---
title: "Dinâmica de fluidos geofísicos"
book: "Ciências da Terra e do espaço universitárias — 3.º ano"
subject: earth
language: pt
chapter: 19
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/5/pt/chapter/19-dinamica-de-fluidos-geofisicos
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
---

# Capítulo 19 — Dinâmica de fluidos geofísicos

Mexa uma xícara de chá e o redemoinho se desfaz em um minuto; as folhas se juntam no centro do fundo e nada mais acontece. O oceano e a atmosfera também são agitados, pelo Sol e pelo vento, mas em um planeta em rotação e em camadas de densidades diferentes. Rotação e estratificação os fazem obedecer a regras que uma xícara de chá nunca mostra: os ventos sopram ao longo das isóbaras em vez de atravessá-las, colunas de fluido se recusam a inclinar-se, e o vento da alta troposfera está inscrito nas temperaturas abaixo dele. Este capítulo estabelece as equações desses escoamentos grandes, lentos e rasos e os poucos números que decidem quais termos importam.

**O que você já sabe.**

As forças de Coriolis e centrífuga em um referencial girante, as equações de Navier–Stokes e da continuidade, a viscosidade, o número de Reynolds e a relação hidrostática estão nos livros de física. O parâmetro de Coriolis $f = 2\Omega
\sin\varphi$, a força do gradiente de pressão, o equilíbrio geostrófico, os ventos geostróficos e gradiente e as correntes de jato estão no volume do primeiro ano, no seu capítulo sobre a circulação geral da atmosfera; a camada de Ekman no seu capítulo sobre a circulação do oceano; a temperatura potencial, a estabilidade estática e a oscilação de uma parcela de ar elevada, no seu capítulo sobre a estrutura da atmosfera e do oceano.

## 19.1 Equações em um referencial girante

Em um referencial que gira com a Terra, à velocidade angular $\vec\Omega$, uma parcela de fluido de velocidade $\vec u$ obedece a

$$
\frac{\mathrm D\vec u}{\mathrm Dt} + 2\vec\Omega\times\vec u =
-\frac{1}{\rho}\nabla p + \vec g + \nu\nabla^2\vec u ,
\qquad
\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\vec u) = 0 ,
$$

onde $\mathrm D/\mathrm Dt = \partial/\partial t + \vec u\cdot\nabla$ é a derivada seguindo a parcela e $\nu$ a viscosidade cinemática. A força centrífuga foi somada à gravitação: a soma delas, $\vec g$, é a gravidade efetiva, normal às superfícies de nível do [geopotencial](https://one-course.com/books/earth/5/pt/chapter/3-gravidade-e-a-figura-da-terra#def-b3-gravity-geodesy-geopotential), e a vertical é definida por ela. Da rotação resta apenas o termo de Coriolis, $-2\vec\Omega\times
\vec u$, que não realiza trabalho: ele desvia uma parcela sem alterar sua velocidade. A Terra gira a $\Omega =
7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, uma vez por dia sideral de $23.9345\,\mathrm{h}$.

Para movimentos em distâncias muito menores que o raio da Terra $a$, um referencial cartesiano local é suficiente: $x$ para leste, $y$ para norte, $z$ para cima, na latitude $\varphi$, o plano tangente da figura abaixo. Ali $\vec\Omega = \Omega\,(0, \cos\varphi, \sin\varphi)$, e as três componentes da equação do momento são

$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm Du}{\mathrm Dt} - f v + \tilde f w &= -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} + F_x ,\\
\frac{\mathrm Dv}{\mathrm Dt} + f u &= -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y} + F_y ,\\
\frac{\mathrm Dw}{\mathrm Dt} - \tilde f u &= -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z} - g + F_z ,
\end{aligned}
\qquad f = 2\Omega\sin\varphi,\quad \tilde f = 2\Omega\cos\varphi ,
$$

com $\vec F$ o atrito. Para os escoamentos finos e quase horizontais do oceano e da atmosfera, os termos em $\tilde f$ são desprezados: $\tilde f w$ é pequeno diante de $fv$ porque $w \ll v$, e $\tilde f u$ é a dez-milésima parte de $g$ (veja o [Exercício 19.5](#exo-b3-gfd-foundations-5)). A força de Coriolis então atua apenas na horizontal, por meio da componente vertical local da rotação, $\Omega\sin\varphi$.

**Definição 19.1 (plano fff e plano β\betaβ).**

Próximo de uma latitude de referência $\varphi_0$, a aproximação do *plano $f$* toma o parâmetro de Coriolis como constante, $f = f_0 =
2\Omega\sin\varphi_0$. A aproximação do *plano $\beta$* mantém sua variação de primeira ordem com a distância para o norte $y$: $f = f_0 + \beta y$, com $\beta = \mathrm df/\mathrm dy = 2\Omega
\cos\varphi_0/a$.

Em $45{}^{\circ}$, com o raio médio $a = 6371\,\mathrm{km}$, $f_0 =
1.031 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$ e $\beta = 1.62 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$: em $1000\,\mathrm{km}$ de latitude $f$ muda $16\,\%$. O plano $f$ serve a movimentos bem menores que isso; o plano $\beta$ é necessário para correntes de escala de bacia e ondas planetárias.

![À esquerda, o referencial local na latitude : z ao longo da vertical local, y para o norte no plano tangente, x para leste entrando na página. O vetor de rotação se decompõe em em torno da vertical, que faz girar o movimento horizontal, e em torno do eixo voltado para o norte, desprezado para escoamentos delgados. À direita, o parâmetro de Coriolis e seu plano tangente em 45: próximos numa faixa de latitudes, distantes dela perto do equador e do polo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-gfd-foundations/fig-d634f1aadba4.svg)

![À esquerda, o referencial local na latitude : z ao longo da vertical local, y para o norte no plano tangente, x para leste entrando na página. O vetor de rotação se decompõe em em torno da vertical, que faz girar o movimento horizontal, e em torno do eixo voltado para o norte, desprezado para escoamentos delgados. À direita, o parâmetro de Coriolis e seu plano tangente em 45: próximos numa faixa de latitudes, distantes dela perto do equador e do polo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-gfd-foundations/fig-5df4b12fcdad.svg)

*À esquerda, o referencial local na latitude $\varphi$: $z$ ao longo da vertical local, $y$ para o norte no plano tangente, $x$ para leste entrando na página. O vetor de rotação se decompõe em $\Omega\sin\varphi$ em torno da vertical, que faz girar o movimento horizontal, e $\Omega\cos\varphi$ em torno do eixo voltado para o norte, desprezado para escoamentos delgados. À direita, o parâmetro de Coriolis e seu plano tangente $\beta$ em $45{}^{\circ}$: próximos numa faixa de latitudes, distantes dela perto do equador e do polo.*

Duas outras aproximações simplificam as equações sem perder o que importa. A primeira diz respeito à densidade.

**Definição 19.2 (Aproximação de Boussinesq).**

A *aproximação de Boussinesq* escreve a densidade como $\rho = \rho_0 + \rho'$, com $\rho_0$ constante e $|\rho'| \ll \rho_0$, e mantém $\rho'$ apenas onde ela multiplica $g$. A equação da continuidade torna-se $\nabla\cdot\vec u = 0$, e a equação do momento

$$
\frac{\mathrm D\vec u}{\mathrm Dt} + f\,\vec k\times\vec u =
-\frac{1}{\rho_0}\nabla p' + b\,\vec k + \nu\nabla^2\vec u ,
\qquad b = -g\,\frac{\rho'}{\rho_0} ,
$$

em que $p'$ é o desvio da pressão em relação à pressão hidrostática da densidade $\rho_0$, $\vec k$ o vetor unitário para cima e $b$ a flutuabilidade.

Na água do oceano, $\rho'$ é de alguns $\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ sobre $1025$, uma fração de por cento, e a aproximação é excelente. Na atmosfera, a densidade cai por um fator $e$ em cerca de $8.5\,\mathrm{km}$; a aproximação vale para camadas muito mais finas do que isso, e escoamentos mais profundos substituem $\rho_0$ por um perfil médio $\rho_0(z)$, com a mesma física.

A segunda diz respeito à vertical. Um fluido em repouso está em equilíbrio hidrostático; um fluido em movimento o mantém com muito boa aproximação quando o movimento é muito mais largo do que profundo.

