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title: "Modèles climatiques"
book: "Sciences de la Terre et de l’Univers à l’université — 3e année"
subject: earth
language: fr
chapter: 22
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/5/fr/chapter/22-modeles-climatiques
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Chapitre 22 — Modèles climatiques

On prend le rayonnement solaire qui atteint la Terre, $340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ en moyenne sur le globe, et une loi pour le rayonnement infrarouge qu’elle renvoie vers l’espace, ajustée sur trente ans d’une réanalyse des observations. On laisse l’albédo de la planète passer de celui du sol nu et de la mer à celui de la glace à mesure que la surface se refroidit. On équilibre les deux flux, et l’équation admet trois solutions : une planète à $14\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, proche de la moyenne de la Terre réelle ; une planète à $8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; et une planète à $-46\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, gelée d’un pôle à l’autre. Les modèles climatiques, depuis ces quelques lignes jusqu’aux programmes tournant sur les plus grands calculateurs, sont des outils pour se demander quel climat une planète donnée possède, comment elle y parvient, et comment il évolue lorsque son bilan énergétique est perturbé.

**Tu sais déjà.**

Le corps noir, la loi de Stefan–Boltzmann, l’effet de serre et le modèle à une couche de l’atmosphère sont dans les volumes de physique ; l’albédo et le bilan énergétique de la Terre dans les manuels du secondaire. Le rayonnement infrarouge sortant, la température d’émission et le transport méridien de chaleur sont dans le volume de première année, dans son chapitre sur le rayonnement et le transport de chaleur. Le rétroaction glace–albédo et la Terre boule de neige sont dans le volume de deuxième année, dans son chapitre sur la Terre précambrienne ; le forçage radiatif effectif, le paramètre de rétroaction climatique $\lambda < 0$, la sensibilité climatique à l’équilibre (ECS) et la réponse climatique transitoire (TCR) dans son chapitre sur le changement climatique anthropique ; la prévision numérique du temps et la prévision d’ensemble dans son chapitre sur les systèmes météorologiques. Les équations de mouvement sur la Terre en rotation, avec l’[approximation hydrostatique](https://one-course.com/books/earth/5/fr/chapter/19-dynamique-des-fluides-geophysiques#def-b3-gfd-foundations-hydrostatic), figurent au chapitre [19](https://one-course.com/books/earth/5/fr/chapter/19-dynamique-des-fluides-geophysiques#ch-b3-gfd-foundations).

## 22.1 Le bilan énergétique d’une planète

En moyenne sur la sphère et sur une année, chaque mètre carré au sommet de l’atmosphère reçoit $Q = S_0/4 = 340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, un quart de la éclairement solaire $S_0 = 1360\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. Une fraction $\alpha$, l’albédo planétaire, est réfléchie ; le reste, $Q(1 - \alpha)$, est absorbé et doit être renvoyé vers l’espace sous forme d’infrarouge. Un corps noir émettrait $\sigma
T^4$ ; le rayonnement infrarouge sortant de la Terre (OLR) est plus faible, à cause de l’effet de serre, et sur la gamme de températures de surface relevées sur la Terre, elle est proche d’une droite,

$$
\text{OLR} = A + BT ,
$$

avec $T$ la température de surface en degrés Celsius. En 1969, Budyko a ajusté une telle loi au rayonnement sortant calculé pour 260 stations, avec une correction pour la nébulosité $n$ : $I = a + bT - (a_1 + b_1T)n$, $a = 14.0$, $b = 0.14$, $a_1 =
3.0$ et $b_1 = 0.10$ en $\mathrm{kcal}\,\mathrm{cm}^{-2}$ par mois, avec une dispersion inférieure à $5\,\%$. Pour une nébulosité moyenne de 0.5, il donne $A =
199\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ et $B = 1.43\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$. Les [moyennes zonales](https://one-course.com/books/earth/5/fr/chapter/20-dynamique-atmospherique#def-b3-atmospheric-dynamics-eddy) annuelles de la réanalyse NCEP–NCAR 1 pour 1991–2020, pondérées par la surface, donnent $A = 211.9\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ et $B = 1.816\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, avec une dispersion de $10\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ autour de la droite. Ces valeurs sont utilisées ci-dessous.

**Définition 22.1 (Modèle de bilan d’énergie).**

Un *modèle de bilan d’énergie* est un modèle climatique qui calcule une température de surface — une moyenne globale unique, ou une moyenne sur chaque latitude — à partir du bilan entre le rayonnement solaire absorbé, le rayonnement infrarouge émis vers l’espace et, si la température dépend de la latitude, la chaleur transportée vers les pôles. Dans sa forme zéro-dimensionnelle,

$$
C\,\frac{\mathrm dT}{\mathrm dt} = Q\big(1 - \alpha(T)\big) - (A + BT) ,
$$

où $C$ est la capacité thermique par unité de surface de la partie du système qui se réchauffe avec la surface.

Avec $\alpha = 0.30$, l’équilibre vaut $T = (238 - 211.9)/1.816 =
14.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; la moyenne surfacique de la réanalyse est $14.2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Un forçage $F$, comme celui d’un changement de dioxyde de carbone, s’ajoute au membre de droite. Au voisinage d’un équilibre, la réponse est régie par le paramètre de rétroaction climatique $\lambda$ du volume de deuxième année : à albédo fixé, $\lambda = -B$.

**Théorème 22.2 (Temps de réponse d’un climat à une seule boîte).**

Soit un climat à l’équilibre, et soit un forçage constant $F$ mis en route à $t = 0$. Si l’écart $T'$ à l’équilibre obéit à $C\,\mathrm
dT'/\mathrm dt = F + \lambda T'$ avec $C > 0$ et $\lambda < 0$ constants, alors

$$
T'(t) = -\frac{F}{\lambda}\Big(1 - \mathrm e^{-t/\tau}\Big), \qquad
\tau = -\frac{C}{\lambda} .
$$

La nouvelle position d’équilibre est $-F/\lambda$, et le climat parcourt la fraction $1
- \mathrm e^{-1} = 0.63$ du chemin en un temps $\tau$.

**Démonstration.** $T'_\infty = -F/\lambda$ annule le second membre. La différence $u = T' - T'_\infty$ obéit à $C\,\mathrm du/\mathrm dt = \lambda u$, donc $u =
u(0)\,\mathrm e^{\lambda t/C}$, avec $u(0) = F/\lambda$. ∎

La capacité thermique qui compte sur quelques années est celle de l’océan superficiel. L’émulateur à deux couches du sixième rapport d’évaluation du Groupe d’experts intergouvernemental sur l’évolution du climat, calé sur 44 modèles climatiques, donne pour la couche de surface $C = 8.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{an}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, la capacité thermique d’une couche d’eau de mer de $62\,\mathrm{m}$ de profondeur. Avec $\lambda = -B$, le temps de réponse est $8.1/1.816 = 4.5\text{ ans}$. Le climat réel se réchauffe aussi l’océan profond, bien plus lentement ; la section [22.4](#sec-22-4) l’intègre.

## 22.2 Glace, albédo et équilibres multiples

L’rétroaction glace–albédo du volume de deuxième année fait dépendre l’albédo de la température. Prenons $\alpha = 0.62$ pour une planète dont la surface est en dessous de $T_I = -10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, l’albédo de la glace dans le modèle de Budyko, $\alpha
= 0.30$ au-dessus de $T_F = +10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, et une droite entre les deux, à mesure que la glace recule. La rampe est un choix de ce chapitre ; tout albédo qui augmente quand la planète se refroidit donne le même tableau.

