---
title: "Sporenelementmodellering"
book: "Universitaire aard- en ruimtewetenschappen — jaar 3"
subject: earth
language: nl
chapter: 12
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/5/nl/chapter/12-sporenelementmodellering
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
---

# Hoofdstuk 12 — Sporenelementmodellering

Twee basalten zijn op hetzelfde eiland, enkele kilometer van elkaar, uitgebarsten. De ene bevat meer dan anderhalf keer zoveel lanthaan als de andere en bijna vier keer minder ytterbium. Zijn ze uit twee verschillende mantels gesmolten, of uit één mantel die in verschillende mate is gesmolten, of op verschillende diepten? De hoofdelementen verraden weinig: beide zijn basalten. De sporenelementen, die de mineralen volgen zonder ze te veranderen, bewaren een verslag van hoeveel smelt er is gevormd, hoe die de bron verliet en welke mineralen achterbleven. Dit hoofdstuk schrijft dat verslag uit als vergelijkingen en leest het daarna weer af.

**Wat je al weet.**

De mineraal–smeltverdelingscoëfficiënt $D$, de bulkverdelingscoëfficiënt, compatibele en incompatibele elementen, de zeldzame aarden, de CI-chondriet en de primitieve mantel, genormeerde diagrammen en de europiumanomalie MORB en OIB staan in Boek 4, in het hoofdstuk over elementen in de Aarde. Peridotiet, lherzoliet, partieel smelten en de smeltfractie $F$ staan in het hoofdstuk over het smelten van de mantel; evenwichts- en fractionele kristallisatie, de Rayleigh-fractioneringswet, menging en assimilatie–fractionele kristallisatie (AFC), in het hoofdstuk over magmatische differentiatie. Daar is bewezen dat de verhouding van twee zeer incompatibele elementen tijdens kristallisatie constant blijft.

## 12.1 De massabalans van een smeltend gesteente

Een gesteente met massa 1 smelt. Bij smeltfractie $F$ heeft het een massa $F$ aan smelt gevormd en een massa $1 - F$ aan vast residu behouden. Een sporenelement dat in de bron aanwezig is met concentratie $C_0$ verdeelt zich over beide; de concentratie in de smelt is $C_L$, in het residu $C_S$. Elk model in dit hoofdstuk is een vorm van één balans, $C_0 = FC_L + (1 - F)C_S$ voor de smelt en het residu samen, en een regel die $C_S$ aan $C_L$ koppelt: op het contactvlak tussen een kristal en de smelt geldt $C_{\text{mineraal}} = D\,C_L$. De modellen verschillen in welke stoffen met elkaar in contact staan, en wanneer.

De verdelingscoëfficiënten van de mineralen van de mantel lopen sterk uiteen. In één compilatie heeft lanthaan $D = 0.058$ in klinopyroxeen en $0.001$ in granaat en in olivijn, orthopyroxeen en spinel; ytterbium heeft $D = 0.58$ in klinopyroxeen, $4.5$ in granaat en $0.16$ in de andere drie. Granaat neemt de zware zeldzame aarden op en weert de lichte.

**Definitie 12.1 (Niet-modaal smelten).**

Bij *niet-modaal smelten*, komen de mineralen van de bron in verhoudingen $p_i$ in de smelt terecht die afwijken van hun massafracties $x_i$ in de bron. De smelt ziet dan de bulkverdelingscoëfficiënt van de bron, $D_0 = \sum_i x_iD_i$, aan het begin en de smeltgewogen coëfficiënt $P = \sum_i p_iD_i$ naarmate hij groeit.

Smelten is zelden modaal. In één uitgewerkt voorbeeld van een spinelliherzoliet met $58\,\%$ olivijn, $27\,\%$ orthopyroxeen, $12\,\%$ klinopyroxeen en $3\,\%$ spinel, komen de mineralen in de verhoudingen 20, 25, 45 en $10\,\%$ de smelt in: klinopyroxeen smelt vier keer sneller dan zijn aandeel, olivijn drie keer trager.

**Propositie 12.2 (Bulkverdelingscoëfficiënt van het residu).**

Bij [niet-modaal smelten](#def-b3-trace-element-modelling-nonmodal) bij constante $p_i$ heeft het residu bij smeltfractie $F$ de bulkverdelingscoëfficiënt

$$
\bar D(F) = \frac{D_0 - PF}{1 - F},
$$

geldig zolang elk mineraal aanwezig blijft, dus voor $F < x_i/p_i$ voor elke $i$.

**Bewijs.** Per eenheid massa bron is de massa van mineraal $i$ die bij $F$ overblijft $x_i - p_iF$, en het residu heeft massa $1 - F$. De bulkcoëfficiënt is het massagewogen gemiddelde, $\sum_i (x_i - p_iF)D_i/(1 - F) = (D_0 - PF)/(1 - F)$. Een mineraal is uitgeput wanneer $x_i - p_iF = 0$. ∎

Met de hierboven genoemde mineraalcoëfficiënten, een spinelliherzoliet uit het uitgewerkte voorbeeld, en een granaatliherzoliet bij $5\,\mathrm{GPa}$ en $1400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ in het laboratorium, met $54.1\,\%$ olivijn, $9.8\,\%$ orthopyroxeen, $19.5\,\%$ klinopyroxeen en $16.7\,\%$ granaat naar massa, hebben de bulkcoëfficiënten hieronder.

| bron | $D_{\mathrm{La}}$ | $D_{\mathrm{Sm}}$ | $D_{\mathrm{Yb}}$ |
| --- | --- | --- | --- |
| spinelliherzoliet | 0.0078 | 0.062 | 0.21 |
| granaatliherzoliet | 0.012 | 0.107 | 0.97 |

Lanthaan is in beide zeer incompatibel. Ytterbium is matig incompatibel in de spinelliherzoliet en vrijwel neutraal in de granaatliherzoliet. Het verschil tussen de twee bronnen zit bijna volledig in de zware zeldzame aarden.

