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title: "Dynamique des fluides géophysiques"
book: "Sciences de la Terre et de l’Univers à l’université — 3e année"
subject: earth
language: fr
chapter: 19
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/5/fr/chapter/19-dynamique-des-fluides-geophysiques
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Chapitre 19 — Dynamique des fluides géophysiques

Si l’on remue une tasse de thé, le tourbillon s’éteint en une minute ; les feuilles se rassemblent au milieu du fond, et rien d’autre ne se passe. L’océan et l’atmosphère sont brassés eux aussi, par le Soleil et le vent, mais sur une planète en rotation et dans des couches de densités différentes. La rotation et la stratification les soumettent à des règles qu’une tasse de thé ne laisse jamais voir : les vents soufflent le long des isobares plutôt qu’à travers, les colonnes de fluide refusent de s’incliner, et le vent de la haute troposphère s’inscrit dans les températures situées en dessous. Ce chapitre pose les équations de ces écoulements vastes, lents et minces, ainsi que les quelques nombres qui déterminent quels termes comptent.

**Tu sais déjà.**

Les forces de Coriolis et centrifuge dans un référentiel tournant, les équations de Navier–Stokes et de continuité, la viscosité, le nombre de Reynolds et la relation hydrostatique sont dans les volumes de physique. Le paramètre de Coriolis $f = 2\Omega
\sin\varphi$, la force de gradient de pression, l’équilibre géostrophique, le vent géostrophique et le [vent du gradient](#def-b3-gfd-foundations-gradient), ainsi que les courants-jets, figurent dans le volume de première année, dans son chapitre sur la circulation générale de l’atmosphère ; la couche d’Ekman dans son chapitre sur la circulation de l’océan ; la température potentielle, la stabilité statique et l’oscillation d’une parcelle d’air soulevée dans son chapitre sur la structure de l’atmosphère et de l’océan.

## 19.1 Équations dans un référentiel tournant

Dans un référentiel qui tourne avec la Terre à la vitesse angulaire $\vec\Omega$, une parcelle de fluide de vitesse $\vec u$ obéit à

$$
\frac{\mathrm D\vec u}{\mathrm Dt} + 2\vec\Omega\times\vec u =
-\frac{1}{\rho}\nabla p + \vec g + \nu\nabla^2\vec u ,
\qquad
\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\vec u) = 0 ,
$$

où $\mathrm D/\mathrm Dt = \partial/\partial t + \vec u\cdot\nabla$ est la dérivée suivant la parcelle et $\nu$ la viscosité cinématique. La force centrifuge a été ajoutée à la gravitation : leur somme $\vec g$ est la pesanteur effective, normale aux surfaces de niveau du [géopotentiel](https://one-course.com/books/earth/5/fr/chapter/3-pesanteur-et-forme-de-la-terre#def-b3-gravity-geodesy-geopotential), et la verticale est définie par elle. Seul le terme de Coriolis, $-2\vec\Omega\times
\vec u$, subsiste de la rotation, et il ne travaille pas : il fait tourner une parcelle sans en modifier la vitesse. La Terre tourne à $\Omega =
7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, soit une période sidérale de $23.9345\,\mathrm{h}$.

Pour un mouvement sur des distances très inférieures au rayon terrestre $a$, un repère cartésien local suffit : $x$ vers l’est, $y$ vers le nord, $z$ vers le haut, à la latitude $\varphi$, le plan tangent de la figure ci-dessous. Dans ce repère, $\vec\Omega = \Omega\,(0, \cos\varphi, \sin\varphi)$, et les trois composantes de l’équation de la quantité de mouvement sont :

$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm Du}{\mathrm Dt} - f v + \tilde f w &= -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} + F_x ,\\
\frac{\mathrm Dv}{\mathrm Dt} + f u &= -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y} + F_y ,\\
\frac{\mathrm Dw}{\mathrm Dt} - \tilde f u &= -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z} - g + F_z ,
\end{aligned}
\qquad f = 2\Omega\sin\varphi,\quad \tilde f = 2\Omega\cos\varphi ,
$$

où $\vec F$ désigne le frottement. Pour les écoulements minces et presque horizontaux de l’océan et de l’atmosphère, les termes en $\tilde f$ sont négligés : $\tilde f w$ est petit devant $fv$ car $w \ll v$, et $\tilde f u$ représente un dix-millième de $g$ ([Exercice 19.5](#exo-b3-gfd-foundations-5)). La force de Coriolis n’agit alors que dans le plan horizontal, par la composante verticale locale de la rotation, $\Omega\sin\varphi$.

**Définition 19.1 (Plan fff et plan β\betaβ).**

Au voisinage d’une latitude de référence $\varphi_0$, l’approximation du *plan $f$* consiste à prendre le paramètre de Coriolis constant, $f = f_0 =
2\Omega\sin\varphi_0$. L’approximation du *plan $\beta$* conserve sa variation au premier ordre avec la distance vers le nord $y$ : $f = f_0 + \beta y$, avec $\beta = \mathrm df/\mathrm dy = 2\Omega
\cos\varphi_0/a$.

À $45{}^{\circ}$, avec le rayon moyen $a = 6371\,\mathrm{km}$, $f_0 =
1.031 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$ et $\beta = 1.62 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ : sur $1000\,\mathrm{km}$ de latitude, $f$ varie de $16\,\%$. Le plan $f$ convient aux mouvements bien plus petits que cela ; le plan $\beta$ est nécessaire pour les courants à l’échelle des bassins et les ondes planétaires.

![À gauche, le repère local à la latitude : z selon la verticale locale, y vers le nord dans le plan tangent, x vers l’est entrant dans la page. Le vecteur de rotation se décompose en autour de la verticale, ce qui fait tourner le mouvement horizontal, et autour de l’axe orienté vers le nord, négligée pour les écoulements minces. À droite, le paramètre de Coriolis et son plan tangent à 45 : proche sur une bande de latitude, loin d’elle près de l’équateur et du pôle.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-gfd-foundations/fig-c7acd2fd6049.svg)

![À gauche, le repère local à la latitude : z selon la verticale locale, y vers le nord dans le plan tangent, x vers l’est entrant dans la page. Le vecteur de rotation se décompose en autour de la verticale, ce qui fait tourner le mouvement horizontal, et autour de l’axe orienté vers le nord, négligée pour les écoulements minces. À droite, le paramètre de Coriolis et son plan tangent à 45 : proche sur une bande de latitude, loin d’elle près de l’équateur et du pôle.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-gfd-foundations/fig-9ad553490aa1.svg)

*À gauche, le repère local à la latitude $\varphi$ : $z$ selon la verticale locale, $y$ vers le nord dans le plan tangent, $x$ vers l’est entrant dans la page. Le vecteur de rotation se décompose en $\Omega\sin\varphi$ autour de la verticale, ce qui fait tourner le mouvement horizontal, et $\Omega\cos\varphi$ autour de l’axe orienté vers le nord, négligée pour les écoulements minces. À droite, le paramètre de Coriolis et son plan $\beta$ tangent à $45{}^{\circ}$ : proche sur une bande de latitude, loin d’elle près de l’équateur et du pôle.*

Deux autres approximations simplifient les équations sans perdre ce qui compte. La première concerne la masse volumique.

**Définition 19.2 (Approximation de Boussinesq).**

L’*approximation de Boussinesq* écrit la masse volumique comme $\rho = \rho_0 + \rho'$, avec $\rho_0$ une constante et $|\rho'| \ll \rho_0$, et ne conserve $\rho'$ que là où elle est multipliée par $g$. L’équation de continuité devient $\nabla\cdot\vec u = 0$, et l’équation de quantité de mouvement

$$
\frac{\mathrm D\vec u}{\mathrm Dt} + f\,\vec k\times\vec u =
-\frac{1}{\rho_0}\nabla p' + b\,\vec k + \nu\nabla^2\vec u ,
\qquad b = -g\,\frac{\rho'}{\rho_0} ,
$$

où $p'$ est l’écart de la pression à la pression hydrostatique de la masse volumique $\rho_0$, $\vec k$ le vecteur unitaire orienté vers le haut et $b$ la flottabilité.

Dans l’océan, $\rho'$ vaut quelques $\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ sur $1025$, soit une fraction d’un pour cent, et l’approximation est excellente. Dans l’atmosphère, la masse volumique décroît d’un facteur $e$ sur environ $8.5\,\mathrm{km}$ ; l’approximation reste valable pour des couches bien plus minces que cela, et les écoulements plus profonds remplacent $\rho_0$ par un profil moyen $\rho_0(z)$, avec la même physique.

