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title: "Modelagem de elementos-traço"
book: "Ciências da Terra e do espaço universitárias — 3.º ano"
subject: earth
language: pt
chapter: 12
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/5/pt/chapter/12-modelagem-de-elementos-traco
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Capítulo 12 — Modelagem de elementos-traço

Dois basaltos entraram em erupção na mesma ilha, a alguns quilômetros um do outro. Um deles tem mais de uma vez e meia a quantidade de lantânio do outro e quase quatro vezes menos itérbio. Eles se fundiram a partir de dois mantos diferentes, ou de um mesmo manto fundido em proporções diferentes, ou em profundidades diferentes? Os elementos maiores pouco ajudam, pois ambos são basaltos. Os elementos-traço, que acompanham os minerais sem alterá-los, guardam o registro de quanto fundido foi produzido, de como ele deixou sua fonte e de quais minerais permaneceram para trás. Este capítulo escreve esse registro em forma de equações e o lê de volta.

**O que você já sabe.**

O coeficiente de partição mineral–fundido $D$, o coeficiente de partição global, elementos compatíveis e incompatíveis, os elementos terras raras, o condrito CI e o manto primitivo, os diagramas normalizados e a anomalia de európio, MORB e OIB estão no volume do segundo ano, no capítulo sobre elementos na Terra. Peridotito, lherzolito, fusão parcial e a fração de fundido $F$ estão no capítulo sobre a fusão do manto. Cristalização em equilíbrio e fracionada, a lei de fracionamento de Rayleigh, mistura e cristalização fracionada com assimilação (AFC), estão no capítulo sobre diferenciação magmática. Ali foi demonstrado que a razão entre dois elementos muito incompatíveis se mantém constante durante a cristalização.

## 12.1 O balanço de uma rocha em fusão

Uma rocha de massa 1 se funde. Na fração de fundido $F$, ela produziu uma massa $F$ de fundido e manteve uma massa $1 - F$ de resíduo sólido. Um elemento-traço presente na concentração $C_0$ na fonte se distribui entre as duas fases; sua concentração no fundido é $C_L$, e no resíduo, $C_S$. Todo modelo deste capítulo é uma forma de um mesmo balanço, $C_0 = FC_L + (1 - F)C_S$ para o conjunto de fundido e resíduo, e uma regra que relaciona $C_S$ a $C_L$: no contato entre um cristal e o fundido, $C_{\text{mineral}} = D\,C_L$. Os modelos diferem no que está em contato com o quê, e quando.

Os coeficientes de partição dos minerais do manto diferem muito entre si. Em uma compilação, o lantânio tem $D = 0.058$ no clinopiroxênio e $0.001$ na granada, na olivina, no ortopiroxênio e no espinélio; o itérbio tem $D = 0.58$ no clinopiroxênio, $4.5$ na granada e $0.16$ nos outros três. A granada incorpora as terras raras pesadas e rejeita as leves.

**Definição 12.1 (Fusão não modal).**

Na *fusão não modal*, os minerais da fonte entram no fundido em proporções $p_i$ que diferem de suas frações mássicas $x_i$ na fonte. No início, o fundido enxerga o coeficiente de partição global da fonte, $D_0 = \sum_i x_iD_i$; à medida que a fusão avança, passa a enxergar o coeficiente ponderado pela fusão $P = \sum_i p_iD_i$.

A fusão raramente é modal. Em um exemplo trabalhado de um lherzolito de espinélio com $58\,\%$ de olivina, $27\,\%$ de ortopiroxênio, $12\,\%$ de clinopiroxênio e $3\,\%$ de espinélio, os minerais entram no fundido nas proporções 20, 25, 45 e $10\,\%$: o clinopiroxênio se funde quatro vezes mais rápido que a sua parcela, e a olivina, três vezes mais devagar.

**Proposição 12.2 (Coeficiente de partição global do resíduo).**

Na [fusão não modal](#def-b3-trace-element-modelling-nonmodal) com $p_i$ constante, o resíduo na fração de fundido $F$ tem o coeficiente de partição global

$$
\bar D(F) = \frac{D_0 - PF}{1 - F},
$$

válido enquanto todo mineral permanecer, isto é, para $F < x_i/p_i$ para cada $i$.

**Demonstração.** Por unidade de massa da fonte, a massa do mineral $i$ que resta em $F$ é $x_i - p_iF$, e o resíduo tem massa $1 - F$. Seu coeficiente global é a média ponderada pela massa, $\sum_i (x_i - p_iF)D_i/(1 - F) = (D_0 - PF)/(1 - F)$. Um mineral se esgota quando $x_i - p_iF = 0$. ∎

Com os coeficientes minerais acima, um lherzolito de espinélio do exemplo trabalhado e um lherzolito de granada mantido a $5\,\mathrm{GPa}$ e $1400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ em laboratório, com $54.1\,\%$ de olivina, $9.8\,\%$ de ortopiroxênio, $19.5\,\%$ de clinopiroxênio e $16.7\,\%$ de granada em massa, obtêm-se os coeficientes globais abaixo.

| fonte | $D_{\mathrm{La}}$ | $D_{\mathrm{Sm}}$ | $D_{\mathrm{Yb}}$ |
| --- | --- | --- | --- |
| lherzolito de espinélio | 0.0078 | 0.062 | 0.21 |
| lherzolito de granada | 0.012 | 0.107 | 0.97 |

O lantânio é muito incompatível nas duas. O itérbio é moderadamente incompatível no lherzolito de espinélio e quase neutro no lherzolito de granada. A diferença entre as duas fontes se deve quase inteiramente às terras raras pesadas.

