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title: "Geomorfologia quantitativa"
book: "Ciências da Terra e do espaço universitárias — 3.º ano"
subject: earth
language: pt
chapter: 18
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/5/pt/chapter/18-geomorfologia-quantitativa
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Capítulo 18 — Geomorfologia quantitativa

Um rio que atravessa uma cordilheira em soerguimento apresenta um degrau em seu perfil longitudinal: uma cachoeira, com um desfiladeiro logo abaixo e um vale mais suave acima. O degrau não permanece onde se formou. Ele migra para montante, alguns milímetros ou alguns metros por ano, e sua posição é um relógio que começou a marcar o tempo quando o [nível de base](#def-b3-quantitative-geomorphology-knickpoint) do rio foi rebaixado. Para ler esse relógio, e as taxas registradas nas formas de colinas e rios, são necessárias duas leis de conservação e duas leis de transporte: uma para o solo que rasteja encosta abaixo; outra para a rocha de base que um rio corta.

**O que você já sabe.**

Intemperismo, erosão, deposição, formas de relevo e o equilíbrio entre soerguimento e erosão constam dos livros escolares, assim como o rebote isostático e os vales glaciais em forma de U. A taxa de denudação, a tensão de cisalhamento do leito e o parâmetro de Shields constam do volume do primeiro ano, no capítulo sobre erosão e transporte; o modelo digital de elevação, no capítulo sobre mapas geológicos; a isostasia de Airy no capítulo sobre isostasia e anomalias gravimétricas. [Nuclídeos cosmogênicos](https://one-course.com/books/earth/5/pt/chapter/13-geocronologia-avancada#def-b3-advanced-geochronology-cosmogenic) e as taxas de erosão derivadas deles estão no Capítulo [13](https://one-course.com/books/earth/5/pt/chapter/13-geocronologia-avancada#ch-b3-advanced-geochronology); a [termocronologia](https://one-course.com/books/earth/5/pt/chapter/10-cinturoes-de-cavalgamento-e-cunhas-orogenicas#def-b3-orogenic-wedges-thermochronology) e a [relação idade–altitude](https://one-course.com/books/earth/5/pt/chapter/10-cinturoes-de-cavalgamento-e-cunhas-orogenicas#def-b3-orogenic-wedges-age-elevation), no Capítulo [10](https://one-course.com/books/earth/5/pt/chapter/10-cinturoes-de-cavalgamento-e-cunhas-orogenicas#ch-b3-orogenic-wedges). A equação de difusão consta dos livros de física.

## 18.1 Encostas

Em uma colina coberta por solo, o solo se desloca encosta abaixo grão a grão: animais escavadores o arremessam, raízes o levantam, o congelamento e a umidificação o expandem, e cada perturbação permite que a gravidade o desloque um pouco. Em média, ao longo de séculos, o fluxo de solo é proporcional à declividade.

**Definição 18.1 (Difusão de encosta).**

A *difusão de encosta* é o transporte lento de solo encosta abaixo, cujo fluxo volumétrico por unidade de largura da encosta, $\vec q$, é proporcional ao gradiente da elevação da superfície $z$: $\vec q = -\kappa\,\nabla z$. O coeficiente $\kappa$, em $\mathrm{m}^{2}/\mathrm{yr}$, é a difusividade de encosta.

**Teorema 18.2 (Difusão de encostas).**

Suponha-se que a rocha seja soerguida a uma taxa $U$ em relação aos canais que delimitam uma encosta, que solo e rocha tenham a mesma densidade e que o solo se mova por [difusão de encosta](#def-b3-quantitative-geomorphology-diffusion) com $\kappa$ uniforme. Então a elevação da superfície obedece a

$$
\frac{\partial z}{\partial t} = U + \kappa\,\nabla^2 z ,
$$

a equação de difusão com um termo de fonte.

**Demonstração.** Considere uma pequena área $\delta S$ da encosta. Seu volume muda pelo soerguimento, $U\,\delta S$ por unidade de tempo, e pelo solo que escoa através de suas bordas, $\oint \vec q\cdot\vec n\,\mathrm{d}\ell = (\nabla\cdot\vec q)\,\delta S$. Logo, $\partial z/\partial t = U - \nabla\cdot\vec q$; com $\vec q = -\kappa
\nabla z$ e $\kappa$ uniforme, $\nabla\cdot\vec q = -\kappa\nabla^2 z$. ∎

Uma falha ou uma linha de costa talha uma escarpa em um instante; depois disso, a escarpa apenas se difunde. Partindo de um degrau vertical de meia altura $a$ sobre uma encosta distante de declividade $b$, a solução unidimensional é

$$
z(x,t) = a\,\operatorname{erf}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{\kappa t}}\right) + b\,x ,
\qquad
\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{x=0} = \frac{a}{\sqrt{\pi\kappa t}} + b .
$$

A forma depende apenas do produto $\kappa t$: um perfil medido fornece $\kappa t$, e uma idade independente fornece $\kappa$, ou um $\kappa$ conhecido permite obter a idade, uma *idade morfológica*. Escarpas em regiões semiáridas, com solos granulares e vegetação esparsa, dão $\kappa$ entre $10^{-3}$ e $10^{-2}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{yr}$; em montanhas costeiras úmidas e densamente vegetadas, cerca de $5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{yr}$.

![À esquerda, uma escarpa de 5\, m de deslocamento em uma encosta de 0.05, difundindo-se com = 5 × 10-3\, m2/ yr: o degrau inicial (tracejado) e os perfis após 2, 10 e 40\, kyr. À direita, colinas estacionárias de meia largura de 150\, m com o mesmo (altura acima dos canais), rebaixando-se a 0.0215, 0.043 e 0.086\, mm/ yr: parábolas cujo relevo e curvatura no topo são proporcionais à taxa de erosão.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-quantitative-geomorphology/fig-2082228407ef.svg)

*À esquerda, uma escarpa de $5\,\mathrm{m}$ de deslocamento em uma encosta de 0.05, difundindo-se com $\kappa = 5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{yr}$: o degrau inicial (tracejado) e os perfis após 2, 10 e $40\,\mathrm{kyr}$. À direita, colinas estacionárias de meia largura de $150\,\mathrm{m}$ com o mesmo $\kappa$ (altura acima dos canais), rebaixando-se a 0.0215, 0.043 e $0.086\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$: parábolas cujo relevo e curvatura no topo são proporcionais à taxa de erosão.*

Quando uma colina foi soerguida e erodida por tempo suficiente, sua forma deixa de mudar: cada ponto é rebaixado na taxa com que a rocha sobe.

