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title: "La Voie lactée et les galaxies"
book: "Sciences de la Terre et de l’Univers à l’université — 3e année"
subject: earth
language: fr
chapter: 29
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/5/fr/chapter/29-la-voie-lactee-et-les-galaxies
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Chapitre 29 — La Voie lactée et les galaxies

Dans le Système solaire, les planètes éloignées du Soleil se déplacent lentement : Mercure tourne autour de lui à $47.4\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, Neptune à $5.4\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, comme l’exige la troisième loi de Kepler pour des corps soumis à une seule masse centrale. Les étoiles de la Galaxie ne se comportent pas ainsi. Mesurée à partir des mouvements de plus de vingt mille géantes rouges, la vitesse de leurs orbites circulaires vaut $227\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ à $5\,\mathrm{kpc}$ du centre, $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ au niveau du Soleil, et encore $198\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ à $25\,\mathrm{kpc}$, là où il ne subsiste pratiquement plus d’étoiles ni de gaz. Si la masse que nous voyons était tout ce qui existe, les étoiles périphériques seraient bien plus lentes. Quelque chose d’invisible les retient. Ce chapitre décrit la Galaxie que nous habitons, en évalue la masse à partir de sa rotation, classe les autres galaxies en types, et gravit la chaîne de méthodes par lesquelles on mesure leurs distances, ainsi que l’expansion de l’Univers.

**Tu sais déjà.**

La Voie lactée, l’effet Doppler, les lois de Kepler, le théorème de Newton sur l’attraction d’une coquille sphérique, la matière noire, les trous noirs et leur rayon de Schwarzschild, les supernovæ, les naines blanches, la raie à $21\,\mathrm{cm}$ de l’hydrogène atomique et la loi de Hubble sont traités dans les volumes de physique. La parallaxe annuelle, le parsec, le flux et la luminosité, les magnitudes apparente et absolue, le module de distance, les bandes photométriques et l’indice de couleur figurent dans le volume de première année, au chapitre consacré aux télescopes et à la photométrie. Le milieu interstellaire et ses poussières sont traités dans le volume de deuxième année, au chapitre consacré au milieu interstellaire et à la formation stellaire.

## 29.1 La structure de la Galaxie

Vue depuis la Terre, la Galaxie est la Voie lactée : une bande de lumière qui fait le tour du ciel, traversée de sombres traînées de poussière et plus brillante en direction de la constellation du Sagittaire, où se trouve son centre. Cette bande est le disque dans lequel se situe le Soleil, vu par la tranche depuis l’intérieur.

![Le ciel entier en une seule image, projeté de sorte que le plan de la Galaxie traverse le milieu et que son centre se trouve au centre de l’image. La bande est le disque vu de l’intérieur ; les sombres traînées sont la poussière du disque, qui masque les étoiles situées derrière elle ; le bulbe central se gonfle autour du centre. Les deux petites taches sous la bande, à droite, sont le Grand et le Petit Nuage de Magellan, deux galaxies satellites ; la faible tache sous la bande, près du bord gauche, est la galaxie d’Andromède. Photographie ESO/S. Brunier, CC BY 4.0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-milky-way-galaxies/img-49f8d59f9b9f.jpg)

*Le ciel entier en une seule image, projeté de sorte que le plan de la Galaxie traverse le milieu et que son centre se trouve au centre de l’image. La bande est le disque vu de l’intérieur ; les sombres traînées sont la poussière du disque, qui masque les étoiles situées derrière elle ; le bulbe central se gonfle autour du centre. Les deux petites taches sous la bande, à droite, sont le Grand et le Petit Nuage de Magellan, deux galaxies satellites ; la faible tache sous la bande, près du bord gauche, est la galaxie d’Andromède. Photographie ESO/S. Brunier, CC BY 4.0.*

**Définition 29.1 (Disque galactique, disque épais, bulbe galactique et halo stellaire).**

Le *disque galactique* est la composante aplatie de la Galaxie, formée d’étoiles, de gaz et de poussières en orbites presque circulaires autour de son centre ; sa densité décroît à peu près exponentiellement avec la hauteur au-dessus de son plan médian et avec la distance au centre, sur une hauteur d’échelle et une longueur d’échelle. Le *disque épais* est une seconde composante de disque, plus ancienne, de hauteur d’échelle plus grande et de masse plus faible. Le *bulbe galactique* est la concentration centrale d’étoiles qui se gonfle au-dessus du disque. Le *halo stellaire* est la composante clairsemée, à peu près sphéroïdale, formée d’étoiles âgées et d’amas globulaires, qui entoure le disque et le bulbe.

La Galaxie est une spirale barrée. Au voisinage du Soleil, le disque mince a une hauteur d’échelle d’environ $300\,\mathrm{pc}$ et le [disque épais](#def-b3-milky-way-galaxies-structure) d’environ $900\,\mathrm{pc}$ ; leurs longueurs d’échelle valent environ $2.6\,\mathrm{kpc}$ et $2.0\,\mathrm{kpc}$. Le [disque épais](#def-b3-milky-way-galaxies-structure) renferme quelque $6 \times 10^{9}$ masses solaires, soit à peu près un cinquième du disque mince. Vu de côté, le bulbe a la forme d’une boîte ou d’une cacahuète : c’est la partie intérieure épaissie d’une barre d’étoiles de $5\,\mathrm{kpc}$ de demi-longueur, dont l’axe long fait un angle de $27{}^{\circ}$ avec la droite qui joint le Soleil au centre. Le [halo stellaire](#def-b3-milky-way-galaxies-structure) ne renferme qu’environ un pour cent des étoiles. Au total, les étoiles de la Galaxie pèsent environ $5 \times 10^{10}$ masses solaires.

![Esquisse de la Galaxie, à l’échelle pour ses principales dimensions. (a) Vue par la tranche : le disque mince (bande sombre), le disque épais (bande claire), le bulbe en forme de boîte et le halo stellaire avec ses amas globulaires (points orangés) ; le Soleil se trouve dans le disque, à environ 8.2\, kpc du centre et à environ 25\, pc au-dessus du plan médian (trop petit pour être représenté). (b) Vue depuis le pôle galactique nord : la barre, de 5\, kpc de demi-longueur, inclinée de 27 par rapport à la droite joignant le Soleil au centre (pointillés) ; le cercle solaire (tirets) ; les bras spiraux dessinés de façon schématique ; la Galaxie tourne dans le sens horaire sur cette vue.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-milky-way-galaxies/fig-799676e505dc.svg)

*Esquisse de la Galaxie, à l’échelle pour ses principales dimensions. (a) Vue par la tranche : le disque mince (bande sombre), le [disque épais](#def-b3-milky-way-galaxies-structure) (bande claire), le bulbe en forme de boîte et le [halo stellaire](#def-b3-milky-way-galaxies-structure) avec ses amas globulaires (points orangés) ; le Soleil se trouve dans le disque, à environ $8.2\,\mathrm{kpc}$ du centre et à environ $25\,\mathrm{pc}$ au-dessus du plan médian (trop petit pour être représenté). (b) Vue depuis le pôle galactique nord : la barre, de $5\,\mathrm{kpc}$ de demi-longueur, inclinée de $27{}^{\circ}$ par rapport à la droite joignant le Soleil au centre (pointillés) ; le cercle solaire (tirets) ; les bras spiraux dessinés de façon schématique ; la Galaxie tourne dans le sens horaire sur cette vue.*

**Définition 29.2 (Population stellaire).**

Une *population stellaire* est un groupe d’étoiles d’une galaxie qui partagent une plage d’âges, de compositions chimiques et de orbites. Les jeunes étoiles du disque mince, riches en éléments plus lourds que l’hélium et sur des orbites presque circulaires, sont traditionnellement appelées population I ; les vieilles étoiles du halo et des amas globulaires, pauvres en éléments lourds et sur des orbites à grands mouvements aléatoires avec peu de rotation nette, population II.

Le [disque épais](#def-b3-milky-way-galaxies-structure) occupe une position intermédiaire : ses étoiles sont en majorité plus âgées que celles du disque mince et, à teneur en fer donnée, plus riches en éléments légers que les astronomes appellent éléments alpha, mesurés par rapport au fer. Le [halo stellaire](#def-b3-milky-way-galaxies-structure) est un enregistrement fossile : une grande partie de celui-ci a été assemblée à partir de petites galaxies tombées dans la Galaxie et déchirées par ses marées, et certains de leurs courants d’étoiles peuvent encore être suivis à travers le ciel.

**Définition 29.3 (Coordonnées galactiques).**

Les *coordonnées galactiques* d’une direction sont sa *latitude galactique* $b$, l’angle par rapport au plan galactique (positif vers le pôle galactique nord), et sa *longitude galactique* $\ell$, mesurée dans le plan à partir de la direction du centre galactique ($\ell = 0$) jusqu’à $\ell = 90{}^{\circ}$, la direction vers laquelle la rotation de la Galaxie entraîne le Soleil. Le plan a été défini en 1958 comme le plan principal de l’hydrogène atomique de la Galaxie ; le pôle galactique nord se situe à une ascension droite de $192.25{}^{\circ}$ ($12^\mathrm{h}49^\mathrm{m}$) et une déclinaison de $27.4{}^{\circ}$ (équinoxe 1950).

