---
title: "Pemodelan Unsur Jejak"
book: "Ilmu Kebumian dan Antariksa Universitas — Tahun 3"
subject: earth
language: id
chapter: 12
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/5/id/chapter/12-pemodelan-unsur-jejak
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
---

# Bab 12 — Pemodelan Unsur Jejak

Dua basal meletus di pulau yang sama, berjarak beberapa kilometer. Yang satu mengandung lantanum lebih dari satu setengah kali lipat dibanding yang lain, dan hampir empat kali lebih sedikit iterbium. Apakah keduanya meleleh dari dua mantel berbeda, atau dari satu mantel yang meleleh dengan jumlah berbeda, atau pada kedalaman berbeda? Unsur mayor hampir tidak memberi petunjuk: keduanya basal. Unsur jejak, yang mengikuti mineral tanpa mengubahnya, menyimpan catatan tentang seberapa banyak lelehan dihasilkan, bagaimana lelehan itu keluar dari sumbernya, dan mineral mana yang tertinggal. Bab ini menuliskan catatan itu dalam bentuk persamaan dan membacanya kembali.

**Yang sudah kamu ketahui.**

Koefisien partisi mineral–lelehan $D$, koefisien partisi total, unsur kompatibel dan inkompatibel, unsur tanah jarang, kondrit CI dan mantel primitif, diagram ternormalisasi, dan anomali europium, MORB dan OIB ada di volume Tahun 2, dalam bab tentang unsur-unsur di Bumi. Peridotit, lherzolit, pelelehan sebagian, dan fraksi lelehan $F$ ada di bab tentang pelelehan mantel. Kesetimbangan dan kristalisasi fraksional, hukum fraksionasi Rayleigh, pencampuran dan asimilasi–kristalisasi fraksional (AFC), dalam bab tentang diferensiasi magmatik. Di sana telah dibuktikan bahwa rasio dua unsur yang sangat inkompatibel tetap konstan selama kristalisasi.

## 12.1 Pembukuan batuan yang meleleh

Batuan bermassa 1 meleleh. Pada fraksi lelehan $F$, ia telah membentuk massa $F$ lelehan dan menyisakan massa $1 - F$ residu padat. Suatu unsur jejak yang hadir dengan konsentrasi $C_0$ dalam sumber terbagi di antara keduanya; konsentrasinya dalam lelehan $C_L$, dalam residu $C_S$. Setiap model bab ini adalah bentuk dari satu persamaan neraca, $C_0 = FC_L + (1 - F)C_S$ untuk seluruh lelehan dan residu, dan suatu aturan yang menghubungkan $C_S$ dengan $C_L$: pada kontak antara kristal dan lelehan, $C_{\text{mineral}} = D\,C_L$. Model-model berbeda dalam hal apa yang bersentuhan dengan apa, dan kapan.

Koefisien partisi mineral-mineral mantel sangat bervariasi. Dalam satu kompilasi, lantanum memiliki $D = 0.058$ dalam klinopiroksen dan $0.001$ dalam garnet serta dalam olivin, ortopiroksen, dan spinel; iterbium memiliki $D = 0.58$ dalam klinopiroksen, $4.5$ dalam garnet, dan $0.16$ pada ketiga lainnya. Garnet menyerap unsur tanah jarang berat dan menolak yang ringan.

**Definisi 12.1 (Pelelehan non-modal).**

Pada *pelelehan non-modal*, mineral-mineral sumber masuk ke dalam lelehan dengan proporsi $p_i$ yang berbeda dari fraksi massanya $x_i$ dalam sumber. Lelehan kemudian melihat koefisien partisi total sumber, $D_0 = \sum_i x_iD_i$, pada awalnya, dan koefisien berbobot pelelehan $P = \sum_i p_iD_i$ seiring lelehan itu bertambah.

Pelelehan jarang bersifat modal. Dalam satu contoh terhitung untuk lherzolit spinel dengan $58\,\%$ olivin, $27\,\%$ ortopiroksen, $12\,\%$ klinopiroksen dan $3\,\%$ spinel, mineral-mineral itu masuk ke dalam lelehan dengan proporsi 20, 25, 45 dan $10\,\%$: klinopiroksen meleleh empat kali lebih cepat daripada bagiannya, olivin tiga kali lebih lambat.

**Proposisi 12.2 (Koefisien partisi total residu).**

Pada [pelelehan non-modal](#def-b3-trace-element-modelling-nonmodal) dengan $p_i$ konstan, residu pada fraksi lelehan $F$ memiliki koefisien partisi total

$$
\bar D(F) = \frac{D_0 - PF}{1 - F},
$$

berlaku selama setiap mineral masih ada, yaitu untuk $F < x_i/p_i$ untuk setiap $i$.

**Bukti.** Per satuan massa sumber, massa mineral $i$ yang tersisa pada $F$ adalah $x_i - p_iF$, dan residu bermassa $1 - F$. Koefisien totalnya adalah rata-rata berbobot massa, $\sum_i (x_i - p_iF)D_i/(1 - F) = (D_0 - PF)/(1 - F)$. Suatu mineral habis ketika $x_i - p_iF = 0$. ∎

Dengan koefisien mineral di atas, lherzolit spinel pada contoh terhitung dan lherzolit garnet yang dipertahankan pada $5\,\mathrm{GPa}$ dan $1400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ di laboratorium, dengan $54.1\,\%$ olivin, $9.8\,\%$ ortopiroksen, $19.5\,\%$ klinopiroksen dan $16.7\,\%$ garnet menurut massa, diperoleh koefisien total berikut.

| sumber | $D_{\mathrm{La}}$ | $D_{\mathrm{Sm}}$ | $D_{\mathrm{Yb}}$ |
| --- | --- | --- | --- |
| lherzolit spinel | 0.0078 | 0.062 | 0.21 |
| lherzolit garnet | 0.012 | 0.107 | 0.97 |

Lantanum sangat inkompatibel pada keduanya. Iterbium cukup inkompatibel pada lherzolit spinel dan hampir netral pada lherzolit garnet. Perbedaan antara kedua sumber hampir seluruhnya terletak pada unsur tanah jarang berat.

