---
title: "Analisis Struktur"
book: "Ilmu Kebumian dan Antariksa Universitas — Tahun 3"
subject: earth
language: id
chapter: 8
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/5/id/chapter/8-analisis-struktur
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
---

# Bab 8 — Analisis Struktur

Seorang geolog telah mengukur dua ratus bidang perlapisan pada sayap sebuah lipatan terlalu besar untuk dilihat utuh: engselnya berada di bawah hutan, sayapnya membentang sepanjang kilometer. Setiap pembacaan berupa sepasang bilangan. Diplot sebagai titik pada bagan melingkar, [kutub-kutub](#def-b3-structural-analysis-stereo) bidang jatuh pada satu kurva, sebuah lingkaran besar, dan [kutub](#def-b3-structural-analysis-stereo) lingkaran besar itu adalah sumbu lipatan, sebuah garis yang tidak seorang pun pernah melihatnya. Bab ini membangun bagan, yaitu [proyeksi stereografis](#def-b3-structural-analysis-stereo), dan menggunakannya bersama alat-alat vektor di baliknya untuk mencari sumbu-sumbu lipatan, untuk mengukur regangan yang terekam pada benda-benda terdeformasi, untuk memulihkan tegangan yang menggerakkan sekumpulan sesar, dan untuk merestorasi penampang yang terdeformasi ke keadaan sebelum deformasi.

**Yang sudah kamu ketahui.**

Lingkaran besar dan kecil pada bola ada di volume Tahun 1, dalam babnya tentang astronomi bola; jurus, kemiringan, arah kemiringan, tren, dan penunjaman dibahas dalam bab-bab tentang peta geologi dan penampang; normal satuan ke atas bidang dengan arah kemiringan $\alpha$ dan kemiringan $\delta$, $\vec n = (\sin\delta
\sin\alpha, \sin\delta\cos\alpha, \cos\delta)$ dalam komponen timur, utara, dan atas dan rata-rata vektor dari sekumpulan pembacaan dalam bab pertamanya tentang metode lapangan dan laboratorium. Unsur dan kelas lipatan, garis engsel suatu lipatan sejajar dengan $\vec n_1\times\vec n_2$ dan sudut antar-sayap $180{}^{\circ} - \arccos(\vec n_1\cdot\vec n_2)$, serta teori Anderson tentang pensesaran, dibahas dalam bab tentang sesar, lipatan, dan fabrik; tegangan, tegangan utama, elips regangan, dan geser sederhana dalam bab tentang tegangan, regangan, dan reologi; rake vektor gelincir (dari jurus, $-90{}^{\circ}$ untuk sesar normal, $90{}^{\circ}$ untuk sesar naik, 0 sinistral dan $180{}^{\circ}$ dekstral), dan sumbu P dan T dari mekanisme fokus dalam bab tentang sumber gempa bumi. Penampang seimbang dan décollement dibahas dalam volume Tahun 2, dalam bab tentang Alpen. Kuadrat terkecil dibahas dalam [Bagian 1.4](https://one-course.com/books/earth/5/id/chapter/1-seismologi-dan-pencitraan-bumi#sec-b3-seismology-imaging-inverse); nilai eigen dan vektor eigen dari matriks simetris dibahas dalam buku matematika.

## 8.1 Proyeksi stereografis

Data geolog berupa orientasi: orientasi bidang perlapisan, sebuah sesar, sebuah foliasi; tren dan penunjaman lineasi, engsel lipatan, arah gelincir. Masing-masing adalah arah yang melalui sebuah titik, tanpa posisi. Untuk membandingkan ratusan di antaranya, bayangkan semuanya dipindahkan ke pusat satu bola: sebuah garis menembus belahan bawah bola di satu titik, sebuah bidang memotongnya sepanjang setengah lingkaran besar. Bagan belahan bawah kemudian menampilkan garis sebagai titik dan bidang sebagai kurva.

**Definisi 8.1 (Proyeksi stereografis, jaring sama sudut, proyeksi sama luas, kutub).**

Misalkan sebuah garis melalui pusat $O$ bola berjari-jari $R$ memotong belahan bawah di titik $P$, pada sudut $\theta = 90{}^{\circ} - p$ dari nadir, dengan $p$ adalah penunjaman garis dan $t$ trennya. Yang disebut *proyeksi stereografis* memetakan $P$ ke titik tempat garis lurus dari zenit ke $P$ memotong bidang horizontal melalui $O$; titik itu berjarak $r$ dari $O$ pada azimut $t$. Bagan belahan bawah yang digambar dengan cara ini, beserta kisinya berupa lingkaran besar dan lingkaran kecil, adalah *jaring sama sudut* (atau jaring Wulff). Yang disebut *proyeksi sama luas* memetakan $P$ ke titik yang berjarak $r =
R\sqrt2\sin(\theta/2)$ pada azimut $t$; jaringnya adalah jaring Schmidt. Yang disebut *kutub* sebuah bidang adalah garis normalnya, yang diplot sebagai titik: untuk bidang dengan arah kemiringan $\alpha$ dan kemiringan $\delta$, kutubnya memiliki tren $\alpha + 180{}^{\circ}$ dan penunjaman $90{}^{\circ} - \delta$.

Kedua proyeksi menempatkan garis vertikal di pusat dan garis horizontal pada lingkaran berjari-jari $R$, yaitu primitif. Keduanya berbeda dalam hal yang dipertahankan.

**Teorema 8.2 (Kedua proyeksi).**

1. [Proyeksi stereografis](#def-b3-structural-analysis-stereo) menempatkan $P$ pada $r = R\tan(\theta/2)$ . Ia bersifat konform: di setiap titik semua arah diregangkan dengan faktor yang sama, $1/(2\cos^2(\theta/2))$ , sehingga sudut antara kurva tetap terjaga.
2. [Proyeksi sama luas](#def-b3-structural-analysis-stereo) mengalikan setiap luas dengan faktor yang sama, $1/2$ : luas suatu wilayah pada jaring adalah setengah luas wilayah belahan bola yang diwakilinya.

**Bukti.** (a) Pada bidang vertikal yang melalui zenit $Z$, nadir, dan $P$ (gambar pertama di bawah), busur dari nadir ke $P$ menghadap sudut $\theta$ di pusat, sehingga sudut keliling $\theta/2$ di $Z$, yang berjarak $R$ di atas $O$: $r =
R\tan(\theta/2)$. Langkah kecil $R\,\mathrm d\theta$ pada bola menuju nadir menjadi $\mathrm dr = R\,\mathrm d\theta/(2\cos^2(\theta/2))$ pada bagan. Lingkaran titik-titik pada sudut $\theta$ dari nadir memiliki keliling $2\pi R\sin\theta$ dan menjadi lingkaran dengan keliling $2\pi
r$; rasionya adalah $\tan(\theta/2)/\sin\theta = 1/(2\cos^2(\theta/2))$, sama seperti sepanjang jari-jari. Peta yang meregang sama di dua arah tegak lurus meregang sama ke segala arah dan mempertahankan sudut.

(b) Tudung bola dalam sudut $\theta$ dari nadir memiliki luas $2\pi R^2(1 - \cos\theta) = 4\pi R^2\sin^2(\theta/2)$; bayangannya adalah cakram dengan luas $\pi r^2 = 2\pi R^2\sin^2(\theta/2)$, setengahnya. Kedua luas dibagi rata menurut azimut, sehingga sektor tudung antara dua azimut dan bayangannya mempertahankan rasio $1/2$, begitu pula cincin antara dua nilai $\theta$, yaitu selisih dua tudung. Setiap wilayah adalah gabungan sektor-sektor cincin kecil semacam itu. ∎

[Proyeksi stereografis](#def-b3-structural-analysis-stereo) juga memetakan setiap lingkaran pada bola, besar maupun kecil, menjadi lingkaran atau garis lurus pada bagan; hal ini kita terima tanpa bukti. Hal itu membuat [jaring sama sudut](#def-b3-structural-analysis-stereo) mudah digambar dengan jangka, dan lingkaran kecil, yaitu kerucut garis-garis pada sudut tetap dari suatu sumbu, mempertahankan bentuknya. [Proyeksi sama luas](#def-b3-structural-analysis-stereo) mendistorsi bentuk: lingkaran kecil menjadi oval yang terentang mengelilingi primitif. Itulah proyeksi tempat awan [kutub](#def-b3-structural-analysis-stereo) dapat dihitung, karena luas yang sama pada jaring memuat bagian yang sama dari arah belahan bola; geolog struktur, dan seismolog untuk mekanisme fokus mereka, menggunakannya untuk data mereka.

