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title: "Sensoriamento remoto e SIG"
book: "Ciências da Terra e do espaço universitárias — 3.º ano"
subject: earth
language: pt
chapter: 25
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/5/pt/chapter/25-sensoriamento-remoto-e-sig
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Capítulo 25 — Sensoriamento remoto e SIG

Em 1997, o solo de uma região selvagem da Cordilheira das Cascatas, perto do conjunto de vulcões chamados Três Irmãs, começou a se elevar. Em 2001, seu centro estava $15\,\mathrm{cm}$ mais alto. Nenhum vulcão se ergue diretamente acima do abaulamento, e a última erupção da área ocorreu há 1500 anos. O soerguimento não foi percebido por ninguém caminhando sobre ele: apareceu como um alvo de anéis coloridos quando imagens de radar da região, obtidas de órbita com anos de diferença, foram combinadas. Os anéis situaram o magma intrusivo entre 6 e $7\,\mathrm{km}$ de profundidade; em março de 2004, um enxame de mais de 300 pequenos terremotos atingiu logo ao lado do centro deles. Este capítulo explica como um satélite mede uma variação de poucos centímetros a centenas de quilômetros de altura, o que os outros sensores em órbita veem do solo e como os mapas que produzem são combinados em um sistema de informações geográficas.

**O que você já sabe.**

O espectro eletromagnético, a lei de Planck do corpo negro, a emissividade e a lei de Kirchhoff, a refletância e a interferência de ondas estão nos livros de física. Sensoriamento remoto, imagens de satélite, projeções cartográficas e posicionamento por satélite estão nos livros escolares. Janelas atmosféricas e bandas fotométricas estão no volume do primeiro ano, no capítulo sobre telescópios; o modelo digital de elevação e o sistema de informações geográficas que o armazena, no capítulo sobre mapas geológicos; o primeiro mapa de radar do deslocamento causado por um terremoto, no capítulo sobre a fonte sísmica. A fonte de Mogi de uma câmara magmática em inflação está no volume do segundo ano, no capítulo sobre erupções vulcânicas.

## 25.1 Assinaturas espectrais e sensores ópticos

A luz solar que atinge o solo é em parte absorvida e em parte refletida, em proporções que dependem do comprimento de onda e da composição do solo. Um sensor em órbita mede a luz refletida em alguns intervalos de comprimento de onda, suas bandas, e as razões entre as bandas identificam a superfície. surface.

**Definição 25.1 (Assinatura espectral).**

A *assinatura espectral* de um material é sua refletância em função do comprimento de onda, $R(\lambda)$, a fração da radiação incidente que ele reflete. No infravermelho térmico, onde as superfícies emitem em vez de refletir, a assinatura é a emissividade $\varepsilon(\lambda)$; para uma amostra opaca, $\varepsilon = 1 - R$.

![Espectros de refletância de laboratório de cinco superfícies (ECOSTRESS Spectral Library, reproduzidos por cortesia do Jet Propulsion Laboratory, California Institute of Technology), com as seis bandas refletivas bandas 2 a 7 do imageador do Landsat 8 e 9 sombreadas. A grama verde é escura no visível e mais brilhante no infravermelho próximo; a caulinita é brilhante em toda parte, exceto por uma absorção estreita em 2.2\, µ m; a hematita absorve o azul e o verde e reflete o vermelho; a água reflete alguns por cento em todos os comprimentos de onda.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-remote-sensing-gis/fig-aa46903403ac.svg)

*Espectros de refletância de laboratório de cinco superfícies (ECOSTRESS Spectral Library, reproduzidos por cortesia do Jet Propulsion Laboratory, California Institute of Technology), com as seis bandas refletivas bandas 2 a 7 do imageador do Landsat 8 e 9 sombreadas. A grama verde é escura no visível e mais brilhante no infravermelho próximo; a caulinita é brilhante em toda parte, exceto por uma absorção estreita em $2.2\,\text{µ}\mathrm{m}$; a hematita absorve o azul e o verde e reflete o vermelho; a água reflete alguns por cento em todos os comprimentos de onda.*

As assinaturas da figura acima são o vocabulário do sensoriamento remoto óptico. A clorofila das folhas absorve fortemente entre 0.4 e $0.7\,\text{µ}\mathrm{m}$, para a fotossíntese, enquanto as células das folhas refletem fortemente entre 0.7 e $1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$: a grama verde reflete $5\,\%$ da luz vermelha da banda 4 e $50\,\%$ do infravermelho próximo da banda 5, um salto que nenhuma rocha ou solo apresenta. Além disso, dois vales profundos perto de 1.4 e $1.9\,\text{µ}\mathrm{m}$ correspondem à absorção de água líquida. A areia marrom fica gradualmente mais brilhante em direção ao infravermelho. A caulinita, uma argila, é branca no visível e tem uma absorção estreita em $2.20\,\text{µ}\mathrm{m}$, dentro da banda 7, o que a torna mais escura ali do que na banda 6; um [sensor hiperespectral](#def-b3-remote-sensing-gis-sensors) resolve sua forma e distingue uma argila da outra. A hematita absorve o azul e o verde: daí seu vermelho.

**Definição 25.2 (Resolução espacial, espectral e radiométrica; tempo de revisita).**

A *resolução espacial* de uma imagem é o tamanho no terreno de um de seus pixels. Sua *resolução espectral* é o número e a largura de suas bandas, sua *resolução radiométrica* o número de níveis em que cada medida é registrada, $2^b$ para $b$ bits. O *tempo de revisita* de um satélite é o intervalo entre duas de suas observações do mesmo lugar.

As quatro não podem ser todas finas ao mesmo tempo: pixels menores e bandas mais estreitas captam, cada uma, menos luz, e uma faixa estreita leva mais tempo para cobrir a Terra. O imageador do Landsat 8, lançado em 2013, tem nove bandas, a maioria delas com pixels de $30\,\mathrm{m}$ e uma banda pancromática de $15\,\mathrm{m}$; ele registra 4096 níveis (12 bits), enquanto os instrumentos dos Landsats 1 a 7 registravam 256. A partir de uma órbita heliossíncrona a $705\,\mathrm{km}$ de altitude, ele imageia uma faixa de $185\,\mathrm{km}$ de largura e volta a sobrevoar o mesmo terreno a cada 16 dias; o Landsat 9, na mesma órbita e defasado em 8 dias, reduz pela metade a espera. O imageador multiespectral de cada satélite Sentinel-2 tem 13 bandas, com pixels de 10, 20 ou $60\,\mathrm{m}$, sobre uma faixa de $290\,\mathrm{km}$; com dois satélites na mesma órbita, o [tempo de revisita](#def-b3-remote-sensing-gis-resolutions) no Equador é de 5 dias.

**Definição 25.3 (Sensores multiespectrais e hiperespectrais).**

Um *sensor multiespectral* registra algumas a algumas dezenas de bandas, separadas por intervalos. Um *sensor hiperespectral* registra muitas bandas estreitas e contíguas, de modo que cada pixel carrega um espectro quase contínuo, que pode ser comparado com uma biblioteca, como a da figura acima.

Entre o solo e o sensor está a atmosfera. Ela espalha para o sensor luz solar que nunca tocou o solo, sobretudo em comprimentos de onda curtos: é a radiância de trajetória. Ela também absorve parte do que o solo reflete fora das janelas atmosféricas.

**Definição 25.4 (Correção atmosférica).**

A *correção atmosférica* é a conversão da radiância medida no topo da atmosfera na refletância da superfície, removendo a radiância de trajetória e compensando a absorção ao longo dos dois trajetos da luz, descendente e ascendente.

A correção mais simples subtrai, em cada banda, o valor dos pixels mais escuros da cena, água límpida e profunda ou uma sombra, que deveriam refletir quase nada: o que eles mostram é a radiância de trajetória. Correções cuidadosas modelam as moléculas, os aerossóis e o vapor d’água da atmosfera.

