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title: "Intérieurs et surfaces planétaires"
book: "Sciences de la Terre et de l’Univers à l’université — 3e année"
subject: earth
language: fr
chapter: 26
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/5/fr/chapter/26-interieurs-et-surfaces-planetaires
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Chapitre 26 — Intérieurs et surfaces planétaires

Vue à la jumelle, la Lune présente deux sortes de terrains. Les hautes terres claires sont couvertes de cratères, des cratères sur des cratères : elles ont été saturées de grands cratères lors d’un bombardement intense qui s’est achevé il y a environ 3.8 Ga. Les maria sombres, des plaines remplies de lave entre 4.2 et 1.2 Ga, en portent beaucoup moins. Les missions Apollo et Luna ont ramené des roches des deux, et leurs âges radiométriques ont transformé la densité de cratères d’une surface en horloge. Cette horloge sert aujourd’hui à dater des plaines sur Mars, Mercure et les lunes glacées, dont aucune roche n’a encore été rapportée. Ce chapitre lit les intérieurs des planètes dans leur champ de gravité, leur rotation et leurs marées, puis leurs surfaces dans leurs cratères, leurs volcans et leurs failles.

**Tu sais déjà.**

Le facteur de moment d’inertie $C = I/MR^2$, le modèle à deux couches d’une planète construit à partir de celui-ci et de la masse volumique moyenne, les planètes telluriques et les planètes géantes sont dans le volume de première année, dans son chapitre de planétologie comparée ; les panaches mantelliques et les grandes provinces magmatiques, dans son chapitre sur les points chauds. La différenciation planétaire et les météorites sont dans le volume de deuxième année, dans son chapitre sur la formation des planètes. Le [facteur de forme dynamique](https://one-course.com/books/earth/5/fr/chapter/3-pesanteur-et-forme-de-la-terre#def-b3-gravity-geodesy-j2) $J_2$, la [formule de MacCullagh](https://one-course.com/books/earth/5/fr/chapter/3-pesanteur-et-forme-de-la-terre#thm-b3-gravity-geodesy-maccullagh) et la flexure de la lithosphère sont dans ce volume, dans son chapitre sur la gravité et la géodésie ; le [nombre de Rayleigh](https://one-course.com/books/earth/5/fr/chapter/6-convection-mantellique-et-forces-motrices-de-la-tectonique-des-plaques#def-b3-mantle-convection-rayleigh), dans son chapitre sur la convection mantellique. Les marées, les lois de Kepler et les modules d’élasticité sont dans les volumes de physique ; la distribution de Poisson, dans les volumes de mathématiques.

## 26.1 Intérieurs issus de la gravité, de la rotation et des marées

La masse d’une planète, déduite de l’orbite d’une lune ou d’une sonde, donne sa masse volumique moyenne ; la précession de son axe et son $J_2$ donnent son moment d’inertie. La proposition à deux couches du volume de première année transforme ces deux nombres en un noyau, mais seulement une fois une masse volumique du manteau choisie : deux mesures ne peuvent pas fixer trois inconnues.

![Les modèles à deux couches permis par la masse volumique moyenne et le facteur de moment d’inertie de quatre corps : chaque courbe parcourt les masses volumiques de manteau possibles, un manteau plus dense laissant un noyau plus petit et plus dense. Les points marquent les rayons de noyau mesurés : celui de la Terre par la sismologie, celui de Mars par le sismomètre d’InSight, le noyau interne et la couche liquide de la Lune, celui de Mercure par le champ de gravité de la sonde MESSENGER.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-planetary-interiors-surfaces/fig-49a7948f4020.svg)

*Les modèles à deux couches permis par la masse volumique moyenne et le facteur de moment d’inertie de quatre corps : chaque courbe parcourt les masses volumiques de manteau possibles, un manteau plus dense laissant un noyau plus petit et plus dense. Les points marquent les rayons de noyau mesurés : celui de la Terre par la sismologie, celui de Mars par le sismomètre d’InSight, le noyau interne et la couche liquide de la Lune, celui de Mercure par le champ de gravité de la sonde MESSENGER.*

Chaque planète donne une courbe, non un point. Pour Mars, le rayon de noyau de $1830\,\mathrm{km}$ mesuré par InSight sélectionne un manteau de $3460\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ et un noyau de $6460\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. Pour Mercure, le noyau d’environ $2000\,\mathrm{km}$ de rayon occupe 82 % du rayon. La courbe de la Lune est presque plate : son $C = 0.394$ est si proche de $\tfrac25$ qu’un petit noyau de n’importe quelle densité convient, et une variation de $0.001$ de $C$ déplace le rayon du noyau de plus d’un facteur deux ([Exercice 26.10](#exo-b3-planetary-interiors-surfaces-10)). La gravité seule ne voit pas un petit noyau ; les marées et les ondes sismiques le peuvent.

**Définition 26.1 (Nombre de Love).**

Lorsqu’un potentiel de marée de degré 2 agit sur une planète, la planète se déforme et sa masse redistribuée ajoute un potentiel qui lui est propre. Le *nombre de Love* $k_2$ est le rapport de ce potentiel ajouté au potentiel de marée, tous deux pris à la surface de la planète.

Une planète rigide a $k_2 = 0$ ; une planète fluide de densité uniforme cède entièrement, avec $k_2 = \tfrac32$. Entre les deux, le nombre mesure la part de la planète qui cède.

**Proposition 26.2 (Nombre de Love d’une sphère élastique homogène).**

Une sphère incompressible de masse volumique uniforme $\rho$, de rayon $R$, de gravité de surface $g$ et de rigidité $\mu$ a

$$
k_2 = \frac{3/2}{1 + \dfrac{19\mu}{2\rho g R}} .
$$

Ce résultat, dû à Kelvin, est admis. Le rapport $\mu/\rho gR$ compare la rigidité élastique à l’auto-gravitation qui ramène le renflement de marée : les petites planètes sont rigides, les grandes cèdent. Pour Mars, $\rho gR =
4.97 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$ ; avec la rigidité du manteau supérieur terrestre, $67\,\mathrm{GPa}$ à $80\,\mathrm{km}$ de profondeur dans le modèle de Terre de référence, la formule donne $k_2 = 0.109$. Le suivi de la sonde en orbite Mars Global Surveyor a mesuré la marée solaire de Mars : $k_2 = 0.153 \pm 0.017$, trop grand pour un noyau de fer solide. Au moins la partie externe du noyau est liquide, et son rayon a été placé entre 1520 et $1840\,\mathrm{km}$ en 2003.

