---
title: "Oceaandynamica"
book: "Universitaire aard- en ruimtewetenschappen — jaar 3"
subject: earth
language: nl
chapter: 21
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/5/nl/chapter/21-oceaandynamica
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
---

# Hoofdstuk 21 — Oceaandynamica

Door de Straat van Florida voert de Golfstroom ongeveer $32\,\mathrm{Sv}$ water noordwaarts, en de stroom neemt toe terwijl hij langs de kust naar het noorden loopt, tot ongeveer $150\,\mathrm{Sv}$ bij $40{}^{\circ}$ NB. Aan de andere kant van dezelfde oceaan, voor Portugal en Noord-Afrika stroomt niets dat er ook maar op lijkt naar het zuiden: het water dat de Golfstroom naar het noorden brengt keert terug naar de evenaar als een trage, brede drift over duizenden kilometers open zee. Elk oceaanbekken op het Noordelijk Halfrond heeft dezelfde scheve vorm, met de snelle stroom aan de westkant. De asymmetrie volgt uit de wind, uit de wrijving van de zee en uit één feit over de Aarde: de Coriolisparameter neemt toe naar de pool toe.

**Wat je al weet.**

De getijkracht van de Maan en de Zon, springtij en doodtij, staan in de natuurkundeboeken. De windschuifspanning, de Ekmanlaag, het Ekmantransport en de Ekmanspiraal, opwelling en neerwaartse stroming, de gyres, de westelijke randstromen, de sverdrup ($1\,\mathrm{Sv} =
10^{6}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$), de meridionale omkeercirculatie en de vorming van diep water staan in Boek 3, in het hoofdstuk over de oceaancirculatie; daar wordt de windschuifspanning geschreven als $\vec T$, hier $\vec\tau$. De Coriolisparameter, het $\beta$-vlak, de Rossbystraal en het geostrofisch evenwicht staan in Hoofdstuk [19](https://one-course.com/books/earth/5/nl/chapter/19-geofysische-vloeistofdynamica#ch-b3-gfd-foundations); vorticiteit en [potentiële vorticiteit](https://one-course.com/books/earth/5/nl/chapter/20-atmosferische-dynamica#def-b3-atmospheric-dynamics-pv) in Hoofdstuk [20](https://one-course.com/books/earth/5/nl/chapter/20-atmosferische-dynamica#ch-b3-atmospheric-dynamics).

## 21.1 De Ekmanlaag afgeleid

In Boek 3 werd het Ekmantransport gevonden uit een evenwicht van krachten over de hele laag, en de spiraal van snelheden erin werd gegeven. Bij een turbulente wrijving met constante wervelviscositeit $A_z$ volgt de spiraal uit de vergelijkingen in enkele regels. Schrijf de horizontale snelheid als een complex getal, $W = u + \mathrm iv$, en de windschuifspanning als $\tau =
\tau_x + \mathrm i\tau_y$; vermenigvuldigen met $-\mathrm i$ draait een vector over $90{}^{\circ}$ met de klok mee, naar rechts gezien van boven.

**Stelling 21.1 (Snelheidsprofiel van een stationaire, door wind aangedreven oppervlaktelaag).**

In een stationaire, horizontaal uniforme oceaan van grote diepte en constante dichtheid $\rho$, met een constante verticale wervelviscositeit $A_z$ en de Coriolisparameter $f > 0$, wordt de stroming die door een windschuifspanning $\tau$ wordt aangedreven

$$
W(z) = W_0\,\mathrm e^{(1+\mathrm i)z/\delta},\qquad
W_0 = \frac{\tau}{\rho\sqrt{fA_z}}\,\mathrm e^{-\mathrm i\pi/4},\qquad
\delta = \sqrt{\frac{2A_z}{f}} ,
$$

voor $z \le 0$. De oppervlaktestroom wordt over $45{}^{\circ}$ naar rechts van de spanning gedraaid; met de diepte draait hij verder naar rechts en neemt af als $\mathrm
e^{z/\delta}$; het totale transport $\int_{-\infty}^0 W\,\mathrm dz =
-\mathrm i\tau/(\rho f)$ staat loodrecht op de rechterkant van de spanning.

**Bewijs.** Buiten de kusten is er in de laag geen horizontale drukgradiënt, en de Corioliskracht houdt de wrijving in evenwicht: $-fv = A_z u''$ en $fu =
A_z v''$, waarbij de accenten afgeleiden naar $z$ zijn. Vermenigvuldig de tweede vergelijking met $\mathrm i$ en tel op; dat geeft $A_zW'' = \mathrm ifW$. De oplossingen zijn $\mathrm e^{\pm(1+\mathrm i)z/\delta}$, want $(1+\mathrm i)^2/\delta^2 =
2\mathrm i/\delta^2 = \mathrm if/A_z$; alleen het plusteken blijft begrensd voor $z \to -\infty$. Aan het oppervlak wordt de spanning door de wrijving gedragen, $\rho A_zW'(0) = \tau$, dus $W_0 = \tau\delta/(\rho A_z(1+\mathrm i))$. Omdat $\delta/(\sqrt2 A_z) = 1/\sqrt{fA_z}$ en $1/(1+\mathrm i) = \mathrm
e^{-\mathrm i\pi/4}/\sqrt2$, is dit de gegeven $W_0$. De factor $\mathrm e^{\mathrm iz/\delta}$ draait met de klok mee naarmate $z$ afneemt. Ten slotte $\int_{-\infty}^0 W\,\mathrm dz = W_0\delta/(1+\mathrm i) =
\tau\delta^2/(\rho A_z(1+\mathrm i)^2) = \tau\delta^2/(2\mathrm i\rho A_z)
= -\mathrm i\tau/(\rho f)$. ∎

De stelling herleidt beide resultaten van Boek 3: Ekmans oppervlaktestroom onder $45{}^{\circ}$ en het transport $\tau/(\rho f)$, loodrecht op de spanning en onafhankelijk van $A_z$, dat nooit goed bekend is. Op de diepte $\pi\delta$ stroomt de stroming tegen de oppervlaktestroom in, verminderd met $\mathrm e^{-\pi}$, tot $4\,\%$.

**Definitie 21.2 (Ekmandiepte; Ekmanpompen).**

De *Ekmandiepte* is $D_E = \pi\delta =
\pi\sqrt{2A_z/f}$, de diepte waarop de stroming van de Ekmanspiraal tegen de oppervlaktestroom in stroomt; zij meet de dikte van de Ekmanlaag. *Ekmanpompen* is de verticale snelheid $w_E$ aan de onderkant van de Ekmanlaag, veroorzaakt door de convergentie of divergentie van het Ekmantransport: neerwaarts waar de transporten convergeren, opwaarts, soms Ekmanzuiging genoemd, waar ze divergeren.

**Propositie 21.3 (Ekmanpompen).**

Met de verticale snelheid nul aan het zeeoppervlak is het [Ekmanpompen](#def-b3-ocean-dynamics-ekman-pumping)

$$
w_E = \operatorname{curl}_z\frac{\vec\tau}{\rho f}
= \frac{1}{\rho f}\Big(\frac{\partial\tau_y}{\partial x} -
\frac{\partial\tau_x}{\partial y}\Big) + \frac{\beta\tau_x}{\rho f^2} ,
$$

opwaarts positief.

**Bewijs.** Het volumetransport van de laag is $(U_E, V_E) = (\tau_y,
-\tau_x)/(\rho f)$, de stelling in componenten geschreven. Integreer de continuïteitsvergelijking $\partial w/\partial z = -(\partial u/\partial x +
\partial v/\partial y)$ door de laag heen; dan geldt $w(0) - w_E = -(\partial
U_E/\partial x + \partial V_E/\partial y)$, dus $w_E = \partial_x(\tau_y/\rho
f) - \partial_y(\tau_x/\rho f)$. Uitwerken met $\mathrm df/\mathrm dy =
\beta$ geeft de tweede vorm. ∎

Een wind die boven de zee cyclonaal draait, met een positieve rotatie, trekt water van onder de laag omhoog; een anticyclonale wind duwt het omlaag. In de subtropische oceanen waaien de passaten van het oosten aan de equatorzijde, de westenwinden van het westen aan de poolzijde. Hun Ekmantransporten, noord onder de passaten en zuid onder de westenwinden, convergeren ertussen: het oppervlaktewater hoopt zich op en wordt omlaag gepompt, zoals in de figuur hieronder. Langs een kust waar de wind waait met de kust links van zich (op het Noordelijk Halfrond), het transport gaat van de kust weg en de kustopwelling uit Boek 3 is Ekmanzuiging, geconcentreerd tegen een wand.

