---
title: "Model Iklim"
book: "Ilmu Kebumian dan Antariksa Universitas — Tahun 3"
subject: earth
language: id
chapter: 22
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/5/id/chapter/22-model-iklim
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
---

# Bab 22 — Model Iklim

Ambil sinar Matahari yang sampai ke Bumi, $340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ yang dirata-ratakan ke seluruh Bumi, dan hukum untuk inframerah yang dikirim kembali ke antariksa, yang dicocokkan dengan tiga puluh tahun reanalisis dari observasi. Biarkan albedo planet naik dari albedo tanah terbuka dan laut ke albedo es seiring permukaan mendingin. Seimbangkan kedua fluks itu, dan persamaannya memiliki tiga solusi: planet pada $14\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, mendekati rata-rata Bumi yang sebenarnya; planet pada $8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; dan planet pada $-46\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, membeku dari kutub ke kutub. Model iklim, dari beberapa baris ini sampai program yang dijalankan pada komputer terbesar, adalah alat untuk menanyakan iklim apa yang dimiliki suatu planet, bagaimana planet itu mencapainya, dan bagaimana iklim berubah ketika neraca energinya terganggu.

**Yang sudah kamu ketahui.**

Benda hitam, hukum Stefan–Boltzmann, efek rumah kaca, dan model satu lapisan atmosfer ada di buku fisika; albedo dan anggaran energi Bumi di buku sekolah. Radiasi gelombang panjang keluar, suhu emisi, dan transpor panas meridional dibahas dalam volume Tahun 1, di bab tentang radiasi dan transpor panas. Umpan balik es–albedo dan Bumi bola salju ada di volume Tahun 2, di bab tentang Bumi Prakambrium; gaya radiatif efektif, parameter umpan balik iklim $\lambda < 0$, sensitivitas iklim kesetimbangan (ECS) dan respons iklim transien (TCR) di bab tentang perubahan iklim antropogenik; prediksi cuaca numerik dan ansambel prakiraan di bab tentang sistem cuaca. Persamaan gerak pada Bumi yang berotasi, dengan [pendekatan hidrostatik](https://one-course.com/books/earth/5/id/chapter/19-dinamika-fluida-geofisika#def-b3-gfd-foundations-hydrostatic), dibahas dalam Bab [19](https://one-course.com/books/earth/5/id/chapter/19-dinamika-fluida-geofisika#ch-b3-gfd-foundations).

## 22.1 Neraca energi planet

Dirata-ratakan ke seluruh bola dan selama setahun, setiap meter persegi di puncak atmosfer menerima $Q = S_0/4 = 340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, seperempat dari iradiansi Matahari $S_0 = 1360\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. Sebagian $\alpha$, yakni albedo planet, dipantulkan; sisanya, $Q(1 - \alpha)$, diserap dan harus dikembalikan ke antariksa sebagai inframerah. Benda hitam akan memancarkan $\sigma
T^4$; radiasi gelombang panjang keluar Bumi (OLR) lebih kecil karena efek rumah kaca, dan pada rentang suhu permukaan yang dijumpai di Bumi, ia mendekati sebuah garis lurus,

$$
\text{OLR} = A + BT ,
$$

dengan $T$ suhu permukaan dalam derajat Celsius. Pada 1969 Budyko mencocokkan hukum serupa ke radiasi keluar yang dihitung untuk 260 stasiun, dengan koreksi terhadap tutupan awan $n$: $I = a + bT - (a_1 + b_1T)n$, $a = 14.0$, $b = 0.14$, $a_1 =
3.0$ dan $b_1 = 0.10$ dalam $\mathrm{kcal}\,\mathrm{cm}^{-2}$ per bulan, dengan sebaran di bawah $5\,\%$. Dengan tutupan awan rata-rata 0.5, ia memberikan $A =
199\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ dan $B = 1.43\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$. [Rata-rata zonal](https://one-course.com/books/earth/5/id/chapter/20-dinamika-atmosfer#def-b3-atmospheric-dynamics-eddy) tahunan NCEP–NCAR Reanalysis 1 untuk 1991–2020, ditimbang menurut luas, memberikan $A = 211.9\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ dan $B = 1.816\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, dengan sebaran $10\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ di sekitar garis. Nilai-nilai ini dipakai di bawah ini.

**Definisi 22.1 (Model keseimbangan energi).**

Yang disebut *model keseimbangan energi* adalah model iklim yang menghitung suhu permukaan — satu rata-rata global, atau rata-rata pada setiap lintang — dari keseimbangan sinar Matahari yang diserap, radiasi inframerah yang dipancarkan ke antariksa dan, jika suhu bergantung pada lintang, panas yang dibawa menuju kutub. Dalam bentuk nol-dimensi,

$$
C\,\frac{\mathrm dT}{\mathrm dt} = Q\big(1 - \alpha(T)\big) - (A + BT) ,
$$

dengan $C$ kapasitas kalor per satuan luas bagian sistem yang menghangat bersama permukaan.

Dengan $\alpha = 0.30$, kesetimbangan berada pada $T = (238 - 211.9)/1.816 =
14.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; rata-rata luas reanalisis adalah $14.2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Gaya $F$, misalnya akibat perubahan karbon dioksida, menambah ruas kanan. Di dekat kesetimbangan, respons diatur oleh parameter umpan balik iklim $\lambda$ dari volume Tahun 2: dengan albedo tetap, $\lambda = -B$.

**Teorema 22.2 (Waktu respons iklim satu kotak).**

Misalkan suatu iklim berada dalam kesetimbangan, dan misalkan gaya konstan $F$ dinyalakan pada $t = 0$. Jika simpangan $T'$ dari kesetimbangan memenuhi $C\,\mathrm
dT'/\mathrm dt = F + \lambda T'$ dengan $C > 0$ dan $\lambda < 0$ konstan, maka

$$
T'(t) = -\frac{F}{\lambda}\Big(1 - \mathrm e^{-t/\tau}\Big), \qquad
\tau = -\frac{C}{\lambda} .
$$

Kesetimbangan baru adalah $-F/\lambda$, dan iklim menempuh pecahan $1
- \mathrm e^{-1} = 0.63$ dari perubahan itu dalam waktu $\tau$.

**Bukti.** $T'_\infty = -F/\lambda$ membuat ruas kanan menjadi nol. Selisih $u = T' - T'_\infty$ memenuhi $C\,\mathrm du/\mathrm dt = \lambda u$, sehingga $u =
u(0)\,\mathrm e^{\lambda t/C}$, dengan $u(0) = F/\lambda$. ∎

Kapasitas kalor yang penting dalam beberapa tahun adalah kapasitas lapisan atas samudra. Emulator dua lapisan dari laporan penilaian keenam Panel Antarpemerintah tentang Perubahan Iklim, dikalibrasi pada 44 model iklim, memberikan lapisan permukaan $C = 8.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{yr}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, yaitu kapasitas kalor lapisan air laut dengan kedalaman $62\,\mathrm{m}$. Dengan $\lambda = -B$, waktu respons adalah $8.1/1.816 = 4.5\text{ tahun}$. Iklim nyata juga menghangatkan samudra dalam, jauh lebih lambat; Bagian [22.4](#sec-22-4) menambahkannya.

## 22.2 Es, albedo dan kesetimbangan ganda

Umpan balik es–albedo dari volume Tahun 2 membuat albedo bergantung pada suhu. Ambil $\alpha = 0.62$ untuk planet yang permukaannya berada di bawah $T_I = -10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, albedo es dalam model Budyko, $\alpha
= 0.30$ di atas $T_F = +10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, serta garis lurus di antaranya, seiring es surut. Tanjakan ini pilihan bab ini; albedo apa pun yang meningkat saat planet mendingin memberikan gambaran yang sama.