## 12.2 Fusão em lote

**Teorema 12.3 (Fusão em lote).**

Na *fusão em lote*, o fundido permanece em equilíbrio com o resíduo inteiro até sair em um único lote. Com um coeficiente de partição global $D$ constante, o fundido e o resíduo na fração de fundido $F$ apresentam as razões a seguir:

$$
\frac{C_L}{C_0} = \frac{1}{D + F(1 - D)}, \qquad
\frac{C_S}{C_0} = \frac{D}{D + F(1 - D)}.
$$

**Demonstração.** No equilíbrio, cada cristal do resíduo contém $D_iC_L$, logo o resíduo contém $C_S = DC_L$ em média. O balanço $C_0 = FC_L + (1 - F)DC_L$ fornece $C_L$, e $C_S$ decorre imediatamente. ∎

A fórmula é a lei da cristalização em equilíbrio do volume do segundo ano, lida de trás para frente: em ambas, $F$ é a fração de líquido em um sistema fechado. Seus dois limites merecem ser conhecidos. Quando $F \to 0$, $C_L \to C_0/D$: a primeira gota de fundido pode enriquecer um elemento, no máximo, pelo fator $1/D$. Quando $D \to 0$, $C_L \to
C_0/F$: um elemento perfeitamente incompatível é diluído no fundido, e seu enriquecimento mede apenas $F$. Para um elemento compatível, $D > 1$, o fundido é mais pobre do que a fonte, tanto mais quanto menor for $F$.

**Proposição 12.4 (Fusão em lote não modal).**

Na [fusão em lote](#thm-b3-trace-element-modelling-batch), com as proporções de fusão $p_i$ da [Definição 12.1](#def-b3-trace-element-modelling-nonmodal),

$$
\frac{C_L}{C_0} = \frac{1}{D_0 + F(1 - P)}.
$$

**Demonstração.** O resíduo contém $\bar D(F)\,C_L$ (a [Proposição 12.2](#prop-b3-trace-element-modelling-residue)), logo $C_0 = FC_L + (1 - F)\bar D(F)C_L = C_L(F + D_0 - PF)$. ∎

Quando $P$ excede $D_0$, como para o lantânio no exemplo resolvido, em que $D_0 =
0.0074$ e $P = 0.025$, o resíduo perde seu melhor hospedeiro, o clinopiroxênio, mais depressa que o restante. O fundido fica então um pouco mais rico do que a fusão modal prevê, por menos de $2\,\%$ em $F = 0.1$ para o lantânio (exercício 6), mas o resíduo fica sem clinopiroxênio em $F = 0.12/0.45 \approx 0.27$, e, além desse ponto, os minerais e os coeficientes mudam.

## 12.3 Fusão fracionada e dinâmica

O fundido em uma peridotita reúne-se ao longo das bordas dos grãos e pode escapar assim que estiver conectado. O membro extremo oposto à [fusão em lote](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) remove cada gota à medida que se forma.

**Teorema 12.5 (Fusão fracionada).**

Na *fusão fracionada*, cada incremento de fundido está em equilíbrio com o resíduo apenas no momento em que se forma e, então, deixa-o. Com $D$ constante, após ter sido extraída uma massa total $F$ de fundido, o resíduo e o fundido que se forma naquele instante apresentam

$$
\frac{C_S}{C_0} = (1 - F)^{1/D - 1}, \qquad
\frac{C_L}{C_0} = \frac{1}{D}(1 - F)^{1/D - 1}.
$$

**Demonstração.** O resíduo tem massa $1 - F$ e concentração $C_S$. Quando uma massa $\mathrm dF$ de fundido sai com $C_L = C_S/D$, o elemento no resíduo diminui de $\mathrm d[(1 - F)C_S] = -(C_S/D)\,\mathrm dF$. Desenvolvendo, $(1 - F)\,\mathrm dC_S = C_S(1 - 1/D)\,\mathrm dF$, logo $\mathrm dC_S/C_S = (1/D - 1)\,\mathrm d[-\ln(1 - F)]$. Integrando desde $C_S = C_0$ em $F = 0$ obtém-se $\ln(C_S/C_0) = (1/D - 1)\ln(1 - F)$, e $C_L = C_S/D$. ∎

Para um elemento incompatível, $1/D - 1$ é grande e positivo: o resíduo é esgotado dentro de algumas vezes $D$ de fusão, e o fundido instantâneo cai de $C_0/D$ para quase nada. Um resíduo de [fusão fracionada](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional) é muito mais empobrecido que um de [fusão em lote](#thm-b3-trace-element-modelling-batch). Os fundidos, porém, não chegam à superfície um a um: eles se acumulam em canais e em bolsões, e o fundido reunido, definido a seguir, é desenhado tracejado na figura.

