---
title: "Exploratieseismologie"
book: "Universitaire aard- en ruimtewetenschappen — jaar 3"
subject: earth
language: nl
chapter: 2
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/5/nl/chapter/2-exploratieseismologie
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
---

# Hoofdstuk 2 — Exploratieseismologie

Een opnameschip vaart langzaam langs een rechte lijn op zee en sleept een reeks luchtkanonnen op enkele meters onder het oppervlak en, daarachter, kabels van meerdere kilometers lang, bezaaid met hydrofoons. In één onderzoek dat aan de toezichthouder is beschreven, bevatte de reeks $5240$ kubieke inch perslucht, afgevuurd elke $8\,\mathrm{s}$ vanaf $12\,\mathrm{m}$ onder het oppervlak, en de smalazimut-streamers achter dergelijke schepen registreren offsets van 8 tot $10\,\mathrm{km}$.

Elk schot stuurt een geluidspuls de zeebodem in, en elk gesteentegrensvlak eronder geeft een zwakke echo terug. Weken later, na de verwerking, bladert een geoloog door een doorsnede waarin begraven rivierlopen, gekantelde breukblokken en de onlappende opvulling van een oud bekken verschijnen alsof de grond open is gesneden. De seismologie op aardschaal uit het vorige hoofdstuk gebruikte de golven van aardbevingen; de exploratieseismologie maakt er zelf, met bronnen waarvan tijd en plaats exact bekend zijn, en registreert ze op duizenden kanalen. Dit hoofdstuk volgt de echo’s van het schot tot de doorsnede: refractieonderzoeken, de reflectie van een [seismische wavelet](#def-b3-exploration-seismology-wavelet) door een gelaagde kolom, de methode met [gemeenschappelijk middelpunt](#def-b3-exploration-seismology-cmp) die herhaalde echo’s omzet in snelheden en een helder beeld, migratie, die de reflectoren weer op hun plaats zet, en het lezen van de doorsnede als stratigrafie.

**Wat je al weet.**

Op een grens tussen twee media met akoestische impedanties $Z_1 = \rho_1v_1$ en $Z_2 = \rho_2v_2$ wordt een vlakke golf bij loodrechte inval gereflecteerd met de amplitudecoëfficiënt $R = (Z_2 - Z_1)/(Z_2 + Z_1)$ (de natuurkundeboeken, Boek 4, over golven op grensvlakken). De kopgolf, de intercepttijd en de kruisingsafstand van een refractieprofiel over vlakke lagen zijn behandeld in Boek 3, in het hoofdstuk over de gelaagde Aarde; boorstaten in Boek 2 (leerjaar 11). De convolutie $(f*g)(t) = \int f(\tau)g(t - \tau)\,\mathrm d\tau$ en de Fouriertransformatie komen uit de wiskundeboeken. De [straalparameter](https://one-course.com/books/earth/5/nl/chapter/1-seismologie-en-aardbeeldvorming#def-b3-seismology-imaging-ray-parameter) en het lineair [invers probleem](https://one-course.com/books/earth/5/nl/chapter/1-seismologie-en-aardbeeldvorming#def-b3-seismology-imaging-inverse) zijn die van [Hoofdstuk 1](https://one-course.com/books/earth/5/nl/chapter/1-seismologie-en-aardbeeldvorming#ch-b3-seismology-imaging).

## 2.1 Refractieonderzoeken

**Definitie 2.1 (Seismische refractie- en reflectieonderzoeken).**

Een *seismisch refractieonderzoek* registreert, langs een lijn van ontvangers, de eerste aankomsten van een gecontroleerde bron, en gebruikt de kopgolven die langs de bovenkant van snellere lagen lopen om hun snelheden en diepten te bepalen. Een *seismisch reflectieonderzoek* registreert de volledige golftrein, bij offsets die meestal kleiner zijn dan de diepten van belang, en gebruikt de golven die bij bijna loodrechte inval door de grensvlakken worden gereflecteerd om de lagenbouw in beeld te brengen.

Boven vlakke lagen komt een kopgolf aan op $t = x/v_2 + t_i$, een rechte lijn waarvan de helling de snelheid $v_2$ van de refractor geeft en waarvan het snijpunt $t_i$ geeft de diepte ervan. Een hellende refractor kantelt de lijn: de kopgolf van een schot naar beneden langs de helling komt steeds later aan, naarmate de refractor dieper ligt, en lijkt traag; tegen de helling in geschoten lijkt hij snel. Door in beide richtingen langs dezelfde lijn te schieten, een omgekeerd profiel, scheidt de snelheid van de helling.

**Stelling 2.2 (Refractie op een hellend grensvlak).**

Een laag met snelheid $v_1$ ligt op een vlakke refractor met snelheid $v_2 > v_1$ die onder de hoek $\theta$ langs het profiel helt; $i_c = \arcsin(v_1/v_2)$, en $h$ is de loodrechte diepte van de refractor onder het schot. Voorbij de kritieke afstand komt de kopgolf aan bij

$$
\begin{align*}
  t &= \frac{x\sin(i_c + \theta)}{v_1} + \frac{2h\cos i_c}{v_1}
  &&\text{schietend in de hellingrichting},\\
  t &= \frac{x\sin(i_c - \theta)}{v_1} + \frac{2h\cos i_c}{v_1}
  &&\text{schietend tegen de helling in}.
\end{align*}
$$

De schijnbare snelheden $v_d = v_1/\sin(i_c + \theta)$ en $v_u = v_1/\sin(i_c - \theta)$ van een omgekeerd profiel geven

$$
i_c = \tfrac12\left[\arcsin\frac{v_1}{v_d} + \arcsin\frac{v_1}{v_u}\right],\qquad
  \theta = \tfrac12\left[\arcsin\frac{v_1}{v_d} - \arcsin\frac{v_1}{v_u}\right],
  \qquad v_2 = \frac{v_1}{\sin i_c} .
$$

**Bewijs.** Draai het assenstelsel zodat de refractor horizontaal ligt; het oppervlak helt dan onder $\theta$. Bij schieten in de hellingrichting is de loodrechte diepte onder een ontvanger op afstand $x$ gelijk aan $h + x\sin\theta$; de projectie daarvan op de refractor is $x\cos\theta$. Het pad van de kopgolf gaat onder de kritieke hoek $i_c$ naar de normaal, langs de refractor met $v_2$, en weer omhoog onder $i_c$. Haar tijd is

$$
t = \frac{h}{v_1\cos i_c} + \frac{x\cos\theta - h\tan i_c - (h + x\sin\theta)\tan i_c}{v_2}
  + \frac{h + x\sin\theta}{v_1\cos i_c}.
$$

Met $1/v_2 = \sin i_c/v_1$ en $1/\cos i_c - \sin i_c\tan i_c = \cos i_c$, de termen in $h$ geven $2h\cos i_c/v_1$ en die in $x$ geven $x(\sin i_c\cos\theta + \cos i_c\sin\theta)/v_1 = x\sin(i_c + \theta)/v_1$. Tegen de helling in verandert $\theta$ van teken. De laatste formules inverteren de twee schijnbare snelheden. ∎

De twee takken van een omgekeerd profiel moeten dezelfde tijd tussen de twee schotpunten geven, ongeacht welk uiteinde vuurde: de *reciproke tijd*, een controle op het picken. Twee situaties maken de methode onbruikbaar. Een laag die trager is dan de laag erboven (een snelheidsinversie) levert geen kopgolf op en is onzichtbaar: haar gesteenten worden meegeteld in de laag erboven, en elke diepte eronder wordt overschat. Een laag die sneller is dan de laag erboven maar te dun is, kan misschien nooit een eerste aankomst opleveren, omdat de kopgolf van de diepere, snellere laag haar inhaalt: een verborgen laag. Een reflectieonderzoek ziet beide.