Les sismomètres ont tranché la question. La sonde InSight a enregistré des séismes martiens et détecté des ondes réfléchies au sommet du noyau : rayon $1830\,\mathrm{km}$, sous un manteau profond de $1560\,\mathrm{km}$ et une croûte épaisse de 20 à $37\,\mathrm{km}$. Sur la Lune, les sismomètres installés par les astronautes d’Apollo ont enregistré des séismes lunaires, les plus profonds, à plusieurs centaines de kilomètres, étant déclenchés par les marées terrestres. Le noyau lunaire est aujourd’hui décrit comme un noyau interne solide riche en fer, de $240\,\mathrm{km}$ de rayon, entouré d’une coque de fer liquide épaisse de $90\,\mathrm{km}$, elle-même surmontée d’une couche partiellement fondue.

## 26.2 Cratérisation par impact

Un corps venu de l’espace frappe une planète à une vitesse au moins égale à la vitesse de libération de celle-ci, soit $11.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ pour la Terre ; les astéroïdes atteignent typiquement la Terre à une vitesse de 15 à $25\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, et les comètes jusqu’à $60\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. À $20\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, chaque kilogramme transporte $2 \times 10^{8}\,\mathrm{J}$, soit une cinquantaine de fois l’énergie d’un kilogramme d’explosif. L’impact envoie une onde de choc dans le sol et dans le projectile, qui fond et se vaporise ; derrière le choc, la roche est mise en mouvement vers l’extérieur, et un cratère s’ouvre en quelques secondes.

**Définition 26.3 (Cratère transitoire, cratère simple, cratère complexe, couverture d’éjectas).**

Le *cratère transitoire* est la cavité en forme de cuvette ouverte par l’écoulement d’excavation au moment où elle cesse de grandir ; sa profondeur vaut environ le tiers de son diamètre. Un *cratère simple* est une cuvette à bord surélevé, le cratère transitoire étant à peine modifié : ses parois raides s’effondrent vers l’intérieur en une lentille de brèche. Un *cratère complexe* est un cratère plus grand dont la cuvette transitoire s’est effondrée : le plancher s’est soulevé en un pic central, le bord a glissé vers l’intérieur le long de terrasses, et le plancher est plat. La *couverture d’éjectas* est la nappe de roche excavée projetée au-delà du bord et déposée autour du cratère.

![Coupes transversales d’un cratère simple et d’un cratère complexe dans une roche stratifiée (non à l’échelle). À gauche : la cuvette d’un cratère simple conserve la forme du cratère transitoire (en pointillés), partiellement comblée par une lentille de brèche, sous un bord surélevé et une couverture d’éjectas. À droite : dans un cratère complexe, la cuvette transitoire s’est effondrée ; les couches profondes se sont élevées sous un pic central, et le bord a glissé vers l’intérieur le long de failles pour former des terrasses.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-planetary-interiors-surfaces/fig-f68ebf7767e4.svg)

*Coupes transversales d’un [cratère simple](#def-b3-planetary-interiors-surfaces-crater-morphology) et d’un [cratère complexe](#def-b3-planetary-interiors-surfaces-crater-morphology) dans une roche stratifiée (non à l’échelle). À gauche : la cuvette d’un [cratère simple](#def-b3-planetary-interiors-surfaces-crater-morphology) conserve la forme du [cratère transitoire](#def-b3-planetary-interiors-surfaces-crater-morphology) (en pointillés), partiellement comblée par une lentille de brèche, sous un bord surélevé et une [couverture d’éjectas](#def-b3-planetary-interiors-surfaces-crater-morphology). À droite : dans un [cratère complexe](#def-b3-planetary-interiors-surfaces-crater-morphology), la cuvette transitoire s’est effondrée ; les couches profondes se sont élevées sous un pic central, et le bord a glissé vers l’intérieur le long de failles pour former des terrasses.*

![Barringer Meteor Crater, Arizona, un cratère simple de 1.2\, km de diamètre, formé il y a environ 50 000 ans par une météorite de fer d’environ 30\, m de diamètre ; le bord domine le plateau et la couverture d’éjectas s’étend autour de lui. Photographie aérienne, USGS/D. Roddy, domaine public.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-planetary-interiors-surfaces/img-c5d04c9f98a9.jpg)

*Barringer Meteor Crater, Arizona, un [cratère simple](#def-b3-planetary-interiors-surfaces-crater-morphology) de $1.2\,\mathrm{km}$ de diamètre, formé il y a environ 50 000 ans par une météorite de fer d’environ $30\,\mathrm{m}$ de diamètre ; le bord domine le plateau et la [couverture d’éjectas](#def-b3-planetary-interiors-surfaces-crater-morphology) s’étend autour de lui. Photographie aérienne, USGS/D. Roddy, domaine public.*

L’excavation d’un cratère de $1\,\mathrm{km}$ de diamètre prend environ six secondes, celle d’un cratère de $200\,\mathrm{km}$ environ une minute et demie. La taille du cratère produit par un impact dépend de l’énergie du projectile, de la gravité et de la résistance de la roche ; les lois qui les relient sont ajustées sur des expériences et des explosions, sous la forme de produits de groupes sans dimension, et sont admises ici. Leur esprit tient dans un bilan d’énergies.

**Proposition 26.4 (Loi d’échelle du régime gravitaire).**

Si une fraction fixe de l’énergie d’impact $E$ soulève la roche excavée de masse volumique $\rho$ à l’encontre de la gravité $g$, le diamètre du cratère croît comme

$$
D \propto \left(\frac{E}{\rho g}\right)^{1/4} .
$$

**Démonstration.** Le volume excavé varie comme $D^3$, sa masse comme $\rho D^3$, et il est soulevé d’une hauteur de l’ordre de $D$ : le travail est de l’ordre de $\rho g D^4$, qui est proportionnel à $E$. ∎

Une partie de l’énergie part en chaleur, en fusion et en rupture de la roche, si bien que les lois réelles se situent entre celle-ci et des règles plus simples : une table souvent citée pour la Terre donne un cratère vingt fois plus large que le projectile rocheux. La gravité fixe aussi le point où un cratère cesse d’être simple. Les parois du bol transitoire s’effondrent lorsque le poids de roche qu’elles retiennent, de l’ordre de $\rho g D/3$, dépasse la résistance de la roche ; le diamètre de transition varie donc comme $1/g$ : environ $4\,\mathrm{km}$ dans une roche cristalline, et $2\,\mathrm{km}$ dans des sédiments sur la Terre, environ $20\,\mathrm{km}$ sur la Lune, où la gravité est six fois plus faible.

