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title: "Dinámica oceánica"
book: "Ciencias de la Tierra y del espacio universitarias — tercer año"
subject: earth
language: es
chapter: 21
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/5/es/chapter/21-dinamica-oceanica
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Capítulo 21 — Dinámica oceánica

A través del estrecho de Florida, la corriente del Golfo transporta unos $32\,\mathrm{Sv}$ de agua hacia el norte, y crece a medida que sigue la costa hacia el norte, hasta unos $150\,\mathrm{Sv}$ cerca de $40{}^{\circ}$ N. Al otro lado del mismo océano, frente a Portugal y el norte de África, nada parecido fluye hacia el sur: el agua que transporta la corriente del Golfo al norte regresa hacia el ecuador como una deriva lenta y amplia a lo largo de miles de kilómetros de mar abierto. Todas las cuencas oceánicas del hemisferio norte presentan la misma forma asimétrica, con su corriente rápida en el lado occidental. La asimetría se debe al viento, a la fricción del mar y a un hecho relativo a la Tierra: el parámetro de Coriolis crece hacia el polo.

**Lo que ya sabes.**

La fuerza de marea de la Luna y del Sol, las mareas vivas y muertas, se estudian en los libros de física. La tensión del viento, la capa de Ekman, el transporte de Ekman y la espiral de Ekman, el afloramiento y el hundimiento, los giros, las corrientes de frontera occidental, el sverdrup ($1\,\mathrm{Sv} =
10^{6}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$), la circulación meridional de vuelco y la formación de aguas profundas están en el volumen de primer año, en su capítulo sobre la circulación oceánica; allí la tensión del viento se escribe $\vec T$, aquí $\vec\tau$. El parámetro de Coriolis, el plano $\beta$, el radio de Rossby y el equilibrio geostrófico se encuentran en el capítulo [19](https://one-course.com/books/earth/5/es/chapter/19-dinamica-de-fluidos-geofisicos#ch-b3-gfd-foundations); la vorticidad y la [vorticidad potencial](https://one-course.com/books/earth/5/es/chapter/20-dinamica-atmosferica#def-b3-atmospheric-dynamics-pv), en el capítulo [20](https://one-course.com/books/earth/5/es/chapter/20-dinamica-atmosferica#ch-b3-atmospheric-dynamics).

## 21.1 La capa de Ekman deducida

En el volumen de primer año el transporte de Ekman se obtuvo a partir de un balance de fuerzas sobre toda la capa, y la espiral de velocidades en su interior se enunció. Con una fricción turbulenta de viscosidad de remolino constante $A_z$, la espiral se deduce de las ecuaciones en unas pocas líneas. Se escribe la velocidad horizontal como un número complejo, $W = u + \mathrm iv$, y la tensión del viento como $\tau =
\tau_x + \mathrm i\tau_y$; una multiplicación por $-\mathrm i$ gira un vector $90{}^{\circ}$ en sentido horario, hacia su derecha vista desde arriba.

**Teorema 21.1 (Perfil de velocidades de una capa superficial estacionaria impulsada por el viento).**

En un océano estacionario, horizontalmente uniforme, de gran profundidad y densidad constante $\rho$, con una viscosidad de remolino vertical constante $A_z$ y el parámetro de Coriolis $f > 0$, la corriente impulsada por una tensión del viento $\tau$ es

$$
W(z) = W_0\,\mathrm e^{(1+\mathrm i)z/\delta},\qquad
W_0 = \frac{\tau}{\rho\sqrt{fA_z}}\,\mathrm e^{-\mathrm i\pi/4},\qquad
\delta = \sqrt{\frac{2A_z}{f}} ,
$$

para $z \le 0$. La corriente superficial gira $45{}^{\circ}$ a la derecha de la tensión; con la profundidad gira aún más a la derecha y decae como $\mathrm
e^{z/\delta}$; el transporte total $\int_{-\infty}^0 W\,\mathrm dz =
-\mathrm i\tau/(\rho f)$ es perpendicular a la tensión y queda a su derecha.

**Demostración.** Lejos de las costas no hay gradiente horizontal de presión en la capa, y la fuerza de Coriolis equilibra la fricción: $-fv = A_z u''$ y $fu =
A_z v''$, siendo los apóstrofos derivadas en $z$. Multiplicando la segunda por $\mathrm i$ y sumando se obtiene $A_zW'' = \mathrm ifW$. Sus soluciones son $\mathrm e^{\pm(1+\mathrm i)z/\delta}$, ya que $(1+\mathrm i)^2/\delta^2 =
2\mathrm i/\delta^2 = \mathrm if/A_z$; solo el signo más permanece acotado cuando $z \to -\infty$. En la superficie la tensión la transmite la fricción, $\rho A_zW'(0) = \tau$, luego $W_0 = \tau\delta/(\rho A_z(1+\mathrm i))$. Como $\delta/(\sqrt2 A_z) = 1/\sqrt{fA_z}$ y $1/(1+\mathrm i) = \mathrm
e^{-\mathrm i\pi/4}/\sqrt2$, esto es el $W_0$ enunciado. El factor $\mathrm e^{\mathrm iz/\delta}$ gira en sentido horario al disminuir $z$. Por último $\int_{-\infty}^0 W\,\mathrm dz = W_0\delta/(1+\mathrm i) =
\tau\delta^2/(\rho A_z(1+\mathrm i)^2) = \tau\delta^2/(2\mathrm i\rho A_z)
= -\mathrm i\tau/(\rho f)$. ∎

El teorema recupera los dos resultados del volumen de primer año: la corriente superficial de Ekman a $45{}^{\circ}$ y el transporte $\tau/(\rho f)$, perpendicular a la tensión e independiente de $A_z$, que nunca se conoce bien. A la profundidad $\pi\delta$ la corriente fluye en sentido contrario a la superficial, reducida por $\mathrm e^{-\pi}$, hasta $4\,\%$.

**Definición 21.2 (Profundidad de Ekman; bombeo de Ekman).**

La *profundidad de Ekman* es $D_E = \pi\delta =
\pi\sqrt{2A_z/f}$, la profundidad a la que la corriente de la espiral de Ekman fluye en sentido opuesto a la corriente superficial; mide el espesor de la capa de Ekman. El *bombeo de Ekman* es la velocidad vertical $w_E$ en la base de la capa de Ekman, forzada por la convergencia o divergencia del transporte de Ekman: hacia abajo donde los transportes convergen, hacia arriba, llamada a veces succión de Ekman, donde divergen.

**Proposición 21.3 (Bombeo de Ekman).**

Con la velocidad vertical nula en la superficie del mar, el [bombeo de Ekman](#def-b3-ocean-dynamics-ekman-pumping) es

$$
w_E = \operatorname{curl}_z\frac{\vec\tau}{\rho f}
= \frac{1}{\rho f}\Big(\frac{\partial\tau_y}{\partial x} -
\frac{\partial\tau_x}{\partial y}\Big) + \frac{\beta\tau_x}{\rho f^2} ,
$$

con signo positivo hacia arriba.

**Demostración.** El transporte de volumen de la capa es $(U_E, V_E) = (\tau_y,
-\tau_x)/(\rho f)$, el teorema escrito en componentes. Integrando la ecuación de continuidad $\partial w/\partial z = -(\partial u/\partial x +
\partial v/\partial y)$ a través de la capa, $w(0) - w_E = -(\partial
U_E/\partial x + \partial V_E/\partial y)$, luego $w_E = \partial_x(\tau_y/\rho
f) - \partial_y(\tau_x/\rho f)$. Desarrollando con $\mathrm df/\mathrm dy =
\beta$ se obtiene la segunda forma. ∎

Un viento que gira ciclónicamente sobre el mar, con rotacional positivo, hace subir agua desde debajo de la capa; un viento anticiclónico la empuja hacia abajo. Sobre los océanos subtropicales, los alisios soplan del este en el lado ecuatorial, y los vientos del oeste por el lado polar. Sus transportes de Ekman se dirigen hacia el norte bajo los alisios y hacia el sur bajo los vientos del oeste, convergen entre ellos: el agua superficial se acumula y se bombea hacia abajo, como muestra la figura siguiente. A lo largo de una costa donde el viento sopla con la costa a su izquierda (en el hemisferio norte), el transporte se aleja de la orilla y el afloramiento costero del volumen de primer año es una succión de Ekman concentrada contra una pared.