**Proposição 18.3 (A curvatura no topo mede a taxa de erosão).**

Em uma encosta em [estado estacionário](#def-b3-quantitative-geomorphology-steady-profile) sob [difusão de encosta](#def-b3-quantitative-geomorphology-diffusion), a taxa de erosão $E$, igual a $U$, é

$$
E = -\kappa\,\nabla^2 z .
$$

Em uma dimensão, o perfil é a parábola $z = z_0 - E x^2/(2\kappa)$, com relevo $E L^2/(2\kappa)$ entre o divisor e os canais a uma distância $L$ de distância.

**Demonstração.** Fazendo $\partial z/\partial t = 0$ no teorema, obtém-se $\kappa\nabla^2 z =
-U = -E$. Em uma dimensão, duas integrações com $\mathrm{d}z/\mathrm{d}x =
0$ no divisor fornecem a parábola, e seu valor em $x = L$ dá o relevo. ∎

A curvatura, uma grandeza geométrica medida em um modelo digital de elevação, assim lê-se como taxa uma vez conhecido $\kappa$: quanto mais íngremes e mais acentuadamente arredondados os topos, mais depressa a paisagem se erode. O próprio solo se forma a partir da rocha subjacente, a uma taxa que depende de quanto solo já a recobre.

**Definição 18.4 (Função de produção de solo).**

A *função de produção de solo* fornece a taxa $P$ com que o substrato rochoso se converte em solo em função da espessura do solo $h$; costuma-se adotá-la como $P = P_0\,e^{-h/h_0}$, em que $P_0$ é a taxa sobre rocha exposta e $h_0$ um comprimento de uma fração de metro.

Em [estado estacionário](#def-b3-quantitative-geomorphology-steady-profile), a interface solo-rocha rebaixa-se na taxa da superfície, $P(h) = E$, de modo que a espessura do solo é $h = h_0 \ln(P_0/E)$: quanto mais rápida a erosão, mais fino o solo; onde $E$ supera $P_0$, o solo é removido e a rocha nua, limitada pelo intemperismo, aflora. As taxas mais rápidas de produção de solo medidas são da ordem de $0.5\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.

A difusão linear falha em encostas íngremes. À medida que o gradiente se aproxima de um limiar, os grãos rolam e deslizam em rajadas, e deslizamentos rasos removem o solo.

**Definição 18.5 (Gradiente crítico de encosta).**

O *gradiente crítico de encosta* $S_c$ é o gradiente em que o fluxo de solo cresce sem limite; em uma lei de transporte não linear amplamente usada, $q = \kappa S/[1 - (S/S_c)^2]$.

Encostas muito mais suaves que $S_c$ se comportam como na difusão linear; encostas que erodem rapidamente tornam-se mais íngremes em direção a $S_c$ e tornam-se planas, com gradiente fixado pelo limiar, e não pela taxa de erosão.

**No campo — Varredura de uma encosta.**

Uma equipe que levanta uma crista coberta de solo instala um escâner a laser terrestre sobre um tripé a algumas dezenas de metros da crista. Cada varredura registra milhões de pontos, a distância e a direção até a superfície do terreno, por entre as frestas da grama e dos arbustos; os pontos de várias estações de varredura são reunidos em uma única nuvem, registrada em alvos levantados com um receptor de satélite, e os últimos retornos são mantidos para eliminar a vegetação. A nuvem de terreno exposto é organizada em um modelo digital de elevação com células de decímetro, suavizado ao longo de alguns metros, e seu laplaciano calculado na crista. A equipe então compara as curvaturas no topo de cristas que se erodem em taxas medidas com [nuclídeos cosmogênicos](https://one-course.com/books/earth/5/pt/chapter/13-geocronologia-avancada#def-b3-advanced-geochronology-cosmogenic) nuclídeos: representadas em um gráfico uma contra a outra, as duas fornecem a difusividade da encosta como a inclinação de uma reta, como prevê a proposição.

## 18.2 Incisão fluvial

Onde um rio corre sobre o substrato rochoso, ele se aprofunda por arrancamento de blocos, por abrasão sob sua carga de fundo e por cavitação. Todos esses processos escalam com a tensão de cisalhamento que o escoamento exerce sobre seu leito, ou com a potência que nele dissipa, e ambas crescem com a vazão e a declividade. A vazão cresce com a área de drenagem, de modo que a área faz as vezes da vazão.

**Definição 18.6 (Lei da potência fluvial).**

A *lei da potência fluvial* fornece a taxa de incisão vertical $E$ de um rio sobre substrato rochoso como

$$
E = K A^m S^n ,
$$

em que $A$ é a área de drenagem a montante do ponto, $S$ a declividade do canal, $m$ e $n$ expoentes positivos, e $K$ um coeficiente de erodibilidade que agrupa a resistência da rocha, o clima e a largura do canal.

Para processos que escalam com a tensão de cisalhamento ou com a potência fluvial unitária, $m/n$ fica próximo de 0.5. Um levantamento de canais em terrenos de badlands escavados em rocha fraca ao longo de cerca de 20 anos encontrou taxas de incisão proporcionais a $A^{0.44}S^{0.68}$.

**Definição 18.7 (Incisão limitada pelo destacamento e limitada pelo transporte).**

A incisão é *limitada pelo destacamento* quando o rio consegue transportar mais sedimento do que recebe, de modo que sua taxa de rebaixamento é fixada pela rapidez com que destaca o substrato rochoso de seu leito: aplica-se a [lei da potência fluvial](#def-b3-quantitative-geomorphology-stream-power). Ela é *limitada pelo transporte* quando o rio transporta todo o sedimento que consegue, de modo que seu leito só se rebaixa onde a capacidade de transporte cresce a jusante, na taxa fixada pela divergência do fluxo de sedimento.

Um rio [limitado pelo transporte](#def-b3-quantitative-geomorphology-limited) comporta-se muito como uma encosta: o fluxo depende da declividade, e seu perfil evolui por uma equação de tipo difusivo que arredonda qualquer degrau. Um rio [limitado pelo destacamento](#def-b3-quantitative-geomorphology-limited) mantém um degrau nítido e o desloca, como mostra a próxima seção. Rios de montanha com leito de rocha e cascalho delgado costumam aproximar-se do primeiro; rios sobre aluvião espesso, do segundo.

![A resposta de um rio a uma queda de seu nível de base (tracejado: o perfil antes da queda; azul, depois vermelho: dois instantes posteriores), esquemático. (a) Um rio limitado pelo destacamento mantém um knickpoint nítido que migra para montante; abaixo dele o perfil conserva a forma antiga, rebaixada. (b) Um rio limitado pelo transporte rebaixa todo o seu perfil progressivamente, mais perto da foz.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-quantitative-geomorphology/fig-24b1cb32e348.svg)

*A resposta de um rio a uma queda de seu [nível de base](#def-b3-quantitative-geomorphology-knickpoint) (tracejado: o perfil antes da queda; azul, depois vermelho: dois instantes posteriores), esquemático. (a) Um rio [limitado pelo destacamento](#def-b3-quantitative-geomorphology-limited) mantém um [knickpoint](#def-b3-quantitative-geomorphology-knickpoint) nítido que migra para montante; abaixo dele o perfil conserva a forma antiga, rebaixada. (b) Um rio [limitado pelo transporte](#def-b3-quantitative-geomorphology-limited) rebaixa todo o seu perfil progressivamente, mais perto da foz.*

Se a rocha se eleva a uma taxa uniforme $U$ em relação à foz do rio, e $K$, $m$, $n$ uniformes, o rio evolui segundo $\partial z/\partial t = U - K A^m
S^n$.

