---
title: "التحليل البنيوي"
book: "علوم الأرض والفضاء الجامعية — السنة الثالثة"
subject: earth
language: ar
chapter: 8
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/5/ar/chapter/8-structural-analysis
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
---

# الفصل 8 — التحليل البنيوي

قاس جيولوجيّ مئتي مستوٍ طبقيّ على أجنحة طيّةٍ أكبر من أن تُرى كاملةً: يقع مفصلها تحت غابة، وتمتدّ أجنحتها كيلومترات. كلّ قراءة زوج من الأعداد. وعند تمثيل هذه النقاط على مخطّط دائريّ، تقع أقطاب المستويات على منحنى واحد هو دائرة عظمى، وقطب تلك الدائرة العظمى هو محور الطيّة، وهو خطّ لم يرَه أحدٌ قطّ. يبني هذا الفصل المخطّط، أي [الإسقاط الستيريوغرافي](#def-b3-structural-analysis-stereo)، ويستخدمه، مع أدوات المتجهات التي تقوم عليه، لإيجاد محاور الطيّات، ولقياس الانفعال المسجّل في الأجسام المشوّهة، ولاستعادة الإجهاد الذي أدّى إلى مجموعة من الصدوع، ولترميم مقطع عرضيّ مشوّه إلى حالته قبل التشوّه.

**ما تعرفه من قبل.**

الدوائر العظمى والصغرى للكرة واردة في مجلد السنة الأولى، في فصلها المتعلّق بالفلك الكروي؛ والامتداد والانحدار واتجاه الانحدار والاتجاه والغوص واردة في فصليه عن الخرائط الجيولوجية والمقاطع العرضية؛ والعمودي الواحدي الصاعد على مستوٍ اتجاه انحداره $\alpha$ وانحداره $\delta$، $\vec n = (\sin\delta
\sin\alpha, \sin\delta\cos\alpha, \cos\delta)$ بمركّبات شرقية وشمالية وصاعدة، ومتوسط المتجهات لمجموعة من القراءات في فصله الأول عن الطرائق الميدانية والمخبرية. عناصر الطيّات وأصنافها، وخط مفصل الطية الموازي للجداء $\vec n_1\times\vec n_2$ وزاوية الأجنحة $180{}^{\circ} - \arccos(\vec n_1\cdot\vec n_2)$، وكذلك نظرية أندرسون في تشكّل الصدوع، واردة في فصله عن الصدوع والطيّات والنسيج؛ والإجهاد، والإجهادات الرئيسية، والقطع الناقص للانفعال، والقصّ البسيط، في فصله عن الإجهاد والانفعال والريولوجيا؛ وزاوية الانزلاق لمتجهة الانزلاق (انطلاقًا من الامتداد، $-90{}^{\circ}$ للصدع العادي، و$90{}^{\circ}$ للصدع المعكوس، و0 للصدع الأيسر، و$180{}^{\circ}$ للصدع الأيمن) ومحورا P وT للآلية البؤرية في فصله عن مصدر الزلزال. والمقطع العرضي المتوازن وسطح الانفصال واردان في مجلد السنة الثانية، في فصله عن الألب. والمربعات الصغرى واردة في [القسم 1.4](https://one-course.com/books/earth/5/ar/chapter/1-seismology-and-earth-imaging#sec-b3-seismology-imaging-inverse)؛ والقيم الذاتية والمتجهات الذاتية لمصفوفة متناظرة واردة في كتب الرياضيات.

## 8.1 الإسقاط الستيريوغرافي

بيانات الجيولوجيّ توجّهاتٌ: وضعيةُ مستوٍ طبقيّ، وصدعٍ، وتورّقٍ؛ واتجاهُ الغوص والاتجاهُ لتخطّطٍ، ومفصلِ طيّةٍ، واتجاهِ الانزلاق. كلٌّ منها اتجاهٌ يمرّ بنقطة دون موضع. ولمقارنة مئات منها، نتخيّلها جميعًا منقولةً إلى مركز كرةٍ واحدةٍ: يلتقي الخطُّ بالنصف السفلي للكرة عند نقطة واحدة، ويقطعها المستوي وفق نصف دائرة عظمى. ويُظهر مخطّط النصف السفلي عندئذٍ الخطوط نقاطًا، والمستويات منحنيات.

**تعريف 8.1 (الإسقاط الستيريوغرافي، الشبكة متساوية الزوايا، الإسقاط متساوي المساحات، القطب).**

ليكن خطٌّ مارًّا بمركز $O$ لكرةٍ نصف قطرها $R$، يلتقي النصف السفلي للكرة عند $P$، بزاوية $\theta = 90{}^{\circ} - p$ عن نظير سمت الرأس، حيث $p$ هو غوص الخط، و$t$ اتجاهه. *الإسقاط الستيريوغرافي* يرسل $P$ إلى النقطة التي يتقاطع فيها الخط المستقيم من سمت الرأس إلى $P$ يقطع المستوي الأفقي المار بالمركز $O$؛ تقع تلك النقطة على البعد $r$ من $O$ في السمت $t$. والمخطّط الذي يمثّل النصف السفلي مرسومًا بهذه الطريقة، ومعه شبكته من الدوائر العظمى والصغرى، هو *الشبكة متساوية الزوايا* (أو شبكة وولف). و*الإسقاط متساوي المساحات (للكرة)* يرسل $P$ إلى النقطة التي تقع على البعد $r =
R\sqrt2\sin(\theta/2)$ في السمت $t$؛ وشبكته هي شبكة شميدت. و*القطب* لمستوٍ هو خطّه العمودي، ويُرسم نقطةً؛ فلمستوٍ اتجاه انحداره $\alpha$ وانحداره $\delta$ يكون القطب اتجاهه $\alpha + 180{}^{\circ}$ وغوصه $90{}^{\circ} - \delta$.

كلا الإسقاطين يضعان الخط الرأسي في المركز والخط الأفقي على دائرة نصف قطرها $R$، وهي الدائرة الأولية. ويختلفان فيما يحفظانه.

**مبرهنة 8.2 (الإسقاطان).**

1. يضع [الإسقاط الستيريوغرافي](#def-b3-structural-analysis-stereo) النقطة $P$ على البعد $r = R\tan(\theta/2)$ . وهو تشاكليّ: عند كل نقطة يمطّ جميع الاتجاهات بالعامل نفسه، $1/(2\cos^2(\theta/2))$ ، بحيث يحفظ الزوايا بين المنحنيات.
2. يضرب الإسقاط متساوي المساحات كل مساحة بالعامل نفسه، $1/2$ : مساحة أيّ منطقة من الشبكة هي نصف مساحة المنطقة من نصف الكرة التي تمثّلها.

**برهان.** (أ) في المستوي الرأسي المارّ بسمت الرأس $Z$ ونظير سمت الرأس والنقطة $P$ (الشكل الأول أدناه)، يقابل القوسُ الممتدّ من النظير إلى $P$ الزاويةَ $\theta$ عند المركز، ومن ثمّ الزاوية المحيطية $\theta/2$ عند $Z$، وهي على البعد $R$ فوق $O$: $r =
R\tan(\theta/2)$. وتصبح الخطوة الصغيرة $R\,\mathrm d\theta$ على الكرة نحو النظير $\mathrm dr = R\,\mathrm d\theta/(2\cos^2(\theta/2))$ على المخطّط. ودائرة النقاط ذات الزاوية $\theta$ عن النظير محيطها $2\pi R\sin\theta$، وتصبح دائرة محيطها $2\pi
r$؛ والنسبة $\tan(\theta/2)/\sin\theta = 1/(2\cos^2(\theta/2))$، وهي نفسها على طول نصف القطر. والخريطة التي تمطّ بالتساوي في اتجاهين متعامدين تمطّ بالتساوي في جميع الاتجاهات، وتحفظ الزوايا.

(ب) مساحة القلنسوة الكروية ضمن الزاوية $\theta$ من النظير هي $2\pi R^2(1 - \cos\theta) = 4\pi R^2\sin^2(\theta/2)$؛ وصورتها القرص مساحته $\pi r^2 = 2\pi R^2\sin^2(\theta/2)$، أي نصفها. وتُوزَّع المساحتان بالتساوي في السمت، فإنّ قطاع القلنسوة المحصور بين سمتين وصورته يحتفظان بالنسبة $1/2$، وكذلك الحلقة المحصورة بين قيمتين من $\theta$، وهي الفرق بين قلنسوتين. وكلّ منطقة هي اتحاد لمثل هذه القطاعات الحلقية الصغيرة. ∎

يحوّل [الإسقاط الستيريوغرافي](#def-b3-structural-analysis-stereo) أيضًا كل دائرة من الكرة، عظمى كانت أو صغرى، إلى دائرة أو خطّ مستقيم على المخطّط؛ ونُسلِّم بذلك. ويجعل [الشبكة متساوية الزوايا](#def-b3-structural-analysis-stereo) سهلة الرسم بالفرجار، وتحتفظ الدائرة الصغرى، أي مخروط الخطوط عند زاوية ثابتة عن محور، بشكلها. أمّا الإسقاط متساوي المساحات فيشوّه الأشكال: تصبح الدائرة الصغرى بيضوية ممطوطة حول الدائرة الأولية. وهو الإسقاط الذي يمكن عليه عدّ سحابة من الأقطاب، لأنّ المساحات المتساوية من الشبكة تحوي حصصًا متساوية من اتجاهات نصف الكرة؛ ويستخدمه الجيولوجيّون البنيويّون، وكذلك علماء الزلازل في الآليات البؤرية، لبياناتهم.