![Sección norte–sur a través de un giro subtropical del hemisferio norte, con el este hacia el interior de la página. Los transportes de Ekman bajo los alisios y los vientos del oeste convergen, el agua se bombea hacia abajo, y las columnas inferiores, aplastadas, se desplazan hacia el ecuador, donde f es menor, para conservar su vorticidad potencial.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-ocean-dynamics/fig-f0b0d05035af.svg)

*Sección norte–sur a través de un giro subtropical del hemisferio norte, con el este hacia el interior de la página. Los transportes de Ekman bajo los alisios y los vientos del oeste convergen, el agua se bombea hacia abajo, y las columnas inferiores, aplastadas, se desplazan hacia el ecuador, donde $f$ es menor, para conservar su [vorticidad potencial](https://one-course.com/books/earth/5/es/chapter/20-dinamica-atmosferica#def-b3-atmospheric-dynamics-pv).*

## 21.2 El equilibrio de Sverdrup

Por debajo de la capa de Ekman el océano es geostrófico. Una columna de agua que es aplastada por el [bombeo de Ekman](#def-b3-ocean-dynamics-ekman-pumping) debe, para conservar su [vorticidad potencial](https://one-course.com/books/earth/5/es/chapter/20-dinamica-atmosferica#def-b3-atmospheric-dynamics-pv) $f/h$, desplazarse hacia donde $f$ es menor: hacia el ecuador. En 1947 H. U. Sverdrup cuantificó el argumento para toda la profundidad del flujo impulsado por el viento.

**Teorema 21.4 (Equilibrio de Sverdrup).**

En un océano estacionario en el que los términos no lineales y la fricción lateral son despreciables, el interior es geostrófico por debajo de la capa de Ekman, y la velocidad vertical se anula a cierta profundidad $-H$, el transporte total de volumen hacia el norte por unidad de anchura del flujo impulsado por el viento obedece al *equilibrio de Sverdrup*

$$
\beta V = \frac{1}{\rho}\operatorname{curl}_z\vec\tau
= \frac{1}{\rho}\Big(\frac{\partial\tau_y}{\partial x} -
\frac{\partial\tau_x}{\partial y}\Big) .
$$

**Demostración.** En el interior geostrófico $fv_g = \rho^{-1}\partial p/\partial x$ y $fu_g = -\rho^{-1}\partial p/\partial y$. Por tanto $\partial_x(fu_g) +
\partial_y(fv_g) = 0$, es decir, $f(\partial_xu_g + \partial_yv_g) + \beta
v_g = 0$, y con la continuidad, $\beta v_g = f\,\partial w/\partial z$. Integrando desde $-H$, donde $w = 0$, hasta la base de la capa de Ekman, donde $w = w_E$, se obtiene $\beta V_g = fw_E$. Por la [Proposición 21.3](#prop-b3-ocean-dynamics-pumping), $fw_E = \rho^{-1}\operatorname{curl}_z
\vec\tau + \beta\tau_x/(\rho f)$. Sumando el transporte de Ekman $V_E =
-\tau_x/(\rho f)$, multiplicado por $\beta$, cancela el último término: $\beta(V_g + V_E) = \rho^{-1}\operatorname{curl}_z\vec\tau$. ∎

El equilibrio es notable por lo que no necesita: ni la profundidad del flujo, ni su estructura vertical, ni la viscosidad de remolino, solo el rotacional del viento y $\beta$. Sverdrup lo dedujo de las ecuaciones de movimiento integradas hasta una profundidad de no movimiento, y lo contrastó con las secciones hidrográficas de los buques de investigación *Carnegie* y *Bushnell* en el Pacífico tropical oriental, entre $34{}^{\circ}$ N y $10{}^{\circ}$ S, con una profundidad de no movimiento de $1000\,\mathrm{m}$: los transportes calculados a partir del viento coincidían con los calculados a partir del campo de densidad, incluso donde las corrientes iban en contra del viento. Trabajos posteriores con vientos de mejor calidad hallaron el mejor acuerdo con una profundidad de no movimiento cercana a $500\,\mathrm{m}$, y las medidas del esfuerzo medio en el Pacífico ecuatorial en 1999 hallaron que el flujo allí se hallaba en [equilibrio de Sverdrup](#thm-b3-ocean-dynamics-sverdrup). Si el equilibrio se cumple en todas partes es más difícil de demostrar que de suponer: casi toda teoría de la circulación oceánica parte de él.

Considérese la cuenca ficticia del problema de este capítulo: entre $20{}^{\circ}$ y $50{}^{\circ}$ N, de $6000\,\mathrm{km}$ de anchura, bajo un esfuerzo zonal $\tau_x =
-\tau_0\cos(\pi(\varphi - 20{}^{\circ})/30{}^{\circ})$ con $\tau_0 =
0.1\,\mathrm{Pa}$, de componente este en $20{}^{\circ}$ N, de componente oeste en $50{}^{\circ}$ N, nulo en $35{}^{\circ}$ N. En casi toda la cuenca el rotacional del esfuerzo es negativo: el agua se bombea hacia abajo, unos $35\,\mathrm{m}$ al año a $35{}^{\circ}$ N, y el interior fluye hacia el sur, $4.9\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ por metro de anchura a $35{}^{\circ}$ N, $29.4\,\mathrm{Sv}$ a través de la cuenca. Calculado a partir de los vientos observados, el transporte de Sverdrup del giro subtropical del Atlántico Norte alcanza unos $30\,\mathrm{Sv}$ cerca de $28{}^{\circ}$ N.

![La cuenca ficticia del problema, 20 a 50 N y 6000\, km de anchura. A la izquierda, la tensión zonal del viento, con sentido positivo hacia el este. En el centro, el bombeo de Ekman, con signo positivo hacia arriba: el agua se empuja hacia abajo al sur de 47 N, con más intensidad en el sur, donde f es pequeño, y se eleva al norte de esa latitud. A la derecha, el transporte de Sverdrup total hacia el norte a través de la cuenca: el interior va hacia el sur, 29.4\, Sv a 35 N, salvo en una franja delgada en el borde norte, donde el rotacional del esfuerzo cambia de signo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-ocean-dynamics/fig-21031242ea7c.svg)

*La cuenca ficticia del problema, $20{}^{\circ}$ a $50{}^{\circ}$ N y $6000\,\mathrm{km}$ de anchura. A la izquierda, la tensión zonal del viento, con sentido positivo hacia el este. En el centro, el [bombeo de Ekman](#def-b3-ocean-dynamics-ekman-pumping), con signo positivo hacia arriba: el agua se empuja hacia abajo al sur de $47{}^{\circ}$ N, con más intensidad en el sur, donde $f$ es pequeño, y se eleva al norte de esa latitud. A la derecha, el transporte de Sverdrup total hacia el norte a través de la cuenca: el interior va hacia el sur, $29.4\,\mathrm{Sv}$ a $35{}^{\circ}$ N, salvo en una franja delgada en el borde norte, donde el rotacional del esfuerzo cambia de signo.*

El transporte de Sverdrup fija $V$ en cada punto, pero una función de corriente necesita una condición de contorno, y una pared meridional solo admite una. Si el interior satisface la condición de no flujo a través de la pared oriental, el flujo hacia el sur no tiene por dónde salir en la pared occidental; la masa es devuelta por una corriente que las ecuaciones de Sverdrup, sin fricción, no pueden describir.

## 21.3 Intensificación occidental

En 1948 H. Stommel añadió la fricción más sencilla al océano más sencillo, y halló el flujo de retorno concentrado contra la pared occidental, como en la figura del volumen de primer año sobre su giro. Lo halló solo con un parámetro de Coriolis que crece hacia el norte: sin rotación, o con uno uniforme, su giro era simétrico.

**Definición 21.5 (Intensificación occidental; modelo de Stommel; capa límite de Munk).**

La *intensificación occidental* es la concentración del flujo de retorno de un giro impulsado por el viento en una corriente estrecha y rápida junto al lado occidental de la cuenca. El *modelo de Stommel* es un océano homogéneo de profundidad constante en una cuenca rectangular, impulsado por una tensión zonal del viento y frenado por una fricción de fondo proporcional a la velocidad integrada en la profundidad, con un coeficiente $r$; su función de corriente de transporte $\psi$ ($U = -\partial\psi/\partial y$, $V =
\partial\psi/\partial x$) obedece

$$
r\nabla^2\psi + \beta\frac{\partial\psi}{\partial x} =
\frac{1}{\rho}\operatorname{curl}_z\vec\tau ,\qquad \psi = 0 \text{ en las paredes.}
$$

La *capa límite de Munk* es la capa límite occidental del mismo giro cuando una viscosidad de remolino lateral $A_H$ sustituye a la fricción de fondo; su escala de anchura es $\delta_M =
(A_H/\beta)^{1/3}$.

