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title: "Dynamique océanique"
book: "Sciences de la Terre et de l’Univers à l’université — 3e année"
subject: earth
language: fr
chapter: 21
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/5/fr/chapter/21-dynamique-oceanique
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Chapitre 21 — Dynamique océanique

Par le détroit de Floride, le Gulf Stream transporte environ $32\,\mathrm{Sv}$ d’eau vers le nord, et son débit croît en longeant la côte vers le nord, jusqu’à environ $150\,\mathrm{Sv}$ vers $40{}^{\circ}$ N. De l’autre côté du même océan, au large du Portugal et du nord de l’Afrique, rien de comparable ne s’écoule vers le sud : l’eau que le Gulf Stream transporte vers le nord revient vers l’équateur sous la forme d’une dérive lente et large, à travers des milliers de kilomètres de mer ouverte. Chaque bassin océanique de l’hémisphère Nord présente la même forme dissymétrique, son courant rapide étant situé du côté ouest. La dissymétrie découle du vent, du frottement de la mer et d’un fait concernant la Terre : le paramètre de Coriolis croît vers le pôle.

**Tu sais déjà.**

La force de marée de la Lune et du Soleil, ainsi que les marées de vive-eau et de morte-eau, figurent dans les volumes de physique. La tension du vent, la couche d’Ekman, le transport d’Ekman et la spirale d’Ekman, la remontée et la plongée d’eau, les gyres, les courants de bord ouest, le sverdrup ($1\,\mathrm{Sv} =
10^{6}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$), la circulation méridienne de retournement et la formation des eaux profondes figurent dans le volume de première année, dans son chapitre sur la circulation océanique ; la tension du vent s’y écrit $\vec T$, ici $\vec\tau$. Le paramètre de Coriolis, le plan $\beta$, le rayon de Rossby et l’équilibre géostrophique figurent au chapitre [19](https://one-course.com/books/earth/5/fr/chapter/19-dynamique-des-fluides-geophysiques#ch-b3-gfd-foundations) ; la vorticité et la [vorticité potentielle](https://one-course.com/books/earth/5/fr/chapter/20-dynamique-atmospherique#def-b3-atmospheric-dynamics-pv) sont au chapitre [20](https://one-course.com/books/earth/5/fr/chapter/20-dynamique-atmospherique#ch-b3-atmospheric-dynamics).

## 21.1 La couche d’Ekman démontrée

Dans le volume de première année, le transport d’Ekman avait été obtenu à partir d’un bilan des forces sur toute la couche, et la spirale des vitesses à l’intérieur de celle-ci était énoncée. Avec un frottement turbulent de viscosité verticale constante $A_z$, la spirale découle des équations en quelques lignes. On écrit la vitesse horizontale sous la forme d’un nombre complexe, $W = u + \mathrm iv$, et la tension du vent comme $\tau =
\tau_x + \mathrm i\tau_y$ ; la multiplication par $-\mathrm i$ fait tourner un vecteur de $90{}^{\circ}$ dans le sens horaire, c’est-à-dire vers sa droite vue d’en haut.

**Théorème 21.1 (Profil de vitesse d’une couche de surface stationnaire entraînée par le vent).**

Dans un océan stationnaire, horizontalement uniforme, de grande profondeur et de masse volumique constante $\rho$, avec une viscosité turbulente verticale constante $A_z$ et le paramètre de Coriolis $f > 0$, le courant entraîné par une tension du vent $\tau$ s’écrit

$$
W(z) = W_0\,\mathrm e^{(1+\mathrm i)z/\delta},\qquad
W_0 = \frac{\tau}{\rho\sqrt{fA_z}}\,\mathrm e^{-\mathrm i\pi/4},\qquad
\delta = \sqrt{\frac{2A_z}{f}} ,
$$

pour $z \le 0$. Le courant de surface est tourné de $45{}^{\circ}$ vers la droite de la tension ; avec la profondeur, il tourne davantage vers la droite et décroît comme $\mathrm
e^{z/\delta}$ ; le transport total $\int_{-\infty}^0 W\,\mathrm dz =
-\mathrm i\tau/(\rho f)$ est perpendiculaire à la tension, vers sa droite.

**Démonstration.** Loin des côtes, il n’existe aucun gradient horizontal de pression dans la couche, et la force de Coriolis équilibre le frottement : $-fv = A_z u''$ et $fu =
A_z v''$, les primes désignant des dérivées en $z$. En multipliant la seconde par $\mathrm i$ et en additionnant, on obtient $A_zW'' = \mathrm ifW$. Ses solutions sont $\mathrm e^{\pm(1+\mathrm i)z/\delta}$, car $(1+\mathrm i)^2/\delta^2 =
2\mathrm i/\delta^2 = \mathrm if/A_z$ ; seul le signe plus reste borné lorsque $z \to -\infty$. À la surface, la tension est transmise par le frottement, $\rho A_zW'(0) = \tau$, d’où $W_0 = \tau\delta/(\rho A_z(1+\mathrm i))$. Comme $\delta/(\sqrt2 A_z) = 1/\sqrt{fA_z}$ et $1/(1+\mathrm i) = \mathrm
e^{-\mathrm i\pi/4}/\sqrt2$, on retrouve le $W_0$ énoncé. Le facteur $\mathrm e^{\mathrm iz/\delta}$ tourne dans le sens horaire lorsque $z$ diminue. Enfin $\int_{-\infty}^0 W\,\mathrm dz = W_0\delta/(1+\mathrm i) =
\tau\delta^2/(\rho A_z(1+\mathrm i)^2) = \tau\delta^2/(2\mathrm i\rho A_z)
= -\mathrm i\tau/(\rho f)$. ∎

Le théorème retrouve les deux résultats du volume de première année : le courant de surface d’Ekman à $45{}^{\circ}$, et le transport $\tau/(\rho f)$, perpendiculaire à la tension et indépendant de $A_z$, qui n’est jamais bien connu. À la profondeur $\pi\delta$, le courant circule à contre-sens du courant de surface, réduit d’un facteur $\mathrm e^{-\pi}$, soit $4\,\%$.

**Définition 21.2 (Profondeur d’Ekman ; pompage d’Ekman).**

La *profondeur d’Ekman* est $D_E = \pi\delta =
\pi\sqrt{2A_z/f}$, la profondeur à laquelle le courant de la spirale d’Ekman circule à contre-sens du courant de surface ; elle mesure l’épaisseur de la couche d’Ekman. Le *pompage d’Ekman* est la vitesse verticale $w_E$ à la base de la couche d’Ekman, imposée par la convergence ou la divergence du transport d’Ekman : vers le bas là où les transports convergent, vers le haut, parfois appelée succion d’Ekman, là où ils divergent.

**Proposition 21.3 (Pompage d’Ekman).**

La vitesse verticale étant nulle à la surface de la mer, le [pompage d’Ekman](#def-b3-ocean-dynamics-ekman-pumping) est

$$
w_E = \operatorname{curl}_z\frac{\vec\tau}{\rho f}
= \frac{1}{\rho f}\Big(\frac{\partial\tau_y}{\partial x} -
\frac{\partial\tau_x}{\partial y}\Big) + \frac{\beta\tau_x}{\rho f^2} ,
$$

comptée positivement vers le haut.

**Démonstration.** Le transport volumique de la couche vaut $(U_E, V_E) = (\tau_y,
-\tau_x)/(\rho f)$, c’est le théorème écrit en composantes. En intégrant l’équation de continuité $\partial w/\partial z = -(\partial u/\partial x +
\partial v/\partial y)$ à travers la couche, $w(0) - w_E = -(\partial
U_E/\partial x + \partial V_E/\partial y)$, donc $w_E = \partial_x(\tau_y/\rho
f) - \partial_y(\tau_x/\rho f)$. En développant avec $\mathrm df/\mathrm dy =
\beta$, on obtient la seconde forme. ∎

Un vent tournant de façon cyclonique au-dessus de la mer, dont le rotationnel est positif, aspire de l’eau depuis le dessous de la couche ; un vent anticyclonique la refoule vers le bas. Au-dessus des océans subtropicaux, les alizés soufflent d’est du côté équatorial, les vents d’ouest soufflent depuis l’ouest du côté polaire. Leurs transports d’Ekman vers le nord sous les alizés et vers le sud sous les vents d’ouest, convergent entre eux : l’eau de surface s’accumule et est refoulée vers le bas, comme sur la figure ci-dessous. Le long d’une côte où le vent souffle avec la côte à sa gauche (dans l’hémisphère Nord), le transport s’éloigne du rivage, et la remontée côtière du volume de première année est une aspiration d’Ekman concentrée contre un mur.