**Definição 25.5 (Índice de vegetação por diferença normalizada).**

O *índice de vegetação por diferença normalizada* (NDVI) de um pixel é

$$
\mathrm{NDVI} = \frac{R_\mathrm{NIR} - R_\mathrm{red}}{R_\mathrm{NIR} + R_\mathrm{red}} ,
$$

calculado a partir de suas refletâncias em uma banda do infravermelho próximo e em uma banda do vermelho.

O índice situa-se entre $-1$ e $+1$. O terreno sem folhas verdes dá um valor próximo de zero; rocha nua, areia ou neve, $0.1$ ou menos; arbustos e pastagens, de 0.2 a 0.3; florestas tropicais e temperadas, de 0.6 a 0.8; as folhas verdes mais densas ficam entre 0.8 e 0.9. Pelos espectros da figura acima, nas bandas 4 e 5, a grama dá 0.82, a areia marrom 0.15 e a água $-0.01$. Sendo uma razão, o índice não muda quando as duas bandas são atenuadas na mesma proporção, por uma encosta voltada para longe da luz ou por uma névoa fina e uniforme: ele mede a vegetação, não a iluminação. Uma radiância de trajetória aditiva, maior no vermelho, altera o índice, e por isso ele é calculado a partir de refletâncias corrigidas (veja ao [Exercício 25.12](#exo-b3-remote-sensing-gis-12)).

## 25.2 O infravermelho térmico

Nas temperaturas da superfície, em torno de $300\,\mathrm{K}$, a lei de Planck põe o pico da emissão de um corpo negro perto de $9.7\,\text{µ}\mathrm{m}$, na janela atmosférica do infravermelho térmico. Ali o sensor mede o que a superfície emite, e não o que ela reflete. O sensor térmico do Landsat 8 tem duas bandas, de 10.6 a 11.19 e de 11.5 a $12.51\,\text{µ}\mathrm{m}$, com pixels de $100\,\mathrm{m}$.

**Definição 25.6 (Temperatura de brilho).**

A *temperatura de brilho* $T_b$ de uma superfície no comprimento de onda $\lambda$ é a temperatura do corpo negro que emitiria a radiância espectral $L$ medida nela naquele comprimento de onda. A *temperatura cinética* é a temperatura termodinâmica da superfície, aquela que um termômetro indicaria.

**Proposição 25.7 (Temperatura de brilho a partir de uma radiância).**

Com $c_1 = 2hc^2$ e $c_2 = hc/k$, uma radiância espectral $L$ no comprimento de onda $\lambda$ tem a [temperatura de brilho](#def-b3-remote-sensing-gis-brightness)

$$
T_b = \frac{c_2}{\lambda \ln\!\left(1 + \dfrac{c_1}{\lambda^5 L}\right)} .
$$

Uma superfície de emissividade $\varepsilon < 1$ na temperatura cinética $T$ emite $L = \varepsilon B_\lambda(T)$ e tem $T_b < T$.

**Demonstração.** A lei de Planck dá $B_\lambda(T) = c_1\lambda^{-5}/(e^{c_2/\lambda T} -
1)$. Fazendo $B_\lambda(T_b) = L$ e isolando, $e^{c_2/\lambda T_b} = 1 +
c_1/(\lambda^5L)$, que é a fórmula. $B_\lambda$ cresce com a temperatura, logo $\varepsilon B_\lambda(T) < B_\lambda(T)$ implica $T_b < T$. ∎

A diferença importa. No centro da banda 10, $10.9\,\text{µ}\mathrm{m}$, uma superfície a $300\,\mathrm{K}$ com emissividade de 0.95 tem [temperatura de brilho](#def-b3-remote-sensing-gis-brightness) de $296.6\,\mathrm{K}$; com emissividade de 0.99, $299.3\,\mathrm{K}$: um ponto percentual de emissividade vale mais de meio kelvin. Os espectros de laboratório dão, na banda 10, uma emissividade de 0.98 para a grama, de 0.99 para a água e de 0.97 para a areia marrom. Mapear uma temperatura a partir de órbita exige, portanto, a emissividade de cada pixel, e uma correção para a emissão e a absorção do ar entre a superfície e o sensor.

![À esquerda, a lei de Planck para superfícies a 300 e 400\, K e para a lava de uma erupção a 1170\, C (1443\, K), com a banda 7 do infravermelho de ondas curtas e a banda térmica 10 do Landsat 8 sombreadas. À direita, a temperatura de brilho na banda 10 de um pixel no qual uma fração f está a 370\, K e o restante a 290\, K, em comparação com a temperatura média ponderada pela área: a parte quente pesa mais do que a sua área.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-remote-sensing-gis/fig-1650a655bfd6.svg)

*À esquerda, a lei de Planck para superfícies a 300 e $400\,\mathrm{K}$ e para a lava de uma erupção a $1170\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($1443\,\mathrm{K}$), com a banda 7 do infravermelho de ondas curtas e a banda térmica 10 do Landsat 8 sombreadas. À direita, a [temperatura de brilho](#def-b3-remote-sensing-gis-brightness) na banda 10 de um pixel no qual uma fração $f$ está a $370\,\mathrm{K}$ e o restante a $290\,\mathrm{K}$, em comparação com a temperatura média ponderada pela área: a parte quente pesa mais do que a sua área.*

A lava a $1170\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ tem o pico por volta de $2.0\,\text{µ}\mathrm{m}$: uma coada de lava recente, muito menor que um pixel, acende as bandas do infravermelho de ondas curtas de um imageador óptico, de dia ou de noite. Um pixel raramente é uniforme, e a lei de Planck não é linear na temperatura.

**Proposição 25.8 (Um pixel misto).**

Um pixel do qual uma fração $f$ emite como corpo negro a $T_h$ e o restante a $T_0 < T_h$ tem radiância $L = fB_\lambda(T_h) + (1 - f)B_\lambda(T_0)$, e, para $0 < f < 1$, sua [temperatura de brilho](#def-b3-remote-sensing-gis-brightness) excede a temperatura média ponderada pela área $fT_h + (1 - f)T_0$.

**Demonstração.** A radiância é a média ponderada pela área das radiâncias. Escreve-se $B_\lambda(T)
= c_1\lambda^{-5}g(c_2/\lambda T)$ com $g(x) = 1/(e^x - 1)$; na variável $T$, com $x = c_2/\lambda T$, a segunda derivada de $g(c_2/\lambda T)$ é $(x g''(x) + 2g'(x))\,x/T^2$, positiva quando $x(e^x + 1)
> 2(e^x - 1)$, ou seja, $x > 2\tanh(x/2)$, o que vale para todo $x > 0$: $B_\lambda$ é convexa em $T$. Pela convexidade, a média das radiâncias excede a radiância da temperatura média, e $B_\lambda$ cresce com $T$, logo $T_b > fT_h + (1 - f)T_0$. ∎

Um pixel com $5\,\%$ de solo de fumarola a $370\,\mathrm{K}$ sobre um fundo a $290\,\mathrm{K}$ tem uma temperatura média de $294\,\mathrm{K}$, mas uma [temperatura de brilho](#def-b3-remote-sensing-gis-brightness) de $295.3\,\mathrm{K}$; com $10\,\%$, $300.4\,\mathrm{K}$. Pontos quentes se destacam em uma imagem térmica, e sua temperatura não pode ser lida a partir de uma única banda: duas bandas de comprimentos de onda diferentes fornecem duas equações para $f$ e $T_h$.

## 25.3 Radar e lidar

Um sensor óptico ou térmico é passivo: ele mede a luz que o solo envia. Um radar ou um [lidar](#def-b3-remote-sensing-gis-lidar) é ativo: ele envia um pulso e mede o tempo do seu eco. As micro-ondas atravessam as nuvens, e o radar traz a própria iluminação, de modo que observa de dia e de noite, em qualquer tempo.