![Een noord–zuid-doorsnede door een subtropische gyre van het Noordelijk Halfrond, oostwaarts de pagina in. De Ekmantransporten onder de passaten en de westenwinden convergeren, het water wordt omlaag gepompt, en de kolommen eronder, samengedrukt, bewegen richting de evenaar, waar f kleiner is, om hun potentiële vorticiteit te behouden.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-ocean-dynamics/fig-d333e5d959f1.svg)

*Een noord–zuid-doorsnede door een subtropische gyre van het Noordelijk Halfrond, oostwaarts de pagina in. De Ekmantransporten onder de passaten en de westenwinden convergeren, het water wordt omlaag gepompt, en de kolommen eronder, samengedrukt, bewegen richting de evenaar, waar $f$ kleiner is, om hun [potentiële vorticiteit](https://one-course.com/books/earth/5/nl/chapter/20-atmosferische-dynamica#def-b3-atmospheric-dynamics-pv) te behouden.*

## 21.2 De Sverdrupbalans

Onder de Ekmanlaag is de oceaan geostrofisch. Een waterkolom die door [Ekmanpompen](#def-b3-ocean-dynamics-ekman-pumping) wordt samengedrukt, moet om haar [potentiële vorticiteit](https://one-course.com/books/earth/5/nl/chapter/20-atmosferische-dynamica#def-b3-atmospheric-dynamics-pv) $f/h$ te behouden, naar een plek waar $f$ kleiner is: richting de evenaar. In 1947 werkte H. U. Sverdrup het argument kwantitatief uit voor de hele diepte van de windgedreven stroming.

**Stelling 21.4 (Sverdrupbalans).**

In een stationaire oceaan waarin de niet-lineaire termen en de laterale wrijving verwaarloosbaar zijn, is het inwendige geostrofisch onder de Ekmanlaag, en de verticale snelheid op een diepte $-H$ nul is, het totale noordwaartse volumetransport per breedte-eenheid van de windgedreven stroming voldoet aan de *Sverdrup balans*

$$
\beta V = \frac{1}{\rho}\operatorname{curl}_z\vec\tau
= \frac{1}{\rho}\Big(\frac{\partial\tau_y}{\partial x} -
\frac{\partial\tau_x}{\partial y}\Big) .
$$

**Bewijs.** In het geostrofische inwendige $fv_g = \rho^{-1}\partial p/\partial x$ en $fu_g = -\rho^{-1}\partial p/\partial y$. Dus $\partial_x(fu_g) +
\partial_y(fv_g) = 0$, dat wil zeggen $f(\partial_xu_g + \partial_yv_g) + \beta
v_g = 0$, en met continuïteit geldt $\beta v_g = f\,\partial w/\partial z$. Integreer van $-H$, waar $w = 0$, tot aan de onderkant van de Ekmanlaag, waar $w = w_E$, dat geeft $\beta V_g = fw_E$. Volgens [Propositie 21.3](#prop-b3-ocean-dynamics-pumping), $fw_E = \rho^{-1}\operatorname{curl}_z
\vec\tau + \beta\tau_x/(\rho f)$. Bij optellen van het Ekmantransport $V_E =
-\tau_x/(\rho f)$, vermenigvuldigd met $\beta$, heft de laatste term op: $\beta(V_g + V_E) = \rho^{-1}\operatorname{curl}_z\vec\tau$. ∎

De balans is opmerkelijk door wat ze niet nodig heeft: noch de diepte van de stroming, noch haar verticale structuur, noch de wervelviscositeit, alleen de rotatie van de wind en $\beta$. Sverdrup leidde haar af uit de bewegingsvergelijkingen geïntegreerd tot op een diepte zonder beweging, en toetste haar aan de hydrografische doorsneden van de onderzoeksschepen *Carnegie* en *Bushnell* in de oostelijke tropische Stille Oceaan, tussen $34{}^{\circ}$ NB en $10{}^{\circ}$ ZB, met een diepte zonder beweging op $1000\,\mathrm{m}$: de transporten berekend uit de wind kwamen overeen met die uit het dichtheidsveld, zelfs waar de stromen tegen de wind in liepen. Latere studies met betere winden vonden de beste overeenstemming bij een diepte zonder beweging nabij $500\,\mathrm{m}$, en metingen van de gemiddelde spanning in de equatoriale Stille Oceaan in 1999 vonden de stroming daar in [Sverdrupbalans](#thm-b3-ocean-dynamics-sverdrup). Of de balans overal opgaat is moeilijker aan te tonen dan aan te nemen: bijna elke theorie van de oceaancirculatie gaat ervan uit.

Beschouw het verzonnen bekken uit het probleem van dit hoofdstuk: tussen $20{}^{\circ}$ en $50{}^{\circ}$ NB, $6000\,\mathrm{km}$ breed, onder een zonale spanning $\tau_x =
-\tau_0\cos(\pi(\varphi - 20{}^{\circ})/30{}^{\circ})$ met $\tau_0 =
0.1\,\mathrm{Pa}$, oostelijk bij $20{}^{\circ}$ NB, westelijk bij $50{}^{\circ}$ NB, nul bij $35{}^{\circ}$ NB. Over bijna het hele bekken is de spanningsrotatie negatief: het water wordt omlaag gepompt, met ongeveer $35\,\mathrm{m}$ per jaar bij $35{}^{\circ}$ NB, en de inwendige stroming gaat naar het zuiden, $4.9\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ per meter breedte bij $35{}^{\circ}$ NB, $29.4\,\mathrm{Sv}$ over het hele bekken. Berekend uit de waargenomen winden, het Sverdruptransport van de subtropische gyre van de Noord-Atlantische Oceaan bereikt ongeveer $30\,\mathrm{Sv}$ nabij $28{}^{\circ}$ NB.

![Het verzonnen bekken van het probleem, 20 tot 50 NB en 6000\, km breed. Links de zonale windschuifspanning, naar het oosten positief. Midden de Ekmanpompen, omhoog positief: het water wordt omlaag gedrukt ten zuiden van 47 NB, het sterkst in het zuiden, waar f klein is, en omhoog getrokken ten noorden daarvan. Rechts het totale noordwaartse Sverdruptransport over het bekken: de inwendige stroming gaat naar het zuiden, 29.4\, Sv bij 35 NB, behalve in een dunne strook aan de noordrand, waar de rotatie van de spanning van teken verandert.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-ocean-dynamics/fig-d1b62263a685.svg)

*Het verzonnen bekken van het probleem, $20{}^{\circ}$ tot $50{}^{\circ}$ NB en $6000\,\mathrm{km}$ breed. Links de zonale windschuifspanning, naar het oosten positief. Midden de [Ekmanpompen](#def-b3-ocean-dynamics-ekman-pumping), omhoog positief: het water wordt omlaag gedrukt ten zuiden van $47{}^{\circ}$ NB, het sterkst in het zuiden, waar $f$ klein is, en omhoog getrokken ten noorden daarvan. Rechts het totale noordwaartse Sverdruptransport over het bekken: de inwendige stroming gaat naar het zuiden, $29.4\,\mathrm{Sv}$ bij $35{}^{\circ}$ NB, behalve in een dunne strook aan de noordrand, waar de rotatie van de spanning van teken verandert.*

Het Sverdruptransport legt $V$ in elk punt vast, maar een stroomfunctie heeft een randvoorwaarde nodig, en een meridionale wand kan er maar één leveren. Als het inwendige geen stroming door de oostelijke wand toelaat, heeft de zuidwaartse stroming aan de westelijke wand geen weg meer; de massa wordt teruggevoerd door een stroom die de vergelijkingen van Sverdrup, zonder wrijving, niet kunnen beschrijven.

## 21.3 Westelijke versterking

In 1948 voegde H. Stommel de eenvoudigste wrijving toe aan de eenvoudigste oceaan, en vond de terugstroom samengedrongen tegen de westelijke wand, zoals op de figuur van zijn gyre in Boek 3. Hij vond dit alleen met een Coriolisparameter die naar het noorden toeneemt: zonder rotatie, of met een uniforme, was zijn gyre symmetrisch.