## 12.2 Batchsmelten

**Stelling 12.3 (Batchsmelten).**

Bij *batchsmelten*, blijft de smelt in evenwicht met het volledige residu totdat die in één keer vrijkomt. Bij een constante bulkverdelingscoëfficiënt $D$ hebben de smelt en het residu bij smeltfractie $F$ de volgende waarden:

$$
\frac{C_L}{C_0} = \frac{1}{D + F(1 - D)}, \qquad
\frac{C_S}{C_0} = \frac{D}{D + F(1 - D)}.
$$

**Bewijs.** Bij evenwicht bevat elk kristal van het residu $D_iC_L$, zodat het residu gemiddeld $C_S = DC_L$ bevat. De massabalans $C_0 = FC_L + (1 - F)DC_L$ levert $C_L$ op, en daarna volgt $C_S$. ∎

De formule is de wet van de evenwichtskristallisatie uit Boek 4, achterstevoren gelezen: in beide is $F$ de fractie vloeistof in een gesloten systeem. De twee grenzen zijn het onthouden waard. Voor $F \to 0$ geldt $C_L \to C_0/D$: de eerste druppel smelt kan een element hooguit met de factor $1/D$ verrijken. Voor $D \to 0$ geldt $C_L \to
C_0/F$: een volledig incompatibel element wordt in de smelt verdund, en de verrijking is uitsluitend een maat voor $F$. Voor een compatibel element, $D > 1$, is de smelt armer dan de bron, en des te meer naarmate $F$ kleiner is.

**Propositie 12.4 (Niet-modaal batchsmelten).**

Bij [batchsmelten](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) met de smeltproporties $p_i$ van [Definitie 12.1](#def-b3-trace-element-modelling-nonmodal),

$$
\frac{C_L}{C_0} = \frac{1}{D_0 + F(1 - P)}.
$$

**Bewijs.** Het residu bevat $\bar D(F)\,C_L$ ([Propositie 12.2](#prop-b3-trace-element-modelling-residue)), dus $C_0 = FC_L + (1 - F)\bar D(F)C_L = C_L(F + D_0 - PF)$. ∎

Wanneer $P$ groter is dan $D_0$, zoals bij lanthaan in het uitgewerkte voorbeeld, waar $D_0 =
0.0074$ en $P = 0.025$, verliest het residu zijn beste gastheer, klinopyroxeen, sneller dan de rest. De smelt is dan iets rijker dan het modale smelten voorspelt, met minder dan $2\,\%$ bij $F = 0.1$ voor lanthaan (oefening 6), maar het residu raakt zijn klinopyroxeen op bij $F = 0.12/0.45 \approx 0.27$, en daarbuiten veranderen de mineralen en de coëfficiënten.

## 12.3 Fractioneel en dynamisch smelten

Smelt in een peridotiet verzamelt zich langs korrelgrenzen en kan wegstromen zodra ze verbonden is. Het tegenovergestelde uiterste van [batchsmelten](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) verwijdert elke druppel op het moment dat die ontstaat.

**Stelling 12.5 (Fractioneel smelten).**

Bij *fractioneel smelten* is elk incrementeel deel smelt alleen op het moment van vorming in evenwicht met het residu, waarna het zich ervan scheidt. Bij een constante $D$ hebben het residu en de smelt die op dat moment ontstaat, na onttrekking van een totale massa $F$ aan smelt, de volgende waarden:

$$
\frac{C_S}{C_0} = (1 - F)^{1/D - 1}, \qquad
\frac{C_L}{C_0} = \frac{1}{D}(1 - F)^{1/D - 1}.
$$

**Bewijs.** Het residu heeft massa $1 - F$ en concentratie $C_S$. Wanneer een massa $\mathrm dF$ aan smelt vertrekt bij $C_L = C_S/D$, daalt het element in het residu met $\mathrm d[(1 - F)C_S] = -(C_S/D)\,\mathrm dF$. Uitgewerkt geeft $(1 - F)\,\mathrm dC_S = C_S(1 - 1/D)\,\mathrm dF$, dus $\mathrm dC_S/C_S = (1/D - 1)\,\mathrm d[-\ln(1 - F)]$. Integreren vanaf $C_S = C_0$ bij $F = 0$ geeft $\ln(C_S/C_0) = (1/D - 1)\ln(1 - F)$, en $C_L = C_S/D$. ∎

Voor een incompatibel element is $1/D - 1$ groot en positief: het residu is binnen enkele malen $D$ smelten uitgeput, en de momentane smelt daalt van $C_0/D$ tot vrijwel niets. Een residu van [fractioneel smelten](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional) is veel sterker verarmd dan een residu van [batchsmelten](#thm-b3-trace-element-modelling-batch). De smelten worden echter niet één voor één afgevoerd, maar ze verzamelen zich in kanalen en plassen, en de geaggregeerde smelt, hieronder gedefinieerd, is in de figuur gestreept getekend.