Le Soleil n’est pas tout à fait dans le plan : il se trouve à environ $25\,\mathrm{pc}$ au nord de celui-ci. Sa distance au centre, $R_0$, a longtemps été la grandeur la plus incertaine de l’astronomie galactique. Elle est désormais mesurée géométriquement : l’étoile S2 tourne autour du trou noir central de la Galaxie sur une orbite de $16$ ans, dont la taille angulaire sur le ciel et la vitesse le long de la ligne de visée, suivies pendant 27 ans, donnent directement la distance au centre : $R_0 = 8178\,\mathrm{pc}$, avec une erreur statistique de $13\,\mathrm{pc}$ et une erreur systématique de $22\,\mathrm{pc}$. Une revue de toutes les méthodes donne $R_0 = (8.2 \pm 0.1)\,\mathrm{kpc}$.

## 29.2 Rotation et halo sombre

**Définition 29.4 (Référentiel local au repos).**

Le *référentiel local au repos* (LSR) est le référentiel qui se déplace sur l’orbite circulaire autour du centre galactique passant par la position actuelle du Soleil. Les vitesses des étoiles et du gaz proches y sont rapportées.

Le Soleil se déplace par rapport au LSR d’environ $10\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ en direction du centre galactique, de $11\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ dans le sens de la rotation et de $7\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ vers le pôle galactique nord : un petit mouvement propre qui s’ajoute à une orbite de vitesse $V_0$ de quelques centaines de kilomètres par seconde. Vue depuis la Terre, la source radio au centre de la Galaxie dérive le long du plan galactique de $6.411\,\mathrm{mas}$ par an ; presque toute cette dérive est le reflet de l’orbite du Soleil, et elle donne la vitesse totale du Soleil autour du centre, $(248 \pm 3)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ ([Exercice 29.2](#exo-b3-milky-way-galaxies-2)).

**Définition 29.5 (Courbe de rotation ; constantes d’Oort).**

La *courbe de rotation* d’une galaxie à disque est la vitesse $V(R)$ d’une orbite circulaire dans son plan en fonction de la distance $R$ à son centre. Pour la Galaxie, avec $V_0 = V(R_0)$ et $V'_0 = \mathrm{d}V/\mathrm{d}R$ en $R_0$, les *constantes d’Oort* sont

$$
A = \frac12\left(\frac{V_0}{R_0} - V'_0\right), \qquad
B = -\frac12\left(\frac{V_0}{R_0} + V'_0\right).
$$

$A$ mesure le cisaillement de la rotation du disque et $B$ sa vorticité : dans un disque tournant comme un corps solide, $V'_0 = V_0/R_0$ et $A = 0$ ; pour une [courbe de rotation](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve) plate, $A = -B$. Leur différence est la vitesse angulaire du LSR, $A - B = V_0/R_0 = \omega_0$, et leur somme la pente, $A + B = -V'_0$.

**Théorème 29.6 (Formules d’Oort).**

Une étoile située à une distance $d \ll R_0$ du Soleil, dans le plan galactique à la longitude $\ell$, sur une orbite circulaire, possède par rapport au LSR la vitesse radiale $v_r$ et la vitesse transverse $v_t$ (positive dans le sens des $\ell$ croissants)

$$
v_r = A\,d\sin 2\ell, \qquad v_t = d\,(A\cos 2\ell + B),
$$

au premier ordre en $d/R_0$.

**Démonstration.** Soit $\omega(R) = V(R)/R$ la vitesse angulaire de l’orbite en $R$. Plaçons le centre galactique à l’origine, le Soleil à la distance $R_0$, et soit l’étoile à la distance $R$ du centre, sa position vue depuis le centre faisant l’angle $\theta$ avec celle du Soleil. En projetant la vitesse de l’étoile $\omega R$ et la vitesse du LSR $\omega_0 R_0$ sur la ligne de visée, un peu de trigonométrie dans le triangle Soleil–étoile–centre (la loi des sinus donne $R\sin(\ell + \theta) = R_0\sin\ell$) donne le résultat exact $v_r = R_0\,[\omega(R) - \omega_0]\sin\ell$. De même, sur la direction perpendiculaire à la ligne de visée, $v_t = R_0\,[\omega(R) - \omega_0]\cos\ell - \omega(R)\,d$. Pour une étoile proche, $\omega(R) - \omega_0 \approx \omega'_0\,(R - R_0)$ et $R - R_0 \approx -d\cos\ell$. Alors $v_r \approx -R_0\omega'_0\,d\cos\ell\sin\ell = -\tfrac12 R_0\omega'_0\,
d\sin 2\ell$ et, en gardant les termes du premier ordre, $v_t \approx -R_0\omega'_0\,d\cos^2\ell - \omega_0 d$. Avec $\omega'_0 = V'_0/R_0 - V_0/R_0^2$, $-\tfrac12 R_0\omega'_0 = A$ et $-R_0\omega'_0\cos^2\ell - \omega_0 = A(1 + \cos 2\ell) - (A - B) =
A\cos 2\ell + B$. ∎

Les vitesses radiales des étoiles proches varient donc comme $\sin 2\ell$ sur la voûte céleste, et leurs mouvements propres comme $\cos 2\ell$ autour d’une moyenne fixée par $B$. D’après les mouvements propres et les parallaxes de $304\,267$ étoiles du premier catalogue Gaia, à une distance typique de $230\,\mathrm{pc}$, les [constantes d’Oort](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve) sont $A = (15.3 \pm 0.4)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$ et $B = (-11.9 \pm 0.4)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$. Deux termes supplémentaires qu’un disque axisymétrique n’aurait pas, appelés $C$ et $K$, ressortent à environ $-3\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$ : le disque local est brassé par la barre et les bras spiraux.

### La courbe de rotation à partir de la raie à 21 cm

L’hydrogène atomique remplit le disque et émet la raie à 21 cm, à $1420.405\,751\,\mathrm{MHz}$ ; les ondes radio traversent la poussière qui masque le disque lointain aux longueurs d’onde visibles. Le long d’une ligne de visée dans le plan, chaque nuage de gaz ajoute sa raie au décalage Doppler de sa vitesse radiale, et le profil de la raie est un spectre de vitesses. À l’intérieur du cercle solaire, une vitesse se détache.

**Théorème 29.7 (Méthode du point de tangence).**

Supposons que le gaz décrive des orbites circulaires de vitesse angulaire $\omega(R)$ décroissante vers l’extérieur. Le long d’une ligne de visée de longitude $0 < \ell < 90{}^{\circ}$, la vitesse radiale par rapport au [référentiel local au repos](#def-b3-milky-way-galaxies-lsr) est maximale au point de tangence, où la ligne de visée est tangente à une orbite, en $R = R_0\sin\ell$, et sa valeur maximale vaut

$$
v_\mathrm{max} = V(R_0\sin\ell) - V_0\sin\ell .
$$

**Démonstration.** D’après la démonstration des formules d’Oort, le gaz situé à la distance $R$ du centre sur la ligne de visée a $v_r = R_0\,[\omega(R) - \omega_0]\sin\ell$. Avec $\sin\ell > 0$ et $\omega$ décroissante, $v_r$ est maximale là où $R$ est minimal. Le long de la ligne de visée, $R$ est minimal au pied de la perpendiculaire issue du centre, où $R = R_0\sin\ell$. Là, $R_0\,\omega(R)\sin\ell = \omega(R)\,R = V(R)$ et $R_0\,\omega_0\sin\ell = V_0\sin\ell$. ∎

![La méthode du point de tangence, vue depuis le pôle galactique nord. Le long d’une ligne de visée de longitude , le gaz le plus proche du centre se trouve au point de tangence, à R = R_0 (en rouge) ; sa vitesse orbitale V(R) est dirigée le long de la ligne de visée, et la vitesse radiale y est la plus grande que montre le profil de la raie. Chaque longitude donne un point de la courbe de rotation à l’intérieur du cercle solaire.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-milky-way-galaxies/fig-17f7f3de1d4c.svg)

*La méthode du point de tangence, vue depuis le pôle galactique nord. Le long d’une ligne de visée de longitude $\ell$, le gaz le plus proche du centre se trouve au point de tangence, à $R = R_0\sin\ell$ (en rouge) ; sa vitesse orbitale $V(R)$ est dirigée le long de la ligne de visée, et la vitesse radiale y est la plus grande que montre le profil de la raie. Chaque longitude donne un point de la [courbe de rotation](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve) à l’intérieur du cercle solaire.*

La vitesse la plus élevée de chaque profil à 21 cm donne donc $V$ en $R_0\sin\ell$, et un balayage des longitudes de $0{}^{\circ}$ à $90{}^{\circ}$ donne la [courbe de rotation](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve) depuis le centre jusqu’au Soleil. Au-delà du cercle solaire, aucune ligne de visée n’est tangente à une orbite et la méthode échoue : il faut alors mesurer la distance de chaque traceur en plus de sa vitesse. Depuis 2014, un satellite a mesuré les parallaxes de plus d’un milliard d’étoiles, et la [courbe de rotation](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve) externe est désormais tracée par des étoiles.