![Een omgekeerd refractieprofiel op de westelijke flank van de Varden-antiklinaal (berekend; probleem, deel I). Het refractorvlak, de top van de kalksteen, stijgt van W naar O onder een hoek van 10.8 onder een spreiding van 1200\, m; de krijt- en schalielagen daarboven zijn samengevoegd tot één laag van 2.40\, km\, s-1. De kopgolf die van W uit omhoog in de helling schiet lijkt snel (6.57\, km\, s-1), die van O uit omlaag in de helling langzaam (3.52\, km\, s-1); beide hebben 486.1\, ms nodig om de hele spreiding te doorlopen. De kopgolven halen de directe golven pas dicht bij het verste uiteinde in: het refractorvlak ligt diep voor zo’n korte spreiding.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-exploration-seismology/fig-523eb68b1dee.svg)

*Een omgekeerd refractieprofiel op de westelijke flank van de Varden-antiklinaal (berekend; probleem, deel I). Het refractorvlak, de top van de kalksteen, stijgt van W naar O onder een hoek van $10.8{}^{\circ}$ onder een spreiding van $1200\,\mathrm{m}$; de krijt- en schalielagen daarboven zijn samengevoegd tot één laag van $2.40\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. De kopgolf die van W uit omhoog in de helling schiet lijkt snel ($6.57\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$), die van O uit omlaag in de helling langzaam ($3.52\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$); beide hebben $486.1\,\mathrm{ms}$ nodig om de hele spreiding te doorlopen. De kopgolven halen de directe golven pas dicht bij het verste uiteinde in: het refractorvlak ligt diep voor zo’n korte spreiding.*

## 2.2 Reflectie bij normale inval

**Definitie 2.3 (Seismische wavelet, Ricker-wavelet).**

Een *seismische wavelet* is de korte puls, enkele tientallen milliseconden lang, die een bron en het registratiesysteem door de bodem sturen; elke reflector stuurt een geschaalde kopie ervan terug. De *Ricker-wavelet* met piekfrequentie $f$ is de nulfasepuls

$$
w(t) = \left(1 - 2\pi^2f^2t^2\right)e^{-\pi^2f^2t^2},
$$

de tweede afgeleide van een Gausskromme, op teken en schaal na: een centrale piek en twee zijlobben, met nulgemiddelde en een amplitudespectrum dat piekt bij $f$.

**Definitie 2.4 (Reflectiviteitsreeks).**

De *reflectiviteitsreeks* van een gelaagde kolom is de reeks normale-invalsreflectiecoëfficiënten $r_k$ van haar grensvlakken, geplaatst op hun heen-en-terugtijden $\tau_k = \sum_{i \le k} 2h_i/v_i$: $r(t) = \sum_k r_k\,\delta(t - \tau_k)$.

**Propositie 2.5 (Het convolutiemodel).**

Als alleen primaire reflecties worden meegenomen (geen meervoudige), bij normale inval, zonder transmissieverlies, demping of uitwaaiering, en als de wavelet $w$ niet verandert met de diepte, dan is het opgenomen spoor de convolutie van de wavelet met de [reflectiviteitsreeks](#def-b3-exploration-seismology-synthetic):

$$
s(t) = \sum_k r_k\,w(t - \tau_k) = (w*r)(t) .
$$

Het spoor dat op deze manier wordt berekend uit een boorstaat van snelheid en dichtheid is het *synthetische seismogram* van de staat.

**Bewijs.** Elk grensvlak stuurt een kopie van de invallende wavelet terug, geschaald met zijn coëfficiënt en vertraagd met zijn heen-en-terugtijd; de registratie is lineair, dus de kopieën tellen op. De som is de convolutie van $w$ met de reeks gewogen Diracimpulsen $r(t)$, omdat $w*\delta(\cdot - \tau_k) = w(\cdot - \tau_k)$. ∎

Het [synthetische seismogram](#prop-b3-exploration-seismology-synthetic) is de manier waarop een boorgat aan een seismische doorsnede wordt gekoppeld: een reflectie op de doorsnede wordt gelijkgesteld aan het grensvlak van de staat die haar veroorzaakt. De Varden-kolom onder de synclinaalas van het probleem (het seismische model van dit hoofdstuk, met snelheden en dichtheden gekozen binnen gepubliceerde bereiken voor elk gesteente)

geeft de onderstaande figuur. Het krijt–schalie-grensvlak reflecteert slechts $2.8\,\%$ van de amplitude, omdat krijt en schalie toevallig bijna dezelfde impedantie hebben; de top van de kalksteen reflecteert $38\,\%$, de basis van de kalksteen stuurt een omgekeerde puls terug, en het fundament een sterke positieve. positive one.

![Een synthetisch seismogram van de Varden-kolom onder de synclinaalas (berekend). Links: de impedantie van elke laag uitgezet tegen de heen-en-terugtijd. Midden: de reflectiviteitsreeks, één piek per grensvlak (de stelen wijzen naar rechts bij een toename van impedantie). Rechts: hun convolutie met een 30\, Hz Ricker-wavelet. Elke reflectie is een kopie van de wavelet; de zwakke krijt–schalie-reflectie, op 0.488\, s, is nauwelijks zichtbaar.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-exploration-seismology/fig-fd56162da45d.svg)

*Een [synthetisch seismogram](#prop-b3-exploration-seismology-synthetic) van de Varden-kolom onder de synclinaalas (berekend). Links: de impedantie van elke laag uitgezet tegen de heen-en-terugtijd. Midden: de [reflectiviteitsreeks](#def-b3-exploration-seismology-synthetic), één piek per grensvlak (de stelen wijzen naar rechts bij een toename van impedantie). Rechts: hun convolutie met een $30\,\mathrm{Hz}$ [Ricker-wavelet](#def-b3-exploration-seismology-wavelet). Elke reflectie is een kopie van de wavelet; de zwakke krijt–schalie-reflectie, op $0.488\,\mathrm{s}$, is nauwelijks zichtbaar.*

Hoe dun kan een laag zijn voordat de reflecties die nog kunnen onderscheiden? Haar top en haar basis sturen elk een wavelet terug; wanneer die overlappen, interfereren ze.

**Definitie 2.6 (Tuningdikte).**

De *tuningdikte* van een laag is de dikte waarbij de reflecties van haar top en haar basis, met tegengestelde tekens, het sterkst constructief interfereren, zodat de samengestelde amplitude het grootst is. Dunnere lagen worden niet opgelost: hun top en basis kunnen niet langer afzonderlijk worden gekozen, en de amplitude neemt af evenredig met de dikte.

**Propositie 2.7 (Kwartgolflengteregel).**

Voor een wavelet met dominante periode $T$ in een laag met snelheid $v$, met reflectiecoëfficiënten $+R$ aan de top en $-R$ aan de basis, is de samengestelde reflectie het sterkst wanneer de laagdikte $b = \lambda/4$ is, waarbij $\lambda = vT$; voor $b \ll \lambda/4$ is de amplitude evenredig met $b$.

**Bewijs.** Stel de wavelet voor door zijn dominante harmonische $\cos(2\pi t/T)$. De twee reflecties zijn $R\cos(2\pi t/T) - R\cos(2\pi(t - \Delta t)/T)$ met $\Delta t = 2b/v$, waarvan de amplitude $2R|\sin(\pi\Delta t/T)|$ is: het grootst voor $\Delta t = T/2$, dat wil zeggen $b = vT/4$; voor kleine $\Delta t$ is die ongeveer $2\pi R\Delta t/T = 4\pi Rb/\lambda$. ∎

Een [Ricker-wavelet](#def-b3-exploration-seismology-wavelet) is geen harmonische, en zijn [tuningdikte](#def-b3-exploration-seismology-resolution), afgelezen uit het wigmodel in de onderstaande figuur, is iets kleiner dan een kwart van de golflengte bij de piekfrequentie: $19.5\,\mathrm{m}$ bij $30\,\mathrm{Hz}$ in gesteente met $3000\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, voor $\lambda/4 = 25\,\mathrm{m}$. Seismische data bevatten zelden veel energie boven enkele tientallen hertz van dieptes van kilometers, omdat de gesteenten de hoge frequenties absorberen; lagen die dunner zijn dan ongeveer $20\,\mathrm{m}$ worden als één enkele reflectie gezien.