![Verrijking van een sporenelement in de smelt uitgezet tegen de smeltfractie, voor vier bulkverdelingscoëfficiënten. (a) Batchsmelten (doorgetrokken) en geaggregeerde fractionele smelten (gestreept; voor D = 1 blijven beide op 1). (b) De momentane smelten van fractioneel smelten: een element met D = 0.01 is na enkele procenten smelten uit het residu uitgeput.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-trace-element-modelling/fig-8eb8b487b4e3.svg)

*Verrijking van een sporenelement in de smelt uitgezet tegen de smeltfractie, voor vier bulkverdelingscoëfficiënten. (a) [Batchsmelten](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) (doorgetrokken) en [geaggregeerde fractionele smelten](#def-b3-trace-element-modelling-fractional) (gestreept; voor $D = 1$ blijven beide op 1). (b) De momentane smelten van [fractioneel smelten](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional): een element met $D = 0.01$ is na enkele procenten smelten uit het residu uitgeput.*

**Definitie 12.6 (Geaggregeerde fractionele smelt).**

De *geaggregeerde fractionele smelt* is het mengsel van alle momentane smelten bij [fractioneel smelten](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional) van $0$ tot $F$, samengevoegd zonder verdere reactie met het residu.

**Propositie 12.7 (Samenstelling van de geaggregeerde smelt).**

Bij een constante $D$ geldt voor de [geaggregeerde fractionele smelt](#def-b3-trace-element-modelling-fractional)

$$
\frac{\bar C_L}{C_0} = \frac{1 - (1 - F)^{1/D}}{F}.
$$

**Bewijs.** Het geëxtraheerde element is de bron min het residu, $C_0 - (1 - F)C_S = C_0[1 - (1 - F)^{1/D}]$ volgens [Stelling 12.5](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional), verdeeld over een massa $F$ aan smelt. ∎

Zodra $(1 - F)^{1/D}$ klein is, bevat de geaggregeerde smelt het hele element en geldt $\bar C_L \approx C_0/F$, ongeacht $D$: voor zeer incompatibele elementen komen [geaggregeerde fractionele smelten](#def-b3-trace-element-modelling-fractional) en [batchsmelten](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) met kleine $D$ overeen, en beide meten $F$.

Echt smelten ligt tussen de twee uitersten in. Een residu houdt wat smelt in zijn poriën vast, en de smelt die vertrekt is het surplus boven die porositeit.

**Definitie 12.8 (Dynamisch smelten).**

Bij *dynamisch smelten* (ook continu smelten genoemd) houdt het residu een constante massafractie $\phi$ aan smelt in zijn poriën vast, in evenwicht met zijn kristallen, en elke smelt die daarboven ontstaat, wordt afgevoerd.

**Propositie 12.9 (Dynamisch smelten).**

[Dynamisch smelten](#def-b3-trace-element-modelling-dynamic) met porositeit $\phi$ is [fractioneel smelten](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional) met de effectieve verdelingscoëfficiënt $D' = (1 - \phi)D + \phi$, waarbij $F$ de massafractie van de afgevoerde smelt is:

$$
\frac{C_L}{C_0} = \frac{1}{D'}(1 - F)^{1/D' - 1}.
$$

**Bewijs.** Het residu bestaat uit kristallen met fractie $1 - \phi$ en poriënsmelt met fractie $\phi$, beide in evenwicht met de smelt bij $C_L$, dus geldt $C_S = [(1 - \phi)D + \phi]C_L = D'C_L$. Het bewijs van [Stelling 12.5](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional) geldt dan met $D'$. ∎

Voor $\phi = 0$ is het model [fractioneel smelten](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional); voor $\phi \to 1$ nadert het [batchsmelten](#thm-b3-trace-element-modelling-batch). Een porositeit van één procent begrenst de verrijking van de eerste smelt tot $1/\phi = 100$, hoe klein $D$ ook is: de poriënsmelt buffert het residu.

![Drie manieren waarop smelt een smeltende bron kan verlaten. (a) Batch: de smelt blijft bij het hele residu en vertrekt daarna. (b) Fractioneel: elke toename vertrekt meteen; de samengevoegde toenames vormen de geaggregeerde smelt. (c) Dynamisch: het residu houdt een kleine massafractie aan smelt in zijn poriën.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-trace-element-modelling/fig-6d0958795544.svg)

*Drie manieren waarop smelt een smeltende bron kan verlaten. (a) Batch: de smelt blijft bij het hele residu en vertrekt daarna. (b) Fractioneel: elke toename vertrekt meteen; de samengevoegde toenames vormen de geaggregeerde smelt. (c) Dynamisch: het residu houdt een kleine massafractie $\phi$ aan smelt in zijn poriën.*