**Definição 19.3 (Aproximação hidrostática).**

A *aproximação hidrostática* substitui a equação do momento vertical de um fluido em movimento pela relação hidrostática, $\partial p/\partial z = -\rho g$.

**Proposição 19.4 (Quando a aproximação hidrostática vale).**

Para um movimento de escala horizontal $L$, profundidade $H$ e velocidade $U$, com um [número de Rossby](#def-b3-gfd-foundations-numbers) $U/(fL)$ no máximo da ordem de um, a aceleração vertical é menor do que o gradiente vertical da perturbação de pressão por um fator da ordem de $(U/fL)\,(H/L)^2$.

**Demonstração.** Quando a força de Coriolis é pelo menos tão grande quanto a aceleração, a equação do momento horizontal equilibra o gradiente horizontal de pressão contra ela: $p'/(\rho_0 L) \sim fU$, logo $p'/\rho_0 \sim fUL$, e o gradiente vertical é $p'/(\rho_0 H) \sim fUL/H$. A continuidade, $\partial w/\partial z
= -(\partial u/\partial x + \partial v/\partial y)$, limita a velocidade vertical por $W \sim UH/L$, e a aceleração vertical por $\mathrm Dw/\mathrm Dt \sim UW/L = U^2H/L^2$. A razão é $(U^2H/L^2)/(fUL/H)
= (U/fL)(H/L)^2$. ∎

Um sistema meteorológico de $1000\,\mathrm{km}$ de largura em uma troposfera de $10\,\mathrm{km}$ de profundidade tem $(H/L)^2 = 10^{-4}$ e um [número de Rossby](#def-b3-gfd-foundations-numbers) de cerca de 0.1: o erro da [aproximação hidrostática](#def-b3-gfd-foundations-hydrostatic) é da ordem de $10^{-5}$. Ela falha apenas em movimentos estreitos e profundos: uma corrente ascendente de tempestade, uma pluma convectiva no oceano.

## 19.2 Escalas do escoamento em rotação

Quais termos da equação do momento importam é decidido por duas razões.

**Definição 19.5 (Números de Rossby e de Ekman).**

Para um escoamento de velocidade $U$, escala horizontal $L$ e profundidade $H$ em um planeta de parâmetro de Coriolis $f$, o *número de Rossby* é $\mathrm{Ro} = U/(fL)$, a razão entre a aceleração, da ordem de $U^2/L$, e a força de Coriolis, da ordem de $fU$. O *número de Ekman* é $\mathrm{Ek} = \nu/(fH^2)$, a razão entre a força viscosa, da ordem de $\nu U/H^2$, e a força de Coriolis; em um escoamento turbulento $\nu$ é substituída por uma viscosidade de turbilhão.

Um ralo de banheira que escoa $0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sobre $0.3\,\mathrm{m}$ tem [número de Rossby](#def-b3-gfd-foundations-numbers) de alguns milhares: a rotação da Terra não decide o sentido do seu redemoinho. Uma depressão de $1000\,\mathrm{km}$ de diâmetro com ventos de $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ tem $\mathrm{Ro} \approx 0.14$, e um giro oceânico tem $\mathrm{Ro} \sim 10^{-4}$. A viscosidade é ainda mais fraca: a viscosidade molecular da água é $10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, e as viscosidades de turbilhão que representam a turbulência do oceano, $10^{-5}\text{ a }10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ na vertical, dão $\mathrm{Ek} \sim 10^{-5}$ ao longo de $1000\,\mathrm{m}$ de profundidade. Os dois números se relacionam ao número de Reynolds por $\mathrm{Re} = UL/\nu =
(\mathrm{Ro}/\mathrm{Ek})(L/H)^2$.

Quando os dois números são pequenos, a equação do momento horizontal estacionária mantém apenas a força de Coriolis e o gradiente de pressão: o escoamento está em equilíbrio geostrófico, $f\,\vec k\times\vec u_g = -(1/\rho)\nabla_h p$, que o volume do primeiro ano leu a partir de mapas meteorológicos. A geostrofia é o limite $\mathrm{Ro}, \mathrm{Ek}\to 0$; suas correções são da ordem de $\mathrm{Ro}$, e o atrito atua apenas em camadas finas de espessura relativa $\sqrt{\mathrm{Ek}}$, as camadas de Ekman na base da atmosfera e no topo e na base do oceano. Em um plano $f$, a velocidade geostrófica não tem divergência horizontal: $\partial u_g/\partial x + \partial
v_g/\partial y = -(1/\rho f)(\partial^2 p/\partial x\partial y -
\partial^2 p/\partial y\partial x) = 0$ para $\rho$ uniforme.

O caso oposto, rotação sem gradiente de pressão, é o movimento mais simples que um fluido em rotação pode realizar.

**Definição 19.6 (Oscilação inercial).**

Uma *oscilação inercial* é o movimento horizontal de um fluido sobre o qual não atua força horizontal alguma, exceto a força de Coriolis.

**Teorema 19.7 (Círculos inerciais).**

Em um plano $f$, uma porção de fluido que se move com velocidade $U$ sem força horizontal exceto a força de Coriolis mantém sua velocidade e descreve um círculo de raio $U/|f|$, no sentido horário no Hemisfério Norte e no sentido anti-horário no Hemisfério Sul, no período inercial $2\pi/|f|$, que é metade do dia sideral dividido por $\sin\varphi$.

**Demonstração.** As equações são $\mathrm du/\mathrm dt = fv$, $\mathrm dv/\mathrm dt =
-fu$. Com $w = u + \mathrm iv$, elas se escrevem $\mathrm dw/\mathrm dt = -\mathrm
if\,w$, logo $w = U\,\mathrm e^{-\mathrm ift}$ para um início para leste: a rapidez $|w| = U$ é constante e o vetor velocidade gira à taxa $f$, no sentido horário quando $f > 0$. Integrando, a posição $x + \mathrm iy =
(\mathrm iU/f)(\mathrm e^{-\mathrm ift} - 1)$ descreve um círculo em torno do ponto $-\mathrm iU/f$ à distância $U/|f|$. O período é $2\pi/|f| =
2\pi/(2\Omega|\sin\varphi|)$, e $2\pi/\Omega$ é o dia sideral. ∎

A $45{}^{\circ}$ o período inercial é de $16.9\,\mathrm{h}$, e uma corrente de $0.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ descreve um círculo de $1.94\,\mathrm{km}$; a $30{}^{\circ}$ o período é de um dia sideral completo, e no equador não há círculos inerciais. Depois que uma tempestade põe a camada superficial do oceano em movimento e depois cessa, a água faz exatamente isso. Bóias de deriva com âncora a $15\,\mathrm{m}$ no Pacífico Norte descreveram laços por dias após uma tempestade em outubro de 1987, arrastadas pela corrente média: o terceiro percurso da figura abaixo, após o círculo e a espiral.

![Percursos ao longo de quatro dias de uma porção de fluido que se move para leste a 0.2\, m/ s a 45 N (ponto), sem outra força além da força de Coriolis: um círculo de raio 1.94\, km percorrido no sentido horário a cada 16.9\, h (cinza); com um atrito que reduz a velocidade à metade em 2.8 dias, uma espiral para dentro (azul); o mesmo caso arrastado por uma corrente constante para leste de 0.05\, m/ s, uma sucessão de laços que diminuem (vermelho).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-gfd-foundations/fig-0ec486f3a24c.svg)

*Percursos ao longo de quatro dias de uma porção de fluido que se move para leste a $0.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $45{}^{\circ}$ N (ponto), sem outra força além da força de Coriolis: um círculo de raio $1.94\,\mathrm{km}$ percorrido no sentido horário a cada $16.9\,\mathrm{h}$ (cinza); com um atrito que reduz a velocidade à metade em $2.8$ dias, uma espiral para dentro (azul); o mesmo caso arrastado por uma corrente constante para leste de $0.05\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, uma sucessão de laços que diminuem (vermelho).*

Entre a geostrofia e o círculo inercial situa-se o escoamento em torno de um centro de alta ou de baixa pressão, onde as isóbaras são curvas e a aceleração em direção ao centro já não é desprezível.