## 26.3 Datation par les cratères

Une surface laissée à elle-même accumule des cratères au rythme où des corps la frappent. Les compter permet de dater la surface, à condition que le rythme soit connu et que les cratères soient ceux de la surface, et non de ce qui se trouve dessous ou des débris projetés par un voisin.

**Définition 26.5 (Distribution taille–fréquence des cratères).**

La *distribution taille–fréquence des cratères* d’une surface est le nombre $N(D)$ de cratères de diamètre au moins égal à $D$ par unité d’aire, en fonction de $D$ (la distribution cumulée), ou les effectifs comptés dans des classes de diamètre, souvent chacune $\sqrt2$ fois plus large que la précédente (la distribution incrémentale).

**Définition 26.6 (Datation par les cratères ; fonctions de production et de chronologie ; densité d’équilibre).**

La *datation par les cratères* consiste à déterminer l’âge d’une surface à partir de la densité de ses cratères. La *fonction de production des cratères* est la forme de la [distribution taille–fréquence des cratères](#def-b3-planetary-interiors-surfaces-sfd) qu’une surface acquiert, $F(D) =
N(D)/N(1\,\mathrm{km})$, supposée la même à tout âge. La *fonction de chronologie des cratères* $N_1(T)$ est le nombre de cratères de $1\,\mathrm{km}$ et plus par unité d’aire accumulés pendant une durée $T$. Une surface se trouve à la *densité d’équilibre des cratères* pour des cratères d’une taille donnée lorsque chaque nouveau cratère efface, en moyenne, autant d’anciens qu’il en ajoute : leur nombre ne croît plus.

L’âge modèle d’une surface découle d’un seul comptage : $N(D)$ mesuré à une taille quelconque $D$ donne $N_1 = N(D)/F(D)$, et $T$ est la solution de $N_1(T) = N_1$. Les droites $N(D) = N_1(T)F(D)$ pour un $T$ fixé sont appelées isochrones. Pour Mars, une fonction de production largement utilisée est un polynôme de degré 11 en $\log_{10}D$, et la fonction de chronologie a la forme

$$
N_1(T) = a\left(e^{bT} - 1\right) + cT , \qquad
  a = 3.22 \times 10^{-14}\,\mathrm{km}^{-2}, \ b = 6.93\,\mathrm{Ga}^{-1}, \
  c = 4.875 \times 10^{-4}\,\mathrm{km}^{-2}\,\mathrm{Ga}^{-1} ,
$$

linéaire sur les trois derniers milliards d’années, nettement exponentielle avant. La fonction de la Lune a la même forme, avec $a = 5.44 \times 10^{-14}$ et $c =
8.38 \times 10^{-4}$. Elle a été ajustée aux âges des sites d’atterrissage d’Apollo et de Luna ; celle de Mars est celle de la Lune, multipliée par une estimation du rapport des taux de cratérisation sur Mars et sur la Lune.

![À gauche : isochrones de Mars, les densités cumulées de cratères sur des surfaces âgées de 0.1, 1, 3.5 et 4 milliards d’années, avec la densité d’équilibre (en pointillés), qui plafonne tout comptage : sur une surface de 4 milliards d’années, les cratères plus petits qu’environ 0.7\, km sont à l’équilibre et n’enregistrent plus l’âge. À droite : les fonctions de chronologie de Mars et de la Lune, le nombre de cratères de 1\, km et plus par kilomètre carré en fonction de l’âge de la surface.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-planetary-interiors-surfaces/fig-6062d27daf7c.svg)

*À gauche : isochrones de Mars, les densités cumulées de cratères sur des surfaces âgées de 0.1, 1, 3.5 et 4 milliards d’années, avec la densité d’équilibre (en pointillés), qui plafonne tout comptage : sur une surface de 4 milliards d’années, les cratères plus petits qu’environ $0.7\,\mathrm{km}$ sont à l’équilibre et n’enregistrent plus l’âge. À droite : les fonctions de chronologie de Mars et de la Lune, le nombre de cratères de $1\,\mathrm{km}$ et plus par kilomètre carré en fonction de l’âge de la surface.*

Les cratères sont percutés au hasard, indépendamment les uns des autres, si bien que le nombre $n$ trouvé sur une aire est une variable de Poisson.

**Proposition 26.7 (Erreur de comptage d’un âge modèle).**

Si $n$ cratères sont comptés sur une aire $A$, la densité $N = n/A$ a pour écart type $\sqrt n/A$, une erreur relative $1/\sqrt n$, et l’âge modèle son écart type

$$
\sigma_T = \frac{N_1(T)}{\sqrt n\,N_1'(T)} .
$$

**Démonstration.** Une variable de Poisson de moyenne $\lambda$ a pour variance $\lambda$, estimée par $n$. L’âge est $T = N_1^{-1}(N_1)$ ; au premier ordre $\sigma_T =
\sigma_{N_1}/N_1'(T)$, et $\sigma_{N_1} = N_1/\sqrt n$. ∎

L’erreur relative du seul comptage vaut dix pour cent pour cent cratères. Sur une surface jeune, où $N_1$ est linéaire, l’âge en hérite : $\sigma_T/T = 1/\sqrt n$. Sur une surface ancienne, la fonction raide la réduit, d’un facteur six à $3.8\,\mathrm{Ga}$ ([Exercice 26.11](#exo-b3-planetary-interiors-surfaces-11)) ; les âges modèles des surfaces anciennes sont alors limités plutôt par l’étalonnage de la fonction elle-même. Deux autres limites bornent un comptage. Les petits cratères saturent : sur les surfaces les plus anciennes, les cratères inférieurs à environ $0.7\,\mathrm{km}$ sont à la densité d’équilibre et cessent d’enregistrer le temps. Et une surface peut être renouvelée sans être effacée : une coulée de lave qui enfouit les petits cratères mais pas les bords des grands laisse une distribution avec un coude, ancienne à grand $D$ et jeune à petit $D$. Le coude date le [renouvellement de la surface](#def-b3-planetary-interiors-surfaces-resurfacing).

**Définition 26.8 (Renouvellement de la surface).**

Le *renouvellement de la surface* est le renouvellement d’une surface planétaire, par lave, sédiment, glace ou déformation, qui supprime ou enfouit ses cratères et remet à zéro son horloge de cratères.

