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title: "D’où viennent les éléments"
book: "Sciences de la Terre et de l’Univers à l’université — 3e année"
subject: earth
language: fr
chapter: 30
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/5/fr/chapter/30-dou-viennent-les-elements
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Chapitre 30 — D’où viennent les éléments

Le calcium d’une falaise calcaire a été produit, pour l’essentiel, dans des étoiles massives qui ont explosé avant la naissance du Soleil. Le fer du noyau terrestre provient surtout d’une autre sorte d’explosion, celle d’une naine blanche. Le platine d’une bague appartient à un pic d’abondance construit par des salves de [captures de neutrons](#def-b3-origin-of-elements-s-process) durant quelques secondes, lors de fusions de deux étoiles à neutrons ou dans un type rare de supernova ; lequel des deux en a produit la plus grande part reste encore débattu. Chacun de ces événements a laissé sa marque dans la composition du Soleil, qui est aussi, à part les quelques éléments que les planètes n’ont pas pu retenir, la composition du Système solaire. Ce chapitre déchiffre cette archive : il présente les [abondances solaires](#def-b3-origin-of-elements-abundance), rappelle comment ont été formés les éléments légers, suit les [captures de neutrons](#def-b3-origin-of-elements-s-process) qui ont bâti les éléments lourds, repère les sites où chaque processus opère, et modélise comment la composition d’une galaxie évolue au fil de la vie et de la mort de ses étoiles. Il s’achève là où la géologie des volumes précédents commence : pourquoi la Terre, faite de la même matière que le Soleil, est si riche en fer et si pauvre en éléments volatils.

**Tu sais déjà.**

La nucléosynthèse primordiale, la fusion de l’hydrogène et de l’hélium dans les étoiles, l’énergie de liaison par nucléon et son maximum près du fer, la vallée de stabilité, la désintégration bêta et les demi-vies, la section efficace d’une réaction, les étoiles de la séquence principale, les géantes rouges, les naines blanches, les étoiles à neutrons et les supernovae sont traitées dans les volumes de physique. Les classes de météorites, les chondrites CI, la température de condensation, les éléments réfractaires et volatils, les classes de Goldschmidt et la Terre silicatée globale sont dans le volume de deuxième année, dans ses chapitres sur la formation des planètes et sur les éléments dans la Terre. La structure de la Galaxie, ses disques mince et épais, son halo et ses [populations stellaires](https://one-course.com/books/earth/5/fr/chapter/29-la-voie-lactee-et-les-galaxies#def-b3-milky-way-galaxies-populations) sont dans le chapitre précédent.

## 30.1 Les abondances solaires

Le Soleil concentre plus de $99.85\,\%$ de la masse du Système solaire, et ses couches externes ont conservé, à part quelques éléments légers et une lente sédimentation des éléments lourds, la composition du gaz dont le Soleil et les planètes se sont formés. Sa composition se lit de deux manières : à partir des raies d’absorption de sa photosphère, et à partir des chondrites CI, les météorites dont la composition, à l’exception des éléments les plus volatils, est la plus proche de celle du Soleil parmi toutes les matières connues.

**Définition 30.1 (Abondance solaire ; dex).**

L’*abondance solaire* d’un élément $X$ est le nombre de ses atomes rapporté à celui de l’hydrogène dans le Soleil, exprimé sur une échelle logarithmique où l’hydrogène vaut $12$ :

$$
\log\varepsilon(X) = 12 + \log_{10}\frac{N_X}{N_\mathrm{H}} .
$$

Une différence d’une unité dans un tel logarithme s’appelle un *dex* : deux abondances qui diffèrent de $0.3$ dex diffèrent d’un facteur de $10^{0.3} \approx 2$. Pour une étoile, l’abondance rapportée au Soleil s’écrit avec des crochets, $[X/\mathrm{H}] = \log_{10}(N_X/N_\mathrm{H})_\star -
\log_{10}(N_X/N_\mathrm{H})_\odot$, et de même $[X/Y]$ pour deux éléments quelconques.

La figure ci-dessous présente les [abondances solaires](#def-b3-origin-of-elements-abundance) de la compilation récente qui a réévalué les 83 éléments à vie longue. Le fer, à $\log\varepsilon = 7.46$, compte un atome pour chaque $34\,700$ atomes d’hydrogène ; l’hélium en compte $0.0820$ par atome d’hydrogène. Plusieurs traits se détachent, et la suite du chapitre les explique.

![Les abondances des éléments dans le Soleil, sur une échelle logarithmique où l’hydrogène vaut 12 : valeurs photosphériques, ou celles des chondrites CI pour les éléments qui n’ont aucune raie photosphérique mesurable (Asplund, Amarsi et Grevesse, 2021). Les numéros atomiques pairs et impairs sont tracés en deux courbes. Le technétium (Z = 43) et le prométhium (Z = 61) n’ont pas d’isotope à vie longue, pas plus que les éléments compris entre le bismuth et le thorium.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-origin-of-elements/fig-0feb5bf008d7.svg)

*Les abondances des éléments dans le Soleil, sur une échelle logarithmique où l’hydrogène vaut 12 : valeurs photosphériques, ou celles des chondrites CI pour les éléments qui n’ont aucune raie photosphérique mesurable (Asplund, Amarsi et Grevesse, 2021). Les numéros atomiques pairs et impairs sont tracés en deux courbes. Le technétium ($Z = 43$) et le prométhium ($Z = 61$) n’ont pas d’isotope à vie longue, pas plus que les éléments compris entre le bismuth et le thorium.*

1. L’hydrogène et l’hélium forment presque tous les atomes, mille fois plus que tous les autres réunis ; tous deux ont été produits lors du Big Bang, et une partie de l’hélium depuis lors dans les étoiles.
2. Le lithium, le béryllium et le bore, juste après l’hélium, se situent très loin en dessous du carbone : le béryllium est douze millions de fois moins abondant.
3. Les abondances chutent fortement de l’oxygène vers les éléments lourds, avec des pics autour de l’oxygène, du fer, du baryum et du plomb, et de plus petits pics que la figure désigne.
4. Les éléments de numéro atomique pair sont plus abondants que leurs voisins impairs : le scandium, situé entre le calcium et le titane, est environ $1400$ fois plus rare que le calcium et $68$ fois plus rare que le titane. Ceci est l’ *effet pair–impair* .
5. Au-delà du pic du fer, la courbe s’aplatit : du fer à l’or, l’abondance diminue d’un facteur $3.5 \times 10^{6}$ , mais de l’or au plomb elle remonte, d’un facteur onze.

En masse, la photosphère actuelle compte $X = 0.7438$ d’hydrogène, $Y = 0.2423$ d’hélium et $Z = 0.0139$ pour tout le reste. Après correction des éléments lourds qui sont descendus sous la photosphère depuis que le Soleil s’est formé, les valeurs proto-solaires, celles du gaz dont le Soleil est né, sont $X = 0.7121$, $Y = 0.2725$ et $Z = 0.0154$.

**Définition 30.2 (Métallicité).**

La *métallicité* d’une étoile ou d’un gaz est sa teneur en éléments plus lourds que l’hélium, appelés métaux en astronomie, quelle que soit leur chimie : en fraction massique $Z$, ou, comme on la mesure le plus souvent, comme l’abondance du fer par rapport au Soleil, $[\mathrm{Fe/H}]$. Une étoile avec $[\mathrm{Fe/H}] = -1$ possède un dixième du fer du Soleil par atome d’hydrogène.

Les deux sources des [abondances solaires](#def-b3-origin-of-elements-abundance) s’accordent remarquablement bien. La figure ci-dessous les compare élément par élément. Pour 58 éléments, ceux qui ne sont ni trop volatils pour les météorites ni détruits dans le Soleil, l’écart moyen pondéré entre l’abondance photosphérique et celle des chondrites CI est $0.000 \pm 0.007$ [dex](#def-b3-origin-of-elements-abundance). Deux groupes s’écartent de la droite. Les météorites contiennent bien moins d’hydrogène, d’hélium, de carbone, d’azote, d’oxygène et de gaz nobles que le Soleil : ces éléments sont restés dans le gaz lorsque les solides se sont condensés. Le Soleil contient $200$ fois moins de lithium que les météorites : il a détruit $99.5\,\%$ de son lithium par combustion nucléaire.

![Le Soleil face aux chondrites CI : chaque point est un élément, avec ses deux valeurs (Asplund, Amarsi et Grevesse, 2021 ; l’échelle météoritique est fixée de manière que le silicium coïncide). La droite en tirets est l’égalité. Points noirs : les 58 éléments qui concordent. Carrés : l’hydrogène, l’hélium, le carbone, l’azote, l’oxygène et les gaz nobles, que les météorites n’ont pas conservés. Triangle : le lithium, détruit dans le Soleil.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-origin-of-elements/fig-3998ccbb479c.svg)

*Le Soleil face aux chondrites CI : chaque point est un élément, avec ses deux valeurs (Asplund, Amarsi et Grevesse, 2021 ; l’échelle météoritique est fixée de manière que le silicium coïncide). La droite en tirets est l’égalité. Points noirs : les 58 éléments qui concordent. Carrés : l’hydrogène, l’hélium, le carbone, l’azote, l’oxygène et les gaz nobles, que les météorites n’ont pas conservés. Triangle : le lithium, détruit dans le Soleil.*

L’accord est un fait d’un grand poids pour la géologie. Il signifie que les météorites, qu’on peut analyser en laboratoire, donnent la composition du Système solaire pour tous les éléments sauf les plus volatils ; et que le Soleil, dont la photosphère fournit l’hydrogène, le carbone, l’azote et l’oxygène, complète le reste. Le volume de deuxième année a bâti la composition de la Terre globale sur ce fondement.

## 30.2 Les éléments légers et les étoiles

Les volumes de physique décrivent la nucléosynthèse primordiale : dans les trois premières minutes, à mesure que l’Univers se refroidit, les protons et les neutrons se combinent en deutérium, en hélium 3, en hélium 4 et en une trace de lithium 7, et rien de plus lourd. Les abondances primordiales observées sont une fraction massique d’hélium $Y_\mathrm{p} = 0.245 \pm 0.003$, un rapport deutérium sur hydrogène de $2.5 \times 10^{-5}$ et un rapport lithium sur hydrogène de $1.45 \times 10^{-10}$, ce dernier mesuré dans de vieilles étoiles pauvres en métaux du halo galactique. Tous les autres éléments, ainsi que l’excès d’hélium du Soleil, $0.2725 - 0.245 \approx 0.028$, ont été produits dans les étoiles.

