---
title: "Seismologi Eksplorasi"
book: "Ilmu Kebumian dan Antariksa Universitas — Tahun 3"
subject: earth
language: id
chapter: 2
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/5/id/chapter/2-seismologi-eksplorasi
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
---

# Bab 2 — Seismologi Eksplorasi

Sebuah kapal survei bergerak perlahan sepanjang garis lurus di laut, menarik susunan air gun beberapa meter di bawah permukaan dan, di belakangnya, kabel sepanjang beberapa kilometer yang dilengkapi hidrofon. Dalam satu survei yang diuraikan kepada regulator, susunan itu menampung $5240$ inci kubik udara terkompresi, ditembakkan setiap $8\,\mathrm{s}$ dari kedalaman $12\,\mathrm{m}$ di bawah permukaan, dan streamer azimut sempit di belakang kapal semacam itu merekam offset 8 sampai $10\,\mathrm{km}$.

Setiap tembakan mengirimkan denyut bunyi ke dasar laut, dan setiap antarmuka batuan di bawahnya memantulkan gema samar. Beberapa minggu setelah pemrosesan, seorang geolog menelusuri penampang yang memperlihatkan alur sungai terkubur, blok sesar miring, dan pengisian [onlap](#def-b3-exploration-seismology-terminations) cekungan tua tampak seolah tanah itu dibelah terbuka. Seismologi skala Bumi pada bab sebelumnya memakai gelombang gempa bumi; seismologi eksplorasi membuat gelombangnya sendiri, dengan sumber yang waktu dan tempatnya diketahui persis, dan merekamnya pada ribuan kanal. Bab ini mengikuti gema dari tembakan sampai penampang: survei refraksi, refleksi wavelet oleh kolom berlapis, metode [titik tengah bersama](#def-b3-exploration-seismology-cmp) yang mengubah gema berulang menjadi kecepatan dan citra yang bersih, migrasi, yang mengembalikan reflektor ke tempatnya, dan pembacaan penampang sebagai stratigrafi.

**Yang sudah kamu ketahui.**

Pada batas antara dua medium dengan impedansi akustik $Z_1 = \rho_1v_1$ dan $Z_2 = \rho_2v_2$, gelombang bidang pada datang tegak lurus dipantulkan dengan koefisien amplitudo $R = (Z_2 - Z_1)/(Z_2 + Z_1)$ (volume Tahun 2 buku fisika, tentang gelombang pada antarmuka). Gelombang kepala, waktu intersep, dan jarak silang profil refraksi di atas lapisan datar telah dibahas pada volume Tahun 1, pada bab tentang Bumi berlapis; log lubang bor di Buku 2 kelas 11). Konvolusi $(f*g)(t) = \int f(\tau)g(t - \tau)\,\mathrm d\tau$ dan transformasi Fourier berasal dari buku matematika. [Parameter sinar](https://one-course.com/books/earth/5/id/chapter/1-seismologi-dan-pencitraan-bumi#def-b3-seismology-imaging-ray-parameter) dan [masalah invers](https://one-course.com/books/earth/5/id/chapter/1-seismologi-dan-pencitraan-bumi#def-b3-seismology-imaging-inverse) linear dibahas pada [Bab 1](https://one-course.com/books/earth/5/id/chapter/1-seismologi-dan-pencitraan-bumi#ch-b3-seismology-imaging).

## 2.1 Survei refraksi

**Definisi 2.1 (Survei refraksi dan refleksi seismik).**

Yang disebut *survei refraksi seismik* merekam, sepanjang satu garis penerima, waktu datang pertama dari sumber terkontrol, dan menggunakan gelombang kepala yang merambat di sepanjang bagian atas lapisan yang lebih cepat untuk menentukan kecepatan dan kedalamannya. Sementara itu, *survei refleksi seismik* merekam seluruh rangkaian gelombang, pada offset yang kebanyakan lebih kecil daripada yang diminati, dan menggunakan gelombang yang dipantulkan pada datang hampir tegak lurus oleh antarmuka untuk mencitrakan perlapisan.

Di atas lapisan datar, gelombang kepala tiba pada $t = x/v_2 + t_i$, sebuah garis lurus yang gradiennya memberikan kecepatan $v_2$ refraktor dan intersepnya $t_i$ memberikan kedalamannya. Refraktor yang miring membuat garis itu miring: gelombang kepala dari tembakan searah kemiringan datang makin lama makin terlambat seiring refraktor makin dalam, dan tampak lambat; ditembakkan berlawanan arah kemiringan, tampak cepat. Dengan menembak dua arah sepanjang garis yang sama, profil terbalik memisahkan kecepatan dari kemiringannya.

**Teorema 2.2 (Refraksi pada antarmuka miring).**

Sebuah lapisan dengan kecepatan $v_1$ berada di atas refraktor bidang berkecepatan $v_2 > v_1$ yang miring dengan sudut $\theta$ sepanjang profil; $i_c = \arcsin(v_1/v_2)$, dan $h$ adalah kedalaman tegak lurus refraktor di bawah tembakan. Di luar jarak kritis gelombang kepala tiba pada

$$
\begin{align*}
  t &= \frac{x\sin(i_c + \theta)}{v_1} + \frac{2h\cos i_c}{v_1}
  &&\text{searah kemiringan},\\
  t &= \frac{x\sin(i_c - \theta)}{v_1} + \frac{2h\cos i_c}{v_1}
  &&\text{berlawanan arah kemiringan}.
\end{align*}
$$

Kecepatan semu $v_d = v_1/\sin(i_c + \theta)$ dan $v_u = v_1/\sin(i_c - \theta)$ dari profil terbalik memberikan

$$
i_c = \tfrac12\left[\arcsin\frac{v_1}{v_d} + \arcsin\frac{v_1}{v_u}\right],\qquad
  \theta = \tfrac12\left[\arcsin\frac{v_1}{v_d} - \arcsin\frac{v_1}{v_u}\right],
  \qquad v_2 = \frac{v_1}{\sin i_c} .
$$

**Bukti.** Putar kerangka sehingga refraktor mendatar; permukaan lalu miring dengan $\theta$, dan untuk tembakan searah kemiringan, kedalaman tegak lurus di bawah penerima pada offset $x$ adalah $h + x\sin\theta$, proyeksinya pada refraktor $x\cos\theta$. Lintasan gelombang kepala turun pada sudut kritis $i_c$ menuju normal, sepanjang refraktor dengan $v_2$, dan naik pada $i_c$. Waktunya adalah

$$
t = \frac{h}{v_1\cos i_c} + \frac{x\cos\theta - h\tan i_c - (h + x\sin\theta)\tan i_c}{v_2}
  + \frac{h + x\sin\theta}{v_1\cos i_c}.
$$

Dengan $1/v_2 = \sin i_c/v_1$ dan $1/\cos i_c - \sin i_c\tan i_c = \cos i_c$, suku-suku dengan $h$ memberikan $2h\cos i_c/v_1$ dan yang dengan $x$ memberikan $x(\sin i_c\cos\theta + \cos i_c\sin\theta)/v_1 = x\sin(i_c + \theta)/v_1$. Berlawanan arah kemiringan, $\theta$ berganti tanda. Rumus terakhir membalik kedua kecepatan semu. ∎

Kedua cabang profil terbalik harus memberikan waktu yang sama antara kedua titik tembak, dari ujung mana pun ditembakkan: *waktu resiprokal*, pemeriksaan atas pemilihan waktu tiba. Dua situasi menggagalkan metode ini. Lapisan yang lebih lambat dari lapisan di atasnya (inversi kecepatan) tidak membiaskan gelombang kepala dan tak terlihat: batuannya dihitung dalam lapisan di atasnya, dan setiap kedalaman di bawahnya dilebihkan. Lapisan yang lebih cepat dari lapisan di atasnya tetapi terlalu tipis mungkin tidak pernah memberikan waktu tiba pertama, karena gelombang kepala lapisan yang lebih dalam dan lebih cepat menyusulnya: lapisan tersembunyi. Survei refleksi melihat keduanya.