## 12.4 Smelten, daarna kristallisatie

Een smelt die zijn bron verlaat, barst zelden onveranderd uit. Hij kristalliseert olivijn, daarna pyroxeen en plagioklaas op weg omhoog, hij kan wandgesteente assimileren, en hij kan zich mengen met andere porties. De wetten van Boek 4 gelden achtereenvolgens: een lava is een smelt van fractie $F$ van zijn bron, daarna een vloeistof die via fractionele kristallisatie een fractie $f$ van zijn massa heeft behouden, zodat voor een element met $D$ in het smeltende residu en $D_c$ in de kristalliserende mineralen geldt:

$$
C_{\text{lava}} = C_0\,\frac{1}{D + F(1 - D)}\,f^{\,D_c - 1}.
$$

De tweede factor is dezelfde voor elk element dat de kristalliserende mineralen verwerpen, $D_c \approx 0$: hij schaalt ze allemaal met $1/f$. Verhoudingen van zulke elementen worden dus aan de bron bepaald, en een lava die olivijn kwijt is, behoudt de La/Yb van zijn primaire smelt terwijl zijn lanthaan stijgt. Het omkeren van $F$ uit een concentratie vraagt ook $f$; het omkeren van de bron uit een verhouding niet. Plagioklaas is de uitzondering onder de zeldzame aarden: het neemt europium op, en de verwijdering ervan laat de europiumanomalie van Boek 4 achter.

## 12.5 Zeldzame-aardpatronen lezen

Een smelt van een spinel-lherzoliet en een smelt van een granaat-lherzoliet delen hun lichte zeldzame aarden, die geen van beide residuen vasthoudt, en verschillen in de zware, die granaat vasthoudt. Op een chondriet-genormaliseerd diagram zijn de granaatsmelten steil en aan het zware uiteinde vlak; de spinelsmelten zijn zachter. De steilheid neemt toe naarmate $F$ daalt.

![Chondriet-genormaliseerde zeldzame-aardpatronen van batchsmelten van een primitieve-mantelbron, van een spinel-lherzoliet (blauwe cirkels) en een granaat-lherzoliet (rode vierkanten), bij drie smeltfracties; de bron is de dunne lijn. Alleen de negen zeldzame aarden met getabelleerde verdelingscoëfficiënten zijn uitgezet.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-trace-element-modelling/fig-81a4238280ea.svg)

*Chondriet-genormaliseerde zeldzame-aardpatronen van [batchsmelten](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) van een primitieve-mantelbron, van een spinel-lherzoliet (blauwe cirkels) en een granaat-lherzoliet (rode vierkanten), bij drie smeltfracties; de bron is de dunne lijn. Alleen de negen zeldzame aarden met getabelleerde verdelingscoëfficiënten zijn uitgezet.*

Granaat maakt op ongeveer 60 tot $90\,\mathrm{km}$ diepte plaats voor spinel als het aluminiumrijke mineraal van de mantel. Een smelt waarvan de zware zeldzame aarden vlak en laag zijn, met een steile helling van licht naar zwaar, heeft dus granaat in zijn residu achtergelaten en is op zijn minst zo diep begonnen met smelten.

Een patroon mengt twee onbekenden, $F$ en de bron. Door twee elementen tegen elkaar uit te zetten, worden ze van elkaar gescheiden.

**Definitie 12.10 (Verhouding–verhoudingsdiagram).**

Een *verhouding–verhoudingsdiagram* zet voor een reeks lavas de verhouding van een sterk incompatibel element $H$ tot een minder incompatibel element $M$ uit tegen de concentratie van $H$ (of tegen een andere verhouding). Partieel smelten, kristallisatie en menging tekenen er lijnen met verschillende vormen op.

**Propositie 12.11 (De batchsmeltlijn).**

Voor [batchsmelten](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) van één bron met $D_H = 0$ en een constante $D_M$, liggen de punten $(C_H, C_H/C_M)$ op de rechte lijn

$$
\frac{C_H}{C_M} = \frac{D_M}{C_0^M}\,C_H + \frac{C_0^H(1 - D_M)}{C_0^M}.
$$

**Bewijs.** Met $D_H = 0$ geldt $C_H = C_0^H/F$, dus $1/F = C_H/C_0^H$. Dan geldt $C_H/C_M = (C_0^H/F)\,(D_M + F(1 - D_M))/C_0^M = C_0^HD_M/(FC_0^M) +
C_0^H(1 - D_M)/C_0^M$, en de eerste term is $(D_M/C_0^M)\,C_H$. ∎

Fractionele kristallisatie van mineralen die beide elementen verwerpen, verschuift een lava horizontaal in dit diagram, omdat de verhouding niet verandert; smelten verschuift hem langs een hellende lijn waarvan de helling toeneemt met $D_M$; menging van twee smelten tekent een hyperbool. Een bron met granaat heeft een grote $D_{\mathrm{Yb}}$, dus een steile smeltlijn in La/Yb tegen La.

**Methode 12.12 (Twee lava’s omkeren).**

(1) Controleer dat de lava’s cogenetisch zijn en dat $H$ veel incompatibeler is dan $M$. (2) Corrigeer elke lava voor kristallisatie, of gebruik alleen verhoudingen. (3) Pas door twee of meer lava’s de lijn $C_H/C_M = aC_H + b$ aan. (4) Dan geldt $a = D_M/C_0^M$ en $b = C_0^H(1 - D_M)/C_0^M$: met $C_0^M$ aangenomen, is $D_M =
aC_0^M$ en $C_0^H = bC_0^M/(1 - D_M)$. (5) De smeltfractie van elke lava is $F = C_0^H/C_H$.