![Het wigmodel (berekend): een laag van 3000\, m\, s-1 met reflectiecoëfficiënten +R aan de top en -R aan de basis, afgebeeld met een Ricker-wavelet van 30\, Hz. De piekamplitude van de samengestelde reflectie, ten opzichte van een enkele reflectie met coëfficiënt R, stijgt lineair vanaf nul voor zeer dunne lagen, bereikt een maximum bij de tuningdikte en stabiliseert op het niveau van twee afzonderlijke wavelets voor dikke lagen.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-exploration-seismology/fig-b66d957ba919.svg)

*Het wigmodel (berekend): een laag van $3000\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ met reflectiecoëfficiënten $+R$ aan de top en $-R$ aan de basis, afgebeeld met een [Ricker-wavelet](#def-b3-exploration-seismology-wavelet) van $30\,\mathrm{Hz}$. De piekamplitude van de samengestelde reflectie, ten opzichte van een enkele reflectie met coëfficiënt $R$, stijgt lineair vanaf nul voor zeer dunne lagen, bereikt een maximum bij de [tuningdikte](#def-b3-exploration-seismology-resolution) en stabiliseert op het niveau van twee afzonderlijke wavelets voor dikke lagen.*

Zijdelings wordt de resolutie bepaald door de breedte van de reflector die energie in fase terugstuurt.

**Definitie 2.8 (Fresnelzone).**

De (eerste) *Fresnelzone* van een reflector, voor een samenvallende bron en ontvanger op hoogte $z$ erboven, is de schijf van de reflector rond het punt van loodrechte inval waarvoor het heen-en-terugpad langer is dan het normale pad met minder dan een halve golflengte: de reflecties ervan komen in fase aan en vormen samen de geregistreerde reflectie.

**Propositie 2.9 (Straal van de Fresnelzone).**

De eerste [Fresnelzone](#def-b3-exploration-seismology-fresnel) heeft de straal $r_F = \sqrt{\lambda z/2 + \lambda^2/16} \approx \sqrt{\lambda z/2}$ voor $\lambda \ll z$.

**Bewijs.** Een punt van de reflector op afstand $r$ van het punt van loodrechte inval ligt op afstand $\sqrt{z^2 + r^2}$ van de bron. Het heen-en-terugextra pad is $2(\sqrt{z^2 + r^2} - z)$; door dit gelijk te stellen aan $\lambda/2$ volgt $\sqrt{z^2 + r^2} = z + \lambda/4$, dus $r^2 = \lambda z/2 + \lambda^2/16$. ∎

Op $1\,\mathrm{km}$ diepte, met $\lambda = 100\,\mathrm{m}$, heeft de [Fresnelzone](#def-b3-exploration-seismology-fresnel) een straal van $225\,\mathrm{m}$: details die smaller zijn, worden uitgesmeerd, tenzij migratie (hieronder) de zone samentrekt.

![De eerste Fresnelzone (schematisch): het deel van de reflector waarvan de afstand tot een samenvallende bron en ontvanger de loodrechte afstand z met minder dan /4 overschrijdt (gestreepte boog: de bol met straal z + /4), zodat het heen-en-terugextra pad minder dan een halve golflengte bedraagt en de echo’s in fase aankomen. De schaal van is overdreven.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-exploration-seismology/fig-ff4ee4a54351.svg)

*De eerste [Fresnelzone](#def-b3-exploration-seismology-fresnel) (schematisch): het deel van de reflector waarvan de afstand tot een samenvallende bron en ontvanger de loodrechte afstand $z$ met minder dan $\lambda/4$ overschrijdt (gestreepte boog: de bol met straal $z + \lambda/4$), zodat het heen-en-terugextra pad minder dan een halve golflengte bedraagt en de echo’s in fase aankomen. De schaal van $\lambda$ is overdreven.*

## 2.3 Gemeenschappelijk-middelpuntmeting en verwerking

Een enkele echo is in de ruis te zwak om te zien. Reflectieonderzoeken registreren daarom elk punt in de ondergrond vele malen, met verschillende bron-ontvangerparen, en tellen de registraties op.

**Definitie 2.10 (Gemeenschappelijk middelpunt, bedekkingsgraad).**

Voor een bron op $x_s$ en een ontvanger op $x_r$ op één lijn is het middelpunt $(x_s + x_r)/2$ en de offset $x = |x_r - x_s|$. Een *gemeenschappelijk middelpunt* (CMP) verzameling is de set sporen, van alle schoten, die hetzelfde middelpunt delen; bij vlakke lagen reflecteren ze allemaal aan hetzelfde punt in de ondergrond. De *bedekkingsgraad (van seismische dekking)* is het aantal sporen in een verzameling. Met $N$ kanalen op de ontvangerafstand $\Delta g$ en een schot elke $\Delta s$ langs de lijn is de bedekkingsgraad $N\Delta g/(2\Delta s)$.

![Geometrie van het gemeenschappelijk middelpunt (schematisch): vier bron–ontvangerparen (bolletjes, driehoeken) met verschillende offsets delen hetzelfde middelpunt; boven een vlakke reflector weerkaatsen ze allemaal op hetzelfde punt eronder. Hun sporen vormen een verzameling met bedekkingsgraad vier.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-exploration-seismology/fig-edc85cc4c751.svg)

*Geometrie van het [gemeenschappelijk middelpunt](#def-b3-exploration-seismology-cmp) (schematisch): vier bron–ontvangerparen (bolletjes, driehoeken) met verschillende offsets delen hetzelfde middelpunt; boven een vlakke reflector weerkaatsen ze allemaal op hetzelfde punt eronder. Hun sporen vormen een verzameling met bedekkingsgraad vier.*

**Stelling 2.11 (Normal moveout (NMO)).**

In een laag met snelheid $v$ boven een vlakke reflector op de verticale tweewegtijd $t_0$ bereikt de bij offset $x$ geregistreerde reflectie op

$$
t(x)^2 = t_0^2 + \frac{x^2}{v^2},
$$

een hyperbool in het $(x, t)$-vlak. De vertraging $\Delta t = t(x) - t_0$ is de *normal moveout*; voor $x \ll vt_0$, $\Delta t \approx x^2/(2v^2t_0)$.

**Bewijs.** De reflectieweg loopt van de bron naar het reflectiepunt onder het middelpunt en weer omhoog naar de ontvanger: twee takken met lengte $\sqrt{(vt_0/2)^2 + (x/2)^2}$. Dus $t = (2/v)\sqrt{(vt_0/2)^2 + (x/2)^2}$ en $t^2 = t_0^2 + x^2/v^2$. Dan $t - t_0 = (t^2 - t_0^2)/(t + t_0) \approx
x^2/(2v^2t_0)$. ∎

Bij meerdere lagen is de reflectietijd niet langer exact hyperbolisch, maar bij kleine offsets is ze dat vrijwel wel, met een snelheid die een gewogen gemiddelde is van de lagen.

**Definitie 2.12 (Stapelsnelheid, RMS-snelheid en intervalsnelheden).**

De *intervalsnelheid* $v_i$ van een laag is de eigen snelheid; met $\Delta t_i = 2h_i/v_i$ de tweewegtijd erdoorheen, de *RMS-snelheid* tot aan de onderkant van laag $n$ is

$$
V_{\text{rms},n} = \left(\frac{\sum_{i\le n}v_i^2\,\Delta t_i}{\sum_{i\le n}\Delta t_i}\right)^{1/2}.
$$

De *stapelsnelheid* van een reflectie is de snelheid $V$ van de hyperbool $t^2 = t_0^2 + x^2/V^2$ die zijn tijden het best past in een CMP-verzameling.

**Propositie 2.13 (Stapelsnelheid bij kleine offsets).**

Bij vlakke lagen geldt $t(x)^2 = t_0^2 + x^2/V_{\text{rms}}^2 + O(x^4)$: bij kleine offsets is de [stapelsnelheid](#def-b3-exploration-seismology-velocities) gelijk aan de [RMS-snelheid](#def-b3-exploration-seismology-velocities).

**Bewijs.** Voor de [straalparameter](https://one-course.com/books/earth/5/nl/chapter/1-seismologie-en-aardbeeldvorming#def-b3-seismology-imaging-ray-parameter) $p$ geldt $x = \sum_i 2h_i\tan\varphi_i$ en $t = \sum_i 2h_i/(v_i\cos\varphi_i)$, met $\sin\varphi_i = pv_i$. Tot de tweede orde in $p$ geldt $\tan\varphi_i \approx pv_i$ en $1/\cos\varphi_i \approx 1 +
p^2v_i^2/2$, dus $x \approx p\sum v_i^2\Delta t_i = pV_{\text{rms}}^2t_0$ en $t \approx t_0 + \tfrac12p^2V_{\text{rms}}^2t_0$. Dan $t^2 \approx t_0^2 + p^2V_{\text{rms}}^2t_0^2 = t_0^2 + x^2/V_{\text{rms}}^2$, waarbij de verwaarloosde termen van orde $p^4$ zijn, dus van orde $x^4$. ∎

**Stelling 2.14 (Dix-vergelijking).**

Als $V_{n-1}$ en $V_n$ de RMS-snelheden zijn tot de bovenkant en de onderkant van laag $n$, op de tweewegtijden $t_{n-1}$ en $t_n$, wordt de [intervalsnelheid](#def-b3-exploration-seismology-velocities) van de laag gegeven door de *Dix-vergelijking*

$$
v_n^2 = \frac{V_n^2t_n - V_{n-1}^2t_{n-1}}{t_n - t_{n-1}} ,
$$

en de dikte is $h_n = v_n(t_n - t_{n-1})/2$.