La ecuación es el [equilibrio de Sverdrup](#thm-b3-ocean-dynamics-sverdrup) con el rotacional de la fricción de fondo añadido: integrada en la profundidad, $\beta V = \rho^{-1}\operatorname{curl}_z
\vec\tau - r\zeta_T$, donde $\zeta_T = \nabla^2\psi$ es la vorticidad del transporte.

**Teorema 21.6 (Capa límite occidental del giro de Stommel).**

En una cuenca $0 \le x \le X$, $0 \le y \le L$, con $\tau_x = -\tau_0
\cos(\pi y/L)$ y $\delta_S = r/\beta \ll X$, la función de corriente de Stommel es, a primer orden en $\delta_S/X$,

$$
\psi = A\sin\frac{\pi y}{L}\Big[(X - x) - X\mathrm e^{-x/\delta_S}\Big],
\qquad A = \frac{\pi\tau_0}{\rho\beta L} .
$$

El interior transporta $AX\sin(\pi y/L)$ hacia el sur; una capa límite de anchura $\delta_S$ junto a la pared occidental lo devuelve hacia el norte; no puede haber capa límite que exista junto a la pared oriental.

**Demostración.** El rotacional del esfuerzo es $-\partial\tau_x/\partial y = -(\pi\tau_0/L)\sin(\pi
y/L)$. A lo ancho de la cuenca el término de fricción es menor que el término $\beta$ en una proporción $\delta_S/X$; al despreciarlo queda el [equilibrio de Sverdrup](#thm-b3-ocean-dynamics-sverdrup), $\beta\,\partial\psi/\partial x = -(\pi\tau_0/\rho L)\sin(\pi y/L)$, cuya solución que se anula en $x = X$ es $\psi_I = A\sin(\pi y/L)(X - x)$. Esta no se anula en $x = 0$. Cerca de una pared $\psi$ varía rápidamente en $x$, y la ecuación se reduce a $r\,\partial^2\psi/\partial x^2 + \beta\,\partial\psi/
\partial x = 0$ para la corrección, cuyas soluciones son una constante y $\mathrm e^{-x/\delta_S}$. Esta última decae hacia el este, alejándose de la pared occidental: al añadir $-AX\sin(\pi y/L)\,\mathrm e^{-x/\delta_S}$ se hace $\psi = 0$ en $x = 0$ y no cambia nada en el interior. En la pared oriental una corrección tendría que decaer hacia el oeste, alejándose de $x = X$, y $\mathrm e^{-x/\delta_S}$ crece hacia el oeste: no existe tal capa, así que el interior debe encontrar la pared oriental por sí solo, como lo hace $\psi_I$. La transporte hacia el norte entre la pared y el punto donde $V$ cambia de signo es allí $\psi$, próximo a $AX\sin(\pi y/L)$. ∎

La misma respuesta se obtiene a partir de la vorticidad. En el interior, el viento proporciona a cada columna vorticidad negativa, y la columna lo compensa desplazándose hacia el sur, hacia valores menores de $f$. Al volver al norte gana [vorticidad planetaria](https://one-course.com/books/earth/5/es/chapter/20-dinamica-atmosferica#def-b3-atmospheric-dynamics-vorticity-kinds) y debe perderla, algo que solo puede hacer la fricción. En una corriente hacia el norte cuya velocidad disminuye hacia el este desde las cercanías de la pared occidental, $\partial
v/\partial x < 0$ en la mayor parte de su anchura: la vorticidad de la corriente es negativa, y la fricción, que actúa en contra de ella, aporta la vorticidad positiva que necesitan las columnas. Una corriente hacia el norte junto a una pared oriental tendría vorticidad positiva, y la fricción quitaría el signo equivocado.

![La capa límite occidental en el centro de la cuenca ficticia del problema (35 N, 6000\, km de anchura). A la izquierda, el transporte hacia el norte por unidad de anchura: la capa de Stommel, con una fricción de fondo r = 10-6\, s-1, decae exponencialmente desde la pared; la de Munk, con A_H = 5 × 103\, m2/ s y sin deslizamiento en la pared, crece desde cero y alcanza un máximo a unos 80\, km de distancia y va seguido de una débil contracorriente hacia el sur. A la derecha, el transporte entre la pared y cada distancia, frente al 29.4\, Sv que el interior transporta hacia el sur: la capa de Stommel acumula 27.9\, Sv antes de que su flujo gire hacia el sur, y el chorro de Munk 33.0\, Sv antes de su contracorriente.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-ocean-dynamics/fig-60893ad4ab7f.svg)

*La capa límite occidental en el centro de la cuenca ficticia del problema ($35{}^{\circ}$ N, $6000\,\mathrm{km}$ de anchura). A la izquierda, el transporte hacia el norte por unidad de anchura: la capa de Stommel, con una fricción de fondo $r = 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$, decae exponencialmente desde la pared; la de Munk, con $A_H = 5 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ y sin deslizamiento en la pared, crece desde cero y alcanza un máximo a unos $80\,\mathrm{km}$ de distancia y va seguido de una débil contracorriente hacia el sur. A la derecha, el transporte entre la pared y cada distancia, frente al $29.4\,\mathrm{Sv}$ que el interior transporta hacia el sur: la capa de Stommel acumula $27.9\,\mathrm{Sv}$ antes de que su flujo gire hacia el sur, y el chorro de Munk $33.0\,\mathrm{Sv}$ antes de su contracorriente.*

Con $r = 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$ a $35{}^{\circ}$ N, $\delta_S = 53\,\mathrm{km}$, y el flujo hacia el norte ocupa los primeros $250\,\mathrm{km}$ desde la pared. En 1950 W. H. Munk sustituyó la fricción de fondo por una viscosidad lateral de remolino $A_H$, que actúa sobre la cizalla dentro de la corriente; la ecuación gana un término $A_H\nabla^4\psi$, y cerca de la pared occidental la corrección se convierte en $\mathrm e^{-x/2\delta_M}$ multiplicada por una oscilación, $\cos(\sqrt3x/2\delta_M)$ y $\sin(\sqrt3x/2\delta_M)$. Con $A_H = 5 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ el chorro hacia el norte tiene unos $225\,\mathrm{km}$ de anchura ($233\,\mathrm{km}$ en la cuenca de la figura), con una débil contracorriente más allá, una forma semejante a la de la corriente del Golfo y la corriente de Kuroshio. Como en la capa de Stommel, el transporte del chorro no depende de la fricción, sino solo del rotacional de la tensión del viento, de la anchura de la cuenca y de $\beta$. Con los vientos de su época, Munk calculó $36\,\mathrm{Sv}$ para la corriente del Golfo y $39\,\mathrm{Sv}$ para la corriente de Kuroshio, aproximadamente la mitad de los transportes medidos entonces; con un mejor coeficiente de arrastre y promedios más finos de la tensión del viento, se obtuvo $32\,\mathrm{Sv}$ para la corriente del Golfo en 1978. Medida sobre todo con un cable submarino, la corriente del Golfo en el estrecho de Florida ha transportado $31.7\,\mathrm{Sv}$ de media desde 2004. Aguas abajo crece hasta unos $150\,\mathrm{Sv}$ cerca de $40{}^{\circ}$ N, y mar adentro del cabo Hatteras una fuerte recirculación, que la teoría lineal no contiene, deteriora el acuerdo.

## 21.4 La circulación abisal

El océano profundo se alimenta desde unos pocos lugares. En el volumen de primer año, el agua profunda se forma donde el agua superficial se enfría y se vuelve densa en el lejano Atlántico Norte y alrededor de la Antártida, y se extiende por las cuencas como agua profunda del Atlántico Norte y agua de fondo antártica. Entre 1958 y 1960 H. Stommel, A. B. Arons y A. J. Faller preguntaron cómo se extiende, empleando el mismo argumento de vorticidad que Sverdrup.

