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title: "Métodos de campo e de laboratório III"
book: "Ciências da Terra e do espaço universitárias — 3.º ano"
subject: earth
language: pt
chapter: 31
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/earth/5/pt/chapter/31-metodos-de-campo-e-de-laboratorio-iii
license: CC-BY-NC-SA-4.0
credit: "One Earth and Space Sciences Book, One Course (one-course.com)"
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# Capítulo 31 — Métodos de campo e de laboratório III

Uma equipe de geofísica passa uma semana no vale de Varden Hills, a região fictícia cujo mapa geológico o volume do primeiro ano desenhou em seu capítulo sobre mapas geológicos. O mapa mostra um granito aflorando nas encostas do vale, entre os xistos, sob o arenito que repousa sobre ambos. Onde o granito segue sob a cobertura, até onde se estende e até que profundidade alcança, ninguém viu. A equipe leva um gravímetro, dois magnetômetros, um cabo de eletrodos e um radar sobre um carrinho pequeno. Nenhum desses instrumentos enxerga uma rocha: cada um mede um campo na superfície—gravidade, o campo magnético, um potencial elétrico, o eco de um pulso de rádio—que as rochas abaixo perturbam. Ao fim da semana, a equipe consegue desenhar o granito que nunca viu, dizer quão profundo é o aluvião do fundo do vale e relatar um corpo magnético que nenhum mapa mostrava.

Este capítulo acompanha essa semana. Ele trata cada método em sequência, como uma medida com suas correções e como um [problema direto](https://one-course.com/books/earth/5/pt/chapter/1-sismologia-e-imageamento-da-terra#def-b3-seismology-imaging-inverse) com alguns corpos cujos campos podem ser calculados exatamente; depois, expõe-se como os erros de um levantamento se somam e por que um único tipo de dado raramente determina um modelo; e termina com o levantamento de Varden, em que os métodos são reunidos.

**O que você já sabe.**

A anomalia da gravidade, as correções de ar livre e de Bouguer e suas anomalias e a gravidade normal estão no volume do primeiro ano, em seu capítulo sobre isostasia e gravidade; o ciclo de levantamento de um [gravímetro relativo](#def-b3-field-lab-methods-3-gravimeter) é descrito no [Capítulo 3](https://one-course.com/books/earth/5/pt/chapter/3-gravidade-e-a-figura-da-terra#ch-b3-gravity-geodesy). O campo principal, sua inclinação, a [fórmula do dipolo](https://one-course.com/books/earth/5/pt/chapter/4-geomagnetismo-e-paleomagnetismo#thm-b3-palaeomagnetism-dipole) e o [Campo Geomagnético Internacional de Referência](https://one-course.com/books/earth/5/pt/chapter/4-geomagnetismo-e-paleomagnetismo#def-b3-palaeomagnetism-igrf) estão no [Capítulo 4](https://one-course.com/books/earth/5/pt/chapter/4-geomagnetismo-e-paleomagnetismo#ch-b3-palaeomagnetism). Resistividade, lei de Ohm, a permissividade relativa, as ondas eletromagnéticas, a magnetização e a suscetibilidade magnética estão nos livros de física, e o teorema de Gauss para a gravidade, junto com eles. Os [levantamentos de refração sísmica](https://one-course.com/books/earth/5/pt/chapter/2-sismologia-de-exploracao#def-b3-exploration-seismology-surveys) estão no [Capítulo 2](https://one-course.com/books/earth/5/pt/chapter/2-sismologia-de-exploracao#ch-b3-exploration-seismology); [problemas diretos](https://one-course.com/books/earth/5/pt/chapter/1-sismologia-e-imageamento-da-terra#def-b3-seismology-imaging-inverse) e inversos e mínimos quadrados ponderados estão no [Capítulo 1](https://one-course.com/books/earth/5/pt/chapter/1-sismologia-e-imageamento-da-terra#ch-b3-seismology-imaging); a porosidade, nos volumes escolares, e os perfis a cabo, no [Capítulo 17](https://one-course.com/books/earth/5/pt/chapter/17-modelos-de-facies#ch-b3-facies-models). A propagação de incertezas está nos livros de química e de matemática.

## 31.1 Levantamentos gravimétricos

As anomalias que um levantamento gravimétrico procura são pequenas. A gravidade no equador é de cerca de $978\,000\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; grandes estruturas a alteram em centenas de miligals, um domo de sal em cerca de dez, um corpo de minério em cerca de um, e os alvos de um levantamento geotécnico em alguns centésimos. Geofísicos medem em miligals, ou em unidades de gravidade de $0.1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; um levantamento útil precisa resolver diferenças de uma parte em cem milhões de $g$.

**Definição 31.1 (Gravímetro relativo; deriva instrumental).**

Um *gravímetro relativo* é um instrumento que mede diferenças de gravidade entre estações: uma massa presa a uma mola, mantida em posição nula por uma segunda força ajustável, cuja leitura no mostrador, multiplicada por uma constante de calibração, fornece a gravidade em miligals, a menos de uma constante desconhecida. Sua *deriva instrumental* é a lenta variação de sua leitura em uma estação fixa, causada pela fluência da mola, pela temperatura e por choques; mede-se relendo, após algumas horas, uma estação já lida, a *estação-base*.

Um gravímetro de campo cobre uma faixa de várias dezenas de milhares de miligals e lê, em seu melhor, cerca de $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; a faixa deve ser reiniciada após o transporte. Nessa precisão, a altura de cada estação importa tanto quanto sua leitura: $3.3\,\mathrm{cm}$ de erro de altura compromete $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, por isso as posições são levantadas com receptores de satélite ou com um nível, com precisão de centímetro. A estação-base é reocupada a cada duas horas. A maré terrestre sólida, que pode chegar a $0.3\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, muda lentamente o bastante nessas horas para ser removida junto com a deriva.

**Método 31.2 (Redução de um ciclo gravimétrico).**

Um ciclo começa e termina em uma estação-base, lida nos instantes $t_0$ e $t_1$.

1. Calcula-se a taxa de deriva $(r_1 - r_0)/(t_1 - t_0)$ a partir das duas leituras da base; ela inclui a maré.
2. Subtrai-se de cada leitura a deriva acumulada desde $t_0$ , $r - (t - t_0)(r_1 - r_0)/(t_1 - t_0)$ , e subtrai-se a leitura da base: isso é a gravidade relativa à base.
3. Corrige-se pela altura $\Delta h$ da estação acima da base: soma-se a correção de ar livre $0.3086\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1}  \times\Delta h$ e subtrai-se a correção de Bouguer $0.1119\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1}\times\Delta h$ (densidade $2670\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ ), isto é, soma-se $0.1967\,\Delta h$ .
4. Para uma estação a uma distância $\Delta y$ ao norte da base, subtrai-se a variação da gravidade normal, $0.811\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{km}^{-1}  \times\sin 2\varphi\times\Delta y$ .
5. Soma-se a [correção de terreno](#def-b3-field-lab-methods-3-terrain) de cada estação.

O resultado é a anomalia de Bouguer relativa à base. Amarrar a base a uma estação de gravidade absoluta conhecida fornece a própria anomalia.

A correção de Bouguer trata o terreno entre a estação e o nível de referência como uma laje plana. Em um relevo real, isso está errado de duas maneiras: um morro que se eleva acima da estação puxa para cima e reduz a leitura, e um vale que cai abaixo dela é contado na laje como uma rocha que não está lá.

**Definição 31.3 (Correção de terreno).**

A *correção de terreno* de uma estação de gravidade é a atração que os desvios do relevo em relação à laje de Bouguer exercem sobre ela: os morros acima do nível da estação, e os vales abaixo dele, contados com a densidade da laje. Ambos reduzem a gravidade medida em comparação com a laje, por isso a correção é sempre somada.

Ela era calculada à mão, com um ábaco de Hammer e tabelas, zona por zona afastando-se da estação; hoje ela é calculada a partir de um modelo digital de elevação. Longe de relevos íngremes, ela raramente excede $1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, mas as zonas próximas à estação são difíceis de acertar, e a correção raramente é conhecida com precisão melhor que $0.2\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

### 31.1.1 Anomalias de corpos simples

O [problema direto](https://one-course.com/books/earth/5/pt/chapter/1-sismologia-e-imageamento-da-terra#def-b3-seismology-imaging-inverse) da gravidade é uma soma: cada elemento de um corpo de contraste de densidade $\Delta\rho$ atrai a estação pela lei de Newton, e um levantamento mede a componente vertical da soma. Alguns corpos admitem solução em forma fechada.

**Teorema 31.4 (Esfera e cilindro horizontal).**

A uma distância horizontal $x$ do ponto acima de seu centro, uma esfera enterrada de excesso de massa $\Delta m$, cujo centro está à profundidade $z$, fornece a anomalia

$$
\Delta g(x) = \frac{G\,\Delta m\,z}{(x^2 + z^2)^{3/2}} ,
$$

e a anomalia cai à metade de seu pico em $x_{1/2} = z\sqrt{2^{2/3} - 1}$, de modo que $z = 1.305\,x_{1/2}$. Um cilindro horizontal longo de excesso de massa $\lambda$ por unidade de comprimento, com eixo à profundidade $z$, fornece, transversalmente à sua direção

$$
\Delta g(x) = \frac{2G\lambda z}{x^2 + z^2} ,
$$

e $z = x_{1/2}$.