![Enriquecimento de um elemento-traço no fundido em função da fração de fundido, para quatro coeficientes de partição globais. (a) Fundidos em lote (linhas cheias) e fundidos fracionados agregados (tracejados; para D = 1 ambos permanecem em 1). (b) Os fundidos instantâneos da fusão fracionada: um elemento com D = 0.01 é esgotado do resíduo após alguns por cento de fusão.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-trace-element-modelling/fig-60a3afdc5bff.svg)

*Enriquecimento de um elemento-traço no fundido em função da fração de fundido, para quatro coeficientes de partição globais. (a) Fundidos em lote (linhas cheias) e [fundidos fracionados agregados](#def-b3-trace-element-modelling-fractional) (tracejados; para $D = 1$ ambos permanecem em 1). (b) Os fundidos instantâneos da [fusão fracionada](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional): um elemento com $D = 0.01$ é esgotado do resíduo após alguns por cento de fusão.*

**Definição 12.6 (Fundido fracionado agregado).**

O *fundido fracionado agregado* é a mistura de todos os fundidos instantâneos de uma [fusão fracionada](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional) de $0$ a $F$, reunidos sem reação adicional com o resíduo.

**Proposição 12.7 (Composição do fundido agregado).**

Com $D$ constante, o [fundido fracionado agregado](#def-b3-trace-element-modelling-fractional) tem

$$
\frac{\bar C_L}{C_0} = \frac{1 - (1 - F)^{1/D}}{F}.
$$

**Demonstração.** O elemento extraído é a fonte menos o resíduo, $C_0 - (1 - F)C_S = C_0[1 - (1 - F)^{1/D}]$ pelo [Teorema 12.5](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional), distribuído em uma massa $F$ de fundido. ∎

Quando $(1 - F)^{1/D}$ é pequeno, o fundido agregado retém todo o elemento e $\bar C_L \approx C_0/F$, qualquer que seja $D$: para elementos muito incompatíveis, os fundidos fracionados reunidos e os fundidos em lote com $D$ pequeno concordam, e ambos medem $F$.

A fusão real situa-se entre os dois membros extremos. Um resíduo retém algum fundido em seus poros, e o fundido que sai é o excedente acima dessa porosidade.

**Definição 12.8 (Fusão dinâmica).**

Na *fusão dinâmica* (também chamada fusão contínua), o resíduo mantém uma fração mássica constante $\phi$ de fundido em seus poros, em equilíbrio com seus cristais, e todo fundido produzido além desse limite é extraído.

**Proposição 12.9 (Fusão dinâmica).**

A [fusão dinâmica](#def-b3-trace-element-modelling-dynamic) com porosidade $\phi$ é uma [fusão fracionada](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional) com o coeficiente de partição efetivo $D' = (1 - \phi)D + \phi$, em que $F$ é a massa fração de fundido extraída:

$$
\frac{C_L}{C_0} = \frac{1}{D'}(1 - F)^{1/D' - 1}.
$$

**Demonstração.** O resíduo é formado por cristais, com fração $1 - \phi$, e por fundido nos poros, com fração $\phi$, ambos em equilíbrio com o fundido em $C_L$; logo, ele tem $C_S = [(1 - \phi)D + \phi]C_L = D'C_L$. A demonstração do [Teorema 12.5](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional) então se aplica com $D'$. ∎

Para $\phi = 0$, o modelo é a [fusão fracionada](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional); para $\phi \to 1$, ele aproxima-se da [fusão em lote](#thm-b3-trace-element-modelling-batch). Uma porosidade de um por cento limita o enriquecimento do primeiro fundido a $1/\phi = 100$, por menor que seja $D$: o fundido nos poros tampona o resíduo.

![Três modos pelos quais o fundido deixa uma fonte em fusão. (a) Em lote: o fundido permanece com todo o resíduo e só depois sai. (b) Fracionada: cada incremento sai de imediato; os incrementos reunidos formam o fundido agregado. (c) Dinâmica: o resíduo retém uma pequena fração mássica de fundido em seus poros.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-trace-element-modelling/fig-ef53a6737c13.svg)

*Três modos pelos quais o fundido deixa uma fonte em fusão. (a) Em lote: o fundido permanece com todo o resíduo e só depois sai. (b) Fracionada: cada incremento sai de imediato; os incrementos reunidos formam o fundido agregado. (c) Dinâmica: o resíduo retém uma pequena fração mássica $\phi$ de fundido em seus poros.*

## 12.4 Fusão, seguida de cristalização

Um fundido que deixa sua fonte raramente entra em erupção sem alterações. Ele cristaliza olivina, depois piroxênio e plagioclásio em seu caminho para cima, pode assimilar rocha encaixante e pode misturar-se com outros lotes. As leis do volume do segundo ano se aplicam em sequência: uma lava é um fundido com fração $F$ de sua fonte, seguido de um líquido que manteve uma fração $f$ de sua massa por cristalização fracionada; assim, para um elemento com $D$ no resíduo de fusão e $D_c$ nos minerais em cristalização,

$$
C_{\text{lava}} = C_0\,\frac{1}{D + F(1 - D)}\,f^{\,D_c - 1}.
$$

O segundo fator é o mesmo para todos os elementos que os minerais em cristalização rejeitam, $D_c \approx 0$: ele os escala todos por $1/f$. Razões entre tais elementos são, portanto, fixadas na fonte, e uma lava que perdeu olivina mantém a razão La/Yb de seu fundido primário enquanto seu lantânio aumenta. Inverter $F$ a partir de uma concentração exige $f$ também; inverter a fonte a partir de uma razão não exige. O plagioclásio é a exceção entre as terras raras: ele incorpora európio, e sua remoção deixa a anomalia de európio do volume do segundo ano.

