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title: "Géomagnétisme et paléomagnétisme"
book: "Sciences de la Terre et de l’Univers à l’université — 3e année"
subject: earth
language: fr
chapter: 4
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/5/fr/chapter/4-geomagnetisme-et-paleomagnetisme
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Chapitre 4 — Géomagnétisme et paléomagnétisme

Une coulée basaltique entrée en éruption il y a soixante millions d’années a refroidi, ses minuscules grains de magnétite figés parallèlement au champ de l’époque. Prélevée aujourd’hui, orientée en place, découpée en petits cylindres et chauffée pas à pas dans une pièce blindée contre le champ actuel, elle indique encore à quelle distance du pôle elle se trouvait alors, et dans quel sens elle était orientée. Des milliers de telles mesures, provenant de tous les continents et de tous les âges, ont permis de retracer comment les continents se sont déplacés avant la naissance des fonds océaniques qui enregistrent leur mouvement, et dans quel ordre le champ s’est inversé à travers les couches d’une coupe sédimentaire. Ce chapitre décrit le champ tel qu’il est aujourd’hui, la manière dont les roches l’enregistrent, comment une direction est extraite et moyennée, et ce qu’un pôle paléomagnétique révèle du mouvement d’une plaque.

**Tu sais déjà.**

Le globe terrestre en tant qu’aimant et la déclinaison magnétique figurent dans les volumes de physique du secondaire ; les domaines magnétiques, l’hystérésis, la rémanence et la température de Curie dans leur volume de troisième année ; le champ d’un dipôle magnétique dans leur volume de première année. Les inversions magnétiques ainsi que les polarités normale et inverse ont été rencontrées en année 11. Le grand cercle et le triangle sphérique ont été définis dans le volume de première année, dans son chapitre sur l’astronomie sphérique ; le chron de polarité, l’échelle des polarités géomagnétiques, l’anomalie magnétique marine et les rotations finies autour d’un pôle d’Euler dans son chapitre sur la cinématique des plaques sur la sphère ; la trace de point chaud dans son chapitre sur les points chauds. Les harmoniques sphériques et les fonctions de Legendre normalisées de Schmidt $P_n^m$ ont servi pour la gravité dans le chapitre sur la gravité et la forme de la Terre ([Chapitre 3](https://one-course.com/books/earth/5/fr/chapter/3-pesanteur-et-forme-de-la-terre#ch-b3-gravity-geodesy)).

## 4.1 Le champ principal

**Définition 4.1 (Champ géomagnétique principal ; dipôle axial géocentré).**

Le *champ géomagnétique principal* est la partie du champ magnétique terrestre produite à l’intérieur de la Terre, dans son noyau externe liquide de fer ; il varie de quelques années à plusieurs millions d’années, contrairement aux champs de l’ionosphère et de la magnétosphère, qui varient de quelques secondes à quelques jours. Le *dipôle axial géocentré* est le champ d’un dipôle magnétique placé au centre de la Terre et aligné avec son axe de rotation, pointant vers le sud, de sorte que ses lignes de champ sortent de l’hémisphère sud et entrent dans l’hémisphère nord.

En tout point de la surface, le champ $\mathbf F$ est un vecteur. Il se décrit dans un repère local (figure ci-dessous) : $X$ vers le nord géographique, $Y$ vers l’est, $Z$ vers le bas. Sa composante horizontale est $H = \sqrt{X^2 + Y^2}$, son intensité totale $F = |\mathbf F|$, sa déclinaison magnétique $D$, l’angle compté depuis le nord géographique jusqu’à $\mathbf H$, compté dans le sens horaire, et son inclinaison $I$ l’angle entre l’horizontale et $\mathbf F$.

**Définition 4.2 (Inclinaison magnétique).**

L’*inclinaison magnétique* $I$ du champ en un point est l’angle entre le vecteur champ et le plan horizontal, positive lorsque le champ pointe vers le bas : $\tan I = Z/H$, avec $-90{}^{\circ} \le I
\le 90{}^{\circ}$.

![Les éléments du champ en un point : composantes nord X, est Y et bas Z, la composante horizontale H, le champ total F, la déclinaison magnétique D (dans le plan horizontal, en gris) et l’inclinaison I (dans le plan vertical qui contient F).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-palaeomagnetism/fig-78085839e01c.svg)

*Les éléments du champ en un point : composantes nord $X$, est $Y$ et bas $Z$, la composante horizontale $\mathbf H$, le champ total $\mathbf F$, la déclinaison magnétique $D$ (dans le plan horizontal, en gris) et l’inclinaison $I$ (dans le plan vertical qui contient $\mathbf
F$).*

**Théorème 4.3 (La formule du dipôle).**

À la surface d’une sphère de rayon $a$, le champ d’un [dipôle axial géocentré](#def-b3-palaeomagnetism-main-field) de moment $m$ a, à la latitude $\lambda$,

$$
H = B_0\cos\lambda,\qquad Z = 2B_0\sin\lambda,\qquad
  F = B_0\sqrt{1 + 3\sin^2\lambda},\qquad
  \tan I = 2\tan\lambda,\qquad D = 0,
$$

où $B_0 = \mu_0 m/(4\pi a^3)$ est le champ à l’équateur. C’est la *formule du dipôle*.

**Démonstration.** En dehors de ses sources, le champ dérive d’un potentiel scalaire magnétique, $\mathbf B = -\nabla V$. Pour un dipôle de moment $m$ pointant selon $-z$, c’est-à-dire vers le sud géographique, $V = -\mu_0 m\cos\theta/(4\pi r^2)$, $\theta$ étant la colatitude. En coordonnées sphériques, $B_r = -\partial V/\partial r =
-2\mu_0 m\cos\theta/(4\pi r^3)$ et $B_\theta = -(1/r)\,\partial V/\partial\theta =
-\mu_0 m\sin\theta/(4\pi r^3)$, et $B_\varphi = 0$. En $r = a$, la composante dirigée vers le bas vaut $Z = -B_r = 2B_0\cos\theta = 2B_0\sin\lambda$ et, puisque $\mathbf e_\theta$ pointe vers le sud, la composante dirigée vers le nord vaut $X = -B_\theta =
B_0\sin\theta = B_0\cos\lambda$, avec $Y = 0$. Alors $H = X$, $D = 0$, $\tan I =
Z/H = 2\tan\lambda$ et $F^2 = B_0^2(\cos^2\lambda + 4\sin^2\lambda) =
B_0^2(1 + 3\sin^2\lambda)$. ∎

L’inclinaison est nulle à l’équateur, $90{}^{\circ}$ au pôle Nord, et négative dans l’hémisphère Sud ; l’intensité est deux fois plus forte aux pôles qu’à l’équateur. Le champ réel n’est pas un dipôle parfait, et il est décrit, comme la gravité, par des harmoniques sphériques.

**Définition 4.4 (Champ géomagnétique international de référence).**

Le *champ géomagnétique international de référence* (IGRF) est le modèle convenu à l’échelle internationale du champ principal : le potentiel, à la surface et au-dessus de celle-ci,

$$
V(r,\theta,\varphi) = a\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac ar\Bigr)^{n+1}\sum_{m=0}^{n}
  \bigl(g_n^m\cos m\varphi + h_n^m\sin m\varphi\bigr)P_n^m(\cos\theta),
$$

avec $a = 6371.2\,\mathrm{km}$, $\mathbf B = -\nabla V$, et les coefficients de Gauss $g_n^m$, $h_n^m$ (en $\mathrm{nT}$) donnés tous les cinq ans depuis 1900, ainsi que leur taux de variation sur les cinq années suivantes.

Le modèle est tenu à jour par l’Association internationale de géomagnétisme et d’aéronomie ; sa quatorzième génération a été achevée en novembre 2024 et est tronquée au degré $N = 13$. Le premier terme, $g_1^0$, est le dipôle axial : en comparant avec la démonstration ci-dessus, $B_0 = -g_1^0$, et $g_1^0 = -29\,350\,\mathrm{nT}$ en 2025. Avec les deux autres termes de degré 1, le dipôle est incliné ; son axe rencontre la surface au pôle géomagnétique Nord, à $80.79{}^{\circ}$ N, $72.76{}^{\circ}$ O en 2025, et son moment vaut $m = 4\pi a^3\sqrt{(g_1^0)^2 + (g_1^1)^2 +
(h_1^1)^2}/\mu_0 = 7.69 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$.