**Definición 21.7 (Modelo de Stommel–Arons).**

El *modelo de Stommel–Arons* de la circulación abisal supone que el agua profunda se suministra por convección en unas pocas fuentes de altas latitudes, y que retorna al océano superior mediante un lento y uniforme afloramiento $W_0$ a través de la base de la termoclina, compensado por la mezcla descendente de calor, y que el flujo interior es geostrófico y conserva la [vorticidad potencial](https://one-course.com/books/earth/5/es/chapter/20-dinamica-atmosferica#def-b3-atmospheric-dynamics-pv). La circulación se cierra mediante corrientes profundas de frontera occidental.

**Proposición 21.8 (Flujo interior hacia los polos del abismo).**

En el [modelo de Stommel–Arons](#def-b3-ocean-dynamics-abyssal), sobre un fondo plano, el transporte hacia el norte integrado en profundidad del interior abisal es

$$
V = \frac{f}{\beta}W_0 = a\tan\varphi\,W_0 ,
$$

hacia los polos en ambos hemisferios cuando $W_0 > 0$.

**Demostración.** En el interior geostrófico $\beta v = f\,\partial w/\partial z$, como en la demostración del [equilibrio de Sverdrup](#thm-b3-ocean-dynamics-sverdrup). Integrando desde el fondo plano, donde $w = 0$, hasta la parte superior de la capa abisal, donde $w = W_0$, resulta $\beta V =
fW_0$, y $f/\beta = 2\Omega\sin\varphi\,a/(2\Omega\cos\varphi) =
a\tan\varphi$. En el hemisferio sur $\tan\varphi < 0$: el flujo es hacia el sur, de nuevo hacia los polos. ∎

El resultado es contraintuitivo: el interior abisal fluye hacia las fuentes, no alejándose de ellas. Stommel y Arons construyeron experimentos en tanque giratorio para convencerse. El agua de las fuentes recorre a lo largo de las paredes occidentales, en corrientes profundas de frontera occidental que alimentan el interior a medida que avanzan. En un sector de océano entre el ecuador y el polo con toda la fuente $S_0$ cerca del polo, la corriente de frontera occidental transporta $2S_0\sin\varphi$ hacia el ecuador, el doble de la fuente en el polo y nada en el ecuador: el exceso sobre $S_0$ es agua que recircula desde el interior. El modelo hace que la circulación profunda esté impulsada por la mezcla, y no por hundimiento: sin el afloramiento, la convección solo llenaría el abismo con una masa estancada de agua fría. Sus tiempos de tránsito van desde unos pocos siglos cerca de las fuentes hasta casi mil años en el Pacífico Norte. Sobre el fondo oceánico real, las dorsales dividen las cuencas, la mezcla es intensa sobre una topografía accidentada, y el flujo profundo es mucho más zonal que el del modelo. Su predicción duradera es la corriente profunda de frontera occidental: en el Atlántico Norte retorna hacia el sur alrededor de $14\,\mathrm{Sv}$ de agua a $2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, mientras la corriente del Golfo lleva el agua cálida hacia el norte.

![La circulación abisal de Stommel–Arons en un sector del océano del hemisferio norte, vista desde arriba. El agua profunda se hunde en una fuente S_0 cerca del polo, discurre hacia el ecuador por una profunda corriente de frontera occidental y se filtra hacia un interior que fluye hacia el polo, ascendiendo lentamente en todas partes a través de la termoclina (los puntos, afloramiento hacia el lector).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-ocean-dynamics/fig-7824c814367a.svg)

*La circulación abisal de Stommel–Arons en un sector del océano del hemisferio norte, vista desde arriba. El agua profunda se hunde en una fuente $S_0$ cerca del polo, discurre hacia el ecuador por una profunda corriente de frontera occidental y se filtra hacia un interior que fluye hacia el polo, ascendiendo lentamente en todas partes a través de la termoclina (los puntos, afloramiento hacia el lector).*

El interior del modelo, como el de Sverdrup, es geostrófico, y las corrientes geostróficas del mar profundo se miden del mismo modo que Sverdrup las midió: a partir de la densidad.

**Definición 21.9 (Método dinámico).**

El *método dinámico* calcula la corriente geostrófica entre dos estaciones hidrográficas a partir de la densidad medida en ambas, referida a un nivel de presión de referencia en el que se supone que la corriente es nula o conocida. La distancia [geopotencial](https://one-course.com/books/earth/5/es/chapter/3-gravedad-y-figura-de-la-tierra#def-b3-gravity-geodesy-geopotential) entre dos superficies de presión, $\int\alpha\,\mathrm dp$ con $\alpha = 1/\rho$ el volumen específico, se divide en una parte estándar, igual en ambas estaciones, y en la *anomalía [geopotencial](https://one-course.com/books/earth/5/es/chapter/3-gravedad-y-figura-de-la-tierra#def-b3-gravity-geodesy-geopotential)* $\Delta\Phi$; la corriente en la superficie superior, perpendicular a la línea entre las estaciones $A$ y $B$, separadas una distancia $L$, es

$$
v = \frac{\Delta\Phi_B - \Delta\Phi_A}{fL} .
$$

¿Por qué no medir la presión directamente, como hacen los meteorólogos? Una corriente geostrófica de $10\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ a $30{}^{\circ}$ necesita un gradiente de presión de $7.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$, $750\,\mathrm{Pa}$ en $100\,\mathrm{km}$: el peso de $7.4\,\mathrm{cm}$ de agua de mar. Ningún manómetro en el fondo marino puede nivelarse tan bien. La densidad, calculada con unas pocas partes por millón, proporciona en cambio la pendiente de una superficie de presión respecto a otra. El agua más ligera y cálida queda a la derecha de la corriente, mirando hacia aguas abajo, en el hemisferio norte. A través de la corriente del Golfo, las superficies de densidad constante cambian de profundidad en más de un kilómetro a lo largo de $100\,\mathrm{km}$.

**Método 21.10 (Corriente geostrófica a partir de dos estaciones).**

1. En cada estación, se calcula la anomalía de volumen específico $\delta =  \alpha(S, T, p) - \alpha(35, 0, p)$ a partir de la salinidad medida, temperatura y presión.
2. Se integra desde la presión de referencia hasta cada presión $p$ : $\Delta\Phi(p) = \int_p^{p_{\text{ref}}}\delta\,\mathrm dp$ .
3. A cada presión, $v(p) = (\Delta\Phi_B - \Delta\Phi_A)/(fL)$ es la corriente relativa al nivel de referencia, positiva cuando la estación $B$ queda a la derecha.
4. Se suma la corriente en el nivel de referencia, si es conocida, a partir de un flotador que deriva allí o de la pendiente de la superficie del mar medida por satélite.

**Sobre el terreno — Una red de flotadores.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-ocean-dynamics/img-145c332e77a1.jpg)

*Flotador Argo lanzado por la borda de un buque oceanográfico (NOAA Global Ocean Monitoring and Observing Program, dominio público).*

**Datos de 2024.**

Cerca de cuatro mil flotadores Argo derivan por el océano mundial. Lanzado por la borda de un barco, un flotador se hunde hasta unos $1000\,\mathrm{m}$ y deriva allí durante unos nueve días; después se hunde hasta $2000\,\mathrm{m}$ y asciende hasta la superficie, midiendo la conductividad, la temperatura y la presión durante el ascenso, y el ciclo se repite aproximadamente cada diez días; los flotadores Deep Argo perfilan hasta $6000\,\mathrm{m}$. En julio de 2024 la red acumuló su perfil número tres millones. A partir de los perfiles, los oceanógrafos calculan las anomalías [geopotenciales](https://one-course.com/books/earth/5/es/chapter/3-gravedad-y-figura-de-la-tierra#def-b3-gravity-geodesy-geopotential) del [método dinámico](#def-b3-ocean-dynamics-dynamic-height) en cada flotador, y el desplazamiento propio de cada flotador entre dos emersiones proporciona la corriente media a la profundidad de deriva: la velocidad de referencia que Sverdrup tuvo que suponer ya se mide.

## 21.5 Mareas oceánicas

Dos veces al día, con un retraso de algo menos de una hora cada día, el mar sube y baja. Los libros de física explican la fuerza de marea: la atracción de la Luna es más intensa en el lado de la Tierra más próximo a ella que en su centro, y más débil en el lado opuesto, de modo que, respecto al centro, el agua se estira hacia fuera a lo largo de la línea hacia la Luna a ambos lados.

**Definición 21.11 (Marea de equilibrio; componente de marea).**

La *marea de equilibrio* es la forma que tomaría la superficie de un océano que cubriera toda la Tierra si siguiera instantáneamente el potencial generador de marea, sin inercia. Una *componente de marea* es uno de los términos armónicos, cada uno con una frecuencia fija determinada por los movimientos de la Luna y el Sol, y una amplitud y fase que se hallan en cada lugar, cuya suma constituye la marea; se designan con una letra y el número de ciclos por día, como M$_2$, la componente lunar semidiurna principal.