![Profil refraksi terbalik pada sayap barat antiklin Varden (hasil hitungan; soal, Bagian I). Refraktor, yakni puncak batu gamping, naik dari barat ke timur dengan sudut 10.8 di bawah bentangan 1200\, m; kapur dan serpih di atasnya digabung menjadi satu lapisan dengan kecepatan 2.40\, km\, s-1. Gelombang kepala dari tembakan di barat, berlawanan arah kemiringan, tampak cepat (6.57\, km\, s-1), sedangkan yang dari timur, searah kemiringan, lambat (3.52\, km\, s-1); keduanya memerlukan 486.1\, ms untuk menempuh seluruh bentangan. Gelombang kepala baru menyusul gelombang langsung hanya di dekat ujung jauh: refraktor ini dalam untuk bentangan yang sependek itu.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-exploration-seismology/fig-ab4107a9bc72.svg)

*Profil refraksi terbalik pada sayap barat antiklin Varden (hasil hitungan; soal, Bagian I). Refraktor, yakni puncak batu gamping, naik dari barat ke timur dengan sudut $10.8{}^{\circ}$ di bawah bentangan $1200\,\mathrm{m}$; kapur dan serpih di atasnya digabung menjadi satu lapisan dengan kecepatan $2.40\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Gelombang kepala dari tembakan di barat, berlawanan arah kemiringan, tampak cepat ($6.57\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$), sedangkan yang dari timur, searah kemiringan, lambat ($3.52\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$); keduanya memerlukan $486.1\,\mathrm{ms}$ untuk menempuh seluruh bentangan. Gelombang kepala baru menyusul gelombang langsung hanya di dekat ujung jauh: refraktor ini dalam untuk bentangan yang sependek itu.*

## 2.2 Refleksi pada sudut datang normal

**Definisi 2.3 (Wavelet seismik, wavelet Ricker).**

Yang disebut *wavelet seismik* adalah pulsa pendek, beberapa puluh milidetik lamanya, yang dikirim sumber dan sistem perekam melalui tanah; setiap reflektor memantulkan salinan terskalanya. Adapun *wavelet Ricker* dengan frekuensi puncak $f$ adalah pulsa fase-nol

$$
w(t) = \left(1 - 2\pi^2f^2t^2\right)e^{-\pi^2f^2t^2},
$$

turunan kedua fungsi Gauss dengan pengecualian tanda dan skalanya: puncak pusat dan dua lobus samping, dengan rata-rata nol dan spektrum amplitudo yang memuncak pada $f$.

**Definisi 2.4 (Deret reflektivitas).**

Suatu *deret reflektivitas* dari kolom berlapis adalah deret koefisien refleksi sudut datang normal $r_k$ dari bidang antarmukanya, diletakkan pada waktu vertikal dua arahnya $\tau_k = \sum_{i \le k} 2h_i/v_i$: $r(t) = \sum_k r_k\,\delta(t - \tau_k)$.

**Proposisi 2.5 (Model konvolusi).**

Jika hanya pantulan primer yang dipertahankan (tanpa kelipatan), pada sudut datang normal, dengan tanpa kehilangan transmisi, atenuasi, atau penyebaran, dan wavelet $w$ tidak berubah terhadap kedalaman, jejak yang terekam adalah konvolusi wavelet dengan [deret reflektivitas](#def-b3-exploration-seismology-synthetic):

$$
s(t) = \sum_k r_k\,w(t - \tau_k) = (w*r)(t) .
$$

Jejak yang dihitung dengan cara ini dari log lubang bor kecepatan dan massa jenis adalah *seismogram sintetik* dari log tersebut.

**Bukti.** Setiap bidang antarmuka memantulkan salinan wavelet datang yang diskalakan oleh koefisiennya dan tertunda sesuai waktu dua arahnya; perekamannya linear, sehingga salinan-salinan itu dijumlahkan. Jumlah itu adalah konvolusi $w$ dengan deretan impuls Dirac berbobot $r(t)$, karena $w*\delta(\cdot - \tau_k) = w(\cdot - \tau_k)$. ∎

[Seismogram sintetik](#prop-b3-exploration-seismology-synthetic) adalah cara sebuah sumur bor dikaitkan dengan penampang seismik: sebuah refleksi pada penampang dicocokkan dengan bidang antarmuka pada log yang menghasilkannya. Kolom Varden di bawah sumbu sinklin soal (model seismik bab ini, dengan kecepatan dan massa jenis yang dipilih dalam rentang terbitan untuk setiap batuan)

menghasilkan gambar di bawah. Bidang antarmuka kapur–serpih hanya memantulkan $2.8\,\%$ amplitudo, karena kapur dan serpih kebetulan memiliki impedansi yang hampir sama; puncak batu gamping memantulkan $38\,\%$, dasar batu gamping mengembalikan pulsa terbalik, dan batuan dasar memantulkan pulsa positif yang kuat.

![Seismogram sintetik kolom Varden di bawah sumbu sinklin (hasil hitungan). Kiri: impedansi setiap lapisan terhadap waktu dua arah. Tengah: deret reflektivitas, satu puncak per bidang antarmuka (batangnya mengarah ke kanan untuk kenaikan impedansi). Kanan: konvolusinya dengan sebuah wavelet Ricker 30\, Hz. Setiap refleksi adalah salinan wavelet; refleksi kapur–serpih yang samar pada 0.488\, s, hampir tidak terlihat.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-exploration-seismology/fig-8907bd78feab.svg)

*[Seismogram sintetik](#prop-b3-exploration-seismology-synthetic) kolom Varden di bawah sumbu sinklin (hasil hitungan). Kiri: impedansi setiap lapisan terhadap waktu dua arah. Tengah: [deret reflektivitas](#def-b3-exploration-seismology-synthetic), satu puncak per bidang antarmuka (batangnya mengarah ke kanan untuk kenaikan impedansi). Kanan: konvolusinya dengan sebuah [wavelet Ricker](#def-b3-exploration-seismology-wavelet) $30\,\mathrm{Hz}$. Setiap refleksi adalah salinan wavelet; refleksi kapur–serpih yang samar pada $0.488\,\mathrm{s}$, hampir tidak terlihat.*

Seberapa tipis suatu lapisan yang masih dapat dibedakan refleksi? Puncak dan dasarnya masing-masing memantulkan sebuah wavelet; jika keduanya bertumpang tindih, keduanya berinterferensi.

**Definisi 2.6 (Ketebalan tuning).**

Yang disebut *ketebalan tuning* dari suatu lapisan adalah ketebalan pada saat refleksi dari puncak dan dasarnya, yang berlawanan tanda, berinterferensi paling konstruktif, sehingga amplitudo gabungannya paling besar. Lapisan yang lebih tipis tidak terpisahkan: puncak dan dasarnya tidak lagi dapat dipilih secara terpisah, dan amplitudo berkurang sebanding dengan ketebalannya.

**Proposisi 2.7 (Aturan seperempat panjang gelombang).**

Untuk wavelet dengan periode dominan $T$ dalam lapisan berkecepatan $v$, dengan koefisien refleksi $+R$ di puncaknya dan $-R$ di dasarnya, refleksi gabungan paling kuat ketika ketebalan lapisan $b = \lambda/4$, dengan $\lambda = vT$; untuk $b \ll \lambda/4$ amplitudonya sebanding dengan $b$.

**Bukti.** Nyatakan wavelet dengan harmonik dominannya $\cos(2\pi t/T)$. Kedua refleksi tersebut adalah $R\cos(2\pi t/T) - R\cos(2\pi(t - \Delta t)/T)$ dengan $\Delta t = 2b/v$, yang amplitudonya $2R|\sin(\pi\Delta t/T)|$: terbesar untuk $\Delta t = T/2$, yaitu $b = vT/4$; untuk $\Delta t$ kecil nilainya kira-kira $2\pi R\Delta t/T = 4\pi Rb/\lambda$. ∎

[Wavelet Ricker](#def-b3-exploration-seismology-wavelet) bukan harmonik, dan [ketebalan tuning-nya](#def-b3-exploration-seismology-resolution), yang dibaca dari model baji pada gambar di bawah, sedikit lebih kecil dari seperempat panjang gelombang pada frekuensi puncak: $19.5\,\mathrm{m}$ pada $30\,\mathrm{Hz}$ di batuan berkecepatan $3000\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, untuk $\lambda/4 = 25\,\mathrm{m}$. Data seismik jarang memuat energi berarti di atas beberapa puluh hertz dari kedalaman kilometer, sebab batuan menyerap frekuensi tinggi; lapisan dengan tebal kurang dari sekitar $20\,\mathrm{m}$ tampak sebagai satu refleksi tunggal.

![Model baji (dihitung): lapisan dengan 3000\, m\, s-1 dengan koefisien refleksi +R di puncaknya dan -R di dasarnya, dicitrakan dengan wavelet Ricker 30\, Hz. Amplitudo puncak dari refleksi gabungan, relatif terhadap satu refleksi dengan koefisien R, naik linear dari nol untuk lapisan yang sangat tipis, memuncak pada ketebalan tuning, lalu menetap di tingkat dua wavelet terpisah untuk lapisan tebal.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-exploration-seismology/fig-5d1e59dbdcc9.svg)

*Model baji (dihitung): lapisan dengan $3000\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ dengan koefisien refleksi $+R$ di puncaknya dan $-R$ di dasarnya, dicitrakan dengan [wavelet Ricker](#def-b3-exploration-seismology-wavelet) $30\,\mathrm{Hz}$. Amplitudo puncak dari refleksi gabungan, relatif terhadap satu refleksi dengan koefisien $R$, naik linear dari nol untuk lapisan yang sangat tipis, memuncak pada [ketebalan tuning](#def-b3-exploration-seismology-resolution), lalu menetap di tingkat dua wavelet terpisah untuk lapisan tebal.*

Secara lateral, resolusi ditentukan oleh lebar reflektor yang mengembalikan energi secara sefase.