![Le champ principal en 2025 d’après le quatorzième IGRF, à la surface de la sphère de rayon 6371.2\, km. (a) Inclinaison en degrés ; le trait épais, I = 0, est l’équateur magnétique. (b) Intensité totale en nT ; la croix marque le champ le plus faible, environ 22\,100\, nT, au-dessus de l’Atlantique Sud, contre environ 66\,600\, nT au maximum, au sud de l’Australie.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-palaeomagnetism/fig-c7697d67f58f.svg)

*Le champ principal en 2025 d’après le quatorzième IGRF, à la surface de la sphère de rayon $6371.2\,\mathrm{km}$. (a) Inclinaison en degrés ; le trait épais, $I = 0$, est l’équateur magnétique. (b) Intensité totale en $\mathrm{nT}$ ; la croix marque le champ le plus faible, environ $22\,100\,\mathrm{nT}$, au-dessus de l’Atlantique Sud, contre environ $66\,600\,\mathrm{nT}$ au maximum, au sud de l’Australie.*

Les cartes ci-dessus montrent à quel point le champ s’écarte d’un dipôle. L’équateur magnétique s’éloigne jusqu’à environ $12{}^{\circ}$ de l’équateur géographique, et l’intensité, qu’un dipôle rendrait uniforme le long d’un parallèle, varie d’un facteur trois, avec une large zone de faible intensité au-dessus de l’Atlantique Sud.

**Définition 4.5 (Variation séculaire).**

La *variation séculaire* est la lente évolution du champ principal au cours du temps, sur des années à des siècles, mesurée par le taux de variation de ses coefficients de Gauss ou de ses éléments en un lieu donné.

Au cours des 125 dernières années, le moment dipolaire est passé de $8.32 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ à $7.69 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$, soit une baisse de $7.6\,\%$, et le pôle géomagnétique Nord s’est déplacé de $78.61{}^{\circ}$ N, $68.79{}^{\circ}$ O jusqu’à sa position actuelle (figure ci-dessous) ; $g_1^0$ croît encore de $12.6\,\mathrm{nT}$ par an, ce qui traduit un affaiblissement du dipôle.

![La part dipolaire du champ principal, de 1900 à 2025, tous les cinq ans, d’après l’IGRF : son moment (à gauche) et la latitude du pôle géomagnétique Nord (à droite).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-palaeomagnetism/fig-627eee7339b4.svg)

*La part dipolaire du champ principal, de 1900 à 2025, tous les cinq ans, d’après l’IGRF : son moment (à gauche) et la latitude du pôle géomagnétique Nord (à droite).*

D’où vient le champ ? Un aimant permanent est écarté : la température de Curie de la magnétite est d’environ $580\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ et celle de l’hématite $675\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, alors que l’intérieur de la Terre est bien plus chaud. Le champ est régénéré en permanence par le mouvement du liquide conducteur du noyau externe.

**Définition 4.6 (Géodynamo).**

La *géodynamo* est le processus auto-entretenu par lequel la convection de l’alliage de fer liquide électriquement conducteur du noyau externe, déviée par la rotation terrestre, induit des courants électriques dont le champ magnétique s’entretient lui-même malgré la dissipation ohmique.

**Proposition 4.7 (Équation d’induction).**

Dans un conducteur de diffusivité magnétique $\eta = 1/(\mu_0\sigma)$ animé de la vitesse $\mathbf u$, le champ magnétique obéit à

$$
\frac{\partial\mathbf B}{\partial t} = \nabla\times(\mathbf u\times\mathbf B)
  + \eta\nabla^2\mathbf B .
$$

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

Le premier terme étire et tord les lignes de champ transportées par l’écoulement ; le second fait décroître le champ, dans un corps de taille $L$, en un temps d’ordre $L^2/\eta$. Une dynamo fonctionne lorsque l’écoulement régénère le champ plus vite qu’il ne se dissipe. Les simulations numériques d’une coque fluide en convection et en rotation reproduisent un dipôle axial dominant et, de temps à autre, une inversion ; mais les équations de la [géodynamo](#def-b3-palaeomagnetism-geodynamo), couplées à celles de l’écoulement, dépassent le cadre de cet ouvrage. Outre les inversions complètes, l’enregistrement géologique comporte des épisodes plus brefs.

**Définition 4.8 (Excursion géomagnétique).**

Une *excursion géomagnétique* est un écart important de la direction du champ par rapport à celle du dipôle axial, le [pôle géomagnétique virtuel](#def-b3-palaeomagnetism-vgp) ([Définition 4.16](#def-b3-palaeomagnetism-vgp)) s’éloignant fortement du pôle géographique, puis revient à la polarité initiale au lieu d’achever une inversion.

## 4.2 Comment les roches enregistrent le champ

Les minéraux ferromagnétiques au sens large, surtout la magnétite des roches magmatiques et l’hématite des sédiments rouges, portent une aimantation rémanente. Au-dessus de sa température de Curie un grain n’en porte aucune ; en dessous, un petit grain est un domaine magnétique unique dont le moment bascule entre ses directions de facilité, par activation thermique, après un temps de relaxation

$$
\tau = \frac1C\exp\Bigl(\frac{K V}{k_B T}\Bigr),
$$

où $K$ est l’énergie d’anisotropie par unité de volume, $V$ le volume du grain et $C$ un facteur de fréquence. Il s’agit de la loi de relaxation de Néel, admise ici. Puisque $\tau$ croît exponentiellement lorsque $T$ diminue, un grain franchit un étroit intervalle de température, passant d’un basculement libre à la conservation de son moment pendant des milliards d’années.

**Définition 4.9 (Température de blocage).**

La *température de blocage* d’un grain magnétique est la température en dessous de laquelle son temps de relaxation dépasse la durée de l’expérience, de sorte que son moment reste figé : lors du refroidissement, le grain enregistre le champ ; lors d’un réchauffement sans champ, il perd cet enregistrement.

**Définition 4.10 (Aimantations rémanentes naturelle, thermique, détritique et chimique).**

L’*aimantation rémanente naturelle* (ARN) d’une roche est la rémanence qu’elle porte au moment de son prélèvement, somme des composantes acquises à des époques différentes. Une *aimantation thermorémanente* (ATR) est acquise par refroidissement à travers les [températures de blocage](#def-b3-palaeomagnetism-blocking) dans un champ, comme dans une coulée de lave ou une intrusion. Une *aimantation rémanente détritique* (ARD) est acquise lorsque des grains magnétiques sédimentent dans l’eau, ou dans le sédiment humide juste sous sa surface, s’orientent dans le champ avant d’être figés. Une *aimantation rémanente chimique* (ARC) est acquise lorsqu’un minéral magnétique croît, à travers un volume de blocage, dans un champ, comme le fait l’hématite lors de la formation des couches rouges.

Une ATR enregistre le champ au moment du refroidissement ; une ARD, dans le délai que met le sédiment à se compacter ; une ARC, à l’époque où le minéral a crû, ce qui peut être bien postérieur au dépôt. Un réchauffement ultérieur, ou le champ actuel agissant longtemps sur des grains à temps de relaxation court, ajoute une composante secondaire par-dessus : une rémanence visqueuse alignée sur le champ récent.

## 4.3 De l’échantillon à la direction

Des carottes orientées sont forées en plusieurs sites d’une formation, quelques carottes par site, puis découpées en échantillons de quelques centimètres cubes. L’ARN de chaque échantillon est mesurée, puis progressivement éliminée.

**Définition 4.11 (Désaimantation par paliers).**

La *désaimantation par paliers* est l’élimination de la rémanence d’un échantillon par paliers d’intensité croissante, en mesurant le vecteur résiduel après chacun : par chauffages à températures croissantes, suivis d’un refroidissement en champ nul (désaimantation thermique), qui élimine d’abord les composantes de [température de blocage](#def-b3-palaeomagnetism-blocking) les plus basses, ou par champs magnétiques alternatifs de valeur crête croissante puis décroissante jusqu’à zéro (désaimantation par champ alternatif), qui élimine celles de coercivité plus faible en premier.