![الإسقاطان في المستوى الشاقولي المار بالخط OP. (أ) يرسل الإسقاط الستيريوغرافي P إلى P'، حيث يقطع المستوى الأفقي الخطَّ الواصل من سمت الرأس: الزاوية عند Z هي /2، فإنّ r = R ( /2). (ب) يحمل الإسقاط متساوي المساحات P، حول نظير السمت، على المستوى المماسّ عند المسافة 2R ( /2) من الوتر؛ ثم يُعدَّل مقياس المخطط بعامل 1/√2 بحيث تقع الخطوط الأفقية على دائرة أولية نصف قطرها R.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-structural-analysis/fig-ef225e75a516.svg)

*الإسقاطان في المستوى الشاقولي المار بالخط $OP$. (أ) يرسل [الإسقاط الستيريوغرافي](#def-b3-structural-analysis-stereo) $P$ إلى $P'$، حيث يقطع المستوى الأفقي الخطَّ الواصل من سمت الرأس: الزاوية عند $Z$ هي $\theta/2$، فإنّ $r = R\tan(\theta/2)$. (ب) يحمل الإسقاط متساوي المساحات $P$، حول نظير السمت، على المستوى المماسّ عند المسافة $2R\sin(\theta/2)$ من الوتر؛ ثم يُعدَّل مقياس المخطط بعامل $1/\sqrt2$ بحيث تقع الخطوط الأفقية على دائرة أولية نصف قطرها $R$.*

![الشبكتان، مرسومتان من صيغ المبرهنة السابقة: الدوائر العظمى للمستويات ذات الامتداد شمال–جنوب والانحدار كلّ 10 شرقًا وغربًا، والدوائر الصغرى كلّ 10 حول المحور شمال–جنوب. على الشبكة متساوية الزوايا تكون الدوائر الصغرى دوائر؛ على الشبكة متساوية المساحات تكون بيضوية، لكنّ المساحات المتساوية تحوي حصصًا متساوية من الاتجاهات.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-structural-analysis/fig-db12bad60652.svg)

*الشبكتان، مرسومتان من صيغ المبرهنة السابقة: الدوائر العظمى للمستويات ذات الامتداد شمال–جنوب والانحدار كلّ $10{}^{\circ}$ شرقًا وغربًا، والدوائر الصغرى كلّ $10{}^{\circ}$ حول المحور شمال–جنوب. على [الشبكة متساوية الزوايا](#def-b3-structural-analysis-stereo) تكون الدوائر الصغرى دوائر؛ على الشبكة متساوية المساحات تكون بيضوية، لكنّ المساحات المتساوية تحوي حصصًا متساوية من الاتجاهات.*

**المستويات والخطوط والزوايا.** يقطع مستوى ذو اتجاه انحدار $\alpha$ وانحدار $\delta$ نصفَ الكرة السفلي على نصف دائرة عظمى. تقع طرفاه على الدائرة الأولية عند طرفي الامتداد؛ أمّا وسطه فهو خطّ أشدّ الانحدار، الذي يغوص بزاوية $\delta$ نحو $\alpha$؛ ويبعد قطبه $90{}^{\circ}$ عن كلّ نقطة فيه، في السمت $\alpha + 180{}^{\circ}$. الخطّ الواقع في المستوى نقطة على الدائرة العظمى. لتمثيل البيانات يُوضع تراكب شفّاف على الشبكة ويُدار حول المركز حتى يقع امتداد البيانات على قطر الشبكة شمال–جنوب؛ ثم تُرسم الدائرة العظمى للانحدار الصحيح، ويُعاد التراكب إلى وضعه الأصلي. تُقاس الزاوية بين خطّين على طول الدائرة العظمى المارّة بالنقطتين معًا، بعدّ تقسيمات الدوائر الصغرى التي تقطعها، بعد تدوير التراكب حتى تقعا على دائرة عظمى واحدة في الشبكة. والزاوية بين مستويين هي الزاوية بين قطبيهما أو مكمّلتها. ويقوم الحاسوب بالعمل نفسه بالمتجهات: الزاوية بين خطّين لمتجهين وحدويّين $\vec u$ و$\vec v$ هي $\arccos|\vec u\cdot\vec v|$.

**طريقة 8.3 (تدوير البيانات حول محور).**

لإلغاء إمالة، مثلًا لإعادة طبقة إلى الوضع الأفقي مع التخطّطات التي تحملها، أو لاستعادة اتجاه مغنطيسي قديم مقيس في طبقات مائلة (انظر [الفصل 4](https://one-course.com/books/earth/5/ar/chapter/4-geomagnetism-and-palaeomagnetism#ch-b3-palaeomagnetism)):

1. اختر محور الدوران: في الطبقة المائلة، خطّ امتدادها، أفقيًّا؛ والزاوية هي الانحدار، في الاتجاه الذي يرفع الطبقة.
2. على الشبكة، أدِر التراكب حتى يقع المحور على طول قطر الشبكة شمال–جنوب، حيث تكون الدوائر الصغرى مخاريطَ حوله.
3. انقل كلّ نقطة على طول دائرتها الصغرى بمقدار زاوية الدوران، مقيسةً على الدوائر العظمى. النقطة التي كانت ستخرج من نصف الكرة السفلي تظهر من جديد عند الطرف المقابل لدائرتها الصغرى، في السمت المقابل.
4. أعِد التراكب إلى وضعه. وبالمتجهات، دوران $\vec v$ بالزاوية $\omega$ حول المحور الوحدوي $\vec k$ هو $\vec v' = \vec v  \cos\omega + (\vec k\times\vec v)\sin\omega + \vec k(\vec k\cdot\vec  v)(1 - \cos\omega)$ .

## 8.2 تحليل الطيّات

تتولّد الطية الأسطوانية بخطّ مستقيم هو محور الطية، يُحرَّك موازيًا لنفسه. كلّ مستوٍ مماسّ للسطح المطويّ يحوي المحور، فكلّ عمودي على السطح يكون عموديًا على المحور، فتقع جميع الأقطاب على الدائرة العظمى للمستوي العمودي على المحور.

**تعريف 8.4 (مخطط باي، محور بيتا).**

*مخطط باي* للطية هو رسم أقطاب المستويات المقيسة على سطحها المطويّ. في الطية الأسطوانية تقع هذه الأقطاب على دائرة عظمى، هي حزام $\pi$؛ وقطب الحزام هو *محور بيتا*، وهو تقدير محور الطية الذي تعطيه القياسات.

عند وجود جناحين فقط يكون [محور بيتا](#def-b3-structural-analysis-pi) هو الجداء الاتّجاهي لناظميهما، كما بيّن مجلد السنة الأولى لخطّ المفصل. ومع مئتي قراءة متناثرة يلزم أفضل توفيق. ولا يصلح المتوسّط الاتّجاهي، الذي استُعمل لقراءات مستوٍ واحد، لأنّ أقطاب الحزام تتّجه في كلّ اتجاه على طوله، فلا يقول متوسّطها إلّا القليل عن الدائرة التي تقع عليها.

**تعريف 8.5 (موتّر التوجّه).**

*موتّر التوجّه* لعدد $N$ من المتجهات الوحدوية $\vec p_1, \dots, \vec p_N$ هي المصفوفة المتناظرة

$$
T = \frac1N\sum_{i=1}^N \vec p_i\,\vec p_i^{\mathsf T},
  \qquad T_{jk} = \frac1N\sum_i p_{ij}\,p_{ik} .
$$

لا يتغيّر عندما تُستبدل متجهة بمعاكستها، لذلك فهو يناسب المحاور والأقطاب، التي لا اتجاه لها. وقيمها الذاتية $\lambda_1 \ge \lambda_2
\ge \lambda_3 \ge 0$ مجموعها يساوي أثره، أي $1$.

**مبرهنة 8.6 (العنقود والحزام من موتّر التوجّه).**

لأيّ متجهة وحدوية $\vec u$،

$$
\frac1N\sum_{i=1}^N (\vec p_i\cdot\vec u)^2 = \vec u^{\mathsf T}T\,\vec u ,
$$

الذي يأخذ أصغر قيمة له، $\lambda_3$، عندما تكون $\vec u$ المتجهة الذاتية $\vec e_3$ الموافقة لأصغر قيمة ذاتية، وأكبر قيمة له، $\lambda_1$، على امتداد المتجهة الذاتية $\vec e_1$. وبما أنّ $\vec p_i\cdot\vec u$ هو جيب الزاوية بين $\vec p_i$ والمستوي العمودي على $\vec u$، فإنّ الدائرة العظمى العمودية على $\vec e_3$ هي الحزام الذي يُصغّر مجموع مربّعات جيوب مسافات الأقطاب إليه، و$\sqrt{\lambda_3}$ هو جذر متوسّط مربّعات الجيب. والمحور $\vec e_1$ هو الخطّ الأقرب إلى المتجهات، أي المحور المتوسّط للعنقود.

**برهان.** $(\vec p_i\cdot\vec u)^2 = \vec u^{\mathsf T}\vec p_i\,\vec p_i^{\mathsf T}\vec
u$؛ نأخذ المتوسّط على $i$. المصفوفة $T$ متناظرة، فلها أساس متعامد منظَّم من المتجهات الذاتية، يكون فيه $\vec u = \sum_k u_k\vec e_k$ مع $\sum_k
u_k^2 = 1$ و$\vec u^{\mathsf T}T\vec u = \sum_k\lambda_k u_k^2$. وهذا متوسّط مرجّح للقيم الذاتية، بأوزان $u_k^2$ مجموعها يساوي 1: فهو يقع بين $\lambda_3$ و$\lambda_1$، ويبلغهما عندما تكون $\vec u = \vec
e_3$ و$\vec e_1$. ∎

تصف القيم الذاتية شكل البيانات. للعنقود $\lambda_1$ قريبة من 1، والقيمتان الأخريان صغيرتان؛ وللحزام $\lambda_3$ قريبة من 0، إذ تكون الأقطاب منتشرة على طول الدائرة بحيث تتقاسم $\lambda_1$ و$\lambda_2$ الباقي؛ والمتجهات المتناثرة بانتظام تعطي ثلاث قيم ذاتية قريبة من $1/3$. والطية أسطوانية، ضمن دقّة القراءات، عندما يكون $\sqrt{\lambda_3}$ غير أكبر من تشتّت القراءات المكرّرة لمستوٍ واحد. والطية المخروطية، أو طيّتان من جيلين، تُفرِّق الأقطاب عن أيّ دائرة عظمى واحدة وترفع $\lambda_3$.

