---
title: "De dónde proceden los elementos"
book: "Ciencias de la Tierra y del espacio universitarias — tercer año"
subject: earth
language: es
chapter: 30
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/5/es/chapter/30-de-donde-proceden-los-elementos
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
---

# Capítulo 30 — De dónde proceden los elementos

El calcio de un acantilado calizo se fabricó, en su mayor parte, en el interior de estrellas masivas que explotaron antes de que naciera el Sol. El hierro del núcleo terrestre procede sobre todo de otro tipo de explosión, la de una enana blanca. El platino de un anillo pertenece a un pico de abundancia construido por ráfagas de [capturas de neutrones](#def-b3-origin-of-elements-s-process) que duran segundos, en la fusión de dos estrellas de neutrones o en un tipo raro de supernova; cuál de las dos produjo la mayor parte es todavía objeto de debate. Cada uno de estos sucesos ha dejado su huella en la composición del Sol, que es también, salvo los pocos elementos que los planetas no pudieron retener, la composición del Sistema Solar. Este capítulo interpreta ese registro: expone las [abundancias solares](#def-b3-origin-of-elements-abundance), recuerda cómo se formaron los elementos ligeros, sigue las [capturas de neutrones](#def-b3-origin-of-elements-s-process) que construyeron los pesados, localiza los lugares donde actúa cada proceso y modela cómo cambia la composición de una galaxia a medida que sus estrellas nacen y mueren. Termina donde empieza la geología de los volúmenes anteriores: por qué la Tierra, hecha del mismo material que el Sol, es tan rica en hierro y tan pobre en elementos volátiles.

**Lo que ya sabes.**

La nucleosíntesis del Big Bang, la fusión de hidrógeno y helio en las estrellas, la energía de enlace por nucleón y su máximo cerca del hierro, el valle de estabilidad, la desintegración beta y las vidas medias, la sección eficaz de una reacción, las estrellas de la secuencia principal, las gigantes rojas, las enanas blancas, las estrellas de neutrones y las supernovas se estudian en los libros de física. Las clases de meteoritos, las condritas CI, la temperatura de condensación, los elementos refractarios y volátiles, las clases de Goldschmidt y el silicato terrestre global se estudian en el volumen de segundo año, en sus capítulos sobre la formación de los planetas y sobre los elementos en la Tierra. La estructura de la Galaxia, sus discos delgado y grueso, su halo y sus poblaciones estelares se estudian en el capítulo anterior.

## 30.1 Las abundancias solares

El Sol concentra más del $99.85\,\%$ de la masa del Sistema Solar, y sus capas externas han conservado, salvo unos pocos elementos ligeros y un lento hundimiento de los pesados, la composición del gas del que se formaron el Sol y los planetas. Su composición se lee de dos maneras: a partir de las líneas de absorción de su fotosfera y a partir de las condritas CI, los meteoritos cuya composición, salvo en los elementos más volátiles, es la más parecida de todos los materiales conocidos a la del Sol.

**Definición 30.1 (Abundancia solar; dex).**

La *abundancia solar* de un elemento $X$ es el número de sus átomos respecto al de hidrógeno en el Sol, expresado en una escala logarítmica en la que el hidrógeno vale $12$:

$$
\log\varepsilon(X) = 12 + \log_{10}\frac{N_X}{N_\mathrm{H}} .
$$

Una diferencia de una unidad en ese logaritmo se llama un *dex*: dos abundancias separadas por $0.3$ dex se diferencian en un factor $10^{0.3} \approx 2$. Para una estrella, la abundancia relativa al Sol se escribe con corchetes, $[X/\mathrm{H}] = \log_{10}(N_X/N_\mathrm{H})_\star -
\log_{10}(N_X/N_\mathrm{H})_\odot$, y análogamente $[X/Y]$ para cualesquiera dos elementos.

La figura siguiente muestra las [abundancias solares](#def-b3-origin-of-elements-abundance) de la compilación reciente que revisó todos los 83 elementos de vida larga. El hierro, con $\log\varepsilon = 7.46$, tiene un átomo por cada $34\,700$ átomos de hidrógeno; el helio tiene $0.0820$ átomos por átomo de hidrógeno. Varios rasgos destacan, y el resto del capítulo los explica.

![Las abundancias de los elementos en el Sol, en una escala logarítmica con el hidrógeno en 12: valores fotosféricos o los de las condritas CI para los elementos que no tienen una línea fotosférica medible (Asplund, Amarsi y Grevesse, 2021). Los números atómicos pares e impares se representan con dos líneas. El tecnecio (Z = 43) y el prometio (Z = 61) no tienen isótopos de vida larga, como tampoco los elementos entre el bismuto y el torio.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-origin-of-elements/fig-7b829eea9e0d.svg)

*Las abundancias de los elementos en el Sol, en una escala logarítmica con el hidrógeno en 12: valores fotosféricos o los de las condritas CI para los elementos que no tienen una línea fotosférica medible (Asplund, Amarsi y Grevesse, 2021). Los números atómicos pares e impares se representan con dos líneas. El tecnecio ($Z = 43$) y el prometio ($Z = 61$) no tienen isótopos de vida larga, como tampoco los elementos entre el bismuto y el torio.*

1. El hidrógeno y el helio constituyen casi todos los átomos, mil veces más que todos los demás juntos; ambos se formaron en el Big Bang, y parte del helio desde entonces en las estrellas.
2. El litio, el berilio y el boro, justo después del helio, quedan muy por debajo del carbono: el berilio es doce millones de veces menos abundante.
3. Las abundancias caen bruscamente desde el oxígeno hasta los elementos pesados, con máximos alrededor del oxígeno, del hierro, del bario y del plomo, y otros menores que indica la figura.
4. Los elementos de número atómico par son más abundantes que sus vecinos impares: el escandio, entre el calcio y el titanio, es unas $1400$ veces menos abundante que el calcio y $68$ veces menos abundante que el titanio. Este es el *efecto par–impar* .
5. Más allá del máximo del hierro la curva se aplana: desde el hierro hasta el oro la abundancia cae en un factor de $3.5 \times 10^{6}$ , pero desde el oro hasta el plomo sube de nuevo, en un factor de once.

En masa, la fotosfera actual tiene $X = 0.7438$ de hidrógeno, $Y = 0.2423$ de helio y $Z = 0.0139$ de todo lo demás. Corregidas por los elementos pesados que se han hundido por debajo de la fotosfera desde que se formó el Sol, los valores protosolares, los del gas del que nació el Sol, son $X = 0.7121$, $Y = 0.2725$ y $Z = 0.0154$.

**Definición 30.2 (Metalicidad).**

La *metalicidad* de una estrella o de un gas es su contenido en elementos más pesados que el helio, llamados metales en astronomía con independencia de su química: como fracción másica $Z$ o, como suele medirse, como la abundancia de hierro relativa al Sol, $[\mathrm{Fe/H}]$. Una estrella con $[\mathrm{Fe/H}] = -1$ tiene una décima parte del hierro del Sol por átomo de hidrógeno.

Las dos fuentes de las [abundancias solares](#def-b3-origin-of-elements-abundance) concuerdan notablemente bien. La figura siguiente las compara elemento por elemento. Para 58 elementos, aquellos ni demasiado volátiles para los meteoritos ni destruidos en el Sol, la diferencia media ponderada entre la abundancia fotosférica y la de la condrita CI es $0.000 \pm 0.007$ [dex](#def-b3-origin-of-elements-abundance). Dos grupos se apartan de la recta. Los meteoritos contienen mucho menos hidrógeno, helio, carbono, nitrógeno, oxígeno y gases nobles que el Sol: estos elementos permanecieron en el gas cuando se condensaron los sólidos. El Sol tiene $200$ veces menos litio que los meteoritos: ha destruido $99.5\,\%$ de su litio mediante combustión nuclear.

![El Sol frente a las condritas CI: cada punto es un elemento con ambos valores (Asplund, Amarsi y Grevesse, 2021; la escala meteorítica se fija de modo que el silicio concuerde). La línea discontinua es la igualdad. Puntos negros: los 58 elementos que concuerdan. Cuadrados: hidrógeno, helio, carbono, nitrógeno, oxígeno y los gases nobles, que los meteoritos no retuvieron. Triángulo: litio, destruido en el Sol.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-origin-of-elements/fig-c038be758c9b.svg)

*El Sol frente a las condritas CI: cada punto es un elemento con ambos valores (Asplund, Amarsi y Grevesse, 2021; la escala meteorítica se fija de modo que el silicio concuerde). La línea discontinua es la igualdad. Puntos negros: los 58 elementos que concuerdan. Cuadrados: hidrógeno, helio, carbono, nitrógeno, oxígeno y los gases nobles, que los meteoritos no retuvieron. Triángulo: litio, destruido en el Sol.*

La concordancia es un hecho de gran peso para la geología. Significa que los meteoritos, que pueden analizarse en el laboratorio, dan la composición del Sistema Solar para todos los elementos salvo los más volátiles; y que el Sol, cuya fotosfera proporciona hidrógeno, carbono, nitrógeno y oxígeno, completa el resto. El volumen de segundo año construyó sobre esa base la composición de la Tierra en conjunto.

## 30.2 Los elementos ligeros y las estrellas

Los libros de física describen la nucleosíntesis del Big Bang: en los primeros tres minutos, mientras el Universo se enfriaba, protones y neutrones se combinaron en deuterio, helio-3, helio-4 y una traza de litio-7, y en nada más pesado. Las abundancias primordiales observadas son una fracción másica de helio $Y_\mathrm{p} = 0.245 \pm 0.003$, una razón deuterio-hidrógeno de $2.5 \times 10^{-5}$ y una razón litio-hidrógeno de $1.45 \times 10^{-10}$, esta última medida en estrellas viejas pobres en metales del halo galáctico. Todos los demás elementos, y el exceso de helio en el Sol, $0.2725 - 0.245 \approx 0.028$, se formaron en las estrellas.