![Batchsmelten van een primitieve-mantelbron in een La/Yb tegen La-diagram, voor een spinel- en een granaat-lherzoliet, met streepjes bij F = 1, 2, 5, 10 en 20\,\%, en de twee verzonnen lava’s van het weekendprobleem. Elke lava ligt op slechts één kromme.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-trace-element-modelling/fig-4ff698d37595.svg)

*[Batchsmelten](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) van een primitieve-mantelbron in een La/Yb tegen La-diagram, voor een spinel- en een granaat-lherzoliet, met streepjes bij $F = 1$, 2, 5, 10 en $20\,\%$, en de twee verzonnen lava’s van het weekendprobleem. Elke lava ligt op slechts één kromme.*

Op logaritmische assen buigt de rechte lijn van de propositie af, en met $D_{\mathrm{La}} \ne 0$ is hij op lineaire assen alleen bijna recht; de krommen van de figuur zijn exact. Een spinelbron kan geen smelt maken met La/Yb boven $(C_0^{\mathrm{La}}/D_{\mathrm{La}})/(C_0^{\mathrm{Yb}}/D_{\mathrm{Yb}})$, ongeveer 40 voor de primitieve mantel; een granaatbron kan er ongeveer 120 bereiken.

## 12.6 Oefeningen

**Oefening 12.1 ★.**

Bereken met de mineraalcoëfficiënten van samarium, 0.40 in clinopyroxeen, 0.11 in granaat en 0.016 in olivijn, orthopyroxeen en spinel, de bulkverdelingscoëfficiënt van samarium in de spinelherzoliet ($12\,\%$ clinopyroxeen) en in de granaatlherzoliet ($19.5\,\%$ clinopyroxeen, $16.7\,\%$ granaat) van dit hoofdstuk.

**Oplossing van Oefening 12.1.**

Spinelliet-lherzoliet: $0.12\times0.40 + 0.88\times0.016 = 0.048 + 0.0141 =
0.062$. Granaatlherzoliet: $0.195\times0.40 + 0.167\times0.11 +
0.639\times0.016 = 0.078 + 0.0184 + 0.0102 = 0.107$.

**Oefening 12.2 ★.**

Een element met $D = 0.05$ zit in een bron voor op $1\,\mathrm{ppm}$. Bereken zijn concentratie in [batchsmelten](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) bij $F = 0.02$ en $0.10$.

**Oplossing van Oefening 12.2.**

$1/(0.05 + 0.02\times0.95) = 1/0.069 = 14.5\,\mathrm{ppm}$; $1/(0.05 + 0.10\times0.95) = 1/0.145 = 6.9\,\mathrm{ppm}$.

**Oefening 12.3 ★.**

Wat is de grootste verrijking $C_L/C_0$ die [batchsmelten](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) kan geven aan een element met $D = 0.01$? En aan een element met $D = 0$ bij $F = 5\,\%$?

**Oplossing van Oefening 12.3.**

De verrijking is het grootst naarmate $F \to 0$: $1/D = 100$. Met $D = 0$, $C_L/C_0 = 1/F = 20$.

**Oefening 12.4 ★.**

Een lava bevat $30\,\mathrm{ppm}$ La en $2.5\,\mathrm{ppm}$ Yb. Met de CI-chondrietwaarden La 0.232 en Yb $0.163\,\mathrm{ppm}$, bereken de La/Yb en de chondriet-genormaliseerde $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N$.

**Oplossing van Oefening 12.4.**

$\mathrm{La/Yb} = 30/2.5 = 12.0$; $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N =
(30/0.232)/(2.5/0.163) = 129.3/15.34 = 8.4$.

**Oefening 12.5 ★★.**

Vergelijk voor een element met $D = 0.01$ de residuen na $5\,\%$ [batchsmelten](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) en [fractioneel smelten](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional). Wat bevat de momentane fractionele smelt op dat moment?

**Oplossing van Oefening 12.5.**

Batch: $C_S/C_0 = 0.01/(0.01 + 0.05\times0.99) = 0.168$. Fractioneel: $(0.95)^{99} = 0.0062$, 27 keer lager. De momentane smelt bevat $0.0062/0.01 = 0.62\,C_0$: minder dan de bron.

**Oefening 12.6 ★★.**

In het uitgewerkte voorbeeld van het hoofdstuk (modi 58, 27, 12, $3\,\%$; smeltaandelen 20, 25, 45, $10\,\%$ voor olivijn, orthopyroxeen, clinopyroxeen en spinel) heeft lanthaan de coëfficiënten 0.0003, 0.002, 0.053 en 0.01. Bereken $D_0$ en $P$, en daarna de verrijking van lanthaan in de batchsmelt bij $F = 0.02$ en $0.10$, niet-modaal en modaal.

**Oplossing van Oefening 12.6.**

$D_0 = 0.58\times0.0003 + 0.27\times0.002 + 0.12\times0.053 + 0.03\times0.01
= 0.00737$; $P = 0.20\times0.0003 + 0.25\times0.002 + 0.45\times0.053 +
0.10\times0.01 = 0.0254$. Bij $F = 0.02$: niet-modaal $1/(0.00737 +
0.02\times0.9746) = 37.2$, modaal $1/(0.00737 + 0.02\times0.9926) = 36.7$. Bij $F = 0.10$: 9.54 en 9.38, $1.7\,\%$ uit elkaar.

