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title: "Glaciologia"
book: "Ciências da Terra e do espaço universitárias — 3.º ano"
subject: earth
language: pt
chapter: 24
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/5/pt/chapter/24-glaciologia
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Capítulo 24 — Glaciologia

Atravessa-se a Groenlândia de O para L ao longo do paralelo $72.5{}^{\circ}$N. O gelo começa a poucas dezenas de quilômetros para o interior, sobe de forma íngreme e, depois, cada vez mais suavemente, até um cume amplo, com $3229\,\mathrm{m}$ de altura, e desce novamente até as montanhas da costa leste. Representada em gráfico, a superfície se aproxima de uma parábola deitada de lado, com o vértice na margem. Este capítulo mostra de onde vem essa forma: de um material que se deforma por fluência cada vez mais depressa à medida que é mais solicitado, de modo que se comporta quase como se não suportasse mais do que certa tensão. Em seguida, acompanha-se o gelo desde a neve que o alimenta até o mar que o recebe.

**O que você já sabe.**

Geleiras, mantos de gelo, plataformas de gelo, icebergs, gelo marinho, permafrost e as eras glaciais estão nos livros escolares. As [leis de fluxo](https://one-course.com/books/earth/5/pt/chapter/7-mecanismos-de-deformacao-e-zonas-de-cisalhamento#def-b3-deformation-mechanisms-flow-law) e a [fluência por deslocações](https://one-course.com/books/earth/5/pt/chapter/7-mecanismos-de-deformacao-e-zonas-de-cisalhamento#def-b3-deformation-mechanisms-creep) estão no Capítulo [7](https://one-course.com/books/earth/5/pt/chapter/7-mecanismos-de-deformacao-e-zonas-de-cisalhamento#ch-b3-deformation-mechanisms); a [gravimetria por satélite](https://one-course.com/books/earth/5/pt/chapter/3-gravidade-e-a-figura-da-terra#def-b3-gravity-geodesy-satgrav) e o balanço de massa do manto de gelo que ela mede no Capítulo [3](https://one-course.com/books/earth/5/pt/chapter/3-gravidade-e-a-figura-da-terra#ch-b3-gravity-geodesy); os testemunhos de gelo e seus isótopos de oxigênio no Capítulo [14](https://one-course.com/books/earth/5/pt/chapter/14-geoquimica-de-isotopos-estaveis#ch-b3-stable-isotopes). O balanço do nível do mar, a retroalimentação gelo–albedo e a elevação termostérica do nível do mar estão no volume do segundo ano, no capítulo sobre mudança climática antropogênica. O calor latente e a condução de calor estão nos livros de física.

## 24.1 O gelo como material

O gelo de geleira é uma rocha, uma massa de cristais de gelo entrelaçados, e se deforma próximo do seu ponto de fusão. Sob uma tensão, ele se deforma por fluência pelo movimento de deslocações em seus cristais, como as rochas do Capítulo [7](https://one-course.com/books/earth/5/pt/chapter/7-mecanismos-de-deformacao-e-zonas-de-cisalhamento#ch-b3-deformation-mechanisms), e sua [lei de fluxo](https://one-course.com/books/earth/5/pt/chapter/7-mecanismos-de-deformacao-e-zonas-de-cisalhamento#def-b3-deformation-mechanisms-flow-law) tem a mesma forma: uma potência da tensão multiplicada por um fator de Arrhenius.

**Teorema 24.1 (Lei de fluxo de Glen).**

No gelo de geleira isotrópico, o tensor da taxa de deformação é proporcional à tensão desviatória,

$$
\dot\varepsilon_{ij} = A(T)\,\tau_e^{\,n-1}\,\tau'_{ij}, \qquad
\tau_e^2 = \tfrac12\,\tau'_{ij}\tau'_{ij},
$$

com $n = 3$ e um [fator de taxa](#def-b3-glaciology-glen) $A(T)$ que cresce com a temperatura. Em cisalhamento simples, com $\tau_{xz}$ como a única tensão desviatória não nula, $\dot\varepsilon_{xz} = A\tau_{xz}^{\,n}$.

**Demonstração.** A própria lei é empírica: uma lei de potência ajustada a experimentos de fluência e à deformação de geleiras, com o coeficiente e o expoente ajustados em conjunto. Em cisalhamento simples $\tau'_{xz} = \tau'_{zx} = \tau_{xz}$ e as demais componentes se anulam, logo $\tau_e^2 = \tfrac12(\tau_{xz}^2 +
\tau_{zx}^2) = \tau_{xz}^2$, e $\dot\varepsilon_{xz} = A\tau_{xz}^{\,n-1}
\tau_{xz}$. ∎

Com $n = 3$, o gelo é um fluido fortemente não linear: dobrar a tensão faz com que ele se deforme oito vezes mais depressa. Sua viscosidade efetiva, $1/(2A\tau_e^{\,2})$, não é uma propriedade só do gelo, mas diminui à medida que a tensão aumenta.

**Definição 24.2 (Fator de taxa (gelo)).**

O *fator de taxa* $A(T)$ da lei de Glen, também chamado de fluidez do gelo, escreve-se $A = A_0\exp(-Q/RT)$, com uma energia de ativação $Q$. Um ajuste amplamente usado (Paterson e Budd) adota $A_0 =
3.61 \times 10^{-13}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Pa}^{-3}$ e $Q = 60\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ abaixo de $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, e $A_0 = 1.73 \times 10^{3}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Pa}^{-3}$ e $Q =
139\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ acima dela, mais próximo do ponto de fusão, onde o gelo amolece mais depressa com a temperatura.

| temperatura | $-25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ | $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ | $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ |
| --- | --- | --- | --- |
| $A$ ($\mathrm{Pa}^{-3}\,\mathrm{yr}^{-1}$) | $2.7 \times 10^{-18}$ | $1.4 \times 10^{-17}$ | $1.4 \times 10^{-16}$ |

O gelo no seu ponto de fusão flui cerca de cinquenta vezes mais depressa do que a $-25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ sob a mesma tensão. As tensões nas geleiras são da ordem de um bar, $10^{5}\,\mathrm{Pa}$.

Uma geleira se move de duas maneiras. Seu gelo se deforma por fluência, em toda parte; e onde o leito está no ponto de fusão, ela também pode deslizar.

**Definição 24.3 (Deslizamento basal).**

O *deslizamento basal* é o movimento de uma geleira sobre seu leito, sobre uma película fina de água ou uma camada de sedimento mole e úmido. Ele requer um leito no ponto de fusão; uma geleira congelada ao leito se move apenas pela fluência do seu gelo.