**Definição 18.8 (Perfil fluvial em estado estacionário).**

Um perfil fluvial está em *estado estacionário* quando sua altitude não varia mais no tempo: em cada ponto, a incisão equilibra a elevação da rocha em relação à foz.

**Teorema 18.9 (Perfil em estado estacionário sob a lei da potência fluvial).**

Com $U$, $K$, $m$ e $n$ uniformes, um rio [limitado pelo destacamento](#def-b3-quantitative-geomorphology-limited) em [estado estacionário](#def-b3-quantitative-geomorphology-steady-profile) tem o gradiente

$$
S = \left(\frac{U}{K}\right)^{1/n} A^{-m/n} .
$$

**Demonstração.** Em [estado estacionário](#def-b3-quantitative-geomorphology-steady-profile) $\partial z/\partial t = 0$; logo $K A^m S^n = U$, donde $S^n
= (U/K)A^{-m}$; tomando a raiz de ordem $n$ obtém-se o resultado. ∎

![O perfil em estado estacionário do rio fictício de planalto a oeste das colinas Varden (U = 0.043\, mm/ yr, K = 10-6\, yr-1, m = 0.5, n = 1), desde sua cabeceira até a foz, a 170\, m. À direita, gradiente em função da área: o modelo (linha azul) e doze gradientes medidos em trechos de 200\, m, com uma dispersão de cerca de 10\,\% (pontos vermelhos), cuja reta de mínimos quadrados (tracejada) tem inclinação de -0.47.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-quantitative-geomorphology/fig-5c506c3c562c.svg)

*O perfil em [estado estacionário](#def-b3-quantitative-geomorphology-steady-profile) do rio fictício de planalto a oeste das colinas Varden ($U = 0.043\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, $K =
10^{-6}\,\mathrm{yr}^{-1}$, $m = 0.5$, $n = 1$), desde sua cabeceira até a foz, a $170\,\mathrm{m}$. À direita, gradiente em função da área: o modelo (linha azul) e doze gradientes medidos em trechos de $200\,\mathrm{m}$, com uma dispersão de cerca de $10\,\%$ (pontos vermelhos), cuja reta de mínimos quadrados (tracejada) tem inclinação de $-0.47$.*

O gradiente decresce como potência da área: o perfil é côncavo para cima. Rios reais seguem essa lei de potência mesmo quando as hipóteses do teorema são duvidosas, de modo que dois números resumem um perfil.

**Definição 18.10 (Índices de declividade e de concavidade do canal).**

Quando o gradiente de um rio segue $S = k_s A^{-\theta}$, o expoente $\theta$ é o *índice de concavidade* e o coeficiente $k_s$ é o *índice de declividade do canal*. Para comparar rios, fixa-se $\theta$ em um valor de referência comum $\theta_{\mathrm{ref}}$, e $k_{sn} = S A^{\theta_{\mathrm{ref}}}$ é a declividade normalizada.

Pelo teorema, $\theta = m/n$ e $k_s = (U/K)^{1/n}$: para uma dada erodibilidade, um rio é mais íngreme onde a rocha se eleva mais depressa. Mapas de declividade de uma cordilheira, portanto, delineiam seu soerguimento.

Os gradientes são derivadas de altitudes ruidosas e espalham-se bastante. Integrar o perfil, por outro lado, usa altitudes, que são medidas com mais precisão.

**Definição 18.11 (Análise chi).**

A *análise chi* representa a altitude dos pontos de uma rede de drenagem em função da coordenada

$$
\chi(x) = \int_{x_b}^{x} \left(\frac{A_0}{A(x')}\right)^{\theta}
\mathrm{d}x' ,
$$

em que $x$ é a distância a montante ao longo do canal a partir de um ponto-base $x_b$, $A_0$ uma área de referência e $\theta$ o [índice de concavidade](#def-b3-quantitative-geomorphology-indices); $\chi$ tem dimensão de comprimento.

**Proposição 18.12 (A transformação chi endireita um perfil em estado estacionário).**

Sob as hipóteses do teorema do [estado estacionário](#def-b3-quantitative-geomorphology-steady-profile), com $\theta = m/n$, toda calha de uma rede que drena até a elevação de base $z_b$ satisfaz

$$
z = z_b + \left(\frac{U}{K A_0^{m}}\right)^{1/n} \chi :
$$

todas as calhas situam-se sobre uma única reta de inclinação $k_s A_0^{-\theta}$ no plano $(\chi, z)$.

**Demonstração.** Ao longo de uma calha, $\mathrm{d}z/\mathrm{d}x = S = k_s A^{-\theta} = k_s
A_0^{-\theta}(A_0/A)^{\theta}$. Integrando a partir de $x_b$, onde $z = z_b$, obtém-se $z = z_b + k_s A_0^{-\theta}\chi$, e $k_s A_0^{-\theta} =
(U/K)^{1/n} A_0^{-m/n}$. Um afluente se junta ao canal principal em uma confluência cujos $z$ e $\chi$ ele compartilha, e obedece à mesma relação a montante dela. ∎

Uma calha que se afasta da reta não está em [estado estacionário](#def-b3-quantitative-geomorphology-steady-profile), ou atravessa rocha de erodibilidade diferente, ou perdeu ou capturou área de drenagem: um afluente que se situa acima de seus vizinhos com o mesmo $\chi$ está sendo roubado de área, e um que se situa abaixo está crescendo.

## 18.3 Paisagens transitórias

**Definição 18.13 (Nível de base e knickpoint).**

O *nível de base* de um rio é a elevação de sua foz, abaixo da qual ele não consegue escavar: o mar, um lago ou o rio principal no qual ele desemboca. Um *knickpoint* é um ponto em que o gradiente do perfil longitudinal de um rio aumenta abruptamente, de um trecho íngreme até uma cachoeira.

Um [knickpoint](#def-b3-quantitative-geomorphology-knickpoint) pode ser fixo, quando o rio atravessa um leito mais resistente ou uma escarpa de falha ainda ativa, ou móvel, quando ele é a frente da resposta do rio a uma mudança a jusante: uma queda do [nível de base](#def-b3-quantitative-geomorphology-knickpoint), um soerguimento mais rápido.