## 12.2 Pelelehan tumpak

**Teorema 12.3 (Pelelehan tumpak).**

Pada *pelelehan tumpak*, lelehan tetap dalam kesetimbangan dengan seluruh residu sampai lelehan keluar sekaligus dalam satu tumpak. Dengan koefisien partisi total $D$ yang konstan, lelehan dan residu pada fraksi lelehan $F$ memiliki

$$
\frac{C_L}{C_0} = \frac{1}{D + F(1 - D)}, \qquad
\frac{C_S}{C_0} = \frac{D}{D + F(1 - D)}.
$$

**Bukti.** Pada kesetimbangan, setiap kristal residu menyimpan $D_iC_L$, sehingga residu rata-rata menyimpan $C_S = DC_L$. Kesetimbangan $C_0 = FC_L + (1 - F)DC_L$ memberi $C_L$, dan $C_S$ mengikuti. ∎

Rumusnya adalah hukum kristalisasi kesetimbangan dari volume Tahun 2 yang dibaca dari belakang: pada keduanya, $F$ adalah fraksi cairan dalam sistem tertutup. Dua batas perlu diketahui. Ketika $F \to 0$, $C_L \to C_0/D$: tetes lelehan pertama paling banyak dapat memperkaya suatu unsur dengan faktor $1/D$. Ketika $D \to 0$, $C_L \to
C_0/F$: unsur yang benar-benar inkompatibel terencerkan ke dalam lelehan, dan pengayaannya hanya bergantung pada $F$. Untuk unsur kompatibel, $D > 1$, lelehan lebih miskin daripada sumbernya, dan makin miskin untuk $F$ yang makin kecil.

**Proposisi 12.4 (Pelelehan tumpak non-modal).**

Pada [pelelehan tumpak](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) dengan proporsi pelelehan $p_i$ dari [Definisi 12.1](#def-b3-trace-element-modelling-nonmodal),

$$
\frac{C_L}{C_0} = \frac{1}{D_0 + F(1 - P)}.
$$

**Bukti.** Residu menyimpan $\bar D(F)\,C_L$ ([Proposisi 12.2](#prop-b3-trace-element-modelling-residue)), sehingga $C_0 = FC_L + (1 - F)\bar D(F)C_L = C_L(F + D_0 - PF)$. ∎

Ketika $P$ melampaui $D_0$, seperti untuk lantanum dalam contoh terselesaikan, dengan $D_0 =
0.0074$ dan $P = 0.025$, residu kehilangan inang terbaiknya, klinopiroksen, lebih cepat daripada mineral lainnya. Lelehan kemudian sedikit lebih kaya daripada yang diramalkan pelelehan modal, sebesar kurang dari $2\,\%$ pada $F = 0.1$ untuk lantanum (latihan 6), tetapi residu kehabisan klinopiroksen pada $F = 0.12/0.45 \approx 0.27$, dan setelah itu mineral dan koefisiennya berubah.

## 12.3 Pelelehan fraksional dan dinamis

Lelehan dalam peridotit berkumpul di sepanjang tepi butir dan dapat keluar begitu saling terhubung. Anggota ujung yang berlawanan dengan [pelelehan tumpak](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) menyingkirkan setiap tetes begitu ia terbentuk.

**Teorema 12.5 (Pelelehan fraksional).**

Pada *pelelehan fraksional*, setiap penambahan lelehan berada dalam kesetimbangan dengan residu hanya pada saat ia terbentuk, lalu meninggalkannya. Dengan $D$ konstan, setelah massa total $F$ lelehan terekstraksi, residu dan lelehan yang terbentuk pada saat itu memiliki

$$
\frac{C_S}{C_0} = (1 - F)^{1/D - 1}, \qquad
\frac{C_L}{C_0} = \frac{1}{D}(1 - F)^{1/D - 1}.
$$

**Bukti.** Residu memiliki massa $1 - F$ dan konsentrasi $C_S$. Ketika massa $\mathrm dF$ lelehan keluar pada $C_L = C_S/D$, unsur dalam residu berkurang sebesar $\mathrm d[(1 - F)C_S] = -(C_S/D)\,\mathrm dF$. Dengan menjabarkan, $(1 - F)\,\mathrm dC_S = C_S(1 - 1/D)\,\mathrm dF$, sehingga $\mathrm dC_S/C_S = (1/D - 1)\,\mathrm d[-\ln(1 - F)]$. Mengintegralkan dari $C_S = C_0$ pada $F = 0$ memberi $\ln(C_S/C_0) = (1/D - 1)\ln(1 - F)$, dan $C_L = C_S/D$. ∎

Untuk unsur inkompatibel, $1/D - 1$ besar dan positif: residu terkuras dalam beberapa kali $D$ dari pelelehan, dan lelehan sesaat turun dari $C_0/D$ hampir ke nol. Residu [pelelehan fraksional](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional) jauh lebih miskin daripada residu [pelelehan tumpak](#thm-b3-trace-element-modelling-batch). Namun lelehan tidak dierupsikan satu per satu, melainkan berkumpul dalam alur dan membentuk kolam; lelehan terkumpul, yang didefinisikan di bawah, digambar putus-putus pada gambar.