![Kedua proyeksi, pada bidang vertikal melalui garis OP. (a) Proyeksi stereografis memetakan P ke P', yaitu titik tempat garis dari zenit memotong bidang horizontal: sudut di Z adalah /2, sehingga r = R ( /2). (b) Proyeksi sama luas memindahkan P, di sekitar nadir, ke bidang singgung pada jarak 2R ( /2) dari tali busur; bagan kemudian diskalakan dengan 1/√2 sehingga garis-garis horizontal jatuh pada primitif berjari-jari R.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-structural-analysis/fig-5745acc637fd.svg)

*Kedua proyeksi, pada bidang vertikal melalui garis $OP$. (a) [Proyeksi stereografis](#def-b3-structural-analysis-stereo) memetakan $P$ ke $P'$, yaitu titik tempat garis dari zenit memotong bidang horizontal: sudut di $Z$ adalah $\theta/2$, sehingga $r = R\tan(\theta/2)$. (b) [Proyeksi sama luas](#def-b3-structural-analysis-stereo) memindahkan $P$, di sekitar nadir, ke bidang singgung pada jarak $2R\sin(\theta/2)$ dari tali busur; bagan kemudian diskalakan dengan $1/\sqrt2$ sehingga garis-garis horizontal jatuh pada primitif berjari-jari $R$.*

![Kedua jaring, digambar dari rumus-rumus pada teorema di atas: lingkaran besar dari bidang berjurus utara–selatan dan berkemiringan 10 ke timur dan ke barat, serta lingkaran kecil setiap 10 terhadap sumbu utara–selatan. Pada jaring sama sudut, lingkaran kecil tetap berupa lingkaran; pada jaring sama luas, lingkaran kecil berupa oval, tetapi luas yang sama memuat bagian yang sama dari arah-arah.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-structural-analysis/fig-e9004ebe9125.svg)

*Kedua jaring, digambar dari rumus-rumus pada teorema di atas: lingkaran besar dari bidang berjurus utara–selatan dan berkemiringan $10{}^{\circ}$ ke timur dan ke barat, serta lingkaran kecil setiap $10{}^{\circ}$ terhadap sumbu utara–selatan. Pada [jaring sama sudut](#def-b3-structural-analysis-stereo), lingkaran kecil tetap berupa lingkaran; pada jaring sama luas, lingkaran kecil berupa oval, tetapi luas yang sama memuat bagian yang sama dari arah-arah.*

**Bidang, garis dan sudut.** Bidang dengan arah kemiringan $\alpha$ dan kemiringan $\delta$ memotong belahan bawah sepanjang setengah lingkaran besar. Ujung-ujungnya terletak pada primitif di kedua ujung jurus; titik tengahnya adalah garis kemiringan terbesar, yang menunjam $\delta$ ke arah $\alpha$; dan [kutubnya](#def-b3-structural-analysis-stereo) berjarak $90{}^{\circ}$ dari setiap titik padanya, pada azimut $\alpha + 180{}^{\circ}$. Garis di dalam bidang adalah sebuah titik pada lingkaran besar. Untuk memplot data, lembaran tembus pandang diletakkan di atas jaring dan diputar terhadap pusat sampai jurus data berimpit dengan diameter utara–selatan jaring; lingkaran besar dengan kemiringan yang tepat kemudian digambar, lalu lembaran diputar kembali. Sudut antara dua garis diukur sepanjang lingkaran besar yang melalui kedua titik itu, dengan menghitung pembagian lingkaran kecil yang dilintasinya, setelah lembaran diputar sampai kedua titik terletak pada satu lingkaran besar pada jaring. Sudut antara dua bidang adalah sudut antara [kutub-kutubnya](#def-b3-structural-analysis-stereo), atau suplemennya. Komputer melakukan hal yang sama dengan vektor: sudut antara dua garis dengan vektor satuan $\vec u$ dan $\vec v$ adalah $\arccos|\vec u\cdot\vec v|$.

**Metode 8.3 (Memutar data terhadap sumbu).**

Untuk membatalkan kemiringan, misalnya untuk mengembalikan lapisan ke posisi horizontal bersama lineasi yang dibawanya, atau untuk memulihkan arah paleomagnetik yang diukur pada strata miring ([Bab 4](https://one-course.com/books/earth/5/id/chapter/4-geomagnetisme-dan-paleomagnetisme#ch-b3-palaeomagnetism)):

1. Pilih sumbu rotasi: untuk lapisan miring, garis jurusnya, yang horizontal; sudutnya adalah kemiringan, ke arah yang membawa lapisan naik.
2. Pada jaring, putar lembaran sampai sumbu terletak di sepanjang diameter utara–selatan, tempat lingkaran-lingkaran kecil merupakan kerucut terhadap sumbu itu.
3. Pindahkan setiap titik sepanjang lingkaran kecilnya sebesar sudut rotasi, diukur pada lingkaran-lingkaran besar. Titik yang akan keluar dari belahan bawah muncul kembali di ujung seberang lingkaran kecilnya, pada azimut yang berlawanan.
4. Putar lembaran kembali. Dengan vektor, rotasi $\vec v$ sebesar sudut $\omega$ terhadap sumbu satuan $\vec k$ adalah $\vec v' = \vec v  \cos\omega + (\vec k\times\vec v)\sin\omega + \vec k(\vec k\cdot\vec  v)(1 - \cos\omega)$ .

## 8.2 Analisis lipatan

Lipatan silindris dibentuk oleh sebuah garis lurus, yakni sumbu lipatan, yang digeser sejajar dengan dirinya sendiri. Setiap bidang yang menyinggung permukaan terlipat memuat sumbu itu, sehingga setiap normal terhadap permukaan tegak lurus pada sumbu: semua [kutub](#def-b3-structural-analysis-stereo) terletak pada lingkaran besar dari bidang yang tegak lurus sumbu itu.

**Definisi 8.4 (Diagram pi, sumbu beta).**

Yang disebut *diagram pi* suatu lipatan adalah plot [kutub-kutub](#def-b3-structural-analysis-stereo) bidang yang diukur pada permukaan terlipatnya. Untuk lipatan silindris, [kutub-kutubnya](#def-b3-structural-analysis-stereo) jatuh pada sebuah lingkaran besar, yakni sabuk-$\pi$; [kutub](#def-b3-structural-analysis-stereo) sabuk itu ialah *sumbu beta*, taksiran sumbu lipatan yang diberikan oleh pengukuran.

Dengan dua sayap saja, [sumbu beta](#def-b3-structural-analysis-pi) adalah hasil kali silang normal-normalnya, seperti yang ditunjukkan volume Tahun 1 untuk garis engsel. Dengan dua ratus pembacaan yang tersebar, diperlukan kecocokan terbaik. Rata-rata vektor, yang berguna untuk pembacaan satu bidang, tidak akan cukup: [kutub-kutub](#def-b3-structural-analysis-stereo) sabuk menunjuk ke segala arah sepanjangnya, dan rata-ratanya sedikit mengatakan tentang lingkaran tempat [kutub-kutub](#def-b3-structural-analysis-stereo) itu berada.

**Definisi 8.5 (Tensor orientasi).**

Yang disebut *tensor orientasi* dari $N$ vektor satuan $\vec p_1, \dots, \vec p_N$ adalah matriks simetris

$$
T = \frac1N\sum_{i=1}^N \vec p_i\,\vec p_i^{\mathsf T},
  \qquad T_{jk} = \frac1N\sum_i p_{ij}\,p_{ik} .
$$

Tensor ini tidak berubah jika sebuah vektor diganti dengan vektor kebalikannya, sehingga cocok untuk sumbu dan [kutub](#def-b3-structural-analysis-stereo), yang tidak memiliki arah. Nilai eigennya $\lambda_1 \ge \lambda_2
\ge \lambda_3 \ge 0$ berjumlah sama dengan jejaknya, yaitu $1$.

**Teorema 8.6 (Gerombol dan sabuk dari tensor orientasi).**

Untuk sembarang vektor satuan $\vec u$,

$$
\frac1N\sum_{i=1}^N (\vec p_i\cdot\vec u)^2 = \vec u^{\mathsf T}T\,\vec u ,
$$

yang mencapai nilai terkecilnya, $\lambda_3$, saat $\vec u$ adalah vektor eigen $\vec e_3$ dari nilai eigen terkecil, dan nilai terbesarnya, $\lambda_1$, sepanjang vektor eigen $\vec e_1$. Karena $\vec p_i\cdot\vec u$ adalah sinus sudut antara $\vec p_i$ dan bidang yang tegak lurus $\vec u$, lingkaran besar yang tegak lurus $\vec e_3$ adalah sabuk yang meminimalkan jumlah kuadrat sinus jarak [kutub-kutub](#def-b3-structural-analysis-stereo) ke lingkaran itu, dan $\sqrt{\lambda_3}$ adalah akar rata-rata kuadrat sinusnya. Sumbu $\vec e_1$ adalah garis yang paling dekat dengan vektor-vektor itu, yaitu sumbu rata-rata sebuah gerombol.

