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title: "Analyse structurale"
book: "Sciences de la Terre et de l’Univers à l’université — 3e année"
subject: earth
language: fr
chapter: 8
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/5/fr/chapter/8-analyse-structurale
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Chapitre 8 — Analyse structurale

Un géologue a mesuré deux cents plans de stratification sur les flancs d’un pli trop vaste pour être vu d’un seul tenant : sa charnière se trouve sous une forêt, ses flancs s’étendent sur des kilomètres. Chaque mesure est un couple de nombres. Reportées sous forme de points sur un abaque circulaire, les [pôles](#def-b3-structural-analysis-stereo) des plans s’alignent sur une seule courbe, un grand cercle, et le [pôle](#def-b3-structural-analysis-stereo) de ce grand cercle est l’axe du pli, une droite que personne n’a jamais vue. Ce chapitre construit l’abaque, la [projection stéréographique](#def-b3-structural-analysis-stereo), et l’utilise, avec les outils vectoriels qui le sous-tendent, pour trouver les axes de pli, mesurer la déformation enregistrée par des objets déformés, retrouver la contrainte à l’origine d’un jeu de failles, et restaurer une coupe déformée dans son état antérieur à la déformation.

**Tu sais déjà.**

Les grands et petits cercles d’une sphère figurent dans le volume de première année, dans son chapitre sur l’astronomie sphérique ; direction, pendage, sens du pendage, azimut et plongement dans ses chapitres sur les cartes géologiques et les coupes ; la normale unitaire ascendante d’un plan de sens de pendage $\alpha$ et de pendage $\delta$, $\vec n = (\sin\delta
\sin\alpha, \sin\delta\cos\alpha, \cos\delta)$ en composantes est, nord et haut et la moyenne vectorielle d’un ensemble de mesures dans son premier chapitre sur les méthodes de terrain et de laboratoire. Les éléments et les classes de plis, la ligne de charnière d’un pli, parallèle à $\vec n_1\times\vec n_2$ et l’angle entre flancs $180{}^{\circ} - \arccos(\vec n_1\cdot\vec n_2)$, ainsi que la théorie d’Anderson sur la rupture en faille, se trouvent dans son chapitre sur les failles, les plis et les fabriques ; la contrainte, les contraintes principales, l’ellipse de déformation et le cisaillement simple, dans son chapitre sur la contrainte, la déformation et la rhéologie ; le pitch d’un vecteur glissement (à partir de la direction, $-90{}^{\circ}$ pour une faille normale, $90{}^{\circ}$ pour une faille inverse, 0 pour un jeu senestre et $180{}^{\circ}$ pour un jeu dextre) et les axes P et T d’un mécanisme au foyer, dans son chapitre sur la source sismique. La coupe équilibrée et le décollement figurent dans le volume de deuxième année, dans son chapitre sur les Alpes. Les moindres carrés se trouvent dans la [Section 1.4](https://one-course.com/books/earth/5/fr/chapter/1-sismologie-et-imagerie-de-la-terre#sec-b3-seismology-imaging-inverse) ; les valeurs propres et les vecteurs propres d’une matrice symétrique figurent dans les volumes de mathématiques.

## 8.1 La projection stéréographique

Les données du géologue sont des orientations : l’attitude d’un plan de stratification, d’une faille, d’une foliation ; l’azimut et le plongement d’une linéation, d’une charnière de pli et d’une direction de glissement. Chacune est une direction passant par un point, sans position. Pour comparer des centaines d’entre elles, imaginons-les toutes ramenées au centre d’une sphère : une droite rencontre la moitié inférieure de la sphère en un point, un plan la coupe selon un demi-grand cercle. Une carte de l’hémisphère inférieur montre alors les droites comme points et les plans comme des courbes.

**Définition 8.1 (Projection stéréographique, canevas équiangle, projection équivalente, pôle).**

Soit une droite passant par le centre $O$ d’une sphère de rayon $R$ et coupant l’hémisphère inférieur en $P$, sous l’angle $\theta = 90{}^{\circ} - p$ à partir du nadir, où $p$ est le plongement de la droite et $t$ son azimut. La *projection stéréographique* associe $P$ au point où la droite menée du zénith à $P$ coupe le plan horizontal passant par $O$ ; ce point se trouve à la distance $r$ de $O$, dans l’azimut $t$. La carte de l’hémisphère inférieur ainsi tracée, avec son quadrillage de grands et petits cercles, est le *canevas équiangle* (ou canevas de Wulff). La *projection équivalente* envoie $P$ sur le point situé à la distance $r =
R\sqrt2\sin(\theta/2)$ dans l’azimut $t$ ; son canevas est le canevas de Schmidt. Le *pôle* d’un plan est sa droite normale, représentée comme un point : pour un plan de sens de pendage $\alpha$ et de pendage $\delta$, le pôle a pour azimut $\alpha + 180{}^{\circ}$ et pour plongement $90{}^{\circ} - \delta$.

Les deux projections placent une verticale au centre et une horizontale sur le cercle de rayon $R$, la primitive. Elles diffèrent par ce qu’elles conservent.

**Théorème 8.2 (Les deux projections).**

1. La [projection stéréographique](#def-b3-structural-analysis-stereo) place $P$ en $r = R\tan(\theta/2)$ . Elle est conforme : en chaque point, elle dilate toutes les directions du même facteur, $1/(2\cos^2(\theta/2))$ , de sorte qu’elle conserve les angles entre courbes.
2. La [projection équivalente](#def-b3-structural-analysis-stereo) multiplie toute aire par le même facteur, $1/2$ : l’aire d’une région du canevas vaut la moitié de l’aire de la région de l’hémisphère qu’elle représente.

**Démonstration.** (a) Dans le plan vertical passant par le zénith $Z$, le nadir et $P$ (première figure ci-dessous), l’arc du nadir à $P$ sous-tend l’angle $\theta$ au centre, donc l’angle inscrit $\theta/2$ en $Z$, situé à la distance $R$ au-dessus de $O$ : $r =
R\tan(\theta/2)$. Un petit pas $R\,\mathrm d\theta$ sur la sphère vers le nadir devient $\mathrm dr = R\,\mathrm d\theta/(2\cos^2(\theta/2))$ sur le canevas. Le cercle des points situés à l’angle $\theta$ du nadir a pour circonférence $2\pi R\sin\theta$ et devient un cercle de circonférence $2\pi
r$ ; le rapport vaut $\tan(\theta/2)/\sin\theta = 1/(2\cos^2(\theta/2))$, le même que le long du rayon. Une carte qui dilate également selon deux directions perpendiculaires dilate de la même façon dans toutes les directions et conserve les angles.

(b) La calotte de la sphère comprise dans l’angle $\theta$ du nadir a pour aire $2\pi R^2(1 - \cos\theta) = 4\pi R^2\sin^2(\theta/2)$ ; son image est le disque d’aire $\pi r^2 = 2\pi R^2\sin^2(\theta/2)$, moitié de celle-ci. Les deux aires sont réparties uniformément en azimut, si bien que le secteur de la calotte compris entre deux azimuts et son image gardent le rapport $1/2$, et il en va de même pour l’anneau compris entre deux valeurs de $\theta$, différence de deux calottes. Toute région est une réunion de tels petits secteurs annulaires. ∎

La [projection stéréographique](#def-b3-structural-analysis-stereo) transforme aussi tout cercle de la sphère, grand ou petit, en un cercle ou une droite du canevas ; nous l’admettons. Elle rend le [canevas équiangle](#def-b3-structural-analysis-stereo) facile à tracer au compas, et un petit cercle, le cône des droites faisant un angle fixe avec un axe, conserve sa forme. La [projection équivalente](#def-b3-structural-analysis-stereo) déforme les formes : un petit cercle devient un ovale étiré autour de la primitive. C’est la projection sur laquelle un nuage de [pôles](#def-b3-structural-analysis-stereo) peut être dénombré, puisque des aires égales du canevas contiennent une part égale des directions de l’hémisphère ; les géologues structuraux, et les sismologues pour leurs mécanismes au foyer, l’utilisent pour leurs données.

