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title: "A Via Láctea e as galáxias"
book: "Ciências da Terra e do espaço universitárias — 3.º ano"
subject: earth
language: pt
chapter: 29
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/5/pt/chapter/29-a-via-lactea-e-as-galaxias
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Capítulo 29 — A Via Láctea e as galáxias

No Sistema Solar, os planetas distantes do Sol movem-se devagar: Mercúrio circula-o a $47.4\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, Netuno a $5.4\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, como exige a terceira lei de Kepler de corpos presos a uma única massa central. As estrelas da Galáxia não se comportam assim. Medidas a partir dos movimentos de mais de vinte mil gigantes vermelhas, a velocidade de suas órbitas circulares é $227\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ a $5\,\mathrm{kpc}$ do centro, $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ no Sol e ainda $198\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ a $25\,\mathrm{kpc}$, onde quase não restam estrelas nem gás. Se a massa que vemos fosse tudo o que existe, as estrelas externas seriam muito mais lentas. Algo invisível as sustenta. Este capítulo descreve a Galáxia em que vivemos, pesa-a a partir de sua rotação, classifica as outras galáxias em tipos e percorre a cadeia de métodos pelos quais suas distâncias, e a expansão do Universo, são medidas.

**O que você já sabe.**

A Via Láctea, o efeito Doppler, as leis de Kepler, o teorema de Newton sobre a atração de uma casca esférica, a matéria escura, os buracos negros e seu raio de Schwarzschild, as supernovas, as anãs brancas, a linha de 21 cm do hidrogênio atômico e a lei de Hubble estão nos livros de física. A paralaxe anual, o parsec, o fluxo e a luminosidade, as magnitudes aparente e absoluta, o módulo de distância, as bandas fotométricas e o índice de cor estão no volume do primeiro ano, em seu capítulo sobre telescópios e fotometria. O meio interestelar e sua poeira estão no volume do segundo ano, em seu capítulo sobre o meio interestelar e a formação estelar.

## 29.1 A estrutura da Galáxia

Vista da Terra, a Galáxia é a Via Láctea: uma faixa de luz ao redor de todo o céu, cortada por faixas escuras de poeira e mais brilhante em direção à constelação de Sagitário, onde fica seu centro. A faixa é o disco em que o Sol está, visto de perfil por dentro.

![O céu inteiro numa só imagem, projetado de modo que o plano da Galáxia atravesse o meio e seu centro fique no centro da imagem. A faixa é o disco visto por dentro; as faixas escuras são poeira no disco, ocultando as estrelas atrás dele; o bojo central incha em torno do centro. As duas pequenas manchas abaixo da faixa, do lado direito, são as Grandes e Pequenas Nuvens de Magalhães, duas galáxias satélites; a mancha tênue abaixo da faixa, perto da borda esquerda, é a galáxia de Andrômeda. Fotografia ESO/S. Brunier, CC BY 4.0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-milky-way-galaxies/img-49f8d59f9b9f.jpg)

*O céu inteiro numa só imagem, projetado de modo que o plano da Galáxia atravesse o meio e seu centro fique no centro da imagem. A faixa é o disco visto por dentro; as faixas escuras são poeira no disco, ocultando as estrelas atrás dele; o bojo central incha em torno do centro. As duas pequenas manchas abaixo da faixa, do lado direito, são as Grandes e Pequenas Nuvens de Magalhães, duas galáxias satélites; a mancha tênue abaixo da faixa, perto da borda esquerda, é a galáxia de Andrômeda. Fotografia ESO/S. Brunier, CC BY 4.0.*

**Definição 29.1 (Disco galáctico, disco espesso, bojo galáctico e halo estelar).**

O *disco galáctico* é o componente achatado da Galáxia, formado por estrelas, gás e poeira em órbitas quase circulares em torno de seu centro; sua densidade cai aproximadamente de forma exponencial com a altura acima de seu plano médio e com a distância ao centro, ao longo de uma altura de escala e de uma comprimento de escala. O *disco espesso* é um segundo, mais antigo, componente de disco, de maior altura de escala e menor massa. O *bojo galáctico* é a concentração central de estrelas que se projeta para fora do disco. O *halo estelar* é o componente esparso, aproximadamente esferoidal, de estrelas velhas e aglomerados globulares que envolve o disco e o bojo.

A Galáxia é uma espiral barrada. Na vizinhança do Sol, o disco fino tem altura de escala de cerca de $300\,\mathrm{pc}$, e o [disco espesso](#def-b3-milky-way-galaxies-structure), de cerca de $900\,\mathrm{pc}$; seus comprimentos de escala são de cerca de $2.6\,\mathrm{kpc}$ e $2.0\,\mathrm{kpc}$. O [disco espesso](#def-b3-milky-way-galaxies-structure) contém cerca de $6 \times 10^{9}$ massas solares, cerca de um quinto do disco fino. Visto de lado, o bojo tem a forma de uma caixa ou de um amendoim: é a parte interna engrossada de uma barra de estrelas de cerca de $5\,\mathrm{kpc}$ de meio-comprimento, cujo eixo longo forma um ângulo de $27{}^{\circ}$ com a linha que vai do Sol ao centro. O [halo estelar](#def-b3-milky-way-galaxies-structure) contém apenas cerca de um por cento das estrelas. Ao todo, as estrelas da Galáxia pesam cerca de $5 \times 10^{10}$ massas solares.

![Esquema da Galáxia, em escala quanto às suas principais dimensões. (a) Visto de perfil: o disco fino (faixa escura), o disco espesso (faixa clara), o bojo em forma de caixa e o halo estelar com seus aglomerados globulares (pontos laranja); o Sol está no disco, a cerca de 8.2\, kpc do centro e a cerca de 25\, pc acima do plano médio (pequeno demais para aparecer). (b) Visto do polo galáctico norte: a barra, com cerca de 5\, kpc de meio-comprimento, inclinada de 27 em relação à linha que vai do Sol ao centro (pontilhada); o círculo solar (tracejado); braços espirais desenhados de forma esquemática; a Galáxia gira no sentido horário nesta vista.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-milky-way-galaxies/fig-35f0d655d4e8.svg)

*Esquema da Galáxia, em escala quanto às suas principais dimensões. (a) Visto de perfil: o disco fino (faixa escura), o [disco espesso](#def-b3-milky-way-galaxies-structure) (faixa clara), o bojo em forma de caixa e o [halo estelar](#def-b3-milky-way-galaxies-structure) com seus aglomerados globulares (pontos laranja); o Sol está no disco, a cerca de $8.2\,\mathrm{kpc}$ do centro e a cerca de $25\,\mathrm{pc}$ acima do plano médio (pequeno demais para aparecer). (b) Visto do polo galáctico norte: a barra, com cerca de $5\,\mathrm{kpc}$ de meio-comprimento, inclinada de $27{}^{\circ}$ em relação à linha que vai do Sol ao centro (pontilhada); o círculo solar (tracejado); braços espirais desenhados de forma esquemática; a Galáxia gira no sentido horário nesta vista.*

**Definição 29.2 (População estelar).**

Uma *população estelar* é um grupo de estrelas de uma galáxia que compartilham uma faixa de idades, de composições químicas e de órbitas. As estrelas jovens do disco fino, ricas em elementos mais pesados que o hélio e em órbitas quase circulares, são tradicionalmente chamadas população I; as estrelas velhas do halo e dos aglomerados globulares, pobres em elementos pesados e em órbitas de grandes movimentos aleatórios com pouca rotação líquida, população II.

O [disco espesso](#def-b3-milky-way-galaxies-structure) fica numa posição intermediária: suas estrelas são, em sua maioria, mais velhas que as do disco fino e, para um dado teor de ferro, mais ricas nos elementos leves que os astrônomos chamam de elementos alfa, medidos em relação ao ferro. O [halo estelar](#def-b3-milky-way-galaxies-structure) é um registro fóssil: grande parte dele foi montada a partir de pequenas galáxias que caíram na Galáxia e foram despedaçadas por suas marés, e alguns de seus fluxos de estrelas ainda podem ser acompanhados pelo céu.

**Definição 29.3 (Coordenadas galácticas).**

As *coordenadas galácticas* de uma direção são sua *latitude galáctica* $b$, o ângulo medido a partir do plano galáctico (positiva em direção ao polo galáctico norte), e sua *longitude galáctica* $\ell$, medida no plano a partir da direção do centro galáctico ($\ell = 0$) até $\ell = 90{}^{\circ}$, a direção para a qual a rotação da Galáxia leva o Sol. O plano foi definido em 1958 como o plano principal do hidrogênio atômico da Galáxia; o polo galáctico norte situa-se na ascensão reta $192.25{}^{\circ}$ ($12^\mathrm{h}49^\mathrm{m}$) e declinação $27.4{}^{\circ}$ (equinócio 1950).