**Teorema 21.12 (Marea de equilibrio de la Luna).**

Para la Luna, de masa $M$ a distancia $d$ del centro de la Tierra, de masa $M_E$ y radio $a$, la [marea de equilibrio](#def-b3-ocean-dynamics-tides) en un ángulo $\theta$ desde el punto bajo la Luna es

$$
\eta = K\,\frac{3\cos^2\theta - 1}{2},\qquad
K = \frac{M}{M_E}\Big(\frac{a}{d}\Big)^3 a .
$$

**Demostración.** El potencial de la Luna en un punto a distancia $a$ del centro de la Tierra y ángulo $\theta$ es $-GM/s$, con $s^2 = d^2 - 2ad\cos\theta +
a^2$. Desarrollando en $a/d$, $1/s = (1/d)[1 + (a/d)\cos\theta + (a/d)^2
(3\cos^2\theta - 1)/2 + \cdots]$. El primer término es una constante; el segundo es un campo uniforme, el que acelera a toda la Tierra en su órbita alrededor del centro de masas común, y no tiene efecto respecto a la Tierra. Lo que queda es el potencial generador de marea $\Phi_T = -(GMa^2/d^3)(3
\cos^2\theta - 1)/2$. En equilibrio la superficie del mar es una superficie de potencial total constante, $g\eta + \Phi_T = C$, con $g = GM_E/a^2$, así $\eta = (M/M_E)(a^4/d^3)(3\cos^2\theta - 1)/2 + C/g$. La media de $3\cos^2\theta - 1$ sobre la esfera vale cero; siendo el volumen de agua constante, $C = 0$. ∎

Con el cociente de masas $0.0123$, $d = 384\,400\,\mathrm{km}$ y $a =
6371\,\mathrm{km}$, $K = 0.357\,\mathrm{m}$: el mar se eleva $0.36\,\mathrm{m}$ alta bajo la Luna y en el lado opuesto, y $0.18\,\mathrm{m}$ por debajo en el círculo máximo intermedio, un rango total de $0.54\,\mathrm{m}$. A la latitud $\varphi$, con la Luna en declinación $\delta$ y ángulo horario $H$, $\cos\theta =
\sin\varphi\sin\delta + \cos\varphi\cos\delta\cos H$. Al girar la Tierra bajo los dos abultamientos, un lugar pasa por dos pleamares en un día lunar, $24\,\mathrm{h}$ $50\,\mathrm{min}$: la marea semidiurna. Cuando la Luna se sitúa al norte o al sur del ecuador los dos abultamientos quedan inclinados, y las dos pleamares de un día son desiguales, como muestra la figura inferior. El Sol produce una marea de la misma forma, con $0.46$ veces su amplitud; ambas se suman en luna nueva y llena, en las mareas vivas, y se compensan en parte en los cuartos.

![A la izquierda, la marea de equilibrio de la Luna, en el plano que contiene a la Luna, con el abultamiento exagerado unas dos millones de veces. A la derecha, la marea de equilibrio a 45 N durante dos días lunares, con la Luna en el ecuador (azul) y en declinación 20 N (rojo): el segundo caso tiene una pleamar mucho más alta que la otra, la desigualdad diurna.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-ocean-dynamics/fig-8977629743ef.svg)

*A la izquierda, la [marea de equilibrio](#def-b3-ocean-dynamics-tides) de la Luna, en el plano que contiene a la Luna, con el abultamiento exagerado unas dos millones de veces. A la derecha, la [marea de equilibrio](#def-b3-ocean-dynamics-tides) a $45{}^{\circ}$ N durante dos días lunares, con la Luna en el ecuador (azul) y en declinación $20{}^{\circ}$ N (rojo): el segundo caso tiene una pleamar mucho más alta que la otra, la desigualdad diurna.*

El análisis armónico de la [marea de equilibrio](#def-b3-ocean-dynamics-tides) proporciona sus componentes. Las cinco mayores, con sus amplitudes de equilibrio, figuran en la tabla inferior. Al menos 39 componentes son necesarias para predecir la marea de un puerto con una precisión de una milésima de su término mayor, y un mareógrafo debe registrar más de 18.6 años, el periodo de la modulación de las mareas lunares, para separarlas todas.

| componente | origen | periodo ($\mathrm{h}$) | amplitud de equilibrio ($\mathrm{m}$) |
| --- | --- | --- | --- |
| M$_2$ | lunar principal, semidiurna | $12.4206$ | $0.2423$ |
| S$_2$ | solar principal, semidiurna | $12.0000$ | $0.1128$ |
| N$_2$ | lunar elíptica, semidiurna | $12.6584$ | $0.0464$ |
| K$_1$ | lunisolar, diurna | $23.9344$ | $0.1416$ |
| O$_1$ | lunar principal, diurna | $25.8194$ | $0.1005$ |

La marea real no es la [marea de equilibrio](#def-b3-ocean-dynamics-tides). Para mantener un abultamiento bajo la Luna en el ecuador, la marea tendría que recorrer la Tierra en un día lunar, a unos $460\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, una velocidad que una onda de gravedad larga solo alcanza en un océano de $22\,\mathrm{km}$ de profundidad; y los continentes la detienen. La marea es en realidad una onda larga forzada, que oscila en cada cuenca cerca de la resonancia, y la rotación de la Tierra hace que gire alrededor de la cuenca.

**Definición 21.13 (Onda de Kelvin).**

Una *onda de Kelvin* oceánica es una onda de gravedad larga que se propaga a lo largo de una costa, o a lo largo del ecuador, sin velocidad transversal a ella, con su altura disminuyendo exponencialmente al alejarse de la costa sobre el radio de Rossby. A lo largo de una costa se propaga con la costa a su derecha en el hemisferio norte, a su izquierda en el sur.

**Teorema 21.14 (Onda de Kelvin costera).**

En un océano de profundidad uniforme $H$ sobre un plano $f$, con $f > 0$, limitado por una costa recta a lo largo de $y = 0$ y situado en $y > 0$, las ecuaciones lineales de aguas someras tienen las soluciones con $v = 0$

$$
\eta = \mathrm e^{-y/L_R}F(x - ct),\qquad u = \frac{g}{c}\,\eta,\qquad
c = \sqrt{gH},\quad L_R = \frac{c}{f},
$$

para cualquier perfil $F$, y ninguna solución con $v = 0$ se propaga en la dirección $-x$.

**Demostración.** Con $v = 0$ las ecuaciones son $\partial u/\partial t = -g\,\partial\eta/
\partial x$, $fu = -g\,\partial\eta/\partial y$ y $\partial\eta/\partial t
+ H\,\partial u/\partial x = 0$. La primera y la tercera dan $\partial^2
\eta/\partial t^2 = gH\,\partial^2\eta/\partial x^2$: en $x$ cada línea $y =$ constante transporta ondas $F(x \mp ct)$ con $c = \sqrt{gH}$, y luego la primera ecuación da $u = \pm(g/c)\eta$. La segunda se convierte en $\partial\eta/
\partial y = \mp(f/c)\eta$, así que $\eta \propto \mathrm e^{\mp y/L_R}$. Con el signo superior, la onda decae alejándose de la costa; con el inferior crecería sin límite hacia el océano, lo que queda excluido. La onda avanza hacia $+x$ con el océano a su izquierda y la costa a su derecha. ∎

En el océano profundo, de $4000\,\mathrm{m}$ de profundidad, $c = 198\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y el radio de Rossby es de unos $2000\,\mathrm{km}$ en latitudes medias: la marea recorre toda una cuenca. Sobre un mar de plataforma de $50\,\mathrm{m}$ de profundidad, $c =
22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, el radio de Rossby es inferior a $200\,\mathrm{km}$, y una longitud de onda de M$_2$ es de unos $1000\,\mathrm{km}$. En un golfo, la marea que entra a lo largo de una costa como [onda de Kelvin](#def-b3-ocean-dynamics-kelvin-wave) regresa por la costa opuesta, de nuevo con la costa a su derecha; las dos ondas se anulan en puntos intermedios.