**Definisi 22.3 (Kesetimbangan iklim ganda; bifurkasi pelana-simpul).**

Model iklim memiliki *kesetimbangan iklim ganda* ketika, untuk kondisi eksternal yang sama, ia memiliki lebih dari satu keadaan tunak. Suatu kesetimbangan stabil jika simpangan kecil darinya meluruh, dan tak stabil jika membesar. Yang disebut *bifurkasi pelana-simpul* adalah nilai parameter tempat satu kesetimbangan stabil dan satu tak stabil bertemu lalu lenyap bersamaan.

**Proposisi 22.4 (Tiga kesetimbangan dan kestabilannya).**

Tulis $N(T) = Q(1 - \alpha(T)) - (A + BT)$ untuk fluks turun neto. Suatu kesetimbangan $T^*$, $N(T^*) = 0$, stabil jika $N'(T^*) < 0$ dan tak stabil jika $N'(T^*) > 0$. Dengan tanjakan di atas, $N' = -B$ pada cabang bola salju dan cabang bebas es, yang stabil di mana pun ia ada, dan $N' = -B -
Q\,\mathrm d\alpha/\mathrm dT$ pada tanjakan, yang tak stabil bila $Q\,
|\mathrm d\alpha/\mathrm dT| > B$. Untuk $Q = 340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ model memiliki tiga kesetimbangan, $-45.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (stabil), $7.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (tak stabil) dan $14.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (stabil).

**Bukti.** Di dekat $T^*$, $C\,\mathrm dT'/\mathrm dt = N'(T^*)T'$, yang meluruh jika $N'(T^*) < 0$ dan membesar jika $N'(T^*) > 0$. Pada tanjakan $\mathrm d\alpha/
\mathrm dT = -0.32/20 = -0.016\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, sehingga $N' = -1.816 + 340
\times 0.016 = +3.62\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$. Cabang bola salju, $T = (340\times0.38 - 211.9)/1.816 = -45.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, berada di bawah $T_I$; cabang hangat, $14.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, di atas $T_F$; pada tanjakan, $340(0.54 + 0.016\,T) = 211.9 + 1.816\,T$ memberikan $T = 7.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. ∎

![Model keseimbangan energi nol-dimensi dengan tanjakan es–albedo dan hukum OLR yang dicocokkan dengan NCEP–NCAR Reanalysis 1. Kiri, sinar Matahari terserap dan inframerah yang dipancarkan untuk sinar Matahari hari ini: keduanya berpotongan tiga kali; lingkaran terisi stabil, lingkaran terbuka tak stabil. Kanan, suhu kesetimbangan terhadap konstanta surya, cabang stabil berupa garis penuh, cabang tak stabil putus-putus. Menurunkan Matahari dari nilai hari ini mendinginkan planet hangat hingga cabang hangat berakhir pada 1315\, W/ m2, dan iklim jatuh ke bola salju; ia tetap beku hingga Matahari dinaikkan ke 2039\, W/ m2, saat ia melompat kembali ke planet yang sangat panas, jauh di luar rentang tempat OLR garis lurus berlaku.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-climate-models/fig-73b48571a907.svg)

*[Model keseimbangan energi](#def-b3-climate-models-ebm) nol-dimensi dengan tanjakan es–albedo dan hukum OLR yang dicocokkan dengan NCEP–NCAR Reanalysis 1. Kiri, sinar Matahari terserap dan inframerah yang dipancarkan untuk sinar Matahari hari ini: keduanya berpotongan tiga kali; lingkaran terisi stabil, lingkaran terbuka tak stabil. Kanan, suhu kesetimbangan terhadap konstanta surya, cabang stabil berupa garis penuh, cabang tak stabil putus-putus. Menurunkan Matahari dari nilai hari ini mendinginkan planet hangat hingga cabang hangat berakhir pada $1315\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, dan iklim jatuh ke bola salju; ia tetap beku hingga Matahari dinaikkan ke $2039\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, saat ia melompat kembali ke planet yang sangat panas, jauh di luar rentang tempat OLR garis lurus berlaku.*

Ketika $Q$ turun, kesetimbangan hangat mendingin dan kesetimbangan pada tanjakan menghangat. Keduanya bertemu di puncak tanjakan, $T = T_F$, tempat $Q(1 - 0.30) = A +
10B$: $Q = 328.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, konstanta surya sebesar $1315\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $3.3\,\%$ di bawah nilai hari ini. Ini adalah [bifurkasi pelana-simpul](#def-b3-climate-models-multiple-equilibria): di bawah titik itu, satu-satunya kesetimbangan ialah bola salju, dan iklim jatuh ke dalamnya. Menaikkan Matahari lagi tidak mengembalikan planet hangat: cabang bola salju berakhir hanya di tempat suhunya mencapai $T_I$, $Q(1 - 0.62) = A -
10B$, pada konstanta surya sebesar $2039\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $50\,\%$ di atas nilai hari ini. Di antara keduanya, keadaan planet bergantung pada riwayatnya: model memiliki histeresis. Pada Neoproterozoikum yang nyata, jalan keluar dari bola salju dari volume Tahun 2 bukan Matahari yang lebih terang, melainkan karbon dioksida dari gunung api, yang menumpuk selama jutaan tahun hingga gaya radiatif gas rumah kaca mencapai ambang deglasiasi; garis es kemudian mundur ke kutub dalam beberapa ribu tahun.

## 22.3 Model Budyko–Sellers

Suhu tunggal tidak memiliki garis es. Pada 1969 Budyko membiarkan suhu bergantung pada lintang dan bertanya seberapa jauh pengurangan sinar Matahari akan mendorong es ke arah khatulistiwa.

**Definisi 22.5 (Model Budyko–Sellers).**

Suatu *model Budyko–Sellers* adalah [model keseimbangan energi](#def-b3-climate-models-ebm) tempat suhu rata-rata tahunan $T(x)$ bergantung pada $x = \sin\varphi$, $\varphi$ lintang, dengan belahan bumi bersifat simetris. Pada setiap lintang

$$
C\,\frac{\partial T}{\partial t} = Qs(x)\big(1 - \alpha(x)\big) - (A + BT) - D(x) ,
$$

dengan $s(x)$ adalah insolasi tahunan pada lintang itu dibagi rata-rata globalnya, $D(x)$ divergensi transpor panas ke arah kutub, dan albedo mengambil nilai es di sebelah kutub garis es $x_s$, tempat $T$ turun di bawah suatu suhu kritis $T_c$. Budyko menulis $D = \beta(T - \bar T)$, suatu relaksasi menuju rata-rata global $\bar T$; dalam bentuk difusif, $D =
-\mathcal D\,\partial_x\big[(1 - x^2)\,\partial_xT\big]$.

Faktor $x = \sin\varphi$ dipilih karena selang $x$ yang sama memuat luas bola yang sama, sehingga rata-rata global berbentuk $\int_0^1\cdot\,\mathrm
dx$. Budyko memperoleh $\beta = 0.235\,\mathrm{kcal}\,\mathrm{cm}^{-2}$ per bulan per derajat, yaitu $3.74\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, dari distribusi suhu terhadap lintang yang teramati. Ia menetapkan albedo sebesar 0.62 pada es dan 0.50 di tepinya, tempat es pecah, dan menetapkan posisi tepi es saat ini pada lintang rata-rata $72{}^{\circ}$ LU; suhu kritis adalah suhu yang membuat tepi es berada di sana.

**Proposisi 22.6 (Garis es pada model Budyko).**

Misalkan $F(x_s) = \int_0^{x_s}s\,\mathrm dx$ adalah pecahan sinar Matahari yang jatuh di sebelah khatulistiwa garis es, dan $\bar\alpha = \alpha_FF + \alpha_I(1 -
F)$ adalah albedo rata-rata yang diberi bobot sinar Matahari. Pada keadaan tunak model Budyko,

$$
B\bar T = Q(1 - \bar\alpha) - A, \qquad
T(x) = \frac{Qs(x)\big(1 - \alpha(x)\big) - A + \beta\bar T}{B + \beta} ,
$$

dan garis es di $x_s$, tempat $T = T_c$ dengan albedo tepi $\alpha_e$, memerlukan

$$
Q(x_s) = \frac{(B + \beta)T_c + A(1 + \beta/B)}{s(x_s)(1 - \alpha_e) +
(\beta/B)\big(1 - \bar\alpha(x_s)\big)} .
$$

Garis es stabil jika $\mathrm dQ/\mathrm dx_s > 0$ dan tidak stabil jika $\mathrm dQ/\mathrm dx_s < 0$.