Las estrellas de los libros de física queman hidrógeno para formar helio en la secuencia principal, luego helio para formar carbono y oxígeno como gigantes rojas; las más masivas continúan, en capas alrededor de sus núcleos, hasta neón, magnesio, silicio y, finalmente, hierro. La fusión se detiene ahí, porque la energía de enlace por nucleón es máxima cerca del hierro: formar núcleos más pesados por fusión absorbe energía en lugar de liberarla. Más allá del máximo del hierro, los elementos se forman por otra vía, la [captura de neutrones](#def-b3-origin-of-elements-s-process), tema de la sección siguiente. El litio, el berilio y el boro son frágiles: se destruyen a las temperaturas del interior estelar, por lo que el Sol ha quemado casi todo su litio, y por qué los tres elementos forman un valle en la curva de abundancias.

**Definición 30.3 (Elemento alfa).**

Un *elemento alfa* es uno de los elementos de $Z$ par oxígeno, neón, magnesio, silicio, azufre y calcio, cuyos isótopos más abundantes ($^{16}\mathrm{O}$, $^{20}\mathrm{Ne}$, $^{24}\mathrm{Mg}$, $^{28}\mathrm{Si}$, $^{32}\mathrm{S}$, $^{40}\mathrm{Ca}$) tienen números másicos múltiplos de cuatro, y que se forman principalmente en estrellas masivas y son devueltos al gas por su explosión como supernovas de colapso del núcleo.

Los picos del oxígeno y de los [elementos alfa](#def-b3-origin-of-elements-alpha), y el efecto par-impar, son la huella de estas etapas de combustión: los núcleos de helio se incorporan a los núcleos pares con más facilidad que cualquier otro a los impares, y los núcleos con número par de protones están más firmemente ligados. Lo que una estrella devuelve al gas depende de su masa.

**Definición 30.4 (Rendimiento estelar).**

El *rendimiento estelar* de un elemento procedente de una estrella de masa inicial dada es la masa de ese elemento que la estrella ha formado de nuevo y devuelve al gas interestelar, en vientos y en su explosión final, como fracción de la masa de la estrella.

Las estrellas de menos de $0.8\,\mathrm{M}_{\odot}$ viven más que la edad del Universo y no devuelven nada. Las estrellas de $0.8$ a $8\,\mathrm{M}_{\odot}$ devuelven helio, nitrógeno, carbono y los elementos pesados del [proceso s](#def-b3-origin-of-elements-s-process) (bario, itrio, estroncio) en sus vientos, y acaban como enanas blancas de carbono-oxígeno. Las estrellas de más de $8$ hasta $10\,\mathrm{M}_{\odot}$ forman principalmente [elementos alfa](#def-b3-origin-of-elements-alpha) y algo de hierro, y explotan como supernovas de colapso del núcleo. Una enana blanca en un sistema binario cerrado puede explotar como supernova de tipo Ia, y estas explosiones producen la mayor parte del hierro.

![La Nebulosa del Cangrejo, un mosaico de 24 exposiciones del Telescopio Espacial Hubble: los restos en expansión de una estrella cuya explosión registraron astrónomos japoneses y chinos en 1054. Los filamentos anaranjados son las capas externas deshilachadas de la estrella, sobre todo hidrógeno; el resplandor azulado del interior procede de electrones que giran en espiral alrededor de las líneas del campo magnético de la estrella de neutrones central, que gira treinta veces por segundo. El gas de los filamentos, que transporta lo que formó la estrella, se mezcla con el medio interestelar. NASA, ESA, J. Hester y A. Loll, dominio público.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-origin-of-elements/img-a0219b130618.jpg)

*La Nebulosa del Cangrejo, un mosaico de 24 exposiciones del Telescopio Espacial Hubble: los restos en expansión de una estrella cuya explosión registraron astrónomos japoneses y chinos en 1054. Los filamentos anaranjados son las capas externas deshilachadas de la estrella, sobre todo hidrógeno; el resplandor azulado del interior procede de electrones que giran en espiral alrededor de las líneas del campo magnético de la estrella de neutrones central, que gira treinta veces por segundo. El gas de los filamentos, que transporta lo que formó la estrella, se mezcla con el medio interestelar. NASA, ESA, J. Hester y A. Loll, dominio público.*

## 30.3 Capturas de neutrones

Un neutrón no tiene carga eléctrica y no es repelido por un núcleo: incluso un neutrón lento penetra en él, y el núcleo, una unidad de masa más pesado, libera la energía de enlace en forma de rayo gamma. Las capturas repetidas originan isótopos más pesados del mismo elemento hasta que uno resulta inestable; entonces se desintegra, normalmente por desintegración beta menos, en el elemento siguiente, que a su vez captura neutrones. Qué núcleos se forman depende de una comparación: el tiempo entre dos capturas frente a la vida media de los núcleos inestables que se encuentran en el camino.

**Definición 30.5 (Captura de neutrones; proceso s; proceso r).**

La *captura de neutrones* es la absorción de un neutrón libre por un núcleo, $(Z, A) + \mathrm{n} \to (Z, A+1) + \gamma$. En el *proceso s* (lento), las capturas son más lentas que la mayoría de las desintegraciones beta: el tiempo entre dos capturas sobre un mismo núcleo es de cientos a miles de años, de modo que un núcleo inestable casi siempre se desintegra antes de poder capturar, y la cadena de capturas y desintegraciones sigue el valle de estabilidad. En el *proceso r* (rápido), la densidad de neutrones es tan alta que las capturas son mucho más rápidas que las desintegraciones: los núcleos son llevados a isótopos muy ricos en neutrones, lejos de la estabilidad, en unos pocos segundos, y se desintegran de vuelta a la estabilidad cuando se agotan los neutrones.

Los dos procesos alcanzan núcleos distintos, y la carta de nucleídos muestra cuáles. La figura siguiente dibuja una franja de ella, desde el cadmio hasta el bario. El [proceso s](#def-b3-origin-of-elements-s-process) la recorre siguiendo el valle de estabilidad: a lo largo de una fila de un elemento mientras los isótopos son estables, y luego una fila hacia arriba mediante una desintegración beta. El [proceso r](#def-b3-origin-of-elements-s-process) procede del lado rico en neutrones, abajo a la derecha: cada núcleo muy rico en neutrones se desintegra mediante sucesivas desintegraciones beta menos a lo largo de su isobara, conservando su número másico, y se detiene en el primer núcleo estable que encuentra. Un núcleo estable que tiene una isobara estable de menor $Z$ queda *apantallado* frente al [proceso r](#def-b3-origin-of-elements-s-process): $^{122}\mathrm{Te}$ queda detrás de $^{122}\mathrm{Sn}$, $^{123}\mathrm{Te}$ detrás de $^{123}\mathrm{Sb}$, $^{124}\mathrm{Te}$ detrás de $^{124}\mathrm{Sn}$. Estos tres solo pueden formarse por el [proceso s](#def-b3-origin-of-elements-s-process): son *solo s*. Por el contrario, $^{128}\mathrm{Te}$ y $^{130}\mathrm{Te}$ quedan más allá de la vía s, lo que deja al telurio en $^{127}\mathrm{Te}$, cuya vida media es $9.35\,\mathrm{h}$: son solo r.

![Franja de la carta de nucleídos, desde el cadmio hasta el bario, números de neutrones de 62 a 84. Los cuadrados coloreados son los núcleos presentes en la naturaleza, marcados con su número másico: azul, solo s; gris, formados por ambos procesos; rojo, solo r; naranja, núcleos p, no alcanzados por ninguno. Los cuadrados vacíos son los núcleos inestables por los que pasa el proceso s. Flechas azules: la vía s, capturas hacia la derecha, desintegraciones beta en diagonal hacia arriba y a la izquierda (en 134 Cs y 135 Cs la vía se bifurca). Flechas rojas discontinuas: tres de las cadenas de desintegración del proceso r, que terminan en 128 Te, 130 Te y 134 Xe. Las clases se calculan a partir de los isótopos presentes en la naturaleza (Asplund, Amarsi y Grevesse, 2021) y de las vidas medias y los modos de desintegración de la carta de nucleídos del OIEA.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-origin-of-elements/fig-34837fc85327.svg)

*Franja de la carta de nucleídos, desde el cadmio hasta el bario, números de neutrones de 62 a 84. Los cuadrados coloreados son los núcleos presentes en la naturaleza, marcados con su número másico: azul, solo s; gris, formados por ambos procesos; rojo, solo r; naranja, [núcleos p](#def-b3-origin-of-elements-p-process), no alcanzados por ninguno. Los cuadrados vacíos son los núcleos inestables por los que pasa el [proceso s](#def-b3-origin-of-elements-s-process). Flechas azules: la vía s, capturas hacia la derecha, desintegraciones beta en diagonal hacia arriba y a la izquierda (en $^{134}\mathrm{Cs}$ y $^{135}\mathrm{Cs}$ la vía se bifurca). Flechas rojas discontinuas: tres de las cadenas de desintegración del [proceso r](#def-b3-origin-of-elements-s-process), que terminan en $^{128}\mathrm{Te}$, $^{130}\mathrm{Te}$ y $^{134}\mathrm{Xe}$. Las clases se calculan a partir de los isótopos presentes en la naturaleza (Asplund, Amarsi y Grevesse, 2021) y de las vidas medias y los modos de desintegración de la carta de nucleídos del OIEA.*

Un tercer grupo, los cuadrados naranjas, no lo alcanza ninguno de los dos procesos: los isótopos ricos en protones, como $^{112}\mathrm{Sn}$, $^{120}\mathrm{Te}$ o $^{124}\mathrm{Xe}$.

**Definición 30.6 (núcleos p).**

Los *núcleos p* son los isótopos estables del lado rico en protones del valle de estabilidad, más allá del pico del hierro, que ni el [proceso s](#def-b3-origin-of-elements-s-process) ni el [proceso r](#def-b3-origin-of-elements-s-process) pueden producir: están protegidos del [proceso r](#def-b3-origin-of-elements-s-process) por un isóbaro estable de $Z$ menor y quedan fuera de la trayectoria del [proceso s](#def-b3-origin-of-elements-s-process). Se atribuyen a un proceso p separado, probablemente en explosiones de supernova, y, con pocas excepciones, sus abundancias son mucho menores que las de los isótopos s y r vecinos.