## 12.5 Lendo padrões de terras raras

Um fundido de um lherzolito com espinélio e um fundido de um lherzolito com granada compartilham suas terras raras leves, que nenhum dos dois resíduos retém, e diferem nas pesadas, que a granada retém. Em um diagrama normalizado a condritos, os fundidos com granada são íngremes e de base plana na extremidade pesada; os fundidos com espinélio são mais suaves. A inclinação aumenta à medida que $F$ diminui.

![Padrões de terras raras normalizados a condritos de fundidos em lote de uma fonte de manto primitivo, de um lherzolito com espinélio (círculos azuis) e uma lherzolito com granada (quadrados vermelhos), em três frações de fundido; a fonte é a linha fina. Apenas as nove terras raras com coeficientes de partição tabelados são plotadas.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-trace-element-modelling/fig-de4c464730ba.svg)

*Padrões de terras raras normalizados a condritos de fundidos em lote de uma fonte de manto primitivo, de um lherzolito com espinélio (círculos azuis) e uma lherzolito com granada (quadrados vermelhos), em três frações de fundido; a fonte é a linha fina. Apenas as nove terras raras com coeficientes de partição tabelados são plotadas.*

A granada cede lugar ao espinélio como mineral aluminoso do manto a cerca de 60 a $90\,\mathrm{km}$ de profundidade. Um fundido cujas terras raras pesadas são planas e baixas, com uma inclinação acentuada de leves para pesadas, deixou, portanto, granada em seu resíduo e começou a fundir pelo menos nessa profundidade.

Um padrão mistura duas incógnitas, $F$ e a fonte. Plotar dois elementos um contra o outro as separa.

**Definição 12.10 (Diagrama razão–razão).**

Um *diagrama razão–razão* plota, para uma série de lavas, a razão de um elemento altamente incompatível $H$ para um menos incompatível $M$ contra a concentração de $H$ (ou contra outra razão). Fusão parcial, cristalização e mistura traçam linhas de formas diferentes nele.

**Proposição 12.11 (A reta da fusão em lote).**

Para fundidos em lote de uma mesma fonte com $D_H = 0$ e $D_M$ constante, os pontos $(C_H, C_H/C_M)$ situam-se sobre a reta

$$
\frac{C_H}{C_M} = \frac{D_M}{C_0^M}\,C_H + \frac{C_0^H(1 - D_M)}{C_0^M}.
$$

**Demonstração.** Com $D_H = 0$, $C_H = C_0^H/F$, logo $1/F = C_H/C_0^H$. Então $C_H/C_M = (C_0^H/F)\,(D_M + F(1 - D_M))/C_0^M = C_0^HD_M/(FC_0^M) +
C_0^H(1 - D_M)/C_0^M$, e o primeiro termo é $(D_M/C_0^M)\,C_H$. ∎

Cristalização fracionada de minerais que rejeitam ambos os elementos desloca uma lava horizontalmente neste diagrama, já que a razão não muda; a fusão a desloca ao longo de uma reta inclinada cuja inclinação cresce com $D_M$; a mistura de dois fundidos traça uma hipérbole. Uma fonte com granada tem um $D_{\mathrm{Yb}}$ grande, daí uma reta de fusão íngreme no diagrama La/Yb contra La.

**Método 12.12 (Invertendo duas lavas).**

(1) Verifica-se que as lavas são cogenéticas e que $H$ é muito mais incompatível que $M$. (2) Corrige-se cada lava pela cristalização ou usam-se apenas razões. (3) Por duas ou mais lavas, ajusta-se a reta $C_H/C_M = aC_H + b$. (4) Então $a = D_M/C_0^M$ e $b = C_0^H(1 - D_M)/C_0^M$: com $C_0^M$ admitido, $D_M =
aC_0^M$ e $C_0^H = bC_0^M/(1 - D_M)$. (5) A fração de fundido de cada lava é $F = C_0^H/C_H$.