**Bukti.** Integralkan neraca keadaan tunak pada $0 \le x \le 1$: suku transpor lenyap, karena $\int_0^1(T - \bar T)\,\mathrm dx = 0$, dan $\int_0^1
s(1 - \alpha)\,\mathrm dx = 1 - \bar\alpha$; ini menghasilkan $\bar T$. Neraca keadaan tunak pada setiap $x$ kemudian linear terhadap $T(x)$. Dengan menetapkan $T(x_s) = T_c$ dan mengganti $\bar T$ dengan nilainya, diperoleh rumus terakhir, yang linear terhadap $Q$. Syarat kestabilan diterima begitu saja: ia mengikuti dari linearisasi model yang bergantung waktu di sekitar keadaan tunak. ∎

Maknanya sama dengan model nol-dimensi: sepanjang cabang stabil, sedikit tambahan sinar Matahari mendorong garis es ke arah kutub. Suhu tempat tepi es berada saat ini menetapkan $T_c = -12.3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; reanalisis memberikan $-15.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ pada $72{}^{\circ}$, rata-rata kedua belahan bumi. Profil model di bawah ini lebih dingin daripada yang teramati di daerah tropis dan jauh lebih hangat dekat kutub: satu koefisien $\beta$ tidak dapat mencocokkan seluruh profil. Rata-rata globalnya, $12.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, dan suhu di khatulistiwa, $22.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, mendekati nilai teramati $14.2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ dan $25.7\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

![Model lintang Budyko dengan hukum OLR dari reanalisis dan insolasi setiap lintang. Kiri, sinar Matahari Q/Q_0 yang diperlukan untuk menahan garis es pada setiap lintang: cabang stabil berupa garis padat, cabang tak stabil berupa garis putus-putus. Hari ini, Q/Q_0 = 1, tiga keadaan berdampingan: garis es pada 72 (stabil), pada 30 (tak stabil), dan bola salju. Cabang stabil berakhir di minimumnya, 47.7 dan 0.9713: dengan sinar Matahari yang lebih sedikit di sana, es menjalar sampai ke khatulistiwa. Kanan, suhu model hari ini terhadap rata-rata zonal tahunan Reanalisis 1 NCEP–NCAR, 1991–2020, dirata-ratakan atas kedua belahan bumi; garis es berada di tempat kurva model, dengan albedo tepi, mencapai T_c.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-climate-models/fig-b26a142987da.svg)

*Model lintang Budyko dengan hukum OLR dari reanalisis dan insolasi setiap lintang. Kiri, sinar Matahari $Q/Q_0$ yang diperlukan untuk menahan garis es pada setiap lintang: cabang stabil berupa garis padat, cabang tak stabil berupa garis putus-putus. Hari ini, $Q/Q_0 = 1$, tiga keadaan berdampingan: garis es pada $72{}^{\circ}$ (stabil), pada $30{}^{\circ}$ (tak stabil), dan bola salju. Cabang stabil berakhir di minimumnya, $47.7{}^{\circ}$ dan $0.9713$: dengan sinar Matahari yang lebih sedikit di sana, es menjalar sampai ke khatulistiwa. Kanan, suhu model hari ini terhadap [rata-rata zonal](https://one-course.com/books/earth/5/id/chapter/20-dinamika-atmosfer#def-b3-atmospheric-dynamics-eddy) tahunan Reanalisis 1 NCEP–NCAR, 1991–2020, dirata-ratakan atas kedua belahan bumi; garis es berada di tempat kurva model, dengan albedo tepi, mencapai $T_c$.*

Cabang stabil memiliki minimum. Dengan nilai-nilai ini, minimum itu berada di $47.7{}^{\circ}$, untuk $Q/Q_0 = 0.9713$: penurunan $2.87\,\%$ pada sinar Matahari membawa es ke lintang tengah, dan penurunan lebih lanjut mengirimnya ke khatulistiwa. Budyko memperoleh ambang yang lebih kecil dengan koefisiennya sendiri: penurunan $1.6\,\%$ membawa es miliknya ke lintang rata-rata sekitar $50{}^{\circ}$, setelah itu es maju sendiri ke khatulistiwa dan suhu rata-rata turun hingga beberapa puluh derajat di bawah nol. Kecocokan OLR dan albedo menggeser angka ini; bentuk kurva, minimumnya, dan lari tak terkendali di luar minimum itu tidak. Bentuk difusif model, yang diselesaikan dengan polinomial Legendre dalam $x$, menghasilkan bentuk yang sama (latihan [22.10](#exo-b3-climate-models-10) membahas planet tanpa es).

## 22.4 Model dua lapisan

Waktu respons model satu kotak, beberapa tahun, sama dengan waktu respons lapisan atas samudra. Di bawahnya, samudra dalam menyerap panas selama berabad-abad, dan selama itu permukaan tetap lebih dingin daripada kesetimbangannya.

**Definisi 22.7 (Model keseimbangan energi dua lapisan).**

Yang disebut *model keseimbangan energi dua lapisan* menggambarkan iklim dengan lapisan permukaan yang memiliki anomali suhu $T$ dan kapasitas panas $C$, serta samudra dalam dengan anomali suhu $T_d$ dan kapasitas panas $C_d$, yang digabungkan oleh koefisien pertukaran panas $\gamma > 0$:

$$
C\,\frac{\mathrm dT}{\mathrm dt} = F + \lambda T - \gamma(T - T_d), \qquad
C_d\,\frac{\mathrm dT_d}{\mathrm dt} = \gamma(T - T_d) .
$$

**Teorema 22.8 (Respons cepat dan lambat).**

Misalkan $\lambda < 0$, $\gamma > 0$, $C, C_d > 0$, dan misalkan forsing konstan $F$ mulai pada $t = 0$ dari kesetimbangan. Maka

$$
T(t) = -\frac{F}{\lambda}\Big(1 - a_f\,\mathrm e^{-t/\tau_f} - a_s\,\mathrm
e^{-t/\tau_s}\Big), \qquad a_f + a_s = 1 ,
$$

dengan $1/\tau_f$ dan $1/\tau_s$ adalah akar-akar dari $r^2 - \big((\gamma -
\lambda)/C + \gamma/C_d\big)r - \lambda\gamma/(CC_d) = 0$. Jika $C \ll C_d$,

$$
\tau_f \approx \frac{C}{\gamma - \lambda}, \qquad
\tau_s \approx \frac{C_d(\gamma - \lambda)}{-\lambda\gamma}, \qquad
a_f \approx \frac{-\lambda}{\gamma - \lambda} .
$$

**Bukti.** Kesetimbangannya adalah $T = T_d = -F/\lambda$. Simpangannya dari situ memenuhi $\mathrm d\vec u/\mathrm dt = M\vec u$ dengan

$$
M = \begin{pmatrix} (\lambda - \gamma)/C & \gamma/C\\ \gamma/C_d &
-\gamma/C_d\end{pmatrix}, \qquad
\operatorname{tr}M = -\frac{\gamma - \lambda}{C} - \frac{\gamma}{C_d},
\qquad \det M = \frac{-\lambda\gamma}{CC_d} > 0 ,
$$

sehingga kedua nilai eigen $-r$ bernilai real dan negatif, dengan $r$ memenuhi persamaan kuadrat pada pernyataan. Setiap komponen $\vec u$ adalah kombinasi dari $\mathrm
e^{-t/\tau_f}$ dan $\mathrm e^{-t/\tau_s}$; $T(0) = 0$ memberikan $a_f + a_s =
1$. Jika $C \ll C_d$, akar yang lebih besar mendekati jejak, $(\gamma -
\lambda)/C$, dan yang lebih kecil adalah determinan dibagi jejak itu. Pada skala waktu cepat, samudra dalam belum bergerak, $T_d \approx 0$, dan permukaan menetap pada $F/(\gamma - \lambda)$, yaitu pecahan $-\lambda/(\gamma - \lambda)$ dari pemanasan akhir: itulah $a_f$. ∎

Emulator laporan penilaian, dikalibrasi terhadap 44 model, memiliki $C =
8.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{yr}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, $C_d = 110\,\mathrm{W}\,\mathrm{yr}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$ dan $\gamma = 0.62\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$; parameter umpan balik iklimnya diambil sekitar $\lambda = -1.33\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$. Nilai-nilai ini memberikan $\tau_f = 4.1\text{ tahun}$ dan $\tau_s = 262\text{ tahun}$, dengan $a_f =
0.67$: $62\,\%$ dari pemanasan terjadi dalam satu dekade, sebagian besar sisanya selama berabad-abad. Emulator juga mengalikan pertukaran panas pada persamaan pertama dengan efikasi $\varepsilon = 1.34$, yang memperlambat permukaan lebih jauh; di sini diatur menjadi 1.