**Definición 21.15 (Punto anfidrómico; línea cotidal; línea de igual amplitud).**

Un *punto anfidrómico* es un punto en el que la amplitud de una [componente de marea](#def-b3-ocean-dynamics-tides) es nula y alrededor del cual gira la pleamar. Una *línea cotidal* une los lugares donde la pleamar de una componente llega a la misma hora; una *línea de igual amplitud* une los lugares de igual rango de marea. Las líneas cotidales irradian desde los puntos anfidrómicos; las líneas de igual amplitud los rodean.

![Dos ondas de Kelvin de la marea M_2 en un canal ficticio de 400\, km de anchura y 50\, m de profundidad a 55 N, una de ellas hacia el este por la costa sur, la otra hacia el oeste por la costa norte. En rojo, las líneas cotidales, cada 30 de fase (aproximadamente una hora), la más gruesa para la pleamar en el instante origen; en azul discontinuo, las líneas de igual amplitud, cada quinta parte de la amplitud de una onda en su costa. Los puntos anfidrómicos (marcados con puntos) están sobre la línea central a media longitud de onda, 495\, km de distancia entre sí, y la pleamar gira alrededor de ellos en sentido antihorario (flecha).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-ocean-dynamics/fig-0b252a96af6a.svg)

*Dos [ondas de Kelvin](#def-b3-ocean-dynamics-kelvin-wave) de la marea M$_2$ en un canal ficticio de $400\,\mathrm{km}$ de anchura y $50\,\mathrm{m}$ de profundidad a $55{}^{\circ}$ N, una de ellas hacia el este por la costa sur, la otra hacia el oeste por la costa norte. En rojo, las [líneas cotidales](#def-b3-ocean-dynamics-amphidrome), cada $30{}^{\circ}$ de fase (aproximadamente una hora), la más gruesa para la pleamar en el instante origen; en azul discontinuo, las [líneas de igual amplitud](#def-b3-ocean-dynamics-amphidrome), cada quinta parte de la amplitud de una onda en su costa. Los [puntos anfidrómicos](#def-b3-ocean-dynamics-amphidrome) (marcados con puntos) están sobre la línea central a media longitud de onda, $495\,\mathrm{km}$ de distancia entre sí, y la pleamar gira alrededor de ellos en sentido antihorario (flecha).*

Los mapas de la marea oceánica obtenidos por satélite, con una precisión de unos $2\,\mathrm{cm}$ en mar profundo, muestran esta estructura en todas partes: la M$_2$ cresta gira en sentido antihorario alrededor de los [puntos anfidrómicos](#def-b3-ocean-dynamics-amphidrome) de las cuencas del hemisferio norte y en sentido horario en el hemisferio sur, y los mayores rangos se dan en las costas. Las mareas disipan $3.75\,\mathrm{TW}$, de los cuales $3.5\,\mathrm{TW}$ en el océano, unas dos terceras partes de la energía de M$_2$ en las plataformas y en mares someros y un tercio mediante ondas internas en el océano profundo. Esa energía alarga el día unos $2.07\,\mathrm{ms}$ por siglo y aleja la Luna $3.86\,\mathrm{cm}$ al año; y la parte disipada en el océano profundo mezcla las aguas, aportando parte de la mezcla que, en el esquema de Stommel–Arons, impulsa la circulación abisal.

## 21.6 Ejercicios

**Ejercicio 21.1 ★.**

Una tensión del viento del oeste de $0.12\,\mathrm{Pa}$ sopla sobre el mar a $40{}^{\circ}$ N ($\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $\Omega = 7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$). Calcúlese el transporte de volumen de Ekman por metro de anchura y su dirección, y el transporte a través de una sección de $1000\,\mathrm{km}$ de longitud, en sverdrups.

**Solución de Ejercicio 21.1.**

$f = 9.37 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\tau/(\rho f) = 0.12/(1025\times9.37 \times 10^{-5})
= 1.25\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, a la derecha del viento: sur. A través de $1000\,\mathrm{km}$, $1.25 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, $1.25\,\mathrm{Sv}$.

**Ejercicio 21.2 ★.**

Con $A_z = 0.05\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, calcúlese la [profundidad de Ekman](#def-b3-ocean-dynamics-ekman-pumping) a $45{}^{\circ}$ N. ¿Qué fracción de la corriente superficial queda a esa profundidad?

**Solución de Ejercicio 21.2.**

$f = 1.031 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$; $D_E = \pi\sqrt{2\times0.05/1.031 \times 10^{-4}}
= 98\,\mathrm{m}$. La corriente allí es $\mathrm e^{-\pi} = 0.043$ de la corriente superficial, que fluye en sentido contrario.

**Ejercicio 21.3 ★.**

A $30{}^{\circ}$ N el rotacional de la tensión del viento es $-1 \times 10^{-7}\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$ a lo ancho de una cuenca de $5000\,\mathrm{km}$ de anchura ($a = 6371\,\mathrm{km}$). Calcúlese $\beta$, el transporte de Sverdrup por unidad de anchura y el transporte total, con su dirección.

**Solución de Ejercicio 21.3.**

$\beta = 2\Omega\cos30{}^{\circ}/a = 1.98 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$; $V =
-1 \times 10^{-7}/(1025\times1.98 \times 10^{-11}) = -4.92\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$; a través de $5000\,\mathrm{km}$, $-24.6\,\mathrm{Sv}$: hacia el sur.

**Ejercicio 21.4 ★.**

A partir de los periodos de M$_2$ y S$_2$, calcúlese el periodo del ciclo de mareas vivas y muertas, el tiempo que transcurre entre dos alineaciones de ambas [componentes de marea](#def-b3-ocean-dynamics-tides).

**Solución de Ejercicio 21.4.**

Las dos [componentes de marea](#def-b3-ocean-dynamics-tides) vuelven a estar en fase tras $1/(1/12 - 1/12.4206) =
354\,\mathrm{h}$, $14.77$ días, la mitad de un mes sinódico.

**Ejercicio 21.5 ★★.**

Un esfuerzo del viento del oeste crece linealmente desde 0 en $35{}^{\circ}$ N hasta $0.1\,\mathrm{Pa}$ en $45{}^{\circ}$ N, $1110\,\mathrm{km}$ más al norte. Calcúlese el [bombeo de Ekman](#def-b3-ocean-dynamics-ekman-pumping) en $40{}^{\circ}$ N, conservando ambos términos de la [Proposición 21.3](#prop-b3-ocean-dynamics-pumping), en metros por año. ¿Se empuja el agua hacia arriba o hacia abajo?

**Solución de Ejercicio 21.5.**

A $40{}^{\circ}$ N, $f = 9.37 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\beta =
1.75 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\tau_x = 0.05\,\mathrm{Pa}$ y $\partial\tau_x/\partial y = 0.1/1.11 \times 10^{6} = 9.0 \times 10^{-8}\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$. El primer término, $-9.0 \times 10^{-8}/(1025\times9.37 \times 10^{-5}) =
-9.38 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; el segundo, $0.05\times1.75 \times 10^{-11}/(1025\times
(9.37 \times 10^{-5})^2) = +9.7 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. $w_E = -8.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $-26.5\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$: el agua es empujada hacia abajo.

**Ejercicio 21.6 ★★.**

En un giro de Stommel con $r = 2 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$ y $\beta =
2 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$, calcúlese la anchura $\delta_S$. Si la corriente de frontera transporta $30\,\mathrm{Sv}$ en los $800\,\mathrm{m}$ superiores, dentro de una anchura $\delta_S$, ¿cuál es su velocidad media?

**Solución de Ejercicio 21.6.**

$\delta_S = 2 \times 10^{-6}/2 \times 10^{-11} = 100\,\mathrm{km}$; velocidad $=
30 \times 10^{6}/(1 \times 10^{5}\times800) = 0.375\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**Ejercicio 21.7 ★★.**

Calcúlense la anchura de Munk $\delta_M$ y la anchura del chorro hacia el norte, $(2\pi/\sqrt3)\,\delta_M$, a $30{}^{\circ}$ N para $A_H = 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. ¿Cómo varía la anchura si $A_H$ es ocho veces menor?

**Solución de Ejercicio 21.7.**

$\beta = 1.98 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\delta_M = (10^4/1.98 \times 10^{-11})^{1/3}
= 79.6\,\mathrm{km}$, y el chorro tiene $3.628\,\delta_M = 289\,\mathrm{km}$ de anchura. Con $A_H$ ocho veces menor, ambos se reducen a la mitad, ya que $8^{1/3} = 2$.