**Teorema 18.14 (Knickpoints como ondas cinemáticas).**

Seja $n = 1$, com $U$, $K$ e $m$ uniformes, e seja $x$ a distância a montante da foz. Então $z$ obedece a

$$
\frac{\partial z}{\partial t} + K A^m \frac{\partial z}{\partial x} = U ,
$$

e qualquer feição do perfil, inclusive um degrau, desloca-se a montante com a celeridade $c = K A^m$ mantendo sua altura. Um [knickpoint](#def-b3-quantitative-geomorphology-knickpoint) que surge na foz em $t = 0$ alcança o ponto $x$ no instante

$$
t(x) = \int_0^x \frac{\mathrm{d}x'}{K A(x')^m} = \frac{\chi(x)}{K A_0^m},
$$

com $\chi$ calculado com $\theta = m$. Todos os [knickpoints](#def-b3-quantitative-geomorphology-knickpoint) gerados em uma rede no mesmo instante encontram-se, portanto, no mesmo $\chi$ e na mesma curva de nível.

**Demonstração.** Com $x$ a montante, o gradiente é $S = \partial z/\partial x$, e a equação de evolução $\partial z/\partial t = U - K A^m S$ é a equação escrita. Ao longo de uma curva $\mathrm{d}x/\mathrm{d}t = K A(x)^m$, seu lado esquerdo é a derivada total $\mathrm{d}z/\mathrm{d}t$, de modo que $z$ cresce $U$ por unidade de tempo ao longo de cada uma dessas curvas. Dois pontos situados em lados opostos de um degrau, transportados por curvas vizinhas, ganham a mesma altura, de modo que o degrau mantém sua altura e se move com as curvas. O tempo para atingir $x$ é $\int \mathrm{d}x'/c$, que é $\chi(x)/(K A_0^m)$ pela definição de $\chi$ com $\theta = m$. Na rede, $\chi$ é medido ao longo de cada caminho de escoamento a partir da mesma foz, de modo que tempos iguais significam $\chi$ iguais; e, pela proposição sobre $\chi$, os trechos abaixo dos [knickpoints](#def-b3-quantitative-geomorphology-knickpoint), já ajustados ao novo [nível de base](#def-b3-quantitative-geomorphology-knickpoint), colocam todos na mesma elevação. ∎

A celeridade cresce com a área de drenagem: um [knickpoint](#def-b3-quantitative-geomorphology-knickpoint) percorre rapidamente o canal principal e desacelera nas cabeceiras. O tempo necessário para atravessar a rede inteira até as cabeceiras dos canais é o *tempo de resposta* da paisagem, da ordem de um milhão de anos para taxas de soerguimento típicas. Quando $n \ne 1$, a celeridade também depende da declividade, e um degrau muda de forma: para $n >
1$ sua face íngreme ultrapassa os trechos ao redor e permanece nítida, para $n <
1$ ela fica para trás e se espalha.

![À esquerda, o rio de planalto após uma queda de 25\, m de seu nível de base (n = 1): o knickpoint, uma cachoeira de altura constante, alcança 1.7, 3.3 e 4.6\, km acima da foz após 300, 600 e 900\, kyr; abaixo dele o rio conserva a forma antiga, 25\, m mais baixo. À direita, gráfico chi (A_0 = 1\, km2, = 0.5) do canal principal e de três afluentes em 900\, kyr: abaixo de = 900\, m toda calha situa-se sobre a reta de estado estacionário que passa pela foz (tracejada); acima dele, sobre a reta antiga, 25\, m mais alta. As cachoeiras do canal principal e do afluente 3 situam-se no mesmo (triângulo vermelho); os afluentes 1 e 2 juntam-se ao canal principal acima dele e ainda não foram alcançados.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-quantitative-geomorphology/fig-351993a76bbf.svg)

*À esquerda, o rio de planalto após uma queda de $25\,\mathrm{m}$ de seu [nível de base](#def-b3-quantitative-geomorphology-knickpoint) ($n = 1$): o [knickpoint](#def-b3-quantitative-geomorphology-knickpoint), uma cachoeira de altura constante, alcança 1.7, 3.3 e $4.6\,\mathrm{km}$ acima da foz após 300, 600 e $900\,\mathrm{kyr}$; abaixo dele o rio conserva a forma antiga, $25\,\mathrm{m}$ mais baixo. À direita, gráfico chi ($A_0 = 1\,\mathrm{km}^{2}$, $\theta = 0.5$) do canal principal e de três afluentes em $900\,\mathrm{kyr}$: abaixo de $\chi = 900\,\mathrm{m}$ toda calha situa-se sobre a reta de [estado estacionário](#def-b3-quantitative-geomorphology-steady-profile) que passa pela foz (tracejada); acima dele, sobre a reta antiga, $25\,\mathrm{m}$ mais alta. As cachoeiras do canal principal e do afluente 3 situam-se no mesmo $\chi$ (triângulo vermelho); os afluentes 1 e 2 juntam-se ao canal principal acima dele e ainda não foram alcançados.*

**No campo — Uma cachoeira que caminha rio acima.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-quantitative-geomorphology/img-745176658802.jpg)

*A Garganta do Niágara, vista rio acima até as Horseshoe Falls em sua névoa, com as American Falls na borda esquerda. Foto de Ken Lund, CC BY-SA 2.0 (recortada).*

Em Niágara, o rio precipita-se num desfiladeiro que ele mesmo escavou. Cerca de $12\,500$ anos atrás, as cataratas situavam-se na borda da Escarpa de Niágara; desde então, conforme a água desgastava as rochas da escarpa e blocos se desprendiam da crista, esta recuou cerca de $11\,\mathrm{km}$ rio acima: cerca de um metro por ano em média, cerca de um décimo disso hoje. A erosão é mais lenta quando a crista é uma longa ferradura que espalha a água. O desfiladeiro é o caminho do [knickpoint](#def-b3-quantitative-geomorphology-knickpoint).

## 18.4 Erosão glacial

Uma geleira que desliza sobre seu leito (deslizamento basal, Capítulo [24](https://one-course.com/books/earth/5/pt/chapter/24-glaciologia#ch-b3-glaciology)) erode-o por abrasão, com detritos retidos no gelo, que raspam a rocha, e por arrancamento, quando arranca blocos afrouxados por fissuras. Ambos variam com a velocidade de deslizamento.

**Definição 18.15 (Lei de erosão glacial).**

Uma *lei de erosão glacial* fornece a taxa de erosão do leito de uma geleira como $E = K_G\,u_s^{\,l}$, em que $u_s$ é a velocidade de deslizamento, $K_G$ um coeficiente e $l$ um expoente.

Modelos de paisagem costumam adotar $l = 1$, mas usam-se valores entre 1 e 2. Uma compilação de 38 geleiras, cujas taxas de erosão abrangem cinco ordens de grandeza, encontrou erosão correlacionada com a velocidade de deslizamento, com $l = 0.65$ e $K_G = 10^{-4}$ para $E$ em metros por ano: a erosão é mais rápida sob geleiras temperadas alimentadas por neve abundante, que deslizam rapidamente. Como o gelo é mais espesso e mais rápido ao longo do eixo de um vale, o fundo é aprofundado mais do que os flancos, e o vale adquire sua forma de U.

