---
title: "الأشكال والزوايا القائمة"
book: "الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية"
subject: math
language: ar
chapter: 18
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles
---

# الفصل 18 — الأشكال والزوايا القائمة

المربعات والمستطيلات والمثلثات والدوائر: أصدقاء قدامى. ينظر إليها هذا الفصل بعين المهندس — فما الذي يجعل المربع مربعًا بالضبط؟ — ويقدّم الأداة التي تفصل في الأمر: الكوس وزاويته القائمة.

## 18.1 الزاوية القائمة

**تعريف 18.1 (الزاوية القائمة).**

*الزاوية القائمة* هي زاوية ركن ورقة، أو ركن الكوس. والمستقيمان اللذان يصنعان زاوية قائمة *متعامدان*. وفي الأشكال، تُعلَّم الزاوية القائمة بمربع صغير في الركن.

**طريقة 18.2 (التحقّق من زاوية قائمة).**

1. ضع ركن الكوس تمامًا على الزاوية المراد اختبارها؛
2. وأزلق أحد حرفَي الكوس على أحد ضلعَي الزاوية؛
3. فإن انطبق الضلع الآخر تمامًا على الحرف الآخر، [فالزاوية قائمة](#def-g3-shapes-rightangle) — وإن انفتحت أوسع أو أضيق، فليست قائمة.

![الزاوية الأولى وحدها قائمة — ولا يشهد بذلك إلا المربع الصغير أو الكوس: فالعين وحدها تُخدع بسهولة.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g3-shapes/fig-bb6639586a2e.svg)

*الزاوية الأولى وحدها قائمة — ولا يشهد بذلك إلا المربع الصغير أو الكوس: فالعين وحدها تُخدع بسهولة.*

## 18.2 الأشكال وقواعدها

**تعريف 18.3 (المربع والمستطيل والمثلث).**

- *المستطيل* له $4$ أضلاع و $4$ [زوايا قائمة](#def-g3-shapes-rightangle) ؛ وضلعاه المتقابلان متساويان في الطول.
- و *المربع* مستطيل أضلاعه $4$ متساوية كلها في الطول.
- و *المثلث* له $3$ أضلاع؛ و *المثلث القائم* فيه [زاوية قائمة](#def-g3-shapes-rightangle) واحدة.
- و *الدائرة* تُرسم بالفرجار: وكل نقطها على المسافة نفسها (وهي *نصف القطر* ) من *المركز* .

![معرض الأشكال بعلاماتها: مربعات صغيرة للزوايا القائمة، وشُرَط صغيرة للأضلاع المتساوية.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g3-shapes/fig-c32920f5a550.svg)

*معرض الأشكال بعلاماتها: مربعات صغيرة [للزوايا القائمة](#def-g3-shapes-rightangle)، وشُرَط صغيرة للأضلاع المتساوية.*

**مثال 18.4 (لماذا العلامات مهمة).**

الشكل المرسوم مائلًا قليلًا قد *يبدو* مربعًا وهو ليس كذلك. والعلامات تقول الحقيقة: $4$ مربعات [زوايا قائمة](#def-g3-shapes-rightangle) $+$ $4$ شُرَط $=$ مربع حقيقي. فحين ترسم، ضع العلامات؛ وحين تقرأ شكلًا، لا تثق إلا بالعلامات والقياسات المعطاة.

## 18.3 الرسم على الورق المربّعات

**طريقة 18.5 (الإنشاءات على الشبكة).**

الورق المربّعات يقدّم [زوايا قائمة](#def-g3-shapes-rightangle) مجانًا: فخطوطه متعامدة.

1. لرسم مستطيل $5$ في $3$ : اختر نقطة تقاطع، وعُدّ $5$ مربعات يمينًا و $3$ مربعات فوق، ثم أغلق الشكل على خطوط الشبكة؛
2. وللتحقّق من تساوي الأطوال، عُدّ المربعات؛
3. والخطوات القُطرية ترسم خطوطًا مائلة: فالسير « $1$ يمينًا و $1$ فوق» مرارًا يرسم خطًّا زاويته $45^\circ$ .

![إنشاءان على الشبكة: خطوط الشبكة تضمن الزوايا القائمة.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g3-shapes/fig-1d8bdff36767.svg)

*إنشاءان على الشبكة: خطوط الشبكة تضمن [الزوايا القائمة](#def-g3-shapes-rightangle).*

**مثال 18.6 (برنامج إنشاء).**

يمكن وصف شكل بتعليمات: «1. اُرسم مربعًا $ABCD$ طول ضلعه $4$ سم. 2. اُرسم الدائرة التي مركزها $A$ وتمرّ بالنقطة $B$.» وباتّباع البرنامج سطرًا سطرًا، يستطيع أي أحد أن يعيد رسم الشكل نفسه — وكتابته تلزمك بتسمية كل نقطة. جرّبه مع زميل: أحدكما يكتب والآخر يرسم.

## 18.4 تمارين

**تمرين 18.1 ★.**

في الصف، جِد (بلا قياس) ثلاث [زوايا قائمة](#def-g3-shapes-rightangle) وزاوية واحدة ليست قائمة. وكيف *تتحقّق* من كل واحدة؟

**حل التمرين 18.1.**

[الزوايا القائمة](#def-g3-shapes-rightangle) المعتادة: أركان السبورة، وورقة، والباب. وزاوية غير قائمة: انفتاح مقصّ، أو عقربا الساعة عند الساعة 1. ويُتحقَّق من كل واحدة بالكوس ([الطريقة 18.2](#met-g3-shapes-check)) — لا بالعين وحدها أبدًا.