**Bukti.** $(\vec p_i\cdot\vec u)^2 = \vec u^{\mathsf T}\vec p_i\,\vec p_i^{\mathsf T}\vec
u$; rata-ratakan atas $i$. Matriks $T$ simetris, sehingga memiliki basis ortonormal dari vektor-vektor eigen, dengan $\vec u = \sum_k u_k\vec e_k$ dan $\sum_k
u_k^2 = 1$ dan $\vec u^{\mathsf T}T\vec u = \sum_k\lambda_k u_k^2$. Ini adalah rata-rata berbobot dari nilai eigen, dengan bobot $u_k^2$ yang berjumlah 1: ia terletak di antara $\lambda_3$ dan $\lambda_1$, dan mencapainya untuk $\vec u = \vec
e_3$ dan $\vec e_1$. ∎

Nilai-nilai eigen menggambarkan bentuk data. Gerombol memiliki $\lambda_1$ mendekati 1 dan dua lainnya kecil; sabuk memiliki $\lambda_3$ mendekati 0, dengan [kutub-kutubnya](#def-b3-structural-analysis-stereo) tersebar sepanjang lingkaran sehingga $\lambda_1$ dan $\lambda_2$ membagi sisanya; vektor yang tersebar merata memberikan tiga nilai eigen mendekati $1/3$. Suatu lipatan silindris, dalam ketelitian pembacaan, jika $\sqrt{\lambda_3}$ tidak lebih besar daripada sebaran pembacaan berulang dari satu bidang. Lipatan kerucut, atau dua generasi lipatan, menyebarkan [kutub](#def-b3-structural-analysis-stereo) menjauh dari lingkaran besar mana pun dan menaikkan $\lambda_3$.

Gambar di bawah memplot dua belas pembacaan dari kedua sayap antiklin Varden lipatan rekaan dalam seri ini ([Soal 8.1](#pb-b3-structural-analysis-1) menghitung sumbunya). [Kutub](#def-b3-structural-analysis-stereo) dari sayap landai berkelompok dekat pusat jaring dalam dua kelompok, yang bersama-sama mendefinisikan sabuk yang membentang hampir timur–barat; [sumbu beta](#def-b3-structural-analysis-pi) terletak pada lingkaran primitif, hampir tepat ke utara. Bidang-bidang rata-rata kedua sayap, yang digambar sebagai lingkaran besar, berpotongan di titik yang sama: [sumbu beta](#def-b3-structural-analysis-pi) adalah garis yang dimiliki bersama oleh semua sayap.

![Diagram pi antiklin Varden pada jaring sama luas, belahan bawah: kutub dari dua belas pembacaan perlapisan (titik), sabuk kecocokan terbaik dari tensor orientasi (biru), lingkaran besar dari kedua sayap rata-rata (putus-putus) dan sumbu beta (segitiga), tempat ketiga lingkaran besar bertemu. Lapisan yang miring ke timur memiliki kutub di sebelah barat dari pusat.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-structural-analysis/fig-abbb52d08a8a.svg)

*[Diagram pi](#def-b3-structural-analysis-pi) antiklin Varden pada jaring sama luas, belahan bawah: [kutub](#def-b3-structural-analysis-stereo) dari dua belas pembacaan perlapisan (titik), sabuk kecocokan terbaik dari [tensor orientasi](#def-b3-structural-analysis-orientation-tensor) (biru), lingkaran besar dari kedua sayap rata-rata (putus-putus) dan [sumbu beta](#def-b3-structural-analysis-pi) (segitiga), tempat ketiga lingkaran besar bertemu. Lapisan yang miring ke timur memiliki [kutub](#def-b3-structural-analysis-stereo) di sebelah barat dari pusat.*

## 8.3 Analisis regangan berhingga

Batuan yang terdeformasi merekam regangannya ketika memuat objek yang bentuk asalnya atau susunan asalnya diketahui: ooid bulat dan bintik reduksi, fosil dengan simetri yang diketahui, kerakal, atau sekadar pusat-pusat butir yang dahulu tersebar merata.

**Definisi 8.7 (Analisis regangan berhingga, metode Fry).**

Yang disebut *analisis regangan berhingga* adalah pengukuran elips regangan, atau elipsoid, yang dialami batuan, dari bentuk, orientasi, atau jarak antarobjek yang keadaannya sebelum deformasi diketahui. Dalam *metode Fry*, vektor dari pusat setiap objek ke pusat setiap objek lainnya diplot dari satu titik asal yang sama; ketika pusat-pusatnya tersebar dengan jarak minimum dan tanpa arah yang disukai, daerah kosong di sekitar titik asal adalah elips dengan bentuk dan orientasi elips regangan.

**Proposisi 8.8 (Kekosongan Fry).**

Jika regangan homogen memetakan setiap vektor $\vec d$ ke $F\vec d$, dan tidak ada dua pusat yang berjarak lebih dekat dari $d_0$ sebelum regangan, maka setelahnya daerah di sekitar titik asal plot Fry yang bebas titik memuat elips $\{F\vec d : |\vec d| < d_0\}$, dengan semi-sumbu $S_1d_0$ dan $S_2d_0$ sepanjang arah utama regangan.

**Bukti.** Regangan homogen memindahkan setiap titik dengan pemetaan linear yang sama, ditambah translasi, sehingga selisih dua pusat menjadi $F\vec d$. Sebelum regangan tidak ada selisih yang berada di dalam cakram berjari-jari $d_0$; sesudahnya tidak ada yang berada di dalam bayangannya, yaitu elips regangan dari volume Tahun 1 yang diskalakan dengan $d_0$. ∎

Dalam praktik, pusat-pusat tidak semuanya berada pada jarak minimum, dan kekosongan dibaca sebagai tepi dalam cincin titik yang paling rapat; rasionya menaksir rasio regangan $R_s = S_1/S_2$ sedikit rendah. Gambar berikut menguji sayatan tipis rekaan yang diregangkan hingga $R_s = 2$ dengan sumbu panjang pada $30{}^{\circ}$ dari horizontal: elips yang dicocokkan dengan tepi kekosongan menghasilkan $R_s = 1.9$ dan $30{}^{\circ}$. Ketika objeknya sendiri diukur, yang mulanya yang bulat menjadi elips dengan rasio sumbu tepat $R_s$; yang mulanya berbentuk elips, dengan orientasi acak, berakhir dengan rasio $R_f$ yang tersebar di sekitar $R_s$, dan rasio terbesar terjadi ketika sumbu panjangnya mulanya sejajar dengan arah peregangan, dan orientasi akhirnya $\varphi$ berkumpul di sekitar itu. Plot $R_f$ terhadap $\varphi$, dibaca dengan tabel atau komputer, memisahkan regangan dari bentuk asal.

![Metode Fry pada populasi rekaan pusat butir, disusun dengan jarak minimum 1 lalu diregangkan hingga R_s = 2, sumbu panjang pada 30 berlawanan arah jarum jam dari horizontal, luas dipertahankan. (a) Pusat-pusat butir, yang hampir tidak memperlihatkan regangan. (b) Vektor antara semua pasangan pusat yang berjarak lebih dekat dari 2.6: pusat kosong adalah elips regangan. Elips merah dipasang pada titik terdekat di setiap dari 36 sektor: rasio 1.9, sumbu panjang pada 30.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-structural-analysis/fig-7806643d973f.svg)

*[Metode Fry](#def-b3-structural-analysis-strain-analysis) pada populasi rekaan pusat butir, disusun dengan jarak minimum 1 lalu diregangkan hingga $R_s = 2$, sumbu panjang pada $30{}^{\circ}$ berlawanan arah jarum jam dari horizontal, luas dipertahankan. (a) Pusat-pusat butir, yang hampir tidak memperlihatkan regangan. (b) Vektor antara semua pasangan pusat yang berjarak lebih dekat dari 2.6: pusat kosong adalah elips regangan. Elips merah dipasang pada titik terdekat di setiap dari 36 sektor: rasio 1.9, sumbu panjang pada $30{}^{\circ}$.*

Dalam tiga dimensi, elipsoid regangan memiliki peregangan utama $X \ge Y
\ge Z$. Bentuknya diplot pada diagram Flinn, dengan $a = X/Y$ terhadap $b =
Y/Z$ dan parameter

$$
k = \frac{a - 1}{b - 1} .
$$

Pada garis $k = 1$, yang berlaku untuk regangan bidang pada volume konstan ($Y = 1$, $X = 1/Z$, sehingga $a = b$), elipsoidnya tidak berbentuk cerutu ataupun panekuk. Di atasnya, $k > 1$, elipsoidnya prolat, memanjang ke satu arah akibat konstriksi: batuan yang terdeformasi dengan cara ini membentuk lineasi kuat. Di bawahnya, $k < 1$, elipsoidnya oblat, pipih, dan batuan itu membentuk foliasi kuat.

![Diagram Flinn elipsoid regangan. Keadaan tak terdeformasi adalah titik asal, a = b = 1; elipsoid berbentuk cerutu akibat konstriksi terletak ke arah sumbu vertikal, panekuk penggepengan ke arah sumbu horizontal.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-structural-analysis/fig-a5c2a5057c29.svg)

*Diagram Flinn elipsoid regangan. Keadaan tak terdeformasi adalah titik asal, $a = b = 1$; elipsoid berbentuk cerutu akibat konstriksi terletak ke arah sumbu vertikal, panekuk penggepengan ke arah sumbu horizontal.*

## 8.4 Paleotegangan

Teori Anderson menyatakan pada bidang mana sesar baru terbentuk, dan bahwa sesar-sesar itu bergeser tegak lurus $\sigma_2$. Namun, kebanyakan sesar adalah kelemahan lama yang kembali aktif dalam medan tegangan yang tidak mereka pilih, dan mereka bergeser secara miring. [Arah geser](https://one-course.com/books/earth/5/id/chapter/7-mekanisme-deformasi-dan-zona-geser#def-b3-deformation-mechanisms-kinematic) mereka, dibaca dari striasi pada permukaan sesar, tetap merekam tegangan, jika setiap sesar bergeser searah dengan cara tegangan mendorongnya.