![Model dua lapisan dengan parameter rata-rata dari emulator laporan penilaian keenam dan forsing F_2× = 3.93\, W/ m2 akibat penggandaan. Kiri, peningkatan mendadak empat kali lipat karbon dioksida: 62\,\% dari pemanasan akhir 5.9\, C setelah 10 tahun, 78\,\% setelah 100 dan 95\,\% setelah 500. Kanan, karbon dioksida naik 1\,\% per tahun: pada saat penggandaan, tahun ke-70, permukaan telah menghangat 1.99\, C, yakni TCR model, sedangkan pemanasan kesetimbangan untuk forsing itu, yakni ECS-nya, adalah 2.95\, C; permukaan tertinggal karena samudra dalam masih menyerap panas.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-climate-models/fig-ee63afb9b525.svg)

*Model dua lapisan dengan parameter rata-rata dari emulator laporan penilaian keenam dan forsing $F_{2\times} =
3.93\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ akibat penggandaan. Kiri, peningkatan mendadak empat kali lipat karbon dioksida: $62\,\%$ dari pemanasan akhir $5.9\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ setelah 10 tahun, $78\,\%$ setelah 100 dan $95\,\%$ setelah 500. Kanan, karbon dioksida naik $1\,\%$ per tahun: pada saat penggandaan, tahun ke-70, permukaan telah menghangat $1.99\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, yakni TCR model, sedangkan pemanasan kesetimbangan untuk forsing itu, yakni ECS-nya, adalah $2.95\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; permukaan tertinggal karena samudra dalam masih menyerap panas.*

Model ini memberikan dua sensitivitas yang dibahas dalam volume Tahun 2. ECS-nya adalah $-F_{2\times}/\lambda = 3.93/1.33 = 2.95\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Selama kenaikan bertahap yang berlangsung puluhan tahun, samudra dalam dengan skala waktu berabad-abad hampir tidak menghangat, dan permukaan mendekati keseimbangan cepat $T \approx F/(\gamma -
\lambda)$: TCR kira-kira $3.93/1.95 = 2.0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, dibandingkan dengan $1.99\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ untuk integrasi. Dengan efikasi, $\gamma$ diganti dengan $\kappa = \varepsilon\gamma = 0.84\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, dan $\text{TCR} = F_{2\times}/(\kappa - \lambda) = 1.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, yaitu taksiran terbaik yang dinilai laporan tersebut, yang juga menilai ECS sebesar $3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, *mungkin* 2.5 hingga $4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (*keyakinan tinggi*). Penilaian menemukan bahwa perbedaan $\gamma$ dan $\varepsilon$ antarmodel menjelaskan 10 sampai $20\,\%$ dari sebaran TCR mereka.

Model sesederhana ini, yang disetel untuk mereproduksi suhu global dari sebuah model besar, adalah emulator. Penilaian menjalankan model iklim sederhana yang modul suhunya berupa model dua lapisan ini, sebagai ansambel satu juta anggota, diambil sampelnya di sepanjang rentang parameternya, dan menyimpan 2237 anggota yang mereproduksi pemanasan teramati sejak 1850, panas yang diserap samudra, karbon dioksida di udara, serta fraksi emisi yang tetap berada di dalamnya.

## 22.5 Model sirkulasi umum

[Model keseimbangan energi](#def-b3-climate-models-ebm) diberi umpan balik dan transpornya; sebuah [model sirkulasi umum](#def-b3-climate-models-gcm) menghitungnya dari hukum-hukum fisika.

**Definisi 22.9 (Model sirkulasi umum; inti dinamis; parameterisasi).**

Yang disebut *model sirkulasi umum* (GCM) adalah model numerik atmosfer, samudra, atau keduanya yang digabungkan, yang menyelesaikan persamaan gerak, kontinuitas, dan energi suatu fluida pada Bumi yang berotasi — untuk atmosfer, dengan [pendekatan hidrostatik](https://one-course.com/books/earth/5/id/chapter/19-dinamika-fluida-geofisika#def-b3-gfd-foundations-hydrostatic), “persamaan primitif” — pada kisi tiga dimensi yang meliputi seluruh Bumi, melangkah maju dalam waktu. Yang disebut *inti dinamis* adalah bagian yang menyelesaikan persamaan-persamaan itu untuk gerakan yang diselesaikan grid. Adapun *parameterisasi* mewakili pengaruh suatu proses yang lebih kecil daripada satu sel grid terhadap variabel yang diselesaikan — awan, konveksi, turbulensi, gelombang gravitasi — lewat suatu rumus dalam variabel yang diselesaikan, dengan parameter yang dipilih para pemodel.

Resolusi menentukan apa yang harus diparameterisasi. [Model sirkulasi umum](#def-b3-climate-models-gcm) pada 1990 memiliki sel grid selebar sekitar $500\,\mathrm{km}$; model global dari penilaian terakhir, sekitar $100\,\mathrm{km}$; model regional, 25 sampai $50\,\mathrm{km}$, dan satu [proyek perbandingan antarmodel](#def-b3-climate-models-cmip) khusus telah menjelajahi kisi global berukuran sekitar 50, 25, dan bahkan $10\,\mathrm{km}$. Satu awan konvektif jauh lebih kecil daripada sel global: konveksi diparameterisasi, dan model regional yang cukup halus untuk menyelesaikannya kini sudah disertakan dalam [proyek perbandingan antarmodel](#def-b3-climate-models-cmip) tersebut.

![Irisan melalui kisi model global, tidak dalam skala. Di antara sel, angin serta transpor panas dan kelembapan dihitung oleh inti dinamis; di dalam setiap kolom, proses yang lebih kecil daripada sel — awan, konveksi, perpindahan cahaya matahari dan inframerah, turbulensi lapisan terbawah — diparameterisasi, dari suhu, kelembapan, dan angin yang diselesaikan pada kolom tersebut.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-climate-models/fig-2a8953616d71.svg)

*Irisan melalui kisi model global, tidak dalam skala. Di antara sel, angin serta transpor panas dan kelembapan dihitung oleh [inti dinamis](#def-b3-climate-models-gcm); di dalam setiap kolom, proses yang lebih kecil daripada sel — awan, konveksi, perpindahan cahaya matahari dan inframerah, turbulensi lapisan terbawah — diparameterisasi, dari suhu, kelembapan, dan angin yang diselesaikan pada kolom tersebut.*

**Definisi 22.10 (Model sistem Bumi).**

Yang disebut *model sistem Bumi* (ESM) adalah [model sirkulasi umum](#def-b3-climate-models-gcm) atmosfer dan samudra yang digabungkan dengan model-model dari es laut, permukaan daratan dan vegetasinya, serta siklus karbon, sehingga konsentrasi gas rumah kaca dan sifat-sifat permukaan dapat merespons iklim yang turut mereka bentuk.

