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title: "Modelización de elementos en trazas"
book: "Ciencias de la Tierra y del espacio universitarias — tercer año"
subject: earth
language: es
chapter: 12
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/5/es/chapter/12-modelizacion-de-elementos-en-trazas
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Capítulo 12 — Modelización de elementos en trazas

Dos basaltos entraron en erupción en la misma isla, separados por pocos kilómetros. Uno tiene más de una vez y media más lantano que el otro, y casi cuatro veces menos iterbio. ¿Se fundieron a partir de dos mantos distintos, o de un mismo manto fundido en distinta medida, o a profundidades diferentes? Los elementos mayoritarios apenas permiten distinguirlo: ambas son basaltos. Los elementos en trazas, que siguen a los minerales sin alterarlos, guardan un registro de cuánto fundido se formó, de cómo abandonó su fuente y de qué minerales quedaron retenidos. Este capítulo escribe ese registro en forma de ecuaciones y lo interpreta a partir de ellas.

**Lo que ya sabes.**

El coeficiente de reparto mineral–fundido $D$, el coeficiente de reparto global, los elementos compatibles e incompatibles, las tierras raras, la condrita CI y el manto primitivo, los diagramas normalizados y la anomalía de europio, MORB y OIB se encuentran en el volumen de segundo año, en su capítulo sobre los elementos en la Tierra. La peridotita, la lherzolita, la fusión parcial y la fracción de fundido $F$ están en su capítulo sobre la fusión del manto; la cristalización en equilibrio y la fraccionada, la ley de fraccionamiento de Rayleigh, la mezcla y la asimilación–cristalización fraccionada (AFC), en su capítulo sobre la diferenciación magmática. Allí se demostró la constancia de la razón entre dos elementos muy incompatibles durante la cristalización.

## 12.1 El balance de masa de una roca en fusión

Una roca de masa 1 se funde. A una fracción de fundido $F$ ha generado una masa $F$ de fundido y conserva una masa $1 - F$ de residuo sólido. Un elemento traza presente en la fuente a la concentración $C_0$ se reparte entre ambos; su concentración en el fundido es $C_L$, en el residuo $C_S$. Todo modelo de este capítulo es una forma de un único balance, $C_0 = FC_L + (1 - F)C_S$ para el conjunto de fundido y residuo, y una regla que vincula $C_S$ con $C_L$: en el contacto entre un cristal y el fundido, $C_{\text{mineral}} = D\,C_L$. Los modelos difieren en qué está en contacto con qué y cuándo.

Los coeficientes de reparto de los minerales del manto difieren mucho. En una recopilación, el lantano tiene $D = 0.058$ en clinopiroxeno y $0.001$ en granate, olivino, ortopiroxeno y espinela; el iterbio tiene $D = 0.58$ en clinopiroxeno, $4.5$ en granate y $0.16$ en los otros tres. El granate incorpora las tierras raras pesadas y rechaza las ligeras.

**Definición 12.1 (Fusión no modal).**

En la *fusión no modal*, los minerales de la fuente pasan al fundido en proporciones $p_i$ que difieren de sus fracciones másicas $x_i$ en la fuente. El fundido ve entonces el coeficiente de reparto global de la fuente, $D_0 = \sum_i x_iD_i$, al inicio, y el coeficiente ponderado por la fusión, $P = \sum_i p_iD_i$, a medida que esta avanza.

La fusión rara vez es modal. En un ejemplo resuelto de lherzolita de espinela con $58\,\%$ de olivino, $27\,\%$ de ortopiroxeno, $12\,\%$ de clinopiroxeno y $3\,\%$ de espinela, los minerales pasan al fundido en las proporciones 20, 25, 45 y $10\,\%$: el clinopiroxeno se funde cuatro veces más deprisa que su proporción, y el olivino tres veces más despacio.

**Proposición 12.2 (Coeficiente de reparto global del residuo).**

En la [fusión no modal](#def-b3-trace-element-modelling-nonmodal) con $p_i$ constante, el residuo a la fracción de fundido $F$ tiene el coeficiente de reparto global

$$
\bar D(F) = \frac{D_0 - PF}{1 - F},
$$

válida mientras permanezca cada mineral, es decir, para $F < x_i/p_i$ para cada $i$.

**Demostración.** Por unidad de masa de fuente, la masa del mineral $i$ que queda a $F$ es $x_i - p_iF$, y el residuo tiene masa $1 - F$. Su coeficiente global es la media ponderada por masa de los valores, $\sum_i (x_i - p_iF)D_i/(1 - F) = (D_0 - PF)/(1 - F)$. Un mineral se agota cuando $x_i - p_iF = 0$. ∎

Con los coeficientes minerales anteriores, la lherzolita de espinela del ejemplo resuelto y una lherzolita de granate mantenida a $5\,\mathrm{GPa}$ y $1400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en el laboratorio, con $54.1\,\%$ de olivino, $9.8\,\%$ de ortopiroxeno, $19.5\,\%$ de clinopiroxeno y $16.7\,\%$ de granate en masa, tienen los coeficientes globales siguientes.

| fuente | $D_{\mathrm{La}}$ | $D_{\mathrm{Sm}}$ | $D_{\mathrm{Yb}}$ |
| --- | --- | --- | --- |
| lherzolita de espinela | 0.0078 | 0.062 | 0.21 |
| lherzolita de granate | 0.012 | 0.107 | 0.97 |

El lantano es muy incompatible en ambas. El iterbio es moderadamente incompatible en la lherzolita de espinela y casi neutro en la lherzolita de granate. La diferencia entre las dos fuentes reside casi por completo en las tierras raras pesadas.