**Definisi 2.8 (Zona Fresnel).**

Yang disebut *zona Fresnel* (pertama) dari suatu reflektor, dengan sumber dan penerima berimpit pada tinggi $z$ di atasnya, adalah cakram reflektor di sekitar titik datang normal, tempat lintasan dua arah lebih panjang daripada lintasan normal kurang dari setengah panjang gelombang: refleksinya tiba secara sefase dan membentuk bersama-sama refleksi yang terekam.

**Proposisi 2.9 (Jari-jari zona Fresnel).**

[Zona Fresnel](#def-b3-exploration-seismology-fresnel) pertama memiliki jari-jari $r_F = \sqrt{\lambda z/2 + \lambda^2/16} \approx \sqrt{\lambda z/2}$ untuk $\lambda \ll z$.

**Bukti.** Titik pada reflektor yang berjarak $r$ dari titik datang normal berada pada jarak $\sqrt{z^2 + r^2}$ dari sumber. Kelebihan lintasan dua arahnya adalah $2(\sqrt{z^2 + r^2} - z)$; dengan menyamakannya dengan $\lambda/2$ diperoleh $\sqrt{z^2 + r^2} = z + \lambda/4$, sehingga $r^2 = \lambda z/2 + \lambda^2/16$. ∎

Pada kedalaman $1\,\mathrm{km}$, dengan $\lambda = 100\,\mathrm{m}$, [zona Fresnel](#def-b3-exploration-seismology-fresnel) berjari-jari $225\,\mathrm{m}$: fitur yang lebih sempit dari itu tersamar, kecuali migrasi (dijelaskan di bawah) memadatkan zona tersebut.

![Zona Fresnel pertama (skematis): bagian dari reflektor yang jaraknya dari sumber dan penerima yang berimpit melebihi jarak normal z kurang dari /4 (busur putus-putus: bola berjari-jari z + /4), sehingga kelebihan lintasan dua arah kurang dari setengah panjang gelombang dan pantulannya tiba secara sefase. Skala dibesar-besarkan.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-exploration-seismology/fig-19aba51d1983.svg)

*[Zona Fresnel](#def-b3-exploration-seismology-fresnel) pertama (skematis): bagian dari reflektor yang jaraknya dari sumber dan penerima yang berimpit melebihi jarak normal $z$ kurang dari $\lambda/4$ (busur putus-putus: bola berjari-jari $z + \lambda/4$), sehingga kelebihan lintasan dua arah kurang dari setengah panjang gelombang dan pantulannya tiba secara sefase. Skala $\lambda$ dibesar-besarkan.*

## 2.3 Akuisisi dan pemrosesan titik tengah bersama

Satu pantulan terlalu lemah untuk terlihat di tengah derau. Oleh karena itu, survei refleksi merekam setiap titik bawah permukaan berkali-kali, dengan pasangan sumber–penerima yang berbeda, lalu menjumlahkan rekamannya.

**Definisi 2.10 (Titik tengah bersama, liputan).**

Untuk sumber di $x_s$ dan penerima di $x_r$ pada suatu garis, titik tengahnya adalah $(x_s + x_r)/2$ dan offset $x = |x_r - x_s|$. Yang disebut *titik tengah bersama* (CMP) adalah kumpulan jejak dari semua tembakan yang memakai titik tengah yang sama; pada lapisan datar semuanya memantul dari titik bawah permukaan yang sama. Yang disebut *liputan* adalah jumlah jejak dalam satu kumpulan. Dengan $N$ kanal pada interval penerima $\Delta g$ dan satu tembakan setiap $\Delta s$ sepanjang garis, liputannya adalah $N\Delta g/(2\Delta s)$.

![Geometri titik tengah bersama (skematis): empat pasangan sumber–penerima (titik, segitiga) dengan offset berbeda berbagi titik tengah yang sama; di atas reflektor datar, semuanya memantul dari titik yang sama di bawahnya. Jejaknya membentuk kumpulan dengan liputan empat.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-exploration-seismology/fig-26be176c1293.svg)

*Geometri [titik tengah bersama](#def-b3-exploration-seismology-cmp) (skematis): empat pasangan sumber–penerima (titik, segitiga) dengan offset berbeda berbagi titik tengah yang sama; di atas reflektor datar, semuanya memantul dari titik yang sama di bawahnya. Jejaknya membentuk kumpulan dengan [liputan](#def-b3-exploration-seismology-cmp) empat.*

**Teorema 2.11 (Moveout normal).**

Pada lapisan berkecepatan $v$ di atas reflektor datar pada waktu tempuh vertikal dua arah $t_0$, refleksi yang terekam pada offset $x$ tiba pada

$$
t(x)^2 = t_0^2 + \frac{x^2}{v^2},
$$

berupa hiperbola pada bidang $(x, t)$. Selisih $\Delta t = t(x) - t_0$ disebut *moveout normal*; untuk $x \ll vt_0$, $\Delta t \approx x^2/(2v^2t_0)$.

**Bukti.** Lintasan refleksi bergerak dari sumber ke titik refleksi di bawah titik tengah lalu naik kembali ke penerima: dua kaki dengan panjang $\sqrt{(vt_0/2)^2 + (x/2)^2}$. Jadi $t = (2/v)\sqrt{(vt_0/2)^2 + (x/2)^2}$ dan $t^2 = t_0^2 + x^2/v^2$. Lalu $t - t_0 = (t^2 - t_0^2)/(t + t_0) \approx
x^2/(2v^2t_0)$. ∎

Pada beberapa lapisan, waktu refleksi tidak lagi tepat hiperbolik, namun kira-kira demikian pada offset kecil, dengan kecepatan yang merupakan rata-rata terbobot dari lapisan-lapisan.

**Definisi 2.12 (Stacking, kecepatan akar kuadrat rata-rata, dan kecepatan interval).**

Yang disebut *kecepatan interval* $v_i$ suatu lapisan adalah kecepatannya sendiri; dengan $\Delta t_i = 2h_i/v_i$ sebagai waktu tempuh dua arah melintasinya, maka *kecepatan akar kuadrat rata-rata* hingga ke dasar lapisan $n$ adalah

$$
V_{\text{rms},n} = \left(\frac{\sum_{i\le n}v_i^2\,\Delta t_i}{\sum_{i\le n}\Delta t_i}\right)^{1/2}.
$$

Yang disebut *kecepatan stacking* dari suatu refleksi adalah kecepatan $V$ dari hiperbola $t^2 = t_0^2 + x^2/V^2$ yang paling sesuai dengan waktu-waktunya dalam kumpulan CMP.

**Proposisi 2.13 (Kecepatan stacking pada offset kecil).**

Pada lapisan datar, $t(x)^2 = t_0^2 + x^2/V_{\text{rms}}^2 + O(x^4)$: untuk offset kecil, [kecepatan stacking](#def-b3-exploration-seismology-velocities) adalah [kecepatan akar kuadrat rata-rata](#def-b3-exploration-seismology-velocities).

**Bukti.** Untuk [parameter sinar](https://one-course.com/books/earth/5/id/chapter/1-seismologi-dan-pencitraan-bumi#def-b3-seismology-imaging-ray-parameter) $p$, $x = \sum_i 2h_i\tan\varphi_i$ dan $t = \sum_i 2h_i/(v_i\cos\varphi_i)$, dengan $\sin\varphi_i = pv_i$. Pada orde kedua dalam $p$, $\tan\varphi_i \approx pv_i$ dan $1/\cos\varphi_i \approx 1 +
p^2v_i^2/2$, jadi $x \approx p\sum v_i^2\Delta t_i = pV_{\text{rms}}^2t_0$ dan $t \approx t_0 + \tfrac12p^2V_{\text{rms}}^2t_0$. Maka $t^2 \approx t_0^2 + p^2V_{\text{rms}}^2t_0^2 = t_0^2 + x^2/V_{\text{rms}}^2$, dengan suku-suku yang diabaikan berorde $p^4$, yaitu $x^4$. ∎

**Teorema 2.14 (Persamaan Dix).**

Jika $V_{n-1}$ dan $V_n$ adalah [kecepatan akar kuadrat rata-rata](#def-b3-exploration-seismology-velocities) hingga ke puncak dan dasar lapisan $n$, pada waktu dua arah $t_{n-1}$ dan $t_n$, [kecepatan interval](#def-b3-exploration-seismology-velocities) lapisan itu diberikan oleh *persamaan Dix*

$$
v_n^2 = \frac{V_n^2t_n - V_{n-1}^2t_{n-1}}{t_n - t_{n-1}} ,
$$

dan tebalnya adalah $h_n = v_n(t_n - t_{n-1})/2$.