[Model sistem Bumi](#def-b3-climate-models-esm) adalah model paling kompleks yang digunakan penilaian. Dalam tahun 1990-an model atmosfer–samudra yang digabungkan merupakan yang termutakhir; pada tahun 2010-an daratan, vegetasi, dan siklus karbon telah ditambahkan, dan model lembaran es kini sedang digabungkan dengannya. Sebagian besar proyeksi mereka meskipun demikian dijalankan dengan konsentrasi gas rumah kaca yang ditetapkan; hanya simulasi berbasis emisi yang membiarkan siklus karbon model menghitungnya. Di antara [model keseimbangan energi](#def-b3-climate-models-ebm) dan ESM terdapat hierarki model berkompleksitas menengah, cukup murah untuk dijalankan selama ribuan tahun tanpa superkomputer.

![Tangga model-model dalam bab ini. Setiap anak tangga menambahkan proses yang harus diberikan pada tingkat di bawahnya; anak tangga yang lebih bawah cukup murah untuk dijalankan sejuta kali, sedangkan yang di atas memerlukan superkomputer.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-climate-models/fig-13837e29d8e5.svg)

*Tangga model-model dalam bab ini. Setiap anak tangga menambahkan proses yang harus diberikan pada tingkat di bawahnya; anak tangga yang lebih bawah cukup murah untuk dijalankan sejuta kali, sedangkan yang di atas memerlukan superkomputer.*

**Definisi 22.11 (Spin-up sebuah model).**

Proses *spin-up* suatu model iklim adalah integrasinya di bawah forsing tetap, mulai dari keadaan awal, hingga komponen-komponen lambatnya — terutama samudra dalam dan simpanan karbon — berhenti menyimpang; eksperimen dimulai dari keadaan yang dicapainya.

[Model keseimbangan energi dua lapisan](#def-b3-climate-models-two-layer) menunjukkan mengapa [spin-up](#def-b3-climate-models-spin-up) memerlukan waktu lama: skala waktu lambatnya adalah $262$ tahun, dan setelah tiga kali skala tersebut, hampir delapan abad, penyimpangannya masih $5\,\%$ dari ketidakseimbangan awal. Asesmen mencatat bahwa berbagai strategi yang dipakai untuk melakukan [spin-up](#def-b3-climate-models-spin-up) pada model memengaruhi kinerjanya. hhanya untuk kinerjanya.

![Rak-rak superkomputer di NASA Center for Climate Simulation, Goddard Space Flight Center, pada 2010 (NASA, domain publik). Persamaan model global diselesaikan secara numerik pada komputer berkinerja tinggi semacam itu.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-climate-models/img-16911af4d239.jpg)

*Rak-rak superkomputer di NASA Center for Climate Simulation, Goddard Space Flight Center, pada 2010 (NASA, domain publik). Persamaan model global diselesaikan secara numerik pada komputer berkinerja tinggi semacam itu.*

## 22.6 Mengevaluasi model

Model diuji terhadap iklim hasil pengamatan; masalahnya, model itu juga telah disesuaikan dengannya. Setiap [parameterisasi](#def-b3-climate-models-gcm) memiliki parameter yang rentang yang dapat diterima ditetapkan oleh fisika dan pengamatan, dan ketika komponen-komponen dirakit, para pemodel menyempurnakannya hingga iklim hasil simulasi memenuhi serangkaian target penyetelan: iklim rata-rata — misalnya suhu rata-rata yang dekat dengan nilai pengamatan di bawah sinar Matahari saat ini — ciri regional, atau tren pada periode historis. Barulah model dilepas untuk perbandingan antarmodel.

**Definisi 22.12 (Proyek perbandingan antarmodel).**

Yang disebut *proyek perbandingan antarmodel* adalah serangkaian eksperimen terkoordinasi — dengan forsing yang sama, protokol yang sama, dan keluaran yang sama — yang dijalankan banyak kelompok pemodelan dengan model mereka sendiri agar hasilnya dapat dibandingkan. Coupled Model Intercomparison Project (CMIP) berlangsung dalam fase-fase berurutan; fase keenamnya, CMIP6, menjadi salah satu bukti utama asesmen keenam.

**Data tahun 2021.**

Dari 29 kelompok pemodelan CMIP6 yang melaporkan cara mereka menyetel, 23 tidak menyetel model mereka terhadap pemanasan yang teramati pada periode historis, dan 25 tidak menyetel ECS-nya: sensitivitas sebagian besar model merupakan sifat emergen bukan masukan. Secara rata-rata, model CMIP6 memiliki ECS dan TCR yang lebih tinggi daripada fase sebelumnya, dan sebaran yang lebih lebar daripada rentang yang dinilai dalam laporan; pada beberapa model, hal ini ditelusuri ke umpan balik awan di lintang menengah dan tinggi. Beberapa model paling sensitif kurang mampu mereproduksi pemanasan terkini yang teramati dan iklim masa lalu dengan baik. Oleh karena itu, asesmen tidak mengambil rentang ECS dan TCR-nya dari model secara langsung, melainkan dari pemahaman tentang proses umpan balik, catatan instrumental, iklim masa lalu, dan [kendala emergen](#def-b3-climate-models-evaluation); asesmen memperlakukan model paling sensitif sebagai panduan bagi hasil dengan kemungkinan rendah tetapi dampak tinggi (*keyakinan tinggi*).

**Definisi 22.13 (Ansambel besar; kendala emergen).**

Yang disebut *ansambel besar* adalah sekumpulan banyak simulasi dari satu model, dengan forsing yang sama selama periode yang sama, yang hanya berbeda dalam keadaan awalnya. Yang disebut *kendala emergen* adalah hubungan yang ditemukan lintas ansambel berbagai model, antara besaran yang teramati dari iklim masa kini dan besaran iklim masa depan, seperti ECS; nilai yang teramati dari besaran pertama lalu mempersempit rentang besaran kedua.

Iklim bersifat kacau, sehingga perbedaan kecil pada keadaan awal membuat anggota [ansambel besar](#def-b3-climate-models-evaluation) menempuh lintasan berbeda: sebaran anggota mengukur variabilitas internal, dan rata-ratanya menunjukkan respons akibat forsing. [Ansambel besar](#def-b3-climate-models-evaluation) dari beberapa model mendukung asesmen. Sebuah [kendala emergen](#def-b3-climate-models-evaluation) memerlukan alasan fisis. Dengan beberapa lusin model, ribuan besaran teramati dapat diuji, dan sebagian akan berkorelasi dengan ECS secara kebetulan; asesmen hanya menyimpan yang berdasar fisis, banyak di antaranya menyangkut awan di daerah tropis, dan memperingatkan bahwa bias yang dimiliki bersama oleh semua model dalam ansambel itu menggagalkan metode ini.

**Di laboratorium — Sebuah pusat pemodelan.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-climate-models/img-984558a1560c.jpg)

*Dua ilmuwan di depan dinding layar yang menampilkan medan global hasil simulasi model (ilustrasi buatan AI).*

Di pusat pemodelan iklim, model adalah program yang ditulis dan dipelihara oleh sebuah tim: atmosfer, samudra, es laut, dan daratan merupakan komponen terpisah komponen yang saling bertukar fluks di antarmukanya melalui penggandeng. Sebelum model dijalankan, forsing eksperimen dimasukkan — konsentrasi gas rumah kaca, aerosol, dan tata guna lahan sesuai protokol. Bumi dibagi menjadi bagian-bagian yang dihitung prosesor superkomputer secara paralel, dan iklim model selama satu abad dihasilkan sebagai arsip besar medan. Para ilmuwan menampilkannya di layar, membandingkannya dengan reanalisis dan catatan satelit, lalu mengirim keluaran standar ke arsip [proyek perbandingan antarmodel](#def-b3-climate-models-cmip), tempat kelompok lain membandingkannya dengan milik mereka.