![Les deux projections, dans le plan vertical passant par la droite OP. (a) La projection stéréographique envoie P en P', où la droite issue du zénith coupe le plan horizontal : l’angle en Z vaut /2, donc r = R ( /2). (b) La projection équivalente porte P, autour du nadir, sur le plan tangent à la distance 2R ( /2) de la corde ; le canevas est ensuite réduit d’un facteur 1/√2 afin que les droites horizontales tombent sur une primitive de rayon R.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-structural-analysis/fig-25e2a9c1954b.svg)

*Les deux projections, dans le plan vertical passant par la droite $OP$. (a) La [projection stéréographique](#def-b3-structural-analysis-stereo) envoie $P$ en $P'$, où la droite issue du zénith coupe le plan horizontal : l’angle en $Z$ vaut $\theta/2$, donc $r = R\tan(\theta/2)$. (b) La [projection équivalente](#def-b3-structural-analysis-stereo) porte $P$, autour du nadir, sur le plan tangent à la distance $2R\sin(\theta/2)$ de la corde ; le canevas est ensuite réduit d’un facteur $1/\sqrt2$ afin que les droites horizontales tombent sur une primitive de rayon $R$.*

![Les deux canevas, construits à partir des formules du théorème ci-dessus : grands cercles des plans de direction nord–sud et de pendage 10 vers l’est et vers l’ouest, et petits cercles tous les 10 autour de l’axe nord–sud. Sur le canevas équiangle les petits cercles sont des cercles ; sur le canevas équivalent ce sont des ovales, mais des aires égales contiennent des parts égales de directions.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-structural-analysis/fig-2d24c90241c6.svg)

*Les deux canevas, construits à partir des formules du théorème ci-dessus : grands cercles des plans de direction nord–sud et de pendage $10{}^{\circ}$ vers l’est et vers l’ouest, et petits cercles tous les $10{}^{\circ}$ autour de l’axe nord–sud. Sur le [canevas équiangle](#def-b3-structural-analysis-stereo) les petits cercles sont des cercles ; sur le canevas équivalent ce sont des ovales, mais des aires égales contiennent des parts égales de directions.*

**Plans, droites et angles.** Un plan de sens du pendage $\alpha$ et de pendage $\delta$ coupe l’hémisphère inférieur selon un demi-grand cercle. Ses extrémités se trouvent sur la primitive aux deux bouts de la direction ; son milieu est la ligne de plus grande pente, qui plonge de $\delta$ vers $\alpha$ ; et son [pôle](#def-b3-structural-analysis-stereo) est situé à $90{}^{\circ}$ de chacun de ses points, dans l’azimut $\alpha + 180{}^{\circ}$. Une droite du plan est un point du grand cercle. Pour reporter des données, on pose sur le canevas une feuille transparente que l’on fait tourner autour du centre jusqu’à ce que la direction des données se place le long du diamètre nord–sud du canevas ; on trace alors le grand cercle du bon pendage, puis on remet la feuille en place. L’angle entre deux droites se mesure le long du grand cercle qui passe par les deux points, en comptant les divisions des petits cercles qu’il traverse, après avoir fait tourner la feuille jusqu’à ce que les deux points se trouvent sur un même grand cercle du canevas. L’angle entre deux plans est l’angle entre leurs [pôles](#def-b3-structural-analysis-stereo), ou son supplémentaire. Un ordinateur fait de même avec des vecteurs : l’angle entre deux droites de vecteurs unitaires $\vec u$ et $\vec v$ vaut $\arccos|\vec u\cdot\vec v|$.

**Méthode 8.3 (Rotation des données autour d’un axe).**

Pour défaire un basculement, par exemple pour ramener une couche à l’horizontale avec les linéations qu’elle porte, ou pour restaurer une direction paléomagnétique mesurée dans des strates basculées ([Chapitre 4](https://one-course.com/books/earth/5/fr/chapter/4-geomagnetisme-et-paleomagnetisme#ch-b3-palaeomagnetism)) :

1. Choisir l’axe de rotation : pour une couche basculée, sa ligne de direction, horizontale ; l’angle est le pendage, dans le sens qui relève la couche.
2. Sur le canevas, faire tourner la feuille jusqu’à ce que l’axe se place le long du diamètre nord–sud, où les petits cercles sont les cônes qui l’entourent.
3. Déplacer chaque point le long de son petit cercle de l’angle de rotation, compté sur les grands cercles. Un point qui sortirait de l’hémisphère inférieur réapparaît à l’autre extrémité de son petit cercle, dans l’azimut opposé.
4. Remettre la feuille en place. Avec des vecteurs, la rotation de $\vec v$ d’un angle $\omega$ autour du vecteur unitaire $\vec k$ vaut $\vec v' = \vec v  \cos\omega + (\vec k\times\vec v)\sin\omega + \vec k(\vec k\cdot\vec  v)(1 - \cos\omega)$ .

## 8.2 Analyse des plis

Un pli cylindrique est engendré par une droite, l’axe du pli, déplacée parallèlement à elle-même. Tout plan tangent à la surface plissée contient l’axe, donc toute normale à la surface est perpendiculaire à cet axe : tous les [pôles](#def-b3-structural-analysis-stereo) se situent sur le grand cercle du plan perpendiculaire à l’axe.

**Définition 8.4 (Diagramme pi, axe bêta).**

Le *diagramme pi* d’un pli est le tracé des [pôles](#def-b3-structural-analysis-stereo) des plans mesurés sur sa surface plissée. Pour un pli cylindrique, ils se situent sur un grand cercle, la $\pi$-ceinture ; le [pôle](#def-b3-structural-analysis-stereo) de la ceinture est le *axe bêta*, l’estimation de l’axe du pli donnée par les mesures.

Avec deux flancs seulement, l’[axe bêta](#def-b3-structural-analysis-pi) est le produit vectoriel de leurs normales, comme le volume de première année l’a montré pour la ligne de charnière. Avec deux cents mesures dispersées, un ajustement optimal est nécessaire. Le vecteur moyen, qui a servi pour les mesures d’un seul plan, ne convient pas : les [pôles](#def-b3-structural-analysis-stereo) d’une ceinture se répartissent dans toutes les directions le long de celle-ci, et leur moyenne dit peu de chose du cercle sur lequel ils se trouvent.

**Définition 8.5 (Tenseur d’orientation).**

Le *tenseur d’orientation* de $N$ vecteurs unitaires $\vec p_1, \dots, \vec p_N$ est la matrice symétrique

$$
T = \frac1N\sum_{i=1}^N \vec p_i\,\vec p_i^{\mathsf T},
  \qquad T_{jk} = \frac1N\sum_i p_{ij}\,p_{ik} .
$$

Il ne change pas lorsqu’un vecteur est remplacé par son opposé, il convient donc aux axes et aux [pôles](#def-b3-structural-analysis-stereo), qui n’ont pas de sens. Ses valeurs propres $\lambda_1 \ge \lambda_2
\ge \lambda_3 \ge 0$ ont pour somme sa trace, $1$.

**Théorème 8.6 (Amas et ceinture à partir du tenseur d’orientation).**

Pour tout vecteur unitaire $\vec u$,

$$
\frac1N\sum_{i=1}^N (\vec p_i\cdot\vec u)^2 = \vec u^{\mathsf T}T\,\vec u ,
$$

qui atteint sa plus petite valeur, $\lambda_3$, lorsque $\vec u$ est le vecteur propre $\vec e_3$ associé à la plus petite valeur propre, et sa plus grande, $\lambda_1$, le long du vecteur propre $\vec e_1$. Comme $\vec p_i\cdot\vec u$ est le sinus de l’angle entre $\vec p_i$ et le plan perpendiculaire à $\vec u$, le grand cercle perpendiculaire à $\vec e_3$ est la ceinture qui minimise la somme des carrés des sinus des distances des [pôles](#def-b3-structural-analysis-stereo) à ce cercle, et $\sqrt{\lambda_3}$ est leur sinus quadratique moyen. L’axe $\vec e_1$ est la droite la plus proche des vecteurs, l’axe moyen d’un amas.

**Démonstration.** $(\vec p_i\cdot\vec u)^2 = \vec u^{\mathsf T}\vec p_i\,\vec p_i^{\mathsf T}\vec
u$ ; on moyenne sur $i$. La matrice $T$ est symétrique, donc elle admet une base orthonormée de vecteurs propres, dans laquelle $\vec u = \sum_k u_k\vec e_k$ avec $\sum_k
u_k^2 = 1$ et $\vec u^{\mathsf T}T\vec u = \sum_k\lambda_k u_k^2$. Il s’agit d’une moyenne pondérée des valeurs propres, de poids $u_k^2$ dont la somme vaut 1 : elle se situe entre $\lambda_3$ et $\lambda_1$ et les atteint pour $\vec u = \vec
e_3$ et $\vec e_1$. ∎

Les valeurs propres décrivent la forme des données. Un amas a $\lambda_1$ proche de 1 et les deux autres petites ; une ceinture a $\lambda_3$ proche de 0, les [pôles](#def-b3-structural-analysis-stereo) étant répartis le long du cercle de sorte que $\lambda_1$ et $\lambda_2$ se partagent le reste ; des vecteurs dispersés uniformément donnent trois valeurs propres proches de $1/3$. Un pli est cylindrique, à la précision des mesures près, lorsque $\sqrt{\lambda_3}$ est non supérieur à la dispersion des mesures répétées d’un même plan. Un pli conique, ou deux générations de plis, écartent les [pôles](#def-b3-structural-analysis-stereo) de tout grand cercle et augmentent $\lambda_3$.