**Definição 19.8 (Vento gradiente).**

O *vento gradiente* é o escoamento permanente e sem atrito ao longo de isóbaras curvas, no qual a força do gradiente de pressão, a força de Coriolis e a aceleração centrípeta se equilibram.

**Proposição 19.9 (A correção de curvatura).**

Sejam as isóbaras círculos de raio $r$ no Hemisfério Norte, e $V_g$ a velocidade geostrófica que o gradiente de pressão delas produziria, com $\mathrm{Ro}_g = V_g/(fr)$. Em torno de uma baixa, o [vento gradiente](#def-b3-gfd-foundations-gradient) é $V = 2V_g/(1 + \sqrt{1 + 4\mathrm{Ro}_g})$, mais lento que $V_g$; em torno de uma alta, $V = 2V_g/(1 + \sqrt{1 - 4\mathrm{Ro}_g})$, mais rápido, e ele só existe se $\mathrm{Ro}_g \le 1/4$. Em primeira ordem, $V = V_g(1 \mp \mathrm{Ro}_g)$.

**Demonstração.** Em torno de uma baixa o vento gira no sentido anti-horário; a força do gradiente de pressão $fV_g$ aponta para o centro, a força de Coriolis $fV$ aponta para fora, e a diferença entre elas fornece a aceleração centrípeta: $fV_g - fV = V^2/r$. A raiz positiva de $V^2 + frV - frV_g = 0$ é $V = (fr/2)(\sqrt{1 +
4\mathrm{Ro}_g} - 1)$; multiplicando por $(\sqrt{1 + 4\mathrm{Ro}_g} +
1)/(\sqrt{1 + 4\mathrm{Ro}_g} + 1)$ obtém-se a fórmula. Em torno de uma alta, o vento gira no sentido horário e a força de Coriolis aponta para dentro: $fV - fV_g =
V^2/r$, logo $V^2 - frV + frV_g = 0$, que tem raízes reais somente se $f^2r^2
\ge 4frV_g$; a raiz que tende a $V_g$ quando $\mathrm{Ro}_g \to 0$ é $V = (fr/2)(1 - \sqrt{1 - 4\mathrm{Ro}_g})$. Expandindo as raízes quadradas, $V = V_g(1 \mp \mathrm{Ro}_g + \dots)$. ∎

O [número de Rossby](#def-b3-gfd-foundations-numbers) das isóbaras mede a correção: cerca de um décimo para uma depressão de tamanho moderado. A condição $\mathrm{Ro}_g \le 1/4$ explica por que o centro de um anticiclone tem gradientes fracos e ventos leves, enquanto o de uma depressão pode ter gradientes íngremes e ventanias.

## 19.3 Rotação sem estratificação

Um fluido em rotação, de densidade uniforme e em movimento lento, comporta-se como se fosse formado por colunas rígidas paralelas ao eixo de rotação.

**Teorema 19.10 (Taylor–Proudman).**

Em um escoamento permanente de um fluido não viscoso de densidade uniforme, em rotação com $\vec\Omega$, com [número de Rossby](#def-b3-gfd-foundations-numbers) pequeno, a velocidade não varia na direção do eixo de rotação: $(\vec\Omega\cdot\nabla)\vec u = 0$.

**Demonstração.** Para $\mathrm{Ro}\to 0$, permanente e não viscoso, a equação do momento reduz-se a $2\vec\Omega\times\vec u = -\nabla(p/\rho_0 + \Phi)$, com $\Phi$ o [geopotencial](https://one-course.com/books/earth/5/pt/chapter/3-gravidade-e-a-figura-da-terra#def-b3-gravity-geodesy-geopotential). O rotacional de um gradiente é nulo, logo $\nabla\times(\vec\Omega
\times\vec u) = 0$. Para um $\vec\Omega$ constante, esse rotacional é $\vec\Omega
(\nabla\cdot\vec u) - (\vec\Omega\cdot\nabla)\vec u$, e $\nabla\cdot\vec u
= 0$ para densidade uniforme. ∎

Com $\vec\Omega$ ao longo de $z$, $\partial\vec u/\partial z = 0$: as três componentes da velocidade são as mesmas em todas as alturas. Se um fundo rígido impede $w$ ali, $w = 0$ em toda parte, e o escoamento horizontal é o mesmo em todos os níveis. Um obstáculo no fundo de um tanque em rotação é, portanto, percebido até a superfície: o fluido acima dele não consegue subir por cima, pois isso esticaria ou comprimiria uma coluna, e contorna-o em todas as alturas. A coluna de fluido que permanece acima do obstáculo é uma *coluna de Taylor*.

![Uma coluna de Taylor (esquemático). (a) Em um tanque de água uniforme girando rapidamente, um escoamento lento encontra um obstáculo baixo no fundo; o fluido acima do obstáculo (cinza) fica preso no lugar até a superfície, e o escoamento em toda altura contorna a coluna como se o obstáculo alcançasse o topo. (b) O escoamento visto de cima é o mesmo em todos os níveis.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-gfd-foundations/fig-2aebbf9cea30.svg)

*Uma [coluna de Taylor](#thm-b3-gfd-foundations-taylor-proudman) (esquemático). (a) Em um tanque de água uniforme girando rapidamente, um escoamento lento encontra um obstáculo baixo no fundo; o fluido acima do obstáculo (cinza) fica preso no lugar até a superfície, e o escoamento em toda altura contorna a coluna como se o obstáculo alcançasse o topo. (b) O escoamento visto de cima é o mesmo em todos os níveis.*

A atmosfera e o oceano são estratificados, e a estratificação alivia a restrição: um fluido estratificado pode variar com a altura, do modo como o teorema do [vento térmico](#thm-b3-gfd-foundations-thermal-wind) prescreve.

## 19.4 Estratificação e o vento térmico

O volume do primeiro ano levantou uma porção de ar em uma atmosfera estável e verificou que ela oscila em torno de seu nível. O mesmo vale para qualquer fluido estratificado, e a frequência da oscilação é a medida da estratificação.

**Definição 19.11 (Frequência de flutuabilidade).**

A *frequência de flutuabilidade* $N$ de um fluido em repouso é definida por

$$
N^2 = \frac{g}{\theta}\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dz}\ \text{(ar)},
\qquad
N^2 = -\frac{g}{\rho_0}\frac{\mathrm d\rho_\theta}{\mathrm dz}\ \text{(água do mar)},
$$

onde $\theta$ é a temperatura potencial do ar e $\rho_\theta$ a densidade potencial da água, isto é, a densidade que ela teria se fosse levada adiabaticamente a uma pressão de referência.

**Teorema 19.12 (Oscilação de uma porção deslocada).**

Uma porção deslocada verticalmente de uma pequena distância $\zeta$ de seu nível em um fluido em repouso, adiabaticamente e sem mistura, obedece a $\ddot\zeta =
-N^2\zeta$. Se $N^2 > 0$, ela oscila na frequência angular $N$; se $N^2 < 0$, o deslocamento cresce e o fluido é instável.

**Demonstração.** Deslocada adiabaticamente e sem mistura, a porção conserva sua densidade potencial $\rho_\theta(z_0)$. No nível $z_0 + \zeta$ ela está à pressão de seu entorno, cuja densidade potencial é $\rho_\theta(z_0) +
\zeta\,\mathrm d\rho_\theta/\mathrm dz$; duas porções à mesma pressão diferem em densidade pela diferença de suas densidades potenciais, até primeira ordem. A força de empuxo por unidade de massa é $-g(\rho_p - \rho_e)/\rho_0 =
g\,\zeta\,(\mathrm d\rho_\theta/\mathrm dz)/\rho_0 = -N^2\zeta$. Para o ar, a uma dada pressão, a densidade varia como $1/\theta$, logo $-\mathrm
d\rho_\theta/\rho_0 = \mathrm d\theta/\theta$ e as duas formas de $N^2$ concordam. ∎

Na troposfera da atmosfera padrão, que resfria a $6.49\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$, contra os $9.77\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ da adiabática seca ($g/c_p$, com $c_p = \gamma R/(\gamma - 1)$, $\gamma = 1.4$ e $R =
286.9\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$), $N$ tem média de $0.0113\,\mathrm{s}^{-1}$, um período de $9.3\,\mathrm{min}$; na estratosfera inferior isotérmica, vale $0.0210\,\mathrm{s}^{-1}$. No oceano, a coluna de água do Atlântico Norte em $40.5{}^{\circ}$ N, $30.5{}^{\circ}$ O, na média anual, tem sua estratificação mais forte na picnoclina sazonal, $N = 0.0106\,\mathrm{s}^{-1}$ a cerca de $30\,\mathrm{m}$, seis ciclos por hora, e valores muito menores abaixo: no máximo poucos ciclos por hora, como observado na parte superior do oceano.