## 26.4 Volcanisme et tectonique au-delà de la Terre

Toute planète tellurique perd sa chaleur interne à travers sa lithosphère. La Terre le fait avec des plaques mobiles ; les autres le font autrement.

**Définition 26.9 (Couvercle stagnant).**

Une planète possède un *couvercle stagnant* lorsque sa lithosphère est une coque rigide unique qui ne participe pas à la convection du manteau sous-jacent : la chaleur la traverse par conduction et par le magma qui remonte à travers elle. Sur une planète à couvercle mobile comme la Terre, la lithosphère est fragmentée en plaques qui replongent dans le manteau.

**Définition 26.10 (Volcanisme en caloduc).**

Le *volcanisme en caloduc* est la perte de la chaleur interne d’une planète principalement par du magma qui remonte par des conduits étroits et entre en éruption en surface, où les laves refroidissent et sont enfouies par les suivantes : la lithosphère se construit par le haut et est entraînée vers le bas, froide.

![Trois façons de perdre la chaleur (schématique). À gauche : un couvercle mobile, des plaques formées aux dorsales et plongeant aux fosses, comme sur la Terre. Au centre : un couvercle stagnant, une coque rigide unique au-dessus du manteau en convection, traversée par le magma de quelques volcans longévifs. À droite : des caloducs, du magma remontant à travers une lithosphère épaisse et froide par des conduits étroits, ses laves enfouies par les suivantes et entraînées vers le bas.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-planetary-interiors-surfaces/fig-8b62baa7e212.svg)

*Trois façons de perdre la chaleur (schématique). À gauche : un couvercle mobile, des plaques formées aux dorsales et plongeant aux fosses, comme sur la Terre. Au centre : un [couvercle stagnant](#def-b3-planetary-interiors-surfaces-stagnant-lid), une coque rigide unique au-dessus du manteau en convection, traversée par le magma de quelques volcans longévifs. À droite : des caloducs, du magma remontant à travers une lithosphère épaisse et froide par des conduits étroits, ses laves enfouies par les suivantes et entraînées vers le bas.*

Mars possède un [couvercle stagnant](#def-b3-planetary-interiors-surfaces-stagnant-lid). Sans plaques pour emporter leurs sources, ses volcans ont grandi sur place pendant longtemps au-dessus du bombement de Tharsis. Olympus Mons, le plus grand volcan connu du Système solaire, s’élève à $27\,\mathrm{km}$ de hauteur sur une base de plus de $600\,\mathrm{km}$ de large, cernée d’un escarpement haut de jusqu’à $6\,\mathrm{km}$ ; les trois Tharsis Montes voisins font chacun de 350 à $400\,\mathrm{km}$ de large. Une charge aussi importante fléchit la lithosphère, et la largeur du fossé qu’elle creuse mesure, comme sur Terre, l’épaisseur élastique du couvercle.

![Olympus Mons sur Mars, une mosaïque d’images des orbiteurs Viking : les calderas sommitales au centre, les flancs de coulées de lave et l’escarpement en falaise qui cerne la base, large d’environ 600\, km. NASA/JPL/USGS, domaine public.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-planetary-interiors-surfaces/img-410f298ab8fb.jpg)

*Olympus Mons sur Mars, une mosaïque d’images des orbiteurs Viking : les calderas sommitales au centre, les flancs de coulées de lave et l’escarpement en falaise qui cerne la base, large d’environ $600\,\mathrm{km}$. NASA/JPL/USGS, domaine public.*

Vénus, la jumelle de la Terre par la taille, possède de loin le moins de cratères d’impact de toute planète rocheuse à l’exception de la Terre. Ses formations de surface peuvent avoir en moyenne un âge aussi jeune que 150 millions d’années, avec des zones plus anciennes entre elles : le volcanisme et la déformation ont renouvelé l’essentiel de sa surface, peut-être par morceaux sur une longue durée, peut-être plus vite. Vénus compte des milliers de volcans et aucun signe de plaques en mouvement.

Io, la plus intérieure des grandes lunes de Jupiter, perd plus de $2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ à travers sa surface, soit environ 27 fois la moyenne terrestre de $0.092\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. Sa chaleur ne vient pas de la radioactivité : elle est produite par les marées.

**Définition 26.11 (Chauffage de marée).**

Le *chauffage de marée* est la chaleur produite à l’intérieur d’un corps par le frottement de la déformation que lui impose une marée variable. Une lune en rotation synchrone sur une orbite excentrique voit la marée de sa planète varier d’intensité et osciller d’avant en arrière au cours de chaque orbite.

**Proposition 26.12 (Puissance de marée d’une lune synchrone).**

Une lune de rayon $R$ en rotation synchrone, sur une orbite de moyen mouvement $n$ et de faible excentricité $e$, dissipe la puissance

$$
\dot E = \frac{21}{2}\,\frac{k_2}{Q}\,\frac{(nR)^5}{G}\,e^2 ,
$$

où $Q$ est le facteur de qualité de marée de la lune, de sorte que $k_2/Q$ mesure la part de la déformation de marée perdue sous forme de chaleur.

La proposition est admise. Les marées qui dissipent de l’énergie arrondissent aussi une orbite ; celle d’Io reste elliptique, d’excentricité 0.004, car les attractions précisément synchronisées d’Europe et de Ganymède la perturbent, leurs périodes orbitales de 1.77, 3.55 et $7.15$ jours restant presque exactement dans le rapport 1:2:4 (l’[Exercice 26.8](#exo-b3-planetary-interiors-surfaces-8)). Sa surface se soulève et s’abaisse de $100\,\mathrm{m}$ au plus à chaque orbite. Les volcans recouvrent Io de lave plus vite que des cratères ne peuvent s’y former ; l’un des modèles de dissipation de sa chaleur est le [volcanisme en caloduc](#def-b3-planetary-interiors-surfaces-heat-pipe), qui maintiendrait une lithosphère épaisse et froide sous sa surface brûlante.

**Définition 26.13 (Océan souterrain).**

Un *océan souterrain* est une couche globale d’eau liquide sous la carapace de glace d’une lune ou d’une planète naine, maintenue à l’état liquide par la chaleur de marée et la chaleur radiogénique.

**Définition 26.14 (Cryovolcanisme).**

Le *cryovolcanisme* est l’éruption d’eau, de saumures ou d’autres liquides et vapeurs volatils, à la place de roche fondue, sur la surface glacée d’une lune ou d’une planète naine.

