](#def-b3-palaeomagnetism-nrm)، تسجّل المجال أثناء نموّ الهيماتيت، أي أثناء الدفن المبكّر، ومن ثمّ بعد الترسيب إلى حدٍّ ما. (د) المغنطة المتبقية اللزجة وفق المجال الحالي، المضافة إلى TRM الأصلية بفعل الحبيبات ذات أقصر زمن استرخاء؛ وتُزال بأولى خطوات إزالة المغنطة.

**تمرين 4.5 ★★.**

أربع عيّنات من موقعٍ تعطي الاتجاهات $(D, I)$: $(12{}^{\circ}, 48{}^{\circ})$، $(22{}^{\circ}, 44{}^{\circ})$، $(16{}^{\circ}, 57{}^{\circ})$ و$(6{}^{\circ}, 53{}^{\circ})$. احسب متجهاتها الوحدية، وطول المحصّلة $R$، والاتجاه المتوسط، $k$ و$\alpha_{95}$.

**حل التمرين 4.5.**

متجهات الوحدة $(\cos I\cos D,\ \cos I\sin D,\ \sin I)$ هي

$$
\begin{gather*}
  (0.6545, 0.1391, 0.7431),\quad (0.6670, 0.2695, 0.6947),\\
  (0.5235, 0.1501, 0.8387),\quad (0.5985, 0.0629, 0.7986).
\end{gather*}
$$

المجموع هو $(2.4435, 0.6216, 3.0751)$، وطوله $R = 3.9766$. المتوسط: $D = \arctan(0.6216/2.4435) = 14.3{}^{\circ}$, $I = \arcsin(3.0751/3.9766) =
50.7{}^{\circ}$. $k = 3/(4 - 3.9766) = 128$. مع $20^{1/3} - 1 = 1.7144$، $\cos\alpha_{95} = 1 - (0.0234/3.9766)\times1.7144 = 0.98991$، إذن $\alpha_{95} = 8.1{}^{\circ}$: مع أربع عيّنات يبقى المخروط واسعًا، مهما كان تماسك المجموعة.

**تمرين 4.6 ★★.**

موقع عند $40.0{}^{\circ}$ شمالًا، $10.0{}^{\circ}$ شرقًا يعطي الاتجاه المتوسط $D = 20{}^{\circ}$، $I = 50{}^{\circ}$. احسب خط عرضه القديم وقطبه المغناطيسي الأرضي الافتراضي.

**حل التمرين 4.6.**

$\lambda = \arctan(\tfrac12\tan50{}^{\circ})$، أي $30.79{}^{\circ}$، إذن $p = 59.21{}^{\circ}$. ثم $\sin\lambda_p = \sin40{}^{\circ}\cos59.21{}^{\circ}$ زائد $\cos40{}^{\circ}\sin59.21{}^{\circ}
\cos20{}^{\circ}$، أي $0.9474$، و$\lambda_p = 71.34{}^{\circ}$ شمالًا. $\sin\beta =
\sin59.21{}^{\circ}\sin20{}^{\circ}/\cos71.34{}^{\circ}$، أي $0.9184$، و$\beta = 66.66{}^{\circ}$. لأنّ $\cos p = 0.5119$ أصغر من $\sin40{}^{\circ}\times0.9474 = 0.6090$، تنطبق الحالة الثانية: $\varphi_p = 10 + 180 - 66.66 = 123.34{}^{\circ}$ شرقًا. يقع القطب عند $71.3{}^{\circ}$ شمالًا، $123.3{}^{\circ}$ شرقًا.