Les étoiles des volumes de physique brûlent l’hydrogène en hélium sur la séquence principale, puis l’hélium en carbone et en oxygène en géantes rouges ; les plus massives poursuivent, dans des coquilles autour de leur cœur, vers le néon, le magnésium, le silicium et enfin le fer. La fusion s’arrête là, car l’énergie de liaison par nucléon est maximale au voisinage du fer : construire des noyaux plus lourds par fusion absorbe de l’énergie au lieu d’en libérer. Au-delà du pic du fer, les éléments se forment par une autre voie, la [capture de neutrons](#def-b3-origin-of-elements-s-process), objet de la section suivante. Le lithium, le béryllium et le bore sont fragiles : ils sont détruits aux températures des intérieurs stellaires, ce qui explique que le Soleil ait brûlé presque tout son lithium, et que ces trois éléments forment un creux dans la courbe des abondances.

**Définition 30.3 (Élément alpha).**

Un *élément alpha* est l’un des éléments de numéro atomique $Z$ pair oxygène, néon, magnésium, silicium, soufre et calcium, dont les isotopes les plus abondants ($^{16}\mathrm{O}$, $^{20}\mathrm{Ne}$, $^{24}\mathrm{Mg}$, $^{28}\mathrm{Si}$, $^{32}\mathrm{S}$, $^{40}\mathrm{Ca}$) ont des nombres de masse multiples de quatre, et qui sont produits surtout dans les étoiles massives et rendus au gaz par leur explosion en supernovae à effondrement de cœur.

Les pics de l’oxygène et des [éléments alpha](#def-b3-origin-of-elements-alpha), ainsi que l’effet pair-impair, sont les marques de ces stades de combustion : les noyaux d’hélium s’incorporent plus facilement aux noyaux pairs qu’aux impairs, et les noyaux à nombre pair de protons sont plus fortement liés. Ce qu’une étoile rend au gaz dépend de sa masse.

**Définition 30.4 (Rendement stellaire).**

Le *rendement stellaire* d’un élément issu d’une étoile de masse initiale donnée est la masse de cet élément que l’étoile a nouvellement produit et restitue au milieu interstellaire, dans ses vents et dans son explosion finale, rapportée à la masse de l’étoile.

Les étoiles de moins de $0.8\,\mathrm{M}_{\odot}$ vivent plus longtemps que l’âge de l’Univers et ne restituent rien. Les étoiles de $0.8$ à $8\,\mathrm{M}_{\odot}$ restituent de l’hélium, de l’azote, du carbone et les éléments lourds du [processus s](#def-b3-origin-of-elements-s-process) (baryum, yttrium, strontium) dans leurs vents, et finissent en naines blanches carbone–oxygène. Les étoiles de plus de $8$ à $10\,\mathrm{M}_{\odot}$ produisent surtout des [éléments alpha](#def-b3-origin-of-elements-alpha) et un peu de fer, et explosent en supernovae à effondrement de cœur. Une naine blanche dans un système binaire serré peut exploser en supernova de type Ia, et de telles explosions fournissent l’essentiel du fer.

![La nébuleuse du Crabe, une mosaïque de 24 expositions du télescope spatial Hubble : les restes en expansion d’une étoile dont l’explosion fut consignée par les astronomes japonais et chinois en 1054. Les filaments orangés sont les couches externes déchiquetées de l’étoile, principalement de l’hydrogène ; la lueur bleutée à l’intérieur provient d’électrons qui tournent en spirale autour des lignes du champ magnétique de l’étoile à neutrons au centre, qui tourne trente fois par seconde. Le gaz des filaments, qui porte ce que l’étoile a produit, se mélange au milieu interstellaire. NASA, ESA, J. Hester et A. Loll, domaine public.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-origin-of-elements/img-a0219b130618.jpg)

*La nébuleuse du Crabe, une mosaïque de 24 expositions du télescope spatial Hubble : les restes en expansion d’une étoile dont l’explosion fut consignée par les astronomes japonais et chinois en 1054. Les filaments orangés sont les couches externes déchiquetées de l’étoile, principalement de l’hydrogène ; la lueur bleutée à l’intérieur provient d’électrons qui tournent en spirale autour des lignes du champ magnétique de l’étoile à neutrons au centre, qui tourne trente fois par seconde. Le gaz des filaments, qui porte ce que l’étoile a produit, se mélange au milieu interstellaire. NASA, ESA, J. Hester et A. Loll, domaine public.*

## 30.3 Captures de neutrons

Un neutron n’a pas de charge électrique et n’est pas repoussé par un noyau : même un neutron lent y pénètre, et le noyau, plus lourd d’une unité de masse, évacue l’énergie de liaison sous forme de rayon gamma. Des captures répétées produisent des isotopes plus lourds du même élément jusqu’à ce que l’un d’eux soit instable ; il se désintègre alors, le plus souvent par décroissance bêta-moins, en l’élément suivant, qui capture à son tour. Les noyaux produits dépendent d’une comparaison : le temps entre deux captures face à la demi-vie des noyaux instables rencontrés en chemin.

**Définition 30.5 (Capture de neutrons ; processus s ; processus r).**

La *capture de neutrons* est l’absorption d’un neutron libre par un noyau, $(Z, A) + \mathrm{n} \to (Z, A+1) + \gamma$. Dans le *processus s* (lent), les captures sont plus lentes que la plupart des décroissances bêta : le temps entre deux captures sur un même noyau se compte en centaines à milliers d’années, de sorte qu’un noyau instable se désintègre presque toujours avant de pouvoir capturer, et la chaîne de captures et de décroissances suit la vallée de stabilité. Dans le *processus r* (rapide), la densité de neutrons est si élevée que les captures sont bien plus rapides que les décroissances : les noyaux sont poussés vers des isotopes très riches en neutrons, loin de la stabilité, en quelques secondes, puis se désintègrent pour revenir à la stabilité une fois les neutrons épuisés.

Les deux processus n’atteignent pas les mêmes noyaux, et la carte des nucléides le montre. La figure ci-dessous en dessine une bande, du cadmium au baryum. Le [processus s](#def-b3-origin-of-elements-s-process) la gravit le long de la vallée de stabilité : il avance le long d’une ligne d’un élément tant que les isotopes sont stables, puis d’un cran vers le haut par une décroissance bêta. Le [processus r](#def-b3-origin-of-elements-s-process) vient du côté riche en neutrons, en bas à droite : chaque noyau très riche en neutrons se désintègre par décroissances bêta-moins successives le long de son isobare, en conservant son nombre de masse, et s’arrête au premier noyau stable rencontré. Un noyau stable qui possède un isobare stable de $Z$ inférieur est *protégé* du [processus r](#def-b3-origin-of-elements-s-process) : $^{122}\mathrm{Te}$ se trouve derrière $^{122}\mathrm{Sn}$, $^{123}\mathrm{Te}$ derrière $^{123}\mathrm{Sb}$, $^{124}\mathrm{Te}$ derrière $^{124}\mathrm{Sn}$. Ces trois-là ne peuvent être produits que par le [processus s](#def-b3-origin-of-elements-s-process) : ce sont des noyaux *s-seuls*. Inversement, $^{128}\mathrm{Te}$ et $^{130}\mathrm{Te}$ se trouvent au-delà du chemin s, ce qui laisse le tellure en $^{127}\mathrm{Te}$, dont la demi-vie est de $9.35\,\mathrm{h}$ : ce sont des noyaux r-seuls.

![Une bande de la carte des nucléides, du cadmium au baryum, nombres de neutrons 62 à 84. Les carrés colorés sont les noyaux présents dans la nature, étiquetés par leur nombre de masse : bleu, s-seuls ; gris, produits par les deux processus ; rouge, r-seuls ; orange, noyaux p, atteints par aucun des deux. Les carrés ouverts sont les noyaux instables que traverse le processus s. Flèches bleues : le chemin s, captures vers la droite, décroissances bêta en diagonale vers le haut et la gauche (au niveau de 134 Cs et 135 Cs, le chemin se divise). Flèches rouges en pointillés : trois des chaînes de désintégration du processus r, aboutissant à 128 Te, 130 Te et 134 Xe. Les classes sont calculées à partir des isotopes trouvés dans la nature (Asplund, Amarsi et Grevesse, 2021) et des demi-vies et modes de désintégration de la carte des nucléides de l’AIEA.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-origin-of-elements/fig-20332487b9b7.svg)

*Une bande de la carte des nucléides, du cadmium au baryum, nombres de neutrons 62 à 84. Les carrés colorés sont les noyaux présents dans la nature, étiquetés par leur nombre de masse : bleu, s-seuls ; gris, produits par les deux processus ; rouge, r-seuls ; orange, [noyaux p](#def-b3-origin-of-elements-p-process), atteints par aucun des deux. Les carrés ouverts sont les noyaux instables que traverse le [processus s](#def-b3-origin-of-elements-s-process). Flèches bleues : le chemin s, captures vers la droite, décroissances bêta en diagonale vers le haut et la gauche (au niveau de $^{134}\mathrm{Cs}$ et $^{135}\mathrm{Cs}$, le chemin se divise). Flèches rouges en pointillés : trois des chaînes de désintégration du [processus r](#def-b3-origin-of-elements-s-process), aboutissant à $^{128}\mathrm{Te}$, $^{130}\mathrm{Te}$ et $^{134}\mathrm{Xe}$. Les classes sont calculées à partir des isotopes trouvés dans la nature (Asplund, Amarsi et Grevesse, 2021) et des demi-vies et modes de désintégration de la carte des nucléides de l’AIEA.*

Un troisième groupe, les carrés oranges, n’est atteint par aucun des deux processus : les isotopes riches en protons, comme $^{112}\mathrm{Sn}$, $^{120}\mathrm{Te}$ ou $^{124}\mathrm{Xe}$.

**Définition 30.6 (noyaux p).**

Les *noyaux p* sont les isotopes stables du côté riche en protons de la vallée de stabilité, au-delà du pic du fer, que ni le [processus s](#def-b3-origin-of-elements-s-process) ni le [processus r](#def-b3-origin-of-elements-s-process) ne peuvent produire : ils sont protégés du [processus r](#def-b3-origin-of-elements-s-process) par un isobare stable de $Z$ plus faible et se situent hors de la voie s. Ils sont attribués à un processus p distinct, vraisemblablement lors d’explosions de supernovae, et à quelques exceptions près, leurs abondances sont beaucoup plus faibles que celles des isotopes s et r voisins.