**Définition 22.3 (Équilibres climatiques multiples ; bifurcation nœud-col).**

Un modèle climatique possède *équilibres climatiques multiples* lorsque, pour les mêmes conditions extérieures, il admet plus d’un état stationnaire. Un équilibre est stable si une petite perturbation s’en écarte en s’amortissant, instable si elle s’amplifie. Une *bifurcation nœud-col* est la valeur d’un paramètre pour laquelle un équilibre stable et un équilibre instable se rejoignent et disparaissent ensemble.

**Proposition 22.4 (Trois équilibres et leur stabilité).**

Posons $N(T) = Q(1 - \alpha(T)) - (A + BT)$ pour le flux net descendant. Un équilibre $T^*$, $N(T^*) = 0$, est stable si $N'(T^*) < 0$ et instable si $N'(T^*) > 0$. Avec la rampe ci-dessus, $N' = -B$ sur les branches boule de neige et sans glace, qui sont stables partout où elles existent, et $N' = -B -
Q\,\mathrm d\alpha/\mathrm dT$ sur la rampe, qui est instable lorsque $Q\,
|\mathrm d\alpha/\mathrm dT| > B$. Pour $Q = 340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, le modèle possède trois équilibres, $-45.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (stable), $7.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (instable) et $14.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (stable).

**Démonstration.** Au voisinage de $T^*$, $C\,\mathrm dT'/\mathrm dt = N'(T^*)T'$, qui s’amortit si $N'(T^*) < 0$ et s’amplifie si $N'(T^*) > 0$. Sur la rampe, $\mathrm d\alpha/
\mathrm dT = -0.32/20 = -0.016\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, donc $N' = -1.816 + 340
\times 0.016 = +3.62\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$. La branche boule de neige, $T = (340\times0.38 - 211.9)/1.816 = -45.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, se situe sous $T_I$ ; la branche chaude, $14.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, au-dessus de $T_F$ ; sur la rampe, $340(0.54 + 0.016\,T) = 211.9 + 1.816\,T$ donne $T = 7.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. ∎

![Modèle de bilan d’énergie à zéro dimension avec une rampe d’albédo de glace et la loi de rayonnement infrarouge sortant calée sur la réanalyse NCEP–NCAR 1. À gauche, la lumière solaire absorbée et l’infrarouge émis pour le Soleil actuel : les deux courbes se coupent trois fois ; les points pleins sont stables, le point creux est instable. À droite, la température d’équilibre en fonction de la constante solaire, branches stables en trait plein, branche instable en tirets. Affaiblir le Soleil à partir de sa valeur actuelle refroidit la planète chaude jusqu’à ce que la branche chaude s’achève à 1315\, W/ m2, et le climat tombe dans la boule de neige ; il y reste gelé jusqu’à ce que le Soleil atteigne 2039\, W/ m2, où il rebondit vers une planète très chaude, bien au-delà du domaine où la loi linéaire de rayonnement infrarouge sortant reste valable.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-climate-models/fig-1c1bd28dd0ae.svg)

*[Modèle de bilan d’énergie](#def-b3-climate-models-ebm) à zéro dimension avec une rampe d’albédo de glace et la loi de rayonnement infrarouge sortant calée sur la réanalyse NCEP–NCAR 1. À gauche, la lumière solaire absorbée et l’infrarouge émis pour le Soleil actuel : les deux courbes se coupent trois fois ; les points pleins sont stables, le point creux est instable. À droite, la température d’équilibre en fonction de la constante solaire, branches stables en trait plein, branche instable en tirets. Affaiblir le Soleil à partir de sa valeur actuelle refroidit la planète chaude jusqu’à ce que la branche chaude s’achève à $1315\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, et le climat tombe dans la boule de neige ; il y reste gelé jusqu’à ce que le Soleil atteigne $2039\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, où il rebondit vers une planète très chaude, bien au-delà du domaine où la loi linéaire de rayonnement infrarouge sortant reste valable.*

À mesure que $Q$ diminue, l’équilibre chaud se refroidit et l’équilibre sur la rampe se réchauffe. Ils se rejoignent au sommet de la rampe, $T = T_F$, où $Q(1 - 0.30) = A +
10B$ : $Q = 328.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, soit une constante solaire de $1315\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $3.3\,\%$ en dessous d’aujourd’hui. C’est une [bifurcation nœud-col](#def-b3-climate-models-multiple-equilibria) : en deçà, le seul équilibre est la boule de neige, et le climat y tombe. Renforcer de nouveau le Soleil ne ramène pas la planète chaude : la branche boule de neige ne s’achève qu’à l’endroit où sa température atteint $T_I$, $Q(1 - 0.62) = A -
10B$, pour une constante solaire de $2039\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $50\,\%$ au-dessus d’aujourd’hui. Entre les deux, l’état de la planète dépend de son histoire : le modèle présente une hystérésis. Dans le Néoprotérozoïque réel, la sortie de la boule de neige du volume de deuxième année n’est pas venue d’un Soleil plus brillant mais du dioxyde de carbone des volcans, qui s’accumulait pendant des millions d’années jusqu’à ce que le forçage par effet de serre atteigne le seuil de déglaciation ; la ligne de glace a alors reculé vers les pôles en quelques milliers d’années.

## 22.3 Le modèle de Budyko–Sellers

Une température unique n’a pas de ligne de glace. En 1969, Budyko laisse la température dépendre de la latitude et se demande de combien une réduction de l’ensoleillement repousserait la glace vers l’équateur.

**Définition 22.5 (Modèle de Budyko–Sellers).**

Un *modèle de Budyko–Sellers* est un [modèle de bilan d’énergie](#def-b3-climate-models-ebm) dans lequel la température annuelle moyenne $T(x)$ dépend de $x = \sin\varphi$, où $\varphi$ est la latitude, les hémisphères étant symétriques. En chaque latitude,

$$
C\,\frac{\partial T}{\partial t} = Qs(x)\big(1 - \alpha(x)\big) - (A + BT) - D(x) ,
$$

où $s(x)$ est l’insolation annuelle de la latitude divisée par sa moyenne globale, $D(x)$ la divergence du transport de chaleur vers les pôles, et l’albédo prend sa valeur de glace au-delà de la ligne de glace $x_s$, où $T$ descend sous une température critique $T_c$. Budyko écrit $D = \beta(T - \bar T)$, un rappel vers la moyenne globale $\bar T$ ; sous forme diffusive, $D =
-\mathcal D\,\partial_x\big[(1 - x^2)\,\partial_xT\big]$.

Le facteur $x = \sin\varphi$ est choisi parce que des intervalles égaux de $x$ délimitent des aires égales de la sphère, de sorte qu’une moyenne globale vaut $\int_0^1\cdot\,\mathrm
dx$. Budyko trouve $\beta = 0.235\,\mathrm{kcal}\,\mathrm{cm}^{-2}$ par mois et par degré, soit $3.74\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, à partir de la distribution observée de la température en fonction de la latitude. Il fixe l’albédo à 0.62 sur la glace et à 0.50 à son bord, là où la glace est brisée, et prend la ligne de glace actuelle à une latitude moyenne de $72{}^{\circ}$ N ; la température critique est celle qui place le bord à cet endroit.

**Proposition 22.6 (La ligne de glace du modèle de Budyko).**

Soit $F(x_s) = \int_0^{x_s}s\,\mathrm dx$ la fraction de la lumière solaire qui tombe du côté équatorial de la ligne de glace, et $\bar\alpha = \alpha_FF + \alpha_I(1 -
F)$ l’albédo moyen pondéré par la lumière solaire. Dans un état stationnaire du modèle de Budyko,

$$
B\bar T = Q(1 - \bar\alpha) - A, \qquad
T(x) = \frac{Qs(x)\big(1 - \alpha(x)\big) - A + \beta\bar T}{B + \beta} ,
$$

et une ligne de glace en $x_s$, où $T = T_c$ avec l’albédo de bord $\alpha_e$, exige

$$
Q(x_s) = \frac{(B + \beta)T_c + A(1 + \beta/B)}{s(x_s)(1 - \alpha_e) +
(\beta/B)\big(1 - \bar\alpha(x_s)\big)} .
$$

Une ligne de glace est stable là où $\mathrm dQ/\mathrm dx_s > 0$ et instable là où $\mathrm dQ/\mathrm dx_s < 0$.