**Oefening 12.7 ★★.**

Vergelijk bij $F = 0.10$ de batchsmelt en de [geaggregeerde fractionele smelt](#def-b3-trace-element-modelling-fractional) voor $D = 0.1$ en voor $D = 0.01$. Welke verschillen het meest, en waarom?

**Oplossing van Oefening 12.7.**

$D = 0.1$: batch $1/(0.1 + 0.09) = 5.26$; geaggregeerd $(1 - 0.9^{10})/0.1 =
6.51$. $D = 0.01$: batch $1/(0.01 + 0.099) = 9.17$; geaggregeerd $(1 - 0.9^{100})/0.1 = 10.00$. Het paar met $D = 0.1$ verschilt meer: voor $D = 0.01$ bevatten beide smelten al bijna het hele element, en beide naderen $1/F$.

**Oefening 12.8 ★★.**

Een element met $D = 0.001$ smelt dynamisch met $\phi = 0.01$. Bereken $D'$, de verrijking van de eerst afgescheiden smelt, en die van de smelt afgescheiden bij $F = 0.01$; vergelijk met [fractioneel smelten](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional).

**Oplossing van Oefening 12.8.**

$D' = 0.99\times0.001 + 0.01 = 0.01099$. Eerste smelt: $1/D' = 91$, tegenover 1000 bij [fractioneel smelten](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional). Bij $F = 0.01$: $91\times0.99^{90.0} = 36.8$, tegenover $1000\times0.99^{999} = 0.044$: de poriesmelt voorkomt dat het residu wordt leeggetrokken.

**Oefening 12.9 ★★.**

In de spinelherzoliet van het hoofdstuk zijn $D_{\mathrm{La}} = 0.0078$ en $D_{\mathrm{Sm}} = 0.062$. Met welke factor verhoogt [batchsmelten](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) La/Sm boven de brongewaarde bij $F = 0.01$ en bij $F = 0.10$? Wat zegt dat over het gebruik van verhoudingen om $F$ te schatten?

**Oplossing van Oefening 12.9.**

De verhouding wordt verhoogd met $(D_{\mathrm{Sm}} + F(1 - D_{\mathrm{Sm}}))/(D_{\mathrm{La}}
+ F(1 - D_{\mathrm{La}}))$: bij $F = 0.01$, $0.0714/0.0177 = 4.0$; bij $F = 0.10$, $0.156/0.107 = 1.46$. De verhouding is gevoelig voor $F$ bij kleine $F$ en vrijwel ongevoelig daarboven, bij ongeveer $10\,\%$; ze hangt ook af van $D_{\mathrm{Sm}}$, dus van de residumineralen.

**Oefening 12.10 ★★★.**

Toon aan dat de [geaggregeerde fractionele smelt](#def-b3-trace-element-modelling-fractional) het gemiddelde is van de momentane smelten van 0 tot $F$, en dat ze neigt naar $C_0/F$ wanneer $(1 - F)^{1/D} \to 0$. Voor $D = 0.01$, vanaf welke $F$ ligt hij binnen $1\,\%$ van $C_0/F$?

**Oplossing van Oefening 12.10.**

$\frac1F\int_0^F \frac1D(1 - x)^{1/D - 1}\,\mathrm dx = \frac1F\bigl[-(1 -
x)^{1/D}\bigr]_0^F = [1 - (1 - F)^{1/D}]/F$, de formule uit het hoofdstuk; als $(1 - F)^{1/D} \to 0$, nadert ze $1/F$ maal $C_0$. Binnen $1\,\%$: $(1 - F)^{100} < 0.01$, $F > 1 - 0.01^{0.01} = 0.045$, ongeveer $4.5\,\%$.

**Oefening 12.11 ★★★.**

Twee cogenetische lava’s P en Q hebben La 20 en $10\,\mathrm{ppm}$, en La/Yb 10 en 6. Neem aan dat lanthaan perfect incompatibel is en dat de bron $0.44\,\mathrm{ppm}$ Yb bevat. Pas de methode van het hoofdstuk toe: bepaal $D_{\mathrm{Yb}}$, het La-gehalte van de bron en de smeltfractie van elke lava.

**Oplossing van Oefening 12.11.**

Helling $a = (10 - 6)/(20 - 10) = 0.40\,\mathrm{ppm}^{-1}$; snijpunt $b = 10 -
0.40\times20 = 2.0$. $D_{\mathrm{Yb}} = 0.40\times0.44 = 0.176$; $C_0^{\mathrm{La}} = 2.0\times0.44/0.824 = 1.07\,\mathrm{ppm}$. $F_P = 1.07/20 =
5.3\,\%$, $F_Q = 1.07/10 = 10.7\,\%$.

**Oefening 12.12 ★★★.**

Bepaal bij het niet-modale smelten van oefening 6 bij welke smeltfractie elk mineraal is uitgeput. Bereken de bulkcoëfficiënt van het residu voor lanthaan bij $F = 0.2$ en verklaar waarom de formule van het hoofdstuk niet na de eerste uitputting gebruikt kan worden.

