---
title: "Klimaatmodellen"
book: "Universitaire aard- en ruimtewetenschappen — jaar 3"
subject: earth
language: nl
chapter: 22
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/5/nl/chapter/22-klimaatmodellen
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
---

# Hoofdstuk 22 — Klimaatmodellen

Neem het zonlicht dat de Aarde bereikt, $340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ gemiddeld over de bol, en een wet voor de infrarode straling die de Aarde naar de ruimte terugstuurt, afgestemd op dertig jaar reanalyse van de waarnemingen. Laat het albedo van de planeet stijgen van dat van open grond en zee naar dat van ijs naarmate het oppervlak afkoelt. Breng de twee fluxen in evenwicht; dan heeft de vergelijking drie oplossingen: een planeet van $14\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, dicht bij het gemiddelde van de echte; een planeet van $8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; en een planeet van $-46\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, van pool tot pool bevroren. Klimaatmodellen, van deze enkele regels tot programma’s op de grootste computers, zijn hulpmiddelen om te vragen welk klimaat een gegeven planeet heeft, hoe zij daar komt, en hoe dat verandert wanneer haar energiebalans wordt verstoord.

**Wat je al weet.**

Het zwarte lichaam, de wet van Stefan–Boltzmann, het broeikaseffect en het eenlaagsmodel van de atmosfeer staan in de natuurkundeboeken; het albedo en het energiebudget van de Aarde in de schoolboeken. De uitgaande langgolvige straling, de emissietemperatuur en het meridionale warmtetransport staan in Boek 3, in het hoofdstuk over straling en warmtetransport. De ijs–albedoterugkoppeling en de sneeuwbal-Aarde staan in Boek 4, in het hoofdstuk over de precambrische Aarde; de effectieve stralingsforcering, de klimaatterugkoppelingsparameter $\lambda < 0$, de evenwichtsklimaatgevoeligheid (ECS) en de transiënte klimaatrespons (TCR) in het hoofdstuk over antropogene klimaatverandering; numerieke weersvoorspelling en de ensemblevoorspelling in het hoofdstuk over weersystemen. De bewegingsvergelijkingen op de roterende Aarde, met de [hydrostatische benadering](https://one-course.com/books/earth/5/nl/chapter/19-geofysische-vloeistofdynamica#def-b3-gfd-foundations-hydrostatic), staan in Hoofdstuk [19](https://one-course.com/books/earth/5/nl/chapter/19-geofysische-vloeistofdynamica#ch-b3-gfd-foundations).

## 22.1 De energiebalans van een planeet

Gemiddeld over de bol en over een jaar ontvangt elke vierkante meter aan de bovenkant van de atmosfeer $Q = S_0/4 = 340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, een kwart van de zoninstraling $S_0 = 1360\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. Een fractie $\alpha$, het planetaire albedo, wordt gereflecteerd; de rest, $Q(1 - \alpha)$, wordt geabsorbeerd en moet als infrarode straling terug de ruimte in. Een zwart lichaam zou $\sigma
T^4$ uitstralen; de uitgaande langgolvige straling (OLR) van de Aarde is kleiner door het broeikaseffect, en over het bereik van oppervlaktetemperaturen op de Aarde ligt zij dicht bij een rechte lijn,

$$
\text{OLR} = A + BT ,
$$

met $T$ de oppervlaktetemperatuur in graden Celsius. In 1969 paste Budyko zo’n wet aan op de uitgaande straling berekend voor 260 stations, met een correctie voor bewolking $n$: $I = a + bT - (a_1 + b_1T)n$, $a = 14.0$, $b = 0.14$, $a_1 =
3.0$ en $b_1 = 0.10$ in $\mathrm{kcal}\,\mathrm{cm}^{-2}$ per maand, met een spreiding onder $5\,\%$. Voor een gemiddelde bewolking van 0.5 geeft dit $A =
199\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ en $B = 1.43\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$. De jaarlijkse zonale gemiddelden van de NCEP–NCAR Reanalysis 1 voor 1991–2020, gewogen naar oppervlakte, geven $A = 211.9\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ en $B = 1.816\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, met een spreiding van $10\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ rond de lijn. Deze waarden worden hieronder gebruikt.

**Definitie 22.1 (Energiebalansmodel).**

Een *energiebalansmodel* is een klimaatmodel dat een oppervlaktetemperatuur berekent — één wereldwijd gemiddelde, of een gemiddelde per breedtegraad — uit de balans van de geabsorbeerde zonnestraling, de naar de ruimte uitgestraalde infrarode straling en, als de temperatuur van de breedteligging afhangt, het warmtetransport naar de polen. In zijn nuldimensionale vorm geldt

$$
C\,\frac{\mathrm dT}{\mathrm dt} = Q\big(1 - \alpha(T)\big) - (A + BT) ,
$$

waarin $C$ de warmtecapaciteit per oppervlakte-eenheid is van het deel van het systeem dat met het oppervlak opwarmt.

Met $\alpha = 0.30$ is het evenwicht $T = (238 - 211.9)/1.816 =
14.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; het gebiedsgemiddelde van de reanalyse is $14.2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Een forcering $F$, zoals die van een verandering van koolstofdioxide, komt bij het rechterlid op. Nabij een evenwicht wordt de respons bepaald door de klimaatterugkoppelingsparameter $\lambda$ uit Boek 4: bij een vast albedo geldt $\lambda = -B$.

**Stelling 22.2 (Responstijd van een eenbakklimaat).**

Laat een klimaat in evenwicht zijn, en laat een constante forcering $F$ op $t = 0$ worden ingeschakeld. Als de afwijking $T'$ van het evenwicht voldoet aan $C\,\mathrm
dT'/\mathrm dt = F + \lambda T'$ met $C > 0$ en $\lambda < 0$ constant, dan geldt

$$
T'(t) = -\frac{F}{\lambda}\Big(1 - \mathrm e^{-t/\tau}\Big), \qquad
\tau = -\frac{C}{\lambda} .
$$

Het nieuwe evenwicht is $-F/\lambda$, en het klimaat legt de fractie $1
- \mathrm e^{-1} = 0.63$ van de weg af in de tijd $\tau$.

**Bewijs.** $T'_\infty = -F/\lambda$ laat het rechterlid verdwijnen. Het verschil $u = T' - T'_\infty$ voldoet aan $C\,\mathrm du/\mathrm dt = \lambda u$, dus $u =
u(0)\,\mathrm e^{\lambda t/C}$, met $u(0) = F/\lambda$. ∎

De warmtecapaciteit die over enkele jaren telt, is die van de bovenste oceaan. De tweelaagse emulator van het zesde beoordelingsrapport van het Intergovernmental Panel on Climate Change, gekalibreerd op 44 klimaatmodellen, geeft de oppervlaktelaag $C = 8.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{yr}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, de warmtecapaciteit van een laag zeewater van $62\,\mathrm{m}$ diep. Met $\lambda = -B$ is de responstijd is $8.1/1.816 = 4.5\text{ jaar}$. Het echte klimaat warmt ook de diepe oceaan op, veel langzamer; Paragraaf [22.4](#sec-22-4) voegt die toe.

## 22.2 IJs, albedo en meervoudige evenwichten

De ijs–albedoterugkoppeling uit Boek 4 maakt het albedo afhankelijk van de temperatuur. Neem $\alpha = 0.62$ voor een planeet waarvan het oppervlak onder $T_I = -10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ligt, het albedo van ijs in Budyko’s model, $\alpha
= 0.30$ boven $T_F = +10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, en een rechte lijn daartussen, omdat het ijs terugtrekt. De helling is een keuze van dit hoofdstuk; elk albedo dat stijgt naarmate de planeet afkoelt, geeft hetzelfde beeld.