![La courbe de rotation de la Galaxie. Points : la vitesse circulaire mesurée à partir des géantes rouges entre 5 et 25\, kpc (Eilers et al., 2019), avec ses barres d’erreur. Courbes : les vitesses que donneraient seuls le bulbe, le disque mince et le disque épais d’un modèle de masse publié (Pouliasis et al., 2017), leur combinaison (en gris), et le halo de matière noire ajusté ici aux mesures (tirets rouges), qui prend le relais des baryons au-delà de 14\, kpc ; ils s’ajoutent en quadrature au total (en bleu). Les 5\, kpc intérieurs, où la barre rend les orbites nettement non circulaires, sont exclus de la mesure.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-milky-way-galaxies/fig-8107bbcd2a60.svg)

*La [courbe de rotation](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve) de la Galaxie. Points : la vitesse circulaire mesurée à partir des géantes rouges entre 5 et $25\,\mathrm{kpc}$ (Eilers et al., 2019), avec ses barres d’erreur. Courbes : les vitesses que donneraient seuls le bulbe, le disque mince et le [disque épais](#def-b3-milky-way-galaxies-structure) d’un modèle de masse publié (Pouliasis et al., 2017), leur combinaison (en gris), et le [halo de matière noire](#def-b3-milky-way-galaxies-halo) ajusté ici aux mesures (tirets rouges), qui prend le relais des baryons au-delà de $14\,\mathrm{kpc}$ ; ils s’ajoutent en quadrature au total (en bleu). Les $5\,\mathrm{kpc}$ intérieurs, où la barre rend les orbites nettement non circulaires, sont exclus de la mesure.*

La courbe de la figure ci-dessus a été mesurée à partir des positions, des distances et des vitesses de plus de vingt-trois mille géantes rouges lumineuses, à l’aide de l’équation de l’hydrodynamique stellaire qui relie les mouvements moyens d’une population d’étoiles à la gravité qui les retient (l’équation de Jeans). Au niveau du Soleil, elle donne $V_0 = 229.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, avec une incertitude systématique de deux à cinq pour cent ; au-delà, elle décroît lentement, de $(1.7 \pm 0.1)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ par kiloparsec. Elle ne décroît pas comme l’exigerait la masse visible.

### Peser la Galaxie

La gravité d’un disque n’est pas celle d’une sphère, mais la courbe des vitesses d’un modèle de masse se calcule aisément lorsque chaque composante possède un potentiel sous forme close. Les potentiels dans le plan ci-dessous sont ceux d’un modèle publié des étoiles de la Galaxie.

**Proposition 29.8 (Vitesses circulaires de trois modèles de masse).**

Dans le plan $z = 0$, la vitesse circulaire $V^2 = R\,\partial\Phi/\partial R$ vaut, pour

- une sphère de Plummer de masse $M$ et de rayon de cœur $b$, de potentiel $\Phi = -GM/\sqrt{r^2 + b^2}$ : $$V^2 = \frac{GMR^2}{(R^2 + b^2)^{3/2}}\,;$$
- un disque de Miyamoto–Nagai de masse $M$, de longueur d’échelle $a$ et de hauteur d’échelle $b$, de potentiel $\Phi = -GM\big/\sqrt{R^2 + \bigl(a + \sqrt{z^2 + b^2}\,\bigr)^2}$ : $$V^2 = \frac{GMR^2}{\bigl(R^2 + (a + b)^2\bigr)^{3/2}}\,;$$
- un halo de Navarro–Frenk–White de densité $\rho = \rho_0\big/\bigl[x(1 + x)^2\bigr]$ , $x = r/R_s$ : la masse à l’intérieur de $r$ vaut $M(r) = 4\pi\rho_0R_s^3\bigl[\ln(1 + x) - x/(1 + x)\bigr]$ et $V^2 = GM(r)/r$ .

Pour plusieurs composantes, les carrés des vitesses s’ajoutent.

**Démonstration.** Pour les deux premiers, on dérive le potentiel par rapport à $R$ en $z = 0$. Pour le halo, on intègre $4\pi r^2\rho$ de 0 à $r$ : avec $u = 1 + x'$, $\int_0^x x'\,\mathrm{d}x'/(1 + x')^2 =
\int_1^{1+x}(u - 1)\,\mathrm{d}u/u^2 = \ln(1 + x) + 1/(1 + x) - 1$ ; une masse sphérique agit sur une orbite à $r$ comme si toute sa masse située à l’intérieur de $r$ était au centre (théorème de Newton). Les potentiels s’ajoutent, d’où leurs dérivées radiales. ∎

Le modèle utilisé dans la figure comporte un bulbe de Plummer de $1.07 \times 10^{10}$ masses solaires avec $b = 0.3\,\mathrm{kpc}$, un disque mince et un [disque épais](#def-b3-milky-way-galaxies-structure) de $3.94 \times 10^{10}$ masses solaires chacun, avec $(a, b) =
(5.3\,\mathrm{kpc}, 0.25\,\mathrm{kpc})$ et $(2.6\,\mathrm{kpc}, 0.8\,\mathrm{kpc})$. Avec $G = 4.301 \times 10^{-6}\,\mathrm{kpc}\,(\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1})^{2}$ par masse solaire, ses étoiles seules donneraient au Soleil une vitesse orbitale de $184\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, et une étoile à $20\,\mathrm{kpc}$ une vitesse de $134\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; les vitesses mesurées valent 229 et $200\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Un halo ajusté aux mesures, les étoiles étant maintenues fixes, a $R_s = 14.75\,\mathrm{kpc}$ et $\rho_0 = 1.06 \times 10^{7}$ masses solaires par kiloparsec cube, soit la même valeur que le halo ajusté par ses auteurs ($R_s = (14.8 \pm 0.4)\,\mathrm{kpc}$, $\rho_0 = (1.06 \pm 0.09 \times 10^{7})\,$ masses solaires par kiloparsec cube). Le halo domine au-delà d’environ $14\,\mathrm{kpc}$.

**Définition 29.9 (Halo de matière noire).**

Le *halo de matière noire* d’une galaxie est la distribution de matière noire, à peu près sphérique, dans laquelle baignent ses étoiles et son gaz, bien plus étendue et plus massive que ses composantes visibles, et dont l’existence se déduit de sa gravité : de la [courbe de rotation](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve), des mouvements des galaxies satellites et des étoiles du halo, et de la déviation de la lumière.

**Théorème 29.10 (Masse à l’intérieur d’un rayon).**

Pour une distribution sphérique de masse, la vitesse circulaire au rayon $r$ donne la masse qui s’y trouve, $M(r) = rV^2/G$. Une [courbe de rotation](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve) plate, $V =$ constante, implique $M(r) \propto r$ et une densité $\rho(r) = V^2/(4\pi G r^2)$.

**Démonstration.** Par le théorème de Newton, la gravité en $r$ vaut $GM(r)/r^2$, et elle fournit l’accélération centripète $V^2/r$ d’une orbite circulaire. Si $V$ est constant, $\mathrm{d}M/\mathrm{d}r = V^2/G = 4\pi r^2\rho$. ∎

Pour les disques aplatis, $rV^2/G$ n’est pas exactement la masse située à l’intérieur de $r$, mais c’est la masse qu’une sphère devrait posséder pour produire la même orbite, et on l’utilise ici, comme il est courant de le faire, comme masse *dynamique*. La figure ci-dessous la compare pour les étoiles et pour l’ensemble de la Galaxie.

![La masse dynamique RV2/G à l’intérieur du rayon R. La masse visible plafonne vers 9×1010 masses solaires, soit la masse du bulbe et des disques du modèle ; le total continue de croître presque proportionnellement à R, comme l’exige une courbe de rotation plate. À 20\, kpc, le total est plus de deux fois supérieur à la masse visible.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-milky-way-galaxies/fig-21d412a2b4be.svg)

*La masse dynamique $RV^2/G$ à l’intérieur du rayon $R$. La masse visible plafonne vers $9\times10^{10}$ masses solaires, soit la masse du bulbe et des disques du modèle ; le total continue de croître presque proportionnellement à $R$, comme l’exige une [courbe de rotation](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve) plate. À $20\,\mathrm{kpc}$, le total est plus de deux fois supérieur à la masse visible.*

Jusqu’où s’étend le halo, et combien il pèse au total, la [courbe de rotation](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve) du disque ne permet pas de le dire. Extrapolé avec son profil ajusté jusqu’à son rayon viriel, d’environ $190\,\mathrm{kpc}$, le halo ajusté par les auteurs de la mesure contient environ $7 \times 10^{11}$ masses solaires ; une revue d’autres estimations donne $1.3 \times 10^{12}$, dont les baryons ne forment que sept pour cent. La matière noire au voisinage du Soleil est peu dense : environ $0.30\,\mathrm{GeV}$ d’énergie de masse par centimètre cube, soit un tiers de la masse d’un proton, ce qui explique qu’elle ne se manifeste que par sa gravité accumulée.

## 29.3 Galaxies

**Définition 29.11 (Séquence de Hubble ; galaxies elliptiques, lenticulaires, spirales et irrégulières).**

La *séquence de Hubble* classe les galaxies d’après leur apparence. Une *galaxie elliptique* (type E) est un système d’étoiles lisse, dont la brillance décroît régulièrement depuis le centre, et sans disque ; elle est notée E$n$, avec $n = 10(1 - b/a)$ et $b/a$ le rapport apparent des axes, de E0 (rond) à E7. Une *galaxie spirale* possède un disque à bras spiraux autour d’un bulbe central ; elle est notée Sa, Sb, Sc selon un bulbe de plus en plus petit, des bras plus ouverts et des bras plus fragmentés en amas de formation stellaire, et SBa, SBb, SBc si une barre traverse son centre. Une *galaxie lenticulaire* (S0) possède un disque et un bulbe, mais aucun bras. Une *galaxie irrégulière* (Irr, Im) n’a de structure organisée.