La figure ci-dessous représente douze mesures prises sur les deux flancs de l’anticlinal de Varden, pli fictif de la série ([Problème 8.1](#pb-b3-structural-analysis-1) calcule son axe). Les [pôles](#def-b3-structural-analysis-stereo) des flancs peu inclinés se regroupent près du centre du canevas en deux groupes, qui définissent ensemble une ceinture orientée presque est-ouest ; l’[axe bêta](#def-b3-structural-analysis-pi) se situe sur la primitive, presque plein nord. Les plans moyens des deux flancs, tracés comme grands cercles, se coupent au même point : l’[axe bêta](#def-b3-structural-analysis-pi) est la droite commune à tous les flancs.

![Diagramme pi de l’anticlinal de Varden sur le canevas équivalent, hémisphère inférieur : les pôles des douze mesures de stratification (points), la ceinture de meilleur ajustement issue du tenseur d’orientation (en bleu), les grands cercles des deux flancs moyens (tiretés) et l’axe bêta (triangle), où se rejoignent les trois grands cercles. Un banc à pendage est a son pôle à l’ouest du centre.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-structural-analysis/fig-0b8a3a162b6a.svg)

*[Diagramme pi](#def-b3-structural-analysis-pi) de l’anticlinal de Varden sur le canevas équivalent, hémisphère inférieur : les [pôles](#def-b3-structural-analysis-stereo) des douze mesures de stratification (points), la ceinture de meilleur ajustement issue du [tenseur d’orientation](#def-b3-structural-analysis-orientation-tensor) (en bleu), les grands cercles des deux flancs moyens (tiretés) et l’[axe bêta](#def-b3-structural-analysis-pi) (triangle), où se rejoignent les trois grands cercles. Un banc à pendage est a son [pôle](#def-b3-structural-analysis-stereo) à l’ouest du centre.*

## 8.3 Analyse de la déformation finie

Une roche déformée enregistre sa déformation lorsqu’elle contient des objets dont la forme initiale, ou la disposition initiale, est connue : ooïdes arrondis et taches de réduction, fossiles de symétrie connue, galets, ou simplement les centres de grains qui étaient autrefois régulièrement espacés.

**Définition 8.7 (Analyse de la déformation finie, méthode de Fry).**

L’*analyse de la déformation finie* est la mesure de l’ellipse de déformation, ou de l’ellipsoïde, qu’a subie une roche, à partir des formes, des orientations ou des espacements d’objets dont l’état avant la déformation est connu. Dans la *méthode de Fry*, on trace le vecteur qui joint le centre de chaque objet au centre de chacun des autres, depuis une origine commune ; lorsque les centres étaient répartis avec un espacement minimal et sans direction privilégiée, la région vide autour de l’origine est une ellipse de la forme et de l’orientation de l’ellipse de déformation.

**Proposition 8.8 (Le vide de Fry).**

Si une déformation homogène transforme tout vecteur $\vec d$ en $F\vec d$, et si aucun couple de centres n’était plus proche que $d_0$ avant la déformation, alors, après celle-ci, la région autour de l’origine du diagramme de Fry, qui est vide de points, contient l’ellipse $\{F\vec d : |\vec d| < d_0\}$, de demi-axes $S_1d_0$ et $S_2d_0$ selon les directions principales de la déformation.

**Démonstration.** Une déformation homogène déplace chaque point par la même application linéaire, plus une translation, de sorte que la différence de deux centres devient $F\vec d$. Avant la déformation, aucune différence ne se trouvait dans le disque de rayon $d_0$ ; après, aucune ne se trouve dans son image, qui est l’ellipse de déformation du volume de première année, dilatée d’un facteur $d_0$. ∎

En pratique, les centres ne sont pas tous à l’espacement minimal, et le vide se lit comme le bord intérieur de l’anneau le plus dense de points ; son rapport donne une estimation légèrement faible du rapport de déformation $R_s = S_1/S_2$. La figure ci-dessous réalise le test sur une lame mince inventée, déformée jusqu’à $R_s = 2$, avec le grand axe à $30{}^{\circ}$ de l’horizontale : l’ellipse ajustée au bord du vide donne $R_s = 1.9$ et $30{}^{\circ}$. Lorsque les objets eux-mêmes sont mesurés, les objets initialement ronds deviennent exactement des ellipses de rapport d’axes $R_s$ ; les objets initialement elliptiques, d’orientations quelconques, finissent avec des rapports $R_f$ dispersés autour de $R_s$, les plus grands lorsque leurs grands axes étaient initialement parallèles à la direction d’étirement, et leurs orientations finales $\varphi$ se regroupent autour de celle-ci. Le graphe de $R_f$ en fonction de $\varphi$, lu à l’aide de tables ou d’un ordinateur, sépare la déformation des formes initiales.

![La méthode de Fry sur une population inventée de centres de grains disposés avec un espacement minimal de 1, puis déformés jusqu’à R_s = 2, grand axe à 30 dans le sens antihoraire de l’horizontale, surface conservée. (a) Les centres, dans lesquels l’œil distingue à peine la déformation. (b) Les vecteurs entre toutes les paires de centres plus proches que 2.6 : le centre vide est l’ellipse de déformation. L’ellipse rouge est ajustée au point le plus proche dans chacun des 36 secteurs : rapport 1.9, grand axe à 30.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-structural-analysis/fig-a5f6e7fe08b5.svg)

*La [méthode de Fry](#def-b3-structural-analysis-strain-analysis) sur une population inventée de centres de grains disposés avec un espacement minimal de 1, puis déformés jusqu’à $R_s = 2$, grand axe à $30{}^{\circ}$ dans le sens antihoraire de l’horizontale, surface conservée. (a) Les centres, dans lesquels l’œil distingue à peine la déformation. (b) Les vecteurs entre toutes les paires de centres plus proches que 2.6 : le centre vide est l’ellipse de déformation. L’ellipse rouge est ajustée au point le plus proche dans chacun des 36 secteurs : rapport 1.9, grand axe à $30{}^{\circ}$.*

En trois dimensions, l’ellipsoïde de déformation possède les étirements principaux $X \ge Y
\ge Z$. Sa forme se place sur le diagramme de Flinn, avec $a = X/Y$ en fonction de $b =
Y/Z$ et le paramètre

$$
k = \frac{a - 1}{b - 1} .
$$

Sur la droite $k = 1$, qui correspond à la déformation plane à volume constant ($Y = 1$, $X = 1/Z$, donc $a = b$), l’ellipsoïde n’est ni en cigare ni en crêpe. Au-dessus, $k > 1$, l’ellipsoïde est allongé, étiré dans une direction par une constriction : les roches déformées de cette façon développent une forte linéation. En dessous, $k < 1$, il est aplati, et la roche développe une forte foliation.

![Diagramme de Flinn des ellipsoïdes de déformation. L’état non déformé est à l’origine, a = b = 1 ; les ellipsoïdes en cigare de constriction se rangent vers l’axe vertical, les crêpes d’aplatissement vers l’axe horizontal.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-structural-analysis/fig-535aa3c5f895.svg)

*Diagramme de Flinn des ellipsoïdes de déformation. L’état non déformé est à l’origine, $a = b = 1$ ; les ellipsoïdes en cigare de constriction se rangent vers l’axe vertical, les crêpes d’aplatissement vers l’axe horizontal.*

## 8.4 Paléocontrainte

La théorie d’Anderson indique sur quels plans se forment de nouvelles failles, et qu’elles glissent perpendiculairement à $\sigma_2$. La plupart des failles, cependant, sont d’anciennes zones de faiblesse réactivées dans un champ de contrainte qu’elles n’ont pas choisi, et elles glissent de façon oblique. Leurs directions de glissement, lues sur les stries des surfaces de faille, enregistrent encore la contrainte, à condition que chaque faille glisse dans le sens où la contrainte la pousse.