![Coupe nord–sud à travers un gyre subtropical de l’hémisphère Nord, l’est étant vers l’intérieur de la page. Les transports d’Ekman sous les alizés et les vents d’ouest convergent, l’eau est refoulée vers le bas, et les colonnes situées dessous, comprimées, se dirigent vers l’équateur, où f est plus petit, pour conserver leur vorticité potentielle.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-ocean-dynamics/fig-074f19964827.svg)

*Coupe nord–sud à travers un gyre subtropical de l’hémisphère Nord, l’est étant vers l’intérieur de la page. Les transports d’Ekman sous les alizés et les vents d’ouest convergent, l’eau est refoulée vers le bas, et les colonnes situées dessous, comprimées, se dirigent vers l’équateur, où $f$ est plus petit, pour conserver leur [vorticité potentielle](https://one-course.com/books/earth/5/fr/chapter/20-dynamique-atmospherique#def-b3-atmospheric-dynamics-pv).*

## 21.2 L’équilibre de Sverdrup

Sous la couche d’Ekman, l’océan est géostrophique. Une colonne d’eau qui est comprimée par le [pompage d’Ekman](#def-b3-ocean-dynamics-ekman-pumping) doit, pour conserver sa [vorticité potentielle](https://one-course.com/books/earth/5/fr/chapter/20-dynamique-atmospherique#def-b3-atmospheric-dynamics-pv) $f/h$, se déplacer vers la zone où $f$ est plus petit : vers l’équateur. En 1947, H. U. Sverdrup a rendu l’argument quantitatif pour toute la profondeur de l’écoulement entraîné par le vent.

**Théorème 21.4 (Équilibre de Sverdrup).**

Dans un océan stationnaire où les termes non linéaires et le frottement latéral sont négligeables, l’intérieur est géostrophique sous la couche d’Ekman et la vitesse verticale s’annule à une profondeur $-H$, le transport volumique total vers le nord par unité de largeur de l’écoulement entraîné par le vent obéit à l’*équilibre de Sverdrup*

$$
\beta V = \frac{1}{\rho}\operatorname{curl}_z\vec\tau
= \frac{1}{\rho}\Big(\frac{\partial\tau_y}{\partial x} -
\frac{\partial\tau_x}{\partial y}\Big) .
$$

**Démonstration.** Dans l’intérieur géostrophique $fv_g = \rho^{-1}\partial p/\partial x$ et $fu_g = -\rho^{-1}\partial p/\partial y$. Donc $\partial_x(fu_g) +
\partial_y(fv_g) = 0$, soit $f(\partial_xu_g + \partial_yv_g) + \beta
v_g = 0$ et, avec la continuité, $\beta v_g = f\,\partial w/\partial z$. En intégrant depuis $-H$, où $w = 0$, jusqu’à la base de la couche d’Ekman, où $w = w_E$, on obtient $\beta V_g = fw_E$. D’après la [Proposition 21.3](#prop-b3-ocean-dynamics-pumping), $fw_E = \rho^{-1}\operatorname{curl}_z
\vec\tau + \beta\tau_x/(\rho f)$. En ajoutant le transport d’Ekman $V_E =
-\tau_x/(\rho f)$, multiplié par $\beta$, annule le dernier terme : $\beta(V_g + V_E) = \rho^{-1}\operatorname{curl}_z\vec\tau$. ∎

L’équilibre est remarquable par ce dont il n’a pas besoin : ni de la profondeur de l’écoulement, ni de sa structure verticale, ni de la viscosité turbulente, seuls comptent le rotationnel du vent et $\beta$. Sverdrup l’a établi à partir des équations du mouvement intégrées jusqu’à une profondeur de référence, et il l’a confronté aux coupes hydrographiques des navires de recherche *Carnegie* et *Bushnell* dans le Pacifique tropical oriental, entre $34{}^{\circ}$ N et $10{}^{\circ}$ S, avec une profondeur de référence à $1000\,\mathrm{m}$ : les transports calculés à partir du vent concordaient avec ceux calculés à partir du champ de densité, même là où les courants allaient à contre-vent. Des travaux ultérieurs, avec de meilleures données de vent, ont trouvé le meilleur accord avec une profondeur de référence proche de $500\,\mathrm{m}$, et les mesures de la contrainte moyenne dans le Pacifique équatorial en 1999 ont montré que l’écoulement y obéissait à l’[équilibre de Sverdrup](#thm-b3-ocean-dynamics-sverdrup). Savoir si cet équilibre vaut partout est plus difficile à démontrer qu’à admettre : presque toute théorie de la circulation océanique repose sur lui.

Prenons le bassin fictif du problème de ce chapitre : entre $20{}^{\circ}$ et $50{}^{\circ}$ N, large de $6000\,\mathrm{km}$, sous une contrainte zonale $\tau_x =
-\tau_0\cos(\pi(\varphi - 20{}^{\circ})/30{}^{\circ})$ avec $\tau_0 =
0.1\,\mathrm{Pa}$, dirigée vers l’ouest à $20{}^{\circ}$ N, vers l’est à $50{}^{\circ}$ N, nulle à $35{}^{\circ}$ N. Sur presque tout le bassin, le rotationnel de la contrainte est négatif : l’eau est refoulée vers le bas, d’environ $35\,\mathrm{m}$ par an à $35{}^{\circ}$ N, et l’intérieur s’écoule vers le sud, $4.9\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ par mètre de largeur à $35{}^{\circ}$ N, $29.4\,\mathrm{Sv}$ à travers le bassin. Calculé à partir des vents observés, le transport de Sverdrup du gyre subtropical de l’Atlantique Nord atteint environ $30\,\mathrm{Sv}$ près de $28{}^{\circ}$ N.

![Le bassin fictif du problème, entre 20 et 50 N et 6000\, km de large. À gauche, la contrainte zonale du vent, comptée positive vers l’est. Au centre, le pompage d’Ekman, compté positif vers le haut : l’eau est refoulée vers le bas au sud de 47 N, le plus fortement au sud, où f est petit, et remontée au nord de cette latitude. À droite, le transport de Sverdrup total vers le nord à travers le bassin : l’intérieur va vers le sud, 29.4\, Sv à 35 N, sauf dans une fine bande au bord nord, où le rotationnel de la contrainte change de signe.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-ocean-dynamics/fig-7937202f416f.svg)

*Le bassin fictif du problème, entre $20{}^{\circ}$ et $50{}^{\circ}$ N et $6000\,\mathrm{km}$ de large. À gauche, la contrainte zonale du vent, comptée positive vers l’est. Au centre, le [pompage d’Ekman](#def-b3-ocean-dynamics-ekman-pumping), compté positif vers le haut : l’eau est refoulée vers le bas au sud de $47{}^{\circ}$ N, le plus fortement au sud, où $f$ est petit, et remontée au nord de cette latitude. À droite, le transport de Sverdrup total vers le nord à travers le bassin : l’intérieur va vers le sud, $29.4\,\mathrm{Sv}$ à $35{}^{\circ}$ N, sauf dans une fine bande au bord nord, où le rotationnel de la contrainte change de signe.*

Le transport de Sverdrup fixe $V$ en chaque point, mais une fonction de courant a besoin d’une condition aux limites, et une paroi méridienne n’en peut imposer qu’une seule. Si l’intérieur respecte l’absence de flux à travers la paroi est, l’écoulement vers le sud n’a nulle part où aller à la paroi ouest ; la masse est restituée par un courant que les équations de Sverdrup, sans frottement, ne peuvent décrire.

## 21.3 Intensification de bord ouest

En 1948, H. Stommel ajouta le frottement le plus simple à l’océan le plus simple, et trouva que le courant de retour se resserrait contre la paroi ouest, comme sur la figure du volume de première année consacrée à son gyre. Il ne l’obtint qu’avec un paramètre de Coriolis croissant vers le nord : sans rotation, ou avec un paramètre uniforme, son gyre était symétrique.