**Définition 4.12 (Diagramme de Zijderveld ; aimantation rémanente caractéristique).**

Un *diagramme de Zijderveld* porte les extrémités de du vecteur de rémanence résiduel après chaque palier de désaimantation sur deux plans à la fois, le plan horizontal (nord contre est) et un plan vertical (nord contre bas), avec un axe nord commun. Une composante éliminée seule sur un intervalle de paliers se traduit par un segment droit ; un segment aboutissant à l’origine est l’*aimantation rémanente caractéristique* (ARCar), la composante la plus stable, interprétée comme la composante primaire lorsque les tests le permettent.

L’échantillon de la figure ci-dessous porte deux composantes : une surimpression visqueuse alignée sur le champ actuel, éliminée à $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, et une ARCar se débloquant de 300 à $580\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, température de Curie de la magnétite. Au-dessus de $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, les deux projections rejoignent l’origine en ligne droite ; la direction de ce segment est celle de l’ARCar.

![(a) Désaimantation thermique d’un spécimen synthétique, de 20\, C à 580\, C : points pleins, la projection horizontale ; points vides, la verticale. (b) Les six directions de l’ACR du site A du problème du week-end (points), leur moyenne (étoile) et leur cône de confiance à 95 % (cercle).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-palaeomagnetism/fig-32096b38726a.svg)

*(a) Désaimantation thermique d’un spécimen synthétique, de $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ à $580\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : points pleins, la projection horizontale ; points vides, la verticale. (b) Les six directions de l’ACR du site A du problème du week-end (points), leur moyenne (étoile) et leur cône de confiance à 95 % (cercle).*

Les directions des spécimens d’un site se dispersent autour d’une moyenne, et la statistique de cette dispersion est celle d’une loi sur la sphère.

**Proposition 4.13 (Loi de Fisher).**

La *loi de Fisher* de paramètre de précision $\kappa > 0$ autour d’une direction moyenne donne à un vecteur unitaire la densité de probabilité par unité d’angle solide,

$$
f(\theta) = \frac{\kappa}{4\pi\sinh\kappa}\,e^{\kappa\cos\theta},
$$

où $\theta$ est son angle par rapport à la moyenne. Étant donnés $N$ vecteurs unitaires $\mathbf u_i$ tirés de cette loi, de résultante $\mathbf R = \sum\mathbf u_i$ de longueur $R$, la meilleure estimation de la direction moyenne est celle de $\mathbf R$ ; la précision est estimée par $k = (N - 1)/(N - R)$ ; la vraie moyenne se situe, avec la probabilité $1 - p$, dans l’angle $\alpha_{1-p}$ de la moyenne estimée, où

$$
\cos\alpha_{1-p} = 1 - \frac{N - R}{R}\Bigl[\Bigl(\frac1p\Bigr)^{1/(N-1)} - 1\Bigr].
$$

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Définition 4.14 (Alpha-95).**

L’*alpha-95* ($\alpha_{95}$) d’une direction moyenne est le demi-angle de son cône de confiance à 95 %, soit l’angle $\alpha_{1-p}$ de la [Proposition 4.13](#prop-b3-palaeomagnetism-fisher) pour $p = 0.05$.

La densité s’intègre à un : avec $\mathrm d\Omega = 2\pi\sin\theta\,\mathrm
d\theta$, $\int_0^\pi f\,2\pi\sin\theta\,\mathrm d\theta =
\frac{\kappa}{2\sinh\kappa}\cdot\frac{e^\kappa - e^{-\kappa}}{\kappa} = 1$. Les directions se moyennent comme des vecteurs unitaires, jamais comme des angles : la moyenne des déclinaisons $350{}^{\circ}$ et $10{}^{\circ}$ est le nord, non le sud. Un grand $k$ traduit un groupement serré, et $\alpha_{95}$ décroît à peu près comme $1/\sqrt{kN}$.

**Méthode 4.15 (Tests de terrain d’une direction paléomagnétique).**

On peut montrer qu’une ACR est antérieure à un événement par un test réalisé sur le terrain.

- **Test de pli.** Sites situés sur les deux flancs d’un pli : si les directions se regroupent mieux après remise à l’horizontale des couches qu’avant, l’aimantation est antérieure au plissement.
- **Test d’inversion.** Si une formation présente les deux polarités, la moyenne des directions inverses, renversées, doit coïncider avec la moyenne des directions normales, dans leurs cônes de confiance ; une surimpression visqueuse non éliminée fausserait les deux dans le même sens et romprait l’antipodalité.
- **Test du contact cuit.** Un dyke chauffe la roche encaissante voisine, qui acquiert une nouvelle ATR : si la roche cuite porte la direction du dyke et la roche encaissante plus éloignée une direction différente : l’aimantation n’a pas été remise à zéro depuis son refroidissement.

## 4.4 Pôles et plaques

Si le champ, moyenné sur quelques milliers d’années pour lisser la [variation séculaire](#def-b3-palaeomagnetism-secular), est un [dipôle axial géocentré](#def-b3-palaeomagnetism-main-field), alors la [formule du dipôle](#thm-b3-palaeomagnetism-dipole) transforme une inclinaison moyenne en latitude, et la déclinaison moyenne pointe vers le pôle.

**Définition 4.16 (Paléolatitude ; pôle géomagnétique virtuel).**

La *paléolatitude* d’un site est la latitude $\lambda$ donnée par son inclinaison moyenne via la [formule du dipôle](#thm-b3-palaeomagnetism-dipole), $\tan I =
2\tan\lambda$. Le *pôle géomagnétique virtuel* (PGV) d’une direction $(D, I)$ observée sur un site est le pôle nord du dipôle géocentré qui produirait cette direction en ce lieu.

**Théorème 4.17 (Le pôle d’une direction).**

Soit un site de latitude $\lambda_s$ et de longitude $\varphi_s$ et une direction moyenne $(D, I)$. Soit $p$ la paléocolatitude, $\cot p = \tfrac12\tan I$, avec $0 \le p \le 180{}^{\circ}$. Le [pôle géomagnétique virtuel](#def-b3-palaeomagnetism-vgp) a pour latitude $\lambda_p$ et longitude $\varphi_p$ donnés par

$$
\sin\lambda_p = \sin\lambda_s\cos p + \cos\lambda_s\sin p\cos D,\qquad
  \sin\beta = \frac{\sin p\sin D}{\cos\lambda_p},
$$

avec $\varphi_p = \varphi_s + \beta$ si $\cos p \ge \sin\lambda_s\sin\lambda_p$, et $\varphi_p = \varphi_s + 180{}^{\circ} - \beta$ sinon.

**Démonstration.** Sur la sphère, le site $S$, le pôle Nord géographique $N$ et le PGV $P$ forment un triangle sphérique (figure ci-dessous). Le côté $NS$ est la colatitude du site, $90{}^{\circ} - \lambda_s$ ; le côté $SP$ est la distance angulaire du site au pôle du dipôle, que la [formule du dipôle](#thm-b3-palaeomagnetism-dipole) donne égale à $p$, puisque la latitude magnétique du site vaut $90{}^{\circ} - p$ ; et l’angle en $S$, entre les directions vers $N$ et vers $P$, est la déclinaison $D$. La formule des cosinus pour le côté $NP = 90{}^{\circ} - \lambda_p$ donne la première relation ; la formule des sinus, $\sin\beta/\sin p = \sin D/\sin(90{}^{\circ} - \lambda_p)$, donne l’angle $\beta$ en $N$, la différence de longitudes. Le sinus ne fixe $\beta$ qu’à son supplémentaire : la formule des cosinus pour le côté $SP$, $\cos p = \sin\lambda_s
\sin\lambda_p + \cos\lambda_s\cos\lambda_p\cos\beta$, montre que $\cos\beta \ge
0$ si et seulement si $\cos p \ge \sin\lambda_s\sin\lambda_p$. ∎

![Le triangle sphérique du pôle géomagnétique virtuel : pôle géographique nord N, site S, pôle P. L’angle au site est la déclinaison D ; l’angle au pôle N est la différence de longitudes .](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-palaeomagnetism/fig-ace2463c0700.svg)

*Le triangle sphérique du [pôle géomagnétique virtuel](#def-b3-palaeomagnetism-vgp) : pôle géographique nord $N$, site $S$, pôle $P$. L’angle au site est la déclinaison $D$ ; l’angle au pôle $N$ est la différence de longitudes $\beta$.*

Le cône $\alpha_{95}$ autour de la direction moyenne devient un ovale autour du pôle, de demi-axes $\mathrm dp = \tfrac12\alpha_{95}(1 + 3\cos^2p)$ le long du grand cercle issu du site, et $\mathrm dm = \alpha_{95}\sin p/\cos I$ perpendiculairement à celui-ci. Un pôle moyenné sur plusieurs sites d’une formation, chacun étant un PGV, est un pôle paléomagnétique muni de son propre cône, $A_{95}$. Des roches de même âge sur une même plaque rigide donnent le même pôle ; des roches d’âges différents, des pôles différents.