**Bukti.** Menurut definisi $V_n^2t_n = \sum_{i\le n}v_i^2\Delta t_i$ dan $V_{n-1}^2t_{n-1}
= \sum_{i\le n-1}v_i^2\Delta t_i$. Selisihnya adalah $v_n^2\Delta t_n$, dengan $\Delta t_n = t_n - t_{n-1}$. ∎

Analisis kecepatan memindai setiap kumpulan untuk mencari hiperbola yang paling sesuai dengan energi: untuk setiap percobaan $t_0$ dan $V$, jejak dijumlahkan sepanjang kurva, dan ukuran koherensi (kemiripan) dipetakan; analis memilih nilai maksimumnya, reflektor demi reflektor, untuk membangun fungsi kecepatan. Koreksi NMO kemudian menggeser setiap sampel pada setiap jejak dari $t(x)$ ke $t_0$, sehingga refleksinya menjadi datar, dan jejak setiap kumpulan dijumlahkan.

**Definisi 2.15 (Stacking).**

Yang disebut *stacking* adalah penjumlahan, setelah koreksi [moveout normal](#thm-b3-exploration-seismology-nmo), dari jejak-jejak sebuah kumpulan CMP menjadi satu jejak yang diletakkan pada titik tengah. Jejak hasil stacking, berjajar sepanjang garis, membentuk penampang stacking, citra reflektor dalam waktu dua arah.

**Proposisi 2.16 (Penguatan hasil stacking).**

Jika $N$ jejak sebuah kumpulan memuat sinyal refleksi yang sama dan derau yang saling bebas dengan simpangan baku $\sigma$ yang sama, rata-ratanya memuat sinyal yang sama dan derau dengan simpangan baku $\sigma/\sqrt N$: [stacking](#def-b3-exploration-seismology-stack) menaikkan rasio sinyal terhadap derau sebesar $\sqrt N$.

**Bukti.** Varians jumlah $N$ peubah bebas adalah jumlah varians-variansnya, $N\sigma^2$; dibagi $N^2$, rata-ratanya memiliki varians $\sigma^2/N$ (simpangan baku rata-rata, yang sudah dikenal dari buku matematika). ∎

![Kumpulan CMP sintetis di bawah sumbu sinklin garis Varden (dihitung dengan penelusuran sinar eksak melalui kolom berlapis datar; 30 Hz, wavelet Ricker, tanpa derau). (a) Keempat refleksi (puncak serpih, puncak dan dasar batu gamping, puncak batuan dasar) melengkung turun seiring offset sepanjang hampir-hiperbola. (b) Setelah koreksi NMO dengan kecepatan stacking yang dicocokkan pada offset sampai 600\, m, refleksi menjadi datar hingga sekitar 1\, km; di luar itu, waktu sebenarnya menyimpang dari hiperbola dan koreksi membuatnya tetap melengkung, dan wavelet-nya meregang; dalam pemrosesan, jejak jauh yang meregang dari refleksi dangkal dibisukan sebelum stacking.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-exploration-seismology/fig-eee00c3ebc84.svg)

*Kumpulan CMP sintetis di bawah sumbu sinklin garis Varden (dihitung dengan penelusuran sinar eksak melalui kolom berlapis datar; 30 Hz, [wavelet Ricker](#def-b3-exploration-seismology-wavelet), tanpa derau). (a) Keempat refleksi (puncak serpih, puncak dan dasar batu gamping, puncak batuan dasar) melengkung turun seiring offset sepanjang hampir-hiperbola. (b) Setelah koreksi NMO dengan [kecepatan stacking](#def-b3-exploration-seismology-velocities) yang dicocokkan pada offset sampai $600\,\mathrm{m}$, refleksi menjadi datar hingga sekitar $1\,\mathrm{km}$; di luar itu, waktu sebenarnya menyimpang dari hiperbola dan koreksi membuatnya tetap melengkung, dan wavelet-nya meregang; dalam pemrosesan, jejak jauh yang meregang dari refleksi dangkal dibisukan sebelum [stacking](#def-b3-exploration-seismology-stack).*

![Kecepatan di bawah sumbu sinklin (dihitung). Kecepatan RMS, yaitu rata-rata berbobot, berubah perlahan; kecepatan stacking pada kumpulan itu berada dekat dengannya. Jika diterapkan padanya, persamaan Dix memulihkan kecepatan interval tiap lapisan (garis tangga, digambar di dasar tiap lapisan) hingga dalam beberapa persen, dengan galat yang membesar pada batu gamping yang tipis dan cepat.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-exploration-seismology/fig-aa2d76d061eb.svg)

*Kecepatan di bawah sumbu sinklin (dihitung). Kecepatan RMS, yaitu rata-rata berbobot, berubah perlahan; [kecepatan stacking](#def-b3-exploration-seismology-velocities) pada kumpulan itu berada dekat dengannya. Jika diterapkan padanya, [persamaan Dix](#thm-b3-exploration-seismology-dix) memulihkan [kecepatan interval](#def-b3-exploration-seismology-velocities) tiap lapisan (garis tangga, digambar di dasar tiap lapisan) hingga dalam beberapa persen, dengan galat yang membesar pada batu gamping yang tipis dan cepat.*

![Truk-truk vibrator pada garis survei darat: alih-alih ledakan, tiap truk menekan pelat berat ke tanah dan menggetarkannya dengan sapuan frekuensi selama beberapa detik; rekaman yang panjang dimampatkan menjadi pulsa pendek dengan mengorelasikannya terhadap sapuan itu (ilustrasi buatan AI).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-exploration-seismology/img-f70c1367df90.jpg)

*Truk-truk vibrator pada garis survei darat: alih-alih ledakan, tiap truk menekan pelat berat ke tanah dan menggetarkannya dengan sapuan frekuensi selama beberapa detik; rekaman yang panjang dimampatkan menjadi pulsa pendek dengan mengorelasikannya terhadap sapuan itu (ilustrasi buatan AI).*

## 2.4 Migrasi

Penampang [stacking](#def-b3-exploration-seismology-stack) menunjukkan tiap refleksi di bawah titik tengah tempat ia direkam, pada waktu yang dibutuhkan gema untuk kembali. Untuk reflektor datar, posisinya memang di situ. Untuk reflektor miring tidak demikian: gema yang direkam di sebuah titik permukaan berasal dari titik reflektor yang paling dekat dengannya, yang terletak naik-kemiringan, bukan tegak lurus di bawahnya. Titik-titik seperti ujung pemotongan sesar, yang menghamburkan energi ke segala arah, tampak sebagai hiperbola.

**Definisi 2.17 (Migrasi seismik).**

Yang disebut *migrasi seismik* adalah langkah pemrosesan yang memindahkan refleksi pada penampang seismik ke posisi reflektor yang menghasilkannya: ia memulihkan kemiringan dan posisi sebenarnya reflektor yang miring serta memampatkan hiperbola difraksi dari penghambur titik ke puncaknya. Dilakukan dengan model kecepatan dalam waktu, ia menghasilkan penampang termigrasi-waktu; dengan model dalam kedalaman, ia menghasilkan citra kedalaman.

**Teorema 2.18 (Kemiringan pada penampang offset-nol).**

Dalam medium berkecepatan $v$, sebuah reflektor bidang dengan kemiringan $\theta$ pada bidang penampang tampak pada penampang offset-nol, diplot sebagai kedalaman $vt/2$ tegak lurus di bawah tiap titik rekam, sebagai garis dengan kemiringan semu $\theta_a$ dengan

$$
\tan\theta_a = \sin\theta .
$$

Refleksi yang direkam di titik $x$ berasal dari titik reflektor yang berjarak $(vt/2)\sin\theta$ naik-kemiringan dari titik yang tegak lurus di bawah $x$.