La seconde concerne la verticale. Un fluide au repos est en équilibre hydrostatique ; un fluide en mouvement le conserve à très bonne approximation lorsque le mouvement est bien plus large que profond.

**Définition 19.3 (Approximation hydrostatique).**

L’*approximation hydrostatique* remplace l’équation verticale de quantité de mouvement d’un fluide en mouvement par la relation hydrostatique, $\partial p/\partial z = -\rho g$.

**Proposition 19.4 (Quand l’approximation hydrostatique est valable).**

Pour un mouvement d’échelle horizontale $L$, de profondeur $H$ et de vitesse $U$, avec un [nombre de Rossby](#def-b3-gfd-foundations-numbers) $U/(fL)$ d’ordre un au plus, l’accélération verticale est inférieure au gradient vertical de la perturbation de pression d’un facteur d’ordre $(U/fL)\,(H/L)^2$.

**Démonstration.** Lorsque la force de Coriolis est au moins aussi grande que l’accélération, l’équation horizontale de quantité de mouvement équilibre le gradient horizontal de pression qui lui fait face : $p'/(\rho_0 L) \sim fU$, donc $p'/\rho_0 \sim fUL$, et le gradient vertical vaut $p'/(\rho_0 H) \sim fUL/H$. La continuité, $\partial w/\partial z
= -(\partial u/\partial x + \partial v/\partial y)$, borne la vitesse verticale par $W \sim UH/L$, et l’accélération verticale par $\mathrm Dw/\mathrm Dt \sim UW/L = U^2H/L^2$. Le rapport vaut $(U^2H/L^2)/(fUL/H)
= (U/fL)(H/L)^2$. ∎

Un système météorologique large de $1000\,\mathrm{km}$ dans une troposphère profonde de $10\,\mathrm{km}$ présente $(H/L)^2 = 10^{-4}$ et un [nombre de Rossby](#def-b3-gfd-foundations-numbers) d’environ 0.1 : l’erreur de l’[approximation hydrostatique](#def-b3-gfd-foundations-hydrostatic) est d’ordre $10^{-5}$. Elle ne tient que pour des mouvements étroits et profonds : un courant ascendant d’orage, un panache convectif dans l’océan.

## 19.2 Échelles de l’écoulement en rotation

Les termes de l’équation de quantité de mouvement qui comptent sont fixés par deux rapports.

**Définition 19.5 (Nombres de Rossby et d’Ekman).**

Pour un écoulement de vitesse $U$, d’échelle horizontale $L$ et de profondeur $H$ sur une planète de paramètre de Coriolis $f$, le *nombre de Rossby* est $\mathrm{Ro} = U/(fL)$, le rapport de l’accélération, d’ordre $U^2/L$, à la force de Coriolis, d’ordre $fU$. Le *nombre d’Ekman* est $\mathrm{Ek} = \nu/(fH^2)$, le rapport de la force visqueuse, d’ordre $\nu U/H^2$, à la force de Coriolis ; dans un écoulement turbulent, $\nu$ est remplacé par une viscosité turbulente.

Une baignoire qui se vide à $0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sur $0.3\,\mathrm{m}$ a un [nombre de Rossby](#def-b3-gfd-foundations-numbers) de quelques milliers : la rotation de la Terre ne décide pas du sens de son tourbillonnement. Une dépression large de $1000\,\mathrm{km}$, avec des vents de $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, présente $\mathrm{Ro} \approx 0.14$, et un gyre océanique $\mathrm{Ro} \sim 10^{-4}$. La viscosité est plus faible encore : la viscosité moléculaire de l’eau est $10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, et les viscosités turbulentes qui représentent la turbulence de l’océan, $10^{-5}\text{ à }10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ selon la verticale, donnent $\mathrm{Ek} \sim 10^{-5}$ sur $1000\,\mathrm{m}$ de profondeur. Les deux nombres sont liés au nombre de Reynolds par $\mathrm{Re} = UL/\nu =
(\mathrm{Ro}/\mathrm{Ek})(L/H)^2$.

Lorsque les deux nombres sont petits, l’équation stationnaire de quantité de mouvement horizontale ne conserve que la force de Coriolis et le gradient de pression : l’écoulement est en équilibre géostrophique, $f\,\vec k\times\vec u_g = -(1/\rho)\nabla_h p$, ce que le volume de première année a déchiffré sur des cartes météorologiques. La géostrophie est la limite $\mathrm{Ro}, \mathrm{Ek}\to 0$ ; ses corrections sont d’ordre $\mathrm{Ro}$, et le frottement n’agit que dans de minces couches d’épaisseur relative $\sqrt{\mathrm{Ek}}$, les couches d’Ekman au fond de l’atmosphère et le sommet et le fond de l’océan. Sur un plan $f$, la vitesse géostrophique n’a pas de divergence horizontale : $\partial u_g/\partial x + \partial
v_g/\partial y = -(1/\rho f)(\partial^2 p/\partial x\partial y -
\partial^2 p/\partial y\partial x) = 0$ pour $\rho$ uniforme.

La limite opposée, la rotation sans gradient de pression, est le plus simple mouvement qu’un fluide en rotation peut effectuer.

**Définition 19.6 (Oscillation d’inertie).**

Une *oscillation d’inertie* est le mouvement horizontal d’un fluide sur lequel aucune force horizontale n’agit, hormis la force de Coriolis.

**Théorème 19.7 (Cercles d’inertie).**

Sur un plan $f$, une parcelle lancée à la vitesse $U$, sans force horizontale autre que la force de Coriolis, conserve sa vitesse et décrit un cercle de rayon $U/|f|$, dans le sens horaire dans l’hémisphère Nord et antihoraire dans l’hémisphère Sud, avec une période d’inertie $2\pi/|f|$, soit une demi-journée sidérale divisée par $\sin\varphi$.

**Démonstration.** Les équations s’écrivent $\mathrm du/\mathrm dt = fv$, $\mathrm dv/\mathrm dt =
-fu$. Avec $w = u + \mathrm iv$, elles s’écrivent $\mathrm dw/\mathrm dt = -\mathrm
if\,w$, donc $w = U\,\mathrm e^{-\mathrm ift}$ pour un départ vers l’est : la vitesse $|w| = U$ est constante et le vecteur vitesse tourne au rythme $f$, dans le sens horaire lorsque $f > 0$. En intégrant, la position $x + \mathrm iy =
(\mathrm iU/f)(\mathrm e^{-\mathrm ift} - 1)$ tourne autour du point $-\mathrm iU/f$ à la distance $U/|f|$. La période vaut $2\pi/|f| =
2\pi/(2\Omega|\sin\varphi|)$, et $2\pi/\Omega$ est le jour sidéral. ∎

À $45{}^{\circ}$, la période d’inertie vaut $16.9\,\mathrm{h}$, et un courant de $0.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ tourne sur un cercle de $1.94\,\mathrm{km}$ ; à $30{}^{\circ}$ la période vaut exactement un jour sidéral, et à l’équateur il n’existe aucun cercle d’inertie. Après qu’une tempête a mis en mouvement la couche superficielle de l’océan puis s’est apaisée, l’eau fait exactement cela. Des bouées dérivantes munies d’une ancre flottante, à $15\,\mathrm{m}$ dans le Pacifique Nord ont décrit des boucles pendant des jours après une tempête d’octobre 1987, entraînées par le courant moyen : la troisième trajectoire de la figure ci-dessous, après le cercle et la spirale.

![Trajectoires sur quatre jours d’une parcelle lancée vers l’est à 0.2\, m/ s à 45 N (point), sans autre force que la force de Coriolis : un cercle de rayon 1.94\, km parcouru dans le sens horaire toutes les 16.9\, h (gris) ; avec un frottement qui divise par deux la vitesse en 2.8 jours, une spirale convergente (bleu) ; la même, entraînée par un courant stationnaire vers l’est de 0.05\, m/ s, une suite de boucles qui se resserrent (rouge).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-gfd-foundations/fig-47e0193d21b1.svg)

*Trajectoires sur quatre jours d’une parcelle lancée vers l’est à $0.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à $45{}^{\circ}$ N (point), sans autre force que la force de Coriolis : un cercle de rayon $1.94\,\mathrm{km}$ parcouru dans le sens horaire toutes les $16.9\,\mathrm{h}$ (gris) ; avec un frottement qui divise par deux la vitesse en $2.8$ jours, une spirale convergente (bleu) ; la même, entraînée par un courant stationnaire vers l’est de $0.05\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, une suite de boucles qui se resserrent (rouge).*

Entre géostrophie et cercle d’inertie se situe l’écoulement autour d’un centre de haute ou basse pression, où les isobares sont courbes et où l’accélération vers le centre n’est plus négligeable.