**Definitie 21.5 (Westelijke versterking; Stommelmodel; Munkgrenslaag).**

*Westelijke versterking* is het samendrukken van de terugstroom van een windgedreven gyre tot een smalle, snelle stroom tegen de westelijke kant van het bekken. Het *Stommelmodel* is een homogene oceaan van constante diepte in een rechthoekig bekken, aangedreven door een zonale windschuifspanning en afgeremd door een bodemwrijving die evenredig is met de dieptegeïntegreerde snelheid, met een snelheidsconstante $r$; de transportstroomfunctie $\psi$ ($U = -\partial\psi/\partial y$, $V =
\partial\psi/\partial x$) voldoet aan

$$
r\nabla^2\psi + \beta\frac{\partial\psi}{\partial x} =
\frac{1}{\rho}\operatorname{curl}_z\vec\tau ,\qquad \psi = 0 \text{ op de wanden.}
$$

De *Munkgrenslaag* is de westelijke randlaag van dezelfde gyre wanneer een laterale wervelviscositeit $A_H$ vervangt de bodemwrijving; de breedteschaal is $\delta_M =
(A_H/\beta)^{1/3}$.

De vergelijking is de [Sverdrupbalans](#thm-b3-ocean-dynamics-sverdrup) met de rotatie van de bodemwrijving erbij opgeteld: dieptegeïntegreerd geldt $\beta V = \rho^{-1}\operatorname{curl}_z
\vec\tau - r\zeta_T$, waarin $\zeta_T = \nabla^2\psi$ de vorticiteit van het transport is.

**Stelling 21.6 (Westelijke randlaag van de Stommelgyre).**

In een bekken $0 \le x \le X$, $0 \le y \le L$, met $\tau_x = -\tau_0
\cos(\pi y/L)$ en $\delta_S = r/\beta \ll X$, de Stommelstroomfunctie is, tot de eerste orde in $\delta_S/X$,

$$
\psi = A\sin\frac{\pi y}{L}\Big[(X - x) - X\mathrm e^{-x/\delta_S}\Big],
\qquad A = \frac{\pi\tau_0}{\rho\beta L} .
$$

Het inwendige voert $AX\sin(\pi y/L)$ naar het zuiden; een randlaag van breedte $\delta_S$ tegen de westelijke wand voert dat weer naar het noorden terug; tegen de oostelijke wand kan geen randlaag bestaan.

**Bewijs.** De rotatie van de spanning is $-\partial\tau_x/\partial y = -(\pi\tau_0/L)\sin(\pi
y/L)$. Over de breedte van het bekken is de wrijvingsterm kleiner dan de $\beta$-term met een factor $\delta_S/X$; door hem weg te laten blijft de [Sverdrupbalans](#thm-b3-ocean-dynamics-sverdrup) over, $\beta\,\partial\psi/\partial x = -(\pi\tau_0/\rho L)\sin(\pi y/L)$, waarvan de oplossing die bij $x = X$ nul is $\psi_I = A\sin(\pi y/L)(X - x)$. Bij $x = 0$ is die niet nul. Nabij een wand varieert $\psi$ snel in $x$, en de vergelijking reduceert tot $r\,\partial^2\psi/\partial x^2 + \beta\,\partial\psi/
\partial x = 0$ voor de correctie, waarvan de oplossingen een constante en $\mathrm e^{-x/\delta_S}$. Deze valt naar het oosten af, weg van de westelijke wand: door $-AX\sin(\pi y/L)\,\mathrm e^{-x/\delta_S}$ toe te voegen wordt $\psi = 0$ bij $x = 0$ en het inwendige verandert niet. Bij de oostelijke wand zou een correctie naar het westen moeten afvallen, weg van $x = X$, en $\mathrm e^{-x/\delta_S}$ groeit naar het westen: er bestaat dus geen zo’n laag, en het inwendige moet de oostelijke wand zelf bereiken, zoals $\psi_I$ doet. Het noordwaartse transport tussen de wand en het punt waar $V$ van teken verandert is daar $\psi$, dicht bij $AX\sin(\pi y/L)$. ∎

Hetzelfde antwoord volgt uit de vorticiteit. Over het inwendige geeft de wind elke kolom negatieve vorticiteit, en de kolom betaalt daarvoor door naar het zuiden te gaan, naar kleinere $f$. Op de terugweg naar het noorden krijgt ze [planetaire vorticiteit](https://one-course.com/books/earth/5/nl/chapter/20-atmosferische-dynamica#def-b3-atmospheric-dynamics-vorticity-kinds) erbij en moet ze die weer kwijt, wat alleen wrijving kan doen. In een noordwaartse stroom waarvan de snelheid naar het oosten afneemt vanaf nabij de westelijke wand, $\partial
v/\partial x < 0$ over het grootste deel van de breedte: de vorticiteit van de stroom is negatief, en wrijving, die daartegen werkt, levert de positieve vorticiteit die de kolommen nodig hebben. Een noordwaartse stroom tegen een oostelijke wand zou positieve vorticiteit hebben, en wrijving zou het verkeerde teken wegnemen.

![De westelijke randlaag in het midden van het verzonnen bekken van het probleem (35 NB, 6000\, km breed). Links het noordwaartse transport per eenheid van breedte: de laag van Stommel, met een bodemwrijving r = 10-6\, s-1, neemt exponentieel af vanaf de wand; die van Munk, met A_H = 5 × 103\, m2/ s en geen schuif aan de wand, stijgt vanaf nul en bereikt een piek ongeveer 80\, km uit de wand en wordt gevolgd door een zwakke zuidwaartse tegenstroom. Rechts het transport tussen de wand en elke afstand, afgezet tegen de 29.4\, Sv die het binnenwater naar het zuiden voert: de laag van Stommel verzamelt 27.9\, Sv voordat de stroming naar het zuiden keert, de straal van Munk 33.0\, Sv voordat de tegenstroom begint.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-ocean-dynamics/fig-aaece3ba9793.svg)

*De westelijke randlaag in het midden van het verzonnen bekken van het probleem ($35{}^{\circ}$ NB, $6000\,\mathrm{km}$ breed). Links het noordwaartse transport per eenheid van breedte: de laag van Stommel, met een bodemwrijving $r = 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$, neemt exponentieel af vanaf de wand; die van Munk, met $A_H = 5 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ en geen schuif aan de wand, stijgt vanaf nul en bereikt een piek ongeveer $80\,\mathrm{km}$ uit de wand en wordt gevolgd door een zwakke zuidwaartse tegenstroom. Rechts het transport tussen de wand en elke afstand, afgezet tegen de $29.4\,\mathrm{Sv}$ die het binnenwater naar het zuiden voert: de laag van Stommel verzamelt $27.9\,\mathrm{Sv}$ voordat de stroming naar het zuiden keert, de straal van Munk $33.0\,\mathrm{Sv}$ voordat de tegenstroom begint.*

Bij $r = 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$ op $35{}^{\circ}$ NB en $\delta_S = 53\,\mathrm{km}$ beslaat de noordwaartse stroming de eerste $250\,\mathrm{km}$ vanaf de wand. In 1950 verving W. H. Munk de bodemwrijving door een laterale wervelviscositeit $A_H$, die werkt op de afschuiving binnen de stroom; de vergelijking krijgt een term $A_H\nabla^4\psi$, en nabij de westelijke wand wordt de correctie $\mathrm e^{-x/2\delta_M}$ maal een oscillatie, $\cos(\sqrt3x/2\delta_M)$ en $\sin(\sqrt3x/2\delta_M)$. Met $A_H = 5 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ is de noordwaartse straal ongeveer $225\,\mathrm{km}$ breed ($233\,\mathrm{km}$ in het bekken van de figuur), met een zwakke tegenstroom daarachter, een vorm die dicht bij de Golfstroom en de Kuroshio ligt. Net als bij de laag van Stommel hangt het transport van de straal niet af van de wrijving, maar alleen van de rotatie van de windschuifspanning, de breedte van het bekken en $\beta$. Uit de winden van zijn tijd berekende Munk $36\,\mathrm{Sv}$ voor de Golfstroom en $39\,\mathrm{Sv}$ voor de Kuroshio, ongeveer de helft van de transporten die toen gemeten werden; met een betere weerstandscoëfficiënt en fijnere middelingen van de spanning, $32\,\mathrm{Sv}$ voor de Golfstroom in 1978 gevonden. Hoofdzakelijk met een onderzeese kabel gemeten, heeft de Golfstroom in de Straat van Florida sinds 2004 gemiddeld $31.7\,\mathrm{Sv}$ gevoerd. Stroomafwaarts groeit het tot ongeveer $150\,\mathrm{Sv}$ nabij $40{}^{\circ}$ NB, en op zee voor Cape Hatteras bederft een sterke recirculatie, die de lineaire theorie niet bevat, de overeenstemming.

## 21.4 De abyssale circulatie

De diepe oceaan wordt vanuit een paar plaatsen gevuld. In Boek 3 ontstaat diep water waar oppervlaktewater wordt afgekoeld en dichtgemaakt in het verre Noord-Atlantisch gebied en rond Antarctica, en het verspreidt zich door de bekkens als Noord-Atlantisch Diep Water en Antarctisch Bodemwater. Tussen 1958 en 1960 vroegen H. Stommel, A. B. Arons en A. J. Faller zich af hoe het zich verspreidt, met hetzelfde vorticiteitsargument als Sverdrup.