**Définition 8.9 (Paléocontrainte, hypothèse de Wallace–Bott, rapport de contraintes, inversion des stries de faille).**

La *paléocontrainte* est l’état de contrainte qui a agi dans une roche par le passé, dans la mesure où l’on peut le déduire des structures qu’elle a laissées : en pratique, les directions des contraintes principales et le *rapport de contraintes*

$$
\Phi = \frac{\sigma_2 - \sigma_3}{\sigma_1 - \sigma_3}, \qquad 0 \le \Phi
  \le 1 .
$$

L’*hypothèse de Wallace–Bott* postule qu’une faille glisse parallèlement à la contrainte de cisaillement projetée sur son plan par une contrainte uniforme, chaque faille indépendamment. L’*inversion des stries de faille* est la recherche des directions principales et du rapport de contraintes dont les directions de glissement prédites ajustent au mieux un ensemble de failles et de stries mesurées.

**Théorème 8.10 (Direction de glissement sur un plan).**

Soit $S$ le tenseur des contraintes, les compressions étant comptées positivement, et $\vec n$ la normale unitaire ascendante d’une faille. On pose

$$
\vec\tau = S\vec n - (\vec n\cdot S\vec n)\,\vec n .
$$

Sous l’[hypothèse de Wallace–Bott](#def-b3-structural-analysis-palaeostress), le toit glisse par rapport au mur le long de $-\vec\tau$, la traction de cisaillement qu’il exerce sur le mur. De plus :

1. la direction de $\vec\tau$ est inchangée lorsque $S$ est remplacé par $aS +  bI$ avec $a > 0$ ; elle ne dépend donc que des directions principales et de $\Phi$ , et le tenseur réduit $S' =  \mathrm{diag}(1, \Phi, 0)$ dans le repère principal $(\vec e_1, \vec  e_2, \vec e_3)$ prédit le même glissement que $S$ ;
2. si $\vec n$ est perpendiculaire à une direction principale, le glissement l’est aussi ;
3. avec $n_k = \vec n\cdot\vec e_k$ , la direction est celle de $\vec\tau'  = \vec\tau_0 + \Phi\,\vec\tau_1$ , linéaire en $\Phi$ , où $\vec\tau_0  = n_1(\vec e_1 - n_1\vec n)$ et $\vec\tau_1 = n_2(\vec e_2 - n_2\vec  n)$ .

**Démonstration.** Les compressions étant comptées positivement, le toit pousse sur le mur, à travers le plan de normale $\vec n$ pointant vers le toit, avec la traction $-S\vec n$ ; sa composante le long du plan est $-\vec\tau$. Lorsque la faille glisse, le toit se déplace dans le sens où il entraîne le mur, le long de $-\vec\tau$. (Vérification : avec $\sigma_1$ vertical, $S = \sigma_1\vec e_z\vec
e_z^{\mathsf T}$ et $-\vec\tau = -\sigma_1\cos\delta\,(\vec e_z -
\cos\delta\,\vec n)$ pointe vers le bas du pendage : il s’agit d’une faille normale.) (a) : $(aS + bI)\vec n - (\vec n\cdot(aS + bI)\vec n)\vec n = a\vec\tau + b(\vec
n - \vec n) = a\vec\tau$. En écrivant $\sigma_k = \sigma_3 + (\sigma_1 -
\sigma_3)s_k$ avec $s = (1, \Phi, 0)$, on obtient $S = \sigma_3 I + (\sigma_1 -
\sigma_3)S'$. (b) $S\vec n = \sum_k\sigma_kn_k\vec e_k$ ; si $n_j = 0$, ni $S\vec n$ ni $\vec n$ n’ont de composante selon $\vec e_j$, et il en va de même pour $\vec\tau$. (c) $S'\vec n = n_1\vec e_1 + \Phi n_2\vec e_2$ et $\vec n\cdot S'\vec n =
n_1^2 + \Phi n_2^2$ ; on regroupe les termes avec et sans $\Phi$. ∎

La partie (b) est le cas d’Anderson : une faille qui contient $\sigma_2$ glisse perpendiculairement à lui, quel que soit $\Phi$, de sorte qu’elle ne dit rien du [rapport de contraintes](#def-b3-structural-analysis-palaeostress). La partie (c) transforme un glissement mesuré en $\Phi$. Soit $\vec u$ le vecteur glissement unitaire du toit, déduit du pitch, et $\vec w = \vec n\times\vec
u$ la direction du plan perpendiculaire à celui-ci. Le glissement prédit est parallèle à $\vec u$ lorsque $(\vec\tau_0 + \Phi\vec\tau_1)\cdot\vec w = 0$, et comme $\vec n\cdot\vec w = 0$,

$$
\Phi = -\frac{n_1\,(\vec e_1\cdot\vec w)}{n_2\,(\vec e_2\cdot\vec w)} ,
$$

à condition que le glissement prédit pointe alors selon $+\vec u$ et non $-\vec u$.

Lorsque les directions principales ne sont pas connues, chaque faille fournit une équation, l’angle de son glissement dans son plan, pour quatre inconnues : trois angles qui orientent les axes principaux, et $\Phi$. Quatre failles d’attitudes différentes constituent le minimum, et quelques dizaines sont courantes. L’inversion minimise la somme des carrés des écarts angulaires entre les glissements mesurés et prédits, par moindres carrés sur une grille ou par itération comme dans la [Section 1.4](https://one-course.com/books/earth/5/fr/chapter/1-sismologie-et-imagerie-de-la-terre#sec-b3-seismology-imaging-inverse). Les failles qui ne s’ajustent pas forment une seconde population, peut-être d’un autre âge.

La figure ci-dessous présente cinq failles des monts Varden : la faille normale principale et quatre plus petites, toutes à glissement normal. Une recherche sur grille portant sur $\Phi$ et l’azimut de $\sigma_3$, avec $\sigma_1$ vertical, ajuste les cinq failles à moins d’un quart de degré près, avec $\sigma_3$ horizontal vers $120{}^{\circ}$.

![Données de stries des monts Varden sur le canevas équivalent, hémisphère inférieur : cinq plans de faille (grands cercles) avec la direction de glissement de chaque toit (points), et les contraintes principales de la meilleure contrainte ajustée : _1 vertical (carré), _2 et _3 horizontaux (losanges et triangles, aux deux extrémités de chaque axe). La faille principale, à 60 de pendage vers 120, contient _2 et glisse droit selon son pendage ; les autres glissent obliquement.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-structural-analysis/fig-4995cee04a61.svg)

*Données de stries des monts Varden sur le canevas équivalent, hémisphère inférieur : cinq plans de faille (grands cercles) avec la direction de glissement de chaque toit (points), et les contraintes principales de la meilleure contrainte ajustée : $\sigma_1$ vertical (carré), $\sigma_2$ et $\sigma_3$ horizontaux (losanges et triangles, aux deux extrémités de chaque axe). La faille principale, à $60{}^{\circ}$ de pendage vers $120{}^{\circ}$, contient $\sigma_2$ et glisse droit selon son pendage ; les autres glissent obliquement.*

Les axes P et T du volume de première année ne sont pas les contraintes principales. Ils sont construits à partir du plan de faille et du seul glissement, à $45{}^{\circ}$ du plan, dans le plan qui contient le glissement et la normale ; une faille nouvelle, dans une roche d’angle de frottement voisin de $30{}^{\circ}$, fait environ $30{}^{\circ}$ avec $\sigma_1$, et une faille réactivée fait un angle quelconque. Un seul mécanisme donne les axes P et T ; seules de nombreuses failles d’attitudes différentes, inversées ensemble, donnent la contrainte. L’hypothèse elle-même a des limites : la contrainte peut varier d’une faille à l’autre, des blocs peuvent tourner, et des failles qui se rencontrent se gênent dans leur glissement.

## 8.5 Restauration d’une coupe

Une coupe est une interprétation : entre la surface et les forages, le géologue dessine ce qui est vraisemblable. Le volume de deuxième année, dans son chapitre sur les Alpes, appelle coupe équilibrée une coupe qui peut être ramenée à un état non déformé en conservant les longueurs des couches et les aires des unités, les plis et les chevauchements s’enracinant sur un décollement. La [restauration](https://one-course.com/books/earth/5/fr/chapter/7-mecanismes-de-deformation-et-zones-de-cisaillement#def-b3-deformation-mechanisms-recrystallisation) en est le test.