**Définition 19.8 (Vent du gradient).**

Le *vent du gradient* est l’écoulement permanent et sans frottement le long d’isobares courbes dans lequel la force du gradient de pression, la force de Coriolis et l’accélération centripète se compensent.

**Proposition 19.9 (La correction de courbure).**

Soient les isobares des cercles de rayon $r$ dans l’hémisphère Nord, et $V_g$ la vitesse géostrophique que donnerait leur gradient de pression, avec $\mathrm{Ro}_g = V_g/(fr)$. Autour d’une dépression, le [vent du gradient](#def-b3-gfd-foundations-gradient) vaut $V = 2V_g/(1 + \sqrt{1 + 4\mathrm{Ro}_g})$, plus lent que $V_g$ ; autour d’un anticyclone, $V = 2V_g/(1 + \sqrt{1 - 4\mathrm{Ro}_g})$, plus rapide, et il n’existe que si $\mathrm{Ro}_g \le 1/4$. Au premier ordre, $V = V_g(1 \mp \mathrm{Ro}_g)$.

**Démonstration.** Autour d’une dépression, le vent tourne dans le sens antihoraire ; la force du gradient de pression $fV_g$ pointe vers le centre, la force de Coriolis $fV$ vers l’extérieur, et leur différence fournit l’accélération centripète : $fV_g - fV = V^2/r$. La racine positive de $V^2 + frV - frV_g = 0$ est $V = (fr/2)(\sqrt{1 +
4\mathrm{Ro}_g} - 1)$ ; en multipliant par $(\sqrt{1 + 4\mathrm{Ro}_g} +
1)/(\sqrt{1 + 4\mathrm{Ro}_g} + 1)$ on obtient la formule. Autour d’un anticyclone, le vent tourne dans le sens horaire et la force de Coriolis pointe vers l’intérieur : $fV - fV_g =
V^2/r$, donc $V^2 - frV + frV_g = 0$, qui n’a de racines réelles que si $f^2r^2
\ge 4frV_g$ ; la racine qui tend vers $V_g$ lorsque $\mathrm{Ro}_g \to 0$ est $V = (fr/2)(1 - \sqrt{1 - 4\mathrm{Ro}_g})$. En développant les racines carrées, $V = V_g(1 \mp \mathrm{Ro}_g + \dots)$. ∎

Le [nombre de Rossby](#def-b3-gfd-foundations-numbers) des isobares mesure la correction : un dixième pour une dépression de taille modérée. La condition $\mathrm{Ro}_g \le 1/4$ explique pourquoi le centre d’un anticyclone présente de faibles gradients et des vents légers, alors que celui d’une dépression peut présenter de forts gradients et des coups de vent.

## 19.3 Rotation sans stratification

Un fluide en rotation de masse volumique uniforme, en mouvement lent, se comporte comme s’il était constitué de colonnes rigides parallèles à l’axe de rotation.

**Théorème 19.10 (Taylor–Proudman).**

Dans un écoulement permanent d’un fluide parfait de masse volumique uniforme, en rotation à $\vec\Omega$, avec un petit [nombre de Rossby](#def-b3-gfd-foundations-numbers), la vitesse ne varie pas le long de la direction de l’axe de rotation : $(\vec\Omega\cdot\nabla)\vec u = 0$.

**Démonstration.** Pour $\mathrm{Ro}\to 0$, stationnaire et non visqueux, l’équation de quantité de mouvement se réduit à $2\vec\Omega\times\vec u = -\nabla(p/\rho_0 + \Phi)$, avec $\Phi$ le [géopotentiel](https://one-course.com/books/earth/5/fr/chapter/3-pesanteur-et-forme-de-la-terre#def-b3-gravity-geodesy-geopotential). Le rotationnel d’un gradient est nul, donc $\nabla\times(\vec\Omega
\times\vec u) = 0$. Pour $\vec\Omega$ constant, ce rotationnel vaut $\vec\Omega
(\nabla\cdot\vec u) - (\vec\Omega\cdot\nabla)\vec u$, et $\nabla\cdot\vec u
= 0$ pour une masse volumique uniforme. ∎

Avec $\vec\Omega$ selon $z$, $\partial\vec u/\partial z = 0$ : les trois composantes de la vitesse sont les mêmes à toute hauteur. Si un fond rigide interdit $w$ à cet endroit, $w = 0$ partout, et l’écoulement horizontal est le même à chaque niveau. Un obstacle posé sur le fond d’une cuve en rotation est donc ressenti jusqu’à la surface : le fluide situé au-dessus ne peut pas le franchir, car cela étirerait ou comprimerait une colonne, et il le contourne à chaque hauteur. La colonne de fluide qui reste au-dessus de l’obstacle est une *colonne de Taylor*.

![Une colonne de Taylor (schéma). (a) Dans une cuve d’eau homogène en rotation rapide, un écoulement lent rencontre un obstacle bas posé sur le fond ; le fluide situé au-dessus de l’obstacle (en gris) reste en place jusqu’à la surface, et l’écoulement à chaque hauteur contourne la colonne comme si l’obstacle atteignait le sommet. (b) L’écoulement vu de dessus est le même à chaque niveau.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-gfd-foundations/fig-0917efefb338.svg)

*Une [colonne de Taylor](#thm-b3-gfd-foundations-taylor-proudman) (schéma). (a) Dans une cuve d’eau homogène en rotation rapide, un écoulement lent rencontre un obstacle bas posé sur le fond ; le fluide situé au-dessus de l’obstacle (en gris) reste en place jusqu’à la surface, et l’écoulement à chaque hauteur contourne la colonne comme si l’obstacle atteignait le sommet. (b) L’écoulement vu de dessus est le même à chaque niveau.*

L’atmosphère et l’océan sont stratifiés, et la stratification relâche la contrainte : un fluide stratifié peut varier avec la hauteur, comme le prescrit le théorème du [vent thermique](#thm-b3-gfd-foundations-thermal-wind).

## 19.4 Stratification et vent thermique

Le volume de première année a soulevé une parcelle d’air dans une atmosphère stable et a constaté qu’elle oscille autour de son niveau. Il en va de même dans tout fluide stratifié, et la fréquence de l’oscillation mesure la stratification.

**Définition 19.11 (Fréquence de flottabilité).**

La *fréquence de flottabilité* $N$ d’un fluide au repos est définie par

$$
N^2 = \frac{g}{\theta}\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dz}\ \text{(air)},
\qquad
N^2 = -\frac{g}{\rho_0}\frac{\mathrm d\rho_\theta}{\mathrm dz}\ \text{(eau de mer)},
$$

où $\theta$ est la température potentielle de l’air et $\rho_\theta$ la masse volumique potentielle de l’eau, c’est-à-dire la masse volumique qu’elle aurait si on l’amenait de façon adiabatique à une pression de référence.

**Théorème 19.12 (Oscillation d’une parcelle déplacée).**

Une parcelle déplacée verticalement d’une petite distance $\zeta$ depuis son niveau dans un fluide au repos, de façon adiabatique et sans mélange, obéit à $\ddot\zeta =
-N^2\zeta$. Si $N^2 > 0$, elle oscille à la pulsation $N$ ; si $N^2 < 0$, le déplacement croît et le fluide est instable.

**Démonstration.** Déplacée de façon adiabatique et sans mélange, la parcelle conserve sa masse volumique potentielle $\rho_\theta(z_0)$. Au niveau $z_0 + \zeta$, elle se trouve à la pression de son environnement, dont la masse volumique potentielle vaut $\rho_\theta(z_0) +
\zeta\,\mathrm d\rho_\theta/\mathrm dz$ ; deux parcelles à la même pression diffèrent en masse volumique de la différence de leurs masses volumiques potentielles, à l’ordre un. La force de flottabilité par unité de masse vaut $-g(\rho_p - \rho_e)/\rho_0 =
g\,\zeta\,(\mathrm d\rho_\theta/\mathrm dz)/\rho_0 = -N^2\zeta$. Pour l’air à une pression donnée, la masse volumique varie comme $1/\theta$, donc $-\mathrm
d\rho_\theta/\rho_0 = \mathrm d\theta/\theta$ et les deux formes de $N^2$ coïncident. ∎

Dans la troposphère de l’atmosphère standard, qui se refroidit de $6.49\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ contre les $9.77\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ du gradient adiabatique sec ($g/c_p$, avec $c_p = \gamma R/(\gamma - 1)$, $\gamma = 1.4$ et $R =
286.9\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$), $N$ vaut en moyenne $0.0113\,\mathrm{s}^{-1}$, soit une période de $9.3\,\mathrm{min}$ ; dans la basse stratosphère isotherme, il vaut $0.0210\,\mathrm{s}^{-1}$. Dans l’océan, la colonne d’eau de l’Atlantique Nord à $40.5{}^{\circ}$ N, $30.5{}^{\circ}$ O, en moyenne annuelle, présente sa stratification la plus forte dans la pycnocline saisonnière, $N = 0.0106\,\mathrm{s}^{-1}$ vers $30\,\mathrm{m}$, soit six cycles par heure, et des valeurs bien plus faibles en dessous : quelques cycles par heure au plus, comme on l’observe à travers la couche superficielle de l’océan.