**Démonstration.** Intégrer le bilan stationnaire sur $0 \le x \le 1$ : le terme de transport s’annule, car $\int_0^1(T - \bar T)\,\mathrm dx = 0$, et $\int_0^1
s(1 - \alpha)\,\mathrm dx = 1 - \bar\alpha$ ; on obtient ainsi $\bar T$. Le bilan stationnaire en chaque $x$ est alors linéaire en $T(x)$. En posant $T(x_s) = T_c$ et en remplaçant $\bar T$ par sa valeur, on obtient la dernière formule, linéaire en $Q$. La condition de stabilité est admise : elle découle de la linéarisation du modèle dépendant du temps autour de l’état stationnaire. ∎

Sa signification est celle du modèle zéro-dimensionnel : le long d’une branche stable, un peu plus de soleil repousse la ligne de glace vers les pôles. La température à laquelle le bord se situe aujourd’hui fixe $T_c = -12.3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; la réanalyse donne $-15.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ à $72{}^{\circ}$, moyenne des deux hémisphères. Le profil du modèle est plus froid que le profil observé dans les tropiques et beaucoup plus chaud près des pôles : un seul coefficient $\beta$ ne peut pas ajuster l’ensemble du profil. Sa moyenne globale, $12.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, et sa valeur à l’équateur, $22.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, sont proches de les valeurs observées $14.2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ et $25.7\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

![Modèle latitudinal de Budyko avec la loi du rayonnement infrarouge sortant de la réanalyse et l’insolation de chaque latitude. À gauche, l’ensoleillement Q/Q_0 nécessaire pour maintenir la ligne de glace à chaque latitude : branche stable en trait plein, instable en tirets. Aujourd’hui, Q/Q_0 = 1, trois états coexistent : la ligne de glace à 72 (stable), à 30 (instable) et la boule de neige. La branche stable se termine à son minimum, 47.7 et 0.9713 : avec moins de soleil à ce point, la glace gagne jusqu’à l’équateur. À droite, la température actuelle du modèle face à la moyenne zonale annuelle de la NCEP–NCAR Reanalysis 1, 1991–2020, moyennée sur les deux hémisphères ; la ligne de glace se situe là où la courbe du modèle, avec l’albédo du bord, atteint T_c.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-climate-models/fig-f1ca591c1265.svg)

*Modèle latitudinal de Budyko avec la loi du rayonnement infrarouge sortant de la réanalyse et l’insolation de chaque latitude. À gauche, l’ensoleillement $Q/Q_0$ nécessaire pour maintenir la ligne de glace à chaque latitude : branche stable en trait plein, instable en tirets. Aujourd’hui, $Q/Q_0 = 1$, trois états coexistent : la ligne de glace à $72{}^{\circ}$ (stable), à $30{}^{\circ}$ (instable) et la boule de neige. La branche stable se termine à son minimum, $47.7{}^{\circ}$ et $0.9713$ : avec moins de soleil à ce point, la glace gagne jusqu’à l’équateur. À droite, la température actuelle du modèle face à la [moyenne zonale](https://one-course.com/books/earth/5/fr/chapter/20-dynamique-atmospherique#def-b3-atmospheric-dynamics-eddy) annuelle de la NCEP–NCAR Reanalysis 1, 1991–2020, moyennée sur les deux hémisphères ; la ligne de glace se situe là où la courbe du modèle, avec l’albédo du bord, atteint $T_c$.*

La branche stable présente un minimum. Avec ces valeurs, elle se situe à $47.7{}^{\circ}$, pour $Q/Q_0 = 0.9713$ : une baisse de $2.87\,\%$ de l’ensoleillement amène la glace jusqu’aux latitudes moyennes, et toute baisse supplémentaire l’envoie l’équateur. Budyko trouve un seuil plus faible avec ses propres coefficients : une baisse de $1.6\,\%$ amena sa glace à une latitude moyenne d’environ $50{}^{\circ}$, après quoi elle avança jusqu’à l’équateur d’elle-même et la température moyenne chuta de plusieurs dizaines de degrés sous zéro. L’ajustement du rayonnement infrarouge sortant et des albédos déplace le nombre ; la forme de la courbe, son minimum et l’emballement qui le suit ne changent pas. La forme diffusive du modèle, résolue avec des polynômes de Legendre en $x$, donne la même forme (l’exercice [22.10](#exo-b3-climate-models-10) traite une planète sans glace).

## 22.4 Modèles à deux couches

Le temps de réponse du modèle à une boîte, de quelques années, est celui de l’océan superficiel. En dessous, l’océan profond absorbe la chaleur pendant des siècles, et tant qu’il le fait, la surface reste plus froide que son équilibre.

**Définition 22.7 (Modèle de bilan d’énergie à deux couches).**

Un *modèle de bilan d’énergie à deux couches* représente le climat par une couche de surface d’anomalie de température $T$ et de capacité thermique $C$, et par un océan profond d’anomalie de température $T_d$ et de capacité thermique $C_d$, couplés par un coefficient d’échange de chaleur $\gamma > 0$ :

$$
C\,\frac{\mathrm dT}{\mathrm dt} = F + \lambda T - \gamma(T - T_d), \qquad
C_d\,\frac{\mathrm dT_d}{\mathrm dt} = \gamma(T - T_d) .
$$

**Théorème 22.8 (Réponses rapide et lente).**

Soit $\lambda < 0$, $\gamma > 0$, $C, C_d > 0$, et soit un forçage constant $F$ qui démarre en $t = 0$ depuis l’équilibre. Alors

$$
T(t) = -\frac{F}{\lambda}\Big(1 - a_f\,\mathrm e^{-t/\tau_f} - a_s\,\mathrm
e^{-t/\tau_s}\Big), \qquad a_f + a_s = 1 ,
$$

où $1/\tau_f$ et $1/\tau_s$ sont les racines de $r^2 - \big((\gamma -
\lambda)/C + \gamma/C_d\big)r - \lambda\gamma/(CC_d) = 0$. Lorsque $C \ll C_d$,

$$
\tau_f \approx \frac{C}{\gamma - \lambda}, \qquad
\tau_s \approx \frac{C_d(\gamma - \lambda)}{-\lambda\gamma}, \qquad
a_f \approx \frac{-\lambda}{\gamma - \lambda} .
$$

**Démonstration.** L’équilibre est $T = T_d = -F/\lambda$. Les écarts à celui-ci obéissent à $\mathrm d\vec u/\mathrm dt = M\vec u$ avec

$$
M = \begin{pmatrix} (\lambda - \gamma)/C & \gamma/C\\ \gamma/C_d &
-\gamma/C_d\end{pmatrix}, \qquad
\operatorname{tr}M = -\frac{\gamma - \lambda}{C} - \frac{\gamma}{C_d},
\qquad \det M = \frac{-\lambda\gamma}{CC_d} > 0 ,
$$

donc les deux valeurs propres $-r$ sont réelles et négatives, $r$ vérifiant l’équation du second degré de l’énoncé. Chaque composante de $\vec u$ est une combinaison de $\mathrm
e^{-t/\tau_f}$ et de $\mathrm e^{-t/\tau_s}$ ; $T(0) = 0$ donne $a_f + a_s =
1$. Si $C \ll C_d$, la plus grande racine est proche de la trace, $(\gamma -
\lambda)/C$, et la plus petite est le déterminant divisé par celle-ci. Sur l’échelle de temps rapide, l’océan profond n’a pas bougé, $T_d \approx 0$, et la surface se stabilise à $F/(\gamma - \lambda)$, soit la fraction $-\lambda/(\gamma - \lambda)$ du réchauffement final : c’est $a_f$. ∎

L’émulateur de l’évaluation, calibré sur 44 modèles, a $C =
8.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{an}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, $C_d = 110\,\mathrm{W}\,\mathrm{an}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$ et $\gamma = 0.62\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$ ; son paramètre de rétroaction est échantillonné autour de $\lambda = -1.33\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$. Ces valeurs donnent $\tau_f = 4.1\text{ ans}$ et $\tau_s = 262\text{ ans}$, avec $a_f =
0.67$ : $62\,\%$ du réchauffement arrive en moins d’une décennie, la majeure partie du reste au fil des siècles. L’émulateur multiplie aussi l’échange de chaleur de la première équation par une efficacité $\varepsilon = 1.34$, ce qui ralentit la surface encore ; elle est fixée à 1 ici.