**تمرين 4.7 ★★.**

يعطي IGRF عزمَ ثنائي قطب قدره $8.32 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ في 1900 و$7.69 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ في 2025، ومعدّل تغيّر $g_1^0$ قدره $+12.6\,\mathrm{nT}/\mathrm{yr}$ في 2025. (أ) احسب التغيّر النسبي للعزم لكلّ قرن. (ب) إذا حافظ $g_1^0$ على ذلك المعدّل، فبعد كم سنة يبلغ الصفر؟ لماذا لا يُعدّ هذا تنبّؤًا؟

**حل التمرين 4.7.**

(أ) $(7.69 - 8.32)/8.32 = -7.6\,\%$ خلال 125 سنة، أو $-6.1\,\%$ لكلّ قرن. (ب) $29350/12.6 = 2329$، أي نحو 2300 سنة. ليس هذا تنبّؤًا: إذ يتغيّر المعدّل نفسه من نموذج مدّته خمس سنوات إلى الذي يليه، فقد كان العزم في الماضي أعلى وأدنى دون أن ينعكس المجال على فترات غير منتظمة لا يتنبّأ بها أيّ معدّل.

**تمرين 4.8 ★★.**

المغنطة المتبقية للعيّنة، بوحدة $\mathrm{mA}/\mathrm{m}$ (شمالًا، شرقًا، نحو الأسفل)، هي $(32.2, 18.1, 38.2)$ بعد تسخينها إلى $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$، $(25.8, 18.1, 24.6)$ بعد $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$، و$(0.0, 0.0, 0.0)$ بعد $580\,{}^{\circ}\mathrm{C}$؛ [ومخطط زيجدرفيلد](#def-b3-palaeomagnetism-zijderveld) مستقيم بين كلّ زوج. احسب اتجاه وشدّة المركّبة المُزالة بين 20 و$300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ وتلك المُزالة فوق $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. أيّهما هي ChRM، وما هي الأخرى؟

**حل التمرين 4.8.**

بين 20 و$300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ فقد المتجه $(6.4, 0.0, 13.6)$: مركّبةً بمقدار $15.0\,\mathrm{mA}/\mathrm{m}$، مع $D = 0.0{}^{\circ}$ و$I = \arctan(13.6/6.4) = 64.8{}^{\circ}$. وفوق $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ فقد $(25.8, 18.1, 24.6)$: $40.0\,\mathrm{mA}/\mathrm{m}$، $D = \arctan(18.1/25.8) = 35.1{}^{\circ}$، و$I =
\arctan(24.6/31.5) = 38.0{}^{\circ}$. أمّا الثانية، التي تمرّ بالأصل، فهي ChRM؛ أمّا الأولى فتقع على اتّجاه شمالي شديد الانحدار، أُزيلت عند درجة حرارة منخفضة، وهي تراكب لزج وفق المجال الحديث.

**تمرين 4.9 ★★.**

تكوين يعطي $I = -35{}^{\circ}$ مع $\alpha_{95} = 5{}^{\circ}$. احسب خط عرضه القديم، ومدى خطوط العرض القديمة المسموح بها عبر $I \pm \alpha_{95}$، وأنصاف المحاور $\mathrm dp$ و$\mathrm dm$ لبيضاوي الثقة الخاص بقطبه.

**حل التمرين 4.9.**

$\lambda = \arctan(\tfrac12\tan(-35{}^{\circ})) = -19.3{}^{\circ}$. من أجل $I = -40{}^{\circ}$ و$-30{}^{\circ}$: $-22.8{}^{\circ}$ و$-16.1{}^{\circ}$، أي فترة مقدارها $6.7{}^{\circ}$. $p = 90{}^{\circ} - \lambda = 109.3{}^{\circ}$, $\cos^2p = 0.1096$: $\mathrm dp = 2.5\times(1 + 0.329) = 3.3{}^{\circ}$ و$\mathrm dm =
5\times\sin109.3{}^{\circ}/\cos35{}^{\circ} = 5.8{}^{\circ}$.