![Fréquence de flottabilité. À gauche, l’atmosphère standard : presque uniforme dans la troposphère, deux fois plus grande dans la basse stratosphère isotherme, plus grande encore au-dessus de 25\, km, là où la température augmente. À droite, une colonne de moyenne annuelle de l’Atlantique Nord (température et salinité tirées du World Ocean Atlas 2023, densité potentielle issue de l’EOS-80 : un maximum marqué dans la pycnocline saisonnière, stratification faible en dessous.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-gfd-foundations/fig-03cf5bd09d48.svg)

*[Fréquence de flottabilité](#def-b3-gfd-foundations-buoyancy). À gauche, l’atmosphère standard : presque uniforme dans la troposphère, deux fois plus grande dans la basse stratosphère isotherme, plus grande encore au-dessus de $25\,\mathrm{km}$, là où la température augmente. À droite, une colonne de moyenne annuelle de l’Atlantique Nord (température et salinité tirées du World Ocean Atlas 2023, densité potentielle issue de l’EOS-80 : un maximum marqué dans la pycnocline saisonnière, stratification faible en dessous.*

La stratification permet à l’écoulement de varier avec la hauteur, et la façon dont il le fait dépend de la question de savoir si les surfaces de densité constante suivent celles de pression constante.

**Définition 19.13 (Fluides barotropes et barocliniques).**

Un fluide est *barotrope* si sa densité est une fonction de la pression seule, de sorte que les surfaces de densité constante coïncident avec les surfaces de pression constante ; il est *barocline* si elles se croisent.

Dans l’atmosphère, un gradient horizontal de température le long d’une surface de pression rend l’air [barocline](#def-b3-gfd-foundations-baroclinic). L’équilibre hydrostatique rend alors les surfaces de pression plus inclinées avec la hauteur, et l’équilibre géostrophique transforme cette pente croissante en un vent croissant.

![La géométrie du vent thermique (schéma, une coupe méridienne avec le côté chaud au sud, p_1 > p_2 > p_3 > p_4). L’air chaud se dilate, de sorte que la couche comprise entre deux surfaces de pression est plus épaisse du côté chaud que du côté froid : chaque surface s’incline vers le côté froid plus fortement que celle située en dessous. Le vent géostrophique est proportionnel à la pente et croît avec la hauteur (cercles, plus grands pour un vent plus fort), vers l’est, hors de la page.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-gfd-foundations/fig-12c5150eccbb.svg)

*La géométrie du [vent thermique](#thm-b3-gfd-foundations-thermal-wind) (schéma, une coupe méridienne avec le côté chaud au sud, $p_1 > p_2 > p_3 >
p_4$). L’air chaud se dilate, de sorte que la couche comprise entre deux surfaces de pression est plus épaisse du côté chaud que du côté froid : chaque surface s’incline vers le côté froid plus fortement que celle située en dessous. Le vent géostrophique est proportionnel à la pente et croît avec la hauteur (cercles, plus grands pour un vent plus fort), vers l’est, hors de la page.*

**Théorème 19.14 (Vent thermique).**

Dans une atmosphère en équilibre hydrostatique et géostrophique, le vent géostrophique varie avec la pression selon

$$
\frac{\partial u_g}{\partial\ln p} = \frac{R}{f}\left(\frac{\partial T}{\partial y}\right)_p ,
\qquad
\frac{\partial v_g}{\partial\ln p} = -\frac{R}{f}\left(\frac{\partial T}{\partial x}\right)_p .
$$

Entre deux niveaux de pression $p_b > p_t$, le *vent thermique*, soit la différence des vents géostrophiques, est

$$
\vec u_g(p_t) - \vec u_g(p_b) = \frac{R}{f}\,\ln\frac{p_b}{p_t}\;\vec k\times\nabla_p\bar T ,
$$

où $\bar T$ est la température moyenne de la couche : il souffle le long des isothermes de la couche, l’air froid se trouvant à sa gauche dans l’hémisphère Nord.

**Démonstration.** Sur une surface de pression constante, $\mathrm dp = (\partial p/\partial y)
\,\mathrm dy + (\partial p/\partial z)\,\mathrm dz = 0$, et avec $\partial p/\partial z = -\rho g$ l’altitude $z_p$ de la surface vérifie $g\,\partial z_p/\partial y = (1/\rho)\,\partial p/\partial y$. En fonction de le [géopotentiel](https://one-course.com/books/earth/5/fr/chapter/3-pesanteur-et-forme-de-la-terre#def-b3-gravity-geodesy-geopotential) $\Phi = gz_p$ de la surface, l’équilibre géostrophique s’écrit $fu_g = -\partial\Phi/\partial y$ et $fv_g = \partial\Phi/\partial x$, les dérivées étant prises le long de la surface. La relation hydrostatique et la loi des gaz parfaits donnent $\partial\Phi/\partial p = -1/\rho = -RT/p$, soit $\partial\Phi/\partial\ln p = -RT$. En dérivant $fu_g =
-\partial\Phi/\partial y$ par rapport à $\ln p$, on obtient $f\,\partial
u_g/\partial\ln p = R\,\partial T/\partial y$, et de même pour $v_g$. En intégrant de $p_b$ à $p_t$, $\ln p$ diminue de $\ln(p_b/p_t)$, donc $u_g(p_t) - u_g(p_b) = -(R/f)\ln(p_b/p_t)\,\partial\bar T/\partial y$, et $v_g(p_t) - v_g(p_b) = (R/f)\ln(p_b/p_t)\,\partial\bar T/\partial x$ : ce sont les composantes de la forme vectorielle, puisque $\vec k\times\nabla\bar T =
(-\partial\bar T/\partial y, \partial\bar T/\partial x)$. ∎

**Corollaire 19.15 (Vent thermique en altitude).**

En coordonnées d’altitude, pour l’atmosphère, $\partial u_g/\partial z =
-(g/fT)\,\partial T/\partial y + (u_g/T)\,\partial T/\partial z$ ; pour l’océan dans l’[approximation de Boussinesq](#def-b3-gfd-foundations-boussinesq), $\partial u_g/\partial z =
(g/f\rho_0)\,\partial\rho/\partial y$ et $\partial v_g/\partial z =
-(g/f\rho_0)\,\partial\rho/\partial x$.

**Démonstration.** Dans l’air, $fu_g = -(1/\rho)\partial p/\partial y = -RT\,\partial\ln
p/\partial y$ et $\partial\ln p/\partial z = -g/(RT)$. Puis

$$
f\,\frac{\partial(u_g/T)}{\partial z} = -R\,\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial\ln p}{\partial z}
= g\,\frac{\partial(1/T)}{\partial y} = -\frac{g}{T^2}\frac{\partial T}{\partial y} ,
$$

et en développant le membre de gauche on obtient la formule. Dans l’océan, $fu_g = -(1/\rho_0)\partial
p/\partial y$ et $\partial p/\partial z = -\rho g$, donc $f\,\partial u_g/
\partial z = (g/\rho_0)\,\partial\rho/\partial y$ ; de même pour $v_g$. ∎

Le second terme de la forme atmosphérique, dû à la décroissance de la température avec l’altitude, est plus petit que le premier et s’annule dans une couche isotherme ; intégré sur une couche à sa température moyenne, le premier terme seul donne presque la forme en pression, puisque $\Delta z \approx (R\bar T/g)
\ln(p_b/p_t)$ (Problème, partie IV). Dans l’océan, le même théorème transforme une coupe de densité à travers un courant en son cisaillement vertical : c’est la base de la méthode dynamique des océanographes.