**Oplossing van Oefening 12.12.**

$F = x_i/p_i$: clinopyroxeen $0.12/0.45 = 0.27$, spinel $0.03/0.10 = 0.30$, orthopyroxeen $0.27/0.25 = 1.08$, olivijn $0.58/0.20 = 2.9$; clinopyroxeen smelt het eerst. Bij $F = 0.2$: $\bar D = (0.00737 - 0.0254\times0.2)/0.8 =
0.0029$. Voorbij $F = 0.27$ veranderen de $p_i$ (er is geen clinopyroxeen meer om te smelten), en de formule, die constante $p_i$ veronderstelt, geldt niet meer.

## 12.7 Probleem: Twee lava’s van Aldren Island

**Probleem 12.1.**

Weekendprobleem — de bron, diepte en smeltgraad van twee verzonnen basalten, uit hun lanthaan en ytterbium

Op Aldren Island, een verzonnen vulkaaneiland, bevat lava A $9.6\,\mathrm{ppm}$ La en $1.7\,\mathrm{ppm}$ Yb, lava B $15.6\,\mathrm{ppm}$ La en $0.45\,\mathrm{ppm}$ Yb. Beide worden opgevat als primaire smelten van een bron van primitieve mantel met $0.648\,\mathrm{ppm}$ La en $0.441\,\mathrm{ppm}$ Yb (CI-chondriet: La 0.232, Yb $0.163\,\mathrm{ppm}$). Mineraalcoëfficiënten: La 0.058 in clinopyroxeen en 0.001 in granaat en in olivijn, orthopyroxeen en spinel; Yb 0.58 in clinopyroxeen, 4.5 in granaat en 0.16 in olivijn, orthopyroxeen en spinel. De spinelherzoliet bestaat uit $58\,\%$ olivijn, $27\,\%$ orthopyroxeen, $12\,\%$ clinopyroxeen, $3\,\%$ spinel; de granaatlherzoliet bestaat uit $54.1\,\%$ olivijn, $9.8\,\%$ orthopyroxeen, $19.5\,\%$ clinopyroxeen, $16.7\,\%$ granaat. Het smelten verloopt modaal.

**Deel I — De twee bronnen.**

1. Bereken $D_{\mathrm{La}}$ en $D_{\mathrm{Yb}}$ van de spinelherzoliet.
2. Bereken ze voor de granaatlherzoliet. Rond alle vier af op twee significante cijfers voor de rest van het probleem.
3. Welke coëfficiënt verschilt het sterkst tussen de bronnen, en waarom? Is ytterbium compatibel in de granaatlherzoliet?
4. Bereken de chondriet-genormaliseerde $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N$ van de bron. Hoe ziet het patroon eruit?

**Deel II — Batchsmelten van lava A.**

5. Bereken La in [batchsmelten](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) van de spinelherzoliet bij $F = 1$ , 5 en $10\,\%$ .
6. Zoek de smeltfractie die lava A zijn lanthaan geeft.
7. Voorspel het ytterbium en de La/Yb van lava A en vergelijk die met lava A.
8. Bereken La en Yb in het residu, en de fractie van het lanthaan van de bron die erin achterblijft.
9. Welke smeltfractie zou men vinden door lanthaan als perfect incompatibel te beschouwen?

**Deel III — Fractioneel smelten van lava A.**

10. Bereken La in de instantane fractionele smelt bij $F = 0.1$ , 1 en $6\,\%$ .
11. Bereken La in de [geaggregeerde fractionele smelt](#def-b3-trace-element-modelling-fractional) bij $F = 6.0\,\%$ .
12. Zoek de smeltfractie waarbij de geaggregeerde smelt het lanthaan van lava A heeft. Waarom ligt die zo dicht bij het antwoord op vraag 9?
13. Vergelijk het lanthaan van het residu met dat van vraag 8.
14. Welke schatting van $F$ wordt aangehouden?

**Deel IV — Lava B en granaat.**

15. Bereken La/Yb en $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N$ van beide lava’s.
16. Wat is de grootste La/Yb die een batchsmelt van de spinelherzoliet kan bereiken?
17. Bij welke smeltfractie zou een smelt van spinelherzoliet de La/Yb van lava B hebben, en hoeveel lanthaan zou die bevatten? Trek een conclusie.
18. Zoek de smeltfractie van lava B uit zijn lanthaan, voor de granaatlherzoliet, en voorspel zijn ytterbium.
19. Wat zeggen de twee bronnen over de diepten waarop A en B begonnen te smelten? Kan lava A uit de granaatlherzoliet komen?
20. Bereken de helling en het snijpunt van de batchsmeltlijn La/Yb $= a\, \mathrm{La} + b$ van de granaatbron, met $D_{\mathrm{La}}$ gelijk aan nul, en toets lava B daaraan.
21. Als lava A $10\,\%$ van zijn massa als olivijn had verloren vóór de uitbarsting, hoe zouden zijn La/Yb en zijn smeltfractie veranderen?
22. Beantwoord de vraag uit de openingsparagraaf van het hoofdstuk voor deze twee lava’s.
23. Geef de smeltgraad van lava A.

**Oplossing van Probleem 12.1.**

**1.** $D_{\mathrm{La}} = 0.12\times0.058 + 0.88\times0.001 = 0.00784$; $D_{\mathrm{Yb}} = 0.12\times0.58 + 0.88\times0.16 = 0.210$.