![La séquence de Hubble représentée en forme de diapason, de manière schématique. Les elliptiques sont notées d’après leur aplatissement apparent ; le diapason se divise au niveau des lenticulaires en spirales ordinaires et spirales barrées, ordonnées des grands bulbes et des bras très serrés (a) aux petits bulbes et aux bras ouverts (c) ; les irrégulières ferment la séquence.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-milky-way-galaxies/fig-906ce0d2d9bf.svg)

*La [séquence de Hubble](#def-b3-milky-way-galaxies-types) représentée en forme de diapason, de manière schématique. Les elliptiques sont notées d’après leur aplatissement apparent ; le diapason se divise au niveau des lenticulaires en spirales ordinaires et spirales barrées, ordonnées des grands bulbes et des bras très serrés (a) aux petits bulbes et aux bras ouverts (c) ; les irrégulières ferment la séquence.*

Les classes décrivent des formes observées sur le ciel, et une même étiquette masque une gamme : une elliptique vue selon son axe le plus court paraît ronde, quel que soit son aplatissement réel, et les frontières entre classes voisines relèvent du jugement. Dans un catalogue des galaxies proches de nous, la Galaxie est classée S(B)bc, une spirale entre Sb et Sc avec une barre ; sa grande voisine Andromède (M31) est une Sb, la galaxie du Triangle (M33) une Sc, et les Grand et Petit Nuage de Magellan sont des irrégulières.

![La galaxie spirale M101 vue de face par le télescope spatial Hubble, une mosaïque de 51 expositions, recadrée sur ses bords : un bulbe petit, brillant, jaunâtre ; des bras ouverts, plus bleus et parsemés d’amas d’étoiles jeunes ; des traînées brunes de poussière le long des bras. Image ESA et NASA (Hubble, heic0602), CC BY 4.0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-milky-way-galaxies/img-94ac2f00138d.jpg)

*La [galaxie spirale](#def-b3-milky-way-galaxies-types) M101 vue de face par le télescope spatial Hubble, une mosaïque de 51 expositions, recadrée sur ses bords : un bulbe petit, brillant, jaunâtre ; des bras ouverts, plus bleus et parsemés d’amas d’étoiles jeunes ; des traînées brunes de poussière le long des bras. Image ESA et NASA (Hubble, heic0602), CC BY 4.0.*

Pourquoi les bras spiraux ne s’enroulent-ils pas ? Dans un disque dont la [courbe de rotation](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve) est plate, une étoile située à la moitié de la distance au centre fait un tour en moitié moins de temps. Une spirale d’étoiles se resserrerait à chaque tour, et au bout de quelques tours du disque elle deviendrait une bobine serrée ([Exercice 29.11](#exo-b3-milky-way-galaxies-11)).

**Définition 29.12 (Théorie des ondes de densité).**

La *théorie des ondes de densité* explique les bras spiraux comme une onde de densité plus élevée dans un disque, un motif spiral qui tourne d’un bloc à sa propre vitesse angulaire, la vitesse du motif, tandis que les étoiles et le gaz le traversent, ralentissant en entrant dans le bras encombré et accélérant à la sortie, comme des voitures qui traversent un embouteillage.

La théorie, proposée en 1964, libère les bras du problème de l’enroulement. Le gaz qui entre dans un bras est comprimé, et des étoiles s’y forment : les bras sont mis en évidence par les étoiles jeunes et le gaz lumineux, tandis que les vieilles étoiles sont réparties beaucoup plus uniformément. Le caractère durable des bras en tant qu’ondes reste débattu ; les simulations numériques de disques font plus souvent apparaître des bras transitoires, qui se dissolvent et se reforment, et une galaxie voisine ou une barre peut entraîner une spirale à deux bras.

**Définition 29.13 (Trou noir supermassif).**

Un *trou noir supermassif* est un trou noir d’au moins un million de masses solaires, situé au centre d’une galaxie.

Au centre de la Galaxie, la source radio compacte Sagittarius A* (Sgr A*) se trouve parmi des étoiles en orbites serrées et rapides. Leurs orbites exigent une masse centrale d’environ quatre millions de soleils, $4.2 \pm 0.2 \times 10^{6}$ masses solaires dans une synthèse des mesures. Sgr A* bouge à peine par rapport aux galaxies lointaines : une fois le mouvement du Soleil retiré, son mouvement résiduel ne dépasse pas quelques kilomètres par seconde, de sorte qu’il renferme au moins un quart de cette masse. Sa taille est comparable à son rayon de Schwarzschild, et sa densité, supérieure à $4 \times 10^{23}$ masses solaires par parsec cube, est très proche de celle attendue pour un trou noir : les indices en faveur de la nature de trou noir de Sgr A* sont écrasants.

**Définition 29.14 (Groupe local ; amas de galaxies).**

Le *Groupe local* est le groupe de galaxies lié par la gravitation, dominé par la Voie lactée et Andromède, chacune accompagnée de ses galaxies satellites. Un *amas de galaxies* est l’un des plus grands systèmes liés par la gravitation : de nombreuses galaxies retenues, avec un gaz chaud qui émet des rayons X, dans un puits commun constitué principalement de matière noire.

Plus d’une centaine de galaxies se trouvent à moins de $3\,\mathrm{Mpc}$ du Soleil, pour la plupart des naines. Le Grand Nuage de Magellan est à environ $50\,\mathrm{kpc}$, Andromède à $783\,\mathrm{kpc}$ et se rapproche de nous à $300\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, et les membres liés du groupe se trouvent à environ $1.06\,\mathrm{Mpc}$ de son centre de masse, entre la Galaxie et Andromède, là où ils s’écartent de l’expansion de l’Univers. Sa masse, déduite du mouvement des deux grandes galaxies l’une vers l’autre, est de l’ordre de $5 \times 10^{12}$ masses solaires. Dans un [amas de galaxies](#def-b3-milky-way-galaxies-groups) massif, le gaz chaud, à environ $10^{8}\,\mathrm{K}$, représente environ dix fois la masse des étoiles ; galaxies et gaz réunis sont trop légers pour la profondeur du puits gravitationnel, et l’essentiel de la masse de l’amas, de l’ordre de $10^{15}$ masses solaires, est sombre.

## 29.4 L’échelle des distances

Une parallaxe donne une distance par la seule géométrie, mais les parallaxes diminuent avec la distance. Le meilleur catalogue de parallaxes mesure une parallaxe avec une incertitude de 0.02 à $0.03\,\mathrm{mas}$ pour les étoiles plus brillantes que la magnitude 15, ce qui donne une distance à $10\,\%$ près jusqu’à environ $4\,\mathrm{kpc}$ ; le Grand Nuage de Magellan, à $50\,\mathrm{kpc}$, a une parallaxe de $0.02\,\mathrm{mas}$. Au-delà, les distances reposent sur des objets dont la luminosité est connue.

**Définition 29.15 (Chandelle standard ; échelle des distances).**

Une *chandelle standard* est une classe d’objets dont la magnitude absolue est connue, ou peut être déduite d’une propriété mesurée indépendamment de la distance, de sorte que sa magnitude apparente donne son module de distance. L’*échelle des distances* est la chaîne de méthodes, chacune étalonnée sur des objets assez proches pour être mesurés aussi par la méthode précédente, qui conduit des parallaxes jusqu’à l’Univers en expansion.

**Définition 29.16 (Céphéide ; loi de Leavitt).**

Une *céphéide* est une étoile jeune, lumineuse et pulsante, dont la luminosité varie avec une période rigoureusement régulière, de environ un jour à plusieurs semaines. La *loi de Leavitt*, ou relation période–luminosité, est la relation linéaire entre la magnitude absolue moyenne d’une céphéide et le logarithme de sa période, les étoiles les plus brillantes ayant des périodes plus longues.

La relation a été découverte dans le Petit Nuage de Magellan, dont les étoiles sont toutes à peu près à la même distance, en 1908. La poussière présente dans la galaxie qui abrite une [céphéide](#def-b3-milky-way-galaxies-cepheid) l’assombrit et la rougit ; mais l’assombrissement est plus fort dans le visible que dans le proche infrarouge, dans un rapport fixe pour un type donné de poussière, et la combinaison $W_I = I - 1.55\,(V - I)$ des magnitudes dans les bandes I et V, l’indice de Wesenheit, est choisie pour que l’assombrissement s’annule. La figure ci-dessous le montre pour 2315 [céphéides](#def-b3-milky-way-galaxies-cepheid) du Grand Nuage de Magellan : la [loi de Leavitt](#def-b3-milky-way-galaxies-cepheid) est une droite serrée, avec une dispersion de $0.078\,\mathrm{mag}$, soit $3.6\,\%$ en distance pour une seule étoile.

![La loi de Leavitt dans le Grand Nuage de Magellan : l’indice de Wesenheit de 2315 céphéides pulsant sur leur mode fondamental en fonction du logarithme de leur période (relevé OGLE, Soszyński et al., 2015, via le CDS). Les étoiles les plus brillantes sont les plus hautes. Une droite ajustée par moindres carrés, après avoir écarté 92 étoiles situées à plus de trois écarts-types de celle-ci, reproduit la relation publiée (-3.314, 15.888). Avec le module de distance du Nuage, 18.477, la droite donne la magnitude absolue de Wesenheit de toute céphéide à partir de sa période.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-milky-way-galaxies/fig-f98003a4900c.svg)

*La [loi de Leavitt](#def-b3-milky-way-galaxies-cepheid) dans le Grand Nuage de Magellan : l’indice de Wesenheit de 2315 [céphéides](#def-b3-milky-way-galaxies-cepheid) pulsant sur leur mode fondamental en fonction du logarithme de leur période (relevé OGLE, Soszyński et al., 2015, via le CDS). Les étoiles les plus brillantes sont les plus hautes. Une droite ajustée par moindres carrés, après avoir écarté 92 étoiles situées à plus de trois écarts-types de celle-ci, reproduit la relation publiée ($-3.314$, $15.888$). Avec le module de distance du Nuage, 18.477, la droite donne la magnitude absolue de Wesenheit de toute [céphéide](#def-b3-milky-way-galaxies-cepheid) à partir de sa période.*

**Définition 29.17 (Sommet de la branche des géantes rouges).**

Le *sommet de la branche des géantes rouges* (TRGB) est la limite supérieure nette des luminosités des géantes rouges d’une [population stellaire](#def-b3-milky-way-galaxies-populations) ancienne, fixée par l’allumage de l’hélium dans leur cœur, le flash de l’hélium ; dans la bande I, elle se situe à peu près à la même magnitude absolue dans toute population ancienne, $M_I \approx -4.05$ pour une couleur $V - I = 1.6$, et ne dépend que faiblement de la composition chimique.