![Frequência de flutuabilidade. À esquerda, a atmosfera padrão: quase uniforme na troposfera, duas vezes maior na estratosfera inferior isotérmica, ainda maior acima de 25\, km, onde a temperatura sobe. À direita, uma coluna de média anual do Atlântico Norte (temperatura e salinidade do World Ocean Atlas 2023, densidade potencial a partir da EOS-80): um máximo acentuado na picnoclina sazonal, estratificação fraca abaixo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-gfd-foundations/fig-9acc504d2a1b.svg)

*[Frequência de flutuabilidade](#def-b3-gfd-foundations-buoyancy). À esquerda, a atmosfera padrão: quase uniforme na troposfera, duas vezes maior na estratosfera inferior isotérmica, ainda maior acima de $25\,\mathrm{km}$, onde a temperatura sobe. À direita, uma coluna de média anual do Atlântico Norte (temperatura e salinidade do World Ocean Atlas 2023, densidade potencial a partir da EOS-80): um máximo acentuado na picnoclina sazonal, estratificação fraca abaixo.*

A estratificação permite que o escoamento varie com a altura, e o modo como isso ocorre depende de as superfícies de densidade constante seguirem, ou não, as de pressão constante.

**Definição 19.13 (Fluidos barotrópicos e baroclínicos).**

Um fluido é *barotrópico* se sua densidade for uma função apenas da pressão, de modo que as superfícies de densidade constante coincidem com as de pressão constante; ele é *baroclínico* se elas se cruzam.

Na atmosfera, um gradiente horizontal de temperatura ao longo de uma superfície de pressão torna o ar [baroclínico](#def-b3-gfd-foundations-baroclinic). O equilíbrio hidrostático faz então as superfícies de pressão inclinarem-se mais acentuadamente com a altura, e o equilíbrio geostrófico transforma a inclinação crescente em um vento crescente.

![A geometria do vento térmico (esquema, uma seção meridional com o lado quente ao sul, p_1 > p_2 > p_3 > p_4). O ar quente se expande, de modo que a camada entre duas superfícies de pressão é mais espessa do lado quente do que do frio: cada superfície desce em direção ao lado frio mais acentuadamente do que a de baixo. O vento geostrófico é proporcional à inclinação e cresce com a altura (círculos, maiores para vento mais forte), para leste, saindo da página.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-gfd-foundations/fig-e8d9e9b2262e.svg)

*A geometria do [vento térmico](#thm-b3-gfd-foundations-thermal-wind) (esquema, uma seção meridional com o lado quente ao sul, $p_1 > p_2 > p_3 >
p_4$). O ar quente se expande, de modo que a camada entre duas superfícies de pressão é mais espessa do lado quente do que do frio: cada superfície desce em direção ao lado frio mais acentuadamente do que a de baixo. O vento geostrófico é proporcional à inclinação e cresce com a altura (círculos, maiores para vento mais forte), para leste, saindo da página.*

**Teorema 19.14 (Vento térmico).**

Em uma atmosfera em equilíbrio hidrostático e geostrófico, o vento geostrófico varia com a pressão segundo

$$
\frac{\partial u_g}{\partial\ln p} = \frac{R}{f}\left(\frac{\partial T}{\partial y}\right)_p ,
\qquad
\frac{\partial v_g}{\partial\ln p} = -\frac{R}{f}\left(\frac{\partial T}{\partial x}\right)_p .
$$

Entre dois níveis de pressão $p_b > p_t$, o *vento térmico*, isto é, a diferença dos ventos geostróficos, é

$$
\vec u_g(p_t) - \vec u_g(p_b) = \frac{R}{f}\,\ln\frac{p_b}{p_t}\;\vec k\times\nabla_p\bar T ,
$$

em que $\bar T$ é a temperatura média da camada: o vento sopra ao longo das isotermas da camada, com o ar frio à sua esquerda no Hemisfério Norte.

**Demonstração.** Sobre uma superfície de pressão constante, $\mathrm dp = (\partial p/\partial y)
\,\mathrm dy + (\partial p/\partial z)\,\mathrm dz = 0$, e, com $\partial p/\partial z = -\rho g$, a altura $z_p$ da superfície satisfaz $g\,\partial z_p/\partial y = (1/\rho)\,\partial p/\partial y$. Em termos do [geopotencial](https://one-course.com/books/earth/5/pt/chapter/3-gravidade-e-a-figura-da-terra#def-b3-gravity-geodesy-geopotential) $\Phi = gz_p$ da superfície, o equilíbrio geostrófico se escreve $fu_g = -\partial\Phi/\partial y$ e $fv_g = \partial\Phi/\partial x$, com as derivadas tomadas ao longo da superfície. A relação hidrostática e a lei dos gases ideais dão $\partial\Phi/\partial p = -1/\rho = -RT/p$, ou seja $\partial\Phi/\partial\ln p = -RT$. Derivando $fu_g =
-\partial\Phi/\partial y$ em relação a $\ln p$, obtém-se $f\,\partial
u_g/\partial\ln p = R\,\partial T/\partial y$, e de modo análogo para $v_g$. Integrando de $p_b$ a $p_t$, $\ln p$ diminui de $\ln(p_b/p_t)$, logo $u_g(p_t) - u_g(p_b) = -(R/f)\ln(p_b/p_t)\,\partial\bar T/\partial y$, e $v_g(p_t) - v_g(p_b) = (R/f)\ln(p_b/p_t)\,\partial\bar T/\partial x$: estas são as componentes da forma vetorial, já que $\vec k\times\nabla\bar T =
(-\partial\bar T/\partial y, \partial\bar T/\partial x)$. ∎

**Corolário 19.15 (Vento térmico em altura).**

Em coordenadas de altura, para a atmosfera, $\partial u_g/\partial z =
-(g/fT)\,\partial T/\partial y + (u_g/T)\,\partial T/\partial z$; para o oceano na [aproximação de Boussinesq](#def-b3-gfd-foundations-boussinesq), $\partial u_g/\partial z =
(g/f\rho_0)\,\partial\rho/\partial y$ e $\partial v_g/\partial z =
-(g/f\rho_0)\,\partial\rho/\partial x$.

**Demonstração.** No ar, $fu_g = -(1/\rho)\partial p/\partial y = -RT\,\partial\ln
p/\partial y$ e $\partial\ln p/\partial z = -g/(RT)$. Então

$$
f\,\frac{\partial(u_g/T)}{\partial z} = -R\,\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial\ln p}{\partial z}
= g\,\frac{\partial(1/T)}{\partial y} = -\frac{g}{T^2}\frac{\partial T}{\partial y} ,
$$

e expandindo o lado esquerdo obtém-se a fórmula. No oceano, $fu_g = -(1/\rho_0)\partial
p/\partial y$ e $\partial p/\partial z = -\rho g$, então $f\,\partial u_g/
\partial z = (g/\rho_0)\,\partial\rho/\partial y$; de forma análoga para $v_g$. ∎

O segundo termo da forma atmosférica, que vem da diminuição da temperatura com a altura, é menor que o primeiro e se anula numa camada isotérmica; integrado ao longo de uma camada, com sua temperatura média, o primeiro termo sozinho dá quase a forma em pressão, pois $\Delta z \approx (R\bar T/g)
\ln(p_b/p_t)$ (Problema, Parte IV). No oceano, o mesmo teorema transforma uma seção de densidade através de uma corrente em seu cisalhamento vertical: a base do método dinâmico dos oceanógrafos.