**تمرين 4.10 ★★★.**

(أ) من [المبرهنة 4.3](#thm-b3-palaeomagnetism-dipole)، أوجد خط العرض الذي يبلغ عنده [الميل المغناطيسي](#def-b3-palaeomagnetism-inclination) $45{}^{\circ}$، ونسبة شدّة المجال عند القطبين إلى شدّته عند خط الاستواء. (ب) بيّن أنّ $\mathrm dI/\mathrm d\lambda = 2/(1 + 3\sin^2\lambda)$، واستنتج عند أيّ خط عرض يُعطي خطأ الميل أكبر خطأ في [خط العرض القديم](#def-b3-palaeomagnetism-vgp). (ج) لماذا تكون خطوط العرض القديمة المستنتجة من الميول المنخفضة هي الأكثر دقّةً بالدرجات؟

**حل التمرين 4.10.**

(أ) $\tan\lambda = \tfrac12$، $\lambda = 26.6{}^{\circ}$. $F$ هو $B_0$ عند خط الاستواء و$2B_0$ عند القطبين: نسبتها 2. (ب) $\tan I = 2\tan\lambda$ يعطي $(1 + \tan^2I)\,\mathrm dI = 2(1 + \tan^2\lambda)\,\mathrm d\lambda$، إذن

$$
\frac{\mathrm dI}{\mathrm d\lambda} = \frac{2/\cos^2\lambda}{1 + 4\tan^2\lambda}
  = \frac{2}{\cos^2\lambda + 4\sin^2\lambda} = \frac{2}{1 + 3\sin^2\lambda}.
$$

خطأ $\delta I$ يعطي $\delta\lambda = \tfrac12(1 + 3\sin^2\lambda)\,\delta I$، من $\tfrac12\delta I$ عند خط الاستواء إلى $2\,\delta I$ عند القطبين: أكبر الخطأ يقع قرب القطبين. (ج) قرب خط الاستواء يتغيّر [الميل المغناطيسي](#def-b3-palaeomagnetism-inclination) ضعف سرعة تغيّر خط العرض، فإنّ الخطأ المعطى في الميل يكلّف نصف قدر من خط العرض؛ وقرب القطبين يكاد [الميل المغناطيسي](#def-b3-palaeomagnetism-inclination) لا يتغيّر مع خط العرض.

**تمرين 4.11 ★★★.**

يقع موقع عند $35.0{}^{\circ}$ جنوبًا، $150.0{}^{\circ}$ شرقًا على صفيحة مستقرّة، وقطبها المرجعي لعمر التكوين المأخوذ منه العيّنة هناك، يقع عند $70.0{}^{\circ}$ شمالًا، $300.0{}^{\circ}$ شرقًا. (أ) احسب المسافة الزاوية $p$ من الموقع إلى القطب، والميل المتوقّع والانحراف المتوقّع، [وخط العرض القديم](#def-b3-palaeomagnetism-vgp) المتوقّع. (ب) يعطي التكوين $D_o = 30.0{}^{\circ}$، $I_o = -60.0{}^{\circ}$. احسب الدوران $R$ والإزاحة $P$ باتجاه القطب، وبيّن ما يعنيانه.

**حل التمرين 4.11.**

(أ) $\cos p = \sin(-35{}^{\circ})\sin70{}^{\circ} + \cos35{}^{\circ}\cos70{}^{\circ}\cos150{}^{\circ}
= -0.5390 - 0.2426 = -0.7816$، $p = 141.41{}^{\circ}$. ثمّ $\tan I_x = 2\cot p =
-2.506$، $I_x = -68.2{}^{\circ}$، و$\lambda_x = 90{}^{\circ} - p = -51.4{}^{\circ}$. $\cos D_x = (\sin70{}^{\circ} - \sin(-35{}^{\circ})\cos p)/(\cos35{}^{\circ}\sin p) =
0.9617$، ولأنّ القطب يقع شرق خط زوال الموقع ($\sin150{}^{\circ} >
0$)، $D_x = 15.9{}^{\circ}$. (ب) $\lambda_o = \arctan(\tfrac12\tan(-60{}^{\circ})) =
-40.9{}^{\circ}$. $R = 30.0 - 15.9 = 14.1{}^{\circ}$: دوران الكتلة مع عقارب الساعة حول محور رأسي. $P = \lambda_x - \lambda_o = -51.4 + 40.9 =
-10.5{}^{\circ}$: كان التكوين يقع $10.5{}^{\circ}$ أبعد شمالًا مما تقتضيه الصفيحة المستقرّة، ولذلك تحرّكت الكتلة منذ ذلك الحين بنحو $10.5{}^{\circ}$، أي نحو $1170\,\mathrm{km}$، جنوبًا بالنسبة إلى الصفيحة.