**Définition 21.5 (Intensification de bord ouest ; modèle de Stommel ; couche limite de Munk).**

L’*intensification de bord ouest* est le resserrement du courant de retour d’un gyre entraîné par le vent en un courant étroit et rapide accolé au flanc ouest du bassin. Le *modèle de Stommel* est un océan homogène de profondeur constante dans un bassin rectangulaire, entraîné par une contrainte zonale du vent et freiné par un frottement de fond proportionnel à la vitesse intégrée sur la profondeur, de taux $r$ ; sa fonction de courant de transport $\psi$ ($U = -\partial\psi/\partial y$, $V =
\partial\psi/\partial x$) vérifie

$$
r\nabla^2\psi + \beta\frac{\partial\psi}{\partial x} =
\frac{1}{\rho}\operatorname{curl}_z\vec\tau ,\qquad \psi = 0 \text{ sur les parois.}
$$

La *couche limite de Munk* est la couche limite de bord ouest du même gyre lorsqu’une viscosité latérale de [tourbillon](https://one-course.com/books/earth/5/fr/chapter/20-dynamique-atmospherique#def-b3-atmospheric-dynamics-eddy) $A_H$ remplace le frottement de fond ; son échelle de largeur est $\delta_M =
(A_H/\beta)^{1/3}$.

L’équation est l’[équilibre de Sverdrup](#thm-b3-ocean-dynamics-sverdrup) auquel s’ajoute le rotationnel du frottement de fond soit, intégrée sur la profondeur : $\beta V = \rho^{-1}\operatorname{curl}_z
\vec\tau - r\zeta_T$, où $\zeta_T = \nabla^2\psi$ est la vorticité du transport.

**Théorème 21.6 (Couche limite de bord ouest du gyre de Stommel).**

Dans un bassin $0 \le x \le X$, $0 \le y \le L$, avec $\tau_x = -\tau_0
\cos(\pi y/L)$ et $\delta_S = r/\beta \ll X$, la fonction de courant de Stommel est, au premier ordre en $\delta_S/X$,

$$
\psi = A\sin\frac{\pi y}{L}\Big[(X - x) - X\mathrm e^{-x/\delta_S}\Big],
\qquad A = \frac{\pi\tau_0}{\rho\beta L} .
$$

L’intérieur transporte $AX\sin(\pi y/L)$ vers le sud ; une couche limite de largeur $\delta_S$ contre la paroi ouest le ramène vers le nord ; aucune couche limite ne peut exister contre la paroi est.

**Démonstration.** Le rotationnel de la contrainte vaut $-\partial\tau_x/\partial y = -(\pi\tau_0/L)\sin(\pi
y/L)$. Sur la largeur du bassin, le terme de frottement est plus petit que le terme en $\beta$ d’un facteur $\delta_S/X$ ; en le négligeant, il reste l’[équilibre de Sverdrup](#thm-b3-ocean-dynamics-sverdrup), $\beta\,\partial\psi/\partial x = -(\pi\tau_0/\rho L)\sin(\pi y/L)$, dont la solution nulle en $x = X$ est $\psi_I = A\sin(\pi y/L)(X - x)$. Elle ne s’annule pas en $x = 0$. Près d’une paroi $\psi$ varie vite en $x$, et l’équation se réduit à equation reduces to $r\,\partial^2\psi/\partial x^2 + \beta\,\partial\psi/
\partial x = 0$ pour la correction, dont les solutions sont une constante et $\mathrm e^{-x/\delta_S}$. Celle-ci décroît vers l’est, en s’éloignant de la paroi ouest : ajouter $-AX\sin(\pi y/L)\,\mathrm e^{-x/\delta_S}$ rend $\psi = 0$ en $x = 0$ et ne modifie rien à l’intérieur. À la paroi est, une correction devrait décroître vers l’ouest, en s’éloignant de $x = X$, et $\mathrm e^{-x/\delta_S}$ croît vers l’ouest : il n’existe pas de couche de ce type, donc l’intérieur doit rejoindre la paroi est par lui-même, comme le fait $\psi_I$. Le transport vers le nord entre la paroi et le point où $V$ change de signe est $\psi$ en ce point, proche de $AX\sin(\pi y/L)$. ∎

La même réponse vient de la vorticité. Sur l’intérieur, le vent confère à chaque colonne une vorticité négative, et la colonne le compense en se déplaçant vers le sud, vers un $f$ plus petit. Sur le chemin du retour vers le nord, elle gagne de la [vorticité planétaire](https://one-course.com/books/earth/5/fr/chapter/20-dynamique-atmospherique#def-b3-atmospheric-dynamics-vorticity-kinds) et doit la perdre, ce que seul le frottement peut faire. Dans un courant vers le nord dont la vitesse décroît vers l’est à partir de la paroi ouest, $\partial
v/\partial x < 0$ sur la plus grande partie de sa largeur : la vorticité du courant est négative, et le frottement, qui agit en sens inverse, lui fournit la vorticité positive dont les colonnes ont besoin. Un courant vers le nord longeant la paroi est aurait une vorticité positive, et le frottement en retirerait le mauvais signe.

![La couche limite de bord ouest, au milieu du bassin fictif du problème (35 N, 6000\, km de large). À gauche, le transport vers le nord par unité de largeur : la couche de Stommel, avec un frottement de fond r = 10-6\, s-1, décroît exponentiellement depuis la paroi ; celle de Munk, avec A_H = 5 × 103\, m2/ s et une absence de glissement à la paroi, croît depuis zéro, atteint son maximum vers 80\, km au large et est suivie d’un faible contre-courant vers le sud. À droite, le transport entre la paroi et chaque distance, à comparer au 29.4\, Sv que l’intérieur transporte vers le sud : la couche de Stommel rassemble 27.9\, Sv avant que son écoulement ne s’infléchisse vers le sud, le jet de Munk 33.0\, Sv avant son contre-courant.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-ocean-dynamics/fig-9ed261fc0f05.svg)

*La couche limite de bord ouest, au milieu du bassin fictif du problème ($35{}^{\circ}$ N, $6000\,\mathrm{km}$ de large). À gauche, le transport vers le nord par unité de largeur : la couche de Stommel, avec un frottement de fond $r = 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$, décroît exponentiellement depuis la paroi ; celle de Munk, avec $A_H = 5 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ et une absence de glissement à la paroi, croît depuis zéro, atteint son maximum vers $80\,\mathrm{km}$ au large et est suivie d’un faible contre-courant vers le sud. À droite, le transport entre la paroi et chaque distance, à comparer au $29.4\,\mathrm{Sv}$ que l’intérieur transporte vers le sud : la couche de Stommel rassemble $27.9\,\mathrm{Sv}$ avant que son écoulement ne s’infléchisse vers le sud, le jet de Munk $33.0\,\mathrm{Sv}$ avant son contre-courant.*

Avec $r = 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$ à $35{}^{\circ}$ N, $\delta_S = 53\,\mathrm{km}$, et l’écoulement vers le nord occupe les premiers $250\,\mathrm{km}$ à partir de la paroi. En 1950 W. H. Munk remplaça le frottement de fond par une viscosité turbulente latérale $A_H$, qui agit sur le cisaillement au sein du courant ; l’équation acquiert un terme $A_H\nabla^4\psi$, et près de la paroi ouest la correction devient $\mathrm e^{-x/2\delta_M}$ multipliée par une oscillation, $\cos(\sqrt3x/2\delta_M)$ et $\sin(\sqrt3x/2\delta_M)$. Avec $A_H = 5 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, le jet vers le nord a une largeur d’environ $225\,\mathrm{km}$ ($233\,\mathrm{km}$ dans le bassin de la figure), avec un faible contre-courant au-delà, une forme proche de celle du Gulf Stream et du Kuroshio. Comme dans la couche de Stommel, le transport du jet ne dépend pas du frottement mais seulement du rotationnel de la tension du vent, de la largeur du bassin et de $\beta$. À partir des vents de son époque, Munk calcula $36\,\mathrm{Sv}$ pour le Gulf Stream et $39\,\mathrm{Sv}$ pour le Kuroshio, soit environ la moitié des transports mesurés alors ; avec un meilleur coefficient de traînée et des moyennes plus fines de la contrainte, on trouve $32\,\mathrm{Sv}$ pour le Gulf Stream en 1978. Mesuré principalement à l’aide d’un câble sous-marin, le Gulf Stream dans le détroit de Floride a transporté $31.7\,\mathrm{Sv}$ en moyenne depuis 2004. En aval, il grossit jusqu’à environ $150\,\mathrm{Sv}$ près de $40{}^{\circ}$ N, et au large du cap Hatteras une forte recirculation, que la théorie linéaire ne contient pas, vient gâcher l’accord.

## 21.4 La circulation abyssale

L’océan profond se remplit à partir de quelques endroits. Dans le volume de première année, l’eau profonde se forme là où l’eau de surface est refroidie et rendue dense dans le nord extrême de l’Atlantique et autour de l’Antarctique, puis se répand dans les bassins comme eau profonde nord-atlantique et eau de fond antarctique. Entre 1958 et 1960 H. Stommel, A. B. Arons et A. J. Faller se sont demandé comment elle se répand, en utilisant le même argument de vorticité que Sverdrup.