## 24.2 Fluxo glacial

**Teorema 24.4 (Escoamento de uma placa de lados paralelos).**

Uma placa de gelo de espessura $H$ e densidade $\rho$ repousa sobre um leito de declive $\alpha$ e desce por ele por cisalhamento simples, deslizando com velocidade $u_b$. A altura $z$ acima do leito, a tensão de cisalhamento é $\tau = \rho g(H - z)\sin\alpha$, a velocidade

$$
u(z) = u_b + \frac{2A}{n + 1}(\rho g\sin\alpha)^n\left[H^{n+1} - (H -
z)^{n+1}\right],
$$

e o fluxo por unidade de largura $q = u_bH + \dfrac{2A}{n + 2}(\rho
g\sin\alpha)^nH^{n+2}$. A tensão de cisalhamento basal é $\tau_b = \rho gH\sin\alpha$.

**Demonstração.** O gelo acima da altura $z$ tem peso $\rho g(H - z)$ por unidade de área; sua componente ao longo do declive, $\rho g(H - z)\sin\alpha$, é equilibrada pela tensão de cisalhamento em sua base, sendo a superfície livre de tensão. Pela lei de Glen, $\mathrm du/\mathrm dz = 2\dot\varepsilon_{xz} = 2A\tau^n$; integrando a partir do leito, onde $u = u_b$, obtém-se $u(z)$, e integrando $u$ de 0 a $H$ obtém-se $q$. ∎

A velocidade muda pouco na parte superior da placa e cresce rapidamente perto do leito, onde a tensão é maior: com $n = 3$, o cisalhamento concentra-se nas camadas mais baixas. A velocidade superficial cresce com $H^{n+1} = H^4$ e com o cubo do declive: uma geleira com o dobro da espessura flui dezesseis vezes mais depressa.

**Definição 24.5 (Aproximação de gelo raso).**

A *aproximação de gelo raso* trata um manto de gelo cuja espessura é pequena em relação à sua largura como, localmente, uma placa de lados paralelos: em cada ponto, o gelo se deforma por cisalhamento simples sob a *tensão motriz* $\tau_d = \rho gH|\nabla s|$, sendo $s$ a elevação da superfície, e o fluxo segue a fórmula da placa com a espessura local e o declive superficial local.

Na [aproximação de gelo raso](#def-b3-glaciology-sia), a tensão basal é definida pela forma do gelo. Como a taxa de deformação cresce com o cubo da tensão, um aumento modesto de tensão produz um grande aumento de fluxo, que afina o gelo e reduz novamente a tensão: a tensão permanece dentro de uma faixa estreita, qualquer que seja o tamanho da massa de gelo. Levando isso ao limite, um material que não se deforma de modo algum abaixo de uma tensão de escoamento $\tau_0$ e se deforma sem limite acima dela, e a forma segue.

**Proposição 24.6 (Perfil de um manto de gelo plástico).**

Um manto de gelo perfeitamente plástico, com tensão de escoamento $\tau_0$, sobre um leito horizontal plano tem, à distância $x$ para o interior a partir de sua margem, a altura da superfície

$$
h(x) = \sqrt{\frac{2\tau_0x}{\rho g}} .
$$

**Demonstração.** Em toda parte, a tensão basal é igual à tensão de escoamento: $\rho gh\,\mathrm
dh/\mathrm dx = \tau_0$, sendo o declive pequeno. Então $\mathrm d(h^2)/\mathrm
dx = 2\tau_0/(\rho g)$, e $h = 0$ na margem. ∎

![À esquerda, a velocidade através de uma placa de gelo, escalada pela velocidade superficial: a lei de Glen (n = 3) concentra o cisalhamento perto do leito, enquanto um fluido linear (n = 1) o distribui; com deslizamento, o perfil inteiro é deslocado. À direita, a superfície da Groenlândia ao longo de 72.5N (ETOPO1 Ice Surface, NOAA NCEI), e os perfis plásticos ajustados a seus dois lados, para alturas acima de 1000\, m e um leito tomado ao nível do mar. Os ajustes exigem tensões de escoamento de 72\, kPa e 108\, kPa, da ordem do bar das geleiras reais; eles não capturam as margens íngremes, onde o leito e o derretimento importam.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-glaciology/fig-f6ab8dd3d211.svg)

*À esquerda, a velocidade através de uma placa de gelo, escalada pela velocidade superficial: a lei de Glen ($n = 3$) concentra o cisalhamento perto do leito, enquanto um fluido linear ($n = 1$) o distribui; com deslizamento, o perfil inteiro é deslocado. À direita, a superfície da Groenlândia ao longo de $72.5{}^{\circ}$N (ETOPO1 Ice Surface, NOAA NCEI), e os perfis plásticos ajustados a seus dois lados, para alturas acima de $1000\,\mathrm{m}$ e um leito tomado ao nível do mar. Os ajustes exigem tensões de escoamento de $72\,\mathrm{kPa}$ e $108\,\mathrm{kPa}$, da ordem do bar das geleiras reais; eles não capturam as margens íngremes, onde o leito e o derretimento importam.*

## 24.3 Balanço de massa

Uma geleira é alimentada por neve e perde gelo por derretimento, evaporação e, onde alcança a água, por desprendimento.

**Definição 24.7 (Balanço de massa; zonas de acumulação e de ablação; linha de equilíbrio).**

O *balanço de massa da geleira* é a variação da massa de uma geleira ao longo de um ano, geralmente expressa em metros de água equivalente, média sobre sua área. O *balanço de massa superficial* é a parcela devida aos processos na superfície, a queda de neve menos o derretimento, o escoamento superficial e a sublimação; o restante é perdido por desprendimento e por derretimento na base ou sob o gelo flutuante. A *zona de acumulação* é a parte da superfície onde o balanço de massa superficial ao longo de um ano é positivo, a *zona de ablação* a parte onde ele é negativo, e a *altitude da linha de equilíbrio* (ELA) é a elevação da linha que as separa, onde ele é zero.