La regla que lee la carta, aplicada a los 287 nucleidos de la tabla protosolar más allá del zinc, encuentra 30 núcleos solo-s, 29 núcleos solo-r y 36 [núcleos p](#def-b3-origin-of-elements-p-process). Uno de estos [núcleos p](#def-b3-origin-of-elements-p-process), $^{176}\mathrm{Hf}$, en realidad lo alcanza el [proceso s](#def-b3-origin-of-elements-s-process) a través de un estado excitado de larga vida del $^{176}\mathrm{Lu}$ que la regla simple ignora; los otros 35 son los [núcleos p](#def-b3-origin-of-elements-p-process) de la literatura.

El [proceso s](#def-b3-origin-of-elements-s-process) puede seguirse cuantitativamente, porque sus núcleos están cerca de la estabilidad y sus secciones eficaces de captura pueden medirse. En un plasma estelar a temperatura $T$ los neutrones están termalizados, y lo que importa es la sección eficaz promediada sobre su distribución de Maxwell–Boltzmann, $\langle\sigma\rangle$, que se da para una energía térmica $kT = 30\,\mathrm{keV}$.

**Proposición 30.7 (La relación σN\sigma NσN).**

En un tramo de la trayectoria s donde todos los núcleos son estables y la densidad de neutrones $n_\mathrm{n}$ y la temperatura son constantes, sea $N_A$ la abundancia del núcleo de número másico $A$ y $\langle\sigma\rangle_A$ su sección eficaz promediada. Si el flujo de neutrones ha alcanzado un estado estacionario, entonces

$$
\langle\sigma\rangle_{A-1} N_{A-1} = \langle\sigma\rangle_A N_A ,
$$

de modo que el producto $\sigma N$ es el mismo para todos los núcleos del tramo.

**Demostración.** Un núcleo de masa $A$ captura neutrones a razón de $\lambda_A = n_\mathrm{n}\langle\sigma\rangle_A v_T$ por núcleo, siendo $v_T$ la velocidad térmica media de los neutrones. Se forma por capturas sobre $A - 1$ y se destruye por capturas sobre sí mismo, de modo que $\mathrm{d}N_A/\mathrm{d}t = n_\mathrm{n} v_T\,(\langle\sigma\rangle_{A-1}
N_{A-1} - \langle\sigma\rangle_A N_A)$. En un estado estacionario la derivada se anula, y eso es la relación. Un núcleo con una sección eficaz grande se transforma rápidamente en otro y se mantiene raro; uno con una sección eficaz pequeña se acumula. ∎

Los tres isótopos solo-s del telurio lo ponen a prueba. Sus abundancias protosolares son $0.1067$, $0.0373$ y $0.1984$ átomos por cada millón de átomos de silicio, y sus secciones eficaces $295$, $832$ y $155\,\mathrm{mb}$: los productos son $31.5$, $31.0$ y $30.8\,\mathrm{mb}$, iguales con un margen del tres por ciento, aunque las abundancias difieren en un factor de cinco. Al cruzar un número mágico de neutrones la relación se rompe: los núcleos con $N = 50$, $82$ o $126$ están tan fuertemente ligados que capturan mal, $\langle\sigma\rangle = 4.0\,\mathrm{mb}$ para $^{138}\mathrm{Ba}$ frente a $61.2\,\mathrm{mb}$ para $^{136}\mathrm{Ba}$, y actúan como cuellos de botella. La figura siguiente muestra el producto para todos los núcleos solo-s: mesetas planas separadas por escalones cerca de $A = 88$, $140$ y $208$.

![El producto de la sección eficaz de captura de neutrones a 30\, keV (KADoNiS) y la abundancia protosolar (Asplund, Amarsi y Grevesse, 2021) para los 30 núcleos solo-s. Entre los números mágicos de neutrones (líneas punteadas) es casi constante; en cada uno el flujo se estrangula y el producto cae. La línea es el modelo clásico del proceso s ajustado aquí a los núcleos más pesados que A = 90. Los más ligeros necesitan una segunda componente, más débil, producida en estrellas masivas.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-origin-of-elements/fig-ea6fa2741518.svg)

*El producto de la sección eficaz de [captura de neutrones](#def-b3-origin-of-elements-s-process) a $30\,\mathrm{keV}$ (KADoNiS) y la abundancia protosolar (Asplund, Amarsi y Grevesse, 2021) para los 30 núcleos solo-s. Entre los números mágicos de neutrones (líneas punteadas) es casi constante; en cada uno el flujo se estrangula y el producto cae. La línea es el modelo clásico del [proceso s](#def-b3-origin-of-elements-s-process) ajustado aquí a los núcleos más pesados que $A = 90$. Los más ligeros necesitan una segunda componente, más débil, producida en estrellas masivas.*

La línea de la figura es el modelo clásico del [proceso s](#def-b3-origin-of-elements-s-process): una pequeña fracción $G$ del hierro-56 se expone a neutrones, con exposiciones distribuidas exponencialmente alrededor de un valor medio $\tau_0$, y el flujo se sigue núcleo a núcleo con las secciones eficaces medidas. Su ajuste a 22 núcleos solo-s más pesados que $A = 90$ (sin contar el $^{176}\mathrm{Lu}$, que se desintegra, y el $^{187}\mathrm{Os}$, alimentado por la desintegración del $^{187}\mathrm{Re}$) da $\tau_0 = 0.31\,\mathrm{mb}^{-1}$ y $G = 0.054\,\%$ del hierro-56 solar, cercano al $0.04\,\%$ de los análisis detallados, en los que cada núcleo semilla captura por término medio unos quince neutrones. Los núcleos solo-s más ligeros, germanio-70 y selenio-76, quedan muy por encima de la línea: necesitan una segunda componente, más débil, producida en estrellas masivas.

Cuando un núcleo inestable del camino vive aproximadamente lo mismo que el tiempo entre dos capturas, el flujo se bifurca: una parte se desintegra y otra captura. Estas *bifurcaciones* se producen en el $^{79}\mathrm{Se}$, $^{85}\mathrm{Kr}$, $^{134}\mathrm{Cs}$, $^{147}\mathrm{Pm}$ y $^{151}\mathrm{Sm}$, entre otros. Una bifurcación permite que parte del flujo evite un núcleo: de los dos isótopos solo-s del samario, el $^{150}\mathrm{Sm}$ recibe todo el flujo y el $^{148}\mathrm{Sm}$ solo la parte que dio la vuelta a la bifurcación en la masa 147, y la razón de sus $\sigma N$, $0.87$, mide esa proporción. Como la proporción depende de la densidad de neutrones y de la temperatura, las bifurcaciones son termómetros y densímetros de las estrellas donde actuó el [proceso s](#def-b3-origin-of-elements-s-process).

**En el laboratorio — Medida de una sección eficaz de captura.**

Para medir las secciones eficaces promediadas que necesita el [proceso s](#def-b3-origin-of-elements-s-process), los físicos reproducen un espectro estelar de neutrones en un acelerador. Los protones que inciden sobre un blanco de litio producen neutrones mediante la reacción $^{7}\mathrm{Li}(\mathrm{p},\mathrm{n})^{7}\mathrm{Be}$, cuyo espectro imita el de un espectro térmico a $kT = 25\,\mathrm{keV}$, cercano a los $23\,\mathrm{keV}$ de los destellos de la capa de helio de una gigante roja. La muestra se sitúa justo contra el blanco, en el flujo más intenso, y tras la irradiación, los rayos gamma de los núcleos radiactivos recién formados se cuentan: este método de activación funciona con muestras de menos de un microgramo. Cuando el producto es estable, los neutrones se envían en pulsos y se mide su energía por el tiempo de vuelo a lo largo de una trayectoria, y una esfera de cristales de fluoruro de bario que rodea la muestra registra la cascada de rayos gamma de cada captura.

**Historia — Tecnecio en gigantes rojas.**

En 1952 P. W. Merrill halló las líneas del tecnecio en los espectros de gigantes rojas de tipo espectral S. El tecnecio no tiene ningún isótopo estable; el que produce el [proceso s](#def-b3-origin-of-elements-s-process), $^{99}\mathrm{Tc}$, tiene una vida media de $211\,000$ años, muy inferior a la vida que estas estrellas habían vivido. El tecnecio tuvo que formarse en el interior de las estrellas, y hacía poco. Fue la primera prueba directa de que las estrellas producen elementos. En 1957 E. M. y G. R. Burbidge, W. A. Fowler y F. Hoyle, y de forma independiente A. G. W. Cameron, formularon el modelo clásico del [proceso s](#def-b3-origin-of-elements-s-process).

El [proceso r](#def-b3-origin-of-elements-s-process) deja sus propios picos. Su camino discurre cerca de la línea de goteo de neutrones, el límite más allá del cual un núcleo no puede retener otro neutrón, y el flujo se detiene en los núcleos con capas de neutrones cerradas, $N = 50$, $82$ y $126$, hasta que se desintegran beta. Estos puntos de espera acumulan material; tras las desintegraciones finales hasta la estabilidad, las acumulaciones quedan en números másicos unas pocas unidades inferiores a los picos del [proceso s](#def-b3-origin-of-elements-s-process) de los mismos números mágicos, que están formados por núcleos estables: cerca de $A = 130$ (teluro y xenón) y $A = 195$ (platino), frente a $A = 138$ y $208$ de los picos s del bario y del plomo. La curva de abundancias muestra ambos conjuntos de picos, uno junto a otro. El [proceso r](#def-b3-origin-of-elements-s-process) produce aproximadamente la mitad de los elementos pesados; el [proceso s](#def-b3-origin-of-elements-s-process) la otra mitad.