**Definição 25.9 (Radar de abertura sintética; retroespalhamento de radar).**

Um *radar de abertura sintética* (SAR) é um radar transportado ao longo de uma trajetória que observa lateralmente, e que combina os ecos que registra a partir do mesmo ponto do solo ao longo de um trecho de sua trajetória, preservando suas fases, como se tivessem sido recebidos por uma única antena tão longa quanto esse trecho. O *retroespalhamento de radar* de uma superfície é a fração da potência que ela recebe e que devolve em direção à antena.

![A geometria de um radar de visada lateral, no plano perpendicular à sua trajetória. O feixe ilumina uma faixa de um lado do nadir; um ponto do solo é visto no alcance oblíquo R sob o ângulo de incidência , ao longo da linha de visada (LOS). Os ecos são ordenados por seu atraso ao longo da trajetória, no alcance, e pelo histórico de fases da abertura sintética ao longo dela, no azimute.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-remote-sensing-gis/fig-407761448976.svg)

*A geometria de um radar de visada lateral, no plano perpendicular à sua trajetória. O feixe ilumina uma faixa de um lado do nadir; um ponto do solo é visto no alcance oblíquo $R$ sob o ângulo de incidência $\theta$, ao longo da [linha de visada](#def-b3-remote-sensing-gis-insar) (LOS). Os ecos são ordenados por seu atraso ao longo da trajetória, no alcance, e pelo histórico de fases da abertura sintética ao longo dela, no azimute.*

**Proposição 25.10 (Resolução em azimute).**

Uma antena real de comprimento $L$ na distância oblíqua $R$ separa dois pontos do solo ao longo de sua trajetória somente se estiverem a mais de cerca de $R\lambda/L$ distantes entre si. Um [radar de abertura sintética](#def-b3-remote-sensing-gis-sar) com a mesma antena atinge cerca de $L/2$, qualquer que seja o alcance.

**Demonstração.** O feixe de uma antena de comprimento $L$ se espalha por um ângulo de cerca de $\lambda/L$, de modo que ilumina uma faixa de comprimento $R\lambda/L$ ao longo da trajetória, e a antena real não consegue distinguir dois pontos dentro dela. Um ponto permanece no feixe enquanto a antena percorre esse mesmo comprimento $\ell = R\lambda/L$: esta é a abertura sintética. Combinar os ecos ao longo de $\ell$ equivale a uma antena de comprimento $\ell$; o percurso de cada eco é percorrido duas vezes, na ida e na volta, o que reduz à metade o feixe da antena sintética para $\lambda/(2\ell)$, e a resolução é $R\lambda/(2\ell) =
L/2$. Um ponto mais distante permanece mais tempo no feixe, e a abertura maior compensa exatamente o alcance maior. ∎

O radar de cada satélite Sentinel-1 opera na banda C, a $5.405\,\mathrm{GHz}$, com comprimento de onda de cerca de $5.55\,\mathrm{cm}$, com uma antena de $12.3\,\mathrm{m}$ de comprimento, a partir de $693\,\mathrm{km}$ de altitude. Uma antena real desse tamanho distinguiria detalhes não mais finos do que cerca de $4\,\mathrm{km}$ ao longo da trajetória; a abertura sintética leva $L/2$ para cerca de $6\,\mathrm{m}$. Sobre o continente, ele opera principalmente em um modo de faixa larga que varre três subfaixas para cobrir $250\,\mathrm{km}$, com ângulos de incidência entre 29 e $46{}^{\circ}$, e células de 5 por $20\,\mathrm{m}$. Um satélite repete sua órbita a cada 12 dias.

O retroespalhamento depende da rugosidade da superfície na escala do comprimento de onda e de sua umidade. Um lago calmo reflete o pulso para longe, como um espelho, e aparece escuro; uma coulada de lava rugosa, a copa de uma floresta ou uma cidade de muros e quinas devolve grande parte dele e aparece claro.

**Definição 25.11 (Lidar).**

Um *lidar* mede distâncias pelo tempo de percurso de pulsos de laser refletidos pelo solo, pela vegetação ou pela água.

**Proposição 25.12 (Tempo de voo).**

Um pulso que retorna após um tempo $t$ desde que partiu encontrou uma superfície à distância $ct/2$; uma incerteza $\delta t$ no tempo corresponde a uma incerteza $c\,\delta t/2$ na distância.

**Demonstração.** A luz percorre $c$ na ida e na volta, de modo que a distância é $2d = ct$. ∎

O altímetro a laser do ICESat-2, a cerca de $500\,\mathrm{km}$ de altitude, dispara $10\,000$ pulsos por segundo a $532\,\mathrm{nm}$, em seis feixes, um a cada $0.7\,\mathrm{m}$ ao longo do solo, em uma pegada de $11\,\mathrm{m}$ de largura. Dos cerca de 300 trilhões de fótons que saem com cada pulso, apenas uma dúzia retorna, e cada um é cronometrado com precisão de $800\,\mathrm{ps}$: $12\,\mathrm{cm}$ de alcance. Sobre uma floresta, alguns fótons retornam da copa e outros do solo através de suas falhas: a diferença é a altura das árvores, e os fótons do solo, sozinhos, fornecem um mapa do relevo sob eles. [Lidares](#def-b3-remote-sensing-gis-lidar) embarcados em aeronaves mapeiam o terreno sob a vegetação do mesmo modo.

## 25.4 Interferometria de radar

O eco registrado por um radar tem uma amplitude, a intensidade do retorno, e uma fase, que conta a distância de ida e volta em unidades do comprimento de onda. A fase de uma única imagem, sozinha, não serve para nada: cada pixel contém muitos espalhadores cujos ecos se somam com fases aleatórias. Mas, se o solo não mudar entre as tomadas, os mesmos espalhadores produzem de novo a mesma soma.

**Definição 25.13 (Interferometria de radar; interferograma; linha de visada).**

A *interferometria de radar* (InSAR) combina duas imagens de radar do mesmo solo, tomadas de quase a mesma posição em dois instantes, pixel a pixel. O seu *interferograma* é o mapa da diferença de suas fases, conhecida módulo $2\pi$ e representada como um ciclo de cores, cada ciclo uma *franja*. A *linha de visada* é a direção do solo até a antena; o radar mede apenas a componente de um deslocamento ao longo dela. O *desdobramento de fase* é a reconstrução da fase contínua a partir da fase enrolada, somando a cada pixel o múltiplo de $2\pi$ que faz a fase variar suavemente em relação a seus vizinhos.

**Teorema 25.14 (Uma franja).**

Entre duas aquisições a partir da mesma posição, um deslocamento do solo que encurta a distância até a antena em $\Delta r$ altera a fase de seu eco em $\Delta\phi = 4\pi\Delta r/\lambda$. Uma franja, uma variação de $2\pi$, corresponde a um movimento de $\lambda/2$ ao longo da [linha de visada](#def-b3-remote-sensing-gis-insar).

**Demonstração.** O eco percorre a distância $2r$, na ida e na volta, e sua fase é $2\pi\cdot 2r/\lambda$ mais uma constante fixada pelos espalhadores, a mesma nas duas imagens. A diferença é $4\pi\Delta r/\lambda$, e ela vale $2\pi$ para $\Delta r = \lambda/2$. ∎

Para o Sentinel-1, uma franja mede $27.7\,\mathrm{mm}$; para os satélites europeus e canadenses mais antigos, de comprimento de onda de $5.66\,\mathrm{cm}$, $28.3\,\mathrm{mm}$, o ciclo de cores da fotografia abaixo. Na prática, as posições das duas passagens diferem em até cem metros ou algo assim (o Sentinel-1 é mantido a $120\,\mathrm{m}$ de uma órbita de referência), e a diferença de fase também contém o relevo, que um modelo digital de elevação remove; o vapor d’água da atmosfera retarda as ondas de modo diferente nas duas datas; e onde o solo muda entre as passagens, sobretudo pela vegetação, as fases perdem sua coerência e as franjas se dissolvem em ruído. O comprimento de onda maior da banda L, $23.53\,\mathrm{cm}$, atravessa a vegetação melhor do que a banda C.