**Définition 4.18 (Dérive apparente des pôles ; courbe de dérive apparente des pôles).**

La *dérive apparente des pôles* est la variation, avec l’âge des roches, du pôle paléomagnétique d’une plaque vue depuis cette plaque, considérée comme fixe. Une *courbe de dérive apparente des pôles* est la ligne qui relie les pôles paléomagnétiques d’une plaque dans l’ordre des âges.

Le pôle ne dérive pas : c’est la plaque qui se déplace, et la courbe enregistre ce mouvement à l’envers. Deux plaques qui se sont écartées ont des courbes différentes pour la période antérieure à leur séparation, et chaque courbe se ramène sur l’autre par la rotation finie qui referme l’océan qui les sépare. Un pôle paléomagnétique fixe la latitude d’un bloc et son orientation, mais non sa longitude : une rotation du bloc autour de l’axe de rotation ne change ni l’une ni l’autre.

Un bloc déplacé, un terrane, se confronte à la courbe de la plaque stable dont il fait désormais partie. À partir du pôle de référence de l’âge voulu, on calcule la direction attendue $(D_x, I_x)$ au site, en lisant à rebours le [Théorème 4.17](#thm-b3-palaeomagnetism-pole). Une rotation horaire du bloc autour d’un axe vertical se mesure par $R = D_o - D_x$, son déplacement vers le pôle par $P = \lambda_x -
\lambda_o$, écart entre [paléolatitudes](#def-b3-palaeomagnetism-vgp) attendue et observée ; l’erreur sur une déclinaison vaut environ $\Delta D = \arcsin(\sin\alpha_{95}/\cos I)$, et les erreurs se combinent en racine de la somme de leurs carrés. La chaîne Hawaï–Empereur a été soumise à ce test dans le volume de première année, au chapitre consacré aux points chauds : les [paléolatitudes](#def-b3-palaeomagnetism-vgp) mesurées sur les monts sous-marins de l’Empereur ont montré que le point chaud lui-même migrait vers le sud, de plus de $40\,\mathrm{mm}/\mathrm{an}$ entre $81\,\mathrm{Ma}$ et $47\,\mathrm{Ma}$.

![Projection équivalente polaire de la région polaire nord, jusqu’à 45 N (cercle extérieur), parallèles tous les 10 à partir de 50 N, méridiens tous les 30 (étiquetés en degrés est). Carrés : la courbe de dérive apparente des pôles d’un continent stable fictif, avec les cercles A_95 de ses pôles ; triangles : les pôles géomagnétiques virtuels des trois formations du terrane fictif de Kesta du problème du week-end, avec leurs cercles _95 (en pointillés). Le pôle géographique est le point au centre.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-palaeomagnetism/fig-2fa5fd85600a.svg)

*Projection équivalente polaire de la région polaire nord, jusqu’à $45{}^{\circ}$ N (cercle extérieur), parallèles tous les $10{}^{\circ}$ à partir de $50{}^{\circ}$ N, méridiens tous les $30{}^{\circ}$ (étiquetés en degrés est). Carrés : la [courbe de dérive apparente des pôles](#def-b3-palaeomagnetism-apw) d’un continent stable fictif, avec les cercles $A_{95}$ de ses pôles ; triangles : les [pôles géomagnétiques virtuels](#def-b3-palaeomagnetism-vgp) des trois formations du terrane fictif de Kesta du problème du week-end, avec leurs cercles $\alpha_{95}$ (en pointillés). Le pôle géographique est le point au centre.*

Un pôle qui se déplace par rapport à l’axe de rotation peut signifier soit que les plaques se sont déplacées, soit que la Terre solide tout entière a tourné sous l’axe de rotation.

**Définition 4.19 (Dérive vraie des pôles).**

La *dérive vraie des pôles* est la rotation de la Terre solide entière, manteau et croûte ensemble, par rapport à son axe de rotation, provoquée par des changements dans la répartition de la masse à l’intérieur de celle-ci. Elle déplace tous les pôles paléomagnétiques de toutes les plaques ensemble, d’une même rotation, alors que le mouvement des plaques déplace les pôles de chaque plaque de manière différente.

Elle n’est détectable qu’en comparant les courbes de toutes les plaques dans un référentiel indépendant de l’axe de rotation, comme celui des points chauds ; son ampleur reste discutée, et aucun taux n’est donné ici.

## 4.5 Magnétostratigraphie

**Définition 4.20 (Magnétostratigraphie).**

La *magnétostratigraphie* est la subdivision d’une série de roches en zones de polarité, intervalles de polarité normale ou inverse uniforme, et la datation de la série en faisant correspondre son motif de zones avec celui de l’échelle des polarités géomagnétiques.

Une inversion est enregistrée, à la résolution de l’échantillonnage, partout au même moment : une limite d’inversion dans une coupe est une surface isochrone. C’est le motif des zones, leur nombre et leurs épaisseurs relatives, qui est mis en correspondance ; une zone isolée pourrait être n’importe quel chron de sa polarité. Un ou deux âges indépendants, issus d’une cendre volcanique ou d’un fossile, ancrent la correspondance, et ensuite chaque limite d’inversion date la coupe. Sur la figure ci-dessous, une coupe de $64\,\mathrm{m}$ montre trois zones normales ; ajustée aux sous-chrons normaux du chron C2An, de 3.596 à $2.581\,\mathrm{Ma}$, ses limites donnent un taux d’accumulation d’environ $40\,\mathrm{m}/\mathrm{Ma}$ sous $20\,\mathrm{m}$ et $55\,\mathrm{m}/\mathrm{Ma}$ au-dessus.

![Une corrélation magnétostratigraphique : les zones de polarité d’une coupe fictive (noir, normale ; blanc, inverse) mises en correspondance avec l’échelle des polarités entre 3.8 et 2.3\, Ma. Les pointillés relient chaque limite d’inversion à son âge.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-palaeomagnetism/fig-8110f99c138a.svg)

*Une corrélation magnétostratigraphique : les zones de polarité d’une coupe fictive (noir, normale ; blanc, inverse) mises en correspondance avec l’échelle des polarités entre 3.8 et $2.3\,\mathrm{Ma}$. Les pointillés relient chaque limite d’inversion à son âge.*

**Au laboratoire — Un laboratoire de paléomagnétisme blindé.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-palaeomagnetism/img-99fe920720b1.jpg)

*Disposition des échantillons sur le plateau d’un magnétomètre dans une pièce blindée (illustration générée par IA).*

Le laboratoire est une pièce située à l’intérieur d’un blindage magnétique, fait de couches de métal à haute perméabilité qui ramènent le champ terrestre à une faible fraction de sa valeur, de sorte que les échantillons n’acquièrent aucune nouvelle aimantation pendant leur manipulation. Un paléomagnétologue dispose les échantillons, de petits cylindres de roche portant chacun une flèche d’orientation, sur un long plateau qui les fait entrer un à un dans un magnétomètre cryogénique dont les capteurs supraconducteurs, refroidis à l’hélium liquide, mesurent les trois composantes d’aimantations rémanentes bien plus faibles que ce qu’une boussole pourrait détecter. Entre deux mesures, les échantillons passent dans un four blindé pour l’étape de chauffage suivante, ou dans les bobines d’un désaimanteur à champ alternatif relié à la même ligne, et le logiciel trace chaque [diagramme de Zijderveld](#def-b3-palaeomagnetism-zijderveld) au fur et à mesure que les étapes s’accumulent.