As correntes de jato do volume do primeiro ano são [ventos térmicos](#thm-b3-gfd-foundations-thermal-wind). Na média zonal de janeiro de 1991–2020, o vento de oeste em $30{}^{\circ}$ N cresce de $4.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em $850\,\mathrm{hPa}$ para $40.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em $250\,\mathrm{hPa}$; com $f$ em $30{}^{\circ}$ e $R$, esse cisalhamento é a assinatura de uma camada cuja média temperatura cai para o norte $7.5\,\mathrm{K}$ por $1000\,\mathrm{km}$. Em $45{}^{\circ}$ N, o cisalhamento de $6.0\text{ a }23.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ fornece $5.0\,\mathrm{K}$ por $1000\,\mathrm{km}$. A figura abaixo mostra os perfis e, para cada latitude, a queda de temperatura em direção ao polo lida do cisalhamento: maior nos subtrópicos do hemisfério de inverno, onde se situa a corrente de jato subtropical, com $43.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em $200\,\mathrm{hPa}$ e $30{}^{\circ}$ N em janeiro e $41.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em $30{}^{\circ}$ S em julho. Acima de $200\,\mathrm{hPa}$ em $30{}^{\circ}$ N o vento volta a enfraquecer: o teorema do [vento térmico](#thm-b3-gfd-foundations-thermal-wind) lido ao contrário diz que ali, na baixa estratosfera, a temperatura sobe em direção ao polo.

![À esquerda, média zonal do vento zonal em janeiro (NCEP–NCAR Reanalysis 1, média de 1991–2020) em três latitudes: o vento cresce com a altura ao longo da troposfera. À direita, a queda média da temperatura em direção ao polo entre 850\, hPa e 250\, hPa, lida do cisalhamento do vento pelo teorema do vento térmico (em latitudes menores que 25, onde a geostrofia falha, omitidas): maior no hemisfério de inverno.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-gfd-foundations/fig-9d83b398297c.svg)

*À esquerda, média zonal do vento zonal em janeiro (NCEP–NCAR Reanalysis 1, média de 1991–2020) em três latitudes: o vento cresce com a altura ao longo da troposfera. À direita, a queda média da temperatura em direção ao polo entre $850\,\mathrm{hPa}$ e $250\,\mathrm{hPa}$, lida do cisalhamento do vento pelo teorema do [vento térmico](#thm-b3-gfd-foundations-thermal-wind) (em latitudes menores que $25{}^{\circ}$, onde a geostrofia falha, omitidas): maior no hemisfério de inverno.*

## 19.5 O raio de deformação de Rossby

Rotação e estratificação impõem, cada uma, uma escala; juntas impõem um comprimento.

**Definição 19.16 (Raio de deformação de Rossby).**

O *raio de deformação de Rossby* de uma camada de profundidade $H$ e [frequência de flutuabilidade](#def-b3-gfd-foundations-buoyancy) $N$ é $L_R = NH/|f|$.

**Proposição 19.17 (Energia potencial e cinética de um escoamento equilibrado).**

Em um escoamento hidrostático e geostrófico de escala horizontal $L$ em uma camada de profundidade $H$ e [frequência de flutuabilidade](#def-b3-gfd-foundations-buoyancy) $N$, a razão entre a energia potencial armazenada nas superfícies de densidade deslocadas e a energia cinética é da ordem de $(L/L_R)^2$.

**Demonstração.** A geostrofia fornece a perturbação de pressão $p'/\rho_0 \sim fUL$; a relação hidrostática fornece a flutuabilidade $b \sim p'/(\rho_0H) \sim fUL/H$. Uma flutuabilidade $b$ em um fluido de [frequência de flutuabilidade](#def-b3-gfd-foundations-buoyancy) $N$ significa que as superfícies de densidade deslocadas verticalmente de $\eta = b/N^2$, o que armazena uma energia potencial por unidade de massa da ordem de $N^2\eta^2 = b^2/N^2 \sim f^2U^2L^2/(N^2H^2)$. Dividida pela energia cinética, da ordem de $U^2$, isso resulta em $(fL/NH)^2 = (L/L_R)^2$. ∎

Movimentos muito mais largos que $L_R$ concentram a maior parte de sua energia em superfícies de densidade inclinadas, movimentos muito mais estreitos concentram-na na velocidade; em $L_R$ as duas parcelas são iguais, e a instabilidade de escoamentos [baroclínicos](#def-b3-gfd-foundations-baroclinic), que se alimenta da energia potencial das superfícies inclinadas, cresce mais rapidamente próximo a essa escala. Para a troposfera, com o $N$ médio da atmosfera padrão, $H =
11\,\mathrm{km}$ e $f$ em $45{}^{\circ}$, $L_R = 1210\,\mathrm{km}$: a escala das depressões e anticiclones em um mapa do tempo. Para o quilômetro superior da coluna do Atlântico Norte em $40.5{}^{\circ}$ N, $L_R = 38\,\mathrm{km}$, trinta vezes menor: o oceano tem o seu próprio tempo, turbilhões de dezenas de quilômetros de diâmetro, e um modelo que os resolva precisa de uma malha muito mais fina. Em escalas próximas de $L_R$, $f$ varia em $\beta L_R/f$, $19\,\%$ para a atmosfera e menos de um por cento para o oceano: os turbilhões oceânicos vivem em um plano $f$, enquanto os sistemas meteorológicos sentem o plano $\beta$.

**No laboratório — Um planeta sobre uma mesa giratória.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-gfd-foundations/img-ae565a7e144a.jpg)

*Um tanque girante: corante em espiral ao redor de um cilindro, filmado por uma câmera que gira junto com a mesa (Ilustração gerada por IA.)*

Em um laboratório de dinâmica de fluidos geofísicos, um tanque de água fica sobre uma mesa giratória; uma câmera gira junto com ela e vê a água como um observador em um planeta a veria. Antes de cada rodada, deixa-se a água entrar em spin-up até que ela gire como um corpo sólido, o que leva alguns minutos, muitas voltas da mesa. Em seguida, os experimentadores injetam corante ou movem lentamente um obstáculo ao longo do fundo: o corante sobe em uma coluna vertical acima do obstáculo, e o escoamento se separa e o contorna em todos os níveis. Com uma camada de água doce sobre água salgada, ou com uma parede externa aquecida e um centro resfriado, o tanque torna-se [baroclínico](#def-b3-gfd-foundations-baroclinic), e surgem jatos, turbilhões e frentes meândricas, cujo tamanho o [raio de deformação de Rossby](#def-b3-gfd-foundations-rossby-radius) do tanque prevê.

## 19.6 Exercícios

**Exercício 19.1 ★.**

Tome $\Omega = 7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. (a) Calcule o parâmetro de Coriolis e o período inercial a $30{}^{\circ}$, $45{}^{\circ}$ e $60{}^{\circ}$ N. (b) Calcule o raio do círculo inercial de uma corrente de $0.20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ nas mesmas latitudes. (c) Compare o período inercial a $30{}^{\circ}$ com o dia sideral, $23.9345\,\mathrm{h}$.

**Solução de Exercício 19.1.**

(a) $f = 2\Omega\sin\varphi$: $7.292 \times 10^{-5}$, $1.031 \times 10^{-4}$ e $1.263 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$; $2\pi/f$: 23.93, 16.92 e $13.82\,\mathrm{h}$. (b) $U/f$: 2.74, 1.94 e $1.58\,\mathrm{km}$. (c) A $30{}^{\circ}$, $\sin\varphi =
1/2$ e $2\pi/f = 2\pi/\Omega$: o período inercial é o dia sideral, $23.93\,\mathrm{h}$.

**Exercício 19.2 ★.**

A $45{}^{\circ}$ N, calcule o [número de Rossby](#def-b3-gfd-foundations-numbers) de um redemoinho de poeira ($10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $10\,\mathrm{m}$), de uma brisa marítima ($5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $20\,\mathrm{km}$), de uma depressão ($15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $1000\,\mathrm{km}$) e de um giro oceânico ($0.05\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $2000\,\mathrm{km}$). Quais deles estão próximos do equilíbrio geostrófico?

**Solução de Exercício 19.2.**

Com $f = 1.031 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$: redemoinho de poeira $9.7 \times 10^{3}$, brisa marítima 2.4, depressão 0.15, giro $2.4 \times 10^{-4}$. A depressão e o giro estão próximos do equilíbrio geostrófico; o redemoinho de poeira gira nos dois sentidos, alheio à rotação da Terra, e a brisa marítima só a percebe após um dia.