**Demonstração.** Fora de uma esfera cuja densidade depende apenas da distância ao seu centro, a atração é a de sua massa concentrada no centro (o teorema das cascas, consequência do teorema de Gauss). Sua intensidade na estação é $G\Delta m/(x^2 + z^2)$, e a componente vertical carrega o fator $z/\sqrt{x^2 + z^2}$. Escrevendo $\Delta g(x_{1/2}) =
\Delta g(0)/2$ obtém-se $(1 + x_{1/2}^2/z^2)^{3/2} = 2$, daí a regra. Para o cilindro, o teorema de Gauss aplicado a um cilindro coaxial de raio $r$ fornece um campo $2G\lambda/r$, e a componente vertical $2G\lambda z/r^2$; metade do pico é atingida quando $x^2 + z^2 = 2z^2$. ∎

Um corpo que não é uma esfera ainda tem uma meia-largura, e a regra então fornece a profundidade de uma esfera equivalente, e não a do corpo. A regra é uma primeira estimativa, feita antes de qualquer modelo ser ajustado.

**Proposição 31.5 (Cilindro vertical sobre seu eixo).**

Um cilindro vertical de raio $a$ e contraste de densidade $\Delta\rho$, cujos topo e base estão às profundidades $z_1 < z_2$ abaixo da estação, fornece sobre seu eixo

$$
\Delta g = 2\pi G\Delta\rho\left[(z_2 - z_1) + \sqrt{z_1^2 + a^2}
           - \sqrt{z_2^2 + a^2}\right] .
$$

Para $a \to \infty$ trata-se da laje de Bouguer $2\pi G\Delta\rho(z_2 - z_1)$; para um cilindro da superfície a grande profundidade, ela tende a $2\pi G\Delta\rho\,a$.

**Demonstração.** Um disco de raio $a$ e espessura $\mathrm{d}z$ à profundidade $z$ atrai um ponto sobre seu eixo com $2\pi G\Delta\rho\,\mathrm{d}z\,(1 -
z/\sqrt{z^2 + a^2})$, a atração de um anel integrada sobre o raio. Integrando de $z_1$ a $z_2$ obtém-se o colchete. Quando $a \to
\infty$ com profundidades fixas, $\sqrt{z_1^2 + a^2} - \sqrt{z_2^2 + a^2} =
(z_1^2 - z_2^2)/(\sqrt{z_1^2 + a^2} + \sqrt{z_2^2 + a^2}) \to 0$; quando $z_1 = 0$ e $z_2 \to \infty$, $z_2 - \sqrt{z_2^2 + a^2} \to 0$ e o colchete tende a $a$. ∎

**Proposição 31.6 (Excesso de massa a partir de um mapa gravimétrico).**

Qualquer que seja a forma de um corpo que se situa inteiramente abaixo de um plano horizontal, seu excesso de massa é

$$
\Delta m = \frac{1}{2\pi G}\iint \Delta g\,\mathrm{d}A ,
$$

a integral estendendo-se a todo o plano.

**Demonstração.** Para uma massa pontual $m$ à profundidade $z$, sendo $r$ a distância horizontal, $\iint \Delta g\,\mathrm{d}A = \int_0^\infty
Gmz\,(r^2 + z^2)^{-3/2}\,2\pi r\,\mathrm{d}r = 2\pi Gm$: metade do fluxo $4\pi Gm$ do teorema de Gauss atravessa o plano. Um corpo é uma soma de massas pontuais, e a integral é linear. ∎

O teorema fornece a massa, nunca a forma; e um mapa cobre apenas parte do plano, enquanto a anomalia de um corpo profundo decai lentamente, de modo que a massa obtida de um mapa é pequena demais, a menos que suas bordas sejam estendidas por um modelo.

![O levantamento de Varden sobre o mapa geológico da região (desbotado: xisto cinza, granito rosa, arenito, calcário e folhelho da cobertura, aluvião ao longo do rio). Pontos pretos: as estações gravimétricas, 200\, m de distância; azul: a anomalia de Bouguer do modelo do granito, com isolinhas a cada 0.5\, m Gal; vermelho: o perfil gravimétrico; verde: a linha magnética e a sondagem elétrica (estrela) no fundo do vale; laranja tracejado: o dique de diabásio que o levantamento magnético encontra, enterrado sob a cobertura.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-field-lab-methods-3/fig-7b66359da376.svg)

*O levantamento de Varden sobre o mapa geológico da região (desbotado: xisto cinza, granito rosa, arenito, calcário e folhelho da cobertura, aluvião ao longo do rio). Pontos pretos: as estações gravimétricas, $200\,\mathrm{m}$ de distância; azul: a anomalia de Bouguer do modelo do granito, com isolinhas a cada $0.5\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; vermelho: o perfil gravimétrico; verde: a linha magnética e a sondagem elétrica (estrela) no fundo do vale; laranja tracejado: o dique de diabásio que o levantamento magnético encontra, enterrado sob a cobertura.*

### 31.1.2 O granito de Varden

O modelo do granito adotado pelos geólogos é um corpo elíptico abaixo da discordância, com $760\,\mathrm{m}$ de extensão leste–oeste e $1120\,\mathrm{m}$ norte–sul onde encontra a cobertura, alargando-se para baixo; nos flancos do vale ele chega à superfície. O granito é mais leve que o xisto: as faixas de densidade publicadas são $2.50\text{ a }2.81$ e $2.39\text{ a }2.80\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. O modelo do levantamento adota $2620\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ para o granito e $2750\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ para o xisto, um contraste de $-130\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, e limita o granito a $1500\,\mathrm{m}$ abaixo do nível do mar, uma suposição, já que nada mostra sua base. Dividido em $5533$ prismas retos cujas atrações têm forma fechada, o modelo fornece a anomalia do mapa acima: um mínimo fechado de $-2.29\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ sobre o centro do granito, com isolinhas alongadas norte–sul, como o corpo.

![A anomalia ao longo do perfil gravimétrico (azul), a esfera cuja profundidade e massa a regra da meia-largura fornece (vermelho tracejado), e um cilindro vertical da mesma área do granito na discordância, desde o solo até a base do modelo (verde pontilhado). A esfera coincide com o pico e a meia-largura por construção, mas não com os flancos; o cilindro, que ignora o alargamento do corpo, fica aquém no centro.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-field-lab-methods-3/fig-4cc1c07a0d12.svg)

*A anomalia ao longo do perfil gravimétrico (azul), a esfera cuja profundidade e massa a regra da meia-largura fornece (vermelho tracejado), e um cilindro vertical da mesma área do granito na discordância, desde o solo até a base do modelo (verde pontilhado). A esfera coincide com o pico e a meia-largura por construção, mas não com os flancos; o cilindro, que ignora o alargamento do corpo, fica aquém no centro.*

## 31.2 Levantamentos magnéticos

O campo principal da Terra é de cerca de $25\,000\,\mathrm{nT}$ no equador magnético e de cerca de $70\,000\,\mathrm{nT}$ próximo aos polos magnéticos. Rochas que contêm magnetita somam ao campo seu próprio campo, induzido pelo campo principal em proporção à sua suscetibilidade, ou remanente, adquirida no momento em que se formaram. Uma rocha ígnea félsica tem suscetibilidade abaixo de cerca de $2 \times 10^{-3}$, e uma máfica, de cerca de $2 \times 10^{-3}$ a $0.4$; na mesma escala, um por cento de magnetita em volume dá cerca de $0.03$.

**Definição 31.7 (Anomalia de campo total; correção diurna; redução ao polo).**

Seja $\mathbf{F}$ o campo principal no levantamento e $\Delta\mathbf{B}$ o campo das rochas magnetizadas.

- A *anomalia de campo total* é a intensidade medida menos a do campo principal, $\Delta T =  |\mathbf{F} + \Delta\mathbf{B}| - |\mathbf{F}|$ ; quando $|\Delta\mathbf{B}| \ll |\mathbf{F}|$ ela é a projeção $\Delta\mathbf{B}\cdot\mathbf{F}/|\mathbf{F}|$ .
- A *correção diurna* remove as variações do campo com o tempo: um magnetômetro em uma estação-base fixa registra o campo durante todo o levantamento, e cada leitura $T(t)$ do instrumento em movimento é substituída por $T(t) -  T_\mathrm{base}(t)$ .
- A *redução ao polo* calcula, a partir da anomalia medida, a anomalia que as mesmas rochas produziriam se o campo principal fosse vertical, como em um polo magnético; a anomalia fica então posicionada acima de sua fonte.

As variações com o tempo vêm de correntes na ionosfera, a cerca de $110\,\mathrm{km}$ de altitude. Em um dia, elas somam tipicamente algo entre $20\text{ a }50\,\mathrm{nT}$, tanto quanto a anomalia de um alvo pequeno; uma tempestade magnética pode alterar o campo em milhares de nanoteslas. A estação-base mede a variação, na suposição de que ela seja a mesma em todo o levantamento. O próprio campo principal, ou o campo de estruturas maiores que o levantamento, é removido com o IGRF, uma constante ou uma tendência ajustada.

Um magnetômetro de precessão de prótons mede a frequência com que os spins de prótons precessam no campo, frequência essa proporcional ao campo; ele lê até $1\,\mathrm{nT}$ e precisa de mais de um segundo por leitura. Um magnetômetro de césio bombeado opticamente é de dez a cem vezes mais sensível, lendo até $0.01\,\mathrm{nT}$. As estações devem estar próximas o bastante para colocar pelo menos cerca de três leituras ao longo da meia-largura da anomalia mais estreita que se procura, e quanto mais rasa a fonte, mais próximas devem estar.