## 4.6 Exercices

**Exercice 4.1 ★.**

Dans un champ de [dipôle axial géocentré](#def-b3-palaeomagnetism-main-field), calculer l’inclinaison à la latitude $30{}^{\circ}$ N, et la latitude d’un site où l’inclinaison vaut $-20{}^{\circ}$.

**Solution de Exercice 4.1.**

$\tan I = 2\tan30{}^{\circ} = 1.1547$, donc $I = 49.1{}^{\circ}$. Inversement, $\tan\lambda
= \tfrac12\tan(-20{}^{\circ}) = -0.1820$, donc $\lambda = -10.3{}^{\circ}$, soit $10.3{}^{\circ}$ S.

**Exercice 4.2 ★.**

À une station, le champ a pour composantes $X = 20\,000\,\mathrm{nT}$, $Y =
-2000\,\mathrm{nT}$ et $Z = 40\,000\,\mathrm{nT}$. Calculer $H$, $F$, la déclinaison magnétique et l’inclinaison.

**Solution de Exercice 4.2.**

$H = \sqrt{20000^2 + 2000^2} = 20\,100\,\mathrm{nT}$ ; $F = \sqrt{20000^2 + 2000^2 + 40000^2} = 44\,770\,\mathrm{nT}$. La déclinaison magnétique est $\arctan(-2000/20000) = -5.7{}^{\circ}$, $5.7{}^{\circ}$ à l’ouest du nord ; l’inclinaison $\arctan(40000/20100) = 63.3{}^{\circ}$, vers le bas.

**Exercice 4.3 ★.**

En 2025, $g_1^0 = -29\,350\,\mathrm{nT}$. En assimilant le champ à un dipôle axial, calculer le champ à l’équateur et aux pôles, ainsi que le moment dipolaire ($a = 6371.2\,\mathrm{km}$, $\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H}\,\mathrm{m}^{-1}$).

**Solution de Exercice 4.3.**

$B_0 = -g_1^0 = 29\,350\,\mathrm{nT}$ à l’équateur, et $2B_0 = 58\,700\,\mathrm{nT}$ aux pôles. $m = 4\pi a^3B_0/\mu_0 = a^3B_0/10^{-7} = 2.5862 \times 10^{20}\times
2.935 \times 10^{-5}/10^{-7} = 7.59 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$, un peu moins que le moment $7.69 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ du dipôle complet, qui ajoute $g_1^1$ et $h_1^1$.

**Exercice 4.4 ★.**

Donner le type d’aimantation rémanente acquise et le moment où elle enregistre le champ, pour : (a) une coulée de lave en cours de refroidissement ; (b) des limons se déposant dans un lac calme ; (c) un grès dont les enduits d’oxydes de fer se transforment en hématite lors d’un enfouissement précoce ; (d) un basalte resté un million d’années dans le champ actuel.

**Solution de Exercice 4.4.**

(a) Une [aimantation thermorémanente](#def-b3-palaeomagnetism-nrm), qui enregistre le champ au moment où la lave se refroidit en traversant les [températures de blocage](#def-b3-palaeomagnetism-blocking) de ses grains. (b) Une [aimantation rémanente détritique](#def-b3-palaeomagnetism-nrm), qui enregistre le champ pendant la sédimentation du limon, jusqu’à son verrouillage par compaction. (c) Une [aimantation rémanente chimique](#def-b3-palaeomagnetism-nrm), qui enregistre le champ pendant la croissance de l’hématite, lors de l’enfouissement précoce et donc un peu après le dépôt. (d) Une rémanence visqueuse le long du champ actuel, qui s’ajoute à l’[aimantation thermorémanente](#def-b3-palaeomagnetism-nrm) d’origine, portée par les grains à temps de relaxation le plus court ; elle est éliminée par les premières étapes de la désaimantation.

**Exercice 4.5 ★★.**

Quatre échantillons d’un même site donnent les directions $(D, I)$ : $(12{}^{\circ}, 48{}^{\circ})$, $(22{}^{\circ}, 44{}^{\circ})$, $(16{}^{\circ}, 57{}^{\circ})$ et $(6{}^{\circ}, 53{}^{\circ})$. Calculer leurs vecteurs unitaires, la longueur de la résultante $R$, la direction moyenne, $k$ et $\alpha_{95}$.

**Solution de Exercice 4.5.**

Les vecteurs unitaires $(\cos I\cos D,\ \cos I\sin D,\ \sin I)$ sont

$$
\begin{gather*}
  (0.6545, 0.1391, 0.7431),\quad (0.6670, 0.2695, 0.6947),\\
  (0.5235, 0.1501, 0.8387),\quad (0.5985, 0.0629, 0.7986).
\end{gather*}
$$

La somme vaut $(2.4435, 0.6216, 3.0751)$, de longueur $R = 3.9766$. Moyenne : $D = \arctan(0.6216/2.4435) = 14.3{}^{\circ}$, $I = \arcsin(3.0751/3.9766) =
50.7{}^{\circ}$. $k = 3/(4 - 3.9766) = 128$. Avec $20^{1/3} - 1 = 1.7144$, $\cos\alpha_{95} = 1 - (0.0234/3.9766)\times1.7144 = 0.98991$, donc $\alpha_{95} = 8.1{}^{\circ}$ : avec quatre échantillons, le cône reste large, quelle que soit la cohésion du groupe.

**Exercice 4.6 ★★.**

Un site à $40.0{}^{\circ}$ N, $10.0{}^{\circ}$ E donne la direction moyenne $D = 20{}^{\circ}$, $I = 50{}^{\circ}$. Calculer sa [paléolatitude](#def-b3-palaeomagnetism-vgp) et son [pôle géomagnétique virtuel](#def-b3-palaeomagnetism-vgp).

**Solution de Exercice 4.6.**

$\lambda = \arctan(\tfrac12\tan50{}^{\circ}) = 30.79{}^{\circ}$, donc $p = 59.21{}^{\circ}$. $\sin\lambda_p = \sin40{}^{\circ}\cos59.21{}^{\circ} + \cos40{}^{\circ}\sin59.21{}^{\circ}
\cos20{}^{\circ} = 0.9474$, $\lambda_p = 71.34{}^{\circ}$ N. $\sin\beta =
\sin59.21{}^{\circ}\sin20{}^{\circ}/\cos71.34{}^{\circ} = 0.9184$, $\beta = 66.66{}^{\circ}$. Comme $\cos p = 0.5119 < \sin40{}^{\circ}\times0.9474 = 0.6090$, le second cas s’applique : $\varphi_p = 10 + 180 - 66.66 = 123.34{}^{\circ}$ E. Le pôle est à $71.3{}^{\circ}$ N, $123.3{}^{\circ}$ E.

**Exercice 4.7 ★★.**

Le [champ géomagnétique international de référence](#def-b3-palaeomagnetism-igrf) (IGRF) donne un moment dipolaire de $8.32 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ en 1900 et $7.69 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ en 2025, et un taux de variation de $g_1^0$ de $+12.6\,\mathrm{nT}/\mathrm{an}$ en 2025. (a) Calculer la variation relative du moment par siècle. (b) Si $g_1^0$ conservait ce taux, en combien d’années atteindrait-il zéro ? Pourquoi ce n’est pas une prévision ?

**Solution de Exercice 4.7.**

(a) $(7.69 - 8.32)/8.32 = -7.6\,\%$ en 125 ans, soit $-6.1\,\%$ par siècle. (b) $29350/12.6 = 2329$, environ 2300 ans. Ce n’est pas une prévision : le taux lui-même change d’un modèle quinquennal au suivant, le moment a été à la fois plus élevé et plus faible dans le passé sans s’inverser, et le champ s’inverse à des intervalles irréguliers que nul taux ne prédit.