**Exercício 19.3 ★.**

A $45{}^{\circ}$ N, a temperatura média da troposfera, $250\,\mathrm{K}$, diminui em direção ao norte $5\,\mathrm{K}$ a cada $1000\,\mathrm{km}$. Usando o primeiro termo do [vento térmico](#thm-b3-gfd-foundations-thermal-wind) em altura, calcule o cisalhamento vertical do vento de oeste e o aumento do vento ao longo de $10\,\mathrm{km}$.

**Solução de Exercício 19.3.**

$\partial u_g/\partial z = (g/fT)\,|\partial T/\partial y| = 9.81\times
5 \times 10^{-6}/(1.031 \times 10^{-4}\times250) = 1.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$; em $10\,\mathrm{km}$, o vento de oeste aumenta $19\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**Exercício 19.4 ★.**

A estabilidade $E = -(1/\rho)\,\mathrm d\rho_\theta/\mathrm dz$ do quilômetro superior do oceano situa-se entre $50 \times 10^{-8}$ e $1000 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{-1}$; em fossas oceânicas profundas, vale $10^{-8}\,\mathrm{m}^{-1}$. Calcule $N = \sqrt{gE}$, o período da oscilação de flutuabilidade e $N$ em ciclos por hora para estes três valores.

**Solução de Exercício 19.4.**

$E = 50 \times 10^{-8}$: $N = 2.21 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, um período de $47\,\mathrm{min}$, $1.27$ ciclos por hora. $E = 1000 \times 10^{-8}$: $N = 9.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, $10.6\,\mathrm{min}$, 5.7 ciclos por hora. $E = 10^{-8}$: $N =
3.13 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$, $5.6\,\mathrm{h}$, 0.18 ciclo por hora.

**Exercício 19.5 ★★.**

Um sistema meteorológico tem $U = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $L = 1000\,\mathrm{km}$, $H =
10\,\mathrm{km}$, a $45{}^{\circ}$ N. (a) Estime sua velocidade vertical e sua aceleração vertical, e compare esta última com $g$ e com o gradiente vertical da perturbação de pressão, $fUL/H$. (b) Calcule o termo de Coriolis descartado $\tilde fu$ e compare-o com $g$.

**Solução de Exercício 19.5.**

(a) $W \sim UH/L = 0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e $\mathrm Dw/\mathrm Dt \sim UW/L =
10^{-6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $1.0 \times 10^{-7}$ de $g$. O termo de pressão, $fUL/H =
0.103\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, é maior por $1 \times 10^{5}$: a razão, $9.7 \times 10^{-6}$, é $\mathrm{Ro}(H/L)^2$ com $\mathrm{Ro} = 0.097$. (b) $\tilde fu =
2\Omega\cos45{}^{\circ}\times10 = 1.03 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $1.05 \times 10^{-4}$ de $g$.

**Exercício 19.6 ★★.**

Tome $f = 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$ e isóbaras circulares de raio $300\,\mathrm{km}$. (a) O gradiente de pressão ao redor de uma baixa dá $V_g =
20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: calcule o [vento gradiente](#def-b3-gfd-foundations-gradient). (b) Ao redor de uma alta, $V_g = 5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: calcule o [vento gradiente](#def-b3-gfd-foundations-gradient). (c) Qual é o maior $V_g$ possível ao redor da alta, e qual é então o vento?

**Solução de Exercício 19.6.**

$fr = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (a) $\mathrm{Ro}_g = 0.667$, $V = 40/(1 + \sqrt{3.667})
= 13.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, um terço mais lento que o geostrófico. (b) $\mathrm{Ro}_g =
0.167$, $V = 10/(1 + \sqrt{0.333}) = 6.34\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (c) $V_g \le fr/4 =
7.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, e então $V = fr/2 = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, o dobro da velocidade geostrófica.

**Exercício 19.7 ★★.**

Um tanque de $20\,\mathrm{cm}$ de profundidade gira uma vez a cada $6\,\mathrm{s}$; sua água tem $\nu =
10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. (a) Calcule $f = 2\Omega$, depois o [número de Rossby](#def-b3-gfd-foundations-numbers) de um escoamento de $1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ passando por um cilindro de $5\,\mathrm{cm}$ de diâmetro, e o [número de Ekman](#def-b3-gfd-foundations-numbers) do tanque. Vai se formar uma [coluna de Taylor](#thm-b3-gfd-foundations-taylor-proudman)? (b) A teoria dá um tempo de spin-up $H/\sqrt{\nu\Omega}$: calcule-o em minutos e em voltas da mesa.

**Solução de Exercício 19.7.**

(a) $\Omega = 2\pi/6 = 1.047\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $f = 2.094\,\mathrm{s}^{-1}$. $\mathrm{Ro} = 0.01/(2.094\times0.05) = 0.095$ e $\mathrm{Ek} =
10^{-6}/(2.094\times0.04) = 1.19 \times 10^{-5}$: ambos pequenos, de modo que o escoamento obedece ao [teorema de Taylor–Proudman](#thm-b3-gfd-foundations-taylor-proudman) e forma-se uma [coluna de Taylor](#thm-b3-gfd-foundations-taylor-proudman). (b) $0.2/\sqrt{10^{-6}
\times1.047} = 195\,\mathrm{s}$, $3.3\,\mathrm{min}$, 33 voltas da mesa.

**Exercício 19.8 ★★.**

Na média zonal de janeiro de 1991–2020, o vento de oeste é $4.27\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $850\,\mathrm{hPa}$ e $40.39\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $250\,\mathrm{hPa}$ a $30{}^{\circ}$ N, $5.99\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e $23.17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $45{}^{\circ}$ N. Com $R =
286.9\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, calcule o gradiente meridional da temperatura média da camada nas duas latitudes, e diga por que o jato é mais intenso a $30{}^{\circ}$ N.

**Solução de Exercício 19.8.**

$\partial\bar T/\partial y = -f\,\Delta u/(R\ln(850/250))$, com $\ln(850/250) = 1.224$. A $30{}^{\circ}$ N, $-7.29 \times 10^{-5}\times36.12/(286.9
\times1.224) = -7.50\,\mathrm{K}$ por $1000\,\mathrm{km}$; a $45{}^{\circ}$ N, $-1.031 \times 10^{-4}\times17.18/351.1 = -5.05\,\mathrm{K}$ por $1000\,\mathrm{km}$. O cisalhamento é proporcional ao gradiente dividido por $f$: o gradiente é 1.5 vezes maior a $30{}^{\circ}$ e $f$ 1.4 vezes menor, de modo que o cisalhamento é 2.1 vezes maior.

**Exercício 19.9 ★★.**

(a) Calcule o [raio de deformação de Rossby](#def-b3-gfd-foundations-rossby-radius) da troposfera ($N =
0.0113\,\mathrm{s}^{-1}$, $H = 11\,\mathrm{km}$, $45{}^{\circ}$ N) e o da camada superior do oceano ($N = 0.003\,57\,\mathrm{s}^{-1}$, $H = 1000\,\mathrm{m}$, $40.5{}^{\circ}$ N). (b) Com $a = 6371\,\mathrm{km}$, calcule $\beta$ nas duas latitudes e a variação relativa $\beta L_R/f$ do parâmetro de Coriolis sobre cada raio.

**Solução de Exercício 19.9.**

(a) $L_R = 0.0113\times11\,000/1.031 \times 10^{-4} = 1206\,\mathrm{km}$; $0.00357\times1000/9.47 \times 10^{-5} = 37.7\,\mathrm{km}$, 32 vezes menor. (b) $\beta = 2\Omega\cos\varphi/a$: $1.62 \times 10^{-11}$ e $1.74 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$. $\beta L_R/f = 0.19$ para a atmosfera, 0.007 para o oceano.

**Exercício 19.10 ★★★.**

Uma parcela da superfície do oceano, posta em movimento com velocidade $U$, é freada por atrito linear: $\mathrm du/\mathrm dt = fv - ru$, $\mathrm dv/\mathrm dt = -fu -
rv$. (a) Resolva com $w = u + \mathrm iv$ e descreva a trajetória. (b) A parcela também é arrastada por uma corrente estacionária $u_0$ para leste: dê sua posição. (c) A $45{}^{\circ}$ N, com $U = 0.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $r^{-1} =
4\text{ dias}$ e $u_0 = 0.05\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, dê sua velocidade em relação à corrente após quatro dias e a distância que ela derivou.