**Definitie 22.3 (Meervoudige klimaatevenwichten; zadel-knoopbifurcatie).**

Een klimaatmodel heeft *meervoudige klimaatevenwichten* wanneer het bij dezelfde externe omstandigheden meer dan één stationaire toestand heeft. Een evenwicht is stabiel als een kleine afwijking ervan vervalt, instabiel als ze groeit. Een *zadel-knoop bifurcatie* is de waarde van een parameter waarbij een stabiel en een instabiel evenwicht samenkomen en samen verdwijnen.

**Propositie 22.4 (Drie evenwichten en hun stabiliteit).**

Schrijf $N(T) = Q(1 - \alpha(T)) - (A + BT)$ voor de netto neerwaartse flux. Een evenwicht $T^*$, $N(T^*) = 0$, is stabiel als $N'(T^*) < 0$ en instabiel als $N'(T^*) > 0$. Met de helling hierboven is $N' = -B$ op de sneeuwbal- en ijsvrije takken, die stabiel zijn waar ze bestaan, en $N' = -B -
Q\,\mathrm d\alpha/\mathrm dT$ op de helling, die instabiel is wanneer $Q\,
|\mathrm d\alpha/\mathrm dT| > B$. Voor $Q = 340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ heeft het model drie evenwichten, $-45.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (stabiel), $7.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (instabiel) en $14.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (stabiel).

**Bewijs.** Nabij $T^*$ geldt $C\,\mathrm dT'/\mathrm dt = N'(T^*)T'$, wat vervalt als $N'(T^*) < 0$ en groeit als $N'(T^*) > 0$. Op de helling is $\mathrm d\alpha/
\mathrm dT = -0.32/20 = -0.016\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, dus $N' = -1.816 + 340
\times 0.016 = +3.62\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$. De sneeuwbaltak, $T = (340\times0.38 - 211.9)/1.816 = -45.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, ligt onder $T_I$; de warme, $14.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, boven $T_F$; op de helling $340(0.54 + 0.016\,T) = 211.9 + 1.816\,T$ geeft $T = 7.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. ∎

![Het nuldimensionale energiebalansmodel met een ijs–albedohelling en de OLR-wet, gefit op de NCEP–NCAR Reanalysis 1. Links de geabsorbeerde zonnestraling en de uitgezonden infrarode straling bij het huidige zonlicht: ze snijden elkaar drie keer; gevulde cirkels zijn stabiel, de open cirkel is instabiel. Rechts de evenwichtstemperatuur tegen de zonneconstante, stabiele takken ononderbroken, de instabiele gestippeld. Het verlagen van de Zon ten opzichte van de huidige waarde koelt de warme planeet af tot de warme tak eindigt bij 1315\, W/ m2, en het klimaat valt terug in de sneeuwbal; het blijft bevroren tot de Zon wordt verhoogd tot 2039\, W/ m2, waar het weer springt naar een zeer hete planeet, ver buiten het bereik waarin de rechte OLR-lijn geldt.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-climate-models/fig-503922f8ca0a.svg)

*Het nuldimensionale [energiebalansmodel](#def-b3-climate-models-ebm) met een ijs–albedohelling en de OLR-wet, gefit op de NCEP–NCAR Reanalysis 1. Links de geabsorbeerde zonnestraling en de uitgezonden infrarode straling bij het huidige zonlicht: ze snijden elkaar drie keer; gevulde cirkels zijn stabiel, de open cirkel is instabiel. Rechts de evenwichtstemperatuur tegen de zonneconstante, stabiele takken ononderbroken, de instabiele gestippeld. Het verlagen van de Zon ten opzichte van de huidige waarde koelt de warme planeet af tot de warme tak eindigt bij $1315\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, en het klimaat valt terug in de sneeuwbal; het blijft bevroren tot de Zon wordt verhoogd tot $2039\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, waar het weer springt naar een zeer hete planeet, ver buiten het bereik waarin de rechte OLR-lijn geldt.*

Naarmate $Q$ daalt, koelt het warme evenwicht af en warmt het ramp-evenwicht op. Ze ontmoeten elkaar aan de top van de helling, $T = T_F$, waar $Q(1 - 0.30) = A +
10B$: $Q = 328.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, een zonneconstante van $1315\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $3.3\,\%$ onder die van vandaag. Dat is een [zadel-knoopbifurcatie](#def-b3-climate-models-multiple-equilibria): onder dit punt is het enige evenwicht de sneeuwbal, en het klimaat valt erin. Het opnieuw verhogen van de Zon brengt de warme planeet niet terug: de sneeuwbaltak eindigt pas waar zijn temperatuur $T_I$ bereikt, $Q(1 - 0.62) = A -
10B$, bij een zonneconstante van $2039\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $50\,\%$ boven die van vandaag. Tussen de twee hangt de toestand van de planeet af van haar geschiedenis: het model vertoont hysterese. In het echte Neoproterozoïcum was de uitweg uit de sneeuwbal van Boek 4 was niet een helderdere Zon maar het koolstofdioxide van vulkanen, dat zich over miljoenen jaren opbouwde tot de broeikasforcering de ontijsingsdrempel bereikte; de ijsgrens trok zich daarna terug naar de polen in enkele duizenden jaren.

## 22.3 Het Budyko–Sellers-model

Een enkele temperatuur heeft geen ijsgrens. In 1969 liet Budyko de temperatuur afhangen van de breedtegraad en vroeg hoe ver een vermindering van het zonlicht het ijs naar de evenaar zou duwen.

**Definitie 22.5 (Budyko–Sellers-model).**

Een *Budyko–Sellers-model* is een [energiebalansmodel](#def-b3-climate-models-ebm) waarin de jaargemiddelde temperatuur $T(x)$ afhangt van $x = \sin\varphi$, $\varphi$ de breedtegraad, waarbij de halfronden symmetrisch zijn. Op elke breedtegraad geldt

$$
C\,\frac{\partial T}{\partial t} = Qs(x)\big(1 - \alpha(x)\big) - (A + BT) - D(x) ,
$$

waarin $s(x)$ de jaarlijkse insolatie van de breedtegraad is gedeeld door het wereldgemiddelde, $D(x)$ de divergentie van het poolwaartse warmtetransport, en het albedo neemt de ijswaarde aan poolwaarts van de ijsgrens $x_s$, waar $T$ onder een kritische temperatuur $T_c$ zakt. Budyko schreef $D = \beta(T - \bar T)$, een relaxatie naar het wereldgemiddelde $\bar T$; in de diffusieve vorm geldt $D =
-\mathcal D\,\partial_x\big[(1 - x^2)\,\partial_xT\big]$.

De factor $x = \sin\varphi$ wordt gekozen omdat gelijke intervallen van $x$ gelijke oppervlakken op de bol omvatten, zodat een wereldgemiddelde $\int_0^1\cdot\,\mathrm
dx$. Budyko vond $\beta = 0.235\,\mathrm{kcal}\,\mathrm{cm}^{-2}$ per maand en per graad, $3.74\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, uit de waargenomen verdeling van de temperatuur met de breedtegraad. Hij stelde het albedo op 0.62 op het ijs en op 0.50 aan de rand, waar het ijs gebroken is, en nam de huidige ijsrand op een gemiddelde breedtegraad van $72{}^{\circ}$ NB; de kritieke temperatuur is de temperatuur die de rand daar legt.

**Propositie 22.6 (De ijslijn van het model van Budyko).**

Laat $F(x_s) = \int_0^{x_s}s\,\mathrm dx$ het deel van het zonlicht zijn dat equatorwaarts van de ijslijn valt, en $\bar\alpha = \alpha_FF + \alpha_I(1 -
F)$ het gemiddelde albedo, gewogen naar het zonlicht. In een stationaire toestand van het model van Budyko geldt

$$
B\bar T = Q(1 - \bar\alpha) - A, \qquad
T(x) = \frac{Qs(x)\big(1 - \alpha(x)\big) - A + \beta\bar T}{B + \beta} ,
$$

en een ijslijn bij $x_s$, waar $T = T_c$ met het randalbedo $\alpha_e$, vereist

$$
Q(x_s) = \frac{(B + \beta)T_c + A(1 + \beta/B)}{s(x_s)(1 - \alpha_e) +
(\beta/B)\big(1 - \bar\alpha(x_s)\big)} .
$$

Een ijslijn is stabiel waar $\mathrm dQ/\mathrm dx_s > 0$ en instabiel waar $\mathrm dQ/\mathrm dx_s < 0$.