**Proposição 31.8 (Anomalia de um dique delgado).**

Um dique vertical de espessura $t$ e suscetibilidade $\kappa$, de direção ao longo do meridiano magnético, com o topo à profundidade $z$ e estendendo-se em profundidade, magnetizado por indução em um campo principal $F$ de inclinação $I$, produz, transversalmente à direção, se $t \ll z$,

$$
\Delta T(x) = \frac{\kappa F t\sin^2 I}{2\pi}\,\frac{z}{x^2 + z^2} ,
$$

uma anomalia simétrica que cai à metade de seu pico em $x = \pm z$: a profundidade do topo do dique é a metade da largura total da anomalia medida à metade do pico.

**Demonstração.** O dique é bidimensional e o campo principal está no plano vertical que contém a direção. A magnetização $\mathbf{M} = \kappa\mathbf{F}/\mu_0$ tem uma componente ao longo da direção, cujos polos ficam nas extremidades do dique, distantes, e que não gera campo; e uma componente vertical $M
\sin I$, que coloca na face superior do dique uma carga magnética de $-Mt\sin I$ por unidade de comprimento (com $\mathbf{M}\cdot\mathbf{n}$ como a densidade de carga, $\mathbf{n}$ a normal externa), estando a face inferior distante. Uma carga linear $q$ por unidade de comprimento produz, pelo teorema de Gauss em duas dimensões, um campo $q/(2\pi r)$ ao longo do raio. Em uma estação em $(x, 0)$ acima de um topo em $(0, z)$, sua componente vertical para baixo é $Mt\sin I\,z/(2\pi(x^2 + z^2))$, e sua componente horizontal é transversal à direção, perpendicular a $\mathbf{F}$. Multiplicando por $\mu_0$ e projetando sobre $\mathbf{F}$, cuja componente vertical é $\sin I$, obtém-se $\Delta T$. A condição de metade do pico é $x^2 + z^2 =
2z^2$. ∎

Quando o dique tem direção transversal ao meridiano, as partes horizontais da magnetização e do campo principal estão ambas no plano do perfil, as faces laterais carregam cargas, e a anomalia torna-se assimétrica, com um mínimo do lado do polo. A figura abaixo calcula-a exatamente para um dique de largura finita, somando os campos fechados de suas quatro faces carregadas. A [redução ao polo](#def-b3-field-lab-methods-3-magnetic) transforma tal anomalia na simétrica de um campo vertical.

![Esquerda: a anomalia de campo total de um dique vertical de 20\, m de espessura, com o topo a 100\, m de profundidade, suscetibilidade 0.01, em um campo de 50\,000\, nT; em perfis transversais a uma direção L–O com inclinações de 90 e 60, e transversais a uma direção N–S a 60. À direita: as leituras ao longo da linha magnética de Varden, uma estação a cada 50\, m e a cada dois minutos, de oeste para leste, e a estação-base nos mesmos instantes (representada na posição que o instrumento em movimento ocupava naquele instante): a elevação diurna do campo é a metade da amplitude da anomalia.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-field-lab-methods-3/fig-0fc7b02f7f6e.svg)

*Esquerda: a [anomalia de campo total](#def-b3-field-lab-methods-3-magnetic) de um dique vertical de $20\,\mathrm{m}$ de espessura, com o topo a $100\,\mathrm{m}$ de profundidade, suscetibilidade $0.01$, em um campo de $50\,000\,\mathrm{nT}$; em perfis transversais a uma direção L–O com inclinações de $90{}^{\circ}$ e $60{}^{\circ}$, e transversais a uma direção N–S a $60{}^{\circ}$. À direita: as leituras ao longo da linha magnética de Varden, uma estação a cada $50\,\mathrm{m}$ e a cada dois minutos, de oeste para leste, e a estação-base nos mesmos instantes (representada na posição que o instrumento em movimento ocupava naquele instante): a elevação diurna do campo é a metade da amplitude da anomalia.*

## 31.3 Métodos elétricos

A resistividade tem uma faixa de variação mais ampla que qualquer outra propriedade das rochas: rochas ígneas e metamórficas não intemperizadas situam-se entre cerca de $1000$ e $100\,000\,\Omega\mathrm{m}$, folhelhos entre cerca de $3$ e $30$, cascalho e areia secos entre algumas centenas e dez mil; a água doce situa-se entre cerca de $1.5$ e $130\,\Omega\mathrm{m}$ e a água salgada abaixo de um. A água dos poros conduz melhor que a maioria dos minerais formadores de rocha, por meio de seus íons, de modo que a corrente flui principalmente pelos poros, e a porosidade, a saturação e a salinidade da água controlam a resistividade de uma rocha.

**Teorema 31.9 (Fonte pontual em solo homogêneo).**

Uma corrente $I$ injetada em um ponto da superfície de um solo homogêneo de resistividade $\rho$ produz, a uma distância $r$, o potencial

$$
V(r) = \frac{\rho I}{2\pi r} .
$$

Com dois eletrodos de corrente A ($+I$) e B ($-I$) e dois eletrodos de potencial M e N, a diferença de potencial medida é

$$
\Delta V_{MN} = \frac{\rho I}{2\pi}\left(\frac{1}{AM} - \frac{1}{BM}
               - \frac{1}{AN} + \frac{1}{BN}\right) .
$$

**Demonstração.** Por simetria, a corrente flui radialmente e atravessa cada hemisfério de raio $r$, de área $2\pi r^2$, uniformemente: $j = I/(2\pi r^2)$. A lei de Ohm fornece o campo $E = \rho j$, e $V(r) = \int_r^\infty E\,\mathrm{d}r'
= \rho I/(2\pi r)$, tomando $V = 0$ a grande distância. Os potenciais dos dois eletrodos somam-se. ∎

**Definição 31.10 (Resistividade aparente; arranjo de eletrodos; sondagem elétrica vertical; tomografia de resistividade elétrica).**

- A *resistividade aparente* de uma medida de quatro eletrodos é $\rho_a = K\,\Delta V_{MN}/I$ , com o fator geométrico $K = 2\pi/(1/AM - 1/BM - 1/AN + 1/BN)$ : a resistividade do solo uniforme que daria a mesma leitura.
- Um *arranjo de eletrodos* é uma regra que dispõe os quatro eletrodos: o arranjo *Wenner* os coloca igualmente espaçados, a uma distância $a$ entre si, na ordem AMNB; o arranjo *Schlumberger* coloca M e N, separados por $2l$ , no centro de um AB muito maior, de meia-extensão $s$ ; os arranjos dipolo–dipolo, polo–dipolo e polo–polo separam o par de corrente do par de potencial ou enviam um dos eletrodos para muito longe.
- Uma *sondagem elétrica vertical* expande um arranjo em torno de um centro fixo e plota $\rho_a$ contra o espaçamento em escalas logarítmicas: quanto maior o espaçamento, maior é a profundidade atingida pela corrente.
- A *tomografia de resistividade elétrica* distribui muitos eletrodos ao longo de uma linha, mede muitas combinações de quatro eletrodos e as inverte em conjunto para obter uma seção de resistividade.

Para o arranjo Wenner, o fator é $K = 2\pi a$; para o arranjo Schlumberger, $K = \pi(s^2 - l^2)/(2l)$, e $\rho_a \approx 2\pi s^2(-\mathrm{d}V/
\mathrm{d}r)/I$ quando $l \ll s$, com $l$ de cerca de um décimo de $s$ na prática. Uma sondagem Schlumberger move apenas A e B na maioria das leituras, ao passo que a sondagem Wenner move todos os quatro eletrodos. A corrente é uma onda quadrada reversa: ligada, desligada, invertida, desligada, por vários segundos cada uma, porque o solo apresenta autopotenciais naturais, de origem eletroquímica, que uma corrente contínua não permitiria distinguir. Sondagens pequenas, com eletrodos separados por até cerca de $100\,\mathrm{m}$, exigem algumas centenas de miliwatts; sondagens com um quilômetro de largura usam transmissores de dezenas de quilowatts.

![Os dois arranjos de sondagem. A corrente entra em A e sai em B (vermelho); a diferença de potencial é medida entre M e N (azul); as linhas tênues são linhas de corrente. O arranjo Wenner mantém os três espaçamentos iguais; o arranjo Schlumberger mantém MN curto e expande AB.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-field-lab-methods-3/fig-cbbe9ea10b21.svg)

*Os dois arranjos de sondagem. A corrente entra em A e sai em B (vermelho); a diferença de potencial é medida entre M e N (azul); as linhas tênues são linhas de corrente. O arranjo Wenner mantém os três espaçamentos iguais; o arranjo Schlumberger mantém MN curto e expande AB.*

Sobre terrenos estratificados, a [resistividade aparente](#def-b3-field-lab-methods-3-resistivity) de uma sondagem passa da resistividade da camada superior, em espaçamentos curtos, à da camada inferior, em espaçamentos longos. Sua curva entre os dois extremos é o [problema direto](https://one-course.com/books/earth/5/pt/chapter/1-sismologia-e-imageamento-da-terra#def-b3-seismology-imaging-inverse) da sondagem.