**Definitie 21.7 (Stommel–Arons-model).**

Het *Stommel–Arons-model* van de abyssale circulatie veronderstelt dat diep water wordt aangevoerd door convectie op een paar bronnen op hoge breedte, dat het via een langzame, uniforme opwelling $W_0$ door de basis van de thermocline naar de bovenste oceaan terugkeert, in evenwicht met neerwaartse menging van warmte, en dat de binnenstroming geostrofisch is en [potentiële vorticiteit](https://one-course.com/books/earth/5/nl/chapter/20-atmosferische-dynamica#def-b3-atmospheric-dynamics-pv) behoudt. De circulatie wordt gesloten door diepe westelijke randstromen.

**Propositie 21.8 (Poolwaartse binnenstroom van de abyssus).**

In het [Stommel–Arons-model](#def-b3-ocean-dynamics-abyssal), boven een vlakke bodem, is het over de diepte geïntegreerde noordwaartse transport van het abyssale binnenwater

$$
V = \frac{f}{\beta}W_0 = a\tan\varphi\,W_0 ,
$$

poolwaarts op beide halfronden wanneer $W_0 > 0$.

**Bewijs.** In de geostrofische binnenstroming geldt $\beta v = f\,\partial w/\partial z$, zoals in het bewijs van het Sverdrup-evenwicht. Integreren vanaf de vlakke bodem, waar $w = 0$, tot de top van de abyssale laag, waar $w = W_0$, geeft $\beta V =
fW_0$, en $f/\beta = 2\Omega\sin\varphi\,a/(2\Omega\cos\varphi) =
a\tan\varphi$. Op het Zuidelijk Halfrond geldt $\tan\varphi < 0$: de stroming gaat naar het zuiden, opnieuw poolwaarts. ∎

Het resultaat is tegenintuïtief: het abyssale binnenwater stroomt naar de bronnen toe, niet ervandaan. Stommel en Arons bouwden roterende-bakproeven om zichzelf te overtuigen. Het water uit de bronnen reist langs de westelijke wanden, in diepe westelijke randstromen die het binnenwater onderweg voeden. In een oceaansector tussen de evenaar en de pool met de hele bron $S_0$ nabij de pool voert de westelijke randstroom $2S_0\sin\varphi$ naar de evenaar, tweemaal de bron aan de pool en niets aan de evenaar: het surplus boven $S_0$ is water dat uit het binnenwater recirculeert. Het model laat de diepe circulatie door menging worden aangedreven, niet door zinken: zonder de opwelling zou convectie de abyssus alleen vullen met een stilstaande plas koud water. De doorlooptijden lopen uiteen van enkele eeuwen nabij de bronnen tot bijna duizend jaar in de Noord-Pacifische Oceaan. Over de echte zeebodem verdelen de ruggen de bekkens, en is de menging sterk boven ruw reliëf, en stroomt het diepe water veel meer zonaal dan het model. Haar blijvende voorspelling is de diepe westelijke randstroom: in de Noord-Atlantische Oceaan keert ongeveer $14\,\mathrm{Sv}$ water van $2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ naar het zuiden terug, terwijl de Golfstroom het warme water naar het noorden voert.

![De Stommel–Arons-abyssale circulatie in een sector van de oceaan op het Noordelijk Halfrond, van bovenaf gezien. Het diepe water zinkt bij een bron S_0 nabij de pool, stroomt naar de evenaar in een diepe westelijke randstroom en lekt weg in een interieur dat poolwaarts stroomt, en stijgt overal langzaam door de thermocline op (de stippen, opwelling naar de lezer toe).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-ocean-dynamics/fig-d6348419397d.svg)

*De Stommel–Arons-abyssale circulatie in een sector van de oceaan op het Noordelijk Halfrond, van bovenaf gezien. Het diepe water zinkt bij een bron $S_0$ nabij de pool, stroomt naar de evenaar in een diepe westelijke randstroom en lekt weg in een interieur dat poolwaarts stroomt, en stijgt overal langzaam door de thermocline op (de stippen, opwelling naar de lezer toe).*

Het interieur van het model is, net als dat van Sverdrup, geostrofisch, en de geostrofische stromingen van de diepe zee worden gemeten op de manier waarop Sverdrup de zijne mat: aan de hand van de dichtheid.

**Definitie 21.9 (Dynamische methode).**

De *dynamische methode* berekent de geostrofische stroming tussen twee hydrografische stations uit de dichtheid die bij beide is gemeten, ten opzichte van een referentiedrukniveau waar de stroming nul wordt verondersteld of bekend is. De geopotentiaalafstand tussen twee drukvlakken, $\int\alpha\,\mathrm dp$ met $\alpha = 1/\rho$ het soortelijk volume, wordt opgesplitst in een standaarddeel, dat bij beide stations gelijk is, en de *geopotentiaalanomalie* $\Delta\Phi$; de stroming aan het bovenste vlak, loodrecht op de lijn tussen de stations $A$ en $B$, op een afstand $L$ van elkaar, is

$$
v = \frac{\Delta\Phi_B - \Delta\Phi_A}{fL} .
$$

Waarom de druk niet rechtstreeks meten, zoals meteorologen doen? Een geostrofische stroming van $10\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ op $30{}^{\circ}$ vraagt een drukgradiënt van $7.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$, dus $750\,\mathrm{Pa}$ over $100\,\mathrm{km}$: het gewicht van $7.4\,\mathrm{cm}$ zeewater. Geen drukmeter op de zeebodem kan zo nauwkeurig worden waterpas gesteld. De dichtheid, berekend tot enkele delen per miljoen, geeft in plaats daarvan de helling van het ene drukvlak ten opzichte van het andere. Het lichtere, warmere water ligt op het Noordelijk Halfrond rechts van de stroming, gezien in de stroomrichting. Over de Golfstroom verandert de diepte van de vlakken van constante dichtheid met meer dan een kilometer over $100\,\mathrm{km}$.

**Methode 21.10 (Geostrofische stroming uit twee stations).**

1. Bereken op elk station de soortelijk-volumeanomalie $\delta =  \alpha(S, T, p) - \alpha(35, 0, p)$ uit de gemeten saliniteit, temperatuur en druk.
2. Integreer deze van de referentiedruk tot aan elke druk $p$ : $\Delta\Phi(p) = \int_p^{p_{\text{ref}}}\delta\,\mathrm dp$ .
3. Op elke druk is $v(p) = (\Delta\Phi_B - \Delta\Phi_A)/(fL)$ de stroming ten opzichte van het referentieniveau, positief met station $B$ rechts.
4. Tel de stroming op het referentieniveau erbij op als die bekend is, uit een drijver die daar meedrijft of uit de met satelliet gemeten helling van het zeeoppervlak.

**In het veld — Een rij drijvers.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-ocean-dynamics/img-145c332e77a1.jpg)

*Een Argo-drijver die over de zijkant van een onderzoeksschip wordt gelaten (NOAA Global Ocean Monitoring and Observing Program, publiek domein).*

**Cijfers van 2024.**

Bijna vierduizend Argo-drijvers drijven door de wereldoceaan. Over de zijkant van een schip gelaten, zakt een drijver tot ongeveer $1000\,\mathrm{m}$ en drijft daar ongeveer negen dagen; daarna zakt hij tot $2000\,\mathrm{m}$ en stijgt naar het oppervlak, waarbij hij onderweg geleidbaarheid, temperatuur en druk meet, en de cyclus begint opnieuw ongeveer elke tien dagen; Deep Argo-drijvers meten tot $6000\,\mathrm{m}$. In juli 2024 verzamelde de rij zijn drie miljoenste profiel. Uit de profielen berekenen oceanografen de geopotentiaalanomalieën van de [dynamische methode](#def-b3-ocean-dynamics-dynamic-height) bij elke drijver, en de eigen verplaatsing van de drijver tussen twee keer aan het oppervlak komen geeft de gemiddelde stroming op zijn parkeerdiepte: de referentiesnelheid die Sverdrup moest aannemen, is nu gemeten.

## 21.5 Oceaangetijden

Twee keer per dag, elke dag iets minder dan een uur later, stijgt en daalt de zee. De natuurkundeboeken leggen de getijkracht uit: de aantrekking van de Maan is op de nabije zijde van de Aarde sterker dan in het midden, en op de verre zijde zwakker, zodat het water ten opzichte van het midden aan beide kanten langs de lijn naar de Maan wordt uitgerekt.