يعرض الشكل أدناه اثنتي عشرة قراءة من جناحي طية فاردن المحدّبة، وهي الطية المختلقة للسلسلة (انظر [المسألة 8.1](#pb-b3-structural-analysis-1) تحسب محورها). تتجمّع أقطاب الجناحين المائلين برفق قرب مركز الشبكة في مجموعتين، تعرّفان معًا حزامًا يمتدّ تقريبًا في اتجاه شرق–غرب، ويقع [محور بيتا](#def-b3-structural-analysis-pi) على الدائرة الأولية، قريبًا من الشمال تمامًا. والمستويات المتوسّطة للجناحين، المرسومة دوائر عظمى، تتقاطع عند النقطة نفسها: [محور بيتا](#def-b3-structural-analysis-pi) هو الخطّ المشترك لكلّ الأجنحة.

![مخطط باي لطية فاردن المحدّبة على الشبكة متساوية المساحات، النصف السفلي: أقطاب اثنتي عشرة قراءة للطبقية (نقاط)، الحزام الأفضل توفيقًا المستخرَج من موتّر التوجّه (أزرق)، والدوائر العظمى للجناحين المتوسّطين (متقطّعة) ومحور بيتا (مثلّث)، حيث تتلاقى الدوائر الثلاث جميعها. طبقة تميل شرقًا يقع قطبها إلى غرب المركز.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-structural-analysis/fig-efbce509a2d1.svg)

*[مخطط باي](#def-b3-structural-analysis-pi) لطية فاردن المحدّبة على الشبكة متساوية المساحات، النصف السفلي: أقطاب اثنتي عشرة قراءة للطبقية (نقاط)، الحزام الأفضل توفيقًا المستخرَج من [موتّر التوجّه](#def-b3-structural-analysis-orientation-tensor) (أزرق)، والدوائر العظمى للجناحين المتوسّطين (متقطّعة) [ومحور بيتا](#def-b3-structural-analysis-pi) (مثلّث)، حيث تتلاقى الدوائر الثلاث جميعها. طبقة تميل شرقًا يقع قطبها إلى غرب المركز.*

## 8.3 تحليل الانفعال المحدود

تسجّل الصخرة المشوَّهة انفعالها حين تحتوي على أجسام يُعرف شكلها الأصلي أو ترتيبها الأصلي، مثل الأويدات الكروية وبقع الاختزال، وأحافير معلومة التناظر، والحصى، أو ببساطة مراكز الحبيبات التي كانت متباعدة بالتساوي ذات يوم.

**تعريف 8.7 (تحليل الانفعال المحدود، طريقة فراي).**

*تحليل الانفعال المحدود* هو قياس القطع الناقص للانفعال، أو الإهليلجي الانفعالي، الذي تعرّضت له الصخرة، انطلاقًا من أشكال الأجسام واتجاهاتها وتباعداتها، وهي أجسام تُعرف حالتها قبل التشوّه. وفي *طريقة فراي*، يُرسم المتجه من مركز كل جسم إلى مركز كل جسم آخر، من أصل مشترك واحد؛ وإذا كانت المراكز موزّعة بحدّ أدنى للتباعد وبلا اتجاه مفضّل، فإنّ المنطقة الخالية حول الأصل تكون قطعًا ناقصًا يماثل شكل القطع الناقص للانفعال واتجاهه.

**قضية 8.8 (الفراغ في مخطط فراي).**

إذا حوّل انفعال متجانس كلّ متجه $\vec d$ إلى $F\vec d$، ولم تكن أيّ مركزين أقرب من $d_0$ قبل الانفعال، فإنّ المنطقة بعده حول أصل مخطط فراي الخالية من النقاط تحوي القطع الناقص $\{F\vec d : |\vec d| < d_0\}$، ذا نصفَي المحورين $S_1d_0$ و$S_2d_0$ على امتداد الاتجاهات الرئيسية للانفعال.

**برهان.** ينقل الانفعال المتجانس كل نقطة بالتحويل الخطّي نفسه، مضافًا إليه انسحاب، فيصبح فرق مركزين هو $F\vec d$. قبل الانفعال لم يقع أيّ فرق في القرص الذي نصف قطره $d_0$؛ وبعده لا يقع أيّ فرق في صورته، وهي القطع الناقص للانفعال من مجلد السنة الأولى مضروبًا في $d_0$. ∎

عمليًّا لا تكون المراكز كلها على الحدّ الأدنى للتباعد، ويُقرأ الفراغ بوصفه الحافة الداخلية لأكثف حلقة من النقاط، وتُقدَّر نسبته نسبة الانفعال $R_s = S_1/S_2$ بقيمة أدنى قليلًا. يُجري الشكل الآتي الاختبار على شريحة رقيقة مُتخيَّلة، مشوَّهة حتى $R_s = 2$ مع امتداد المحور الطويل عند $30{}^{\circ}$ عن الأفقي: القطع الناقص الملائم لحافة الفراغ يعطي $R_s = 1.9$ و$30{}^{\circ}$. وعند قياس الأجسام نفسها، تصبح الأجسام المستديرة في البداية قطعًا ناقصة نسبة محوريّها $R_s$ بالضبط؛ أمّا الأجسام الإهليلجية في البداية، ذات الاتجاهات العشوائية، فتنتهي بنسب $R_f$ متفرّقة حول $R_s$، وأكبرها حين تكون محاورها الطويلة في الأصل موازية لاتجاه الاستطالة، وتتجمّع اتجاهاتها النهائية $\varphi$ حول ذلك الاتجاه. ويفصل مخطط $R_f$ مقابل $\varphi$، المقروء بالجداول أو بالحاسوب، الانفعال عن الأشكال الأصلية.

![طريقة فراي على مجموعة مُتخيَّلة من مراكز الحبيبات، موزَّعة بحدّ أدنى للتباعد 1، ثم شُوِّهت حتى R_s = 2، مع امتداد المحور الطويل عند 30 عكس عقارب الساعة عن الأفقي، مع الحفاظ على المساحة. (أ) المراكز، التي لا تكاد العين تلمح فيها الانفعال. (ب) المتجهات بين كل أزواج المراكز الأقرب من 2.6: الفراغ في المركز هو القطع الناقص للانفعال. والقطع الناقص الأحمر الملائم لأقرب نقطة في كل قطاع من 36 قطاعًا: نسبته 1.9، والمحور الطويل عند 30.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-structural-analysis/fig-01e0bd3750b6.svg)

*[طريقة فراي](#def-b3-structural-analysis-strain-analysis) على مجموعة مُتخيَّلة من مراكز الحبيبات، موزَّعة بحدّ أدنى للتباعد 1، ثم شُوِّهت حتى $R_s = 2$، مع امتداد المحور الطويل عند $30{}^{\circ}$ عكس عقارب الساعة عن الأفقي، مع الحفاظ على المساحة. (أ) المراكز، التي لا تكاد العين تلمح فيها الانفعال. (ب) المتجهات بين كل أزواج المراكز الأقرب من 2.6: الفراغ في المركز هو القطع الناقص للانفعال. والقطع الناقص الأحمر الملائم لأقرب نقطة في كل قطاع من 36 قطاعًا: نسبته 1.9، والمحور الطويل عند $30{}^{\circ}$.*

في ثلاثة أبعاد، للإهليلجي الانفعالي استطالات رئيسية $X \ge Y
\ge Z$. يُرسم شكله على مخطط فلين، بحيث يكون $a = X/Y$ مقابل $b =
Y/Z$ والمعامل

$$
k = \frac{a - 1}{b - 1} .
$$

على المستقيم $k = 1$، الذي يمثّل الانفعال المستوي بحجم ثابت ($Y = 1$، $X = 1/Z$، أي $a = b$)، لا يكون الإهليلجي سيجاريَّ الشكل ولا فطيريَّ الشكل. وفوقه، $k > 1$، يكون الإهليلجي مستطيلًا مَطوطًا في اتجاه واحد بفعل التضيّق: تنمو في الصخور المشوَّهة بهذه الطريقة تخطّطات قوية. وتحته، $k < 1$، يكون مُفلطحًا، وتنمو فيه تورّقات قوية.

![مخطط فلين للإهليلجيات الانفعالية. الحالة غير المشوَّهة هي الأصل، a = b = 1؛ الإهليلجيات السيجارية الشكل الناتجة عن التضيّق تقع باتجاه المحور الرأسي، والإهليلجيات الفطيرية الشكل الناتجة عن التفلطح باتجاه المحور الأفقي.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-structural-analysis/fig-356f58f2cfe6.svg)

*مخطط فلين للإهليلجيات الانفعالية. الحالة غير المشوَّهة هي الأصل، $a = b = 1$؛ الإهليلجيات السيجارية الشكل الناتجة عن التضيّق تقع باتجاه المحور الرأسي، والإهليلجيات الفطيرية الشكل الناتجة عن التفلطح باتجاه المحور الأفقي.*

## 8.4 الإجهاد القديم

تحدّد نظرية أندرسون المستويات التي تتكوّن عليها الصدوع الجديدة، وتبيّن أنّها تنزلق عموديًّا على $\sigma_2$. غير أنّ معظم الصدوع نقاط ضعف أقدم أُعيد تنشيطها في حقل إجهاد لم تختره، وتنزلق انزلاقًا مائلًا. وتبقى اتجاهات انزلاقها، المقروءة على الخطوط المحزوزة في أسطح الصدوع، تسجّل الإجهاد، شريطة أن ينزلق كل صدع بالطريقة التي يدفعه الإجهاد بها.