## 12.2 Fusión en equilibrio

**Teorema 12.3 (Fusión en equilibrio).**

En la *fusión en equilibrio*, el fundido permanece en equilibrio con la totalidad del residuo hasta salir en un único lote. Con un coeficiente de reparto global $D$ constante, el fundido y el residuo a la fracción de fundido $F$ tienen

$$
\frac{C_L}{C_0} = \frac{1}{D + F(1 - D)}, \qquad
\frac{C_S}{C_0} = \frac{D}{D + F(1 - D)}.
$$

**Demostración.** En el equilibrio, cada cristal del residuo contiene $D_iC_L$, de modo que el residuo contiene $C_S = DC_L$ de promedio. El balance $C_0 = FC_L + (1 - F)DC_L$ da $C_L$, y $C_S$ se obtiene a continuación. ∎

La fórmula es la ley de cristalización en equilibrio del volumen de segundo año leída al revés: en ambas, $F$ es la fracción de líquido en un sistema cerrado. Sus dos límites merecen conocerse. Cuando $F \to 0$, $C_L \to C_0/D$: la primera gota de fundido puede enriquecer un elemento como máximo en el factor $1/D$. Cuando $D \to 0$, $C_L \to
C_0/F$: un elemento perfectamente incompatible se diluye en el fundido, y su enriquecimiento depende solo de $F$. Para un elemento compatible, $D > 1$, el fundido es más pobre que la fuente, y tanto más cuanto menor es $F$.

**Proposición 12.4 (Fusión en equilibrio no modal).**

En la [fusión en equilibrio](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) con las proporciones de fusión $p_i$ de la [Definición 12.1](#def-b3-trace-element-modelling-nonmodal),

$$
\frac{C_L}{C_0} = \frac{1}{D_0 + F(1 - P)}.
$$

**Demostración.** El residuo contiene $\bar D(F)\,C_L$ (la [Proposición 12.2](#prop-b3-trace-element-modelling-residue)), de modo que $C_0 = FC_L + (1 - F)\bar D(F)C_L = C_L(F + D_0 - PF)$. ∎

Cuando $P$ supera a $D_0$, como ocurre con el lantano en el ejemplo resuelto, donde $D_0 =
0.0074$ y $P = 0.025$, el residuo pierde su mejor huésped, el clinopiroxeno, más deprisa que el resto. El fundido resulta entonces algo más rico de lo que predice la fusión modal, en menos de $2\,\%$ a $F = 0.1$ para el lantano (ejercicio 6), pero el residuo se queda sin clinopiroxeno a $F = 0.12/0.45 \approx 0.27$, y más allá de ese punto cambian los minerales y los coeficientes.

## 12.3 Fusión fraccionada y dinámica

El fundido de una peridotita se acumula a lo largo de los bordes de grano y puede escapar en cuanto queda conectado. El extremo opuesto a la [fusión en equilibrio](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) elimina cada gota en cuanto se forma.

**Teorema 12.5 (Fusión fraccionada).**

En la *fusión fraccionada*, cada incremento de fundido está en equilibrio con el residuo solo en el momento en que se forma, y después lo abandona. Con $D$ constante, cuando se ha extraído una masa total $F$ de fundido, el residuo y el fundido que se forma en ese momento cumplen

$$
\frac{C_S}{C_0} = (1 - F)^{1/D - 1}, \qquad
\frac{C_L}{C_0} = \frac{1}{D}(1 - F)^{1/D - 1}.
$$

**Demostración.** El residuo tiene masa $1 - F$ y concentración $C_S$. Cuando sale una masa $\mathrm dF$ de fundido a $C_L = C_S/D$, el elemento en el residuo disminuye en $\mathrm d[(1 - F)C_S] = -(C_S/D)\,\mathrm dF$. Desarrollando, $(1 - F)\,\mathrm dC_S = C_S(1 - 1/D)\,\mathrm dF$, de modo que $\mathrm dC_S/C_S = (1/D - 1)\,\mathrm d[-\ln(1 - F)]$. Integrando desde $C_S = C_0$ en $F = 0$ resulta $\ln(C_S/C_0) = (1/D - 1)\ln(1 - F)$, y $C_L = C_S/D$. ∎

Para un elemento incompatible, $1/D - 1$ es grande y positivo: el residuo queda empobrecido en pocas veces $D$ de fusión, y el fundido instantáneo cae desde $C_0/D$ hasta casi nada. Un residuo de [fusión fraccionada](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional) está mucho más empobrecido que uno de [fusión en equilibrio](#thm-b3-trace-element-modelling-batch). Los fundidos, sin embargo, no se extraen uno a uno: se acumulan en canales y se reúnen en charcos, y el [fundido fraccionado agregado](#def-b3-trace-element-modelling-fractional), definido más abajo, se dibuja con trazos en la figura.