Le sommet se mesure dans les halos peu denses des galaxies, où il y a peu de poussière et peu d’encombrement ; il utilise de vieilles étoiles du halo là où les [céphéides](#def-b3-milky-way-galaxies-cepheid) utilisent de jeunes étoiles du disque, et les deux méthodes n’ont aucune physique en commun. Le TRGB et les [céphéides](#def-b3-milky-way-galaxies-cepheid) atteignent quelques dizaines de mégaparsecs, vers des galaxies où a explosé une [chandelle standard](#def-b3-milky-way-galaxies-ladder) rare et bien plus brillante : une supernova de type Ia, l’explosion thermonucléaire d’une naine blanche rappelée des volumes de physique, dont la magnitude absolue au maximum, une fois corrigée de la forme de sa courbe de lumière et de sa couleur, vaut $M_B = (-19.253 \pm 0.027)\,\mathrm{mag}$. De telles supernovae sont observées à travers des centaines de mégaparsecs.

**Définition 29.18 (Relation de Tully–Fisher).**

La *relation de Tully–Fisher* est la corrélation entre la luminosité, ou mieux la masse des étoiles et du gaz, d’une [galaxie spirale](#def-b3-milky-way-galaxies-types) et la vitesse de sa [courbe de rotation](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve) plate ; sous sa forme baryonique, $M_\mathrm{b} = A\,V^4$, elle vaut d’environ 30 à $300\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

Le spectre à 21 cm d’une galaxie donne sa vitesse de rotation maximale, la relation sa luminosité, indépendamment de sa distance, et son flux donne alors la distance : un barreau de l’échelle pour les [galaxies spirales](#def-b3-milky-way-galaxies-types) trop lointaines pour les étoiles isolées. La Galaxie, par sa luminosité et sa rotation, se place sur la relation.

![Les barreaux de l’échelle des distances, avec les distances sur lesquelles chacune est utilisée ici : parallaxes du meilleur catalogue, jusqu’à 10\,\% jusqu’à 4\, kpc ; céphéides et TRGB depuis le Grand Nuage de Magellan jusqu’aux hôtes des supernovae de type Ia les plus proches, 45\, Mpc ; les supernovae de l’expansion régulière, pour des décalages vers le rouge de 0.023 à 0.15 (96 to 616\, Mpc pour H_0 = 73). Pointillés : deux ancrages de l’échelle des céphéides à distances géométriques (binaires à éclipses du Grand Nuage, masers à eau en orbite autour du trou noir de NGC 4258), et M31, la plus proche grande spirale. Flèches : chaque barreau est calibré sur des objets que le barreau inférieur mesure aussi, les céphéides de la Galaxie par leurs parallaxes, les supernovae des galaxies proches par les céphéides et le TRGB de leurs hôtes.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-milky-way-galaxies/fig-0d96b9bef782.svg)

*Les barreaux de l’[échelle des distances](#def-b3-milky-way-galaxies-ladder), avec les distances sur lesquelles chacune est utilisée ici : parallaxes du meilleur catalogue, jusqu’à $10\,\%$ jusqu’à $4\,\mathrm{kpc}$ ; [céphéides](#def-b3-milky-way-galaxies-cepheid) et TRGB depuis le Grand Nuage de Magellan jusqu’aux hôtes des supernovae de type Ia les plus proches, $45\,\mathrm{Mpc}$ ; les supernovae de l’expansion régulière, pour des décalages vers le rouge de 0.023 à 0.15 ($96\text{ à }616\,\mathrm{Mpc}$ pour $H_0 = 73$). Pointillés : deux ancrages de l’échelle des [céphéides](#def-b3-milky-way-galaxies-cepheid) à distances géométriques (binaires à éclipses du Grand Nuage, masers à eau en orbite autour du trou noir de NGC 4258), et M31, la plus proche grande spirale. Flèches : chaque barreau est calibré sur des objets que le barreau inférieur mesure aussi, les [céphéides](#def-b3-milky-way-galaxies-cepheid) de la Galaxie par leurs parallaxes, les supernovae des galaxies proches par les [céphéides](#def-b3-milky-way-galaxies-cepheid) et le TRGB de leurs hôtes.*

Au sommet de l’échelle, les supernovae mesurent l’expansion de l’Univers. La loi de Hubble, rappelée des volumes de physique, fait de la vitesse de récession $cz$ d’une galaxie lointaine une grandeur proportionnelle à sa distance $d$, $cz = H_0 d$ pour de petits décalages vers le rouge $z$ ; la constante de Hubble $H_0$ est la pente, et les supernovae, avec leurs distances issues de l’échelle, la donnent.

**Définition 29.19 (Tension de Hubble).**

La *tension de Hubble* est le désaccord entre la valeur de la constante de Hubble mesurée localement avec l’[échelle des distances](#def-b3-milky-way-galaxies-ladder) et la valeur déduite du rayonnement de fond diffus cosmologique dans le modèle cosmologique standard.

**Chiffres de 2022.**

Les [céphéides](#def-b3-milky-way-galaxies-cepheid) des hôtes de 42 supernovae de type Ia, ancrées sur les parallaxes de Gaia, les masers de NGC 4258 et les binaires à éclipses du Grand Nuage de Magellan, donnent $H_0 = (73.04 \pm 1.04)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Mpc}^{-1}$. Le [sommet de la branche des géantes rouges](#def-b3-milky-way-galaxies-trgb), calibrant une centaine de supernovae, donnait en 2019 $H_0 = 69.8 \pm 0.8 \pm 1.7\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Mpc}^{-1}$ (statistique et systématique). La carte du fond diffus cosmologique du satellite Planck, lue avec le modèle cosmologique standard, implique $H_0 = (67.4 \pm 0.5)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Mpc}^{-1}$. La valeur [céphéide](#def-b3-milky-way-galaxies-cepheid) et la valeur du fond diffus diffèrent de cinq écarts-types ; la valeur du TRGB se situe entre les deux. L’origine du désaccord n’est pas connue : une erreur non encore trouvée dans l’un des échelons, ou une physique absente du modèle.

**Au laboratoire — Un satellite astrométrique et son catalogue.**

Le satellite Gaia balaie le ciel selon un parcours programmé, de sorte que chaque étoile est mesurée encore et encore au cours de la mission. Au sol, les unités de coordination d’un consortium de traitement des données transforment ces mesures en une position, une parallaxe et un mouvement propre pour chacune des plus d’un milliard de sources : des petits mouvements apparents d’une étoile sur la voûte céleste, la parallaxe est la part qui se répète chaque année, et le mouvement propre la part qui s’accumule. Chaque catalogue est publié avec des articles qui décrivent son traitement et sa validation, et chaque distance des figures de cette section qui repose sur une parallaxe repose sur un tel catalogue.

**Chiffres de 2022.**

Le troisième catalogue Gaia, publié le 13 juin 2022 à partir de 34 mois de observations, donne les positions, les parallaxes et les mouvements propres de près de 1.46 milliard de sources, de la magnitude 3 à 21, et les vitesses radiales moyennes de 33 millions d’étoiles. Ses incertitudes sur la parallaxe valent 0.02 à $0.03\,\mathrm{mas}$ pour les étoiles plus brillantes que la magnitude 15, $0.07\,\mathrm{mas}$ à la magnitude 17, et $0.5\,\mathrm{mas}$ à la magnitude 20.

## 29.5 Exercices

**Exercice 29.1 ★.**

L’année galactique du Soleil. (a) Avec $R_0 = 8.178\,\mathrm{kpc}$ et $V_0 = 229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, calculer la période de l’orbite du Soleil autour du centre galactique, en millions d’années. (b) Combien de tours le Soleil a-t-il effectués depuis la formation du Système solaire, il y a $4.54\,\mathrm{Ga}$ ?

**Solution de Exercice 29.1.**

(a) $2\pi R_0 = 2\pi\times2.523 \times 10^{17}\,\mathrm{km} = 1.585 \times 10^{18}\,\mathrm{km}$ ; à $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ cela prend $6.92 \times 10^{15}\,\mathrm{s}$, soit $219\,\mathrm{Ma}$. (b) $4540/219 = 20.7$ : environ vingt tours.

**Exercice 29.2 ★.**

Le mouvement de réaction de Sgr A*. (a) Un mouvement propre de $1\,\mathrm{mas}$ par an à $1\,\mathrm{kpc}$ correspond à une vitesse transverse de $1\,\mathrm{au}$ par an : exprimer cette vitesse en kilomètres par seconde. (b) Sgr A*, supposé au repos au centre galactique à $8.178\,\mathrm{kpc}$, dérive le long du plan galactique de $6.411\,\mathrm{mas}$ par an. Calculer la vitesse du Soleil autour du centre et la comparer à la valeur de référence, $(248 \pm 3)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. (c) Retrancher le mouvement particulier du Soleil dans le sens de rotation, $11\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, et comparer avec $V_0$ issu de la [courbe de rotation](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve).