**Définition 8.11 (Restauration de coupe, ligne de référence, méthode des kink-bands).**

*restauration de coupe* défait, sur une coupe dessinée parallèlement à la direction du transport tectonique, la déformation qu’elle montre, événement par événement et dans l’ordre inverse, en conservant les longueurs des couches et les aires des unités dans le plan de la coupe. Une *ligne de référence* est une ligne traversant les couches, placée là où elles n’ont pas glissé l’une sur l’autre (dans l’avant-pays non déformé, ou sur la surface axiale d’un pli symétrique), que l’on prend perpendiculaire aux couches dans la coupe restaurée ; les longueurs sont mesurées à partir d’elle. Dans la *méthode des kink-bands* les plis sont dessinés en flancs droits d’épaisseur de couche constante, reliés par des charnières vives, dont les surfaces axiales bissectent l’angle entre les flancs ; chaque couche est alors une ligne brisée, dont la longueur est la somme de ses segments droits.

Une couche pliée en flancs droits, de pendage $\delta$ dans un sens ou dans l’autre, sur la distance horizontale $L$, a pour longueur $L/\cos\delta$ : son raccourcissement est $S = L(1/\cos\delta - 1)$, la variation relative de longueur étant $\cos\delta - 1$. Les aires fournissent l’autre moitié de l’équilibre.

**Proposition 8.12 (Profondeur du décollement).**

Soit une couche située à la hauteur $h$ au-dessus d’un décollement horizontal, raccourcie de $S$ dans le plan d’une coupe, et que la roche comprise entre elle et le décollement conserve son aire, sans matière franchissant les extrémités de la coupe. Alors l’aire $A$ dont la couche plissée dépasse son niveau initial vérifie

$$
A = S\,h , \qquad\text{d'où}\qquad h = \frac AS .
$$

**Démonstration.** Avant la déformation, la roche située sous la couche occupait $L_0 h$ sur la longueur $L_0$. Après elle, la même roche s’étend sur la longueur $L_0 - S$, sous la couche, qui se trouve au niveau initial augmenté du soulèvement : son aire vaut $(L_0 - S)h + A$. En égalant les deux aires, on obtient $A = Sh$. ∎

Deux couches donnent les deux inconnues : leurs aires en excès diffèrent de $S$ fois leur écart vertical. La figure ci-dessous présente la construction.

![Restauration d’un pli à kink-bands, dessiné en équilibre avec des flancs à 50. (a) Deux couches compétentes plissées en flancs droits d’épaisseur constante sur une couche faible qui s’épaissit dans le cœur du pli, entre deux lignes de référence placées sur les surfaces axiales des synclinaux, qui sont restées au niveau initial. (b) La coupe restaurée : chaque couche est redressée, sa longueur mesurée le long des flancs, L_0, plus grande que la coupe déformée de la raccourcissement S. L’aire hachurée A, dont la couche supérieure dépasse son niveau initial, vaut S fois sa hauteur h au-dessus du décollement ; la couche faible a la même aire dans les deux panneaux.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-structural-analysis/fig-3ef0291f27de.svg)

*[Restauration](https://one-course.com/books/earth/5/fr/chapter/7-mecanismes-de-deformation-et-zones-de-cisaillement#def-b3-deformation-mechanisms-recrystallisation) d’un pli à kink-bands, dessiné en équilibre avec des flancs à $50{}^{\circ}$. (a) Deux couches compétentes plissées en flancs droits d’épaisseur constante sur une couche faible qui s’épaissit dans le cœur du pli, entre deux [lignes de référence](#def-b3-structural-analysis-restoration) placées sur les surfaces axiales des synclinaux, qui sont restées au niveau initial. (b) La coupe restaurée : chaque couche est redressée, sa longueur mesurée le long des flancs, $L_0$, plus grande que la coupe déformée de la raccourcissement $S$. L’aire hachurée $A$, dont la couche supérieure dépasse son niveau initial, vaut $S$ fois sa hauteur $h$ au-dessus du décollement ; la couche faible a la même aire dans les deux panneaux.*

Une coupe traversée par une faille se restaure dans l’ordre inverse des événements : la structure la plus jeune en premier. Une faille normale de rejet vertical $t_h$ et de pendage $\delta$ a un rejet horizontal $t_h/\tan\delta$ et un glissement $t_h/\sin\delta$ sur une coupe parallèle à son pendage ; le toit est ramené vers le haut de la faille d’une valeur égale au glissement. Sur une coupe oblique au glissement, le pendage de la faille et son déplacement sont apparents, et une coupe qui semble équilibrée peut ne pas l’être : c’est pourquoi les coupes sont tracées parallèlement à la direction de transport.

**Sur le terrain — Mesurer une attitude.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-structural-analysis/img-cd31dfccab61.jpg)

*Une boussole-clinomètre posée contre une surface rocheuse inclinée, avec un carnet de terrain. Illustration générée par IA.*

Pour mesurer un plan de stratification, le géologue pose le couvercle ouvert d’une boussole-clinomètre à plat contre la surface, choisie lisse et représentative, et tourne l’instrument jusqu’à ce que sa bulle indique l’horizontale : l’aiguille donne alors le sens du pendage, et le clinomètre, l’instrument tourné sur sa tranche, selon la ligne de plus grande pente, le pendage. La mesure se note sous la forme sens du pendage et pendage, par exemple $075/13$, avec le lieu et la nature de la surface. Les azimuts lus à l’aiguille aimantée sont corrigés de la déclinaison locale. Un téléphone intelligent équipé d’une application de géologie fournit la même information en une seule étape : posé à plat contre le plan, ses accéléromètres donnent la direction de la pesanteur et donc le pendage, et son magnétomètre l’azimut. Les géologues de terrain le comparent régulièrement à une boussole, car le fer proche et les circuits propres du téléphone peuvent perturber le magnétomètre ; ils répètent chaque mesure et moyennent les normales par la moyenne vectorielle.

## 8.6 Exercices

**Exercice 8.1 ★.**

Donner l’azimut et le plongement du [pôle](#def-b3-structural-analysis-stereo) du plan $040/30$ (sens du pendage, pendage). Donner l’attitude du plan dont le [pôle](#def-b3-structural-analysis-stereo) a pour azimut $315{}^{\circ}$ et plonge de $20{}^{\circ}$.

**Solution de Exercice 8.1.**

Le [pôle](#def-b3-structural-analysis-stereo) a un azimut $40 + 180 = 220{}^{\circ}$ et un plongement $90 - 30 = 60{}^{\circ}$. Le plan a un pendage de $90 - 20 = 70{}^{\circ}$ vers $315 - 180 = 135{}^{\circ}$ : $135/70$.

**Exercice 8.2 ★.**

Une droite plonge de $30{}^{\circ}$. À quelle distance du centre se place-t-elle sur un [canevas équiangle](#def-b3-structural-analysis-stereo) et sur un canevas équivalent, tous deux de rayon $10\,\mathrm{cm}$ ?

**Solution de Exercice 8.2.**

$\theta = 60{}^{\circ}$. [Canevas équiangle](#def-b3-structural-analysis-stereo) : $10\tan30{}^{\circ} = 5.77\,\mathrm{cm}$ ; [projection équivalente](#def-b3-structural-analysis-stereo) : $10\sqrt2\sin30{}^{\circ} = 7.07\,\mathrm{cm}$.

**Exercice 8.3 ★.**

Les flancs d’un pli ont pour attitudes $090/30$ et $270/30$. Calculer l’angle entre leurs [pôles](#def-b3-structural-analysis-stereo) par le produit scalaire des normales, l’angle entre flancs, et la classe du pli.

**Solution de Exercice 8.3.**

$\vec n_1 = (\sin30{}^{\circ}, 0, \cos30{}^{\circ})$, $\vec n_2 = (-\sin30{}^{\circ}, 0,
\cos30{}^{\circ})$, $\vec n_1\cdot\vec n_2 = -0.25 + 0.75 = 0.5$ : les [pôles](#def-b3-structural-analysis-stereo) sont distants de $60{}^{\circ}$, l’angle entre flancs vaut $120{}^{\circ}$, un pli ouvert.

**Exercice 8.4 ★.**

Une faille $090/60$ porte des stries de pitch $-45{}^{\circ}$. Avec le vecteur direction $\vec s = (0, 1, 0)$ et le vecteur de plus grande pente $\vec d$ du plan, le glissement du toit est $\vec u = \cos r\,\vec s - \sin r\,\vec d$. Calculer $\vec d$, $\vec u$, ainsi que l’azimut et le plongement du glissement. Nommer la faille.

**Solution de Exercice 8.4.**

$\vec d = (\cos60{}^{\circ}, 0, -\sin60{}^{\circ}) = (0.5, 0, -0.866)$ et $\vec u =
0.707\,\vec s + 0.707\,\vec d = (0.354, 0.707, -0.612)$ : azimut $\operatorname{atan2}(0.354, 0.707) = 26.6{}^{\circ}$, plongement $\arcsin0.612 =
37.8{}^{\circ}$. Le pitch se situe entre $-90{}^{\circ}$ (normal) et 0 (senestre) : une faille normale oblique à composante senestre.