La règle qui lit le tableau, appliquée aux 287 nucléides du tableau protosolaire au-delà du zinc, trouve 30 nucléides produits uniquement par le [processus s](#def-b3-origin-of-elements-s-process), 29 nucléides produits uniquement par le [processus r](#def-b3-origin-of-elements-s-process) et 36 [noyaux p](#def-b3-origin-of-elements-p-process). L’un de ces [noyaux p](#def-b3-origin-of-elements-p-process), $^{176}\mathrm{Hf}$, est en fait atteint par le [processus s](#def-b3-origin-of-elements-s-process) grâce à un état excité de longue durée de vie de $^{176}\mathrm{Lu}$ que la règle simple ignore ; les 35 autres sont les [noyaux p](#def-b3-origin-of-elements-p-process) de la littérature.

Le [processus s](#def-b3-origin-of-elements-s-process) peut être suivi quantitativement, car ses nucléides sont proches de la stabilité et leurs sections efficaces de capture peuvent être mesurées. Dans un plasma stellaire à la température $T$, les neutrons sont thermalisés, et ce qui compte est la section efficace moyennée sur leur distribution de Maxwell–Boltzmann, $\langle\sigma\rangle$, donnée pour une énergie thermique $kT = 30\,\mathrm{keV}$.

**Proposition 30.7 (La relation σN\sigma NσN).**

Sur une portion de la voie s où tous les noyaux sont stables et où la densité de neutrons $n_\mathrm{n}$ et la température sont constantes, notons $N_A$ l’abondance du noyau de nombre de masse $A$ et $\langle\sigma\rangle_A$ sa section efficace moyennée. Si le flux de neutrons a atteint un état stationnaire, alors

$$
\langle\sigma\rangle_{A-1} N_{A-1} = \langle\sigma\rangle_A N_A ,
$$

de sorte que le produit $\sigma N$ est le même pour chaque noyau de la portion.

**Démonstration.** Un noyau de masse $A$ [capture des neutrons](#def-b3-origin-of-elements-s-process) au taux $\lambda_A = n_\mathrm{n}\langle\sigma\rangle_A v_T$ par noyau, où $v_T$ est la vitesse thermique moyenne des neutrons. Il est formé par les captures sur $A - 1$ et détruit par les captures sur lui-même, donc $\mathrm{d}N_A/\mathrm{d}t = n_\mathrm{n} v_T\,(\langle\sigma\rangle_{A-1}
N_{A-1} - \langle\sigma\rangle_A N_A)$. En régime stationnaire, la dérivée s’annule, ce qui donne la relation. Un noyau à grande section efficace est vite dépassé et reste rare ; un noyau à faible section efficace s’accumule. ∎

Les trois isotopes du tellure produits uniquement par le [processus s](#def-b3-origin-of-elements-s-process) permettent de la tester. Leurs abondances protosolaires sont $0.1067$, $0.0373$ et $0.1984$ atomes par million d’atomes de silicium, et leurs sections efficaces $295$, $832$ et $155\,\mathrm{mb}$ : les produits valent $31.5$, $31.0$ et $30.8\,\mathrm{mb}$, égaux à trois pour cent près, bien que les abondances diffèrent d’un facteur cinq. Au passage d’un nombre magique de neutrons, la relation se brise : les noyaux à $N = 50$, $82$ ou $126$ sont si fortement liés qu’ils capturent mal, avec $\langle\sigma\rangle = 4.0\,\mathrm{mb}$ pour $^{138}\mathrm{Ba}$ contre $61.2\,\mathrm{mb}$ pour $^{136}\mathrm{Ba}$, et ils jouent le rôle de goulots d’étranglement. La figure ci-dessous montre le produit pour tous les nucléides produits uniquement par le [processus s](#def-b3-origin-of-elements-s-process) : des paliers plats séparés par des marches près de $A = 88$, $140$ et $208$.

![Produit de la section efficace de capture de neutrons à 30\, keV (KADoNiS) et de l’abondance protosolaire (Asplund, Amarsi et Grevesse, 2021) pour les 30 nucléides produits uniquement par le processus s. Entre les nombres magiques de neutrons (lignes pointillées), il est presque constant ; à chacun, le flux est freiné et le produit chute. La courbe est le modèle classique du processus s ajusté ici aux nucléides plus lourds que A = 90. Les plus légers nécessitent une seconde composante, plus faible, produite dans les étoiles massives.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-origin-of-elements/fig-2e79271c3f61.svg)

*Produit de la section efficace de [capture de neutrons](#def-b3-origin-of-elements-s-process) à $30\,\mathrm{keV}$ (KADoNiS) et de l’abondance protosolaire (Asplund, Amarsi et Grevesse, 2021) pour les 30 nucléides produits uniquement par le [processus s](#def-b3-origin-of-elements-s-process). Entre les nombres magiques de neutrons (lignes pointillées), il est presque constant ; à chacun, le flux est freiné et le produit chute. La courbe est le modèle classique du [processus s](#def-b3-origin-of-elements-s-process) ajusté ici aux nucléides plus lourds que $A = 90$. Les plus légers nécessitent une seconde composante, plus faible, produite dans les étoiles massives.*

La courbe de la figure est le modèle classique du [processus s](#def-b3-origin-of-elements-s-process) : une petite fraction $G$ du fer-56 est exposée à des neutrons, les expositions étant réparties de façon exponentielle autour d’une moyenne $\tau_0$, et le flux est suivi noyau par noyau avec les sections efficaces mesurées. Son ajustement à 22 nucléides produits uniquement par le [processus s](#def-b3-origin-of-elements-s-process) plus lourds que $A = 90$ (en écartant $^{176}\mathrm{Lu}$, qui se désintègre, et $^{187}\mathrm{Os}$, alimenté par la désintégration de $^{187}\mathrm{Re}$) donne $\tau_0 = 0.31\,\mathrm{mb}^{-1}$ et $G = 0.054\,\%$ du fer-56 solaire, proche des $0.04\,\%$ des analyses détaillées, dans lesquelles chaque noyau germe capte en moyenne une quinzaine de neutrons. Les plus légers nucléides produits uniquement par le [processus s](#def-b3-origin-of-elements-s-process), le germanium-70 et le sélénium-76, se situent bien au-dessus de la courbe : ils nécessitent une seconde composante, faible, produite dans les étoiles massives.

Lorsqu’un noyau instable sur le chemin vit à peu près aussi longtemps que le temps entre deux captures, le flux se scinde : une partie se désintègre, une autre capte. De tels *embranchements* se produisent pour $^{79}\mathrm{Se}$, $^{85}\mathrm{Kr}$, $^{134}\mathrm{Cs}$, $^{147}\mathrm{Pm}$ et $^{151}\mathrm{Sm}$, parmi d’autres. Un embranchement permet à une partie du flux de contourner un noyau : parmi les deux isotopes du samarium produits uniquement par le [processus s](#def-b3-origin-of-elements-s-process), $^{150}\mathrm{Sm}$ reçoit la totalité du flux, et $^{148}\mathrm{Sm}$ seulement la part qui a contourné le embranchement à la masse 147, et le rapport de leurs $\sigma N$, $0.87$, mesure cette part. Comme celle-ci dépend de la densité de neutrons et de la température, les embranchements sont des thermomètres et des densimètres des étoiles où le [processus s](#def-b3-origin-of-elements-s-process) a opéré.

**Au laboratoire — Mesurer une section efficace de capture.**

Pour mesurer les sections efficaces moyennes dont le [processus s](#def-b3-origin-of-elements-s-process) a besoin, les physiciens reproduisent un spectre de neutrons stellaire auprès d’un accélérateur. Des protons frappant une cible de lithium produisent des neutrons par la réaction $^{7}\mathrm{Li}(\mathrm{p},\mathrm{n})^{7}\mathrm{Be}$, dont le spectre imite un spectre thermique à $kT = 25\,\mathrm{keV}$, proche des $23\,\mathrm{keV}$ des flashs thermiques de la couche d’hélium d’une géante rouge. L’échantillon se place juste contre la cible, dans le flux le plus intense, et après l’irradiation, les rayons gamma des noyaux radioactifs nouvellement produits sont comptés : cette méthode par activation fonctionne avec des échantillons pesant moins d’un microgramme. Lorsque le produit est stable, les neutrons sont envoyés par impulsions et leur temps de vol sur une trajectoire donne leur énergie ; une sphère de cristaux de fluorure de baryum entourant l’échantillon enregistre la cascade de rayons gamma de chaque capture.

**Histoire des sciences — Le technétium dans les géantes rouges.**

En 1952, P. W. Merrill repéra les raies du technétium dans les spectres des géantes rouges de type spectral S. Le technétium n’a pas d’isotope stable ; celui produit par le [processus s](#def-b3-origin-of-elements-s-process), $^{99}\mathrm{Tc}$, a une demi-vie de $211\,000$ ans, bien inférieure aux durées de vie que ces étoiles avaient déjà vécues. Le technétium a dû se former à l’intérieur des étoiles, et récemment. Ce fut la première preuve directe que les étoiles fabriquent des éléments. En 1957, E. M. et G. R. Burbidge, W. A. Fowler et F. Hoyle, et indépendamment A. G. W. Cameron, formulèrent le modèle classique du [processus s](#def-b3-origin-of-elements-s-process).

Le [processus r](#def-b3-origin-of-elements-s-process) laisse ses propres pics. Son chemin longe la limite d’émission de neutrons, la frontière au-delà de laquelle un noyau ne peut plus retenir un neutron supplémentaire, et le flux s’attarde sur les noyaux à couches neutroniques fermées, $N = 50$, $82$ et $126$, jusqu’à leur désintégration bêta. Ces points d’attente accumulent de la matière ; après les dernières désintégrations vers la stabilité, les amas se situent à des nombres de masse inférieurs de quelques unités à ceux des pics du [processus s](#def-b3-origin-of-elements-s-process) pour ces mêmes nombres magiques, qui sont formés de noyaux stables : vers $A = 130$ (tellure et xénon) et $A = 195$ (platine), contre $A = 138$ et $208$ pour les pics s du baryum et du plomb. La courbe d’abondance montre les deux séries de pics côte à côte. Le [processus r](#def-b3-origin-of-elements-s-process) fabrique près de la moitié des éléments lourds, le [processus s](#def-b3-origin-of-elements-s-process) l’autre moitié.