**Bewijs.** Integreer de stationaire balans over $0 \le x \le 1$: de transportterm verdwijnt, omdat $\int_0^1(T - \bar T)\,\mathrm dx = 0$, en $\int_0^1
s(1 - \alpha)\,\mathrm dx = 1 - \bar\alpha$; dit levert $\bar T$ op. De stationaire balans op elke $x$ is dan lineair in $T(x)$. Door $T(x_s) = T_c$ te stellen en $\bar T$ te vervangen door zijn waarde, volgt de laatste formule, lineair in $Q$. De stabiliteitsvoorwaarde wordt aangenomen: ze volgt uit het linearisen van het tijdsafhankelijke model rond de stationaire toestand. ∎

De betekenis is die van het nuldimensionale model: langs een stabiele tak duwt iets meer zonneschijn de ijslijn naar de pool. De temperatuur waarbij de rand vandaag ligt, legt $T_c = -12.3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ vast; de reanalyse geeft $-15.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ op $72{}^{\circ}$, het gemiddelde van de twee hemisferen. Het profiel van het model hieronder is in de tropen koeler dan het waargenomen profiel en nabij de polen veel warmer: één coëfficiënt $\beta$ kan het hele profiel niet passen. Het wereldgemiddelde, $12.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, en de evenaar, $22.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, liggen dicht bij de waargenomen $14.2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en $25.7\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

![Breedtegraadmodel van Budyko met de wet voor de uitgaande langgolvige straling van de reanalyse en het zonlicht van elke breedtegraad. Links, het zonlicht Q/Q_0 dat nodig is om de ijslijn op elke breedtegraad vast te houden: stabiele tak doorgetrokken, instabiele stippellijn. Vandaag, Q/Q_0 = 1, bestaan drie toestanden naast elkaar: de ijslijn op 72 (stabiel), op 30 (instabiel) en de sneeuwbal. De stabiele tak eindigt in zijn minimum, 47.7 en 0.9713: bij minder zonlicht daar loopt het ijs tot aan de evenaar. Rechts, de temperatuur van het model vandaag tegenover het jaarlijkse zonale gemiddelde van de NCEP–NCAR Reanalysis 1, 1991–2020, gemiddeld over de twee hemisferen; de ijslijn ligt waar de kromme van het model, met het albedo van de rand, T_c bereikt.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-climate-models/fig-edc4f10370a8.svg)

*Breedtegraadmodel van Budyko met de wet voor de uitgaande langgolvige straling van de reanalyse en het zonlicht van elke breedtegraad. Links, het zonlicht $Q/Q_0$ dat nodig is om de ijslijn op elke breedtegraad vast te houden: stabiele tak doorgetrokken, instabiele stippellijn. Vandaag, $Q/Q_0 = 1$, bestaan drie toestanden naast elkaar: de ijslijn op $72{}^{\circ}$ (stabiel), op $30{}^{\circ}$ (instabiel) en de sneeuwbal. De stabiele tak eindigt in zijn minimum, $47.7{}^{\circ}$ en $0.9713$: bij minder zonlicht daar loopt het ijs tot aan de evenaar. Rechts, de temperatuur van het model vandaag tegenover het jaarlijkse zonale gemiddelde van de NCEP–NCAR Reanalysis 1, 1991–2020, gemiddeld over de twee hemisferen; de ijslijn ligt waar de kromme van het model, met het albedo van de rand, $T_c$ bereikt.*

De stabiele tak heeft een minimum. Met deze waarden ligt dat bij $47.7{}^{\circ}$, voor $Q/Q_0 = 0.9713$: een daling van $2.87\,\%$ in het zonlicht brengt het ijs naar de middelste breedtegraden, en elke verdere daling stuurt het naar de evenaar. Budyko vond een kleinere drempel met zijn eigen coëfficiënten: een daling van $1.6\,\%$ bracht zijn ijs op een gemiddelde breedtegraad van ongeveer $50{}^{\circ}$, waarna het uit zichzelf naar de evenaar oprukte en de gemiddelde temperatuur tot enkele tientallen graden onder nul daalde. De passing van de uitgaande langgolvige straling en de albedo’s verschuift het getal; de vorm van de kromme, het minimum en de op hol geslagen daling erna veranderen niet. De diffusieve vorm van het model, opgelost met Legendre-polynomen in $x$, geeft dezelfde vorm (oefening [22.10](#exo-b3-climate-models-10) behandelt een planeet zonder ijs).

## 22.4 Tweelaags modellen

De responstijd van het één-dooselmodel, enkele jaren, is die van het bovenste deel van de oceaan. Daaronder neemt de diepe oceaan eeuwenlang warmte op, en zolang dat gebeurt, blijft het oppervlak koeler dan zijn evenwicht.

**Definitie 22.7 (Tweelaags energiebalansmodel).**

Een *tweelaags energiebalansmodel* beschrijft het klimaat met een oppervlaktelaag met temperatuuranomalie $T$ en warmtecapaciteit $C$, en een diepe oceaan met temperatuuranomalie $T_d$ en warmtecapaciteit $C_d$, gekoppeld door een warmteuitwisselingscoëfficiënt $\gamma > 0$:

$$
C\,\frac{\mathrm dT}{\mathrm dt} = F + \lambda T - \gamma(T - T_d), \qquad
C_d\,\frac{\mathrm dT_d}{\mathrm dt} = \gamma(T - T_d) .
$$

**Stelling 22.8 (Snelle en trage responsies).**

Neem $\lambda < 0$, $\gamma > 0$, $C, C_d > 0$, en laat een constante forcering $F$ op $t = 0$ vanuit het evenwicht starten. Dan geldt

$$
T(t) = -\frac{F}{\lambda}\Big(1 - a_f\,\mathrm e^{-t/\tau_f} - a_s\,\mathrm
e^{-t/\tau_s}\Big), \qquad a_f + a_s = 1 ,
$$

waarbij $1/\tau_f$ en $1/\tau_s$ de wortels zijn van $r^2 - \big((\gamma -
\lambda)/C + \gamma/C_d\big)r - \lambda\gamma/(CC_d) = 0$. Voor $C \ll C_d$ geldt

$$
\tau_f \approx \frac{C}{\gamma - \lambda}, \qquad
\tau_s \approx \frac{C_d(\gamma - \lambda)}{-\lambda\gamma}, \qquad
a_f \approx \frac{-\lambda}{\gamma - \lambda} .
$$

**Bewijs.** Het evenwicht is $T = T_d = -F/\lambda$. De afwijkingen daarvan voldoen aan $\mathrm d\vec u/\mathrm dt = M\vec u$ met

$$
M = \begin{pmatrix} (\lambda - \gamma)/C & \gamma/C\\ \gamma/C_d &
-\gamma/C_d\end{pmatrix}, \qquad
\operatorname{tr}M = -\frac{\gamma - \lambda}{C} - \frac{\gamma}{C_d},
\qquad \det M = \frac{-\lambda\gamma}{CC_d} > 0 ,
$$