![Enriquecimiento de un elemento en trazas en el fundido frente a la fracción de fundido, para cuatro coeficientes de reparto global. (a) Fundidos en equilibrio (continua) y fundidos fraccionados agregados (de trazos; para D = 1 ambos permanecen en 1). (b) Los fundidos instantáneos de la fusión fraccionada: un elemento con D = 0.01 se agota del residuo tras unos pocos por ciento de fusión.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-trace-element-modelling/fig-96ffa953cc6b.svg)

*Enriquecimiento de un elemento en trazas en el fundido frente a la fracción de fundido, para cuatro coeficientes de reparto global. (a) Fundidos en equilibrio (continua) y [fundidos fraccionados agregados](#def-b3-trace-element-modelling-fractional) (de trazos; para $D = 1$ ambos permanecen en 1). (b) Los fundidos instantáneos de la [fusión fraccionada](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional): un elemento con $D = 0.01$ se agota del residuo tras unos pocos por ciento de fusión.*

**Definición 12.6 (Fundido fraccionado agregado).**

El *fundido fraccionado agregado* es la mezcla de todos los fundidos instantáneos de una [fusión fraccionada](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional) desde $0$ hasta $F$, acumulados sin reacción posterior con el residuo.

**Proposición 12.7 (Composición del fundido agregado).**

Con un $D$ constante, el [fundido fraccionado agregado](#def-b3-trace-element-modelling-fractional) cumple

$$
\frac{\bar C_L}{C_0} = \frac{1 - (1 - F)^{1/D}}{F}.
$$

**Demostración.** El elemento extraído es la fuente menos el residuo, $C_0 - (1 - F)C_S = C_0[1 - (1 - F)^{1/D}]$ según el [Teorema 12.5](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional), repartido sobre una masa $F$ de fundido. ∎

Cuando $(1 - F)^{1/D}$ es pequeño, el fundido agregado contiene todo el elemento y $\bar C_L \approx C_0/F$, sea cual sea $D$: para elementos muy incompatibles, los [fundidos fraccionados agregados](#def-b3-trace-element-modelling-fractional) y los fundidos en equilibrio con $D$ pequeño coinciden, y ambos miden $F$.

La fusión real se sitúa entre los dos extremos. El residuo retiene algo de fundido en sus poros, y el fundido que sale es el exceso por encima de esa porosidad.

**Definición 12.8 (Fusión dinámica).**

En la *fusión dinámica* (también llamada fusión continua), el residuo conserva una fracción másica constante $\phi$ de fundido en sus poros, en equilibrio con sus cristales, y todo el fundido producido más allá de esa cantidad se extrae.

**Proposición 12.9 (Fusión dinámica).**

La [fusión dinámica](#def-b3-trace-element-modelling-dynamic) con porosidad $\phi$ es una [fusión fraccionada](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional) con el coeficiente de reparto efectivo $D' = (1 - \phi)D + \phi$, donde $F$ es la fracción másica de fundido extraída:

$$
\frac{C_L}{C_0} = \frac{1}{D'}(1 - F)^{1/D' - 1}.
$$

**Demostración.** El residuo está formado por cristales con la fracción $1 - \phi$ y por fundido de poros con la fracción $\phi$, ambos en equilibrio con el fundido a $C_L$, de modo que $C_S = [(1 - \phi)D + \phi]C_L = D'C_L$. La demostración del [Teorema 12.5](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional) se aplica entonces con $D'$. ∎

Para $\phi = 0$ el modelo es la [fusión fraccionada](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional); para $\phi \to 1$ se aproxima a la [fusión en equilibrio](#thm-b3-trace-element-modelling-batch). Una porosidad del uno por ciento limita el enriquecimiento del primer fundido a $1/\phi = 100$, por pequeño que sea $D$: el fundido de poros amortigua el residuo.

![Tres formas de que el fundido salga de una fuente en fusión. (a) En equilibrio: el fundido permanece con todo el residuo y sale después. (b) Fraccionada: cada incremento sale de inmediato; los incrementos acumulados forman el fundido agregado. (c) Dinámica: el residuo conserva una pequeña fracción másica de fundido en sus poros.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-trace-element-modelling/fig-0d81dec0b84e.svg)

*Tres formas de que el fundido salga de una fuente en fusión. (a) En equilibrio: el fundido permanece con todo el residuo y sale después. (b) Fraccionada: cada incremento sale de inmediato; los incrementos acumulados forman el fundido agregado. (c) Dinámica: el residuo conserva una pequeña fracción másica $\phi$ de fundido en sus poros.*

## 12.4 Fusión y cristalización

Un fundido que sale de su fuente rara vez llega a la superficie sin cambios. Va cristalizando olivino, luego piroxeno y plagioclasa durante el ascenso, puede asimilar roca de caja y puede mezclarse con otros lotes. Las leyes del volumen de segundo año se aplican por turnos: una lava es un fundido de fracción $F$ de su fuente, y después un líquido que ha conservado una fracción $f$ de su masa mediante cristalización fraccionada, de modo que, para un elemento con $D$ en el residuo de fusión y $D_c$ en los minerales que cristalizan,

$$
C_{\text{lava}} = C_0\,\frac{1}{D + F(1 - D)}\,f^{\,D_c - 1}.
$$

El segundo factor es el mismo para todos los elementos que los minerales en cristalización rechazan, $D_c \approx 0$: los escala a todos por $1/f$. Los cocientes entre tales elementos quedan, por tanto, fijados en la fuente, y una lava que ha perdido olivino conserva el cociente La/Yb de su fundido primario mientras su lantano aumenta. Invertir $F$ a partir de una concentración requiere también $f$; invertir la fuente a partir de un cociente no lo requiere. La plagioclasa es la excepción entre las tierras raras: incorpora europio, y su eliminación deja la anomalía de europio del volumen de segundo año.