**Definitie 21.11 (Evenwichtsgetij; getijcomponent).**

Het *evenwichtsgetij* is de vorm die het oppervlak van een oceaan die de hele Aarde bedekt zou aannemen als het de getijdenpotentiaal zonder traagheid onmiddellijk zou volgen. Een *getijcomponent* is een van de harmonische termen, elk met een vaste frequentie die door de bewegingen van de Maan en de Zon wordt bepaald, en met een amplitude en fase die op elke plaats wordt gevonden, en waarvan de som het getij vormt; ze worden aangeduid met een letter en het aantal cycli per dag, zoals M$_2$, de principale maansemidiurnale getijcomponent.

**Stelling 21.12 (Evenwichtsgetij van de Maan).**

Voor de Maan, met massa $M$ op afstand $d$ van het middelpunt van de Aarde, met massa $M_E$ en straal $a$, is het [evenwichtsgetij](#def-b3-ocean-dynamics-tides) onder een hoek $\theta$ van het punt onder de Maan

$$
\eta = K\,\frac{3\cos^2\theta - 1}{2},\qquad
K = \frac{M}{M_E}\Big(\frac{a}{d}\Big)^3 a .
$$

**Bewijs.** De potentiaal van de Maan in een punt op afstand $a$ van het middelpunt van de Aarde en onder hoek $\theta$ is $-GM/s$, met $s^2 = d^2 - 2ad\cos\theta +
a^2$. Ontwikkelen naar $a/d$ levert $1/s = (1/d)[1 + (a/d)\cos\theta + (a/d)^2
(3\cos^2\theta - 1)/2 + \cdots]$. De eerste term is een constante; de tweede is een uniform veld, dat de hele Aarde in haar baan rond het gemeenschappelijke massamiddelpunt versnelt, en heeft geen effect ten opzichte van de Aarde. Wat overblijft is de getijdenpotentiaal $\Phi_T = -(GMa^2/d^3)(3
\cos^2\theta - 1)/2$. In evenwicht is het zeeoppervlak een oppervlak van constante totale potentiaal, $g\eta + \Phi_T = C$, met $g = GM_E/a^2$, dus $\eta = (M/M_E)(a^4/d^3)(3\cos^2\theta - 1)/2 + C/g$. Het gemiddelde van $3\cos^2\theta - 1$ over de bol is nul; omdat het volume water vaststaat, is $C = 0$. ∎

Met de massaverhouding $0.0123$, $d = 384\,400\,\mathrm{km}$ en $a =
6371\,\mathrm{km}$ volgt $K = 0.357\,\mathrm{m}$: de zee staat $0.36\,\mathrm{m}$ hoog onder de Maan en aan de tegenoverliggende kant, en $0.18\,\mathrm{m}$ laag op de grootcirkel daartussen, een spreiding van $0.54\,\mathrm{m}$. Op breedte $\varphi$, met de Maan op declinatie $\delta$ en op uurhoek $H$, geldt $\cos\theta =
\sin\varphi\sin\delta + \cos\varphi\cos\delta\cos H$. Terwijl de Aarde onder de twee bulten draait, passeert een plaats in een maandag twee hoogwaters, $24\,\mathrm{h}$ $50\,\mathrm{min}$: het halfdaagse getij. Wanneer de Maan ten noorden of zuiden van de evenaar staat, zijn de twee bulten gekanteld, en de twee hoogwaters van een dag zijn ongelijk, zoals de figuur hieronder laat zien. De Zon veroorzaakt een getij van dezelfde vorm, $0.46$ keer zo groot; de twee tellen op bij nieuwe en volle maan, bij springtij, en heffen elkaar gedeeltelijk op bij de kwartieren.

![Links, het evenwichtsgetij van de Maan, in het vlak dat de Maan bevat, de bult ongeveer twee miljoen keer overdreven. Rechts, het evenwichtsgetij op 45 NB over twee maandagen, met de Maan op de evenaar (blauw) en op declinatie 20 NB (rood): het tweede geval heeft het ene hoogwater veel hoger dan het andere, de dagelijkse ongelijkheid.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-ocean-dynamics/fig-210fa2c92e1c.svg)

*Links, het [evenwichtsgetij](#def-b3-ocean-dynamics-tides) van de Maan, in het vlak dat de Maan bevat, de bult ongeveer twee miljoen keer overdreven. Rechts, het [evenwichtsgetij](#def-b3-ocean-dynamics-tides) op $45{}^{\circ}$ NB over twee maandagen, met de Maan op de evenaar (blauw) en op declinatie $20{}^{\circ}$ NB (rood): het tweede geval heeft het ene hoogwater veel hoger dan het andere, de dagelijkse ongelijkheid.*

De harmonische analyse van het [evenwichtsgetij](#def-b3-ocean-dynamics-tides) levert de componenten op. De vijf grootste, met hun evenwichtsamplitudes, staan in de tabel hieronder. Ten minste 39 componenten zijn nodig om het getij van een haven te voorspellen tot op een duizendste van de grootste term, en een meetpunt moet langer dan 18.6 jaar lopen, de periode van de modulatie van de maangetijden, om ze allemaal te scheiden.

| component | oorsprong | periode ($\mathrm{h}$) | evenwichtsamplitude ($\mathrm{m}$) |
| --- | --- | --- | --- |
| M$_2$ | principaal maans, halfdaags | $12.4206$ | $0.2423$ |
| S$_2$ | principaal zonnes, halfdaags | $12.0000$ | $0.1128$ |
| N$_2$ | maans elliptisch, halfdaags | $12.6584$ | $0.0464$ |
| K$_1$ | lunisolair, daags | $23.9344$ | $0.1416$ |
| O$_1$ | principaal maans, daags | $25.8194$ | $0.1005$ |

Het werkelijke getij is niet het [evenwichtsgetij](#def-b3-ocean-dynamics-tides). Om een bult onder de Maan op de evenaar vast te houden, zou het getij in een maandag rond de Aarde moeten lopen, met ongeveer $460\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, een snelheid die een lange zwaartekrachtgolf alleen bereikt in een oceaan van $22\,\mathrm{km}$ diep; en de continenten houden het tegen. Het getij is in plaats daarvan een gedwongen lange golf, die in elk bekken bijna in resonantie heen en weer klotst, en de rotatie van de Aarde laat hem om het bekken draaien.

**Definitie 21.13 (Kelvingolf).**

Een oceanische *Kelvingolf* is een lange zwaartekrachtgolf die langs een kust, of langs de evenaar, loopt zonder snelheid dwars erop, waarbij zijn hoogte exponentieel afneemt op afstand van de kust over de Rossbystraal. Langs een kust loopt hij met de kust aan zijn rechterhand op het Noordelijk Halfrond, aan zijn linkerhand op het Zuidelijk.

**Stelling 21.14 (Kelvingolf aan de kust).**

In een oceaan met uniforme diepte $H$ op een $f$-vlak, met $f > 0$, begrensd door een rechte kust langs $y = 0$ en gelegen in $y > 0$, geldt voor de lineaire ondiepwatervergelijkingen dat ze oplossingen hebben met $v = 0$

$$
\eta = \mathrm e^{-y/L_R}F(x - ct),\qquad u = \frac{g}{c}\,\eta,\qquad
c = \sqrt{gH},\quad L_R = \frac{c}{f},
$$

voor elk willekeurig profiel $F$, en geen enkele oplossing met $v = 0$ loopt in de richting $-x$.

**Bewijs.** Met $v = 0$ luiden de vergelijkingen $\partial u/\partial t = -g\,\partial\eta/
\partial x$, $fu = -g\,\partial\eta/\partial y$ en $\partial\eta/\partial t
+ H\,\partial u/\partial x = 0$. De eerste en de derde geven $\partial^2
\eta/\partial t^2 = gH\,\partial^2\eta/\partial x^2$: in $x$ draagt elke lijn $y =$ constant golven $F(x \mp ct)$ met $c = \sqrt{gH}$, en dan geeft de eerste vergelijking $u = \pm(g/c)\eta$. De tweede wordt $\partial\eta/
\partial y = \mp(f/c)\eta$, dus $\eta \propto \mathrm e^{\mp y/L_R}$. Met het bovenste teken neemt de golf af op afstand van de kust; met het onderste zou hij zonder grens de oceaan in groeien, wat wordt uitgesloten. De golf gaat naar $+x$ met de oceaan aan zijn linkerhand, de kust aan zijn rechterhand. ∎

Over de diepe oceaan, $4000\,\mathrm{m}$ diep, is $c = 198\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en is de Rossbystraal bij middelbrede breedten ongeveer $2000\,\mathrm{km}$: het getij loopt rond een heel bekken. Boven een shelfzee van $50\,\mathrm{m}$ diep is $c =
22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, ligt de Rossbystraal onder $200\,\mathrm{km}$, en is de M$_2$-golflengte ongeveer $1000\,\mathrm{km}$. In een inham keert het getij dat langs de ene kust als [Kelvingolf](#def-b3-ocean-dynamics-kelvin-wave) binnenkomt terug langs de tegenoverliggende kust, opnieuw met de kust aan zijn rechterhand; de twee golven heffen elkaar op in punten daartussen.