**Proposição 25.15 (Uma fonte de Mogi vista na linha de visada).**

Acima de uma fonte de Mogi de variação de volume $\Delta V$ à profundidade $z_0$, na distância horizontal $r$, o solo sobe $u_z$, como no volume do segundo ano, e se desloca para fora em

$$
u_r = \frac{(1 - \nu)\,\Delta V}{\pi}\,\frac{r}{(r^2 + z_0^2)^{3/2}} = \frac{r}{z_0}\,u_z .
$$

Visto sob a incidência $\theta$ de um satélite a leste, a variação da [linha de visada](#def-b3-remote-sensing-gis-insar) é $d = u_E\sin\theta + u_z\cos\theta$, sendo $u_E$ o deslocamento para leste. Ao longo da linha norte–sul que passa pelo centro, $d = u_z\cos\theta$.

**Demonstração.** A fórmula radial é a companheira da vertical na mesma solução. O vetor unitário que vai do solo ao satélite é $(\sin\theta, 0, \cos\theta)$ em leste, norte e cima, e a variação da distância é o negativo da projeção do deslocamento sobre ele; logo, o encurtamento é $d$. Na linha norte–sul, o movimento para fora é para o norte ou para o sul, perpendicular a esse vetor, e $u_E = 0$. ∎

![Uma fonte de Mogi a 4\, km de profundidade que cresce em 107\, m3 (= 0.25), vista na banda C do Sentinel-1 com incidência de 35 a partir de um satélite a leste. À esquerda, a fase enrolada: cada ciclo de cores corresponde a 27.7\, mm de movimento na direção do satélite, quatro ciclos e meio da borda até o centro. À direita, o deslocamento vertical e para leste ao longo da linha leste–oeste que passa pelo centro, e a variação da linha de visada ao longo dela e ao longo da linha norte–sul: o movimento para fora, em direção ao satélite, soma-se ao soerguimento do lado leste e subtrai-se do lado oeste.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-remote-sensing-gis/fig-05a5477dab3d.svg)

*Uma fonte de Mogi a $4\,\mathrm{km}$ de profundidade que cresce em $10^{7}\,\mathrm{m}^{3}$ ($\nu = 0.25$), vista na banda C do Sentinel-1 com incidência de $35{}^{\circ}$ a partir de um satélite a leste. À esquerda, a fase enrolada: cada ciclo de cores corresponde a $27.7\,\mathrm{mm}$ de movimento na direção do satélite, quatro ciclos e meio da borda até o centro. À direita, o deslocamento vertical e para leste ao longo da linha leste–oeste que passa pelo centro, e a variação da [linha de visada](#def-b3-remote-sensing-gis-insar) ao longo dela e ao longo da linha norte–sul: o movimento para fora, em direção ao satélite, soma-se ao soerguimento do lado leste e subtrai-se do lado oeste.*

As franjas são contadas a partir de uma parte da imagem que não se moveu. O número delas dá o deslocamento no centro; a largura do padrão dá a profundidade, como no perfil de soerguimento do volume do segundo ano, ao longo da linha norte–sul, onde o deslocamento horizontal é invisível para o radar. O primeiro mapa desse tipo, do deslocamento de um grande terremoto californiano em 1992, apareceu no volume do primeiro ano; desde então, [interferogramas](#def-b3-remote-sensing-gis-insar) mapearam o deslizamento de terremotos, o afundamento de bacias cujos aquíferos são bombeados, $3\,\mathrm{cm}$ em cerca de $8\,\mathrm{km}$ num vale californiano em 1997, e o inchaço de vulcões como os Three Sisters.

![Acima, o interferograma do centro vulcânico Three Sisters, Oregon, 1995–2001, sobreposto ao relevo: cada ciclo de cores corresponde a 28.3\, mm de variação de distância, e o alvo de anéis concêntricos no centro marca o soerguimento. Abaixo, os mesmos dados desdobrados e representados como relevo: a distância diminui em até 130\, mm no centro. U.S. Geological Survey (Wicks e outros, 2002), domínio público.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-remote-sensing-gis/img-2b569fb46b71.jpg)

*Acima, o [interferograma](#def-b3-remote-sensing-gis-insar) do centro vulcânico Three Sisters, Oregon, 1995–2001, sobreposto ao relevo: cada ciclo de cores corresponde a $28.3\,\mathrm{mm}$ de variação de distância, e o alvo de anéis concêntricos no centro marca o soerguimento. Abaixo, os mesmos dados desdobrados e representados como relevo: a distância diminui em até $130\,\mathrm{mm}$ no centro. U.S. Geological Survey (Wicks e outros, 2002), domínio público.*

**No laboratório — Uma estação de solo.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-remote-sensing-gis/img-0afab0d2db35.jpg)

*Uma estação de solo de satélite ao entardecer: uma grande antena de rastreamento e seu prédio de operações (Ilustração gerada por IA.)*

Um satélite de imageamento registra muito mais do que consegue enviar enquanto passa sobre o local que imageia. O radar de um satélite Sentinel-1 pode imagear até meia hora de cada órbita e armazena seus dados a bordo, até 1410 gigabits; ele os envia ao solo em dois canais de 260 megabits por segundo cada um, de modo que um armazenamento completo leva cerca de 45 minutos para ser esvaziado. Uma estação de solo os recebe: à medida que o satélite surge acima do horizonte, a antena gira para apontar para ele, acompanha-o pelo céu e o solta ao se pôr, enquanto os operadores verificam se o fluxo chega completo. Os dados então seguem para um centro de processamento, onde os ecos brutos se tornam imagens.

## 25.5 Sistemas de informação geográfica

As imagens dos satélites, o modelo de elevação do terreno, o mapa geológico, os poços e as estradas são camadas de um único sistema de informação geográfica, que as armazena num sistema comum de coordenadas e calcula com elas.

**Definição 25.16 (Dados matriciais e vetoriais).**

Os *dados matriciais* representam uma camada por uma grade de células, cada uma guardando um valor: uma refletância, uma elevação, uma classe. Os *dados vetoriais* representam-na por pontos, linhas e polígonos dados pelas coordenadas de seus vértices, cada um carregando uma linha de atributos em uma tabela.

![O mesmo mapa como dados vetoriais (à esquerda: um polígono, uma linha e dois pontos, exatos na posição, cada um com seus atributos) e como dados matriciais (à direita: um valor por célula, o lago pelas células cujo centro fica dentro dele, o rio e os poços pelas células que atravessam). Um dado matricial é fácil de calcular, célula por célula; uma camada vetorial preserva formas e topologia em qualquer escala.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-remote-sensing-gis/fig-2ac12a4a357d.svg)

*O mesmo mapa como [dados vetoriais](#def-b3-remote-sensing-gis-data-models) (à esquerda: um polígono, uma linha e dois pontos, exatos na posição, cada um com seus atributos) e como [dados matriciais](#def-b3-remote-sensing-gis-data-models) (à direita: um valor por célula, o lago pelas células cujo centro fica dentro dele, o rio e os poços pelas células que atravessam). Um dado matricial é fácil de calcular, célula por célula; uma camada vetorial preserva formas e topologia em qualquer escala.*

**Definição 25.17 (Georreferenciamento).**

O *georreferenciamento* é a atribuição de coordenadas de mapa em uma projeção declarada a cada pixel de uma imagem ou a cada vértice de um desenho, geralmente ajustando uma transformação a pontos de controle no terreno cujas posições são conhecidas nos dois referenciais.

Para um matricial com o norte para cima em um referencial projetado, a transformação é afim: a célula na coluna $i$ e na linha $j$ tem seu canto em $E = E_0 + i\,\Delta$, $N = N_0 - j\,\Delta$, sendo $\Delta$ o tamanho da célula. Uma imagem de satélite é primeiro reamostrada numa grade desse tipo; camadas em projeções diferentes são projetadas em uma única antes de serem combinadas.