**Proposição 31.11 (Sondagem sobre camadas).**

Sobre camadas horizontais de resistividades $\rho_1, \dots, \rho_n$ e espessuras $h_1, \dots, h_{n-1}$, a [resistividade aparente](#def-b3-field-lab-methods-3-resistivity) Schlumberger no meio-espaçamento $s$ é

$$
\rho_a(s) = s^2\int_0^\infty T(\lambda)\,\lambda\,J_1(\lambda s)\,\mathrm{d}\lambda ,
$$

em que $J_1$ é a função de Bessel de ordem um e a transformada de resistividade $T$ é construída de baixo para cima, $T_n = \rho_n$ e

$$
T_i = \frac{T_{i+1} + \rho_i\tanh(\lambda h_i)}{1 + T_{i+1}\tanh(\lambda h_i)/\rho_i} ,
\qquad T = T_1 .
$$

Para duas camadas, com $k = (\rho_2 - \rho_1)/(\rho_2 + \rho_1)$,

$$
\frac{\rho_a}{\rho_1} = 1 + 2\sum_{n=1}^{\infty} k^n
  \left[1 + \left(\frac{2nh_1}{s}\right)^2\right]^{-3/2} ,
$$

a soma das imagens da fonte na interface e na superfície.

A forma integral é admitida; a série de duas camadas segue do [Teorema 31.9](#thm-b3-field-lab-methods-3-point-source) pelo método das imagens, sendo a fonte refletida repetidas vezes, com um fator $k$ a cada reflexão, na interface e na superfície.

**Proposição 31.12 (Uma cobertura condutora sobre uma base isolante).**

Se camadas de condutância longitudinal total $S = \sum_i h_i/\rho_i$ repousam sobre uma base muito mais resistiva, a [resistividade aparente](#def-b3-field-lab-methods-3-resistivity) Schlumberger em espaçamentos muito maiores que a cobertura é $\rho_a = s/S$: uma reta de inclinação um no gráfico logarítmico, que fornece $S$, mas não as espessuras e as resistividades separadamente.

**Demonstração.** Em espaçamentos grandes, a corrente, incapaz de entrar na base, flui horizontalmente através da cobertura, que se comporta como uma lâmina de condutância $S$. Através de um cilindro de raio $r$ em torno de um eletrodo, a corrente $I$ atravessa a área $2\pi r\sum h_i$, e o campo horizontal é $E = I/(2\pi rS)$. Na fórmula de Schlumberger, $-\mathrm{d}V/
\mathrm{d}r = E$, logo $\rho_a = 2\pi s^2 E/I = s/S$. Qualquer cobertura com a mesma $S$ dá o mesmo ramo. ∎

**Proposição 31.13 (Lei de Archie).**

Uma rocha limpa (isenta de folhelho), totalmente saturada com água de resistividade $\rho_w$, tem a resistividade

$$
\rho = a\,\rho_w\,\phi^{-m} ,
$$

onde $\phi$ é a porosidade, $a$ é um coeficiente geralmente próximo de $1$ e $m$ é o expoente de cimentação, geralmente entre $1.3$ e $2.8$ quando $a = 1$. A razão $F = \rho/\rho_w$ é o fator de formação.

Trata-se da *lei de Archie*, uma relação empírica enunciada por Archie em 1942; ela não tem demonstração, apenas um intervalo de validade. Ela converte uma resistividade em porosidade, desde que a resistividade da água seja conhecida, e a incerteza de $m$ é a que mais pesa no resultado.

![À esquerda: curvas de Schlumberger sobre duas camadas, para fatores de reflexão k de 0.9 (base resistiva, azul, no topo) a -0.9 (base condutora, vermelha, embaixo). À direita: a sondagem no fundo do vale de Varden, suas leituras e o modelo que as produziu (aluvião seco sobre aluvião saturado sobre granito), com a reta _a = s/S de todo o aluvião.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-field-lab-methods-3/fig-6cf1ba628cbe.svg)

*À esquerda: curvas de Schlumberger sobre duas camadas, para fatores de reflexão $k$ de $0.9$ (base resistiva, azul, no topo) a $-0.9$ (base condutora, vermelha, embaixo). À direita: a sondagem no fundo do vale de Varden, suas leituras e o modelo que as produziu (aluvião seco sobre aluvião saturado sobre granito), com a reta $\rho_a =
s/S$ de todo o aluvião.*

## 31.4 Sísmica de refração e radar no campo

O [levantamento de refração sísmica](https://one-course.com/books/earth/5/pt/chapter/2-sismologia-de-exploracao#def-b3-exploration-seismology-surveys) do [Capítulo 2](https://one-course.com/books/earth/5/pt/chapter/2-sismologia-de-exploracao#ch-b3-exploration-seismology) é o outro caminho do geofísico de campo até a profundidade de uma camada: uma linha de geofones, uma queda de peso como fonte e as primeiras chegadas plotadas contra o afastamento, cujas inclinações dão as velocidades e cujas interseções dão as profundidades dos refratores. Sobre o fundo de Varden, ele enxergaria o topo do granito, mais rápido que qualquer sedimento acima dele; não conseguiria enxergar uma camada mais lenta que a de cima, o ponto cego do método.

**Definição 31.14 (Radar de penetração no solo; radargrama).**

O *radar de penetração no solo* envia pulsos curtos de ondas de rádio, de frequências de cerca de $100\,\mathrm{MHz}$ a $1\,\mathrm{GHz}$ e durações de alguns nanossegundos, a partir de uma antena no solo, e registra os ecos de contrastes de permissividade e condutividade abaixo. Um *radargrama* é a exibição dos traços registrados lado a lado ao longo do perfil, com o tempo de percurso de ida e volta aumentando para baixo.

**Proposição 31.15 (Velocidade, reflexão e penetração do radar).**

Em um terreno não magnético, cuja condutividade $\sigma$ é pequena em comparação com $\omega\varepsilon$, o pulso de radar se propaga a

$$
V = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r}} ,
$$

uma interface entre permissividades relativas $\varepsilon_1$ e $\varepsilon_2$ reflete, em incidência normal, a fração $R =
(\sqrt{\varepsilon_1} - \sqrt{\varepsilon_2})/(\sqrt{\varepsilon_1} +
\sqrt{\varepsilon_2})$ da amplitude, e a amplitude cai por um fator $\mathrm{e}$ ao longo da profundidade pelicular

$$
\delta = \frac{2}{\sigma}\sqrt{\frac{\varepsilon_0\varepsilon_r}{\mu_0}}
       \approx 0.0053\,\mathrm{S}\times\frac{\sqrt{\varepsilon_r}}{\sigma} .
$$

**Demonstração.** A velocidade de uma onda eletromagnética em um meio de permissividade $\varepsilon_0\varepsilon_r$ e permeabilidade $\mu_0$ é $1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0\varepsilon_r}$. O coeficiente de reflexão é o de dois meios de índices de refração $\sqrt{\varepsilon_1}$ e $\sqrt{\varepsilon_2}$. Uma condutividade pequena dá ao número de onda uma parte imaginária $\alpha = (\sigma/2)\sqrt{\mu_0/(\varepsilon_0
\varepsilon_r)}$, cujo inverso é $\delta$; com $\sqrt{\varepsilon_0/
\mu_0} = 1/(376.7\,\Omega)$ o fator é $0.0053\,\mathrm{S}$. ∎

As velocidades variam de $0.3\,\mathrm{m}\,\mathrm{ns}^{-1}$ no ar até cerca de $0.15$ na areia seca, $0.13$ no granito e $0.06$ na areia ou argila saturadas, onde a permissividade da água domina. A profundidade útil é de cerca de três profundidades peliculares: em um calcário de permissividade 6 e condutividade $1\,\mathrm{mS}\,\mathrm{m}^{-1}$, a profundidade pelicular é de cerca de $13\,\mathrm{m}$, em uma argila de permissividade 20 e $10\,\mathrm{mS}\,\mathrm{m}^{-1}$, cerca de $2.4\,\mathrm{m}$. Uma camada é vista se tiver pelo menos um quarto de comprimento de onda de espessura, de modo que frequências mais altas dão imagens mais nítidas do solo mais raso.

**Proposição 31.16 (Hipérbole de difração).**

Uma antena deslocada ao longo da superfície sobre um pequeno objeto enterrado em $(x_p, d)$, em solo de velocidade $V$, registra seu eco no tempo de ida e volta

$$
t(x) = \frac{2}{V}\sqrt{(x - x_p)^2 + d^2} ,
$$

uma hipérbole com vértice $t_0 = 2d/V$ sobre o objeto. Qualquer outro ponto $(x, t)$ dela fornece $V = 2|x - x_p|/\sqrt{t^2 - t_0^2}$, e então $d =
Vt_0/2$.

**Demonstração.** O eco percorre até o objeto e volta pelo caminho inclinado retilíneo, de comprimento $\sqrt{(x - x_p)^2 + d^2}$ em cada sentido; elevando $t$ ao quadrado e subtraindo $t_0^2$ obtém-se $V$. ∎

![Um perfil de radar sobre o fundo aluvial: um tubo de drenagem 0.8\, m de profundidade e o nível freático 1.5\, m de profundidade em aluvião de permissividade relativa 4 (à esquerda), e os tempos de chegada de seus ecos (à direita). O tubo devolve uma hipérbole, cujos flancos a antena registra antes de estar acima do tubo; o nível freático, um plano, devolve um eco plano.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-field-lab-methods-3/fig-bd159ade7abb.svg)

*Um perfil de radar sobre o fundo aluvial: um tubo de drenagem $0.8\,\mathrm{m}$ de profundidade e o nível freático $1.5\,\mathrm{m}$ de profundidade em aluvião de permissividade relativa 4 (à esquerda), e os tempos de chegada de seus ecos (à direita). O tubo devolve uma hipérbole, cujos flancos a antena registra antes de estar acima do tubo; o nível freático, um plano, devolve um eco plano.*

## 31.5 Processamento e incerteza

Todo número de um levantamento carrega um erro, e a redução soma os erros das correções ao da leitura. Quando os erros são independentes, suas variâncias se somam.