![Le modèle à deux couches avec les paramètres moyens de l’émulateur de la sixième évaluation et le forçage F_2× = 3.93\, W/ m2 d’un doublement. À gauche, un quadruplement brutal du dioxyde de carbone : 62\,\% des 5.9\, C finaux après 10 ans, 78\,\% après 100 et 95\,\% après 500. À droite, le dioxyde de carbone augmente de 1\,\% par an : au doublement, à l’année 70, la surface s’est réchauffée de 1.99\, C, le TCR du modèle, tandis que le réchauffement d’équilibre pour ce forçage, son ECS, vaut 2.95\, C ; la surface est en retard parce que l’océan profond absorbe encore de la chaleur.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-climate-models/fig-13fb60fc84f6.svg)

*Le modèle à deux couches avec les paramètres moyens de l’émulateur de la sixième évaluation et le forçage $F_{2\times} =
3.93\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ d’un doublement. À gauche, un quadruplement brutal du dioxyde de carbone : $62\,\%$ des $5.9\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ finaux après 10 ans, $78\,\%$ après 100 et $95\,\%$ après 500. À droite, le dioxyde de carbone augmente de $1\,\%$ par an : au doublement, à l’année 70, la surface s’est réchauffée de $1.99\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, le TCR du modèle, tandis que le réchauffement d’équilibre pour ce forçage, son ECS, vaut $2.95\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; la surface est en retard parce que l’océan profond absorbe encore de la chaleur.*

Le modèle donne les deux sensibilités du volume de deuxième année. Son ECS vaut $-F_{2\times}/\lambda = 3.93/1.33 = 2.95\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Pendant une rampe qui dure des décennies, l’océan profond, avec son échelle de temps de siècles, s’est à peine réchauffé, et la surface est proche de l’équilibre rapide $T \approx F/(\gamma -
\lambda)$ : le TCR vaut environ $3.93/1.95 = 2.0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, contre $1.99\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ pour l’intégration. Avec l’efficacité, $\gamma$ est remplacé par $\kappa = \varepsilon\gamma = 0.84\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, et $\text{TCR} = F_{2\times}/(\kappa - \lambda) = 1.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, la meilleure estimation retenue par le rapport, qui retient aussi une ECS de $3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, *probable* entre 2.5 et $4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (*confiance élevée*). L’évaluation constate que les écarts de $\gamma$ et de $\varepsilon$ entre modèles expliquent 10 à $20\,\%$ de leur dispersion du TCR.

Un modèle aussi simple, calé pour reproduire la température globale d’un grand modèle, est un émulateur. L’évaluation a fait tourner un modèle climatique simple dont le module de température est ce modèle à deux couches, sous la forme d’un ensemble d’un million de membres échantillonnés sur les plages de ses paramètres, et a retenu les 2237 membres qui reproduisent le réchauffement observé depuis 1850, la chaleur absorbée par l’océan, le dioxyde de carbone de l’air et la fraction des émissions qui y reste.

## 22.5 Modèles de circulation générale

Un [modèle de bilan d’énergie](#def-b3-climate-models-ebm) se voit donner ses rétroactions et son transport ; un [modèle de circulation générale](#def-b3-climate-models-gcm) les calcule à partir des lois de la physique.

**Définition 22.9 (Modèle de circulation générale ; cœur dynamique ; paramétrisation).**

Un *modèle de circulation générale* (GCM) est un modèle numérique de l’atmosphère, de l’océan, ou des deux couplés, qui résout les équations du mouvement, de continuité et d’énergie d’un fluide sur la Terre en rotation — pour l’atmosphère, avec l’[approximation hydrostatique](https://one-course.com/books/earth/5/fr/chapter/19-dynamique-des-fluides-geophysiques#def-b3-gfd-foundations-hydrostatic), les « équations primitives » — sur une grille tridimensionnelle couvrant le globe, avancée pas à pas dans le temps. Son *cœur dynamique* est la partie qui résout ces équations pour les mouvements que la grille résout. Une *paramétrisation* représente l’effet sur les variables résolues d’un processus plus petit qu’une maille — nuages, convection, turbulence, ondes de gravité — par une formule en fonction des variables résolues, avec des paramètres que les modélisateurs choisissent.

La résolution détermine ce qu’il faut paramétrer. Les [modèles de circulation générale](#def-b3-climate-models-gcm) de 1990 avaient des mailles d’environ $500\,\mathrm{km}$ de côté ; les modèles globaux du dernier rapport, environ $100\,\mathrm{km}$ ; les modèles régionaux, de 25 à $50\,\mathrm{km}$, et un exercice d’intercomparaison dédié a exploré des grilles globales d’environ 50, 25 et même $10\,\mathrm{km}$. Un seul nuage convectif est beaucoup plus petit qu’une maille globale : la convection est paramétrée, et les modèles régionaux assez fins pour la résoudre sont désormais inclus dans les intercomparaisons.

![Coupe à travers la grille d’un modèle global, non à l’échelle. Entre les mailles, les vents et les transports de chaleur et d’humidité sont calculés par le cœur dynamique ; à l’intérieur de chaque colonne, les processus plus petits que la maille — nuages, convection, transfert du rayonnement solaire et infrarouge, turbulence de la couche la plus basse — sont paramétrés, à partir de la température, de l’humidité et du vent résolus de la colonne.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-climate-models/fig-ffc6e8b63ad0.svg)

*Coupe à travers la grille d’un modèle global, non à l’échelle. Entre les mailles, les vents et les transports de chaleur et d’humidité sont calculés par le [cœur dynamique](#def-b3-climate-models-gcm) ; à l’intérieur de chaque colonne, les processus plus petits que la maille — nuages, convection, transfert du rayonnement solaire et infrarouge, turbulence de la couche la plus basse — sont paramétrés, à partir de la température, de l’humidité et du vent résolus de la colonne.*

**Définition 22.10 (Modèle du système Terre).**

Un *modèle du système Terre* (ESM) est un [modèle de circulation générale](#def-b3-climate-models-gcm) de l’atmosphère et de l’océan couplé à des modèles de la banquise, de la surface continentale et de sa végétation, et du cycle du carbone, de sorte que les concentrations des gaz à effet de serre et les propriétés de la surface puissent répondre au climat qu’ils contribuent à fixer.