La carapace de glace d’Europe, mesurée par le radiomètre micro-ondes de la sonde Juno dans la région qu’elle a survolée, mesure en moyenne environ $29\,\mathrm{km}$ d’épaisseur ; sous elle s’étend un océan salé contenant deux fois plus d’eau que l’ensemble des océans terrestres. Sur Encelade, lune de Saturne qui ne mesure qu’environ $500\,\mathrm{km}$ de diamètre, la sonde Cassini a observé en 2005 des jets de grains de glace et de gaz s’échappant de fractures chaudes près du pôle Sud à environ $400\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Sa gravité et les oscillations de sa rotation ont montré que les jets puisent dans un océan global, sous une carapace de glace de 20 à $25\,\mathrm{km}$ d’épaisseur en moyenne et peut-être de seulement 1 à $5\,\mathrm{km}$ au pôle Sud.

## 26.5 Noyaux grands et petits

Les quatre noyaux mesurés forment une famille singulière. Rapporté à son rayon, le noyau terrestre atteint 0.55 de la distance jusqu’à la surface, celui de Mars 0.54 ; celui de la Lune 0.19 ; celui de Mercure 0.82. La différenciation, dans le volume de deuxième année, sépare le métal du silicate à l’intérieur de chaque corps, mais ne peut rendre les proportions de métal si différentes. Les impacts géants, eux, le peuvent. La Lune serait née des débris d’une collision entre un corps de la taille de Mars et la jeune Terre, il y a environ 4.5 Ga ; le métal de l’impacteur a rejoint le noyau terrestre tandis que la Lune a surtout recueilli des roches du manteau, d’où son petit noyau. Des impacts semblables ont pu arracher une grande part du manteau silicaté de Mercure et lui laisser cette planète riche en fer dont le noyau occupe l’essentiel du volume. Les noyaux, comme les cratères, gardent la trace d’une histoire de collisions.

## 26.6 Exercices

**Exercice 26.1 ★.**

Mercure a une masse volumique moyenne de $5429\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, un facteur de moment d’inertie de 0.35 et un rayon de $2440\,\mathrm{km}$. Avec un modèle à deux couches et un manteau de $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, calculer le rayon relatif du noyau, son rayon en kilomètres et sa masse volumique.

**Solution de Exercice 26.1.**

$\tfrac52C\bar\rho = 2.5\times0.35\times5429 = 4750$; $x^2 = (4750 -
3300)/(5429 - 3300) = 0.681$, $x = 0.825$, soit un noyau de $0.825\times2440 =
2010\,\mathrm{km}$; $\rho_c = 3300 + 2129/0.825^3 = 7090\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

**Exercice 26.2 ★.**

Un projectile rocheux de $50\,\mathrm{m}$ de diamètre, de masse volumique $3500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, frappe la Terre à la verticale à $20\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Calculer sa masse et son énergie cinétique, en joules et en mégatonnes d’explosif ($1\,\mathrm{Mt} = 4.2 \times 10^{15}\,\mathrm{J}$). Quel diamètre de cratère donne la règle des vingt diamètres de projectile ?

**Solution de Exercice 26.2.**

$m = 3500\times\tfrac43\pi(25)^3 = 2.29 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}$; $E = \tfrac12 m v^2 =
\tfrac12\times2.29 \times 10^{8}\times(2.0 \times 10^{4})^2 = 4.6 \times 10^{16}\,\mathrm{J}$, ou $4.6 \times 10^{16}/4.2 \times 10^{15} = 11\,\mathrm{Mt}$. La règle donne un cratère de $20\times50\,\mathrm{m} = 1\,\mathrm{km}$.

**Exercice 26.3 ★.**

Sur une plaine martienne de $100\,000\,\mathrm{km}^{2}$, on compte 120 cratères de $1\,\mathrm{km}$ et plus. Calculer $N_1$, son erreur relative, et l’âge modèle de la plaine avec son erreur.

**Solution de Exercice 26.3.**

$N_1 = 120/100\,000 = 1.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{km}^{-2}$, erreur relative $1/\sqrt{120}
= 9\,\%$. Sur la partie linéaire, $T = N_1/c = 1.2 \times 10^{-3}/4.875 \times 10^{-4}
= 2.46\,\mathrm{Ga}$ (le terme exponentiel, $8 \times 10^{-7}$, est négligeable), et $\sigma_T = T/\sqrt{120} = 0.22\,\mathrm{Ga}$.

**Exercice 26.4 ★.**

Io, de rayon $1821.5\,\mathrm{km}$, perd $2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. Calculer sa perte de chaleur totale et la comparer à celle de la Terre, $47\,\mathrm{TW}$, en totalité et par mètre carré ($0.092\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$).

**Solution de Exercice 26.4.**

Aire $4\pi(1.8215 \times 10^{6})^2 = 4.17 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{2}$ ; puissance $2.5\times
4.17 \times 10^{13} = 1.04 \times 10^{14}\,\mathrm{W} = 104\,\mathrm{TW}$, soit 2.2 fois le total terrestre pour une surface douze fois plus petite, et $2.5/0.092 = 27$ fois son flux.

**Exercice 26.5 ★★.**

Mars a une masse de $6.417 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$ et un rayon de $3389.5\,\mathrm{km}$. (a) Calculer sa masse volumique moyenne, sa gravité de surface et $\rho gR$. (b) En la considérant comme une sphère uniforme incompressible de rigidité $67\,\mathrm{GPa}$, calculer son [nombre de Love](#def-b3-planetary-interiors-surfaces-love-number) $k_2$. (c) La valeur mesurée est $0.153 \pm 0.017$. Que dit la comparaison ?

**Solution de Exercice 26.5.**

(a) $\bar\rho = 6.417 \times 10^{23}/(\tfrac43\pi(3.3895 \times 10^{6})^3) =
3934\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$; $g = GM/R^2 = 3.73\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$; $\rho gR =
4.97 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$. (b) $19\mu/(2\rho gR) = 19\times6.7 \times 10^{10}/9.94 \times 10^{10}
= 12.8$, $k_2 = 1.5/13.8 = 0.109$. (c) La valeur mesurée est supérieure de 2.6 écarts-types : Mars donne une valeur plus élevée que celle d’une planète solide dotée d’une rigidité mantellique, comme il le ferait avec un noyau liquide interne.