**Solution de Exercice 29.2.**

(a) $1\,\mathrm{au}/1\,\mathrm{an} = 1.496 \times 10^{8}/3.156 \times 10^{7} =
4.74\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) $v = 4.74\times6.411\times8.178 =
248.5\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, compatible avec la valeur $(248 \pm 3)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ de la revue. (c) $248.5 - 11 = 237.5\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, environ $8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ au-dessus des $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ des géantes rouges : les deux reposent sur des valeurs différentes de $R_0$ (8.178 et $8.122\,\mathrm{kpc}$), et le [référentiel local au repos](#def-b3-milky-way-galaxies-lsr) peut lui-même dériver d’environ $15\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ par rapport à une orbite réellement circulaire.

**Exercice 29.3 ★.**

Classification des elliptiques. (a) Les isophotes d’une [galaxie elliptique](#def-b3-milky-way-galaxies-types) ont un rapport d’axes de 0.6 : donner sa classe. (b) Quel rapport d’axes possède une E7 ? (c) Pourquoi une galaxie E0 peut-elle être un système aplati ?

**Solution de Exercice 29.3.**

(a) $n = 10(1 - 0.6) = 4$ : E4. (b) $b/a = 1 - 7/10 = 0.3$. (c) La classe utilise le rapport d’axes apparent : un ellipsoïde aplati vu selon son petit axe présente un contour circulaire et est classé E0.

**Exercice 29.4 ★.**

Calibrateurs. Calculer les distances du Grand Nuage de Magellan ($\mu = 18.477$), d’Andromède ($\mu = 24.47$) et NGC 4258 ($\mu = 29.398$). Quelle parallaxe aurait une étoile du Nuage, et pourquoi la distance du Nuage ne peut-elle pas être mesurée par parallaxes ?

**Solution de Exercice 29.4.**

$d = 10^{\mu/5 + 1}$ pc : le LMC $49.6\,\mathrm{kpc}$, Andromède $783\,\mathrm{kpc}$, NGC 4258 $7.58\,\mathrm{Mpc}$. Une étoile du Nuage a une parallaxe de $1/49.6\,\mathrm{kpc} = 0.020\,\mathrm{mas}$, soit la taille de l’incertitude du meilleur catalogue pour les étoiles brillantes : une parallaxe isolée ne donne aucune distance, et le Nuage est situé par d’autres moyens (binaires à éclipses), à partir desquels s’établit l’échelle des [céphéides](#def-b3-milky-way-galaxies-cepheid).

**Exercice 29.5 ★★.**

À partir des [constantes d’Oort](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve) $A = 15.3\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$ et $B = -11.9\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$ : (a) calculer la vitesse angulaire du [référentiel local au repos](#def-b3-milky-way-galaxies-lsr) et, avec $R_0 = 8.178\,\mathrm{kpc}$, la vitesse circulaire $V_0$ ; (b) calculer la pente de la [courbe de rotation](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve) au niveau du Soleil. (c) Comparer à la [courbe de rotation](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve) des géantes rouges ($V_0 = 229.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, de pente $-1.7\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ par kiloparsec) et proposer pourquoi les deux diffèrent, sachant que la même mesure trouve $C$ et $K$ non nuls.

**Solution de Exercice 29.5.**

(a) $\omega_0 = A - B = 27.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$ et $V_0 =
27.2\times8.178 = 222\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) $V'_0 = -(A + B) =
-3.4\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$ : une courbe qui décroît doucement. (c) Les deux valeurs sont inférieures à celles des géantes rouges (229 et $-1.7\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ par kiloparsec) ; les auteurs de cette courbe ont trouvé la même chose, avec un $V_0$ environ deux écarts types plus bas en tenant compte de $R_0$ et de ces [constantes d’Oort](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve). Les formules d’Oort supposent des orbites circulaires dans un disque axisymétrique ; des valeurs non nulles de $C$ et $K$ montrent que le champ de vitesses local est perturbé par la barre et les bras spiraux, et les $A$ et $B$ locaux portent ces perturbations.

**Exercice 29.6 ★★.**

[Courbe de rotation](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve) plate et densité locale. (a) Pour une galaxie sphérique dont la [courbe de rotation](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve) est plate à $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, calculer la densité à $8.178\,\mathrm{kpc}$, en masses solaires par parsec cube ($G = 4.301 \times 10^{-6}\,\mathrm{kpc}\,(\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1})^{2}$ par masse solaire). (b) Montrer que une masse solaire par parsec cube vaut $37.96\,\mathrm{GeV}\,\mathrm{cm}^{-3}$, et exprimer la densité locale de matière noire, $0.30\,\mathrm{GeV}\,\mathrm{cm}^{-3}$, en masses solaires par parsec cube. (c) Pourquoi la densité de (a) est-elle plus élevée ?

**Solution de Exercice 29.6.**

(a) $\rho = V^2/(4\pi GR^2) = 229^2/(4\pi\times4.301 \times 10^{-6}\times
8.178^2) = 1.45 \times 10^{7}$ masses solaires par kiloparsec cube, soit $0.0145$ par parsec cube. (b) $M_\odot c^2 = 1.9884 \times 10^{30}\times
(2.998 \times 10^{8})^2 = 1.787 \times 10^{47}\,\mathrm{J} = 1.115 \times 10^{57}\,\mathrm{GeV}$, et $1\,\mathrm{pc}^{3} = (3.0857 \times 10^{18}\,\mathrm{cm})^3 = 2.938 \times 10^{55}\,\mathrm{cm}^{3}$ : le rapport vaut $37.96\,\mathrm{GeV}\,\mathrm{cm}^{-3}$. Donc $0.30/37.96 = 0.0079$ masse solaire par parsec cube. (c) La densité déduite de la courbe plate compte toute la masse qui retient les orbites, étoiles et gaz compris, comme si elle était répartie en sphère ; la matière noire n’en est qu’une partie, environ la moitié ici.

**Exercice 29.7 ★★.**

Distance d’une [céphéide](#def-b3-milky-way-galaxies-cepheid). Dans une [galaxie spirale](#def-b3-milky-way-galaxies-types) fictive, une [céphéide](#def-b3-milky-way-galaxies-cepheid) de période $30\,\mathrm{d}$ possède un indice de Wesenheit moyen $W_I = 25.00\,\mathrm{mag}$. (a) En utilisant la [loi de Leavitt](#def-b3-milky-way-galaxies-cepheid) du Grand Nuage de Magellan, $W_I = -3.314\log_{10}P + 15.888$, et le module de distance du Nuage 18.477, calculer la magnitude absolue de Wesenheit de la [céphéide](#def-b3-milky-way-galaxies-cepheid). (b) Calculer la distance de la galaxie. (c) La dispersion de la loi est de $0.077\,\mathrm{mag}$ : quelle est l’erreur relative sur la distance due à une seule [céphéide](#def-b3-milky-way-galaxies-cepheid), et à cinquante ?

**Solution de Exercice 29.7.**

(a) $W_I(\mathrm{LMC}) = -3.314\times1.4771 + 15.888 = 10.993\,\mathrm{mag}$, donc $M_W = 10.993 - 18.477 = -7.484\,\mathrm{mag}$. (b) $\mu = 25.00 + 7.484 =
32.484$ et $d = 10^{32.484/5 + 1}~\mathrm{pc} = 31.4\,\mathrm{Mpc}$. (c) $\delta d/d = (\ln 10/5)\,\delta\mu = 0.4605\times0.077 =
3.5\,\%$ pour une étoile, $3.5/\sqrt{50} = 0.5\,\%$ pour cinquante, si leurs erreurs sont indépendantes (l’erreur propre à la distance du Nuage s’ajoute à toutes de la même façon).

**Exercice 29.8 ★★.**

Distance TRGB. Dans le halo d’une galaxie fictive, le [sommet de la branche des géantes rouges](#def-b3-milky-way-galaxies-trgb) est trouvé à $I = 26.00\,\mathrm{mag}$ ; la poussière le long de la ligne de visée atténue la bande I de $0.05\,\mathrm{mag}$. Avec $M_I = -4.05$, calculer le module de distance et la distance. Que signifie une incertitude de $0.04\,\mathrm{mag}$ sur le sommet en termes de distance ?

**Solution de Exercice 29.8.**

$\mu = I - A_I - M_I = 26.00 - 0.05 + 4.05 = 30.00$, donc $d =
10^{7}~\mathrm{pc} = 10.0\,\mathrm{Mpc}$. Une erreur de $0.04\,\mathrm{mag}$ correspond à $0.4605\times0.04 = 1.8\,\%$ sur la distance.

**Exercice 29.9 ★★.**

La constante de Hubble à partir des supernovae. Pour une supernova de l’expansion régulière, $\log_{10}(cz) - 0.2\,m_B = a_B$, l’ordonnée à l’origine du diagramme de Hubble des supernovae, et le module de distance est $m_B - M_B = 5\log_{10}(d/\mathrm{Mpc}) + 25$. (a) Montrer que $\log_{10}H_0 = 0.2\,M_B + a_B + 5$ ($H_0$ en kilomètres par seconde et par mégaparsec). (b) Avec $M_B = -19.253$ et $a_B = 0.714158$, calculer $H_0$. (c) Quelle valeur de $M_B$ donnerait $H_0 = 67.4\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Mpc}^{-1}$ ? De combien de magnitudes, et de quelle fraction des distances, les deux calibrations diffèrent ?