**Bewijs.** Per definitie is $V_n^2t_n = \sum_{i\le n}v_i^2\Delta t_i$ en $V_{n-1}^2t_{n-1}
= \sum_{i\le n-1}v_i^2\Delta t_i$. Hun verschil is $v_n^2\Delta t_n$, met $\Delta t_n = t_n - t_{n-1}$. ∎

Snelheidsanalyse doorzoekt elke verzameling naar de hyperbool die het best past bij de energie: voor elke proefwaarde van $t_0$ en $V$ worden de sporen langs de kromme opgeteld, en wordt een coherentiemaat (de semblance) in kaart gebracht; de analist kiest de maxima, reflector voor reflector, om een snelheidsfunctie op te bouwen. De NMO-correctie verschuift vervolgens elk monster van elk spoor van $t(x)$ naar $t_0$, waarmee de reflecties vlak worden getrokken, en de sporen van elke verzameling worden opgeteld.

**Definitie 2.15 (Stapeling (seismisch)).**

*Stapeling (seismisch)* is de optelling, na de NMO-correctie, van de sporen van een CMP-verzameling tot één spoor geplaatst op het middelpunt. De gestapelde sporen, naast elkaar langs de lijn, vormen de gestapelde sectie, een beeld van de reflectoren in tweewegtijd.

**Propositie 2.16 (Winst van een stapeling).**

Als de $N$ sporen van een verzameling hetzelfde reflectiesignaal dragen en onafhankelijke ruis met gelijke standaarddeviatie $\sigma$ hebben, dan draagt hun gemiddelde hetzelfde signaal en ruis met standaarddeviatie $\sigma/\sqrt N$: stapeling verhoogt de signaal-ruisverhouding met een factor $\sqrt N$.

**Bewijs.** De variantie van een som van $N$ onafhankelijke variabelen is de som van hun varianties, $N\sigma^2$; gedeeld door $N^2$ heeft het gemiddelde de variantie $\sigma^2/N$ (de standaarddeviatie van het gemiddelde, bekend uit de wiskundeboeken). ∎

![Een synthetische CMP-verzameling onder de synclinaleas van de Varden-lijn (berekend met exacte straalvolging door de vlakgelaagde kolom; Ricker-wavelet van 30 Hz; zonder ruis). (a) De vier reflecties (bovenkant van de schalie, bovenkant en onderkant van de kalksteen, bovenkant van het basement) buigen met de offset omlaag langs bijna-hyperbolen. (b) Na de NMO-correctie met de stapelsnelheden gepast op de offsets tot 600\, m, liggen de reflecties tot ongeveer 1\, km vlak; daarachter wijken de werkelijke tijden af van de hyperbool en laat de correctie ze gebogen, en zijn de wavelets uitgerekt; bij de verwerking worden de uitgerekte verre sporen van de ondiepe reflecties vóór de stapeling gedempt.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-exploration-seismology/fig-236ce5511de5.svg)

*Een synthetische CMP-verzameling onder de synclinaleas van de Varden-lijn (berekend met exacte straalvolging door de vlakgelaagde kolom; [Ricker-wavelet](#def-b3-exploration-seismology-wavelet) van 30 Hz; zonder ruis). (a) De vier reflecties (bovenkant van de schalie, bovenkant en onderkant van de kalksteen, bovenkant van het basement) buigen met de offset omlaag langs bijna-hyperbolen. (b) Na de NMO-correctie met de stapelsnelheden gepast op de offsets tot $600\,\mathrm{m}$, liggen de reflecties tot ongeveer $1\,\mathrm{km}$ vlak; daarachter wijken de werkelijke tijden af van de hyperbool en laat de correctie ze gebogen, en zijn de wavelets uitgerekt; bij de verwerking worden de uitgerekte verre sporen van de ondiepe reflecties vóór de stapeling gedempt.*

![Snelheden onder de synclinaleas (berekend). De RMS-snelheid, een gewogen gemiddelde, verandert langzaam; de stapelsnelheden van de verzameling liggen er dicht bij. Toegepast op deze snelheden herstelt de Dix-vergelijking de intervalsnelheid van elke laag (de trapvormige lijn, getekend aan de onderkant van elke laag) tot binnen enkele procenten, waarbij de fout groeit in de dunne, snelle kalksteen.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-exploration-seismology/fig-f0700d039268.svg)

*Snelheden onder de synclinaleas (berekend). De [RMS-snelheid](#def-b3-exploration-seismology-velocities), een gewogen gemiddelde, verandert langzaam; de stapelsnelheden van de verzameling liggen er dicht bij. Toegepast op deze snelheden herstelt de [Dix-vergelijking](#thm-b3-exploration-seismology-dix) de [intervalsnelheid](#def-b3-exploration-seismology-velocities) van elke laag (de trapvormige lijn, getekend aan de onderkant van elke laag) tot binnen enkele procenten, waarbij de fout groeit in de dunne, snelle kalksteen.*

![Trillingswagens op een landmeetlijn: in plaats van een explosie drukt elke wagen een zware plaat op de grond en laat die gedurende enkele seconden trillen met een sweep van frequenties; de lange registraties worden samengedrukt tot korte pulsen door ze te correleren met de sweep (Door AI gegenereerde illustratie.)](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-exploration-seismology/img-f70c1367df90.jpg)

*Trillingswagens op een landmeetlijn: in plaats van een explosie drukt elke wagen een zware plaat op de grond en laat die gedurende enkele seconden trillen met een sweep van frequenties; de lange registraties worden samengedrukt tot korte pulsen door ze te correleren met de sweep (Door AI gegenereerde illustratie.)*

## 2.4 Migratie

Een gestapelde sectie toont elke reflectie onder het middelpunt waar ze werd geregistreerd, op het tijdstip dat de echo nodig had om terug te keren. Voor een vlakke reflector klopt dat. Voor een hellende reflector niet: de echo die op een oppervlaktepunt wordt geregistreerd, komt van het punt van de reflector dat er het dichtst bij ligt; dat ligt bergopwaarts, niet recht eronder. Punten zoals breukuiteinden, die energie naar alle richtingen verstrooien, verschijnen als hyperbolen.

**Definitie 2.17 (Seismische migratie).**

*Seismische migratie* is de verwerkingsstap die de reflecties van een seismische sectie verplaatst naar de posities van de reflectoren die ze hebben veroorzaakt: zij herstelt de werkelijke hellingen en posities van hellende reflectoren en herleidt de diffractiehyperbolen van puntverstrooiers tot hun toppen. Uitgevoerd met een snelheidsmodel in tijd levert zij een tijdgemigreerde sectie op; met een model in diepte een dieptebeeld.

**Stelling 2.18 (Helling op een sectie bij nuloffset).**

In een medium met snelheid $v$ verschijnt een vlakke reflector met helling $\theta$ in het vlak van de sectie op de sectie bij nuloffset, uitgezet als de diepte $vt/2$ recht onder elk registratiepunt, als een lijn met schijnbare helling $\theta_a$ met

$$
\tan\theta_a = \sin\theta .
$$

De reflectie die in het punt $x$ wordt geregistreerd, komt van het reflectorpunt op een afstand $(vt/2)\sin\theta$ bergopwaarts van het punt recht onder $x$.