**Definisi 8.9 (Paleotegangan, hipotesis Wallace–Bott, rasio tegangan, inversi gelincir sesar).**

*Paleotegangan* adalah keadaan tegangan yang bekerja pada batuan di masa lalu, sejauh dapat disimpulkan dari struktur yang ditinggalkannya: dalam praktik, arah tegangan utama dan *rasio tegangan*

$$
\Phi = \frac{\sigma_2 - \sigma_3}{\sigma_1 - \sigma_3}, \qquad 0 \le \Phi
  \le 1 .
$$

Yang disebut *hipotesis Wallace–Bott* menyatakan bahwa sesar bergeser sejajar dengan tegangan geser yang terurai pada bidangnya oleh tegangan seragam, tiap sesar secara independen. Yang disebut *inversi gelincir sesar* adalah pencarian arah utama dan rasio tegangan yang arah gelincir prediksinya paling sesuai dengan sekumpulan sesar terukur dan striasinya.

**Teorema 8.10 (Arah gelincir pada bidang).**

Misalkan $S$ adalah tensor tegangan, dengan kompresi dihitung positif, dan $\vec n$ adalah normal satuan ke atas dari sesar. Tuliskan

$$
\vec\tau = S\vec n - (\vec n\cdot S\vec n)\,\vec n .
$$

Di bawah [hipotesis Wallace–Bott](#def-b3-structural-analysis-palaeostress), dinding gantung bergeser relatif terhadap dinding bawah sepanjang $-\vec\tau$, yaitu traksi geser yang dikerjakannya pada dinding bawah. Selain itu:

1. arah $\vec\tau$ tidak berubah saat $S$ digantikan oleh $aS +  bI$ dengan $a > 0$ ; karena itu arah tersebut hanya bergantung pada arah utama dan pada $\Phi$ , serta tensor tereduksi $S' =  \mathrm{diag}(1, \Phi, 0)$ dalam sistem acuan utama $(\vec e_1, \vec  e_2, \vec e_3)$ memprediksi gelincir yang sama dengan $S$ ;
2. jika $\vec n$ tegak lurus terhadap satu arah utama, gelincirnya juga tegak lurus terhadapnya;
3. dengan $n_k = \vec n\cdot\vec e_k$ , arahnya adalah arah $\vec\tau'  = \vec\tau_0 + \Phi\,\vec\tau_1$ , yang linear terhadap $\Phi$ , dengan $\vec\tau_0  = n_1(\vec e_1 - n_1\vec n)$ dan $\vec\tau_1 = n_2(\vec e_2 - n_2\vec  n)$ .

**Bukti.** Dengan kompresi bernilai positif, dinding gantung mendorong dinding bawah, melintasi bidang dengan normal $\vec n$ yang menunjuk ke dinding gantung, dengan traksi $-S\vec n$; bagian yang sejajar bidang adalah $-\vec\tau$. Ketika sesar bergeser, dinding gantung bergerak sebagaimana ia menyeret dinding bawah, sepanjang $-\vec\tau$. (Periksa: dengan $\sigma_1$ vertikal, $S = \sigma_1\vec e_z\vec
e_z^{\mathsf T}$ dan $-\vec\tau = -\sigma_1\cos\delta\,(\vec e_z -
\cos\delta\,\vec n)$ menunjuk ke bawah searah kemiringan: sesar normal.) (a) $(aS + bI)\vec n - (\vec n\cdot(aS + bI)\vec n)\vec n = a\vec\tau + b(\vec
n - \vec n) = a\vec\tau$. Dengan menulis $\sigma_k = \sigma_3 + (\sigma_1 -
\sigma_3)s_k$ dengan $s = (1, \Phi, 0)$ memberikan $S = \sigma_3 I + (\sigma_1 -
\sigma_3)S'$. (b) $S\vec n = \sum_k\sigma_kn_k\vec e_k$; jika $n_j = 0$, baik $S\vec n$ maupun $\vec n$ tidak memiliki komponen sepanjang $\vec e_j$, dan $\vec\tau$ pun tidak. (c) $S'\vec n = n_1\vec e_1 + \Phi n_2\vec e_2$ dan $\vec n\cdot S'\vec n =
n_1^2 + \Phi n_2^2$; kumpulkan suku yang memuat dan yang tidak memuat $\Phi$. ∎

Bagian (b) adalah kasus Anderson: sesar yang memuat $\sigma_2$ bergeser tegak lurus terhadapnya, berapa pun $\Phi$, sehingga tidak memberi tahu apa pun tentang [rasio tegangan](#def-b3-structural-analysis-palaeostress). Bagian (c) mengubah gelincir terukur menjadi $\Phi$. Misalkan $\vec u$ adalah vektor gelincir satuan dinding gantung dari rake, dan $\vec w = \vec n\times\vec
u$ arah dalam bidang yang tegak lurus terhadapnya. Gelincir prediksi sejajar $\vec u$ ketika $(\vec\tau_0 + \Phi\vec\tau_1)\cdot\vec w = 0$, dan karena $\vec n\cdot\vec w = 0$,

$$
\Phi = -\frac{n_1\,(\vec e_1\cdot\vec w)}{n_2\,(\vec e_2\cdot\vec w)} ,
$$

dengan syarat gelincir prediksi kemudian menunjuk searah $+\vec u$, bukan $-\vec u$.

Ketika arah utama tidak diketahui, tiap sesar memberikan satu persamaan, yaitu sudut gelincirnya dalam bidangnya, untuk empat bilangan tak diketahui: tiga sudut yang mengorientasikan sumbu utama, dan $\Phi$. Empat sesar dengan orientasi berbeda adalah jumlah minimum, dan beberapa puluh lazim digunakan. Inversi meminimalkan jumlah kuadrat sudut antara gelincir terukur dan prediksi, dengan metode kuadrat terkecil pada kisi atau dengan iterasi seperti pada [Bagian 1.4](https://one-course.com/books/earth/5/id/chapter/1-seismologi-dan-pencitraan-bumi#sec-b3-seismology-imaging-inverse). Sesar yang tidak cocok membentuk populasi kedua, mungkin dari umur yang berbeda.

Gambar di bawah ini memperlihatkan lima sesar di Varden Hills: sesar normal utama dan empat yang lebih kecil, semuanya dengan gelincir normal. Pencarian kisi terhadap $\Phi$ dan tren $\sigma_3$, dengan $\sigma_1$ vertikal, mencocokkan kelimanya dalam seperempat derajat, dengan $\sigma_3$ mendatar ke arah $120{}^{\circ}$.

![Data gelincir sesar Varden Hills pada jaring sama luas, belahan bawah: lima bidang sesar (lingkaran besar) dengan arah gelincir tiap dinding gantung (titik), dan tegangan utama dari tegangan yang paling sesuai: _1 vertikal (persegi), _2 dan _3 mendatar (belah ketupat dan segitiga, di kedua ujung tiap sumbu). Sesar utama yang miring 60 ke arah 120, memuat _2 dan bergeser lurus ke bawah searah kemiringannya; yang lain bergeser secara miring.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-structural-analysis/fig-17366aa36a5c.svg)

*Data gelincir sesar Varden Hills pada jaring sama luas, belahan bawah: lima bidang sesar (lingkaran besar) dengan arah gelincir tiap dinding gantung (titik), dan tegangan utama dari tegangan yang paling sesuai: $\sigma_1$ vertikal (persegi), $\sigma_2$ dan $\sigma_3$ mendatar (belah ketupat dan segitiga, di kedua ujung tiap sumbu). Sesar utama yang miring $60{}^{\circ}$ ke arah $120{}^{\circ}$, memuat $\sigma_2$ dan bergeser lurus ke bawah searah kemiringannya; yang lain bergeser secara miring.*

Sumbu P dan T pada volume Tahun 1 bukan tegangan utama. Keduanya dibentuk hanya dari bidang sesar dan gelincirnya, pada $45{}^{\circ}$ dari bidang, di bidang yang memuat gelincir dan normalnya; sesar baru, pada batuan dengan sudut gesek sekitar $30{}^{\circ}$, membentuk sudut sekitar $30{}^{\circ}$ dengan $\sigma_1$, dan sebuah sesar yang diaktifkan kembali membentuk sudut apa saja. Satu mekanisme menghasilkan sumbu P dan T; hanya banyak sesar dengan orientasi berbeda yang diinversi bersama-sama memberikan tegangan. Hipotesis itu sendiri memiliki batasan: tegangan mungkin berubah dari sesar ke sesar, blok mungkin berotasi, dan sesar yang bertemu saling menghambat gelincir satu sama lain.

## 8.5 Merestorasi penampang melintang

Penampang melintang adalah interpretasi: antara permukaan dan sumur bor, geolog menggambar apa yang mungkin. Volume Tahun 2, dalam babnya tentang Alpen, menyebut penampang seimbang bila dapat dikembalikan ke keadaan tak terdeformasi dengan panjang lapisan dan luas satuan yang terjaga, lipatan dan sesar dorong berakar pada décollement. Restorasi adalah ujinya.