**Definição 18.16 (Serra circular glacial).**

A *serra circular glacial* é o limite imposto à altura de uma cadeia montanhosa pelas geleiras: onde a rocha se eleva acima da altitude na qual as geleiras se formam, elas a erodem tão depressa quanto ela se eleva, qualquer que seja a taxa de soerguimento, de modo que picos e altitude média se concentram perto dessa altitude.

## 18.5 Tectônica e erosão

**Definição 18.17 (Estado estacionário topográfico).**

Uma paisagem está em *estado estacionário topográfico* quando sua taxa de erosão iguala em toda parte a taxa de soerguimento da rocha, de modo que suas altitudes não mudam, embora a rocha passe por ela.

Taxas medidas em intervalos de tempo diferentes testam esse estado. Os [nuclídeos cosmogênicos](https://one-course.com/books/earth/5/pt/chapter/13-geocronologia-avancada#def-b3-advanced-geochronology-cosmogenic) em areias de rio fornecem a taxa média de erosão de uma bacia ao longo do tempo necessário para remover uma camada da ordem do comprimento de atenuação de sua produção, cerca de $55\,\mathrm{cm}$ de rocha; os [termocronômetros](https://one-course.com/books/earth/5/pt/chapter/10-cinturoes-de-cavalgamento-e-cunhas-orogenicas#def-b3-orogenic-wedges-thermochronology) e suas relações idade–altitude fornecem a taxa de exumação ao longo de milhões de anos. Onde as duas concordam entre si e com a taxa de soerguimento, a paisagem provavelmente está em [estado estacionário](#def-b3-quantitative-geomorphology-steady-profile); onde a taxa de curto prazo é mais rápida nos trechos baixos do que nas cabeceiras, um [knickpoint](#def-b3-quantitative-geomorphology-knickpoint) está passando. A remoção de rocha também alivia a litosfera, que se eleva em resposta.

**Definição 18.18 (Rebote isostático erosivo).**

O *rebote isostático erosivo* é a elevação da superfície rochosa de uma região em equilíbrio isostático em resposta à massa removida pela erosão.

**Proposição 18.19 (Os picos se elevam à medida que os vales se aprofundam).**

Na isostasia de Airy, com crosta de densidade $\rho_c$ sobre manto de densidade $\rho_m$, a remoção de uma espessura média $\bar e$ de crosta de uma região eleva toda a região em $(\rho_c/\rho_m)\,\bar e$. Se a erosão se restringe aos vales, os topos não erodidos se elevam nessa quantidade, enquanto a superfície média desce apenas $(1 - \rho_c/\rho_m)\,\bar e$.

**Demonstração.** A compensação exige que a massa de cada coluna acima de uma profundidade fixa permaneça a mesma. Remover uma espessura $\bar e$ de crosta, média sobre a área de compensação, reduz a massa por unidade de área em $\rho_c \bar e$; repô-la exige que o manto flua para dentro em profundidade, elevando a base da coluna, e tudo o que está sobre ela, de $\delta$, com $\rho_m \delta = \rho_c \bar
e$. Um topo que não perdeu rocha eleva-se de $\delta$; a superfície média perde $\bar e$ e ganha $\delta$. ∎

A densidade da crosta do modelo de referência da Terra, ponderada pela espessura, é $2.72\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ e a do manto abaixo de sua Moho $3.38\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$, uma razão de 0.80: a cada cem metros de rocha erodida, a superfície média perde apenas vinte. Um entalhe profundo de um planalto antigo pode, assim, elevar seus topos mesmo enquanto o planalto se desgasta.

![Rebote isostático erosivo, esquemático. O entalhe de vales remove uma espessura média e de crosta; a coluna sobe em = ( _c/ _m) e na sua base e nos seus topos não erodidos (a linha tracejada cinza é a superfície antiga).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-quantitative-geomorphology/fig-8862b6302ce7.svg)

*[Rebote isostático erosivo](#def-b3-quantitative-geomorphology-rebound), esquemático. O entalhe de vales remove uma espessura média $\bar e$ de crosta; a coluna sobe em $\delta = (\rho_c/\rho_m)\bar e$ na sua base e nos seus topos não erodidos (a linha tracejada cinza é a superfície antiga).*

## 18.6 Exercícios

**Exercício 18.1 ★.**

Uma escarpa litorânea de deslocamento $4\,\mathrm{m}$ ($a = 2\,\mathrm{m}$) situa-se sobre um declive em campo distante de 0.04, e seu gradiente mais íngreme é agora 0.30. Calcule $\kappa t$ e, em seguida, a idade da escarpa com $\kappa = 5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{yr}$.

**Solução de Exercício 18.1.**

$a/\sqrt{\pi\kappa t} = 0.30 - 0.04 = 0.26$, logo $\kappa t = (2/0.26)^2/\pi =
18.8\,\mathrm{m}^{2}$, e $t = 18.8/(5\times10^{-3}) = 3.8\,\mathrm{kyr}$, dentro de um fator de dois para mais ou para menos, dado o intervalo de $\kappa$.

**Exercício 18.2 ★.**

Um levantamento com lidar fornece uma curvatura de topo de $-0.012\,\mathrm{m}^{-1}$ em uma crista de difusividade $4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{yr}$. Calcule sua taxa de erosão em $\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, e o relevo entre sua crista e os canais a $80\,\mathrm{m}$ de distância, supondo [estado estacionário](#def-b3-quantitative-geomorphology-steady-profile).

**Solução de Exercício 18.2.**

$E = \kappa\,|\nabla^2 z| = 4\times10^{-3}\times0.012 =
4.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$, $0.048\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$. Relevo $E L^2/(2\kappa) =
0.012\times80^2/2 = 38.4\,\mathrm{m}$.

**Exercício 18.3 ★.**

Com $m = 0.5$, $n = 1$ e $K = 2 \times 10^{-6}\,\mathrm{yr}^{-1}$, calcule a taxa de entalhe de um rio que drena $25\,\mathrm{km}^{2}$ com gradiente de 0.01. Quais são as unidades de $K$ para $m$ e $n$ gerais?

**Solução de Exercício 18.3.**

$E = 2\times10^{-6}\times(25\times10^6)^{0.5}\times0.01 = 2\times10^{-6}
\times5000\times0.01 = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$, $0.1\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$. Como $E$ está em $\mathrm{m}/\mathrm{yr}$, $A^m$ em $\mathrm{m}^{2m}$ e $S$ é adimensional, $K$ tem unidade $\mathrm{m}^{1-2m}\,\mathrm{yr}^{-1}$: $\mathrm{yr}^{-1}$ para $m = 0.5$.

