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title: "Modélisation des éléments en traces"
book: "Sciences de la Terre et de l’Univers à l’université — 3e année"
subject: earth
language: fr
chapter: 12
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/5/fr/chapter/12-modelisation-des-elements-en-traces
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Chapitre 12 — Modélisation des éléments en traces

Deux basaltes ont fait éruption sur la même île, à quelques kilomètres l’un de l’autre. L’un contient plus d’une fois et demie autant de lanthane que l’autre, et presque quatre fois moins d’ytterbium. Ont-ils fondu à partir de deux manteaux différents, ou à partir d’un même manteau fondu à des taux différents, ou à des profondeurs différentes ? Les éléments majeurs ne permettent guère de trancher : ce sont deux basaltes. Les éléments en traces, qui suivent les minéraux sans les modifier, conservent la trace de la quantité de liquide produite, de la manière dont il a quitté sa source et quels minéraux sont restés en place. Ce chapitre écrit cette trace sous forme d’équations et la relit.

**Tu sais déjà.**

Le coefficient de partage minéral–liquide $D$, le coefficient de partage global, les éléments compatibles et incompatibles, les terres rares, la chondrite CI et le manteau primitif, les diagrammes normalisés et l’anomalie en europium, MORB et OIB figurent dans le volume de deuxième année, dans son chapitre sur les éléments dans la Terre. La péridotite, la lherzolite, la fusion partielle et le taux de fusion $F$ figurent dans son chapitre sur la fusion du manteau ; la cristallisation à l’équilibre et fractionnée, la loi de fractionnement de Rayleigh, le mélange et l’assimilation–cristallisation fractionnée (AFC), dans son chapitre sur la différenciation magmatique. Y a été démontrée la constance du rapport de deux éléments très incompatibles pendant la cristallisation.

## 12.1 La comptabilité d’une roche en fusion

Une roche de masse 1 fond. À la fraction de fusion $F$, elle a produit une masse $F$ de liquide et conservé une masse $1 - F$ de résidu solide. Un élément en traces présent à la concentration $C_0$ dans la source se répartit entre les deux ; sa concentration dans le liquide est $C_L$, dans le résidu $C_S$. Chaque modèle de ce chapitre est une forme d’un même bilan, $C_0 = FC_L + (1 - F)C_S$ pour l’ensemble du liquide et du résidu, et d’une règle qui relie $C_S$ à $C_L$ : au contact entre un cristal et le liquide, $C_{\text{minéral}} = D\,C_L$. Les modèles diffèrent par ce qui touche à quoi, et à quel moment.

Les coefficients de partage des minéraux du manteau varient largement. Dans une compilation, le lanthane a $D = 0.058$ dans le clinopyroxène et $0.001$ dans le grenat, dans l’olivine, l’orthopyroxène et le spinelle ; l’ytterbium a $D = 0.58$ dans le clinopyroxène, $4.5$ dans le grenat et $0.16$ dans les trois autres. Le grenat retient les terres rares lourdes et rejette les légères.

**Définition 12.1 (Fusion non modale).**

Dans la *fusion non modale*, les minéraux de la source passent dans le liquide selon des proportions $p_i$ qui diffèrent de leurs fractions massiques $x_i$ dans la source. Le liquide voit alors le coefficient de partage global de la source, $D_0 = \sum_i x_iD_i$, au début de la fusion, puis le coefficient pondéré par la fusion $P = \sum_i p_iD_i$ à mesure que celle-ci progresse.

La fusion est rarement modale. Dans un exemple travaillé de lherzolite à spinelle, composée de $58\,\%$ d’olivine, $27\,\%$ d’orthopyroxène, $12\,\%$ de clinopyroxène et $3\,\%$ de spinelle, les minéraux passent dans le liquide selon les proportions 20, 25, 45 et $10\,\%$ : le clinopyroxène fond quatre fois plus vite que sa part, l’olivine trois fois plus lentement.

**Proposition 12.2 (Coefficient de partage global du résidu).**

Dans la [fusion non modale](#def-b3-trace-element-modelling-nonmodal) à $p_i$ constants, le résidu à la fraction de fusion $F$ a pour coefficient de partage global

$$
\bar D(F) = \frac{D_0 - PF}{1 - F},
$$

valable tant que chaque minéral subsiste, c’est-à-dire pour $F < x_i/p_i$ pour chaque $i$.

**Démonstration.** Par unité de masse de source, la masse du minéral $i$ restant à $F$ est $x_i - p_iF$, et le résidu a pour masse $1 - F$. Son coefficient global est la moyenne pondérée par les masses, $\sum_i (x_i - p_iF)D_i/(1 - F) = (D_0 - PF)/(1 - F)$. Un minéral est épuisé lorsque $x_i - p_iF = 0$. ∎

Avec les coefficients minéraux ci-dessus, une lherzolite à spinelle de l’exemple travaillé, et une lherzolite à grenat maintenue à $5\,\mathrm{GPa}$ et $1400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en laboratoire, de composition $54.1\,\%$ d’olivine, $9.8\,\%$ d’orthopyroxène, $19.5\,\%$ de clinopyroxène et $16.7\,\%$ de grenat en masse, on obtient les coefficients globaux ci-dessous.

| source | $D_{\mathrm{La}}$ | $D_{\mathrm{Sm}}$ | $D_{\mathrm{Yb}}$ |
| --- | --- | --- | --- |
| lherzolite à spinelle | 0.0078 | 0.062 | 0.21 |
| lherzolite à grenat | 0.012 | 0.107 | 0.97 |

Le lanthane est très incompatible dans les deux. L’ytterbium est modérément incompatible dans la lherzolite à spinelle et presque neutre dans la lherzolite à grenat. La différence entre les deux sources tient presque entièrement aux terres rares lourdes.