**Exercice 4.8 ★★.**

L’aimantation rémanente restante d’un échantillon, en $\mathrm{mA}/\mathrm{m}$ (nord, est, bas), vaut $(32.2, 18.1, 38.2)$ après chauffage à $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $(25.8, 18.1, 24.6)$ après $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, et $(0.0, 0.0, 0.0)$ après $580\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; le [diagramme de Zijderveld](#def-b3-palaeomagnetism-zijderveld) est rectiligne entre chaque paire. Calculer la direction et l’intensité de la composante éliminée entre 20 et $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ et de celle éliminée au-dessus de $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Laquelle est la ChRM, et quelle est l’autre ?

**Solution de Exercice 4.8.**

Entre 20 et $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, le vecteur a perdu $(6.4, 0.0, 13.6)$ : une composante de $15.0\,\mathrm{mA}/\mathrm{m}$, avec $D = 0.0{}^{\circ}$ et $I = \arctan(13.6/6.4) = 64.8{}^{\circ}$. Au-dessus de $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, il a perdu $(25.8, 18.1, 24.6)$ : $40.0\,\mathrm{mA}/\mathrm{m}$, $D = \arctan(18.1/25.8) = 35.1{}^{\circ}$, $I =
\arctan(24.6/31.5) = 38.0{}^{\circ}$. La seconde, qui passe par l’origine, est la ChRM ; la première, dirigée vers le nord et très inclinée, éliminée à basse température, est une surimpression visqueuse le long du champ récent.

**Exercice 4.9 ★★.**

Une formation donne $I = -35{}^{\circ}$ avec $\alpha_{95} = 5{}^{\circ}$. Calculer sa [paléolatitude](#def-b3-palaeomagnetism-vgp), l’intervalle de [paléolatitudes](#def-b3-palaeomagnetism-vgp) compatible avec $I \pm \alpha_{95}$, et les demi-axes $\mathrm dp$ et $\mathrm dm$ de l’ellipse de confiance de son pôle.

**Solution de Exercice 4.9.**

$\lambda = \arctan(\tfrac12\tan(-35{}^{\circ})) = -19.3{}^{\circ}$. Pour $I = -40{}^{\circ}$ et $-30{}^{\circ}$ : $-22.8{}^{\circ}$ et $-16.1{}^{\circ}$, un intervalle de $6.7{}^{\circ}$. $p = 90{}^{\circ} - \lambda = 109.3{}^{\circ}$, $\cos^2p = 0.1096$ : $\mathrm dp = 2.5\times(1 + 0.329) = 3.3{}^{\circ}$ et $\mathrm dm =
5\times\sin109.3{}^{\circ}/\cos35{}^{\circ} = 5.8{}^{\circ}$.

**Exercice 4.10 ★★★.**

(a) D’après le [Théorème 4.3](#thm-b3-palaeomagnetism-dipole), trouver la latitude à laquelle l’inclinaison vaut $45{}^{\circ}$, ainsi que le rapport entre le champ aux pôles et celui à l’équateur. (b) Montrer que $\mathrm dI/\mathrm d\lambda = 2/(1 + 3\sin^2\lambda)$, et en déduire où une erreur d’inclinaison donne la plus grande erreur de [paléolatitude](#def-b3-palaeomagnetism-vgp). (c) Pourquoi les [paléolatitudes](#def-b3-palaeomagnetism-vgp) issues de faibles inclinaisons sont-elles les plus précises en degrés ?

**Solution de Exercice 4.10.**

(a) $\tan\lambda = \tfrac12$, $\lambda = 26.6{}^{\circ}$. $F$ vaut $B_0$ à l’équateur et $2B_0$ aux pôles : un rapport de 2. (b) $\tan I = 2\tan\lambda$ donne $(1 + \tan^2I)\,\mathrm dI = 2(1 + \tan^2\lambda)\,\mathrm d\lambda$, donc

$$
\frac{\mathrm dI}{\mathrm d\lambda} = \frac{2/\cos^2\lambda}{1 + 4\tan^2\lambda}
  = \frac{2}{\cos^2\lambda + 4\sin^2\lambda} = \frac{2}{1 + 3\sin^2\lambda}.
$$

Une erreur $\delta I$ donne $\delta\lambda = \tfrac12(1 + 3\sin^2\lambda)\,\delta I$, de $\tfrac12\delta I$ à l’équateur, jusqu’à $2\,\delta I$ aux pôles : la plus grande erreur se situe près des pôles. (c) Près de l’équateur, l’inclinaison varie deux fois plus vite que la latitude, si bien qu’une erreur donnée d’inclinaison coûte deux fois moins de latitude ; près des pôles, l’inclinaison varie à peine avec la latitude.

**Exercice 4.11 ★★★.**

Un site se situe à $35.0{}^{\circ}$ S, $150.0{}^{\circ}$ E, sur une plaque stable dont le pôle de référence, pour l’âge d’une formation échantillonnée en ce lieu, se trouve à $70.0{}^{\circ}$ N, $300.0{}^{\circ}$ E. (a) Calculer la distance angulaire $p$ entre le site et le pôle, l’inclinaison et la déclinaison attendues, et la [paléolatitude](#def-b3-palaeomagnetism-vgp) attendue. (b) La formation donne $D_o = 30.0{}^{\circ}$, $I_o = -60.0{}^{\circ}$. Calculer la rotation $R$ et le déplacement vers le pôle $P$, et dire ce qu’ils signifient.

**Solution de Exercice 4.11.**

(a) $\cos p = \sin(-35{}^{\circ})\sin70{}^{\circ} + \cos35{}^{\circ}\cos70{}^{\circ}\cos150{}^{\circ}
= -0.5390 - 0.2426 = -0.7816$, $p = 141.41{}^{\circ}$. Puis $\tan I_x = 2\cot p =
-2.506$, $I_x = -68.2{}^{\circ}$, et $\lambda_x = 90{}^{\circ} - p = -51.4{}^{\circ}$. $\cos D_x = (\sin70{}^{\circ} - \sin(-35{}^{\circ})\cos p)/(\cos35{}^{\circ}\sin p) =
0.9617$, et comme le pôle se trouve à l’est du méridien du site ($\sin150{}^{\circ} >
0$), $D_x = 15.9{}^{\circ}$. (b) $\lambda_o = \arctan(\tfrac12\tan(-60{}^{\circ})) =
-40.9{}^{\circ}$. $R = 30.0 - 15.9 = 14.1{}^{\circ}$ : une rotation dans le sens horaire du bloc autour d’un axe vertical. $P = \lambda_x - \lambda_o = -51.4 + 40.9 =
-10.5{}^{\circ}$ : la formation se trouvait $10.5{}^{\circ}$ plus au nord que ne le prévoit la plaque stable, si bien que le bloc s’est depuis déplacé d’environ $10.5{}^{\circ}$, soit $1170\,\mathrm{km}$ vers le sud par rapport à la plaque.

**Exercice 4.12 ★★★.**

(a) D’après la [Proposition 4.13](#prop-b3-palaeomagnetism-fisher), montrer que la probabilité qu’une direction se trouve à moins de $\theta$ de la moyenne soit $(e^\kappa -
e^{\kappa\cos\theta})/(e^\kappa - e^{-\kappa})$. (b) Pour $\kappa$ grand et $\theta$ petit, montrer que cela vaut environ $1 - e^{-\kappa\theta^2/2}$, et en déduire que $63\,\%$ des directions se trouvent dans $\theta_{63} \approx
81{}^{\circ}/\sqrt\kappa$. (c) Calculer $\theta_{63}$ pour $\kappa = 50$, et vérifier le $63\,\%$ avec la formule exacte.

**Solution de Exercice 4.12.**

(a) Avec $\mathrm d\Omega = 2\pi\sin\theta'\,\mathrm d\theta'$,

$$
\int_0^\theta\frac{\kappa e^{\kappa\cos\theta'}}{4\pi\sinh\kappa}\,2\pi\sin\theta'\,
  \mathrm d\theta' = \frac{e^\kappa - e^{\kappa\cos\theta}}{2\sinh\kappa}
  = \frac{e^\kappa - e^{\kappa\cos\theta}}{e^\kappa - e^{-\kappa}} .
$$

(b) Pour $\kappa$ grand, $e^{-\kappa}$ est négligeable ; en divisant par $e^\kappa$ on obtient $1 - e^{-\kappa(1 - \cos\theta)} \approx 1 - e^{-\kappa\theta^2/2}$. Elle vaut $1 - e^{-1} = 63\,\%$ lorsque $\kappa\theta^2/2 = 1$, $\theta =
\sqrt{2/\kappa}$ radians, soit $81{}^{\circ}/\sqrt\kappa$. (c) $81/\sqrt{50} =
11.5{}^{\circ}$ ; la formule exacte donne $63.1\,\%$.