**Método 25.18 (Declividade, orientação e relevo sombreado a partir de um modelo digital de elevação).**

Em uma grade de elevações $z_{i,j}$ de espaçamento $\Delta$ ($i$ para leste, $j$ para norte), estima-se o gradiente por diferenças centrais,

$$
\frac{\partial z}{\partial x} \approx \frac{z_{i+1,j} - z_{i-1,j}}{2\Delta} ,
\qquad
\frac{\partial z}{\partial y} \approx \frac{z_{i,j+1} - z_{i,j-1}}{2\Delta} .
$$

A *declividade* é $S = \arctan|\nabla z|$; a *orientação* é o azimute da descida mais íngreme, a direção de $-\nabla z$, $A =
\operatorname{atan2}(-\partial z/\partial x, -\partial z/\partial y)$ medido no sentido horário a partir do norte. O *relevo sombreado* para uma luz vinda do azimute $A_0$ com ângulo zenital $Z$ é $\cos Z\cos S + \sin Z\sin S
\cos(A_0 - A)$, o cosseno do ângulo entre a luz e a normal ao terreno, zerado onde for negativo.

A diferença central é exata para um plano e tem erro de $\Delta^2 z'''/6$ em caso contrário; o relevo sombreado das Varden Hills no volume do primeiro ano foi calculado dessa maneira, iluminado pelo noroeste. As derivadas amplificam os erros da grade: um modelo com degraus entre suas linhas os mostra como faixas em seu mapa de declividade.

**Definição 25.19 (Álgebra de mapas).**

A *álgebra de mapas* é o cálculo de uma nova camada matricial célula por célula a partir de uma ou mais camadas da mesma grade: por aritmética (o NDVI a partir de duas bandas), por comparação (as células mais íngremes que $15{}^{\circ}$), por operações lógicas (e, ou, não), ou a partir de uma vizinhança da célula (a declividade).

**Definição 25.20 (Zona de influência; sobreposição).**

A *zona de influência* de um elemento à distância $d$ é a região do mapa a menos de $d$ dele. Uma *sobreposição* combina duas ou mais camadas da mesma área em uma só, cada lugar do resultado carregando os atributos de todas elas; a seleção dos lugares que atendem a várias condições ao mesmo tempo é o uso mais comum.

![Uma sessão de SIG nas Varden Hills, a partir do seu modelo de elevação numa grade de 100\, m. (a) A declividade, até 23 nas encostas do vale; (b) a orientação, a direção para a qual o terreno está voltado, os dois lados do rio voltados um para o outro; (c) duas camadas, as células mais íngremes que 15 e o afloramento do folhelho jurássico; (d) a sobreposição delas com a zona de influência de 1\, km do rio (tracejada): os 0.32\, km2 de folhelho íngreme acima do rio, uma primeira triagem de terrenos que podem deslizar.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-remote-sensing-gis/fig-eacac6eae8af.svg)

*Uma sessão de SIG nas Varden Hills, a partir do seu modelo de elevação numa grade de $100\,\mathrm{m}$. (a) A declividade, até $23{}^{\circ}$ nas encostas do vale; (b) a orientação, a direção para a qual o terreno está voltado, os dois lados do rio voltados um para o outro; (c) duas camadas, as células mais íngremes que $15{}^{\circ}$ e o afloramento do folhelho jurássico; (d) a [sobreposição](#def-b3-remote-sensing-gis-operations) delas com a [zona de influência](#def-b3-remote-sensing-gis-operations) de $1\,\mathrm{km}$ do rio (tracejada): os $0.32\,\mathrm{km}^{2}$ de folhelho íngreme acima do rio, uma primeira triagem de terrenos que podem deslizar.*

A figura acima percorre toda a cadeia: a [álgebra de mapas](#def-b3-remote-sensing-gis-map-algebra) sobre a grade de elevação fornece a declividade e a orientação; uma comparação transforma a declividade numa camada de células íngremes; o mapa geológico fornece o folhelho; a [zona de influência](#def-b3-remote-sensing-gis-operations) do rio fornece uma terceira camada; a interseção delas, uma [sobreposição](#def-b3-remote-sensing-gis-operations) com o *e* lógico, deixa 32 células das 8181. A resposta vale apenas o que valem as camadas: numa grade mais grossa, as declividades saem mais suaves e passam menos células.

**Definição 25.21 (Classificação supervisionada; matriz de confusão).**

Uma *classificação supervisionada* atribui cada pixel de uma imagem a uma de um conjunto de classes, a partir de regras ou estatísticas aprendidas em pixels de treinamento cuja classe é conhecida em campo. Sua *matriz de confusão* conta, para um conjunto separado de pixels de referência, quantos de cada classe verdadeira foram atribuídos a cada classe: $n_{ij}$ pixels classificados como $i$ pertencem, na verdade, a $j$.

A diagonal contém os pixels classificados corretamente. Com $N$ pixels de referência, a *acurácia global* é $\sum_i n_{ii}/N$. A *acurácia do usuário* de uma classe, $n_{ii}$ sobre o total de sua linha, é a chance de que um pixel que o mapa chama de $i$ seja $i$; sua *acurácia do produtor*, $n_{ii}$ sobre o total de sua coluna, é a chance de que um $i$ verdadeiro tenha sido mapeado como $i$. O coeficiente *kappa* compara a acurácia global $p_o$ com a acurácia $p_e = \sum_i (\text{lin}_i)(\text{col}_i)/N^2$ que a atribuição aleatória com os mesmos totais alcançaria: $\kappa = (p_o - p_e)/(1 -
p_e)$.

| classificado \ referência | água | floresta | rocha exposta | total |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| água | 45 | 2 | 0 | 47 |
| floresta | 3 | 38 | 7 | 48 |
| rocha exposta | 0 | 5 | 30 | 35 |
| total | 48 | 45 | 37 | 130 |

Neste exemplo fictício, 113 de 130 pixels estão corretos, uma acurácia global de $86.9\,\%$. A floresta tem acurácia do usuário de $38/48 = 79\,\%$, mas acurácia do produtor de $38/45 =
84\,\%$: sete pixels de rocha exposta, talvez em sombra, foram chamados de floresta. A atribuição aleatória alcançaria $p_e = 0.338$, e $\kappa =
0.80$.

## 25.6 Exercícios

**Exercício 25.1 ★.**

Um campo tem refletâncias de 0.06 na banda do vermelho e 0.42 no infravermelho próximo de um imageador; um campo arado vizinho tem 0.21 e 0.28. Calcule o NDVI de ambos e diga o que cada valor sugere.

**Solução de Exercício 25.1.**

Campo: $(0.42 - 0.06)/(0.42 + 0.06) = 0.75$, vegetação verde densa, uma lavoura em plena folhagem. Campo arado: $(0.28 - 0.21)/(0.28 + 0.21) = 0.14$, quase nu, um solo que clareia levemente em direção ao infravermelho.

**Exercício 25.2 ★.**

O imageador Landsat 8 cobre uma faixa de $185\,\mathrm{km}$ de largura, com pixels de $30\,\mathrm{m}$ pixels, e sua banda pancromática com pixels de $15\,\mathrm{m}$. (a) Quantos pixels uma linha atravessando a faixa contém em cada caso? (b) Quantos níveis dão 12 bits, e 8 bits? (c) Qual é o [tempo de revisita](#def-b3-remote-sensing-gis-resolutions) do Landsat 8 sozinho, e dos Landsats 8 e 9 juntos?

**Solução de Exercício 25.2.**

(a) $185000/30 \approx 6170$ pixels; $185000/15 \approx 12300$ na banda pancromática. (b) $2^{12} = 4096$ níveis; $2^8 = 256$. (c) 16 dias sozinho; com o Landsat 9 na mesma órbita, defasado de 8 dias, 8 dias.