**Bewijs.** De straal bij nuloffset staat loodrecht op de reflector, zodat de in $x$ geregistreerde tijd is $t = 2d(x)/v$, waarbij $d(x)$ de afstand van $x$ tot het vlak is. Die afstand neemt toe met $\sin\theta$ per eenheid van $x$ in de richting van de helling, zodat de uitgezette diepte $vt/2 = d(x)$ heeft de helling $\sin\theta$. De voet van de loodlijn vanuit $x$ op het vlak ligt op de horizontale afstand $d\sin\theta$ van $x$, aan de bergopwaartse kant. ∎

Omdat $\tan\theta_a = \sin\theta < \tan\theta$, toont een ongemigreerde sectie altijd hellingen die vlakker zijn dan de werkelijke, en kan zij helemaal geen hellingen steiler dan $45{}^{\circ}$ tonen. Een puntverstrooier op diepte $z$ onder het punt $x_0$ geeft bij $x$ de nultijd $t(x) = (2/v)\sqrt{z^2 + (x - x_0)^2}$: een hyperbool met haar top boven het punt, de diffractie. Migratie in de eenvoudigste vorm, de diffractiestapeling, somt elke sectie langs de diffractiehyperbool van elke mogelijke verstrooier op en plaatst de som in de top: reflectoren, die continue lijnen van verstrooiers zijn, komen op hun werkelijke plaats tevoorschijn, en de diffracties worden samengetrokken.

![Migratie van een hellende reflector (schematisch, ware helling 35). De zero-offsetstraal bij elk registratiepunt staat loodrecht op de reflector, dus de echo komt van bergopwaarts; loodrecht onder het punt uitgezet, op de diepte vt/2, lijkt de reflectie flauwer (gestreept: _a =, hier 29.8), en is bergafwaarts verschoven. Migratie (rode pijl) brengt haar terug.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-exploration-seismology/fig-efc9c0dc171c.svg)

*Migratie van een hellende reflector (schematisch, ware helling $35{}^{\circ}$). De zero-offsetstraal bij elk registratiepunt staat loodrecht op de reflector, dus de echo komt van bergopwaarts; loodrecht onder het punt uitgezet, op de diepte $vt/2$, lijkt de reflectie flauwer (gestreept: $\tan\theta_a =
\sin\theta$, hier $29.8{}^{\circ}$), en is bergafwaarts verschoven. Migratie (rode pijl) brengt haar terug.*

## 2.5 Seismische stratigrafie

Een gemigreerde sectie is een beeld van de gelaagdheid, en ze kan worden gelezen als stratigrafie: de reflecties volgen de lagvlakken, die tijdlijnen zijn, dus hun geometrie legt vast hoe het bekken is gevuld.

**Definitie 2.19 (Seismische stratigrafie, seismische facies).**

*Seismische stratigrafie* is de interpretatie van de stratigrafie en de afzettingsgeschiedenis van een bekken aan de hand van de geometrie van zijn seismische reflecties. Een *seismische facies* is een driedimensionale eenheid van reflecties waarvan het karakter (continuïteit, amplitude, frequentie, interne geometrie: parallel, divergent, sigmoïdaal, chaotisch, bolvormig) wijkt af van dat van de buureenheden en wordt geïnterpreteerd als een afzettingsmilieu.

**Definitie 2.20 (Reflectiebeëindigingen).**

Een *reflectiebeëindiging* is het einde van een reflectie tegen een andere. *Onlap*: een aanvankelijk horizontale reflectie eindigt tegen een oppervlak dat steiler stijgt, de jongere lagen liggen aan tegen een oudere helling. *Downlap*: een hellende reflectie eindigt bergafwaarts tegen een flauwer oppervlak, omdat de voeten van prograderende lagen op de bodem van een bekken rusten. *Toplap*: hellende reflecties eindigen bergopwaarts tegen een bovenliggend oppervlak, met weinig erosie, omdat de toppen van prograderende lagen het niveau van de zee raken. *Erosieve afknotting*: reflecties eindigen bergopwaarts tegen een bovenliggend oppervlak dat ze afsnijdt, een discordantie.

![Reflectiebeëindigingen (schematische secties, grijze reflecties, beëindigende vlakken in kleur). (a) Gekantelde reflecties die door een discordantie zijn afgesneden. (b) Vlakke reflecties die eindigen tegen een oudere helling. (c) Hellende lagen van een prograderende wig die bergopwaarts eindigen tegen het oppervlak erboven (toplap) en bergafwaarts op de bekkenbodem (downlap).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-exploration-seismology/fig-ee6cd421e53d.svg)

*[Reflectiebeëindigingen](#def-b3-exploration-seismology-terminations) (schematische secties, grijze reflecties, beëindigende vlakken in kleur). (a) Gekantelde reflecties die door een discordantie zijn afgesneden. (b) Vlakke reflecties die eindigen tegen een oudere helling. (c) Hellende lagen van een prograderende wig die bergopwaarts eindigen tegen het oppervlak erboven ([toplap](#def-b3-exploration-seismology-terminations)) en bergafwaarts op de bekkenbodem ([downlap](#def-b3-exploration-seismology-terminations)).*

De beëindigingen markeren de vlakken die reeksen genetisch verwante lagen begrenzen. Ze over een bekken in kaart brengen en ze relateren aan het stijgen en dalen van het relatieve zeeniveau, is sequentiestratigrafie, het onderwerp van [Hoofdstuk 16](https://one-course.com/books/earth/5/nl/chapter/16-sequentiestratigrafie#ch-b3-sequence-stratigraphy). Een seismische sectie van een passieve rand toont meestal wiggen van naar zee prograderende reflecties die downlappen op de diepe bodem, afgesloten door [toplap](#def-b3-exploration-seismology-terminations), en landwaarts begraven onder onlapende lagen die werden afgezet toen de zee weer steeg.

**In het veld — Een mariene streamersurvey en een landploeg.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-exploration-seismology/img-b9f64d7030a5.jpg)

*Een seismisch onderzoeksschip dat zijn streamers bij schemering achter zich aan sleept (Door AI gegenereerde illustratie.)*

Bij een mariene survey stopt het schip nooit: het vaart lijn na lijn met enkele knopen, de luchtkanonarrays vuren op vaste intervallen, en de streamers worden op een constante diepte gehouden door kleine stuurbare vleugels en gelokaliseerd met akoestische en satellietpositionering. Waarnemers op de brug houden de zee rond de array in de gaten, en de survey werkt onder regels die de maatregelen vastleggen om zeezoogdieren te beschermen, de wacht die wordt gehouden en wat er wordt gerapporteerd.

Op land legt de ploeg kabels of draadloze registratie-eenheden langs de lijnen aan; vibratorwagens rijden in konvooi van het ene bronpunt naar het volgende, en een registratiewagen controleert elk kanaal voor elke veegbeweging. Terug in het verwerkingscentrum worden de registraties gesorteerd in verzamelingen met een [gemeenschappelijk middelpunt](#def-b3-exploration-seismology-cmp), de snelheden gekozen, de data gestapeld en gemigreerd, en de sectie aan de interpreteurs overgedragen.

## 2.6 Oefeningen

**Oefening 2.1 ★.**

Krijt ($v = 2500\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\rho = 2.00\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$) ligt op schalie ($2300\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, $2.30\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$), dat op kalksteen ligt ($4500\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, $2.60\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$). Bereken de drie impedanties en de reflectiecoëfficiënten van de twee grensvlakken. Welk deel van de invallende energie reflecteert de bovenkant van de kalksteen?

**Oplossing van Oefening 2.1.**

$Z = \rho v$: krijt $2000\times2500 = 5.00 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$, schalie $2300\times2300 = 5.29 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$, kalksteen $2600\times4500 =
11.70 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$. Krijt–schalie: $R = (5.29 - 5.00)/(5.29 + 5.00)
= 0.29/10.29 = 0.0282$; schalie–kalksteen: $R = (11.70 - 5.29)/(11.70 + 5.29) =
6.41/16.99 = 0.377$. De gereflecteerde energie is $R^2 = 0.142$: de top van de kalksteen kaatst $14.2\,\%$ van de invallende energie terug, het krijt–schalie grensvlak minder dan $0.1\,\%$.

**Oefening 2.2 ★.**

Een vlakke reflector ligt $800\,\mathrm{m}$ onder een laag met $2000\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Bereken $t_0$, de reflectietijd bij een offset van $1000\,\mathrm{m}$, en de [normal moveout](#thm-b3-exploration-seismology-nmo) daar. Vergelijk met de benadering $x^2/(2v^2t_0)$.