**تعريف 8.9 (الإجهاد القديم، فرضية والاس–بوت، نسبة الإجهاد، قلب انزلاق الصدوع).**

*الإجهاد القديم* هو حالة الإجهاد التي أثّرت في صخرٍ في الماضي، بقدر ما يمكن استنتاجه من البنى التي خلّفتها: عمليًّا، اتجاهات الإجهادات الرئيسية و*نسبة الإجهاد*

$$
\Phi = \frac{\sigma_2 - \sigma_3}{\sigma_1 - \sigma_3}, \qquad 0 \le \Phi
  \le 1 .
$$

*فرضية والاس–بوت* تنصّ على أنّ الصدع ينزلق موازيًا لإجهاد القصّ المحلَّل على مستواه بواسطة إجهاد منتظم، كلّ صدع على حدة. *انعكاس انزلاق الصدوع* هو البحث عن الاتجاهات الرئيسية ونسبة الإجهاد التي تطابق اتجاهات الانزلاق المتنبَّأ بها أفضل مطابقة لمجموعة من الصدوع والخطوط المحزوزة المقاسة.

**مبرهنة 8.10 (اتجاه الانزلاق على مستوى).**

ليكن $S$ موتّر الإجهاد، والانضغاطات تُعَدّ موجبة، و$\vec n$ هو العمودي الواحدي الصاعد على صدعٍ. نكتب

$$
\vec\tau = S\vec n - (\vec n\cdot S\vec n)\,\vec n .
$$

وفق [فرضية والاس–بوت](#def-b3-structural-analysis-palaeostress) ينزلق الجدار المعلّق بالنسبة إلى الجدار المرتكز على امتداد $-\vec\tau$، أي جهد القصّ الذي يمارسه على الجدار المرتكز. وفضلًا عن ذلك:

1. لا يتغيّر اتجاه $\vec\tau$ عند استبدال $S$ بالعبارة $aS +  bI$ مع $a > 0$ ؛ ومنه لا يتعلّق إلّا بالاتجاهات الرئيسية وبقيمة $\Phi$ ، والموتّر المختزل $S' =  \mathrm{diag}(1, \Phi, 0)$ في الإطار الرئيسي $(\vec e_1, \vec  e_2, \vec e_3)$ يتنبّأ بالانزلاق نفسه الذي يعطيه $S$ ؛
2. إذا كان $\vec n$ عموديًّا على أحد الاتجاهات الرئيسية، فإنّ الانزلاق عموديًّا عليه أيضًا؛
3. مع $n_k = \vec n\cdot\vec e_k$ ، يكون الاتجاه هو اتجاه $\vec\tau'  = \vec\tau_0 + \Phi\,\vec\tau_1$ ، وهو خطّي في $\Phi$ ، حيث $\vec\tau_0  = n_1(\vec e_1 - n_1\vec n)$ و $\vec\tau_1 = n_2(\vec e_2 - n_2\vec  n)$ .

**برهان.** مع اعتبار الانضغاطات موجبة، يدفع الجدار المعلّق على الجدار المرتكز، عبر المستوى الذي عموديّه $\vec n$ والمتّجه نحو الجدار المعلّق، بالجهد $-S\vec n$؛ جزؤه على المستوى هو $-\vec\tau$. وعندما ينزلق الصدع يتحرّك الجدار المعلّق بالطريقة التي يجرّ بها الجدار المرتكز على امتداد $-\vec\tau$. (تحقّق: مع $\sigma_1$ رأسيًّا، $S = \sigma_1\vec e_z\vec
e_z^{\mathsf T}$ و$-\vec\tau = -\sigma_1\cos\delta\,(\vec e_z -
\cos\delta\,\vec n)$ يشير نحو أسفل الانحدار: صدع عادي.) (أ) $(aS + bI)\vec n - (\vec n\cdot(aS + bI)\vec n)\vec n = a\vec\tau + b(\vec
n - \vec n) = a\vec\tau$. بكتابة $\sigma_k = \sigma_3 + (\sigma_1 -
\sigma_3)s_k$ مع $s = (1, \Phi, 0)$ نجد $S = \sigma_3 I + (\sigma_1 -
\sigma_3)S'$. (ب) $S\vec n = \sum_k\sigma_kn_k\vec e_k$؛ إذا كان $n_j = 0$، فلا يكون لكلٍّ من $S\vec n$ و$\vec n$ مركّبةٌ على $\vec e_j$، ولا $\vec\tau$. (ج) $S'\vec n = n_1\vec e_1 + \Phi n_2\vec e_2$ و$\vec n\cdot S'\vec n =
n_1^2 + \Phi n_2^2$؛ اجمع الحدود التي تحوي $\Phi$ والتي لا تحويه. ∎

الجزء (ب) هو حالة أندرسون: صدعٌ يحوي $\sigma_2$ ينزلق عموديًّا عليه، مهما تكن $\Phi$، فلا يُخبرنا شيئًا عن [نسبة الإجهاد](#def-b3-structural-analysis-palaeostress). الجزء (ج) يحوّل الانزلاق المقاس إلى $\Phi$. ليكن $\vec u$ المتّجه الواحدي لانزلاق الجدار المعلّق، المأخوذ من زاوية الانزلاق، و$\vec w = \vec n\times\vec
u$ هو الاتجاه في المستوى العمودي عليه. ويكون الانزلاق المتنبَّأ به موازيًا للمتّجه $\vec u$ عندما $(\vec\tau_0 + \Phi\vec\tau_1)\cdot\vec w = 0$، وبما أنّ $\vec n\cdot\vec w = 0$،

$$
\Phi = -\frac{n_1\,(\vec e_1\cdot\vec w)}{n_2\,(\vec e_2\cdot\vec w)} ,
$$

بشرط أن يشير الانزلاق المتنبَّأ به عندئذٍ على امتداد $+\vec u$ لا على $-\vec u$.

عندما تكون الاتجاهات الرئيسية غير معلومة، يعطي كلّ صدع معادلةً واحدة، هي زاوية انزلاقه داخل مستواه، لأربعة مجاهيل: ثلاث زوايا توجّه المحاور الرئيسية، و$\Phi$. وأدنى عدد هو أربعة صدوع ذات وضعيات مختلفة، والمعتاد بضعُ عشرات. ويُصغِّر القلبُ مجموعَ مربّعات الزوايا بين الانزلاقات المقاسة والمتنبَّأ بها، بطريقة المربعات الصغرى على شبكة أو بالتكرار كما في [القسم 1.4](https://one-course.com/books/earth/5/ar/chapter/1-seismology-and-earth-imaging#sec-b3-seismology-imaging-inverse). تُشكّل الصدوع التي لا تتطابق مجموعةً ثانيةً، ربّما من عمر آخر.

يُظهر الشكل أدناه خمسة صدوع في تلال فاردن: الصدع العادي الرئيسي وأربعةً أصغر، جميعها ذات انزلاق عادي. يُجرى بحثٌ شبكيّ على قيم $\Phi$ واتجاه $\sigma_3$، مع $\sigma_1$ رأسيًّا، يطابق الصدوع الخمسة جميعها ضمن ربع درجة، مع $\sigma_3$ أفقيًّا نحو $120{}^{\circ}$.

![بيانات انزلاق الصدوع في تلال فاردن على الشبكة متساوية المساحات، النصف السفلي: خمسة مستويات صدعية (الدوائر العظمى) مع اتجاه انزلاق كلّ جدار معلّق (نقاط)، والإجهادات الرئيسية للإجهاد الأكثر مطابقةً: _1 رأسيًّا (مربّع)، _2 و_3 أفقيّان (معيّنات ومثلّثات، عند طرفي كلّ محور). الصدع الرئيسي، المنحدر بزاوية 60 نحو 120، يحوي _2 وينزلق مباشرةً إلى أسفل انحداره؛ أمّا الصدوع الأخرى فتنزلق مائلًا.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-structural-analysis/fig-0b669d4d1f36.svg)

*بيانات انزلاق الصدوع في تلال فاردن على الشبكة متساوية المساحات، النصف السفلي: خمسة مستويات صدعية (الدوائر العظمى) مع اتجاه انزلاق كلّ جدار معلّق (نقاط)، والإجهادات الرئيسية للإجهاد الأكثر مطابقةً: $\sigma_1$ رأسيًّا (مربّع)، $\sigma_2$ و$\sigma_3$ أفقيّان (معيّنات ومثلّثات، عند طرفي كلّ محور). الصدع الرئيسي، المنحدر بزاوية $60{}^{\circ}$ نحو $120{}^{\circ}$، يحوي $\sigma_2$ وينزلق مباشرةً إلى أسفل انحداره؛ أمّا الصدوع الأخرى فتنزلق مائلًا.*

محورا P وT من مجلد السنة الأولى ليسا الإجهادات الرئيسية. إنّهما تُبنيان من مستوى الصدع والانزلاق وحدهما، بزاوية $45{}^{\circ}$ عن المستوى في المستوى الذي يحوي الانزلاق والعمودي؛ صدعٌ جديد، في صخر زاوية احتكاكه قرابة $30{}^{\circ}$، يصنع نحو $30{}^{\circ}$ مع $\sigma_1$، وصدعٌ أُعيد تنشيطه يصنع أيّ زاوية. آلية واحدة تُعطي محوري P وT، ولا يُعطي الإجهادَ إلّا صدوعٌ كثيرة ذات وضعيات مختلفة تُعكس معًا. الفرضية نفسها لها حدود: قد يتغيّر الإجهاد من صدع إلى آخر، وقد تدور الكتل، والصدوع المتلاقية تُعيق انزلاق بعضها بعضًا.