**Definitie 21.15 (Amfidromisch punt; cotidale lijn; corangelijn).**

Een *amfidromisch punt* is een punt waar de amplitude van een [getijcomponent](#def-b3-ocean-dynamics-tides) nul is en waaromheen het hoogwater draait. Een *cotidale lijn* verbindt de plaatsen waar het hoogwater van een component op hetzelfde moment valt; een *corangelijn* verbindt de plaatsen met gelijke getijslag. Cotidale lijnen stralen uit vanuit de amfidromische punten; corangelijnen cirkelen eromheen.

![Twee Kelvingolven van het M_2-getij in een verzonnen kanaal van 400\, km breed en 50\, m diep op 55 NB, de ene naar het oosten langs de zuidelijke kust, de andere naar het westen langs de noordelijke kust. Rood, de cotidale lijnen, elke 30 fase (ongeveer een uur), de dikke voor hoogwater op het tijdstip van de oorsprong; blauw gestreept, de corangelijnen, elke vijfde van de amplitude van een golf aan zijn kust. De amfidromische punten (stippen) liggen op de middellijn een halve golflengte, 495\, km uit elkaar, en het hoogwater draait om hen tegen de klok in (pijl).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-ocean-dynamics/fig-3b2f4e5f6095.svg)

*Twee Kelvingolven van het M$_2$-getij in een verzonnen kanaal van $400\,\mathrm{km}$ breed en $50\,\mathrm{m}$ diep op $55{}^{\circ}$ NB, de ene naar het oosten langs de zuidelijke kust, de andere naar het westen langs de noordelijke kust. Rood, de [cotidale lijnen](#def-b3-ocean-dynamics-amphidrome), elke $30{}^{\circ}$ fase (ongeveer een uur), de dikke voor hoogwater op het tijdstip van de oorsprong; blauw gestreept, de [corangelijnen](#def-b3-ocean-dynamics-amphidrome), elke vijfde van de amplitude van een golf aan zijn kust. De amfidromische punten (stippen) liggen op de middellijn een halve golflengte, $495\,\mathrm{km}$ uit elkaar, en het hoogwater draait om hen tegen de klok in (pijl).*

De kaarten van het oceaangetij, gemaakt met satellietaltimetrie, nauwkeurig tot ongeveer $2\,\mathrm{cm}$ op de diepe zee, tonen deze structuur overal: de M$_2$-kam draait tegen de klok in rond de amfidromen van de bekkens op het Noordelijk Halfrond en met de klok mee op het Zuidelijk, en de grootste getijslagen liggen aan de kusten. De getijden dissiperen $3.75\,\mathrm{TW}$, waarvan $3.5\,\mathrm{TW}$ in de oceaan: ongeveer twee derde van de M$_2$-energie op de shelven en in ondiepe zeeën, en een derde via interne golven in de diepe oceaan. Die energie verlengt de dag met ongeveer $2.07\,\mathrm{ms}$ per eeuw en duwt de Maan per jaar $3.86\,\mathrm{cm}$ weg; en het deel dat in de diepe oceaan verloren gaat, mengt het water, en levert zo een deel van de menging die in het beeld van Stommel–Arons de diepzeecirculatie aandrijft.

## 21.6 Oefeningen

**Oefening 21.1 ★.**

Een westelijke windschuifspanning van $0.12\,\mathrm{Pa}$ waait over de zee op $40{}^{\circ}$ NB ($\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $\Omega = 7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$). Bereken het Ekmanvolumetransport per meter breedte en zijn richting, en het transport over een doorsnede van $1000\,\mathrm{km}$ lang, in sverdrup.

**Oplossing van Oefening 21.1.**

$f = 9.37 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\tau/(\rho f) = 0.12/(1025\times9.37 \times 10^{-5})
= 1.25\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, naar rechts van de wind: naar het zuiden. Over $1000\,\mathrm{km}$, $1.25 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, $1.25\,\mathrm{Sv}$.

**Oefening 21.2 ★.**

Met $A_z = 0.05\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, bereken de [Ekmandiepte](#def-b3-ocean-dynamics-ekman-pumping) op $45{}^{\circ}$ NB. Welk deel van de oppervlaktestroom blijft op die diepte over?

**Oplossing van Oefening 21.2.**

$f = 1.031 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$; $D_E = \pi\sqrt{2\times0.05/1.031 \times 10^{-4}}
= 98\,\mathrm{m}$. De stroom daar is $\mathrm e^{-\pi} = 0.043$ van de oppervlaktestroom, en stroomt in de tegengestelde richting.

**Oefening 21.3 ★.**

Op $30{}^{\circ}$ NB is de krul van de windschuifspanning $-1 \times 10^{-7}\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$ over een bekken van $5000\,\mathrm{km}$ breed ($a = 6371\,\mathrm{km}$). Bereken $\beta$, het Sverdruptransport per eenheid van breedte en het totale transport, met zijn richting.

**Oplossing van Oefening 21.3.**

$\beta = 2\Omega\cos30{}^{\circ}/a = 1.98 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$; $V =
-1 \times 10^{-7}/(1025\times1.98 \times 10^{-11}) = -4.92\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$; over $5000\,\mathrm{km}$, $-24.6\,\mathrm{Sv}$: naar het zuiden.

**Oefening 21.4 ★.**

Bereken uit de perioden van M$_2$ en S$_2$ de periode van de cyclus van springtij en doodtij, de tijd tussen twee uitlijningen van de twee componenten.

**Oplossing van Oefening 21.4.**

De twee componenten komen na $1/(1/12 - 1/12.4206) =
354\,\mathrm{h}$ weer in fase, $14.77$ dagen, een halve synodische maand.

**Oefening 21.5 ★★.**

Een westelijke spanning neemt lineair toe van 0 bij $35{}^{\circ}$ NB tot $0.1\,\mathrm{Pa}$ bij $45{}^{\circ}$ NB, $1110\,\mathrm{km}$ verder noordelijk. Bereken de [Ekmanpompen](#def-b3-ocean-dynamics-ekman-pumping) bij $40{}^{\circ}$ NB, met behoud van beide termen van [Propositie 21.3](#prop-b3-ocean-dynamics-pumping), in meter per jaar. Wordt het water omhoog of omlaag geduwd?

**Oplossing van Oefening 21.5.**

Op $40{}^{\circ}$ NB geldt $f = 9.37 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\beta =
1.75 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\tau_x = 0.05\,\mathrm{Pa}$ en $\partial\tau_x/\partial y = 0.1/1.11 \times 10^{6} = 9.0 \times 10^{-8}\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$. De eerste term is $-9.0 \times 10^{-8}/(1025\times9.37 \times 10^{-5}) =
-9.38 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; de tweede, $0.05\times1.75 \times 10^{-11}/(1025\times
(9.37 \times 10^{-5})^2) = +9.7 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. $w_E = -8.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $-26.5\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$: het water wordt naar beneden geduwd.

**Oefening 21.6 ★★.**

In een Stommelgyre met $r = 2 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$ en $\beta =
2 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$, bereken de breedte $\delta_S$. Als de randstroom $30\,\mathrm{Sv}$ transporteert in de bovenste $800\,\mathrm{m}$, binnen een breedte $\delta_S$, wat is dan zijn gemiddelde snelheid?

**Oplossing van Oefening 21.6.**

$\delta_S = 2 \times 10^{-6}/2 \times 10^{-11} = 100\,\mathrm{km}$; snelheid $=
30 \times 10^{6}/(1 \times 10^{5}\times800) = 0.375\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**Oefening 21.7 ★★.**

Bereken de Munkbreedte $\delta_M$ en de breedte van de noordwaartse straalstroom, $(2\pi/\sqrt3)\,\delta_M$, bij $30{}^{\circ}$ NB voor $A_H = 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. Hoe verandert de breedte als $A_H$ acht keer zo klein is?