**تمرين 4.12 ★★★.**

(أ) من [القضية 4.13](#prop-b3-palaeomagnetism-fisher)، بيّن أنّ احتمال أن يقع اتجاه ما ضمن الزاوية $\theta$ من المتوسط هو $(e^\kappa -
e^{\kappa\cos\theta})/(e^\kappa - e^{-\kappa})$. (ب) عندما تكون $\kappa$ كبيرةً و$\theta$ صغيرةً، بيّن أنّ هذا يساوي تقريبًا $1 - e^{-\kappa\theta^2/2}$، واستنتج أنّ $63\,\%$ من الاتجاهات تقع ضمن $\theta_{63} \approx
81{}^{\circ}/\sqrt\kappa$. (ج) احسب $\theta_{63}$ من أجل $\kappa = 50$، وتحقّق من النسبة $63\,\%$ باستخدام الصيغة الدقيقة.

**حل التمرين 4.12.**

(أ) بفرض $\mathrm d\Omega = 2\pi\sin\theta'\,\mathrm d\theta'$،

$$
\int_0^\theta\frac{\kappa e^{\kappa\cos\theta'}}{4\pi\sinh\kappa}\,2\pi\sin\theta'\,
  \mathrm d\theta' = \frac{e^\kappa - e^{\kappa\cos\theta}}{2\sinh\kappa}
  = \frac{e^\kappa - e^{\kappa\cos\theta}}{e^\kappa - e^{-\kappa}} .
$$

(ب) من أجل $\kappa$ كبيرة، يكون $e^{-\kappa}$ مهملًا؛ وبالقسمة على $e^\kappa$ يبقى $1 - e^{-\kappa(1 - \cos\theta)} \approx 1 - e^{-\kappa\theta^2/2}$. وهذه النسبة تساوي $1 - e^{-1} = 63\,\%$ عندما $\kappa\theta^2/2 = 1$، $\theta =
\sqrt{2/\kappa}$ راديان، أو $81{}^{\circ}/\sqrt\kappa$. (ج) $81/\sqrt{50} =
11.5{}^{\circ}$؛ والصيغة الدقيقة تعطي $63.1\,\%$.

## 4.7 مسألة: الطبقات الحمراء في كيستا

**مسألة 4.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — ثلاثة تكوينات لرقعة قشرية مُزاحة، اتجاهاتها وأقطابها ودورانها، وعمر أحدثها

كيستا رقعة قشرية مُختلَقة، تقع الآن عند $47.0{}^{\circ}$ شمالًا، $15.0{}^{\circ}$ شرقًا، على حافة قارّة مستقرّة مُختلَقة. وتكشف ثلاثة تكوينات من الطبقات الحمراء: A، $60\,\mathrm{Ma}$؛ B، $30\,\mathrm{Ma}$؛ C، من نحو 3.7 إلى $2.4\,\mathrm{Ma}$. وقد أُخذت العيّنات من كلّ تكوين من عدّة مواقع، وأُزيلت المغنطة حراريًا من كلّ عيّنة؛ [والمغنطة المتبقية المميِّزة](#def-b3-palaeomagnetism-zijderveld) ChRM يحملها الهيماتيت، والتكوينات أفقية.

**الجزء الأول — الاتجاهات المتوسطة.** المواقع الستّة للتكوين A تعطي $(D, I)$: $(50{}^{\circ}, 37{}^{\circ})$، $(28{}^{\circ}, 37{}^{\circ})$، $(21{}^{\circ}, 42{}^{\circ})$، $(24{}^{\circ}, 27{}^{\circ})$، $(37{}^{\circ}, 39{}^{\circ})$، $(46{}^{\circ}, 38{}^{\circ})$.