**Oplossing van Oefening 2.2.**

$t_0 = 2\times800/2000 = 0.800\,\mathrm{s}$; $t = \sqrt{0.800^2 + (1000/2000)^2} =
\sqrt{0.89} = 0.9434\,\mathrm{s}$; de [normal moveout](#thm-b3-exploration-seismology-nmo) is $0.1434\,\mathrm{s}$. De benadering geeft $1000^2/(2\times2000^2\times0.800) = 0.1563\,\mathrm{s}$, te groot met $9\,\%$: bij een offset groter dan de diepte geldt $x \ll vt_0$ niet meer.

**Oefening 2.3 ★.**

Een streamer heeft 240 kanalen op $12.5\,\mathrm{m}$ van elkaar, en het schip schiet elke $25\,\mathrm{m}$. Bereken het CMP-interval en de bedekkingsgraad. Welk schotinterval zou een bedekkingsgraad van 120 geven?

**Oplossing van Oefening 2.3.**

De gemeenschappelijke middelpunten verschuiven over de helft van het ontvangerinterval: het CMP-interval is $12.5/2 = 6.25\,\mathrm{m}$. De bedekkingsgraad is $240\times12.5/(2\times25) = 60$. Een bedekkingsgraad van 120 vereist een schot om de $240\times12.5/(2\times120) = 12.5\,\mathrm{m}$.

**Oefening 2.4 ★.**

Bereken bij een dominante frequentie van $30\,\mathrm{Hz}$ de golflengte en de kwartgolflengte in zandsteen van $3000\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ en in kalksteen van $4500\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Bereken de straal van de eerste [Fresnelzone](#def-b3-exploration-seismology-fresnel) van een reflector op $1000\,\mathrm{m}$ diepte onder gesteenten met een gemiddelde snelheid van $2800\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**Oplossing van Oefening 2.4.**

$\lambda = v/f$: $100\,\mathrm{m}$ in het zandsteen, $\lambda/4 = 25\,\mathrm{m}$; $150\,\mathrm{m}$ in de kalksteen, $\lambda/4 = 37.5\,\mathrm{m}$. Met $\lambda = 2800/30 = 93.3\,\mathrm{m}$ en $z = 1000\,\mathrm{m}$, $r_F \approx \sqrt{\lambda z/2} = \sqrt{46\,667} = 216\,\mathrm{m}$ ($217\,\mathrm{m}$ met de term $\lambda^2/16$).

**Oefening 2.5 ★★.**

Twee reflecties hebben $t_0 = 0.500\,\mathrm{s}$ met een [RMS-snelheid](#def-b3-exploration-seismology-velocities) van $2400\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, en $t_0 = 0.700\,\mathrm{s}$ met $2800\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Bereken de [intervalsnelheid](#def-b3-exploration-seismology-velocities) en de dikte van de laag ertussen.

**Oplossing van Oefening 2.5.**

[Dix-vergelijking](#thm-b3-exploration-seismology-dix): $v^2 = (2800^2\times0.700 - 2400^2\times0.500)/0.200 = (5\,488\,000 -
2\,880\,000)/0.200 = 1.304 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}$, dus $v = 3611\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. De laag wordt in $0.100\,\mathrm{s}$ in één richting doorlopen: $h = 3611\times0.100 =
361\,\mathrm{m}$.

**Oefening 2.6 ★★.**

Een vlakke reflector heeft een helling van $\varphi$ in het vlak van een CMP-lijn, in een laag met snelheid $v$. (a) Toon aan dat $t(x)^2 = t_0^2 + x^2\cos^2\varphi/v^2$, waarbij $t_0$ de nul-offsettijd in het middelpunt is. (Hint: gebruik het spiegelbeeld van het middelpunt in de reflector.) (b) Leid de [stapelsnelheid](#def-b3-exploration-seismology-velocities) af en bereken die voor $v = 2000\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ en $\varphi = 12{}^{\circ}$.

**Oplossing van Oefening 2.6.**

(a) Laat $d$ de afstand zijn van het middelpunt M tot de reflector, zodat $t_0 = 2d/v$. De gereflecteerde straal van de bron S naar de ontvanger G is even lang als de rechte lijn van het beeld S$'$ van S in de reflector naar G. Plaats M in de oorsprong, de lijn langs de helling; S$'$ ligt op de afstand $2d_S$ van S langs de normaal, met $d_S = d - (x/2)\sin\varphi$. Het kwadraat van S$'$G is $x^2 + 4d_S^2 + 4d_Sx\sin\varphi = x^2 + 4d^2 - x^2\sin^2\varphi$, waarbij alle termen in $dx$ wegvallen, zodat $v^2t^2 = 4d^2 + x^2\cos^2\varphi$ en $t^2 = t_0^2 + x^2\cos^2\varphi/v^2$. (b) De gather volgt een hyperbool met snelheid $V = v/\cos\varphi = 2000/\cos12{}^{\circ} = 2045\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$: een helling maakt de [stapelsnelheid](#def-b3-exploration-seismology-velocities) te hoog, hier met $2.2\,\%$.

**Oefening 2.7 ★★.**

Een verzameling met bedekkingsgraad 60 heeft onafhankelijke ruis van gelijke variantie op elk spoor. Met welke factor verhoogt stapeling de signaal-ruisverhouding? Met welke factor moet de bedekkingsgraad worden verhoogd om de verhouding opnieuw te verdubbelen?

**Oplossing van Oefening 2.7.**

Met $\sqrt{60} = 7.75$. Verdubbeling van de signaal-ruisverhouding vereist vier keer zoveel sporen: een bedekkingsgraad van 240.

**Oefening 2.8 ★★.**

Op een nul-offsettijdsectie, in gesteente van $3000\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, stijgt een reflectie met $0.40\,\mathrm{s}$ dubbele looptijd per kilometer langs de lijn. Reken deze helling om naar een schijnbare helling en bereken de werkelijke helling van de reflector.

**Oplossing van Oefening 2.8.**

De uitgezette diepte $vt/2$ verandert met $1.5\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\times0.40\,\mathrm{s}
= 0.60\,\mathrm{km}$ per kilometer: $\tan\theta_a = 0.60$, $\theta_a = 31.0{}^{\circ}$. Volgens de zero-offsetstelling $\sin\theta = 0.60$: $\theta = 36.9{}^{\circ}$.

**Oefening 2.9 ★★.**

Convolueer de [reflectiviteitsreeks](#def-b3-exploration-seismology-synthetic) $r = (0, 0.3, 0, -0.2, 0)$ met de wavelet $w = (-0.5, 1, -0.5)$ van drie monsters, monster voor monster. Waar liggen de twee reflecties, en overlappen zij elkaar?

**Oplossing van Oefening 2.9.**

Elke piek plaatst een kopie van $w$ gecentreerd erop: $0.3\,w$ op de monsters 0–2 geeft $(-0.15, 0.3, -0.15)$, en $-0.2\,w$ op de monsters 2–4 geeft $(0.1, -0.2, 0.1)$. Hun som is $(0, -0.15, 0.3, -0.05, -0.2, 0.1, 0)$, geschreven van één monster vóór de reeks tot één erna. De reflecties pieken bij de monsters 1 en 3, met hun ware tekens; ze overlappen op monster 2, waar $-0.15 + 0.1 = -0.05$: een kleine interferentie, maar twee duidelijk onderscheiden pieken.

**Oefening 2.10 ★★★.**

Een omgekeerd refractieprofiel over een laag met $1800\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ geeft een schijnbare snelheid omlaag langs de helling van $2900\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ en een tegen de helling in van $4400\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Bereken de kritische hoek, de helling en de snelheid van de refractor. Vergelijk die met het harmonisch gemiddelde van de twee schijnbare snelheden.

**Oplossing van Oefening 2.10.**

$\arcsin(1800/2900) = 38.37{}^{\circ}$ en $\arcsin(1800/4400) = 24.15{}^{\circ}$, dus $i_c = (38.37 + 24.15)/2 = 31.26{}^{\circ}$ en $\theta = (38.37 - 24.15)/2 =
7.11{}^{\circ}$; $v_2 = 1800/\sin31.26{}^{\circ} = 3469\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. De harmonische gemiddelde $2\times2900\times4400/(2900 + 4400) = 3496\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ is $0.8\,\%$ hoger; vermenigvuldigd met $\cos\theta = 0.9923$ geeft het $3469\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, de gebruikelijke benadering voor kleine hellingen $v_2 \approx \cos\theta\,2v_dv_u/(v_d + v_u)$.