## 12.5 Interpretación de los patrones de tierras raras

Un fundido de una lherzolita de espinela y un fundido de una lherzolita de granate comparten sus tierras raras ligeras, que ningún residuo retiene, y difieren en las pesadas, que retiene el granate. En un diagrama normalizado a condrita, los fundidos de granate son empinados y de fondo plano en el extremo pesado; los de espinela son más suaves. La pendiente aumenta a medida que $F$ disminuye.

![Patrones de tierras raras normalizados a condrita de fundidos de fusión en equilibrio de una fuente de manto primitivo, a partir de una lherzolita de espinela (círculos azules) y una lherzolita de granate (cuadrados rojos), a tres fracciones de fundido; la fuente es la línea fina. Solo se representan las nueve tierras raras con coeficientes de reparto tabulados.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-trace-element-modelling/fig-942ac983e682.svg)

*Patrones de tierras raras normalizados a condrita de fundidos de [fusión en equilibrio](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) de una fuente de manto primitivo, a partir de una lherzolita de espinela (círculos azules) y una lherzolita de granate (cuadrados rojos), a tres fracciones de fundido; la fuente es la línea fina. Solo se representan las nueve tierras raras con coeficientes de reparto tabulados.*

El granate cede el paso a la espinela como mineral aluminoso del manto, entre unos 60 y $90\,\mathrm{km}$ de profundidad. Un fundido cuyas tierras raras pesadas son planas y bajas, con una pendiente pronunciada de ligeras a pesadas, ha dejado, por tanto, granate en su residuo y ha empezado a fundirse al menos a esa profundidad.

Un patrón mezcla dos incógnitas, $F$ y la fuente. Representar dos elementos uno frente a otro permite separarlas.

**Definición 12.10 (Diagrama razón–razón).**

Un *diagrama razón–razón* representa, para una serie de lavas, la razón entre un elemento muy incompatible $H$ y otro menos incompatible $M$ frente a la concentración de $H$ (o frente a otra razón). La fusión parcial, la cristalización y la mezcla dibujan líneas de distintas formas en él.

**Proposición 12.11 (La recta de fusión en equilibrio).**

Para fundidos de [fusión en equilibrio](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) de una fuente con $D_H = 0$ y un $D_M$ constante, los puntos $(C_H, C_H/C_M)$ se sitúan sobre la recta

$$
\frac{C_H}{C_M} = \frac{D_M}{C_0^M}\,C_H + \frac{C_0^H(1 - D_M)}{C_0^M}.
$$

**Demostración.** Con $D_H = 0$, $C_H = C_0^H/F$, luego $1/F = C_H/C_0^H$. Entonces $C_H/C_M = (C_0^H/F)\,(D_M + F(1 - D_M))/C_0^M = C_0^HD_M/(FC_0^M) +
C_0^H(1 - D_M)/C_0^M$, y el primer término es $(D_M/C_0^M)\,C_H$. ∎

La cristalización fraccionada de minerales que rechazan ambos elementos desplaza una lava horizontalmente en este diagrama, ya que la razón no cambia; la fusión la desplaza a lo largo de una recta inclinada cuya pendiente crece con $D_M$; la mezcla de dos fundidos dibuja una hipérbola. Una fuente con granate tiene un $D_{\mathrm{Yb}}$ grande y, por tanto, una recta de fusión empinada en La/Yb frente a La.

**Método 12.12 (Invertir dos lavas).**

(1) Se comprueba que las lavas son cogenéticas y que $H$ es mucho más incompatible que $M$. (2) Se corrige cada lava por cristalización, o se usan solo razones. (3) Con dos o más lavas, se ajusta la recta $C_H/C_M = aC_H + b$. (4) Entonces $a = D_M/C_0^M$ y $b = C_0^H(1 - D_M)/C_0^M$: suponiendo conocido $C_0^M$, $D_M =
aC_0^M$ y $C_0^H = bC_0^M/(1 - D_M)$. (5) La fracción de fundido de cada lava es $F = C_0^H/C_H$.

![Fundidos de fusión en equilibrio de una fuente de manto primitivo en un diagrama de La/Yb frente a La, para una lherzolita de espinela y una de granate, con marcas en F = 1, 2, 5, 10 y 20\,\%, y las dos lavas inventadas del problema de fin de semana. Cada lava se sitúa sobre una sola curva.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-trace-element-modelling/fig-e31b44de4df3.svg)

*Fundidos de [fusión en equilibrio](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) de una fuente de manto primitivo en un diagrama de La/Yb frente a La, para una lherzolita de espinela y una de granate, con marcas en $F = 1$, 2, 5, 10 y $20\,\%$, y las dos lavas inventadas del problema de fin de semana. Cada lava se sitúa sobre una sola curva.*

En escala logarítmica la recta de la proposición se curva, y con $D_{\mathrm{La}} \ne 0$ solo es casi recta en ejes lineales; las curvas de la figura son exactas. Una fuente de espinela no puede producir un fundido con razón La/Yb superior a $(C_0^{\mathrm{La}}/D_{\mathrm{La}})/(C_0^{\mathrm{Yb}}/D_{\mathrm{Yb}})$, unas 40 para el manto primitivo; una fuente de granate puede alcanzar unas 120.