Dus zijn beide eigenwaarden $-r$ reëel en negatief, waarbij $r$ voldoet aan de kwadratische vergelijking uit de stelling. Elke component van $\vec u$ is een combinatie van $\mathrm
e^{-t/\tau_f}$ en $\mathrm e^{-t/\tau_s}$; $T(0) = 0$ geeft $a_f + a_s =
1$. Als $C \ll C_d$ ligt de grotere wortel dicht bij de spoor, $(\gamma -
\lambda)/C$, en de kleinere is de determinant gedeeld door die spoor. Op de snelle tijdschaal is de diepe oceaan nog niet bewogen, $T_d \approx 0$, en het oppervlak stelt zich in op $F/(\gamma - \lambda)$, het deel $-\lambda/(\gamma - \lambda)$ van de uiteindelijke opwarming: dat is $a_f$. ∎

De emulator van het rapport, gekalibreerd op 44 modellen, heeft $C =
8.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{yr}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, $C_d = 110\,\mathrm{W}\,\mathrm{yr}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$ en $\gamma = 0.62\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$; zijn terugkoppelingsparameter wordt bemonsterd rond $\lambda = -1.33\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$. Deze waarden geven $\tau_f = 4.1\text{ jaar}$ en $\tau_s = 262\text{ jaar}$, met $a_f =
0.67$: $62\,\%$ van de opwarming komt binnen een decennium, het meeste van de rest verloopt over eeuwen. De emulator vermenigvuldigt de warmte-uitwisseling in de eerste vergelijking ook met een werkzaamheid $\varepsilon = 1.34$, die het oppervlak verder vertraagt; hier wordt die op 1 gezet.

![Het tweelaagse model met de gemiddelde parameters van de emulator van het zesde rapport en de forcering F_2× = 3.93\, W/ m2 van een verdubbeling. Links een abrupte verviervoudiging van koolstofdioxide: 62\,\% van de uiteindelijke 5.9\, C na 10 jaar, 78\,\% na 100 en 95\,\% na 500. Rechts stijgt het koolstofdioxide met 1\,\% per jaar: bij de verdubbeling, jaar 70, is het oppervlak met 1.99\, C opgewarmd, de TCR van het model, terwijl de evenwichtsopwarming voor die forcering, de ECS, 2.95\, C is; het oppervlak loopt achter omdat de diepe oceaan nog steeds warmte opneemt.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-climate-models/fig-1f0b7acc5c13.svg)

*Het tweelaagse model met de gemiddelde parameters van de emulator van het zesde rapport en de forcering $F_{2\times} =
3.93\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ van een verdubbeling. Links een abrupte verviervoudiging van koolstofdioxide: $62\,\%$ van de uiteindelijke $5.9\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ na 10 jaar, $78\,\%$ na 100 en $95\,\%$ na 500. Rechts stijgt het koolstofdioxide met $1\,\%$ per jaar: bij de verdubbeling, jaar 70, is het oppervlak met $1.99\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ opgewarmd, de TCR van het model, terwijl de evenwichtsopwarming voor die forcering, de ECS, $2.95\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ is; het oppervlak loopt achter omdat de diepe oceaan nog steeds warmte opneemt.*

Het model geeft de twee gevoeligheden van het volume van Jaar 2. Zijn ECS is $-F_{2\times}/\lambda = 3.93/1.33 = 2.95\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Tijdens een helling die tientallen jaren duurt, is de diepe oceaan, met zijn tijdschaal van eeuwen, nauwelijks opgewarmd, en ligt het oppervlak dicht bij het snelle evenwicht $T \approx F/(\gamma -
\lambda)$: de TCR is ongeveer $3.93/1.95 = 2.0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, tegenover $1.99\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ voor de integratie. Met de werkzaamheid wordt $\gamma$ vervangen door $\kappa = \varepsilon\gamma = 0.84\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, en $\text{TCR} = F_{2\times}/(\kappa - \lambda) = 1.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, de beste schatting volgens het rapport, dat ook een ECS van $3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ vaststelt, *waarschijnlijk* 2.5 tot $4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (*hoge betrouwbaarheid*). Het rapport stelt vast dat de verschillen van $\gamma$ en $\varepsilon$ tussen modellen verklaren $10\,\%$ tot $20\,\%$ van hun spreiding van de TCR.

Een model zo eenvoudig als dit, afgesteld om de globale temperatuur van een groot model te reproduceren, is een emulator. Het rapport liet een eenvoudig klimaatmodel draaien waarvan de temperatuurmodule dit tweelaags model is, als een ensemble van een miljoen leden, bemonsterd over de bereiken van de parameters, en hield de 2237 leden over die de waargenomen opwarming sinds 1850, de warmte die door de oceaan wordt opgenomen, de koolstofdioxide van de lucht en het aandeel van de emissies dat erin blijft, reproduceerden.

## 22.5 Algemene circulatiemodellen

Een [energiebalansmodel](#def-b3-climate-models-ebm) krijgt zijn terugkoppelingen en zijn transport mee; een [algemeen circulatiemodel](#def-b3-climate-models-gcm) berekent ze uit de natuurwetten.

**Definitie 22.9 (Algemeen circulatiemodel; dynamische kern; parametrisering).**

Een *algemeen circulatiemodel* (GCM) is een numeriek model van de atmosfeer, van de oceaan, of van beide gekoppeld, dat de bewegings-, continuïteits- en energievergelijkingen van een vloeistof op de roterende Aarde oplost — voor de atmosfeer met de [hydrostatische benadering](https://one-course.com/books/earth/5/nl/chapter/19-geofysische-vloeistofdynamica#def-b3-gfd-foundations-hydrostatic), de “primitieve vergelijkingen” — op een driedimensionaal rooster dat de hele bol bedekt, en stapsgewijs in de tijd vooruitrekent. Zijn *dynamische kern* is het deel dat deze vergelijkingen oplost voor de bewegingen die het rooster resolveert. Een *parametrisering* beschrijft het effect op de opgeloste variabelen van een proces dat kleiner is dan een roostercel — wolken, convectie, turbulentie, zwaartegolven — met een formule in de opgeloste variabelen, met parameters die de modelleurs kiezen.

De resolutie bepaalt wat geparametriseerd moet worden. De algemene circulatiemodellen van 1990 hadden roostercellen van ongeveer $500\,\mathrm{km}$ breed; de globale modellen van het laatste rapport ongeveer $100\,\mathrm{km}$; regionale modellen van 25 tot $50\,\mathrm{km}$, en een speciaal [modelvergelijkingsproject](#def-b3-climate-models-cmip) heeft globale roosters van ongeveer 50, 25 en zelfs $10\,\mathrm{km}$ verkend. Een enkele convectieve wolk is veel kleiner dan een globale cel: convectie wordt geparametriseerd, en regionale modellen die fijn genoeg zijn om haar op te lossen, zijn inmiddels opgenomen in de [modelvergelijkingsprojecten](#def-b3-climate-models-cmip).

![Een doorsnede door het rooster van een globaal model, niet op schaal. Tussen cellen worden de winden en de transporten van warmte en vocht berekend door de dynamische kern; binnen elke kolom worden de processen kleiner dan de cel — wolken, convectie, de overdracht van zonlicht en infrarood, de turbulentie van de onderste laag — worden geparametriseerd, uit de opgeloste temperatuur, vochtigheid en wind van de kolom.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-climate-models/fig-ec3074578883.svg)

*Een doorsnede door het rooster van een globaal model, niet op schaal. Tussen cellen worden de winden en de transporten van warmte en vocht berekend door de [dynamische kern](#def-b3-climate-models-gcm); binnen elke kolom worden de processen kleiner dan de cel — wolken, convectie, de overdracht van zonlicht en infrarood, de turbulentie van de onderste laag — worden geparametriseerd, uit de opgeloste temperatuur, vochtigheid en wind van de kolom.*

**Definitie 22.10 (Aardsysteemmodel).**

Een *aardsysteemmodel* (ESM) is een [algemeen circulatiemodel](#def-b3-climate-models-gcm) van de atmosfeer en de oceaan, gekoppeld aan modellen van het zee-ijs, het landoppervlak en de vegetatie daarop, en van de koolstofcyclus, zodat de concentraties van broeikasgassen en de eigenschappen van het oppervlak kunnen reageren op het klimaat dat ze mede bepalen.