**Método 31.17 (Balanço de erros).**

1. Liste as fontes independentes de erro do valor reduzido: a leitura, a posição e a altura, a densidade ou a suscetibilidade adotadas, o modelo de deriva ou o diurno, o terreno.
2. Converta cada uma para a unidade do resultado, multiplicando pela derivada da redução em relação a ela.
3. Some os quadrados e extraia a raiz quadrada.
4. Compare o total com o tamanho da anomalia procurada: se for maior, melhore primeiro o maior termo.

Um modelo é julgado pelo quão bem reproduz os dados, e a medida deve ponderar cada dado por sua incerteza.

**Definição 31.18 (Desajuste dos dados).**

O *desajuste* de um modelo a $N$ dados $d_i$ de desvios-padrão $\sigma_i$ é

$$
\chi^2 = \sum_{i=1}^N\left(\frac{d_i - d_i^{\,\mathrm{model}}}{\sigma_i}\right)^2 .
$$

Um modelo que explica os dados dentro de seus erros tem $\chi^2$ próximo de $N$; um valor muito maior significa que o modelo está errado, um muito menor que ele ajusta o ruído.

Minimizar o [desajuste](#def-b3-field-lab-methods-3-inversion-practice) é o método dos mínimos quadrados ponderados do [Capítulo 1](https://one-course.com/books/earth/5/pt/chapter/1-sismologia-e-imageamento-da-terra#ch-b3-seismology-imaging). A dificuldade dos métodos potenciais é que muitos modelos atingem o mesmo [desajuste](#def-b3-field-lab-methods-3-inversion-practice). Fora de um corpo, sua gravidade é a de um número infinito de outros: toda esfera de mesma massa excedente e centro produz a mesma anomalia, qualquer que seja seu raio e densidade; um mapa gravimétrico fixa a massa excedente, mas não a forma; uma sondagem sobre uma cobertura condutora fixa a condutância $S$, mas não as espessuras; a anomalia de um dique delgado fixa o produto $\kappa t$, mas não $\kappa$ e $t$ separadamente. Uma inversão escolhe entre os modelos equivalentes acrescentando informação: uma densidade medida em amostras, uma profundidade obtida de um furo de sondagem, uma suavidade imposta ao modelo. A mais segura adição é outro método, sensível a outra propriedade: a gravimetria detecta a densidade, a magnetometria a magnetita, a resistividade a água, o radar a permissividade, e cada um detecta o que os outros deixam passar.

## 31.6 Um projeto de mapeamento

**No campo — Uma semana no vale.**

![](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/earth-5/b3-field-lab-methods-3/img-aada31bf675b.jpg)

*Uma equipe de geofísica estende um cabo de resistividade, com um gravímetro sobre sua base. Ilustração gerada por IA.*

A equipe do levantamento Varden divide sua semana entre os métodos. Um integrante carrega o gravímetro por uma malha de estações $200\,\mathrm{m}$ afastadas, nivelando-o em cada uma, enquanto um colega levanta as altitudes com um receptor de satélite; a cada duas horas retornam à estação-base pela ponte. Um magnetômetro fica em uma estação-base afastada da linha de transmissão e da estrada, registrando o dia todo, enquanto um segundo é levado a pé ao longo das linhas. No fundo do vale, outros dois estendem o cabo, cravam os eletrodos de aço no aluvião e ampliam uma sondagem de alguns metros para duzentos; um pequeno radar sobre um carrinho é puxado ao longo do fundo do vale. À noite, as leituras são reduzidas, e as linhas do dia seguinte são escolhidas a partir dos mapas do dia anterior.

**Exemplo 31.19 (O levantamento Varden).**

O mapa gravimétrico mostra um mínimo fechado de cerca de $-2.3\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ centrado sobre o granito, alongado norte–sul: o granito menos denso continua sob a cobertura e é mais longo nessa direção. O mínimo estende-se até cerca de $1\,\mathrm{km}$ do afloramento, de modo que o corpo se alarga com a profundidade. Sua meia-largura fornece uma primeira profundidade para uma esfera equivalente; modelos com lados verticais e uma base mostram que a base situada entre um e alguns quilômetros de profundidade explica o pico igualmente bem, dentro de algumas décimos de miligal, de modo que a base permanece desconhecida—a não unicidade da seção anterior. No fundo do vale, sobre o granito, a sondagem começa na resistividade de cascalho seco, cai onde a corrente entra no aluvião saturado de água e sobe ao longo de uma reta de inclinação igual a um: uma cobertura condutora sobre uma base altamente resistiva, o granito, a alguns metros de profundidade. O radar puxado pelo mesmo fundo mostra um eco plano a cerca de $20\,\mathrm{ns}$: o nível freático. E a linha magnética sobre o flanco oeste da dobra, onde a cobertura é espessa e os xistos do embasamento jazem a cerca de duzentos metros de profundidade, registra um máximo simétrico de cerca de $20\,\mathrm{nT}$ que nenhum mapa explica: um dique máfico, rico em magnetita, soterrado sob a cobertura; sua direção ao longo do meridiano magnético é a razão pela qual a anomalia é simétrica. Os geofísicos o descrevem como um dique de diabásio interrompido na discordância, que a cobertura do mapa oculta. O problema de fim de semana reduz os dados do levantamento.

## Exercícios

**Exercício 31.1 ★.**

(a) Que fração de $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ equivale a $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$? (b) De quanto deve ser elevado um gravímetro para que sua leitura varie de $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ apenas pelo efeito ar livre? (c) Com os efeitos ar livre e Bouguer combinados, com a densidade $2670\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$?

**Solução de Exercício 31.1.**

(a) $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal} = 10^{-7}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, e $10^{-7}/9.81 = 1.0 \times 10^{-8}$: uma parte em cem milhões.

(b) $0.01/0.3086 = 0.032\,\mathrm{m}$, cerca de $3.2\,\mathrm{cm}$.

(c) Juntos, os dois efeitos alteram a gravidade em $0.1967\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1}$, a diferença $0.3086 - 0.1119$, logo a altura deve variar em $0.01/0.1967 = 5.1\,\mathrm{cm}$.

**Exercício 31.2 ★.**

Uma esfera de raio $50\,\mathrm{m}$ e contraste de densidade $+500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ tem seu centro a $100\,\mathrm{m}$ de profundidade. Calcule a massa excedente, o pico de sua anomalia e a meia-largura $x_{1/2}$.

**Solução de Exercício 31.2.**

$\Delta m = \tfrac43\pi(50\,\mathrm{m})^3\times500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3} =
2.62 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}$. O pico é $G\Delta m/z^2 =
6.674 \times 10^{-11}\times2.62 \times 10^{8}/10^{4} = 1.75 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, isto é $0.175\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. A meia-largura é $x_{1/2} = z/1.305 =
77\,\mathrm{m}$.

**Exercício 31.3 ★.**

Um arranjo Wenner de espaçamento $a = 10\,\mathrm{m}$ injeta $0.1\,\mathrm{A}$ e mede $0.239\,\mathrm{V}$. (a) Calcule o fator geométrico e a [resistividade aparente](#def-b3-field-lab-methods-3-resistivity). (b) Mostre que um arranjo Schlumberger com $s =
15\,\mathrm{m}$ e $l = 5\,\mathrm{m}$ tem o mesmo fator geométrico, e explique por quê.

**Solução de Exercício 31.3.**

(a) Com $AM = MN = NB = a$, $K = 2\pi/(1/a - 1/2a - 1/2a + 1/a) =
2\pi a = 62.83\,\mathrm{m}$, e $\rho_a = 62.83\times0.239/0.1 =
150\,\Omega\mathrm{m}$. (b) $K = \pi(15^2 - 5^2)/(2\times5) = \pi\times
200/10 = 62.83\,\mathrm{m}$. Os eletrodos ficam então em $0$, $10$, $20$ e $30\,\mathrm{m}$, na ordem AMNB: trata-se do arranjo de Wenner com espaçamento de $10\,\mathrm{m}$.

**Exercício 31.4 ★.**

O granito tem $\varepsilon_r = 5$. (a) Calcule a velocidade do radar. (b) Uma fratura está a $10\,\mathrm{m}$ de profundidade: calcule o tempo de ida e volta de seu eco. (c) Com $\sigma = 1\,\mathrm{mS}\,\mathrm{m}^{-1}$, calcule a profundidade pelicular e a profundidade útil, de cerca de três profundidades pelicular. (d) Compare com uma argila úmida de $\varepsilon_r = 20$ e $\sigma = 10\,\mathrm{mS}\,\mathrm{m}^{-1}$.