![Perfil longitudinal esquemático de uma geleira de vale em equilíbrio. Acima da linha de equilíbrio, a neve de cada ano fica soterrada e é transportada para o interior da geleira; abaixo dela, a superfície perde gelo a cada ano e é renovada pelo gelo que ascende das profundezas. As linhas de fluxo (cinzas) descem na zona de acumulação e sobem na zona de ablação; o fluxo leva o excedente de uma zona ao déficit da outra.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-glaciology/fig-008f0ad70434.svg)

*Perfil longitudinal esquemático de uma geleira de vale em equilíbrio. Acima da linha de equilíbrio, a neve de cada ano fica soterrada e é transportada para o interior da geleira; abaixo dela, a superfície perde gelo a cada ano e é renovada pelo gelo que ascende das profundezas. As linhas de fluxo (cinzas) descem na [zona de acumulação](#def-b3-glaciology-mass-balance) e sobem na [zona de ablação](#def-b3-glaciology-mass-balance); o fluxo leva o excedente de uma zona ao déficit da outra.*

Nos mantos de gelo e nas geleiras de altitude, a neve não se transforma em gelo numa única estação. Ela é soterrada por neve posterior, compactada e recristalizada.

**Definição 24.8 (Firn; fechamento dos poros).**

O *firn* é neve que sobreviveu a pelo menos uma estação de degelo e está sendo compactada até se tornar gelo: mais densa que a neve, ainda permeável ao ar. O *fechamento dos poros* é o ponto de sua compactação, com densidade de cerca de $820\text{ a }830\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, em que os poros entre os grãos são selados em bolhas, e o ar contido nelas fica isolado da atmosfera.

Nos mantos de gelo polares, o [fechamento dos poros](#def-b3-glaciology-firn) fica $50\text{ a }120\,\mathrm{m}$ abaixo da superfície, dependendo da temperatura, da acumulação e das impurezas; por isso, o ar das bolhas de um testemunho de gelo é mais jovem que o gelo ao redor, como foi lembrado no Capítulo [14](https://one-course.com/books/earth/5/pt/chapter/14-geoquimica-de-isotopos-estaveis#ch-b3-stable-isotopes). Para a maioria das geleiras, a transformação de neve em gelo leva mais de cem anos.

Uma geleira não responde de imediato a uma mudança de clima. Sua espessura precisa mudar antes que seu comprimento possa acompanhar.

**Proposição 24.9 (Tempo de resposta da geleira).**

Uma geleira de espessura típica $H$ cujo balanço na frente é $b_t <
0$ (em metros de gelo por ano) se ajusta a uma mudança de clima em um tempo da ordem de

$$
\tau = \frac{H}{-b_t} .
$$

**Demonstração.** Uma variação do balanço de $\delta b$ sobre a geleira altera seu volume até que a área perdida ou ganha na frente, onde o balanço é $b_t$, compense essa variação: $L\,\delta b = -b_t\,\delta L$ por unidade de largura, para uma geleira de comprimento $L$. A variação de volume necessária é de cerca de $H\,\delta L$, e o desequilíbrio que a impulsiona é $L\,\delta b$ por ano, no início, de modo que a mudança leva $H\,\delta L/(L\,\delta b) = H/(-b_t)$ anos. ∎

Uma geleira com $200\,\mathrm{m}$ de espessura que perde $5\,\mathrm{m}$ de gelo por ano na sua língua precisa de cerca de quarenta anos para responder. Por isso, as geleiras defasam-se em relação ao clima: as geleiras de hoje continuarão a perder massa por décadas, mesmo que a temperatura deixe de subir.

## 24.4 Mantos de gelo e plataformas de gelo

Os mantos de gelo da Groenlândia e da Antártida concentram mais de $99\,\%$ do gelo continental. O da Groenlândia cobre $1.7\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$ e chega a mais de $3\,\mathrm{km}$ de espessura em seu ponto mais espesso; o da Antártida cobre quase $14\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$ e tem espessura de quase $4.9\,\mathrm{km}$ no ponto mais espesso. Muitas partes do manto antártico repousam sobre um leito situado abaixo do nível do mar.

**Definição 24.10 (Corrente de gelo).**

Uma *corrente de gelo* é uma faixa de um manto de gelo que flui muito mais depressa que o gelo de qualquer lado, principalmente por deslizamento ou pela deformação de um leito mole e úmido, e drena uma grande parte do interior do manto de gelo em direção à sua margem.

**Definição 24.11 (Linha de encalhe; desprendimento de icebergs).**

A *linha de encalhe* é a linha em que o gelo apoiado no leito começa a flutuar: em direção ao mar, a partir dela, o gelo é uma plataforma de gelo ou uma língua flutuante de geleira. O *desprendimento de icebergs* é a quebra de blocos de gelo, os icebergs, na frente de uma geleira ou de uma plataforma de gelo que termina na água.

As plataformas de gelo flutuam, de modo que seu derretimento não eleva o nível do mar. Mas elas estão presas pelas laterais e pelas elevações do fundo do mar, onde encalham, e o atrito ali resiste ao fluxo do gelo que vem atrás: elas *escoram* esse gelo. Depois que a plataforma de gelo Larsen B se desintegrou em 2002, as geleiras que a alimentavam aceleraram, em até oito vezes.

**Proposição 24.12 (Flutuação).**

Gelo de densidade $\rho_i$ e espessura $H$ sobre um leito situado a profundidade $D$ abaixo do nível do mar, em água do mar de densidade $\rho_w$, flutua se $H < (\rho_w/\rho_i)D$. Com $\rho_i = 917\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ e $\rho_w = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, a [linha de encalhe](#def-b3-glaciology-grounding-line) situa-se onde o gelo tem espessura de $1.12\,D$.

**Demonstração.** O gelo flutuante desloca água de peso igual ao seu: uma coluna de espessura $H$ precisa de um calado $\rho_iH/\rho_w$. Se a água for mais profunda que esse calado, o gelo flutua. ∎

![Seção esquemática de um manto de gelo marinho, fora de escala. O gelo repousa sobre um leito abaixo do nível do mar, que se aprofunda para o interior; na linha de encalhe ele passa a flutuar, como plataforma de gelo, que perde gelo por desprendimento em sua frente e por derretimento por baixo. O atrito na plataforma, onde ela é presa pelas laterais e por elevações do fundo do mar, resiste ao fluxo do gelo apoiado.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-glaciology/fig-298cfa49657c.svg)

*Seção esquemática de um manto de gelo marinho, fora de escala. O gelo repousa sobre um leito abaixo do nível do mar, que se aprofunda para o interior; na [linha de encalhe](#def-b3-glaciology-grounding-line) ele passa a flutuar, como plataforma de gelo, que perde gelo por desprendimento em sua frente e por derretimento por baixo. O atrito na plataforma, onde ela é presa pelas laterais e por elevações do fundo do mar, resiste ao fluxo do gelo apoiado.*

Sobre um leito que se aprofunda para o interior, a [linha de encalhe](#def-b3-glaciology-grounding-line) é frágil. Onde a água é mais profunda, o gelo na [linha de encalhe](#def-b3-glaciology-grounding-line) é mais espesso, pela condição de flutuação, e pelo teorema da laje, o fluxo de uma coluna mais espessa cresce acentuadamente com a espessura dela. Se a [linha de encalhe](#def-b3-glaciology-grounding-line) recua por uma encosta desse tipo, ela alcança gelo mais espesso, que descarrega mais e se afina mais depressa, o que faz a linha recuar ainda mais.