## 12.6 Ejercicios

**Ejercicio 12.1 ★.**

Con los coeficientes minerales del samario, 0.40 en clinopiroxeno, 0.11 en granate y 0.016 en olivino, ortopiroxeno y espinela, calcúlese el coeficiente de reparto global del samario en la lherzolita de espinela ($12\,\%$ de clinopiroxeno) y en la lherzolita de granate ($19.5\,\%$ de clinopiroxeno, $16.7\,\%$ de granate) del capítulo.

**Solución de Ejercicio 12.1.**

Lherzolita de espinela: $0.12\times0.40 + 0.88\times0.016 = 0.048 + 0.0141 =
0.062$. Lherzolita de granate: $0.195\times0.40 + 0.167\times0.11 +
0.639\times0.016 = 0.078 + 0.0184 + 0.0102 = 0.107$.

**Ejercicio 12.2 ★.**

Un elemento con $D = 0.05$ está presente a $1\,\mathrm{ppm}$ en una fuente. Calcúlese su concentración en los fundidos de [fusión en equilibrio](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) para $F = 0.02$ y $0.10$.

**Solución de Ejercicio 12.2.**

$1/(0.05 + 0.02\times0.95) = 1/0.069 = 14.5\,\mathrm{ppm}$; $1/(0.05 + 0.10\times0.95) = 1/0.145 = 6.9\,\mathrm{ppm}$.

**Ejercicio 12.3 ★.**

¿Cuál es el mayor enriquecimiento $C_L/C_0$ que la [fusión en equilibrio](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) puede dar a un elemento con $D = 0.01$? ¿Y a un elemento con $D = 0$ para $F = 5\,\%$?

**Solución de Ejercicio 12.3.**

El enriquecimiento es máximo cuando $F \to 0$: $1/D = 100$. Con $D = 0$, $C_L/C_0 = 1/F = 20$.

**Ejercicio 12.4 ★.**

Una lava contiene $30\,\mathrm{ppm}$ de La y $2.5\,\mathrm{ppm}$ de Yb. Con los valores de la condrita CI, La 0.232 e Yb $0.163\,\mathrm{ppm}$, calcúlese su razón La/Yb y su $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N$ normalizada a condrita.

**Solución de Ejercicio 12.4.**

$\mathrm{La/Yb} = 30/2.5 = 12.0$; $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N =
(30/0.232)/(2.5/0.163) = 129.3/15.34 = 8.4$.

**Ejercicio 12.5 ★★.**

Para un elemento con $D = 0.01$, compárense los residuos tras un $5\,\%$ de [fusión en equilibrio](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) y de [fusión fraccionada](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional). ¿Qué contiene el fundido fraccionado instantáneo en ese momento?

**Solución de Ejercicio 12.5.**

[Fusión en equilibrio](#thm-b3-trace-element-modelling-batch): $C_S/C_0 = 0.01/(0.01 + 0.05\times0.99) = 0.168$. [Fusión fraccionada](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional): $(0.95)^{99} = 0.0062$, 27 veces menor. El fundido instantáneo contiene $0.0062/0.01 = 0.62\,C_0$: menor que la fuente.

**Ejercicio 12.6 ★★.**

En el ejemplo resuelto del capítulo (modas 58, 27, 12, $3\,\%$; proporciones de fusión 20, 25, 45, $10\,\%$ para olivino, ortopiroxeno, clinopiroxeno y espinela), el lantano tiene los coeficientes 0.0003, 0.002, 0.053 y 0.01. Calcúlense $D_0$ y $P$, y después el enriquecimiento del lantano en el fundido de [fusión en equilibrio](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) para $F = 0.02$ y $0.10$, no modal y modal.

**Solución de Ejercicio 12.6.**

$D_0 = 0.58\times0.0003 + 0.27\times0.002 + 0.12\times0.053 + 0.03\times0.01
= 0.00737$; $P = 0.20\times0.0003 + 0.25\times0.002 + 0.45\times0.053 +
0.10\times0.01 = 0.0254$. Para $F = 0.02$: [fusión no modal](#def-b3-trace-element-modelling-nonmodal) $1/(0.00737 +
0.02\times0.9746) = 37.2$, modal $1/(0.00737 + 0.02\times0.9926) = 36.7$. Para $F = 0.10$: 9.54 y 9.38, $1.7\,\%$ de diferencia.

**Ejercicio 12.7 ★★.**

Para $F = 0.10$, compárense el fundido de [fusión en equilibrio](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) y el [fundido fraccionado agregado](#def-b3-trace-element-modelling-fractional) para $D = 0.1$ y para $D = 0.01$. ¿Cuál de los dos difiere más, y por qué?