**Solução de Exercício 31.4.**

(a) $V = 0.2998/\sqrt5 = 0.134\,\mathrm{m}\,\mathrm{ns}^{-1}$. (b) $t =
2\times10/0.134 = 149\,\mathrm{ns}$. (c) $\delta = 0.0053\sqrt5/10^{-3} =
11.9\,\mathrm{m}$, e uma profundidade útil de cerca de $36\,\mathrm{m}$. (d) Na argila $\delta = 0.0053\sqrt{20}/0.01 = 2.4\,\mathrm{m}$, uma profundidade útil de cerca de $7\,\mathrm{m}$, e uma velocidade de apenas $0.067\,\mathrm{m}\,\mathrm{ns}^{-1}$. A aproximação ainda vale ali: a $100\,\mathrm{MHz}$, $\omega\varepsilon = 2\pi\times10^{8}\times20\times8.85 \times 10^{-12} =
0.11\,\mathrm{S}\,\mathrm{m}^{-1}$, dez vezes $\sigma$.

**Exercício 31.5 ★★.**

(a) Deduza a anomalia de um cilindro horizontal longo de raio $R$ e contraste de densidade $\Delta\rho$, com eixo na profundidade $z$, a partir da de uma massa linear, e mostre que $z = x_{1/2}$. (b) Um cilindro e uma esfera produzem o mesmo pico e a mesma meia-largura $x_{1/2} = 100\,\mathrm{m}$. Compare suas profundidades. Qual interpretação fornece o corpo mais profundo?

**Solução de Exercício 31.5.**

(a) O cilindro tem $\lambda = \pi R^2\Delta\rho$ por unidade de comprimento, e fora dele, sua atração é a de uma massa linear sobre o seu eixo (o teorema de Gauss aplicado a um cilindro coaxial): $\Delta g = 2G\pi R^2\Delta\rho\,z/(x^2
+ z^2)$. Metade do pico é atingida quando $x^2 + z^2 = 2z^2$, logo $z =
x_{1/2}$. (b) A esfera está a $1.305\times100 = 130\,\mathrm{m}$, o cilindro a $100\,\mathrm{m}$: o mesmo perfil, interpretado como esfera, situa o corpo $30\,\%$ mais profundo. A anomalia de uma esfera decai mais depressa com a distância, logo uma esfera precisa estar mais profunda para ser tão larga.

**Exercício 31.6 ★★.**

A anomalia de Bouguer do modelo do granito de Varden, amostrada a cada $100\,\mathrm{m}$ em um mapa de $1120$ pontos cobrindo $3.5\,\mathrm{km}
\times 3.2\,\mathrm{km}$, soma $-438\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. (a) Aplique a [Proposição 31.6](#prop-b3-field-lab-methods-3-gauss) para estimar o déficit de massa. (b) O déficit de massa do modelo é $1.74 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}$. Que fração o mapa recupera, e onde está o restante?

**Solução de Exercício 31.6.**

(a) Cada ponto representa $100\,\mathrm{m}\times100\,\mathrm{m} =
10^{4}\,\mathrm{m}^{2}$, logo $\iint\Delta g\,\mathrm{d}A \approx
-438 \times 10^{-5}\times10^{4} = -43.8\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-2}$, e $\Delta m
= -43.8/(2\pi\times6.674 \times 10^{-11}) = -1.04 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}$. (b) $1.04/1.74
= 60\,\%$. O restante está nos flancos da anomalia fora do mapa: o granito atinge uma profundidade de mais de um quilômetro, e a anomalia de sua parte profunda decai lentamente com a distância. Estender o mapa o bastante, ou usar um modelo, recupera-a.

**Exercício 31.7 ★★.**

(a) Um dique delgado tem o topo a $30\,\mathrm{m}$ de profundidade. Usando a regra de três leituras por meia-largura, em que a meia-largura é a largura total da anomalia à metade de seu pico, qual espaçamento de estações ela exige? (b) O mesmo para um topo a $220\,\mathrm{m}$ de profundidade. (c) Por que um único levantamento não consegue resolver ao mesmo tempo um corpo raso e um profundo, a menos que seja projetado para o raso?

**Solução de Exercício 31.7.**

(a) Para um dique delgado, a anomalia cai à metade do pico em $x = \pm z$: sua largura total à meia altura do pico é $2z = 60\,\mathrm{m}$, e três leituras sobre ela exigem espaçamento de no máximo $20\,\mathrm{m}$. (b) $2\times
220/3 = 147\,\mathrm{m}$. (c) O espaçamento necessário entre as estações depende da profundidade do corpo mais raso de interesse: um levantamento projetado para o dique profundo, com espaçamento de $150\,\mathrm{m}$, distorceria a anomalia do raso, que tem apenas $60\,\mathrm{m}$ de largura; um levantamento projetado para o corpo raso também enxerga o profundo, com muito mais leituras do que o necessário.

**Exercício 31.8 ★★.**

Um arenito saturado com água de resistividade $8\,\Omega\mathrm{m}$ tem uma resistividade de $80\,\Omega\mathrm{m}$. (a) Com $a = 1$ e $m = 2$, calcule sua porosidade. (b) Repita com $m = 1.8$ e $m = 2.2$. Qual termo da medição controla a incerteza da porosidade?

**Solução de Exercício 31.8.**

(a) $F = 80/8 = 10$ e $\phi = F^{-1/m} = 10^{-1/2} = 0.316$. (b) $10^{-1/1.8} = 0.278$ e $10^{-1/2.2} = 0.351$. Uma variação de $0.2$ em $m$ desloca a porosidade em cerca de quatro pontos percentuais; as resistividades, medidas com precisão de alguns por cento, a deslocam muito menos. O expoente de cimentação controla a incerteza, e ele deve ser calibrado com amostras da mesma rocha.

**Exercício 31.9 ★★.**

(a) Calcule os três primeiros termos da série de duas camadas dada pela [Proposição 31.11](#prop-b3-field-lab-methods-3-layers) em $s = 2h_1$ para $k =
0.5$ e $k = -0.5$, e as [resistividades aparentes](#def-b3-field-lab-methods-3-resistivity) que elas fornecem. (b) Quais são os limites de $\rho_a/\rho_1$ para $s \ll h_1$ e $s \gg h_1$? (c) Quais razões de resistividade $\rho_2/\rho_1$ correspondem a $k = \pm 0.5$?

**Solução de Exercício 31.9.**

(a) Para $s = 2h_1$, $(2nh_1/s)^2 = n^2$, logo os termos são $k^n(1 +
n^2)^{-3/2}$: $0.3536k$, $0.0894k^2$, $0.0316k^3$. Para $k = 0.5$: $0.1768$, $0.0224$, $0.0040$, e $\rho_a/\rho_1 \approx
1 + 2\times0.2031 = 1.406$ (a soma completa dá $1.409$). Para $k
= -0.5$ os termos alternam de sinal, $-0.1768 + 0.0224 - 0.0040$, e $\rho_a/\rho_1 \approx 0.683$ (soma completa $0.685$). (b) Para $s \ll
h_1$ todos os termos se anulam e $\rho_a \to \rho_1$; para $s \gg h_1$ cada colchete tende a 1 e $1 + 2\sum k^n = 1 + 2k/(1 - k) = (1 + k)/(1 -
k) = \rho_2/\rho_1$. (c) $\rho_2/\rho_1 = (1 + k)/(1 - k) = 3$ e $1/3$.

**Exercício 31.10 ★★★.**

(a) Deduza o fator geométrico do arranjo de Wenner a partir do [Teorema 31.9](#thm-b3-field-lab-methods-3-point-source). (b) Deduza o fator geométrico do arranjo de Schlumberger, e mostre que $\rho_a \to 2\pi s^2(-\mathrm{d}V/
\mathrm{d}r)/I$ quando $l/s \to 0$. (c) Quanto o fator aproximado $\pi s^2/(2l)$ superestima o valor exato quando $l = s/10$?

**Solução de Exercício 31.10.**

(a) Na ordem AMNB, com espaçamento $a$: $AM = a$, $BM = 2a$, $AN = 2a$, $BN = a$, logo o colchete vale $2/a - 1/a = 1/a$ e $K = 2\pi a$. (b) Com A e B em $\mp s$ e M e N em $\mp l$: $AM = BN = s - l$, $BM = AN = s + l$, o colchete vale $2/(s - l) - 2/(s + l) = 4l/(s^2 -
l^2)$, e $K = \pi(s^2 - l^2)/(2l)$. Quando $l \ll s$, $\Delta V_{MN}
\approx 2l\,E$ com $E = 2(-\mathrm{d}V/\mathrm{d}r)$ no centro, o campo dos dois eletrodos de corrente; então $\rho_a = K\Delta V/I \to
\pi s^2/(2l)\times 4l(-\mathrm{d}V/\mathrm{d}r)/I = 2\pi s^2(-
\mathrm{d}V/\mathrm{d}r)/I$. (c) A razão entre o fator aproximado e o exato é $s^2/(s^2 - l^2) = 1/(1 - 0.01) = 1.010$: um por cento.

**Exercício 31.11 ★★★.**

Uma estação está a $50\,\mathrm{m}$ acima da base. Sua leitura tem precisão de $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, a altura a $5\,\mathrm{cm}$; a densidade da laje é incerta em $100\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, a [correção de terreno](#def-b3-field-lab-methods-3-terrain) em $0.2\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. (a) Monte o balanço de erros da anomalia de Bouguer. anomalia. (b) Qual termo domina e qual melhoraria para detectar uma anomalia de $0.1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$? (c) Qual é o total sem o termo de terreno?