**Oplossing van Oefening 21.7.**

$\beta = 1.98 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\delta_M = (10^4/1.98 \times 10^{-11})^{1/3}
= 79.6\,\mathrm{km}$, en de straalstroom is $3.628\,\delta_M = 289\,\mathrm{km}$ breed. Bij $A_H$ die acht keer kleiner is, worden beide gehalveerd, omdat $8^{1/3} = 2$.

**Oefening 21.8 ★★.**

Twee stations $80\,\mathrm{km}$ uit elkaar liggen op een lijn van west ($A$) naar oost ($B$) bij $36{}^{\circ}$ NB. Ten opzichte van het $1000\,\mathrm{dbar}$-oppervlak is de geopotentiaalanomalie van het zeeoppervlak $14.5\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ bij $A$ en $21.3\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ bij $B$. Bereken de oppervlaktestroom ten opzichte van $1000\,\mathrm{dbar}$ en de richting ervan. Welk station heeft de warmere waterkolom?

**Oplossing van Oefening 21.8.**

$f = 8.57 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$; $v = (21.3 - 14.5)/(8.57 \times 10^{-5}\times8 \times 10^{4})
= 0.99\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, positief met $B$ rechts: kijkend van $A$ naar $B$, naar het oosten, stroomt de stroom naar het noorden. Het zeeoppervlak staat $6.8/9.81 = 0.69\,\mathrm{m}$ hoger bij $B$; de waterkolom bij $B$ is de lichtere, warmere, aan de rechterzijde van de stroom.

**Oefening 21.9 ★★.**

Met het [evenwichtsgetij](#def-b3-ocean-dynamics-tides) van de Maan, $K = 0.357\,\mathrm{m}$, en de verhouding $0.46$ van het zonnegetij tot het maangetij, bereken de evenwichtsgetijslag (hoogwater onder de hemellichamen min laagwater bij $90{}^{\circ}$) bij springtij en bij doodtij, en hun verhouding.

**Oplossing van Oefening 21.9.**

Springtijslag $1.5K(1 + 0.46) = 0.78\,\mathrm{m}$; doodtijslag $1.5K(1 - 0.46)
= 0.29\,\mathrm{m}$; verhouding $1.46/0.54 = 2.7$.

**Oefening 21.10 ★★★.**

Op het equatoriale $\beta$-vlak geldt $f = \beta_0y$ met $\beta_0 =
2\Omega/a$. Toon aan dat de [Kelvingolf](#def-b3-ocean-dynamics-kelvin-wave) $\eta = G(y)F(x - ct)$, $v = 0$, overgaat in $G = \exp(-\beta_0y^2/2c)$, gevangen aan beide zijden van de evenaar, en naar het oosten loopt. Bereken de invangschaal $\sqrt{c/\beta_0}$ voor een golf met een snelheid van $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**Oplossing van Oefening 21.10.**

Zoals in [Stelling 21.14](#thm-b3-ocean-dynamics-kelvin), $u = \pm(g/c)\eta$ voor $F(x \mp
ct)$, en $fu = -g\,\partial\eta/\partial y$ wordt $\beta_0y(\pm g/c)G =
-gG'$, dus $G = \exp(\mp\beta_0y^2/2c)$. Alleen het bovenste teken, de oostwaarts lopende golf, is aan beide zijden van de evenaar begrensd. $\beta_0 =
2.29 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\sqrt{2.5/2.29 \times 10^{-11}} = 330\,\mathrm{km}$.

**Oefening 21.11 ★★★.**

(a) Leid $V = a\tan\varphi\,W_0$ af voor het abyssale binnenste uit $\beta v =
f\,\partial w/\partial z$. (b) Bereken met $W_0 = 10^{-7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ de $V$ bij $30{}^{\circ}$ NB en het totale poolwaartse transport over een bekken van $5000\,\mathrm{km}$ breed. (c) Waar moet het water vandaan komen?

**Oplossing van Oefening 21.11.**

(a) Integreer $\beta v = f\,\partial w/\partial z$ vanaf de bodem, $w = 0$, tot de top van de abyssale laag, $w = W_0$: $\beta V = fW_0$, en $f/\beta =
a\tan\varphi$. (b) $V = 6.371 \times 10^{6}\times0.577\times10^{-7} =
0.368\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $1.84\,\mathrm{Sv}$ over $5000\,\mathrm{km}$, naar de pool. (c) Van een diepe westelijke randstroom die gevoed wordt door de bronnen op hoge breedte; het inwendige stroomt naar de bronnen toe, de randstroom er vandaan.

**Oefening 21.12 ★★★.**

Een geostrofische stroom $W_g = u_g + \mathrm iv_g$ stroomt over een vlakke zeebodem bij $z = 0$, met wervelviscositeit $A_z$ en geen slip op de bodem. (a) Toon aan dat $W = W_g(1 - \mathrm e^{-(1+\mathrm i)z/\delta})$, $\delta =
\sqrt{2A_z/f}$. (b) Toon aan dat het transporttekort van deze bodem-Ekmanlaag de verticale snelheid $w = \tfrac12\delta\zeta_g$ het binnenste in pompt, met $\zeta_g$ de vorticiteit van de geostrofische stroom. (c) Voor $A_z = 0.01\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $f = 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$ en een oceaan $4000\,\mathrm{m}$ diep, bereken $\delta$, de afremsnelheid $r =
f\delta/2H$, en de inverse daarvan in dagen.

**Oplossing van Oefening 21.12.**

(a) Met $z$ naar boven vanaf de bodem, $A_zW'' = \mathrm if(W - W_g)$, waarbij de drukgradiënt die van de geostrofische stroming boven is. $W - W_g =
C\mathrm e^{-(1+\mathrm i)z/\delta}$ is naar boven begrensd, en $W(0) = 0$ geeft $C = -W_g$. (b) Het transporttekort is $\int_0^\infty(W - W_g)\,\mathrm dz
= -W_g\delta/(1+\mathrm i) = -\tfrac12\delta(1 - \mathrm i)W_g$, dat is $-\tfrac12\delta(u_g + v_g,\ v_g - u_g)$. Omdat de geostrofische stroming niet-divergent is, geldt $w = -\nabla\cdot(\text{tekort}) = \tfrac12\delta(\partial_x
v_g - \partial_y u_g) = \tfrac12\delta\zeta_g$. (c) $\delta =
\sqrt{0.02/10^{-4}} = 14.1\,\mathrm{m}$; $r = 10^{-4}\times14.1/8000 =
1.77 \times 10^{-7}\,\mathrm{s}^{-1}$, een afremtijd van $65$ dagen.

## 21.7 Probleem: Een gyre in de Zee van Ammar

**Probleem 21.1.**

Weekendprobleem — Ekmanpompen, Sverdruptransport, de westelijke randstroom en het getij van een verzonnen oceaan

De Zee van Ammar is een verzonnen oceaanbekken, een rechthoek van $20{}^{\circ}$ tot $50{}^{\circ}$ NB en $6000\,\mathrm{km}$ breed, $4000\,\mathrm{m}$ diep. De windschuifspanning is zonaal, $\tau_x = -\tau_0\cos(\pi(\varphi - 20{}^{\circ})/30{}^{\circ})$ met $\tau_0
= 0.1\,\mathrm{Pa}$. Neem $\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $\Omega =
7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $a = 6371\,\mathrm{km}$, $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, en, waar een $\beta$-vlak gevraagd wordt, de waarde ervan bij $35{}^{\circ}$ NB.

**Deel I — De Ekmanlaag.**

1. Bereken de windschuifspanning bij $20{}^{\circ}$ , $35{}^{\circ}$ en $50{}^{\circ}$ NB.
2. Bereken $f$ bij dezelfde breedtegraden.
3. Bereken het Ekman-volumetransport per eenheid van breedte bij $20{}^{\circ}$ en $50{}^{\circ}$ NB, met zijn richting. Convergeren of divergeren de transporten in het bekken?
4. Met $A_z = 0.05\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , bereken de [Ekmandiepte](#def-b3-ocean-dynamics-ekman-pumping) bij $35{}^{\circ}$ NB.
5. Bereken de [Ekmanpompen](#def-b3-ocean-dynamics-ekman-pumping) bij $35{}^{\circ}$ NB, in meter per seconde en per jaar.
6. Hoeveel jaar zou het duren voordat deze pomping het oppervlaktewater $500\,\mathrm{m}$ omlaag heeft geduwd?