1. لماذا يمكن أن تكون [المغنطة المتبقية المميِّزة](#def-b3-palaeomagnetism-zijderveld) ChRM التي يحملها الهيماتيت في طبقة حمراء أحدث من الطبقة نفسها؟ ما الذي يدلّ على أنّها ليست أحدث بكثير؟
2. احسب المتجهة الوحدة للاتجاه الأوّل.
3. مجموع المتجهات الوحدة الستّ يساوي $(3.8943, 2.6500, 3.5717)$ . احسب $R$ والاتجاه المتوسط للتكوين A.
4. احسب $k$ و $\alpha_{95}$ للتكوين A.
5. يعطي التكوين B، من 7 مواقع، $D = 23.9{}^{\circ}$ ، $I = 51.5{}^{\circ}$ و $R = 6.8979$ ؛ والتكوين C، من 8 مواقع، $D = 3.4{}^{\circ}$ ، $I =  63.7{}^{\circ}$ و $R = 7.8707$ . احسب $k$ و $\alpha_{95}$ لكلّ منهما.
6. أيّ التكوينات أفضل تجميعًا؟ وأيّ المتوسطات أفضل تحديدًا؟

**الجزء الثاني — خطوط العرض القديمة والأقطاب.**

7. احسب خطوط العرض القديمة للتكوينات A وB وC.
8. للتكوين A، احسب متمّم [خط العرض القديم](#def-b3-palaeomagnetism-vgp) $p$ وخط عرض قطبه المغناطيسي الأرضي الافتراضي.
9. احسب خط طول ذلك القطب، متحقّقًا أيّ حالة من [المبرهنة 4.17](#thm-b3-palaeomagnetism-pole) تنطبق.
10. احسب $\mathrm dp$ و $\mathrm dm$ لقطب التكوين A.
11. يقع قطبا B وC عند $66.5{}^{\circ}$ شمالًا، $135.6{}^{\circ}$ شرقًا و $87.1{}^{\circ}$ شمالًا، $139.1{}^{\circ}$ شرقًا. صِف مسار الأقطاب الثلاثة بتغيّر العمر.

**الجزء الثالث — عمر التكوين C.** في التكوين C، من قاعدته، العيّنات ذات قطبية معكوسة حتّى $4.2\,\mathrm{m}$، وذات قطبية طبيعية حتّى $14.8\,\mathrm{m}$، ثمّ معكوسة حتّى $19.7\,\mathrm{m}$، وطبيعية حتّى $24.6\,\mathrm{m}$، ومعكوسة حتّى $29.2\,\mathrm{m}$ وطبيعية حتّى $54.0\,\mathrm{m}$، ثمّ معكوسة حتّى القمّة عند $64.0\,\mathrm{m}$. طبقة رماد عند $22\,\mathrm{m}$ مؤرَّخة بنحو $3.2\,\mathrm{Ma}$. وتمتدّ الفترات الطبيعية الفرعية للحقبة C2An على 3.596–3.330، و3.207–3.116، و3.032–$2.581\,\mathrm{Ma}$.

12. طابِق نطاقات القطبية بالمقياس الزمني مستعينًا بطبقة الرماد.
13. احسب معدّل التراكم بين أوّل حدّ انعكاس للقطبية وثالثه، وبين رابعه وسادسه.
14. قدّر أعمار قاعدة المقطع وقمّته.
15. لماذا يكون المعدّل متوسّطًا على مدى مئات الآلاف من السنين، وما الذي يمكن أن يجعله يتغيّر؟

**الجزء الرابع — مقارنةً بالقارّة المستقرّة، والانجراف.** الأقطاب المرجعية للقارّة المستقرّة تقع عند $78.0{}^{\circ}$ شمالًا، $190.0{}^{\circ}$ شرقًا ($A_{95} = 3.0{}^{\circ}$) عند $60\,\mathrm{Ma}$؛ $83.5{}^{\circ}$ شمالًا، $175.0{}^{\circ}$ شرقًا ($2.5{}^{\circ}$) عند $30\,\mathrm{Ma}$؛ و$87.5{}^{\circ}$ شمالًا، $150.0{}^{\circ}$ شرقًا ($2.0{}^{\circ}$) عند $4\,\mathrm{Ma}$.