**Ejercicio 21.8 ★★.**

Dos estaciones separadas $80\,\mathrm{km}$ se sitúan sobre una línea que va del oeste ($A$) al este ($B$) a $36{}^{\circ}$ N. Respecto a la superficie de $1000\,\mathrm{dbar}$, la anomalía [geopotencial](https://one-course.com/books/earth/5/es/chapter/3-gravedad-y-figura-de-la-tierra#def-b3-gravity-geodesy-geopotential) de la superficie del mar es $14.5\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ en $A$ y $21.3\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ en $B$. Calcúlese la corriente superficial respecto a $1000\,\mathrm{dbar}$ y su dirección. ¿Qué estación tiene la columna de agua más cálida?

**Solución de Ejercicio 21.8.**

$f = 8.57 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$; $v = (21.3 - 14.5)/(8.57 \times 10^{-5}\times8 \times 10^{4})
= 0.99\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, positivo con $B$ a la derecha: mirando desde $A$ hacia $B$, al este, la corriente se dirige hacia el norte. La superficie del mar se sitúa $6.8/9.81 = 0.69\,\mathrm{m}$ más alta en $B$; la columna de agua en $B$ es la más ligera y más cálida, a la derecha de la corriente.

**Ejercicio 21.9 ★★.**

Con la [marea de equilibrio](#def-b3-ocean-dynamics-tides) de la Luna, $K = 0.357\,\mathrm{m}$, y la razón $0.46$ de la marea solar a la lunar, calcúlese el rango mareal de equilibrio (pleamar bajo los astros menos bajamar a $90{}^{\circ}$) en mareas vivas y en mareas muertas, y su razón.

**Solución de Ejercicio 21.9.**

Rango de marea viva $1.5K(1 + 0.46) = 0.78\,\mathrm{m}$; rango de marea muerta $1.5K(1 - 0.46)
= 0.29\,\mathrm{m}$; razón $1.46/0.54 = 2.7$.

**Ejercicio 21.10 ★★★.**

En el plano $\beta$ ecuatorial, $f = \beta_0y$ con $\beta_0 =
2\Omega/a$. Demuéstrese que la [onda de Kelvin](#def-b3-ocean-dynamics-kelvin-wave) $\eta = G(y)F(x - ct)$, $v = 0$, se convierte en $G = \exp(-\beta_0y^2/2c)$, atrapada a ambos lados del ecuador, y se propaga hacia el este. Calcúlese su escala de atrapamiento $\sqrt{c/\beta_0}$ para una onda de velocidad $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**Solución de Ejercicio 21.10.**

Igual que el [Teorema 21.14](#thm-b3-ocean-dynamics-kelvin), $u = \pm(g/c)\eta$ para $F(x \mp
ct)$, y $fu = -g\,\partial\eta/\partial y$ se convierte en $\beta_0y(\pm g/c)G =
-gG'$, así que $G = \exp(\mp\beta_0y^2/2c)$. Solo el signo superior, el de la onda hacia el este, está acotada a ambos lados del ecuador. $\beta_0 =
2.29 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\sqrt{2.5/2.29 \times 10^{-11}} = 330\,\mathrm{km}$.

**Ejercicio 21.11 ★★★.**

(a) Deríbese $V = a\tan\varphi\,W_0$ para el interior abisal a partir de $\beta v =
f\,\partial w/\partial z$. (b) Con $W_0 = 10^{-7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, calcúlese $V$ a $30{}^{\circ}$ N y el transporte total hacia el polo a través de una cuenca de $5000\,\mathrm{km}$ de anchura. (c) ¿De dónde debe proceder el agua?

**Solución de Ejercicio 21.11.**

(a) Integrando $\beta v = f\,\partial w/\partial z$ desde el fondo, $w = 0$, hasta la parte superior de la capa abisal, $w = W_0$: $\beta V = fW_0$, y $f/\beta =
a\tan\varphi$. (b) $V = 6.371 \times 10^{6}\times0.577\times10^{-7} =
0.368\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $1.84\,\mathrm{Sv}$ a través de $5000\,\mathrm{km}$, hacia el polo. (c) Desde una corriente de frontera occidental profunda alimentada por las fuentes de alta latitud; el interior fluye hacia las fuentes, y la corriente de frontera se aleja de ellas.

**Ejercicio 21.12 ★★★.**

Una corriente geostrófica $W_g = u_g + \mathrm iv_g$ fluye sobre un fondo marino plano en $z = 0$, con viscosidad de remolino $A_z$ y sin deslizamiento en el fondo. (a) Demuéstrese que $W = W_g(1 - \mathrm e^{-(1+\mathrm i)z/\delta})$, $\delta =
\sqrt{2A_z/f}$. (b) Demuéstrese que el defecto de transporte de esta capa de Ekman de fondo bombea la velocidad vertical $w = \tfrac12\delta\zeta_g$ hacia el interior, siendo $\zeta_g$ la vorticidad de la corriente geostrófica. (c) Para $A_z = 0.01\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $f = 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$ y un océano de $4000\,\mathrm{m}$ de profundidad, calcúlese $\delta$, la tasa de frenado $r =
f\delta/2H$, y su inversa en días.

**Solución de Ejercicio 21.12.**

(a) Con $z$ hacia arriba desde el fondo, $A_zW'' = \mathrm if(W - W_g)$, siendo el gradiente de presión el del flujo geostrófico de encima. $W - W_g =
C\mathrm e^{-(1+\mathrm i)z/\delta}$ está acotado hacia arriba, y $W(0) = 0$ da $C = -W_g$. (b) El defecto de transporte es $\int_0^\infty(W - W_g)\,\mathrm dz
= -W_g\delta/(1+\mathrm i) = -\tfrac12\delta(1 - \mathrm i)W_g$, es decir, $-\tfrac12\delta(u_g + v_g,\ v_g - u_g)$. Siendo el flujo geostrófico no divergente, $w = -\nabla\cdot(\text{defecto}) = \tfrac12\delta(\partial_x
v_g - \partial_y u_g) = \tfrac12\delta\zeta_g$. (c) $\delta =
\sqrt{0.02/10^{-4}} = 14.1\,\mathrm{m}$; $r = 10^{-4}\times14.1/8000 =
1.77 \times 10^{-7}\,\mathrm{s}^{-1}$, un tiempo de frenado de $65$ días.

## 21.7 Problema: un giro en el mar de Ammar

**Problema 21.1.**

Problema de fin de semana — bombeo de Ekman, transporte de Sverdrup, la corriente de frontera occidental y la marea de un océano inventado

El mar de Ammar es una cuenca oceánica inventada, un rectángulo desde $20{}^{\circ}$ hasta $50{}^{\circ}$ N y de $6000\,\mathrm{km}$ de anchura y $4000\,\mathrm{m}$ de profundidad. La tensión del viento es zonal, $\tau_x = -\tau_0\cos(\pi(\varphi - 20{}^{\circ})/30{}^{\circ})$ con $\tau_0
= 0.1\,\mathrm{Pa}$. Se toman $\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $\Omega =
7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $a = 6371\,\mathrm{km}$, $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, y, cuando se pida un plano $\beta$, su valor a $35{}^{\circ}$ N.

**Parte I — La capa de Ekman.**

1. Calcúlese la tensión del viento a $20{}^{\circ}$ , $35{}^{\circ}$ y $50{}^{\circ}$ N.
2. Calcúlese $f$ a las mismas latitudes.
3. Calcúlese el transporte de volumen de Ekman por unidad de anchura a $20{}^{\circ}$ y $50{}^{\circ}$ N, con su dirección. ¿Convergen o divergen los transportes en la cuenca?
4. Con $A_z = 0.05\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , calcúlese la [profundidad de Ekman](#def-b3-ocean-dynamics-ekman-pumping) a $35{}^{\circ}$ N.
5. Calcúlese el [bombeo de Ekman](#def-b3-ocean-dynamics-ekman-pumping) a $35{}^{\circ}$ N, en metros por segundo y por año.
6. ¿Cuántos años tardaría este bombeo en hacer descender el agua superficial $500\,\mathrm{m}$ ?