**Definição 24.13 (Instabilidade do manto de gelo marinho).**

A *instabilidade do manto de gelo marinho* (MISI) é o recuo autorreforçado, proposto, da [linha de encalhe](#def-b3-glaciology-grounding-line) de um manto de gelo apoiado sobre um leito que desce em direção ao interior: sem o escoramento de uma plataforma de gelo, a [linha de encalhe](#def-b3-glaciology-grounding-line) nesse tipo de leito é intrinsecamente instável até alcançar um leito que sobe.

Plataformas de gelo podem manter a [linha de encalhe](#def-b3-glaciology-grounding-line) no lugar mesmo em uma descida do leito. Modelos nos quais todas as plataformas de gelo antárticas são removidas e não se permite que se reformem perdem gelo equivalente a $2\text{ a }10\,\mathrm{m}$ de nível do mar em 500 anos por essa instabilidade, dos quais $2\text{ a }5\,\mathrm{m}$ vêm da Antártida Ocidental. Em mantos de gelo apoiados sobretudo em rocha acima do nível do mar, como a Groenlândia, o principal processo autorreforçado é outro: à medida que a superfície derrete e se rebaixa, ela passa a estar em ar mais quente e derrete mais.

**Definição 24.14 (Equivalente em nível do mar).**

O *equivalente em nível do mar* de uma massa de gelo continental é a elevação do nível médio global do mar que seu derretimento causaria se a água se espalhasse sobre o oceano atual.

**Proposição 24.15 (Equivalente em nível do mar de uma massa de gelo).**

Uma massa $M$ de gelo apoiada acima do nível do mar, espalhada sobre um oceano de área $A_o$ como água de densidade $\rho_w$, eleva o nível do mar em $M/(\rho_wA_o)$: cerca de $1\,\mathrm{mm}$ para cada $360\,\mathrm{Gt}$.

**Demonstração.** A água ocupa o volume $M/\rho_w$ sobre a área $A_o$. Com os $360\,\mathrm{Gt}$ por milímetro adotados pelas avaliações de balanço de massa dos mantos de gelo, $A_o\rho_w = 3.6 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}$: um oceano de cerca de $3.6 \times 10^{8}\,\mathrm{km}^{2}$ para água com a densidade da água doce. ∎

O gelo que já está abaixo do nível do mar desloca água do mar, por isso conta menos: Os $30\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{3}$ de gelo da Antártida equivalem a cerca de $58\,\mathrm{m}$ de nível do mar, menos do que sua massa dividida por $360\,\mathrm{Gt}/\mathrm{mm}$.

![Uma geleira de descarga do manto de gelo da Groenlândia, entre montanhas, terminando no mar em sua frente de desprendimento, a parede partida de gelo azul que atravessa o centro da imagem; o fiorde à frente está obstruído por gelo desprendido e gelo marinho. Fotografada de uma aeronave da Operation IceBridge, da NASA, em abril de 2014 (NASA / Jim Yungel, domínio público).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-glaciology/img-15c4d5ab98bb.jpg)

*Uma geleira de descarga do manto de gelo da Groenlândia, entre montanhas, terminando no mar em sua frente de desprendimento, a parede partida de gelo azul que atravessa o centro da imagem; o fiorde à frente está obstruído por gelo desprendido e gelo marinho. Fotografada de uma aeronave da Operation IceBridge, da NASA, em abril de 2014 (NASA / Jim Yungel, domínio público).*

**No campo — Um acampamento sobre o gelo.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-glaciology/img-bd59048bccc9.jpg)

*Um acampamento de campo sobre um manto de gelo: barracas, trenós e uma motoneve, e uma antena de navegação por satélite em um mastro sustentado por cabos de tensão (Ilustração gerada por IA.)*

Sobre um manto de gelo, os instrumentos dos glaciologistas se deslocam de trenó e vivem em barracas. Para medir a velocidade com que o gelo se move, crava-se na neve um poste e monta-se nele a antena de um receptor de navegação por satélite. Os receptores usados em geodésia fixam uma posição com precisão de poucos centímetros; assim, posições repetidas ao longo de semanas ou estações dão a velocidade e a direção do gelo, e a altura do poste, medida de novo, dá o afinamento ou o espessamento do gelo sob ele.

## 24.5 Gelo marinho e permafrost

O gelo marinho se forma, cresce e derrete no oceano. No Ártico, ele atinge sua maior área em março e sua menor em setembro.

**Definição 24.16 (Extensão do gelo marinho).**

A *extensão do gelo marinho* é a área total das células de um mapa de satélite em que o gelo marinho cobre mais de $15\,\%$ da superfície. Ela é maior que a área do gelo marinho, que conta apenas o próprio gelo.

Desde que os satélites passaram a mapeá-la, em 1979, a extensão do Ártico diminuiu, em março e bem mais em setembro, à taxa de $0.74\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$ por década em setembro, cerca de $12\,\%$ da média de 1981–2010 por década, contra $0.38\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$, $2.5\,\%$, em março. A menor extensão de setembro até agora, $3.57\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$, ocorreu em 2012. O gelo marinho do Ártico reflete $50\text{ a }70\,\%$ da luz solar, enquanto o oceano aberto reflete cerca de $6\,\%$: ao perder o gelo, a superfície escurece, e isso é a retroalimentação gelo–albedo do volume do segundo ano.

O gelo marinho cresce na sua base, onde a água do mar congela sobre ele, e o calor latente dessa congelação precisa ser conduzido para cima, através do gelo, até o ar frio.

**Teorema 24.17 (Lei de Stefan).**

Um gelo marinho de condutividade térmica $k_i$, densidade $\rho_i$ e calor latente de fusão $L$, com sua superfície mantida a uma temperatura $\Delta T$ abaixo do ponto de congelamento da água subjacente, cresce, se o calor vindo do oceano for desprezível, segundo

$$
h(t)^2 - h(0)^2 = \frac{2k_i\,\Delta T}{\rho_iL}\,t .
$$

Sob uma camada de neve de espessura $h_s$ e condutividade $k_s$, a taxa de crescimento é $\mathrm dh/\mathrm dt = \Delta T/[\rho_iL(h/k_i + h_s/k_s)]$.