**Bukti.** Sinar offset-nol tegak lurus terhadap reflektor, sehingga waktu yang direkam di $x$ adalah $t = 2d(x)/v$, dengan $d(x)$ jarak dari $x$ ke bidang. Jarak itu bertambah sebesar $\sin\theta$ untuk setiap satuan $x$ searah kemiringan, sehingga kedalaman yang diplot $vt/2 = d(x)$ memiliki kemiringan $\sin\theta$. Kaki normal dari $x$ ke bidang terletak pada jarak horizontal $d\sin\theta$ dari $x$, di sisi naik-kemiringan. ∎

Karena $\tan\theta_a = \sin\theta < \tan\theta$, penampang yang belum termigrasi selalu menunjukkan kemiringan yang lebih landai daripada yang sebenarnya, dan tidak dapat menunjukkan kemiringan yang lebih curam daripada $45{}^{\circ}$ sama sekali. Penghambur titik pada kedalaman $z$ di bawah titik $x_0$ kembali di $x$ dengan waktu offset-nol $t(x) = (2/v)\sqrt{z^2 + (x - x_0)^2}$: sebuah hiperbola dengan puncaknya tepat di atas titik itu, yaitu difraksinya. Migrasi dalam bentuk paling sederhananya, yaitu [stacking](#def-b3-exploration-seismology-stack) difraksi, menjumlahkan tiap penampang sepanjang hiperbola difraksi dari setiap penghambur yang mungkin dan meletakkan jumlahnya di puncak: reflektor, yang merupakan garis kontinu dari penghambur, muncul di tempat sebenarnya, dan difraksi-difraksi itu terkumpul.

![Migrasi reflektor yang miring (skematis, kemiringan sebenarnya 35). Sinar offset-nol di setiap titik perekaman tegak lurus terhadap reflektor, sehingga gemanya berasal dari arah naik-kemiringan; diplot secara vertikal di bawah titik, pada kedalaman vt/2, refleksi tampak lebih landai (garis putus-putus: _a =, di sini 29.8), dan bergeser ke arah turun-kemiringan. Migrasi (panah merah) memindahkannya kembali.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-exploration-seismology/fig-528bbf202568.svg)

*Migrasi reflektor yang miring (skematis, kemiringan sebenarnya $35{}^{\circ}$). Sinar offset-nol di setiap titik perekaman tegak lurus terhadap reflektor, sehingga gemanya berasal dari arah naik-kemiringan; diplot secara vertikal di bawah titik, pada kedalaman $vt/2$, refleksi tampak lebih landai (garis putus-putus: $\tan\theta_a =
\sin\theta$, di sini $29.8{}^{\circ}$), dan bergeser ke arah turun-kemiringan. Migrasi (panah merah) memindahkannya kembali.*

## 2.5 Stratigrafi seismik

Penampang yang sudah termigrasi adalah gambaran perlapisan, dan ia dapat dibaca sebagai stratigrafi: refleksi mengikuti permukaan perlapisan, yang merupakan garis waktu, sehingga geometrinya mencatat bagaimana cekungan itu terisi.

**Definisi 2.19 (Stratigrafi seismik, fasies seismik).**

Yang disebut *stratigrafi seismik* adalah interpretasi stratigrafi dan sejarah pengendapan suatu cekungan dari geometri refleksi seismiknya. Sebuah *fasies seismik* adalah satuan tiga dimensi refleksi yang karakternya (kemenerusan, amplitudo, frekuensi, geometri internal: sejajar, divergen, sigmoid, kacau, membukit) berbeda dari satuan tetangganya dan diinterpretasikan sebagai lingkungan pengendapan.

**Definisi 2.20 (Terminasi refleksi).**

Yang disebut *terminasi refleksi* adalah akhir sebuah refleksi yang menumpu pada refleksi lain. *onlap*: refleksi yang mula-mula horizontal berakhir pada permukaan yang naik lebih curam, dengan lapisan yang lebih muda menumpang pada lereng yang lebih tua. *downlap*: refleksi miring berakhir ke arah turun-kemiringan pada permukaan yang lebih landai, ketika ujung-ujung lapisan progradasi bertumpu di dasar cekungan. *toplap*: refleksi miring berakhir ke arah naik-kemiringan pada permukaan di atasnya, dengan sedikit erosi, saat puncak lapisan progradasi bertemu dengan muka laut. *pemancungan erosional*: refleksi berakhir ke arah naik-kemiringan pada permukaan di atasnya yang memotongnya, yaitu ketidakselarasan.

![Terminasi refleksi (penampang skematis, refleksi abu-abu, permukaan terminasi berwarna). (a) Refleksi yang miring dipotong oleh ketidakselarasan. (b) Refleksi datar yang berakhir pada lereng yang lebih tua. (c) Lapisan miring dari baji progradasi yang berakhir ke arah naik-kemiringan pada permukaan di atasnya (toplap) dan ke arah turun-kemiringan di dasar cekungan (downlap).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-exploration-seismology/fig-22398d3443bc.svg)

*[Terminasi refleksi](#def-b3-exploration-seismology-terminations) (penampang skematis, refleksi abu-abu, permukaan terminasi berwarna). (a) Refleksi yang miring dipotong oleh ketidakselarasan. (b) Refleksi datar yang berakhir pada lereng yang lebih tua. (c) Lapisan miring dari baji progradasi yang berakhir ke arah naik-kemiringan pada permukaan di atasnya ([toplap](#def-b3-exploration-seismology-terminations)) dan ke arah turun-kemiringan di dasar cekungan ([downlap](#def-b3-exploration-seismology-terminations)).*

Terminasi-terminasi itu menandai permukaan yang membatasi rangkaian lapisan yang berhubungan secara genetik; pemetaannya di seluruh cekungan, serta mengaitkannya dengan naik dan turunnya muka laut relatif, adalah stratigrafi sekuen, yang dibahas dalam [Bab 16](https://one-course.com/books/earth/5/id/chapter/16-stratigrafi-sekuen#ch-b3-sequence-stratigraphy). Penampang seismik tepi pasif umumnya memperlihatkan baji refleksi yang berprogradasi ke arah laut dan yang [downlap](#def-b3-exploration-seismology-terminations) ke dasar laut dalam, ditutup oleh [toplap](#def-b3-exploration-seismology-terminations), dan terkubur ke arah darat di bawah lapisan yang [onlap](#def-b3-exploration-seismology-terminations), yang diendapkan saat muka laut naik kembali.

**Di lapangan — Survei streamer laut dan tim darat.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-exploration-seismology/img-b9f64d7030a5.jpg)

*Kapal survei seismik yang menarik streamer-nya saat senja (ilustrasi buatan AI).*

Pada survei laut kapal tidak pernah berhenti: ia berlayar lintasan demi lintasan dengan kecepatan beberapa knot, larik air-gun menembak pada interval tetap, dan streamer dijaga pada kedalaman tetap oleh sayap kecil yang dapat dikemudikan, dan posisinya ditentukan dengan akustik serta penentuan posisi dengan satelit. Pengamat di anjungan memantau laut di sekitar larik, dan survei bekerja berdasarkan aturan yang memuat langkah untuk melindungi mamalia laut, jaga yang dilakukan dan apa yang dilaporkan.

Di darat, tim menggelar kabel atau unit perekam nirkabel di sepanjang lintasan; truk vibrator bergerak beriringan dari satu titik sumber ke titik berikutnya, dan truk perekam memeriksa setiap kanal sebelum setiap sapuan. Di pusat pengolahan rekaman diurutkan menjadi kumpulan [titik tengah bersama](#def-b3-exploration-seismology-cmp), kecepatan dipilih, data [di-stacking](#def-b3-exploration-seismology-stack) dan dimigrasi, lalu penampang diserahkan kepada para interpreter.

## 2.6 Latihan

**Latihan 2.1 ★.**

Batu kapur ($v = 2500\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\rho = 2.00\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$) terletak di atas serpih ($2300\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, $2.30\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$), yang terletak di atas batu gamping ($4500\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, $2.60\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$). Hitung ketiga impedansi dan koefisien refleksi kedua bidang batas. Berapa bagian dari energi datang yang dipantulkan oleh puncak batu gamping?

**Solusi Latihan 2.1.**

$Z = \rho v$: kapur $2000\times2500 = 5.00 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$, serpih $2300\times2300 = 5.29 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$, batu gamping $2600\times4500 =
11.70 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$. Kapur–serpih: $R = (5.29 - 5.00)/(5.29 + 5.00)
= 0.29/10.29 = 0.0282$; serpih–batu gamping: $R = (11.70 - 5.29)/(11.70 + 5.29) =
6.41/16.99 = 0.377$. Energi terpantul adalah $R^2 = 0.142$: bagian atas batu gamping memantulkan $14.2\,\%$ energi datang, antarmuka kapur–serpih kurang dari $0.1\,\%$.

**Latihan 2.2 ★.**

Reflektor datar terletak $800\,\mathrm{m}$ di bawah lapisan berkecepatan $2000\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Hitung $t_0$, waktu refleksi pada offset $1000\,\mathrm{m}$, dan [moveout normal](#thm-b3-exploration-seismology-nmo) di titik tersebut. Bandingkan dengan pendekatan $x^2/(2v^2t_0)$.

**Solusi Latihan 2.2.**

$t_0 = 2\times800/2000 = 0.800\,\mathrm{s}$; $t = \sqrt{0.800^2 + (1000/2000)^2} =
\sqrt{0.89} = 0.9434\,\mathrm{s}$; moveout-nya adalah $0.1434\,\mathrm{s}$. Pendekatan memberikan $1000^2/(2\times2000^2\times0.800) = 0.1563\,\mathrm{s}$, terlalu tinggi sebesar $9\,\%$: pada offset yang lebih besar daripada kedalaman, $x \ll vt_0$ tidak lagi berlaku.