**Solução de Exercício 19.10.**

(a) $\mathrm dw/\mathrm dt = -(r + \mathrm if)w$, logo $w = U\mathrm
e^{-rt}\mathrm e^{-\mathrm ift}$: a velocidade gira à taxa $f$ enquanto sua magnitude decai como $\mathrm e^{-rt}$. A posição $x + \mathrm iy =
U(1 - \mathrm e^{-(r + \mathrm if)t})/(r + \mathrm if)$ espirala em direção ao ponto $U/(r + \mathrm if)$. (b) $x + \mathrm iy = U(1 - \mathrm e^{-(r +
\mathrm if)t})/(r + \mathrm if) + u_0t$: a espiral se desdobra em laços. (c) $0.2\,\mathrm e^{-1} = 0.074\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; o centro derivou $u_0t =
0.05\times4\times86\,400 = 17.3\,\mathrm{km}$ para leste.

**Exercício 19.11 ★★★.**

Através de uma frente oceânica a $40{}^{\circ}$ N, a densidade da água aumenta em direção ao norte $1\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ao longo de $100\,\mathrm{km}$, na camada superior de $1000\,\mathrm{m}$; abaixo, a água é uniforme e parada. Com $\rho_0 =
1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, calcule o cisalhamento vertical da corrente e a corrente na superfície. Em que direção ela flui?

**Solução de Exercício 19.11.**

$f = 9.37 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\partial u/\partial z = (g/f\rho_0)\,\partial
\rho/\partial y = 9.81\times10^{-5}/(9.37 \times 10^{-5}\times1025) =
1.02 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$. Com $u = 0$ a $1000\,\mathrm{m}$, a corrente superficial é $1.02\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, para leste: no Hemisfério Norte a corrente flui com a água leve à sua direita.

**Exercício 19.12 ★★★.**

A coluna de média anual a $40.5{}^{\circ}$ N, $30.5{}^{\circ}$ O apresenta densidades potenciais $\sigma_\theta = \rho_\theta - 1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ de 26.029 na superfície, 26.697 a $100\,\mathrm{m}$, 27.079 a $500\,\mathrm{m}$ e 27.628 a $1000\,\mathrm{m}$. (a) Calcule $N$ em cada uma das três camadas, em $\mathrm{s}^{-1}$ e em ciclos por hora. (b) Qual camada é a mais estável, e por quê? (c) Compare os valores com a faixa do oceano superior indicada no [Exercício 19.4](#exo-b3-gfd-foundations-4).

**Solução de Exercício 19.12.**

(a) $N^2 = (g/\rho)\,\Delta\sigma_\theta/\Delta z$. 0–$100\,\mathrm{m}$: $9.81\times0.668/(1026.4\times100)$, $N = 7.99 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, 4.6 ciclos por hora; 100–$500\,\mathrm{m}$: $3.02 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, 1.7 ciclos por hora; 500–$1000\,\mathrm{m}$: $3.24 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, 1.9 ciclos por hora. (b) Os $100\,\mathrm{m}$ superiores: contêm a água superficial quente acima da picnoclina sazonal. Entre 100 e $500\,\mathrm{m}$ a água é mais uniforme do que abaixo. (c) $E = N^2/g$ é $650 \times 10^{-8}$, $93 \times 10^{-8}$ e $107 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{-1}$, todos dentro da faixa do oceano superior.

## 19.7 Problema: ventos sobre a estepe de Orrin

**Problema 19.1.**

Problema de fim de semana — a rotação, a estratificação e os ventos de uma planície inventada a $48{}^{\circ}$ N

A estepe de Orrin é uma planície plana a $48{}^{\circ}$ N, com um lago, o lago Orrin, com $12\,\mathrm{km}$ de largura, e um pequeno laboratório com um tanque giratório. Tome $\Omega = 7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $R =
286.9\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ e $c_p = 1004\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$. Todos os valores da estepe, de seu lago e de seus ventos são inventados.

**Parte I — A rotação importa?**

1. Calcule o parâmetro de Coriolis e o período inercial em Orrin.
2. Calcule o [número de Rossby](#def-b3-gfd-foundations-numbers) de cinco escoamentos: água escoando de uma banheira ( $0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sobre $0.3\,\mathrm{m}$ ); o tanque do laboratório, que dá uma volta a cada $10\,\mathrm{s}$ (com $f = 2\Omega_{\text{tanque}}$ ; $5\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ sobre $0.2\,\mathrm{m}$ ); a brisa da tarde vinda do lago ( $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $20\,\mathrm{km}$ ); uma depressão ( $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $1000\,\mathrm{km}$ ); o giro de uma bacia oceânica na mesma latitude ( $0.05\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $2000\,\mathrm{km}$ ).
3. Quais desses escoamentos sentem a rotação que os impulsiona, e quais estão próximos do geostrófico?
4. Calcule o [número de Ekman](#def-b3-gfd-foundations-numbers) do tanque ( $0.2\,\mathrm{m}$ de profundidade, $\nu =  10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ), da depressão (viscosidade turbulenta de $10\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , profundidade de $10\,\mathrm{km}$ ) e do giro (viscosidade turbulenta de $10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , profundidade de $1000\,\mathrm{m}$ ).
5. A camada de Ekman tem espessura $\delta = \sqrt{2\nu/f}$ . Mostre que $\delta/H = \sqrt{2\,\mathrm{Ek}}$ e calcule $\delta$ para o tanque e para o ar da estepe.
6. O que esses números dizem sobre onde o atrito importa?

**Parte II — O vento junto ao solo.**

7. Junto ao solo a pressão é $1012.9\,\mathrm{hPa}$ e a temperatura $288.1\,\mathrm{K}$ . Calcule a densidade do ar.
8. A pressão ao nível do mar cai para o norte $4\,\mathrm{hPa}$ a cada $300\,\mathrm{km}$ . Calcule o vento geostrófico e indique sua direção.
9. O mesmo gradiente envolve uma depressão cujas isóbaras têm raio de $600\,\mathrm{km}$ . Calcule o [número de Rossby](#def-b3-gfd-foundations-numbers) das isóbaras e o [vento gradiente](#def-b3-gfd-foundations-gradient) .
10. O mesmo gradiente envolve um anticiclone de mesmo raio. Calcule o [vento gradiente](#def-b3-gfd-foundations-gradient) e o maior gradiente de pressão, em $\mathrm{hPa}$ a cada $300\,\mathrm{km}$ , que o anticiclone pode sustentar.

**Parte III — Estratificação.**

11. A temperatura da troposfera cai $6.49\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ . Calcule o gradiente adiabático seco $g/c_p$ , e $N$ e o período da oscilação de flutuabilidade a $5\,\mathrm{km}$ , onde a temperatura é $255.7\,\mathrm{K}$ .
12. Acima de $11\,\mathrm{km}$ o ar é isotérmico a $216.6\,\mathrm{K}$ . Mostre que $N^2 = g^2/(c_pT)$ ali, e calcule $N$ e sua razão para o valor da questão 11.
13. Calcule o [raio de deformação de Rossby](#def-b3-gfd-foundations-rossby-radius) da troposfera de Orrin, com o $N$ da questão 11 e $H = 10\,\mathrm{km}$ , e compare-o com o tamanho da depressão da Parte I.
14. No verão, os $20\,\mathrm{m}$ superiores do lago Orrin são mais leves que a água profunda em $1.5\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ( $\rho_0 = 1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ). Calcule a gravidade reduzida $g' = g\,\Delta\rho/\rho_0$ , a velocidade $\sqrt{g'h}$ das ondas internas lentas da camada superior e o [raio de deformação de Rossby](#def-b3-gfd-foundations-rossby-radius) $\sqrt{g'h}/f$ .
15. A rotação da Terra vai moldar os movimentos internos do lago?