**Définition 21.7 (Modèle de Stommel–Arons).**

Le *modèle de Stommel–Arons* de la circulation abyssale suppose que l’eau profonde est alimentée par convection en quelques sources de haute latitude, que l’eau remonte vers l’océan superficiel par une remontée lente et uniforme $W_0$ à travers la base de la thermocline, compensée par un mélange vertical de chaleur vers le bas, et que l’écoulement intérieur est géostrophique et conserve la [vorticité potentielle](https://one-course.com/books/earth/5/fr/chapter/20-dynamique-atmospherique#def-b3-atmospheric-dynamics-pv). La circulation est refermée par des courants profonds de bord ouest.

**Proposition 21.8 (Écoulement intérieur de l’abysse vers les pôles).**

Dans le [modèle de Stommel–Arons](#def-b3-ocean-dynamics-abyssal), sur un fond plat, le transport intégré en profondeur vers le nord de l’intérieur abyssal est

$$
V = \frac{f}{\beta}W_0 = a\tan\varphi\,W_0 ,
$$

vers les pôles dans les deux hémisphères lorsque $W_0 > 0$.

**Démonstration.** Dans l’intérieur géostrophique $\beta v = f\,\partial w/\partial z$, comme dans la démonstration de l’[équilibre de Sverdrup](#thm-b3-ocean-dynamics-sverdrup). En intégrant depuis le fond plat, où $w = 0$, jusqu’au sommet de la couche abyssale, où $w = W_0$, on obtient $\beta V =
fW_0$, et $f/\beta = 2\Omega\sin\varphi\,a/(2\Omega\cos\varphi) =
a\tan\varphi$. Dans l’hémisphère Sud $\tan\varphi < 0$ : l’écoulement est vers le sud, encore vers les pôles. ∎

Le résultat est contre-intuitif : l’intérieur abyssal s’écoule vers les sources, et non pas à l’opposé. Stommel et Arons ont réalisé des expériences en bassin tournant pour s’en convaincre. L’eau issue des sources circule le long des parois ouest, dans des courants profonds de bord ouest qui alimentent l’intérieur au fur et à mesure. Dans un secteur océanique compris entre l’équateur et le pôle avec toute la source $S_0$ près du pôle, le courant de bord ouest transporte $2S_0\sin\varphi$ vers l’équateur, soit le double de la source au pôle et rien à l’équateur : l’excédent par rapport à $S_0$ est de l’eau qui recircule depuis l’intérieur. Le modèle fait de la circulation profonde une circulation pilotée par le mélange, et non par la subsidence : sans la remontée, la convection ne ferait que remplir l’abysse d’une masse d’eau froide stagnante. Ses temps de transit s’étendent de quelques siècles près des sources à près de mille ans dans le Pacifique Nord. Sur le véritable fond océanique, les dorsales cloisonnent les bassins, le mélange est intense au-dessus d’un relief accidenté, et l’écoulement profond est bien plus zonal que celui du modèle. Sa prédiction durable porte sur le courant profond de bord ouest : dans l’Atlantique Nord, on ramène vers le sud environ $14\,\mathrm{Sv}$ d’eau à $2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, tandis que le Gulf Stream remonte les eaux chaudes vers le nord.

![La circulation abyssale de Stommel–Arons dans un secteur de l’océan de l’hémisphère Nord, vue de dessus. L’eau profonde plonge en une source S_0 proche du pôle, descend vers l’équateur dans un courant profond de bord ouest, et fuit vers un intérieur qui s’écoule vers le pôle, en remontant partout lentement à travers la thermocline (les points, remontée vers le lecteur).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-ocean-dynamics/fig-f519d9c4af92.svg)

*La circulation abyssale de Stommel–Arons dans un secteur de l’océan de l’hémisphère Nord, vue de dessus. L’eau profonde plonge en une source $S_0$ proche du pôle, descend vers l’équateur dans un courant profond de bord ouest, et fuit vers un intérieur qui s’écoule vers le pôle, en remontant partout lentement à travers la thermocline (les points, remontée vers le lecteur).*

L’intérieur du modèle, comme celui de Sverdrup, est géostrophique, et les courants géostrophiques de la mer profonde se mesurent de la même façon que Sverdrup les mesurait : à partir de la densité.

**Définition 21.9 (Méthode dynamique).**

La *méthode dynamique* calcule le courant géostrophique entre deux stations hydrographiques à partir de la densité mesurée à chacune, par rapport à un niveau de pression de référence où le courant est supposé nul ou connu. La distance géopotentielle entre deux surfaces de pression, $\int\alpha\,\mathrm dp$ avec $\alpha = 1/\rho$ le volume massique, se décompose en une partie standard, identique aux deux stations, et en une *anomalie géopotentielle* $\Delta\Phi$ ; le courant à la surface supérieure, perpendiculaire à la droite qui joint les stations $A$ et $B$, distantes de $L$, vaut

$$
v = \frac{\Delta\Phi_B - \Delta\Phi_A}{fL} .
$$

Pourquoi ne pas mesurer directement la pression, comme le font les météorologues ? Un courant géostrophique de $10\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ à $30{}^{\circ}$ demande un gradient de pression de $7.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$, soit $750\,\mathrm{Pa}$ sur $100\,\mathrm{km}$ : le poids de $7.4\,\mathrm{cm}$ d’eau de mer. Aucun capteur de pression posé sur le fond ne peut être nivelé avec une telle précision. La densité, calculée à quelques parties par million, donne en revanche la pente d’une surface de pression par rapport à une autre. L’eau la plus légère et la plus chaude se trouve à droite du courant, en regardant vers l’aval, dans l’hémisphère Nord. Au travers du Gulf Stream, les surfaces de densité constante changent de profondeur de plus d’un kilomètre sur $100\,\mathrm{km}$.

**Méthode 21.10 (Courant géostrophique à partir de deux stations).**

1. À chaque station, calculer l’anomalie de volume massique $\delta =  \alpha(S, T, p) - \alpha(35, 0, p)$ à partir de la salinité, de la température et de la pression mesurées.
2. L’intégrer depuis la pression de référence jusqu’à chaque pression $p$ : $\Delta\Phi(p) = \int_p^{p_{\text{réf}}}\delta\,\mathrm dp$ .
3. À chaque pression, $v(p) = (\Delta\Phi_B - \Delta\Phi_A)/(fL)$ est le courant par rapport au niveau de référence, positif lorsque la station $B$ se trouve à droite.
4. Ajouter le courant au niveau de référence s’il est connu, à partir d’un flotteur qui y dérive ou de la pente de la surface de la mer mesurée par satellite.

**Sur le terrain — Un réseau de flotteurs.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-ocean-dynamics/img-145c332e77a1.jpg)

*Un flotteur Argo mis à l’eau depuis le bord d’un navire de recherche (NOAA Global Ocean Monitoring and Observing Program, domaine public).*

**Chiffres de 2024.**

Près de quatre mille flotteurs Argo dérivent dans l’océan mondial. Mis à l’eau depuis le bord d’un navire, un flotteur coule jusqu’à environ $1000\,\mathrm{m}$ et y dérive pendant environ neuf jours ; il descend ensuite à $2000\,\mathrm{m}$, puis remonte vers la surface en mesurant la conductivité, la température et la pression au cours de sa remontée, et le cycle recommence environ tous les dix jours ; les flotteurs Deep Argo sondent jusqu’à $6000\,\mathrm{m}$. En juillet 2024, le réseau a enregistré son trois millionième profil. À partir de ces profils, les océanographes calculent, pour chaque flotteur, les anomalies géopotentielles de la [méthode dynamique](#def-b3-ocean-dynamics-dynamic-height), et le déplacement du flotteur entre deux remontées donne le courant moyen à sa profondeur de dérive : la vitesse de référence que Sverdrup devait supposer est désormais mesurée.

## 21.5 Marées océaniques

Deux fois par jour, un peu moins d’une heure plus tard chaque jour, la mer monte et descend. Les volumes de physique expliquent la force de marée : l’attraction de la Lune est plus forte sur le côté proche de la Terre qu’en son centre, et plus faible sur le côté éloigné, de sorte que, par rapport au centre, l’eau est tirée vers l’extérieur le long de la droite joignant la Lune, des deux côtés.