## 30.4 Dónde actúan los procesos

El [proceso s](#def-b3-origin-of-elements-s-process) principal actúa en gigantes rojas de hasta unas tres masas solares, cerca del final de su vida, como estrellas de la rama asintótica de las gigantes. Entre destellos de combustión de helio en una capa alrededor de sus núcleos se forma una capa delgada rica en carbono-13; a unos $9 \times 10^{7}\,\mathrm{K}$ la reacción $^{13}\mathrm{C}(\alpha,\mathrm{n})^{16}\mathrm{O}$ libera neutrones durante unos diez mil años, con densidades de $10^6$ a $10^{8}\,\text{neutrones}\,\mathrm{cm}^{-3}$. Durante los propios destellos, por encima de $2.5 \times 10^{8}\,\mathrm{K}$, la reacción $^{22}\mathrm{Ne}(\alpha,\mathrm{n})^{25}\mathrm{Mg}$ da lugar a una ráfaga de unos pocos años con densidades de hasta $10^{10}\,\mathrm{cm}^{-3}$. Los productos son arrastrados hasta la superficie, donde se observa el tecnecio, y expulsados por el viento estelar. El [proceso s](#def-b3-origin-of-elements-s-process) débil, que produce los núcleos solo-s más ligeros que $A = 90$, actúa en estrellas masivas durante la combustión del helio y del carbono.

Las supernovas de colapso del núcleo, el final de las estrellas de más de ocho a diez masas solares, devuelven los [elementos alfa](#def-b3-origin-of-elements-alpha) y parte del hierro poco después del nacimiento de las estrellas, porque las estrellas masivas viven poco tiempo. Las supernovas de tipo Ia, enanas blancas que explotan en sistemas binarios, devuelven la mayor parte del hierro, pero solo tras un retardo: la enana blanca debe formarse primero, a partir de una estrella de menos de ocho masas solares, y después acumular materia de una compañera hasta alcanzar la masa de Chandrasekhar, de unas $1.44\,\mathrm{M}_{\odot}$, o fusionarse con una segunda enana blanca. El [proceso r](#def-b3-origin-of-elements-s-process) necesita un entorno mucho más extremo.

**Definición 30.8 (Fusión de estrellas de neutrones; kilonova).**

Una *fusión de estrellas de neutrones* es la coalescencia de dos estrellas de neutrones en un sistema binario cerrado, cuya órbita se ha reducido por la emisión de ondas gravitacionales. Una parte de la materia rica en neutrones se expulsa. Una *kilonova* es el brillo transitorio de esa eyecta, calentado por la desintegración radiactiva de los núcleos del [proceso r](#def-b3-origin-of-elements-s-process) recién formados, que dura unos días.

El 17 de agosto de 2017 los detectores de ondas gravitacionales registraron la espiral de dos estrellas de neutrones, GW170817, a una distancia de unos $40\,\mathrm{Mpc}$: dos cuerpos de $1.17$ a $1.60\,\mathrm{M}_{\odot}$, que sumaban $2.74\,\mathrm{M}_{\odot}$. Un destello de rayos gamma llegó $1.7\,\mathrm{s}$ después de la fusión. Menos de once horas más tarde, los telescopios hallaron un nuevo punto de luz en la galaxia NGC 4993 (figura siguiente). Su brillo ultravioleta se apagó en dos días, y a lo largo de diez días su luz viró al rojo y al infrarrojo. Los modelos de esa evolución necesitan varias componentes de eyecta, la más roja, rica en lantánidos, elementos pesados del [proceso r](#def-b3-origin-of-elements-s-process) cuya densa maraña de líneas vuelve opaca la eyecta. La masa total expulsada se estima en $0.03$ a $0.08\,\mathrm{M}_{\odot}$: la primera prueba directa de que las fusiones de estrellas de neutrones producen elementos del [proceso r](#def-b3-origin-of-elements-s-process).

![La galaxia NGC 4993 fotografiada por el Telescopio Espacial Hubble tras la fusión de dos estrellas de neutrones detectada en ondas gravitacionales el 17 de agosto de 2017. El recuadro marca la kilonova; las ampliaciones, tomadas el 22, el 26 y el 28 de agosto, la muestran apagándose a lo largo de seis días. NASA y ESA (A. J. Levan, N. R. Tanvir, A. Fruchter y O. Fox), CC BY 4.0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-origin-of-elements/img-8967844c2842.jpg)

*La galaxia NGC 4993 fotografiada por el Telescopio Espacial Hubble tras la fusión de dos estrellas de neutrones detectada en ondas gravitacionales el 17 de agosto de 2017. El recuadro marca la [kilonova](#def-b3-origin-of-elements-kilonova); las ampliaciones, tomadas el 22, el 26 y el 28 de agosto, la muestran apagándose a lo largo de seis días. NASA y ESA (A. J. Levan, N. R. Tanvir, A. Fruchter y O. Fox), CC BY 4.0.*

**Datos de 2021.**

Si las fusiones de estrellas de neutrones producen la mayor parte de los elementos del [proceso r](#def-b3-origin-of-elements-s-process) de la Galaxia no está resuelto. Las fusiones deben esperar a que sus órbitas binarias decaigan, y los modelos de la evolución galáctica en los que son la única fuente producen los elementos del [proceso r](#def-b3-origin-of-elements-s-process) demasiado tarde para explicar lo que se observa en las estrellas más antiguas y más pobres en metales. Otros candidatos son los tipos raros de supernova de colapso de núcleo, con rotación rápida y campos magnéticos intensos, y el colapso de estrellas muy masivas; un modelo de la Galaxia explica el europio observado si alrededor del tres por ciento de las hipernovas de 25 a $50\,\mathrm{M}_{\odot}$ son del tipo impulsado magnéticamente.

## 30.5 La evolución química de la Galaxia

Cada generación de estrellas devuelve al gas parte de lo que fabricó, y la siguiente generación se forma a partir de ese gas enriquecido. La composición de una estrella registra, por tanto, la composición del gas en el momento de su nacimiento, y las estrellas de una galaxia, ordenadas por edad, registran su historia.

**Definición 30.9 (Evolución química galáctica).**

La *evolución química galáctica* es el cambio de la composición del gas y de las estrellas de una galaxia con el tiempo, bajo la acción combinada de la formación estelar, los [rendimientos estelares](#def-b3-origin-of-elements-yield), las vidas de las estrellas y el gas que fluye hacia la galaxia o es expulsado de ella; y el estudio de ese cambio mediante modelos comparados con las abundancias de estrellas de edad conocida.

El modelo más sencillo trata una región de una galaxia como una única caja bien mezclada de gas que se transforma lentamente en estrellas. Sea $s$ la masa retenida en estrellas de larga vida y en restos estelares, $M_\mathrm{g}$ la masa de gas y $M = M_\mathrm{g} + s$ la total. El *rendimiento por generación estelar* $y$ es la masa de metales nuevos que una generación de estrellas devuelve al gas por unidad de masa que retiene.

**Teorema 30.10 (Modelo de caja cerrada).**

Considérese una región que no intercambia gas con su entorno, que parte de gas puro sin metales, que permanece bien mezclada y en la que las estrellas que fabrican metales mueren de inmediato mientras las demás viven para siempre (reciclaje instantáneo). Entonces la [metalicidad](#def-b3-origin-of-elements-metallicity) del gas es

$$
Z = y \ln\frac{1}{\mu}, \qquad \mu = \frac{M_\mathrm{g}}{M},
$$

donde $\mu$ es la fracción de gas, y la masa de estrellas formadas con una [metalicidad](#def-b3-origin-of-elements-metallicity) inferior a $Z$ es $M\,(1 - \mathrm{e}^{-Z/y})$.

**Demostración.** Cuando una masa $\mathrm{d}s$ queda encerrada en estrellas, el gas pierde $\mathrm{d}s$, junto con los metales que contiene, $Z\,\mathrm{d}s$, y gana $y\,\mathrm{d}s$ de metales nuevos: $\mathrm{d}M_\mathrm{g} = -\mathrm{d}s$ y $\mathrm{d}(Z M_\mathrm{g}) = (y - Z)\,\mathrm{d}s$. Desarrollando la segunda, $M_\mathrm{g}\,\mathrm{d}Z + Z\,\mathrm{d}M_\mathrm{g} =
y\,\mathrm{d}s - Z\,\mathrm{d}s$, y los términos en $Z$ se cancelan: $M_\mathrm{g}\,\mathrm{d}Z = -y\,\mathrm{d}M_\mathrm{g}$. Integrando desde $M_\mathrm{g} = M$, $Z = 0$ se obtiene $Z = y\ln(M/M_\mathrm{g})$. Las estrellas formadas mientras la [metalicidad](#def-b3-origin-of-elements-metallicity) del gas era inferior a $Z$ son las formadas mientras el gas pasaba de $M$ a $M\mathrm{e}^{-Z/y}$, una masa $M(1 - \mathrm{e}^{-Z/y})$. ∎

El modelo predice la distribución de [metalicidades](#def-b3-origin-of-elements-metallicity) de las estrellas de larga vida. En el vecindario solar la densidad superficial de gas es $13.7\,\mathrm{M}_{\odot}\,\mathrm{pc}^{-2}$ y la de estrellas y restos estelares $33.4\,\mathrm{M}_{\odot}\,\mathrm{pc}^{-2}$, así que $\mu = 13.7/47.1 = 0.29$. Si el gas actual tiene la $Z = 0.0154$ protosolar, el rendimiento es $y = 0.0154/\ln(1/0.29) = 0.0125$, y la fracción de todas las estrellas formadas hasta ahora que tienen $Z$ por debajo de una décima parte del valor actual, $[\mathrm{Fe/H}] < -1$ si el hierro sigue a los metales, es $(1 - 0.29^{0.1})/(1 - 0.29) = 0.16$.

![El problema de las enanas G. Barras: las metalicidades de las enanas F y G del vecindario solar (Geneva–Copenhagen, survey, muestra de mejor fotometría reanalizada por Casagrande y otros, 2011), todas las estrellas en gris, y las de como máximo una masa solar, las estrellas de larga vida que cuenta el modelo, en azul. Línea: la caja cerrada con la fracción de gas actual del vecindario solar, escalada al mismo número de estrellas; no produce ninguna estrella más rica que su gas actual, tomado como solar. La caja predice una larga cola de estrellas pobres en metales que no existe.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-origin-of-elements/fig-f4a3a1816bf9.svg)

*El [problema de las enanas G](#def-b3-origin-of-elements-g-dwarf). Barras: las [metalicidades](#def-b3-origin-of-elements-metallicity) de las enanas F y G del vecindario solar (Geneva–Copenhagen, survey, muestra de mejor fotometría reanalizada por Casagrande y otros, 2011), todas las estrellas en gris, y las de como máximo una masa solar, las estrellas de larga vida que cuenta el modelo, en azul. Línea: la caja cerrada con la fracción de gas actual del vecindario solar, escalada al mismo número de estrellas; no produce ninguna estrella más rica que su gas actual, tomado como solar. La caja predice una larga cola de estrellas pobres en metales que no existe.*

**Definición 30.11 (Problema de las enanas G).**

El *problema de las enanas G* es la escasez de estrellas de vida larga pobres en metales en el vecindario solar, en comparación con la predicción del [modelo de caja cerrada](#thm-b3-origin-of-elements-closed-box): son mucho menos frecuentes las enanas de tipo espectral G de vida larga con [metalicidades](#def-b3-origin-of-elements-metallicity) bajas que las que una caja cerrada habría producido.