## 12.2 Fusion à l’équilibre

**Théorème 12.3 (Fusion à l’équilibre).**

Dans la *fusion à l’équilibre*, le liquide reste en équilibre avec l’ensemble du résidu jusqu’à ce qu’il quitte la source d’un seul coup. Avec un coefficient de partage global $D$ constant, le liquide et le résidu à la fraction de fusion $F$ vérifient

$$
\frac{C_L}{C_0} = \frac{1}{D + F(1 - D)}, \qquad
\frac{C_S}{C_0} = \frac{D}{D + F(1 - D)}.
$$

**Démonstration.** À l’équilibre, chaque cristal du résidu contient $D_iC_L$, si bien que le résidu contient en moyenne $C_S = DC_L$. Le bilan $C_0 = FC_L + (1 - F)DC_L$ donne $C_L$, et $C_S$ en découle. ∎

La formule est la loi de cristallisation à l’équilibre du volume de deuxième année lue à rebours : dans les deux cas, $F$ est la fraction de liquide dans un système clos. Ses deux limites méritent d’être connues. Pour $F \to 0$, $C_L \to C_0/D$ : la première goutte de liquide peut enrichir un élément au plus d’un facteur $1/D$. Pour $D \to 0$, $C_L \to
C_0/F$ : un élément parfaitement incompatible est dilué dans le liquide, et son enrichissement ne mesure que $F$. Pour un élément compatible, $D > 1$, le liquide est plus pauvre que la source, et d’autant plus que $F$ est petit.

**Proposition 12.4 (Fusion à l’équilibre non modale).**

Dans la [fusion à l’équilibre](#thm-b3-trace-element-modelling-batch), avec les proportions de fusion $p_i$ de la [Définition 12.1](#def-b3-trace-element-modelling-nonmodal),

$$
\frac{C_L}{C_0} = \frac{1}{D_0 + F(1 - P)}.
$$

**Démonstration.** D’après la [Proposition 12.2](#prop-b3-trace-element-modelling-residue), le résidu contient $\bar D(F)\,C_L$, donc $C_0 = FC_L + (1 - F)\bar D(F)C_L = C_L(F + D_0 - PF)$. ∎

Lorsque $P$ dépasse $D_0$, comme pour le lanthane dans l’exemple traité, où $D_0 =
0.0074$ et $P = 0.025$, le résidu perd son meilleur hôte, le clinopyroxène, plus vite que les autres. Le liquide est alors un peu plus riche que ne le prédit la fusion modale, d’un peu moins de $2\,\%$ à $F = 0.1$ pour le lanthane (exercice 6), mais le résidu épuise son clinopyroxène à $F = 0.12/0.45 \approx 0.27$, et au-delà de ce seuil, les minéraux et les coefficients changent.

## 12.3 Fusion fractionnée et fusion dynamique

Le liquide de fusion d’une péridotite se rassemble le long des joints de grains et peut s’échapper dès qu’il est connecté. Le pôle opposé à la [fusion à l’équilibre](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) retire chaque goutte au fur et à mesure qu’elle se forme.

**Théorème 12.5 (Fusion fractionnée).**

Dans la *fusion fractionnée*, chaque incrément de liquide est en équilibre avec le résidu seulement au moment où il se forme, puis le quitte. Pour un $D$ constant, après extraction d’une masse totale $F$ de liquide, le résidu et le liquide qui se forme à cet instant vérifient

$$
\frac{C_S}{C_0} = (1 - F)^{1/D - 1}, \qquad
\frac{C_L}{C_0} = \frac{1}{D}(1 - F)^{1/D - 1}.
$$

**Démonstration.** Le résidu a une masse $1 - F$ et une concentration $C_S$. Lorsqu’une masse $\mathrm dF$ de liquide part à $C_L = C_S/D$, l’élément du résidu diminue de $\mathrm d[(1 - F)C_S] = -(C_S/D)\,\mathrm dF$. En développant, $(1 - F)\,\mathrm dC_S = C_S(1 - 1/D)\,\mathrm dF$, donc $\mathrm dC_S/C_S = (1/D - 1)\,\mathrm d[-\ln(1 - F)]$. En intégrant depuis $C_S = C_0$ en $F = 0$ donne $\ln(C_S/C_0) = (1/D - 1)\ln(1 - F)$, et $C_L = C_S/D$. ∎

Pour un élément incompatible, $1/D - 1$ est grand et positif : le résidu est épuisé après quelques multiples de $D$ de fusion, et le liquide instantané passe de $C_0/D$ à presque rien. Un résidu de [fusion fractionnée](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional) est bien plus appauvri qu’un résidu de [fusion à l’équilibre](#thm-b3-trace-element-modelling-batch). Les liquides ne sont pas émis un à un, toutefois : ils se rassemblent dans des chenaux et forment des poches, et le liquide regroupé, défini ci-dessous, est tracé en tirets sur la figure.