**Exercice 8.5 ★★.**

Les flancs d’un pli ont pour attitudes $060/40$ et $250/30$. Calculer l’azimut et le plongement de son axe, ainsi que son angle entre flancs.

**Solution de Exercice 8.5.**

$$
\begin{gather*}
  \vec n_1 = (0.5567, 0.3214, 0.7660),\qquad \vec n_2 = (-0.4698, -0.1710, 0.8660),\\
  \vec n_1\times\vec n_2 = (0.4093, -0.8420, 0.0558),
\end{gather*}
$$

de longueur $0.9379$. Son opposé, $-\vec n_1\times\vec n_2$, pointe vers le bas : azimut $334.1{}^{\circ}$, plongement $\arcsin(0.0558/0.9379) = 3.4{}^{\circ}$. $\vec n_1\cdot\vec
n_2 = 0.3469$, $69.7{}^{\circ}$ entre les normales, angle entre flancs $110.3{}^{\circ}$ : un pli ouvert.

**Exercice 8.6 ★★.**

Calculer la fraction de la surface du canevas située à l’intérieur du cercle des droites plongeant de plus de $60{}^{\circ}$, sur le canevas équivalent et sur le [canevas équiangle](#def-b3-structural-analysis-stereo), ainsi que la fraction des directions de l’hémisphère inférieur qui plongent de plus de $60{}^{\circ}$. Quel canevas faut-il utiliser pour compter les [pôles](#def-b3-structural-analysis-stereo) ?

**Solution de Exercice 8.6.**

Un plongement supérieur à $60{}^{\circ}$ signifie $\theta < 30{}^{\circ}$. [Projection équivalente](#def-b3-structural-analysis-stereo) : $r^2 =
2\sin^215{}^{\circ} = 0.134$, $13.4\,\%$ du canevas ; avec le [canevas équiangle](#def-b3-structural-analysis-stereo) : $\tan^215{}^{\circ} = 0.072$, $7.2\,\%$. Sur la sphère, la calotte représente $1 - \cos30{}^{\circ} = 0.134$ de l’hémisphère : seule la [projection équivalente](#def-b3-structural-analysis-stereo) la restitue fidèlement, donc c’est sur elle que l’on compte les [pôles](#def-b3-structural-analysis-stereo).

**Exercice 8.7 ★★.**

Trois [pôles](#def-b3-structural-analysis-stereo) se trouvent dans le plan vertical est–ouest, à $-20{}^{\circ}$, $0$ et $20{}^{\circ}$ de la verticale : $\vec p = (\sin a, 0, -\cos a)$. Calculer leur [tenseur d’orientation](#def-b3-structural-analysis-orientation-tensor), ses valeurs propres et vecteurs propres, et l’[axe bêta](#def-b3-structural-analysis-pi). Pourquoi la plus petite valeur propre est-elle exactement nulle ?

**Solution de Exercice 8.7.**

$$
\begin{gather*}
  T_{xx} = \frac{2\sin^220{}^{\circ}}3 = 0.078,\qquad
  T_{zz} = \frac{2\cos^220{}^{\circ} + 1}3 = 0.922,\\
  T_{xz} = -\frac{\sin20{}^{\circ}\cos20{}^{\circ} - \sin20{}^{\circ}\cos20{}^{\circ}}3 = 0,
\end{gather*}
$$

et tous les termes en $y$ sont nuls. Les valeurs propres sont $0.922$ (verticale), $0.078$ (est) et $0$ (nord) : l’[axe bêta](#def-b3-structural-analysis-pi) est horizontal, nord–sud. Les trois [pôles](#def-b3-structural-analysis-stereo) sont dans un même plan, donc aucun n’a de composante selon sa normale, et $\vec u^{\mathsf T}T\vec u = 0$ pour $\vec u$ dirigé selon ce plan.

**Exercice 8.8 ★★.**

Placer sur le diagramme de Flinn l’ellipsoïde $X : Y : Z = 3 : 1.5 : 1$, puis l’ellipsoïde à volume constant avec $X = 1.8$ et $Y = 1.1$. Calculer $k$ pour chacun et nommer la déformation.

**Solution de Exercice 8.8.**

$a = 2$, $b = 1.5$, $k = 1/0.5 = 2$ : constriction. $Z = 1/(1.8\times1.1) =
0.505$, $a = 1.636$, $b = 2.178$, $k = 0.636/1.178 = 0.54$ : aplatissement.

**Exercice 8.9 ★★.**

Dans une coupe parallèle à l’étirement, des ooïdes initialement circulaires sont des ellipses de rapport d’axes $2.25$, toutes parallèles, et l’aire de chacune est inchangée. Calculer les étirements principaux et l’extension selon le grand axe. Avant la déformation, les centres des ooïdes n’étaient jamais plus proches que $0.4\,\mathrm{mm}$ : donner les demi-axes du vide du diagramme de Fry.

**Solution de Exercice 8.9.**

$S_1/S_2 = 2.25$ et $S_1S_2 = 1$ : $S_1 = 1.5$, $S_2 = 0.667$ ; le grand axe a été allongé de $50\,\%$. Le vide a pour demi-axes $1.5\times0.4 =
0.60\,\mathrm{mm}$ et $0.667\times0.4 = 0.27\,\mathrm{mm}$.

**Exercice 8.10 ★★★.**

À $\theta = 60{}^{\circ}$ du nadir, calculer l’étirement selon le rayon, $\mathrm dr/(R\,\mathrm d\theta)$, et autour du cercle, $r/(R\sin\theta)$, pour les deux projections. Vérifier le théorème sur les projections, et donner le rapport des axes de l’ovale dans lequel le canevas équivalent transforme un très petit cercle à cet endroit.

**Solution de Exercice 8.10.**

[Canevas équiangle](#def-b3-structural-analysis-stereo) : $1/(2\cos^230{}^{\circ}) = 0.667$ selon la direction radiale et $\tan30{}^{\circ}/\sin60{}^{\circ} = 0.577/0.866 = 0.667$ en direction orthoradiale : ils sont égaux et la projection est conforme. [Projection équivalente](#def-b3-structural-analysis-stereo) : $\mathrm dr/(R\,\mathrm d\theta) = (\sqrt2/2)\cos30{}^{\circ} = 0.612$ et $\sqrt2\sin30{}^{\circ}/\sin60{}^{\circ} = 0.707/0.866 = 0.816$ ; le produit vaut $0.500$, soit le facteur d’aire du théorème. Un petit cercle devient un ovale d’axes dans le rapport $0.816/0.612 = 1.33$, dont le grand axe est orienté autour du centre.

**Exercice 8.11 ★★★.**

Dans un régime décrochant, $\sigma_1$ est horizontale vers $000{}^{\circ}$, $\sigma_3$ horizontale vers $090{}^{\circ}$ et $\sigma_2$ verticale. Une faille verticale de direction $020{}^{\circ}$. Sans calculer $\vec\tau$, montrer que son glissement est horizontal pour tout $\Phi$. Calculer ensuite $-\vec\tau$ pour $\Phi = 0.4$ avec la normale au plan $\vec n = (\cos20{}^{\circ}, -\sin20{}^{\circ}, 0)$ et donner le sens du glissement.

**Solution de Exercice 8.11.**

La faille est verticale, donc sa normale est horizontale et perpendiculaire à la verticale $\sigma_2$ ; d’après la partie (b) du théorème, le glissement est perpendiculaire à $\sigma_2$, horizontal, pour tout $\Phi$. Avec $\sigma_1 = 1$ selon le nord, $\sigma_3 = 0$ selon l’est : $S\vec n = (0, -0.342, 0)$, $\vec n\cdot S\vec n =
0.117$, $\vec\tau = (0, -0.342, 0) - 0.117\,(0.940, -0.342, 0) = (-0.110,
-0.302, 0)$ et $-\vec\tau = (0.110, 0.302, 0)$, vers $020{}^{\circ}$. Le bloc du côté de $\vec n$, le côté est, se déplace vers le nord-nord-est le long de la direction : vu depuis le côté ouest, il se déplace vers la gauche, une faille senestre (pitch 0). $\sigma_2$ n’est pas intervenu dans le calcul.

**Exercice 8.12 ★★★.**

Une coupe de $20\,\mathrm{km}$ de long traverse un train de plis de décollement. Deux horizons distants de $1.0\,\mathrm{km}$, se trouvent au-dessus de leur niveau initial d’une aire de $6.0\,\mathrm{km}^{2}$ (inférieur) et $7.5\,\mathrm{km}^{2}$ (supérieur). Calculer le raccourcissement, la profondeur du décollement sous l’horizon inférieur, la longueur initiale de la coupe et sa variation relative de longueur.