Les [modèles du système Terre](#def-b3-climate-models-esm) sont les plus complexes des modèles utilisés par l’évaluation. Dans les années 1990, les modèles couplés atmosphère–océan étaient à la pointe ; dans les années 2010, les continents, la végétation et le cycle du carbone avaient été ajoutés, et les modèles de calottes glaciaires sont en cours de couplage avec eux. La plupart de leurs projections sont néanmoins réalisées avec des concentrations de gaz à effet de serre imposées ; seuls les calculs pilotés par les émissions laissent le modèle calculer ces concentrations grâce à son cycle du carbone. Entre les [modèles de bilan d’énergie](#def-b3-climate-models-ebm) et les [modèles du système Terre](#def-b3-climate-models-esm) se trouve une hiérarchie de modèles de complexité intermédiaire, assez peu coûteux pour être exécutés pendant plusieurs milliers d’années sans superordinateur.

![L’échelle des modèles de ce chapitre. Chaque échelon ajoute des processus qu’il avait fallu fournir au modèle inférieur ; les échelons du bas sont assez peu coûteux pour être lancés un million de fois, les échelons supérieurs exigent des superordinateurs.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-climate-models/fig-1df573f19ee1.svg)

*L’échelle des modèles de ce chapitre. Chaque échelon ajoute des processus qu’il avait fallu fournir au modèle inférieur ; les échelons du bas sont assez peu coûteux pour être lancés un million de fois, les échelons supérieurs exigent des superordinateurs.*

**Définition 22.11 (Mise à l’équilibre).**

La *mise à l’équilibre* d’un modèle climatique est son intégration sous forçage constant, à partir d’un état initial, jusqu’à ce que ses composantes lentes — au premier rang l’océan profond et les réservoirs de carbone — aient cessé de dériver ; les expériences partent de l’état qu’il atteint.

Le modèle à deux couches montre pourquoi une [mise à l’équilibre](#def-b3-climate-models-spin-up) est longue : son temps caractéristique lent est $262$ ans, et après trois d’entre eux, soit près de huit siècles, la dérive représente encore $5\,\%$ du déséquilibre initial. Le rapport note que les différentes stratégies employées pour mettre les modèles à l’équilibre ont influé sur leurs performances.

![Armoires de calcul d’un superordinateur du NASA Center for Climate Simulation, Goddard Space Flight Center, en 2010 (NASA, domaine public). Les équations d’un modèle global sont résolues numériquement sur de tels calculateurs à haute performance.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-climate-models/img-16911af4d239.jpg)

*Armoires de calcul d’un superordinateur du NASA Center for Climate Simulation, Goddard Space Flight Center, en 2010 (NASA, domaine public). Les équations d’un modèle global sont résolues numériquement sur de tels calculateurs à haute performance.*

## 22.6 Évaluation des modèles

Un modèle est confronté au climat observé ; le problème est qu’il a aussi été ajusté à celui-ci. Chaque [paramétrisation](#def-b3-climate-models-gcm) comporte des paramètres dont la plage acceptable est fixée par la physique et les observations, et, à mesure que les composantes sont assemblées, les modélisateurs les affinent jusqu’à ce que le climat simulé atteigne un ensemble de cibles de calage : le climat moyen — par exemple une température moyenne proche de la valeur observée sous l’ensoleillement actuel — traits régionaux, ou les tendances de la période historique. Ce n’est qu’alors que le modèle est soumis aux intercomparaisons.

**Définition 22.12 (Projet d’intercomparaison de modèles).**

Un *projet d’intercomparaison de modèles* est un ensemble coordonné d’expériences — mêmes forçages, mêmes protocoles, mêmes sorties — menés par de nombreux groupes de modélisation avec leurs propres modèles, afin que les résultats puissent être comparés. Le Projet d’intercomparaison de modèles couplés (CMIP) se déroule en phases successives ; sa sixième phase, CMIP6, a fourni une source majeure de preuves pour la sixième évaluation.

**Chiffres de 2021.**

Parmi les 29 groupes de modélisation du CMIP6 ayant indiqué comment ils avaient calé leurs modèles, 23 n’ont pas calé leur modèle sur le réchauffement observé pendant la période historique, et 25 n’ont pas calé leur ECS : la sensibilité de la plupart des modèles est une propriété émergente, non une donnée d’entrée. En moyenne, les modèles CMIP6 ont un ECS et un TCR plus élevés que ceux de la phase précédente, et une dispersion plus large que les fourchettes évaluées par le rapport ; dans certains modèles, cela a été attribué à la rétroaction des nuages des latitudes moyennes et élevées. Certains des modèles les plus sensibles reproduisent moins bien le réchauffement récent observé et les climats du passé. Le rapport n’a donc pas tiré ses intervalles d’ECS et de TCR directement des modèles, mais de la compréhension des processus de rétroaction, de l’enregistrement instrumental, des climats passés et des [contraintes émergentes](#def-b3-climate-models-evaluation) ; il traite les modèles les plus sensibles comme un guide des issues de faible probabilité et de fort impact (*confiance élevée*).

**Définition 22.13 (Grand ensemble ; contrainte émergente).**

Un *grand ensemble* est un ensemble de nombreuses simulations issues d’un seul modèle, avec les mêmes forçages sur la même période, qui ne diffèrent que par leurs états initiaux. Une *contrainte émergente* est une relation, mise en évidence dans un ensemble de modèles différents, entre une grandeur observable du climat actuel et une grandeur du climat futur, comme l’ECS ; la valeur observée de la première réduit alors l’intervalle de la seconde.

Le climat est chaotique, si bien que de légères différences de l’état initial envoient les membres d’un [grand ensemble](#def-b3-climate-models-evaluation) sur des trajectoires différentes : la dispersion des membres mesure la variabilité interne, et leur moyenne la réponse forcée. De [grands ensembles](#def-b3-climate-models-evaluation) de plusieurs modèles ont étayé le rapport. Une [contrainte émergente](#def-b3-climate-models-evaluation) doit reposer sur une raison physique. Sur quelques dizaines de modèles, des milliers de grandeurs observables peuvent être testées, et certaines corréleront avec l’ECS par hasard ; le rapport a retenu celles qui ont une base physique, beaucoup d’entre elles concernant les nuages des tropiques, et a averti qu’un biais partagé par tous les modèles de l’ensemble rend la méthode inopérante.

**Au laboratoire — Un centre de modélisation.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-climate-models/img-984558a1560c.jpg)

*Deux scientifiques devant un mur d’écrans affichant des champs globaux d’une simulation du modèle (Illustration générée par IA).*

Dans un centre de modélisation climatique, le modèle est un programme écrit et maintenu par une équipe : l’atmosphère, l’océan, la banquise et les continents sont des composantes distinctes qui échangent des flux à leurs interfaces grâce à un coupleur. Avant chaque simulation, les forçages de l’expérience sont lus — les concentrations de gaz à effet de serre, les aérosols, l’occupation des sols prévue par le protocole. Le globe est découpé en morceaux que les processeurs du superordinateur calculent côte à côte, et un siècle de climat simulé revient sous forme d’une grande archive de champs. Les scientifiques les affichent sur des écrans, les comparent aux réanalyses et aux enregistrements satellitaires, et envoient les sorties standard aux archives de l’intercomparaison, où d’autres groupes les comparent aux leurs.

## 22.7 Exercices

**Exercice 22.1 ★.**

La loi de Budyko pour le rayonnement infrarouge sortant s’écrit $I = a + bT - (a_1 + b_1T)n$, avec $a = 14.0$, $b =
0.14$, $a_1 = 3.0$, $b_1 = 0.10$, en $\mathrm{kcal}\,\mathrm{cm}^{-2}$ par mois et $T$ en ${}^{\circ}\mathrm{C}$. Pour une nébulosité $n = 0.5$, calculer $A$ et $B$, et les convertir en $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ et $\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, un mois valant un douzième d’année de 365.25 jours. Quel rayonnement infrarouge sortant la loi donne-t-elle à $15\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ?