![Enrichissement d’un élément en traces dans le liquide en fonction du taux de fusion, pour quatre coefficients de partage globaux. (a) Liquides de fusion à l’équilibre (plein) et fusion fractionnée agrégée (tirets ; pour D = 1 les deux restent à 1). (b) Les liquides instantanés de la fusion fractionnée : un élément avec D = 0.01 est épuisé du résidu après quelques pour cent de fusion.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-trace-element-modelling/fig-58ef08159f90.svg)

*Enrichissement d’un élément en traces dans le liquide en fonction du taux de fusion, pour quatre coefficients de partage globaux. (a) Liquides de [fusion à l’équilibre](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) (plein) et [fusion fractionnée](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional) agrégée (tirets ; pour $D = 1$ les deux restent à 1). (b) Les liquides instantanés de la [fusion fractionnée](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional) : un élément avec $D = 0.01$ est épuisé du résidu après quelques pour cent de fusion.*

**Définition 12.6 (Liquide de fusion fractionnée agrégé).**

Le *liquide de fusion fractionnée agrégé* est le mélange de tous les liquides instantanés d’une [fusion fractionnée](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional), de $0$ à $F$, regroupés sans réaction ultérieure avec le résidu.

**Proposition 12.7 (Composition du liquide agrégé).**

Pour un $D$ constant, le [liquide de fusion fractionnée agrégé](#def-b3-trace-element-modelling-fractional) vérifie

$$
\frac{\bar C_L}{C_0} = \frac{1 - (1 - F)^{1/D}}{F}.
$$

**Démonstration.** L’élément extrait est la source moins le résidu, $C_0 - (1 - F)C_S = C_0[1 - (1 - F)^{1/D}]$ d’après le [Théorème 12.5](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional), réparti sur une masse $F$ de liquide. ∎

Dès que $(1 - F)^{1/D}$ est petit, le liquide agrégé contient la totalité de l’élément et $\bar C_L \approx C_0/F$, quel que soit $D$ : pour les éléments très incompatibles, les [liquides de fusion fractionnée agrégés](#def-b3-trace-element-modelling-fractional) et les liquides de [fusion à l’équilibre](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) à petit $D$ coïncident, et mesurent tous deux $F$.

La fusion réelle se situe entre les deux pôles. Un résidu conserve une partie du liquide dans ses pores, et le liquide qui quitte la source est l’excès au-delà de cette porosité.

**Définition 12.8 (Fusion dynamique).**

Dans la *fusion dynamique* (appelée aussi fusion continue), le résidu conserve une fraction massique constante $\phi$ de liquide dans ses pores, en équilibre avec ses cristaux, et tout liquide produit au-delà est extrait.

**Proposition 12.9 (Fusion dynamique).**

La [fusion dynamique](#def-b3-trace-element-modelling-dynamic) de porosité $\phi$ est une [fusion fractionnée](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional) de coefficient de partage effectif $D' = (1 - \phi)D + \phi$, où $F$ est la fraction massique de liquide extrait :

$$
\frac{C_L}{C_0} = \frac{1}{D'}(1 - F)^{1/D' - 1}.
$$

**Démonstration.** Le résidu est constitué de cristaux, de fraction $1 - \phi$, et de liquide de pores, de fraction $\phi$, tous deux en équilibre avec le liquide de concentration $C_L$, donc il vérifie $C_S = [(1 - \phi)D + \phi]C_L = D'C_L$. La démonstration du [Théorème 12.5](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional) s’applique alors avec $D'$. ∎

Pour $\phi = 0$, le modèle est celui de la [fusion fractionnée](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional) ; pour $\phi \to 1$, il tend vers la [fusion à l’équilibre](#thm-b3-trace-element-modelling-batch). Une porosité de un pour cent plafonne l’enrichissement du premier liquide à $1/\phi = 100$, quel que soit $D$ : le liquide de pores tamponne le résidu.

![Trois façons pour un liquide de quitter une source en fusion. (a) À l’équilibre : le liquide reste avec tout le résidu, puis part. (b) Fractionnée : chaque incrément part aussitôt ; les incréments regroupés forment le liquide agrégé. (c) Dynamique : le résidu conserve une petite fraction massique de liquide dans ses pores.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-trace-element-modelling/fig-4d2995bc11cc.svg)

*Trois façons pour un liquide de quitter une source en fusion. (a) À l’équilibre : le liquide reste avec tout le résidu, puis part. (b) Fractionnée : chaque incrément part aussitôt ; les incréments regroupés forment le liquide agrégé. (c) Dynamique : le résidu conserve une petite fraction massique $\phi$ de liquide dans ses pores.*

## 12.4 Fusion, puis cristallisation

Un liquide qui quitte sa source ne sort que rarement inchangé. Il cristallise de l’olivine, puis du pyroxène et du plagioclase sur son trajet vers la surface ; il peut assimiler la roche encaissante, et se mélanger à d’autres lots. Les lois du volume de deuxième année s’appliquent tour à tour : une lave est un liquide de fraction $F$ de sa source, puis un liquide qui a conservé une fraction $f$ de sa masse par cristallisation fractionnée, de sorte que pour un élément de coefficient $D$ dans le résidu de fusion et $D_c$ dans les minéraux qui cristallisent,

$$
C_{\text{lave}} = C_0\,\frac{1}{D + F(1 - D)}\,f^{\,D_c - 1}.
$$

Le second facteur est le même pour tous les éléments que les minéraux qui cristallisent rejettent, $D_c \approx 0$ : il les multiplie tous par $1/f$. Les rapports entre de tels éléments sont donc fixés à la source, et une lave ayant perdu de l’olivine conserve le rapport La/Yb de son liquide primaire tandis que son lanthane augmente. Inverser $F$ à partir d’une concentration exige aussi $f$ ; inverser la source à partir d’un rapport ne l’exige pas. Le plagioclase fait exception parmi les terres rares : il capte l’europium, et son retrait laisse l’anomalie en europium du volume de deuxième année.