O Sol não está exatamente no plano: ele se situa cerca de $25\,\mathrm{pc}$ ao norte dele. Sua distância ao centro, $R_0$, foi por muito tempo o número mais incerto da astronomia galáctica. Hoje ela é medida geometricamente: a estrela S2 orbita o buraco negro central da Galáxia em uma órbita de $16$ anos, cujos tamanho angular no céu e velocidade ao longo da linha de visada, acompanhados por 27 anos, fornecem diretamente a distância ao centro: $R_0 = 8178\,\mathrm{pc}$, com erro estatístico de $13\,\mathrm{pc}$ e um sistemático de $22\,\mathrm{pc}$. Uma revisão de todos os métodos fornece $R_0 = (8.2 \pm 0.1)\,\mathrm{kpc}$.

## 29.2 Rotação e halo de matéria escura

**Definição 29.4 (Padrão local de repouso).**

O *padrão local de repouso* (LSR) é o referencial que se move na órbita circular em torno do centro galáctico que passa pela posição atual do Sol. As velocidades de estrelas e gás próximos são dadas em relação a ele.

O Sol se move em relação ao LSR com cerca de $10\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ em direção ao centro galáctico, $11\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ no sentido da rotação e $7\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ em direção ao polo galáctico norte: um pequeno movimento peculiar somado a uma órbita com velocidade $V_0$ de algumas centenas de quilômetros por segundo. Vista da Terra, a fonte de rádio no centro da Galáxia desloca-se ao longo do plano galáctico em $6.411\,\mathrm{mas}$ por ano; quase todo esse deslocamento é o reflexo da órbita do Sol e fornece a velocidade total do Sol em torno do centro, $(248 \pm 3)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ ([Exercício 29.2](#exo-b3-milky-way-galaxies-2)).

**Definição 29.5 (Curva de rotação; constantes de Oort).**

A *curva de rotação* de uma galáxia de disco é a velocidade $V(R)$ de uma órbita circular em seu plano em função da distância $R$ ao seu centro. Para a Galáxia, com $V_0 = V(R_0)$ e $V'_0 = \mathrm{d}V/\mathrm{d}R$ em $R_0$, as *constantes de Oort* são

$$
A = \frac12\left(\frac{V_0}{R_0} - V'_0\right), \qquad
B = -\frac12\left(\frac{V_0}{R_0} + V'_0\right).
$$

$A$ mede o cisalhamento da rotação do disco e $B$ sua vorticidade: em um disco que gira como corpo rígido $V'_0 = V_0/R_0$ e $A = 0$; em uma [curva de rotação](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve) plana $A = -B$. A diferença entre elas é a velocidade angular do LSR, $A - B = V_0/R_0 = \omega_0$, e a soma delas é a inclinação, $A + B = -V'_0$.

**Teorema 29.6 (Fórmulas de Oort).**

Uma estrela a uma distância $d \ll R_0$ do Sol, no plano galáctico, na longitude $\ell$, em órbita circular, tem em relação ao LSR a velocidade radial $v_r$ e a velocidade transversal $v_t$ (positiva no sentido de crescimento de $\ell$)

$$
v_r = A\,d\sin 2\ell, \qquad v_t = d\,(A\cos 2\ell + B),
$$

em primeira ordem em $d/R_0$.

**Demonstração.** Seja $\omega(R) = V(R)/R$ a velocidade angular da órbita em $R$. Toma-se o centro galáctico como origem, o Sol à distância $R_0$, e seja a estrela à distância $R$ do centro, sua posição vista do centro fazendo o ângulo $\theta$ com a do Sol. Projetando a velocidade da estrela $\omega R$ e a velocidade do LSR $\omega_0 R_0$ na linha de visada, uma pequena trigonometria no triângulo Sol–estrela–centro (a lei dos senos fornece $R\sin(\ell + \theta) = R_0\sin\ell$) o resultado exato $v_r = R_0\,[\omega(R) - \omega_0]\sin\ell$. Analogamente, na direção perpendicular à linha de visada, $v_t = R_0\,[\omega(R) - \omega_0]\cos\ell - \omega(R)\,d$. Para uma estrela próxima, $\omega(R) - \omega_0 \approx \omega'_0\,(R - R_0)$ e $R - R_0 \approx -d\cos\ell$. Então $v_r \approx -R_0\omega'_0\,d\cos\ell\sin\ell = -\tfrac12 R_0\omega'_0\,
d\sin 2\ell$ e, mantendo os termos de primeira ordem, $v_t \approx -R_0\omega'_0\,d\cos^2\ell - \omega_0 d$. Com $\omega'_0 = V'_0/R_0 - V_0/R_0^2$, $-\tfrac12 R_0\omega'_0 = A$ e $-R_0\omega'_0\cos^2\ell - \omega_0 = A(1 + \cos 2\ell) - (A - B) =
A\cos 2\ell + B$. ∎

As velocidades radiais das estrelas próximas variam, portanto, como $\sin 2\ell$ ao longo do céu, e os seus movimentos próprios, como $\cos 2\ell$ em torno de uma média fixada por $B$. A partir dos movimentos próprios e das paralaxes de $304\,267$ estrelas do primeiro catálogo Gaia, a uma distância típica de $230\,\mathrm{pc}$, as [constantes de Oort](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve) são $A = (15.3 \pm 0.4)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$ e $B = (-11.9 \pm 0.4)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$. Dois outros termos que um disco axissimétrico não teria, chamados $C$ e $K$, resultaram em cerca de $-3\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$: o disco local é agitado pela barra e pelos braços espirais.

### A curva de rotação a partir da linha de 21 cm

O hidrogênio atômico preenche o disco e emite a linha de 21 cm, em $1420.405\,751\,\mathrm{MHz}$; as ondas de rádio atravessam a poeira que oculta o disco distante em comprimentos de onda visíveis. Ao longo de uma linha de visada no plano, cada nuvem de gás acrescenta a sua linha com o desvio Doppler de sua velocidade radial, e o perfil da linha é um espectro de velocidades. Dentro do círculo solar, uma velocidade se destaca.

**Teorema 29.7 (Método do ponto de tangência).**

Suponha-se que o gás se mova em órbitas circulares com velocidade angular $\omega(R)$ que diminui para fora. Ao longo de uma linha de visada na longitude $0 < \ell < 90{}^{\circ}$, a velocidade radial em relação ao PLR é maior no ponto de tangência, onde a linha de visada é tangente a uma órbita, em $R = R_0\sin\ell$, e o seu maior valor é

$$
v_\mathrm{max} = V(R_0\sin\ell) - V_0\sin\ell .
$$

**Demonstração.** Pela demonstração das fórmulas de Oort, o gás à distância $R$ do centro na linha de visada tem $v_r = R_0\,[\omega(R) - \omega_0]\sin\ell$. Com $\sin\ell > 0$ e $\omega$ decrescente, $v_r$ é maior onde $R$ é menor. Ao longo da linha de visada, $R$ é menor no pé da perpendicular traçada a partir do centro, onde $R = R_0\sin\ell$. Ali $R_0\,\omega(R)\sin\ell = \omega(R)\,R = V(R)$ e $R_0\,\omega_0\sin\ell = V_0\sin\ell$. ∎

![O método do ponto de tangência, visto do polo galáctico norte. Ao longo de uma linha de visada na longitude , o gás mais próximo do centro fica no ponto de tangência, em R = R_0 (em vermelho); sua velocidade orbital V(R) é ao longo da linha de visada, e o velocidade radial ali é a maior que o perfil da linha mostra. Cada longitude fornece um ponto da curva de rotação dentro do círculo solar.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-milky-way-galaxies/fig-34329d7e804f.svg)

*O método do ponto de tangência, visto do polo galáctico norte. Ao longo de uma linha de visada na longitude $\ell$, o gás mais próximo do centro fica no ponto de tangência, em $R = R_0\sin\ell$ (em vermelho); sua velocidade orbital $V(R)$ é ao longo da linha de visada, e o velocidade radial ali é a maior que o perfil da linha mostra. Cada longitude fornece um ponto da [curva de rotação](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve) dentro do círculo solar.*

A velocidade mais alta em cada perfil de 21 cm fornece, assim, $V$ em $R_0\sin\ell$, e uma varredura de longitudes de $0{}^{\circ}$ a $90{}^{\circ}$ fornece a [curva de rotação](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve) desde o centro até o Sol. Além do círculo solar, nenhuma linha de visada é tangente a uma órbita, e o método falha: ali, a distância de cada traçador precisa ser medida, além da sua velocidade. Desde 2014, um satélite mediu as paralaxes de mais de um bilhão de estrelas, e a [curva de rotação](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve) externa é agora traçada por estrelas.