## 30.4 Où se déroulent les processus

Le [processus s](#def-b3-origin-of-elements-s-process) principal se déroule dans les géantes rouges pouvant atteindre environ trois masses solaires, vers la fin de leur vie, en tant qu’étoiles de la branche asymptotique des géantes. Entre les flashs de combustion de l’hélium dans une couche entourant leur cœur, une fine couche riche en carbone-13 se forme ; vers $9 \times 10^{7}\,\mathrm{K}$, la réaction $^{13}\mathrm{C}(\alpha,\mathrm{n})^{16}\mathrm{O}$ libère des neutrons pendant une dizaine de milliers d’années, à des densités de $10^6$ à $10^{8}\,\mathrm{neutrons}\,\mathrm{cm}^{-3}$. Lors des flashs eux-mêmes, au-dessus de $2.5 \times 10^{8}\,\mathrm{K}$, $^{22}\mathrm{Ne}(\alpha,\mathrm{n})^{25}\mathrm{Mg}$ donne une bouffée de quelques années à $10^{10}\,\mathrm{cm}^{-3}$. Les produits sont ramenés à la surface, où l’on observe le technétium, puis soufflés par le vent de l’étoile. Le [processus s](#def-b3-origin-of-elements-s-process) faible, qui fabrique les nucléides produits uniquement par le [processus s](#def-b3-origin-of-elements-s-process) plus légers que $A = 90$, se déroule dans les étoiles massives pendant leurs combustions de l’hélium et du carbone.

Les supernovae à effondrement de cœur, fin des étoiles de plus de huit à dix masses solaires, restituent les [éléments alpha](#def-b3-origin-of-elements-alpha) et une partie du fer peu après la naissance des étoiles, car les étoiles massives vivent peu de temps. Les supernovae de type Ia, naines blanches qui explosent dans des systèmes binaires, restituent l’essentiel du fer, mais seulement après un délai : la naine blanche doit d’abord se former à partir d’une étoile de moins de huit masses solaires, puis soit accréter de la matière prélevée sur un compagnon jusqu’à atteindre la masse de Chandrasekhar, d’environ $1.44\,\mathrm{M}_{\odot}$, ou fusionner avec une seconde naine blanche. Le [processus r](#def-b3-origin-of-elements-s-process) exige un milieu bien plus extrême.

**Définition 30.8 (Fusion d’étoiles à neutrons ; kilonova).**

Une *fusion d’étoiles à neutrons* est la coalescence de deux étoiles à neutrons dans un système binaire serré, dont l’orbite a rétrécie sous l’effet de l’émission d’ondes gravitationnelles. Une partie de la matière riche en neutrons est éjectée. Une *kilonova* est l’éclat transitoire de ces éjectas, chauffés par la désintégration radioactive des noyaux fraîchement produits par le [processus r](#def-b3-origin-of-elements-s-process), et dure quelques jours.

Le 17 août 2017, les détecteurs d’ondes gravitationnelles ont enregistré la spirale de deux étoiles à neutrons, GW170817, à une distance d’environ $40\,\mathrm{Mpc}$ : deux astres de $1.17$ à $1.60\,\mathrm{M}_{\odot}$, soit au total $2.74\,\mathrm{M}_{\odot}$. Un sursaut gamma parvient $1.7\,\mathrm{s}$ après la fusion. Moins de onze heures plus tard, des télescopes repèrent un nouveau point lumineux dans la galaxie NGC 4993 (figure ci-dessous). Son éclat ultraviolet s’affaiblit en deux jours, puis, sur une dizaine de jours, sa lumière vire au rouge et à l’infrarouge. Les modèles de cette évolution nécessitent plusieurs composantes d’éjectas, la plus rouge étant riche en lanthanides, éléments lourds du [processus r](#def-b3-origin-of-elements-s-process) dont la dense forêt de raies rend les éjectas opaques. La masse totale éjectée est estimée entre $0.03$ et $0.08\,\mathrm{M}_{\odot}$ : la première preuve directe que les [fusions d’étoiles à neutrons](#def-b3-origin-of-elements-kilonova) produisent des éléments du [processus r](#def-b3-origin-of-elements-s-process).

![La galaxie NGC 4993 photographiée par le télescope spatial Hubble après la fusion de deux étoiles à neutrons détectée par ses ondes gravitationnelles le 17 août 2017. Le cadre signale la kilonova ; les encarts, pris les 22, 26 et 28 août, la montrent s’estompant en six jours. NASA et ESA (A. J. Levan, N. R. Tanvir, A. Fruchter et O. Fox), CC BY 4.0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-origin-of-elements/img-8967844c2842.jpg)

*La galaxie NGC 4993 photographiée par le télescope spatial Hubble après la fusion de deux étoiles à neutrons détectée par ses ondes gravitationnelles le 17 août 2017. Le cadre signale la [kilonova](#def-b3-origin-of-elements-kilonova) ; les encarts, pris les 22, 26 et 28 août, la montrent s’estompant en six jours. NASA et ESA (A. J. Levan, N. R. Tanvir, A. Fruchter et O. Fox), CC BY 4.0.*

**Chiffres de 2021.**

Il n’est pas établi que les [fusions d’étoiles à neutrons](#def-b3-origin-of-elements-kilonova) fournissent l’essentiel des éléments du [processus r](#def-b3-origin-of-elements-s-process) de la Galaxie. Les fusions attendent que leurs orbites binaires se resserrent ; des modèles de l’évolution galactique où elles sont l’unique source produisent ces éléments trop tard pour expliquer ce qu’on observe dans les étoiles les plus anciennes et les plus pauvres en métaux. Des supernovæ rares à effondrement de cœur, à rotation rapide et à forts champs magnétiques, ainsi que l’effondrement d’étoiles très massives sont les autres candidats ; un modèle de la Galaxie explique l’europium observé si environ trois pour cent des hypernovæ de 25 à $50\,\mathrm{M}_{\odot}$ sont du type à entraînement magnétique.

## 30.5 L’évolution chimique de la Galaxie

Chaque génération d’étoiles restitue au gaz une partie de ce qu’elle a fabriqué, et la génération suivante se forme à partir de ce gaz enrichi. La composition d’une étoile garde donc la trace de la composition du gaz à sa naissance, et les étoiles d’une galaxie, classées par âge, en racontent l’histoire.

**Définition 30.9 (Évolution chimique de la Galaxie).**

*évolution chimique de la Galaxie* est la modification de la composition du gaz et des étoiles d’une galaxie au cours du temps, sous l’action combinée de la formation stellaire, des [rendements stellaires](#def-b3-origin-of-elements-yield), des durées de vie des étoiles et du gaz qui entre dans la galaxie ou en est expulsé ; et l’étude de cette modification au moyen de modèles confrontés aux abondances d’étoiles d’âge connu.

Le modèle le plus simple traite une région de galaxie comme une seule boîte de gaz bien mélangée qui se transforme lentement en étoiles. Notons $s$ la masse piégée dans les étoiles de longue durée de vie et dans les résidus stellaires, $M_\mathrm{g}$ la masse de gaz, et $M = M_\mathrm{g} + s$ la masse totale. Le *rendement par génération stellaire* $y$ est la masse de métaux nouveaux qu’une génération d’étoiles restitue au gaz par unité de masse qu’elle piège.

**Théorème 30.10 (Modèle de la boîte fermée).**

Considérons une région qui n’échange aucun gaz avec son environnement, qui part d’un gaz pur, sans métaux, qui reste bien mélangée et dans laquelle les étoiles qui fabriquent des métaux meurent aussitôt, tandis que les autres vivent éternellement (recyclage instantané). Alors la [métallicité](#def-b3-origin-of-elements-metallicity) du gaz vaut

$$
Z = y \ln\frac{1}{\mu}, \qquad \mu = \frac{M_\mathrm{g}}{M},
$$

où $\mu$ est la fraction de gaz, et la masse d’étoiles formées avec une [métallicité](#def-b3-origin-of-elements-metallicity) inférieure à $Z$ vaut $M\,(1 - \mathrm{e}^{-Z/y})$.

**Démonstration.** Lorsqu’une masse $\mathrm{d}s$ est piégée dans des étoiles, le gaz perd $\mathrm{d}s$, avec les métaux qu’il contient, $Z\,\mathrm{d}s$, et gagne $y\,\mathrm{d}s$ de métaux nouveaux : $\mathrm{d}M_\mathrm{g} = -\mathrm{d}s$ et $\mathrm{d}(Z M_\mathrm{g}) = (y - Z)\,\mathrm{d}s$. En développant la seconde, $M_\mathrm{g}\,\mathrm{d}Z + Z\,\mathrm{d}M_\mathrm{g} =
y\,\mathrm{d}s - Z\,\mathrm{d}s$, et les termes en $Z$ se simplifient : $M_\mathrm{g}\,\mathrm{d}Z = -y\,\mathrm{d}M_\mathrm{g}$. En intégrant depuis $M_\mathrm{g} = M$, $Z = 0$, on obtient $Z = y\ln(M/M_\mathrm{g})$. Les étoiles formées tant que la [métallicité](#def-b3-origin-of-elements-metallicity) du gaz était inférieure à $Z$ sont celles formées pendant que le gaz passait de $M$ à $M\mathrm{e}^{-Z/y}$, soit une masse $M(1 - \mathrm{e}^{-Z/y})$. ∎

Le modèle prédit la distribution de [métallicité](#def-b3-origin-of-elements-metallicity) des étoiles de longue durée de vie. Dans le voisinage solaire, la densité surfacique de gaz vaut $13.7\,\mathrm{M}_{\odot}\,\mathrm{pc}^{-2}$, et celle des étoiles et des résidus stellaires $33.4\,\mathrm{M}_{\odot}\,\mathrm{pc}^{-2}$, d’où $\mu = 13.7/47.1 = 0.29$. Si le gaz actuel a la [métallicité](#def-b3-origin-of-elements-metallicity) proto-solaire $Z = 0.0154$, le rendement vaut $y = 0.0154/\ln(1/0.29) = 0.0125$, et la fraction de toutes les étoiles formées jusqu’ici dont le $Z$ est inférieur à un dixième de la valeur actuelle, $[\mathrm{Fe/H}] < -1$ si le fer suit les métaux, est $(1 - 0.29^{0.1})/(1 - 0.29) = 0.16$.