![Pengayaan unsur jejak dalam lelehan terhadap fraksi lelehan, untuk empat koefisien partisi total. (a) Lelehan tumpak (padat) dan lelehan fraksional teragregasi (putus-putus; untuk D = 1 keduanya tetap 1). (b) Lelehan sesaat dari pelelehan fraksional: unsur dengan D = 0.01 habis dari residu setelah beberapa persen pelelehan.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-trace-element-modelling/fig-17708ec3a91f.svg)

*Pengayaan unsur jejak dalam lelehan terhadap fraksi lelehan, untuk empat koefisien partisi total. (a) Lelehan tumpak (padat) dan [lelehan fraksional teragregasi](#def-b3-trace-element-modelling-fractional) (putus-putus; untuk $D = 1$ keduanya tetap 1). (b) Lelehan sesaat dari [pelelehan fraksional](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional): unsur dengan $D = 0.01$ habis dari residu setelah beberapa persen pelelehan.*

**Definisi 12.6 (Lelehan fraksional teragregasi).**

Yang disebut *lelehan fraksional teragregasi* adalah campuran dari semua lelehan sesaat pada [pelelehan fraksional](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional) dari $0$ hingga $F$, yang dikumpulkan tanpa reaksi lebih lanjut dengan residu.

**Proposisi 12.7 (Komposisi lelehan teragregasi).**

Dengan $D$ konstan, [lelehan fraksional teragregasi](#def-b3-trace-element-modelling-fractional) memiliki

$$
\frac{\bar C_L}{C_0} = \frac{1 - (1 - F)^{1/D}}{F}.
$$

**Bukti.** Unsur yang diekstraksi adalah sumber dikurangi residu, $C_0 - (1 - F)C_S = C_0[1 - (1 - F)^{1/D}]$ menurut [Teorema 12.5](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional), tersebar pada massa $F$ lelehan. ∎

Begitu $(1 - F)^{1/D}$ kecil, lelehan teragregasi menampung seluruh unsur dan $\bar C_L \approx C_0/F$, berapa pun $D$: untuk unsur yang sangat inkompatibel, lelehan fraksional yang digabung dan [pelelehan tumpak](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) dengan $D$ kecil sepakat, dan keduanya mengukur $F$.

Pelelehan nyata berada di antara kedua ekstrem. Residu menyimpan sebagian lelehan di dalam porinya, dan lelehan yang keluar adalah kelebihan di atas porositas itu.

**Definisi 12.8 (Pelelehan dinamis).**

Pada *pelelehan dinamis* (disebut juga pelelehan kontinu), residu mempertahankan fraksi massa lelehan $\phi$ yang konstan di dalam porinya, dalam kesetimbangan dengan kristalnya, dan setiap lelehan yang terbentuk melampaui itu diekstraksi.

**Proposisi 12.9 (Pelelehan dinamis).**

[Pelelehan dinamis](#def-b3-trace-element-modelling-dynamic) dengan porositas $\phi$ adalah [pelelehan fraksional](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional) dengan koefisien partisi efektif $D' = (1 - \phi)D + \phi$, dengan $F$ adalah fraksi massa lelehan yang diekstraksi:

$$
\frac{C_L}{C_0} = \frac{1}{D'}(1 - F)^{1/D' - 1}.
$$

**Bukti.** Residu terdiri dari kristal dengan fraksi $1 - \phi$ dan lelehan pori dengan fraksi $\phi$, keduanya dalam kesetimbangan dengan lelehan pada $C_L$, sehingga berlaku $C_S = [(1 - \phi)D + \phi]C_L = D'C_L$. Pembuktian [Teorema 12.5](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional) kemudian berlaku dengan $D'$. ∎

Untuk $\phi = 0$ model ini adalah [pelelehan fraksional](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional); untuk $\phi \to 1$ model ini mendekati [pelelehan tumpak](#thm-b3-trace-element-modelling-batch). Porositas satu persen membatasi pengayaan lelehan pertama pada $1/\phi = 100$, berapa pun kecil $D$: lelehan pori berperan sebagai zona penyangga bagi residu.

![Tiga cara lelehan keluar dari sumber yang meleleh. (a) Tumpak: lelehan tetap bersama seluruh residu, lalu keluar. (b) Fraksional: setiap penambahan keluar sekaligus; penambahan yang digabung membentuk lelehan teragregasi. (c) Dinamis: residu menyimpan fraksi massa lelehan yang kecil di dalam porinya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-trace-element-modelling/fig-97ab3ce2518f.svg)

*Tiga cara lelehan keluar dari sumber yang meleleh. (a) Tumpak: lelehan tetap bersama seluruh residu, lalu keluar. (b) Fraksional: setiap penambahan keluar sekaligus; penambahan yang digabung membentuk lelehan teragregasi. (c) Dinamis: residu menyimpan fraksi massa lelehan $\phi$ yang kecil di dalam porinya.*