![Fundidos em lote de uma fonte de manto primitivo em um diagrama La/Yb contra La, para um lherzolito com espinélio e uma com granada, com marcas em F = 1, 2, 5, 10 e 20\,\%, e as duas lavas inventadas do problema de fim de semana. Cada lava situa-se sobre apenas uma curva.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-trace-element-modelling/fig-062f247ac4af.svg)

*Fundidos em lote de uma fonte de manto primitivo em um diagrama La/Yb contra La, para um lherzolito com espinélio e uma com granada, com marcas em $F = 1$, 2, 5, 10 e $20\,\%$, e as duas lavas inventadas do problema de fim de semana. Cada lava situa-se sobre apenas uma curva.*

Em eixos logarítmicos, a reta da proposição se curva, e com $D_{\mathrm{La}} \ne 0$ ela é apenas quase reta em eixos lineares; as curvas da figura são exatas. Uma fonte com espinélio não pode produzir um fundido com La/Yb acima de $(C_0^{\mathrm{La}}/D_{\mathrm{La}})/(C_0^{\mathrm{Yb}}/D_{\mathrm{Yb}})$, cerca de 40 para o manto primitivo; uma fonte com granada pode atingir cerca de 120.

## 12.6 Exercícios

**Exercício 12.1 ★.**

Com os coeficientes minerais do samário, 0.40 em clinopiroxênio, 0.11 em granada, 0.016 em olivina, ortopiroxênio e espinélio, calcule o coeficiente de partição global do samário no lherzolito com espinélio ($12\,\%$ clinopiroxênio) e no lherzolito com granada ($19.5\,\%$ clinopiroxênio, $16.7\,\%$ granada) do capítulo.

**Solução de Exercício 12.1.**

Lherzolito com espinélio: $0.12\times0.40 + 0.88\times0.016 = 0.048 + 0.0141 =
0.062$. Lherzolito com granada: $0.195\times0.40 + 0.167\times0.11 +
0.639\times0.016 = 0.078 + 0.0184 + 0.0102 = 0.107$.

**Exercício 12.2 ★.**

Um elemento com $D = 0.05$ está presente a $1\,\mathrm{ppm}$ em uma fonte. Calcule sua concentração em fundidos em lote para $F = 0.02$ e $0.10$.

**Solução de Exercício 12.2.**

$1/(0.05 + 0.02\times0.95) = 1/0.069 = 14.5\,\mathrm{ppm}$; $1/(0.05 + 0.10\times0.95) = 1/0.145 = 6.9\,\mathrm{ppm}$.

**Exercício 12.3 ★.**

Qual é o maior enriquecimento $C_L/C_0$ que a [fusão em lote](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) pode conferir a um elemento com $D = 0.01$? E a um elemento com $D = 0$ em $F = 5\,\%$?

**Solução de Exercício 12.3.**

O enriquecimento é maior quando $F \to 0$: $1/D = 100$. Com $D = 0$, $C_L/C_0 = 1/F = 20$.

**Exercício 12.4 ★.**

Uma lava contém $30\,\mathrm{ppm}$ de La e $2.5\,\mathrm{ppm}$ de Yb. Com os valores do condrito CI La 0.232 e Yb $0.163\,\mathrm{ppm}$, calcule seu La/Yb e seu $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N$ normalizado pelo condrito.

**Solução de Exercício 12.4.**

$\mathrm{La/Yb} = 30/2.5 = 12.0$; $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N =
(30/0.232)/(2.5/0.163) = 129.3/15.34 = 8.4$.

**Exercício 12.5 ★★.**

Para um elemento com $D = 0.01$, compare os resíduos após $5\,\%$ de [fusão em lote](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) e de [fusão fracionada](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional). O que o fundido instantâneo fracionado contém naquele momento?

**Solução de Exercício 12.5.**

[Fusão em lote](#thm-b3-trace-element-modelling-batch): $C_S/C_0 = 0.01/(0.01 + 0.05\times0.99) = 0.168$. [Fusão fracionada](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional): $(0.95)^{99} = 0.0062$, 27 vezes menor. O fundido instantâneo mantém $0.0062/0.01 = 0.62\,C_0$: menos que a fonte.

**Exercício 12.6 ★★.**

No exemplo resolvido do capítulo (modas 58, 27, 12, $3\,\%$; proporções de fusão 20, 25, 45, $10\,\%$ para olivina, ortopiroxênio, clinopiroxênio e espinélio), o lantânio tem os coeficientes 0.0003, 0.002, 0.053 e 0.01. Calcule $D_0$ e $P$, depois o enriquecimento de lantânio no fundido em lote para $F = 0.02$ e $0.10$, não modal e modal.

**Solução de Exercício 12.6.**

$D_0 = 0.58\times0.0003 + 0.27\times0.002 + 0.12\times0.053 + 0.03\times0.01
= 0.00737$; $P = 0.20\times0.0003 + 0.25\times0.002 + 0.45\times0.053 +
0.10\times0.01 = 0.0254$. Com $F = 0.02$, [fusão não modal](#def-b3-trace-element-modelling-nonmodal) $1/(0.00737 +
0.02\times0.9746) = 37.2$, fusão modal $1/(0.00737 + 0.02\times0.9926) = 36.7$. Com $F = 0.10$: 9.54 e 9.38, com diferença de $1.7\,\%$.

**Exercício 12.7 ★★.**

Para $F = 0.10$, compare o fundido em lote e o [fundido fracionado agregado](#def-b3-trace-element-modelling-fractional) para $D = 0.1$ e para $D = 0.01$. Qual deles difere mais, e por quê?