**Définition 21.11 (Marée d’équilibre ; composante de marée).**

La *marée d’équilibre* est la forme que prendrait la surface d’un océan recouvrant toute la Terre s’il suivait instantanément le potentiel générateur de marée, sans inertie. Une *composante de marée* est l’un des termes harmoniques, chacun de fréquence fixe imposée par les mouvements de la Lune et du Soleil, avec une amplitude et une phase propres à chaque lieu, dont la somme forme la marée ; elles se désignent par une lettre et le nombre de cycles par jour, comme M$_2$, la composante lunaire principale semi-diurne.

**Théorème 21.12 (Marée d’équilibre de la Lune).**

Pour la Lune, de masse $M$, située à la distance $d$ du centre de la Terre, de masse $M_E$ et de rayon $a$, la [marée d’équilibre](#def-b3-ocean-dynamics-tides) à un angle $\theta$ du point sous la Lune vaut

$$
\eta = K\,\frac{3\cos^2\theta - 1}{2},\qquad
K = \frac{M}{M_E}\Big(\frac{a}{d}\Big)^3 a .
$$

**Démonstration.** Le potentiel de la Lune en un point situé à la distance $a$ du centre de la Terre et à l’angle $\theta$ vaut $-GM/s$, avec $s^2 = d^2 - 2ad\cos\theta +
a^2$. En développant en $a/d$, $1/s = (1/d)[1 + (a/d)\cos\theta + (a/d)^2
(3\cos^2\theta - 1)/2 + \cdots]$. Le premier terme est une constante ; le second est un champ uniforme, celui qui accélère la Terre entière sur son orbite autour du centre de masse commun, et n’a aucun effet par rapport à la Terre. Ce qui reste est le potentiel générateur de marée $\Phi_T = -(GMa^2/d^3)(3
\cos^2\theta - 1)/2$. À l’équilibre, la surface de la mer est une surface de potentiel total constant, $g\eta + \Phi_T = C$, avec $g = GM_E/a^2$, donc $\eta = (M/M_E)(a^4/d^3)(3\cos^2\theta - 1)/2 + C/g$. La moyenne de $3\cos^2\theta - 1$ sur la sphère est nulle ; le volume d’eau étant fixé, $C = 0$. ∎

Avec le rapport des masses $0.0123$, $d = 384\,400\,\mathrm{km}$ et $a =
6371\,\mathrm{km}$, $K = 0.357\,\mathrm{m}$ : la mer s’élève de $0.36\,\mathrm{m}$ sous la Lune et du côté opposé, et s’abaisse de $0.18\,\mathrm{m}$ sur le grand cercle intermédiaire, soit un marnage de $0.54\,\mathrm{m}$. À la latitude $\varphi$, avec la Lune à la déclinaison $\delta$ et à l’angle horaire $H$, $\cos\theta =
\sin\varphi\sin\delta + \cos\varphi\cos\delta\cos H$. Lorsque la Terre tourne sous les deux renflements, un lieu connaît deux pleines mers par jour lunaire, $24\,\mathrm{h}$ $50\,\mathrm{min}$ : la marée semi-diurne. Lorsque la Lune se trouve au nord ou au sud de l’équateur, les deux renflements sont inclinés, et les deux pleines mers d’une même journée sont inégales, comme le montre la figure ci-dessous. Le Soleil soulève une marée de même forme, $0.46$ fois plus grande ; les deux s’ajoutent à la nouvelle Lune et à la pleine Lune, en vives-eaux, et se compensent en partie aux quadratures.

![À gauche, la marée d’équilibre de la Lune, dans le plan qui contient la Lune, le renflement étant exagéré environ deux millions de fois. À droite, la marée d’équilibre à 45 N sur deux jours lunaires, avec la Lune sur l’équateur (en bleu) et à la déclinaison 20 N (en rouge) : le second cas présente une pleine mer bien plus haute que l’autre, soit l’inégalité diurne.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-ocean-dynamics/fig-be18d21a3b9a.svg)

*À gauche, la [marée d’équilibre](#def-b3-ocean-dynamics-tides) de la Lune, dans le plan qui contient la Lune, le renflement étant exagéré environ deux millions de fois. À droite, la [marée d’équilibre](#def-b3-ocean-dynamics-tides) à $45{}^{\circ}$ N sur deux jours lunaires, avec la Lune sur l’équateur (en bleu) et à la déclinaison $20{}^{\circ}$ N (en rouge) : le second cas présente une pleine mer bien plus haute que l’autre, soit l’inégalité diurne.*

L’analyse harmonique de la [marée d’équilibre](#def-b3-ocean-dynamics-tides) en donne les composantes. Les cinq plus grandes, avec leurs amplitudes d’équilibre, sont données dans le tableau ci-dessous. Au moins 39 composantes sont nécessaires pour prédire la marée d’un port à un millième de son plus grand terme, et un marégraphe doit fonctionner plus de 18.6 ans, soit la période de la modulation des marées lunaires, pour toutes les séparer.

| composante | origine | période ($\mathrm{h}$) | amplitude d’équilibre ($\mathrm{m}$) |
| --- | --- | --- | --- |
| M$_2$ | principale lunaire, semi-diurne | $12.4206$ | $0.2423$ |
| S$_2$ | principale solaire, semi-diurne | $12.0000$ | $0.1128$ |
| N$_2$ | lunaire elliptique, semi-diurne | $12.6584$ | $0.0464$ |
| K$_1$ | luni-solaire, diurne | $23.9344$ | $0.1416$ |
| O$_1$ | principale lunaire, diurne | $25.8194$ | $0.1005$ |

La marée réelle n’est pas la [marée d’équilibre](#def-b3-ocean-dynamics-tides). Pour maintenir un renflement sous la Lune sur l’équateur, la marée devrait faire le tour de la Terre en un jour lunaire, à environ $460\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, vitesse qu’une longue onde de gravité n’atteint que dans un océan de $22\,\mathrm{km}$ de profondeur ; et les continents l’arrêtent. La marée est plutôt une longue onde forcée, ballottant dans chaque bassin près de la résonance, et la rotation de la Terre la fait tourner autour du bassin.

**Définition 21.13 (Onde de Kelvin).**

Une *onde de Kelvin* océanique est une longue onde de gravité qui se propage le long d’une côte, ou de l’équateur, sans vitesse perpendiculaire à elle, sa hauteur décroissant exponentiellement en s’éloignant de la côte sur le rayon de Rossby. Le long d’une côte, la côte reste à sa droite dans l’hémisphère Nord, et à sa gauche dans l’hémisphère Sud.

**Théorème 21.14 (Onde de Kelvin côtière).**

Dans un océan de profondeur uniforme $H$ sur un plan $f$, avec $f > 0$, délimité par une côte rectiligne le long de $y = 0$ et occupant $y > 0$, les équations linéaires de l’eau peu profonde admettent des solutions avec $v = 0$

$$
\eta = \mathrm e^{-y/L_R}F(x - ct),\qquad u = \frac{g}{c}\,\eta,\qquad
c = \sqrt{gH},\quad L_R = \frac{c}{f},
$$

pour tout profil $F$, et aucune solution avec $v = 0$ ne se propage dans la direction $-x$.

**Démonstration.** Avec $v = 0$, les équations sont $\partial u/\partial t = -g\,\partial\eta/
\partial x$, $fu = -g\,\partial\eta/\partial y$ et $\partial\eta/\partial t
+ H\,\partial u/\partial x = 0$. La première et la troisième donnent $\partial^2
\eta/\partial t^2 = gH\,\partial^2\eta/\partial x^2$ : en $x$, chaque ligne $y =$ const porte des ondes $F(x \mp ct)$ avec $c = \sqrt{gH}$, puis la première équation donne $u = \pm(g/c)\eta$. La seconde devient $\partial\eta/
\partial y = \mp(f/c)\eta$, donc $\eta \propto \mathrm e^{\mp y/L_R}$. Avec le signe supérieur, l’onde décroît en s’éloignant de la côte ; avec le signe inférieur, elle croîtrait sans borne dans l’océan, ce qui est exclu. L’onde se propage vers $+x$, l’océan à sa gauche et la côte à sa droite. ∎

En haute mer, à $4000\,\mathrm{m}$ de profondeur, $c = 198\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et le rayon de Rossby vaut environ $2000\,\mathrm{km}$ aux moyennes latitudes : la marée balaie tout un bassin. Sur une mer épicontinentale de $50\,\mathrm{m}$ de profondeur, $c =
22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, le rayon de Rossby est inférieur à $200\,\mathrm{km}$, et une longueur d’onde de M$_2$ vaut environ $1000\,\mathrm{km}$. Dans un golfe, la marée qui entre le long d’une côte sous forme d’[onde de Kelvin](#def-b3-ocean-dynamics-kelvin-wave) revient le long de la côte opposée, toujours avec la côte à sa droite ; les deux ondes s’annulent en des points intermédiaires.