## 12.4 Pelelehan, lalu kristalisasi

Lelehan yang meninggalkan sumbernya jarang keluar ke permukaan tanpa berubah. Ia mengkristal olivin, lalu piroksen dan plagioklas dalam perjalanan ke atas, ia mungkin mengasimilasi batuan dinding, dan ia mungkin bercampur dengan kumpulan lain. Hukum-hukum volume Tahun 2 berlaku secara bergantian: lava adalah lelehan dengan fraksi $F$ dari sumbernya, lalu cairan yang telah mempertahankan fraksi $f$ dari massanya melalui kristalisasi fraksional, sehingga untuk unsur dengan $D$ pada residu pelelehan dan $D_c$ pada mineral yang mengkristal,

$$
C_{\text{lava}} = C_0\,\frac{1}{D + F(1 - D)}\,f^{\,D_c - 1}.
$$

Faktor kedua itu sama untuk setiap unsur yang ditolak oleh mineral pengkristal, yakni $D_c \approx 0$: faktor itu menskalakan semuanya dengan $1/f$. Rasio unsur semacam itu karena itu ditentukan di sumbernya, dan lava yang telah kehilangan olivin tetap mempertahankan La/Yb dari lelehan primernya selagi lantanumnya naik. Membalik $F$ dari suatu konsentrasi juga memerlukan $f$; membalik sumber dari suatu rasio tidak. Plagioklas adalah pengecualian di antara unsur tanah jarang: ia menyerap europium, dan pengeluarannya menyisakan anomali europium dari volume Tahun 2.

## 12.5 Membaca pola unsur tanah jarang

Lelehan dari lherzolit spinel dan lelehan dari lherzolit garnet berbagi unsur tanah jarang ringan, yang tidak disimpan oleh kedua residu, dan berbeda pada unsur berat, yang ditahan oleh garnet. Pada diagram ternormalisasi kondrit, lelehan garnet tampak curam dan berdasar datar di ujung berat; lelehan spinel lebih landai. Kecuraman itu meningkat seiring turunnya $F$.

![Pola unsur tanah jarang ternormalisasi kondrit dari lelehan tumpak sumber mantel primitif, dari lherzolit spinel (lingkaran biru) dan lherzolit garnet (kotak merah), pada tiga fraksi lelehan; sumbernya adalah garis tipis. Hanya sembilan unsur tanah jarang yang koefisien partisinya tercantum dalam tabel yang digambarkan.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-trace-element-modelling/fig-6905612211f2.svg)

*Pola unsur tanah jarang ternormalisasi kondrit dari lelehan tumpak sumber mantel primitif, dari lherzolit spinel (lingkaran biru) dan lherzolit garnet (kotak merah), pada tiga fraksi lelehan; sumbernya adalah garis tipis. Hanya sembilan unsur tanah jarang yang koefisien partisinya tercantum dalam tabel yang digambarkan.*

Garnet digantikan oleh spinel sebagai mineral kaya aluminium di mantel pada kedalaman sekitar 60 hingga $90\,\mathrm{km}$. Lelehan yang unsur tanah jarang beratnya datar dan rendah, dengan kemiringan curam dari unsur ringan ke berat, oleh karena itu garnet tertinggal dalam residunya dan mulai meleleh setidaknya pada kedalaman itu.

Suatu pola memuat dua besaran tak diketahui, $F$ dan sumbernya. Dengan memplot dua unsur satu sama lain akan memisahkan keduanya.

**Definisi 12.10 (Diagram rasio–rasio).**

Yang disebut *diagram rasio–rasio* memplot, untuk sekumpulan lava, rasio unsur $H$ yang sangat inkompatibel terhadap unsur $M$ yang kurang inkompatibel terhadap konsentrasi $H$ (atau terhadap rasio lain). Pelelehan sebagian, kristalisasi, dan pencampuran menggambar garis dengan bentuk berbeda di atasnya.

**Proposisi 12.11 (Garis pelelehan tumpak).**

Untuk lelehan tumpak dari satu sumber dengan $D_H = 0$ dan $D_M$ konstan, titik-titik $(C_H, C_H/C_M)$ terletak pada garis lurus

$$
\frac{C_H}{C_M} = \frac{D_M}{C_0^M}\,C_H + \frac{C_0^H(1 - D_M)}{C_0^M}.
$$

**Bukti.** Dengan $D_H = 0$, $C_H = C_0^H/F$, sehingga $1/F = C_H/C_0^H$. Maka $C_H/C_M = (C_0^H/F)\,(D_M + F(1 - D_M))/C_0^M = C_0^HD_M/(FC_0^M) +
C_0^H(1 - D_M)/C_0^M$, dan suku pertama adalah $(D_M/C_0^M)\,C_H$. ∎

Kristalisasi fraksional mineral yang menolak kedua unsur menggeser lava secara horizontal pada diagram ini, karena rasionya tidak berubah; pelelehan menggesernya sepanjang garis miring yang kemiringannya membesar seiring $D_M$; pencampuran dua lelehan menggambar sebuah hiperbola. Sumber dengan garnet memiliki $D_{\mathrm{Yb}}$ besar, sehingga garis pelelehan curam pada La/Yb terhadap La.

**Metode 12.12 (Membalik dua lava).**

(1) Periksa bahwa lava-lava itu kogenetik dan bahwa $H$ jauh lebih inkompatibel daripada $M$. (2) Koreksi setiap lava akibat kristalisasi, atau gunakan hanya rasio. (3) Melalui dua lava atau lebih, cocokkan garis $C_H/C_M = aC_H + b$. (4) Maka $a = D_M/C_0^M$ dan $b = C_0^H(1 - D_M)/C_0^M$: dengan $C_0^M$ diasumsikan, $D_M =
aC_0^M$ dan $C_0^H = bC_0^M/(1 - D_M)$. (5) Fraksi lelehan tiap lava adalah $F = C_0^H/C_H$.