**Solução de Exercício 12.7.**

$D = 0.1$: [fusão em lote](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) $1/(0.1 + 0.09) = 5.26$; [fundido fracionado agregado](#def-b3-trace-element-modelling-fractional) $(1 - 0.9^{10})/0.1 =
6.51$. $D = 0.01$: [fusão em lote](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) $1/(0.01 + 0.099) = 9.17$; [fundido fracionado agregado](#def-b3-trace-element-modelling-fractional) $(1 - 0.9^{100})/0.1 = 10.00$. O par com $D = 0.1$ difere mais: para $D = 0.01$ os dois fundidos já retêm quase todo o elemento, e ambos tendem a $1/F$.

**Exercício 12.8 ★★.**

Um elemento com $D = 0.001$ funde dinamicamente com $\phi = 0.01$. Calcule $D'$, o enriquecimento do primeiro fundido extraído, e o do fundido extraído em $F = 0.01$; compare com a [fusão fracionada](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional).

**Solução de Exercício 12.8.**

$D' = 0.99\times0.001 + 0.01 = 0.01099$. Primeiro fundido: $1/D' = 91$, contra 1000 na [fusão fracionada](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional). Com $F = 0.01$: $91\times0.99^{90.0} = 36.8$, contra $1000\times0.99^{999} = 0.044$: o fundido intersticial impede que o resíduo seja esgotado.

**Exercício 12.9 ★★.**

Na lherzolito com espinélio do capítulo, $D_{\mathrm{La}} = 0.0078$ e $D_{\mathrm{Sm}} = 0.062$. Por qual fator a [fusão em lote](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) eleva a razão La/Sm acima do valor da fonte em $F = 0.01$ e em $F = 0.10$? O que isso diz sobre usar razões para estimar $F$?

**Solução de Exercício 12.9.**

A razão é multiplicada por $(D_{\mathrm{Sm}} + F(1 - D_{\mathrm{Sm}}))/(D_{\mathrm{La}}
+ F(1 - D_{\mathrm{La}}))$: para $F = 0.01$, $0.0714/0.0177 = 4.0$; para $F = 0.10$, $0.156/0.107 = 1.46$. A razão é sensível a $F$ para $F$ pequeno e quase insensível acima de cerca de $10\,\%$; ela depende também de $D_{\mathrm{Sm}}$, e, portanto, dos minerais residuais.

**Exercício 12.10 ★★★.**

Mostre que o [fundido fracionado agregado](#def-b3-trace-element-modelling-fractional) é a média dos fundidos instantâneos formados de 0 a $F$, e que ele tende a $C_0/F$ quando $(1 - F)^{1/D} \to 0$. Para $D = 0.01$, a partir de qual $F$ ele está a $1\,\%$ de $C_0/F$?

**Solução de Exercício 12.10.**

$\frac1F\int_0^F \frac1D(1 - x)^{1/D - 1}\,\mathrm dx = \frac1F\bigl[-(1 -
x)^{1/D}\bigr]_0^F = [1 - (1 - F)^{1/D}]/F$, a fórmula do capítulo; se $(1 - F)^{1/D} \to 0$, ela tende a $1/F$ vezes $C_0$. Dentro de $1\,\%$: $(1 - F)^{100} < 0.01$, $F > 1 - 0.01^{0.01} = 0.045$, aproximadamente $4.5\,\%$.

**Exercício 12.11 ★★★.**

Duas lavas cogenéticas P e Q têm La de 20 e $10\,\mathrm{ppm}$ e La/Yb de 10 e 6. Supondo o lantânio perfeitamente incompatível e uma fonte com $0.44\,\mathrm{ppm}$ de Yb, aplique o método do capítulo: encontre $D_{\mathrm{Yb}}$, o La da fonte e a fração de fundido de cada lava.

**Solução de Exercício 12.11.**

Inclinação $a = (10 - 6)/(20 - 10) = 0.40\,\mathrm{ppm}^{-1}$; intercepto $b = 10 -
0.40\times20 = 2.0$. $D_{\mathrm{Yb}} = 0.40\times0.44 = 0.176$; $C_0^{\mathrm{La}} = 2.0\times0.44/0.824 = 1.07\,\mathrm{ppm}$. $F_P = 1.07/20 =
5.3\,\%$, $F_Q = 1.07/10 = 10.7\,\%$.

**Exercício 12.12 ★★★.**

Na [fusão não modal](#def-b3-trace-element-modelling-nonmodal) do exercício 6, em qual fração de fundido cada mineral se esgota? Calcule o coeficiente global do resíduo para o lantânio em $F = 0.2$, e diga por que a fórmula do capítulo não pode ser usada além do primeiro esgotamento.

**Solução de Exercício 12.12.**

$F = x_i/p_i$: clinopiroxênio $0.12/0.45 = 0.27$, espinélio $0.03/0.10 = 0.30$, ortopiroxênio $0.27/0.25 = 1.08$, olivina $0.58/0.20 = 2.9$; clinopiroxênio é o primeiro a fundir. Com $F = 0.2$: $\bar D = (0.00737 - 0.0254\times0.2)/0.8 =
0.0029$. Além de $F = 0.27$ os $p_i$ mudam (não resta clinopiroxênio para fundir), e a fórmula, que supõe $p_i$ constantes, deixa de valer.