**Definisi 8.11 (Restorasi penampang, garis pasak, metode pita tekuk).**

*Restorasi penampang* membalik, pada penampang melintang yang digambar sejajar arah transpor tektonik, deformasi yang ditunjukkannya, peristiwa demi peristiwa dengan urutan terbalik, sambil menjaga panjang lapisan dan luas satuan pada bidang penampang. Sebuah *garis pasak* adalah garis melintang lapisan, diletakkan di tempat lapisan tidak saling bergelincir (di depan-pegunungan yang tak terdeformasi, atau pada bidang aksial lipatan simetris), yang diambil tegak lurus terhadap lapisan pada penampang yang direstorasi; panjang diukur darinya. Dalam *metode pita tekuk* lipatan digambar sebagai sayap lurus dengan ketebalan lapisan tetap yang disambung pada engsel tajam, yang bidang aksialnya membagi dua sudut antara sayap; setiap lapisan lalu berupa garis patah, yang panjangnya adalah jumlah segmen lurusnya.

Sebuah lapisan yang dilipat menjadi sayap lurus dengan kemiringan $\delta$ ke salah satu arah, pada jarak mendatar $L$, memiliki panjang $L/\cos\delta$: pemendekannya $S = L(1/\cos\delta - 1)$, dengan perubahan panjang relatif $\cos\delta - 1$. Luas memberikan separuh keseimbangan lainnya.

**Proposisi 8.12 (Kedalaman ke detasemen).**

Misalkan lapisan pada ketinggian $h$ di atas detasemen horizontal dipendekkan sebesar $S$ pada bidang penampang, dan misalkan batuan di antara lapisan itu dan detasemen mempertahankan luasnya, tanpa material yang melintasi ujung penampang. Maka luas $A$ tempat lapisan terlipat berdiri di atas tingkat awalnya memenuhi

$$
A = S\,h , \qquad\text{sehingga}\qquad h = \frac AS .
$$

**Bukti.** Sebelum deformasi, batuan di bawah lapisan menempati $L_0 h$ pada panjang $L_0$. Setelah itu, batuan yang sama berada pada panjang $L_0 - S$, di bawah lapisan, yang berdiri pada tingkat awal ditambah pengangkatan: luasnya $(L_0 - S)h + A$. Menyamakan kedua luas memberikan $A = Sh$. ∎

Dua lapisan memberi kedua besaran tak diketahui: selisih luas lebihnya sama dengan $S$ kali jarak vertikal keduanya. Gambar di bawah menguraikan konstruksinya.

![Merestorasi lipatan pita tekuk, digambar seimbang dengan sayap pada 50. (a) Dua lapisan kompeten terlipat menjadi sayap lurus dengan ketebalan tetap di atas lapisan lemah yang menebal menjadi inti, di antara dua garis pasak pada bidang aksial sinklin, yang tetap pada tingkat awal. (b) Penampang yang direstorasi: setiap lapisan dibentangkan lurus dengan panjangnya diukur sepanjang sayap, L_0, lebih panjang daripada penampang terdeformasi sebesar pemendekan S. Luas berarsir A, tempat lapisan atas berdiri di atas tingkat awalnya, sama dengan S kali tingginya h di atas detasemen; lapisan lemah memiliki luas yang sama di kedua panel.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-structural-analysis/fig-3db60a8c8065.svg)

*Merestorasi lipatan pita tekuk, digambar seimbang dengan sayap pada $50{}^{\circ}$. (a) Dua lapisan kompeten terlipat menjadi sayap lurus dengan ketebalan tetap di atas lapisan lemah yang menebal menjadi inti, di antara dua [garis pasak](#def-b3-structural-analysis-restoration) pada bidang aksial sinklin, yang tetap pada tingkat awal. (b) Penampang yang direstorasi: setiap lapisan dibentangkan lurus dengan panjangnya diukur sepanjang sayap, $L_0$, lebih panjang daripada penampang terdeformasi sebesar pemendekan $S$. Luas berarsir $A$, tempat lapisan atas berdiri di atas tingkat awalnya, sama dengan $S$ kali tingginya $h$ di atas detasemen; lapisan lemah memiliki luas yang sama di kedua panel.*

Sebuah penampang yang dipotong oleh sesar direstorasi dengan urutan kejadian dibalik: struktur termuda lebih dulu. Sesar normal dengan lompatan vertikal $t_h$ dan kemiringan $\delta$ memiliki lompatan horizontal $t_h/\tan\delta$ dan pergeseran $t_h/\sin\delta$ pada penampang yang sejajar dengan kemiringannya; dinding gantung digeser kembali ke atas sesar sejauh pergeseran itu. Pada penampang yang miring terhadap arah pergeseran, kemiringan sesar maupun besar perpindahannya bersifat semu, dan penampang yang tampak seimbang belum tentu seimbang. Itulah sebabnya penampang digambar sejajar dengan arah transport.

**Di lapangan — Mengukur orientasi.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-structural-analysis/img-cd31dfccab61.jpg)

*Kompas-klinometer diletakkan pada permukaan batuan yang miring, dengan buku catatan lapangan (ilustrasi buatan AI).*

Untuk mengukur bidang perlapisan, ahli geologi meletakkan tutup kompas-klinometer yang terbuka rata pada permukaan yang dipilih halus dan representatif, lalu memutar badan alat hingga gelembungnya menunjukkan posisi datar; jarum kemudian memberikan arah kemiringan, dan klinometer, dengan alat diputar pada tepinya sepanjang garis paling curam, memberikan kemiringannya. Pembacaan dicatat sebagai arah kemiringan dan kemiringan, misalnya $075/13$, beserta lokasi dan jenis permukaannya. Azimut yang dibaca dengan jarum magnetik dikoreksi terhadap deklinasi setempat. Ponsel pintar yang memakai aplikasi geologi mengukur hal yang sama dalam satu langkah: ketika diletakkan rata pada bidang, akselerometernya memberikan arah gravitasi dan karenanya kemiringan, sedangkan magnetometernya memberikan azimut. Ahli geologi lapangan membandingkannya secara berkala dengan kompas, sebab besi di dekatnya dan rangkaian elektronik ponsel dapat mengganggu magnetometer; mereka mengulang setiap pembacaan dan merata-ratakan normal dengan rata-rata vektor.

## 8.6 Latihan

**Latihan 8.1 ★.**

Tentukan tren dan penunjaman [kutub](#def-b3-structural-analysis-stereo) bidang $040/30$ (arah kemiringan, kemiringan). Tentukan orientasi bidang yang [kutubnya](#def-b3-structural-analysis-stereo) memiliki tren $315{}^{\circ}$ dan penunjaman $20{}^{\circ}$.

**Solusi Latihan 8.1.**

[Kutub](#def-b3-structural-analysis-stereo) berarah $40 + 180 = 220{}^{\circ}$ dan menunjam $90 - 30 = 60{}^{\circ}$. Bidang itu memiliki kemiringan $90 - 20 = 70{}^{\circ}$ ke arah $315 - 180 = 135{}^{\circ}$: $135/70$.

**Latihan 8.2 ★.**

Sebuah garis memiliki penunjaman $30{}^{\circ}$. Pada jarak berapa dari pusat, garis itu terpetakan pada [jaring sama sudut](#def-b3-structural-analysis-stereo) dan pada jaring sama luas, keduanya dengan jari-jari $10\,\mathrm{cm}$?

**Solusi Latihan 8.2.**

$\theta = 60{}^{\circ}$. Sama sudut: $10\tan30{}^{\circ} = 5.77\,\mathrm{cm}$; sama luas: $10\sqrt2\sin30{}^{\circ} = 7.07\,\mathrm{cm}$.

**Latihan 8.3 ★.**

Sayap-sayap sebuah lipatan memiliki orientasi $090/30$ dan $270/30$. Hitung sudut antara [kutub-kutubnya](#def-b3-structural-analysis-stereo) dengan hasil kali titik normal-normalnya, sudut antar-sayap, dan kelas lipatannya.

**Solusi Latihan 8.3.**

$\vec n_1 = (\sin30{}^{\circ}, 0, \cos30{}^{\circ})$, $\vec n_2 = (-\sin30{}^{\circ}, 0,
\cos30{}^{\circ})$, $\vec n_1\cdot\vec n_2 = -0.25 + 0.75 = 0.5$: [kutub-kutubnya](#def-b3-structural-analysis-stereo) terpisah sejauh $60{}^{\circ}$, sudut antar-sayapnya $120{}^{\circ}$, sebuah lipatan terbuka.

**Latihan 8.4 ★.**

Sebuah sesar $090/60$ memuat goresan dengan rake $-45{}^{\circ}$. Dengan vektor jurus $\vec s = (0, 1, 0)$ dan vektor turun-kemiringan $\vec d$ bidang itu, pergeseran dinding gantung adalah $\vec u = \cos r\,\vec s - \sin r\,\vec d$. Hitung $\vec d$, $\vec u$, serta tren dan penunjaman pergeserannya. Beri nama sesar itu.