![Le problème des naines G. Barres : les métallicités des naines F et G du voisinage solaire (relevé de Genève–Copenhague, échantillon à la meilleure photométrie réanalysé par Casagrande et al., 2011), toutes les étoiles en gris, celles d’au plus une masse solaire, les étoiles de longue durée de vie étoiles que le modèle compte, en bleu. Courbe : la boîte fermée avec la fraction de gaz actuelle du voisinage solaire, normalisée au même nombre d’étoiles ; elle ne produit aucune étoile plus riche que son gaz actuel, supposé solaire. La boîte prédit une longue queue d’étoiles pauvres en métaux qui n’existe pas.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-origin-of-elements/fig-85885664a642.svg)

*Le [problème des naines G](#def-b3-origin-of-elements-g-dwarf). Barres : les [métallicités](#def-b3-origin-of-elements-metallicity) des naines F et G du voisinage solaire (relevé de Genève–Copenhague, échantillon à la meilleure photométrie réanalysé par Casagrande et al., 2011), toutes les étoiles en gris, celles d’au plus une masse solaire, les étoiles de longue durée de vie étoiles que le modèle compte, en bleu. Courbe : la boîte fermée avec la fraction de gaz actuelle du voisinage solaire, normalisée au même nombre d’étoiles ; elle ne produit aucune étoile plus riche que son gaz actuel, supposé solaire. La boîte prédit une longue queue d’étoiles pauvres en métaux qui n’existe pas.*

**Définition 30.11 (Problème des naines G).**

Le *problème des naines G* désigne le manque d’étoiles pauvres en métaux et de longue durée de vie dans le voisinage solaire par rapport à la prédiction du [modèle de la boîte fermée](#thm-b3-origin-of-elements-closed-box) : bien moins de naines de type spectral G, de longue durée de vie, ont des [métallicités](#def-b3-origin-of-elements-metallicity) plus faibles que celles qu’une boîte fermée aurait produites.

Sur les 6670 étoiles de l’échantillon, 26 ont $[\mathrm{Fe/H}] < -1$ : $0.4\,\%$, contre $16\,\%$ pour la boîte fermée. Même parmi les 902 étoiles d’au plus une masse solaire, la comparaison la plus équitable : les 26 représentent $2.9\,\%$. La sortie consiste à ouvrir la boîte : si le disque du voisinage solaire s’est formé par un lent apport de gaz pauvre en métaux pendant plusieurs milliards d’années, le gaz primitif n’a jamais constitué un grand réservoir prêt à former des étoiles pauvres en métaux, et la queue disparaît. Les modèles du disque qui reproduisent la distribution exigent un temps d’apport supérieur à trois à quatre milliards d’années.

La seconde horloge est le rapport entre deux familles d’éléments. Les [éléments alpha](#def-b3-origin-of-elements-alpha) proviennent des supernovae à effondrement de cœur, peu après la naissance d’une génération stellaire ; une grande partie du fer vient des supernovae de type Ia, bien plus tard. Dans les vieilles étoiles du halo, avec $[\mathrm{Fe/H}] < -1$, $[\alpha/\mathrm{Fe}]$ vaut environ $+0.4$ : ces étoiles se sont formées à partir de gaz enrichi par les seules supernovae à effondrement de cœur. Dans les étoiles du disque, il décroît à mesure que la [métallicité](#def-b3-origin-of-elements-metallicity) augmente, jusqu’à zéro, soit la valeur solaire, car les supernovae de type Ia apportent leur fer. La figure ci-dessous montre le modèle le plus simple de ce scénario, dit du *retard temporel* : dans une boîte fermée, les deux types de supernovae démarrent en même temps, sauf que celles de type Ia débutent avec un retard fixe après les premières étoiles.

![Modèle en deux phases de ( / Fe) dans une boîte fermée : le plateau à +0.4 est le rapport produit par les supernovae à effondrement de cœur ; les supernovae de type Ia, qui débutent lorsque le gaz a atteint ( Fe/H) = -1, ajoutent ensuite du fer à un rythme constant, jusqu’à ce que le rapport soit solaire pour ( Fe/H) = 0. Le plateau et le coude sont ceux que l’on observe dans les étoiles de la Galaxie ; la forme intermédiaire relève du modèle. À la métallicité solaire, 60\,\% du fer de ce modèle provient des supernovae de type Ia.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-origin-of-elements/fig-7bff43b0fa0f.svg)

*Modèle en deux phases de $[\alpha/\mathrm{Fe}]$ dans une boîte fermée : le plateau à $+0.4$ est le rapport produit par les supernovae à effondrement de cœur ; les supernovae de type Ia, qui débutent lorsque le gaz a atteint $[\mathrm{Fe/H}] = -1$, ajoutent ensuite du fer à un rythme constant, jusqu’à ce que le rapport soit solaire pour $[\mathrm{Fe/H}] = 0$. Le plateau et le coude sont ceux que l’on observe dans les étoiles de la Galaxie ; la forme intermédiaire relève du modèle. À la [métallicité](#def-b3-origin-of-elements-metallicity) solaire, $60\,\%$ du fer de ce modèle provient des supernovae de type Ia.*

Les modèles détaillés de la Galaxie qui reproduisent la tendance observée attribuent deux tiers du fer aux supernovae de type Ia et un tiers aux supernovae à effondrement de cœur, et trouvent que le gaz de la jeune Galaxie a atteint $[\mathrm{Fe/H}] = -1$ en environ un à un et demi Ga. Le rapport sert d’horloge : une population riche en [éléments alpha](#def-b3-origin-of-elements-alpha) à une [métallicité](#def-b3-origin-of-elements-metallicity) donnée a formé ses étoiles vite, avant que les supernovae de type Ia n’ajoutent leur fer. Le [disque épais](https://one-course.com/books/earth/5/fr/chapter/29-la-voie-lactee-et-les-galaxies#def-b3-milky-way-galaxies-structure) du chapitre précédent est une telle population : ancienne, et légèrement enrichie en [éléments alpha](#def-b3-origin-of-elements-alpha) par rapport aux étoiles du disque mince de même [métallicité](#def-b3-origin-of-elements-metallicity).

## 30.6 Des abondances solaires à la Terre

La Terre est faite de la même matière que le Soleil, mais non de la totalité de celle-ci. Dans la nébuleuse en refroidissement, seuls les éléments condensés en solides ont pu être rassemblés en planétésimaux ; le volume de deuxième année a suivi la séquence dans laquelle ils se condensent. Le fer se condense sous forme métallique à peu près à la même température que les silicates de magnésium, $1310\text{ à }1340\,\mathrm{K}$ à $10^{-4}\,\mathrm{bar}$, de sorte que les planètes rocheuses ont conservé leur part de fer, tandis que l’hydrogène, l’hélium, le carbone, l’azote et les gaz nobles sont restés dans le gaz. Dans un gaz de composition solaire, seulement environ $0.5\,\%$ de la masse se condense en roche et en métal.

**Définition 30.12 (Tendance de volatilité).**

La *tendance de volatilité* d’un corps planétaire est la diminution de ses abondances, par rapport aux chondrites CI et normalisée à un élément réfractaire, à mesure que la température de condensation diminue : les éléments réfractaires gardent leurs proportions chondritiques, tandis que les éléments modérément volatils sont d’autant plus appauvris que leur température de condensation est basse.

Pour la Terre silicatée, le volume de deuxième année a tracé la tendance en fonction de la température de condensation. Normalisé au magnésium, le zirconium (qui se condense à $1741\,\mathrm{K}$) se situe à $1.11$ fois sa valeur CI, le sodium ($958\,\mathrm{K}$) à $0.22$, le potassium ($1006\,\mathrm{K}$) à $0.19$, le rubidium ($800\,\mathrm{K}$) à $0.12$ et le zinc ($726\,\mathrm{K}$) à $0.075$. La Terre s’est formée à partir d’une matière qui avait déjà perdu une partie de ses éléments modérément volatils avant que la planète ne soit assemblée, ou les a perdus pendant sa croissance. Même les chondrites CI diffèrent du Soleil d’une manière qui suit la température de condensation, quoique faiblement : leurs éléments modérément volatils se situent environ $0.04$ [dex](#def-b3-origin-of-elements-abundance) au-dessus des valeurs photosphériques.

Le bilan de ce chapitre traverse donc la planète. L’oxygène, le magnésium et le silicium du manteau sont des [éléments alpha](#def-b3-origin-of-elements-alpha) issus d’étoiles massives ; le fer du noyau vient surtout des supernovae de type Ia ; le thorium et l’uranium dont la désintégration contribue à chauffer l’intérieur se situent au-delà du bismuth, où seul le [processus r](#def-b3-origin-of-elements-s-process) parvient ; l’ensemble du mélange a été trié selon sa volatilité avant que la Terre ne le rassemble.

## 30.7 Exercices

**Exercice 30.1 ★.**

À partir des [abondances solaires](#def-b3-origin-of-elements-abundance) $\log\varepsilon(\mathrm{O}) = 8.69$, $\log\varepsilon(\mathrm{Si}) = 7.51$, $\log\varepsilon(\mathrm{Fe}) =
7.46$, $\log\varepsilon(\mathrm{Au}) = 0.91$ et $\log\varepsilon(\mathrm{Pb}) = 1.95$ : (a) combien d’atomes de silicium et combien d’atomes d’oxygène trouve-t-on dans le Soleil par atome de fer ? (b) Combien d’atomes de fer par atome d’or, et combien d’atomes de plomb par atome d’or ?

**Solution de Exercice 30.1.**

(a) $\mathrm{Si/Fe} = 10^{7.51 - 7.46} = 10^{0.05} = 1.12$ et $\mathrm{O/Fe} = 10^{8.69 - 7.46} = 10^{1.23} = 17.0$ : environ un atome de silicium et dix-sept atomes d’oxygène pour un atome de fer. (b) $\mathrm{Fe/Au} =
10^{7.46 - 0.91} = 10^{6.55} = 3.55 \times 10^{6}$ et $\mathrm{Pb/Au} =
10^{1.95 - 0.91} = 10^{1.04} = 11.0$ : au-delà du pic du fer, les abondances chutent de plusieurs millions, mais le plomb, qui forme à lui seul un pic, est onze fois plus abondant que l’or.

**Exercice 30.2 ★.**

(a) Combien d’atomes de fer par million d’atomes d’hydrogène le Soleil contient-il ($\log\varepsilon(\mathrm{Fe}) = 7.46$) ? (b) Une étoile du halo a $[\mathrm{Fe/H}] = -2$. Combien d’atomes d’hydrogène contient-elle par atome de fer ? (c) Une autre étoile possède un atome de fer pour dix millions d’atomes d’hydrogène. Quelle est sa valeur de $[\mathrm{Fe/H}]$ ?