**Exercício 25.3 ★.**

(a) Em um [interferograma](#def-b3-remote-sensing-gis-insar) do Sentinel-1 ($\lambda = 5.55\,\mathrm{cm}$) de uma bacia em subsidência, seis franjas separam a borda estável do centro. Qual é a variação da [linha de visada](#def-b3-remote-sensing-gis-insar) no centro? (b) Quanto valeria uma franja para um satélite mais antigo de comprimento de onda $5.66\,\mathrm{cm}$?

**Solução de Exercício 25.3.**

(a) Uma franja vale $\lambda/2 = 27.7\,\mathrm{mm}$; seis franjas correspondem a $166\,\mathrm{mm}$ de variação na [linha de visada](#def-b3-remote-sensing-gis-insar), aqui afastando-se do satélite, já que a bacia subside. (b) $56.6/2 = 28.3\,\mathrm{mm}$.

**Exercício 25.4 ★.**

Um altímetro a laser está a $500\,\mathrm{km}$ acima do solo. (a) Quanto tempo um pulso leva para retornar? (b) Se cada fóton for cronometrado com $800\,\mathrm{ps}$, qual é a precisão de uma medida de distância?

**Solução de Exercício 25.4.**

(a) $t = 2d/c = 2\times5 \times 10^{5}/3.00 \times 10^{8} = 3.34\,\mathrm{ms}$. (b) $c\,\delta t/2 = 3.00 \times 10^{8}\times8 \times 10^{-10}/2 = 0.12\,\mathrm{m}$; uma superfície amostrada por muitos fótons é localizada com muito mais precisão, a precisão caindo com o inverso da raiz quadrada do número deles.

**Exercício 25.5 ★★.**

Um pixel da banda 10 do Landsat 8 (considere $\lambda = 10.9\,\text{µ}\mathrm{m}$) tem, após a [correção atmosférica](#def-b3-remote-sensing-gis-atm-correction), uma radiância espectral de $9.0\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{sr}^{-1}\,\text{µ}\mathrm{m}^{-1}$. (a) Calcule a [temperatura de brilho](#def-b3-remote-sensing-gis-brightness). (b) A superfície é um campo de gramíneas de emissividade 0.98: qual é sua temperatura cinética?

**Solução de Exercício 25.5.**

(a) No SI, $L = 9.0 \times 10^{6}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{sr}^{-1}\,\mathrm{m}^{-1}$. Com $c_1 =
2hc^2 = 1.191 \times 10^{-16}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{sr}^{-1}$, $c_2 = 0.014\,388\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}$ e $\lambda^5 = (1.09 \times 10^{-5})^5 = 1.539 \times 10^{-25}$, $c_1/(\lambda^5L) = 86.0$, e $T_b = c_2/(\lambda\ln 87.0) = 295.6\,\mathrm{K}$. (b) A temperatura cinética resolve $0.98\,B_\lambda(T) = L$, isto é, $B_\lambda(T) = L/0.98$: a mesma fórmula dá $T = 296.9\,\mathrm{K}$, $1.3\,\mathrm{K}$ a mais.

**Exercício 25.6 ★★.**

O radar do Sentinel-1 voa a $693\,\mathrm{km}$ de altura, com uma antena de $12.3\,\mathrm{m}$ de comprimento em $\lambda = 5.55\,\mathrm{cm}$. (a) Desprezando a curvatura da Terra, calcule a distância oblíqua até um ponto visto com incidência de $35{}^{\circ}$. (b) Que resolução azimutal teria ali uma antena real desse comprimento, e o que dá a abertura sintética? (c) Qual é o comprimento da abertura sintética?

**Solução de Exercício 25.6.**

(a) $R = 693/\cos35{}^{\circ} = 846\,\mathrm{km}$. (b) Antena real: $R\lambda/L =
8.46 \times 10^{5}\times0.0555/12.3 = 3.8\,\mathrm{km}$; abertura sintética: $L/2 =
6.2\,\mathrm{m}$, cerca de 600 vezes mais fina. (c) A abertura sintética é o comprimento da trajetória ao longo do qual um ponto permanece no feixe, $R\lambda/L =
3.8\,\mathrm{km}$.

**Exercício 25.7 ★★.**

Uma janela $3\times3$ de um modelo digital de elevação com células de $30\,\mathrm{m}$ lê, com o norte no topo,

$$
\begin{matrix} 412 & 418 & 425 \\ 405 & 410 & 418 \\ 398 & 401 & 409 \end{matrix}
\qquad (\mathrm{m}).
$$

Por diferenças centrais na célula central, calcule a declividade, a orientação e o sombreamento para uma luz vinda do noroeste, $45{}^{\circ}$ acima do horizonte.

**Solução de Exercício 25.7.**

$\partial z/\partial x = (418 - 405)/60 = 0.217$ (leste menos oeste), $\partial z/\partial y = (418 - 401)/60 = 0.283$ (norte menos sul); $|\nabla z| = 0.357$, uma declividade de $\arctan 0.357 = 19.6{}^{\circ}$. O terreno sobe para nordeste, logo sua face está voltada para sudoeste: $A =
\operatorname{atan2}(-0.217, -0.283) = 217{}^{\circ}$. Sombreamento: $\cos45{}^{\circ}
\cos19.6{}^{\circ} + \sin45{}^{\circ}\sin19.6{}^{\circ}\cos(315{}^{\circ} - 217{}^{\circ}) =
0.666 - 0.033 = 0.63$, um pouco mais escuro que o terreno plano (0.71): a encosta se afasta levemente de uma luz no noroeste.

**Exercício 25.8 ★★.**

Um mapa de cobertura do solo é verificado contra 160 pixels de referência (linhas: o mapa; colunas: a verdade; classes água, floresta, cultivos, cidade):

$$
\begin{pmatrix} 48 & 3 & 1 & 0 \\ 4 & 37 & 6 & 1 \\ 2 & 5 & 29 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 19 \end{pmatrix} .
$$

Calcule a acurácia global, as acurácias do usuário e do produtor de cada classe, e o kappa. Qual classe é perdida com mais frequência?

**Solução de Exercício 25.8.**

Totais das linhas 52, 48, 38, 22; totais das colunas 54, 46, 38, 22; diagonal 133 de 160: exatidão global $83.1\,\%$. Exatidões do usuário: água $48/52 = 0.92$, floresta $37/48 = 0.77$, cultivos $29/38 = 0.76$, cidade $19/22 = 0.86$. Do produtor: água $48/54 = 0.89$, floresta $37/46 = 0.80$, cultivos $29/38 = 0.76$, cidade $19/22 = 0.86$. $p_e = (52\cdot54 + 48\cdot46 +
38\cdot38 + 22\cdot22)/160^2 = 0.271$, $\kappa = (0.831 - 0.271)/(1 -
0.271) = 0.77$. Os cultivos são os mais frequentemente não identificados: 9 dos 38 pixels verdadeiros de cultivo foram para outro lugar, principalmente para floresta.

**Exercício 25.9 ★★.**

Um pixel térmico de $100\,\mathrm{m}$ contém um fluxo de lava recente a $1443\,\mathrm{K}$ que cobre $4\,\%$ dele; o restante é solo a $290\,\mathrm{K}$; considere ambos como corpos negros. (a) Calcule a [temperatura de brilho](#def-b3-remote-sensing-gis-brightness) do pixel em $10.9\,\text{µ}\mathrm{m}$ e compare-a com a temperatura média. (b) Calcule a razão entre as radiâncias de corpo negro da lava e do solo em $2.2\,\text{µ}\mathrm{m}$, e a [temperatura de brilho](#def-b3-remote-sensing-gis-brightness) do pixel nesse comprimento de onda. Qual banda detecta melhor a lava?