![A curva de rotação da Galáxia. Pontos: a velocidade circular medida a partir de gigantes vermelhas entre 5 e 25\, kpc (Eilers e outros, 2019), com as suas barras de erro. Curvas: as velocidades que o bojo, o disco fino e o disco espesso de um modelo de massa publicado daria isoladamente (Pouliasis e outros, 2017), a sua combinação (cinza) e o halo escuro ajustado aqui às medidas (vermelho tracejado), que assume o lugar dos bárions além de 14\, kpc; eles se somam em quadratura ao total (azul). Os 5\, kpc internos, onde a barra torna as órbitas bem distantes de circulares, ficam de fora da medida.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-milky-way-galaxies/fig-e540a581d89e.svg)

*A [curva de rotação](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve) da Galáxia. Pontos: a velocidade circular medida a partir de gigantes vermelhas entre 5 e $25\,\mathrm{kpc}$ (Eilers e outros, 2019), com as suas barras de erro. Curvas: as velocidades que o bojo, o disco fino e o [disco espesso](#def-b3-milky-way-galaxies-structure) de um modelo de massa publicado daria isoladamente (Pouliasis e outros, 2017), a sua combinação (cinza) e o halo escuro ajustado aqui às medidas (vermelho tracejado), que assume o lugar dos bárions além de $14\,\mathrm{kpc}$; eles se somam em quadratura ao total (azul). Os $5\,\mathrm{kpc}$ internos, onde a barra torna as órbitas bem distantes de circulares, ficam de fora da medida.*

A curva da figura acima foi medida a partir das posições, distâncias e velocidades de mais de vinte e três mil gigantes vermelhas luminosas, com a equação da hidrodinâmica estelar que relaciona os movimentos médios de uma população de estrelas à gravidade que as mantém (a equação de Jeans). No Sol, obtém-se $V_0 = 229.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, com uma incerteza sistemática de dois a cinco por cento; além disso, ela decresce suavemente, em $(1.7 \pm 0.1)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ por quiloparsec. Ela não cai como exige a massa visível.

### Pesando a Galáxia

A gravidade de um disco não é a de uma esfera, mas a curva de velocidade de um modelo de massa calcula-se facilmente quando cada componente tem um potencial em forma fechada. Os potenciais no plano abaixo são os de um modelo publicado das estrelas da Galáxia.

**Proposição 29.8 (Velocidades circulares de três modelos de massa).**

No plano $z = 0$, a velocidade circular $V^2 = R\,\partial\Phi/\partial R$ é, para

- uma esfera de Plummer de massa $M$ e raio do núcleo $b$, de potencial $\Phi = -GM/\sqrt{r^2 + b^2}$: $$V^2 = \frac{GMR^2}{(R^2 + b^2)^{3/2}}\,;$$
- um disco de Miyamoto–Nagai de massa $M$, comprimento de escala $a$ e altura de escala $b$, de potencial $\Phi = -GM\big/\sqrt{R^2 + \bigl(a + \sqrt{z^2 + b^2}\,\bigr)^2}$: $$V^2 = \frac{GMR^2}{\bigl(R^2 + (a + b)^2\bigr)^{3/2}}\,;$$
- um halo de Navarro–Frenk–White de densidade $\rho = \rho_0\big/\bigl[x(1 + x)^2\bigr]$ , $x = r/R_s$ : a massa dentro de $r$ é $M(r) = 4\pi\rho_0R_s^3\bigl[\ln(1 + x) - x/(1 + x)\bigr]$ e $V^2 = GM(r)/r$ .

Para vários componentes, somam-se os quadrados das velocidades.

**Demonstração.** Para os dois primeiros, deriva-se o potencial em relação a $R$ em $z = 0$. Para o halo, integra-se $4\pi r^2\rho$ de 0 a $r$: com $u = 1 + x'$, $\int_0^x x'\,\mathrm{d}x'/(1 + x')^2 =
\int_1^{1+x}(u - 1)\,\mathrm{d}u/u^2 = \ln(1 + x) + 1/(1 + x) - 1$; uma massa esférica atua sobre uma órbita em $r$ como se toda a sua massa dentro de $r$ estivesse no centro (teorema de Newton). Os potenciais somam-se, daí as suas derivadas radiais. ∎

O modelo usado na figura tem um bojo de Plummer de $1.07 \times 10^{10}$ massas solares com $b = 0.3\,\mathrm{kpc}$, um disco fino e um [disco espesso](#def-b3-milky-way-galaxies-structure) de $3.94 \times 10^{10}$ massas solares cada, com $(a, b) =
(5.3\,\mathrm{kpc}, 0.25\,\mathrm{kpc})$ e $(2.6\,\mathrm{kpc}, 0.8\,\mathrm{kpc})$. Com $G = 4.301 \times 10^{-6}\,\mathrm{kpc}\,(\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1})^{2}$ por massa solar, suas estrelas sozinhas dariam ao Sol uma velocidade orbital de $184\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, e a uma estrela a $20\,\mathrm{kpc}$, uma de $134\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$; as velocidades medidas são 229 e $200\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Um halo ajustado às medidas, com as estrelas mantidas fixas, tem $R_s = 14.75\,\mathrm{kpc}$ e $\rho_0 = 1.06 \times 10^{7}$ massas solares por quiloparsec cúbico, o mesmo que o halo que seus autores ajustaram ($R_s = (14.8 \pm 0.4)\,\mathrm{kpc}$, $\rho_0 = (1.06 \pm 0.09 \times 10^{7})\,$ massas solares por quiloparsec cúbico). O halo domina além de cerca de $14\,\mathrm{kpc}$.

**Definição 29.9 (Halo de matéria escura).**

O *halo de matéria escura* de uma galáxia é a distribuição de matéria escura aproximadamente esférica em que estão imersas suas estrelas e seu gás, muito maior e mais massiva do que suas componentes visíveis, e inferida a partir de sua gravidade: da [curva de rotação](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve), dos movimentos de galáxias satélites e de estrelas do halo, e da curvatura da luz.

**Teorema 29.10 (Massa dentro de um raio).**

Para uma distribuição esférica de massa, a velocidade circular no raio $r$ fornece a massa dentro dele, $M(r) = rV^2/G$. Uma [curva de rotação](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve) plana, $V =$ constante, implica $M(r) \propto r$ e uma densidade $\rho(r) = V^2/(4\pi G r^2)$.

**Demonstração.** Pelo teorema de Newton, a gravidade em $r$ é $GM(r)/r^2$, e ela fornece a aceleração centrípeta $V^2/r$ de uma órbita circular. Se $V$ é constante, $\mathrm{d}M/\mathrm{d}r = V^2/G = 4\pi r^2\rho$. ∎

Para os discos achatados, $rV^2/G$ não é exatamente a massa dentro de $r$, mas é a massa que uma esfera precisaria ter para produzir a mesma órbita, e ela é usada aqui, como é comum, como a massa *dinâmica*. A figura abaixo compara-a para as estrelas e para a Galáxia inteira.

![A massa dinâmica RV2/G dentro do raio R. A massa visível se estabiliza em cerca de 9×1010 massas solares, a massa do bojo e dos discos do modelo; o total continua crescendo quase em proporção a R, como exige uma curva de rotação plana. Em 20\, kpc, o total é mais do que o dobro da massa visível.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-milky-way-galaxies/fig-8ad7991f8843.svg)

*A massa dinâmica $RV^2/G$ dentro do raio $R$. A massa visível se estabiliza em cerca de $9\times10^{10}$ massas solares, a massa do bojo e dos discos do modelo; o total continua crescendo quase em proporção a $R$, como exige uma [curva de rotação](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve) plana. Em $20\,\mathrm{kpc}$, o total é mais do que o dobro da massa visível.*

Até onde se estende o halo e quanto ele pesa no total, a [curva de rotação](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve) do disco não consegue dizer. Extrapolado com o perfil ajustado até seu raio virial, de cerca de $190\,\mathrm{kpc}$, o halo ajustado pelos autores da medida contém cerca de $7 \times 10^{11}$ massas solares; uma revisão de outras estimativas dá $1.3 \times 10^{12}$, dos quais os bárions são apenas cerca de sete por cento. A matéria escura próxima ao Sol é tênue: cerca de $0.30\,\mathrm{GeV}$ de energia-massa por centímetro cúbico, um terço da massa de um próton, e por isso ela só se faz sentir pela sua gravidade acumulada.

## 29.3 Galáxias

**Definição 29.11 (Sequência de Hubble; galáxias elípticas, lenticulares, espirais e irregulares).**

A *sequência de Hubble* classifica as galáxias pela sua aparência. Uma *galáxia elíptica* (tipo E) é um sistema suave de estrelas, com o brilho caindo de forma constante a partir do centro e sem disco; ela é designada E$n$, com $n = 10(1 - b/a)$ e $b/a$ a razão aparente entre os eixos, de E0 (circular) a E7. Uma *galáxia espiral* tem um disco com braços espirais em torno de um bojo central; ela é designada Sa, Sb, Sc, em ordem de bojo decrescente, braços mais abertos e braços mais fragmentados em nós de formação estelar, e SBa, SBb, SBc se uma barra atravessa seu centro. Uma *galáxia lenticular* (S0) tem um disco e um bojo, mas não tem braços. Uma *galáxia irregular* (Irr, Im) não tem estrutura organizada.