16. احسب المسافة الزاوية من كيستا إلى القطب المرجعي عند $60\,\mathrm{Ma}$ ، والميل المتوقّع [وخط العرض القديم](#def-b3-palaeomagnetism-vgp) المتوقّع.
17. احسب الانحراف المتوقّع عند $60\,\mathrm{Ma}$ .
18. الاتجاهان المتوقّعان عند 30 و $4\,\mathrm{Ma}$ هما $(2.9{}^{\circ},  60.0{}^{\circ})$ و $(2.5{}^{\circ}, 63.6{}^{\circ})$ . احسب الإزاحة نحو القطب $P$ للتكوينات A وB وC.
19. احسب الدوران $R$ للتكوينات A وB وC.
20. احسب الخطأين $\Delta D_o$ و $\Delta D_x$ للتكوين A، وخطأ دورانه.
21. أخطاء $R$ للتكوينين B وC هي $13.8{}^{\circ}$ و $17.9{}^{\circ}$ . أيّ الدورانات ذات دلالة إحصائية عند 95 في المئة؟
22. اروِ تاريخ كيستا بالنسبة إلى القارّة المستقرّة.
23. احسب انجراف كيستا نحو الشمال منذ التكوين A، بالنسبة إلى محور الدوران، بالدرجات وبالكيلومترات ( $111.19\,\mathrm{km}$ لكلّ درجة).
24. احسب خطوط العرض القديمة المسموح بها عبر $I \pm \alpha_{95}$ للتكوين A، واعتبر الانحراف المعياري نصف عرض تلك الفترة مقسومًا على 1.96. وأعطِ انجراف كيستا نحو الشمال منذ التكوين A بالكيلومترات، مع انحرافه المعياري.

**حل المسألة 4.1.**

**1.** يمكن أن ينمو الهيماتيت في الطبقات الحمراء من أكاسيد الحديد وهيدروكسيداته بعد زمن طويل من ترسّب الرواسب، فتكتسب [المغنطة المتبقية الكيميائية](#def-b3-palaeomagnetism-nrm) من ذلك العمر المتأخّر. قد يدلّ اختبار الطيّ الإيجابي، إذا طُويت الطبقات بعد وقت قصير من الترسّب، أو اختبار الانعكاس الإيجابي عبر طبقات متقاربة من القطبيّتين معًا، على أنّ المغنطة المتبقية مبكّرة.

**2.** $(\cos37{}^{\circ}\cos50{}^{\circ}, \cos37{}^{\circ}\sin50{}^{\circ}, \sin37{}^{\circ})
= (0.5134, 0.6118, 0.6018)$.

**3.** $R = \sqrt{3.8943^2 + 2.6500^2 + 3.5717^2} = 5.9114$. $D =
\arctan(2.6500/3.8943) = 34.2{}^{\circ}$, $I = \arcsin(3.5717/5.9114) = 37.2{}^{\circ}$.

**4.** $k = 5/(6 - 5.9114) = 56.5$. ومع $20^{1/5} - 1 = 0.8206$، $\cos\alpha_{95} = 1 - (0.0886/5.9114)\times0.8206 = 0.98771$, $\alpha_{95} =
9.0{}^{\circ}$.

**5.** B: $k = 6/(7 - 6.8979) = 58.8$؛ $20^{1/6} - 1 = 0.6475$، $\cos\alpha_{95} = 1 - (0.1021/6.8979)\times0.6475 = 0.99042$, $\alpha_{95} =
7.9{}^{\circ}$. C: $k = 7/(8 - 7.8707) = 54.1$؛ $20^{1/7} - 1 = 0.5340$، $\cos\alpha_{95} = 1 - (0.1293/7.8707)\times0.5340 = 0.99123$, $\alpha_{95} =
7.6{}^{\circ}$.

**6.** الموقع B له أكبر $k$، أي أشدّ المجموعات تكتّلًا؛ والموقع C له أصغر $\alpha_{95}$، أي أفضل المتوسطات تحديدًا، لأنّه يضمّ أكبر عدد من المواقع. وهذه الثلاثة متقاربة: فالتكوينات الثلاثة جميعها مجمّعة جيدًا.