De las 6670 estrellas de la muestra del sondeo, 26 tienen $[\mathrm{Fe/H}] < -1$: $0.4\,\%$, frente al $16\,\%$ de la caja cerrada. Incluso entre las 902 estrellas de masa no superior a una masa solar, la comparación más justa, las 26 representan el $2.9\,\%$. La salida consiste en abrir la caja: si el disco del vecindario solar se construyó mediante una acreción lenta de gas pobre en metales a lo largo de varios miles de millones de años, el gas primitivo nunca fue un gran reservorio dispuesto a formar estrellas pobres en metales, y la cola desaparece. Los modelos del disco que reproducen la distribución necesitan un tiempo de acreción superior a tres o cuatro mil millones de años.

El segundo reloj es la razón entre dos tipos de elementos. Los [elementos alfa](#def-b3-origin-of-elements-alpha) proceden de las supernovas de colapso del núcleo, poco después del nacimiento de una generación estelar; buena parte del hierro procede de supernovas de tipo Ia, mucho más tarde. En las estrellas viejas del halo, con $[\mathrm{Fe/H}] < -1$, $[\alpha/\mathrm{Fe}]$ es de aproximadamente $+0.4$: estas estrellas se formaron a partir de gas enriquecido solo por supernovas de colapso del núcleo. En las estrellas del disco disminuye al aumentar la [metalicidad](#def-b3-origin-of-elements-metallicity) hasta cero, el valor solar, a medida que las supernovas de tipo Ia aportan su hierro. La figura siguiente muestra el modelo más sencillo de este esquema de *retardo temporal*: en una caja cerrada, ambos tipos de supernova empiezan a la vez, salvo que las de tipo Ia comienzan un tiempo fijo después de las primeras estrellas.

![Modelo de dos fases de ( / Fe) en una caja cerrada: la meseta en +0.4 es la razón producida por las supernovas de colapso del núcleo; las supernovas de tipo Ia, que comienzan cuando el gas ha alcanzado ( Fe/H) = -1, luego añaden hierro a ritmo constante, hasta que la razón es solar en ( Fe/H) = 0. La meseta y el codo son los que se observan en las estrellas de la Galaxia; la forma intermedia es la del modelo. A la metalicidad del Sol, el 60\,\% del hierro de este modelo procede de supernovas de tipo Ia.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-origin-of-elements/fig-652b8c6ef6f9.svg)

*Modelo de dos fases de $[\alpha/\mathrm{Fe}]$ en una caja cerrada: la meseta en $+0.4$ es la razón producida por las supernovas de colapso del núcleo; las supernovas de tipo Ia, que comienzan cuando el gas ha alcanzado $[\mathrm{Fe/H}] = -1$, luego añaden hierro a ritmo constante, hasta que la razón es solar en $[\mathrm{Fe/H}] = 0$. La meseta y el codo son los que se observan en las estrellas de la Galaxia; la forma intermedia es la del modelo. A la [metalicidad](#def-b3-origin-of-elements-metallicity) del Sol, el $60\,\%$ del hierro de este modelo procede de supernovas de tipo Ia.*

Los modelos detallados de la Galaxia que reproducen la tendencia observada atribuyen dos tercios del hierro a supernovas de tipo Ia y un tercio a supernovas de colapso del núcleo, y concluyen que el gas de la Galaxia joven alcanzó $[\mathrm{Fe/H}] = -1$ en unos mil a mil quinientos millones de años. La razón es un reloj: una población rica en [elementos alfa](#def-b3-origin-of-elements-alpha) a una [metalicidad](#def-b3-origin-of-elements-metallicity) dada formó sus estrellas deprisa, antes de que las supernovas de tipo Ia pudieran aportar su hierro. El [disco grueso](https://one-course.com/books/earth/5/es/chapter/29-la-via-lactea-y-las-galaxias#def-b3-milky-way-galaxies-structure) del capítulo anterior es una población de este tipo: antigua, y levemente enriquecida en [elementos alfa](#def-b3-origin-of-elements-alpha) en comparación con las estrellas del disco delgado de la misma [metalicidad](#def-b3-origin-of-elements-metallicity).

## 30.6 De las abundancias solares a la Tierra

La Tierra está hecha del mismo material que el Sol, pero no de todo él. En la nebulosa en enfriamiento, solo los elementos que condensaron en sólidos pudieron agruparse en planetesimales; el volumen de segundo año siguió la secuencia en que condensan. El hierro condensa como metal aproximadamente a la misma temperatura que los silicatos de magnesio, de $1310\text{ a }1340\,\mathrm{K}$ a $10^{-4}\,\mathrm{bar}$, de modo que los planetas rocosos conservaron su parte de hierro, mientras que el hidrógeno, el helio, el carbono, el nitrógeno y los gases nobles permanecieron en el gas. De un gas de composición solar, solo cerca de un medio por ciento de la masa condensa como roca y metal.

**Definición 30.12 (Tendencia de volatilidad).**

La *tendencia de volatilidad* de un cuerpo planetario es la disminución de sus abundancias, relativas a las condritas CI y normalizadas a un elemento refractario, al disminuir la temperatura de condensación: los elementos refractarios se mantienen en sus proporciones condríticas, mientras que los moderadamente volátiles se empobrecen tanto más cuanto menor es su temperatura de condensación.

Para la Tierra silicática, el volumen de segundo año trazó la tendencia frente a la temperatura de condensación. Normalizado al magnesio, el circonio (que condensa a $1741\,\mathrm{K}$) se sitúa en $1.11$ veces su proporción CI, el sodio ($958\,\mathrm{K}$) en $0.22$, el potasio ($1006\,\mathrm{K}$) en $0.19$, el rubidio ($800\,\mathrm{K}$) en $0.12$ y el zinc ($726\,\mathrm{K}$) en $0.075$. La Tierra se formó a partir de material que ya había perdido parte de sus elementos moderadamente volátiles antes de que el planeta se ensamblara, o los perdió durante su crecimiento. Incluso las condritas CI difieren del Sol de un modo que sigue la temperatura de condensación, aunque de forma tenue: sus elementos moderadamente volátiles están unos $0.04$ [dex](#def-b3-origin-of-elements-abundance) por encima de los valores fotosféricos.

Así, el registro de este capítulo recorre el planeta. El oxígeno, el magnesio y el silicio del manto son [elementos alfa](#def-b3-origin-of-elements-alpha) de estrellas masivas; el hierro del núcleo procede en su mayor parte de supernovas de tipo Ia; el torio y el uranio, cuya desintegración ayuda a calentar el interior, están más allá del bismuto, donde solo llega el [proceso r](#def-b3-origin-of-elements-s-process); y toda la mezcla se ordenó por volatilidad antes de que la Tierra la acumulara.

## 30.7 Ejercicios

**Ejercicio 30.1 ★.**

Usando las [abundancias solares](#def-b3-origin-of-elements-abundance) $\log\varepsilon(\mathrm{O}) = 8.69$, $\log\varepsilon(\mathrm{Si}) = 7.51$, $\log\varepsilon(\mathrm{Fe}) =
7.46$, $\log\varepsilon(\mathrm{Au}) = 0.91$ y $\log\varepsilon(\mathrm{Pb}) = 1.95$: (a) ¿Cuántos átomos de silicio y cuántos átomos de oxígeno hay en el Sol por átomo de hierro? (b) ¿Cuántos átomos de hierro hay por átomo de oro, y cuántos de plomo por átomo de oro?

**Solución de Ejercicio 30.1.**

(a) $\mathrm{Si/Fe} = 10^{7.51 - 7.46} = 10^{0.05} = 1.12$ y $\mathrm{O/Fe} = 10^{8.69 - 7.46} = 10^{1.23} = 17.0$: aproximadamente un átomo de silicio y diecisiete átomos de oxígeno por cada átomo de hierro. (b) $\mathrm{Fe/Au} =
10^{7.46 - 0.91} = 10^{6.55} = 3.55 \times 10^{6}$ y $\mathrm{Pb/Au} =
10^{1.95 - 0.91} = 10^{1.04} = 11.0$: más allá del pico del hierro las abundancias caen en un factor de millones, pero el plomo, en su propio pico, es once veces más abundante que el oro.

**Ejercicio 30.2 ★.**

(a) ¿Cuántos átomos de hierro por millón de átomos de hidrógeno tiene el Sol ($\log\varepsilon(\mathrm{Fe}) = 7.46$)? (b) Una estrella del halo tiene $[\mathrm{Fe/H}] = -2$. ¿Cuántos átomos de hidrógeno tiene por átomo de hierro? (c) Otra estrella tiene un átomo de hierro por cada diez millones de átomos de hidrógeno. ¿Cuál es su $[\mathrm{Fe/H}]$?

**Solución de Ejercicio 30.2.**

(a) $10^{7.46 - 12} = 2.884 \times 10^{-5}$, es decir, $28.8$ átomos de hierro por millón de átomos de hidrógeno. (b) Cien veces menos: $0.288$ por millón, un átomo de hierro por cada $1/2.884 \times 10^{-7} = 3.47 \times 10^{6}$ átomos de hidrógeno. (c) $[\mathrm{Fe/H}] = \log_{10}(10^{-7}/2.884 \times 10^{-5}) =
-2.46$.