## 8.5 ترميم مقطع عرضي

المقطع العرضي تفسيرٌ: بين السطح وثقوب الحفر، يرسم الجيولوجيّ ما هو مرجَّح. ويُسمّي مجلدُ السنة الثانية، في فصله عن الألب، المقطعَ متوازنًا حين يمكن إرجاعه إلى حالة غير مشوّهة مع حفظ أطوال الطبقات ومساحات الوحدات، وتتجذّر الطيّات والصدوع الزاحفة على سطح الانفصال. والترميم هو الاختبار.

**تعريف 8.11 (ترميم المقطع، خط التثبيت، طريقة الأشرطة المنثنية).**

*ترميم المقطع* يُلغي، على مقطع عرضيّ مرسوم موازيًا لاتجاه النقل التكتوني، التشوّه الذي يُظهره، حدثًا بعد حدث وبالترتيب العكسي، مع حفظ أطوال الطبقات ومساحات الوحدات في مستوى المقطع. *خط التثبيت* خطٌّ يعبر الطبقات، يُوضع حيث لم تنزلق إحداها على الأخرى (في المقدّمة غير المشوّهة، أو على السطح المحوري لطيّة متناظرة)، ويُعدّ عموديًّا على الطبقات في المقطع المُرجَع، وتُقاس الأطوال انطلاقًا منه. وفي *طريقة الأشرطة المنثنية* تُرسم الطيّات أجنحةً مستقيمةً بسماكة طبقة ثابتة، موصولةً عند مفاصل حادّة، يُنصِّف سطحُها المحوري الزاويةَ بين الأجنحة؛ فتصبح كلّ طبقة خطًّا منكسرًا، يساوي طولُها مجموعَ قطعها المستقيمة.

طبقةٌ مطويّة إلى أجنحةٍ مستقيمةٍ تنحدر بمقدار $\delta$ في أيّ من الاتجاهين، على المسافة الأفقية $L$، يبلغ طولها $L/\cos\delta$، ويكون تقصيرها $S = L(1/\cos\delta - 1)$، والتغيّر النسبي للطول $\cos\delta - 1$. وتعطي المساحات النصف الآخر من الموازنة.

**قضية 8.12 (العمق حتى الانفصال).**

ولتكن طبقةٌ على ارتفاع $h$ فوق انفصالٍ أفقيّ، قُصِرت بمقدار $S$ في مستوى المقطع، ولْيحفظ الصخرُ الواقع بينها وبين الانفصالِ مساحتَه، دون أن تعبر أيّ مادّة طرفي المقطع. عندئذٍ تحقّق المساحةُ $A$ التي تعلو بها الطبقةُ المطويّة مستواها الأصلي

$$
A = S\,h , \qquad\text{أي أنّ}\qquad h = \frac AS .
$$

**برهان.** قبل التشوّه كان الصخر الواقع تحت الطبقة يشغل $L_0 h$ على طول $L_0$. وبعد التشوّه يقع الصخرُ نفسُه على طول $L_0 - S$، تحت الطبقة، التي تقف عند المستوى الأصلي مضافًا إليه الرفعُ: مساحتُه $(L_0 - S)h + A$. بمساواة المساحتين نجد $A = Sh$. ∎

تعطي طبقتان المجهولين كليهما: تختلف مساحتاهما الفائضتان بمقدار $S$ مضروبًا في المسافة الرأسية بينهما. يوضّح الشكل أدناه البناء.

![ترميمُ طيّةٍ بطريقة الأشرطة المنثنية، مرسومةٍ لتحقيق التوازن، بأجنحةٍ عند 50. (أ) طبقتان صلبتان مطويّتان إلى أجنحة مستقيمة ذات سماكة ثابتة، فوق طبقة ضعيفة تزداد سماكتها لتشكّل اللبّ، بين خطّي تثبيت على السطحين المحوريين للطيّات المقعّرة، وقد بقيا عند المستوى الأصلي. (ب) المقطع المُرجَع: كلّ طبقة ممدودة مستقيمةً بطولٍ مقيسًا على الأجنحة، L_0، أطولُ من المقطع المشوَّه بمقدار التقصير S. والمساحة المظلّلة A، التي تعلو بها الطبقة العليا مستواها الأصلي، تساوي S مضروبًا في ارتفاعها h فوق الانفصال؛ وللطبقة الضعيفة المساحةُ نفسُها في كلتا اللوحتين.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-structural-analysis/fig-04669ae4d7c2.svg)

*ترميمُ طيّةٍ [بطريقة الأشرطة المنثنية](#def-b3-structural-analysis-restoration)، مرسومةٍ لتحقيق التوازن، بأجنحةٍ عند $50{}^{\circ}$. (أ) طبقتان صلبتان مطويّتان إلى أجنحة مستقيمة ذات سماكة ثابتة، فوق طبقة ضعيفة تزداد سماكتها لتشكّل اللبّ، بين خطّي تثبيت على السطحين المحوريين للطيّات المقعّرة، وقد بقيا عند المستوى الأصلي. (ب) المقطع المُرجَع: كلّ طبقة ممدودة مستقيمةً بطولٍ مقيسًا على الأجنحة، $L_0$، أطولُ من المقطع المشوَّه بمقدار التقصير $S$. والمساحة المظلّلة $A$، التي تعلو بها الطبقة العليا مستواها الأصلي، تساوي $S$ مضروبًا في ارتفاعها $h$ فوق الانفصال؛ وللطبقة الضعيفة المساحةُ نفسُها في كلتا اللوحتين.*

يُرمَّم المقطعُ الذي يقطعه صدعٌ بترتيب معاكس لترتيب الأحداث: أحدثُ البنى أولًا. للصدع العادي ذي الرمي $t_h$ والانحدار $\delta$ إزاحةٌ أفقية $t_h/\tan\delta$ وانزلاقٌ $t_h/\sin\delta$ على مقطعٍ موازٍ لانحداره؛ يُعاد الجدار المعلّق إلى أعلى الصدع بمقدار الانزلاق. وعلى مقطعٍ مائلٍ على اتجاه الانزلاق يكون كلٌّ من انحدار الصدع وإزاحته ظاهريًّا، ويجوز أن يبدو مقطعٌ متوازنًا وليس كذلك، وهذا ما يفسّر رسمَ المقاطع موازيةً لاتجاه النقل.

**في الميدان — قياس الوضعية.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-structural-analysis/img-cd31dfccab61.jpg)

*بوصلة-مقياس الميل موضوعة على سطح صخري مائل، مع دفتر ميداني (رسم توضيحي مولَّد بالذكاء الاصطناعي).*

لقياس سطح الطبقية، يضع الجيولوجيّ الغطاءَ المفتوحَ لبوصلة-مقياس الميل مسطّحًا على السطح المختار أملسَ وممثِّلًا، ويُدير الجسمَ حتى تُظهر فقّاعتُه استواءَه: فتعطي الإبرةُ اتجاهَ الانحدار ويعطي مقياسُ الميل، مع إدارة الأداة على حافّتها على طول الخط الأشدّ انحدارًا، الانحدارَ. تُدوَّن القراءةُ بوصفها اتجاهَ الانحدار والانحدارَ، مثلًا $075/13$، مع المكان ونوع السطح. وتُصحَّح قيمُ السمت المقروءة بالإبرة المغناطيسية بالانحراف المغناطيسي المحلّي. ويقيس الهاتفُ الذكيّ المزوَّد بتطبيق جيولوجي الشيءَ نفسه بخطوة واحدة: يُمسَك مسطّحًا على السطح، فتعطي مقاييسُ التسارع اتجاهَ الجاذبية ومنه الانحدار، ويعطي مقياسُ المغناطيسية السمتَ. ويقارن الجيولوجيون الميدانيون نتائجَه بالبوصلة بانتظام، لأنّ الحديدَ القريب ودوائرَ الهاتف الداخلية قد تُخلّ بمقياس المغناطيسية؛ ويكرّرون كلَّ قراءة ويحسبون متوسّط العموديات بمتوسّط المتجهات.

## 8.6 التمارين

**تمرين 8.1 ★.**

احسب الاتجاهَ والغوصَ لقطبِ المستوى $040/30$ (اتجاهَ الانحدار، الانحدار). أوجد وضعيةَ المستوى الذي يتّجه قطبُه نحو $315{}^{\circ}$ ويغوص $20{}^{\circ}$.

**حل التمرين 8.1.**

يتّجه [القطب](#def-b3-structural-analysis-stereo) نحو $40 + 180 = 220{}^{\circ}$ ويغوص بمقدار $90 - 30 = 60{}^{\circ}$. أمّا المستوي فينحدر بمقدار $90 - 20 = 70{}^{\circ}$ نحو $315 - 180 = 135{}^{\circ}$: $135/70$.

**تمرين 8.2 ★.**

خطٌّ يغوص بزاوية $30{}^{\circ}$. على أيّ بُعدٍ من المركز يُرسم على [الشبكة متساوية الزوايا](#def-b3-structural-analysis-stereo) وعلى الشبكة متساوية المساحات، وكلتاهما نصف قطرها $10\,\mathrm{cm}$؟

**حل التمرين 8.2.**

$\theta = 60{}^{\circ}$. في [الشبكة متساوية الزوايا](#def-b3-structural-analysis-stereo): $10\tan30{}^{\circ} = 5.77\,\mathrm{cm}$؛ وفي الإسقاط متساوي المساحات: $10\sqrt2\sin30{}^{\circ} = 7.07\,\mathrm{cm}$.

**تمرين 8.3 ★.**

لأجنحة الطية وضعيتان هما $090/30$ و$270/30$. احسب الزاويةَ بين قطبيهما بالضرب النقطي للعموديات، وزاويةَ الأجنحة وصنفَ الطية.