**Exercice 26.6 ★★.**

Sur la Terre ($g = 9.8\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$), la transition simple-complexe se produit vers $4\,\mathrm{km}$ dans la roche cristalline et $2\,\mathrm{km}$ dans les sédiments. (a) En supposant que le diamètre de transition varie comme $1/g$, prévoir sa valeur sur la Lune ($g = 1.62\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$) et sur Mars et sur Mercure ($g = 3.7\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$) ; comparer avec les $20\,\mathrm{km}$ observés sur la Lune. (b) Si l’effondrement commence lorsque $\rho gD/3$ dépasse la résistance $Y$ de la roche, quelle résistance donne la transition cristalline de la Terre, pour $\rho = 2600\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ ?

**Solution de Exercice 26.6.**

(a) Lune : $4\times9.8/1.62 = 24\,\mathrm{km}$ dans la roche cristalline, $12\,\mathrm{km}$ dans les sédiments ; Mars et Mercure : $4\times9.8/3.7 =
10.6\,\mathrm{km}$ et $5.3\,\mathrm{km}$. Les $20\,\mathrm{km}$ de la Lune se situent entre ses deux prévisions : la règle tient à quelques dizaines de pour cent. (b) $Y =
\rho gD/3 = 2600\times9.8\times4000/3 = 34\,\mathrm{MPa}$, soit la résistance d’une roche fracturée plutôt que d’un cristal intact.

**Exercice 26.7 ★★.**

Une surface porte $2.0 \times 10^{-3}$ cratères de $1\,\mathrm{km}$ et plus par kilomètre carré. Déterminer son âge modèle avec la fonction de chronologie de Mars, en résolvant numériquement l’équation. Quel âge aurait donné la fonction lunaire et pourquoi les deux fonctions ne peuvent-elles pas être échangées ?

**Solution de Exercice 26.7.**

Mars : $3.22 \times 10^{-14}(e^{6.93T} - 1) + 4.875 \times 10^{-4}\,T = 2.0 \times 10^{-3}$ ; l’estimation linéaire $4.1$ Ga est beaucoup trop ancienne, le terme exponentiel étant grand là-bas ; la dichotomie donne $T = 3.34\,\mathrm{Ga}$ (terme exponentiel $3.6 \times 10^{-4}$, terme linéaire $1.63 \times 10^{-3}$). La fonction lunaire donne $2.39\,\mathrm{Ga}$. Chaque fonction est calibrée pour un seul corps : le taux d’impacts et la taille des cratères qu’un projectile donné creuse diffèrent entre la Lune et Mars.

**Exercice 26.8 ★★.**

Les périodes orbitales d’Io, d’Europe et de Ganymède sont de 1.769138, 3.551181 et $7.154\,553$ jours. (a) Calculer les rapports des périodes successives. (b) Calculer $1/P_I - 3/P_E + 2/P_G$ et commenter. (c) Pourquoi les résonances peuvent-elles maintenir une excentricité que les marées feraient sinon disparaître ?

**Solution de Exercice 26.8.**

(a) $3.551181/1.769138 = 2.0073$ et $7.154553/3.551181 = 2.0147$, proche de $2$. (b) $0.565247 - 0.844789 + 0.279542 = 0.000000$ par jour, à $1 \times 10^{-7}$ près : les trois moyens mouvements sont verrouillés, une résonance qui maintient les positions relatives des lunes à chaque conjonction. (c) Les attractions se répètent aux mêmes points de l’orbite, de sorte qu’elles s’additionnent au lieu de se compenser ; elles alimentent l’excentricité aussi vite que les marées l’amortissent.

**Exercice 26.9 ★★.**

Io orbite autour de Jupiter en $1.769\,138$ jours avec une excentricité de 0.004. Calculer la puissance que fournit la proposition sur la puissance de marée, par unité de $k_2/Q$, et la valeur de $k_2/Q$ qui fournirait la perte de chaleur d’Io calculée dans l’[Exercice 26.4](#exo-b3-planetary-interiors-surfaces-4).

**Solution de Exercice 26.9.**

$n = 2\pi/(1.769138\times86400) = 4.111 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$, $nR =
74.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, $(nR)^5/G = 3.53 \times 10^{19}\,\mathrm{W}$; $\tfrac{21}{2}e^2(nR)^5/G = 10.5\times1.6 \times 10^{-5}\times3.53 \times 10^{19} =
5.9 \times 10^{15}\,\mathrm{W}$ par unité de $k_2/Q$. Puis $k_2/Q =
1.04 \times 10^{14}/5.9 \times 10^{15} = 0.018$.

**Exercice 26.10 ★★★.**

Pour la Lune, $\bar\rho = 3340\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ et $C = 0.394$. (a) Montrer que dans le modèle à deux couches $\mathrm dx^2/\mathrm dC =
\tfrac52\bar\rho/(\bar\rho - \rho_m)$ à $\rho_m$ fixé. (b) Avec la masse volumique du manteau qui donne un noyau de $x = 0.19$, $3288\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, quelles sont $x$ et $\rho_c$ pour $C = 0.395$, et pour $C = 0.393$ ? (c) Que dit cela de la pesée d’un petit noyau à l’aide du moment d’inertie ?

**Solution de Exercice 26.10.**

(a) $x^2 = (\tfrac52C\bar\rho - \rho_m)/(\bar\rho - \rho_m)$ est linéaire en $C$, de pente $\tfrac52\bar\rho/(\bar\rho - \rho_m)$. (b) La pente vaut $2.5\times3340/52 = 161$ : $x^2$ varie de $0.161$ pour $0.001$ de $C$. Pour $C = 0.395$, $x^2 = 0.036 + 0.161 = 0.197$, $x = 0.44$, $\rho_c =
3880\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ ; pour $C = 0.393$, $x^2 < 0$ : pas de noyau du tout. (c) Au voisinage de $C = \tfrac25$, le moment d’inertie ressent à peine un petit noyau : son troisième chiffre significatif tranche entre un noyau grand et léger et l’absence de noyau. Les ondes sismiques, les marées et le champ magnétique sont nécessaires.

**Exercice 26.11 ★★★.**

(a) Pour 100 cratères, calculer l’erreur de comptage de l’âge modèle d’une surface martienne âgée de $1.0\,\mathrm{Ga}$ et d’une autre âgée de $3.8\,\mathrm{Ga}$. (b) Montrer que sur la partie linéaire de la fonction de chronologie $\sigma_T/T =
1/\sqrt n$. (c) Pourquoi les âges des surfaces anciennes restent-ils alors incertains ?