**7.** $\lambda_A = \arctan(\tfrac12\tan37.17{}^{\circ}) = 20.76{}^{\circ}$ شمالًا، $\lambda_B = 32.15{}^{\circ}$ شمالًا، $\lambda_C = 45.33{}^{\circ}$ شمالًا.

**8.** $p = 90 - 20.76 = 69.24{}^{\circ}$. $\sin\lambda_p =
\sin47{}^{\circ}\cos69.24{}^{\circ} + \cos47{}^{\circ}\sin69.24{}^{\circ}\cos34.23{}^{\circ} =
0.2593 + 0.5272 = 0.7865$: $\lambda_p = 51.86{}^{\circ}$ شمالًا.

**9.** $\sin\beta = \sin69.24{}^{\circ}\sin34.23{}^{\circ}/\cos51.86{}^{\circ} =
0.8516$، $\beta = 58.40{}^{\circ}$. لأنّ $\cos p = 0.3545 < \sin47{}^{\circ}\times
0.7865 = 0.5752$، فتنطبق الحالة الثانية، $\cos\beta < 0$: $\varphi_p = 15.00 + 180 - 58.40 = 136.60{}^{\circ}$ شرقًا.

**10.** $\cos^2p = 0.1257$: $\mathrm dp = 4.50\times1.377 = 6.2{}^{\circ}$; $\mathrm dm = 8.99\times\sin69.24{}^{\circ}/\cos37.17{}^{\circ} = 10.5{}^{\circ}$.

**11.** من $51.9{}^{\circ}$ شمالًا عند $60\,\mathrm{Ma}$ إلى $66.5{}^{\circ}$ شمالًا عند $30\,\mathrm{Ma}$ و$87.1{}^{\circ}$ شمالًا عند $4\,\mathrm{Ma}$، على خط الزوال نفسه تقريبًا ($136{}^{\circ}$–$139{}^{\circ}$ شرقًا): مسار متّجه نحو القطب الجغرافي، يبلغه ضمن مخروطه أحدث التكوين.

**12.** تقع طبقة الرماد عند $22\,\mathrm{m}$ في النطاق الثاني ذي القطبية الطبيعية، 19.7–$24.6\,\mathrm{m}$؛ ومع عمر يقارب $3.2\,\mathrm{Ma}$ يكون ذلك النطاق C2An.2n (3.207–3.116). ثمّ إنّ النطاق 4.2–$14.8\,\mathrm{m}$ هو C2An.3n، والنطاق 29.2–$54.0\,\mathrm{m}$ هو C2An.1n، وتنتمي القاعدة المعكوسة إلى الزمن المغناطيسي الواقع أسفل C2An، وتنتمي القمّة المعكوسة إلى الزمن المغناطيسي الواقع فوقه.

**13.** $(19.7 - 4.2)/(3.596 - 3.207) = 15.5/0.389 = 39.8\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$; $(54.0 - 24.6)/(3.116 - 2.581) = 29.4/0.535 = 55.0\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$.

**14.** القاعدة: $3.596 + 4.2/39.8 = 3.70\,\mathrm{Ma}$. والقمّة: $2.581 -
10.0/55.0 = 2.40\,\mathrm{Ma}$.

**15.** لا يُؤرَّخ إلا حدود الانعكاس، التي تفصل بينها بضع مئات الآلاف من السنين؛ وبين كل حدّين يُفترض أنّ المعدّل ثابت. وسيغيّره تغيّر الهبوط، أو تغيّر إمداد الرواسب أو تغيّر المناخ، أو فجوة في الترسيب، وقد تُزيل الفجوةُ الترسيبية حتّى نطاقًا قصيرًا، فتُضلّل المطابقة.