**Solution de Exercice 8.12.**

$S = (7.5 - 6.0)/1.0 = 1.5\,\mathrm{km}$ ; $h = 6.0/1.5 = 4.0\,\mathrm{km}$ sous l’horizon inférieur. La coupe mesurait $20 + 1.5 = 21.5\,\mathrm{km}$ de long, et a varié de $-1.5/21.5 = -7.0\,\%$.

## 8.7 Problème : plis et failles des collines de Varden

**Problème 8.1.**

Problème du week-end — l’axe d’un pli, la contrainte d’un système de failles et la restauration d’une coupe, dans une région fictive

Dans les collines de Varden, région fictive de la série, une couverture mésozoïque repose sur un socle de schistes et de granite. La couverture est plissée en un anticlinal droit et un synclinal droit à flancs rectilignes, puis recoupée par une faille normale. Un géologue a mesuré douze plans de stratification sur les deux flancs de l’anticlinal (sens du pendage/pendage, en degrés) :

| flanc est | 075/13 | 084/11 | 089/13 | 079/14 | 086/12 | 072/11 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| flanc ouest | 283/11 | 272/13 | 281/14 | 288/10 | 276/13 | 274/12 |

Les sommes des normales unitaires ascendantes des six mesures de chaque flanc sont $\vec S_E = (1.2583, 0.2017, 5.8604)$ et $\vec S_W = (-1.2445, 0.1886,
5.8636)$ (est, nord, haut). Cinq failles portent des stries (sens du pendage/pendage, pitch du glissement du toit) : $120/60/{-90}$ (la faille principale), $150/55/{-76}$, $090/65/{-108}$, $200/70/{-78}$ et $060/50/{-105}$. La faille principale présente un rejet vertical de $200\,\mathrm{m}$. Les axes de l’anticlinal et du synclinal sont distants de $4\,\mathrm{km}$, de sorte que les plis se répètent tous les $8\,\mathrm{km}$ d’est en ouest.

**Partie I — Pôles et axe bêta.**

1. Donner l’azimut et le plongement du [pôle](#def-b3-structural-analysis-stereo) de la mesure $075/13$ , ainsi que sa distance au centre d’un canevas équivalent de rayon $10\,\mathrm{cm}$ .
2. Calculer la normale unitaire ascendante de la mesure $075/13$ ; la comparer à $\vec S_E$ en module.
3. Calculer l’attitude moyenne de chaque flanc à partir de $\vec S_E$ et $\vec S_W$ , les longueurs des résultantes moyennes, et l’écart quadratique moyen des mesures autour de leurs moyennes.
4. Calculer $\vec S_E\times\vec S_W$ , ainsi que l’azimut et le plongement de l’ [axe bêta](#def-b3-structural-analysis-pi) .
5. Calculer l’angle entre les deux normales moyennes, l’angle entre flancs, et la classe du pli.
6. Le plan axial de ce pli symétrique contient l’ [axe bêta](#def-b3-structural-analysis-pi) et est perpendiculaire à $\vec m_E - \vec m_W$ , la différence des normales unitaires moyennes. Donner son attitude ; le pli est-il droit ?
7. Donner l’attitude de la ceinture $\pi$ , et expliquer pourquoi les [pôles](#def-b3-structural-analysis-stereo) se trouvent sur elle.

**Partie II — Le tenseur d’orientation.** Le [tenseur d’orientation](#def-b3-structural-analysis-orientation-tensor) des douze [pôles](#def-b3-structural-analysis-stereo) est

$$
T = \begin{pmatrix} 0.04400 & 0.00035 & 0.00109\\ 0.00035 & 0.00144 & 0.03179\\
  0.00109 & 0.03179 & 0.95456 \end{pmatrix},
$$

avec les valeurs propres $0.95562$, $0.04400$ et $0.00038$.

8. Vérifier que la trace de $T$ vaut 1. Avec $\vec b = (0.0053, -0.9994,  0.0333)$ , le vecteur unitaire selon $\vec S_E\times\vec S_W$ , calculer $\vec b^{\mathsf T}T\vec b$ . Que dit le résultat de $\vec b$ ?
9. Calculer l’écart angulaire quadratique moyen entre les [pôles](#def-b3-structural-analysis-stereo) et la ceinture.
10. Expliquer la valeur de $\lambda_2$ à partir des pendages des flancs.
11. Le pli est-il cylindrique à la précision des mesures près ?
12. Le plongement de l’ [axe bêta](#def-b3-structural-analysis-pi) est fixé par l’inclinaison nord–sud de la ceinture, à laquelle chaque [pôle](#def-b3-structural-analysis-stereo) contribue avec la dispersion trouvée à la question 9. Estimer l’erreur type du plongement.

**Partie III — La paléocontrainte.**

13. De quel type est la faille principale ? Selon Anderson, donner les directions de $\sigma_1$ , $\sigma_2$ et $\sigma_3$ .
14. Montrer, à l’aide du théorème sur la direction de glissement, que la faille principale glisse droit selon son pendage pour toute valeur de $\Phi$ . Que nous apprend-elle sur $\Phi$ ?
15. Pour la faille $150/55$ , calculer $\vec n$ et ses composantes $n_1 =  \vec n\cdot\vec e_1$ et $n_2 = \vec n\cdot\vec e_2$ , avec $\vec e_1$ vertical et $\vec e_2$ horizontal, dirigé vers $030{}^{\circ}$ .
16. Son glissement donne $\vec w = \vec n\times\vec u = (0.771, 0.605, 0.198)$ . Calculer $\Phi$ .
17. Les trois autres petites failles donnent $\Phi = 0.294$ , $0.301$ et $0.306$ . Donner la moyenne, et dire d’où provient la dispersion.
18. Que dit $\Phi = 0.3$ de $\sigma_2$ ?
19. Calculer les axes P et T de la faille principale (à $45{}^{\circ}$ du plan, dans son plan de pendage), et les comparer à $\sigma_1$ et $\sigma_3$ .

**Partie IV — Restauration d’une coupe est–ouest.**

20. Calculer le pendage apparent du flanc est, $080.9/12.3$ , sur une coupe est–ouest.
21. En prenant les flancs à $12{}^{\circ}$ sur la coupe, calculer la longueur restaurée d’une longueur d’onde de pli, le raccourcissement et la variation relative de longueur.
22. Calculer la hauteur de la crête de l’anticlinal au-dessus des synclinaux et l’aire en excès d’une longueur d’onde, en supposant que les synclinaux sont restés à leur niveau initial.
23. Calculer la profondeur du décollement sous l’horizon plissé. Les plis peuvent-ils être décollés à la base de la couverture, à quelques centaines de mètres de profondeur ?
24. Calculer le rejet horizontal et le glissement de la faille principale sur une coupe orientée à $120{}^{\circ}$ .
25. Sur la coupe est–ouest, calculer le pendage apparent de la faille et son rejet horizontal apparent. Quelle coupe doit être restaurée ?
26. Dans quel ordre la faille et les plis sont-ils restaurés, et où sont placées les [lignes de référence](#def-b3-structural-analysis-restoration) ?
27. Quel est le plongement de l’axe du pli de Varden, déduit des douze mesures ?

**Solution de Problème 8.1.**

**1.** Le [pôle](#def-b3-structural-analysis-stereo) a pour azimut $255{}^{\circ}$ et pour plongement $77{}^{\circ}$ ; $\theta =
13{}^{\circ}$ et $r = 10\sqrt2\sin6.5{}^{\circ} = 1.60\,\mathrm{cm}$ du centre, vers $255{}^{\circ}$.

**2.** $\vec n = (\sin13{}^{\circ}\sin75{}^{\circ}, \sin13{}^{\circ}\cos75{}^{\circ},
\cos13{}^{\circ}) = (0.2173, 0.0582, 0.9744)$. Six vecteurs unitaires presque parallèles s’additionnent presque à 6 : $|\vec S_E| = 5.9974$.

**3.** Flanc est : $\bar\alpha = \operatorname{atan2}(1.2583, 0.2017) =
80.9{}^{\circ}$ et $\bar\delta = \arccos(5.8604/5.9974) = 12.3{}^{\circ}$ ; $\bar R
= 5.9974/6 = 0.99956$ et la dispersion vaut $\sqrt{2\times0.00044} =
0.0297\,\mathrm{rad}$, soit $1.7{}^{\circ}$. Flanc ouest : $\bar\alpha =
\operatorname{atan2}(-1.2445, 0.1886) = 278.6{}^{\circ}$ et $\bar\delta =
\arccos(5.8636/5.9972) = 12.1{}^{\circ}$ ; $\bar R = 0.99953$, dispersion $1.8{}^{\circ}$.