**Oefening 2.11 ★★★.**

In [Propositie 2.7](#prop-b3-exploration-seismology-tuning) heeft een laag reflectiecoëfficiënten $+R$ en $-R$. (a) Toon aan dat voor $\Delta t \ll T$ het samengestelde signaal ongeveer $R\,\Delta t\,w'(t)$ is, de tijdsafgeleide van de wavelet geschaald met de tweewegdikte van de laag. (b) Leg uit waarom een dunne laag toch gedetecteerd kan worden, al is ze niet opgelost, en hoe de dikte uit de amplitude geschat kan worden. (c) Twee lagen van hetzelfde gesteente, 5 en $10\,\mathrm{m}$ dik, worden afgebeeld met dezelfde wavelet: wat is de verhouding van hun amplitudes?

**Oplossing van Oefening 2.11.**

(a) Het samengestelde signaal is $R[w(t) - w(t - \Delta t)] \approx R\,\Delta t\,w'(t)$ door de eerste-orde Taylorontwikkeling. (b) De amplitude is evenredig met $\Delta t$, dus een laag die dunner is dan de [tuningdikte](#def-b3-exploration-seismology-resolution) geeft nog steeds een signaal, met de vorm van $w'$, maar haar top en basis kunnen niet als twee events worden aangewezen: ze wordt gedetecteerd, niet opgelost. Als $R$ en de [seismische wavelet](#def-b3-exploration-seismology-wavelet) bekend zijn, bijvoorbeeld uit een boorput, geeft de amplitude $\Delta t$ en dus de dikte. (c) De amplitude is evenredig met de dikte: de verhouding is $5/10 = 1/2$.

**Oefening 2.12 ★★★.**

Een puntverstrooier ligt $600\,\mathrm{m}$ onder de lijn, in gesteente van $3000\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. (a) Schrijf de nul-offsettijd van zijn diffractie uit als functie van de horizontale afstand $x$ tot het punt erboven, en bereken die bij $x = 0$ en $300\,\mathrm{m}$. (b) Toon aan dat de diffractie een hyperbool van de NMO-vorm is, met snelheid $v/2$, en leg uit waarom een diffractie altijd sterker gekromd is dan een reflectie met dezelfde toptijd. (c) Wat doet migratie ermee?

**Oplossing van Oefening 2.12.**

(a) $t(x) = (2/v)\sqrt{z^2 + x^2}$: $t(0) = 2\times600/3000 = 0.400\,\mathrm{s}$ en $t(300) = (2/3000)\sqrt{600^2 + 300^2} = 0.4472\,\mathrm{s}$. (b) $t^2 = t_0^2 +
x^2/(v/2)^2$, de NMO-vorm met snelheid $v/2$. Een reflectie met dezelfde toptijd, op een zero-offsetsectie, zou helemaal geen moveout vertonen; vergeleken met een NMO-hyperbool met dezelfde $t_0$ in een gather, is de moveout van de diffractie $x^2/(2(v/2)^2t_0)$ is vier keer zo groot, omdat de tijd tweemaal van de afstand tot de verstrooier afhangt, heen en terug. (c) Migratie telt de sectie langs deze hyperbool op en legt de energie in de top: de diffractie klapt samen tot een punt bij $x = 0$, $z = 600\,\mathrm{m}$.

## 2.7 Probleem: Een seismische lijn over de Varden Hills

**Probleem 2.1.**

Weekendprobleem — refractie, snelheidsanalyse, dieptomzetting en migratie langs doorsnede A–B van de Varden Hills

Een seismische lijn wordt geschoten langs doorsnede A–B van de Varden Hills, het gebied van de geologische kaarten uit de eerdere delen. De afstanden $s$ worden gemeten vanaf A langs de lijn. De bedekking bestaat van boven af uit krijt, schalie ($100\,\mathrm{m}$), kalksteen ($180\,\mathrm{m}$) en zandsteen ($120\,\mathrm{m}$), die discordant op een schistfundament rust; de reeks is geplooid tot een antiklinaal en een synklinaal en doorsneden door een afschuiving.

**Deel I — Een refractiespreiding op de westelijke flank.** Er is een spreiding van $1200\,\mathrm{m}$ aangelegd tussen de schotpunten W ($s = 300\,\mathrm{m}$) en O ($s = 1500\,\mathrm{m}$), op terrein dat als vlak wordt beschouwd. Het krijt en de schalie boven de kalksteen worden behandeld als één laag met $v_1 = 2.40\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. De kopgolftijden die van de registraties worden afgelezen zijn, van W naar O, $425.2\,\mathrm{ms}$ bij $800\,\mathrm{m}$ en $486.1\,\mathrm{ms}$ bij $1200\,\mathrm{m}$; van O naar W, $372.4\,\mathrm{ms}$ bij $800\,\mathrm{m}$ en $486.1\,\mathrm{ms}$ bij $1200\,\mathrm{m}$.

1. Bereken de twee schijnbare snelheden. Welk schotpunt ligt tegen de helling in?
2. Bereken de kritische hoek en de helling van de refractor.
3. Bereken de snelheid van de refractor. Welk gesteente is het?
4. Bereken de intercepttijden en de loodrechte diepten van de refractor onder W en onder O.
5. Reken ze om naar verticale diepten en controleer de helling aan de hand van de twee diepten.
6. De schalie onder het krijt is trager dan het krijt. Wat maakt het [seismisch refractieonderzoek](#def-b3-exploration-seismology-surveys) ervan, en hoe vertekent dat de diepten?

**Deel II — Snelheidsanalyse bij CMP S.** Verder naar het oosten ligt CMP S op de as van de syncline, in het neergezakte blok van de breuk, waar de lagen als horizontaal worden beschouwd. Vier reflecties worden gekozen bij nulafstand en bij $600\,\mathrm{m}$:

| reflectie | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $t_0$ ($\mathrm{s}$) | 0.4878 | 0.5748 | 0.6548 | 0.7348 |
| $t(600\,\mathrm{m})$ ($\mathrm{s}$) | 0.5437 | 0.6240 | 0.6887 | 0.7648 |

7. Bereken de NMO-snelheid $V = x/\sqrt{t^2 - t_0^2}$ van reflecties 1 en 2. Waarom is de tweede kleiner dan de eerste?
8. Bereken die voor reflecties 3 en 4.
9. Neem deze als RMS-snelheden en bereken met de [Dix-vergelijking](#thm-b3-exploration-seismology-dix) de [intervalsnelheid](#def-b3-exploration-seismology-velocities) van elke laag.
10. Identificeer de lagen aan de hand van hun snelheden en noem de vier reflecterende grensvlakken.
11. Reflectie 1 is de zwakste op de registraties. Waarom?
12. Waarom zijn de snelheden alleen gemeten op afstanden tot $600\,\mathrm{m}$ , terwijl de spreiding $2\,\mathrm{km}$ bereikt?

**Deel III — Diepteconversie en resolutie.**

13. Bereken de tweewegtijd in elke laag en de dikte ervan.
14. Bereken de diepte van elk reflecterend grensvlak onder het maaiveld. Vergelijk de diktes van de schalie, kalksteen en zandsteen met de hierboven gegeven waarden.
15. Bereken de gemiddelde snelheid van het maaiveld tot aan het fundament en verklaar waarom de NMO-snelheid van reflectie 4 de diepte zou overschatten als die in plaats daarvan zou worden gebruikt.
16. De [seismische wavelet](#def-b3-exploration-seismology-wavelet) van het onderzoek heeft zijn piek bij $30\,\mathrm{Hz}$ . Bereken de golflengte in de schalie en de [tuningdikte](#def-b3-exploration-seismology-resolution) , zowel met de kwartgolflengteregel als met $b = v/(5.2f)$ voor een [Ricker-wavelet](#def-b3-exploration-seismology-wavelet) . Is de schalie opgelost? Bij welke frequentie zou de schalie volgens de kwartgolflengteregel afgestemd zijn?
17. Bereken de straal van de eerste [Fresnelzone](#def-b3-exploration-seismology-fresnel) op het fundament, met $\lambda$ uit de NMO-snelheid van reflectie 4.