## 12.5 Lire les profils de terres rares

Un liquide de lherzolite à spinelle et un liquide de lherzolite à grenat partagent leurs terres rares légères, que ni l’un ni l’autre résidu ne retient, et diffèrent par les lourdes, que le grenat retient. Sur un diagramme normalisé aux chondrites, les liquides de grenat sont raides et à palier dans la partie lourde ; les liquides de spinelle sont plus doux. La raideur croît à mesure que $F$ diminue.

![Profils de terres rares normalisés aux chondrites de liquides de fusion à l’équilibre d’une source de manteau primitif, issus d’une lherzolite à spinelle (cercles bleus) et d’une lherzolite à grenat (carrés rouges), à trois taux de fusion ; la source est la ligne fine. Seules les neuf terres rares dont les coefficients de partage sont tabulés sont représentées.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-trace-element-modelling/fig-efc120af48c3.svg)

*Profils de terres rares normalisés aux chondrites de liquides de [fusion à l’équilibre](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) d’une source de manteau primitif, issus d’une lherzolite à spinelle (cercles bleus) et d’une lherzolite à grenat (carrés rouges), à trois taux de fusion ; la source est la ligne fine. Seules les neuf terres rares dont les coefficients de partage sont tabulés sont représentées.*

Le grenat cède la place au spinelle comme minéral alumineux du manteau vers 60 à $90\,\mathrm{km}$ de profondeur. Un liquide dont les terres rares lourdes sont plates et basses, avec une pente forte des légères vers les lourdes, a donc laissé du grenat dans son résidu et a commencé à fondre à une profondeur d’au moins celle-ci.

Un profil mélange deux inconnues, $F$ et la source. Porter deux éléments l’un contre l’autre permet de les séparer.

**Définition 12.10 (Diagramme rapport–rapport).**

Un *diagramme rapport–rapport* porte, pour une suite de laves, le rapport d’un élément très incompatible $H$ à un élément moins incompatible $M$ en fonction de la concentration en $H$ (ou en fonction d’un autre rapport). La fusion partielle, la cristallisation et le mélange tracent sur lui des courbes de formes différentes.

**Proposition 12.11 (La droite de fusion à l’équilibre).**

Pour les liquides de [fusion à l’équilibre](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) d’une même source avec $D_H = 0$ et un $D_M$ constant, les points $(C_H, C_H/C_M)$ se placent sur la droite

$$
\frac{C_H}{C_M} = \frac{D_M}{C_0^M}\,C_H + \frac{C_0^H(1 - D_M)}{C_0^M}.
$$

**Démonstration.** Avec $D_H = 0$, $C_H = C_0^H/F$, donc $1/F = C_H/C_0^H$. Alors $C_H/C_M = (C_0^H/F)\,(D_M + F(1 - D_M))/C_0^M = C_0^HD_M/(FC_0^M) +
C_0^H(1 - D_M)/C_0^M$, et le premier terme vaut $(D_M/C_0^M)\,C_H$. ∎

La cristallisation fractionnée de minéraux qui rejettent les deux éléments déplace une lave horizontalement sur ce diagramme, puisque le rapport ne change pas ; la fusion la déplace le long d’une droite inclinée dont la pente croît avec $D_M$ ; le mélange de deux liquides dessine une hyperbole. Une source à grenat a un $D_{\mathrm{Yb}}$ élevé, donc une droite de fusion raide dans le diagramme La/Yb en fonction de La.

**Méthode 12.12 (Inversion de deux laves).**

(1) Vérifier que les laves sont cogénétiques et que $H$ est bien plus incompatible que $M$. (2) Corriger chaque lave de la cristallisation, ou n’utiliser que des rapports. (3) À partir de deux laves ou plus, ajuster la droite $C_H/C_M = aC_H + b$. (4) Alors $a = D_M/C_0^M$ et $b = C_0^H(1 - D_M)/C_0^M$ : $C_0^M$ étant supposé, $D_M =
aC_0^M$ et $C_0^H = bC_0^M/(1 - D_M)$. (5) Le taux de fusion de chaque lave est $F = C_0^H/C_H$.

![Liquides de fusion à l’équilibre d’une source de manteau primitif dans un diagramme La/Yb en fonction de La, pour une lherzolite à spinelle et une lherzolite à grenat, avec des repères à F = 1, 2, 5, 10 et 20\,\%, et les deux laves fictives du problème du week-end. Chaque lave ne se situe que sur une seule courbe.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-trace-element-modelling/fig-123a274cf0d1.svg)

*Liquides de [fusion à l’équilibre](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) d’une source de manteau primitif dans un diagramme La/Yb en fonction de La, pour une lherzolite à spinelle et une lherzolite à grenat, avec des repères à $F = 1$, 2, 5, 10 et $20\,\%$, et les deux laves fictives du problème du week-end. Chaque lave ne se situe que sur une seule courbe.*

En échelle logarithmique, la droite de la proposition s’incurve, et avec $D_{\mathrm{La}} \ne 0$ elle n’est presque droite qu’en échelle linéaire ; les courbes de la figure sont exactes. Une source à spinelle ne peut pas produire un liquide de rapport La/Yb supérieur à $(C_0^{\mathrm{La}}/D_{\mathrm{La}})/(C_0^{\mathrm{Yb}}/D_{\mathrm{Yb}})$, soit environ 40 pour le manteau primitif ; une source à grenat peut atteindre environ 120.