**Solution de Exercice 30.2.**

(a) $10^{7.46 - 12} = 2.884 \times 10^{-5}$, soit $28.8$ atomes de fer par million d’atomes d’hydrogène. (b) Cent fois moins : $0.288$ par million, soit un atome de fer pour $1/2.884 \times 10^{-7} = 3.47 \times 10^{6}$ atomes d’hydrogène. (c) $[\mathrm{Fe/H}] = \log_{10}(10^{-7}/2.884 \times 10^{-5}) =
-2.46$.

**Exercice 30.3 ★.**

Les isotopes stables du xénon ont pour nombres de masse 124, 126, 128, 129, 130, 131, 132, 134 et 136. Parmi leurs isobares, le tellure ($Z = 52$) possède des isotopes stables de nombres de masse 120, 122–126, 128 et 130 ; l’iode ($Z = 53$) ne possède que le 127. La voie s atteint le xénon en $^{128}\mathrm{Xe}$, par désintégration de $^{128}\mathrm{I}$, et la quitte en $^{133}\mathrm{Xe}$, qui se désintègre. Classer chaque isotope du xénon en isotope s seul, r seul, produit par les deux processus, ou noyau p.

**Solution de Exercice 30.3.**

$^{124}\mathrm{Xe}$ et $^{126}\mathrm{Xe}$ se situent du côté riche en protons, hors de la voie s, et sont protégés par les isotopes stables $^{124}\mathrm{Te}$ et $^{126}\mathrm{Te}$ : [noyaux p](#def-b3-origin-of-elements-p-process). $^{128}\mathrm{Xe}$ et $^{130}\mathrm{Xe}$ sont sur la voie s mais protégés du [processus r](#def-b3-origin-of-elements-s-process) par les isotopes stables $^{128}\mathrm{Te}$ et $^{130}\mathrm{Te}$ : s seul. $^{129}\mathrm{Xe}$, $^{131}\mathrm{Xe}$ et $^{132}\mathrm{Xe}$ sont sur la voie s et n’ont aucun isobare stable de $Z$ inférieur (l’iode n’en a qu’un, à 127) : les deux processus. $^{134}\mathrm{Xe}$ et $^{136}\mathrm{Xe}$ se situent au-delà de $^{133}\mathrm{Xe}$, là où la voie s quitte le xénon, et ne sont pas protégés : r seul.

**Exercice 30.4 ★.**

GW170817 se situe à environ $40\,\mathrm{Mpc}$, et ses rayons gamma sont arrivés $1.7\,\mathrm{s}$ après la fusion observée en ondes gravitationnelles. (a) Depuis combien de temps les deux signaux ont-ils voyagé ? (b) Si le retard s’explique entièrement par une différence entre les deux vitesses, quelle est au plus cette différence, exprimée en fraction de la vitesse de la lumière ?

**Solution de Exercice 30.4.**

(a) $t = d/c = 40\times3.086 \times 10^{22}\,\mathrm{m}/2.998 \times 10^{8}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} =
4.12 \times 10^{15}\,\mathrm{s}$, soit environ $130$ millions d’années. (b) $\Delta v/c \le
1.7/4.12 \times 10^{15} = 4.1 \times 10^{-16}$. Il s’agit d’une borne supérieure, car une partie ou la totalité du retard peut provenir de l’émission des rayons gamma après la fusion.

**Exercice 30.5 ★★.**

Les trois isotopes du tellure produits uniquement par le [processus s](#def-b3-origin-of-elements-s-process) ont des abondances protosolaires de $0.1067$, $0.0373$ et $0.1984$ par $10^6$ atomes de silicium ($A = 122$, $123$, $124$) et des sections efficaces moyennes de $295$, $832$ et $155\,\mathrm{mb}$. (a) Calculer $\sigma N$ pour chacun. (b) À partir du seul $^{122}\mathrm{Te}$, prévoir les abondances de $^{123}\mathrm{Te}$ et de $^{124}\mathrm{Te}$, et comparer. (c) Pourquoi la relation ne peut-elle pas s’appliquer au $^{128}\mathrm{Te}$ ?

**Solution de Exercice 30.5.**

(a) $295\times0.1067 = 31.48\,\mathrm{mb}$, $832\times0.0373 =
31.03\,\mathrm{mb}$, $155\times0.1984 = 30.75\,\mathrm{mb}$. (b) À partir de $^{122}\mathrm{Te}$ : $N_{123} = 31.48/832 = 0.037\,83$, $1.4\,\%$ au-dessus de la valeur mesurée, et $N_{124} = 31.48/155 = 0.2031$, $2.4\,\%$ au-dessus. Des abondances qui diffèrent d’un facteur cinq sont prédites à quelques pour cent près par les seules sections efficaces. (c) $^{128}\mathrm{Te}$ est r seul : le flux s quitte le tellure à $^{127}\mathrm{Te}$, qui se désintègre, de sorte qu’aucun flux s stationnaire traverse $^{128}\mathrm{Te}$ et son abondance a été fixée par le [processus r](#def-b3-origin-of-elements-s-process).

**Exercice 30.6 ★★.**

Dans le modèle classique, chaque noyau de la voie s transmet au suivant une fraction $f = 1/(1 + 1/(\tau_0\langle\sigma\rangle))$ du flux, avec $\tau_0 = 0.306\,\mathrm{mb}^{-1}$. (a) Calculer $f$ pour $^{124}\mathrm{Te}$ ($155\,\mathrm{mb}$) et pour le $^{138}\mathrm{Ba}$, dont le nombre de neutrons est magique ($4.0\,\mathrm{mb}$). (b) Les noyaux allant de $^{137}\mathrm{Ba}$ à $^{142}\mathrm{Nd}$ sur la voie ont des sections efficaces $76.3$, $4.0$, $32.4$, $11.0$, $111.4$ et $35.0\,\mathrm{mb}$. De quel facteur $\sigma N$ diminue-t-il entre $^{136}\mathrm{Ba}$ et $^{142}\mathrm{Nd}$ ? (c) Comparer avec les valeurs mesurées, $27.6$ et $7.72\,\mathrm{mb}$.

**Solution de Exercice 30.6.**

(a) $\tau_0\langle\sigma\rangle = 0.306\times155 = 47.4$, donc $f = 1/(1 + 1/47.4) = 0.979$ pour $^{124}\mathrm{Te}$ ; pour $^{138}\mathrm{Ba}$, $0.306\times4.0 = 1.224$ et $f = 1/(1 + 0.817) =
0.550$ : le noyau magique ne laisse passer que $55\,\%$ du flux. (b) Les six facteurs valent $0.959$, $0.550$, $0.908$, $0.771$, $0.972$ et $0.915$ ; leur produit vaut $0.328$ : $\sigma N$ diminue d’un facteur $3.05$. (c) La chute mesurée vaut $27.6/7.72 = 3.57$. Le modèle reproduit l’ampleur de la marche à $15\,\%$ près, presque entièrement due à $^{138}\mathrm{Ba}$ et $^{140}\mathrm{Ce}$, les deux noyaux de $N = 82$.

**Exercice 30.7 ★★.**

Un neutron d’énergie thermique $kT$ a pour vitesse $v_T = \sqrt{2kT/m_\mathrm{n}}$, avec $m_\mathrm{n} = 1.6749 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$. (a) Calculer $v_T$ pour $kT = 8\,\mathrm{keV}$, la température de la couche de carbone 13 d’une géante rouge. (b) Pour $^{124}\mathrm{Te}$, avec $\langle\sigma\rangle = 155\,\mathrm{mb}$, calculer le temps moyen entre deux captures, $1/(n_\mathrm{n}\langle\sigma\rangle v_T)$, pour $n_\mathrm{n} = 10^6$, $10^8$ et $10^{10}\,\mathrm{cm}^{-3}$. (c) Comparer avec les demi-vies de $^{127}\mathrm{Te}$ ($9.35\,\mathrm{h}$) et de $^{134}\mathrm{Cs}$ ($2.07\,\mathrm{an}$). Lequel est un point de branchement ?

**Solution de Exercice 30.7.**

(a) $kT = 8\times10^3\times1.602 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} = 1.282 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}$, et $v_T = \sqrt{2\times1.282 \times 10^{-15}/1.6749 \times 10^{-27}} =
1.24 \times 10^{6}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) Avec $\langle\sigma\rangle =
155 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}^{2}$, $\lambda = n_\mathrm{n}\langle\sigma\rangle v_T$ vaut $1.92 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}^{-1}$ pour $n_\mathrm{n} = 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}$ ($10^6$ par centimètre cube) : un temps moyen de $5.2 \times 10^{10}\,\mathrm{s}$, soit environ $1650$ ans ; puis $16.5$ ans à $10^8$ et $0.165$ an, deux mois, à $10^{10}\,\mathrm{cm}^{-3}$. (c) $^{127}\mathrm{Te}$ se désintègre en heures, bien plus vite que chacun de ces temps de capture : il se désintègre toujours, et la voie ne se divise pas à cet endroit. $^{134}\mathrm{Cs}$ vit environ deux ans, entre les temps de capture à $10^8$ et $10^{10}\,\mathrm{cm}^{-3}$ : dans les fortes densités des flashs d’hélium, une bonne partie de ce noyau capture un neutron avant de se désintégrer. C’est un point de branchement, et les abondances de part et d’autre permettent de mesurer la densité neutronique.

**Exercice 30.8 ★★.**

Dans le Soleil, $\log\varepsilon$ vaut $6.30$ pour le calcium, $3.14$ pour le scandium et $4.97$ pour le titane ; $1.38$ pour le béryllium, $2.70$ pour le bore et $8.46$ pour le carbone. (a) Combien de fois le scandium est-il plus rare que ses deux voisins ? (b) Combien de fois le béryllium est-il plus rare que le carbone ? (c) Quel trait de la courbe d’abondance chacun illustre-t-il, et quelle en est la cause ?

**Solution de Exercice 30.8.**

(a) $10^{6.30 - 3.14} = 1445$ fois plus rare que le calcium et $10^{4.97 - 3.14} = 68$ fois plus rare que le titane. (b) $10^{8.46 - 1.38}
= 1.2 \times 10^{7}$. (c) Le scandium présente l’effet pair-impair : les noyaux à nombre pair de protons sont plus fortement liés et sont construits par la capture de noyaux d’hélium pendant les phases de combustion des étoiles massives, qui les favorisent. Le béryllium illustre le creux du lithium, du béryllium et du bore : ces noyaux fragiles sont détruits aux températures de l’intérieur stellaire, et la combustion de l’hélium passe directement de l’hélium au carbone, sans les produire.