![A sequência de Hubble desenhada como um diapasão, de forma esquemática. As elípticas são designadas pelo seu achatamento aparente; o diapasão se bifurca nas lenticulares em espirais comuns e barradas, ordenadas de bojos grandes e braços muito enrolados (a) a bojos pequenos e braços abertos (c); as irregulares fecham a sequência.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-milky-way-galaxies/fig-4087938f4582.svg)

*A [sequência de Hubble](#def-b3-milky-way-galaxies-types) desenhada como um diapasão, de forma esquemática. As elípticas são designadas pelo seu achatamento aparente; o diapasão se bifurca nas lenticulares em espirais comuns e barradas, ordenadas de bojos grandes e braços muito enrolados (a) a bojos pequenos e braços abertos (c); as irregulares fecham a sequência.*

As classes descrevem formas vistas no céu, e um único rótulo esconde uma faixa: uma elíptica vista ao longo do seu eixo mais curto parece redonda, qualquer que seja seu achatamento real, e as fronteiras entre classes vizinhas são uma questão de julgamento. Em um catálogo das galáxias próximas, a Via Láctea é listada como S(B)bc, uma espiral entre Sb e Sc com barra; sua grande vizinha Andrômeda (M31) é Sb, a galáxia do Triângulo (M33) é Sc, e as Grande e Pequena Nuvens de Magalhães são irregulares.

![A galáxia espiral M101, vista de frente pelo Telescópio Espacial Hubble, em um mosaico de 51 exposições, recortado nas bordas: um bojo pequeno, brilhante e amarelado; braços abertos, mais azulados e nodosos, com aglomerados de estrelas jovens; faixas marrons de poeira ao longo dos braços. Imagem ESA e NASA (Hubble, heic0602), CC BY 4.0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-milky-way-galaxies/img-94ac2f00138d.jpg)

*A [galáxia espiral](#def-b3-milky-way-galaxies-types) M101, vista de frente pelo Telescópio Espacial Hubble, em um mosaico de 51 exposições, recortado nas bordas: um bojo pequeno, brilhante e amarelado; braços abertos, mais azulados e nodosos, com aglomerados de estrelas jovens; faixas marrons de poeira ao longo dos braços. Imagem ESA e NASA (Hubble, heic0602), CC BY 4.0.*

Por que os braços espirais não se enrolam? Em um disco cuja [curva de rotação](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve) é plana, uma estrela à metade da distância do centro dá uma volta na metade do tempo. Uma espiral de estrelas se enrolaria mais apertada a cada volta, e depois de algumas voltas do disco ela seria uma espiral cerrada ([Exercício 29.11](#exo-b3-milky-way-galaxies-11)).

**Definição 29.12 (Teoria das ondas de densidade).**

A *teoria das ondas de densidade* explica os braços espirais como uma onda de maior densidade em um disco, um padrão espiral que gira rigidamente com sua própria velocidade angular, a velocidade do padrão, enquanto as estrelas e o gás se movem através dele, desacelerando ao entrar no braço congestionado e acelerando ao sair, como carros em um engarrafamento.

A teoria, proposta em 1964, livra os braços do problema do enrolamento. O gás que entra em um braço é comprimido, e estrelas se formam ali: os braços são destacados por estrelas jovens e gás luminoso, enquanto as estrelas velhas se distribuem de forma bem mais uniforme. Ainda se debate se os braços são ondas de longa duração; simulações computacionais de discos com mais frequência produzem braços transitórios, que se dissolvem e se reformam, e uma galáxia que passa ou uma barra podem induzir uma espiral de dois braços.

**Definição 29.13 (Buraco negro supermassivo).**

Um *buraco negro supermassivo* é um buraco negro de um milhão de massas solares ou mais no centro de uma galáxia.

No centro da Galáxia, a fonte de rádio compacta Sagittarius A* (Sgr A*) situa-se entre estrelas em órbitas apertadas e rápidas. Suas órbitas exigem uma massa central de cerca de quatro milhões de sóis, $4.2 \pm 0.2 \times 10^{6}$ massas solares, segundo uma revisão das medições. A Sgr A* quase não se move em relação a galáxias distantes: retirado o movimento orbital do Sol, seu movimento residual é de no máximo alguns quilômetros por segundo, logo ela retém ao menos um quarto dessa massa. Seu tamanho é comparável ao seu raio de Schwarzschild, e sua densidade, acima de $4 \times 10^{23}$ massas solares por parsec cúbico, é muito próxima da esperada para um buraco negro: a evidência de que a Sgr A* é um buraco negro é esmagadora.

**Definição 29.14 (Grupo Local; aglomerado de galáxias).**

O *Grupo Local* é o grupo gravitacionalmente ligado de galáxias dominado pela Via Láctea e por Andrômeda, cada uma com suas galáxias satélites. Um *aglomerado de galáxias* é um dos maiores sistemas gravitacionalmente ligados: muitas galáxias mantidas, com um gás quente que emite raios X, em um poço gravitacional comum, formado sobretudo por matéria escura.

Mais de cem galáxias estão a menos de $3\,\mathrm{Mpc}$ do Sol, a maioria delas anãs. A Grande Nuvem de Magalhães está a cerca de $50\,\mathrm{kpc}$, Andrômeda a $783\,\mathrm{kpc}$ e se aproximando de nós a $300\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, e os membros ligados do grupo estão a cerca de $1.06\,\mathrm{Mpc}$ de seu centro de massa, entre a Galáxia e Andrômeda, onde se desprendem da expansão do Universo. Sua massa, obtida a partir do movimento das duas grandes galáxias uma em direção à outra, é da ordem de $5 \times 10^{12}$ massas solares. Em um [aglomerado de galáxias](#def-b3-milky-way-galaxies-groups) massivo, o gás quente, a cerca de $10^{8}\,\mathrm{K}$, contém cerca de dez vezes a massa das estrelas; galáxias e gás juntos são leves demais para a profundidade do poço gravitacional, e a maior parte da massa do aglomerado, da ordem de $10^{15}$ massas solares, é escura.

## 29.4 A escada de distâncias

Uma paralaxe fornece uma distância apenas pela geometria, mas as paralaxes diminuem com a distância. O melhor catálogo delas mede uma paralaxe com uma incerteza de 0.02 a $0.03\,\mathrm{mas}$ para estrelas mais brilhantes que magnitude 15, o que dá uma distância com incerteza de $10\,\%$ até cerca de $4\,\mathrm{kpc}$; a Grande Nuvem de Magalhães, a $50\,\mathrm{kpc}$, tem uma paralaxe de $0.02\,\mathrm{mas}$. Mais além, as distâncias se apoiam em objetos cuja luminosidade é conhecida.

**Definição 29.15 (Vela padrão; escada de distâncias).**

Uma *vela padrão* é uma classe de objetos cuja magnitude absoluta é conhecida ou pode ser inferida de uma propriedade medida independentemente da distância, de modo que sua magnitude aparente forneça seu módulo de distância. A *escada de distâncias* é a cadeia de métodos, cada um calibrado com objetos próximos o bastante para serem medidos também pelo método anterior, cadeia que leva as distâncias desde as paralaxes até o Universo em expansão.

**Definição 29.16 (Variável cefeida; lei de Leavitt).**

Uma *variável cefeida* é uma estrela jovem, luminosa, pulsante cujo brilho varia com um período estritamente regular, de cerca de um dia a várias semanas. A *lei de Leavitt*, ou relação período–luminosidade, é a relação linear entre a magnitude absoluta média de uma cefeida e o logaritmo de seu período, com períodos mais longos para as estrelas mais brilhantes.

A relação foi descoberta na Pequena Nuvem de Magalhães, cujas estrelas estão quase todas à mesma distância, em 1908. A poeira na galáxia que hospeda uma cefeida a enfraquece e a avermelha; mas o enfraquecimento é maior no visível do que no infravermelho próximo, em uma razão fixa para um dado tipo de poeira, e a combinação $W_I = I - 1.55\,(V - I)$ das magnitudes nas bandas I e V, o índice de Wesenheit, é escolhido de modo que o enfraquecimento se cancele. A figura abaixo mostra isso para 2315 cefeidas da Grande Nuvem de Magalhães: a [lei de Leavitt](#def-b3-milky-way-galaxies-cepheid) é uma reta bem definida, com dispersão de $0.078\,\mathrm{mag}$, ou seja, $3.6\,\%$ em distância para uma única estrela.

![A lei de Leavitt na Grande Nuvem de Magalhães: o índice de Wesenheit de 2315 cefeidas pulsando em seu modo fundamental em função do logaritmo de seus períodos (levantamento OGLE, Soszyński e outros, 2015, via o CDS). Estrelas mais brilhantes estão mais acima. Uma reta ajustada por mínimos quadrados, após descartar 92 estrelas com mais de três desvios-padrão em relação a ela, reproduz a relação publicada (-3.314, 15.888). Com o módulo de distância da Nuvem, 18.477, a reta fornece a magnitude absoluta de Wesenheit de qualquer cefeida a partir de seu período.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-milky-way-galaxies/fig-d4d7610a7070.svg)

*A [lei de Leavitt](#def-b3-milky-way-galaxies-cepheid) na Grande Nuvem de Magalhães: o índice de Wesenheit de 2315 cefeidas pulsando em seu modo fundamental em função do logaritmo de seus períodos (levantamento OGLE, Soszyński e outros, 2015, via o CDS). Estrelas mais brilhantes estão mais acima. Uma reta ajustada por mínimos quadrados, após descartar 92 estrelas com mais de três desvios-padrão em relação a ela, reproduz a relação publicada ($-3.314$, $15.888$). Com o módulo de distância da Nuvem, 18.477, a reta fornece a magnitude absoluta de Wesenheit de qualquer cefeida a partir de seu período.*

**Definição 29.17 (Ponta do ramo das gigantes vermelhas).**

A *ponta do ramo das gigantes vermelhas* (TRGB) é o limite superior abrupto das luminosidades das gigantes vermelhas de uma [população estelar](#def-b3-milky-way-galaxies-populations) antiga, fixado pela ignição do hélio em seus núcleos, o flash do hélio; na banda I ela situa-se quase na mesma magnitude absoluta em toda população antiga, $M_I \approx -4.05$ para a cor $V - I = 1.6$, dependendo apenas fracamente da composição química.