**Solution de Exercice 26.11.**

(a) $\sigma_T = N_1/(10\,N_1')$ : à $1.0\,\mathrm{Ga}$, $N_1 \approx N_1' \approx
4.875 \times 10^{-4}$, $\sigma_T = 0.10\,\mathrm{Ga}$ ; à $3.8\,\mathrm{Ga}$, $N_1 =
1.07 \times 10^{-2}$ et $N_1' = 6.15 \times 10^{-2}$, $\sigma_T = 0.017\,\mathrm{Ga}$, six fois plus petit. (b) Avec $N_1 = cT$, $N_1' = c$ et $\sigma_T =
cT/(\sqrt n\,c) = T/\sqrt n$. (c) La fonction de chronologie elle-même est incertaine : elle repose sur quelques sites datés de la Lune et sur la mise à l’échelle de la Lune à Mars, des erreurs qu’aucun comptage ne réduit.

**Exercice 26.12 ★★★.**

Europe, de rayon $1560.8\,\mathrm{km}$, orbite en $3.551\,181$ jours avec une excentricité de 0.009. (a) Si Europe dissipait les marées avec le même $k_2/Q$ qu’Io, quelle fraction de la puissance de marée d’Io produirait-elle, et quel flux de chaleur ? (b) Pourquoi cette hypothèse est-elle douteuse pour une lune glacée abritant un [océan souterrain](#def-b3-planetary-interiors-surfaces-ocean-world) ?

**Solution de Exercice 26.12.**

(a) Le rapport vaut $(n_ER_E/n_IR_I)^5(e_E/e_I)^2 = (0.4982\times0.8569)^5
\times(0.009/0.004)^2 = 0.0142\times5.06 = 0.072$ : soit environ $7.5 \times 10^{12}\,\mathrm{W}$, ou $7.5 \times 10^{12}/(4\pi(1.5608 \times 10^{6})^2) =
0.24\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (b) Un océan découple la coquille de glace de l’intérieur : la coquille se déforme bien davantage qu’une lune solide, et sa glace se dissipe autrement que la roche chaude d’Io, de sorte que $k_2$ et $Q$ changent tous deux.

## 26.7 Problème : deux plaines sur Mars

**Problème 26.1.**

Problème du week-end — le noyau de Mars et les âges de deux plaines de lave inventées

Mars a une masse de $6.4169 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$, un rayon de $3389.5\,\mathrm{km}$ et un facteur de moment d’inertie de 0.366. Deux plaines inventées, A et B, se trouvent sur ses provinces volcaniques ; leurs cratères ont été comptés sur des images en classes de largeur $\sqrt2$.

**Partie I — Le noyau.**

1. Calculer la masse volumique moyenne de Mars.
2. Avec un modèle à deux couches et un manteau de $3500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ , calculer le rayon relatif du noyau, son rayon en kilomètres et sa masse volumique.
3. InSight a mesuré un rayon de noyau de $1830\,\mathrm{km}$ . Quelles masses volumiques du manteau et du noyau le modèle à deux couches exige-t-il alors ?
4. Comparer cette masse volumique du noyau à celle du noyau externe de la Terre juste sous son sommet, $9900\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ dans le modèle de Terre de référence, et dire pourquoi une valeur plus faible est attendue pour Mars et ce qu’elle suggère d’autre.
5. Le [nombre de Love](#def-b3-planetary-interiors-surfaces-love-number) de Mars, pour une sphère uniforme de rigidité $67\,\mathrm{GPa}$ vaut 0.109 ; celui mesuré vaut 0.153. Quelle observation est arrivée en premier, et que disait-elle déjà du noyau ?
6. La croûte de Mars a une épaisseur de 20 à $37\,\mathrm{km}$ . Quelle fraction du volume de la planète occupe-t-elle ? Était-il juste de la négliger ?

**Partie II — Les comptages sur la plaine A.** La plaine A couvre $80\,000\,\mathrm{km}^{2}$. Ses cratères, par classe de diamètre (km) :

| classe | 1–1.41 | 1.41–2 | 2–2.83 | 2.83–4 | 4–5.66 | 5.66–8 | 8–11.3 | 11.3–16 | 16–22.6 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| plaine A | 38 | 6 | 5 | 3 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| plaine B | 48 | 8 | 31 | 12 | 7 | 2 | 0 | 2 | 2 |

7. Calculer les comptages cumulés de la plaine A, à partir de $1\,\mathrm{km}$ .
8. Calculer $N(1\,\mathrm{km})$ par kilomètre carré ainsi que son écart-type.
9. La fonction de production donne $F(2\,\mathrm{km}) = 0.147$ et $F(1.41\,\mathrm{km}) = 0.355$ . Les comptages à 1.41 et $2\,\mathrm{km}$ sont-ils compatibles avec la forme de la fonction de production ?
10. La plaine A est-elle proche de la densité d’équilibre $0.072\,\mathrm{km}^{-2}$ à $1\,\mathrm{km}$ ?
11. Pourquoi les classes sont-elles choisies de largeur $\sqrt2$ ?
12. Pourquoi les amas et les chaînes de petits cratères sont-ils exclus d’un comptage ?

**Partie III — Âges modèles.** Utiliser la fonction de chronologie de Mars.

13. Calculer l’âge modèle de la plaine A. Vérifier que le terme exponentiel peut être négligé.
14. Calculer son erreur de comptage.
15. Quel âge aurait donné la chronologie lunaire ?
16. La plaine B couvre $120\,000\,\mathrm{km}^{2}$ . En utilisant ses cratères de $2\,\mathrm{km}$ et plus, calculer $N(2\,\mathrm{km})$ , puis $N_1$ , puis son âge modèle, en résolvant numériquement l’équation.
17. Calculer l’erreur de comptage de cet âge.
18. Comparer les erreurs relatives des deux âges et expliquer la différence.

**Partie IV — Les cratères enfouis de la plaine B.**

19. Combien de cratères entre 1 et $2\,\mathrm{km}$ la plaine B devrait-elle compter si l’ensemble de sa surface avait l’âge de la question 16 ? Combien en compte-t-elle réellement ?
20. Supposer que la lave a enfoui chaque cratère plus petit que $2\,\mathrm{km}$ à un instant $T_r$ et a épargné les plus grands. Calculer $T_r$ à partir des cratères de $1$ – $2\,\mathrm{km}$ .
21. Calculer l’erreur de comptage de $T_r$ .
22. Prendre un [cratère simple](#def-b3-planetary-interiors-surfaces-crater-morphology) frais sur Mars comme étant cinq fois moins profond que large (hypothèse de ce problème). Quelle épaisseur la lave doit-elle avoir pour enfouir un cratère de $2\,\mathrm{km}$ , et pourquoi les plus grands apparaissent-ils encore ?
23. La lave de la plaine B et celle de la plaine A pourraient-elles appartenir à un même épisode de volcanisme ?
24. Donner l’âge modèle de la plaine A, en milliards d’années, à deux chiffres significatifs.