## 4.7 Problème : les couches rouges de Kesta

**Problème 4.1.**

Problème du week-end — trois formations d’un terrane déplacé, leurs directions, pôles et rotations, et l’âge de la plus jeune

Kesta est un terrane fictif, aujourd’hui situé à $47.0{}^{\circ}$ N, $15.0{}^{\circ}$ E, au bord d’un continent stable fictif. Il affleure trois formations de couches rouges : A, $60\,\mathrm{Ma}$ ; B, $30\,\mathrm{Ma}$ ; C, d’environ 3.7 à $2.4\,\mathrm{Ma}$. Chacune a été échantillonnée en plusieurs sites, et chaque spécimen a été désaimanté thermiquement ; l’[aimantation rémanente caractéristique](#def-b3-palaeomagnetism-zijderveld) (ChRM) est portée par l’hématite, et les formations sont horizontales.

**Partie I — Directions moyennes.** Les six sites de la formation A donnent $(D, I)$ : $(50{}^{\circ}, 37{}^{\circ})$, $(28{}^{\circ}, 37{}^{\circ})$, $(21{}^{\circ}, 42{}^{\circ})$, $(24{}^{\circ}, 27{}^{\circ})$, $(37{}^{\circ}, 39{}^{\circ})$, $(46{}^{\circ}, 38{}^{\circ})$.

1. Pourquoi une ChRM portée par l’hématite dans une couche rouge peut-elle être plus jeune que la couche ? Qu’est-ce qui montrerait qu’elle n’est pas beaucoup plus jeune ?
2. Calculer le vecteur unitaire de la première direction.
3. Les six vecteurs unitaires ont pour somme $(3.8943, 2.6500, 3.5717)$ . Calculer $R$ et la direction moyenne de la formation A.
4. Calculer $k$ et $\alpha_{95}$ pour la formation A.
5. La formation B donne, à partir de 7 sites, $D = 23.9{}^{\circ}$ , $I = 51.5{}^{\circ}$ et $R = 6.8979$ ; la formation C, à partir de 8 sites, $D = 3.4{}^{\circ}$ , $I =  63.7{}^{\circ}$ et $R = 7.8707$ . Calculer $k$ et $\alpha_{95}$ de chacune.
6. Quelle formation est la mieux groupée ? Quelle moyenne est la mieux définie ?

**Partie II — Paléolatitudes et pôles.**

7. Calculer les [paléolatitudes](#def-b3-palaeomagnetism-vgp) de A, B et C.
8. Pour la formation A, calculer la paléocolatitude $p$ et la latitude de son [pôle géomagnétique virtuel](#def-b3-palaeomagnetism-vgp) .
9. Calculer la longitude de ce pôle, en vérifiant quel cas du [Théorème 4.17](#thm-b3-palaeomagnetism-pole) s’applique.
10. Calculer $\mathrm dp$ et $\mathrm dm$ pour le pôle de A.
11. Les pôles de B et C se situent à $66.5{}^{\circ}$ N, $135.6{}^{\circ}$ E et $87.1{}^{\circ}$ N, $139.1{}^{\circ}$ E. Décrire la courbe des trois pôles en fonction de l’âge.

**Partie III — L’âge de la formation C.** Dans la formation C, à partir de sa base, les spécimens sont inversés jusqu’à $4.2\,\mathrm{m}$, normaux jusqu’à $14.8\,\mathrm{m}$, inversés jusqu’à $19.7\,\mathrm{m}$, normaux jusqu’à $24.6\,\mathrm{m}$, inversés jusqu’à $29.2\,\mathrm{m}$ et normaux jusqu’à $54.0\,\mathrm{m}$, puis inversés jusqu’au sommet à $64.0\,\mathrm{m}$. Un niveau de cendres à $22\,\mathrm{m}$ est daté d’environ $3.2\,\mathrm{Ma}$. Les sous-chrons normaux du chron C2An s’étendent de 3.596 à 3.330, de 3.207 à 3.116 et de 3.032 à $2.581\,\mathrm{Ma}$.

12. Faire correspondre les zones de polarité à l’échelle des temps, en utilisant le niveau de cendres.
13. Calculer le taux d’accumulation entre la première et la troisième limite d’inversion, puis entre la quatrième et la sixième.
14. Estimer les âges de la base et du sommet de la coupe.
15. Pourquoi le taux est-il une moyenne sur des centaines de milliers d’années, et qu’est-ce qui pourrait le faire varier ?

**Partie IV — Contre le continent stable, et la dérive.** Les pôles de référence du continent stable se situent à $78.0{}^{\circ}$ N, $190.0{}^{\circ}$ E ($A_{95} = 3.0{}^{\circ}$) à $60\,\mathrm{Ma}$ ; $83.5{}^{\circ}$ N, $175.0{}^{\circ}$ E ($2.5{}^{\circ}$) à $30\,\mathrm{Ma}$ ; et $87.5{}^{\circ}$ N, $150.0{}^{\circ}$ E ($2.0{}^{\circ}$) à $4\,\mathrm{Ma}$.

16. Calculer la distance angulaire entre Kesta et le pôle de référence à $60\,\mathrm{Ma}$ , ainsi que l’inclinaison et la [paléolatitude](#def-b3-palaeomagnetism-vgp) attendues.
17. Calculer la déclinaison attendue à $60\,\mathrm{Ma}$ .
18. Les directions attendues à 30 et $4\,\mathrm{Ma}$ sont $(2.9{}^{\circ},  60.0{}^{\circ})$ et $(2.5{}^{\circ}, 63.6{}^{\circ})$ . Calculer le déplacement vers le pôle $P$ de A, B et C.
19. Calculer la rotation $R$ de A, B et C.
20. Calculer les erreurs $\Delta D_o$ et $\Delta D_x$ pour A, ainsi que l’erreur de sa rotation.
21. Les erreurs de $R$ pour B et C valent $13.8{}^{\circ}$ et $17.9{}^{\circ}$ . Quelles rotations sont significatives à $95\,\%$ ?
22. Raconter l’histoire de Kesta par rapport au continent stable.
23. Calculer la dérive vers le nord de Kesta depuis la formation A, par rapport à l’axe de rotation, en degrés et en kilomètres ( $111.19\,\mathrm{km}$ par degré).
24. Calculer les [paléolatitudes](#def-b3-palaeomagnetism-vgp) compatibles avec $I \pm \alpha_{95}$ pour la formation A, et prendre comme écart-type la moitié de la largeur de cet intervalle divisée par 1.96. Donner la dérive vers le nord de Kesta depuis A, en kilomètres, avec son écart-type.

**Solution de Problème 4.1.**

**1.** L’hématite des couches rouges peut se former à partir d’oxydes et d’hydroxydes de fer bien après le dépôt du sédiment, ce qui confère une [aimantation rémanente chimique](#def-b3-palaeomagnetism-nrm) de cet âge plus récent. Un test de pli positif, si les couches ont été plissées peu après leur dépôt, ou un test d’inversion positif sur des couches rapprochées de deux polarités montrerait que l’aimantation est précoce.

**2.** $(\cos37{}^{\circ}\cos50{}^{\circ}, \cos37{}^{\circ}\sin50{}^{\circ}, \sin37{}^{\circ})
= (0.5134, 0.6118, 0.6018)$.

**3.** $R = \sqrt{3.8943^2 + 2.6500^2 + 3.5717^2} = 5.9114$. $D =
\arctan(2.6500/3.8943) = 34.2{}^{\circ}$, $I = \arcsin(3.5717/5.9114) = 37.2{}^{\circ}$.

**4.** $k = 5/(6 - 5.9114) = 56.5$. Avec $20^{1/5} - 1 = 0.8206$, $\cos\alpha_{95} = 1 - (0.0886/5.9114)\times0.8206 = 0.98771$, $\alpha_{95} =
9.0{}^{\circ}$.