**Demonstração.** A temperatura no gelo fino é linear, do ponto de congelamento na base até a temperatura da superfície no topo, de modo que o fluxo de calor através dele é $k_i\Delta T/h$ ou, através do gelo e da neve em série, $\Delta T/(h/k_i +
h_s/k_s)$. A congelação de uma camada $\mathrm dh$ libera $\rho_iL\,\mathrm dh$ por unidade de área, que esse fluxo precisa remover: $\rho_iL\,\mathrm dh/\mathrm dt
= k_i\Delta T/h$. Então $\mathrm d(h^2)/\mathrm dt = 2k_i\Delta T/(\rho_iL)$. ∎

Com $k_i = 2.03\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $L = 3.34 \times 10^{5}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ e $\rho_i = 917\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, uma superfície $20\,\mathrm{K}$ abaixo do congelamento cresce $1.5\,\mathrm{m}$ de gelo em cem dias e $2.1\,\mathrm{m}$ em duzentos. A neve, com condutividade de $0.30\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, é um bom isolante: $20\,\mathrm{cm}$ dela já reduzem o crescimento em mais da metade. Gelo espesso cresce devagar, gelo fino cresce depressa: a lei tende a uniformizar a espessura do gelo após um verão de degelo.

![À esquerda, a extensão média do gelo marinho do Ártico em março e em setembro, de 1979 a 2026 (NSIDC Sea Ice Index, versão 4), com tendências por mínimos quadrados (tracejadas): -0.38\, M km2 e -0.74\, M km2 por década. À direita, o crescimento do gelo marinho por condução sob uma superfície 20\, K abaixo do congelamento, sem calor do oceano: gelo nu, pela lei de Stefan, e o mesmo gelo sob 20\, cm de neve.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-glaciology/fig-e42519c12583.svg)

*À esquerda, a [extensão média do gelo marinho](#def-b3-glaciology-sea-ice) do Ártico em março e em setembro, de 1979 a 2026 (NSIDC Sea Ice Index, versão 4), com tendências por mínimos quadrados (tracejadas): $-0.38\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$ e $-0.74\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$ por década. À direita, o crescimento do gelo marinho por condução sob uma superfície $20\,\mathrm{K}$ abaixo do congelamento, sem calor do oceano: gelo nu, pela lei de Stefan, e o mesmo gelo sob $20\,\mathrm{cm}$ de neve.*

Permafrost é o solo que se mantém a $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ou abaixo disso por dois anos ou mais. Ele se encontra sob cerca de um quarto da terra emersa do Hemisfério Norte.

**Definição 24.18 (Camada ativa).**

A *camada ativa* é a camada de solo acima do permafrost que degela a cada verão e volta a congelar a cada inverno.

Sua espessura é determinada, como o crescimento do gelo marinho, pela condução de calor para dentro do solo durante a estação de degelo, em oposição ao calor latente do gelo do solo. As temperaturas do permafrost aumentaram nas últimas três a quatro décadas em todas as regiões de permafrost (alta confiança); o permafrost se aqueceu globalmente em $0.29\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ [$0.17\text{ a }0.41$] entre 2007 e 2016 (confiança média), e um aumento da espessura da [camada ativa](#def-b3-glaciology-permafrost) é um fenômeno pan-ártico (confiança média). Onde o gelo derrete, o solo pode colapsar.

## 24.6 A criosfera e o nível do mar

O balanço do nível do mar do volume do segundo ano soma a expansão do oceano em aquecimento à água acrescentada pelo gelo e pela terra. Dos $3.69\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ de elevação do nível do mar observados em 2006–2018, as geleiras contribuíram com $0.62\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, a Groenlândia com $0.63\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ e a Antártida com $0.37\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$: o gelo, em conjunto, superou a expansão do oceano, $1.39\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.

**Dados de 2021.**

A Groenlândia perdeu $4890\,\mathrm{Gt}$ de gelo entre 1992 e 2020 [4140 a 5640], $13.5\,\mathrm{mm}$ de nível do mar, com taxas que subiram de $39\,\mathrm{Gt}/\mathrm{yr}$ na década de 1990 para $243\,\mathrm{Gt}/\mathrm{yr}$ em 2010–2019, por vazão e, cada vez mais, por degelo superficial (alta confiança). A Antártida perdeu $2670\,\mathrm{Gt}$ [1800 a 3540], $7.4\,\mathrm{mm}$, com taxa que subiu de $49\,\mathrm{Gt}/\mathrm{yr}$ na década de 1990 para $148\,\mathrm{Gt}/\mathrm{yr}$ em 2010–2019; as perdas vieram das geleiras de saída da Antártida Ocidental, sobretudo pelo derretimento das plataformas de gelo pela base (alta confiança). As geleiras fora dos mantos de gelo perderam $6200\,\mathrm{Gt}$ entre 1993 e 2019, $17.1\,\mathrm{mm}$, mais em 2010–2019 do que em qualquer outra década do registro (confiança muito alta). A Groenlândia continuará a perder massa ao longo deste século em todos os cenários considerados (praticamente certo), e o mesmo ocorrerá com a Antártida (provável): até 2100, a Groenlândia provavelmente acrescenta $0.01\text{ a }0.10\,\mathrm{m}$ ao nível do mar sob um cenário de baixas emissões e $0.09\text{ a }0.18\,\mathrm{m}$ sob um de emissões muito altas; a Antártida, $0.03\text{ a }0.27\,\mathrm{m}$ e $0.03\text{ a }0.34\,\mathrm{m}$. O oceano Ártico provavelmente ficará praticamente livre de gelo marinho, com menos de $1\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$ dele, em seu mínimo de setembro, pela primeira vez antes de 2050 em todos os cenários considerados.

As perdas das capas de gelo são as do Capítulo [3](https://one-course.com/books/earth/5/pt/chapter/3-gravidade-e-a-figura-da-terra#ch-b3-gravity-geodesy), medidas por altimetria, por gravimetria e pela diferença entre a neve que cai e o gelo que escoa para fora: três métodos independentes reunidos em uma única estimativa.

## 24.7 Exercícios

**Exercício 24.1 ★.**

Uma geleira de vale com $250\,\mathrm{m}$ de espessura escoa por uma encosta de $3{}^{\circ}$. Calcule a tensão de cisalhamento basal e compare-a com as tensões basais de geleiras reais, da ordem de um bar.