**Solução de Exercício 31.11.**

(a) Leitura: $0.010\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Altura: $0.1967\times0.05 = 0.010\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Densidade: a correção de Bouguer é $0.04191\,h\,d$ com $d$ em $\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$, logo $0.04191\times50\times0.1 = 0.210\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Terreno: $0.200\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Total: $\sqrt{0.010^2 + 0.010^2 + 0.210^2 +
0.200^2} = 0.29\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. (b) A densidade e o terreno dominam, cada um cerca de vinte vezes o erro de leitura. Para detectar $0.1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, a densidade da laje deve ser medida em amostras ou ajustada aos dados (o valor que menos reflete a topografia), e o terreno deve ser corrigido a partir de um modelo de elevação de alta resolução. (c) $\sqrt{0.010^2 + 0.010^2 + 0.210^2} = 0.21\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

**Exercício 31.12 ★★★.**

Cinco leituras gravimétricas sobre um corpo enterrado, em $x = -600$, $-300$, $0$, $300$ e $600\,\mathrm{m}$, são $-0.69$, $-2.17$, $-4.16$, $-2.10$ e $-0.73\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, cada uma com $\sigma =
0.03\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. (a) Para modelos de esfera centrados sob $x = 0$ nas profundidades de $300$, $400$ e $500\,\mathrm{m}$, escolha a massa que se ajuste à leitura central e calcule o [desajuste](#def-b3-field-lab-methods-3-inversion-practice) $\chi^2$ de cada. (b) Qual modelo se ajusta aos dados dentro de seus erros? (c) Um corpo de outra forma poderia se ajustar igualmente bem? O que decidiria?

**Solução de Exercício 31.12.**

(a) A massa que se ajusta à leitura central é $\Delta m = \Delta g(0)z^2/G
= -4.16 \times 10^{-5}z^2/6.674 \times 10^{-11}$: $-5.61 \times 10^{10}\,\mathrm{kg}$ a $300\,\mathrm{m}$, $-9.97 \times 10^{10}\,\mathrm{kg}$ a $400\,\mathrm{m}$, $-1.56 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}$ a $500\,\mathrm{m}$. As leituras previstas em $x = \pm300$ e $\pm600$ são $-1.47$ e $-0.37$, $-2.13$ e $-0.71$, $-2.62$ e $-1.09\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Os [desajustes](#def-b3-field-lab-methods-3-inversion-practice) são $\chi^2 = 1238$, $3.7$ e $856$. (b) Apenas o modelo a $400\,\mathrm{m}$, com $\chi^2 = 3.7$ para cinco dados, ajusta-se dentro dos erros. (c) Sim: qualquer corpo esfericamente simétrico com a mesma massa e centro produz exatamente a mesma anomalia, e outras formas podem caber dentro dos erros. Uma densidade medida em amostras, em um furo de sondagem ou outro método decidiria.

## 31.7 Problema: Os corpos ocultos das Varden Hills

**Problema 31.1.**

Problema de fim de semana — redução do levantamento Varden

Use $G = 6.674 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$, o gradiente de ar livre $0.3086\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1}$ e o fator de Bouguer $0.1119\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1}$ (densidade $2670\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$).

**Parte I — Um circuito gravimétrico.** Um circuito sobre o perfil gravimétrico fornece (leituras em miligals após a calibração, alturas em metros, tempos em horas após 09:00):

| estação | base | $3.0\,\mathrm{km}$ | $3.5\,\mathrm{km}$ | $4.0\,\mathrm{km}$ | base |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| tempo | 0 | 0.5 | 0.9 | 1.3 | 2.0 |
| altura | 176.1 | 149.0 | 145.5 | 158.0 | 176.1 |
| leitura | 2846.512 | 2851.075 | 2850.497 | 2849.392 | 2846.708 |

1. Calcule a taxa de deriva do circuito.
2. Corrija as três leituras das estações pela deriva e expresse-as em relação à base.
3. Aplique as correções de ar livre e de Bouguer para as diferenças de altura, e dê a anomalia de Bouguer de cada estação em relação à base.
4. A deriva do instrumento sozinho foi $0.040\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{h}^{-1}$ . O que causou o restante da variação na base, e por que ela poderia ser removida junto com a deriva?
5. O modelo de onde vêm as leituras fornece as três anomalias em relação à base como $-0.825$ , $-2.131$ e $-0.825\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ . Calcule os erros da redução. As alturas da tabela foram arredondadas para $0.1\,\mathrm{m}$ : que erro esse arredondamento pode introduzir, e ele explica os erros?
6. Qual precisão de altura mantém a anomalia reduzida dentro de $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ ? Por que os manuais de levantamento pedem $3.3\,\mathrm{cm}$ , um valor mais rigoroso?

**Parte II — A anomalia do granito.** Ao longo do perfil a anomalia tem seu mínimo, $-2.293\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, em $x = 3.50\,\mathrm{km}$, e cruza metade desse valor em $x = 3.048$ e $3.952\,\mathrm{km}$. O modelo do granito tem um contraste de densidade de $-130\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, e o terreno no centro está a $145.5\,\mathrm{m}$ acima do nível do mar.

7. Calcule a meia-largura $x_{1/2}$ e a profundidade do centro da esfera equivalente.
8. Calcule o déficit de massa dessa esfera e seu raio para o contraste de densidade do granito. O que há de estranho no resultado?
9. O centro de massa do modelo está a $864\,\mathrm{m}$ abaixo do terreno e seu déficit de massa é $1.74 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}$ . Por que a regra da meia-largura fornece um corpo mais raso e mais leve?
10. Um cilindro vertical de mesma área que o granito na discordância tem raio $461\,\mathrm{m}$ . Calcule sua anomalia sobre o eixo para um topo no terreno e um fundo a $1645\,\mathrm{m}$ de profundidade, e para uma profundidade ilimitada.
11. Encontre, por tentativa ou por resolução, a profundidade do fundo para a qual este cilindro fornece a anomalia observada de $-2.29\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ .
12. Calcule a anomalia do cilindro com o topo a $6\,\mathrm{m}$ de profundidade (fundo a $1645\,\mathrm{m}$ ). A gravimetria consegue dizer se o granito chega à superfície sob o aluvião?

**Parte III — O fundo do vale.** A sondagem de Schlumberger sobre o fundo acima do granito fornece (semiespaçamento $s$ em metros, $\rho_a$ em $\Omega\mathrm{m}$):

| $s$ | 1 | 2 | 4 | 6 | 10 | 20 | 30 | 40 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $\rho_a$ | 577 | 526 | 387 | 350 | 449 | 821 | 1309 | 1684 |

Em um perfil de radar ao longo do mesmo fundo, um tubo gera uma hipérbole com seu vértice em $10.7\,\mathrm{ns}$ e um tempo de $17.1\,\mathrm{ns}$ $1\,\mathrm{m}$ ao lado; um eco plano chega em $20.0\,\mathrm{ns}$.

13. Com $s = 20\,\mathrm{m}$ , MN tinha $2\,\mathrm{m}$ de comprimento e a corrente $50\,\mathrm{mA}$ . Calcule o fator geométrico e a tensão medida.
14. Calcule a velocidade do radar, a permissividade relativa do aluvião e a profundidade do tubo.
15. O eco plano é o nível freático. Qual é a sua profundidade?
16. Estime a condutância $S$ do aluvião a partir das leituras em 20, 30 e $40\,\mathrm{m}$ .
17. O aluvião seco tem $600\,\Omega\mathrm{m}$ , e o aluvião saturado $222\,\Omega\mathrm{m}$ . Calcule a espessura do aluvião saturado e a profundidade do topo do granito. A estimativa é alta ou baixa, e por quê?
18. A água subterrânea tem $20\,\Omega\mathrm{m}$ . Calcule a porosidade do aluvião pela [lei de Archie](#prop-b3-field-lab-methods-3-archie) com $m = 2$ , e o intervalo de $m$ entre $1.3$ e $2.8$ .

**Parte IV — A linha magnética.** A linha segue para leste a partir de $x = 1.70\,\mathrm{km}$, uma estação a cada $50\,\mathrm{m}$ e a cada dois minutos; a estação-base registrou nos mesmos minutos. As leituras, menos $48\,000\,\mathrm{nT}$, são:

| $x$ (km) | 1.70 | 1.75 | 1.80 | 1.85 | 1.90 | 1.95 | 2.00 | 2.05 | 2.10 | 2.15 | 2.20 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| linha | 3.4 | 4.8 | 6.3 | 8.1 | 10.3 | 12.8 | 15.8 | 19.2 | 22.9 | 26.2 | 28.0 |
| base | 0.0 | 0.7 | 1.5 | 2.2 | 2.9 | 3.6 | 4.3 | 5.0 | 5.7 | 6.4 | 7.0 |
| $x$ (km) | 2.25 | 2.30 | 2.35 | 2.40 | 2.45 | 2.50 | 2.55 | 2.60 | 2.65 | 2.70 |  |
| linha | 27.7 | 25.8 | 23.3 | 20.9 | 19.0 | 17.6 | 16.6 | 15.9 | 15.5 | 15.2 |  |
| base | 7.6 | 8.2 | 8.8 | 9.4 | 9.9 | 10.4 | 10.9 | 11.3 | 11.7 | 12.1 |  |

O campo principal é $48\,000\,\mathrm{nT}$, com inclinação de $65{}^{\circ}$.