![Lelehan tumpak dari sumber mantel primitif pada diagram La/Yb terhadap La, untuk lherzolit spinel dan lherzolit garnet, dengan tanda pada F = 1, 2, 5, 10, dan 20\,\%, serta dua lava rekaan dari soal akhir pekan. Setiap lava berada pada satu kurva saja.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-trace-element-modelling/fig-d592557d157a.svg)

*Lelehan tumpak dari sumber mantel primitif pada diagram La/Yb terhadap La, untuk lherzolit spinel dan lherzolit garnet, dengan tanda pada $F = 1$, 2, 5, 10, dan $20\,\%$, serta dua lava rekaan dari soal akhir pekan. Setiap lava berada pada satu kurva saja.*

Pada skala logaritmik garis lurus proposisi itu melengkung, dan dengan $D_{\mathrm{La}} \ne 0$ garis itu hanya hampir lurus pada skala linear; kurva pada gambar bersifat eksak. Sumber spinel tidak dapat membentuk lelehan dengan La/Yb di atas $(C_0^{\mathrm{La}}/D_{\mathrm{La}})/(C_0^{\mathrm{Yb}}/D_{\mathrm{Yb}})$, sekitar 40 untuk mantel primitif; sumber garnet dapat mencapai sekitar 120.

## 12.6 Latihan

**Latihan 12.1 ★.**

Dengan koefisien mineral samarium, 0.40 dalam klinopiroksen, 0.11 dalam garnet, 0.016 dalam olivin, ortopiroksen, dan spinel, hitung koefisien partisi total samarium dalam lherzolit spinel ($12\,\%$ klinopiroksen) dan dalam lherzolit garnet ($19.5\,\%$ klinopiroksen, $16.7\,\%$ garnet) dalam bab ini.

**Solusi Latihan 12.1.**

Lherzolit spinel: $0.12\times0.40 + 0.88\times0.016 = 0.048 + 0.0141 =
0.062$. Lherzolit garnet: $0.195\times0.40 + 0.167\times0.11 +
0.639\times0.016 = 0.078 + 0.0184 + 0.0102 = 0.107$.

**Latihan 12.2 ★.**

Suatu unsur dengan $D = 0.05$ hadir sebesar $1\,\mathrm{ppm}$ dalam sumber. Hitung konsentrasinya dalam lelehan tumpak pada $F = 0.02$ dan $0.10$.

**Solusi Latihan 12.2.**

$1/(0.05 + 0.02\times0.95) = 1/0.069 = 14.5\,\mathrm{ppm}$; $1/(0.05 + 0.10\times0.95) = 1/0.145 = 6.9\,\mathrm{ppm}$.

**Latihan 12.3 ★.**

Berapa pengayaan $C_L/C_0$ terbesar yang dapat diberikan [pelelehan tumpak](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) kepada suatu unsur dengan $D = 0.01$? Dan kepada suatu unsur dengan $D = 0$ pada $F = 5\,\%$?

**Solusi Latihan 12.3.**

Pengayaan paling besar terjadi ketika $F \to 0$: $1/D = 100$. Dengan $D = 0$, $C_L/C_0 = 1/F = 20$.

**Latihan 12.4 ★.**

Suatu lava mengandung $30\,\mathrm{ppm}$ La dan $2.5\,\mathrm{ppm}$ Yb. Dengan nilai kondrit CI La 0.232 dan Yb $0.163\,\mathrm{ppm}$, hitung La/Yb-nya dan $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N$ ternormalisasi kondrit.

**Solusi Latihan 12.4.**

$\mathrm{La/Yb} = 30/2.5 = 12.0$; $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N =
(30/0.232)/(2.5/0.163) = 129.3/15.34 = 8.4$.

**Latihan 12.5 ★★.**

Untuk suatu unsur dengan $D = 0.01$, bandingkan residu setelah $5\,\%$ [pelelehan tumpak](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) dan [pelelehan fraksional](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional). Apa yang dikandung lelehan fraksional sesaat pada saat itu?

**Solusi Latihan 12.5.**

Tumpak: $C_S/C_0 = 0.01/(0.01 + 0.05\times0.99) = 0.168$. Fraksional: $(0.95)^{99} = 0.0062$, 27 kali lebih rendah. Lelehan sesaat memiliki $0.0062/0.01 = 0.62\,C_0$: lebih rendah daripada sumbernya.

**Latihan 12.6 ★★.**

Dalam contoh kerja dalam bab ini (modus 58, 27, 12, $3\,\%$; proporsi pelelehan 20, 25, 45, $10\,\%$ untuk olivin, ortopiroksen, klinopiroksen, dan spinel), lantanum memiliki koefisien 0.0003, 0.002, 0.053, dan 0.01. Hitung $D_0$ dan $P$, lalu pengayaan lantanum dalam lelehan tumpak pada $F = 0.02$ dan $0.10$, non-modal dan modal.

**Solusi Latihan 12.6.**

$D_0 = 0.58\times0.0003 + 0.27\times0.002 + 0.12\times0.053 + 0.03\times0.01
= 0.00737$; $P = 0.20\times0.0003 + 0.25\times0.002 + 0.45\times0.053 +
0.10\times0.01 = 0.0254$. Pada $F = 0.02$: non-modal $1/(0.00737 +
0.02\times0.9746) = 37.2$, modal $1/(0.00737 + 0.02\times0.9926) = 36.7$. Pada $F = 0.10$: 9.54 dan 9.38, berselisih $1.7\,\%$.