**Solusi Latihan 8.4.**

$\vec d = (\cos60{}^{\circ}, 0, -\sin60{}^{\circ}) = (0.5, 0, -0.866)$ dan $\vec u =
0.707\,\vec s + 0.707\,\vec d = (0.354, 0.707, -0.612)$: tren $\operatorname{atan2}(0.354, 0.707) = 26.6{}^{\circ}$, penunjaman $\arcsin0.612 =
37.8{}^{\circ}$. Rake berada di antara $-90{}^{\circ}$ (normal) dan 0 (sinistral): sebuah sesar normal miring dengan komponen sinistral.

**Latihan 8.5 ★★.**

Sayap-sayap sebuah lipatan memiliki orientasi $060/40$ dan $250/30$. Hitung tren dan penunjaman sumbunya, serta sudut antar-sayapnya.

**Solusi Latihan 8.5.**

$$
\begin{gather*}
  \vec n_1 = (0.5567, 0.3214, 0.7660),\qquad \vec n_2 = (-0.4698, -0.1710, 0.8660),\\
  \vec n_1\times\vec n_2 = (0.4093, -0.8420, 0.0558),
\end{gather*}
$$

dengan panjang $0.9379$. Lawannya, $-\vec n_1\times\vec n_2$, menunjuk ke bawah: tren $334.1{}^{\circ}$, penunjaman $\arcsin(0.0558/0.9379) = 3.4{}^{\circ}$. $\vec n_1\cdot\vec
n_2 = 0.3469$, $69.7{}^{\circ}$ antara kedua normal, sudut antar-sayap $110.3{}^{\circ}$: sebuah lipatan terbuka.

**Latihan 8.6 ★★.**

Hitung pecahan luas jaring yang berada di dalam lingkaran garis-garis yang penunjamannya lebih dari $60{}^{\circ}$, pada jaring sama luas dan [jaring sama sudut](#def-b3-structural-analysis-stereo), serta pecahan arah belahan bumi bawah yang penunjamannya lebih dari $60{}^{\circ}$. Jaring mana yang sebaiknya dipakai untuk menghitung [kutub](#def-b3-structural-analysis-stereo)?

**Solusi Latihan 8.6.**

Penunjaman lebih dari $60{}^{\circ}$ berarti $\theta < 30{}^{\circ}$. Sama luas: $r^2 =
2\sin^215{}^{\circ} = 0.134$, $13.4\,\%$ dari jaringnya; sama sudut: $\tan^215{}^{\circ} = 0.072$, $7.2\,\%$. Pada bola, tudung itu memuat $1 - \cos30{}^{\circ} = 0.134$ dari belahan bumi: hanya jaring sama luas yang menampilkannya dengan porsi sebenarnya, sehingga [kutub](#def-b3-structural-analysis-stereo) dihitung di atasnya.

**Latihan 8.7 ★★.**

Tiga [kutub](#def-b3-structural-analysis-stereo) terletak pada bidang vertikal timur–barat, masing-masing pada $-20{}^{\circ}$, $0$, dan $20{}^{\circ}$ dari vertikal: $\vec p = (\sin a, 0, -\cos a)$. Hitung [tensor orientasinya](#def-b3-structural-analysis-orientation-tensor), nilai eigen dan vektor eigennya, serta [sumbu beta](#def-b3-structural-analysis-pi). Mengapa nilai eigen terkecilnya tepat nol?

**Solusi Latihan 8.7.**

$$
\begin{gather*}
  T_{xx} = \frac{2\sin^220{}^{\circ}}3 = 0.078,\qquad
  T_{zz} = \frac{2\cos^220{}^{\circ} + 1}3 = 0.922,\\
  T_{xz} = -\frac{\sin20{}^{\circ}\cos20{}^{\circ} - \sin20{}^{\circ}\cos20{}^{\circ}}3 = 0,
\end{gather*}
$$

dan setiap suku dengan $y$ bernilai 0. Nilai eigennya adalah $0.922$ (vertikal), $0.078$ (timur) dan $0$ (utara): [sumbu beta](#def-b3-structural-analysis-pi) horizontal, utara–selatan. Ketiga [kutub](#def-b3-structural-analysis-stereo) terletak pada satu bidang, sehingga tidak ada yang memiliki komponen sepanjang normalnya, dan $\vec u^{\mathsf T}T\vec u = 0$ untuk $\vec u$ sepanjang normal itu.

**Latihan 8.8 ★★.**

Letakkan pada diagram Flinn elipsoid $X : Y : Z = 3 : 1.5 : 1$, lalu elipsoid volume tetap dengan $X = 1.8$ dan $Y = 1.1$. Hitung $k$ untuk masing-masing dan beri nama regangannya.

**Solusi Latihan 8.8.**

$a = 2$, $b = 1.5$, $k = 1/0.5 = 2$: konstriksi. $Z = 1/(1.8\times1.1) =
0.505$, $a = 1.636$, $b = 2.178$, $k = 0.636/1.178 = 0.54$: penggepengan.

**Latihan 8.9 ★★.**

Dalam penampang yang dipotong sejajar peregangan, ooid yang awalnya bulat menjadi elips dengan rasio sumbu $2.25$, semuanya sejajar, dan luasnya masing-masing tidak berubah. Hitung peregangan utama dan perpanjangan sepanjang sumbu panjang. Sebelum regangan, pusat-pusat ooid tidak pernah lebih dekat dari $0.4\,\mathrm{mm}$: beri semi-sumbu rongga pada plot Fry.

**Solusi Latihan 8.9.**

$S_1/S_2 = 2.25$ dan $S_1S_2 = 1$: $S_1 = 1.5$, $S_2 = 0.667$; sumbu panjang meregang sebesar $50\,\%$. Rongga itu memiliki semi-sumbu $1.5\times0.4 =
0.60\,\mathrm{mm}$ dan $0.667\times0.4 = 0.27\,\mathrm{mm}$.

**Latihan 8.10 ★★★.**

Pada $\theta = 60{}^{\circ}$ dari nadir, hitung peregangan sepanjang jari-jari, $\mathrm dr/(R\,\mathrm d\theta)$, dan sepanjang lingkaran, $r/(R\sin\theta)$, untuk kedua proyeksi. Periksa teorema pada proyeksi itu, lalu beri rasio sumbu oval tempat jaring sama luas mengubah lingkaran kecil yang sangat kecil di sana.

**Solusi Latihan 8.10.**

Sama sudut: $1/(2\cos^230{}^{\circ}) = 0.667$ sepanjang jari-jari dan $\tan30{}^{\circ}/\sin60{}^{\circ} = 0.577/0.866 = 0.667$ mengelilingi: sama, konformal. Sama luas: $\mathrm dr/(R\,\mathrm d\theta) = (\sqrt2/2)\cos30{}^{\circ} = 0.612$ dan $\sqrt2\sin30{}^{\circ}/\sin60{}^{\circ} = 0.707/0.866 = 0.816$; hasil kalinya $0.500$, faktor luas dari teorema itu. Lingkaran kecil menjadi elips dengan perbandingan sumbu $0.816/0.612 = 1.33$, panjang mengelilingi pusat.

**Latihan 8.11 ★★★.**

Dalam rezim sesar geser, $\sigma_1$ mendatar menuju $000{}^{\circ}$, $\sigma_3$ mendatar menuju $090{}^{\circ}$ dan $\sigma_2$ vertikal. Sebuah sesar vertikal berjurus $020{}^{\circ}$. Tanpa menghitung $\vec\tau$, tunjukkan bahwa pergeserannya mendatar untuk setiap $\Phi$. Kemudian hitung $-\vec\tau$ untuk $\Phi = 0.4$ dengan normal bidangnya $\vec n = (\cos20{}^{\circ}, -\sin20{}^{\circ}, 0)$ dan beri arah pergeserannya.

**Solusi Latihan 8.11.**

Sesar itu vertikal, sehingga normalnya horizontal dan tegak lurus terhadap $\sigma_2$ yang vertikal; menurut bagian (b) teorema, gelincirnya tegak lurus terhadap $\sigma_2$, horizontal, untuk setiap $\Phi$. Dengan $\sigma_1 = 1$ ke arah utara, $\sigma_3 = 0$ ke arah timur: $S\vec n = (0, -0.342, 0)$, $\vec n\cdot S\vec n =
0.117$, $\vec\tau = (0, -0.342, 0) - 0.117\,(0.940, -0.342, 0) = (-0.110,
-0.302, 0)$ dan $-\vec\tau = (0.110, 0.302, 0)$, ke arah $020{}^{\circ}$. Blok di sisi $\vec n$, yaitu sisi timur, bergerak utara-utara-timur sepanjang jurus: dilihat dari sisi barat, ia bergerak ke kiri, sebuah sesar sinistral (rake 0). $\sigma_2$ tidak masuk ke dalam perhitungan.