## 12.6 Exercices

**Exercice 12.1 ★.**

Avec les coefficients minéraux du samarium, 0.40 dans le clinopyroxène, 0.11 dans le grenat et 0.016 dans l’olivine, l’orthopyroxène et le spinelle, calculer le coefficient de partage global du samarium dans la lherzolite à spinelle ($12\,\%$ de clinopyroxène) et dans la lherzolite à grenat ($19.5\,\%$ de clinopyroxène, $16.7\,\%$ de grenat) du chapitre.

**Solution de Exercice 12.1.**

Lherzolite à spinelle : $0.12\times0.40 + 0.88\times0.016 = 0.048 + 0.0141 =
0.062$. Lherzolite à grenat : $0.195\times0.40 + 0.167\times0.11 +
0.639\times0.016 = 0.078 + 0.0184 + 0.0102 = 0.107$.

**Exercice 12.2 ★.**

Un élément de $D = 0.05$ est présent à $1\,\mathrm{ppm}$ dans une source. Calculer sa concentration dans les liquides de [fusion à l’équilibre](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) pour $F = 0.02$ et $0.10$.

**Solution de Exercice 12.2.**

$1/(0.05 + 0.02\times0.95) = 1/0.069 = 14.5\,\mathrm{ppm}$; $1/(0.05 + 0.10\times0.95) = 1/0.145 = 6.9\,\mathrm{ppm}$.

**Exercice 12.3 ★.**

Quel est le plus fort enrichissement $C_L/C_0$ que la [fusion à l’équilibre](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) peut donner à un élément de $D = 0.01$ ? Et à un élément de $D = 0$ pour $F = 5\,\%$ ?

**Solution de Exercice 12.3.**

L’enrichissement est maximal lorsque $F \to 0$ : $1/D = 100$. Avec $D = 0$, $C_L/C_0 = 1/F = 20$.

**Exercice 12.4 ★.**

Une lave contient $30\,\mathrm{ppm}$ de La et $2.5\,\mathrm{ppm}$ de Yb. Avec les valeurs de la chondrite CI, La 0.232 et Yb $0.163\,\mathrm{ppm}$, calculer son rapport La/Yb et son rapport normalisé à la chondrite $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N$.

**Solution de Exercice 12.4.**

$\mathrm{La/Yb} = 30/2.5 = 12.0$; $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N =
(30/0.232)/(2.5/0.163) = 129.3/15.34 = 8.4$.

**Exercice 12.5 ★★.**

Pour un élément de $D = 0.01$, comparer les résidus après $5\,\%$ de [fusion à l’équilibre](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) et de [fusion fractionnée](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional). Que contient le liquide de [fusion fractionnée](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional) instantané à cet instant ?

**Solution de Exercice 12.5.**

[Fusion à l’équilibre](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) : $C_S/C_0 = 0.01/(0.01 + 0.05\times0.99) = 0.168$. [Fusion fractionnée](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional) : $(0.95)^{99} = 0.0062$, soit 27 fois moins. Le liquide instantané contient $0.0062/0.01 = 0.62\,C_0$ : moins que la source.

**Exercice 12.6 ★★.**

Dans l’exemple traité du chapitre (proportions modales 58, 27, 12, $3\,\%$ ; proportions de fusion 20, 25, 45, $10\,\%$ pour l’olivine, l’orthopyroxène, le clinopyroxène et le spinelle), le lanthane a pour coefficients 0.0003, 0.002, 0.053 et 0.01. Calculer $D_0$ et $P$, puis l’enrichissement du lanthane dans le liquide de [fusion à l’équilibre](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) pour $F = 0.02$ et $0.10$, en [fusion non modale](#def-b3-trace-element-modelling-nonmodal) puis modale.

**Solution de Exercice 12.6.**

$D_0 = 0.58\times0.0003 + 0.27\times0.002 + 0.12\times0.053 + 0.03\times0.01
= 0.00737$; $P = 0.20\times0.0003 + 0.25\times0.002 + 0.45\times0.053 +
0.10\times0.01 = 0.0254$. Pour $F = 0.02$ : [fusion non modale](#def-b3-trace-element-modelling-nonmodal) $1/(0.00737 +
0.02\times0.9746) = 37.2$, fusion modale $1/(0.00737 + 0.02\times0.9926) = 36.7$. Pour $F = 0.10$ : 9.54 et 9.38, soit un écart de $1.7\,\%$.

**Exercice 12.7 ★★.**

Pour $F = 0.10$, comparer le liquide de [fusion à l’équilibre](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) et le [liquide de fusion fractionnée agrégé](#def-b3-trace-element-modelling-fractional) pour $D = 0.1$ puis pour $D = 0.01$. Lequel diffère le plus, et pourquoi ?