## 22.7 Latihan

**Latihan 22.1 ★.**

Hukum OLR Budyko adalah $I = a + bT - (a_1 + b_1T)n$, dengan $a = 14.0$, $b =
0.14$, $a_1 = 3.0$, $b_1 = 0.10$, dalam $\mathrm{kcal}\,\mathrm{cm}^{-2}$ per bulan dan $T$ dalam ${}^{\circ}\mathrm{C}$. Untuk tutupan awan $n = 0.5$, hitung $A$ dan $B$, dan ubah keduanya ke $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ dan $\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, dengan satu bulan adalah seperduabelas dari tahun 365.25 hari. Berapa OLR yang diberikan hukum ini pada $15\,{}^{\circ}\mathrm{C}$?

**Solusi Latihan 22.1.**

$A = 14.0 - 1.5 = 12.5$ dan $B = 0.14 - 0.05 = 0.09$, dalam $\mathrm{kcal}\,\mathrm{cm}^{-2}$ per bulan. Satu bulan adalah $2.63 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$, sehingga $1\,\mathrm{kcal}\,\mathrm{cm}^{-2}$ per bulan adalah $4.184 \times 10^{7}/2.63 \times 10^{6} =
15.91\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$: $A = 199\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $B =
1.43\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$. Pada $15\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $199 + 21.5 =
220\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$.

**Latihan 22.2 ★.**

Dengan $Q = 340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $A = 211.9\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ dan $B =
1.816\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, hitung suhu kesetimbangan untuk albedo 0.30 dan 0.31. Seberapa besar planet ini mendingin bila albedo naik 0.01?

**Solusi Latihan 22.2.**

$(238.0 - 211.9)/1.816 = 14.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; dengan 0.31, $(234.6 -
211.9)/1.816 = 12.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Setiap 0.01 albedo setara dengan $3.4\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ dan $3.4/1.816 = 1.9\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**Latihan 22.3 ★.**

Hitung kapasitas panas per meter persegi lapisan campuran air laut kedalaman $60\,\mathrm{m}$, $\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ dan $c_p = 3992\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, dalam $\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-1}$ dan dalam $\mathrm{W}\,\mathrm{yr}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-1}$. Hitung waktu respons dari [Teorema 22.2](#thm-b3-climate-models-response) untuk $\lambda = -B =
-1.816\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$ dan untuk $\lambda =
-1.33\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$.

**Solusi Latihan 22.3.**

$C = 1025\times3992\times60 = 2.46 \times 10^{8}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-1}$; dibagi dengan $3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ dalam setahun, $7.78\,\mathrm{W}\,\mathrm{yr}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-1}$. Lalu $\tau
= 7.78/1.816 = 4.3\text{ tahun}$, dan $7.78/1.33 = 5.8\text{ tahun}$.

**Latihan 22.4 ★.**

Untuk model dua lapisan dengan $\lambda = -1.33\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, $\gamma = 0.62\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$ dan $F_{2\times} =
3.93\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, hitung ECS, TCR pendekatan $F_{2\times}/
(\gamma - \lambda)$, dan rasionya.

**Solusi Latihan 22.4.**

ECS $= 3.93/1.33 = 2.95\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; TCR $\approx 3.93/1.95 =
2.02\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; rasio $0.68$.

**Latihan 22.5 ★★.**

Dalam model nol-dimensi pada teks ini, ambil konstanta surya sebesar $1340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. Tentukan ketiga kesetimbangan serta kemiringan $N'(T)$ fluks neto di tiap kesetimbangan; mana yang stabil?

**Solusi Latihan 22.5.**

$Q = 335\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. Bola salju: $(335\times0.38 - 211.9)/1.816 =
-46.6\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; hangat: $(335\times0.70 - 211.9)/1.816 =
12.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, masih di atas $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; tanjakan: $335(0.54 +
0.016\,T) = 211.9 + 1.816\,T$ memberikan $T = 8.7\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. $N' =
-1.816\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$ pada dua yang pertama, stabil, dan $-1.816
+ 335\times0.016 = +3.54$ pada tanjakan, tidak stabil.

**Latihan 22.6 ★★.**

Geser tanjakan albedo pada teks ini: $\alpha = 0.62$ di bawah $-20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $0.30$ di atas $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, dan berubah linear di antaranya. Pertahankan $A$ dan $B$. Pada konstanta surya berapa cabang hangat berakhir, dan sebesar berapa persen itu di bawah $1360\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$? Pada konstanta surya berapa bola salju mencair? Apa yang menentukan besarnya ambang?

**Solusi Latihan 22.6.**

Cabang hangat berakhir ketika suhunya mencapai $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: $0.70\,Q = A$, $Q = 302.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, konstanta surya sebesar $1211\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $11.0\,\%$ di bawah nilai hari ini. Bola salju mencair saat $0.38\,Q = A - 20B$, $Q = 462.1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $S_0 =
1848\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. Ambang batasnya adalah $B(T^* - T_F)/(Q_0(1 - \alpha_F))$, yaitu selisih antara suhu hari ini $T^*$ dan suhu saat es mulai menyebar, dikonversi menjadi sinar Matahari: $1.816\times14.37/238 =
11.0\,\%$ di sini, $1.816\times4.37/238 = 3.3\,\%$ dalam teks.

**Latihan 22.7 ★★.**

Sebuah planet model dengan parameter pada teks ini berada dalam keadaan bola salju. (a) Berapa suhunya pada konstanta surya hari ini? (b) Dengan Matahari dibiarkan seperti adanya, gaya radiatif $F$ apa yang akan menaikkan suhu bola salju hingga $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$? Berapa kali lipat gaya penggandaan karbon dioksida, $3.93\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, itu? (c) Setelah es hilang, di mana planet menetap jika gaya radiatif kemudian dihilangkan?

**Solusi Latihan 22.7.**

(a) $-45.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (b) $340\times0.38 + F = 211.9 - 18.2$: $F =
64.5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, 16 kali gaya radiatif akibat penggandaan. (c) Selama gaya radiatif berlangsung, planet melompat ke cabang hangat, $(238.0 + 64.5 -
211.9)/1.816 = 50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; setelah gaya itu dihapus, planet mendingin sepanjang cabang hangat hingga $14.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, yang ada pada Matahari hari ini: ia tidak kembali ke bola salju.

**Latihan 22.8 ★★.**

Model X, sebuah model dua lapisan rekaan, memiliki $C = 7.0$ dan $C_d =
90\,\mathrm{W}\,\mathrm{yr}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, $\gamma = 0.70$ dan $\lambda =
-1.10\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$. Hitung kedua skala waktunya secara tepat dan dengan pendekatan menurut [Teorema 22.8](#thm-b3-climate-models-two-layer), pecahan $a_f$, ECS-nya, dan TCR pendekatannya.

**Solusi Latihan 22.8.**

$\Sigma = 1.80/7.0 + 0.70/90 = 0.2649\,\mathrm{yr}^{-1}$, $\Pi = 1.10\times0.70/
(7.0\times90) = 1.222 \times 10^{-3}\,\mathrm{yr}^{-2}$. Akar-akarnya memberikan $\tau_f =
3.84\text{ tahun}$ dan $\tau_s = 213\text{ tahun}$; pendekatannya, $7.0/1.80 = 3.89\text{ tahun}$, $90\times1.80/(1.10\times0.70) =
210\text{ tahun}$. $a_f = 0.597$ tepat, $1.10/1.80 = 0.611$ kira-kira. ECS $= 3.93/1.10 = 3.57\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; TCR $\approx
3.93/1.80 = 2.18\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**Latihan 22.9 ★★.**

Dalam model Budyko pada teks ini, $\bar T = 12.81\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $\beta =
3.74\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, garis es pada $72{}^{\circ}$, $s = 1.221$ di khatulistiwa dan $0.506$ di kutub, $\alpha = 0.30$ dan $0.62$. Hitung suhu di khatulistiwa dan di kutub, serta panas $\beta(T - \bar T)$ yang dikeluarkan transpor dari, atau dibawa ke, tiap meter persegi di sana.