A ponta é medida nos halos esparsos das galáxias, onde há pouca poeira e pouca aglomeração; ela usa estrelas velhas do halo onde as cefeidas usam estrelas jovens do disco, e os dois métodos não compartilham física alguma. Cefeidas e a TRGB alcançam algumas dezenas de megaparsecs, em galáxias onde explodiu uma [vela padrão](#def-b3-milky-way-galaxies-ladder) rara e muito mais brilhante: uma supernova do tipo Ia, a explosão termonuclear de uma anã branca, que o leitor recorda dos livros de física, cuja magnitude absoluta de pico, uma vez corrigida pela forma de sua curva de luz e por sua cor, é $M_B = (-19.253 \pm 0.027)\,\mathrm{mag}$. Tais supernovas são observadas a centenas de megaparsecs.

**Definição 29.18 (Relação de Tully–Fisher).**

A *relação de Tully–Fisher* é a correlação entre a luminosidade, ou melhor, a massa de estrelas e gás, de uma [galáxia espiral](#def-b3-milky-way-galaxies-types) e a velocidade de sua [curva de rotação](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve) plana; em sua forma bariônica, $M_\mathrm{b} = A\,V^4$, ela vale de cerca de 30 a $300\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

O espectro de 21 cm de uma galáxia fornece sua velocidade máxima de rotação, a relação fornece sua luminosidade, independentemente de sua distância, e seu fluxo então fornece a distância: um degrau para galáxias espirais distantes demais para estrelas isoladas. A Galáxia, por sua luminosidade e rotação, cai sobre a relação.

![Os degraus da escada de distâncias, com as distâncias em que cada um é usado aqui: paralaxes do melhor catálogo, com erro de 10\,\%, até 4\, kpc; cefeidas e a TRGB desde a Grande Nuvem de Magalhães até as hospedeiras das supernovas do tipo Ia mais próximas, 45\, Mpc; as supernovas da expansão suave, com desvios para o vermelho de 0.023 a 0.15 (96 to 616\, Mpc para H_0 = 73). Pontilhado: duas âncoras da escala das cefeidas com distâncias geométricas (binárias eclipsantes na LMC, máseres de água orbitando o buraco negro de NGC 4258), e M31, a espiral grande mais próxima. Setas: cada degrau é calibrado em objetos que o degrau abaixo também mede, as cefeidas da Galáxia por suas paralaxes, as supernovas de galáxias próximas pelas cefeidas e pela TRGB de suas hospedeiras.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-milky-way-galaxies/fig-065af9291dae.svg)

*Os degraus da [escada de distâncias](#def-b3-milky-way-galaxies-ladder), com as distâncias em que cada um é usado aqui: paralaxes do melhor catálogo, com erro de $10\,\%$, até $4\,\mathrm{kpc}$; cefeidas e a TRGB desde a Grande Nuvem de Magalhães até as hospedeiras das supernovas do tipo Ia mais próximas, $45\,\mathrm{Mpc}$; as supernovas da expansão suave, com desvios para o vermelho de 0.023 a 0.15 ($96\text{ a }616\,\mathrm{Mpc}$ para $H_0 = 73$). Pontilhado: duas âncoras da escala das cefeidas com distâncias geométricas (binárias eclipsantes na LMC, máseres de água orbitando o buraco negro de NGC 4258), e M31, a espiral grande mais próxima. Setas: cada degrau é calibrado em objetos que o degrau abaixo também mede, as cefeidas da Galáxia por suas paralaxes, as supernovas de galáxias próximas pelas cefeidas e pela TRGB de suas hospedeiras.*

No topo da escada, as supernovas medem a expansão do Universo. A lei de Hubble, que o leitor recorda dos livros de física, faz a velocidade de recessão $cz$ de uma galáxia distante proporcional à sua distância $d$, $cz = H_0 d$ para pequenos desvios para o vermelho $z$; a constante de Hubble $H_0$ é o coeficiente angular, e as supernovas, com suas distâncias obtidas da escada, a fornecem.

**Definição 29.19 (Tensão de Hubble).**

A *tensão de Hubble* é o desacordo entre o valor da constante de Hubble medido localmente com a [escada de distâncias](#def-b3-milky-way-galaxies-ladder) e o valor inferido do fundo cósmico de micro-ondas com o modelo cosmológico padrão.

**Dados de 2022.**

As cefeidas das hospedeiras de 42 supernovas do tipo Ia, ancoradas nas paralaxes da Gaia, nos máseres de NGC 4258 e nas binárias eclipsantes da Grande Nuvem de Magalhães, dão $H_0 = (73.04 \pm 1.04)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Mpc}^{-1}$. A [ponta do ramo das gigantes vermelhas](#def-b3-milky-way-galaxies-trgb), calibrando cerca de uma centena de supernovas, deu em 2019 $H_0 = 69.8 \pm 0.8 \pm 1.7\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Mpc}^{-1}$ (estatístico e sistemático). O mapa do satélite Planck do fundo cósmico de micro-ondas, lido com o modelo cosmológico padrão, implica $H_0 = (67.4 \pm 0.5)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Mpc}^{-1}$. O valor das cefeidas e o valor do fundo diferem por cinco desvios-padrão; o valor da TRGB situa-se entre eles. A origem da discrepância não é conhecida: um erro ainda não encontrado em um dos degraus, ou física ausente no modelo.

**No laboratório — Um satélite astrométrico e seu catálogo.**

O satélite Gaia varre o céu seguindo um padrão programado, de modo que cada estrela é medida várias vezes ao longo da missão. No solo, as unidades de coordenação de um consórcio de processamento de dados transformam essas medições em uma posição, uma paralaxe e um movimento próprio para cada uma de mais de um bilhão de fontes: dos pequenos deslocamentos de uma estrela no céu, a paralaxe é a parte que se repete a cada ano, e o movimento próprio é a parte que se acumula. Cada catálogo é divulgado com artigos que descrevem seu processamento e sua validação, e toda distância nas figuras desta seção que se apoia em uma paralaxe se apoia em um desses catálogos.

**Dados de 2022.**

O terceiro catálogo do Gaia, divulgado em 13 de junho de 2022 a partir de 34 meses de observações, fornece posições, paralaxes e movimentos próprios para cerca de 1.46 bilhão de fontes, de magnitude 3 a 21, e velocidades radiais médias para 33 milhões de estrelas. Suas incertezas de paralaxe são de 0.02 a $0.03\,\mathrm{mas}$ para estrelas mais brilhantes que a magnitude 15, $0.07\,\mathrm{mas}$ na magnitude 17, e $0.5\,\mathrm{mas}$ na magnitude 20.

## 29.5 Exercícios

**Exercício 29.1 ★.**

O ano galáctico do Sol. (a) Com $R_0 = 8.178\,\mathrm{kpc}$ e $V_0 = 229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, calcule o período da órbita do Sol em torno do Centro Galáctico, em milhões de anos. (b) Quantas voltas o Sol deu desde a formação do Sistema Solar, há $4.54\,\mathrm{Gyr}$?

**Solução de Exercício 29.1.**

(a) $2\pi R_0 = 2\pi\times2.523 \times 10^{17}\,\mathrm{km} = 1.585 \times 10^{18}\,\mathrm{km}$; com $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, isso leva $6.92 \times 10^{15}\,\mathrm{s}$, ou seja $219\,\mathrm{Myr}$. (b) $4540/219 = 20.7$: cerca de vinte voltas.

**Exercício 29.2 ★.**

O movimento de reflexo de Sgr A*. (a) Um movimento próprio de $1\,\mathrm{mas}$ por ano a $1\,\mathrm{kpc}$ equivale a uma velocidade transversal de $1\,\mathrm{au}$ por ano: exprima-a em quilômetros por segundo. (b) Sgr A*, suposto em repouso no Centro Galáctico a $8.178\,\mathrm{kpc}$, desloca-se ao longo do plano galáctico em $6.411\,\mathrm{mas}$ por ano. Calcule a velocidade do Sol em torno do centro e compare-a com o valor de revisão, $(248 \pm 3)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. (c) Subtraia o movimento peculiar do Sol na direção de rotação, $11\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, e compare com $V_0$ obtido da [curva de rotação](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve).