Les courants-jets du volume de première année sont des [vents thermiques](#thm-b3-gfd-foundations-thermal-wind). En janvier la moyenne zonale de 1991–2020, le vent d’ouest à $30{}^{\circ}$ N croît de $4.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à $850\,\mathrm{hPa}$ jusqu’à $40.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à $250\,\mathrm{hPa}$ ; avec $f$ à $30{}^{\circ}$ et $R$, ce cisaillement est la signature d’une couche dont la température moyenne décroît vers le nord de $7.5\,\mathrm{K}$ par $1000\,\mathrm{km}$. À $45{}^{\circ}$ N, le cisaillement de $6.0\text{ à }23.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ donne $5.0\,\mathrm{K}$ par $1000\,\mathrm{km}$. La figure ci-dessous montre les profils et, pour chaque latitude, la baisse de température vers le pôle, lue sur le cisaillement : la plus forte dans les subtropiques de l’hémisphère d’hiver, là où passe le courant-jet subtropical, soit $43.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à $200\,\mathrm{hPa}$ et $30{}^{\circ}$ N en janvier et $41.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à $30{}^{\circ}$ S en juillet. Au-dessus de $200\,\mathrm{hPa}$ à $30{}^{\circ}$ N le vent faiblit de nouveau : le théorème du [vent thermique](#thm-b3-gfd-foundations-thermal-wind) lu à rebours indique que là, dans la basse stratosphère, la température croît vers le pôle.

![À gauche, moyenne zonale du vent zonal en janvier (NCEP–NCAR Reanalysis 1, moyenne 1991–2020) à trois latitudes : le vent croît avec l’altitude dans la troposphère. À droite, la baisse de température moyenne vers le pôle entre 850\, hPa et 250\, hPa, lue sur le cisaillement du vent par le théorème du vent thermique (en deçà de 25, là où l’équilibre géostrophique ne tient plus, omise) : plus forte dans l’hémisphère d’hiver.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-gfd-foundations/fig-e4760d7277aa.svg)

*À gauche, moyenne zonale du vent zonal en janvier (NCEP–NCAR Reanalysis 1, moyenne 1991–2020) à trois latitudes : le vent croît avec l’altitude dans la troposphère. À droite, la baisse de température moyenne vers le pôle entre $850\,\mathrm{hPa}$ et $250\,\mathrm{hPa}$, lue sur le cisaillement du vent par le théorème du [vent thermique](#thm-b3-gfd-foundations-thermal-wind) (en deçà de $25{}^{\circ}$, là où l’équilibre géostrophique ne tient plus, omise) : plus forte dans l’hémisphère d’hiver.*

## 19.5 Le rayon de déformation de Rossby

La rotation et la stratification imposent chacune une échelle ; ensemble, elles imposent une longueur.

**Définition 19.16 (Rayon de déformation de Rossby).**

Le *rayon de déformation de Rossby* d’une couche de profondeur $H$ et de [fréquence de flottabilité](#def-b3-gfd-foundations-buoyancy) $N$ est $L_R = NH/|f|$.

**Proposition 19.17 (Énergie potentielle et cinétique d’un écoulement équilibré).**

Dans un écoulement hydrostatique et géostrophique d’échelle horizontale $L$ dans une couche de profondeur $H$ et de [fréquence de flottabilité](#def-b3-gfd-foundations-buoyancy) $N$, le rapport entre l’énergie potentielle stockée dans les surfaces de densité déplacées et l’énergie cinétique est de l’ordre de $(L/L_R)^2$.

**Démonstration.** L’équilibre géostrophique donne la perturbation de pression $p'/\rho_0 \sim fUL$ ; la relation hydrostatique donne la flottabilité $b \sim p'/(\rho_0H) \sim fUL/H$. Une flottabilité $b$ dans un fluide de [fréquence de flottabilité](#def-b3-gfd-foundations-buoyancy) $N$ signifie que les surfaces de densité sont déplacées verticalement de $\eta = b/N^2$, ce qui stocke une énergie potentielle par unité de masse d’ordre $N^2\eta^2 = b^2/N^2 \sim f^2U^2L^2/(N^2H^2)$. Rapportée à l’énergie cinétique, d’ordre $U^2$, cela donne $(fL/NH)^2 = (L/L_R)^2$. ∎

Les mouvements beaucoup plus larges que $L_R$ concentrent l’essentiel de leur énergie dans des surfaces de densité inclinées, les mouvements plus étroits dans leur vitesse ; à $L_R$ les deux sont égales, et l’instabilité des écoulements [baroclines](#def-b3-gfd-foundations-baroclinic), qui se nourrit de l’énergie potentielle des surfaces inclinées croît le plus vite près de cette échelle. Pour la troposphère, avec le $N$ moyen de l’atmosphère standard, $H =
11\,\mathrm{km}$ et $f$ à $45{}^{\circ}$, $L_R = 1210\,\mathrm{km}$ : l’échelle des dépressions et anticyclones sur une carte météo. Pour le kilomètre supérieur de la colonne de l’Atlantique Nord à $40.5{}^{\circ}$ N, $L_R = 38\,\mathrm{km}$, trente fois plus petit : l’océan a sa propre météo, avec des tourbillons de dizaines de kilomètres de large, et un modèle qui les résout demande une grille beaucoup plus fine. Aux échelles proches de $L_R$, $f$ varie de $\beta L_R/f$, soit $19\,\%$ pour l’atmosphère et moins d’un pour cent pour l’océan : les tourbillons océaniques vivent sur un plan $f$, tandis que les systèmes météorologiques ressentent le plan $\beta$.

**Au laboratoire — Une planète sur une platine tournante.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-gfd-foundations/img-ae565a7e144a.jpg)

*Un bac en rotation : un colorant s’enroulant autour d’un cylindre, filmé par une caméra qui tourne avec la platine (Illustration générée par IA.)*

Dans un laboratoire de dynamique des fluides géophysiques, une cuve d’eau repose sur une platine tournante ; une caméra tourne avec elle et voit l’eau comme le ferait un observateur placé sur une planète. Avant chaque essai, on laisse l’eau atteindre sa mise à l’équilibre, jusqu’à ce qu’elle tourne comme un solide, ce qui prend quelques minutes, soit de nombreux tours de la platine. Les expérimentateurs injectent ensuite du colorant, ou déplacent lentement un obstacle le long du fond : le colorant s’élève en une colonne verticale au-dessus de l’obstacle, et l’écoulement se sépare autour de lui à chaque niveau. Avec une couche d’eau douce posée sur de l’eau salée, ou un mur extérieur chauffé et un centre refroidi, la cuve devient [barocline](#def-b3-gfd-foundations-baroclinic), et apparaissent des courants-jets, des tourbillons et des fronts en méandres, dont la taille est prédite par le [rayon de déformation de Rossby](#def-b3-gfd-foundations-rossby-radius) de la cuve.

## 19.6 Exercices

**Exercice 19.1 ★.**

Prendre $\Omega = 7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. (a) Calculer le paramètre de Coriolis et la période d’inertie à $30{}^{\circ}$, $45{}^{\circ}$ et $60{}^{\circ}$ N. (b) Calculer le rayon du cercle d’inertie d’un courant de $0.20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à ces mêmes latitudes. (c) Comparer la période d’inertie à $30{}^{\circ}$ avec le jour sidéral, $23.9345\,\mathrm{h}$.

**Solution de Exercice 19.1.**

(a) $f = 2\Omega\sin\varphi$ : $7.292 \times 10^{-5}$, $1.031 \times 10^{-4}$ et $1.263 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $2\pi/f$ : 23.93, 16.92 et $13.82\,\mathrm{h}$. (b) $U/f$ : 2.74, 1.94 et $1.58\,\mathrm{km}$. (c) À $30{}^{\circ}$, $\sin\varphi =
1/2$ et $2\pi/f = 2\pi/\Omega$ : la période d’inertie est le jour sidéral, $23.93\,\mathrm{h}$.

**Exercice 19.2 ★.**

À $45{}^{\circ}$ N, calculer le [nombre de Rossby](#def-b3-gfd-foundations-numbers) d’un tourbillon de poussière ($10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $10\,\mathrm{m}$), d’une brise de mer ($5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $20\,\mathrm{km}$), d’une dépression ($15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $1000\,\mathrm{km}$) et d’un gyre océanique ($0.05\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $2000\,\mathrm{km}$). Lesquels sont proches de l’équilibre géostrophique ?