**Ejercicio 30.3 ★.**

Los isótopos estables del xenón tienen números másicos 124, 126, 128, 129, 130, 131, 132, 134 y 136. Entre sus isóbaros, el teluro ($Z = 52$) tiene isótopos estables 120, 122–126, 128 y 130; el yodo ($Z = 53$) solo el 127. La vía s alcanza el xenón en $^{128}\mathrm{Xe}$, por la desintegración del $^{128}\mathrm{I}$, y lo abandona en $^{133}\mathrm{Xe}$, que se desintegra. Clasifíquese cada isótopo del xenón como solo s, solo r, producido por ambos procesos o núcleo p.

**Solución de Ejercicio 30.3.**

$^{124}\mathrm{Xe}$ y $^{126}\mathrm{Xe}$ se sitúan en el lado rico en protones, fuera de la vía s, y quedan apantallados por el $^{124}\mathrm{Te}$ y $^{126}\mathrm{Te}$, ambos estables: [núcleos p](#def-b3-origin-of-elements-p-process). $^{128}\mathrm{Xe}$ y $^{130}\mathrm{Xe}$ están en la vía s, pero quedan protegidos del [proceso r](#def-b3-origin-of-elements-s-process) por los $^{128}\mathrm{Te}$ y $^{130}\mathrm{Te}$, estables: solo s. $^{129}\mathrm{Xe}$, $^{131}\mathrm{Xe}$ y $^{132}\mathrm{Xe}$ están en la vía s y no tienen isóbaro estable de menor $Z$ (el yodo solo tiene el 127): ambos procesos. $^{134}\mathrm{Xe}$ y $^{136}\mathrm{Xe}$ se sitúan más allá de $^{133}\mathrm{Xe}$, donde la vía s deja el xenón, y no quedan apantallados: solo r.

**Ejercicio 30.4 ★.**

GW170817 se halla a unos $40\,\mathrm{Mpc}$, y sus rayos gamma llegaron $1.7\,\mathrm{s}$ después de la fusión observada en ondas gravitacionales. (a) ¿Cuánto tiempo habían viajado ambas señales? (b) Si el retraso se atribuye por completo a una diferencia de velocidades entre las dos, ¿cuán grande es esa diferencia como fracción de la velocidad de la luz, como máximo?

**Solución de Ejercicio 30.4.**

(a) $t = d/c = 40\times3.086 \times 10^{22}\,\mathrm{m}/2.998 \times 10^{8}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} =
4.12 \times 10^{15}\,\mathrm{s}$, aproximadamente $130$ millones de años. (b) $\Delta v/c \le
1.7/4.12 \times 10^{15} = 4.1 \times 10^{-16}$. Es una cota superior, ya que parte o todo el retraso puede deberse a la emisión de los rayos gamma tras la fusión.

**Ejercicio 30.5 ★★.**

Los tres isótopos del teluro de solo [proceso s](#def-b3-origin-of-elements-s-process) tienen abundancias protosolares $0.1067$, $0.0373$ y $0.1984$ por cada $10^6$ átomos de silicio ($A = 122$, $123$, $124$) y secciones eficaces promediadas $295$, $832$ y $155\,\mathrm{mb}$. (a) Calcúlese $\sigma N$ para cada uno. (b) A partir de $^{122}\mathrm{Te}$ solamente, estímense las abundancias de $^{123}\mathrm{Te}$ y $^{124}\mathrm{Te}$, y compárense. (c) ¿Por qué no puede aplicarse la relación a $^{128}\mathrm{Te}$?

**Solución de Ejercicio 30.5.**

(a) $295\times0.1067 = 31.48\,\mathrm{mb}$, $832\times0.0373 =
31.03\,\mathrm{mb}$, $155\times0.1984 = 30.75\,\mathrm{mb}$. (b) Desde $^{122}\mathrm{Te}$: $N_{123} = 31.48/832 = 0.037\,83$, $1.4\,\%$ por encima del valor medido, y $N_{124} = 31.48/155 = 0.2031$, $2.4\,\%$ por encima. Las abundancias que difieren en un factor de cinco se predicen con un margen de unos pocos por ciento solo a partir de las secciones eficaces. (c) $^{128}\mathrm{Te}$ es solo r: el flujo s deja el teluro en $^{127}\mathrm{Te}$, que se desintegra, de modo que ningún flujo s estacionario atraviesa $^{128}\mathrm{Te}$ y su abundancia quedó fijada por el [proceso r](#def-b3-origin-of-elements-s-process).

**Ejercicio 30.6 ★★.**

En el modelo clásico, cada núcleo de la vía s transmite al siguiente una fracción $f = 1/(1 + 1/(\tau_0\langle\sigma\rangle))$ del flujo, con $\tau_0 = 0.306\,\mathrm{mb}^{-1}$. (a) Calcúlese $f$ para $^{124}\mathrm{Te}$ ($155\,\mathrm{mb}$) y para el de número mágico de neutrones, $^{138}\mathrm{Ba}$ ($4.0\,\mathrm{mb}$). (b) Los núcleos desde $^{137}\mathrm{Ba}$ hasta $^{142}\mathrm{Nd}$ de la vía tienen secciones eficaces $76.3$, $4.0$, $32.4$, $11.0$, $111.4$ y $35.0\,\mathrm{mb}$. ¿En qué factor disminuye $\sigma N$ desde $^{136}\mathrm{Ba}$ hasta $^{142}\mathrm{Nd}$? (c) Compárese con los valores medidos, $27.6$ y $7.72\,\mathrm{mb}$.

**Solución de Ejercicio 30.6.**

(a) $\tau_0\langle\sigma\rangle = 0.306\times155 = 47.4$, luego $f = 1/(1 + 1/47.4) = 0.979$ para $^{124}\mathrm{Te}$; para $^{138}\mathrm{Ba}$, $0.306\times4.0 = 1.224$ y $f = 1/(1 + 0.817) =
0.550$: el núcleo mágico transmite solo el $55\,\%$ del flujo. (b) Los seis factores son $0.959$, $0.550$, $0.908$, $0.771$, $0.972$ y $0.915$; su producto es $0.328$: $\sigma N$ cae en un factor de $3.05$. (c) La caída medida es $27.6/7.72 = 3.57$. El modelo acierta el tamaño del salto con un margen del $15\,\%$, casi todo ello procedente de $^{138}\mathrm{Ba}$ y $^{140}\mathrm{Ce}$, los dos núcleos con $N = 82$.

**Ejercicio 30.7 ★★.**

Un neutrón de energía térmica $kT$ tiene la velocidad $v_T = \sqrt{2kT/m_\mathrm{n}}$, $m_\mathrm{n} = 1.6749 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$. (a) Calcúlese $v_T$ para $kT = 8\,\mathrm{keV}$, temperatura de la capa de carbono-13 de una gigante roja. (b) Para $^{124}\mathrm{Te}$, con $\langle\sigma\rangle = 155\,\mathrm{mb}$, calcúlese el tiempo medio entre dos capturas, $1/(n_\mathrm{n}\langle\sigma\rangle v_T)$, para $n_\mathrm{n} = 10^6$, $10^8$ y $10^{10}\,\mathrm{cm}^{-3}$. (c) Compárese con las vidas medias de $^{127}\mathrm{Te}$ ($9.35\,\mathrm{h}$) y de $^{134}\mathrm{Cs}$ ($2.07\,\mathrm{yr}$). ¿Cuál de ellos es un punto de ramificación?

**Solución de Ejercicio 30.7.**

(a) $kT = 8\times10^3\times1.602 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} = 1.282 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}$, y $v_T = \sqrt{2\times1.282 \times 10^{-15}/1.6749 \times 10^{-27}} =
1.24 \times 10^{6}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) Con $\langle\sigma\rangle =
155 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}^{2}$, $\lambda = n_\mathrm{n}\langle\sigma\rangle v_T$ es $1.92 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}^{-1}$ para $n_\mathrm{n} = 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}$ ($10^6$ por centímetro cúbico): un tiempo medio de $5.2 \times 10^{10}\,\mathrm{s}$, aproximadamente $1650$ años; después $16.5$ años a $10^8$ y $0.165$ año, dos meses, a $10^{10}\,\mathrm{cm}^{-3}$. (c) $^{127}\mathrm{Te}$ se desintegra en horas, mucho más rápido que cualquiera de estos tiempos de captura: siempre se desintegra y la vía no se bifurca allí. $^{134}\mathrm{Cs}$ vive aproximadamente dos años, entre los tiempos de captura a $10^8$ y $10^{10}\,\mathrm{cm}^{-3}$: a las altas densidades de los destellos de helio, una buena parte de él se captura antes de desintegrarse. Es un punto de ramificación, y las abundancias a uno y otro lado de él miden la densidad de neutrones.

**Ejercicio 30.8 ★★.**

En el Sol, $\log\varepsilon$ vale $6.30$ para el calcio, $3.14$ para el escandio y $4.97$ para el titanio; $1.38$ para el berilio, $2.70$ para el boro y $8.46$ para el carbono. (a) ¿Cuántas veces menos abundante es el escandio que sus dos vecinos? (b) ¿Cuántas veces menos abundante es el berilio que el carbono? (c) ¿Qué rasgo de la curva de abundancias ilustra cada uno, y cuál es su causa?

**Solución de Ejercicio 30.8.**

(a) $10^{6.30 - 3.14} = 1445$ veces menos abundante que el calcio y $10^{4.97 - 3.14} = 68$ veces menos abundante que el titanio. (b) $10^{8.46 - 1.38}
= 1.2 \times 10^{7}$. (c) El escandio muestra el efecto par-impar: los núcleos con número par de protones están más firmemente ligados y se forman por la captura de núcleos de helio en las etapas de quemado de las estrellas masivas, lo que los favorece. El berilio muestra el valle de abundancia del litio, el berilio y el boro: estos núcleos frágiles se destruyen a las temperaturas del interior estelar, y el quemado de helio pasa directamente del helio al carbono sin producirlos.