**Latihan 2.3 ★.**

Sebuah streamer memiliki 240 kanal berjarak $12.5\,\mathrm{m}$, dan kapal menembak setiap $25\,\mathrm{m}$. Hitung interval CMP dan [liputannya](#def-b3-exploration-seismology-cmp). Berapa interval tembakan yang memberikan [liputan](#def-b3-exploration-seismology-cmp) 120?

**Solusi Latihan 2.3.**

Titik tengah bergeser sebesar setengah jarak penerima: interval CMP adalah $12.5/2 = 6.25\,\mathrm{m}$. [Liputan](#def-b3-exploration-seismology-cmp) adalah $240\times12.5/(2\times25) = 60$. [Liputan](#def-b3-exploration-seismology-cmp) sebesar 120 memerlukan tembakan setiap $240\times12.5/(2\times120) = 12.5\,\mathrm{m}$.

**Latihan 2.4 ★.**

Dengan frekuensi dominan $30\,\mathrm{Hz}$, hitung panjang gelombang dan seperempat panjang gelombang di batu pasir dengan $3000\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ dan di batu gamping dengan $4500\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Hitung jari-jari [zona Fresnel](#def-b3-exploration-seismology-fresnel) pertama dari sebuah reflektor yang berada $1000\,\mathrm{m}$ di bawah batuan dengan kecepatan rata-rata $2800\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**Solusi Latihan 2.4.**

$\lambda = v/f$: $100\,\mathrm{m}$ di batu pasir, $\lambda/4 = 25\,\mathrm{m}$; $150\,\mathrm{m}$ di batu gamping, $\lambda/4 = 37.5\,\mathrm{m}$. Dengan $\lambda = 2800/30 = 93.3\,\mathrm{m}$ dan $z = 1000\,\mathrm{m}$, $r_F \approx \sqrt{\lambda z/2} = \sqrt{46\,667} = 216\,\mathrm{m}$ ($217\,\mathrm{m}$ dengan suku $\lambda^2/16$).

**Latihan 2.5 ★★.**

Dua refleksi memiliki $t_0 = 0.500\,\mathrm{s}$ dengan [kecepatan akar kuadrat rata-rata](#def-b3-exploration-seismology-velocities) $2400\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, dan $t_0 = 0.700\,\mathrm{s}$ dengan $2800\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Hitung [kecepatan interval](#def-b3-exploration-seismology-velocities) dan ketebalan lapisan di antara keduanya.

**Solusi Latihan 2.5.**

[Persamaan Dix](#thm-b3-exploration-seismology-dix): $v^2 = (2800^2\times0.700 - 2400^2\times0.500)/0.200 = (5\,488\,000 -
2\,880\,000)/0.200 = 1.304 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}$, maka $v = 3611\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Lapisan itu dilintasi dalam $0.100\,\mathrm{s}$ satu arah: $h = 3611\times0.100 =
361\,\mathrm{m}$.

**Latihan 2.6 ★★.**

Reflektor bidang memiliki kemiringan $\varphi$ pada bidang lintasan CMP, di dalam lapisan dengan kecepatan $v$. (a) Tunjukkan bahwa $t(x)^2 = t_0^2 + x^2\cos^2\varphi/v^2$, dengan $t_0$ adalah waktu offset-nol di titik tengah. (Petunjuk: gunakan bayangan titik tengah terhadap reflektor.) (b) Turunkan [kecepatan stacking](#def-b3-exploration-seismology-velocities), dan hitung untuk $v = 2000\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ dan $\varphi = 12{}^{\circ}$.

**Solusi Latihan 2.6.**

(a) Misalkan $d$ adalah jarak dari titik tengah M ke reflektor, sehingga $t_0 = 2d/v$. Sinar terpantul dari sumber S ke penerima G sama panjang dengan garis lurus dari S$'$, bayangan S di reflektor, ke G. Letakkan M pada titik asal, garis sepanjang kemiringan; S$'$ berada pada jarak $2d_S$ dari S sepanjang normal, dengan $d_S = d - (x/2)\sin\varphi$. Kuadrat S$'$G adalah $x^2 + 4d_S^2 + 4d_Sx\sin\varphi = x^2 + 4d^2 - x^2\sin^2\varphi$, semua suku dalam $dx$ saling meniadakan, sehingga $v^2t^2 = 4d^2 + x^2\cos^2\varphi$ dan $t^2 = t_0^2 + x^2\cos^2\varphi/v^2$. (b) Kumpulan jejak mengikuti hiperbola dengan kecepatan $V = v/\cos\varphi = 2000/\cos12{}^{\circ} = 2045\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$: kemiringan membuat [kecepatan stacking](#def-b3-exploration-seismology-velocities) terlalu tinggi, di sini sebesar $2.2\,\%$.

**Latihan 2.7 ★★.**

Sebuah kumpulan dengan [liputan](#def-b3-exploration-seismology-cmp) 60 memiliki derau independen bervarians sama pada setiap jejak. Dengan faktor berapa [stacking](#def-b3-exploration-seismology-stack) menaikkan rasio sinyal terhadap derau? Dengan faktor berapa [liputan](#def-b3-exploration-seismology-cmp) harus dinaikkan agar rasio itu menjadi dua kali lipat lagi?

**Solusi Latihan 2.7.**

Dengan $\sqrt{60} = 7.75$. Menggandakan rasio sinyal terhadap derau memerlukan empat kali lebih banyak jejak: [liputan](#def-b3-exploration-seismology-cmp) sebesar 240.

**Latihan 2.8 ★★.**

Pada penampang waktu offset-nol, di batuan dengan $3000\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, sebuah refleksi naik sebesar $0.40\,\mathrm{s}$ waktu dua arah per kilometer sepanjang lintasan. Ubah lereng ini menjadi kemiringan semu, dan hitung kemiringan sebenarnya reflektor.

**Solusi Latihan 2.8.**

Kedalaman yang diplot $vt/2$ berubah sebesar $1.5\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\times0.40\,\mathrm{s}
= 0.60\,\mathrm{km}$ setiap kilometer: $\tan\theta_a = 0.60$, $\theta_a = 31.0{}^{\circ}$. Menurut teorema zero-offset $\sin\theta = 0.60$: $\theta = 36.9{}^{\circ}$.

**Latihan 2.9 ★★.**

Konvolusikan [deret reflektivitas](#def-b3-exploration-seismology-synthetic) $r = (0, 0.3, 0, -0.2, 0)$ dengan wavelet tiga sampel $w = (-0.5, 1, -0.5)$, sampel demi sampel. Di mana letak kedua refleksi, dan apakah keduanya tumpang tindih?

**Solusi Latihan 2.9.**

Setiap lonjakan menempatkan salinan $w$ yang berpusat padanya: $0.3\,w$ pada sampel 0–2 menghasilkan $(-0.15, 0.3, -0.15)$, dan $-0.2\,w$ pada sampel 2–4 memberikan $(0.1, -0.2, 0.1)$. Jumlahnya adalah $(0, -0.15, 0.3, -0.05, -0.2, 0.1, 0)$, ditulis dari satu sampel sebelum deret sampai satu sampel sesudahnya. Refleksi memuncak pada sampel 1 dan 3, dengan tanda sebenarnya; keduanya tumpang tindih pada sampel 2, di mana $-0.15 + 0.1 = -0.05$: sedikit interferensi, tetapi dua puncak yang terpisah.

**Latihan 2.10 ★★★.**

Profil refraksi terbalik di atas lapisan berkecepatan $1800\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ memberikan kecepatan semu searah kemiringan sebesar $2900\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ dan kecepatan semu berlawanan arah kemiringan sebesar $4400\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Hitung sudut kritis, kemiringan, dan kecepatan refraktor. Bandingkan kecepatan refraktor dengan rata-rata harmonik dari kedua kecepatan semu tersebut.

**Solusi Latihan 2.10.**

$\arcsin(1800/2900) = 38.37{}^{\circ}$ dan $\arcsin(1800/4400) = 24.15{}^{\circ}$, maka $i_c = (38.37 + 24.15)/2 = 31.26{}^{\circ}$ dan $\theta = (38.37 - 24.15)/2 =
7.11{}^{\circ}$; $v_2 = 1800/\sin31.26{}^{\circ} = 3469\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Rata-rata harmonik $2\times2900\times4400/(2900 + 4400) = 3496\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ adalah $0.8\,\%$ lebih tinggi; dikalikan dengan $\cos\theta = 0.9923$, diperoleh $3469\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, pendekatan kemiringan kecil yang lazim $v_2 \approx \cos\theta\,2v_dv_u/(v_d + v_u)$.