**Solución de Ejercicio 12.7.**

$D = 0.1$: [fusión en equilibrio](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) $1/(0.1 + 0.09) = 5.26$; [fundido fraccionado agregado](#def-b3-trace-element-modelling-fractional) $(1 - 0.9^{10})/0.1 =
6.51$. $D = 0.01$: [fusión en equilibrio](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) $1/(0.01 + 0.099) = 9.17$; [fundido fraccionado agregado](#def-b3-trace-element-modelling-fractional) $(1 - 0.9^{100})/0.1 = 10.00$. El par con $D = 0.1$ difiere más: para $D = 0.01$ ambos fundidos ya contienen casi todo el elemento, y ambos tienden a $1/F$.

**Ejercicio 12.8 ★★.**

Un elemento con $D = 0.001$ se funde dinámicamente con $\phi = 0.01$. Calcúlense $D'$, el enriquecimiento del primer fundido extraído y el del fundido extraído a $F = 0.01$; compárese con la [fusión fraccionada](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional).

**Solución de Ejercicio 12.8.**

$D' = 0.99\times0.001 + 0.01 = 0.01099$. Primer fundido: $1/D' = 91$, frente a 1000 en [fusión fraccionada](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional). Para $F = 0.01$: $91\times0.99^{90.0} = 36.8$, frente a $1000\times0.99^{999} = 0.044$: el fundido intersticial impide que el residuo se empobrezca.

**Ejercicio 12.9 ★★.**

En la lherzolita de espinela del capítulo, $D_{\mathrm{La}} = 0.0078$ y $D_{\mathrm{Sm}} = 0.062$. ¿En qué factor la [fusión en equilibrio](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) eleva la razón La/Sm por encima del valor de la fuente para $F = 0.01$ y para $F = 0.10$? ¿Qué indica eso sobre el uso de razones para estimar $F$?

**Solución de Ejercicio 12.9.**

La razón aumenta en un factor $(D_{\mathrm{Sm}} + F(1 - D_{\mathrm{Sm}}))/(D_{\mathrm{La}}
+ F(1 - D_{\mathrm{La}}))$: para $F = 0.01$, $0.0714/0.0177 = 4.0$; para $F = 0.10$, $0.156/0.107 = 1.46$. La razón es sensible a $F$ para valores pequeños de $F$ y casi insensible por encima de unos $10\,\%$; depende también de $D_{\mathrm{Sm}}$, por tanto, de los minerales residuales.

**Ejercicio 12.10 ★★★.**

Demuéstrese que el [fundido fraccionado agregado](#def-b3-trace-element-modelling-fractional) es la media de los fundidos instantáneos desde 0 hasta $F$, y que tiende a $C_0/F$ cuando $(1 - F)^{1/D} \to 0$. Para $D = 0.01$, ¿a partir de qué $F$ está dentro del $1\,\%$ de $C_0/F$?

**Solución de Ejercicio 12.10.**

$\frac1F\int_0^F \frac1D(1 - x)^{1/D - 1}\,\mathrm dx = \frac1F\bigl[-(1 -
x)^{1/D}\bigr]_0^F = [1 - (1 - F)^{1/D}]/F$, la fórmula del capítulo; si $(1 - F)^{1/D} \to 0$, tiende a $1/F$ veces $C_0$. Dentro de $1\,\%$: $(1 - F)^{100} < 0.01$, $F > 1 - 0.01^{0.01} = 0.045$, aproximadamente $4.5\,\%$.

**Ejercicio 12.11 ★★★.**

Dos lavas cogenéticas P y Q tienen La de 20 y $10\,\mathrm{ppm}$, y La/Yb de 10 y 6. Suponiendo el lantano perfectamente incompatible y una fuente con $0.44\,\mathrm{ppm}$ de Yb, aplíquese el método del capítulo: calcúlense $D_{\mathrm{Yb}}$, el La de la fuente y la fracción de fusión de cada lava.

**Solución de Ejercicio 12.11.**

Pendiente $a = (10 - 6)/(20 - 10) = 0.40\,\mathrm{ppm}^{-1}$; ordenada en el origen $b = 10 -
0.40\times20 = 2.0$. $D_{\mathrm{Yb}} = 0.40\times0.44 = 0.176$; $C_0^{\mathrm{La}} = 2.0\times0.44/0.824 = 1.07\,\mathrm{ppm}$. $F_P = 1.07/20 =
5.3\,\%$, $F_Q = 1.07/10 = 10.7\,\%$.

**Ejercicio 12.12 ★★★.**

En la [fusión no modal](#def-b3-trace-element-modelling-nonmodal) del ejercicio 6, ¿a qué fracción de fusión se agota cada mineral? Calcúlese el coeficiente global del residuo para el lantano en $F = 0.2$, y explíquese por qué la fórmula del capítulo no puede usarse más allá del primer agotamiento.

**Solución de Ejercicio 12.12.**

$F = x_i/p_i$: clinopiroxeno $0.12/0.45 = 0.27$, espinela $0.03/0.10 = 0.30$, ortopiroxeno $0.27/0.25 = 1.08$, olivino $0.58/0.20 = 2.9$; clinopiroxeno se funde primero. Para $F = 0.2$: $\bar D = (0.00737 - 0.0254\times0.2)/0.8 =
0.0029$. Más allá de $F = 0.27$ cambian los $p_i$ (ya no queda clinopiroxeno que fundir), y la fórmula, que supone $p_i$ constantes, deja de ser aplicable.