**Solution de Exercice 29.9.**

(a) $d = cz/H_0$ donne $5\log_{10}d = 5\log_{10}(cz) - 5\log_{10}H_0$, donc $m_B - M_B - 25 = 5\log_{10}(cz) - 5\log_{10}H_0$ ; avec $\log_{10}(cz) = a_B + 0.2\,m_B$, $5\log_{10}H_0 = 5a_B + M_B + 25$, ce qui est le résultat. (b) $\log_{10}H_0 = -3.8506 + 0.714158 + 5 = 1.8636$, donc $H_0 = 73.04\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Mpc}^{-1}$. (c) $M_B = 5(\log_{10}67.4 -
5.714158) = -19.427\,\mathrm{mag}$ : les supernovae sont plus brillantes de $0.174\,\mathrm{mag}$, d’où toutes les distances plus grandes d’un facteur $10^{0.2\times0.174} = 1.084$, soit le rapport $73.04/67.4$. La tension est un désaccord de huit pour cent sur l’[échelle des distances](#def-b3-milky-way-galaxies-ladder).

**Exercice 29.10 ★★★.**

D’où vient la [relation de Tully–Fisher](#def-b3-milky-way-galaxies-tully-fisher). (a) Une galaxie à disque de masse $M$ de rayon $R$ tourne à $V$ : montrer que $M \approx RV^2/G$. (b) Si toutes les [galaxies spirales](#def-b3-milky-way-galaxies-types) avaient la même densité surfacique moyenne $\Sigma = M/(\pi R^2)$, montrer que $M \propto V^4$. (c) Deux galaxies fictives sur la même relation baryonique tournent à 100 et $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ : quel est le rapport des leurs masses ? (d) Deux galaxies tournent à la même vitesse et ont la même luminosité ; l’une reçoit quatre fois le flux de l’autre. Comparer leurs distances.

**Solution de Exercice 29.10.**

(a) Une étoile au bord, sur une orbite circulaire, vérifie $V^2/R \approx GM/R^2$ (approximation sphérique). (b) $R = \sqrt{M/(\pi\Sigma)}$, donc $V^2 =
GM/R = G\sqrt{\pi\Sigma}\,M^{1/2}$ et $M = V^4/(\pi\Sigma G^2) \propto
V^4$ ; avec un rapport masse-luminosité commun, $L \propto V^4$ aussi. (c) $(100/229)^4 = 0.036$ : la galaxie la plus rapide est 27 fois plus massive. (d) À luminosité égale, le flux décroît en $1/d^2$, donc la galaxie la moins brillante est deux fois plus éloignée.

**Exercice 29.11 ★★★.**

Le problème de l’enroulement. Un disque tourne avec une courbe plate à $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. (a) Convertir cette vitesse en kiloparsecs par milliard d’années. (b) Un bras rectiligne d’étoiles s’étend à l’instant zéro de 4 à $12\,\mathrm{kpc}$. Calculer les périodes orbitales aux deux extrémités. (c) Après $1\,\mathrm{Ga}$, de quel angle son extrémité intérieure a-t-elle pris de l’avance sur son extrémité extérieure ? Combien de tours de spirale cela représente-t-il, et à quoi ressemblerait le bras ? (d) Comment une onde de densité évite-t-elle ce problème ?

**Solution de Exercice 29.11.**

(a) $1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1} = 1.0227\,\mathrm{kpc}\,\mathrm{Ga}^{-1}$, donc $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ vaut $234.2\,\mathrm{kpc}\,\mathrm{Ga}^{-1}$. (b) $2\pi R/V$ : $107\,\mathrm{Ma}$ à $4\,\mathrm{kpc}$, $322\,\mathrm{Ma}$ à $12\,\mathrm{kpc}$. (c) $\Delta\phi = Vt\,(1/4 - 1/12) = 234.2\times0.1667 = 39.0\,\mathrm{rad}$, soit 6.2 tours : le bras serait une spirale de six tours serrés entre 4 et $12\,\mathrm{kpc}$, bien plus serrée que les bras observés, et de plus en plus serrée à chaque rotation supplémentaire. (d) Dans une onde de densité, le motif tourne à une vitesse angulaire unique, comme un corps solide ; les étoiles et le gaz la traversent, si bien que la forme des bras ne s’enroule pas.

**Exercice 29.12 ★★★.**

Le trou noir au centre. Prendre pour masse centrale $4.2 \times 10^{6}$ masses solaires et $R_0 = 8178\,\mathrm{pc}$. (a) L’étoile S2 tourne autour de lui en $16$ ans : calculer le demi-grand axe de son orbite en unités astronomiques (troisième loi de Kepler en unités solaires, $a^3 = MP^2$ avec $a$ en au, $P$ en années et $M$ en masses solaires) ainsi que sa taille angulaire vue depuis la Terre. (b) Calculer le rayon de Schwarzschild du trou noir en mètres et en unités astronomiques, ainsi que l’angle sous lequel son diamètre est vu depuis la Terre, en microsecondes d’arc. (c) Calculer la densité moyenne de la masse contenue dans son rayon de Schwarzschild, en masses solaires par parsec cube, et la comparer à la borne inférieure fixée par le mouvement de Sgr A*, $4 \times 10^{23}$ masses solaires par parsec cube.

**Solution de Exercice 29.12.**

(a) $a = (4.2\times10^6\times16^2)^{1/3} = 1024\,\mathrm{au}$ ; à $8178\,\mathrm{pc}$, cela sous-tend $1024/8178 = 0.125{}^{\prime\prime}$ (une au à un parsec sous-tend une seconde d’arc). (b) $R_S = 2GM/c^2 = 2\times6.674 \times 10^{-11}
\times8.35 \times 10^{36}/(2.998 \times 10^{8})^2 = 1.24 \times 10^{10}\,\mathrm{m} = 0.083\,\mathrm{au}$ ; le diamètre $2R_S$ sous-tend $0.166/8178 = 2.0 \times 10^{-5}$ seconde d’arc, environ $20\,\text{µ}\mathrm{as}$. (c) $R_S = 4.02 \times 10^{-7}\,\mathrm{pc}$, et $M/(\tfrac43\pi
R_S^3) = 1.5 \times 10^{25}$ masses solaires par parsec cube, quarante fois la borne inférieure fixée par le mouvement et la taille de Sgr A* : la borne se situe à un facteur quarante près de la densité du trou noir lui-même.

## 29.6 Problème : peser la Galaxie

**Problème 29.1.**

Problème du week-end — à partir des mouvements des étoiles et du gaz jusqu’à la matière noire à l’intérieur de $20\,\mathrm{kpc}$

Prendre $R_0 = 8.18\,\mathrm{kpc}$, $G = 4.301 \times 10^{-6}\,\mathrm{kpc}\,(\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1})^{2}$ par masse solaire, et $4.74\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ pour un mouvement propre de $1\,\mathrm{mas}$ par an à $1\,\mathrm{kpc}$. Toutes les vitesses sont relatives au [référentiel local au repos](#def-b3-milky-way-galaxies-lsr). Utiliser les théorèmes d’Oort et du point tangent du chapitre, et l’approximation sphérique $M = RV^2/G$ pour les masses dynamiques.

**Partie I — La rotation locale.** Un relevé fictif d’étoiles de la bosse des géantes rouges, toutes à $d = 1.00\,\mathrm{kpc}$ dans le plan galactique, donne une vitesse radiale moyenne de $+15.4\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ à $\ell = 45{}^{\circ}$ et $-15.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ à $\ell = 135{}^{\circ}$, et des mouvements propres moyens en longitude de $-5.91\,\mathrm{mas}$ par an à $\ell = 90{}^{\circ}$ et $+0.55\,\mathrm{mas}$ par an à $\ell = 0{}^{\circ}$.

1. Que prédit la formule d’Oort pour les vitesses radiales à $\ell = 45{}^{\circ}$ , $90{}^{\circ}$ , $135{}^{\circ}$ et $180{}^{\circ}$ ?
2. Calculer $A$ à partir des deux vitesses radiales.
3. Calculer $B$ à partir du mouvement propre à $\ell = 90{}^{\circ}$ .
4. Calculer à nouveau $B$ à partir du mouvement propre à $\ell = 0{}^{\circ}$ , et comparer.
5. Calculer la vitesse angulaire du [référentiel local au repos](#def-b3-milky-way-galaxies-lsr) et la vitesse circulaire $V_0$ .
6. Calculer la pente de la [courbe de rotation](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve) au Soleil. La courbe est-elle croissante, plate ou décroissante ?
7. Calculer la période de l’orbite du Soleil et le nombre de tours en $4.54\,\mathrm{Ga}$ .

**Partie II — La courbe de rotation interne.** Prendre $V_0 = 229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Les vitesses radiales maximales des profils à 21 cm à $\ell = 40{}^{\circ}$, $50{}^{\circ}$, $60{}^{\circ}$ et $70{}^{\circ}$ sont 82.9, 55.6, 32.4 et $14.9\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

8. Pourquoi la méthode du point tangent exige-t-elle $0{}^{\circ} < \ell < 90{}^{\circ}$ (ou le quadrant symétrique), et pourquoi échoue-t-elle au-delà du cercle solaire ?
9. Calculer le rayon du point tangent pour chaque longitude.
10. Calculer $V(R)$ en chaque point tangent.
11. De combien, en kilohertz, la raie du gaz au point tangent à $\ell = 40{}^{\circ}$ est-elle décalée par rapport à sa fréquence de repos, $1420.405\,751\,\mathrm{MHz}$ , et dans quel sens ?
12. Comparer avec la courbe des géantes rouges, qui donne $226.8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ à $5.27\,\mathrm{kpc}$ et $229.6\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ à $7.22\,\mathrm{kpc}$ . La courbe interne est-elle croissante, plate ou décroissante ?
13. Si la vitesse au point tangent à $\ell = 40{}^{\circ}$ était celle d’une masse ponctuelle au centre portant le Soleil à $V_0$ , quelle serait-elle ? Que dit la comparaison de la répartition de la masse ?