**Exercício 18.4 ★.**

Três rios apresentam *[knickpoints](#def-b3-quantitative-geomorphology-knickpoint)*: (a) onde um leito de arenito cruza um vale entalhado em folhelho; (b) onde um rio cruza uma falha normal ativa, do bloco inferior para o bloco superior; (c) em todos os rios de uma bacia, todos na mesma altitude aproximada, a alguns quilômetros acima de uma costa que se elevou em um terremoto. Quais são fixos e quais vão migrar?

**Solução de Exercício 18.4.**

(a) Fixo: um leito duro torna o rio mais íngreme onde ele aflora, e o degrau permanece com o leito. (b) Ancorado na falha: enquanto a falha continuar deslizando, o rio fica mais íngreme onde a cruza. (c) Móvel: o soerguimento da costa rebaixou o [nível de base](#def-b3-quantitative-geomorphology-knickpoint) de todos os rios de uma vez; os [knickpoints](#def-b3-quantitative-geomorphology-knickpoint) estão migrando para montante e, como prevê o teorema da onda cinemática para $n
= 1$, situam-se sobre uma mesma curva de nível.

**Exercício 18.5 ★★.**

Para $m = 1$ e $n = 2$, calcule $\theta$ e o gradiente de [estado estacionário](#def-b3-quantitative-geomorphology-steady-profile) onde $A =
10\,\mathrm{km}^{2}$, com $U = 0.1\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ e $K = 10^{-9}$ em metros e anos. De que fator muda a declividade se $U$ dobrar? Compare com $n =
1$.

**Solução de Exercício 18.5.**

$\theta = m/n = 0.5$. $S = (U/K)^{1/2}A^{-1/2} = (10^{-4}/10^{-9})^{1/2}
\times(10^7)^{-1/2} = 316\times3.16\times10^{-4} = 0.10$. Dobrar $U$ multiplica $k_s = (U/K)^{1/n}$ por $\sqrt2 = 1.41$; para $n = 1$, por 2. Quanto maior $n$, menos a declividade responde ao soerguimento.

**Exercício 18.6 ★★.**

A área de drenagem de um rio cresce com a distância $d$ de seu divisor como $A =
c\,d^{h}$. Mostre que, medido a montante de sua foz em $d = L$,

$$
\chi(d) = \frac{A_0^{\theta}}{c^{\theta}}\,\frac{L^{p} - d^{p}}{p},
\qquad p = 1 - h\theta ,
$$

e calcule-o para $c = 2$ (SI), $h = 1.8$, $\theta = 0.45$, $A_0 =
1\,\mathrm{km}^{2}$, $L = 20\,\mathrm{km}$ e $d = 5\,\mathrm{km}$.

**Solução de Exercício 18.6.**

Com $x$ contado a montante da foz, $\mathrm{d}x = -\mathrm{d}d$, logo $\chi(d)
= \int_d^L (A_0/c\,d'^{h})^{\theta}\,\mathrm{d}d' = A_0^{\theta} c^{-\theta}
\int_d^L d'^{-h\theta}\,\mathrm{d}d' = A_0^{\theta}c^{-\theta}(L^p -
d^p)/p$. Aqui $p = 0.19$, $A_0^{\theta}c^{-\theta} = 10^{2.7}/2^{0.45}$, e $\chi = 2935\,\mathrm{m}$.

**Exercício 18.7 ★★.**

Com $n = 1$, $m = 0.5$ e $K = 2 \times 10^{-6}\,\mathrm{yr}^{-1}$, calcule a celeridade de um [knickpoint](#def-b3-quantitative-geomorphology-knickpoint) onde $A = 100\,\mathrm{km}^{2}$, em m/kyr, e o tempo que levaria para percorrer $5\,\mathrm{km}$ nessa velocidade. Por que ele de fato leva mais tempo?

**Solução de Exercício 18.7.**

$c = 2\times10^{-6}\times(10^8)^{0.5} = 0.02\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$, $20\,\mathrm{m}/\mathrm{kyr}$; $5\,\mathrm{km}$ nessa velocidade levam $250\,\mathrm{kyr}$. A área, e com ela a celeridade, diminui a montante, de modo que o [knickpoint](#def-b3-quantitative-geomorphology-knickpoint) desacelera à medida que sobe.

**Exercício 18.8 ★★.**

Vales com $600\,\mathrm{m}$ de profundidade, ocupando em média $40\,\%$ da área de um planalto, são entalhados nele. Com $\rho_c/\rho_m = 0.80$, calcule a espessura média erodida, a elevação dos topos e a variação da altitude média.

**Solução de Exercício 18.8.**

$\bar e = 0.40\times600 = 240\,\mathrm{m}$; os cumes se elevam em $0.80\times240 =
192\,\mathrm{m}$; a elevação média cai em $240 - 192 = 48\,\mathrm{m}$.

**Exercício 18.9 ★★.**

Uma [função de produção de solo](#def-b3-quantitative-geomorphology-soil-production) tem $P_0 = 0.3\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ e $h_0 =
0.5\,\mathrm{m}$. Calcule a espessura de solo em [estado estacionário](#def-b3-quantitative-geomorphology-steady-profile) para erosão de $0.05\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ e de $0.2\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$. O que acontece com $0.4\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$?

**Solução de Exercício 18.9.**

$h = h_0\ln(P_0/E)$: $0.5\ln 6 = 0.90\,\mathrm{m}$ e $0.5\ln1.5 =
0.20\,\mathrm{m}$. A $0.4\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, a erosão supera a produção mais rápida, $P_0$: o solo é removido e a encosta passa a ser rocha nua, cujo rebaixamento limitado pelo intemperismo.

**Exercício 18.10 ★★★.**

Uma colina em [estado estacionário](#def-b3-quantitative-geomorphology-steady-profile) erode a $E = 0.1\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ com $\kappa =
5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{yr}$ e a lei não linear do gradiente crítico, adotando $S_c = 1.2$ para o exercício. Mostre que o fluxo a uma distância $x$ do divisor é $E x$, resolva para o gradiente e calcule-o em 20, 50, 100 e $200\,\mathrm{m}$. Compare com a difusão linear e descreva a forma da colina.

**Solução de Exercício 18.10.**

No [estado estacionário](#def-b3-quantitative-geomorphology-steady-profile), $\mathrm{d}q/\mathrm{d}x = E$ e $q = 0$ no divisor, logo $q = E x$. Então $\kappa S = E x\,(1 - S^2/S_c^2)$, uma quadrática cuja raiz positiva é $S = [-\kappa + \sqrt{\kappa^2 + 4E^2x^2/S_c^2}\,]/(2Ex/S_c^2)$. Para 20, 50, 100 e $200\,\mathrm{m}$: 0.36, 0.68, 0.89 e 1.03, contra 0.4, 1.0, 2.0 e 4.0 para a difusão linear ($S = Ex/\kappa$). A colina tem uma crista arredondada e, depois, flancos cujo gradiente tende a $S_c$: encostas quase planas, com um relevo muito menor que o da parábola.