**حل التمرين 8.3.**

$\vec n_1 = (\sin30{}^{\circ}, 0, \cos30{}^{\circ})$، $\vec n_2 = (-\sin30{}^{\circ}, 0,
\cos30{}^{\circ})$، $\vec n_1\cdot\vec n_2 = -0.25 + 0.75 = 0.5$: القطبان متباعدان بمقدار $60{}^{\circ}$، وزاوية الأجنحة $120{}^{\circ}$، وهي طية مفتوحة.

**تمرين 8.4 ★.**

يحمل الصدع $090/60$ خدوشًا زاويةُ انزلاقها $-45{}^{\circ}$. وبمتجهة الامتداد $\vec s = (0, 1, 0)$ ومتجهة الانحدار نحو الأسفل $\vec d$ للمستوى، فإنّ انزلاقَ الجدار المعلّق هو $\vec u = \cos r\,\vec s - \sin r\,\vec d$. احسب $\vec d$، و$\vec u$، والاتجاه والغوص للانزلاق. سمِّ الصدعَ.

**حل التمرين 8.4.**

$\vec d = (\cos60{}^{\circ}, 0, -\sin60{}^{\circ}) = (0.5, 0, -0.866)$ و$\vec u =
0.707\,\vec s + 0.707\,\vec d = (0.354, 0.707, -0.612)$: يتّجه $\operatorname{atan2}(0.354, 0.707) = 26.6{}^{\circ}$، ويغوص بمقدار $\arcsin0.612 =
37.8{}^{\circ}$. تقع زاوية الانزلاق بين $-90{}^{\circ}$ (عادي) و0 (أيسر): صدعٌ عاديّ مائل مع مركّبة أيسر.

**تمرين 8.5 ★★.**

لأجنحة الطية وضعيتان هما $060/40$ و$250/30$. احسب الاتجاهَ والغوصَ لمحور الطية، وزاويةَ الأجنحة.

**حل التمرين 8.5.**

$$
\begin{gather*}
  \vec n_1 = (0.5567, 0.3214, 0.7660),\qquad \vec n_2 = (-0.4698, -0.1710, 0.8660),\\
  \vec n_1\times\vec n_2 = (0.4093, -0.8420, 0.0558),
\end{gather*}
$$

بطول $0.9379$. ومعكوسه، $-\vec n_1\times\vec n_2$، يشير إلى الأسفل: يتّجه نحو $334.1{}^{\circ}$، ويغوص بمقدار $\arcsin(0.0558/0.9379) = 3.4{}^{\circ}$. $\vec n_1\cdot\vec
n_2 = 0.3469$، و$69.7{}^{\circ}$ بين العموديين، وزاوية الأجنحة $110.3{}^{\circ}$: طية مفتوحة.

**تمرين 8.6 ★★.**

احسب الكسرَ من مساحة الشبكة الواقع داخل دائرةِ الخطوطِ التي تغوص بأكثر من $60{}^{\circ}$، على الشبكة متساوية المساحات وعلى [الشبكة متساوية الزوايا](#def-b3-structural-analysis-stereo)، والكسرَ من اتجاهات نصف الكرة السفلي التي تغوص بأكثر من $60{}^{\circ}$. أيُّ الشبكتين يُستعمل لعدّ الأقطاب؟

**حل التمرين 8.6.**

الغوص فوق $60{}^{\circ}$ يعني $\theta < 30{}^{\circ}$. في الإسقاط متساوي المساحات: $r^2 =
2\sin^215{}^{\circ} = 0.134$، $13.4\,\%$ من الشبكة؛ وفي [الشبكة متساوية الزوايا](#def-b3-structural-analysis-stereo): $\tan^215{}^{\circ} = 0.072$، $7.2\,\%$. على الكرة تحتوي القلنسوة $1 - \cos30{}^{\circ} = 0.134$ من نصف الكرة: لا تُظهرها إلا الشبكة متساوية المساحات بحصّتها الحقيقية، ولذلك تُعدّ الأقطاب عليها.

**تمرين 8.7 ★★.**

تقع ثلاثة أقطاب في المستوى الشاقولي الممتدّ شرق–غرب، على زوايا $-20{}^{\circ}$ و$0$ و$20{}^{\circ}$ عن الشاقولي: $\vec p = (\sin a, 0, -\cos a)$. احسب موتّر توجّهها، وقيمها الذاتية ومتجهاتها الذاتية، [ومحور بيتا](#def-b3-structural-analysis-pi). لماذا تكون أصغرُ قيمة ذاتية صفرًا تمامًا؟

**حل التمرين 8.7.**

$$
\begin{gather*}
  T_{xx} = \frac{2\sin^220{}^{\circ}}3 = 0.078,\qquad
  T_{zz} = \frac{2\cos^220{}^{\circ} + 1}3 = 0.922,\\
  T_{xz} = -\frac{\sin20{}^{\circ}\cos20{}^{\circ} - \sin20{}^{\circ}\cos20{}^{\circ}}3 = 0,
\end{gather*}
$$

وكل حدّ يتضمّن $y$ يساوي 0. القيم الذاتية هي $0.922$ (رأسية)، $0.078$ (شرق) و$0$ (شمال): [محور بيتا](#def-b3-structural-analysis-pi) أفقي، شمال–جنوب. تقع الأقطاب الثلاثة في مستوٍ واحد، فلا يكون لأيّ منها مركّبة على عموديه، و$\vec u^{\mathsf T}T\vec u = 0$ من أجل $\vec u$ الموازية له.

**تمرين 8.8 ★★.**

ضع على مخطط فلين الإهليلجيَّ $X : Y : Z = 3 : 1.5 : 1$، ثم الإهليلجيَّ ذا الحجم الثابت حيث $X = 1.8$ و$Y = 1.1$. احسب $k$ لكلٍّ منهما، وسمِّ الانفعال.

**حل التمرين 8.8.**

$a = 2$، $b = 1.5$، $k = 1/0.5 = 2$: تضيّق. $Z = 1/(1.8\times1.1) =
0.505$، $a = 1.636$، $b = 2.178$، $k = 0.636/1.178 = 0.54$: التفلطح.

**تمرين 8.9 ★★.**

في مقطعٍ يُقطع موازيًا للمطّ، تكون الأويدات المستديرة في الأصل قطوعًا ناقصةً نسبةُ محوريها $2.25$، جميعُها متوازية، ومساحةُ كلٍّ منها لم تتغيّر. احسب المطّاتِ الرئيسيةَ والاستطالةَ على طول المحور الطويل المحور الطويل. قبل الانفعال لم تكن مراكزُ الأويدات أقربَ إلى بعضها من $0.4\,\mathrm{mm}$: أعطِ نصفَي المحورين للفراغ الخالي في مخطط فراي.

**حل التمرين 8.9.**

$S_1/S_2 = 2.25$ و$S_1S_2 = 1$: $S_1 = 1.5$، $S_2 = 0.667$؛ المحور الطويل استطال بمقدار $50\,\%$. للفراغ أنصاف محاور $1.5\times0.4 =
0.60\,\mathrm{mm}$ و$0.667\times0.4 = 0.27\,\mathrm{mm}$.

**تمرين 8.10 ★★★.**

عند $\theta = 60{}^{\circ}$ عن نظير السمت، احسب المطّ على طول نصف القطر، $\mathrm dr/(R\,\mathrm d\theta)$، وحول الدائرة $r/(R\sin\theta)$، لكلا الإسقاطين. تحقّق من المبرهنة على الإسقاطات، وأعطِ نسبةَ محوري البيضاوي الذي تحوّل إليه الشبكةُ متساوية المساحات دائرةً صغيرةً جدًّا هناك.

**حل التمرين 8.10.**

في [الشبكة متساوية الزوايا](#def-b3-structural-analysis-stereo): $1/(2\cos^230{}^{\circ}) = 0.667$ على طول نصف القطر، و$\tan30{}^{\circ}/\sin60{}^{\circ} = 0.577/0.866 = 0.667$ في الاتجاه المماسّي: متساويان، والإسقاط مطابِق. في الإسقاط متساوي المساحات: $\mathrm dr/(R\,\mathrm d\theta) = (\sqrt2/2)\cos30{}^{\circ} = 0.612$ و$\sqrt2\sin30{}^{\circ}/\sin60{}^{\circ} = 0.707/0.866 = 0.816$؛ وحاصل الضرب $0.500$، وهو معامل المساحة في المبرهنة. تصبح الدائرة الصغرى بيضويًّا، محاوره بنسبة $0.816/0.612 = 1.33$، والمحور الأطول حول المركز.

**تمرين 8.11 ★★★.**

في نظامٍ انزياحيّ، يكون $\sigma_1$ أفقيًّا باتجاه $000{}^{\circ}$، و$\sigma_3$ أفقيٌّ باتجاه $090{}^{\circ}$، و$\sigma_2$ شاقوليّ. صدعٌ شاقوليّ امتداده $020{}^{\circ}$. دون حساب $\vec\tau$، بيّن أنّ انزلاقه أفقيٌّ مهما كانت $\Phi$. ثم احسب $-\vec\tau$ عند $\Phi = 0.4$ مع العمودي على المستوى $\vec n = (\cos20{}^{\circ}, -\sin20{}^{\circ}, 0)$، وأعطِ جهةَ الانزلاق.

**حل التمرين 8.11.**

الصدع رأسي، فعموديه أفقي ومتعامد مع الإجهاد الرأسي $\sigma_2$؛ وحسب الجزء (ب) من المبرهنة يكون الانزلاق عموديًّا على $\sigma_2$، أفقيًّا، ومن أجل كلّ $\Phi$. مع $\sigma_1 = 1$ باتجاه الشمال، $\sigma_3 = 0$ باتجاه الشرق: $S\vec n = (0, -0.342, 0)$، $\vec n\cdot S\vec n =
0.117$، $\vec\tau = (0, -0.342, 0) - 0.117\,(0.940, -0.342, 0) = (-0.110,
-0.302, 0)$ و$-\vec\tau = (0.110, 0.302, 0)$، باتجاه $020{}^{\circ}$. الكتلة الواقعة على جانب $\vec n$، أي الجانب الشرقي، تتحرّك نحو الشمال الشمالي الشرقي على امتداد الامتداد: عند النظر من الجانب الغربي تتحرّك نحو اليسار، فهو صدعٌ أيسر (زاوية الانزلاق 0). لم يدخل $\sigma_2$ في الحساب.