**Exercice 30.9 ★★.**

Dans le modèle à deux phases du chapitre, le palier $[\alpha/\mathrm{Fe}] = P$ est le rapport produit par les supernovae à effondrement de cœur, et à $[\mathrm{Fe/H}] = 0$ le rapport est solaire. (a) Montrer que la part du fer solaire produite par les supernovae de type Ia vaut $1 - 10^{-P}$, et la calculer pour $P = 0.4$. (b) Quel palier donnerait les deux tiers des modèles détaillés ? (c) Une galaxie naine montre son genou à $[\mathrm{Fe/H}] = -2$. Qu’est-ce que cela indique sur sa formation stellaire ?

**Solution de Exercice 30.9.**

(a) Notons $\alpha$ les [éléments alpha](#def-b3-origin-of-elements-alpha) et $\mathrm{Fe}_\mathrm{cc}$, $\mathrm{Fe}_\mathrm{Ia}$ le fer issu des deux types de supernovae. Sur le palier, $\alpha/\mathrm{Fe}_\mathrm{cc} = 10^{P}$ fois le rapport solaire. À $[\mathrm{Fe/H}] = 0$, $\alpha/(\mathrm{Fe}_\mathrm{cc} +
\mathrm{Fe}_\mathrm{Ia})$ est solaire. En divisant, $\mathrm{Fe}_\mathrm{cc}/(\mathrm{Fe}_\mathrm{cc} + \mathrm{Fe}_\mathrm{Ia})
= 10^{-P}$, et la part des supernovae de type Ia vaut $1 - 10^{-P} = 1 - 10^{-0.4} =
0.602$. (b) $10^{-P} = 1/3$ donne $P = \log_{10}3 = 0.48$. (c) Les supernovae de type Ia commencent après le même délai dans les deux galaxies. Lorsqu’elles ont débuté dans la galaxie naine, son gaz n’avait atteint que $[\mathrm{Fe/H}] = -2$, contre $-1$ dans la Galaxie : elle avait transformé son gaz en étoiles dix fois plus lentement.

**Exercice 30.10 ★★★.**

Les chondrites CI contiennent, en parties par million en masse, $95\,870$ de magnésium, $3.96$ de zirconium, $5010$ de sodium, $530$ de potassium et $2.13$ de rubidium ; la Terre silicatée contient $22.8\,\%$ de magnésium et $10.5$, $2670$, $240$ et $0.6$ parties par million des autres. Leurs températures de condensation à 50 % sont $1336\,\mathrm{K}$ (Mg), $1741\,\mathrm{K}$ (Zr), $958\,\mathrm{K}$ (Na), $1006\,\mathrm{K}$ (K) et $800\,\mathrm{K}$ (Rb). (a) Pour chaque élément, calculer $(X/\mathrm{Mg})_\mathrm{Terre}/(X/\mathrm{Mg})_\mathrm{CI}$. (b) Le tracer en fonction de la température de condensation et décrire la tendance. (c) Pourquoi le magnésium est-il choisi comme référence ?

**Solution de Exercice 30.10.**

(a) Pour le zirconium,

$$
\frac{(X/\mathrm{Mg})_\mathrm{Earth}}{(X/\mathrm{Mg})_\mathrm{CI}} =
\frac{10.5/228000}{3.96/95870} = 1.11~;
$$

de même $(2670/228000)/(5010/95870) = 0.224$ pour le sodium, $0.190$ pour le potassium et $0.118$ pour le rubidium. (b) Le zirconium, le plus réfractaire, se place près de sa proportion chondritique. Les trois métaux alcalins modérément volatils, qui se condensent à $800\text{ à }1006\,\mathrm{K}$, sont appauvris par un facteur de cinq à neuf ; le rubidium, le plus volatil, l’est davantage. La Terre silicatée suit la [tendance de volatilité](#def-b3-origin-of-elements-volatility). (c) Le magnésium est un élément majeur, réfractaire qui se condense avec l’essentiel de la roche, et il est lithophile : il est resté dans le manteau lors de la formation du noyau. Un élément sidérophile tel que le fer ou le nickel mêlerait la perte vers le noyau à la perte par volatilité.

**Exercice 30.11 ★★★.**

Une boîte qui fuit perd du gaz dans un vent à un taux $\lambda$ fois son taux de formation stellaire, et n’en reçoit aucun. (a) Montrer que sa [métallicité](#def-b3-origin-of-elements-metallicity) vaut $Z = \frac{y}{1 + \lambda}\ln\frac{M_\mathrm{g}(0)}{M_\mathrm{g}}$. (b) Avec $y = 0.0125$, comparer la [métallicité](#def-b3-origin-of-elements-metallicity) atteinte lorsque le gaz n’est plus que $29\,\%$ de sa masse initiale pour $\lambda = 0$ et $\lambda = 1$. (c) Pourquoi les petites galaxies, à la gravité faible, tendent-elles à être pauvres en métaux ?

**Solution de Exercice 30.11.**

(a) Lorsqu’une masse $\mathrm{d}s$ est bloquée dans les étoiles, le vent retire $\lambda\,\mathrm{d}s$ de gaz de [métallicité](#def-b3-origin-of-elements-metallicity) $Z$ : $\mathrm{d}M_\mathrm{g} = -(1 + \lambda)\,\mathrm{d}s$ et $\mathrm{d}(ZM_\mathrm{g}) = y\,\mathrm{d}s - Z\,\mathrm{d}s -
\lambda Z\,\mathrm{d}s$. En développant la seconde et en soustrayant $Z\,\mathrm{d}M_\mathrm{g}$ donne $M_\mathrm{g}\,\mathrm{d}Z =
y\,\mathrm{d}s = -\frac{y}{1 + \lambda}\,\mathrm{d}M_\mathrm{g}$, ce qui s’intègre pour donner le résultat. (b) $\ln(1/0.29) = 1.238$ : $Z = 0.0155$ pour $\lambda = 0$, et deux fois moins, $0.0077$, pour $\lambda = 1$. (c) Un vent abaisse le rendement effectif d’un facteur $1 + \lambda$. Dans une galaxie de faible masse, les supernovae chassent plus facilement le gaz, $\lambda$ est grand, et les métaux sont perdus avec le gaz.

**Exercice 30.12 ★★★.**

(a) Le Soleil a $\log\varepsilon(\mathrm{Li}) = 0.96$ dans sa photosphère et les chondrites CI $3.25$. Calculer les deux rapports $N_\mathrm{Li}/N_\mathrm{H}$ ainsi que la fraction de son lithium que le Soleil a détruite. (b) Les plus anciennes étoiles pauvres en métaux présentent $N_\mathrm{Li}/N_\mathrm{H} = 1.45 \times 10^{-10}$, tandis que la nucléosynthèse primordiale prédit $4.72 \times 10^{-10}$. De quel facteur le lithium du Système solaire dépasse-t-il chacune de ces valeurs ? (c) Que impliquent les deux comparaisons ?

**Solution de Exercice 30.12.**

(a) $N_\mathrm{Li}/N_\mathrm{H} = 10^{0.96 - 12} = 9.1 \times 10^{-12}$ dans le Soleil et $10^{3.25 - 12} = 1.78 \times 10^{-9}$ dans les chondrites CI. Le Soleil conserve $10^{-2.29} = 0.0051$ de son lithium : il en a détruit $99.5\,\%$. (b) $1.78 \times 10^{-9}/1.45 \times 10^{-10} = 12.3$ et $1.78 \times 10^{-9}/4.72 \times 10^{-10} = 3.8$. (c) Le Système solaire contient près de quatre fois plus de lithium que n’en a produit le Big Bang : l’essentiel de son lithium a été produit plus tard, par un autre processus. Les étoiles les plus anciennes en contiennent trois fois moins que n’en a produit le Big Bang : soit elles en ont détruit une partie, comme le Soleil l’a fait, soit la prédiction omet quelque chose ; les deux comparaisons ne permettent pas de trancher.

## 30.8 Problème : une galaxie en boîte fermée

**Problème 30.1.**

Problème du week-end — du mélange solaire aux métallicités des étoiles à longue durée de vie

Utiliser $\log\varepsilon(\mathrm{H}) = 12$, les [abondances solaires](#def-b3-origin-of-elements-abundance) $\log\varepsilon(\mathrm{Fe}) = 7.46$, $\log\varepsilon(\mathrm{O}) =
8.69$, $\log\varepsilon(\mathrm{He}) = 10.914$, les fractions massiques photosphériques actuelles $X = 0.7438$, $Y = 0.2423$, $Z = 0.0139$, et la valeur proto-solaire $Z_\odot = 0.0154$. Supposer partout que le fer suit la [métallicité](#def-b3-origin-of-elements-metallicity) totale, $[\mathrm{Fe/H}] = \log_{10}(Z/Z_\odot)$.

**Partie I — Le mélange solaire.**

1. Combien y a-t-il d’atomes d’hydrogène dans le Soleil par atome de fer ?
2. Calculer le rapport en nombre $N_\mathrm{He}/N_\mathrm{H}$ . En prenant un atome d’hélium quatre fois plus lourd qu’un atome d’hydrogène, comparer $4N_\mathrm{He}/N_\mathrm{H}$ à $Y/X$ .
3. Une étoile possède un atome de fer pour $350\,000$ atomes d’hydrogène. Calculer son $[\mathrm{Fe/H}]$ à deux décimales près.
4. La même étoile a $[\mathrm{O/Fe}] = +0.40$ . Calculer son $\log\varepsilon(\mathrm{O})$ , ainsi que son nombre d’atomes d’oxygène par atome de fer comparé à celui du Soleil.
5. L’oxygène est le métal le plus abondant. Estimer la fraction massique en métaux de l’étoile en mettant à l’échelle celle du Soleil avec $[\mathrm{O/H}]$ .
6. Pourquoi la [métallicité](#def-b3-origin-of-elements-metallicity) d’une étoile est-elle habituellement mesurée à partir du fer plutôt que de l’oxygène, bien que l’oxygène domine $Z$ ?