**Solusi Latihan 22.9.**

Penyebut $B + \beta = 5.555$. Khatulistiwa: $(340\times1.221\times0.70 -
211.9 + 3.74\times12.81)/5.555 = 22.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; kutub: $(340\times0.506\times0.38 - 211.9 + 47.9)/5.555 = -17.7\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Transpor menghilangkan $3.74\times(22.8 - 12.8) = 37\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ di khatulistiwa dan membawa $3.74\times30.6 = 114\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ke kutub.

**Latihan 22.10 ★★★.**

Sebuah planet tanpa es ($\alpha = 0.30$ di mana-mana) memiliki transpor difusif $D = -\mathcal D\,\partial_x[(1 - x^2)\partial_xT]$ dan insolasi $s(x) = 1 + s_2P_2(x)$, $P_2 = (3x^2 - 1)/2$. (a) Tunjukkan bahwa $\partial_x[(1 - x^2)\partial_xP_2] = -6P_2$. (b) Tunjukkan bahwa $T = T_0 +
T_2P_2(x)$ adalah solusi keadaan tunak, dengan $T_0 = (Q(1 - \alpha) - A)/B$ dan $T_2 = Qs_2(1 - \alpha)/(B + 6\mathcal D)$. (c) Insolasi hasil reanalisis memberikan $s_2 = -0.476$. Tanpa transpor, berapa selisih suhu antara khatulistiwa dan kutub? (d) Berapa $\mathcal D$ yang memberikan selisih yang teramati, $55.3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$?

**Solusi Latihan 22.10.**

(a) $(1 - x^2)P_2' = 3x - 3x^3$, yang turunannya adalah $3 - 9x^2 = -6P_2$. (b) Suku transpornya adalah $-\mathcal D T_2(-6P_2) = 6\mathcal DT_2P_2$. Keseimbangan $Q(1 + s_2P_2)(1 - \alpha) - A - B(T_0 + T_2P_2) - 6\mathcal
DT_2P_2 = 0$ berlaku untuk semua $x$ jika bagian konstanta dan bagian $P_2$-nya lenyap, yang memberikan $T_0$ dan $T_2$. (c) $T(0) - T(1) = T_2(-\tfrac12 - 1)
= -1.5\,T_2$. Tanpa transpor $T_2 = 340\times(-0.476)\times0.70/1.816 =
-62.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: selisih sebesar $94\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (d) $T_2 =
-55.3/1.5 = -36.9\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, sehingga $B + 6\mathcal D = 113.3/36.9 =
3.07$ dan $\mathcal D = 0.21\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$.

**Latihan 22.11 ★★★.**

(a) Tulis persamaan kuadrat menurut [Teorema 22.8](#thm-b3-climate-models-two-layer) sebagai $r^2 -
\Sigma r + \Pi = 0$ dan tunjukkan bahwa, jika $4\Pi \ll \Sigma^2$, akar-akarnya dekat dengan $\Sigma$ dan $\Pi/\Sigma$. (b) Untuk gaya radiatif $F = kt$ yang naik secara linear, tunjukkan bahwa begitu $t \gg \tau_f$, dan selama $T_d$ tetap kecil, $T \approx kt/(\gamma - \lambda)$; turunkan TCR pendekatannya. (c) Periksa angka-angka pada teks ini: $\Sigma$, $\Pi$, kedua skala waktu, dan rasio $4\Pi/\Sigma^2$.

**Solusi Latihan 22.11.**

(a) $r = \tfrac12\Sigma\big(1 \pm \sqrt{1 - 4\Pi/\Sigma^2}\big)$; dengan $\sqrt{1 - \epsilon} \approx 1 - \epsilon/2$, akarnya adalah $\Sigma -
\Pi/\Sigma \approx \Sigma$ dan $\Pi/\Sigma$. (b) Dengan $T_d = 0$, $C\,\mathrm
dT/\mathrm dt = kt - (\gamma - \lambda)T$, yang solusinya dari keadaan diam adalah $T =
k(t - \tau_f)/(\gamma - \lambda) + k\tau_f\mathrm e^{-t/\tau_f}/(\gamma -
\lambda)$, $\tau_f = C/(\gamma - \lambda)$. Untuk $t \gg \tau_f$, $T \approx
kt/(\gamma - \lambda)$, dan pada saat penggandaan, $kt = F_{2\times}$: TCR $\approx F_{2\times}/(\gamma - \lambda)$. (c) $\Sigma = 1.95/8.1 +
0.62/110 = 0.2464\,\mathrm{yr}^{-1}$, $\Pi = 1.33\times0.62/(8.1\times110) =
9.25 \times 10^{-4}\,\mathrm{yr}^{-2}$; $\tau_f = 4.12\text{ tahun}$ dan $\tau_s =
262\text{ tahun}$ (kira-kira $1/\Sigma = 4.06\text{ tahun}$ dan $\Sigma/\Pi = 266\text{ tahun}$); $4\Pi/\Sigma^2 = 0.061$.

**Latihan 22.12 ★★★.**

Sebuah ansambel rekaan berisi delapan model memberikan besaran teramati $X$ pada iklim masa kini dan ECS-nya:

| $X$ | 0.2 | 0.5 | 0.6 | 0.8 | 1.0 | 1.1 | 1.3 | 1.5 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| ECS (${}^{\circ}\mathrm{C}$) | 2.3 | 2.7 | 3.1 | 3.2 | 3.8 | 3.9 | 4.4 | 4.6 |

(a) Hitung rata-rata dan simpangan baku ECS ansambel itu. (b) Cocokkan ECS $= a + bX$ dengan kuadrat terkecil; hitung korelasi dan simpangan baku residunya. (c) $X$ teramati adalah $0.7
\pm 0.1$. Berapa ECS yang diberikan kendala ini, dan dengan sebaran berapa? (d) Apa yang membuatmu tidak percaya pada kendala ini?

**Solusi Latihan 22.12.**

(a) Rata-rata $3.50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, simpangan baku $0.81\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (b) ECS $= 1.88 + 1.86\,X$; korelasi $0.992$; simpangan baku residu $0.11\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (c) $1.88 + 1.86\times0.7 =
3.18\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, dengan sebaran $\sqrt{(1.86\times0.1)^2 + 0.11^2} =
0.22\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, kira-kira seperempat dari sebaran ansambel. (d) Tidak ada mekanisme fisis yang menghubungkan $X$ dengan umpan balik; $X$ yang ditemukan dengan mencoba banyak observabel, sehingga korelasinya mungkin hanya kebetulan; bias yang dimiliki bersama oleh kedelapan model; model dari keluarga yang sama dihitung sebagai independen.

## 22.8 Soal: Seberapa dekat dengan bola salju?

**Soal 22.1.**

Soal akhir pekan — kesetimbangan, kestabilan dan ambang glasiasi planet model

Sebuah planet model memiliki konstanta surya hari ini $S_0 = 1360\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ dan hukum OLR $A + BT$ dengan $A = 211.9\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ dan $B =
1.816\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$. Albedonya 0.62 di bawah $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, 0.30 di atas $+10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, linier di antaranya, dan kapasitas panas permukaannya $C = 8.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{yr}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$. Gunakan $\sigma = 5.670 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$.

**Bagian I — Planet dalam kesetimbangan.**

1. Hitung rata-rata sinar matahari $Q_0$ per meter persegi planet, dan jelaskan faktornya.
2. Hitung sinar matahari yang diserap dengan albedo 0.30, dan OLR pada $15\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
3. Hitung kesetimbangan hangat.
4. Hitung kesetimbangan bola salju, dan periksa bahwa ia berada pada cabang es.
5. Hitung kesetimbangan ketiga, pada tanjakan albedo.
6. Hitung suhu emisi yang mengembalikan sinar matahari yang diserap ke angkasa sebagai benda hitam, dan bandingkan dengan kesetimbangan hangat.