**Latihan 12.7 ★★.**

Pada $F = 0.10$, bandingkan lelehan tumpak dan [lelehan fraksional teragregasi](#def-b3-trace-element-modelling-fractional) untuk $D = 0.1$ dan untuk $D = 0.01$. Mana yang lebih berbeda, dan mengapa?

**Solusi Latihan 12.7.**

$D = 0.1$: tumpak $1/(0.1 + 0.09) = 5.26$; teragregasi $(1 - 0.9^{10})/0.1 =
6.51$. $D = 0.01$: tumpak $1/(0.01 + 0.099) = 9.17$; teragregasi $(1 - 0.9^{100})/0.1 = 10.00$. Pasangan dengan $D = 0.1$ lebih berbeda: untuk $D = 0.01$ kedua lelehan sudah memuat hampir seluruh unsur, dan keduanya cenderung ke $1/F$.

**Latihan 12.8 ★★.**

Suatu unsur dengan $D = 0.001$ meleleh secara dinamis dengan $\phi = 0.01$. Hitung $D'$, pengayaan lelehan pertama yang diekstraksi, dan pengayaan lelehan yang diekstraksi pada $F = 0.01$; bandingkan dengan [pelelehan fraksional](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional).

**Solusi Latihan 12.8.**

$D' = 0.99\times0.001 + 0.01 = 0.01099$. Lelehan pertama: $1/D' = 91$, dibandingkan 1000 pada [pelelehan fraksional](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional). Pada $F = 0.01$: $91\times0.99^{90.0} = 36.8$, dibandingkan $1000\times0.99^{999} = 0.044$: lelehan pori mencegah residu terkuras.

**Latihan 12.9 ★★.**

Pada lherzolit spinel bab ini, $D_{\mathrm{La}} = 0.0078$ dan $D_{\mathrm{Sm}} = 0.062$. Dengan faktor berapa [pelelehan tumpak](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) menaikkan La/Sm di atas nilai sumber pada $F = 0.01$ dan pada $F = 0.10$? Apa artinya bagi penggunaan rasio untuk menaksir $F$?

**Solusi Latihan 12.9.**

Rasio dinaikkan dengan faktor $(D_{\mathrm{Sm}} + F(1 - D_{\mathrm{Sm}}))/(D_{\mathrm{La}}
+ F(1 - D_{\mathrm{La}}))$: pada $F = 0.01$, $0.0714/0.0177 = 4.0$; pada $F = 0.10$, $0.156/0.107 = 1.46$. Rasio peka terhadap $F$ pada $F$ kecil dan hampir tidak peka di atas sekitar $10\,\%$; juga bergantung pada $D_{\mathrm{Sm}}$, sehingga pada mineral residu.

**Latihan 12.10 ★★★.**

Tunjukkan bahwa [lelehan fraksional teragregasi](#def-b3-trace-element-modelling-fractional) adalah rata-rata dari lelehan sesaat dari 0 sampai $F$, dan bahwa nilainya menuju $C_0/F$ ketika $(1 - F)^{1/D} \to 0$. Untuk $D = 0.01$, mulai dari $F$ berapa nilainya berada dalam $1\,\%$ dari $C_0/F$?

**Solusi Latihan 12.10.**

$\frac1F\int_0^F \frac1D(1 - x)^{1/D - 1}\,\mathrm dx = \frac1F\bigl[-(1 -
x)^{1/D}\bigr]_0^F = [1 - (1 - F)^{1/D}]/F$, rumus dalam bab ini; jika $(1 - F)^{1/D} \to 0$, nilainya menuju $1/F$ kali $C_0$. Dalam selisih $1\,\%$: $(1 - F)^{100} < 0.01$, $F > 1 - 0.01^{0.01} = 0.045$, sekitar $4.5\,\%$.

**Latihan 12.11 ★★★.**

Dua lava kogenetik P dan Q memiliki La 20 dan $10\,\mathrm{ppm}$, serta La/Yb 10 dan 6. Dengan asumsi lantanum sepenuhnya inkompatibel dan sumber dengan $0.44\,\mathrm{ppm}$ Yb, terapkan metode bab ini: tentukan $D_{\mathrm{Yb}}$, La sumber, dan fraksi lelehan tiap lava.

**Solusi Latihan 12.11.**

Kemiringan $a = (10 - 6)/(20 - 10) = 0.40\,\mathrm{ppm}^{-1}$; intersep $b = 10 -
0.40\times20 = 2.0$. $D_{\mathrm{Yb}} = 0.40\times0.44 = 0.176$; $C_0^{\mathrm{La}} = 2.0\times0.44/0.824 = 1.07\,\mathrm{ppm}$. $F_P = 1.07/20 =
5.3\,\%$, $F_Q = 1.07/10 = 10.7\,\%$.

**Latihan 12.12 ★★★.**

Pada [pelelehan non-modal](#def-b3-trace-element-modelling-nonmodal) latihan 6, pada fraksi lelehan berapa setiap mineral habis? Hitung koefisien total residu untuk lantanum pada $F = 0.2$, dan jelaskan mengapa rumus bab ini tidak dapat dipakai melewati habisnya pertama.