**Deel IV — Migratie en de breuk.**

18. Nabij de breuk levert de afsnijding van de kalksteen een diffractie op waarvan de top op $0.550\,\mathrm{s}$ ligt; $200\,\mathrm{m}$ van de top langs de lijn ligt hij op $0.5732\,\mathrm{s}$ . Geef de diffractietijd bij nulafstand en leid de gemiddelde snelheid boven de afsnijding af.
19. Bereken de diepte van de afsnijding onder het maaiveld.
20. Op de oostelijke flank stijgt de reflectie van de bovenkant van de kalksteen in de gestapelde sectie richting de antiklinaal met $0.167\,\mathrm{s}$ heen-en-weertijd per kilometer, onder gesteenten met een gemiddelde snelheid van $2.48\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ . Bereken de schijnbare helling en de werkelijke helling.
21. Een reflectie op die flank wordt geregistreerd bij $t = 0.655\,\mathrm{s}$ . Hoe ver en in welke richting verplaatst migratie haar?
22. Over de breuk springt de reflectie van de bovenkant van het fundament met $0.160\,\mathrm{s}$ ; het neergezakte blok draagt de extra dikte in krijt. Bereken de verticale verplaatsing.
23. Geef de diepte van de discordantie op het fundament onder CMP S, op basis van de intervalsnelheden uit deel II.

**Oplossing van Probleem 2.1.**

**1.** Vanuit W, $400/(486.1 - 425.2) = 400/0.0609 = 6568\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$; vanuit O, $400/(486.1 - 372.4) = 400/0.1137 = 3518\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. De kopgolf vanuit W lijkt snel: W is het eind van de helling naar beneden, en zijn schoten lopen de helling op; de refractor stijgt van W naar O.

**2.** $\arcsin(2400/3518) = 43.02{}^{\circ}$, $\arcsin(2400/6568) =
21.43{}^{\circ}$: $i_c = 32.22{}^{\circ}$, $\theta = 10.79{}^{\circ}$.

**3.** $v_2 = 2400/\sin32.22{}^{\circ} = 4501\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$: binnen het bereik van kalksteen, de top van de Jura-kalksteen.

**4.** De intercepts zijn $t - x/v_{\text{app}}$ op $1200\,\mathrm{m}$: $t_{i,W} = 0.4861 - 1200/6568 = 0.3034\,\mathrm{s}$ en $t_{i,E} = 0.4861 -
1200/3518 = 0.1450\,\mathrm{s}$. Met $\cos i_c = 0.8460$, $h = v_1t_i/(2\cos
i_c)$: $h_W = 2400\times0.3034/1.692 = 430.4\,\mathrm{m}$ en $h_E =
205.7\,\mathrm{m}$.

**5.** Delen door $\cos\theta = 0.9823$: $438.1\,\mathrm{m}$ onder W en $209.4\,\mathrm{m}$ onder O. Dan is $(438.1 - 209.4)/1200 = 0.1906 =
\tan10.79{}^{\circ}$, de helling uit vraag 2.

**6.** De schalie levert geen kopgolf op: ze is onzichtbaar, en het onderzoek telt haar mee bij het krijt. Hier is $v_1 = 2.40\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ gegeven als het gemiddelde van de twee; had de directe-golfsnelheid van het krijt, $2.50\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, voor de hele bedekking gebruikt, dan zouden alle dieptes te groot uitvallen.

**7.** $V = 600/\sqrt{0.5437^2 - 0.4878^2} = 600/0.2401 =
2499\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ en $V = 600/\sqrt{0.6240^2 - 0.5748^2} =
2471\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. De tweede middelt het krijt met de langzamere schalie eronder: het gemiddelde daalt.

**8.** $2811\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ en $2829\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**9.** Laag 1: $2499\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Laag 2: $v^2 = (2471^2\times0.5748
- 2499^2\times0.4878)/0.0870$, $v = 2308\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Laag 3: $v^2 = (2811^2\times0.6548 - 2471^2\times0.5748)/0.0800$, $v = 4561\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Laag 4: $v^2 = (2829^2\times0.7348 -
2811^2\times0.6548)/0.0800$, $v = 2972\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**10.** Krijt ($2499\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$), schalie ($2308\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$), kalksteen ($4561\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$), zandsteen ($2972\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$), elk binnen het gepubliceerde bereik. De reflecties komen van het grensvlak krijt–schalie, de top van de kalksteen, het grensvlak kalksteen–zandsteen en de discordantie op de top van het schistbasement.

**11.** Krijt en schalie hebben vrijwel dezelfde impedantie: $R = 0.028$ (oefening 1), tegenover 0.38 voor de top van de kalksteen.

**12.** De hyperbool met snelheid $V_{\text{rms}}$ geldt alleen tot de tweede orde in de offset; bij offsets van $2\,\mathrm{km}$, twee keer de diepte van de diepste reflector, wijken de tijden ervan af, en een hyperbool die op het hele spreidingsgebied wordt gefit, zou verkeerde snelheden geven, en Dix-intervallen nog slechter. De verre offsets rekken bovendien de wavelets op bij de correctie.

**13.** Heen-en-terugtijden in de lagen: $0.4878\,\mathrm{s}$, $0.0870\,\mathrm{s}$, $0.0800\,\mathrm{s}$, $0.0800\,\mathrm{s}$. Diktes $v\,\Delta t/2$: $609.5\,\mathrm{m}$, $100.4\,\mathrm{m}$, $182.4\,\mathrm{m}$, $118.9\,\mathrm{m}$.

**14.** Dieptes onder het maaiveld: $609.5\,\mathrm{m}$, $709.9\,\mathrm{m}$, $892.3\,\mathrm{m}$, $1011.2\,\mathrm{m}$. De schalie, kalksteen en zandsteen komen binnen $0.4\,\mathrm{m}$, $2.4\,\mathrm{m}$ en $1.1\,\mathrm{m}$ van hun diktes uit, waarbij de fout groeit in de snelle, dunne kalksteen, waar een kleine tijdsfout het meest kost.

**15.** $\bar v = 2\times1011.2/0.7348 = 2752\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. De [RMS-snelheid](#def-b3-exploration-seismology-velocities) weegt elke laag met $v^2$ en is nooit kleiner dan het tijdgewogen gemiddelde: $2829\times0.7348/2 = 1039\,\mathrm{m}$, $28\,\mathrm{m}$ te diep.

**16.** $\lambda = 2308/30 = 76.9\,\mathrm{m}$, $\lambda/4 = 19.2\,\mathrm{m}$; de Ricker-schatting is $2308/(5.2\times30) = 14.8\,\mathrm{m}$. De schalie is $100\,\mathrm{m}$ dik, vijf keer haar [tuningdikte](#def-b3-exploration-seismology-resolution): haar top en basis worden opgelost. Ze zou volgens de kwart-golflengteregel afstemmen bij $f = v/(4b) =
2308/400 = 5.77\,\mathrm{Hz}$.

**17.** $\lambda = 2829/30 = 94.3\,\mathrm{m}$, $z = 1011\,\mathrm{m}$: $r_F \approx \sqrt{94.3\times1011/2} = 218\,\mathrm{m}$ ($220\,\mathrm{m}$ met de term $\lambda^2/16$).

**18.** $t(x)^2 = t_0^2 + (2x/v)^2$, dus $v = 2x/\sqrt{t^2 - t_0^2} =
400/\sqrt{0.5732^2 - 0.550^2} = 400/0.1614 = 2478\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**19.** $z = vt_0/2 = 2478\times0.550/2 = 681\,\mathrm{m}$.

**20.** De uitgezette diepte $vt/2$ verandert met $1.24\times0.167 = 0.207$ per eenheid lengte: $\theta_a = \arctan0.207 = 11.70{}^{\circ}$. De ware helling heeft $\sin\theta = 0.207$: $\theta = 11.95{}^{\circ}$, de helling van de flank.

**21.** $d = 2480\times0.655/2 = 812\,\mathrm{m}$; migratie verplaatst de reflectie $d\sin\theta = 812\times0.207 = 168\,\mathrm{m}$ de helling op, richting de kam van de antiklinaal, en omhoog van $812\,\mathrm{m}$ naar $d\cos\theta =
795\,\mathrm{m}$.

**22.** $2500\times0.160/2 = 200\,\mathrm{m}$.

**23.** Uit vragen 13 en 14 ligt de basisdiscordantie **$1011\,\mathrm{m}$** onder het maaiveld bij CMP S.