**Solution de Exercice 19.2.**

Avec $f = 1.031 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$ : tourbillon de poussière $9.7 \times 10^{3}$, brise de mer 2.4, dépression 0.15, gyre $2.4 \times 10^{-4}$. La dépression et le gyre sont proches de l’équilibre géostrophique ; le tourbillon de poussière tourne dans un sens ou dans l’autre, sans tenir compte de la rotation terrestre, et la brise de mer ne la ressent qu’au bout d’une journée.

**Exercice 19.3 ★.**

À $45{}^{\circ}$ N, la température moyenne de la troposphère, $250\,\mathrm{K}$, décroît vers le nord de $5\,\mathrm{K}$ par $1000\,\mathrm{km}$. En utilisant le premier terme du [vent thermique](#thm-b3-gfd-foundations-thermal-wind) en altitude, calculer le cisaillement vertical du vent d’ouest et l’augmentation du vent sur $10\,\mathrm{km}$.

**Solution de Exercice 19.3.**

$\partial u_g/\partial z = (g/fT)\,|\partial T/\partial y| = 9.81\times
5 \times 10^{-6}/(1.031 \times 10^{-4}\times250) = 1.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; sur $10\,\mathrm{km}$, le vent d’ouest augmente de $19\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**Exercice 19.4 ★.**

La stabilité $E = -(1/\rho)\,\mathrm d\rho_\theta/\mathrm dz$ du kilomètre supérieur de l’océan se situe entre $50 \times 10^{-8}$ et $1000 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{-1}$ ; dans les fosses profondes, elle vaut $10^{-8}\,\mathrm{m}^{-1}$. Calculer $N = \sqrt{gE}$, la période de l’oscillation de flottabilité et $N$ en cycles par heure pour ces trois valeurs.

**Solution de Exercice 19.4.**

$E = 50 \times 10^{-8}$ : $N = 2.21 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, une période de $47\,\mathrm{min}$, $1.27$ cycles par heure. $E = 1000 \times 10^{-8}$ : $N = 9.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, $10.6\,\mathrm{min}$, 5.7 cycles par heure. $E = 10^{-8}$ : $N =
3.13 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$, $5.6\,\mathrm{h}$, 0.18 cycles par heure.

**Exercice 19.5 ★★.**

Un système météorologique a $U = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $L = 1000\,\mathrm{km}$, $H =
10\,\mathrm{km}$, à $45{}^{\circ}$ N. (a) Estimer sa vitesse verticale et son accélération verticale, et comparer cette dernière à $g$ et au gradient vertical de la perturbation de pression, $fUL/H$. (b) Calculer le terme de Coriolis négligé $\tilde fu$ et le comparer à $g$.

**Solution de Exercice 19.5.**

(a) $W \sim UH/L = 0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et $\mathrm Dw/\mathrm Dt \sim UW/L =
10^{-6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $1.0 \times 10^{-7}$ de $g$. Le terme de pression, $fUL/H =
0.103\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, est supérieur d’un facteur $1 \times 10^{5}$ : le rapport, $9.7 \times 10^{-6}$, est $\mathrm{Ro}(H/L)^2$ avec $\mathrm{Ro} = 0.097$. (b) $\tilde fu =
2\Omega\cos45{}^{\circ}\times10 = 1.03 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $1.05 \times 10^{-4}$ de $g$.

**Exercice 19.6 ★★.**

Prendre $f = 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$ et des isobares circulaires de rayon $300\,\mathrm{km}$. (a) Le gradient de pression autour d’une dépression donne $V_g =
20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : calculer le [vent du gradient](#def-b3-gfd-foundations-gradient). (b) Autour d’un anticyclone, $V_g = 5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : calculer le [vent du gradient](#def-b3-gfd-foundations-gradient). (c) Quelle est la plus grande valeur possible de $V_g$ autour de l’anticyclone, et quel est alors le vent ?

**Solution de Exercice 19.6.**

$fr = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (a) $\mathrm{Ro}_g = 0.667$, $V = 40/(1 + \sqrt{3.667})
= 13.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, un tiers plus lent que le vent géostrophique. (b) $\mathrm{Ro}_g =
0.167$, $V = 10/(1 + \sqrt{0.333}) = 6.34\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (c) $V_g \le fr/4 =
7.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, et alors $V = fr/2 = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, soit deux fois la vitesse géostrophique.

**Exercice 19.7 ★★.**

Une cuve de $20\,\mathrm{cm}$ de profondeur tourne une fois toutes les $6\,\mathrm{s}$ ; son eau a $\nu =
10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. (a) Calculer $f = 2\Omega$, puis le [nombre de Rossby](#def-b3-gfd-foundations-numbers) d’un écoulement de $1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ autour d’un cylindre de $5\,\mathrm{cm}$ de large, et le [nombre d’Ekman](#def-b3-gfd-foundations-numbers) de la cuve. Une [colonne de Taylor](#thm-b3-gfd-foundations-taylor-proudman) va-t-elle se former ? (b) La théorie donne un temps de mise à l’équilibre $H/\sqrt{\nu\Omega}$ : le calculer en minutes et en tours de la platine.

**Solution de Exercice 19.7.**

(a) $\Omega = 2\pi/6 = 1.047\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $f = 2.094\,\mathrm{s}^{-1}$. $\mathrm{Ro} = 0.01/(2.094\times0.05) = 0.095$ et $\mathrm{Ek} =
10^{-6}/(2.094\times0.04) = 1.19 \times 10^{-5}$ : les deux sont petits, donc l’écoulement obéit au [théorème de Taylor–Proudman](#thm-b3-gfd-foundations-taylor-proudman), et une [colonne de Taylor](#thm-b3-gfd-foundations-taylor-proudman) se forme. (b) $0.2/\sqrt{10^{-6}
\times1.047} = 195\,\mathrm{s}$, $3.3\,\mathrm{min}$, soit 33 tours du plateau.

**Exercice 19.8 ★★.**

Dans la moyenne zonale de janvier 1991–2020, le vent d’ouest vaut $4.27\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à $850\,\mathrm{hPa}$ et $40.39\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à $250\,\mathrm{hPa}$, à $30{}^{\circ}$ N, $5.99\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et $23.17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à $45{}^{\circ}$ N. Avec $R =
286.9\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, calculer le gradient méridien de la température moyenne de la couche aux deux latitudes, et dire pourquoi le courant-jet est plus fort à $30{}^{\circ}$ N.

**Solution de Exercice 19.8.**

$\partial\bar T/\partial y = -f\,\Delta u/(R\ln(850/250))$, avec $\ln(850/250) = 1.224$. À $30{}^{\circ}$ N, $-7.29 \times 10^{-5}\times36.12/(286.9
\times1.224) = -7.50\,\mathrm{K}$ par $1000\,\mathrm{km}$ ; à $45{}^{\circ}$ N, $-1.031 \times 10^{-4}\times17.18/351.1 = -5.05\,\mathrm{K}$ par $1000\,\mathrm{km}$. Le cisaillement est proportionnel au gradient divisé par $f$ : le gradient est 1.5 fois plus grand à $30{}^{\circ}$ et $f$ 1.4 fois plus petit, donc le cisaillement est 2.1 fois plus grand.

**Exercice 19.9 ★★.**

(a) Calculer le [rayon de déformation de Rossby](#def-b3-gfd-foundations-rossby-radius) de la troposphère ($N =
0.0113\,\mathrm{s}^{-1}$, $H = 11\,\mathrm{km}$, $45{}^{\circ}$ N) et de la couche supérieure de l’océan ($N = 0.003\,57\,\mathrm{s}^{-1}$, $H = 1000\,\mathrm{m}$, $40.5{}^{\circ}$ N). (b) Avec $a = 6371\,\mathrm{km}$, calculer $\beta$ aux deux latitudes et la variation relative $\beta L_R/f$ du paramètre de Coriolis sur chaque rayon.

**Solution de Exercice 19.9.**

(a) $L_R = 0.0113\times11\,000/1.031 \times 10^{-4} = 1206\,\mathrm{km}$; $0.00357\times1000/9.47 \times 10^{-5} = 37.7\,\mathrm{km}$, 32 fois plus petit. (b) $\beta = 2\Omega\cos\varphi/a$ : $1.62 \times 10^{-11}$ et $1.74 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$. $\beta L_R/f = 0.19$ pour l’atmosphère, 0.007 pour l’océan.