**Solution de Exercice 22.1.**

$A = 14.0 - 1.5 = 12.5$ et $B = 0.14 - 0.05 = 0.09$, en $\mathrm{kcal}\,\mathrm{cm}^{-2}$ par mois. Un mois vaut $2.63 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$, donc $1\,\mathrm{kcal}\,\mathrm{cm}^{-2}$ par mois vaut $4.184 \times 10^{7}/2.63 \times 10^{6} =
15.91\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ : $A = 199\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $B =
1.43\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$. À $15\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $199 + 21.5 =
220\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$.

**Exercice 22.2 ★.**

Avec $Q = 340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $A = 211.9\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ et $B =
1.816\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, calculer la température d’équilibre pour un albédo de 0.30 puis de 0.31. De combien une hausse de 0.01 de l’albédo refroidit-elle cette planète ?

**Solution de Exercice 22.2.**

$(238.0 - 211.9)/1.816 = 14.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; avec 0.31, $(234.6 -
211.9)/1.816 = 12.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Chaque 0.01 d’albédo coûte $3.4\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, et $3.4/1.816 = 1.9\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**Exercice 22.3 ★.**

Calculer la capacité thermique par mètre carré d’une couche de mélange d’eau de mer de $60\,\mathrm{m}$ de profondeur, $\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ et $c_p = 3992\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, en $\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-1}$ et en $\mathrm{W}\,\mathrm{an}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-1}$. Calculer le temps de réponse associé au [Théorème 22.2](#thm-b3-climate-models-response) pour $\lambda = -B =
-1.816\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$ et pour $\lambda =
-1.33\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$.

**Solution de Exercice 22.3.**

$C = 1025\times3992\times60 = 2.46 \times 10^{8}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-1}$ ; divisé par les $3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ d’une année, $7.78\,\mathrm{W}\,\mathrm{an}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-1}$. Alors $\tau
= 7.78/1.816 = 4.3~\text{ans}$, et $7.78/1.33 = 5.8~\text{ans}$.

**Exercice 22.4 ★.**

Pour le modèle à deux couches avec $\lambda = -1.33\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, $\gamma = 0.62\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$ et $F_{2\times} =
3.93\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, calculer la sensibilité climatique à l’équilibre (ECS), la réponse climatique transitoire approchée (TCR) $F_{2\times}/
(\gamma - \lambda)$, et leur rapport.

**Solution de Exercice 22.4.**

ECS $= 3.93/1.33 = 2.95\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; TCR $\approx 3.93/1.95 =
2.02\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; rapport $0.68$.

**Exercice 22.5 ★★.**

Dans le modèle zéro-dimensionnel du texte, prendre une constante solaire de $1340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. Trouver les trois équilibres et la pente $N'(T)$ du flux net en chacun ; lesquels sont stables ?

**Solution de Exercice 22.5.**

$Q = 335\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. Boule de neige : $(335\times0.38 - 211.9)/1.816 =
-46.6\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; chaud : $(335\times0.70 - 211.9)/1.816 =
12.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, encore au-dessus de $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; rampe : $335(0.54 +
0.016\,T) = 211.9 + 1.816\,T$ donne $T = 8.7\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. $N' =
-1.816\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$ aux deux premiers, stable, et $-1.816
+ 335\times0.016 = +3.54$ à la rampe, instable.

**Exercice 22.6 ★★.**

Modifier la rampe d’albédo du texte : $\alpha = 0.62$ en dessous de $-20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $0.30$ au-dessus de $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, linéaire entre les deux. Conserver $A$ et $B$. Pour quelle constante solaire la branche chaude se termine-t-elle, et de combien de pour cent cette valeur est-elle inférieure à $1360\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ? Pour quelle constante solaire la boule de neige fond-elle ? Qu’est-ce qui fixe la taille du seuil ?

**Solution de Exercice 22.6.**

La branche chaude se termine là où sa température atteint $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : $0.70\,Q = A$, $Q = 302.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, soit une constante solaire de $1211\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $11.0\,\%$ en dessous de celle d’aujourd’hui. La boule de neige fond là où $0.38\,Q = A - 20B$, $Q = 462.1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $S_0 =
1848\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. Le seuil vaut $B(T^* - T_F)/(Q_0(1 - \alpha_F))$, soit l’écart entre la température actuelle $T^*$ et la température à laquelle la glace commence à s’étendre, ramené à l’ensoleillement : $1.816\times14.37/238 =
11.0\,\%$ ici, $1.816\times4.37/238 = 3.3\,\%$ dans le texte.

**Exercice 22.7 ★★.**

Une planète modèle ayant les paramètres du texte se trouve à l’état de boule de neige. (a) Quelle est sa température avec la constante solaire actuelle ? (b) En gardant le Soleil tel qu’il est, quel forçage $F$ ferait remonter la température de la boule de neige à $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ? Combien de fois le forçage d’un doublement du dioxyde de carbone, $3.93\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, représente-t-il ? (c) Une fois la glace disparue, où la planète se stabilise-t-elle si le forçage est ensuite supprimé ?

**Solution de Exercice 22.7.**

(a) $-45.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (b) $340\times0.38 + F = 211.9 - 18.2$ : $F =
64.5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, soit 16 fois le forçage d’un doublement. (c) Tant que le forçage dure, la planète bascule sur la branche chaude, $(238.0 + 64.5 -
211.9)/1.816 = 50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; une fois celui-ci supprimé, la planète se refroidit le long de la branche chaude jusqu’à $14.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, qui existe avec le Soleil d’aujourd’hui : elle ne retourne pas à la boule de neige.

**Exercice 22.8 ★★.**

Le modèle X, un modèle à deux couches inventé, a $C = 7.0$ et $C_d =
90\,\mathrm{W}\,\mathrm{an}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, $\gamma = 0.70$ et $\lambda =
-1.10\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$. Calculer ses deux échelles de temps exactement et avec les approximations du [Théorème 22.8](#thm-b3-climate-models-two-layer), la fraction $a_f$, sa sensibilité climatique à l’équilibre (ECS) et sa réponse climatique transitoire approchée (TCR).

**Solution de Exercice 22.8.**

$\Sigma = 1.80/7.0 + 0.70/90 = 0.2649\,\mathrm{an}^{-1}$, $\Pi = 1.10\times0.70/
(7.0\times90) = 1.222 \times 10^{-3}\,\mathrm{an}^{-2}$. Les racines donnent $\tau_f =
3.84~\text{ans}$ et $\tau_s = 213~\text{ans}$ ; les approximations, $7.0/1.80 = 3.89\text{ ans}$ et $90\times1.80/(1.10\times0.70) =
210~\text{ans}$. $a_f = 0.597$ exactement, $1.10/1.80 = 0.611$ environ. ECS $= 3.93/1.10 = 3.57\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; TCR $\approx
3.93/1.80 = 2.18\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**Exercice 22.9 ★★.**

Dans le modèle de Budyko du texte, $\bar T = 12.81\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $\beta =
3.74\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, la ligne de glace à $72{}^{\circ}$, $s = 1.221$ à l’équateur et $0.506$ au pôle, $\alpha = 0.30$ et $0.62$. Calculer la température à l’équateur et au pôle, ainsi que la chaleur $\beta(T - \bar T)$ que le transport retire ou apporte à chaque mètre carré en ces lieux.

**Solution de Exercice 22.9.**

Dénominateur $B + \beta = 5.555$. Équateur : $(340\times1.221\times0.70 -
211.9 + 3.74\times12.81)/5.555 = 22.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; pôle : $(340\times0.506\times0.38 - 211.9 + 47.9)/5.555 = -17.7\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Le transport retire $3.74\times(22.8 - 12.8) = 37\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ à l’équateur et apporte $3.74\times30.6 = 114\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ au pôle.