**Solução de Exercício 25.9.**

(a) $L = 0.04\,B_\lambda(1443) + 0.96\,B_\lambda(290)$ em $10.9\,\text{µ}\mathrm{m}$, $28.6\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{sr}^{-1}\,\text{µ}\mathrm{m}^{-1}$, cuja [temperatura de brilho](#def-b3-remote-sensing-gis-brightness) é $396\,\mathrm{K}$, contra uma temperatura média de $0.04\times1443 + 0.96\times290 = 336\,\mathrm{K}$. (b) Em $2.2\,\text{µ}\mathrm{m}$, $B_\lambda(1443)/B_\lambda(290) = 6.8 \times 10^{7}$: a lava domina completamente o pixel, e sua [temperatura de brilho](#def-b3-remote-sensing-gis-brightness) é $845\,\mathrm{K}$. A banda do infravermelho de ondas curtas detecta pontos quentes pequenos muito melhor; a banda térmica, sensível ao pixel inteiro, é a que mede o terreno ao redor deles.

**Exercício 25.10 ★★★.**

Dois [interferogramas](#def-b3-remote-sensing-gis-insar) da mesma deformação são obtidos a partir de duas passagens, uma com o satélite a L do terreno e outra com ele a O, ambos com incidência de $35{}^{\circ}$. Em um ponto, a [linha de visada](#def-b3-remote-sensing-gis-insar) encurta $64\,\mathrm{mm}$ na primeira e $38\,\mathrm{mm}$ na segunda. Supondo que não haja movimento norte–sul, calcule os deslocamentos vertical e leste. Por que uma única passagem não basta?

**Solução de Exercício 25.10.**

Com o satélite a leste, $d_1 = u_E\sin\theta + u_z\cos\theta$; a oeste, $d_2 = -u_E\sin\theta + u_z\cos\theta$. Somando e subtraindo, $u_z = (d_1 + d_2)/(2\cos\theta) = 102/1.638 = 62.3\,\mathrm{mm}$ e $u_E =
(d_1 - d_2)/(2\sin\theta) = 26/1.147 = 22.7\,\mathrm{mm}$. Uma passagem dá uma equação para duas incógnitas: qualquer mistura de soerguimento e movimento para leste com a mesma projeção na [linha de visada](#def-b3-remote-sensing-gis-insar) produz as mesmas franjas.

**Exercício 25.11 ★★★.**

O [desdobramento de fase](#def-b3-remote-sensing-gis-insar) falha onde a fase salta mais de $\pi$ entre pixels vizinhos. (a) Mostre que a [linha de visada](#def-b3-remote-sensing-gis-insar) deve variar menos de $\lambda/4$ de um pixel para o seguinte, $13.9\,\mathrm{mm}$ para o Sentinel-1. (b) Para uma fonte de Mogi em $z_0 = 4\,\mathrm{km}$, com $\Delta V =
10^{7}\,\mathrm{m}^{3}$ e $\nu = 0.25$, vista na vertical, mostre que o gradiente mais acentuado de $u_z$ está em $r = z_0/2$ e calcule-o. (c) Qual é o maior tamanho de pixel que mantém as franjas resolvíveis?

**Solução de Exercício 25.11.**

(a) Pelo [Teorema 25.14](#thm-b3-remote-sensing-gis-fringe), $\Delta\phi =
4\pi\Delta r/\lambda < \pi$ exige $\Delta r < \lambda/4 =
13.9\,\mathrm{mm}$. (b) $u_z = k z_0(r^2 + z_0^2)^{-3/2}$ com $k = (1 -
\nu)\Delta V/\pi$; $\mathrm du_z/\mathrm dr = -3kz_0r(r^2 + z_0^2)^{-5/2}$, cuja derivada se anula onde $(r^2 + z_0^2) = 5r^2$, em $r = z_0/2$. Aí

$$
\left|\frac{\mathrm du_z}{\mathrm dr}\right| = \frac{3k}{2z_0^3}\Big(\frac54\Big)^{-5/2}
= \frac{0.859\,k}{z_0^3} = \frac{0.859\times2.39 \times 10^{6}}{6.4 \times 10^{10}} = 3.2 \times 10^{-5},
$$

$32\,\mathrm{mm}$ por quilômetro. (c) $13.9/32 = 0.43\,\mathrm{km}$: pixels menores que cerca de $430\,\mathrm{m}$, facilmente atendidos pelo Sentinel-1.

**Exercício 25.12 ★★★.**

(a) Mostre que o NDVI está entre $-1$ e $+1$ para refletâncias não negativas, e que ele não muda quando ambas as refletâncias são multiplicadas pelo mesmo fator. (b) A grama tem refletâncias de 0.051 (vermelho) e 0.502 (infravermelho próximo). Uma imagem não corrigida acrescenta uma radiância de caminho equivalente a 0.03 no vermelho e 0.01 no infravermelho próximo. Calcule o NDVI com e sem essa correção. (c) O que isso implica para um mapa de NDVI feito a partir de imagens não corrigidas em um dia com névoa?

**Solução de Exercício 25.12.**

(a) Para $N, R \ge 0$ não ambos nulos, $|N - R| \le N + R$, logo $|\mathrm{NDVI}|
\le 1$; substituir $N$ e $R$ por $aN$ e $aR$ multiplica o numerador e o denominador por $a$. (b) Sem correção: $(0.502 - 0.051)/(0.502 + 0.051) =
0.816$; com correção: $(0.512 - 0.081)/(0.512 + 0.081) = 0.727$. (c) A radiância do caminho reduz o índice da vegetação verde, cerca de um décimo aqui, e em uma quantidade que muda com a neblina: um mapa de imagens não corrigidas mostraria o tempo tanto quanto a vegetação, e as comparações entre datas não teriam sentido.

## 25.7 Problema: uma encosta inchando no monte Halvren

**Problema 25.1.**

Problema de fim de semana — vegetação, calor e um radar interferograma sobre um vulcão inventado

O monte Halvren, um vulcão inventado, expeliu fluxos de lava em 1890, 1960 e 2005 sobre suas encostas florestadas. Um campo de fumarolas exala vapor em seu cume. Dados de satélite de um ano recente são apresentados a seguir.

**Parte I — Vegetação sobre os fluxos de lava.** Refletâncias corrigidas nas bandas do vermelho e do infravermelho próximo:

| superfície | floresta | fluxo de 1890 | fluxo de 1960 | fluxo de 2005 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| vermelho | 0.04 | 0.07 | 0.11 | 0.12 |
| infravermelho próximo | 0.38 | 0.30 | 0.21 | 0.14 |

1. Calcule o NDVI das quatro superfícies.
2. Ordene os fluxos pela [recuperação](https://one-course.com/books/earth/5/pt/chapter/7-mecanismos-de-deformacao-e-zonas-de-cisalhamento#def-b3-deformation-mechanisms-recrystallisation) de sua vegetação. A ordem coincide com a das idades deles?
3. Por que o NDVI do fluxo de 2005 não é zero, embora quase nada cresça sobre ele?
4. Por que o NDVI é mais confiável do que a refletância do infravermelho próximo isoladamente nas encostas íngremes e irregularmente iluminadas de um vulcão?

**Parte II — O campo de fumarolas.** Na banda térmica (considere $\lambda = 10.9\,\text{µ}\mathrm{m}$) a radiância corrigida de um pixel de $100\,\mathrm{m}$ do platô do cume, afastado das fumarolas, é $8.40\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{sr}^{-1}\,\text{µ}\mathrm{m}^{-1}$, e a do pixel sobre o campo de fumarolas $9.95\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{sr}^{-1}\,\text{µ}\mathrm{m}^{-1}$.

5. Calcule as [temperaturas de brilho](#def-b3-remote-sensing-gis-brightness) dos dois pixels.
6. A rocha do platô tem emissividade de 0.97. Qual é a sua temperatura cinética?
7. As fumarolas e o solo quente ao redor delas estão a $370\,\mathrm{K}$ . Tratando-os, bem como o restante do pixel, como corpos negros, com o restante na radiância do platô, qual fração do pixel eles cobrem e qual é essa área?
8. Por que a temperatura média ponderada pela área do pixel fica abaixo de sua [temperatura de brilho](#def-b3-remote-sensing-gis-brightness) ?