**Parte IV — O vento térmico.**

16. Duas estações de radiossondagem distam $600\,\mathrm{km}$ entre si, sobre o mesmo meridiano. A temperatura média da camada desde o solo, $1013\,\mathrm{hPa}$ , até $265\,\mathrm{hPa}$ , cerca de $10\,\mathrm{km}$ , é $253.0\,\mathrm{K}$ na estação do sul e $249.4\,\mathrm{K}$ na do norte. Calcule o gradiente meridional de temperatura em $\mathrm{K}$ por $1000\,\mathrm{km}$ .
17. A espessura de uma camada entre duas pressões é $\Delta z = (R\bar  T/g)\ln(p_b/p_t)$ . Calcule-a nas duas estações, e a inclinação da superfície de $265\,\mathrm{hPa}$ em relação à superfície ao nível do solo.
18. Deduza o aumento do vento geostrófico do solo até $265\,\mathrm{hPa}$ , a partir dessa inclinação.
19. Calcule o mesmo aumento com o teorema do [vento térmico](#thm-b3-gfd-foundations-thermal-wind) em pressão.
20. O ar da estepe é [barotrópico](#def-b3-gfd-foundations-baroclinic) ou [baroclínico](#def-b3-gfd-foundations-baroclinic) ? Qual seria o vento a $265\,\mathrm{hPa}$ se fosse [barotrópico](#def-b3-gfd-foundations-baroclinic) ?
21. Calcule o aumento a partir do primeiro termo do [vento térmico](#thm-b3-gfd-foundations-thermal-wind) em altura, com a temperatura média da troposfera padrão entre 0 e $10\,\mathrm{km}$ , $255.7\,\mathrm{K}$ , e compare.
22. Calcule o vento a $541\,\mathrm{hPa}$ , cerca de $5\,\mathrm{km}$ , supondo que o gradiente de temperatura seja o mesmo em todos os níveis.
23. O número de Richardson $N^2/(\partial u/\partial z)^2$ deve cair abaixo de 0.25 para que o cisalhamento gere turbulência. Calcule-o para a troposfera de Orrin.
24. Em janeiro, a média zonal dos ventos de oeste a $250\,\mathrm{hPa}$ é $23.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $45{}^{\circ}$ N e $40.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $30{}^{\circ}$ N. Compare com o vento de Orrin, e explique por que um vento local pode superar a média zonal.
25. Dê o vento geostrófico a $10\,\mathrm{km}$ acima da estepe de Orrin.

**Solução de Problema 19.1.**

**1.** $f = 2\times7.292\,115 \times 10^{-5}\sin48{}^{\circ} =
1.084 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$; $2\pi/f = 16.1\,\mathrm{h}$.

**2.** Banheira $3.1 \times 10^{3}$; tanque ($f = 4\pi/10 = 1.257\,\mathrm{s}^{-1}$) 0.020; brisa 2.3; depressão 0.14; giro $2.3 \times 10^{-4}$.

**3.** A banheira não sente nada da rotação da Terra; a brisa só a percebe após algumas horas. O tanque, a depressão e o giro têm [números de Rossby](#def-b3-gfd-foundations-numbers) pequenos e estão próximos do equilíbrio geostrófico.

**4.** Tanque $10^{-6}/(1.257\times0.04) = 2.0 \times 10^{-5}$; depressão $10/(1.084 \times 10^{-4}\times10^8) = 9.2 \times 10^{-4}$; giro $10^{-3}/(1.084 \times 10^{-4}\times10^6) = 9.2 \times 10^{-6}$.

**5.** $\delta/H = \sqrt{2\nu/(fH^2)} = \sqrt{2\,\mathrm{Ek}}$. Tanque $\sqrt{2\times10^{-6}/1.257} = 1.3\,\mathrm{mm}$; ar $\sqrt{20/1.084 \times 10^{-4}}
= 430\,\mathrm{m}$.

**6.** O atrito atua em camadas de alguns milésimos da profundidade no tanque e no oceano, e de alguns centésimos na atmosfera; acima delas o escoamento é quase sem atrito.

**7.** $\rho = p/(RT) = 101\,290/(286.9\times288.1) =
1.225\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$.

**8.** $u_g = (1/\rho f)\,|\partial p/\partial y| = (400/300\,000)/(1.225
\times1.084 \times 10^{-4}) = 10.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, de oeste, com a baixa pressão ao norte à esquerda.

**9.** $\mathrm{Ro}_g = 10.04/(1.084 \times 10^{-4}\times600\,000) = 0.154$; $V = 2\times10.04/(1 + \sqrt{1.618}) = 8.84\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $12\,\%$ mais lento.

**10.** $V = 2\times10.04/(1 + \sqrt{0.382}) = 12.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. O maior $V_g$ é $fr/4 = 16.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, um gradiente $\rho fV_g =
2.16 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$, $6.5\,\mathrm{hPa}$ a cada $300\,\mathrm{km}$.

**11.** $g/c_p = 9.77\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$. $N^2 = (9.81/255.7)\times(9.77 -
6.49)\times10^{-3} = 1.26 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-2}$, $N = 0.0112\,\mathrm{s}^{-1}$, com período de $9.3\,\mathrm{min}$.

**12.** Com $\Gamma = 0$, $N^2 = (g/T)(g/c_p) = g^2/(c_pT) =
4.43 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-2}$, $N = 0.0210\,\mathrm{s}^{-1}$, 1.9 vezes o valor troposférico.

**13.** $L_R = 0.0112\times10^4/1.084 \times 10^{-4} = 1035\,\mathrm{km}$, o tamanho da depressão.

**14.** $g' = 0.0147\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $\sqrt{g'h} = 0.54\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $L_R = 0.542/1.084 \times 10^{-4} = 5.0\,\mathrm{km}$.

**15.** Sim: o lago, com $12\,\mathrm{km}$ de largura, tem mais que o dobro de seu raio de Rossby, de modo que suas ondas internas e correntes são desviadas pela força de Coriolis.

**16.** $(249.4 - 253.0)/600 = -6.0\,\mathrm{K}$ a cada $1000\,\mathrm{km}$.

**17.** $\ln(1013/265) = 1.3409$. Sul: $286.9\times253.0\times1.3409/9.81 = 9922\,\mathrm{m}$; norte $9781\,\mathrm{m}$. A superfície de $265\,\mathrm{hPa}$ fica $141\,\mathrm{m}$ mais baixa no norte, uma inclinação de $2.35 \times 10^{-4}$ em relação à superfície inferior.

**18.** $\Delta u = (g/f)\times\text{inclinação} = 9.81\times2.35 \times 10^{-4}/
1.084 \times 10^{-4} = 21.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**19.** $(R/f)\ln(p_b/p_t)\,|\partial\bar T/\partial y| =
(286.9/1.084 \times 10^{-4})\times1.3409\times6.0 \times 10^{-6} = 21.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, o mesmo resultado: os dois cálculos são um só.

**20.** [Baroclínico](#def-b3-gfd-foundations-baroclinic): a temperatura, e portanto a densidade, muda ao longo das superfícies de pressão. [Barotrópico](#def-b3-gfd-foundations-baroclinic), o vento não mudaria com a altura: $10.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**21.** $(g/f\bar T)\,|\partial T/\partial y|\,\Delta z = 9.81\times
6.0 \times 10^{-6}\times10^4/(1.084 \times 10^{-4}\times255.7) = 21.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, dentro de $0.3\,\%$.

**22.** $10.04 + (286.9/1.084 \times 10^{-4})\times6.0 \times 10^{-6}\times
\ln(1013/541) = 10.04 + 9.96 = 20.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**23.** $\partial u/\partial z = 21.3/10^4 = 2.13 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\mathrm{Ri} = 1.26 \times 10^{-4}/4.54 \times 10^{-6} = 28$, muito acima de 0.25: o cisalhamento não torna a troposfera livre turbulenta.

**24.** O vento de Orrin, $31\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, é mais forte que a média zonal a $45{}^{\circ}$ N e mais fraco que a $30{}^{\circ}$ N. A corrente de jato da frente polar oscila para norte e para sul; em cada instante seu gradiente e seu vento se concentram numa faixa, e a média ao longo de um círculo de latitude os espalha.

**25.** $10.0 + 21.3$: o vento geostrófico a $10\,\mathrm{km}$ acima da estepe é **$31\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$**, de oeste ($31.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ pelo cálculo).