**Exercice 22.10 ★★★.**

Une planète sans glace ($\alpha = 0.30$ partout) subit le transport diffusif $D = -\mathcal D\,\partial_x[(1 - x^2)\partial_xT]$ et l’insolation $s(x) = 1 + s_2P_2(x)$, $P_2 = (3x^2 - 1)/2$. (a) Montrer que $\partial_x[(1 - x^2)\partial_xP_2] = -6P_2$. (b) Montrer que $T = T_0 +
T_2P_2(x)$ est une solution stationnaire, avec $T_0 = (Q(1 - \alpha) - A)/B$ et $T_2 = Qs_2(1 - \alpha)/(B + 6\mathcal D)$. (c) L’insolation de la réanalyse donne $s_2 = -0.476$. Sans transport, quelle serait la différence de température entre équateur et pôle ? (d) Quelle valeur de $\mathcal D$ donne la différence observée, $55.3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ?

**Solution de Exercice 22.10.**

(a) $(1 - x^2)P_2' = 3x - 3x^3$, dont la dérivée vaut $3 - 9x^2 = -6P_2$. (b) Le terme de transport vaut $-\mathcal D T_2(-6P_2) = 6\mathcal DT_2P_2$. Le bilan $Q(1 + s_2P_2)(1 - \alpha) - A - B(T_0 + T_2P_2) - 6\mathcal
DT_2P_2 = 0$ est vérifié pour tout $x$ si sa partie constante et sa partie en $P_2$ s’annulent, ce qui donne $T_0$ et $T_2$. (c) $T(0) - T(1) = T_2(-\tfrac12 - 1)
= -1.5\,T_2$. Sans transport, $T_2 = 340\times(-0.476)\times0.70/1.816 =
-62.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : un écart de $94\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (d) $T_2 =
-55.3/1.5 = -36.9\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, donc $B + 6\mathcal D = 113.3/36.9 =
3.07$ et $\mathcal D = 0.21\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$.

**Exercice 22.11 ★★★.**

(a) Écrire le trinôme du [Théorème 22.8](#thm-b3-climate-models-two-layer) sous la forme $r^2 -
\Sigma r + \Pi = 0$ et montrer que, si $4\Pi \ll \Sigma^2$, ses racines sont voisines de $\Sigma$ et de $\Pi/\Sigma$. (b) Pour un forçage $F = kt$ croissant linéairement, montrer que, dès que $t \gg \tau_f$ et tant que $T_d$ reste petit, $T \approx kt/(\gamma - \lambda)$ ; en déduire la réponse climatique transitoire approchée. (c) Vérifier les valeurs du texte : $\Sigma$, $\Pi$, les deux échelles de temps et le rapport $4\Pi/\Sigma^2$.

**Solution de Exercice 22.11.**

(a) $r = \tfrac12\Sigma\big(1 \pm \sqrt{1 - 4\Pi/\Sigma^2}\big)$ ; avec $\sqrt{1 - \epsilon} \approx 1 - \epsilon/2$, les racines valent $\Sigma -
\Pi/\Sigma \approx \Sigma$ et $\Pi/\Sigma$. (b) Avec $T_d = 0$, $C\,\mathrm
dT/\mathrm dt = kt - (\gamma - \lambda)T$, dont la solution à partir du repos est $T =
k(t - \tau_f)/(\gamma - \lambda) + k\tau_f\mathrm e^{-t/\tau_f}/(\gamma -
\lambda)$, $\tau_f = C/(\gamma - \lambda)$. Pour $t \gg \tau_f$, $T \approx
kt/(\gamma - \lambda)$, et au doublement, $kt = F_{2\times}$ : TCR $\approx F_{2\times}/(\gamma - \lambda)$. (c) $\Sigma = 1.95/8.1 +
0.62/110 = 0.2464\,\mathrm{an}^{-1}$, $\Pi = 1.33\times0.62/(8.1\times110) =
9.25 \times 10^{-4}\,\mathrm{an}^{-2}$ ; $\tau_f = 4.12~\text{ans}$ et $\tau_s =
262~\text{ans}$ (environ $1/\Sigma = 4.06~\text{ans}$ et $\Sigma/\Pi = 266\text{ ans}$) ; $4\Pi/\Sigma^2 = 0.061$.

**Exercice 22.12 ★★★.**

Un ensemble fictif de huit modèles donne une observable $X$ du climat actuel et leur sensibilité climatique à l’équilibre (ECS) :

| $X$ | 0.2 | 0.5 | 0.6 | 0.8 | 1.0 | 1.1 | 1.3 | 1.5 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| ECS (${}^{\circ}\mathrm{C}$) | 2.3 | 2.7 | 3.1 | 3.2 | 3.8 | 3.9 | 4.4 | 4.6 |

(a) Calculer la moyenne et l’écart type de l’ECS de l’ensemble. (b) Ajuster ECS $= a + bX$ par moindres carrés ; calculer la corrélation et l’écart type des résidus. (c) L’observation $X$ vaut $0.7
\pm 0.1$. Quelle sensibilité la contrainte donne-t-elle, et avec quelle dispersion ? (d) Qu’est-ce qui pourrait faire douter de cette contrainte ?

**Solution de Exercice 22.12.**

(a) Moyenne $3.50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, écart type $0.81\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (b) ECS $= 1.88 + 1.86\,X$ ; corrélation $0.992$ ; écart type résiduel $0.11\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (c) $1.88 + 1.86\times0.7 =
3.18\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, avec une dispersion $\sqrt{(1.86\times0.1)^2 + 0.11^2} =
0.22\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, soit environ un quart de la dispersion de l’ensemble. (d) Aucun mécanisme physique ne relie $X$ aux rétroactions ; un $X$ trouvé en essayant de nombreuses observables, de sorte que la corrélation peut être due au hasard ; un biais partagé par les huit modèles ; des modèles de la même famille comptés comme indépendants.

## 22.8 Problème : à quelle distance de la Terre boule de neige ?

**Problème 22.1.**

Problème du week-end — équilibres, stabilité et seuil de glaciation d’une planète modèle

Une planète modèle a pour constante solaire actuelle $S_0 = 1360\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ et la loi de rayonnement infrarouge sortant (OLR) $A + BT$ avec $A = 211.9\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ et $B =
1.816\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$. Son albédo vaut 0.62 en dessous de $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, 0.30 au-dessus de $+10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, linéaire entre les deux, et sa capacité thermique surfacique $C = 8.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{an}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$. Prendre $\sigma = 5.670 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$.

**Partie I — La planète à l’équilibre.**

1. Calculer l’éclairement solaire moyen $Q_0$ par mètre carré de la planète, et expliquer le facteur.
2. Calculer l’éclairement absorbé pour un albédo de 0.30, et le rayonnement infrarouge sortant à $15\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
3. Calculer l’équilibre chaud.
4. Calculer l’équilibre boule de neige, et vérifier qu’il se situe sur la branche glacée.
5. Calculer le troisième équilibre, sur la rampe d’albédo.
6. Calculer la température d’émission qui renvoie l’éclairement absorbé vers l’espace comme un corps noir, et la comparer à l’équilibre chaud.

**Partie II — Stabilité et temps.**

7. Calculer la pente $N'(T)$ du flux net à chaque équilibre, et dire lesquels sont stables.
8. Un petit écart à l’équilibre intermédiaire croît comme $\mathrm  e^{t/\tau}$ . Calculer $\tau$ .
9. Calculer le temps de réponse de l’équilibre chaud.
10. Un forçage de $3.93\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , celui d’un doublement du dioxyde de carbone, est imposé brusquement. Calculer le réchauffement à l’équilibre, et le comparer à la sensibilité climatique à l’équilibre (ECS) évaluée pour le climat réel.
11. Combien de temps le modèle met-il pour atteindre $95\,\%$ du réchauffement ? Pourquoi le climat réel met-il plus de temps ?