**Solução de Exercício 29.2.**

(a) $1\,\mathrm{au}/1\,\mathrm{yr} = 1.496 \times 10^{8}/3.156 \times 10^{7} =
4.74\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) $v = 4.74\times6.411\times8.178 =
248.5\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, dentro do intervalo da revisão, $(248 \pm 3)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. (c) $248.5 - 11 = 237.5\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, cerca de $8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ acima dos $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ das gigantes vermelhas: os dois dependem de valores distintos de $R_0$ (8.178 e $8.122\,\mathrm{kpc}$), e o próprio [padrão local de repouso](#def-b3-milky-way-galaxies-lsr) (LSR) pode ter um movimento de até cerca de $15\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ em relação a uma órbita de fato circular.

**Exercício 29.3 ★.**

Classificação das elípticas. (a) As isofotas de uma [galáxia elíptica](#def-b3-milky-way-galaxies-types) têm razão entre os eixos de 0.6: dê sua classe. (b) Qual é a razão entre os eixos de uma E7? (c) Por que uma galáxia E0 pode ser um sistema achatado?

**Solução de Exercício 29.3.**

(a) $n = 10(1 - 0.6) = 4$: E4. (b) $b/a = 1 - 7/10 = 0.3$. (c) A classificação usa a razão axial aparente: um elipsoide achatado visto ao longo de seu eixo menor tem contorno circular e é classificado como E0.

**Exercício 29.4 ★.**

Âncoras. Calcule as distâncias da Grande Nuvem de Magalhães ($\mu = 18.477$), de Andrômeda ($\mu = 24.47$) e de NGC 4258 ($\mu = 29.398$). Que paralaxe teria uma estrela da Nuvem, e por que a distância da Nuvem não pode ser medida por paralaxes?

**Solução de Exercício 29.4.**

$d = 10^{\mu/5 + 1}$ pc: a LMC $49.6\,\mathrm{kpc}$, Andrômeda $783\,\mathrm{kpc}$, NGC 4258 $7.58\,\mathrm{Mpc}$. Uma estrela da Nuvem tem uma paralaxe de $1/49.6\,\mathrm{kpc} = 0.020\,\mathrm{mas}$, a ordem de grandeza da melhor incerteza do catálogo para estrelas brilhantes: uma única paralaxe não fornece distância alguma, e a Nuvem é situada por outros meios (binárias de eclipse), a partir das quais começa a escala das cefeidas.

**Exercício 29.5 ★★.**

A partir das [constantes de Oort](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve) $A = 15.3\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$ e $B = -11.9\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$: (a) calcule a velocidade angular do [padrão local de repouso](#def-b3-milky-way-galaxies-lsr) e, com $R_0 = 8.178\,\mathrm{kpc}$, a velocidade circular $V_0$; (b) calcule a inclinação da [curva de rotação](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve) no Sol. (c) Compare com a [curva de rotação](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve) das gigantes vermelhas ($V_0 = 229.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, inclinação $-1.7\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ por quiloparsec) e sugira por que as duas diferem, dado que a mesma medição encontrou $C$ e $K$ não nulos.

**Solução de Exercício 29.5.**

(a) $\omega_0 = A - B = 27.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$ e $V_0 =
27.2\times8.178 = 222\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) $V'_0 = -(A + B) =
-3.4\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$: uma curva de leve queda. (c) Ambos estão abaixo dos valores das gigantes vermelhas (229 e $-1.7\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ por quiloparsec); os autores dessa curva encontraram o mesmo, com $V_0$ cerca de dois desvios-padrão abaixo, a partir de $R_0$ e dessas [constantes de Oort](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve). As fórmulas supõem órbitas circulares em um disco axissimétrico; $C$ e $K$ não nulos mostram que o campo local de velocidades é perturbado pela barra e pelos braços espirais, e os valores locais de $A$ e $B$ carregam essas perturbações.

**Exercício 29.6 ★★.**

Uma [curva de rotação](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve) plana e a densidade local. (a) Para uma galáxia esférica com [curva de rotação](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve) plana em $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, calcule a densidade a $8.178\,\mathrm{kpc}$, em massas solares por parsec cúbico ($G = 4.301 \times 10^{-6}\,\mathrm{kpc}\,(\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1})^{2}$ por massa solar). (b) Mostre que uma massa solar por parsec cúbico equivale a $37.96\,\mathrm{GeV}\,\mathrm{cm}^{-3}$, e exprima a densidade local de matéria escura, $0.30\,\mathrm{GeV}\,\mathrm{cm}^{-3}$, em massas solares por parsec cúbico. (c) Por que a densidade de (a) é maior?

**Solução de Exercício 29.6.**

(a) $\rho = V^2/(4\pi GR^2) = 229^2/(4\pi\times4.301 \times 10^{-6}\times
8.178^2) = 1.45 \times 10^{7}$ massas solares por quiloparsec cúbico, ou $0.0145$ por parsec cúbico. (b) $M_\odot c^2 = 1.9884 \times 10^{30}\times
(2.998 \times 10^{8})^2 = 1.787 \times 10^{47}\,\mathrm{J} = 1.115 \times 10^{57}\,\mathrm{GeV}$, e $1\,\mathrm{pc}^{3} = (3.0857 \times 10^{18}\,\mathrm{cm})^3 = 2.938 \times 10^{55}\,\mathrm{cm}^{3}$: a razão é $37.96\,\mathrm{GeV}\,\mathrm{cm}^{-3}$. Então $0.30/37.96 = 0.0079$ massas solares por parsec cúbico. (c) A densidade da curva plana conta toda a massa que sustenta as órbitas, estrelas e gás incluídos, como se estivesse espalhada em uma esfera; a matéria escura é apenas parte dela, cerca de metade aqui.

**Exercício 29.7 ★★.**

Uma distância por cefeida. Em uma [galáxia espiral](#def-b3-milky-way-galaxies-types) inventada, uma cefeida de período $30\,\mathrm{d}$ tem índice de Wesenheit médio $W_I = 25.00\,\mathrm{mag}$. (a) Usando a [lei de Leavitt](#def-b3-milky-way-galaxies-cepheid) da Grande Nuvem de Magalhães, $W_I = -3.314\log_{10}P + 15.888$, e o módulo de distância da Nuvem 18.477, calcule a magnitude de Wesenheit absoluta da cefeida. (b) Calcule a distância da galáxia. (c) A dispersão da lei é $0.077\,\mathrm{mag}$: qual é o erro relativo de distância a partir de uma cefeida, e a partir de cinquenta?

**Solução de Exercício 29.7.**

(a) $W_I(\mathrm{LMC}) = -3.314\times1.4771 + 15.888 = 10.993\,\mathrm{mag}$, logo $M_W = 10.993 - 18.477 = -7.484\,\mathrm{mag}$. (b) $\mu = 25.00 + 7.484 =
32.484$ e $d = 10^{32.484/5 + 1}~\mathrm{pc} = 31.4\,\mathrm{Mpc}$. (c) $\delta d/d = (\ln 10/5)\,\delta\mu = 0.4605\times0.077 =
3.5\,\%$ para uma estrela, $3.5/\sqrt{50} = 0.5\,\%$ para cinquenta, se os erros forem independentes (o erro da distância própria da Nuvem se soma igualmente a todas elas).

**Exercício 29.8 ★★.**

Uma distância pelo TRGB. No halo de uma galáxia inventada, a [ponta do ramo das gigantes vermelhas](#def-b3-milky-way-galaxies-trgb) é encontrada em $I = 26.00\,\mathrm{mag}$; a poeira ao longo da linha de visada atenua a banda I em $0.05\,\mathrm{mag}$. Com $M_I = -4.05$, calcule o módulo de distância e a distância. O que significa, em distância, uma incerteza de $0.04\,\mathrm{mag}$ na ponta?

**Solução de Exercício 29.8.**

$\mu = I - A_I - M_I = 26.00 - 0.05 + 4.05 = 30.00$, logo $d =
10^{7}~\mathrm{pc} = 10.0\,\mathrm{Mpc}$. Um erro de $0.04\,\mathrm{mag}$ equivale a $0.4605\times0.04 = 1.8\,\%$ em distância.

**Exercício 29.9 ★★.**

A constante de Hubble a partir de supernovas. Para uma supernova da expansão suave, $\log_{10}(cz) - 0.2\,m_B = a_B$, o intercepto do diagrama de Hubble das supernovas, e o módulo de distância é $m_B - M_B = 5\log_{10}(d/\mathrm{Mpc}) + 25$. (a) Mostre que $\log_{10}H_0 = 0.2\,M_B + a_B + 5$ ($H_0$ em quilômetros por segundo por megaparsec). (b) Com $M_B = -19.253$ e $a_B = 0.714158$, calcule $H_0$. (c) Qual $M_B$ daria $H_0 = 67.4\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Mpc}^{-1}$? Em quantas magnitudes, e em que fração das distâncias, as duas calibrações diferem?