**Solução de Exercício 24.1.**

$\tau_b = \rho gH\sin\alpha = 917\times9.81\times250\times\sin3{}^{\circ} =
118\,\mathrm{kPa}$, cerca de $1.2\,\mathrm{bar}$: a ordem de grandeza das tensões sob geleiras reais.

**Exercício 24.2 ★.**

(a) O manto de gelo da Groenlândia contém cerca de $2.9\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{3}$ de gelo de densidade $917\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$. Calcule sua massa e seu [equivalente em nível do mar](#def-b3-glaciology-sle) em $360\,\mathrm{Gt}/\mathrm{mm}$, e compare com os $7.4\,\mathrm{m}$ normalmente citados. (b) Faça o mesmo para a Antártida, com $30\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{3}$, citada como cerca de $58\,\mathrm{m}$. Por que os dois valores se comparam de forma tão diferente?

**Solução de Exercício 24.2.**

(a) $2.9 \times 10^{15}\,\mathrm{m}^{3}\times917 = 2.66 \times 10^{18}\,\mathrm{kg} = 2.66 \times 10^{6}\,\mathrm{Gt}$; dividido por $360\,\mathrm{Gt}/\mathrm{mm}$ dá $7390\,\mathrm{mm}$, $7.4\,\mathrm{m}$, o valor citado. (b) $3.0 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{3}\times917/360 = 76\,\mathrm{m}$, contra $58\,\mathrm{m}$. O gelo da Groenlândia repousa em sua maior parte sobre rocha acima do nível do mar, por isso todo ele acrescentaria água ao oceano. Grande parte do gelo da Antártida repousa sobre um leito abaixo do nível do mar: esse gelo já desloca água do mar, e derretê-lo apenas repõe a água que ele desloca; as plataformas de gelo flutuantes não acrescentam nada.

**Exercício 24.3 ★.**

Uma geleira tem uma [zona de acumulação](#def-b3-glaciology-mass-balance) de $6\,\mathrm{km}^{2}$ com balanço médio de $+1.2\,\mathrm{m}$ de equivalente em água, e uma [zona de ablação](#def-b3-glaciology-mass-balance) de $4\,\mathrm{km}^{2}$ com $-2.1\,\mathrm{m}$. Calcule seu balanço líquido em metros cúbicos de água, seu balanço específico médio e sua razão de área de acumulação. Ela está crescendo ou diminuindo?

**Solução de Exercício 24.3.**

Ganho $6 \times 10^{6}\times1.2 = 7.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$, perda $4 \times 10^{6}\times2.1 =
8.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$ de água: saldo líquido de $-1.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$, com balanço específico médio de $-1.2\times10^6/10^7 = -0.12\,\mathrm{m}$ equivalente em água. A razão da área de acumulação é $6/10 = 0.6$. A geleira está perdendo massa: encolhendo.

**Exercício 24.4 ★.**

No [fechamento dos poros](#def-b3-glaciology-firn), o [firn](#def-b3-glaciology-firn) tem densidade de $820\text{ a }830\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$. Qual fração de seu volume ainda é espaço poroso (gelo: $917\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$)?

**Solução de Exercício 24.4.**

$1 - 820/917 = 0.106$ e $1 - 830/917 = 0.095$: cerca de um décimo do volume ainda é espaço poroso no momento do [fechamento dos poros](#def-b3-glaciology-firn).

**Exercício 24.5 ★★.**

Uma geleira temperada (gelo a $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $A =
1.4 \times 10^{-16}\,\mathrm{Pa}^{-3}\,\mathrm{yr}^{-1}$) tem $300\,\mathrm{m}$ de espessura em uma encosta de $3{}^{\circ}$. Calcule sua velocidade superficial apenas por deformação interna. Por qual fator a velocidade mudaria se ela fosse duas vezes mais espessa? E se a encosta fosse reduzida à metade?

**Solução de Exercício 24.5.**

$\tau_b = 917\times9.81\times300\times\sin3{}^{\circ} = 141.2\,\mathrm{kPa}$. Pelo teorema da laje, $u_s = \tfrac{2A}{4}\tau_b^3H = 0.5\times1.43 \times 10^{-16}
\times(1.412 \times 10^{5})^3\times300 = 60\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$. Com o dobro da espessura: $u_s
\propto H^{n+1} = H^4$, dezesseis vezes mais rápida. Com metade da inclinação: $u_s \propto
(\sin\alpha)^3$, oito vezes mais lenta.

**Exercício 24.6 ★★.**

A partir das constantes de Paterson–Budd, calcule o [fator de taxa](#def-b3-glaciology-glen) a $-25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e a $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, e a razão entre as velocidades de duas massas de gelo idênticas a $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e a $-25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**Solução de Exercício 24.6.**

A $-25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($248.15\,\mathrm{K}$), $A = 3.61 \times 10^{-13}\exp(-60000/
(8.314\times248.15)) = 8.5 \times 10^{-26}\,\mathrm{Pa}^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, ou $2.7 \times 10^{-18}\,\mathrm{Pa}^{-3}\,\mathrm{yr}^{-1}$. A $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $3.61 \times 10^{-13}
\exp(-27.42) = 4.4 \times 10^{-25}\,\mathrm{Pa}^{-3}\,\mathrm{s}^{-1} = 1.4 \times 10^{-17}\,\mathrm{Pa}^{-3}\,\mathrm{yr}^{-1}$. A $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (ramo quente) $1.4 \times 10^{-16}\,\mathrm{Pa}^{-3}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Sob as mesmas tensões, as velocidades estão na razão dos [fatores de taxa](#def-b3-glaciology-glen): $1.43 \times 10^{-16}/2.67 \times 10^{-18} = 54$.

**Exercício 24.7 ★★.**

Calcule a maior espessura de um manto de gelo plástico com $1000\,\mathrm{km}$ do centro até a margem, com $\tau_0 = 100\,\mathrm{kPa}$, e compare com a maior espessura do gelo antártico, quase $4.9\,\mathrm{km}$.

**Solução de Exercício 24.7.**

$h = \sqrt{2\times10^5\times10^6/(917\times9.81)} = 4.7\,\mathrm{km}$, próxima dos $4.9\,\mathrm{km}$ da Antártida: o modelo plástico obtém a espessura de um manto de gelo apenas a partir de sua largura.

**Exercício 24.8 ★★.**

Uma geleira com $200\,\mathrm{m}$ de espessura perde $5\,\mathrm{m}$ de gelo por ano em sua língua. Estime seu tempo de resposta. Se o clima aquecesse abruptamente e depois permanecesse constante, por quanto tempo seu comprimento continuaria a variar?