**Exercício 18.11 ★★★.**

Mostre que o tempo de resposta de uma rede de drenagem a uma mudança em sua foz, para $n = 1$, é $\chi_h/(K A_0^m)$, em que $\chi_h$ é o maior valor de $\chi$ em uma cabeceira de canal. Calcule-o para o rio de planalto das figuras ($A_0 = 1\,\mathrm{km}^{2}$, $m = 0.5$, $K = 10^{-6}\,\mathrm{yr}^{-1}$), primeiro para seu tronco isoladamente, cuja cabeceira está em $\chi = 5464\,\mathrm{m}$, depois para a rede, cuja cabeceira mais alta, no afluente 1, está em $\chi = 7237\,\mathrm{m}$.

**Solução de Exercício 18.11.**

Pelo teorema da onda cinemática, a mudança atinge um ponto de coordenada $\chi$ após $\chi/(KA_0^m)$; a rede responde por completo quando atinge a última cabeceira de canal, de maior $\chi$. $K A_0^m = 10^{-6}\times
1000 = 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$: o tronco responde em $5.46\,\mathrm{Myr}$, a rede em $7.24\,\mathrm{Myr}$, da ordem de um milhão de anos, como se esperava.

**Exercício 18.12 ★★★.**

Em uma rede com $n = 1$ e $U$ uniforme, um afluente escoa sobre rocha duas vezes mais erodível que o restante ($2K$) acima de sua confluência, em $\chi_j$. Mostre que sua linha de [estado estacionário](#def-b3-quantitative-geomorphology-steady-profile) no plano $(\chi, z)$ tem metade da inclinação da do tronco acima de $\chi_j$, e que um [knickpoint](#def-b3-quantitative-geomorphology-knickpoint) originado na foz atinge, no instante em que o [knickpoint](#def-b3-quantitative-geomorphology-knickpoint) do tronco está em $\chi_k > \chi_j$, o ponto de $\chi = \chi_j + 2(\chi_k - \chi_j)$ desse afluente.

**Solução de Exercício 18.12.**

A montante da confluência, o gradiente estacionário do afluente é $S = (U/2K)A^{-\theta}$, logo $\mathrm{d}z/\mathrm{d}\chi = (U/2K)A_0^{-\theta}$, a metade da do tronco. O [knickpoint](#def-b3-quantitative-geomorphology-knickpoint) atinge a confluência quando o do tronco está em $\chi_j$; após um novo intervalo de tempo $\Delta t$, o do tronco passou para $\chi_k$, com $\chi_k -
\chi_j = K A_0^m\,\Delta t$, enquanto o do afluente, com celeridade $2KA^m$, passou para $\chi$, com $\chi - \chi_j = 2KA_0^m\,\Delta t = 2(\chi_k -
\chi_j)$.

## 18.7 Problema: A cachoeira do rio Varden

**Problema 18.1.**

Problema de fim de semana — o perfil, a declividade e a erodibilidade de um rio de planalto fictício, e a idade de sua cachoeira

A oeste das Varden Hills, o rio drena um planalto de xisto antes de entrar no mapa por sua borda oeste, a uma altitude de $170\,\mathrm{m}$. A montante desse ponto, sua foz, o tronco tem $12\,\mathrm{km}$ de comprimento a partir de seu divisor, com área de drenagem $A = 4.5\,d^{1.7}$ ($\mathrm{m}^{2}$, $d$ em metros a partir do divisor) e uma cabeceira de canal em $d = 300\,\mathrm{m}$. Tome como taxa de soerguimento rochoso a taxa de denudação da bacia do rio Varden, obtida a partir de suas cargas no volume do primeiro ano, $43\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$. Tome $n = 1$ e a área de referência $A_0 = 1\,\mathrm{km}^{2}$. Uma cachoeira de $25\,\mathrm{m}$ de altura situa-se no tronco a $4.60\,\mathrm{km}$ a montante da foz. Todos os valores são fictícios.

**Parte I — O perfil.**

1. Calcule a área de drenagem na foz e na cabeceira do canal.
2. Gradientes medidos em trechos de $200\,\mathrm{m}$, afastados da cachoeira: $A$ ($\mathrm{km}^{2}$)0.3880.5870.8881.3452.0363.082$S$0.066410.050260.048880.033220.036880.02688$A$ ($\mathrm{km}^{2}$)4.6657.06110.6916.1824.4937.08$S$0.019210.017130.015450.014190.0079220.007855 Estime o [índice de concavidade](#def-b3-quantitative-geomorphology-indices) a partir do primeiro e do último ponto.
3. A inclinação de mínimos quadrados de $\log S$ em função de $\log A$ é $-0.466$ . Esse valor é compatível com $\theta = 0.5$ ?
4. Com $\theta_{\mathrm{ref}} = 0.5$ , calcule $k_{sn} = S A^{0.5}$ ( $A$ em $\mathrm{m}^{2}$ ) para o primeiro e o último ponto, e diga o que representa a média geométrica dos doze valores, $45.1\,\mathrm{m}$ .
5. Por que os gradientes se dispersam muito mais do que as altitudes?
6. Usando a fórmula do exercício de chi, calcule $\chi$ em $d =  9.00\,\mathrm{km}$ , um ponto abaixo da cachoeira.

**Parte II — Declividade e erodibilidade.**

7. O rio está em $193.4\,\mathrm{m}$ em $d = 9.00\,\mathrm{km}$ . Calcule a inclinação do gráfico de chi abaixo da cachoeira e a declividade $k_{sn}$ .
8. Qual das estimativas de $k_{sn}$ , esta ou a da declividade–área, é mais confiável, e por quê?
9. Supondo [estado estacionário](#def-b3-quantitative-geomorphology-steady-profile) abaixo da cachoeira, calcule $K$ a partir da taxa de soerguimento.
10. Verifique que a taxa de entalhamento na foz, cujo gradiente é 0.00691, é igual à taxa de soerguimento.
11. Calcule a celeridade de um [knickpoint](#def-b3-quantitative-geomorphology-knickpoint) na foz e na cachoeira, em m/kyr.
12. Calcule a altitude da cabeceira do canal no perfil em [estado estacionário](#def-b3-quantitative-geomorphology-steady-profile) , e o relevo do tronco.