**Parte II — El interior de Sverdrup.**

7. Calcúlese la longitud $L$ de la cuenca de sur a norte y $\beta$ a $35{}^{\circ}$ N.
8. Calcúlese el rotacional de la tensión del viento a $35{}^{\circ}$ N.
9. Calcúlese el transporte de Sverdrup por unidad de anchura a $35{}^{\circ}$ N, con su dirección.
10. Calcúlese el transporte total del interior a través de la cuenca a $35{}^{\circ}$ N, en sverdrups.
11. Si este flujo se reparte en los $1000\,\mathrm{m}$ superiores, ¿cuál es su velocidad media, y cuántos años tarda una porción de agua en desplazarse $1000\,\mathrm{km}$ hacia el sur?
12. Demuéstrese que $fw_E/\beta$ a $35{}^{\circ}$ N da el mismo transporte, y explíquese por qué, con la [vorticidad potencial](https://one-course.com/books/earth/5/es/chapter/20-dinamica-atmosferica#def-b3-atmospheric-dynamics-pv) de una columna.

**Parte III — La corriente de frontera occidental.**

13. Explíquese por qué el flujo de retorno no puede discurrir por el lado oriental de la cuenca.
14. Con una fricción de fondo $r = 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$ , calcúlese la anchura de Stommel $\delta_S$ .
15. Calcúlese el transporte hacia el norte por unidad de anchura en la pared occidental, $A(X/\delta_S - 1)$ , y la velocidad media si ocupa los $1000\,\mathrm{m}$ superiores.
16. ¿A qué distancia de la pared termina el flujo hacia el norte?
17. Calcúlese el transporte hacia el norte de la capa límite de Stommel, y explíquese por qué queda por debajo del transporte del interior en unos $1.5\,\mathrm{Sv}$ .
18. Con $A_H = 5 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , calcúlese $\delta_M$ y la anchura del chorro de Munk hacia el norte.
19. El chorro de Munk transporta $1 + \mathrm e^{-\pi/\sqrt3}$ veces el transporte del interior. Calcúlese, y dígase a dónde va el exceso.

**Parte IV — La marea del mar de Ammar.**

20. Calcúlese la velocidad de una [onda de Kelvin](#def-b3-ocean-dynamics-kelvin-wave) en la cuenca y el radio de Rossby a $35{}^{\circ}$ N.
21. Calcúlese la longitud de onda de la [onda de Kelvin](#def-b3-ocean-dynamics-kelvin-wave) de M $_2$ .
22. ¿Cuánto tarda una [onda de Kelvin](#def-b3-ocean-dynamics-kelvin-wave) en recorrer una vez las costas de la cuenca, y cuántos periodos de M $_2$ son?
23. ¿A qué velocidad tendría que desplazarse la [marea de equilibrio](#def-b3-ocean-dynamics-tides) alrededor del círculo de $35{}^{\circ}$ N para mantenerse bajo la Luna, y en qué profundidad de océano se propagaría tan rápido una onda larga?
24. ¿Dónde cabría esperar el [punto anfidrómico](#def-b3-ocean-dynamics-amphidrome) de la cuenca, y en qué sentido gira la pleamar alrededor de él?
25. Calcúlese la amplitud de equilibrio semidiurna a $35{}^{\circ}$ N, $\tfrac34  K\cos^2\varphi$ , con $K = 0.357\,\mathrm{m}$ , para la Luna situada sobre el ecuador.
26. Indíquese el transporte de la corriente de frontera occidental que cierra el giro del mar de Ammar.

**Solución de Problema 21.1.**

**1.** $\tau_x = -0.1\,\mathrm{Pa}$ (del este), 0 y $+0.1\,\mathrm{Pa}$ (del oeste).

**2.** $f = 4.99 \times 10^{-5}$, $8.37 \times 10^{-5}$ y $1.117 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**3.** $V_E = -\tau_x/(\rho f)$: $+1.96\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ (norte) a $20{}^{\circ}$ N y $-0.87\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ (sur) a $50{}^{\circ}$ N. Convergen.

**4.** $D_E = \pi\sqrt{2\times0.05/8.37 \times 10^{-5}} = 109\,\mathrm{m}$.

**5.** $\tau_x = 0$ a $35{}^{\circ}$ N, por tanto $w_E = -(1/\rho f)\,
\partial\tau_x/\partial y = -\pi\tau_0/(\rho fL) = -1.10 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $-34.7\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$, hacia abajo.

**6.** $500/34.7 = 14.4\text{ años}$.

**7.** $L = a\times\pi/6 = 3336\,\mathrm{km}$; $\beta =
1.875 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**8.** $\operatorname{curl}_z\vec\tau = -\pi\tau_0/L =
-9.42 \times 10^{-8}\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$.

**9.** $V = -9.42 \times 10^{-8}/(1025\times1.875 \times 10^{-11}) =
-4.90\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, hacia el sur.

**10.** $4.90\times6 \times 10^{6} = 2.94 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, $29.4\,\mathrm{Sv}$ hacia el sur.

**11.** $4.9\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$; $1000\,\mathrm{km}$ en $2.0 \times 10^{8}\,\mathrm{s}$, $6.5$ años.

**12.** $fw_E/\beta = 8.37 \times 10^{-5}\times(-1.10 \times 10^{-6})/
1.875 \times 10^{-11} = -4.90\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$: lo mismo, porque el transporte de Ekman se anula donde $\tau_x = 0$. Una columna que se aplasta a un ritmo $w_E$ conserva su [vorticidad potencial](https://one-course.com/books/earth/5/es/chapter/20-dinamica-atmosferica#def-b3-atmospheric-dynamics-pv) $f/h$ solo desplazándose hacia un $f$ menor, hacia el sur, a un ritmo $\beta V_g = fw_E$.

**13.** Una capa límite solo puede serlo si la corrección a la solución del interior se atenúa al alejarse de la pared; con $\beta > 0$ eso es $\mathrm e^{-x/\delta_S}$, que se atenúa hacia el este, desde la pared occidental únicamente. En términos de vorticidad, el rozamiento en una corriente hacia el norte contra una pared oriental eliminaría vorticidad positiva, con el signo equivocado.

**14.** $\delta_S = 10^{-6}/1.875 \times 10^{-11} = 53.3\,\mathrm{km}$.

**15.** $A = 4.90\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $X/\delta_S = 112.5$: $4.90\times111.5 = 546\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $0.55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a lo largo de $1000\,\mathrm{m}$.

**16.** Donde $(X/\delta_S)\mathrm e^{-x/\delta_S} = 1$: $x =
\delta_S\ln(X/\delta_S) = 252\,\mathrm{km}$.

**17.** $A(X - \delta_S - x_0) = 4.90\times(6000 - 53 - 252)\times
10^3 = 27.9\,\mathrm{Sv}$. El flujo interior sigue dirigido hacia el sur en la franja junto a la pared; el déficit, $A(x_0 + \delta_S) =
1.5\,\mathrm{Sv}$, es el transporte interior que habría cruzado esa franja.

**18.** $\delta_M = (5 \times 10^{3}/1.875 \times 10^{-11})^{1/3} = 64.4\,\mathrm{km}$; chorro $3.628\times64.4 = 233\,\mathrm{km}$.

**19.** $1.163\times29.4 - A\times233\,\mathrm{km} = 34.2 - 1.1 =
33.0\,\mathrm{Sv}$; el exceso, $16\,\%$ del transporte interior, vuelve hacia el sur en la contracorriente justo al este del chorro.

**20.** $c = \sqrt{9.81\times4000} = 198\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $L_R =
198/8.37 \times 10^{-5} = 2370\,\mathrm{km}$.

**21.** $198\times12.4206\times3600 = 8860\,\mathrm{km}$.

**22.** Perímetro $2(6000 + 3336) = 18\,670\,\mathrm{km}$, $26.2\,\mathrm{h}$, 2.1 periodos de M$_2$.

**23.** El círculo mide $2\pi a\cos35{}^{\circ} = 32\,790\,\mathrm{km}$, recorrido en un día lunar, $24.84\,\mathrm{h}$: $367\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, lo que requiere $c^2/g =
13.7\,\mathrm{km}$ de agua.

**24.** Con un radio de Rossby comparable a la anchura de la cuenca y una longitud de onda de M$_2$ comparable a su longitud, aproximadamente un [punto anfidrómico](#def-b3-ocean-dynamics-amphidrome), cerca del centro de la cuenca; la pleamar gira en sentido antihorario en torno a él, dejando la costa a su derecha.

**25.** $\tfrac34\times0.357\times\cos^235{}^{\circ} = 0.18\,\mathrm{m}$.

**26.** La corriente de frontera occidental devuelve hacia el norte los **$29\,\mathrm{Sv}$** que el interior transporta hacia el sur ($29.4\,\mathrm{Sv}$ según el cálculo).