**Ejercicio 30.9 ★★.**

En el modelo de dos fases del capítulo, la meseta $[\alpha/\mathrm{Fe}] = P$ es la razón producida por las supernovas de colapso del núcleo, y a $[\mathrm{Fe/H}] = 0$ la razón es solar. (a) Demuéstrese que la fracción del hierro solar producido por supernovas de tipo Ia es $1 - 10^{-P}$, y calcúlese esa fracción para $P = 0.4$. (b) ¿Qué meseta daría los dos tercios de los modelos detallados? (c) Una galaxia enana muestra su codo en $[\mathrm{Fe/H}] = -2$. ¿Qué dice eso sobre su formación estelar?

**Solución de Ejercicio 30.9.**

(a) Sea $\alpha$ el conjunto de los [elementos alfa](#def-b3-origin-of-elements-alpha) y $\mathrm{Fe}_\mathrm{cc}$, $\mathrm{Fe}_\mathrm{Ia}$ el hierro procedente de los dos tipos de supernova. En la meseta, $\alpha/\mathrm{Fe}_\mathrm{cc} = 10^{P}$ veces la razón solar. Para $[\mathrm{Fe/H}] = 0$, $\alpha/(\mathrm{Fe}_\mathrm{cc} +
\mathrm{Fe}_\mathrm{Ia})$ es solar. Dividiendo, $\mathrm{Fe}_\mathrm{cc}/(\mathrm{Fe}_\mathrm{cc} + \mathrm{Fe}_\mathrm{Ia})
= 10^{-P}$, y la fracción de tipo Ia es $1 - 10^{-P} = 1 - 10^{-0.4} =
0.602$. (b) $10^{-P} = 1/3$ da $P = \log_{10}3 = 0.48$. (c) Las supernovas de tipo Ia comienzan tras el mismo retardo en ambas galaxias. Cuando comenzaron en la galaxia enana, su gas solo había alcanzado $[\mathrm{Fe/H}] = -2$, frente a $-1$ en la Galaxia: había convertido su gas en estrellas diez veces más lentamente.

**Ejercicio 30.10 ★★★.**

Las condritas CI contienen, en partes por millón en masa, $95\,870$ de magnesio, $3.96$ de circonio, $5010$ de sodio, $530$ de potasio y $2.13$ de rubidio; la Tierra silicatada contiene $22.8\,\%$ de magnesio y $10.5$, $2670$, $240$ y $0.6$ partes por millón de los demás. Sus temperaturas de condensación del 50 por ciento son $1336\,\mathrm{K}$ (Mg), $1741\,\mathrm{K}$ (Zr), $958\,\mathrm{K}$ (Na), $1006\,\mathrm{K}$ (K) y $800\,\mathrm{K}$ (Rb). (a) Para cada elemento, calcúlese $(X/\mathrm{Mg})_\mathrm{Earth}/(X/\mathrm{Mg})_\mathrm{CI}$. (b) Represéntese frente a la temperatura de condensación y descríbase la tendencia. (c) ¿Por qué se elige el magnesio como referencia?

**Solución de Ejercicio 30.10.**

(a) Para el circonio,

$$
\frac{(X/\mathrm{Mg})_\mathrm{Earth}}{(X/\mathrm{Mg})_\mathrm{CI}} =
\frac{10.5/228000}{3.96/95870} = 1.11 ;
$$

Del mismo modo $(2670/228000)/(5010/95870) = 0.224$ para el sodio, $0.190$ para el potasio y $0.118$ para el rubidio. (b) El circonio, el más refractario, se sitúa cerca de su proporción condrítica. Los tres metales alcalinos moderadamente volátiles, que condensan a $800\text{ a }1006\,\mathrm{K}$, están empobrecidos en factores de cinco a nueve, el rubidio, el más volátil, en mayor medida. La Tierra silicatada sigue la [tendencia de volatilidad](#def-b3-origin-of-elements-volatility). (c) El magnesio es un elemento mayor, refractario que condensa junto con la mayor parte de la roca, y es litófilo: permaneció en el manto cuando se formó el núcleo. Un referente siderófilo como el hierro o el níquel mezclaría la pérdida hacia el núcleo con la pérdida por volatilidad.

**Ejercicio 30.11 ★★★.**

Una caja con fugas pierde gas en un viento a un ritmo $\lambda$ veces su ritmo de formación estelar, y no recibe ninguno. (a) Demuéstrese que su [metalicidad](#def-b3-origin-of-elements-metallicity) es $Z = \frac{y}{1 + \lambda}\ln\frac{M_\mathrm{g}(0)}{M_\mathrm{g}}$. (b) Con $y = 0.0125$, compárese la [metalicidad](#def-b3-origin-of-elements-metallicity) alcanzada cuando el gas se ha reducido al $29\,\%$ de su masa inicial para $\lambda = 0$ y $\lambda = 1$. (c) ¿Por qué las galaxias pequeñas, con gravedad débil, tienden a ser pobres en metales?

**Solución de Ejercicio 30.11.**

(a) Cuando una masa $\mathrm{d}s$ queda atrapada en estrellas, el viento elimina $\lambda\,\mathrm{d}s$ de gas de [metalicidad](#def-b3-origin-of-elements-metallicity) $Z$: $\mathrm{d}M_\mathrm{g} = -(1 + \lambda)\,\mathrm{d}s$ y $\mathrm{d}(ZM_\mathrm{g}) = y\,\mathrm{d}s - Z\,\mathrm{d}s -
\lambda Z\,\mathrm{d}s$. Desarrollando la segunda y restando $Z\,\mathrm{d}M_\mathrm{g}$ deja $M_\mathrm{g}\,\mathrm{d}Z =
y\,\mathrm{d}s = -\frac{y}{1 + \lambda}\,\mathrm{d}M_\mathrm{g}$, lo que integrado da el resultado. (b) $\ln(1/0.29) = 1.238$: $Z = 0.0155$ para $\lambda = 0$, y la mitad, $0.0077$, para $\lambda = 1$. (c) Un viento reduce el rendimiento efectivo en el factor $1 + \lambda$. En una galaxia de masa pequeña, las supernovas expulsan el gas con más facilidad, $\lambda$ es grande, y los metales se pierden con el gas.

**Ejercicio 30.12 ★★★.**

(a) El Sol tiene $\log\varepsilon(\mathrm{Li}) = 0.96$ en su fotosfera y las condritas CI $3.25$. Calcúlense las dos razones $N_\mathrm{Li}/N_\mathrm{H}$ y la fracción de su litio que el Sol ha destruido. (b) Las estrellas más antiguas pobres en metales muestran $N_\mathrm{Li}/N_\mathrm{H} = 1.45 \times 10^{-10}$, mientras que la nucleosíntesis del Big Bang predice $4.72 \times 10^{-10}$. ¿En qué factor supera el litio del Sistema Solar a cada uno de estos valores? (c) ¿Qué implican las dos comparaciones?

**Solución de Ejercicio 30.12.**

(a) $N_\mathrm{Li}/N_\mathrm{H} = 10^{0.96 - 12} = 9.1 \times 10^{-12}$ en el Sol y $10^{3.25 - 12} = 1.78 \times 10^{-9}$ en las condritas CI. El Sol conserva $10^{-2.29} = 0.0051$ de su litio: ha destruido $99.5\,\%$ de él. (b) $1.78 \times 10^{-9}/1.45 \times 10^{-10} = 12.3$ y $1.78 \times 10^{-9}/4.72 \times 10^{-10} = 3.8$. (c) El Sistema Solar contiene casi cuatro veces más litio que el que produjo el Big Bang: la mayor parte de su litio se formó más tarde, por algún otro proceso. Las estrellas más antiguas retienen tres veces menos de lo que produjo el Big Bang: o bien han destruido parte de él, como ha hecho el Sol, o bien la predicción omite algo; las dos comparaciones por sí solas no dicen cuál.

## 30.8 Problema: galaxia de caja cerrada

**Problema 30.1.**

Problema de fin de semana — desde la mezcla solar hasta las metalicidades de las estrellas de larga vida

Utilícense $\log\varepsilon(\mathrm{H}) = 12$, las [abundancias solares](#def-b3-origin-of-elements-abundance) $\log\varepsilon(\mathrm{Fe}) = 7.46$, $\log\varepsilon(\mathrm{O}) =
8.69$, $\log\varepsilon(\mathrm{He}) = 10.914$, las actuales fracciones de masa fotosféricas $X = 0.7438$, $Y = 0.2423$, $Z = 0.0139$, y el $Z_\odot = 0.0154$ protosolar. Supóngase en todo momento que el hierro sigue a la [metalicidad](#def-b3-origin-of-elements-metallicity) total, $[\mathrm{Fe/H}] = \log_{10}(Z/Z_\odot)$.

**Parte I — La mezcla solar.**

1. ¿Cuántos átomos de hidrógeno hay en el Sol por cada átomo de hierro?
2. Calcúlese la razón numérica $N_\mathrm{He}/N_\mathrm{H}$ . Tomando un átomo de helio cuatro veces más pesado que uno de hidrógeno, compárese $4N_\mathrm{He}/N_\mathrm{H}$ con $Y/X$ .
3. Una estrella tiene un átomo de hierro por cada $350\,000$ átomos de hidrógeno. Calcúlese su $[\mathrm{Fe/H}]$ con dos decimales.
4. La misma estrella tiene $[\mathrm{O/Fe}] = +0.40$ . Calcúlese su $\log\varepsilon(\mathrm{O})$ , y su número de átomos de oxígeno por átomo de hierro comparado con el del Sol.
5. El oxígeno es el metal más abundante. Estímese la fracción de masa metálica de la estrella escalando la del Sol con $[\mathrm{O/H}]$ .
6. ¿Por qué la [metalicidad](#def-b3-origin-of-elements-metallicity) de una estrella se suele medir a partir del hierro y no a partir del oxígeno, aunque el oxígeno domine $Z$ ?