## 12.7 Problema: dos lavas de la isla de Aldren

**Problema 12.1.**

Problema de fin de semana — la fuente, la profundidad y el grado de fusión de dos basaltos inventados, a partir de su lantano e iterbio

En la isla de Aldren, una isla volcánica inventada, la lava A contiene $9.6\,\mathrm{ppm}$ de La y $1.7\,\mathrm{ppm}$ de Yb, la lava B $15.6\,\mathrm{ppm}$ de La y $0.45\,\mathrm{ppm}$ de Yb. Ambas se toman como fundidos primarios de una fuente de manto primitivo con $0.648\,\mathrm{ppm}$ de La y $0.441\,\mathrm{ppm}$ de Yb (condrita CI: La 0.232, Yb $0.163\,\mathrm{ppm}$). Coeficientes minerales: La 0.058 en clinopiroxeno y 0.001 en granate y en olivino, ortopiroxeno y espinela; Yb 0.58 en clinopiroxeno, 4.5 en granate y 0.16 en olivino, ortopiroxeno y espinela. La lherzolita de espinela tiene $58\,\%$ de olivino, $27\,\%$ de ortopiroxeno, $12\,\%$ de clinopiroxeno, $3\,\%$ de espinela; la lherzolita de granate $54.1\,\%$ de olivino, $9.8\,\%$ de ortopiroxeno, $19.5\,\%$ de clinopiroxeno, $16.7\,\%$ de granate. La fusión es modal.

**Parte I — Las dos fuentes.**

1. Calcúlense $D_{\mathrm{La}}$ y $D_{\mathrm{Yb}}$ de la lherzolita de espinela.
2. Calcúlense para la lherzolita de granate. Redondéense los cuatro a dos cifras significativas cifras significativas para el resto del problema.
3. ¿Qué coeficiente difiere más entre las fuentes, y por qué? ¿Es el iterbio compatible en la lherzolita de granate?
4. Calcúlese el $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N$ normalizado a condrita de la fuente. ¿Qué aspecto tiene su patrón?

**Parte II — Fusión en equilibrio del lava A.**

5. Calcúlese el La en fundidos en equilibrio de la lherzolita de espinela para $F = 1$ , 5 y $10\,\%$ .
6. Búsquese la fracción de fundido que da al lava A su lantano.
7. Prediganse su iterbio y su La/Yb, y compárense con los del lava A.
8. Calcúlense el La y el Yb en el residuo, y la fracción del lantano de la fuente que queda en él.
9. ¿Qué fracción de fundido se obtendría si se tomara el lantano como perfectamente incompatible?

**Parte III — Fusión fraccionada del lava A.**

10. Calcúlese el La en el fundido fraccionado instantáneo para $F = 0.1$ , 1 y $6\,\%$ .
11. Calcúlese el La en el [fundido fraccionado agregado](#def-b3-trace-element-modelling-fractional) para $F = 6.0\,\%$ .
12. Búsquese la fracción de fundido a la que el fundido agregado tiene el lantano del lava A. ¿Por qué es tan próxima a la respuesta de la pregunta 9?
13. Compárese el lantano del residuo con el de la pregunta 8.
14. ¿Qué estimación de $F$ se conserva?

**Parte IV — Lava B y granate.**

15. Calcúlense La/Yb y $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N$ de ambas lavas.
16. ¿Cuál es el mayor La/Yb que puede alcanzar un fundido en equilibrio de la lherzolita de espinela?
17. ¿A qué fracción de fundido tendría un fundido de lherzolita de espinela el La/Yb del lava B, y cuánto lantano contendría? Concluyase.
18. Búsquese la fracción de fundido del lava B a partir de su lantano, para la lherzolita de granate, y prediganse su iterbio.
19. ¿Qué dicen las dos fuentes sobre las profundidades a las que empezaron a fundirse A y B? ¿Podría el lava A proceder de la lherzolita de granate?
20. Calcúlense la pendiente y la ordenada en el origen de la recta de [fusión en equilibrio](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) La/Yb $= a\, \mathrm{La} + b$ de la fuente de granate, con $D_{\mathrm{La}}$ tomado como cero, y compárese el lava B con ella.
21. Si el lava A hubiera perdido el $10\,\%$ de su masa como olivino antes de erupcionar, ¿cómo cambiarían su La/Yb y su fracción de fundido?
22. Respóndase a la pregunta de la apertura del capítulo para estas dos lavas.
23. Indíquese el grado de fusión del lava A.

**Solución de Problema 12.1.**

**1.** $D_{\mathrm{La}} = 0.12\times0.058 + 0.88\times0.001 = 0.00784$; $D_{\mathrm{Yb}} = 0.12\times0.58 + 0.88\times0.16 = 0.210$.

**2.** $D_{\mathrm{La}} = 0.195\times0.058 + 0.167\times0.001 +
0.639\times0.001 = 0.0121$; $D_{\mathrm{Yb}} = 0.195\times0.58 +
0.167\times4.5 + 0.639\times0.16 = 0.967$. Redondeado: 0.0078, 0.21, 0.012, 0.97.