**Solution de Exercice 12.7.**

$D = 0.1$ : [fusion à l’équilibre](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) $1/(0.1 + 0.09) = 5.26$ ; [liquide de fusion fractionnée agrégé](#def-b3-trace-element-modelling-fractional) $(1 - 0.9^{10})/0.1 =
6.51$. $D = 0.01$ : [fusion à l’équilibre](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) $1/(0.01 + 0.099) = 9.17$ ; [liquide de fusion fractionnée agrégé](#def-b3-trace-element-modelling-fractional) $(1 - 0.9^{100})/0.1 = 10.00$. Le couple à $D = 0.1$ diffère davantage : pour $D = 0.01$, les deux liquides contiennent déjà presque tout l’élément, et tendent tous deux vers $1/F$.

**Exercice 12.8 ★★.**

Un élément de $D = 0.001$ fond dynamiquement avec $\phi = 0.01$. Calculer $D'$, l’enrichissement du premier liquide extrait, et celui du liquide extrait à $F = 0.01$ ; comparer avec la [fusion fractionnée](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional).

**Solution de Exercice 12.8.**

$D' = 0.99\times0.001 + 0.01 = 0.01099$. Premier liquide : $1/D' = 91$, contre 1000 en [fusion fractionnée](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional). Pour $F = 0.01$ : $91\times0.99^{90.0} = 36.8$, contre $1000\times0.99^{999} = 0.044$ : le liquide interstitiel empêche le résidu d’être dépouillé de ses éléments.

**Exercice 12.9 ★★.**

Dans la lherzolite à spinelle du chapitre, $D_{\mathrm{La}} = 0.0078$ et $D_{\mathrm{Sm}} = 0.062$. Par quel facteur la [fusion à l’équilibre](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) augmente-t-elle le rapport La/Sm au-dessus de la valeur de la source pour $F = 0.01$ et $F = 0.10$ ? Qu’est-ce que cela indique sur l’usage des rapports pour estimer $F$ ?

**Solution de Exercice 12.9.**

Le rapport est multiplié par $(D_{\mathrm{Sm}} + F(1 - D_{\mathrm{Sm}}))/(D_{\mathrm{La}}
+ F(1 - D_{\mathrm{La}}))$ : pour $F = 0.01$, $0.0714/0.0177 = 4.0$ ; pour $F = 0.10$, $0.156/0.107 = 1.46$. Le rapport est sensible à $F$ lorsque $F$ est faible, et presque insensible au-delà d’environ $10\,\%$ ; il dépend aussi de $D_{\mathrm{Sm}}$, donc de la nature des minéraux résiduels.

**Exercice 12.10 ★★★.**

Montrer que le [liquide de fusion fractionnée agrégé](#def-b3-trace-element-modelling-fractional) est la moyenne des liquides instantanés de 0 à $F$, et qu’il tend vers $C_0/F$ lorsque $(1 - F)^{1/D} \to 0$. Pour $D = 0.01$, à partir de quel $F$ est-il à moins de $1\,\%$ de $C_0/F$ ?

**Solution de Exercice 12.10.**

$\frac1F\int_0^F \frac1D(1 - x)^{1/D - 1}\,\mathrm dx = \frac1F\bigl[-(1 -
x)^{1/D}\bigr]_0^F = [1 - (1 - F)^{1/D}]/F$, la formule du chapitre ; si $(1 - F)^{1/D} \to 0$, elle tend vers $1/F$ fois $C_0$. À moins de $1\,\%$ près : $(1 - F)^{100} < 0.01$, soit $F > 1 - 0.01^{0.01} = 0.045$, environ $4.5\,\%$.

**Exercice 12.11 ★★★.**

Deux laves cogénétiques P et Q ont un La de 20 et $10\,\mathrm{ppm}$, et des rapports La/Yb de 10 et 6. En supposant le lanthane parfaitement incompatible et une source contenant $0.44\,\mathrm{ppm}$ de Yb, appliquer la méthode du chapitre : trouver $D_{\mathrm{Yb}}$, le La de la source et le taux de fusion de chaque lave.

**Solution de Exercice 12.11.**

Pente $a = (10 - 6)/(20 - 10) = 0.40\,\mathrm{ppm}^{-1}$ ; ordonnée à l’origine $b = 10 -
0.40\times20 = 2.0$. $D_{\mathrm{Yb}} = 0.40\times0.44 = 0.176$; $C_0^{\mathrm{La}} = 2.0\times0.44/0.824 = 1.07\,\mathrm{ppm}$. $F_P = 1.07/20 =
5.3\,\%$, $F_Q = 1.07/10 = 10.7\,\%$.

**Exercice 12.12 ★★★.**

Dans la [fusion non modale](#def-b3-trace-element-modelling-nonmodal) de l’exercice 6, à quel taux de fusion chaque minéral est-il épuisé ? Calculer le coefficient global du résidu pour le lanthane à $F = 0.2$, et dire pourquoi la formule du chapitre ne peut pas servir au-delà du premier épuisement.

**Solution de Exercice 12.12.**

$F = x_i/p_i$ : clinopyroxène $0.12/0.45 = 0.27$, spinelle $0.03/0.10 = 0.30$, orthopyroxène $0.27/0.25 = 1.08$, olivine $0.58/0.20 = 2.9$ ; clinopyroxène fond en premier. Pour $F = 0.2$ : $\bar D = (0.00737 - 0.0254\times0.2)/0.8 =
0.0029$. Au-delà de $F = 0.27$, les $p_i$ changent (il ne reste plus de clinopyroxène à fondre), et la formule, qui suppose des $p_i$ constants, ne s’applique plus.