**Parte III — A cachoeira.**

13. Por que, com $n = 1$ , a cachoeira manteve a altura da queda do [nível de base](#def-b3-quantitative-geomorphology-knickpoint) ?
14. Calcule $\chi$ na cachoeira.
15. Calcule o tempo que o [knickpoint](#def-b3-quantitative-geomorphology-knickpoint) levou da foz até sua posição atual.
16. Onde ele estará daqui a $300\,\mathrm{kyr}$ ?
17. O afluente 3 se une ao tronco a $2.5\,\mathrm{km}$ a montante da foz; ele tem $5\,\mathrm{km}$ de comprimento, com $A = 1.5\,s^{1.7}$ ( $s$ medido a partir de seu próprio divisor). Onde deve estar sua cachoeira?
18. Os afluentes 1 e 2 se unem ao tronco a 8 e $5\,\mathrm{km}$ a montante da foz. Explique por que eles não têm cachoeira.

**Parte IV — As encostas e a idade.**

19. Um levantamento lidar acima da cachoeira fornece uma curvatura no topo das colinas de $-0.0086\,\mathrm{m}^{-1}$ . Com $\kappa = 5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{yr}$ , calcule a taxa de erosão e compare-a com a taxa de soerguimento.
20. As encostas têm cerca de $150\,\mathrm{m}$ de comprimento. Compare seu tempo de resposta $L^2/\kappa$ com a idade obtida na Parte III.
21. Descreva as encostas abaixo da cachoeira hoje, e como elas vão mudar.
22. A taxa de soerguimento é conhecida com incerteza de $20\,\%$ . Dê a faixa de valores da idade.
23. Como a cachoeira teria evoluído se $n$ fosse 2?
24. Dê a idade da queda do [nível de base](#def-b3-quantitative-geomorphology-knickpoint) .

**Solução de Problema 18.1.**

**1.** $4.5\times12000^{1.7} = 3.87 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{2}$, $38.7\,\mathrm{km}^{2}$; $4.5\times300^{1.7} = 7.3 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}$, $0.073\,\mathrm{km}^{2}$.

**2.** $\theta \approx -\log(0.007855/0.06641)/\log(37.08/0.388) =
0.928/1.980 = 0.47$.

**3.** Sim: com uma dispersão de cerca de $10\,\%$ em doze pontos, $0.466$ não difere significativamente de 0.5.

**4.** $0.06641\times\sqrt{388\,000} = 41.4\,\mathrm{m}$; $0.007855\times\sqrt{3.708\times10^7} = 47.8\,\mathrm{m}$. A média geométrica, $45.1\,\mathrm{m}$, estima $k_s$ para $\theta = 0.5$.

**5.** Um gradiente é a diferença de duas elevações, cada uma incerta em decímetros a metros, dividida por uma distância curta; em trechos suaves, o erro é uma parcela grande da diferença. $\chi$ integra, em vez de derivar.

**6.** $p = 1 - 1.7\times0.5 = 0.15$; $\chi = (1000/\sqrt{4.5})\,
(12000^{0.15} - 9000^{0.15})/0.15 = 543.1\,\mathrm{m}$.

**7.** $(193.4 - 170)/543.1 = 0.0431$; $k_{sn} = 0.0431\times A_0^{0.5}
= 43.1\,\mathrm{m}$.

**8.** A estimativa por chi: ela se apoia em elevações ao longo de $3\,\mathrm{km}$ de rio, não em doze gradientes ruidosos.

**9.** $K = U/k_{sn} = 4.3\times10^{-5}/43.1 = 1.00 \times 10^{-6}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

**10.** $10^{-6}\times\sqrt{3.87\times10^7}\times0.00691 =
4.30 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$, $43\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$: a foz acompanha o levantamento.

**11.** Na foz, $10^{-6}\times6222 = 6.2\,\mathrm{m}/\mathrm{kyr}$; na cachoeira, $d = 7.40\,\mathrm{km}$, $A = 1.70 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{2}$ e $4.1\,\mathrm{m}/\mathrm{kyr}$.

**12.** $170 + 43\times(4.5)^{-0.5}(12000^{0.15} - 300^{0.15})/0.15 =
405\,\mathrm{m}$: um relevo de $235\,\mathrm{m}$.

**13.** Para $n = 1$, a equação é uma onda cinemática: pontos de ambos os lados do degrau sobem $U$ por unidade de tempo, de modo que o degrau mantém sua altura, os $25\,\mathrm{m}$ da queda.

**14.** $\chi = (1000/\sqrt{4.5})(12000^{0.15} - 7400^{0.15})/0.15 =
899.4\,\mathrm{m}$.

**15.** $t = \chi/(KA_0^{0.5}) = 899.4/10^{-3} = 899\,\mathrm{kyr}$.

**16.** Em $\chi = 899.4 + 300 = 1199\,\mathrm{m}$: $d^{0.15} = 12000^{0.15} - 1199\times0.15\times\sqrt{4.5}/1000$, $d =
6.25\,\mathrm{km}$, $5.75\,\mathrm{km}$ a montante da foz.

**17.** Na confluência ($d = 9.5\,\mathrm{km}$) $\chi = 442.8\,\mathrm{m}$; a cachoeira está onde o $\chi$ do afluente atinge $899.4\,\mathrm{m}$: $s^{0.15} = 5000^{0.15} - (899.4 - 442.8)\times0.15\times\sqrt{1.5}/1000$, $s = 4.27\,\mathrm{km}$, $0.73\,\mathrm{km}$ acima da confluência.

**18.** Suas confluências estão em $\chi = 1954$ e $999\,\mathrm{m}$, além de $899\,\mathrm{m}$: o [knickpoint](#def-b3-quantitative-geomorphology-knickpoint) ainda não as ultrapassou, de modo que o tronco ali ainda está em seu nível antigo.

**19.** $E = 5\times10^{-3}\times0.0086 = 4.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$, $43\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$: as colinas acima da cachoeira erodem à taxa de levantamento, em [estado estacionário](#def-b3-quantitative-geomorphology-steady-profile).

**20.** $150^2/(5\times10^{-3}) = 4.5\,\mathrm{Myr}$, cinco vezes a idade da cachoeira.

**21.** A base delas foi rebaixada $25\,\mathrm{m}$ junto com o canal: suas partes inferiores estão excessivamente íngremes, talvez deslizando, enquanto suas cristas ainda erodem à taxa antiga. Uma onda de acentuação sobe por cada encosta; depois de alguns milhões de anos elas retornam à mesma parábola, $25\,\mathrm{m}$ mais baixa.

**22.** $t = \chi k_{sn}/(U A_0^{0.5})$ varia como $1/U$: de $899/1.2 = 749$ a $899/0.8 = 1124\,\mathrm{kyr}$.

**23.** Com $n = 2$, a celeridade cresce com o gradiente: a face íngreme se deslocaria mais depressa do que os trechos ao redor e permaneceria nítida, mas sua velocidade e a idade lida a partir dela seriam diferentes.

**24.** O [nível de base](#def-b3-quantitative-geomorphology-knickpoint) do rio Varden caiu há **$900\,\mathrm{kyr}$** ($899\,\mathrm{kyr}$ pelo cálculo).