**Solução de Exercício 24.8.**

$\tau = 200/5 = 40\text{ anos}$. O comprimento continuaria a se ajustar por várias décadas, alguns tempos de resposta, depois que o aquecimento cessou: as geleiras de hoje ainda não acompanharam o clima atual.

**Exercício 24.9 ★★.**

(a) Usando a lei de Stefan com $\Delta T = 20\,\mathrm{K}$, calcule a espessura do gelo marinho sem cobertura após 100 dias, e o tempo necessário para atingir $3\,\mathrm{m}$. (b) O que isso sugere sobre gelo com mais de $3\,\mathrm{m}$ de espessura?

**Solução de Exercício 24.9.**

(a) $h = \sqrt{2\times2.03\times20\times8.64 \times 10^{6}/(917\times3.34 \times 10^{5})}
= 1.51\,\mathrm{m}$. Como $h^2 \propto t$, atingir $3\,\mathrm{m}$ exige $100\times
(3/1.51)^2 = 393$ dias, mais que um inverno. (b) Gelo muito mais espesso que $3\,\mathrm{m}$ não pode se formar por congelamento num único inverno: é gelo que sobreviveu a vários, ou gelo empilhado pelo vento e pelas correntes em cristas de pressão.

**Exercício 24.10 ★★★.**

(a) Onde o leito está $800\,\mathrm{m}$ abaixo do nível do mar, qual é a espessura do gelo na [linha de encalhe](#def-b3-glaciology-grounding-line)? (b) Usando o fluxo da laje $q \propto H^{n+2}$ para uma dada inclinação da superfície, por qual fator o fluxo do gelo apoiado aumenta se a [linha de encalhe](#def-b3-glaciology-grounding-line) recuar até onde o leito está a $900\,\mathrm{m}$ de profundidade? (c) Explique por que um leito que se aprofunda para o interior torna o recuo autorreforçado, e o que uma plataforma de gelo altera.

**Solução de Exercício 24.10.**

(a) $H = (1025/917)\times800 = 894\,\mathrm{m}$. (b) Com $900\,\mathrm{m}$, a espessura da [linha de encalhe](#def-b3-glaciology-grounding-line) é $1006\,\mathrm{m}$, $9/8$ da anterior; o fluxo aumenta em $(9/8)^5 = 1.8$. (c) Conforme a linha recua por um leito que se aprofunda para o interior, o gelo na linha é mais espesso, descarrega mais, afina o gelo atrás, e a linha recua ainda mais: uma retroalimentação positiva. Uma plataforma de gelo que escora o gelo apoiado no leito reduz o fluxo na [linha de encalhe](#def-b3-glaciology-grounding-line) e pode mantê-la no lugar mesmo em uma inclinação descendente.

**Exercício 24.11 ★★★.**

Mostre que o volume de uma capa de gelo plástica circular de raio $R$ é $V =
\frac{8\pi}{15}\sqrt{2\tau_0/(\rho g)}\,R^{5/2}$. Por qual fator seu [equivalente em nível do mar](#def-b3-glaciology-sle) cresce se o raio dobrar?

**Solução de Exercício 24.11.**

Com $h(r) = c\sqrt{R - r}$, $c = \sqrt{2\tau_0/(\rho g)}$, $V =
\int_0^R2\pi rc\sqrt{R - r}\,\mathrm dr$. Substituindo $s = R - r$,

$$
\int_0^R(R - s)\sqrt s\,\mathrm ds = \tfrac23R^{5/2} - \tfrac25R^{5/2} =
\tfrac4{15}R^{5/2},
$$

logo $V = \frac{8\pi}{15}cR^{5/2}$. Ao dobrar $R$ multiplica $V$ e o [equivalente em nível do mar](#def-b3-glaciology-sle) por $2^{5/2} = 5.7$.

**Exercício 24.12 ★★★.**

A extensão média do Ártico foi de $16.34\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$ em março de 1979 e de $14.13\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$ em março de 2026; em setembro, $7.05$ e $4.81\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$. (a) Calcule a variação relativa em cada mês. (b) Dê duas razões físicas pelas quais a extensão de setembro caiu muito mais rapidamente do que a extensão de março.

**Solução de Exercício 24.12.**

(a) Março: $14.13/16.34 - 1 = -13.5\,\%$; setembro: $4.81/7.05
- 1 = -31.8\,\%$. (b) Em março, a borda do gelo é mantida em grande parte pelas costas que cercam o oceano Ártico, e o recongelamento a cada inverno volta a preencher a bacia; o gelo mais fino dos últimos anos derrete por completo a cada verão. E a retroalimentação gelo–albedo atua no verão: a água aberta absorve cerca de $94\,\%$ da luz solar, o gelo reflete $50\text{ a }70\,\%$, de modo que cada perda de gelo de verão aquece a água e derrete mais.

## 24.8 Problema: A Capa de Gelo de Arkel

**Problema 24.1.**

Problema de fim de semana — a forma, o fluxo, o balanço e o equivalente em nível do mar de uma capa de gelo inventada

A capa de gelo inventada de Arkel repousa sobre um platô plano. Ela é quase circular, com $20\,\mathrm{km}$ de raio, e seu gelo está a cerca de $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Tome $\rho = 917\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ e $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**Parte I — A capa é plástica?**

1. Mostre que, sob gelo de espessura $H$ com uma pequena inclinação superficial $\alpha$ , a tensão de cisalhamento basal é de cerca de $\rho gH\alpha$ .
2. Sondagens de radar e levantamentos a 5, 10 e $15\,\mathrm{km}$ do centro fornecem espessuras de 580, 470 e $335\,\mathrm{m}$ e inclinações superficiais de $0.0190$ , $0.0240$ e $0.0330$ . Calcule a tensão de cisalhamento basal nos três pontos.
3. A capa está próxima de ser plástica? Qual tensão de escoamento você adota?
4. Com $\tau_0 = 100\,\mathrm{kPa}$ , calcule $2\tau_0/(\rho g)$ .
5. Preveja a espessura nos três pontos a partir do perfil plástico e compare com as sondagens.

**Parte II — Forma e volume.**

6. Calcule a espessura no centro.
7. Mostre que o volume é $V = \frac{8\pi}{15}\sqrt{2\tau_0/(\rho  g)}\,R^{5/2}$ .
8. Calcule o volume em quilômetros cúbicos.
9. Calcule a área e a espessura média.
10. Uma capa de gelo duas vezes mais larga sobre o mesmo platô: por qual fator o seu volume é maior?