**Solução de Exercício 29.9.**

(a) $d = cz/H_0$ resulta em $5\log_{10}d = 5\log_{10}(cz) - 5\log_{10}H_0$, logo $m_B - M_B - 25 = 5\log_{10}(cz) - 5\log_{10}H_0$; com $\log_{10}(cz) = a_B + 0.2\,m_B$, $5\log_{10}H_0 = 5a_B + M_B + 25$, o que é o resultado. (b) $\log_{10}H_0 = -3.8506 + 0.714158 + 5 = 1.8636$, logo $H_0 = 73.04\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Mpc}^{-1}$. (c) $M_B = 5(\log_{10}67.4 -
5.714158) = -19.427\,\mathrm{mag}$: supernovas mais brilhantes em $0.174\,\mathrm{mag}$, logo todas as distâncias maiores por um fator $10^{0.2\times0.174} = 1.084$, a razão $73.04/67.4$. A tensão é uma discordância de oito por cento na escala de distâncias.

**Exercício 29.10 ★★★.**

De onde vem a lei de Tully–Fisher. (a) Uma galáxia de disco de massa $M$ e raio $R$ gira com velocidade $V$: mostre que $M \approx RV^2/G$. (b) Se todas as galáxias espirais tivessem a mesma densidade superficial média $\Sigma = M/(\pi R^2)$, mostre que $M \propto V^4$. (c) Duas galáxias inventadas, sobre a mesma relação bariônica, giram a 100 e $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$: qual é a razão entre suas massas? (d) Duas galáxias giram com a mesma velocidade e têm a mesma luminosidade; uma delas tem quatro vezes o fluxo da outra. Compare suas distâncias.

**Solução de Exercício 29.10.**

(a) Uma estrela na borda, em órbita circular, tem $V^2/R \approx GM/R^2$ (aproximação esférica). (b) $R = \sqrt{M/(\pi\Sigma)}$, logo $V^2 =
GM/R = G\sqrt{\pi\Sigma}\,M^{1/2}$ e $M = V^4/(\pi\Sigma G^2) \propto
V^4$; com uma razão massa-luminosidade comum, $L \propto V^4$ também. (c) $(100/229)^4 = 0.036$: a galáxia mais rápida é 27 vezes mais massiva. (d) Mesma luminosidade: o fluxo cai com $1/d^2$, logo a mais fraca está duas vezes mais distante.

**Exercício 29.11 ★★★.**

O problema do enrolamento. Um disco gira com [curva de rotação](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve) plana a $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. (a) Converta esta velocidade para quiloparsecs por bilhão de anos. (b) Um braço reto de estrelas se estende, no instante zero, de 4 a $12\,\mathrm{kpc}$. Calcule os períodos orbitais nas duas extremidades. (c) Após $1\,\mathrm{Gyr}$, de que ângulo a extremidade interna avançou em relação à extremidade externa? Quantas voltas de espiral isso corresponde, e qual seria o aspecto do braço? (d) Como uma onda de densidade evita isso?

**Solução de Exercício 29.11.**

(a) $1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1} = 1.0227\,\mathrm{kpc}\,\mathrm{Gyr}^{-1}$, logo $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ é $234.2\,\mathrm{kpc}\,\mathrm{Gyr}^{-1}$. (b) $2\pi R/V$: $107\,\mathrm{Myr}$ a $4\,\mathrm{kpc}$, $322\,\mathrm{Myr}$ a $12\,\mathrm{kpc}$. (c) $\Delta\phi = Vt\,(1/4 - 1/12) = 234.2\times0.1667 = 39.0\,\mathrm{rad}$, 6.2 voltas: o braço seria uma espiral de seis voltas apertadas entre 4 e $12\,\mathrm{kpc}$, muito mais fechada que os braços observados, e ainda mais a cada rotação adicional. (d) Em uma onda de densidade o padrão gira com uma única velocidade angular, como corpo rígido; as estrelas e o gás atravessam-no, logo a forma dos braços não se enrola.

**Exercício 29.12 ★★★.**

O buraco negro no centro. Tome a massa central como $4.2 \times 10^{6}$ massas solares e $R_0 = 8178\,\mathrm{pc}$. (a) A estrela S2 orbita-o em $16$ anos: calcule o semieixo maior de sua órbita em unidades astronômicas (terceira lei de Kepler em unidades solares, $a^3 = MP^2$ com $a$ em au, $P$ em anos e $M$ em massas solares) e seu tamanho angular visto da Terra. (b) Calcule o raio de Schwarzschild do buraco negro em metros e em unidades astronômicas, e o ângulo que seu diâmetro subentende da Terra, em microssegundos de arco. (c) Calcule a densidade média da massa dentro de seu raio de Schwarzschild, em massas solares por parsec cúbico, e compare-a com o limite inferior definido pelo movimento de Sgr A*, $4 \times 10^{23}$ massas solares por parsec cúbico.

**Solução de Exercício 29.12.**

(a) $a = (4.2\times10^6\times16^2)^{1/3} = 1024\,\mathrm{au}$; a $8178\,\mathrm{pc}$, ele subtende $1024/8178 = 0.125{}^{\prime\prime}$ (uma au a um parsec subtende um arco-segundo). (b) $R_S = 2GM/c^2 = 2\times6.674 \times 10^{-11}
\times8.35 \times 10^{36}/(2.998 \times 10^{8})^2 = 1.24 \times 10^{10}\,\mathrm{m} = 0.083\,\mathrm{au}$; o diâmetro $2R_S$ subtende $0.166/8178 = 2.0 \times 10^{-5}$ arco-segundo, cerca de $20\,\text{µ}\mathrm{as}$. (c) $R_S = 4.02 \times 10^{-7}\,\mathrm{pc}$, e $M/(\tfrac43\pi
R_S^3) = 1.5 \times 10^{25}$ massas solares por parsec cúbico, quarenta vezes o limite inferior imposto pelo movimento e pelo tamanho de Sgr A*: o limite chega a menos de um fator quarenta da densidade do próprio buraco negro.

## 29.6 Problema: pesando a Galáxia

**Problema 29.1.**

Problema de fim de semana — a partir dos movimentos das estrelas e do gás até a matéria escura dentro de $20\,\mathrm{kpc}$

Tome $R_0 = 8.18\,\mathrm{kpc}$, $G = 4.301 \times 10^{-6}\,\mathrm{kpc}\,(\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1})^{2}$ por massa solar, e $4.74\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ para um movimento próprio de $1\,\mathrm{mas}$ por ano a $1\,\mathrm{kpc}$. Todas as velocidades são relativas ao LSR. Use os teoremas de Oort e do ponto tangente do capítulo, e a aproximação esférica $M = RV^2/G$ para massas dinâmicas.

**Parte I — A rotação local.** Um levantamento inventado de estrelas do red clump, todas a $d = 1.00\,\mathrm{kpc}$ no plano galáctico, fornece uma velocidade radial média de $+15.4\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ em $\ell = 45{}^{\circ}$ e $-15.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ em $\ell = 135{}^{\circ}$, e movimentos próprios médios em longitude de $-5.91\,\mathrm{mas}$ por ano em $\ell = 90{}^{\circ}$ e $+0.55\,\mathrm{mas}$ por ano em $\ell = 0{}^{\circ}$.

1. O que a fórmula de Oort prevê para as velocidades radiais em $\ell = 45{}^{\circ}$ , $90{}^{\circ}$ , $135{}^{\circ}$ e $180{}^{\circ}$ ?
2. Calcule $A$ a partir das duas velocidades radiais.
3. Calcule $B$ a partir do movimento próprio em $\ell = 90{}^{\circ}$ .
4. Calcule $B$ novamente a partir do movimento próprio em $\ell = 0{}^{\circ}$ , e compare.
5. Calcule a velocidade angular do LSR e a velocidade circular $V_0$ .
6. Calcule a inclinação da [curva de rotação](#def-b3-milky-way-galaxies-rotation-curve) no Sol. A curva é crescente, plana ou decrescente?
7. Calcule o período da órbita do Sol e o número de voltas em $4.54\,\mathrm{Gyr}$ .

**Parte II — A curva de rotação interna.** Tome $V_0 = 229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. As maiores velocidades radiais nos perfis de 21 cm em $\ell = 40{}^{\circ}$, $50{}^{\circ}$, $60{}^{\circ}$ e $70{}^{\circ}$ são 82.9, 55.6, 32.4 e $14.9\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

8. Por que o método do ponto tangente precisa de $0{}^{\circ} < \ell < 90{}^{\circ}$ (ou do quadrante espelhado), e por que ele falha além do círculo solar?
9. Calcule o raio do ponto tangente para cada longitude.
10. Calcule $V(R)$ em cada ponto tangente.
11. De quanto, em quilohertz, a linha do gás no ponto tangente em $\ell = 40{}^{\circ}$ está deslocada de sua frequência de repouso, $1420.405\,751\,\mathrm{MHz}$ , e em que sentido?
12. Compare com a curva das gigantes vermelhas, que fornece $226.8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ em $5.27\,\mathrm{kpc}$ e $229.6\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ em $7.22\,\mathrm{kpc}$ . A curva interna é crescente, plana ou decrescente?
13. Se a velocidade no ponto tangente em $\ell = 40{}^{\circ}$ fosse a de uma massa pontual no centro levando o Sol a $V_0$ , qual seria ela? O que a comparação diz sobre a distribuição da massa?