**Latihan 8.12 ★★★.**

Sebuah penampang sepanjang $20\,\mathrm{km}$ memotong rangkaian lipatan detasemen. Dua horizon berjarak $1.0\,\mathrm{km}$ satu sama lain berdiri di atas tingkat awalnya masing-masing dengan luas $6.0\,\mathrm{km}^{2}$ (bawah) dan $7.5\,\mathrm{km}^{2}$ (atas). Hitung pemendekannya, kedalaman detasemen di bawah horizon bawah, panjang awal penampang itu, serta perubahan panjang relatifnya.

**Solusi Latihan 8.12.**

$S = (7.5 - 6.0)/1.0 = 1.5\,\mathrm{km}$; $h = 6.0/1.5 = 4.0\,\mathrm{km}$ di bawah horizon yang lebih rendah. Penampang itu panjangnya $20 + 1.5 = 21.5\,\mathrm{km}$, dan berubah sebesar $-1.5/21.5 = -7.0\,\%$.

## 8.7 Soal: Lipatan dan sesar di Varden Hills

**Soal 8.1.**

Soal akhir pekan — sumbu lipatan, tegangan sekumpulan sesar, dan restorasi penampang, di wilayah rekaan

Di Varden Hills, wilayah rekaan seri ini, selimut Mesozoikum bertumpu di atas batuan dasar sekis dan granit. Selimut itu dilipat menjadi antiklin dan sinklin tegak dengan sayap lurus, lalu dipotong oleh sesar normal. Seorang ahli geologi mengukur dua belas bidang perlapisan pada kedua sayap antiklin (arah kemiringan/kemiringan, dalam derajat):

| sayap timur | 075/13 | 084/11 | 089/13 | 079/14 | 086/12 | 072/11 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| sayap barat | 283/11 | 272/13 | 281/14 | 288/10 | 276/13 | 274/12 |

Jumlah normal satuan ke atas dari keenam pembacaan tiap sayap ialah $\vec S_E = (1.2583, 0.2017, 5.8604)$ dan $\vec S_W = (-1.2445, 0.1886,
5.8636)$ (timur, utara, atas). Lima sesar membawa goresan garis (arah kemiringan/kemiringan, rake dari gelincir dinding gantung): $120/60/{-90}$ (sesar utama), $150/55/{-76}$, $090/65/{-108}$, $200/70/{-78}$, dan $060/50/{-105}$. Sesar utama memiliki lompatan vertikal $200\,\mathrm{m}$. Sumbu antiklin dan sinklin berjarak $4\,\mathrm{km}$, sehingga lipatan berulang setiap $8\,\mathrm{km}$ dari timur ke barat.

**Bagian I — Kutub dan sumbu beta.**

1. Berikan tren dan penunjaman [kutub](#def-b3-structural-analysis-stereo) dari pembacaan $075/13$ , dan jaraknya dari pusat jaring sama luas berjari-jari $10\,\mathrm{cm}$ .
2. Hitung normal satuan ke atas dari pembacaan $075/13$ ; periksanya terhadap $\vec S_E$ dari segi besarnya.
3. Hitung orientasi rata-rata tiap sayap dari $\vec S_E$ dan $\vec S_W$ , panjang resultan rata-rata, dan simpangan akar rerata kuadrat dari pembacaan terhadap rata-ratanya.
4. Hitung $\vec S_E\times\vec S_W$ , serta tren dan penunjaman dari [sumbu beta](#def-b3-structural-analysis-pi) .
5. Hitung sudut antara kedua normal rata-rata, sudut antar-sayap, dan kelas lipatannya.
6. Bidang aksial lipatan simetris ini memuat [sumbu beta](#def-b3-structural-analysis-pi) dan tegak lurus terhadap $\vec m_E - \vec m_W$ , selisih normal satuan rata-rata. Berikan orientasinya; apakah lipatan itu tegak?
7. Berikan orientasi sabuk- $\pi$ , dan jelaskan mengapa [kutub-kutub](#def-b3-structural-analysis-stereo) terletak pada sabuk itu.

**Bagian II — Tensor orientasi.** [Tensor orientasi](#def-b3-structural-analysis-orientation-tensor) dari kedua belas [kutub](#def-b3-structural-analysis-stereo) ialah

$$
T = \begin{pmatrix} 0.04400 & 0.00035 & 0.00109\\ 0.00035 & 0.00144 & 0.03179\\
  0.00109 & 0.03179 & 0.95456 \end{pmatrix},
$$

dengan nilai eigen $0.95562$, $0.04400$, dan $0.00038$.

8. Periksa bahwa jejak $T$ bernilai 1. Dengan $\vec b = (0.0053, -0.9994,  0.0333)$ , vektor satuan searah $\vec S_E\times\vec S_W$ , hitung $\vec b^{\mathsf T}T\vec b$ . Apa yang dikatakan hasil itu tentang $\vec b$ ?
9. Hitung sudut akar rerata kuadrat antara [kutub-kutub](#def-b3-structural-analysis-stereo) dan sabuk itu.
10. Jelaskan nilai $\lambda_2$ dari kemiringan kedua sayap.
11. Apakah lipatan itu silindris dalam ketelitian pembacaan?
12. Penunjaman [sumbu beta](#def-b3-structural-analysis-pi) ditentukan oleh kemiringan utara–selatan dari sabuk, yang tiap [kutubnya](#def-b3-structural-analysis-stereo) menyumbang dengan sebaran yang didapat pada pertanyaan 9. Perkirakan galat baku dari penunjaman itu.

**Bagian III — Paleotegangan.**

13. Sesar utama itu jenis apa? Mengikuti Anderson, berikan arah $\sigma_1$ , $\sigma_2$ , dan $\sigma_3$ .
14. Tunjukkan dengan teorema arah gelincir bahwa sesar utama bergelincir lurus ke bawah sepanjang kemiringannya untuk setiap nilai $\Phi$ . Apa yang dikatakannya tentang $\Phi$ ?
15. Untuk sesar $150/55$ , hitung $\vec n$ dan komponennya $n_1 =  \vec n\cdot\vec e_1$ dan $n_2 = \vec n\cdot\vec e_2$ , dengan $\vec e_1$ vertikal dan $\vec e_2$ horizontal menuju $030{}^{\circ}$ .
16. Gelincirnya memberikan $\vec w = \vec n\times\vec u = (0.771, 0.605, 0.198)$ . Hitung $\Phi$ .
17. Tiga sesar kecil lainnya memberikan $\Phi = 0.294$ , $0.301$ , dan $0.306$ . Berikan rata-rata, dan jelaskan dari mana sebarannya berasal.
18. Apa yang dikatakan $\Phi = 0.3$ tentang $\sigma_2$ ?
19. Hitung sumbu P dan T dari sesar utama (pada $45{}^{\circ}$ dari bidang, dalam bidang kemiringannya), dan bandingkan dengan $\sigma_1$ dan $\sigma_3$ .

**Bagian IV — Merestorasi penampang timur–barat.**

20. Hitung kemiringan semu sayap timur, $080.9/12.3$ , pada penampang timur–barat.
21. Dengan sayap pada $12{}^{\circ}$ di penampang, hitung panjang hasil restorasi satu gelombang lipatan, pemendekannya, dan perubahan panjang relatifnya.
22. Hitung tinggi puncak antiklin di atas sinklin dan luas kelebihan satu panjang gelombang, dengan anggapan bahwa sinklin tetap pada tingkat awalnya.
23. Hitung kedalaman detasemen di bawah lapisan terlipat. Dapatkah lipatan itu berdetasemen pada dasar selimut, beberapa ratus meter di bawah permukaan?
24. Hitung lompatan horizontal dan gelincir sesar utama pada penampang sepanjang $120{}^{\circ}$ .
25. Pada penampang timur–barat, hitung kemiringan semu sesar dan lompatan horizontal semunya. Penampang mana yang harus direstorasi?
26. Dalam urutan apa sesar dan lipatan direstorasi, dan di mana [garis pasak](#def-b3-structural-analysis-restoration) diletakkan?
27. Berapa penunjaman sumbu lipatan Varden yang diperoleh dari kedua belas pembacaan?

**Solusi Soal 8.1.**

**1.** [Kutub](#def-b3-structural-analysis-stereo) berarah $255{}^{\circ}$ dan menunjam $77{}^{\circ}$; $\theta =
13{}^{\circ}$ dan $r = 10\sqrt2\sin6.5{}^{\circ} = 1.60\,\mathrm{cm}$ dari pusat, ke arah $255{}^{\circ}$.

**2.** $\vec n = (\sin13{}^{\circ}\sin75{}^{\circ}, \sin13{}^{\circ}\cos75{}^{\circ},
\cos13{}^{\circ}) = (0.2173, 0.0582, 0.9744)$. Enam vektor satuan yang hampir sejajar dijumlahkan menghasilkan hampir 6: $|\vec S_E| = 5.9974$.

**3.** Sayap timur: $\bar\alpha = \operatorname{atan2}(1.2583, 0.2017) =
80.9{}^{\circ}$ dan $\bar\delta = \arccos(5.8604/5.9974) = 12.3{}^{\circ}$; $\bar R
= 5.9974/6 = 0.99956$ dan sebarannya $\sqrt{2\times0.00044} =
0.0297\,\mathrm{rad}$, atau $1.7{}^{\circ}$. Sayap barat: $\bar\alpha =
\operatorname{atan2}(-1.2445, 0.1886) = 278.6{}^{\circ}$ dan $\bar\delta =
\arccos(5.8636/5.9972) = 12.1{}^{\circ}$; $\bar R = 0.99953$, sebaran $1.8{}^{\circ}$.