19. Aplique a [correção diurna](#def-b3-field-lab-methods-3-magnetic) e forneça a anomalia corrigida em cada estação.
20. Mostre que, sem a correção, a anomalia nunca cai até a metade de seu pico no lado leste.
21. Localize o pico e os dois pontos em que a anomalia corrigida vale a metade do pico, por interpolação linear, e calcule a meia-largura.
22. A anomalia é simétrica. O que isso diz sobre a direção do corpo, e que tipo de corpo a regra da meia-largura supõe?
23. Calcule o produto $\kappa t$ da suscetibilidade pela espessura. Se o dique é um diabásio de suscetibilidade $0.03$ , qual é a sua espessura?
24. As estações estavam suficientemente próximas?
25. Forneça a profundidade do topo do dique oculto abaixo do solo, até a dezena de metros mais próxima, e compare-a com a profundidade da discordância no modelo geológico da região, $222\,\mathrm{m}$ neste ponto.

**Solução de Problema 31.1.**

**1.** $(2846.708 - 2846.512)/2.0\,\mathrm{h} = 0.098\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{h}^{-1}$.

**2.** $2851.075 - 0.098\times0.5 - 2846.512 = 4.514\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; $2850.497 - 0.088 - 2846.512 = 3.897\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; $2849.392 - 0.127 - 2846.512 = 2.753\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

**3.** As alturas acima da base são $-27.1$, $-30.6$ e $-18.1\,\mathrm{m}$; somando $0.1967\,\Delta h$ obtêm-se as anomalias de Bouguer $-0.817$, $-2.122$ e $-0.808\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. As estações estão abaixo da base e mais próximas do centro da Terra, por isso suas leituras brutas são maiores; a correção elimina isso e deixa um mínimo sobre o granito.

**4.** A parcela extra $0.098 - 0.040 = 0.058\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{h}^{-1}$, $0.12\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ ao longo do circuito, é a maré terrestre sólida. Em duas horas ela varia quase linearmente, de modo que uma reta que passa pelas duas leituras na base a remove junto com a deriva.

**5.** Os erros são $0.008$, $0.009$ e $0.017\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Arredondar cada altura para $0.1\,\mathrm{m}$ pode tornar uma diferença de altura errada em até $0.1\,\mathrm{m}$, ou seja, $0.020\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$: o arredondamento explica os erros; a maré residual após a reta, sendo inferior a $0.001\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

**6.** $0.01/0.1967 = 5.1\,\mathrm{cm}$. Os $3.3\,\mathrm{cm}$ dos manuais correspondem a $0.01/0.3086$: a anomalia ar livre não depende da densidade escolhida para a correção de Bouguer, e a altura também deve servir a ela.

**7.** $x_{1/2} = (3.952 - 3.048)/2 = 0.452\,\mathrm{km}$, e $z = 1.305
\times452 = 590\,\mathrm{m}$ abaixo do solo.

**8.** $\Delta m = \Delta g\,z^2/G = -2.293 \times 10^{-5}\times590^2/
6.674 \times 10^{-11} = -1.20 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}$. Com $\Delta\rho =
-130\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, seu volume é $9.2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{3}$ e seu raio $603\,\mathrm{m}$, maior que a profundidade de seu centro: a esfera ultrapassaria o solo. Nenhuma esfera com o contraste de densidade do granito se ajusta; o corpo deve chegar perto da superfície.

**9.** O granito se estende da superfície a grande profundidade. Sua parte rasa próxima às estações, torna o pico estreito, e a regra, que conhece apenas a largura, coloca uma única esfera a uma profundidade moderada; a parte profunda acrescenta flancos largos que a esfera não tem (a figura do perfil), e a massa que eles contêm não é detectada.

**10.** $2\pi G\Delta\rho = 2\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times(-130) =
-5.45 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}^{-2}$. Com $z_1 = 0$, $z_2 = 1645\,\mathrm{m}$, $a =
461\,\mathrm{m}$: o colchete é $1645 + 461 - 1708.4 = 397.6\,\mathrm{m}$, e $\Delta g = -2.17\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Para uma profundidade ilimitada o colchete tende a $a$, e $\Delta g = -2.51\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

**11.** O colchete deve ser $2.29/5.45 \times 10^{-3} = 420\,\mathrm{m}$, o que um piso a cerca de $2.6\,\mathrm{km}$ fornece. Qualquer piso entre cerca de $1.6\,\mathrm{km}$ e uma profundidade ilimitada altera o pico em apenas algumas décimas de miligal, e um corpo ligeiramente mais largo ou mais denso dá o mesmo pico com um piso mais raso: o piso não é resolvido.

**12.** Com $z_1 = 6\,\mathrm{m}$: $1639 + 461.0 - 1708.4 = 391.6$, e $\Delta g = -2.14\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, $0.03\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ a menos que com o topo no solo. Isso está abaixo dos erros de terreno e de densidade do levantamento: a gravidade não consegue dizer se o granito atinge a superfície sob o aluvião. A sondagem consegue.

**13.** $K = \pi(20^2 - 1^2)/(2\times1) = 626.7\,\mathrm{m}$, e $\Delta V =
\rho_a I/K = 821\times0.050/626.7 = 65.5\,\mathrm{mV}$.

**14.** $V = 2\times1/\sqrt{17.1^2 - 10.7^2} = 2/13.34 =
0.150\,\mathrm{m}\,\mathrm{ns}^{-1}$, $\varepsilon_r = (0.2998/0.150)^2 = 4.0$, uma areia seca; o tubo está a $0.150\times10.7/2 = 0.80\,\mathrm{m}$ de profundidade.

**15.** $0.150\times20.0/2 = 1.50\,\mathrm{m}$.

**16.** $20/821 = 0.0244$, $30/1309 = 0.0229$, $40/1684 =
0.0238$: $S \approx 0.0237\,\mathrm{S}$.

**17.** A camada seca contribui com $1.5/600 = 0.0025\,\mathrm{S}$, a saturada $0.0212\,\mathrm{S}$, logo sua espessura é $0.0212\times222 =
4.7\,\mathrm{m}$, e o granito fica $1.5 + 4.7 = 6.2\,\mathrm{m}$ abaixo da superfície. A estimativa é alta: o granito não é infinitamente resistivo, de modo que, nestes espaçamentos, $\rho_a$ ainda fica abaixo da reta $s/S$, e $s/\rho_a$ superestima $S$. (O modelo da região tem $6\,\mathrm{m}$ de aluvião.)

**18.** $\phi = (20/222)^{1/2} = 0.30$. Com $m = 1.3$, $\phi =
0.0901^{1/1.3} = 0.16$; com $m = 2.8$, $\phi = 0.42$.

**19.** Subtraindo a base da linha obtêm-se, de oeste para leste: 3.4, 4.1, 4.8, 5.9, 7.4, 9.2, 11.5, 14.2, 17.2, 19.8, 21.0, 20.1, 17.6, 14.5, 11.5, 9.1, 7.2, 5.7, 4.6, 3.8 e $3.1\,\mathrm{nT}$.

**20.** Sem correção, o pico é $28.0\,\mathrm{nT}$ em $2.20\,\mathrm{km}$, e a metade dele, $14.0\,\mathrm{nT}$, nunca é atingida a leste: a linha termina em $15.2\,\mathrm{nT}$, porque o campo subiu $12\,\mathrm{nT}$ durante a caminhada.

**21.** O pico é $21.0\,\mathrm{nT}$ em $2.20\,\mathrm{km}$; a metade dele é $10.5\,\mathrm{nT}$. A oeste: entre $9.2$ em $1.95$ e $11.5$ em $2.00\,\mathrm{km}$, em $1.95 + 0.05\times1.3/2.3 = 1.978\,\mathrm{km}$. A leste: entre $11.5$ em $2.40$ e $9.1$ em $2.45\,\mathrm{km}$, em $2.40 + 0.05\times1.0/2.4 = 2.421\,\mathrm{km}$. A meia-largura é $(2.421
- 1.978)/2 = 0.221\,\mathrm{km}$.

**22.** Uma anomalia simétrica em um campo com inclinação de $65{}^{\circ}$ significa que apenas a magnetização vertical atua: o corpo tem direção paralela ao meridiano magnético, norte–sul. A regra da [Proposição 31.8](#prop-b3-field-lab-methods-3-dyke) supõe um dique fino, vertical, bidimensional que se estende a grande profundidade, magnetizado por indução, cujo topo atua como uma linha de carga magnética.

**23.** $\kappa t = 2\pi z\,\Delta T_\mathrm{max}/(F\sin^2 I) = 2\pi\times
221\times21.0/(48000\times0.8214) = 0.74\,\mathrm{m}$. Com $\kappa =
0.03$, $t = 25\,\mathrm{m}$. Apenas o produto é fixado: um dique duas vezes mais espesso com metade da suscetibilidade dá a mesma anomalia.

**24.** A anomalia tem $443\,\mathrm{m}$ de largura à meia altura do pico e as estações estão separadas por $50\,\mathrm{m}$: nove leituras atravessando-a, três vezes o mínimo da regra.

**25.** O topo do dique está **$220\,\mathrm{m}$** abaixo do solo. A modelo geológico situa a discordância a $222\,\mathrm{m}$ de profundidade neste ponto: o dique sobe até a base da cobertura e é truncado ali, mais antigo que o arenito triássico que o soterra.