**Parte III — A massa visível.** Use o modelo de massa do capítulo, em unidades de massas solares e quiloparsecs: um bojo de Plummer $M = 1.067 \times 10^{10}$, $b = 0.3$; um disco fino de Miyamoto–Nagai $M = 3.944 \times 10^{10}$, $a = 5.3$, $b = 0.25$; um [disco espesso](#def-b3-milky-way-galaxies-structure) de mesma massa com $a = 2.6$, $b = 0.8$.

14. Calcule a massa visível total do modelo e compare-a com o valor de revisão da massa estelar da Galáxia, $(5 \pm 1 \times 10^{10})\,$ massas solares.
15. Calcule a velocidade circular só do bojo a $20\,\mathrm{kpc}$ .
16. Calcule as do disco fino e as do [disco espesso](#def-b3-milky-way-galaxies-structure) a $20\,\mathrm{kpc}$ .
17. Calcule a velocidade circular de toda a massa visível a $20\,\mathrm{kpc}$ .
18. Calcule o mesmo em $R_0$ e compare com $V_0$ .
19. Se toda a massa visível estivesse concentrada no centro, qual seria a velocidade a $20\,\mathrm{kpc}$ ? Por que o valor do modelo fica próximo dela?

**Parte IV — A matéria escura.** As gigantes vermelhas fornecem uma velocidade circular de $200\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ a $20\,\mathrm{kpc}$.

20. Calcule a massa dinâmica dentro de $20\,\mathrm{kpc}$ .
21. Calcule a massa dinâmica da matéria visível dentro de $20\,\mathrm{kpc}$ .
22. Calcule a massa de matéria escura dentro de $20\,\mathrm{kpc}$ e mostre que sua fração é $1 - (V_\mathrm{vis}/V)^2$ .
23. O halo NFW ajustado à curva inteira tem $\rho_0 = 1.06 \times 10^{7}$ massas solares por quiloparsec cúbico e $R_s = 14.8\,\mathrm{kpc}$ . Calcule sua massa dentro de $20\,\mathrm{kpc}$ e a fração de matéria escura que ele implica. Por que ela difere da resposta anterior?
24. Calcule a densidade desse halo em $R_0$ , em massas solares por parsec cúbico e em $\mathrm{GeV}\,\mathrm{cm}^{-3}$ (uma massa solar por parsec cúbico equivale a $37.96\,\mathrm{GeV}\,\mathrm{cm}^{-3}$ ).
25. Dê a fração de matéria escura da massa dentro de $20\,\mathrm{kpc}$ obtida a partir da velocidade medida, em por cento, com dois algarismos significativos.

**Solução de Problema 29.1.**

**Parte I.**

**1.** $v_r = A\,d\sin2\ell$: $+A d$ em $45{}^{\circ}$, 0 em $90{}^{\circ}$, $-A d$ em $135{}^{\circ}$, 0 em $180{}^{\circ}$.

**2.** $A = (15.4 + 15.2)/(2\times1.00\,\mathrm{kpc}) =
15.3\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$.

**3.** Em $90{}^{\circ}$, $v_t = d(B - A) = 4.74\times(-5.91)\times1.00 =
-28.02\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, logo $B = 15.3 - 28.02 =
-12.72\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$.

**4.** Em $0{}^{\circ}$, $v_t = d(A + B) = 4.74\times0.55 =
2.61\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, logo $B = 2.61 - 15.3 = -12.69$: os dois concordam dentro de $0.03$.

**5.** $\omega_0 = A - B = 28.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$ e $V_0 = 28.0\times8.18 = 229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**6.** $V'_0 = -(A + B) = -2.6\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$: decrescendo suavemente.

**7.** $P = 2\pi/\omega_0$: $2\pi\times8.18\,\mathrm{kpc}/229.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}
= 219\,\mathrm{Myr}$; $4540/219 = 20.7$ voltas.

**Parte II.**

**8.** O ponto tangente exige uma linha de visada que passe mais perto do centro do que o Sol está, $\sin\ell > 0$ com $\ell < 90{}^{\circ}$ (ou o quadrante espelhado, $270{}^{\circ} < \ell < 360{}^{\circ}$, onde a maior velocidade é a mais negativa). Fora do círculo solar, a distância ao centro cresce ao longo de toda a linha de visada: nenhum ponto é destacado, e a velocidade sozinha não diz onde está o gás.

**9.** $R = 8.18\sin\ell$: $5.26\,\mathrm{kpc}\text{, }6.27\,\mathrm{kpc}\text{, }7.08\,\mathrm{kpc}\text{ e }7.69\,\mathrm{kpc}$.

**10.** $V = v_\mathrm{max} + V_0\sin\ell$: $82.9 + 147.2 = 230.1$, $55.6 + 175.4 = 231.0$, $32.4 + 198.3 = 230.7$, $14.9 + 215.2 =
230.1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**11.** $\Delta\nu = \nu v/c = 1.420\,406 \times 10^{9}\times82.9/299792 =
393\,\mathrm{kHz}$, em direção a frequências mais baixas: o gás se afasta.

**12.** Dentro de cerca de $3\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ das gigantes vermelhas: entre 5 e $8\,\mathrm{kpc}$ a curva é plana.

**13.** Uma massa pontual dá $V = V_0\sqrt{R_0/R} = 229\times\sqrt{8.18/5.26} =
286\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ no primeiro ponto tangente, muito mais rápido do que a $230\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ encontrada: a massa não está concentrada no centro, grande parte dela está entre 5 e $8\,\mathrm{kpc}$ e além.

**Parte III.**

**14.** $1.067 \times 10^{10} + 2\times3.944 \times 10^{10} = 8.96 \times 10^{10}$ massas solares, quase o dobro do valor da revisão $5 \pm 1 \times 10^{10}$; as estrelas do modelo podem ser pesadas demais, o que faria a matéria escura encontrada abaixo ser uma subestimativa.

**15.** $V_b^2 = GMR^2/(R^2 + b^2)^{3/2} = 4.301 \times 10^{-6}\times1.067 \times 10^{10}
\times400/(400.09)^{3/2}$, $V_b = 47.9\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**16.** Disco fino: $(a + b)^2 = 30.80$, $V^2 = 4.301 \times 10^{-6}\times3.944 \times 10^{10}
\times400/(430.8)^{3/2}$, $V = 87.1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. [Disco espesso](#def-b3-milky-way-galaxies-structure): $(a + b)^2 = 11.56$, $V = 90.1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**17.** $V_\mathrm{vis} = \sqrt{47.9^2 + 87.1^2 + 90.1^2} =
134.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**18.** Em $8.18\,\mathrm{kpc}$: 74.8, 108.4 e $127.8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, no total $183.5\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, frente a $V_0 = 229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$: a massa visível já fica aquém no Sol.

**19.** $\sqrt{G\times8.96 \times 10^{10}/20} = 138.8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. O valor do modelo, $134.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, está próximo, porque em $20\,\mathrm{kpc}$, quatro a seis comprimentos de escala do disco para fora, quase toda a massa visível está dentro da órbita: a curva visível tornou-se kepleriana.

**Parte IV.**

**20.** $M = 20\times200^2/4.301 \times 10^{-6} = 1.860 \times 10^{11}$ massas solares.

**21.** $M_\mathrm{vis} = 20\times134.2^2/4.301 \times 10^{-6} = 8.37 \times 10^{10}$ massas solares.

**22.** $M_\mathrm{dark} = 1.860 \times 10^{11} - 8.37 \times 10^{10} = 1.02 \times 10^{11}$; já que ambas as massas são $RV^2/G$ no mesmo $R$, a fração é $1 - (V_\mathrm{vis}/V)^2 = 1 - (134.2/200)^2 = 0.550$.

**23.** $x = 20/14.8 = 1.351$, $\ln(2.351) - 1.351/2.351 = 0.8549 - 0.5748
= 0.2801$, $M = 4\pi\times1.06 \times 10^{7}\times14.8^3\times0.2801 =
1.21 \times 10^{11}$ massas solares; a fração escura é $1.21/(1.21 + 0.837) = 0.59$. O halo é ajustado a toda a curva, a qual ele superestima a $20\,\mathrm{kpc}$: as medições caem ali cerca de $10\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ abaixo do modelo suave ($209\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$).

**24.** $x = 8.18/14.8 = 0.553$, $\rho = 1.06 \times 10^{7}/(0.553\times1.553^2)
= 7.95 \times 10^{6}$ massas solares por quiloparsec cúbico, $0.0080$ por parsec cúbico, ou $0.30\,\mathrm{GeV}\,\mathrm{cm}^{-3}$, o valor que os autores do ajuste citam.

**25.** $1 - 8.37/18.60 = 0.550$: a fração de matéria escura da massa dentro de $20\,\mathrm{kpc}$ é **$55\,\%$**.