**5.** B : $k = 6/(7 - 6.8979) = 58.8$ ; $20^{1/6} - 1 = 0.6475$, $\cos\alpha_{95} = 1 - (0.1021/6.8979)\times0.6475 = 0.99042$, $\alpha_{95} =
7.9{}^{\circ}$. C : $k = 7/(8 - 7.8707) = 54.1$ ; $20^{1/7} - 1 = 0.5340$, $\cos\alpha_{95} = 1 - (0.1293/7.8707)\times0.5340 = 0.99123$, $\alpha_{95} =
7.6{}^{\circ}$.

**6.** B a le $k$ le plus élevé, c’est le groupe le plus serré ; C a le plus petit $\alpha_{95}$, la moyenne la mieux définie, car elle repose sur le plus grand nombre de sites. Les trois sont proches : les trois formations sont bien regroupées.

**7.** $\lambda_A = \arctan(\tfrac12\tan37.17{}^{\circ}) = 20.76{}^{\circ}$ N, $\lambda_B = 32.15{}^{\circ}$ N, $\lambda_C = 45.33{}^{\circ}$ N.

**8.** $p = 90 - 20.76 = 69.24{}^{\circ}$. $\sin\lambda_p =
\sin47{}^{\circ}\cos69.24{}^{\circ} + \cos47{}^{\circ}\sin69.24{}^{\circ}\cos34.23{}^{\circ} =
0.2593 + 0.5272 = 0.7865$ : $\lambda_p = 51.86{}^{\circ}$ N.

**9.** $\sin\beta = \sin69.24{}^{\circ}\sin34.23{}^{\circ}/\cos51.86{}^{\circ} =
0.8516$, $\beta = 58.40{}^{\circ}$. Puisque $\cos p = 0.3545 < \sin47{}^{\circ}\times
0.7865 = 0.5752$, le deuxième cas s’applique, $\cos\beta < 0$ : $\varphi_p = 15.00 + 180 - 58.40 = 136.60{}^{\circ}$ E.

**10.** $\cos^2p = 0.1257$ : $\mathrm dp = 4.50\times1.377 = 6.2{}^{\circ}$ ; $\mathrm dm = 8.99\times\sin69.24{}^{\circ}/\cos37.17{}^{\circ} = 10.5{}^{\circ}$.

**11.** De $51.9{}^{\circ}$ N à $60\,\mathrm{Ma}$ jusqu’à $66.5{}^{\circ}$ N à $30\,\mathrm{Ma}$ puis $87.1{}^{\circ}$ N à $4\,\mathrm{Ma}$, sur pratiquement le même méridien ($136{}^{\circ}$–$139{}^{\circ}$ E) : une trajectoire vers le pôle géographique, atteinte dans son cône par la formation la plus jeune.

**12.** Le niveau de cendres, à $22\,\mathrm{m}$, se situe dans la deuxième zone à polarité normale, 19.7–$24.6\,\mathrm{m}$ ; avec un âge proche de $3.2\,\mathrm{Ma}$, cette zone est C2An.2n (3.207–3.116). Puis la zone 4.2–$14.8\,\mathrm{m}$ est C2An.3n, la zone 29.2–$54.0\,\mathrm{m}$ C2An.1n, la base à polarité inverse appartient au chron situé sous C2An, et le sommet à polarité inverse au chron situé au-dessus.

**13.** $(19.7 - 4.2)/(3.596 - 3.207) = 15.5/0.389 = 39.8\,\mathrm{m}/\mathrm{Ma}$ ; $(54.0 - 24.6)/(3.116 - 2.581) = 29.4/0.535 = 55.0\,\mathrm{m}/\mathrm{Ma}$.

**14.** Base : $3.596 + 4.2/39.8 = 3.70\,\mathrm{Ma}$. Sommet : $2.581 -
10.0/55.0 = 2.40\,\mathrm{Ma}$.

**15.** Seules les limites d’inversion sont datées, espacées de quelques centaines de milliers d’années ; entre elles, le taux est supposé constant. Un changement de subsidence, d’apport sédimentaire ou de climat, ou une lacune de dépôt, le modifierait, et un hiatus pourrait même effacer une courte zone et fausser la corrélation.

**16.** $\cos p = \sin47{}^{\circ}\sin78{}^{\circ} + \cos47{}^{\circ}\cos78{}^{\circ}
\cos175{}^{\circ} = 0.7154 - 0.1413 = 0.5741$, $p = 54.96{}^{\circ}$. $\tan I_x =
2\cot p = 1.4023$, $I_x = 54.5{}^{\circ}$ ; $\lambda_x = 35.04{}^{\circ}$ N.

**17.** $\cos D_x = (\sin78{}^{\circ} - \sin47{}^{\circ}\times0.5741)/
(\cos47{}^{\circ}\sin54.96{}^{\circ}) = 0.99976$ ; le pôle se situe à l’est du méridien du site ($\sin175{}^{\circ} > 0$), donc $D_x = 1.3{}^{\circ}$.

**18.** [Paléolatitudes](#def-b3-palaeomagnetism-vgp) attendues à partir de $I_x$ = $54.5{}^{\circ}$, $60.0{}^{\circ}$ et $63.6{}^{\circ}$ : $35.03{}^{\circ}$, $40.89{}^{\circ}$ et $45.21{}^{\circ}$. $P_A = 35.03 - 20.76 =
14.3{}^{\circ}$, $P_B = 40.89 - 32.15 = 8.7{}^{\circ}$, $P_C = 45.21 - 45.33 =
-0.1{}^{\circ}$.

**19.** $R_A = 34.2 - 1.3 = 32.9{}^{\circ}$, $R_B = 23.9 - 2.9 = 21.0{}^{\circ}$, $R_C = 3.4 - 2.5 = 0.9{}^{\circ}$, toutes dans le sens horaire.

**20.** $\Delta D_o = \arcsin(\sin8.99{}^{\circ}/\cos37.17{}^{\circ}) = 11.3{}^{\circ}$ ; $\Delta D_x = \arcsin(\sin3.0{}^{\circ}/\cos54.5{}^{\circ}) = 5.2{}^{\circ}$ ; $\Delta R_A =
\sqrt{11.3^2 + 5.2^2} = 12.4{}^{\circ}$.

**21.** $R_A = 32.9{}^{\circ} \pm 12.4{}^{\circ}$ et $R_B = 21.0{}^{\circ} \pm
13.8{}^{\circ}$ sont significatifs ; $R_C = 0.9{}^{\circ} \pm 17.9{}^{\circ}$ ne l’est pas.

**22.** Il y a $60\,\mathrm{Ma}$, Kesta se trouvait environ $14{}^{\circ}$ de latitude au sud de la position que lui assigne le continent stable, et avait pivoté d’environ $33{}^{\circ}$ dans le sens antihoraire par rapport à son orientation actuelle. À $30\,\mathrm{Ma}$, il s’était rapproché d’environ $6{}^{\circ}$ de ces $14{}^{\circ}$ vers le nord, et avait pivoté de $12{}^{\circ}$ sur les $33{}^{\circ}$ initiaux dans le sens horaire ; à $4\,\mathrm{Ma}$, il avait atteint sa place actuelle sur le continent, sans rotation restante. Il a dérivé vers le nord le long de la marge du continent, en pivotant dans le sens horaire au fil de sa progression, et était en place dès $4\,\mathrm{Ma}$.

**23.** $47.00 - 20.76 = 26.24{}^{\circ}$, soit $26.24\times111.19 =
2918\,\mathrm{km}$. Cela inclut le mouvement du continent stable lui-même ; par rapport à lui, Kesta s’est déplacé de $P_A = 14.3{}^{\circ}$.

**24.** $I = 28.18{}^{\circ}$ et $46.16{}^{\circ}$ donnent $\lambda = 15.00{}^{\circ}$ et $27.50{}^{\circ}$ : une demi-largeur de $6.25{}^{\circ}$, et un écart-type de $6.25/1.96 = 3.19{}^{\circ}$, soit $355\,\mathrm{km}$. Depuis la formation A, Kesta a dérivé vers le nord de **$(2918 \pm 355)\,\mathrm{km}$**.