**Exercice 19.10 ★★★.**

Une parcelle d’eau de surface animée d’une vitesse $U$ est ralentie par un frottement linéaire : $\mathrm du/\mathrm dt = fv - ru$, $\mathrm dv/\mathrm dt = -fu -
rv$. (a) Résoudre avec $w = u + \mathrm iv$ et décrire la trajectoire. (b) La parcelle est aussi entraînée par un courant stationnaire $u_0$ vers l’est : donner sa position. (c) À $45{}^{\circ}$ N avec $U = 0.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $r^{-1} =
4~\text{jours}$ et $u_0 = 0.05\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, donner sa vitesse par rapport au courant après quatre jours, ainsi que la distance parcourue par dérive.

**Solution de Exercice 19.10.**

(a) $\mathrm dw/\mathrm dt = -(r + \mathrm if)w$, donc $w = U\mathrm
e^{-rt}\mathrm e^{-\mathrm ift}$ : la vitesse tourne au taux $f$ tandis que son module décroît comme $\mathrm e^{-rt}$. La position $x + \mathrm iy =
U(1 - \mathrm e^{-(r + \mathrm if)t})/(r + \mathrm if)$ s’enroule vers le point $U/(r + \mathrm if)$. (b) $x + \mathrm iy = U(1 - \mathrm e^{-(r +
\mathrm if)t})/(r + \mathrm if) + u_0t$ : la spirale s’étire en boucles. (c) $0.2\,\mathrm e^{-1} = 0.074\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; le centre a dérivé de $u_0t =
0.05\times4\times86\,400 = 17.3\,\mathrm{km}$ vers l’est.

**Exercice 19.11 ★★★.**

À travers un front océanique à $40{}^{\circ}$ N, la masse volumique de l’eau augmente vers le nord de $1\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ sur $100\,\mathrm{km}$, dans la couche supérieure de $1000\,\mathrm{m}$ ; en dessous, l’eau est uniforme et immobile. Avec $\rho_0 =
1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, calculer le cisaillement vertical du courant et le courant en surface. Dans quel sens circule-t-il ?

**Solution de Exercice 19.11.**

$f = 9.37 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\partial u/\partial z = (g/f\rho_0)\,\partial
\rho/\partial y = 9.81\times10^{-5}/(9.37 \times 10^{-5}\times1025) =
1.02 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$. Avec $u = 0$ à $1000\,\mathrm{m}$, le courant de surface est $1.02\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, vers l’est : dans l’hémisphère Nord, le courant s’écoule avec l’eau légère à sa droite.

**Exercice 19.12 ★★★.**

La colonne moyenne annuelle à $40.5{}^{\circ}$ N, $30.5{}^{\circ}$ O présente des densités potentielles $\sigma_\theta = \rho_\theta - 1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ de 26.029 à la surface, 26.697 à $100\,\mathrm{m}$, 27.079 à $500\,\mathrm{m}$ et 27.628 à $1000\,\mathrm{m}$. (a) Calculer $N$ dans chacune des trois couches, en $\mathrm{s}^{-1}$ et en cycles par heure. (b) Quelle couche est la plus stable, et pourquoi ? (c) Comparer ces valeurs à la plage de l’océan supérieur dans l’[Exercice 19.4](#exo-b3-gfd-foundations-4).

**Solution de Exercice 19.12.**

(a) $N^2 = (g/\rho)\,\Delta\sigma_\theta/\Delta z$. 0–$100\,\mathrm{m}$ : $9.81\times0.668/(1026.4\times100)$, $N = 7.99 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, 4.6 cycles par heure ; 100–$500\,\mathrm{m}$ : $3.02 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, 1.7 cycles par heure ; 500–$1000\,\mathrm{m}$ : $3.24 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, 1.9 cycles par heure. (b) La tranche supérieure $100\,\mathrm{m}$ : elle contient l’eau chaude de surface au-dessus de la pycnocline saisonnier. Entre 100 et $500\,\mathrm{m}$, l’eau est plus uniforme qu’en dessous. (c) $E = N^2/g$ vaut $650 \times 10^{-8}$, $93 \times 10^{-8}$ et $107 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{-1}$, toutes dans la plage de valeurs de l’océan supérieur.

## 19.7 Problème : Vents sur la steppe d’Orrin

**Problème 19.1.**

Problème du week-end — la rotation, la stratification et les vents d’une plaine imaginaire à $48{}^{\circ}$ N

La steppe d’Orrin est une plaine plate à $48{}^{\circ}$ N, avec un lac, le lac Orrin, large de $12\,\mathrm{km}$, et un petit laboratoire doté d’une cuve en rotation. Prendre $\Omega = 7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $R =
286.9\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ et $c_p = 1004\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$. Toutes les valeurs de la steppe, de son lac et de ses vents sont imaginaires.

**Partie I — La rotation joue-t-elle un rôle ?**

1. Calculer le paramètre de Coriolis et la période d’inertie à Orrin.
2. Calculer le [nombre de Rossby](#def-b3-gfd-foundations-numbers) de cinq écoulements : l’eau qui s’écoule d’une baignoire ( $0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sur $0.3\,\mathrm{m}$ ) ; la cuve du laboratoire, qui tourne une fois toutes les $10\,\mathrm{s}$ (avec $f = 2\Omega_{\text{cuve}}$ ; $5\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ sur $0.2\,\mathrm{m}$ ) ; la brise du soir sur le lac ( $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $20\,\mathrm{km}$ ) ; une dépression ( $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $1000\,\mathrm{km}$ ) ; le gyre d’un bassin océanique à la même latitude ( $0.05\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $2000\,\mathrm{km}$ ).
3. Lesquels de ces écoulements ressentent la rotation qui les entraîne, et lesquels sont proches de l’équilibre géostrophique ?
4. Calculer le [nombre d’Ekman](#def-b3-gfd-foundations-numbers) de la cuve ( $0.2\,\mathrm{m}$ de profondeur, $\nu =  10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ), de la dépression (viscosité turbulente $10\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , de profondeur $10\,\mathrm{km}$ ) et du gyre (viscosité turbulente $10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , de profondeur $1000\,\mathrm{m}$ ).
5. La couche d’Ekman a pour épaisseur $\delta = \sqrt{2\nu/f}$ . Montrer que $\delta/H = \sqrt{2\,\mathrm{Ek}}$ et calculer $\delta$ pour la cuve et pour l’air de la steppe.
6. Que nous disent ces nombres sur les endroits où le frottement joue un rôle ?

**Partie II — Le vent au sol.**

7. Au sol, la pression vaut $1012.9\,\mathrm{hPa}$ et la température $288.1\,\mathrm{K}$ . Calculer la masse volumique de l’air.
8. La pression au niveau de la mer diminue vers le nord de $4\,\mathrm{hPa}$ par $300\,\mathrm{km}$ . Calculer le vent géostrophique et donner sa direction.
9. Ce même gradient entoure une dépression dont les isobares ont un rayon de $600\,\mathrm{km}$ . Calculer le [nombre de Rossby](#def-b3-gfd-foundations-numbers) des isobares et le [vent du gradient](#def-b3-gfd-foundations-gradient) .
10. Ce même gradient entoure un anticyclone de même rayon. Calculer le [vent du gradient](#def-b3-gfd-foundations-gradient) , ainsi que le plus fort gradient de pression, en $\mathrm{hPa}$ par $300\,\mathrm{km}$ , que l’anticyclone peut supporter.

**Partie III — Stratification.**

11. La température de la troposphère diminue de $6.49\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ . Calculer le gradient adiabatique sec $g/c_p$ , ainsi que $N$ et la période de l’oscillation de flottabilité à $5\,\mathrm{km}$ , où la température vaut $255.7\,\mathrm{K}$ .
12. Au-dessus de $11\,\mathrm{km}$ , l’air est isotherme à $216.6\,\mathrm{K}$ . Montrer que $N^2 = g^2/(c_pT)$ à cet endroit, et calculer $N$ ainsi que son rapport à la valeur de la question 11.
13. Calculer le [rayon de déformation de Rossby](#def-b3-gfd-foundations-rossby-radius) de la troposphère d’Orrin, avec le $N$ de la question 11 et $H = 10\,\mathrm{km}$ , et le comparer à la taille de la dépression de la partie I.
14. En été, les $20\,\mathrm{m}$ supérieurs du lac Orrin sont plus légers que l’eau profonde de $1.5\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ( $\rho_0 = 1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ). Calculer la gravité réduite $g' = g\,\Delta\rho/\rho_0$ , la vitesse $\sqrt{g'h}$ des ondes internes lentes de la couche supérieure, ainsi que le [rayon de déformation de Rossby](#def-b3-gfd-foundations-rossby-radius) $\sqrt{g'h}/f$ .
15. La rotation de la Terre va-t-elle façonner les mouvements internes du lac ?