**Solution de Problème 26.1.**

**1.** $\bar\rho = 6.4169 \times 10^{23}/(\tfrac43\pi(3.3895 \times 10^{6})^3) =
3934\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

**2.** $\tfrac52C\bar\rho = 3600$; $x^2 = (3600 - 3500)/(3934 - 3500) =
0.230$, $x = 0.479$, un noyau de $1620\,\mathrm{km}$ ; $\rho_c = 3500 +
434/0.479^3 = 7450\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

**3.** $x = 1830/3389.5 = 0.540$; $\rho_m = (3600 - 0.2915\times
3934)/(1 - 0.2915) = 3460\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $\rho_c = 3462 +
472/0.1574 = 6460\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

**4.** C’est un tiers de moins. La pression au cœur de Mars est bien plus faible que sur la Terre, si bien que son métal est moins comprimé ; et un noyau aussi léger suggère des éléments bien plus légers mêlés au fer.

**5.** Le [nombre de Love](#def-b3-planetary-interiors-surfaces-love-number) (2003) est bien antérieur à InSight (2021) : il montrait déjà que le noyau externe au moins est liquide, et plaçait son rayon entre 1520 et $1840\,\mathrm{km}$, un intervalle qui contient la valeur sismologique.

**6.** $1 - (1 - 20/3389.5)^3 = 1.8\,\%$ à $1 - (1 -
37/3389.5)^3 = 3.2\,\%$ du volume, et moins de la masse : plus léger que le manteau, il abaisse un peu la densité effective du manteau, un effet plus petit que l’incertitude du modèle.

**7.** À partir de $1\,\mathrm{km}$ : 54 ; à partir de 1.41 : 16 ; à partir de 2 : 10 ; à partir de 2.83 : 5 ; à partir de 4, 5.66, 8 et 11.3 : 2 ; à partir de 16 : 1.

**8.** $N = 54/80000 = 6.75 \times 10^{-4}\,\mathrm{km}^{-2}$, $\sigma = \sqrt{54}/80000
= 0.92 \times 10^{-4}\,\mathrm{km}^{-2}$ ($14\,\%$).

**9.** Attendu : $54\times0.355 = 19$ cratères de $1.41\,\mathrm{km}$ et $54\times0.147 = 7.9$ de $2\,\mathrm{km}$ ; comptés 16 et 10, à moins d’un écart type ($\sqrt{19} = 4.4$, $\sqrt{7.9} = 2.8$) : cohérent.

**10.** Non : $0.072/6.75 \times 10^{-4} = 107$ fois en dessous. Le comptage enregistre le temps.

**11.** Des intervalles de même largeur en $\log D$ couvrent uniformément la plage et conservent des effectifs comparables dans les classes d’une distribution raide.

**12.** Ce sont des cratères secondaires, produits par des blocs éjectés d’un grand cratère primaire : ce ne sont pas des impacts indépendants venus de l’espace, ils ajouteraient des cratères que la fonction de chronologie ne compte pas.

**13.** $T = 6.75 \times 10^{-4}/4.875 \times 10^{-4} = 1.385\,\mathrm{Ga}$ ; le terme exponentiel, $3.22 \times 10^{-14}(e^{9.6} - 1) = 4.7 \times 10^{-10}$, vaut un millionième de $N_1$.

**14.** $\sigma_T = T/\sqrt{54} = 0.19\,\mathrm{Ga}$ : $1.38 \pm 0.19$ Ga.

**15.** $6.75 \times 10^{-4}/8.38 \times 10^{-4} = 0.81\,\mathrm{Ga}$, plus jeune de près de moitié.

**16.** $31 + 12 + 7 + 2 + 0 + 2 + 2 = 56$ cratères ; $N(2\,\mathrm{km}) =
56/120000 = 4.67 \times 10^{-4}\,\mathrm{km}^{-2}$ ; $N_1 = 4.67 \times 10^{-4}/0.1473 =
3.17 \times 10^{-3}\,\mathrm{km}^{-2}$. Dichotomie sur $3.22 \times 10^{-14}(e^{6.93T} - 1) +
4.875 \times 10^{-4}\,T = 3.17 \times 10^{-3}$ donne $T = 3.54\,\mathrm{Ga}$ (terme exponentiel $1.45 \times 10^{-3}$, terme linéaire $1.73 \times 10^{-3}$).

**17.** $N_1' = 3.22 \times 10^{-14}\times6.93\,e^{6.93\times3.54} +
4.875 \times 10^{-4} = 1.05 \times 10^{-2}$ ; $\sigma_T = 3.17 \times 10^{-3}/(\sqrt{56}\times
1.05 \times 10^{-2}) = 0.040\,\mathrm{Ga}$.

**18.** Plaine A : $14\,\%$ ; plaine B : $1.1\,\%$. Dans la partie initiale et raide de la chronologie, une forte variation de la densité de cratères correspond à une faible variation d’âge ; sur la partie linéaire, l’âge est aussi incertain que le comptage.

**19.** $120000\times3.17 \times 10^{-3}\times(1 - 0.1473) = 324$ ; elle porte $48 + 8 = 56$.

**20.** $N_1 = 56/(120000\times0.8527) = 5.47 \times 10^{-4}\,\mathrm{km}^{-2}$, $T_r = 5.47 \times 10^{-4}/4.875 \times 10^{-4} = 1.12\,\mathrm{Ga}$.

**21.** $\sigma = 1.12/\sqrt{56} = 0.15\,\mathrm{Ga}$.

**22.** Un cratère de $2\,\mathrm{km}$ est profond de $400\,\mathrm{m}$ : la lave avait au moins cette épaisseur. Les cratères plus grands sont plus profonds et leurs bourrelets se dressent plus haut ; ils ont été en partie remplis et restent visibles.

**23.** $1.38 \pm 0.19$ et $1.12 \pm 0.15$ Ga diffèrent de $0.26\,\mathrm{Ga}$, soit environ un écart type combiné ($\sqrt{0.19^2 + 0.15^2} = 0.24$) : les comptages permettent un épisode unique, sans le prouver.

**24.** La jeune plaine de lave A a un âge modèle de **1.4 Ga** ($1.38 \pm 0.19$ Ga).