**Latihan 2.11 ★★★.**

Pada [Proposisi 2.7](#prop-b3-exploration-seismology-tuning), sebuah lapisan memiliki koefisien refleksi $+R$ dan $-R$. (a) Tunjukkan bahwa untuk $\Delta t \ll T$, sinyal komposit kira-kira sama dengan $R\,\Delta t\,w'(t)$, yaitu turunan waktu wavelet yang diskalakan dengan ketebalan dua arah lapisan. (b) Jelaskan mengapa lapisan tipis tetap dapat dideteksi meskipun tidak terselesaikan, dan bagaimana ketebalannya dapat ditaksir dari amplitudonya. (c) Dua lapisan dari batuan yang sama, dengan ketebalan 5 dan $10\,\mathrm{m}$, dicitrakan dengan wavelet yang sama: berapa rasio amplitudo keduanya?

**Solusi Latihan 2.11.**

(a) Kompositnya adalah $R[w(t) - w(t - \Delta t)] \approx R\,\Delta t\,w'(t)$ dengan ekspansi Taylor orde pertama. (b) Amplitudonya sebanding dengan $\Delta t$, sehingga lapisan yang lebih tipis daripada [ketebalan tuning](#def-b3-exploration-seismology-resolution) tetap memantulkan sinyal, dengan bentuk $w'$, namun bagian atas dan dasarnya tidak dapat dipilih sebagai dua peristiwa: ia terdeteksi, tetapi tidak dipisahkan. Jika $R$ dan wavelet diketahui, misalnya dari sumur, amplitudonya memberi $\Delta t$ dan karenanya ketebalannya. (c) Amplitudonya sebanding dengan ketebalan: rasionya adalah $5/10 = 1/2$.

**Latihan 2.12 ★★★.**

Sebuah penghambur titik terletak $600\,\mathrm{m}$ di bawah lintasan, di batuan dengan $3000\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. (a) Tulis waktu offset-nol difraksinya terhadap jarak horizontal $x$ dari titik di atasnya, lalu hitung pada $x = 0$ dan $300\,\mathrm{m}$. (b) Tunjukkan bahwa difraksi tersebut adalah hiperbola berbentuk NMO dengan kecepatan $v/2$, dan jelaskan mengapa difraksi selalu lebih melengkung daripada refleksi dengan waktu puncak yang sama. (c) Apa yang dilakukan migrasi terhadapnya?

**Solusi Latihan 2.12.**

(a) $t(x) = (2/v)\sqrt{z^2 + x^2}$: $t(0) = 2\times600/3000 = 0.400\,\mathrm{s}$ dan $t(300) = (2/3000)\sqrt{600^2 + 300^2} = 0.4472\,\mathrm{s}$. (b) $t^2 = t_0^2 +
x^2/(v/2)^2$, bentuk NMO dengan kecepatan $v/2$. Refleksi dengan waktu puncak yang sama pada penampang zero-offset tidak akan menunjukkan moveout sama sekali; dibandingkan dengan hiperbola NMO yang memiliki $t_0$ sama dalam kumpulan jejak, moveout difraksi $x^2/(2(v/2)^2t_0)$ empat kali lebih besar, karena waktu bergantung pada jarak ke penghambur dua kali, ke bawah dan kembali. (c) Migrasi menjumlahkan penampang sepanjang hiperbola ini dan menempatkan energi di puncaknya: difraksi runtuh menjadi titik pada $x = 0$, $z = 600\,\mathrm{m}$.

## 2.7 Soal: Lintasan seismik melintasi Varden Hills

**Soal 2.1.**

Soal akhir pekan — refraksi, analisis kecepatan, konversi kedalaman dan migrasi sepanjang penampang A–B di Varden Hills

Lintasan seismik ditembakkan sepanjang penampang A–B di Varden Hills, wilayah yang ada di peta geologi volume-volume sebelumnya. Jarak $s$ dihitung dari A sepanjang lintasan. Lapisan penutup, dari atas, terdiri atas batu kapur, serpih ($100\,\mathrm{m}$), batu gamping ($180\,\mathrm{m}$) dan batu pasir ($120\,\mathrm{m}$), yang terletak secara tidak selaras di atas batuan dasar sekis; lapisan ini dilipat menjadi antiklin dan sinklin serta dipotong oleh sesar normal.

**Bagian I — Bentangan refraksi pada sayap barat.** Sebuah bentangan sepanjang $1200\,\mathrm{m}$ dibentangkan di antara titik tembak B ($s = 300\,\mathrm{m}$) dan T ($s = 1500\,\mathrm{m}$), di atas permukaan yang dianggap datar. Batu kapur dan serpih di atas batu gamping diperlakukan sebagai satu lapisan dengan $v_1 = 2.40\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Waktu gelombang kepala yang terbaca pada rekaman, dari B ke arah T, adalah $425.2\,\mathrm{ms}$ pada $800\,\mathrm{m}$ dan $486.1\,\mathrm{ms}$ pada $1200\,\mathrm{m}$; dari T ke arah B, $372.4\,\mathrm{ms}$ pada $800\,\mathrm{m}$ dan $486.1\,\mathrm{ms}$ pada $1200\,\mathrm{m}$.

1. Hitung kedua kecepatan semu. Titik tembak mana yang berlawanan arah kemiringan?
2. Hitung sudut kritis dan kemiringan refraktor.
3. Hitung kecepatan refraktor. Batuan apa itu?
4. Hitung waktu intersep dan kedalaman tegak lurus refraktor di bawah B dan di bawah T.
5. Ubah keduanya menjadi kedalaman vertikal, dan periksa kemiringan dari kedua kedalaman itu.
6. Serpih di bawah batu kapur lebih lambat daripada batu kapur. Bagaimana survei refraksi menafsirkannya, dan bagaimana hal itu menimbulkan bias pada kedalaman?

**Bagian II — Analisis kecepatan pada CMP S.** Lebih ke timur, CMP S berada pada sumbu sinklin, di blok turun dari sesar, tempat lapisan dianggap datar. Empat refleksi dipilih pada offset nol dan pada $600\,\mathrm{m}$:

| refleksi | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $t_0$ ($\mathrm{s}$) | 0.4878 | 0.5748 | 0.6548 | 0.7348 |
| $t(600\,\mathrm{m})$ ($\mathrm{s}$) | 0.5437 | 0.6240 | 0.6887 | 0.7648 |

7. Hitung kecepatan NMO $V = x/\sqrt{t^2 - t_0^2}$ dari refleksi 1 dan 2. Mengapa yang kedua lebih kecil daripada yang pertama?
8. Hitung untuk refleksi 3 dan 4.
9. Anggap ini sebagai [kecepatan akar kuadrat rata-rata](#def-b3-exploration-seismology-velocities) , lalu hitung [kecepatan interval](#def-b3-exploration-seismology-velocities) tiap lapisan dengan [persamaan Dix](#thm-b3-exploration-seismology-dix) .
10. Identifikasi lapisan dari kecepatannya, dan beri nama keempat bidang pantul.
11. Refleksi 1 paling lemah pada rekaman. Mengapa?
12. Mengapa kecepatan diukur hanya pada offset sampai $600\,\mathrm{m}$ saja, padahal bentangan mencapai $2\,\mathrm{km}$ ?

**Bagian III — Konversi kedalaman dan resolusi.**

13. Hitung waktu dua arah yang dihabiskan di setiap lapisan dan ketebalannya.
14. Hitung kedalaman setiap bidang pantul di bawah permukaan tanah. Bandingkan ketebalan serpih, batu gamping, dan batu pasir dengan nilai yang diberikan di atas.
15. Hitung kecepatan rata-rata dari permukaan tanah hingga batuan dasar, dan jelaskan mengapa kecepatan NMO refleksi 4 akan menaksir kedalaman terlalu besar jika dipakai sebagai gantinya.
16. [Wavelet seismik](#def-b3-exploration-seismology-wavelet) survei ini memuncak pada $30\,\mathrm{Hz}$ . Hitung panjang gelombang di serpih dan [ketebalan tuningnya](#def-b3-exploration-seismology-resolution) , baik dengan aturan seperempat panjang gelombang maupun dengan $b = v/(5.2f)$ untuk [wavelet Ricker](#def-b3-exploration-seismology-wavelet) . Apakah serpih itu terselesaikan? Pada frekuensi berapa serpih akan bertuning dengan aturan seperempat panjang gelombang?
17. Hitung jari-jari [zona Fresnel](#def-b3-exploration-seismology-fresnel) pertama pada batuan dasar, dengan mengambil $\lambda$ dari kecepatan NMO refleksi 4.