**Partie III — La masse visible.** Utiliser le modèle de masse du chapitre, en masses solaires et en kiloparsecs : un bulbe de Plummer $M = 1.067 \times 10^{10}$, $b = 0.3$ ; un disque mince de Miyamoto–Nagai $M = 3.944 \times 10^{10}$, $a = 5.3$, $b = 0.25$ ; un [disque épais](#def-b3-milky-way-galaxies-structure) de même masse avec $a = 2.6$, $b = 0.8$.

14. Calculer la masse visible totale du modèle et la comparer à la valeur de référence de la masse stellaire de la Galaxie, $(5 \pm 1 \times 10^{10})\,$ masses solaires.
15. Calculer la vitesse circulaire du seul bulbe à $20\,\mathrm{kpc}$ .
16. Calculer celles du disque mince et du [disque épais](#def-b3-milky-way-galaxies-structure) à $20\,\mathrm{kpc}$ .
17. Calculer la vitesse circulaire de toute la masse visible à $20\,\mathrm{kpc}$ .
18. Calculer la même chose à $R_0$ , et comparer avec $V_0$ .
19. Si toute la masse visible était concentrée au centre, quelle serait la vitesse à $20\,\mathrm{kpc}$ ? Pourquoi la valeur du modèle en est-elle proche ?

**Partie IV — La matière noire.** Les géantes rouges donnent une vitesse circulaire de $200\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ à $20\,\mathrm{kpc}$.

20. Calculer la masse dynamique à l’intérieur de $20\,\mathrm{kpc}$ .
21. Calculer la masse dynamique de la matière visible à l’intérieur de $20\,\mathrm{kpc}$ .
22. Calculer la masse de matière noire à l’intérieur de $20\,\mathrm{kpc}$ , et montrer que sa fraction vaut $1 - (V_\mathrm{vis}/V)^2$ .
23. Le halo de NFW ajusté sur toute la courbe a $\rho_0 = 1.06 \times 10^{7}$ masses solaires par kiloparsec cube et $R_s = 14.8\,\mathrm{kpc}$ . Calculer sa masse à l’intérieur de $20\,\mathrm{kpc}$ et la fraction sombre qu’elle implique. Pourquoi diffère-t-elle de la réponse précédente ?
24. Calculer la densité de ce halo en $R_0$ , en masses solaires par parsec cube et en $\mathrm{GeV}\,\mathrm{cm}^{-3}$ (une masse solaire par parsec cube vaut $37.96\,\mathrm{GeV}\,\mathrm{cm}^{-3}$ ).
25. Donner la fraction de matière noire dans la masse à l’intérieur de $20\,\mathrm{kpc}$ déduite de la vitesse mesurée, en pour cent, à deux chiffres significatifs.

**Solution de Problème 29.1.**

**Partie I.**

**1.** $v_r = A\,d\sin2\ell$ : $+A d$ à $45{}^{\circ}$, 0 à $90{}^{\circ}$, $-A d$ à $135{}^{\circ}$, 0 à $180{}^{\circ}$.

**2.** $A = (15.4 + 15.2)/(2\times1.00\,\mathrm{kpc}) =
15.3\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$.

**3.** À $90{}^{\circ}$, $v_t = d(B - A) = 4.74\times(-5.91)\times1.00 =
-28.02\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, donc $B = 15.3 - 28.02 =
-12.72\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$.

**4.** À $0{}^{\circ}$, $v_t = d(A + B) = 4.74\times0.55 =
2.61\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, donc $B = 2.61 - 15.3 = -12.69$ : les deux concordent à $0.03$ près.

**5.** $\omega_0 = A - B = 28.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$ et $V_0 = 28.0\times8.18 = 229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**6.** $V'_0 = -(A + B) = -2.6\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$ : la vitesse décroît doucement.

**7.** $P = 2\pi/\omega_0$ : $2\pi\times8.18\,\mathrm{kpc}/229.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}
= 219\,\mathrm{Ma}$ ; $4540/219 = 20.7$ tours.

**Partie II.**

**8.** Le point tangent exige une ligne de visée qui passe plus près du centre que ne l’est le Soleil, $\sin\ell > 0$ avec $\ell < 90{}^{\circ}$ (ou le quadrant symétrique, $270{}^{\circ} < \ell < 360{}^{\circ}$, où la plus grande vitesse est la plus négative). Au-delà du cercle solaire, la distance au centre croît tout le long de la ligne de visée : aucun point ne se distingue, et la vitesse seule ne dit pas où se trouve le gaz.

**9.** $R = 8.18\sin\ell$ : $5.26\,\mathrm{kpc}\text{, }6.27\,\mathrm{kpc}\text{, }7.08\,\mathrm{kpc}\text{ et }7.69\,\mathrm{kpc}$.

**10.** $V = v_\mathrm{max} + V_0\sin\ell$ : $82.9 + 147.2 = 230.1$, $55.6 + 175.4 = 231.0$, $32.4 + 198.3 = 230.7$, $14.9 + 215.2 =
230.1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**11.** $\Delta\nu = \nu v/c = 1.420\,406 \times 10^{9}\times82.9/299792 =
393\,\mathrm{kHz}$, vers les basses fréquences : le gaz s’éloigne.

**12.** À environ $3\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ près des géantes rouges : entre 5 et $8\,\mathrm{kpc}$, la courbe est plate.

**13.** Une masse ponctuelle donne $V = V_0\sqrt{R_0/R} = 229\times\sqrt{8.18/5.26} =
286\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ au premier point tangent, bien plus vite que la $230\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ obtenue : la masse n’est pas concentrée au centre, une grande partie se situe entre 5 et $8\,\mathrm{kpc}$ et au-delà.

**Partie III.**

**14.** $1.067 \times 10^{10} + 2\times3.944 \times 10^{10} = 8.96 \times 10^{10}$ masses solaires, presque le double de celle de la revue $5 \pm 1 \times 10^{10}$ ; les étoiles du modèle sont peut-être trop lourdes, ce qui ferait de la matière noire trouvée plus bas une sous-estimation.

**15.** $V_b^2 = GMR^2/(R^2 + b^2)^{3/2} = 4.301 \times 10^{-6}\times1.067 \times 10^{10}
\times400/(400.09)^{3/2}$, $V_b = 47.9\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**16.** Disque mince : $(a + b)^2 = 30.80$, $V^2 = 4.301 \times 10^{-6}\times3.944 \times 10^{10}
\times400/(430.8)^{3/2}$, $V = 87.1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. [Disque épais](#def-b3-milky-way-galaxies-structure) : $(a + b)^2 = 11.56$, $V = 90.1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**17.** $V_\mathrm{vis} = \sqrt{47.9^2 + 87.1^2 + 90.1^2} =
134.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**18.** À $8.18\,\mathrm{kpc}$ : 74.8, 108.4 et $127.8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, ensemble $183.5\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, contre $V_0 = 229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ : la masse visible est déjà insuffisante au niveau du Soleil.

**19.** $\sqrt{G\times8.96 \times 10^{10}/20} = 138.8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. La valeur du modèle, $134.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, est proche, car à $20\,\mathrm{kpc}$, quatre à six longueurs d’échelle du disque, presque toute la masse visible se trouve à l’intérieur de l’orbite : la courbe visible est devenue képlérienne.

**Partie IV.**

**20.** $M = 20\times200^2/4.301 \times 10^{-6} = 1.860 \times 10^{11}$ masses solaires.

**21.** $M_\mathrm{vis} = 20\times134.2^2/4.301 \times 10^{-6} = 8.37 \times 10^{10}$ masses solaires.

**22.** $M_\mathrm{dark} = 1.860 \times 10^{11} - 8.37 \times 10^{10} = 1.02 \times 10^{11}$ ; puisque les deux masses valent $RV^2/G$ au même $R$, la fraction vaut $1 - (V_\mathrm{vis}/V)^2 = 1 - (134.2/200)^2 = 0.550$.

**23.** $x = 20/14.8 = 1.351$, $\ln(2.351) - 1.351/2.351 = 0.8549 - 0.5748
= 0.2801$, $M = 4\pi\times1.06 \times 10^{7}\times14.8^3\times0.2801 =
1.21 \times 10^{11}$ masses solaires ; la fraction de matière noire vaut $1.21/(1.21 + 0.837) = 0.59$. Le halo est ajusté à l’ensemble de la courbe, qu’il dépasse à $20\,\mathrm{kpc}$ : les mesures y chutent d’environ $10\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ sous le modèle lissé ($209\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$).

**24.** $x = 8.18/14.8 = 0.553$, $\rho = 1.06 \times 10^{7}/(0.553\times1.553^2)
= 7.95 \times 10^{6}$ masses solaires par kiloparsec cube, $0.0080$ par parsec cube, soit $0.30\,\mathrm{GeV}\,\mathrm{cm}^{-3}$, la valeur que donnent les auteurs de l’ajustement.

**25.** $1 - 8.37/18.60 = 0.550$ : la fraction de matière noire de la masse contenue dans $20\,\mathrm{kpc}$ est **$55\,\%$**.