[Aardsysteemmodellen](#def-b3-climate-models-esm) zijn de meest complexe modellen die het rapport gebruikt. In de jaren 1990 waren de gekoppelde atmosfeer–oceaanmodellen de stand van de techniek; tegen de jaren 2010 waren land, vegetatie en de koolstofcyclus toegevoegd, en worden ijskapmodellen ermee gekoppeld. De meeste van hun projecties worden toch gedraaid met voorgeschreven concentraties van de broeikasgassen; alleen de emissiegedreven runs laten de koolstofcyclus van het model ze zelf berekenen. Tussen de energiebalansmodellen en de ESM’s ligt een hiërarchie van modellen van tussenliggende complexiteit, goedkoop genoeg om voor vele duizenden jaren te draaien, zonder supercomputer.

![De ladder van de modellen van dit hoofdstuk. Elke sport voegt processen toe die de sport eronder moest krijgen; de lagere sporten zijn goedkoop genoeg om een miljoen keer te draaien; de bovenste hebben supercomputers nodig.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-climate-models/fig-9e23577416c5.svg)

*De ladder van de modellen van dit hoofdstuk. Elke sport voegt processen toe die de sport eronder moest krijgen; de lagere sporten zijn goedkoop genoeg om een miljoen keer te draaien; de bovenste hebben supercomputers nodig.*

**Definitie 22.11 (Spin-up).**

De *spin-up* van een klimaatmodel is de integratie ervan onder constante forcering, vanuit een begintoestand, totdat de trage componenten — vooral de diepe oceaan en de koolstofreservoirs — zijn opgehouden met driften; de experimenten starten vanuit de toestand die het bereikt.

Het tweelaagse model laat zien waarom een [spin-up](#def-b3-climate-models-spin-up) lang duurt: de trage tijdschaal ervan bedraagt $262$ jaar, en na drie daarvan, bijna acht eeuwen, is de drift nog steeds $5\,\%$ van de initiële onbalans. Het rapport merkt op dat de verschillende strategieën die zijn gebruikt om de modellen te spin-uppen hun prestaties beïnvloedden.

![Rekken van een supercomputer bij het NASA Center for Climate Simulation, Goddard Space Flight Center, in 2010 (NASA, publiek domein). De vergelijkingen van een globaal model worden numeriek opgelost op zulke hoogpresterende computers.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-climate-models/img-16911af4d239.jpg)

*Rekken van een supercomputer bij het NASA Center for Climate Simulation, Goddard Space Flight Center, in 2010 (NASA, publiek domein). De vergelijkingen van een globaal model worden numeriek opgelost op zulke hoogpresterende computers.*

## 22.6 Modellen evalueren

Een model wordt getoetst aan het waargenomen klimaat; het probleem is dat het ook op dat klimaat is afgesteld. Elke [parametrisering](#def-b3-climate-models-gcm) heeft parameters waarvan het aanvaardbare bereik door de fysica en waarnemingen wordt bepaald, en terwijl de componenten worden samengevoegd, verfijnen de modelleurs ze totdat het gesimuleerde klimaat voldoet aan een reeks afstemdoelen: het gemiddelde klimaat — bijvoorbeeld een gemiddelde temperatuur dicht bij de waargenomen temperatuur onder de huidige zonnestraling — regionale kenmerken, of de trends van de historische periode. Pas dan wordt het model vrijgegeven voor de modelvergelijkingen.

**Definitie 22.12 (Modelvergelijkingsproject).**

Een *modelvergelijkingsproject* is een gecoördineerde reeks experimenten — dezelfde forcering, dezelfde protocollen, dezelfde uitvoer — uitgevoerd door veel modelleergroepen met hun eigen modellen, zodat de resultaten vergeleken kunnen worden. Het Coupled Model Intercomparison Project (CMIP) verloopt in opeenvolgende fasen; de zesde fase, CMIP6, was een belangrijke bron van bewijs voor het zesde rapport.

**Cijfers van 2021.**

Van de 29 modelleergroepen van CMIP6 die rapporteerden hoe ze afstemden, stemden er 23 hun model niet af op de opwarming die in de historische periode is waargenomen, en 25 stemden hun ECS niet af: de gevoeligheid van de meeste modellen is een emergente eigenschap, geen invoer. Gemiddeld hebben de CMIP6-modellen een hogere ECS en TCR dan die van de vorige fase, en een bredere spreiding dan de bandbreedtes die het rapport beoordeelde; in sommige modellen werd dit herleid tot de terugkoppeling van de wolken op middelbare en hoge breedtegraden. Enkele van de gevoeligste modellen reproduceren de waargenomen recente opwarming en de klimaten van het verleden minder goed. Het rapport heeft daarom de bandbreedtes van ECS en TCR niet uit de modellen zelf overgenomen, maar uit het begrip van de terugkoppelingsprocessen, de instrumentele reeks, de klimaten uit het verleden en [emergente beperkingen](#def-b3-climate-models-evaluation); het behandelt de gevoeligste modellen als leidraad voor uitkomsten met lage waarschijnlijkheid en grote impact (*hoge betrouwbaarheid*).

**Definitie 22.13 (Groot ensemble; emergente beperking).**

Een *groot ensemble* is een verzameling van vele simulaties van één enkel model, met dezelfde forcering over dezelfde periode, die alleen verschillen in hun begintoestanden. Een *emergente beperking* is een verband dat over een ensemble van verschillende modellen heen wordt gevonden, tussen een waarneembare grootheid van het huidige klimaat en een grootheid van het toekomstige, zoals de ECS; de waargenomen waarde van de eerste beperkt dan de bandbreedte van de tweede.

Het klimaat is chaotisch, zodat kleine verschillen in de begintoestand de leden van een [groot ensemble](#def-b3-climate-models-evaluation) op verschillende paden brengen: de spreiding van de leden meet de interne variabiliteit, en hun gemiddelde de geforceerde respons. Grote ensembles van meerdere modellen ondersteunden het rapport. Een [emergente beperking](#def-b3-climate-models-evaluation) heeft een fysische reden nodig. Bij enkele tientallen modellen kunnen duizenden waarneembare grootheden worden getest, en sommige zullen toevallig met de ECS correleren; het rapport hield die met een fysische basis aan, veel ervan gaan over de wolken in de tropen, en waarschuwde dat een bias die alle modellen van het ensemble delen, de methode ondermijnt.

**In het laboratorium — Een modelleercentrum.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-climate-models/img-984558a1560c.jpg)

*Twee wetenschappers voor een wand van schermen met globale velden van een modelrun. Door AI gegenereerde illustratie.*

In een klimaatmodelleercentrum is het model een programma dat geschreven en onderhouden wordt door een team: atmosfeer, oceaan, zee-ijs en land zijn afzonderlijke componenten die via een koppelaar fluxen aan hun grensvlakken uitwisselen. Voordat een run begint, worden de forceringen van het experiment ingelezen — de concentraties van broeikasgassen, de aerosolen, het landgebruik volgens het protocol. De aardbol wordt in stukken gesneden die de processoren van de supercomputer naast elkaar berekenen, en een eeuw modelklimaat komt terug als een groot archief van velden. De wetenschappers tonen ze op schermen, vergelijken ze met reanalyses en satellietreeksen, en sturen de standaarduitvoer naar het archief van het [modelvergelijkingsproject](#def-b3-climate-models-cmip), waar andere groepen ze met hun eigen uitvoer vergelijken.