**2.** $D_{\mathrm{La}} = 0.195\times0.058 + 0.167\times0.001 +
0.639\times0.001 = 0.0121$; $D_{\mathrm{Yb}} = 0.195\times0.58 +
0.167\times4.5 + 0.639\times0.16 = 0.967$. Afgerond: 0.0078, 0.21, 0.012, 0.97.

**3.** $D_{\mathrm{Yb}}$, van 0.21 naar 0.97, omdat granaat de zware zeldzame aarden vasthoudt ($D = 4.5$). Ytterbium is nog heel licht incompatibel, $0.97 < 1$.

**4.** $(0.648/0.232)/(0.441/0.163) = 2.79/2.71 = 1.03$: een vlak patroon van ongeveer 2.8 keer chondriet.

**5.** $0.648/(0.0078 + 0.01\times0.9922) = 36.6\,\mathrm{ppm}$; bij $5\,\%$, $11.3\,\mathrm{ppm}$; bij $10\,\%$, $6.05\,\mathrm{ppm}$.

**6.** $F = (0.648/9.6 - 0.0078)/0.9922 = (0.0675 - 0.0078)/0.9922 =
0.0602$, $6.0\,\%$.

**7.** $\mathrm{Yb} = 0.441/(0.21 + 0.0602\times0.79) = 1.71\,\mathrm{ppm}$ en La/Yb $= 5.6$; lava A heeft 1.7 en 5.6: dit past bij een spinelbron.

**8.** La $= 0.0078\times9.6 = 0.075\,\mathrm{ppm}$, Yb $= 0.21\times1.71 =
0.36\,\mathrm{ppm}$. Overgebleven lanthaan: $0.940\times0.075/0.648 = 0.11$, ongeveer $11\,\%$.

**9.** $F = 0.648/9.6 = 6.75\,\%$.

**10.** $(0.648/0.0078)(1 - F)^{127.2}$: $73\,\mathrm{ppm}$ bij $0.1\,\%$, $23\,\mathrm{ppm}$ bij $1\,\%$, $0.03\,\mathrm{ppm}$ bij $6\,\%$.

**11.** $0.648\times(1 - 0.940^{128.2})/0.060 = 10.8\,\mathrm{ppm}$.

**12.** $F = 6.75\,\%$: bij deze $F$ is $(1 - F)^{1/D} =
1.3 \times 10^{-4}$, dus bevat de gepoolde smelt al het lanthaan van de bron, en geldt $\bar C_L = C_0/F$, zoals voor een volledig incompatibel element.

**13.** $0.648\times0.9325^{127.2} = 9 \times 10^{-5}\,\mathrm{ppm}$, ongeveer 800 keer minder dan de $0.075\,\mathrm{ppm}$ van [batchsmelten](#thm-b3-trace-element-modelling-batch).

**14.** De twee modellen geven de grenzen van het antwoord: $6.0\,\%$ (batch) tot $6.75\,\%$ (gepoolde fractionele). Lanthaan legt $F$ vast binnen ongeveer $1\,\%$ smelten, wat het model ook is.

**15.** A: La/Yb $= 5.6$, $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N =
(9.6/0.232)/(1.7/0.163) = 4.0$. B: La/Yb $= 34.7$, $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N
= (15.6/0.232)/(0.45/0.163) = 24.4$.

**16.** Voor $F \to 0$: $(0.648/0.0078)/(0.441/0.21) = 83.1/2.10 = 39.6$.

**17.** $F = 0.11\,\%$, waarbij de smelt $72\,\mathrm{ppm}$ La en $2.1\,\mathrm{ppm}$ Yb zou bevatten. Lava B heeft $15.6\,\mathrm{ppm}$ La: een spinelbron kan dat niet maken.

**18.** $F = (0.648/15.6 - 0.012)/0.988 = 0.0299$, $3.0\,\%$; $\mathrm{Yb} = 0.441/(0.97 + 0.0299\times0.03) = 0.454\,\mathrm{ppm}$, zoals waargenomen.

**19.** Granaat vervangt spinel bij ongeveer 60 tot $90\,\mathrm{km}$: B begon dieper dan dat te smelten, A ondieper, in het spinelveld. Een granaat-lherzolietsmelt met $9.6\,\mathrm{ppm}$ La ($F \approx 5.6\,\%$) zou een La/Yb nabij 21 hebben, niet 5.6: A kwam dus niet uit de granaat-lherzoliet.

**20.** $a = 0.97/0.441 = 2.20\,\mathrm{ppm}^{-1}$, $b = 0.648\times0.03/0.441
= 0.044$; bij La $= 15.6$ geldt La/Yb $= 2.20\times15.6 + 0.044 = 34.4$, tegen 34.7 voor lava B.

**21.** Olivijn verwerpt beide elementen: La/Yb blijft ongewijzigd. De primaire smelt bevatte $9.6\times0.9 = 8.64\,\mathrm{ppm}$ La, dus $F = (0.648/8.64 -
0.0078)/0.9922 = 6.8\,\%$ in plaats van 6.0.

**22.** Eén bron kan beide lava’s maken: B is een kleine smelt ($3\,\%$) die begon in het granaatveld, dieper dan ongeveer 60 tot $90\,\mathrm{km}$; A is een grotere smelt in het spinelveld.

**23.** Lava A is een **$6.0\,\%$** batchsmelt van een spinel-lherzoliet ($6.75\,\%$ als de smelt fractioneel was onttrokken en gepoold).