**Solusi Latihan 12.12.**

$F = x_i/p_i$: klinopiroksen $0.12/0.45 = 0.27$, spinel $0.03/0.10 = 0.30$, ortopiroksen $0.27/0.25 = 1.08$, olivin $0.58/0.20 = 2.9$; klinopiroksen meleleh lebih dulu. Pada $F = 0.2$: $\bar D = (0.00737 - 0.0254\times0.2)/0.8 =
0.0029$. Setelah $F = 0.27$ nilai $p_i$ berubah (tidak ada lagi klinopiroksen untuk meleleh), dan rumusnya, yang mengasumsikan $p_i$ konstan, tidak lagi berlaku.

## 12.7 Soal: Dua Lava Pulau Aldren

**Soal 12.1.**

Soal akhir pekan — sumber, kedalaman, dan derajat pelelehan dua basal rekaan, dari lantanum dan iterbium

Di Pulau Aldren, pulau vulkanik rekaan, lava A mengandung $9.6\,\mathrm{ppm}$ La dan $1.7\,\mathrm{ppm}$ Yb, lava B $15.6\,\mathrm{ppm}$ La dan $0.45\,\mathrm{ppm}$ Yb. Keduanya diambil sebagai lelehan primer dari sumber mantel primitif dengan $0.648\,\mathrm{ppm}$ La dan $0.441\,\mathrm{ppm}$ Yb (kondrit CI: La 0.232, Yb $0.163\,\mathrm{ppm}$). Koefisien mineral: La 0.058 dalam klinopiroksen dan 0.001 dalam garnet serta dalam olivin, ortopiroksen, dan spinel; Yb 0.58 dalam klinopiroksen, 4.5 dalam garnet, dan 0.16 dalam olivin, ortopiroksen, dan spinel. Lherzolit spinel terdiri atas $58\,\%$ olivin, $27\,\%$ ortopiroksen, $12\,\%$ klinopiroksen, $3\,\%$ spinel; lherzolit garnet terdiri atas $54.1\,\%$ olivin, $9.8\,\%$ ortopiroksen, $19.5\,\%$ klinopiroksen, $16.7\,\%$ garnet. Pelelehan bersifat modal.

**Bagian I — Kedua sumber.**

1. Hitung $D_{\mathrm{La}}$ dan $D_{\mathrm{Yb}}$ lherzolit spinel.
2. Hitung keduanya untuk lherzolit garnet. Bulatkan keempatnya menjadi dua angka penting untuk sisa soal.
3. Koefisien mana yang paling berbeda antara kedua sumber, dan mengapa? Apakah iterbium kompatibel dalam lherzolit garnet?
4. Hitung $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N$ sumber ternormalisasi kondrit. Seperti apa polanya?

**Bagian II — Pelelehan tumpak lava A.**

5. Hitung La dalam lelehan tumpak lherzolit spinel pada $F = 1$ , 5, dan $10\,\%$ .
6. Tentukan fraksi lelehan yang memberikan kandungan lantanum pada lava A.
7. Prediksi kandungan iterbium dan rasio La/Yb-nya, lalu bandingkan dengan lava A.
8. Hitung La dan Yb dalam residu, serta fraksi lantanum dari sumber yang tersisa di dalamnya.
9. Berapa fraksi lelehan yang kamu peroleh jika lantanum dianggap sepenuhnya inkompatibel?

**Bagian III — Pelelehan fraksional lava A.**

10. Hitung La dalam lelehan fraksional sesaat pada $F = 0.1$ , 1, dan $6\,\%$ .
11. Hitung La dalam [lelehan fraksional teragregasi](#def-b3-trace-element-modelling-fractional) pada $F = 6.0\,\%$ .
12. Tentukan fraksi lelehan saat lelehan teragregasi memiliki kandungan lantanum lava A. Mengapa hasilnya begitu dekat dengan jawaban pertanyaan 9?
13. Bandingkan kandungan lantanum residu dengan kandungan pada pertanyaan 8.
14. Taksiran $F$ yang mana yang kamu pilih?

**Bagian IV — Lava B dan garnet.**

15. Hitung La/Yb dan $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N$ kedua lava.
16. Berapa La/Yb terbesar yang dapat dicapai lelehan tumpak lherzolit spinel?
17. Pada fraksi lelehan berapa lelehan lherzolit spinel memiliki La/Yb lava B, dan berapa kandungan lantanum yang dimilikinya? Simpulkan.
18. Tentukan fraksi lelehan lava B dari kandungan lantanumnya untuk lherzolit garnet, dan prediksi kandungan iterbiumnya.
19. Apa yang dikatakan kedua sumber tentang kedalaman tempat A dan B mulai meleleh? Mungkinkah lava A berasal dari lherzolit garnet?
20. Hitung kemiringan dan titik potong garis [pelelehan tumpak](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) La/Yb $= a\, \mathrm{La} + b$ sumber garnet dengan $D_{\mathrm{La}}$ dianggap nol, dan periksa lava B terhadap garis tersebut.
21. Jika lava A kehilangan $10\,\%$ massanya sebagai olivin sebelum erupsi, bagaimana La/Yb dan fraksi lelehannya berubah?
22. Jawab pertanyaan pembuka bab ini untuk kedua lava tersebut.
23. Berikan derajat pelelehan lava A.

**Solusi Soal 12.1.**

**1.** $D_{\mathrm{La}} = 0.12\times0.058 + 0.88\times0.001 = 0.00784$; $D_{\mathrm{Yb}} = 0.12\times0.58 + 0.88\times0.16 = 0.210$.

**2.** $D_{\mathrm{La}} = 0.195\times0.058 + 0.167\times0.001 +
0.639\times0.001 = 0.0121$; $D_{\mathrm{Yb}} = 0.195\times0.58 +
0.167\times4.5 + 0.639\times0.16 = 0.967$. Dibulatkan: 0.0078, 0.21, 0.012, 0.97.