## 22.7 Oefeningen

**Oefening 22.1 ★.**

Budyko’s uitgaande langgolvige stralingswet is $I = a + bT - (a_1 + b_1T)n$, met $a = 14.0$, $b =
0.14$, $a_1 = 3.0$, $b_1 = 0.10$, in $\mathrm{kcal}\,\mathrm{cm}^{-2}$ per maand en $T$ in ${}^{\circ}\mathrm{C}$. Bereken voor een bewolking $n = 0.5$ de waarden van $A$ en $B$, en reken ze om naar $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ en $\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, waarbij een maand gelijk is aan een twaalfde van een jaar van 365.25 dagen. Welke uitgaande langgolvige straling geeft de wet bij $15\,{}^{\circ}\mathrm{C}$?

**Oplossing van Oefening 22.1.**

$A = 14.0 - 1.5 = 12.5$ en $B = 0.14 - 0.05 = 0.09$, in $\mathrm{kcal}\,\mathrm{cm}^{-2}$ per maand. Een maand is $2.63 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$, dus $1\,\mathrm{kcal}\,\mathrm{cm}^{-2}$ per maand is $4.184 \times 10^{7}/2.63 \times 10^{6} =
15.91\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$: $A = 199\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $B =
1.43\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$. Bij $15\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $199 + 21.5 =
220\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$.

**Oefening 22.2 ★.**

Met $Q = 340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $A = 211.9\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ en $B =
1.816\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, bereken de evenwichtstemperatuur voor een albedo van 0.30 en van 0.31. Hoeveel koelt deze planeet af bij een stijging van de albedo met 0.01?

**Oplossing van Oefening 22.2.**

$(238.0 - 211.9)/1.816 = 14.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; met 0.31, $(234.6 -
211.9)/1.816 = 12.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Elke 0.01 albedo kost $3.4\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ en $3.4/1.816 = 1.9\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**Oefening 22.3 ★.**

Bereken de warmtecapaciteit per vierkante meter van een gemengde laag zeewater van $60\,\mathrm{m}$ diep, $\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ en $c_p = 3992\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, in $\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-1}$ en in $\mathrm{W}\,\mathrm{yr}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-1}$. Bereken de responstijd van [Stelling 22.2](#thm-b3-climate-models-response) voor $\lambda = -B =
-1.816\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$ en voor $\lambda =
-1.33\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$.

**Oplossing van Oefening 22.3.**

$C = 1025\times3992\times60 = 2.46 \times 10^{8}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-1}$; gedeeld door de $3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ van een jaar, $7.78\,\mathrm{W}\,\mathrm{yr}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-1}$. Dan $\tau
= 7.78/1.816 = 4.3\text{ jaar}$, en $7.78/1.33 = 5.8\text{ jaar}$.

**Oefening 22.4 ★.**

Voor het tweelaags model met $\lambda = -1.33\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, $\gamma = 0.62\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$ en $F_{2\times} =
3.93\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, bereken de ECS, de benaderde TCR $F_{2\times}/
(\gamma - \lambda)$, en hun verhouding.

**Oplossing van Oefening 22.4.**

ECS $= 3.93/1.33 = 2.95\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; TCR $\approx 3.93/1.95 =
2.02\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; verhouding $0.68$.

**Oefening 22.5 ★★.**

Neem in het nuldimensionale model uit de tekst een zonneconstante van $1340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. Bepaal de drie evenwichten en de helling $N'(T)$ van de netto flux bij elk daarvan; welke zijn stabiel?

**Oplossing van Oefening 22.5.**

$Q = 335\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. Sneeuwbal: $(335\times0.38 - 211.9)/1.816 =
-46.6\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; warm: $(335\times0.70 - 211.9)/1.816 =
12.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, nog boven $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; ramp: $335(0.54 +
0.016\,T) = 211.9 + 1.816\,T$ geeft $T = 8.7\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. $N' =
-1.816\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$ bij de eerste twee, stabiel, en $-1.816
+ 335\times0.016 = +3.54$ bij de ramp, instabiel.

**Oefening 22.6 ★★.**

Verschuif de albedoramp uit de tekst: $\alpha = 0.62$ onder $-20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $0.30$ boven $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, lineair ertussen. Houd $A$ en $B$ gelijk. Bij welke zonneconstante eindigt de warme tak, en met hoeveel procent ligt die onder $1360\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$? Bij welke zonneconstante smelt de sneeuwbal? Wat bepaalt de grootte van de drempel?

**Oplossing van Oefening 22.6.**

De warme tak eindigt waar de temperatuur $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ bereikt: $0.70\,Q = A$, $Q = 302.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, een zonneconstante van $1211\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $11.0\,\%$ lager dan vandaag. De sneeuwbal smelt waar $0.38\,Q = A - 20B$, $Q = 462.1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $S_0 =
1848\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. De drempel is $B(T^* - T_F)/(Q_0(1 - \alpha_F))$, het verschil tussen de huidige temperatuur $T^*$ en de temperatuur waarbij het ijs begint zich uit te breiden, omgerekend naar zonlicht: $1.816\times14.37/238 =
11.0\,\%$ hier, $1.816\times4.37/238 = 3.3\,\%$ in de tekst.

**Oefening 22.7 ★★.**

Een modelplaneet met de parameters uit de tekst bevindt zich in de sneeuwbaltoestand. (a) Wat is de temperatuur bij de huidige zonneconstante? (b) Met de Zon zoals hij is, welke forcering $F$ brengt de temperatuur van de sneeuwbal omhoog tot $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$? Hoeveel keer de forcering van een verdubbeling van koolstofdioxide, $3.93\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, is dat? (c) Waar stelt de planeet zich in als de ijskap verdwenen is en de forcering daarna wordt weggenomen?

**Oplossing van Oefening 22.7.**

(a) $-45.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (b) $340\times0.38 + F = 211.9 - 18.2$: $F =
64.5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, 16 keer de forcering van een verdubbeling. (c) Zolang de forcering duurt, springt de planeet naar de warme tak, $(238.0 + 64.5 -
211.9)/1.816 = 50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; zodra die wordt weggenomen koelt de planeet langs de warme tak tot $14.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, die bestaat bij de huidige Zon: de planeet keert niet terug naar de sneeuwbal.

**Oefening 22.8 ★★.**

Model X, een verzonnen tweelaags model, heeft $C = 7.0$ en $C_d =
90\,\mathrm{W}\,\mathrm{yr}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, $\gamma = 0.70$ en $\lambda =
-1.10\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$. Bereken de twee tijdschalen exact en met de benaderingen van [Stelling 22.8](#thm-b3-climate-models-two-layer), de breuk $a_f$, de ECS en de benaderde TCR.

**Oplossing van Oefening 22.8.**

$\Sigma = 1.80/7.0 + 0.70/90 = 0.2649\,\mathrm{yr}^{-1}$, $\Pi = 1.10\times0.70/
(7.0\times90) = 1.222 \times 10^{-3}\,\mathrm{yr}^{-2}$. De wortels geven $\tau_f =
3.84\text{ jaar}$ en $\tau_s = 213\text{ jaar}$; de benaderingen, $7.0/1.80 = 3.89\text{ jaar}$, en $90\times1.80/(1.10\times0.70) =
210\text{ jaar}$. $a_f = 0.597$ exact, $1.10/1.80 = 0.611$ ongeveer. ECS $= 3.93/1.10 = 3.57\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; TCR $\approx
3.93/1.80 = 2.18\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**Oefening 22.9 ★★.**

In Budyko’s model uit de tekst is $\bar T = 12.81\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $\beta =
3.74\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, de ijsgrens bij $72{}^{\circ}$, $s = 1.221$ aan de evenaar en $0.506$ aan de pool, $\alpha = 0.30$ en $0.62$. Bereken de temperatuur aan de evenaar en aan de pool, en de warmte $\beta(T - \bar T)$ die het transport per vierkante meter daar wegneemt, of aanvoert.