**4.**

$$
\vec S_E\times\vec S_W = (0.0774, -14.6714, 0.4883),
$$

de longueur $14.680$. Son opposé pointe vers le bas : l’azimut vaut $\operatorname{atan2}(-0.0774, 14.6714) = 359.7{}^{\circ}$ et le plongement $\arcsin(0.4883/14.680) = 1.9{}^{\circ}$.

**5.** Le cosinus de l’angle entre les normales moyennes vaut $32.835/35.968 = 0.9129$, le produit scalaire des sommes divisé par leurs longueurs : $24.1{}^{\circ}$ entre les normales, soit un angle entre flancs de $155.9{}^{\circ}$ : un pli ouvert, voisin d’un pli doux.

**6.**

$$
\begin{gather*}
  \vec m_E = (0.2098, 0.0336, 0.9772),\qquad \vec m_W = (-0.2075, 0.0314, 0.9777),\\
  \vec m_E - \vec m_W = (0.4173, 0.0022, -0.0005):
\end{gather*}
$$

une normale horizontale vers $089.7{}^{\circ}$. Le plan axial est vertical, de direction $359.7{}^{\circ}$, pratiquement nord–sud : le pli est droit.

**7.** La ceinture est le plan dont le [pôle](#def-b3-structural-analysis-stereo) est l’[axe bêta](#def-b3-structural-analysis-pi) : sens du pendage $179.7{}^{\circ}$, pendage $90 - 1.9 = 88.1{}^{\circ}$, presque vertical, dans le plan est–ouest. Chaque flanc contient l’axe de pli, donc chaque normale est perpendiculaire à lui et se situe dans le plan qui lui est perpendiculaire.

**8.** $0.04400 + 0.00144 + 0.95456 = 1.00000$. $\vec b^{\mathsf T}T\vec
b = 0.00038$, la plus petite valeur propre : $\vec b$ est, à l’arrondi près, le vecteur propre $\vec e_3$, et la ceinture passant par les deux [pôles](#def-b3-structural-analysis-stereo) moyens est la meilleure ceinture d’ajustement parmi les douze.

**9.** $\arcsin\sqrt{0.00038} = \arcsin0.0195 = 1.1{}^{\circ}$.

**10.** Le long de la ceinture, les [pôles](#def-b3-structural-analysis-stereo) se situent à environ $12.2{}^{\circ}$ de la verticale, de part et d’autre ; $\sin^212.2{}^{\circ} = 0.045$, le carré moyen de leurs composantes est–ouest, soit $\lambda_2$.

**11.** Oui : les [pôles](#def-b3-structural-analysis-stereo) s’écartent de la ceinture de $1.1{}^{\circ}$ en moyenne, pas plus que la dispersion de $1.7{}^{\circ}$ des mesures d’un seul flanc autour de leur moyenne.

**12.** $1.1{}^{\circ}/\sqrt{12} = 0.3{}^{\circ}$ : le plongement vaut $1.9{}^{\circ}$ $\pm$ $0.3{}^{\circ}$.

**13.** Un pitch de $-90{}^{\circ}$ : une faille normale pure, à glissement de pendage. Anderson : $\sigma_1$ verticale, $\sigma_3$ horizontale selon le sens du pendage, $120{}^{\circ}$–$300{}^{\circ}$, $\sigma_2$ horizontale selon la direction, $030{}^{\circ}$–$210{}^{\circ}$.

**14.** La normale de $120/60$ se situe dans le plan vertical d’azimut $120{}^{\circ}$, qui contient $\vec e_1$ et $\vec e_3$ : $n_2 = 0$. D’après la question (b), le glissement est perpendiculaire à $\sigma_2$, qui suit la direction, quel que soit $\Phi$ : il est à glissement de pendage. La faille ne dit rien de $\Phi$ ; dans la formule, $n_2$ et $\vec e_2\cdot\vec w$, donc numérateur et dénominateur s’annulent.

**15.** $\vec n = (\sin55{}^{\circ}\sin150{}^{\circ}, \sin55{}^{\circ}\cos150{}^{\circ},
\cos55{}^{\circ}) = (0.4096, -0.7094, 0.5736)$; $n_1 = 0.574$; $n_2 = 0.5\times
0.4096 + 0.866\times(-0.7094) = -0.410$.

**16.** $\vec e_1\cdot\vec w = 0.198$ et $\vec e_2\cdot\vec w = 0.5\times
0.771 + 0.866\times0.605 = 0.909$, donc $\Phi = -(0.574\times0.198)/(-0.410\times
0.909) = 0.1137/0.3727 = 0.305$.

**17.** $(0.305 + 0.294 + 0.301 + 0.306)/4 = 0.30$. Les pitchs ont été arrondis au degré près ; un degré de pitch déplace $\Phi$ d’environ 0.02 sur ces failles, si bien que l’arrondi au demi-degré explique la dispersion.

**18.** $\sigma_2 - \sigma_3 = 0.3(\sigma_1 - \sigma_3)$ : $\sigma_2$ est plus proche de $\sigma_3$ que de $\sigma_1$. Les deux contraintes horizontales sont nettement inférieures à la verticale ; la région a été étirée surtout vers $120{}^{\circ}$, un peu selon $030{}^{\circ}$.

**19.** Avec $\vec n = (0.750, -0.433, 0.500)$ et le glissement $\vec u =
(0.433, -0.250, -0.866)$, $(\vec n - \vec u)/\sqrt2$ plonge de $75{}^{\circ}$ vers $300{}^{\circ}$ : P ; $(\vec n + \vec u)/\sqrt2$ plonge de $15{}^{\circ}$ vers $120{}^{\circ}$ : T. Ils sont dans le même plan vertical que $\sigma_1$ et $\sigma_3$, mais décalés de $15{}^{\circ}$ par rapport à eux, car la faille fait $30{}^{\circ}$, et non $45{}^{\circ}$, avec $\sigma_1$.

**20.** $\tan a = \tan12.3{}^{\circ}\times\cos(90{}^{\circ} - 80.9{}^{\circ}) =
0.2180\times0.9874 = 0.2153$: $a = 12.1{}^{\circ}$.

**21.** $L_0 = 8000/\cos12{}^{\circ} = 8178.7\,\mathrm{m}$, $S =
178.7\,\mathrm{m}$, une variation relative de $\cos12{}^{\circ} - 1 =
-2.2\,\%$.

**22.** $4000\tan12{}^{\circ} = 850.2\,\mathrm{m}$; $A = \tfrac12\times8000\times
850.2 = 3.40 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{2}$.

**23.** $h = 3.40 \times 10^{6}/178.7 = 19.0\,\mathrm{km}$. Un décollement à la base de la couverture donnerait $h$ de quelques centaines de mètres et une aire excédentaire environ cinquante fois plus petite : les plis ne sont pas décollés à cet endroit. Soit le socle s’est plissé avec la couverture, soit les synclinaux se sont enfoncés sous le niveau initial, ce qui réduit $A$ ; la coupe seule ne permet pas de trancher.

**24.** Rejet horizontal $200/\tan60{}^{\circ} = 115.5\,\mathrm{m}$, glissement $200/\sin60{}^{\circ}
= 230.9\,\mathrm{m}$.

**25.** $\tan a = \tan60{}^{\circ}\cos30{}^{\circ} = 1.500$ : $a = 56.3{}^{\circ}$, et le rejet horizontal apparent vaut $200/1.5 = 133.3\,\mathrm{m}$. Le glissement de la faille est selon le pendage, vers $120{}^{\circ}$ : la coupe selon $120{}^{\circ}$ montre les vraies longueurs et c’est celle qu’il faut restaurer.

**26.** La faille recoupe les plis, elle est donc plus jeune et on la restaure en premier, en faisant remonter le toit le long de la faille de $230.9\,\mathrm{m}$ ; les plis sont alors dépliés. Les [lignes de référence](#def-b3-structural-analysis-restoration) se placent sur les surfaces axiales des synclinaux, dans le mur, là où les plis symétriques ne présentaient aucun glissement entre les couches.

**27.** L’axe du pli de Varden plonge **$1.9{}^{\circ}$** vers le nord (azimut $359.7{}^{\circ}$) : le $2{}^{\circ}$ imposé à la région, retrouvé à la précision de $0.3{}^{\circ}$ qu’autorisent les douze mesures.