## 12.7 Problème : deux laves de l’île d’Aldren

**Problème 12.1.**

Problème du week-end — la source, la profondeur et le taux de fusion de deux basaltes fictifs, à partir de leur lanthane et de leur ytterbium

Sur l’île d’Aldren, île volcanique fictive, la lave A contient $9.6\,\mathrm{ppm}$ de La et $1.7\,\mathrm{ppm}$ de Yb, la lave B $15.6\,\mathrm{ppm}$ de La et $0.45\,\mathrm{ppm}$ de Yb. Toutes deux sont prises comme liquides primaires d’une source de manteau primitif contenant $0.648\,\mathrm{ppm}$ de La et $0.441\,\mathrm{ppm}$ de Yb (chondrite CI : La 0.232, Yb $0.163\,\mathrm{ppm}$). Coefficients minéraux : La 0.058 dans le clinopyroxène et 0.001 dans le grenat, l’olivine, l’orthopyroxène et le spinelle ; Yb 0.58 dans le clinopyroxène, 4.5 dans le grenat et 0.16 dans l’olivine, l’orthopyroxène et le spinelle. La lherzolite à spinelle comprend $58\,\%$ d’olivine, $27\,\%$ d’orthopyroxène, $12\,\%$ de clinopyroxène, $3\,\%$ de spinelle ; la lherzolite à grenat $54.1\,\%$ d’olivine, $9.8\,\%$ d’orthopyroxène, $19.5\,\%$ de clinopyroxène, $16.7\,\%$ de grenat. La fusion est modale.

**Partie I — Les deux sources.**

1. Calculer $D_{\mathrm{La}}$ et $D_{\mathrm{Yb}}$ de la lherzolite à spinelle.
2. Les calculer pour la lherzolite à grenat. Arrondir les quatre valeurs à deux chiffres significatifs pour la suite du problème.
3. Quel coefficient diffère le plus entre les sources, et pourquoi ? L’ytterbium est-il compatible dans la lherzolite à grenat ?
4. Calculer le $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N$ normalisé à la chondrite de la source. À quoi ressemble son spectre ?

**Partie II — Fusion à l’équilibre de la lave A.**

5. Calculer La dans les liquides de [fusion à l’équilibre](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) de la lherzolite à spinelle pour $F = 1$ , 5 et $10\,\%$ .
6. Trouver le taux de fusion qui donne à la lave A son lanthane.
7. Prédire son ytterbium et son La/Yb, et comparer avec la lave A.
8. Calculer La et Yb dans le résidu, ainsi que la fraction du lanthane de la source lanthane qui y reste.
9. Quel taux de fusion trouverait-on en prenant le lanthane comme parfaitement incompatible ?

**Partie III — Fusion fractionnée de la lave A.**

10. Calculer La dans le liquide de [fusion fractionnée](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional) instantané pour $F = 0.1$ , 1 et $6\,\%$ .
11. Calculer La dans le [liquide de fusion fractionnée agrégé](#def-b3-trace-element-modelling-fractional) pour $F = 6.0\,\%$ .
12. Trouver le taux de fusion auquel le liquide agrégé possède le lanthane de la lave A. Pourquoi est-il si proche de la réponse à la question 9 ?
13. Comparer le lanthane du résidu avec celui de la question 8.
14. Quelle estimation de $F$ retenir ?

**Partie IV — La lave B et le grenat.**

15. Calculer La/Yb et $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N$ des deux laves.
16. Quel est le La/Yb le plus élevé qu’un liquide de [fusion à l’équilibre](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) de la lherzolite à spinelle peut atteindre ?
17. À quel taux de fusion un liquide de lherzolite à spinelle aurait-il le La/Yb de la lave B, et combien de lanthane contiendrait-il ? Conclure.
18. Trouver le taux de fusion de la lave B à partir de son lanthane, pour la lherzolite à grenat, et prédire son ytterbium.
19. Que disent les deux sources des profondeurs auxquelles A et B ont commencé à fondre ? La lave A pourrait-elle provenir de la lherzolite à grenat ?
20. Calculer la pente et l’ordonnée à l’origine de la droite de [fusion à l’équilibre](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) La/Yb $= a\, \mathrm{La} + b$ de la source à grenat, en prenant $D_{\mathrm{La}}$ nul, et vérifier la lave B par rapport à celle-ci.
21. Si la lave A avait perdu $10\,\%$ de sa masse en olivine avant son éruption, comment changeraient son La/Yb et son taux de fusion ?
22. Répondre à la question d’ouverture du chapitre pour ces deux laves.
23. Donner le degré de fusion de la lave A.

**Solution de Problème 12.1.**

**1.** $D_{\mathrm{La}} = 0.12\times0.058 + 0.88\times0.001 = 0.00784$; $D_{\mathrm{Yb}} = 0.12\times0.58 + 0.88\times0.16 = 0.210$.

**2.** $D_{\mathrm{La}} = 0.195\times0.058 + 0.167\times0.001 +
0.639\times0.001 = 0.0121$; $D_{\mathrm{Yb}} = 0.195\times0.58 +
0.167\times4.5 + 0.639\times0.16 = 0.967$. Valeurs arrondies : 0.0078, 0.21, 0.012, 0.97.