**Oplossing van Oefening 22.9.**

Noemer $B + \beta = 5.555$. Evenaar: $(340\times1.221\times0.70 -
211.9 + 3.74\times12.81)/5.555 = 22.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; pool: $(340\times0.506\times0.38 - 211.9 + 47.9)/5.555 = -17.7\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Het transport verwijdert $3.74\times(22.8 - 12.8) = 37\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ bij de evenaar en brengt $3.74\times30.6 = 114\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ naar de pool.

**Oefening 22.10 ★★★.**

Een planeet zonder ijs ($\alpha = 0.30$ overal) heeft het diffusieve transport $D = -\mathcal D\,\partial_x[(1 - x^2)\partial_xT]$ en de insolatie $s(x) = 1 + s_2P_2(x)$, $P_2 = (3x^2 - 1)/2$. (a) Toon aan dat $\partial_x[(1 - x^2)\partial_xP_2] = -6P_2$. (b) Toon aan dat $T = T_0 +
T_2P_2(x)$ een stationaire oplossing is, met $T_0 = (Q(1 - \alpha) - A)/B$ en $T_2 = Qs_2(1 - \alpha)/(B + 6\mathcal D)$. (c) De insolatie van de reanalyse geeft $s_2 = -0.476$. Wat zou zonder transport het temperatuurverschil zijn tussen evenaar en pool? (d) Welke $\mathcal D$ geeft het waargenomen verschil, $55.3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$?

**Oplossing van Oefening 22.10.**

(a) $(1 - x^2)P_2' = 3x - 3x^3$, waarvan de afgeleide is $3 - 9x^2 = -6P_2$. (b) De transportterm is $-\mathcal D T_2(-6P_2) = 6\mathcal DT_2P_2$. De balans $Q(1 + s_2P_2)(1 - \alpha) - A - B(T_0 + T_2P_2) - 6\mathcal
DT_2P_2 = 0$ geldt voor alle $x$ als het constante deel en het $P_2$-deel wegvallen, wat $T_0$ en $T_2$ geeft. (c) $T(0) - T(1) = T_2(-\tfrac12 - 1)
= -1.5\,T_2$. Zonder transport $T_2 = 340\times(-0.476)\times0.70/1.816 =
-62.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: een verschil van $94\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (d) $T_2 =
-55.3/1.5 = -36.9\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, dus $B + 6\mathcal D = 113.3/36.9 =
3.07$ en $\mathcal D = 0.21\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$.

**Oefening 22.11 ★★★.**

Schrijf de kwadratische vergelijking van [Stelling 22.8](#thm-b3-climate-models-two-layer) als $r^2 -
\Sigma r + \Pi = 0$ en toon aan dat, als $4\Pi \ll \Sigma^2$, de wortels dicht bij $\Sigma$ en $\Pi/\Sigma$ liggen. (b) Voor een forcering $F = kt$ die lineair stijgt, toon aan dat zodra $t \gg \tau_f$ en zolang $T_d$ klein blijft, geldt $T \approx kt/(\gamma - \lambda)$; leid daaruit de benaderde TCR af. (c) Controleer de getallen uit de tekst: $\Sigma$, $\Pi$, de twee tijdschalen en de verhouding $4\Pi/\Sigma^2$.

**Oplossing van Oefening 22.11.**

(a) $r = \tfrac12\Sigma\big(1 \pm \sqrt{1 - 4\Pi/\Sigma^2}\big)$; met $\sqrt{1 - \epsilon} \approx 1 - \epsilon/2$, de wortels zijn $\Sigma -
\Pi/\Sigma \approx \Sigma$ en $\Pi/\Sigma$. (b) Met $T_d = 0$, $C\,\mathrm
dT/\mathrm dt = kt - (\gamma - \lambda)T$, waarvan de oplossing vanuit rust is $T =
k(t - \tau_f)/(\gamma - \lambda) + k\tau_f\mathrm e^{-t/\tau_f}/(\gamma -
\lambda)$, $\tau_f = C/(\gamma - \lambda)$. Voor $t \gg \tau_f$, $T \approx
kt/(\gamma - \lambda)$, en bij de verdubbeling, $kt = F_{2\times}$: TCR $\approx F_{2\times}/(\gamma - \lambda)$. (c) $\Sigma = 1.95/8.1 +
0.62/110 = 0.2464\,\mathrm{yr}^{-1}$, $\Pi = 1.33\times0.62/(8.1\times110) =
9.25 \times 10^{-4}\,\mathrm{yr}^{-2}$; $\tau_f = 4.12\text{ jaar}$ en $\tau_s =
262\text{ jaar}$ (ongeveer $1/\Sigma = 4.06\text{ jaar}$ en $\Sigma/\Pi = 266\text{ jaar}$); $4\Pi/\Sigma^2 = 0.061$.

**Oefening 22.12 ★★★.**

Een verzonnen ensemble van acht modellen geeft een waarneembare grootheid $X$ van het huidige klimaat en hun ECS:

| $X$ | 0.2 | 0.5 | 0.6 | 0.8 | 1.0 | 1.1 | 1.3 | 1.5 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| ECS (${}^{\circ}\mathrm{C}$) | 2.3 | 2.7 | 3.1 | 3.2 | 3.8 | 3.9 | 4.4 | 4.6 |

(a) Bereken het gemiddelde en de standaardafwijking van de ECS van het ensemble. (b) Pas ECS $= a + bX$ aan met de kleinste kwadraten; bereken de correlatie en de standaardafwijking van de residuen. (c) De waargenomen $X$ is $0.7
\pm 0.1$. Welke ECS geeft de beperking, en met welke spreiding? (d) Wat zou je deze beperking doen wantrouwen?

**Oplossing van Oefening 22.12.**

(a) Gemiddelde $3.50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, standaardafwijking $0.81\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (b) ECS $= 1.88 + 1.86\,X$; correlatie $0.992$; residuele standaardafwijking $0.11\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (c) $1.88 + 1.86\times0.7 =
3.18\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, met een spreiding $\sqrt{(1.86\times0.1)^2 + 0.11^2} =
0.22\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, ongeveer een kwart van de spreiding van het ensemble. (d) Geen fysisch mechanisme koppelt $X$ aan de terugkoppelingen; $X$ is gevonden door het uitproberen van veel waarneembare grootheden, zodat de correlatie toeval kan zijn; een vertekening die alle acht modellen delen; modellen uit dezelfde familie geteld als onafhankelijk.

## 22.8 Probleem: Hoe dicht bij een sneeuwbal?

**Probleem 22.1.**

Weekendprobleem — evenwichten, stabiliteit en de verijzingsdrempel van een modelplaneet

Een modelplaneet heeft de huidige zonneconstante $S_0 = 1360\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ en de OLR-wet $A + BT$ met $A = 211.9\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ en $B =
1.816\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$. Het albedo is 0.62 onder $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, 0.30 boven $+10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, daartussen lineair, en de oppervlaktewarmtecapaciteit $C = 8.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{yr}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$. Neem $\sigma = 5.670 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$.

**Deel I — De planeet in evenwicht.**

1. Bereken het gemiddelde zonlicht $Q_0$ per vierkante meter van de planeet, en verklaar de factor.
2. Bereken het geabsorbeerde zonlicht bij een albedo van 0.30, en de OLR bij $15\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
3. Bereken het warme evenwicht.
4. Bereken het sneeuwbalevenwicht, en controleer dat het op de ijstak ligt.
5. Bereken het derde evenwicht, op de albedoramp.
6. Bereken de emissietemperatuur die het geabsorbeerde zonlicht als zwarte straler terug de ruimte in stuurt, en vergelijk die met het warme evenwicht.

**Deel II — Stabiliteit en tijd.**

7. Bereken de helling $N'(T)$ van de netto flux bij elk evenwicht, en zeg welke stabiel zijn.
8. Een kleine afwijking van het middelste evenwicht groeit als $\mathrm  e^{t/\tau}$ . Bereken $\tau$ .
9. Bereken de responstijd van het warme evenwicht.
10. Een forcering van $3.93\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , die van een verdubbeling van koolstofdioxide, wordt ingeschakeld. Bereken de opwarming in evenwicht, en vergelijk die met de voor het echte klimaat beoordeelde ECS.
11. Hoe lang doet het model erover om $95\,\%$ van de opwarming te bereiken? Waarom doet het echte klimaat er langer over?