**Définition 21.15 (Point amphidromique ; ligne cotidale ; ligne d’égale amplitude).**

Un *point amphidromique* est un point où l’amplitude d’une [composante de marée](#def-b3-ocean-dynamics-tides) est nulle et autour duquel sa pleine mer tourne. Une *ligne cotidale* relie les lieux où la pleine mer d’une composante survient au même instant ; une *ligne d’égale amplitude* relie les lieux de même marnage. Les lignes cotidales rayonnent à partir des points amphidromiques ; les lignes d’égale amplitude les entourent.

![Deux ondes de Kelvin de la marée M_2 dans un chenal fictif large de 400\, km et profond de 50\, m à 55 N, l’une allant vers l’est le long de la côte sud, l’autre vers l’ouest le long de la côte nord. En rouge, les lignes cotidales, toutes les 30 de phase (environ une heure), la plus épaisse correspondant à la pleine mer à l’origine des temps ; en bleu pointillé, les lignes d’égale amplitude, tous les cinquièmes de l’amplitude d’une onde à sa côte. Les points amphidromiques (marques) se trouvent sur la ligne médiane, distants d’une demi-longueur d’onde, soit 495\, km d’écart, et la pleine mer tourne autour d’eux dans le sens antihoraire (flèche).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-ocean-dynamics/fig-c3997370d1ef.svg)

*Deux [ondes de Kelvin](#def-b3-ocean-dynamics-kelvin-wave) de la marée M$_2$ dans un chenal fictif large de $400\,\mathrm{km}$ et profond de $50\,\mathrm{m}$ à $55{}^{\circ}$ N, l’une allant vers l’est le long de la côte sud, l’autre vers l’ouest le long de la côte nord. En rouge, les [lignes cotidales](#def-b3-ocean-dynamics-amphidrome), toutes les $30{}^{\circ}$ de phase (environ une heure), la plus épaisse correspondant à la pleine mer à l’origine des temps ; en bleu pointillé, les [lignes d’égale amplitude](#def-b3-ocean-dynamics-amphidrome), tous les cinquièmes de l’amplitude d’une onde à sa côte. Les [points amphidromiques](#def-b3-ocean-dynamics-amphidrome) (marques) se trouvent sur la ligne médiane, distants d’une demi-longueur d’onde, soit $495\,\mathrm{km}$ d’écart, et la pleine mer tourne autour d’eux dans le sens antihoraire (flèche).*

Les cartes de la marée océanique établies par altimétrie satellitaire, précises à environ $2\,\mathrm{cm}$ en haute mer, montrent partout cette structure : la crête de M$_2$ tourne dans le sens antihoraire autour des amphidromes des bassins de l’hémisphère Nord et dans le sens horaire dans l’hémisphère Sud, et les plus forts marnages sont sur les côtes. Les marées dissipent $3.75\,\mathrm{TW}$, dont $3.5\,\mathrm{TW}$ dans l’océan, environ deux tiers de l’énergie de M$_2$ sur les plateaux et dans les mers peu profondes, et un tiers par des ondes internes en haute mer. Cette énergie allonge le jour d’environ $2.07\,\mathrm{ms}$ par siècle et éloigne la Lune de $3.86\,\mathrm{cm}$ par an ; la part perdue en haute mer contribue au mélange, en alimentant une partie du mélange qui, dans le [modèle de Stommel–Arons](#def-b3-ocean-dynamics-abyssal), entretient la circulation abyssale.

## 21.6 Exercices

**Exercice 21.1 ★.**

Une tension de vent d’ouest de $0.12\,\mathrm{Pa}$ souffle sur la mer à $40{}^{\circ}$ N ($\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $\Omega = 7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$). Calculer le transport de volume d’Ekman par mètre de largeur et sa direction, ainsi que le transport à travers une section longue de $1000\,\mathrm{km}$, en sverdrups.

**Solution de Exercice 21.1.**

$f = 9.37 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\tau/(\rho f) = 0.12/(1025\times9.37 \times 10^{-5})
= 1.25\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, à droite du vent : vers le sud. Sur $1000\,\mathrm{km}$, $1.25 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, $1.25\,\mathrm{Sv}$.

**Exercice 21.2 ★.**

Avec $A_z = 0.05\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, calculer la [profondeur d’Ekman](#def-b3-ocean-dynamics-ekman-pumping) à $45{}^{\circ}$ N. Quelle fraction du courant de surface subsiste à cette profondeur ?

**Solution de Exercice 21.2.**

$f = 1.031 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$; $D_E = \pi\sqrt{2\times0.05/1.031 \times 10^{-4}}
= 98\,\mathrm{m}$. Le courant y vaut $\mathrm e^{-\pi} = 0.043$ du courant de surface, circulant en sens inverse.

**Exercice 21.3 ★.**

À $30{}^{\circ}$ N, le rotationnel de la tension du vent vaut $-1 \times 10^{-7}\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$ à travers un bassin large de $5000\,\mathrm{km}$ ($a = 6371\,\mathrm{km}$). Calculer $\beta$, le transport de Sverdrup par unité de largeur et le transport total, avec sa direction.

**Solution de Exercice 21.3.**

$\beta = 2\Omega\cos30{}^{\circ}/a = 1.98 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$; $V =
-1 \times 10^{-7}/(1025\times1.98 \times 10^{-11}) = -4.92\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ; sur $5000\,\mathrm{km}$, $-24.6\,\mathrm{Sv}$ : vers le sud.

**Exercice 21.4 ★.**

À partir des périodes de M$_2$ et de S$_2$, calculer la période du cycle des marées de vives-eaux et de mortes-eaux, c’est-à-dire le temps entre deux alignements des deux composantes.

**Solution de Exercice 21.4.**

Les deux [composantes de marée](#def-b3-ocean-dynamics-tides) se retrouvent en phase après $1/(1/12 - 1/12.4206) =
354\,\mathrm{h}$, $14.77$ jours, soit un demi-mois synodique.

**Exercice 21.5 ★★.**

Une tension de vent d’ouest croît linéairement de 0 à $35{}^{\circ}$ N jusqu’à $0.1\,\mathrm{Pa}$ à $45{}^{\circ}$ N, $1110\,\mathrm{km}$ plus au nord. Calculer le [pompage d’Ekman](#def-b3-ocean-dynamics-ekman-pumping) à $40{}^{\circ}$ N, en conservant les deux termes de la [Proposition 21.3](#prop-b3-ocean-dynamics-pumping), en mètres par an. L’eau est-elle poussée vers le haut ou vers le bas ?

**Solution de Exercice 21.5.**

À $40{}^{\circ}$ N, $f = 9.37 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\beta =
1.75 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\tau_x = 0.05\,\mathrm{Pa}$ et $\partial\tau_x/\partial y = 0.1/1.11 \times 10^{6} = 9.0 \times 10^{-8}\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$. Le premier terme, $-9.0 \times 10^{-8}/(1025\times9.37 \times 10^{-5}) =
-9.38 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; le second terme, $0.05\times1.75 \times 10^{-11}/(1025\times
(9.37 \times 10^{-5})^2) = +9.7 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. $w_E = -8.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $-26.5\,\mathrm{m}/\mathrm{an}$ : l’eau est poussée vers le bas.

**Exercice 21.6 ★★.**

Dans un gyre de Stommel avec $r = 2 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$ et $\beta =
2 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$, calculer la largeur $\delta_S$. Si le courant de bord transporte $30\,\mathrm{Sv}$ dans les $800\,\mathrm{m}$ supérieurs, sur une largeur $\delta_S$, quelle est sa vitesse moyenne ?

**Solution de Exercice 21.6.**

$\delta_S = 2 \times 10^{-6}/2 \times 10^{-11} = 100\,\mathrm{km}$ ; vitesse $=
30 \times 10^{6}/(1 \times 10^{5}\times800) = 0.375\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**Exercice 21.7 ★★.**

Calculer la largeur de Munk $\delta_M$ et la largeur du jet dirigé vers le nord, $(2\pi/\sqrt3)\,\delta_M$, à $30{}^{\circ}$ N pour $A_H = 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. Comment varie la largeur si $A_H$ est huit fois plus petit ?

**Solution de Exercice 21.7.**

$\beta = 1.98 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\delta_M = (10^4/1.98 \times 10^{-11})^{1/3}
= 79.6\,\mathrm{km}$, et le jet mesure $3.628\,\delta_M = 289\,\mathrm{km}$ de large. Avec $A_H$ huit fois plus faible, les deux longueurs sont divisées par deux, puisque $8^{1/3} = 2$.