**Partie II — Le processus s sur le tellure.** Utiliser les données de l’[Exercice 30.5](#exo-b3-origin-of-elements-5).

7. Expliquer à partir de la carte des nucléides pourquoi $^{122}\mathrm{Te}$ , $^{123}\mathrm{Te}$ et $^{124}\mathrm{Te}$ ne sont produits que par le [processus s](#def-b3-origin-of-elements-s-process) .
8. Calculer $\sigma N$ pour les trois isotopes et pour leur moyenne.
9. Prédire l’abondance de $^{123}\mathrm{Te}$ à partir de la moyenne des deux autres, et donner l’écart à la valeur mesurée en pour cent.
10. $^{128}\mathrm{Te}$ a $N = 1.329$ par $10^6$ Si et $\langle\sigma\rangle = 44.4\,\mathrm{mb}$ . Calculer son $\sigma N$ et expliquer pourquoi il ne se situe pas sur le plateau.
11. La paire $^{148}\mathrm{Sm}$ et $^{150}\mathrm{Sm}$ , produite uniquement par le [processus s](#def-b3-origin-of-elements-s-process) , a $\sigma N = 7.43$ et $8.53\,\mathrm{mb}$ . Quelle part du flux est passée par $^{148}\mathrm{Sm}$ , et par quel embranchement ?
12. De part et d’autre de $N = 82$ , le produit passe de $27.6\,\mathrm{mb}$ ( $^{136}\mathrm{Ba}$ ) à $7.72\,\mathrm{mb}$ ( $^{142}\mathrm{Nd}$ ). Quelle propriété des noyaux à $N = 82$ explique cette chute ?

**Partie III — La boîte fermée.** Le voisinage solaire contient $13.7\,\mathrm{M}_{\odot}\,\mathrm{pc}^{-2}$ de gaz et $33.4\,\mathrm{M}_{\odot}\,\mathrm{pc}^{-2}$ d’étoiles et de résidus stellaires. Prendre pour le gaz actuel $Z = Z_\odot$.

13. Calculer la fraction de gaz actuelle $\mu_1$ .
14. Calculer le rendement par génération stellaire $y$ dont la boîte fermée a besoin, ainsi que son rapport à $Z_\odot$ .
15. Calculer $Z$ et $[\mathrm{Fe/H}]$ du gaz lorsque la fraction de gaz valait $0.9$ , puis $0.5$ .
16. Calculer la fraction de gaz lorsque le gaz a atteint $[\mathrm{Fe/H}] = -1$ .
17. Quelle fraction de la masse totale avait alors été piégée dans les étoiles ?
18. Si la fraction de gaz actuelle valait plutôt $0.1$ , quel rendement la boîte devrait-elle avoir ?

**Partie IV — La distribution des métallicités.**

19. Montrer que la boîte fermée donne une distribution des étoiles en $[\mathrm{Fe/H}]$ proportionnelle à $Z\,\mathrm{e}^{-Z/y}$ , et trouver le $[\mathrm{Fe/H}]$ de son maximum.
20. Calculer la fraction de toutes les étoiles formées jusqu’ici ayant $[\mathrm{Fe/H}] < -1$ .
21. Calculer la fraction de celles ayant $[\mathrm{Fe/H}] < -0.5$ .
22. Dans l’échantillon de relevé de $6670$ naines F et G, $26$ ont $[\mathrm{Fe/H}] < -1$ . Combien la boîte fermée en prédit-elle ?
23. Parmi les $902$ étoiles de masse au plus égale à une masse solaire, on retrouve ces mêmes $26$ . Calculer la fraction observée, et expliquer pourquoi ce sous-échantillon constitue la comparaison la plus juste.
24. Avec une fraction de gaz actuelle de $0.1$ , quelle serait la fraction prédite en dessous de $-1$ ? Une autre fraction de gaz résout-elle le problème ?
25. Donner la fraction des étoiles à longue durée de vie ayant $[\mathrm{Fe/H}] < -1$ que la boîte fermée prédit pour le voisinage solaire, en pour cent, à deux chiffres significatifs près, et dire ce que la comparaison avec les étoiles observées implique pour l’histoire du disque.

**Solution de Problème 30.1.**

**Partie I.**

**1.** $10^{12 - 7.46} = 10^{4.54} = 34\,700$.

**2.** $N_\mathrm{He}/N_\mathrm{H} = 10^{10.914 - 12} = 0.0820$, d’où $4N_\mathrm{He}/N_\mathrm{H} = 0.328$, contre $Y/X =
0.2423/0.7438 = 0.326$. Les deux valeurs s’accordent à $0.7\,\%$ ; le petit écart tient à ce qu’un atome d’hélium pèse un peu moins que quatre atomes d’hydrogène.

**3.** $\log_{10}\bigl((1/350000)/2.884 \times 10^{-5}\bigr) = -5.544 + 4.540 =
-1.00$.

**4.** $[\mathrm{O/H}] = -1.00 + 0.40 = -0.60$, d’où $\log\varepsilon(\mathrm{O}) = 8.69 - 0.60 = 8.09$. L’étoile possède $10^{8.09 - 6.46} = 42.7$ atomes d’oxygène par atome de fer, contre $10^{1.23} = 17.0$ dans le Soleil : $10^{0.4} = 2.5$ fois plus.

**5.** $Z \approx 0.0139\times10^{-0.60} = 0.0035$, soit un quart de celle du Soleil.

**6.** Le fer possède de très nombreuses raies dans le spectre d’une étoile froide, alors que l’oxygène en a peu, et elles sont faibles : le fer se mesure bien plus facilement et avec plus de précision, et sert de référence pour les métaux.

**Partie II.**

**7.** Chacun se place derrière un isobare stable de $Z$ inférieur : $^{122}\mathrm{Sn}$, $^{123}\mathrm{Sb}$ et $^{124}\mathrm{Sn}$ arrêtent les chaînes de désintégration du [processus r](#def-b3-origin-of-elements-s-process) avant qu’elles n’atteignent le tellure. Les trois se situent sur la voie s, qui traverse le tellure de $^{122}\mathrm{Te}$ à $^{126}\mathrm{Te}$.

**8.** $31.48$, $31.03$ et $30.75\,\mathrm{mb}$ ; moyenne $31.09\,\mathrm{mb}$.

**9.** La moyenne des deux autres vaut $(31.48 + 30.75)/2 = 31.11\,\mathrm{mb}$, d’où $N_{123} = 31.11/832 = 0.037\,40$, seulement $0.3\,\%$ au-dessus de la valeur mesurée $0.0373$.

**10.** $1.329\times44.4 = 59.0\,\mathrm{mb}$, presque le double du palier. $^{128}\mathrm{Te}$ n’est produit que par le [processus r](#def-b3-origin-of-elements-s-process) : la voie s quitte le tellure au $^{127}\mathrm{Te}$, son abondance a donc été produite par le [processus r](#def-b3-origin-of-elements-s-process) et ne doit rien au flux s.

**11.** $1 - 7.43/8.53 = 0.13$ : $13\,\%$ du flux est passé en contournant $^{148}\mathrm{Sm}$, par captures sur les noyaux instables $^{147}\mathrm{Nd}$, $^{147}\mathrm{Pm}$ et $^{148}\mathrm{Pm}$ avant de se désintégrer en samarium.

**12.** Avec une couche fermée de 82 neutrons, ces noyaux lient un neutron de plus faiblement et ont des sections efficaces de capture très petites ($4.0\,\mathrm{mb}$ pour $^{138}\mathrm{Ba}$). Le flux s’accumule sur eux, et seule une partie en repart : ce sont des goulots d’étranglement.

**Partie III.**

**13.** $\mu_1 = 13.7/(13.7 + 33.4) = 13.7/47.1 = 0.291$.

**14.** $\ln(1/0.291) = 1.235$, d’où $y = 0.0154/1.235 = 0.0125$, $0.81$ fois $Z_\odot$.

**15.** À $\mu = 0.9$, $\ln(1/0.9) = 0.1054$, donc $Z = 0.0125\times0.1054 =
0.001\,31$. Comme $0.00131/0.0154 = 0.0851$, $[\mathrm{Fe/H}] =
-1.07$. À $\mu = 0.5$, $Z = 0.0125\times0.693 = 0.008\,64$ et $[\mathrm{Fe/H}] = -0.25$.

**16.** $Z = 0.00154$, donc $\mu = \mathrm{e}^{-0.00154/0.01247} =
\mathrm{e}^{-0.1235} = 0.884$.

**17.** $1 - 0.884 = 0.116$ : $12\,\%$ de la masse.

**18.** $y = 0.0154/\ln 10 = 0.0067$, soit environ la moitié.

**Partie IV.**

**19.** La masse des étoiles de [métallicité](#def-b3-origin-of-elements-metallicity) inférieure à $Z$ vaut $M(1 - \mathrm{e}^{-Z/y})$, donc par unité de $Z$ elle vaut $(M/y)\,\mathrm{e}^{-Z/y}$. Comme $Z = Z_\odot10^{[\mathrm{Fe/H}]}$, $\mathrm{d}Z = Z\ln 10\,\mathrm{d}[\mathrm{Fe/H}]$, et par unité de $[\mathrm{Fe/H}]$ la distribution est proportionnelle à $Z\mathrm{e}^{-Z/y}$. Sa dérivée, $(1 - Z/y)\mathrm{e}^{-Z/y}$, s’annule en $Z = y$ : le maximum se situe en $[\mathrm{Fe/H}] = \log_{10}0.810 = -0.09$.

**20.** $0.116/(1 - 0.291) = 0.1162/0.7091 = 0.164$.

**21.** $Z/y = 1.235\times10^{-0.5} = 0.3905$, $1 - \mathrm{e}^{-0.3905} =
0.3233$, et $0.3233/0.7091 = 0.456$.

**22.** $6670\times0.1638 = 1093$, contre 26 : quarante fois trop.

**23.** $26/902 = 2.9\,\%$, soit encore plus de cinq fois moins que dans la boîte. Les étoiles du modèle sont les plus durables, celles d’au plus environ une masse solaire, qui ont toutes survécu depuis leur formation ; parmi les étoiles F plus massives, les plus anciennes, qui sont aussi les plus pauvres en métaux, ont disparu, et l’échantillon complet les sous-estime.

**24.** $(1 - 0.1^{0.1})/(1 - 0.1) = 0.2057/0.9 = 0.23$ : pire. Augmenter la fraction de gaz n’aide pas non plus : lorsque $\mu_1$ tend vers 1, la fraction tend vers $0.1$, soit encore plus de trois fois les $2.9\,\%$ observés. Aucune fraction de gaz ne sauve la boîte fermée.

**25.** La boîte fermée prédit que **$16\,\%$** des étoiles durables du voisinage solaire ont $[\mathrm{Fe/H}] < -1$, contre $3\,\%$ au plus observés. Le disque n’était pas une boîte fermée : il s’est accru par un lent apport de gaz pauvre en métaux, de sorte que peu de gaz est resté longtemps à basse [métallicité](#def-b3-origin-of-elements-metallicity) pour former des étoiles.