**Parte III — Escoamento e balanço.**

11. Calcule o [fator de taxa](#def-b3-glaciology-glen) a $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ em $\mathrm{Pa}^{-3}\,\mathrm{yr}^{-1}$ .
12. A $10\,\mathrm{km}$ do centro, tratando o gelo como uma laje, calcule a velocidade superficial por deformação interna.
13. Calcule o fluxo de gelo por unidade de largura ali e a velocidade média da coluna.
14. Em estado estacionário, o fluxo que sai do círculo de raio $10\,\mathrm{km}$ é igual ao balanço ganho em seu interior. Qual balanço médio, em metros de gelo por ano, isso exige?
15. A linha de equilíbrio situa-se $450\,\mathrm{m}$ acima do platô. Onde ela está na capa, e qual é a razão da área de acumulação?
16. Se o gelo se aquecesse até $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , por qual fator as velocidades aumentariam? O que aconteceria com a forma da capa?

**Parte IV — Nível do mar.**

17. Calcule a massa da capa em gigatoneladas.
18. Calcule o seu [equivalente em nível do mar](#def-b3-glaciology-sle) em milímetros.
19. Se a capa inteira afinasse $0.5\,\mathrm{m}$ de gelo por ano, sem escoar, quanto tempo ela duraria?
20. Por que a capa real desapareceria antes disso, assim que começasse a afinar?
21. Na taxa em que a Groenlândia perdeu gelo em 2010–2019, quanto tempo levaria para perder uma massa igual à da capa Arkel?
22. Forneça o [equivalente em nível do mar](#def-b3-glaciology-sle) da capa de gelo Arkel, em milímetros, com uma casa decimal.

**Solução de Problema 24.1.**

**1.** A coluna acima do leito, de peso $\rho gH$ por unidade de área, é empurrada encosta abaixo pela componente $\rho gH\sin\alpha$, equilibrada pela tensão de cisalhamento em sua base; para inclinações pequenas $\sin\alpha \approx \alpha$ (o teorema da laje com a inclinação da superfície).

**2.** $917\times9.81\times580\times0.0190 = 99.1\,\mathrm{kPa}$; $917\times9.81\times470\times0.0240 = 101.5\,\mathrm{kPa}$; $917\times9.81
\times335\times0.0330 = 99.4\,\mathrm{kPa}$.

**3.** A tensão é a mesma dentro de $2\,\%$, enquanto a espessura quase se reduz à metade: a calota comporta-se quase como um material plástico, com $\tau_0 \approx
100\,\mathrm{kPa}$.

**4.** $2\times10^5/(917\times9.81) = 22.23\,\mathrm{m}$.

**5.** $h = \sqrt{22.23\,(R - r)}$: $577\,\mathrm{m}$, $472\,\mathrm{m}$ e $333\,\mathrm{m}$ a 15, 10 e $5\,\mathrm{km}$ da margem, a poucos metros dos valores medidos nas sondagens.

**6.** $\sqrt{22.23\times20000} = 667\,\mathrm{m}$.

**7.** Como no [Exercício 24.11](#exo-b3-glaciology-11): $V = \int_0^R2\pi r
\sqrt{22.23(R - r)}\,\mathrm dr = \frac{8\pi}{15}\sqrt{2\tau_0/(\rho
g)}\,R^{5/2}$.

**8.** $\frac{8\pi}{15}\times4.715\times(2 \times 10^{4})^{5/2} =
4.47 \times 10^{11}\,\mathrm{m}^{3} = 447\,\mathrm{km}^{3}$.

**9.** $\pi\times20^2 = 1257\,\mathrm{km}^{2}$; espessura média $447/1257 = 0.356\,\mathrm{km}$, $356\,\mathrm{m}$, pouco mais da metade da espessura central.

**10.** $2^{5/2} = 5.7$ vezes.

**11.** $A = 3.61 \times 10^{-13}\exp(-60000/(8.314\times263.15)) =
4.45 \times 10^{-25}\,\mathrm{Pa}^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, vezes $3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$: $1.40 \times 10^{-17}\,\mathrm{Pa}^{-3}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

**12.** A $10\,\mathrm{km}$, $H = 471.5\,\mathrm{m}$, inclinação $471.5/20000 =
0.0236$, $\tau_b = 100\,\mathrm{kPa}$; $u_s = \tfrac{2A}{4}\tau_b^3H =
0.5\times1.40 \times 10^{-17}\times10^{15}\times471.5 = 3.3\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$.

**13.** $q = \tfrac{2A}{5}\tau_b^3H^2 = 0.4\times1.40 \times 10^{-17}
\times10^{15}\times471.5^2 = 1250\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{yr}$; velocidade média $q/H =
2.6\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$, quatro quintos da velocidade superficial.

**14.** $2\pi rq = \pi r^2\bar b$, logo $\bar b = 2q/r = 2\times1250/10^4
= 0.25\,\mathrm{m}$ de gelo por ano sobre os $10\,\mathrm{km}$ internos.

**15.** $h = 450$ onde $R - r = 450^2/22.23 = 9.11\,\mathrm{km}$, em $r = 10.9\,\mathrm{km}$; a área de acumulação é o disco interno a ela, $(10.9/
20)^2 = 0.30$ da calota.

**16.** $A$ aumenta $10.2$ vezes, e as velocidades sob as mesmas tensões também. O gelo escoaria para fora mais depressa do que o balanço o repõe: a calota afinaria e se espalharia até que as tensões, menores, voltassem a igualar o balanço; uma calota plástica mais mole tem tensão de escoamento menor e perfil mais achatado.

**17.** $4.47 \times 10^{11}\times917 = 4.10 \times 10^{14}\,\mathrm{kg} = 410\,\mathrm{Gt}$.

**18.** $410/360 = 1.14\,\mathrm{mm}$.

**19.** $356/0.5 = 711$ anos.

**20.** À medida que a superfície desce, ela fica em ar mais quente e derrete mais depressa, a retroalimentação altitude–balanço de massa; e, à medida que a calota afina, as tensões e o escoamento também mudam. O afinamento acelera.

**21.** $410/243 = 1.7\text{ anos}$: a calota inteira equivale a menos de dois anos da perda da Groenlândia em 2010–2019.

**22.** A calota de Arkel tem um [equivalente em nível do mar](#def-b3-glaciology-sle) de **$1.1\,\mathrm{mm}$** ($1.14\,\mathrm{mm}$).