**Partie III — La bifurcation nœud-col.**

12. Quand le Soleil faiblit, à quelle température l’équilibre chaud rejoint l’équilibre intermédiaire ? Calculer $Q$ à cette température.
13. Calculer la constante solaire à la bifurcation, et la baisse par rapport à aujourd’hui, en pourcentage.
14. Juste en dessous, où le climat se dirige-t-il ? Calculer sa température.
15. Calculer la constante solaire à laquelle la boule de neige fond, et la hausse par rapport à aujourd’hui, en pourcentage.
16. Esquisser la boucle décrite par la température lorsque $S_0$ est abaissée sous la bifurcation, puis ramené à $1360\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ .

**Partie IV — La ligne de glace.** Doter la planète du modèle latitudinal de Budyko, avec $\beta = 3.739\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, un albédo de glace de 0.62 au-delà de la ligne de glace côté pôles, 0.30 côté équateur, 0.50 à la limite, et l’insolation de la réanalyse :

| latitude | $0{}^{\circ}$ | $30{}^{\circ}$ | $40{}^{\circ}$ | $47.5{}^{\circ}$ | $55{}^{\circ}$ | $60{}^{\circ}$ | $72{}^{\circ}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $s(x_s)$ | 1.2211 | 1.0730 | 0.9647 | 0.8688 | 0.7650 | 0.6947 | 0.5643 |
| $F(x_s)$ | 0 | 0.5865 | 0.7324 | 0.8192 | 0.8863 | 0.9205 | 0.9738 |

17. Avec la ligne de glace à $72{}^{\circ}$ , calculer l’albédo moyen $\bar\alpha$ et la température moyenne $\bar T$ .
18. Calculer la température critique $T_c$ qui place la limite à $72{}^{\circ}$ aujourd’hui, et la comparer à la réanalyse, $-15.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
19. Calculer le numérateur de $Q(x_s)$ dans la [Proposition 22.6](#prop-b3-climate-models-iceline) et le rapport $\beta/B$ .
20. Calculer $Q(x_s)/Q_0$ pour la ligne de glace à $30{}^{\circ}$ , $40{}^{\circ}$ , $47.5{}^{\circ}$ , $55{}^{\circ}$ et $60{}^{\circ}$ .
21. Où se trouve le minimum de ces valeurs ? Quelles lignes de glace sont stables ?
22. Avec le Soleil actuel, quelle autre ligne de glace le modèle autorise-t-il, et est-elle stable ? La boule de neige est-elle possible aujourd’hui ? (Utiliser la colonne $0{}^{\circ}$ .)
23. Comparer le seuil du modèle latitudinal à celui de la partie III et à celui de Budyko, $1.6\,\%$ , et la latitude de la glace au seuil avec son $50{}^{\circ}$ .
24. Donner, à deux chiffres significatifs, la baisse de la constante solaire, en pourcentage, qui fait basculer la planète modèle dans la glaciation.

**Solution de Problème 22.1.**

**1.** $Q_0 = 1360/4 = 340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ : la planète intercepte le rayonnement solaire sur un disque d’aire $\pi R^2$ et le répartit sur une sphère d’aire $4\pi R^2$.

**2.** $340\times0.70 = 238.0\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $211.9 + 1.816\times15 =
239.1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$.

**3.** $(238.0 - 211.9)/1.816 = 14.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**4.** $(129.2 - 211.9)/1.816 = -45.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, en dessous de $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**5.** $340(0.54 + 0.016\,T) = 211.9 + 1.816\,T$ : $T =
(183.6 - 211.9)/(1.816 - 5.44) = 7.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**6.** $(238.0/5.670 \times 10^{-8})^{1/4} = 254.5\,\mathrm{K}$, $-18.6\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : $33\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ sous l’équilibre chaud, soit l’effet de serre de la planète, intégré dans $A$ et $B$.

**7.** $N' = -B = -1.816\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$ pour la Terre boule de neige et l’équilibre chaud, tous deux stables ; $-1.816 + 5.44 =
+3.62$ pour l’équilibre intermédiaire, instable.

**8.** $\tau = 8.1/3.62 = 2.2\text{ ans}$.

**9.** $8.1/1.816 = 4.5\text{ ans}$.

**10.** $3.93/1.816 = 2.2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, en dessous de la meilleure estimation évaluée de $3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ et en dessous de sa fourchette *probable*, de 2.5 à $4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : le $B$ du modèle, ajusté sur les latitudes, n’est pas le paramètre de rétroaction climatique de l’ensemble du climat.

**11.** $\mathrm e^{-t/\tau} = 0.05$ pour $t = 3\tau =
13~\text{ans}$. Le climat réel réchauffe aussi l’océan profond, dont le temps caractéristique se mesure en siècles.

**12.** Pour $T_F = 10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; $Q = (211.9 + 18.2)/0.70 =
328.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$.

**13.** $S_0 = 1315\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $3.3\,\%$ sous celle d’aujourd’hui.

**14.** Vers la Terre boule de neige, $(328.7\times0.38 - 211.9)/1.816 =
-47.9\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**15.** $Q = (211.9 - 18.2)/0.38 = 509.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $S_0 =
2039\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $50\,\%$ au-dessus de celle d’aujourd’hui.

**16.** En descendant la branche chaude jusqu’à $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ pour $1315\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, une chute à $-48\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, puis remontée par la branche de la Terre boule de neige jusqu’à $-45.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ pour $1360\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ : la planète reste gelée. Ce n’est qu’au-delà de $2039\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ qu’elle repartirait vers la branche chaude.

**17.** $\bar\alpha = 0.30\times0.9738 + 0.62\times0.0262 =
0.3084$ ; $\bar T = (340\times0.6916 - 211.9)/1.816 =
12.80\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**18.** $T_c = (340\times0.5643\times0.50 - 211.9 + 3.739\times12.80)/
5.555 = -12.26\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $3.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ plus chaud que la réanalyse à $72{}^{\circ}$.

**19.** $5.555\times(-12.26) + 211.9\times3.059 = 580.1$, avec $\beta/B = 2.059$.

**20.** Les dénominateurs valent 1.7053, 1.7473, 1.7565, 1.7488 et 1.7362, et $Q/Q_0 = 1.0005$, $0.9764$, $0.9713$, $0.9756$ et $0.9827$.

**21.** Près de $47.5{}^{\circ}$, à $0.971$. Les lignes de glace situées du côté des pôles par rapport au minimum sont stables, $\mathrm dQ/\mathrm dx_s > 0$ ; celles situées vers l’équateur sont instables.

**22.** $Q/Q_0 = 1$ également entre $30{}^{\circ}$ et $40{}^{\circ}$, proche de $30{}^{\circ}$ ($30.2{}^{\circ}$ par interpolation) : une ligne de glace instable. À $0{}^{\circ}$, $Q/Q_0 = 580.1/(0.6106 + 0.7824)/340 = 1.225$ : la Terre boule de neige tient pour tout Soleil jusqu’à $22\,\%$ plus brillant que le Soleil actuel, elle est donc possible aujourd’hui.

**23.** $2.9\,\%$, contre $3.3\,\%$ pour le modèle zéro-dimensionnel et $1.6\,\%$ pour Budyko ; la glace se situe près de $48{}^{\circ}$ au seuil, contre $50{}^{\circ}$ chez Budyko. Le modèle latitudinal se couvre de glace plus tôt que le modèle global, car le rayonnement solaire est le plus faible là où la glace se forme.

**24.** La planète du modèle se couvre de glace pour une baisse de **$2.9\,\%$** de la constante solaire ($2.87\,\%$ d’après le calcul).