**4.**

$$
\vec S_E\times\vec S_W = (0.0774, -14.6714, 0.4883),
$$

dengan panjang $14.680$. Arah sebaliknya menunjuk ke bawah: tren adalah $\operatorname{atan2}(-0.0774, 14.6714) = 359.7{}^{\circ}$ dan penunjaman $\arcsin(0.4883/14.680) = 1.9{}^{\circ}$.

**5.** Kosinus sudut antara normal rata-rata adalah $32.835/35.968 = 0.9129$, yakni hasil kali titik jumlahnya dibagi dengan panjangnya: $24.1{}^{\circ}$ antara kedua normal, sudut antar-sayap $155.9{}^{\circ}$: lipatan terbuka, hampir landai.

**6.**

$$
\begin{gather*}
  \vec m_E = (0.2098, 0.0336, 0.9772),\qquad \vec m_W = (-0.2075, 0.0314, 0.9777),\\
  \vec m_E - \vec m_W = (0.4173, 0.0022, -0.0005):
\end{gather*}
$$

normal horizontal ke arah $089.7{}^{\circ}$. Bidang aksial vertikal, dengan jurus $359.7{}^{\circ}$, praktis utara–selatan: lipatannya tegak.

**7.** Sabuk itu adalah bidang yang [kutubnya](#def-b3-structural-analysis-stereo) adalah [sumbu beta](#def-b3-structural-analysis-pi): arah kemiringan $179.7{}^{\circ}$, kemiringan $90 - 1.9 = 88.1{}^{\circ}$, hampir bidang vertikal timur–barat. Setiap sayap memuat sumbu lipatan, sehingga setiap normal tegak lurus terhadapnya dan terletak pada bidang yang tegak lurus padanya.

**8.** $0.04400 + 0.00144 + 0.95456 = 1.00000$. $\vec b^{\mathsf T}T\vec
b = 0.00038$, nilai eigen terkecil: $\vec b$ sampai pembulatan adalah vektor eigen $\vec e_3$, dan sabuk yang melalui kedua [kutub](#def-b3-structural-analysis-stereo) rata-rata adalah sabuk paling sesuai dari kedua belas data.

**9.** $\arcsin\sqrt{0.00038} = \arcsin0.0195 = 1.1{}^{\circ}$.

**10.** Sepanjang sabuk, [kutub-kutubnya](#def-b3-structural-analysis-stereo) berada sekitar $12.2{}^{\circ}$ dari vertikal, di kedua sisi; $\sin^212.2{}^{\circ} = 0.045$, kuadrat rata-rata dari komponen timur–barat mereka, yaitu $\lambda_2$.

**11.** Ya: [kutub-kutub](#def-b3-structural-analysis-stereo) menyimpang dari sabuk sebesar $1.1{}^{\circ}$ secara rata-rata, tidak lebih dari sebaran $1.7{}^{\circ}$ dari pembacaan satu sayap terhadap rata-ratanya.

**12.** $1.1{}^{\circ}/\sqrt{12} = 0.3{}^{\circ}$: penunjamannya adalah $1.9{}^{\circ}$ $\pm$ $0.3{}^{\circ}$.

**13.** Rake sebesar $-90{}^{\circ}$: sesar normal murni, gelincir kemiringan. Anderson: $\sigma_1$ vertikal, $\sigma_3$ horizontal sepanjang arah kemiringan, $120{}^{\circ}$–$300{}^{\circ}$, $\sigma_2$ horizontal sepanjang jurus, $030{}^{\circ}$–$210{}^{\circ}$.

**14.** Normal dari $120/60$ terletak pada bidang vertikal yang berarah $120{}^{\circ}$, yang memuat $\vec e_1$ dan $\vec e_3$: $n_2 = 0$. Menurut bagian (b), gelincir tegak lurus terhadap $\sigma_2$, yaitu jurus, untuk setiap $\Phi$: gelincirnya adalah gelincir kemiringan. Sesar itu tidak memberi informasi apa pun tentang $\Phi$; dalam rumus, baik $n_2$ maupun $\vec e_2\cdot\vec w$, sehingga pembilang dan penyebut keduanya menjadi nol.

**15.** $\vec n = (\sin55{}^{\circ}\sin150{}^{\circ}, \sin55{}^{\circ}\cos150{}^{\circ},
\cos55{}^{\circ}) = (0.4096, -0.7094, 0.5736)$; $n_1 = 0.574$; $n_2 = 0.5\times
0.4096 + 0.866\times(-0.7094) = -0.410$.

**16.** $\vec e_1\cdot\vec w = 0.198$ dan $\vec e_2\cdot\vec w = 0.5\times
0.771 + 0.866\times0.605 = 0.909$, sehingga $\Phi = -(0.574\times0.198)/(-0.410\times
0.909) = 0.1137/0.3727 = 0.305$.

**17.** $(0.305 + 0.294 + 0.301 + 0.306)/4 = 0.30$. Rake telah dibulatkan ke derajat terdekat; satu derajat rake menggeser $\Phi$ sekitar 0.02 pada sesar-sesar ini, sehingga pembulatan setengah derajat menjelaskan sebaran nilainya.

**18.** $\sigma_2 - \sigma_3 = 0.3(\sigma_1 - \sigma_3)$: $\sigma_2$ berada lebih dekat ke $\sigma_3$ daripada ke $\sigma_1$. Kedua tegangan horizontal jauh di bawah tegangan vertikal; wilayah itu terutama meregang ke arah $120{}^{\circ}$, sedikit sepanjang $030{}^{\circ}$.

**19.** Dengan $\vec n = (0.750, -0.433, 0.500)$ dan gelincir $\vec u =
(0.433, -0.250, -0.866)$, $(\vec n - \vec u)/\sqrt2$ memiliki penunjaman $75{}^{\circ}$ ke arah $300{}^{\circ}$: P; $(\vec n + \vec u)/\sqrt2$ memiliki penunjaman $15{}^{\circ}$ ke arah $120{}^{\circ}$: T. Keduanya terletak pada bidang vertikal yang sama dengan $\sigma_1$ dan $\sigma_3$, tetapi berjarak $15{}^{\circ}$ dari keduanya, karena sesar membentuk sudut $30{}^{\circ}$, bukan $45{}^{\circ}$, dengan $\sigma_1$.

**20.** $\tan a = \tan12.3{}^{\circ}\times\cos(90{}^{\circ} - 80.9{}^{\circ}) =
0.2180\times0.9874 = 0.2153$: $a = 12.1{}^{\circ}$.

**21.** $L_0 = 8000/\cos12{}^{\circ} = 8178.7\,\mathrm{m}$, $S =
178.7\,\mathrm{m}$, perubahan relatif sebesar $\cos12{}^{\circ} - 1 =
-2.2\,\%$.

**22.** $4000\tan12{}^{\circ} = 850.2\,\mathrm{m}$; $A = \tfrac12\times8000\times
850.2 = 3.40 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{2}$.

**23.** $h = 3.40 \times 10^{6}/178.7 = 19.0\,\mathrm{km}$. Detasemen di dasar lapisan penutup akan memberi $h$ beberapa ratus meter dan luas berlebih yang sekitar lima puluh kali lebih kecil: lipatan di sana tidak terdetasemen. Entah basemen terlipat bersama lapisan penutup, atau sinklin tenggelam di bawah ketinggian semula, yang membuat $A$ lebih kecil; penampang saja tidak dapat memastikannya.

**24.** Lompatan horizontal $200/\tan60{}^{\circ} = 115.5\,\mathrm{m}$, gelincir $200/\sin60{}^{\circ}
= 230.9\,\mathrm{m}$.

**25.** $\tan a = \tan60{}^{\circ}\cos30{}^{\circ} = 1.500$: $a = 56.3{}^{\circ}$, dan lompatan horizontal semu adalah $200/1.5 = 133.3\,\mathrm{m}$. Gelincir sesar adalah ke bawah sepanjang kemiringan, ke arah $120{}^{\circ}$: penampang sepanjang $120{}^{\circ}$ menunjukkan panjang sebenarnya dan harus menjadi penampang yang direstorasi.

**26.** Sesar itu memotong lipatan, sehingga lebih muda dan direstorasi lebih dahulu, menggerakkan dinding gantung kembali ke atas sesar sejauh $230.9\,\mathrm{m}$; lipatan kemudian dibuka. [Garis pasak](#def-b3-structural-analysis-restoration) diletakkan pada bidang aksial sinklin, di dinding bawah, tempat lipatan simetris tidak mengalami gelincir antarlapisan.

**27.** Sumbu lipatan Varden memiliki penunjaman **$1.9{}^{\circ}$** ke arah utara (tren $359.7{}^{\circ}$): $2{}^{\circ}$ yang tertanam di wilayah itu, dipulihkan menjadi $0.3{}^{\circ}$ yang dimungkinkan oleh dua belas pembacaan.