**تمرين 8.12 ★★★.**

يقطع مقطعٌ طولُه $20\,\mathrm{km}$ سلسلةً من طيّات الانفصال. أفقان يفصل بينهما $1.0\,\mathrm{km}$، ويعلو كلٌّ منهما مستواه الأصلي بمساحتَيْهما $6.0\,\mathrm{km}^{2}$ (السفلي) و$7.5\,\mathrm{km}^{2}$ (العلوي). احسب التقصير، عمقَ الانفصال تحت الأفق السفلي، والطولَ الأصلي للمقطع، ونسبةَ تغيّر طوله.

**حل التمرين 8.12.**

$S = (7.5 - 6.0)/1.0 = 1.5\,\mathrm{km}$؛ و$h = 6.0/1.5 = 4.0\,\mathrm{km}$ تحت الأفق السفلي. كان طول المقطع $20 + 1.5 = 21.5\,\mathrm{km}$، وتغيّر بمقدار $-1.5/21.5 = -7.0\,\%$.

## 8.7 مسألة: طيّات وصدوع تلال فاردن

**مسألة 8.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — محور طيّة وإجهاد مجموعة الصدوع وترميم المقطع، في منطقة متخيَّلة

في تلال فاردن، المنطقة المتخيَّلة للسلسلة، يرقد غطاء ميزوزوي على أساسٍ من الشيست والغرانيت. طُويَ الغطاء إلى الطية المحدبة والطية المقعرة القائمتين بأجنحة مستقيمة، ثم قطعه صدع عادي. قاس جيولوجي اثني عشر مستوى تطبّقيًا على أجنحة الطية المحدبة (اتجاه الانحدار/الانحدار، بالدرجات):

| الجناح الشرقي | 075/13 | 084/11 | 089/13 | 079/14 | 086/12 | 072/11 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| الجناح الغربي | 283/11 | 272/13 | 281/14 | 288/10 | 276/13 | 274/12 |

مجاميع المتجهات العمودية الواحدية الصاعدة للقراءات الست في كل جناح هي $\vec S_E = (1.2583, 0.2017, 5.8604)$ و$\vec S_W = (-1.2445, 0.1886,
5.8636)$ (الشرق، الشمال، الأعلى). وتحمل خمسة صدوع خدوشًا انزلاقية (اتجاه الانحدار/الانحدار، زاوية انزلاق الجدار المعلّق): $120/60/{-90}$ (الصدع الرئيسي)، $150/55/{-76}$، $090/65/{-108}$، $200/70/{-78}$ و$060/50/{-105}$. للصدع الرئيسي رمية مقدارها $200\,\mathrm{m}$. ويبعد محورا الطية المحدبة والطية المقعرة أحدهما عن الآخر $4\,\mathrm{km}$، بحيث تتكرّر الطيّات كل $8\,\mathrm{km}$ من الشرق إلى الغرب.

**الجزء الأول — الأقطاب [ومحور بيتا](#def-b3-structural-analysis-pi).**

1. أعطِ اتجاه [القطب](#def-b3-structural-analysis-stereo) وغوصه للقراءة $075/13$ ، ووبُعده عن مركز الشبكة متساوية المساحات ذات نصف القطر $10\,\mathrm{cm}$ .
2. احسب المتجهة العمودية الواحدية الصاعدة للقراءة $075/13$ ، ثم وتحقّق من مقدارها بالمقارنة مع $\vec S_E$ .
3. احسب الوضعية المتوسطة لكل جناح من $\vec S_E$ و $\vec S_W$ ، وأطوال المحصّلة المتوسطة، والانتشار الجذري لمتوسط المربعات للقراءات حول متوسطاتها.
4. احسب $\vec S_E\times\vec S_W$ ، واتجاه وغوص [محور بيتا](#def-b3-structural-analysis-pi) .
5. احسب الزاوية بين العموديين المتوسطين، وزاوية الأجنحة، وصنّف الطية.
6. يحتوي المستوى المحوري لهذه الطية المتماثلة على [محور بيتا](#def-b3-structural-analysis-pi) ، وهو عمودي على $\vec m_E - \vec m_W$ ، فرق المتجهات العمودية الواحدية المتوسطة. أعطِ وضعيته؛ هل الطية قائمة؟
7. أعطِ وضعية حزام $\pi$ ، وبيّن لماذا تقع الأقطاب عليه.

**الجزء الثاني — [موتّر التوجّه](#def-b3-structural-analysis-orientation-tensor).** [موتّر التوجّه](#def-b3-structural-analysis-orientation-tensor) للأقطاب الاثني عشر هو

$$
T = \begin{pmatrix} 0.04400 & 0.00035 & 0.00109\\ 0.00035 & 0.00144 & 0.03179\\
  0.00109 & 0.03179 & 0.95456 \end{pmatrix},
$$

, مع القيم الذاتية $0.95562$، $0.04400$ و$0.00038$.

8. تحقّق من أنّ أثر $T$ يساوي 1. ولتكن $\vec b = (0.0053, -0.9994,  0.0333)$ المتجهة الواحدية على طول $\vec S_E\times\vec S_W$ ، احسب $\vec b^{\mathsf T}T\vec b$ . ماذا تقول النتيجة عن $\vec b$ ؟
9. احسب الزاوية الجذرية لمتوسط المربعات بين الأقطاب والحزام.
10. فسّر قيمة $\lambda_2$ انطلاقًا من انحدارات الأجنحة.
11. هل الطية أسطوانية ضمن دقّة القراءات؟
12. يتحدّد غوص [محور بيتا](#def-b3-structural-analysis-pi) بالميل الشمالي–الجنوبي للحزام، الذي يسهم فيه كل قطب بالتشتّت الموجود في السؤال 9. قدّر الخطأ المعياري للغوص.

**الجزء الثالث — [الإجهاد القديم](#def-b3-structural-analysis-palaeostress).**

13. ما نوع الصدع الرئيسي؟ وفق أندرسون، أعطِ اتجاهات $\sigma_1$ ، $\sigma_2$ و $\sigma_3$ .
14. بيّن، باستعمال مبرهنة اتجاه الانزلاق، أنّ الصدع الرئيسي ينزلق انزلاقًا مستقيمًا وفق انحداره مهما تكن قيمة $\Phi$ . ماذا يخبرنا ذلك عن $\Phi$ ؟
15. بالنسبة إلى الصدع $150/55$ ، احسب $\vec n$ ومركبتيه $n_1 =  \vec n\cdot\vec e_1$ و $n_2 = \vec n\cdot\vec e_2$ ، حيث $\vec e_1$ رأسي و $\vec e_2$ أفقي باتجاه $030{}^{\circ}$ .
16. يعطي انزلاقه $\vec w = \vec n\times\vec u = (0.771, 0.605, 0.198)$ . احسب $\Phi$ .
17. تعطي الصدوع الصغيرة الثلاثة الأخرى $\Phi = 0.294$ ، $0.301$ و $0.306$ . أعطِ المتوسط، وبيّن مصدر التشتّت.
18. ماذا يقول $\Phi = 0.3$ عن $\sigma_2$ ؟
19. احسب محوري P وT للصدع الرئيسي (على زاوية $45{}^{\circ}$ من المستوى، في مستوى انحداره)، وقارنهما مع $\sigma_1$ و $\sigma_3$ .

**الجزء الرابع — ترميم مقطع شرق–غرب.**

20. احسب الانحدار الظاهري للجناح الشرقي، $080.9/12.3$ ، على مقطع شرق–غرب.
21. بأخذ أجنحة الطيّة عند $12{}^{\circ}$ على المقطع، احسب الطول المرمَّم لموجة طيّة واحدة، والتقصير، والتغيّر النسبي في الطول.
22. احسب ارتفاع قمّة الطية المحدبة فوق الطيات المقعّرة، والمساحة الزائدة لموجة واحدة، بافتراض أنّ الطيات المقعّرة بقيت عند مستواها الأصلي.
23. احسب عمق الانفصال أسفل الطبقة المطوية. هل يمكن أن تكون الطيّات منفصلة عند قاعدة الغطاء، على بُعد بضع مئات من الأمتار تحت السطح؟
24. احسب الإزاحة الأفقية والانزلاق للصدع الرئيسي على مقطع باتجاه $120{}^{\circ}$ .
25. على المقطع شرق–غرب، احسب الانحدار الظاهري للصدع، وإزاحته الأفقية الظاهرية. أيّ مقطع ينبغي ترميمه؟
26. بأيّ ترتيب يُرمَّم الصدع والطيّات، وأين تُوضع خطوط التثبيت؟
27. ما غوص محور طيّة فاردن، كما يُستخلص من القراءات الاثنتي عشرة؟

**حل المسألة 8.1.**

**1.** يتّجه [القطب](#def-b3-structural-analysis-stereo) نحو $255{}^{\circ}$ ويغوص بمقدار $77{}^{\circ}$؛ $\theta =
13{}^{\circ}$ و$r = 10\sqrt2\sin6.5{}^{\circ} = 1.60\,\mathrm{cm}$ عن المركز، باتجاه $255{}^{\circ}$.

**2.** $\vec n = (\sin13{}^{\circ}\sin75{}^{\circ}, \sin13{}^{\circ}\cos75{}^{\circ},
\cos13{}^{\circ}) = (0.2173, 0.0582, 0.9744)$. ستّ متجهات وحدة شبه متوازية يبلغ مجموعها قرابة 6: $|\vec S_E| = 5.9974$.