**Exercice 21.8 ★★.**

Deux stations distantes de $80\,\mathrm{km}$ sont situées sur une ligne allant de l’ouest ($A$) à l’est ($B$) à $36{}^{\circ}$ N. Par rapport à la surface $1000\,\mathrm{dbar}$, l’anomalie géopotentielle de la surface de la mer vaut $14.5\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ en $A$ et $21.3\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ en $B$. Calculer le courant de surface par rapport à $1000\,\mathrm{dbar}$ et sa direction. Quelle station possède la colonne d’eau la plus chaude ?

**Solution de Exercice 21.8.**

$f = 8.57 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$; $v = (21.3 - 14.5)/(8.57 \times 10^{-5}\times8 \times 10^{4})
= 0.99\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, positif, $B$ étant à droite : en regardant de $A$ vers $B$, vers l’est, le courant se dirige vers le nord. La surface de la mer se trouve $6.8/9.81 = 0.69\,\mathrm{m}$ plus haute en $B$ ; la colonne d’eau en $B$ est la plus légère et plus chaude, à droite du courant.

**Exercice 21.9 ★★.**

Avec la [marée d’équilibre](#def-b3-ocean-dynamics-tides) de la Lune, $K = 0.357\,\mathrm{m}$, et le rapport $0.46$ de la marée solaire à la marée lunaire, calculer le marnage d’équilibre (pleine mer sous les astres moins basse mer à $90{}^{\circ}$) en vives-eaux et en mortes-eaux, ainsi que leur rapport.

**Solution de Exercice 21.9.**

Marnage de vive-eau $1.5K(1 + 0.46) = 0.78\,\mathrm{m}$ ; marnage de morte-eau $1.5K(1 - 0.46)
= 0.29\,\mathrm{m}$ ; rapport $1.46/0.54 = 2.7$.

**Exercice 21.10 ★★★.**

Sur le plan $\beta$ équatorial, $f = \beta_0y$ avec $\beta_0 =
2\Omega/a$. Montrer que l’[onde de Kelvin](#def-b3-ocean-dynamics-kelvin-wave) $\eta = G(y)F(x - ct)$, $v = 0$, devient $G = \exp(-\beta_0y^2/2c)$, piégée des deux côtés de l’équateur, et se propage vers l’est. Calculer son échelle de piégeage $\sqrt{c/\beta_0}$ pour une onde de vitesse $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**Solution de Exercice 21.10.**

Comme au [Théorème 21.14](#thm-b3-ocean-dynamics-kelvin), $u = \pm(g/c)\eta$ pour $F(x \mp
ct)$, et $fu = -g\,\partial\eta/\partial y$ devient $\beta_0y(\pm g/c)G =
-gG'$, donc $G = \exp(\mp\beta_0y^2/2c)$. Seul le signe supérieur, celui de l’onde vers l’est, est borné des deux côtés de l’équateur. $\beta_0 =
2.29 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\sqrt{2.5/2.29 \times 10^{-11}} = 330\,\mathrm{km}$.

**Exercice 21.11 ★★★.**

(a) Établir $V = a\tan\varphi\,W_0$ pour l’intérieur abyssal à partir de $\beta v =
f\,\partial w/\partial z$. (b) Avec $W_0 = 10^{-7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, calculer $V$ à $30{}^{\circ}$ N, ainsi que le transport total vers le pôle à travers un bassin de $5000\,\mathrm{km}$ de large. (c) D’où doit provenir l’eau ?

**Solution de Exercice 21.11.**

(a) En intégrant $\beta v = f\,\partial w/\partial z$ depuis le fond, $w = 0$, jusqu’au sommet de la couche abyssale, $w = W_0$ : $\beta V = fW_0$, et $f/\beta =
a\tan\varphi$. (b) $V = 6.371 \times 10^{6}\times0.577\times10^{-7} =
0.368\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $1.84\,\mathrm{Sv}$ sur $5000\,\mathrm{km}$, vers le pôle. (c) Issu d’un courant profond de bord ouest, alimenté par les sources de hautes latitudes ; l’intérieur s’écoule vers les sources, et le courant de bord ouest s’en éloigne.

**Exercice 21.12 ★★★.**

Un courant géostrophique $W_g = u_g + \mathrm iv_g$ s’écoule sur un fond marin plat en $z = 0$, avec une viscosité turbulente $A_z$ et une condition de non-glissement au fond. (a) Montrer que $W = W_g(1 - \mathrm e^{-(1+\mathrm i)z/\delta})$, $\delta =
\sqrt{2A_z/f}$. (b) Montrer que le défaut de transport de cette couche d’Ekman de fond pompe la vitesse verticale $w = \tfrac12\delta\zeta_g$ dans l’intérieur, $\zeta_g$ la vorticité du courant géostrophique. (c) Pour $A_z = 0.01\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $f = 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$ et un océan d’une profondeur de $4000\,\mathrm{m}$, calculer $\delta$, le taux de ralentissement $r =
f\delta/2H$, et son inverse en jours.

**Solution de Exercice 21.12.**

(a) Avec $z$ orienté vers le haut à partir du fond, $A_zW'' = \mathrm if(W - W_g)$, le gradient de pression étant celui de l’écoulement géostrophique au-dessus. $W - W_g =
C\mathrm e^{-(1+\mathrm i)z/\delta}$ est borné vers le haut, et $W(0) = 0$ donne $C = -W_g$. (b) Le défaut de transport vaut $\int_0^\infty(W - W_g)\,\mathrm dz
= -W_g\delta/(1+\mathrm i) = -\tfrac12\delta(1 - \mathrm i)W_g$, soit $-\tfrac12\delta(u_g + v_g,\ v_g - u_g)$. L’écoulement géostrophique étant non divergent, $w = -\nabla\cdot(\text{défaut}) = \tfrac12\delta(\partial_x
v_g - \partial_y u_g) = \tfrac12\delta\zeta_g$. (c) $\delta =
\sqrt{0.02/10^{-4}} = 14.1\,\mathrm{m}$; $r = 10^{-4}\times14.1/8000 =
1.77 \times 10^{-7}\,\mathrm{s}^{-1}$, un temps d’amortissement de $65$ jours.

## 21.7 Problème : un gyre dans la mer d’Ammar

**Problème 21.1.**

Problème du week-end — pompage d’Ekman, transport de Sverdrup, le courant de bord ouest et la marée d’un océan fictif

La mer d’Ammar est un bassin océanique fictif, un rectangle allant de $20{}^{\circ}$ à $50{}^{\circ}$ N et $6000\,\mathrm{km}$ de large, $4000\,\mathrm{m}$ de profondeur. La tension du vent est zonale, $\tau_x = -\tau_0\cos(\pi(\varphi - 20{}^{\circ})/30{}^{\circ})$ avec $\tau_0
= 0.1\,\mathrm{Pa}$. On prend $\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $\Omega =
7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $a = 6371\,\mathrm{km}$, $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, et, lorsqu’un plan $\beta$ est demandé, sa valeur à $35{}^{\circ}$ N.

**Partie I — La couche d’Ekman.**

1. Calculer la tension du vent à $20{}^{\circ}$ , $35{}^{\circ}$ et $50{}^{\circ}$ N.
2. Calculer $f$ aux mêmes latitudes.
3. Calculer le transport volumique d’Ekman par unité de largeur à $20{}^{\circ}$ et $50{}^{\circ}$ N, avec sa direction. Les transports convergent-ils ou divergent-ils dans le bassin ?
4. Avec $A_z = 0.05\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , calculer la [profondeur d’Ekman](#def-b3-ocean-dynamics-ekman-pumping) à $35{}^{\circ}$ N.
5. Calculer le [pompage d’Ekman](#def-b3-ocean-dynamics-ekman-pumping) à $35{}^{\circ}$ N, en mètres par seconde et par an.
6. Combien d’années ce pompage mettrait-il à faire descendre l’eau de surface de $500\,\mathrm{m}$ ?

**Partie II — L’intérieur de Sverdrup.**

7. Calculer la longueur $L$ du bassin du sud au nord et $\beta$ à $35{}^{\circ}$ N.
8. Calculer le rotationnel de la tension du vent à $35{}^{\circ}$ N.
9. Calculer le transport de Sverdrup par unité de largeur à $35{}^{\circ}$ N, avec sa direction.
10. Calculer le transport total de l’intérieur à travers le bassin à $35{}^{\circ}$ N, en sverdrups.
11. Si cet écoulement est réparti sur les $1000\,\mathrm{m}$ supérieurs, quelle est sa vitesse moyenne, et combien d’années une parcelle met-elle pour parcourir $1000\,\mathrm{km}$ vers le sud ?
12. Montrer que $fw_E/\beta$ à $35{}^{\circ}$ N donne le même transport, et expliquer pourquoi, avec la [vorticité potentielle](https://one-course.com/books/earth/5/fr/chapter/20-dynamique-atmospherique#def-b3-atmospheric-dynamics-pv) d’une colonne.