**Bagian IV — Migrasi dan sesar.**

18. Di dekat sesar, pemotongan batu gamping menghasilkan difraksi dengan puncak pada $0.550\,\mathrm{s}$ ; $200\,\mathrm{m}$ dari puncak sepanjang garis berada pada $0.5732\,\mathrm{s}$ . Tuliskan waktu difraksi offset nol dan tentukan kecepatan rata-rata di atas pemotongan.
19. Hitung kedalaman pemotongan di bawah permukaan tanah.
20. Pada sayap timur, refleksi puncak batu gamping pada penampang [stacking](#def-b3-exploration-seismology-stack) naik ke arah antiklin sebesar $0.167\,\mathrm{s}$ waktu dua arah per kilometer, di bawah batuan dengan kecepatan rata-rata $2.48\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ . Hitung kemiringan semu dan kemiringan sebenarnya.
21. Sebuah refleksi pada sayap itu tercatat pada $t = 0.655\,\mathrm{s}$ . Seberapa jauh, dan ke arah mana, migrasi memindahkannya?
22. Melintasi sesar, refleksi puncak batuan dasar melompat sebesar $0.160\,\mathrm{s}$ ; blok turun membawa ketebalan tambahan pada batu kapur. Hitung lompatan vertikal.
23. Berikan kedalaman ketidakselarasan batuan dasar di bawah CMP S, dari [kecepatan interval](#def-b3-exploration-seismology-velocities) pada Bagian II.

**Solusi Soal 2.1.**

**1.** Dari B, $400/(486.1 - 425.2) = 400/0.0609 = 6568\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$; dari T, $400/(486.1 - 372.4) = 400/0.1137 = 3518\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Gelombang kepala dari B tampak cepat: B adalah ujung bawah searah kemiringan, dan tembakannya merambat ke atas kemiringan; refraktor naik dari B ke T.

**2.** $\arcsin(2400/3518) = 43.02{}^{\circ}$, $\arcsin(2400/6568) =
21.43{}^{\circ}$: $i_c = 32.22{}^{\circ}$, $\theta = 10.79{}^{\circ}$.

**3.** $v_2 = 2400/\sin32.22{}^{\circ} = 4501\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$: berada dalam kisaran batu gamping, yaitu puncak batu gamping Jura.

**4.** Waktu intersep adalah $t - x/v_{\text{app}}$ pada $1200\,\mathrm{m}$: $t_{i,B} = 0.4861 - 1200/6568 = 0.3034\,\mathrm{s}$ dan $t_{i,T} = 0.4861 -
1200/3518 = 0.1450\,\mathrm{s}$. Dengan $\cos i_c = 0.8460$, $h = v_1t_i/(2\cos
i_c)$: $h_W = 2400\times0.3034/1.692 = 430.4\,\mathrm{m}$ dan $h_E =
205.7\,\mathrm{m}$.

**5.** Dibagi dengan $\cos\theta = 0.9823$: $438.1\,\mathrm{m}$ di bawah B dan $209.4\,\mathrm{m}$ di bawah T. Maka $(438.1 - 209.4)/1200 = 0.1906 =
\tan10.79{}^{\circ}$, kemiringan pada pertanyaan 2.

**6.** Serpih tidak menghasilkan gelombang kepala: ia tak terlihat, dan survei menghitungnya bersama kapur. Di sini $v_1 = 2.40\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ diberikan sebagai rata-rata keduanya; seandainya kecepatan gelombang langsung kapur, $2.50\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, dipakai untuk seluruh lapisan penutup, setiap kedalaman akan keluar terlalu besar.

**7.** $V = 600/\sqrt{0.5437^2 - 0.4878^2} = 600/0.2401 =
2499\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ dan $V = 600/\sqrt{0.6240^2 - 0.5748^2} =
2471\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Nilai kedua merata-ratakan kapur dengan serpih yang lebih lambat di bawahnya: rata-rata turun.

**8.** $2811\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ dan $2829\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**9.** Lapisan 1: $2499\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Lapisan 2: $v^2 = (2471^2\times0.5748
- 2499^2\times0.4878)/0.0870$, $v = 2308\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Lapisan 3: $v^2 = (2811^2\times0.6548 - 2471^2\times0.5748)/0.0800$, $v = 4561\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Lapisan 4: $v^2 = (2829^2\times0.7348 -
2811^2\times0.6548)/0.0800$, $v = 2972\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**10.** Kapur ($2499\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$), serpih ($2308\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$), batu gamping ($4561\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$), batu pasir ($2972\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$), masing-masing berada dalam kisaran yang dipublikasikan. Refleksi-refleksinya adalah antarmuka kapur–serpih, puncak batu gamping, antarmuka batu gamping–batu pasir, dan ketidakselarasan pada puncak basemen sekis.

**11.** Kapur dan serpih memiliki impedansi hampir sama: $R = 0.028$ (latihan 1), dibandingkan 0.38 untuk puncak batu gamping.

**12.** Hiperbola kecepatan $V_{\text{rms}}$ hanya berlaku hingga orde kedua dalam offset; pada offset $2\,\mathrm{km}$, dua kali kedalaman reflektor terdalam, waktu-waktunya menyimpang darinya, dan hiperbola yang dicocokkan dengan seluruh bentangan akan memberikan kecepatan yang keliru, dan interval Dix bahkan lebih buruk. Offset jauh juga meregangkan wavelet ketika dikoreksi.

**13.** Waktu bolak-balik di dalam lapisan: $0.4878\,\mathrm{s}$, $0.0870\,\mathrm{s}$, $0.0800\,\mathrm{s}$, $0.0800\,\mathrm{s}$. Ketebalan $v\,\Delta t/2$: $609.5\,\mathrm{m}$, $100.4\,\mathrm{m}$, $182.4\,\mathrm{m}$, $118.9\,\mathrm{m}$.

**14.** Kedalaman di bawah permukaan tanah: $609.5\,\mathrm{m}$, $709.9\,\mathrm{m}$, $892.3\,\mathrm{m}$, $1011.2\,\mathrm{m}$. Serpih, batu gamping, dan batu pasir keluar dalam $0.4\,\mathrm{m}$, $2.4\,\mathrm{m}$, dan $1.1\,\mathrm{m}$ dari ketebalannya, galat yang membesar pada batu gamping yang cepat dan tipis, tempat galat waktu kecil paling merugikan.

**15.** $\bar v = 2\times1011.2/0.7348 = 2752\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Kecepatan RMS memberi bobot tiap lapisan dengan $v^2$ dan tidak pernah lebih kecil daripada rata-rata berbobot waktu: $2829\times0.7348/2 = 1039\,\mathrm{m}$, $28\,\mathrm{m}$ terlalu dalam.

**16.** $\lambda = 2308/30 = 76.9\,\mathrm{m}$, $\lambda/4 = 19.2\,\mathrm{m}$; taksiran Ricker adalah $2308/(5.2\times30) = 14.8\,\mathrm{m}$. Serpih setebal $100\,\mathrm{m}$, lima kali [ketebalan tuning-nya](#def-b3-exploration-seismology-resolution): puncak dan dasarnya dapat dibedakan. Ia akan mengalami tuning, menurut aturan seperempat panjang gelombang, pada $f = v/(4b) =
2308/400 = 5.77\,\mathrm{Hz}$.

**17.** $\lambda = 2829/30 = 94.3\,\mathrm{m}$, $z = 1011\,\mathrm{m}$: $r_F \approx \sqrt{94.3\times1011/2} = 218\,\mathrm{m}$ ($220\,\mathrm{m}$ dengan suku $\lambda^2/16$).

**18.** $t(x)^2 = t_0^2 + (2x/v)^2$, sehingga $v = 2x/\sqrt{t^2 - t_0^2} =
400/\sqrt{0.5732^2 - 0.550^2} = 400/0.1614 = 2478\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**19.** $z = vt_0/2 = 2478\times0.550/2 = 681\,\mathrm{m}$.

**20.** Kedalaman yang diplot $vt/2$ berubah sebesar $1.24\times0.167 = 0.207$ per satuan panjang: $\theta_a = \arctan0.207 = 11.70{}^{\circ}$. Kemiringan sebenarnya memiliki $\sin\theta = 0.207$: $\theta = 11.95{}^{\circ}$, kemiringan sayap.

**21.** $d = 2480\times0.655/2 = 812\,\mathrm{m}$; migrasi memindahkan refleksi $d\sin\theta = 812\times0.207 = 168\,\mathrm{m}$ ke atas kemiringan, menuju puncak antiklin, dan naik dari $812\,\mathrm{m}$ menjadi $d\cos\theta =
795\,\mathrm{m}$.

**22.** $2500\times0.160/2 = 200\,\mathrm{m}$.

**23.** Dari pertanyaan 13 dan 14, ketidakselarasan basemen terletak **$1011\,\mathrm{m}$** di bawah permukaan tanah pada CMP S.