**Bagian II — Kestabilan dan waktu.**

7. Hitung kemiringan $N'(T)$ dari fluks neto pada setiap kesetimbangan, dan nyatakan mana yang stabil.
8. Simpangan kecil dari kesetimbangan tengah tumbuh sebagai $\mathrm  e^{t/\tau}$ . Hitung $\tau$ .
9. Hitung waktu respons kesetimbangan hangat.
10. Gaya radiatif sebesar $3.93\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , setara dengan penggandaan karbon dioksida, mulai diberikan. Hitung pemanasan pada kesetimbangan, dan bandingkan dengan ECS yang ditaksir untuk iklim nyata.
11. Berapa lama model memerlukan waktu untuk mencapai $95\,\%$ dari pemanasan? Mengapa iklim nyata membutuhkan waktu lebih lama?

**Bagian III — Bifurkasi pelana-simpul.**

12. Ketika Matahari meredup, pada suhu berapa kesetimbangan hangat bertemu dengan kesetimbangan tengah? Hitung $Q$ di sana.
13. Hitung konstanta surya pada bifurkasi, dan penurunannya dari hari ini dalam persen.
14. Tepat di bawahnya, ke mana iklim bergerak? Hitung suhunya.
15. Hitung konstanta surya saat bola salju mencair, dan kenaikannya dari hari ini dalam persen.
16. Sketsakan lengkung yang dilalui suhu ketika $S_0$ diturunkan di bawah bifurkasi dan dikembalikan ke $1360\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ .

**Bagian IV — Garis es.** Berikan model lintang Budyko untuk planet ini, dengan $\beta = 3.739\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, albedo es 0.62 di sisi kutub garis es, 0.30 di sisi khatulistiwa, 0.50 pada tepinya, dan insolasi dari reanalisis:

| lintang | $0{}^{\circ}$ | $30{}^{\circ}$ | $40{}^{\circ}$ | $47.5{}^{\circ}$ | $55{}^{\circ}$ | $60{}^{\circ}$ | $72{}^{\circ}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $s(x_s)$ | 1.2211 | 1.0730 | 0.9647 | 0.8688 | 0.7650 | 0.6947 | 0.5643 |
| $F(x_s)$ | 0 | 0.5865 | 0.7324 | 0.8192 | 0.8863 | 0.9205 | 0.9738 |

17. Dengan garis es pada $72{}^{\circ}$ , hitung albedo rata-rata $\bar\alpha$ dan suhu rata-rata $\bar T$ .
18. Hitung suhu kritis $T_c$ yang menempatkan tepi pada $72{}^{\circ}$ hari ini, dan bandingkan dengan reanalisis, $-15.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
19. Hitung pembilang dari $Q(x_s)$ pada [Proposisi 22.6](#prop-b3-climate-models-iceline) dan rasio $\beta/B$ .
20. Hitung $Q(x_s)/Q_0$ untuk garis es pada $30{}^{\circ}$ , $40{}^{\circ}$ , $47.5{}^{\circ}$ , $55{}^{\circ}$ , dan $60{}^{\circ}$ .
21. Di mana nilai minimum dari nilai-nilai ini berada? Garis es mana yang stabil?
22. Dengan Matahari hari ini, garis es lain apa yang diizinkan model, dan apakah itu stabil? Apakah bola salju mungkin hari ini? (Gunakan kolom $0{}^{\circ}$ .)
23. Bandingkan ambang model lintang dengan ambang Bagian III dan $1.6\,\%$ milik Budyko, dan lintang es pada ambang dengan $50{}^{\circ}$ miliknya.
24. Berikan, hingga dua angka penting, penurunan konstanta surya, dalam persen, yang menyebabkan glasiasi pada planet model.

**Solusi Soal 22.1.**

**1.** $Q_0 = 1360/4 = 340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$: planet menangkap sinar Matahari pada cakram berluas $\pi R^2$ dan menyebarkannya ke bola berluas $4\pi R^2$.

**2.** $340\times0.70 = 238.0\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; $211.9 + 1.816\times15 =
239.1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$.

**3.** $(238.0 - 211.9)/1.816 = 14.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**4.** $(129.2 - 211.9)/1.816 = -45.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, di bawah $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**5.** $340(0.54 + 0.016\,T) = 211.9 + 1.816\,T$: $T =
(183.6 - 211.9)/(1.816 - 5.44) = 7.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**6.** $(238.0/5.670 \times 10^{-8})^{1/4} = 254.5\,\mathrm{K}$, $-18.6\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: $33\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ di bawah kesetimbangan hangat, yakni efek rumah kaca planet yang termuat dalam $A$ dan $B$.

**7.** $N' = -B = -1.816\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$ pada bola salju dan kesetimbangan hangat, keduanya stabil; $-1.816 + 5.44 =
+3.62$ pada yang di tengah, tidak stabil.

**8.** $\tau = 8.1/3.62 = 2.2\text{ tahun}$.

**9.** $8.1/1.816 = 4.5\text{ tahun}$.

**10.** $3.93/1.816 = 2.2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, di bawah taksiran terbaik yang dinilai, yakni $3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ dan di bawah rentangnya yang *mungkin*, 2.5 sampai $4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: $B$ pada model, yang dicocokkan di seluruh lintang, bukan parameter umpan balik iklim secara keseluruhan.

**11.** $\mathrm e^{-t/\tau} = 0.05$ pada $t = 3\tau =
13\text{ tahun}$. Iklim sebenarnya juga memanaskan samudra dalam, yang skala waktunya berabad-abad.

**12.** Pada $T_F = 10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; $Q = (211.9 + 18.2)/0.70 =
328.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$.

**13.** $S_0 = 1315\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $3.3\,\%$ di bawah nilai hari ini.

**14.** Ke bola salju, $(328.7\times0.38 - 211.9)/1.816 =
-47.9\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**15.** $Q = (211.9 - 18.2)/0.38 = 509.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $S_0 =
2039\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $50\,\%$ di atas nilai hari ini.

**16.** Turun sepanjang cabang hangat hingga $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ pada $1315\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, suhu turun ke $-48\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, lalu naik kembali sepanjang cabang bola salju hingga $-45.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ pada $1360\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$: planet itu tetap beku. Hanya di atas $2039\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ia akan melompat kembali ke cabang hangat.

**17.** $\bar\alpha = 0.30\times0.9738 + 0.62\times0.0262 =
0.3084$; $\bar T = (340\times0.6916 - 211.9)/1.816 =
12.80\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**18.** $T_c = (340\times0.5643\times0.50 - 211.9 + 3.739\times12.80)/
5.555 = -12.26\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $3.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ lebih hangat daripada reanalisis pada $72{}^{\circ}$.

**19.** $5.555\times(-12.26) + 211.9\times3.059 = 580.1$, dengan $\beta/B = 2.059$.

**20.** Penyebutnya 1.7053, 1.7473, 1.7565, 1.7488, dan 1.7362, serta $Q/Q_0 = 1.0005$, $0.9764$, $0.9713$, $0.9756$ dan $0.9827$.

**21.** Dekat $47.5{}^{\circ}$, pada $0.971$. Garis es di sebelah kutub dari minimum stabil, $\mathrm dQ/\mathrm dx_s > 0$; yang ke arah khatulistiwa tidak stabil.

**22.** $Q/Q_0 = 1$ juga antara $30{}^{\circ}$ dan $40{}^{\circ}$, dekat $30{}^{\circ}$ ($30.2{}^{\circ}$ menurut interpolasi): garis es yang tidak stabil. Pada $0{}^{\circ}$, $Q/Q_0 = 580.1/(0.6106 + 0.7824)/340 = 1.225$: bola salju bertahan untuk Matahari mana pun hingga $22\,\%$ lebih terang daripada nilai hari ini, sehingga keadaan itu mungkin terjadi hari ini.

**23.** $2.9\,\%$, dibanding $3.3\,\%$ untuk model nol-dimensi dan $1.6\,\%$ untuk Budyko; es berada dekat $48{}^{\circ}$ pada ambang, dibanding $50{}^{\circ}$ miliknya. Model lintang membeku lebih cepat daripada yang global, karena sinar Matahari paling lemah di tempat es terbentuk.

**24.** Planet model membeku bila penurunannya **$2.9\,\%$** dari konstanta surya ($2.87\,\%$ menurut perhitungan).