**Partie III — Le courant de bord ouest.**

13. Expliquer pourquoi le courant de retour ne peut pas longer le côté est du bassin.
14. Avec un frottement de fond $r = 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$ , calculer la largeur de Stommel $\delta_S$ .
15. Calculer le transport vers le nord par unité de largeur au mur ouest, $A(X/\delta_S - 1)$ , et la vitesse moyenne s’il remplit les $1000\,\mathrm{m}$ supérieurs.
16. À quelle distance du mur l’écoulement vers le nord s’arrête-t-il ?
17. Calculer le transport vers le nord de la couche limite de Stommel, et expliquer pourquoi il reste inférieur au transport de l’intérieur d’environ $1.5\,\mathrm{Sv}$ .
18. Avec $A_H = 5 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , calculer $\delta_M$ et la largeur du jet de Munk dirigé vers le nord.
19. Le jet de Munk transporte $1 + \mathrm e^{-\pi/\sqrt3}$ fois le transport de l’intérieur. Calculer ce transport, puis préciser où va l’excédent.

**Partie IV — La marée de la mer d’Ammar.**

20. Calculer la vitesse d’une [onde de Kelvin](#def-b3-ocean-dynamics-kelvin-wave) dans le bassin et le rayon de Rossby à $35{}^{\circ}$ N.
21. Calculer la longueur d’onde de l’ [onde de Kelvin](#def-b3-ocean-dynamics-kelvin-wave) M $_2$ .
22. Combien de temps une [onde de Kelvin](#def-b3-ocean-dynamics-kelvin-wave) met-elle pour faire le tour des côtes du bassin, et combien de périodes de M $_2$ cela représente-t-il ?
23. À quelle vitesse la [marée d’équilibre](#def-b3-ocean-dynamics-tides) devrait-elle parcourir le cercle de $35{}^{\circ}$ N pour rester sous la Lune, et à quelle profondeur d’océan une onde longue se propage-t-elle à cette vitesse ?
24. Où s’attend-on à trouver le [point amphidromique](#def-b3-ocean-dynamics-amphidrome) du bassin, et dans quel sens la pleine mer tourne-t-elle autour de lui ?
25. Calculer l’amplitude d’équilibre semi-diurne à $35{}^{\circ}$ N, $\tfrac34  K\cos^2\varphi$ , avec $K = 0.357\,\mathrm{m}$ , pour la Lune sur l’équateur.
26. Donner le transport du courant de bord ouest qui ferme le gyre de la mer d’Ammar.

**Solution de Problème 21.1.**

**1.** $\tau_x = -0.1\,\mathrm{Pa}$ (d’est), 0 et $+0.1\,\mathrm{Pa}$ (d’ouest).

**2.** $f = 4.99 \times 10^{-5}$, $8.37 \times 10^{-5}$ et $1.117 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**3.** $V_E = -\tau_x/(\rho f)$ : $+1.96\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ (nord) à $20{}^{\circ}$ N et $-0.87\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ (sud) à $50{}^{\circ}$ N. Ils convergent.

**4.** $D_E = \pi\sqrt{2\times0.05/8.37 \times 10^{-5}} = 109\,\mathrm{m}$.

**5.** $\tau_x = 0$ à $35{}^{\circ}$ N, donc $w_E = -(1/\rho f)\,
\partial\tau_x/\partial y = -\pi\tau_0/(\rho fL) = -1.10 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $-34.7\,\mathrm{m}/\mathrm{an}$, vers le bas.

**6.** $500/34.7 = 14.4\text{ ans}$.

**7.** $L = a\times\pi/6 = 3336\,\mathrm{km}$ ; $\beta =
1.875 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**8.** $\operatorname{curl}_z\vec\tau = -\pi\tau_0/L =
-9.42 \times 10^{-8}\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$.

**9.** $V = -9.42 \times 10^{-8}/(1025\times1.875 \times 10^{-11}) =
-4.90\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, vers le sud.

**10.** $4.90\times6 \times 10^{6} = 2.94 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, $29.4\,\mathrm{Sv}$ vers le sud.

**11.** $4.9\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ; $1000\,\mathrm{km}$ en $2.0 \times 10^{8}\,\mathrm{s}$, $6.5$ ans.

**12.** $fw_E/\beta = 8.37 \times 10^{-5}\times(-1.10 \times 10^{-6})/
1.875 \times 10^{-11} = -4.90\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ : c’est la même valeur, car le transport d’Ekman est nul là où $\tau_x = 0$. Une colonne aplatie au taux $w_E$ conserve sa [vorticité potentielle](https://one-course.com/books/earth/5/fr/chapter/20-dynamique-atmospherique#def-b3-atmospheric-dynamics-pv) $f/h$ seulement en se déplaçant vers un $f$ plus petit, c’est-à-dire vers le sud, au taux $\beta V_g = fw_E$.

**13.** Une couche limite ne peut être qu’une couche dans laquelle la correction à l’intérieur décroît en s’éloignant de la paroi ; avec $\beta > 0$ cela correspond à $\mathrm e^{-x/\delta_S}$, qui décroît vers l’est, et seulement à partir de la paroi ouest. En termes de vorticité, le frottement dans un courant vers le nord contre une paroi est retirerait de la vorticité positive, ce qui est le mauvais signe.

**14.** $\delta_S = 10^{-6}/1.875 \times 10^{-11} = 53.3\,\mathrm{km}$.

**15.** $A = 4.90\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $X/\delta_S = 112.5$: $4.90\times111.5 = 546\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $0.55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à travers $1000\,\mathrm{m}$.

**16.** Là où $(X/\delta_S)\mathrm e^{-x/\delta_S} = 1$ : $x =
\delta_S\ln(X/\delta_S) = 252\,\mathrm{km}$.

**17.** $A(X - \delta_S - x_0) = 4.90\times(6000 - 53 - 252)\times
10^3 = 27.9\,\mathrm{Sv}$. L’écoulement intérieur va encore vers le sud dans la bande voisine de la paroi ; le déficit, $A(x_0 + \delta_S) =
1.5\,\mathrm{Sv}$, est le transport intérieur qui aurait traversé cette bande.

**18.** $\delta_M = (5 \times 10^{3}/1.875 \times 10^{-11})^{1/3} = 64.4\,\mathrm{km}$; jet $3.628\times64.4 = 233\,\mathrm{km}$.

**19.** $1.163\times29.4 - A\times233\,\mathrm{km} = 34.2 - 1.1 =
33.0\,\mathrm{Sv}$ ; l’excédent, $16\,\%$ du transport intérieur, retourne vers le sud dans le contre-courant juste à l’est du jet.

**20.** $c = \sqrt{9.81\times4000} = 198\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $L_R =
198/8.37 \times 10^{-5} = 2370\,\mathrm{km}$.

**21.** $198\times12.4206\times3600 = 8860\,\mathrm{km}$.

**22.** Périmètre $2(6000 + 3336) = 18\,670\,\mathrm{km}$, $26.2\,\mathrm{h}$, 2.1 M$_2$ périodes.

**23.** Le cercle a pour longueur $2\pi a\cos35{}^{\circ} = 32\,790\,\mathrm{km}$, parcouru en un jour lunaire, $24.84\,\mathrm{h}$ : $367\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, ce qui demande $c^2/g =
13.7\,\mathrm{km}$ d’eau.

**24.** Avec un [rayon de déformation de Rossby](https://one-course.com/books/earth/5/fr/chapter/19-dynamique-des-fluides-geophysiques#def-b3-gfd-foundations-rossby-radius) comparable à la largeur du bassin et la longueur d’onde de M$_2$ comparable à sa longueur, environ un [point amphidromique](#def-b3-ocean-dynamics-amphidrome), près du centre du bassin ; la pleine mer tourne dans le sens antihoraire autour de lui, en laissant la côte à sa droite.

**25.** $\tfrac34\times0.357\times\cos^235{}^{\circ} = 0.18\,\mathrm{m}$.

**26.** Le courant de bord ouest ramène vers le nord les **$29\,\mathrm{Sv}$** que l’intérieur transporte vers le sud ($29.4\,\mathrm{Sv}$ par le calcul).