**Parte II — El proceso s sobre el telurio.** Utilícense los datos del [Ejercicio 30.5](#exo-b3-origin-of-elements-5).

7. Explíquese a partir de la carta de nucleidos por qué $^{122}\mathrm{Te}$ , $^{123}\mathrm{Te}$ y $^{124}\mathrm{Te}$ son solo-s.
8. Calcúlese $\sigma N$ para los tres isótopos y su media.
9. Predígase la abundancia de $^{123}\mathrm{Te}$ a partir de la media de los otros dos, y déese la diferencia respecto del valor medido, en por ciento.
10. $^{128}\mathrm{Te}$ tiene $N = 1.329$ por $10^6$ átomos de Si y $\langle\sigma\rangle = 44.4\,\mathrm{mb}$ . Calcúlese su $\sigma N$ y explíquese por qué no está en la meseta.
11. El par solo-s $^{148}\mathrm{Sm}$ y $^{150}\mathrm{Sm}$ tiene $\sigma N = 7.43$ y $8.53\,\mathrm{mb}$ . ¿Qué fracción del flujo pasó por $^{148}\mathrm{Sm}$ , y a través de qué ramificación?
12. A lo largo de $N = 82$ el producto cae desde $27.6\,\mathrm{mb}$ ( $^{136}\mathrm{Ba}$ ) hasta $7.72\,\mathrm{mb}$ ( $^{142}\mathrm{Nd}$ ). ¿Qué propiedad de los núcleos con $N = 82$ explica la caída?

**Parte III — La caja cerrada.** El entorno solar tiene $13.7\,\mathrm{M}_{\odot}\,\mathrm{pc}^{-2}$ de gas y $33.4\,\mathrm{M}_{\odot}\,\mathrm{pc}^{-2}$ de estrellas y remanentes estelares. Supóngase que el gas actual tiene $Z = Z_\odot$.

13. Calcúlese la fracción de gas actual $\mu_1$ .
14. Calcúlese el rendimiento por generación estelar $y$ que necesita la caja cerrada, y su razón respecto a $Z_\odot$ .
15. Calcúlense $Z$ y $[\mathrm{Fe/H}]$ del gas cuando la fracción de gas era $0.9$ , y luego $0.5$ .
16. Calcúlese la fracción de gas cuando el gas alcanzó $[\mathrm{Fe/H}] = -1$ .
17. ¿Qué fracción de la masa total había quedado entonces retenida en estrellas?
18. Si la fracción de gas actual fuera $0.1$ , ¿qué rendimiento necesitaría la caja?

**Parte IV — La distribución de metalicidades.**

19. Muéstrese que la caja cerrada da una distribución de estrellas en $[\mathrm{Fe/H}]$ proporcional a $Z\,\mathrm{e}^{-Z/y}$ , y hállese el $[\mathrm{Fe/H}]$ de su máximo.
20. Calcúlese la fracción de todas las estrellas formadas hasta el momento con $[\mathrm{Fe/H}] < -1$ .
21. Calcúlese la fracción con $[\mathrm{Fe/H}] < -0.5$ .
22. En la muestra de estudio de 6670 enanas F y G, 26 tienen $[\mathrm{Fe/H}] < -1$ . ¿Cuántas predice la caja cerrada?
23. Entre las 902 estrellas de masa no superior a una masa solar se encuentran las mismas 26. Calcúlese la fracción observada, y explíquese por qué esta submuestra es la comparación más justa.
24. Con una fracción de gas actual de $0.1$ , ¿cuál sería la fracción predicha por debajo de $-1$ ? ¿Resuelve otra fracción de gas el problema?
25. Calcúlese la fracción de estrellas de larga vida con $[\mathrm{Fe/H}] < -1$ que predice la caja cerrada para el entorno solar, en por ciento, con dos cifras significativas, y explíquese qué implica la comparación con las estrellas observadas para la historia del disco.

**Solución de Problema 30.1.**

**Parte I.**

**1.** $10^{12 - 7.46} = 10^{4.54} = 34\,700$.

**2.** $N_\mathrm{He}/N_\mathrm{H} = 10^{10.914 - 12} = 0.0820$, así que $4N_\mathrm{He}/N_\mathrm{H} = 0.328$, frente a $Y/X =
0.2423/0.7438 = 0.326$. Coinciden con una diferencia de $0.7\,\%$; la pequeña diferencia se debe a que un átomo de helio pesa algo menos que cuatro átomos de hidrógeno.

**3.** $\log_{10}\bigl((1/350000)/2.884 \times 10^{-5}\bigr) = -5.544 + 4.540 =
-1.00$.

**4.** $[\mathrm{O/H}] = -1.00 + 0.40 = -0.60$, así que $\log\varepsilon(\mathrm{O}) = 8.69 - 0.60 = 8.09$. La estrella tiene $10^{8.09 - 6.46} = 42.7$ átomos de oxígeno por átomo de hierro, frente a $10^{1.23} = 17.0$ en el Sol: $10^{0.4} = 2.5$ veces más.

**5.** $Z \approx 0.0139\times10^{-0.60} = 0.0035$, una cuarta parte de la del Sol.

**6.** El hierro tiene muchísimas líneas en el espectro de una estrella fría, mientras que el oxígeno tiene pocas y débiles: el hierro se mide mucho más fácilmente y con mayor precisión, y representa al conjunto de los metales.

**Parte II.**

**7.** Cada uno se sitúa tras un isóbaro estable de menor $Z$: $^{122}\mathrm{Sn}$, $^{123}\mathrm{Sb}$ y $^{124}\mathrm{Sn}$ detienen las cadenas de desintegración del [proceso r](#def-b3-origin-of-elements-s-process) antes de que alcancen el telurio. Los tres se encuentran en la vía s, que recorre el telurio desde $^{122}\mathrm{Te}$ hasta $^{126}\mathrm{Te}$.

**8.** $31.48$, $31.03$ y $30.75\,\mathrm{mb}$; media $31.09\,\mathrm{mb}$.

**9.** La media de las otras dos es $(31.48 + 30.75)/2 = 31.11\,\mathrm{mb}$, así que $N_{123} = 31.11/832 = 0.037\,40$, solo $0.3\,\%$ por encima del valor medido $0.0373$.

**10.** $1.329\times44.4 = 59.0\,\mathrm{mb}$, casi el doble de la meseta. $^{128}\mathrm{Te}$ es solo r: la vía s abandona el telurio en $^{127}\mathrm{Te}$, así que su abundancia se formó por el [proceso r](#def-b3-origin-of-elements-s-process) y no debe nada al flujo s.

**11.** $1 - 7.43/8.53 = 0.13$: $13\,\%$ del flujo pasó eludió $^{148}\mathrm{Sm}$, mediante capturas sobre los núcleos inestables $^{147}\mathrm{Nd}$, $^{147}\mathrm{Pm}$ y $^{148}\mathrm{Pm}$ antes de que pudieran desintegrarse en samario.

**12.** Con una capa cerrada de 82 neutrones, estos núcleos ligan débilmente un neutrón adicional y tienen secciones eficaces de captura muy pequeñas ($4.0\,\mathrm{mb}$ para $^{138}\mathrm{Ba}$). El flujo se acumula sobre ellos y solo una parte lo atraviesa: son cuellos de botella.

**Parte III.**

**13.** $\mu_1 = 13.7/(13.7 + 33.4) = 13.7/47.1 = 0.291$.

**14.** $\ln(1/0.291) = 1.235$, así que $y = 0.0154/1.235 = 0.0125$, $0.81$ veces $Z_\odot$.

**15.** Con $\mu = 0.9$, $\ln(1/0.9) = 0.1054$, así que $Z = 0.0125\times0.1054 =
0.001\,31$. Como $0.00131/0.0154 = 0.0851$, $[\mathrm{Fe/H}] =
-1.07$. Con $\mu = 0.5$, $Z = 0.0125\times0.693 = 0.008\,64$ y $[\mathrm{Fe/H}] = -0.25$.

**16.** $Z = 0.00154$, así que $\mu = \mathrm{e}^{-0.00154/0.01247} =
\mathrm{e}^{-0.1235} = 0.884$.

**17.** $1 - 0.884 = 0.116$: $12\,\%$ de la masa.

**18.** $y = 0.0154/\ln 10 = 0.0067$, aproximadamente la mitad.

**Parte IV.**

**19.** La masa de las estrellas con [metalicidad](#def-b3-origin-of-elements-metallicity) inferior a $Z$ es $M(1 - \mathrm{e}^{-Z/y})$, de modo que por unidad de $Z$ vale $(M/y)\,\mathrm{e}^{-Z/y}$. Como $Z = Z_\odot10^{[\mathrm{Fe/H}]}$, $\mathrm{d}Z = Z\ln 10\,\mathrm{d}[\mathrm{Fe/H}]$, y por unidad de $[\mathrm{Fe/H}]$ la distribución es proporcional a $Z\mathrm{e}^{-Z/y}$. Su derivada, $(1 - Z/y)\mathrm{e}^{-Z/y}$, se anula en $Z = y$: el máximo está en $[\mathrm{Fe/H}] = \log_{10}0.810 = -0.09$.

**20.** $0.116/(1 - 0.291) = 0.1162/0.7091 = 0.164$.

**21.** $Z/y = 1.235\times10^{-0.5} = 0.3905$, $1 - \mathrm{e}^{-0.3905} =
0.3233$, y $0.3233/0.7091 = 0.456$.

**22.** $6670\times0.1638 = 1093$, frente a 26: unas cuarenta veces más.

**23.** $26/902 = 2.9\,\%$, todavía más de cinco veces por debajo de la caja. Las estrellas del modelo son las de vida larga, las de como mucho una masa solar aproximadamente, que han sobrevivido todas desde que se formaron; entre las estrellas F más masivas, las más antiguas, que son también las más pobres en metales, ya han muerto, y la muestra completa las subcuenta.

**24.** $(1 - 0.1^{0.1})/(1 - 0.1) = 0.2057/0.9 = 0.23$: peor. Aumentar la fracción de gas tampoco ayuda: a medida que $\mu_1$ tiende a 1, la fracción tiende a $0.1$, todavía más de tres veces el $2.9\,\%$ observado. Ninguna fracción de gas salva la caja cerrada.

**25.** La caja cerrada predice que **$16\,\%$** de las estrellas de vida larga de la vecindad solar tienen $[\mathrm{Fe/H}] < -1$, frente a un $3\,\%$ como máximo observado. El disco no fue una caja cerrada: creció por una lenta caída de gas pobre en metales, de modo que casi nunca hubo gas esperando a baja [metalicidad](#def-b3-origin-of-elements-metallicity) para formar estrellas.