**Deel II — Het Sverdrup-binnenste.**

7. Bereken de lengte $L$ van het bekken van zuid naar noord en $\beta$ bij $35{}^{\circ}$ NB.
8. Bereken de krul van de windschuifspanning bij $35{}^{\circ}$ NB.
9. Bereken het Sverdruptransport per eenheid van breedte bij $35{}^{\circ}$ NB, met zijn richting.
10. Bereken het totale transport van het binnenste over het bekken bij $35{}^{\circ}$ NB, in sverdrups.
11. Als deze stroom zich over de bovenste $1000\,\mathrm{m}$ verspreidt, wat is dan zijn gemiddelde snelheid, en hoeveel jaar doet een waterpakketje erover om $1000\,\mathrm{km}$ naar het zuiden te bewegen?
12. Toon aan dat $fw_E/\beta$ bij $35{}^{\circ}$ NB hetzelfde transport geeft, en verklaar waarom met de [potentiële vorticiteit](https://one-course.com/books/earth/5/nl/chapter/20-atmosferische-dynamica#def-b3-atmospheric-dynamics-pv) van een kolom.

**Deel III — De westelijke randstroom.**

13. Verklaar waarom de terugstroom niet langs de oostkant van het bekken kan lopen.
14. Bereken met een bodemwrijving $r = 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$ de Stommelbreedte $\delta_S$ .
15. Bereken het noordwaartse transport per eenheid van breedte aan de westelijke wand, $A(X/\delta_S - 1)$ , en de gemiddelde snelheid als het de bovenste $1000\,\mathrm{m}$ vult.
16. Hoe ver van de wand eindigt de noordwaartse stroom?
17. Bereken het noordwaartse transport van de Stommelgrenslaag, en verklaar waarom het ongeveer $1.5\,\mathrm{Sv}$ tekortschiet ten opzichte van het binnentransport.
18. Met $A_H = 5 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , bereken $\delta_M$ en de breedte van Munks noordwaartse straalstroom.
19. Munks straalstroom voert $1 + \mathrm e^{-\pi/\sqrt3}$ maal het binnentransport. Bereken het, en zeg waar het overschot naartoe gaat.

**Deel IV — Het getij van de Zee van Ammar.**

20. Bereken de snelheid van een [Kelvingolf](#def-b3-ocean-dynamics-kelvin-wave) in het bekken en de Rossbystraal bij $35{}^{\circ}$ NB.
21. Bereken de golflengte van de M $_2$ -Kelvingolf.
22. Hoelang doet een [Kelvingolf](#def-b3-ocean-dynamics-kelvin-wave) erover om één keer rond de kusten van het bekken te lopen, en hoeveel M $_2$ -perioden is dat?
23. Met welke snelheid zou het [evenwichtsgetij](#def-b3-ocean-dynamics-tides) over de cirkel van $35{}^{\circ}$ NB moeten lopen om onder de Maan te blijven, en in welke diepte van de oceaan zou een lange golf die snelheid halen?
24. Waar verwacht je het amfidromische punt van het bekken, en welke kant draait het hoogwater eromheen?
25. Bereken de halfdaagse evenwichtsamplitude bij $35{}^{\circ}$ NB, $\tfrac34  K\cos^2\varphi$ , met $K = 0.357\,\mathrm{m}$ , voor de Maan op de evenaar.
26. Geef het transport van de westelijke randstroom die de gyre van de Zee van Ammar sluit.

**Oplossing van Probleem 21.1.**

**1.** $\tau_x = -0.1\,\mathrm{Pa}$ (oostenwind), 0 en $+0.1\,\mathrm{Pa}$ (westenwind).

**2.** $f = 4.99 \times 10^{-5}$, $8.37 \times 10^{-5}$ en $1.117 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**3.** $V_E = -\tau_x/(\rho f)$: $+1.96\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ (noord) bij $20{}^{\circ}$ NB en $-0.87\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ (zuid) bij $50{}^{\circ}$ NB. Ze convergeren.

**4.** $D_E = \pi\sqrt{2\times0.05/8.37 \times 10^{-5}} = 109\,\mathrm{m}$.

**5.** $\tau_x = 0$ bij $35{}^{\circ}$ NB, dus $w_E = -(1/\rho f)\,
\partial\tau_x/\partial y = -\pi\tau_0/(\rho fL) = -1.10 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $-34.7\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$, naar beneden.

**6.** $500/34.7 = 14.4\text{ jaar}$.

**7.** $L = a\times\pi/6 = 3336\,\mathrm{km}$; $\beta =
1.875 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**8.** $\operatorname{curl}_z\vec\tau = -\pi\tau_0/L =
-9.42 \times 10^{-8}\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$.

**9.** $V = -9.42 \times 10^{-8}/(1025\times1.875 \times 10^{-11}) =
-4.90\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, naar het zuiden.

**10.** $4.90\times6 \times 10^{6} = 2.94 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, $29.4\,\mathrm{Sv}$ naar het zuiden.

**11.** $4.9\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$; $1000\,\mathrm{km}$ in $2.0 \times 10^{8}\,\mathrm{s}$, $6.5$ jaar.

**12.** $fw_E/\beta = 8.37 \times 10^{-5}\times(-1.10 \times 10^{-6})/
1.875 \times 10^{-11} = -4.90\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$: hetzelfde, omdat het Ekmantransport verdwijnt waar $\tau_x = 0$. Een kolom die met de snelheid $w_E$ samengeperst, behoudt zijn [potentiële vorticiteit](https://one-course.com/books/earth/5/nl/chapter/20-atmosferische-dynamica#def-b3-atmospheric-dynamics-pv) $f/h$ alleen door naar een kleinere $f$ te schuiven, naar het zuiden, met de snelheid $\beta V_g = fw_E$.

**13.** Een grenslaag kan alleen bestaan als de correctie op het binnenste deel van de stroming afneemt vanaf de wand; met $\beta > 0$ is dat $\mathrm e^{-x/\delta_S}$, die naar het oosten afneemt, alleen vanaf de westelijke wand. In termen van vorticiteit zou wrijving in een noordwaartse stroming tegen een oostelijke wand positieve vorticiteit wegnemen, het verkeerde teken.

**14.** $\delta_S = 10^{-6}/1.875 \times 10^{-11} = 53.3\,\mathrm{km}$.

**15.** $A = 4.90\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $X/\delta_S = 112.5$: $4.90\times111.5 = 546\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $0.55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ door $1000\,\mathrm{m}$.

**16.** Waar $(X/\delta_S)\mathrm e^{-x/\delta_S} = 1$: $x =
\delta_S\ln(X/\delta_S) = 252\,\mathrm{km}$.

**17.** $A(X - \delta_S - x_0) = 4.90\times(6000 - 53 - 252)\times
10^3 = 27.9\,\mathrm{Sv}$. De stroming in het binnenste deel gaat in de strook naast de wand nog steeds naar het zuiden; het tekort, $A(x_0 + \delta_S) =
1.5\,\mathrm{Sv}$, is het transport in het binnenste deel dat door die strook had moeten stromen.

**18.** $\delta_M = (5 \times 10^{3}/1.875 \times 10^{-11})^{1/3} = 64.4\,\mathrm{km}$; straal $3.628\times64.4 = 233\,\mathrm{km}$.

**19.** $1.163\times29.4 - A\times233\,\mathrm{km} = 34.2 - 1.1 =
33.0\,\mathrm{Sv}$; het overschot, $16\,\%$ van het transport in het binnenste deel keert naar het zuiden terug in de tegenstroom net ten oosten van de straal.

**20.** $c = \sqrt{9.81\times4000} = 198\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $L_R =
198/8.37 \times 10^{-5} = 2370\,\mathrm{km}$.

**21.** $198\times12.4206\times3600 = 8860\,\mathrm{km}$.

**22.** Omtrek $2(6000 + 3336) = 18\,670\,\mathrm{km}$, $26.2\,\mathrm{h}$, 2.1 M$_2$-perioden.

**23.** De cirkel is $2\pi a\cos35{}^{\circ} = 32\,790\,\mathrm{km}$, die wordt in één lunaire dag doorlopen, $24.84\,\mathrm{h}$: $367\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, wat $c^2/g =
13.7\,\mathrm{km}$ water vereist.

**24.** Met een Rossbystraal die vergelijkbaar is met de breedte van het bekken en een M$_2$-golflengte die vergelijkbaar is met de lengte ervan, ontstaat ongeveer één [amfidromisch punt](#def-b3-ocean-dynamics-amphidrome), nabij het midden van het bekken; het hoogwater draait tegen de klok in eromheen en houdt de kust aan zijn rechterkant.

**25.** $\tfrac34\times0.357\times\cos^235{}^{\circ} = 0.18\,\mathrm{m}$.

**26.** De westelijke randstroom voert naar het noorden de **$29\,\mathrm{Sv}$** af die het binnenste deel naar het zuiden voert ($29.4\,\mathrm{Sv}$ volgens de berekening).