**3.** الجناح الشرقي: $\bar\alpha = \operatorname{atan2}(1.2583, 0.2017) =
80.9{}^{\circ}$ و$\bar\delta = \arccos(5.8604/5.9974) = 12.3{}^{\circ}$؛ $\bar R
= 5.9974/6 = 0.99956$ والتشتّت هو $\sqrt{2\times0.00044} =
0.0297\,\mathrm{rad}$، أو $1.7{}^{\circ}$. الجناح الغربي: $\bar\alpha =
\operatorname{atan2}(-1.2445, 0.1886) = 278.6{}^{\circ}$ و$\bar\delta =
\arccos(5.8636/5.9972) = 12.1{}^{\circ}$؛ $\bar R = 0.99953$، والتشتّت $1.8{}^{\circ}$.

**4.**

$$
\vec S_E\times\vec S_W = (0.0774, -14.6714, 0.4883),
$$

بطول $14.680$. معكوسه يشير إلى الأسفل: الاتجاه هو $\operatorname{atan2}(-0.0774, 14.6714)$، أي $359.7{}^{\circ}$، والغوص هو $\arcsin(0.4883/14.680)$، أي $1.9{}^{\circ}$.

**5.** جيب تمام الزاوية بين العموديين المتوسّطين هو $32.835/35.968 = 0.9129$، أي الجداء القياسي للمجموعين مقسومًا على طوليهما: $24.1{}^{\circ}$ بين العموديين، وزاوية الأجنحة $155.9{}^{\circ}$: طيّة مفتوحة، أقرب إلى اللطيفة.

**6.**

$$
\begin{gather*}
  \vec m_E = (0.2098, 0.0336, 0.9772),\qquad \vec m_W = (-0.2075, 0.0314, 0.9777),\\
  \vec m_E - \vec m_W = (0.4173, 0.0022, -0.0005):
\end{gather*}
$$

عمودي أفقي متجه نحو $089.7{}^{\circ}$. المستوي المحوري رأسي، وامتداده $359.7{}^{\circ}$، أي تقريبًا شمال–جنوب: الطيّة قائمة.

**7.** الحزام هو المستوي الذي قطبه هو [محور بيتا](#def-b3-structural-analysis-pi): اتجاه الانحدار $179.7{}^{\circ}$، والانحدار $90 - 1.9 = 88.1{}^{\circ}$، أي تقريبًا المستوي الرأسي شرق–غرب. كلّ جناح يحتوي محور الطيّة، لذلك فكلّ عمودي عليه يكون عموديًا على المحور ويقع في المستوي العمودي عليه.

**8.** $0.04400 + 0.00144 + 0.95456 = 1.00000$. $\vec b^{\mathsf T}T\vec
b = 0.00038$، أصغر قيمة ذاتية: $\vec b$ هو، بالتقريب، المتجه الذاتي $\vec e_3$، والحزام المارّ بالقطبين المتوسّطين هو الحزام الأفضل ملاءمةً لجميع القراءات الاثنتي عشرة.

**9.** $\arcsin\sqrt{0.00038} = \arcsin0.0195 = 1.1{}^{\circ}$.

**10.** تقع الأقطاب على طول الحزام بنحو $12.2{}^{\circ}$ عن الرأسي، على الجانبين؛ $\sin^212.2{}^{\circ} = 0.045$، وهو متوسط مربعات مركّباتها شرق–غرب، وهو $\lambda_2$.

**11.** نعم: تنحرف الأقطاب عن الحزام بمقدار $1.1{}^{\circ}$ في المتوسط، لا أكثر من تشتّت $1.7{}^{\circ}$ لقراءات جناح واحد حول متوسّطها.

**12.** $1.1{}^{\circ}/\sqrt{12} = 0.3{}^{\circ}$: الغوص هو $1.9{}^{\circ}$ $\pm$ $0.3{}^{\circ}$.

**13.** زاوية انزلاق $-90{}^{\circ}$: صدعٌ عادي خالص، انزلاقه انحداري. أندرسون: $\sigma_1$ رأسي، و$\sigma_3$ أفقي على طول اتجاه الانحدار، $120{}^{\circ}$–$300{}^{\circ}$، و$\sigma_2$ أفقي على طول الامتداد، $030{}^{\circ}$–$210{}^{\circ}$.

**14.** عمودي المستوي $120/60$ يقع في المستوي الرأسي الممتدّ بالاتجاه $120{}^{\circ}$، وهو يحتوي $\vec e_1$ و$\vec e_3$: $n_2 = 0$. حسب الجزء (ب) فإنّ الانزلاق عمودي على $\sigma_2$، أي الامتداد، مهما كانت $\Phi$: هو انزلاق انحداري. لا يخبرنا الصدع بشيء عن $\Phi$؛ ففي الصيغة يتلاشى كلّ من $n_2$ و$\vec e_2\cdot\vec w$، وبالتالي البسط والمقام يتلاشيان.

**15.** $\vec n = (\sin55{}^{\circ}\sin150{}^{\circ}, \sin55{}^{\circ}\cos150{}^{\circ},
\cos55{}^{\circ}) = (0.4096, -0.7094, 0.5736)$; $n_1 = 0.574$; $n_2 = 0.5\times
0.4096 + 0.866\times(-0.7094) = -0.410$.

**16.** $\vec e_1\cdot\vec w = 0.198$ و$\vec e_2\cdot\vec w = 0.5\times
0.771 + 0.866\times0.605 = 0.909$، ومنه $\Phi = -(0.574\times0.198)/(-0.410\times
0.909) = 0.1137/0.3727 = 0.305$.

**17.** $(0.305 + 0.294 + 0.301 + 0.306)/4 = 0.30$. قُرّبت زوايا الانزلاق إلى أقرب درجة؛ تغيّر الدرجة الواحدة من زاوية الانزلاق $\Phi$ بنحو 0.02 في هذه الصدوع، لذا فإنّ نصف الدرجة من التقريب يفسّر التباين.

**18.** $\sigma_2 - \sigma_3 = 0.3(\sigma_1 - \sigma_3)$: $\sigma_2$ أقرب إلى $\sigma_3$ منه إلى $\sigma_1$. كلا الإجهادين الأفقيين أدنى بكثير من الرأسي؛ امتدّت المنطقة أساسًا نحو $120{}^{\circ}$، وقليلًا على طول $030{}^{\circ}$.

**19.** مع $\vec n = (0.750, -0.433, 0.500)$ والانزلاق $\vec u =
(0.433, -0.250, -0.866)$، فإنّ $(\vec n - \vec u)/\sqrt2$ يغوص بزاوية $75{}^{\circ}$ باتجاه $300{}^{\circ}$: P؛ و$(\vec n + \vec u)/\sqrt2$ يغوص بزاوية $15{}^{\circ}$ باتجاه $120{}^{\circ}$: T. تقع في المستوي الرأسي نفسه الذي يضم $\sigma_1$ و$\sigma_3$ لكن على بُعد $15{}^{\circ}$ عنهما، لأنّ الصدع يصنع $30{}^{\circ}$ لا $45{}^{\circ}$ مع $\sigma_1$.

**20.** $\tan a = \tan12.3{}^{\circ}\times\cos(90{}^{\circ} - 80.9{}^{\circ}) =
0.2180\times0.9874 = 0.2153$: $a = 12.1{}^{\circ}$.

**21.** $L_0 = 8000/\cos12{}^{\circ} = 8178.7\,\mathrm{m}$, $S =
178.7\,\mathrm{m}$، وهو تغيّر نسبي مقداره $\cos12{}^{\circ} - 1 =
-2.2\,\%$.

**22.** $4000\tan12{}^{\circ} = 850.2\,\mathrm{m}$; $A = \tfrac12\times8000\times
850.2 = 3.40 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{2}$.

**23.** $h = 3.40 \times 10^{6}/178.7 = 19.0\,\mathrm{km}$. لو وُجد انفصال عند قاعدة الغطاء لأعطى $h$ بضع مئات من الأمتار ومساحةً زائدة أصغر بنحو خمسين مرة: فالطيات غير منفصلة هناك. فإمّا أن يكون الأساس قد انطوى مع الغطاء، أو أن الطيات المقعّرة هبطت دون المستوى الأصلي، وهو ما يجعل $A$ أصغر؛ والمقطع وحده لا يستطيع أن يحسم ذلك.

**24.** الإزاحة الأفقية $200/\tan60{}^{\circ} = 115.5\,\mathrm{m}$، والانزلاق $200/\sin60{}^{\circ}
= 230.9\,\mathrm{m}$.

**25.** $\tan a = \tan60{}^{\circ}\cos30{}^{\circ} = 1.500$: $a = 56.3{}^{\circ}$، والإزاحة الظاهرية هي $200/1.5 = 133.3\,\mathrm{m}$. ينزلق الصدع إلى أسفل الانحدار باتجاه $120{}^{\circ}$: والمقطع على طول $120{}^{\circ}$ يُظهر الأطوال الحقيقية ولذا ينبغي أن يكون هو المرمَّم.

**26.** الصدع يقطع الطيات، فهو إذن أحدث، ويُرمَّم أولًا، فيُعاد الجدار المعلّق صعودًا على طول الصدع بمقدار $230.9\,\mathrm{m}$؛ ثم تُفرد الطيات. تُوضع خطوط التثبيت على الأسطح المحورية للطيات المقعّرة، في الجدار المرتكز، حيث لم يكن للطيات المتناظرة انزلاق بين الطبقات.

**27.** يغوص محور طيّة فاردن **$1.9{}^{\circ}$** نحو الشمال (الاتجاه $359.7{}^{\circ}$): $2{}^{\circ}$ المدمجة في المنطقة، المستعادة إلى $0.3{}^{\circ}$ التي تسمح بها الاثنتا عشرة قراءة.