**3.** $D_{\mathrm{Yb}}$, de 0.21 a 0.97, porque el granate retiene las tierras raras pesadas ($D = 4.5$). El iterbio sigue siendo muy ligeramente incompatible, $0.97 < 1$.

**4.** $(0.648/0.232)/(0.441/0.163) = 2.79/2.71 = 1.03$: un patrón plano aproximadamente 2.8 veces la condrita.

**5.** $0.648/(0.0078 + 0.01\times0.9922) = 36.6\,\mathrm{ppm}$; para $5\,\%$, $11.3\,\mathrm{ppm}$; para $10\,\%$, $6.05\,\mathrm{ppm}$.

**6.** $F = (0.648/9.6 - 0.0078)/0.9922 = (0.0675 - 0.0078)/0.9922 =
0.0602$, $6.0\,\%$.

**7.** $\mathrm{Yb} = 0.441/(0.21 + 0.0602\times0.79) = 1.71\,\mathrm{ppm}$ y La/Yb $= 5.6$; la lava A tiene 1.7 y 5.6: encaja con una fuente de espinela.

**8.** La $= 0.0078\times9.6 = 0.075\,\mathrm{ppm}$, Yb $= 0.21\times1.71 =
0.36\,\mathrm{ppm}$. Lantano restante: $0.940\times0.075/0.648 = 0.11$, aproximadamente $11\,\%$.

**9.** $F = 0.648/9.6 = 6.75\,\%$.

**10.** $(0.648/0.0078)(1 - F)^{127.2}$: $73\,\mathrm{ppm}$ a $0.1\,\%$, $23\,\mathrm{ppm}$ a $1\,\%$, $0.03\,\mathrm{ppm}$ a $6\,\%$.

**11.** $0.648\times(1 - 0.940^{128.2})/0.060 = 10.8\,\mathrm{ppm}$.

**12.** $F = 6.75\,\%$: para este $F$, $(1 - F)^{1/D} =
1.3 \times 10^{-4}$, por lo que el fundido agregado contiene todo el lantano de la fuente, y $\bar C_L = C_0/F$, como para un elemento perfectamente incompatible.

**13.** $0.648\times0.9325^{127.2} = 9 \times 10^{-5}\,\mathrm{ppm}$, unas 800 veces menor que los $0.075\,\mathrm{ppm}$ de la [fusión en equilibrio](#thm-b3-trace-element-modelling-batch).

**14.** Los dos modelos acotan la respuesta: $6.0\,\%$ ([fusión en equilibrio](#thm-b3-trace-element-modelling-batch)) a $6.75\,\%$ ([fundido fraccionado agregado](#def-b3-trace-element-modelling-fractional)). El lantano fija $F$ con un error de unos $1\,\%$ de fusión, sea cual sea el modelo.

**15.** A: La/Yb $= 5.6$, $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N =
(9.6/0.232)/(1.7/0.163) = 4.0$. B: La/Yb $= 34.7$, $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N
= (15.6/0.232)/(0.45/0.163) = 24.4$.

**16.** Cuando $F \to 0$: $(0.648/0.0078)/(0.441/0.21) = 83.1/2.10 = 39.6$.

**17.** $F = 0.11\,\%$, donde el fundido contendría $72\,\mathrm{ppm}$ de La y $2.1\,\mathrm{ppm}$ de Yb. La lava B tiene $15.6\,\mathrm{ppm}$ de La: una fuente de espinela no puede generarla.

**18.** $F = (0.648/15.6 - 0.012)/0.988 = 0.0299$, $3.0\,\%$; $\mathrm{Yb} = 0.441/(0.97 + 0.0299\times0.03) = 0.454\,\mathrm{ppm}$, como se observa.

**19.** El granate sustituye a la espinela en el intervalo de unos 60 a $90\,\mathrm{km}$: la lava B comenzó a fundirse a mayor profundidad que eso, la lava A a menor, en el campo de la espinela. Un fundido de lherzolita con granate con $9.6\,\mathrm{ppm}$ de La ($F \approx 5.6\,\%$) tendría una razón La/Yb cercana a 21, no 5.6: la lava A no procede de la lherzolita con granate.

**20.** $a = 0.97/0.441 = 2.20\,\mathrm{ppm}^{-1}$, $b = 0.648\times0.03/0.441
= 0.044$; con La $= 15.6$, La/Yb $= 2.20\times15.6 + 0.044 = 34.4$, frente a 34.7 de la lava B.

**21.** El olivino rechaza ambos elementos: La/Yb no cambia. El fundido primario tenía $9.6\times0.9 = 8.64\,\mathrm{ppm}$ de La, por lo que $F = (0.648/8.64 -
0.0078)/0.9922 = 6.8\,\%$ en lugar de 6.0.

**22.** Una misma fuente puede originar ambas lavas: la lava B es un fundido pequeño ($3\,\%$) que comenzó en el campo del granate, a mayor profundidad que unos 60 a $90\,\mathrm{km}$; la lava A es un fundido mayor en el campo de la espinela.

**23.** La lava A es un **$6.0\,\%$** de fundido por [fusión en equilibrio](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) de una lherzolita de espinela ($6.75\,\%$ si el fundido se extrajo de forma fraccionada y se agregó).