**Deel III — De zadel-knoopbifurcatie.**

12. Terwijl de Zon verzwakt, bij welke temperatuur komt het warme evenwicht samen met het middelste? Bereken $Q$ daar.
13. Bereken de zonneconstante bij de bifurcatie, en de daling ten opzichte van vandaag in procent.
14. Net eronder, waar gaat het klimaat naartoe? Bereken de temperatuur ervan.
15. Bereken de zonneconstante waarbij de sneeuwbal smelt, en de stijging ten opzichte van vandaag in procent.
16. Schets de lus die de temperatuur volgt wanneer $S_0$ wordt verlaagd onder de bifurcatie en teruggebracht naar $1360\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ .

**Deel IV — De ijslijn.** Geef de planeet Budyko’s latitudinale model, met $\beta = 3.739\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, een ijsalbedo van 0.62 poolwaarts van de ijslijn, 0.30 equatorwaarts, 0.50 bij de rand, en de insolatie van de reanalyse:

| breedtegraad | $0{}^{\circ}$ | $30{}^{\circ}$ | $40{}^{\circ}$ | $47.5{}^{\circ}$ | $55{}^{\circ}$ | $60{}^{\circ}$ | $72{}^{\circ}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $s(x_s)$ | 1.2211 | 1.0730 | 0.9647 | 0.8688 | 0.7650 | 0.6947 | 0.5643 |
| $F(x_s)$ | 0 | 0.5865 | 0.7324 | 0.8192 | 0.8863 | 0.9205 | 0.9738 |

17. Bereken, met de ijslijn bij $72{}^{\circ}$ , het gemiddelde albedo $\bar\alpha$ en de gemiddelde temperatuur $\bar T$ .
18. Bereken de kritieke temperatuur $T_c$ die de rand op $72{}^{\circ}$ vandaag legt, en vergelijk die met de reanalyse, $-15.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
19. Bereken de teller van $Q(x_s)$ in [Propositie 22.6](#prop-b3-climate-models-iceline) en de verhouding $\beta/B$ .
20. Bereken $Q(x_s)/Q_0$ voor de ijslijn bij $30{}^{\circ}$ , $40{}^{\circ}$ , $47.5{}^{\circ}$ , $55{}^{\circ}$ en $60{}^{\circ}$ .
21. Waar ligt het minimum van deze waarden? Welke ijslijnen zijn stabiel?
22. Welke andere ijslijn laat het model toe bij de huidige Zon, en is die stabiel? Is de sneeuwbal vandaag mogelijk? (Gebruik de kolom $0{}^{\circ}$ .)
23. Vergelijk de drempel van het latitudinale model met die van Deel III en met Budyko’s $1.6\,\%$ , en de breedtegraad van het ijs bij de drempel met zijn $50{}^{\circ}$ .
24. Geef, op twee significante cijfers, de daling van de zonneconstante, in procent, die de modelplaneet verijst.

**Oplossing van Probleem 22.1.**

**1.** $Q_0 = 1360/4 = 340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$: de planeet onderschept het zonlicht met een schijf van oppervlakte $\pi R^2$ en verspreidt het over een bol van oppervlakte $4\pi R^2$.

**2.** $340\times0.70 = 238.0\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; $211.9 + 1.816\times15 =
239.1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$.

**3.** $(238.0 - 211.9)/1.816 = 14.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**4.** $(129.2 - 211.9)/1.816 = -45.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, onder $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**5.** $340(0.54 + 0.016\,T) = 211.9 + 1.816\,T$: $T =
(183.6 - 211.9)/(1.816 - 5.44) = 7.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**6.** $(238.0/5.670 \times 10^{-8})^{1/4} = 254.5\,\mathrm{K}$, $-18.6\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: $33\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ onder het warme evenwicht, het broeikaseffect van de planeet, ingebouwd in $A$ en $B$.

**7.** $N' = -B = -1.816\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$ bij de sneeuwbal en het warme evenwicht, beide stabiel; $-1.816 + 5.44 =
+3.62$ bij het middelste, instabiele evenwicht.

**8.** $\tau = 8.1/3.62 = 2.2\text{ jaar}$.

**9.** $8.1/1.816 = 4.5\text{ jaar}$.

**10.** $3.93/1.816 = 2.2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, onder de beoordeelde beste schatting van $3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en onder het *waarschijnlijke* bereik van 2.5 tot $4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: de $B$ van het model, gefit over breedtegraden, is niet de klimaatterugkoppelingsparameter van het klimaat als geheel.

**11.** $\mathrm e^{-t/\tau} = 0.05$ bij $t = 3\tau =
13\text{ jaar}$. Het echte klimaat warmt ook de diepe oceaan op, waarvan de tijdschaal eeuwen is.

**12.** Bij $T_F = 10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; $Q = (211.9 + 18.2)/0.70 =
328.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$.

**13.** $S_0 = 1315\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $3.3\,\%$ onder dat van vandaag.

**14.** Naar de sneeuwbal, $(328.7\times0.38 - 211.9)/1.816 =
-47.9\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**15.** $Q = (211.9 - 18.2)/0.38 = 509.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $S_0 =
2039\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $50\,\%$ boven dat van vandaag.

**16.** Langs de warme tak omlaag naar $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ bij $1315\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, een daling tot $-48\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, dan weer omhoog langs de sneeuwbaltak naar $-45.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ bij $1360\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$: de planeet blijft bevroren. Pas boven $2039\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ zou hij terugspringen naar de warme tak.

**17.** $\bar\alpha = 0.30\times0.9738 + 0.62\times0.0262 =
0.3084$; $\bar T = (340\times0.6916 - 211.9)/1.816 =
12.80\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**18.** $T_c = (340\times0.5643\times0.50 - 211.9 + 3.739\times12.80)/
5.555 = -12.26\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $3.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ warmer dan de reanalyse bij $72{}^{\circ}$.

**19.** $5.555\times(-12.26) + 211.9\times3.059 = 580.1$, met $\beta/B = 2.059$.

**20.** De noemers zijn 1.7053, 1.7473, 1.7565, 1.7488 en 1.7362, en $Q/Q_0 = 1.0005$, $0.9764$, $0.9713$, $0.9756$ en $0.9827$.

**21.** Nabij $47.5{}^{\circ}$, bij $0.971$. De ijslijnen poolwaarts van het minimum zijn stabiel, $\mathrm dQ/\mathrm dx_s > 0$; die equatorwaarts zijn instabiel.

**22.** $Q/Q_0 = 1$ ook tussen $30{}^{\circ}$ en $40{}^{\circ}$, dicht bij $30{}^{\circ}$ ($30.2{}^{\circ}$ door interpolatie): een instabiele ijslijn. Bij $0{}^{\circ}$ is $Q/Q_0 = 580.1/(0.6106 + 0.7824)/340 = 1.225$: de sneeuwbal houdt stand voor elke Zon tot $22\,\%$ helderder dan die van vandaag, dus hij is vandaag mogelijk.

**23.** $2.9\,\%$, tegen $3.3\,\%$ voor het nuldimensionale model en $1.6\,\%$ voor Budyko; het ijs staat bij de drempel nabij $48{}^{\circ}$, tegenover zijn $50{}^{\circ}$. Het breedtegraadmodel vergletsjert eerder dan het globale, omdat het zonlicht het zwakst is waar het ijs zich vormt.

**24.** De modelplaneet vergletsjert bij een daling van **$2.9\,\%$** van de zonneconstante ($2.87\,\%$ volgens de berekening).