**3.** $D_{\mathrm{Yb}}$, dari 0.21 ke 0.97, karena garnet menahan unsur tanah jarang berat ($D = 4.5$). Iterbium masih sangat sedikit inkompatibel, $0.97 < 1$.

**4.** $(0.648/0.232)/(0.441/0.163) = 2.79/2.71 = 1.03$: pola datar sekitar 2.8 kali kondrit.

**5.** $0.648/(0.0078 + 0.01\times0.9922) = 36.6\,\mathrm{ppm}$; pada $5\,\%$, $11.3\,\mathrm{ppm}$; pada $10\,\%$, $6.05\,\mathrm{ppm}$.

**6.** $F = (0.648/9.6 - 0.0078)/0.9922 = (0.0675 - 0.0078)/0.9922 =
0.0602$, $6.0\,\%$.

**7.** $\mathrm{Yb} = 0.441/(0.21 + 0.0602\times0.79) = 1.71\,\mathrm{ppm}$ dan La/Yb $= 5.6$; lava A memiliki 1.7 dan 5.6: sesuai dengan sumber spinel.

**8.** La $= 0.0078\times9.6 = 0.075\,\mathrm{ppm}$, Yb $= 0.21\times1.71 =
0.36\,\mathrm{ppm}$. Lantanum tersisa: $0.940\times0.075/0.648 = 0.11$, sekitar $11\,\%$.

**9.** $F = 0.648/9.6 = 6.75\,\%$.

**10.** $(0.648/0.0078)(1 - F)^{127.2}$: $73\,\mathrm{ppm}$ pada $0.1\,\%$, $23\,\mathrm{ppm}$ pada $1\,\%$, $0.03\,\mathrm{ppm}$ pada $6\,\%$.

**11.** $0.648\times(1 - 0.940^{128.2})/0.060 = 10.8\,\mathrm{ppm}$.

**12.** $F = 6.75\,\%$: pada $F$ ini, $(1 - F)^{1/D} =
1.3 \times 10^{-4}$, sehingga lelehan gabungan menampung seluruh lantanum sumbernya, dan $\bar C_L = C_0/F$ seperti untuk unsur yang sepenuhnya inkompatibel.

**13.** $0.648\times0.9325^{127.2} = 9 \times 10^{-5}\,\mathrm{ppm}$, sekitar 800 kali lebih sedikit daripada $0.075\,\mathrm{ppm}$ pada [pelelehan tumpak](#thm-b3-trace-element-modelling-batch).

**14.** Kedua model itu membatasi jawabannya: dari $6.0\,\%$ (tumpak) sampai $6.75\,\%$ (fraksional gabungan). Lantanum menetapkan $F$ hingga sekitar $1\,\%$ dari pelelehan, apa pun modelnya.

**15.** A: La/Yb $= 5.6$, $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N =
(9.6/0.232)/(1.7/0.163) = 4.0$. B: La/Yb $= 34.7$, $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N
= (15.6/0.232)/(0.45/0.163) = 24.4$.

**16.** Ketika $F \to 0$: $(0.648/0.0078)/(0.441/0.21) = 83.1/2.10 = 39.6$.

**17.** $F = 0.11\,\%$, saat lelehan akan memuat $72\,\mathrm{ppm}$ La dan $2.1\,\mathrm{ppm}$ Yb. Lava B memiliki $15.6\,\mathrm{ppm}$ La: sumber spinel tidak mampu menghasilkannya.

**18.** $F = (0.648/15.6 - 0.012)/0.988 = 0.0299$, $3.0\,\%$; $\mathrm{Yb} = 0.441/(0.97 + 0.0299\times0.03) = 0.454\,\mathrm{ppm}$, sesuai dengan pengamatan.

**19.** Garnet menggantikan spinel pada sekitar $60\,\mathrm{km}$ sampai $90\,\mathrm{km}$: B mulai meleleh lebih dalam dari itu, A lebih dangkal, di dalam medan spinel. Lelehan garnet-lherzolit dengan $9.6\,\mathrm{ppm}$ La ($F \approx 5.6\,\%$) akan memiliki La/Yb sekitar 21, bukan 5.6: A tidak berasal dari garnet lherzolit.

**20.** $a = 0.97/0.441 = 2.20\,\mathrm{ppm}^{-1}$, $b = 0.648\times0.03/0.441
= 0.044$; pada La $= 15.6$, La/Yb $= 2.20\times15.6 + 0.044 = 34.4$, dibandingkan 34.7 untuk lava B.

**21.** Olivin menolak kedua unsur itu: La/Yb tidak berubah. Lelehan primer memiliki $9.6\times0.9 = 8.64\,\mathrm{ppm}$ La, sehingga $F = (0.648/8.64 -
0.0078)/0.9922 = 6.8\,\%$, bukan 6.0.

**22.** Satu sumber dapat menghasilkan kedua lava: B adalah lelehan kecil ($3\,\%$) yang mulai di medan garnet, lebih dalam daripada sekitar $60\,\mathrm{km}$ sampai $90\,\mathrm{km}$; A lelehan yang lebih besar di medan spinel.

**23.** Lava A adalah **$6.0\,\%$** lelehan tumpak dari spinel lherzolit ($6.75\,\%$ jika lelehan diekstraksi secara fraksional dan digabungkan). tersaring secara fraksional dan digabungkan).