## 12.7 Problema: duas lavas da ilha Aldren

**Problema 12.1.**

Problema de fim de semana — a fonte, a profundidade e o grau de fusão de dois basaltos inventados, a partir de seu lantânio e itérbio

Na ilha Aldren, uma ilha vulcânica inventada, a lava A contém $9.6\,\mathrm{ppm}$ de La e $1.7\,\mathrm{ppm}$ de Yb, a lava B $15.6\,\mathrm{ppm}$ de La e $0.45\,\mathrm{ppm}$ de Yb. Ambas são tomadas como fundidos primários de uma fonte de manto primitivo com $0.648\,\mathrm{ppm}$ de La e $0.441\,\mathrm{ppm}$ de Yb (condrito CI: La 0.232, Yb $0.163\,\mathrm{ppm}$). Coeficientes minerais: La 0.058 em clinopiroxênio e 0.001 em granada e em olivina, ortopiroxênio e espinélio; Yb 0.58 em clinopiroxênio, 4.5 em granada e 0.16 em olivina, ortopiroxênio e espinélio. O lherzolito com espinélio é formada por $58\,\%$ de olivina, $27\,\%$ de ortopiroxênio, $12\,\%$ clinopiroxênio, $3\,\%$ de espinélio; o lherzolito com granada $54.1\,\%$ de olivina, $9.8\,\%$ de ortopiroxênio, $19.5\,\%$ de clinopiroxênio, $16.7\,\%$ de granada. A fusão é modal.

**Parte I — As duas fontes.**

1. Calcule $D_{\mathrm{La}}$ e $D_{\mathrm{Yb}}$ do lherzolito com espinélio.
2. Calcule-os para o lherzolito com granada. Arredonde os quatro para dois algarismos significativos para o restante do problema.
3. Qual coeficiente difere mais entre as fontes, e por quê? O itérbio é compatível no lherzolito com granada?
4. Calcule o $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N$ normalizado pelo condrito da fonte. Como é o seu padrão?

**Parte II — Fusão em lote da lava A.**

5. Calcule o La em fundidos de [fusão em lote](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) do lherzolito com espinélio para $F = 1$ , 5 e $10\,\%$ .
6. Determine a fração de fundido que fornece à lava A o seu lantânio.
7. Preveja o seu itérbio e o seu La/Yb e compare-os com a lava A.
8. Calcule o La e o Yb no resíduo, e a fração do lantânio da fonte que nele permanece.
9. Que fração de fundido você obteria ao tomar o lantânio como perfeitamente incompatível?

**Parte III — Fusão fracionada da lava A.**

10. Calcule o La no fundido fracionado instantâneo para $F = 0.1$ , 1 e $6\,\%$ .
11. Calcule o La no [fundido fracionado agregado](#def-b3-trace-element-modelling-fractional) para $F = 6.0\,\%$ .
12. Determine a fração de fundido na qual o fundido agregado tem o lantânio da lava A. Por que ela é tão próxima da resposta da questão 9?
13. Compare o lantânio do resíduo com o da questão 8.
14. Qual estimativa de $F$ você mantém?

**Parte IV — Lava B e granada.**

15. Calcule o La/Yb e o $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N$ das duas lavas.
16. Qual é o maior La/Yb que um fundido em lote do lherzolito com espinélio pode atingir?
17. Em que fração de fundido um fundido de lherzolito com espinélio teria o La/Yb da lava B, e quanto lantânio ele conteria? Conclua.
18. Determine a fração de fundido da lava B a partir do seu lantânio, para o lherzolito com granada, e lherzolito com granada, e preveja o seu itérbio.
19. O que as duas fontes indicam sobre as profundidades em que A e B começaram a fundir? A lava A poderia vir do lherzolito com granada?
20. Calcule a inclinação e a interseção da reta de [fusão em lote](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) La/Yb $= a\, \mathrm{La} + b$ da fonte com granada, tomando $D_{\mathrm{La}}$ como zero, e verifique a lava B em relação a ela.
21. Se a lava A tivesse perdido $10\,\%$ de sua massa como olivina antes de entrar em erupção, como mudariam o seu La/Yb e a sua fração de fundido?
22. Responda à pergunta da abertura do capítulo para essas duas lavas.
23. Dê o grau de fusão da lava A.

**Solução de Problema 12.1.**

**1.** $D_{\mathrm{La}} = 0.12\times0.058 + 0.88\times0.001 = 0.00784$; $D_{\mathrm{Yb}} = 0.12\times0.58 + 0.88\times0.16 = 0.210$.

**2.** $D_{\mathrm{La}} = 0.195\times0.058 + 0.167\times0.001 +
0.639\times0.001 = 0.0121$; $D_{\mathrm{Yb}} = 0.195\times0.58 +
0.167\times4.5 + 0.639\times0.16 = 0.967$. Arredondados: 0.0078, 0.21, 0.012, 0.97.