**3.** $D_{\mathrm{Yb}}$, de 0.21 à 0.97, parce que le grenat retient les terres rares lourdes ($D = 4.5$). L’ytterbium reste encore très faiblement incompatible, $0.97 < 1$.

**4.** $(0.648/0.232)/(0.441/0.163) = 2.79/2.71 = 1.03$ : un diagramme normalisé plat environ 2.8 fois la chondrite.

**5.** $0.648/(0.0078 + 0.01\times0.9922) = 36.6\,\mathrm{ppm}$ ; à $5\,\%$, $11.3\,\mathrm{ppm}$ ; à $10\,\%$, $6.05\,\mathrm{ppm}$.

**6.** $F = (0.648/9.6 - 0.0078)/0.9922 = (0.0675 - 0.0078)/0.9922 =
0.0602$, $6.0\,\%$.

**7.** $\mathrm{Yb} = 0.441/(0.21 + 0.0602\times0.79) = 1.71\,\mathrm{ppm}$ et La/Yb $= 5.6$ ; la lave A donne 1.7 et 5.6 : elle correspond à une source à spinelle.

**8.** La $= 0.0078\times9.6 = 0.075\,\mathrm{ppm}$, Yb $= 0.21\times1.71 =
0.36\,\mathrm{ppm}$. Il reste du lanthane : $0.940\times0.075/0.648 = 0.11$, soit environ $11\,\%$.

**9.** $F = 0.648/9.6 = 6.75\,\%$.

**10.** $(0.648/0.0078)(1 - F)^{127.2}$ : $73\,\mathrm{ppm}$ à $0.1\,\%$, $23\,\mathrm{ppm}$ à $1\,\%$, $0.03\,\mathrm{ppm}$ à $6\,\%$.

**11.** $0.648\times(1 - 0.940^{128.2})/0.060 = 10.8\,\mathrm{ppm}$.

**12.** $F = 6.75\,\%$ : à ce $F$, $(1 - F)^{1/D} =
1.3 \times 10^{-4}$, donc le [liquide de fusion fractionnée agrégé](#def-b3-trace-element-modelling-fractional) contient tout le lanthane de la source, et $\bar C_L = C_0/F$ comme pour un élément parfaitement incompatible.

**13.** $0.648\times0.9325^{127.2} = 9 \times 10^{-5}\,\mathrm{ppm}$, soit environ 800 fois moins que les $0.075\,\mathrm{ppm}$ de la [fusion à l’équilibre](#thm-b3-trace-element-modelling-batch).

**14.** Les deux modèles encadrent la réponse : $6.0\,\%$ ([fusion à l’équilibre](#thm-b3-trace-element-modelling-batch)) à $6.75\,\%$ ([fusion fractionnée](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional) agrégée). Le lanthane fixe $F$ à environ $1\,\%$ près, quel que soit le modèle.

**15.** A : La/Yb $= 5.6$, $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N =
(9.6/0.232)/(1.7/0.163) = 4.0$. B : La/Yb $= 34.7$, $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N
= (15.6/0.232)/(0.45/0.163) = 24.4$.

**16.** Lorsque $F \to 0$ : $(0.648/0.0078)/(0.441/0.21) = 83.1/2.10 = 39.6$.

**17.** $F = 0.11\,\%$, où le liquide contiendrait $72\,\mathrm{ppm}$ de La et $2.1\,\mathrm{ppm}$ d’Yb. La lave B contient $15.6\,\mathrm{ppm}$ de La : une source à spinelle ne peut la produire.

**18.** $F = (0.648/15.6 - 0.012)/0.988 = 0.0299$, $3.0\,\%$ ; $\mathrm{Yb} = 0.441/(0.97 + 0.0299\times0.03) = 0.454\,\mathrm{ppm}$, comme observé.

**19.** Le grenat remplace le spinelle vers 60 à $90\,\mathrm{km}$ : B a commencé à fondre plus profondément que cela, A moins profondément, dans le domaine du spinelle. Une fusion de lherzolite à grenat ayant $9.6\,\mathrm{ppm}$ de La ($F \approx 5.6\,\%$) aurait un rapport La/Yb voisin de 21, et non 5.6 : A ne provient pas de la lherzolite à grenat.

**20.** $a = 0.97/0.441 = 2.20\,\mathrm{ppm}^{-1}$, $b = 0.648\times0.03/0.441
= 0.044$ ; pour La $= 15.6$, La/Yb $= 2.20\times15.6 + 0.044 = 34.4$, contre 34.7 pour la lave B.

**21.** L’olivine rejette les deux éléments : le rapport La/Yb est inchangé. Le liquide primaire avait $9.6\times0.9 = 8.64\,\mathrm{ppm}$ de La, donc $F = (0.648/8.64 -
0.0078)/0.9922 = 6.8\,\%$ au lieu de 6.0.

**22.** Une seule source peut produire les deux laves : B est un liquide de faible taux de fusion ($3\,\%$) qui a commencé à se former dans le domaine du grenat, plus profondément que vers 60 à $90\,\mathrm{km}$ ; A est un liquide de taux de fusion plus élevé, formé dans le domaine du spinelle.

**23.** La lave A résulte d’une [fusion à l’équilibre](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) à **$6.0\,\%$** d’une lherzolite à spinelle ($6.75\,\%$ si le liquide a été extrait par [fusion fractionnée](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional) puis agrégé).