**16.** $\cos p = \sin47{}^{\circ}\sin78{}^{\circ} + \cos47{}^{\circ}\cos78{}^{\circ}
\cos175{}^{\circ} = 0.7154 - 0.1413 = 0.5741$, $p = 54.96{}^{\circ}$. $\tan I_x =
2\cot p = 1.4023$، $I_x = 54.5{}^{\circ}$؛ $\lambda_x = 35.04{}^{\circ}$ شمالًا.

**17.** $\cos D_x = (\sin78{}^{\circ} - \sin47{}^{\circ}\times0.5741)/
(\cos47{}^{\circ}\sin54.96{}^{\circ}) = 0.99976$؛ يقع القطب شرق خط زوال الموقع ($\sin175{}^{\circ} > 0$)، ومنه $D_x = 1.3{}^{\circ}$.

**18.** خطوط العرض القديمة المتوقَّعة من $I_x$ = $54.5{}^{\circ}$، $60.0{}^{\circ}$ و$63.6{}^{\circ}$: $35.03{}^{\circ}$، $40.89{}^{\circ}$ و$45.21{}^{\circ}$. $P_A = 35.03 - 20.76 =
14.3{}^{\circ}$, $P_B = 40.89 - 32.15 = 8.7{}^{\circ}$, $P_C = 45.21 - 45.33 =
-0.1{}^{\circ}$.

**19.** $R_A = 34.2 - 1.3 = 32.9{}^{\circ}$, $R_B = 23.9 - 2.9 = 21.0{}^{\circ}$, $R_C = 3.4 - 2.5 = 0.9{}^{\circ}$، كلّها مع عقارب الساعة.

**20.** $\Delta D_o = \arcsin(\sin8.99{}^{\circ}/\cos37.17{}^{\circ}) = 11.3{}^{\circ}$; $\Delta D_x = \arcsin(\sin3.0{}^{\circ}/\cos54.5{}^{\circ}) = 5.2{}^{\circ}$; $\Delta R_A =
\sqrt{11.3^2 + 5.2^2} = 12.4{}^{\circ}$.

**21.** $R_A = 32.9{}^{\circ} \pm 12.4{}^{\circ}$ و$R_B = 21.0{}^{\circ} \pm
13.8{}^{\circ}$ دالّتان إحصائيًّا؛ أمّا $R_C = 0.9{}^{\circ} \pm 17.9{}^{\circ}$ فغير دالّ.

**22.** قبل ستّين مليون سنة كانت كيستا تقع بنحو $14{}^{\circ}$ من خطّ العرض، جنوبَ الموقع الذي تضعه فيه القارة المستقرّة، وكانت قد أُدِيرت بنحو $33{}^{\circ}$ عكس عقارب الساعة بالنسبة إلى توجّهها الحالي. وبحلول $30\,\mathrm{Ma}$ كانت قد تحرّكت شمالًا بنحو $6{}^{\circ}$ من أصل $14{}^{\circ}$، ودارت بنحو $12{}^{\circ}$ من أصل $33{}^{\circ}$ مع عقارب الساعة؛ وبحلول $4\,\mathrm{Ma}$ بلغت موقعها الحالي على القارة، دون أيّ دوران متبقٍّ. وانجرفت شمالًا على طول هامش القارة، وهي تدور مع عقارب الساعة أثناء ذلك، واستقرّت في موضعها بحلول $4\,\mathrm{Ma}$.

**23.** $47.00 - 20.76 = 26.24{}^{\circ}$، أو $26.24\times111.19 =
2918\,\mathrm{km}$. يشمل ذلك حركة القارة المستقرّة نفسها؛ بالنسبة إليها، تحرّكت كيستا بمقدار $P_A = 14.3{}^{\circ}$.

**24.** $I = 28.18{}^{\circ}$ و$46.16{}^{\circ}$ تعطيان $\lambda = 15.00{}^{\circ}$ و$27.50{}^{\circ}$: نصف عرض قدره $6.25{}^{\circ}$، والانحراف المعياري الواحد هو $6.25/1.96 = 3.19{}^{\circ}$، أو $355\,\mathrm{km}$. ومنذ التكوين A، انجرفت كيستا شمالًا بمقدار **$(2918 \pm 355)\,\mathrm{km}$**.