**3.** $D_{\mathrm{Yb}}$, de 0.21 para 0.97, porque a granada retém as terras raras pesadas ($D = 4.5$). O itérbio ainda é levemente incompatível, $0.97 < 1$.

**4.** $(0.648/0.232)/(0.441/0.163) = 2.79/2.71 = 1.03$: um padrão plano cerca de 2.8 vezes o condrito.

**5.** $0.648/(0.0078 + 0.01\times0.9922) = 36.6\,\mathrm{ppm}$; a $5\,\%$, $11.3\,\mathrm{ppm}$; a $10\,\%$, $6.05\,\mathrm{ppm}$.

**6.** $F = (0.648/9.6 - 0.0078)/0.9922 = (0.0675 - 0.0078)/0.9922 =
0.0602$, $6.0\,\%$.

**7.** $\mathrm{Yb} = 0.441/(0.21 + 0.0602\times0.79) = 1.71\,\mathrm{ppm}$ e La/Yb $= 5.6$; a lava A apresenta 1.7 e 5.6: ela é compatível com uma fonte de espinélio.

**8.** La $= 0.0078\times9.6 = 0.075\,\mathrm{ppm}$, Yb $= 0.21\times1.71 =
0.36\,\mathrm{ppm}$. Lantânio restante: $0.940\times0.075/0.648 = 0.11$, cerca de $11\,\%$.

**9.** $F = 0.648/9.6 = 6.75\,\%$.

**10.** $(0.648/0.0078)(1 - F)^{127.2}$: $73\,\mathrm{ppm}$ em $0.1\,\%$, $23\,\mathrm{ppm}$ em $1\,\%$, $0.03\,\mathrm{ppm}$ em $6\,\%$.

**11.** $0.648\times(1 - 0.940^{128.2})/0.060 = 10.8\,\mathrm{ppm}$.

**12.** $F = 6.75\,\%$: com este $F$, $(1 - F)^{1/D} =
1.3 \times 10^{-4}$, logo o fundido agregado retém todo o lantânio da fonte, e $\bar C_L = C_0/F$ como para um elemento perfeitamente incompatível.

**13.** $0.648\times0.9325^{127.2} = 9 \times 10^{-5}\,\mathrm{ppm}$, cerca de 800 vezes menor que o $0.075\,\mathrm{ppm}$ da [fusão em lote](#thm-b3-trace-element-modelling-batch).

**14.** Os dois modelos delimitam a resposta: $6.0\,\%$ ([fusão em lote](#thm-b3-trace-element-modelling-batch)) a $6.75\,\%$ ([fusão fracionada](#thm-b3-trace-element-modelling-fractional) agregada). O lantânio fixa $F$ a menos de cerca de $1\,\%$ de fusão, qualquer que seja o modelo.

**15.** A: La/Yb $= 5.6$, $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N =
(9.6/0.232)/(1.7/0.163) = 4.0$. B: La/Yb $= 34.7$, $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N
= (15.6/0.232)/(0.45/0.163) = 24.4$.

**16.** Quando $F \to 0$: $(0.648/0.0078)/(0.441/0.21) = 83.1/2.10 = 39.6$.

**17.** $F = 0.11\,\%$, onde o fundido conteria $72\,\mathrm{ppm}$ de La e $2.1\,\mathrm{ppm}$ de Yb. A lava B tem $15.6\,\mathrm{ppm}$ de La: uma fonte de espinélio não pode gerá-la.

**18.** $F = (0.648/15.6 - 0.012)/0.988 = 0.0299$, $3.0\,\%$; $\mathrm{Yb} = 0.441/(0.97 + 0.0299\times0.03) = 0.454\,\mathrm{ppm}$, como observado.

**19.** A granada substitui o espinélio a cerca de 60 a $90\,\mathrm{km}$: B começou a fundir mais fundo do que isso, A, mais raso, no campo do espinélio. Um fundido de granada-lherzolito com $9.6\,\mathrm{ppm}$ de La ($F \approx 5.6\,\%$) teria La/Yb próxima de 21, não de 5.6: A não se originou de granada-lherzolito.

**20.** $a = 0.97/0.441 = 2.20\,\mathrm{ppm}^{-1}$, $b = 0.648\times0.03/0.441
= 0.044$; para La $= 15.6$, La/Yb $= 2.20\times15.6 + 0.044 = 34.4$, frente a 34.7 da lava B.

**21.** A olivina rejeita os dois elementos: La/Yb não se altera. O fundido primário tinha $9.6\times0.9 = 8.64\,\mathrm{ppm}$ de La, logo $F = (0.648/8.64 -
0.0078)/0.9922 = 6.8\,\%$, em vez de 6.0.

**22.** Uma única fonte pode gerar as duas lavas: B é um fundido pequeno ($3\,\%$) que começou no campo da granada, mais fundo que cerca de 60 a $90\,\mathrm{km}$; A é um fundido maior, no campo do espinélio.

**23.** A lava A resulta de uma **$6.0\,\%$** [fusão em lote](#thm-b3-trace-element-modelling-batch) de um lherzolito de espinélio ($6.75\,\%$ se o fundido foi extraído fracionadamente e agregado).