**Partie IV — Le vent thermique.**

16. Deux stations de radiosondage sont distantes de $600\,\mathrm{km}$ sur un même méridien. La température moyenne de la couche comprise entre le sol, $1013\,\mathrm{hPa}$ , et $265\,\mathrm{hPa}$ , soit environ $10\,\mathrm{km}$ , vaut $253.0\,\mathrm{K}$ à la station sud et $249.4\,\mathrm{K}$ à la station nord. Calculer le gradient méridien de température en $\mathrm{K}$ par $1000\,\mathrm{km}$ .
17. L’épaisseur d’une couche entre deux pressions est $\Delta z = (R\bar  T/g)\ln(p_b/p_t)$ . La calculer aux deux stations, ainsi que la pente de la surface à $265\,\mathrm{hPa}$ par rapport à celle du niveau du sol.
18. En déduire l’augmentation du vent géostrophique entre le sol et $265\,\mathrm{hPa}$ , à partir de cette pente.
19. Calculer la même augmentation à l’aide du théorème du [vent thermique](#thm-b3-gfd-foundations-thermal-wind) en pression.
20. L’air de la steppe est-il [barotrope](#def-b3-gfd-foundations-baroclinic) ou [barocline](#def-b3-gfd-foundations-baroclinic) ? Quel serait le vent à $265\,\mathrm{hPa}$ s’il était [barotrope](#def-b3-gfd-foundations-baroclinic) ?
21. Calculer l’augmentation à partir du premier terme du [vent thermique](#thm-b3-gfd-foundations-thermal-wind) en hauteur, avec la température moyenne de la troposphère standard entre 0 et $10\,\mathrm{km}$ , $255.7\,\mathrm{K}$ , et comparer.
22. Calculer le vent à $541\,\mathrm{hPa}$ , soit environ $5\,\mathrm{km}$ , en supposant que le gradient de température est le même à chaque niveau.
23. Le nombre de Richardson $N^2/(\partial u/\partial z)^2$ doit passer sous 0.25 pour que le cisaillement entretienne la turbulence. Le calculer pour la troposphère d’Orrin.
24. En janvier, le vent d’ouest zonal moyen à $250\,\mathrm{hPa}$ vaut $23.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à $45{}^{\circ}$ N et $40.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à $30{}^{\circ}$ N. Comparer avec le vent d’Orrin, et expliquer pourquoi un vent local peut dépasser la moyenne zonale.
25. Donner le vent géostrophique à $10\,\mathrm{km}$ au-dessus de la steppe d’Orrin.

**Solution de Problème 19.1.**

**1.** $f = 2\times7.292\,115 \times 10^{-5}\sin48{}^{\circ} =
1.084 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$; $2\pi/f = 16.1\,\mathrm{h}$.

**2.** Baignoire $3.1 \times 10^{3}$ ; cuve ($f = 4\pi/10 = 1.257\,\mathrm{s}^{-1}$) 0.020 ; brise 2.3 ; dépression 0.14 ; gyre $2.3 \times 10^{-4}$.

**3.** La baignoire ne ressent rien de la rotation terrestre ; la brise ne la ressent qu’après quelques heures. La cuve, la dépression et le gyre ont de petits [nombres de Rossby](#def-b3-gfd-foundations-numbers) et sont proches de l’équilibre géostrophique.

**4.** Cuve $10^{-6}/(1.257\times0.04) = 2.0 \times 10^{-5}$ ; dépression $10/(1.084 \times 10^{-4}\times10^8) = 9.2 \times 10^{-4}$ ; gyre $10^{-3}/(1.084 \times 10^{-4}\times10^6) = 9.2 \times 10^{-6}$.

**5.** $\delta/H = \sqrt{2\nu/(fH^2)} = \sqrt{2\,\mathrm{Ek}}$. Cuve $\sqrt{2\times10^{-6}/1.257} = 1.3\,\mathrm{mm}$ ; air $\sqrt{20/1.084 \times 10^{-4}}
= 430\,\mathrm{m}$.

**6.** Le frottement agit dans des couches de quelques millièmes de la profondeur dans la cuve et dans l’océan, de quelques centièmes dans l’atmosphère ; au-dessus d’elles, l’écoulement est presque sans frottement.

**7.** $\rho = p/(RT) = 101\,290/(286.9\times288.1) =
1.225\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$.

**8.** $u_g = (1/\rho f)\,|\partial p/\partial y| = (400/300\,000)/(1.225
\times1.084 \times 10^{-4}) = 10.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, venant de l’ouest, la basse pression étant au nord, à gauche.

**9.** $\mathrm{Ro}_g = 10.04/(1.084 \times 10^{-4}\times600\,000) = 0.154$; $V = 2\times10.04/(1 + \sqrt{1.618}) = 8.84\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $12\,\%$ plus lent.

**10.** $V = 2\times10.04/(1 + \sqrt{0.382}) = 12.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. La plus grande $V_g$ est $fr/4 = 16.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, un gradient $\rho fV_g =
2.16 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$, soit $6.5\,\mathrm{hPa}$ par $300\,\mathrm{km}$.

**11.** $g/c_p = 9.77\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$. $N^2 = (9.81/255.7)\times(9.77 -
6.49)\times10^{-3} = 1.26 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-2}$, $N = 0.0112\,\mathrm{s}^{-1}$, soit une période de $9.3\,\mathrm{min}$.

**12.** Avec $\Gamma = 0$, $N^2 = (g/T)(g/c_p) = g^2/(c_pT) =
4.43 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-2}$, $N = 0.0210\,\mathrm{s}^{-1}$, soit 1.9 fois la valeur troposphérique.

**13.** $L_R = 0.0112\times10^4/1.084 \times 10^{-4} = 1035\,\mathrm{km}$, la taille de la dépression.

**14.** $g' = 0.0147\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $\sqrt{g'h} = 0.54\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $L_R = 0.542/1.084 \times 10^{-4} = 5.0\,\mathrm{km}$.

**15.** Oui : le lac, large de $12\,\mathrm{km}$, fait plus du double de son rayon de Rossby, si bien que ses ondes internes et ses courants sont déviés par la force de Coriolis.

**16.** $(249.4 - 253.0)/600 = -6.0\,\mathrm{K}$ par $1000\,\mathrm{km}$.

**17.** $\ln(1013/265) = 1.3409$. Sud : $286.9\times253.0\times1.3409/9.81 = 9922\,\mathrm{m}$ ; nord $9781\,\mathrm{m}$. La surface à $265\,\mathrm{hPa}$ est $141\,\mathrm{m}$ plus basse au nord, une pente de $2.35 \times 10^{-4}$ par rapport à la surface inférieure.

**18.** $\Delta u = (g/f)\times\text{pente} = 9.81\times2.35 \times 10^{-4}/
1.084 \times 10^{-4} = 21.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**19.** $(R/f)\ln(p_b/p_t)\,|\partial\bar T/\partial y| =
(286.9/1.084 \times 10^{-4})\times1.3409\times6.0 \times 10^{-6} = 21.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, la même : les deux calculs ne font qu’un.

**20.** [Barocline](#def-b3-gfd-foundations-baroclinic) : la température, donc la masse volumique, varie le long des surfaces de pression. [Barotrope](#def-b3-gfd-foundations-baroclinic), le vent ne changerait pas avec l’altitude : $10.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**21.** $(g/f\bar T)\,|\partial T/\partial y|\,\Delta z = 9.81\times
6.0 \times 10^{-6}\times10^4/(1.084 \times 10^{-4}\times255.7) = 21.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, à $0.3\,\%$ près.

**22.** $10.04 + (286.9/1.084 \times 10^{-4})\times6.0 \times 10^{-6}\times
\ln(1013/541) = 10.04 + 9.96 = 20.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**23.** $\partial u/\partial z = 21.3/10^4 = 2.13 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\mathrm{Ri} = 1.26 \times 10^{-4}/4.54 \times 10^{-6} = 28$, bien au-dessus de 0.25 : le cisaillement ne rend pas turbulente la troposphère libre.

**24.** Le vent d’Orrin, $31\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, est plus fort que la moyenne zonale à $45{}^{\circ}$ N et plus faible qu’à $30{}^{\circ}$ N. Le courant-jet du front polaire oscille vers le nord et vers le sud ; à tout instant, son gradient et son vent sont concentrés sur une bande, et la moyenne sur un cercle de latitude l’étale.

**25.** $10.0 + 21.3$ : le vent géostrophique à $10\,\mathrm{km}$ au-dessus de la steppe est **$31\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$**, venant de l’ouest ($31.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ par le calcul).