**Parte III — O interferograma.** Duas imagens do Sentinel-1 ($\lambda = 5.55\,\mathrm{cm}$, incidência de $35{}^{\circ}$, satélite a L) obtidas com 48 dias de intervalo mostram um padrão de olho de boi na encosta leste. Do terreno estável até o centro do padrão conta-se cinco franjas completas e quatro décimos de uma sexta, todas no sentido do movimento em direção ao satélite.

9. Por que as duas imagens devem ser obtidas a partir de posições quase iguais, e quantos ciclos orbitais de um satélite as separam?
10. Calcule a variação da [linha de visada](#def-b3-remote-sensing-gis-insar) no centro.
11. No centro, o solo se move apenas verticalmente. Calcule o soerguimento ali.
12. Explique por que o padrão não é circular e de qual lado, L ou O, as franjas estão mais concentradas.
13. Ao longo da linha norte–sul que passa pelo centro, a variação da [linha de visada](#def-b3-remote-sensing-gis-insar) cai à metade de seu valor central a $3.4\,\mathrm{km}$ do centro. Por que usar essa linha, e qual profundidade ela fornece para uma fonte de Mogi?
14. Quantas franjas separam o centro desse ponto de meia altura?
15. O vapor d’água no ar pode atrasar as ondas de radar de modo diferente nas duas datas e produzir franjas próprias. Como um segundo [interferograma](#def-b3-remote-sensing-gis-insar) , de outro par de datas, ajudaria a distinguir os dois efeitos?

**Parte IV — O volume.** Considere $\nu = 0.25$.

16. A partir de $u_z(0) = (1 - \nu)\Delta V/(\pi z_0^2)$ , calcule a variação de volume da fonte.
17. Expresse-a como taxa média por dia e por ano ao longo dos 48 dias.
18. Calcule o maior deslocamento horizontal e onde ele ocorre.
19. Se o reservatório fosse uma esfera de raio $z_0/3$ , qual seria o seu volume e que fração dele a variação representa?
20. O tamanho finito de uma esfera de raio $z_0/3$ altera o soerguimento em cerca de $3\,\%$ . Isso altera de modo apreciável a resposta à questão 16, dada a precisão da contagem de franjas?
21. Que outra observação, das Partes I e II ou feita no terreno, apoiaria a interpretação de um reservatório se enchendo?
22. Dê a variação de volume do reservatório sob o monte Halvren, em milhões de metros cúbicos, com dois algarismos significativos.

**Solução de Problema 25.1.**

**1.** Floresta $(0.38 - 0.04)/0.42 = 0.81$; fluxo de 1890 $0.23/0.37 =
0.62$; de 1960 $0.10/0.32 = 0.31$; de 2005 $0.02/0.26 = 0.08$.

**2.** 1890, depois 1960, depois 2005: o fluxo mais antigo é o mais verde, na ordem das idades; ele ainda não alcançou a floresta.

**3.** A rocha nua reflete um pouco mais no infravermelho próximo do que no vermelho, como a areia marrom da figura do capítulo; líquens e as primeiras plantas acrescentam um pouco: 0.08 é o valor de um terreno quase nu.

**4.** Uma encosta voltada para longe da luz escurece as duas bandas na mesma proporção; a razão cancela esse efeito, enquanto a refletância no infravermelho próximo sozinha confundiria uma floresta sombreada com vegetação esparsa.

**5.** Pela [Proposição 25.7](#prop-b3-remote-sensing-gis-planck-inversion) com $\lambda = 10.9\,\text{µ}\mathrm{m}$: o platô $291.1\,\mathrm{K}$, o pixel da fumarola $302.3\,\mathrm{K}$.

**6.** $0.97\,B_\lambda(T) = 8.40 \times 10^{6}$ resulta em $T = 293.0\,\mathrm{K}$.

**7.** $B_\lambda(370\,\mathrm{K}) =
22.48\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{sr}^{-1}\,\text{µ}\mathrm{m}^{-1}$; $f = (9.95 - 8.40)/(22.48
- 8.40) = 0.110$, cerca de $1100\,\mathrm{m}^{2}$ do pixel de $10^{4}\,\mathrm{m}^{2}$.

**8.** A radiância é uma função convexa da temperatura ([Proposição 25.8](#prop-b3-remote-sensing-gis-mixed)): a parte quente acrescenta mais radiância do que sua parcela na temperatura, de modo que o pixel parece mais quente do que sua média, $0.110\times370 + 0.890\times291.1 = 299.8\,\mathrm{K}$ frente a $302.3\,\mathrm{K}$.

**9.** A fase de cada eco depende do caminho exato; uma grande mudança de ponto de vista altera a soma dos ecos dos espalhadores, e o [interferograma](#def-b3-remote-sensing-gis-insar) perde sua coerência e ganha uma fase devida ao relevo. $48/12 = 4$ ciclos de um satélite.

**10.** $5.4\times27.73 = 149.7\,\mathrm{mm}$ em direção ao satélite.

**11.** $u_z = 149.7/\cos35{}^{\circ} = 182.8\,\mathrm{mm}$.

**12.** O solo se move para fora, além de para cima; no lado leste o movimento para fora é em direção ao satélite e soma-se ao soerguimento; no lado oeste ele subtrai ([Proposição 25.15](#prop-b3-remote-sensing-gis-mogi-los)). A variação cai mais depressa para oeste, onde as franjas estão concentradas; o padrão está alongado para leste.

**13.** Nessa linha, o movimento horizontal é norte–sul, perpendicular à [linha de visada](#def-b3-remote-sensing-gis-insar), de modo que o radar vê somente $u_z\cos\theta$, com o formato do soerguimento. O soerguimento cai à metade em $r = 0.766\,z_0$, logo $z_0 =
3.4/0.766 = 4.44\,\mathrm{km}$.

**14.** Metade de 5.4: 2.7 franjas.

**15.** Uma deformação é a mesma nos dois [interferogramas](#def-b3-remote-sensing-gis-insar) após a normalização pelos intervalos de tempo, ou continua crescendo de par para par; um padrão atmosférico muda de data para data e costuma acompanhar o relevo. Um segundo par que mostra o mesmo padrão de olho de boi confirma a deformação.

**16.** $\Delta V = \pi u_z(0)z_0^2/(1 - \nu) = \pi\times0.1828\times
4436^2/0.75 = 1.51 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{3}$.

**17.** $1.51 \times 10^{7}/48 = 3.1 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{3}$ por dia, $1.1 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{3}$ por ano, se a taxa se mantivesse.

**18.** $u_r \propto r/(r^2 + z_0^2)^{3/2}$ é maior onde sua derivada se anula, $r^2 + z_0^2 = 3r^2$, $r = z_0/\sqrt2 = 3.14\,\mathrm{km}$; ali $u_r = 70\,\mathrm{mm}$, $38\,\%$ do soerguimento central.

**19.** Raio $1.48\,\mathrm{km}$, volume $\frac43\pi(1.48)^3 =
13.6\,\mathrm{km}^{3}$; a variação é $1.51 \times 10^{7}/1.36 \times 10^{10} =
0.11\,\%$ do volume.

**20.** Não: um décimo de franja é $2\,\%$ da contagem, e a profundidade, lida a partir de uma meia-largura de $3.4\,\mathrm{km}$, talvez até $0.1\,\mathrm{km}$, entra elevada ao quadrado, $6\,\%$; a correção de $3\,\%$ está dentro dessa incerteza.

**21.** O aquecimento do campo de fumarolas (Parte II) ao longo do tempo, um aumento de pequenos terremotos sob o abaulamento, uma mudança no gás liberado, e o soerguimento medido por posicionamento por satélite ou nivelamento em alguns pontos do flanco.

**22.** O reservatório sob Mount Halvren cresceu em **15 milhões de $\mathrm{m}^{3}$** ($1.51 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{3}$).