**تمرين 18.2 ★.**

اُرسم مستطيلًا $6$ سم في $4$ سم بالمسطرة والكوس. وعلّم زواياه القائمة وأضلاعه المتساوية.

**حل التمرين 18.2.**

الإنشاء: ضلع من $6$ سم، وزاويتان قائمتان عند طرفيه بالكوس، وضلعان من $4$ سم، ثم أغلق الشكل. والعلامات: $4$ مربعات صغيرة في الأركان، وشرطة على كل ضلع $6$ سم، وشرطتان على كل ضلع $4$ سم.

**تمرين 18.3 ★.**

اُرسم مربعًا طول ضلعه $5$ سم. فكم [زاوية قائمة](#def-g3-shapes-rightangle) له؟ وكم ضلعًا متساويًا؟ وعلّم كل شيء.

**حل التمرين 18.3.**

للمربع $4$ [زوايا قائمة](#def-g3-shapes-rightangle) و $4$ أضلاع متساوية — وكلها مُعلَّمة.

**تمرين 18.4 ★.**

على الورق المربّعات، اُرسم: مربعًا $4 \times 4$؛ ومستطيلًا $7 \times 2$؛ ومثلثًا قائمًا ضلعا قائمته $3$ و $5$ مربعات.

**حل التمرين 18.4.**

إنشاءات على الشبكة؛ فالشبكة تضمن [الزوايا القائمة](#def-g3-shapes-rightangle)، وعدّ المربعات يضمن الأطوال.

**تمرين 18.5 ★.**

صواب أم خطأ؟ اِشرح. «كل مربع مستطيل». «كل مستطيل مربع». «يمكن أن تكون في مثلث زاويتان قائمتان». (حاول أن ترسمه!)

**حل التمرين 18.5.**

«كل مربع مستطيل»: *صواب* — فله $4$ [زوايا قائمة](#def-g3-shapes-rightangle)، وهو كل ما يطلبه المستطيل.

«كل مستطيل مربع»: *خطأ* — فمستطيل $6 \times 4$ أضلاعه غير متساوية.

«يمكن أن تكون في مثلث زاويتان قائمتان»: *خطأ* — فالضلعان المرسومان من الزاويتين القائمتين يكونان عموديين على القاعدة نفسها، فلا يلتقيان أبدًا ليغلقا المثلث.

**تمرين 18.6 ★.**

اُرسم دائرة نصف قطرها $4$ سم. وعلّم مركزها $O$، ونقطة $A$ على الدائرة، وارسم [نصف القطر](#def-g3-shapes-shapes) $[OA]$. فكم يبلغ $OA$؟ وإن كانت $B$ نقطة أخرى من الدائرة، فكم يبلغ $OB$؟

**حل التمرين 18.6.**

$OA = 4$ سم (وهو [نصف القطر](#def-g3-shapes-shapes)). و $OB = 4$ سم أيضًا: إذ *كل* نقطة من الدائرة على المسافة نفسها من المركز.

**تمرين 18.7 ★.**

اِتبع هذا البرنامج: «1. اُرسم مستطيلًا $ABCD$ فيه $AB = 6$ سم و $BC = 3$ سم. 2. علّم النقطة $M$ في منتصف $[AB]$. 3. صِل $M$ بالنقطتين $C$ و $D$.» فإلى أي أشكال انقسم المستطيل؟

**حل التمرين 18.7.**

ينقسم المستطيل إلى ثلاثة مثلثات: مثلثان قائمان ($AMD$ و $MBC$، قائمان في $A$ و $B$) والمثلث الأوسط $MCD$.

**تمرين 18.8 ★.**

صنّف الأشكال: أيّها فيه [زاوية قائمة](#def-g3-shapes-rightangle) واحدة على الأقل؟ مربع؛ ومستطيل (غير مربع)؛ ومثلث قائم؛ ودائرة؛ وحرف اللام مرسومًا بخطوط غليظة.

**حل التمرين 18.8.**

التي فيها [زاوية قائمة](#def-g3-shapes-rightangle) واحدة على الأقل: المربع، والمستطيل، والمثلث القائم، وحرف اللام (بأركانه الداخلية والخارجية). أما الدائرة فلا ركن لها أصلًا.

**تمرين 18.9 ★★.**

على الورق المربّعات، اُرسم مربعًا مائلًا أضلاعه تسير «$2$ يمينًا و $1$ فوق» (مع الدورات الموافقة). وعُدّ المربعات لتقنع نفسك بأن الأضلاع الأربعة متساوية في الطول.

**حل التمرين 18.9.**

كل ضلع يقطع «$2$ يمينًا و $1$ فوق» (أو صوره المُدارة «$1$ يمينًا و $2$ نزولًا»، وهكذا): فكل ضلع قطر [كتلة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/12-money-and-measures#def-g2-measure-units) $2 \times 1$ من المربعات، فالأربعة متساوية في الطول.

**تمرين 18.10 ★★.**

اُكتب برنامج إنشاء (تعليمات مرقّمة، ونقاط مسمّاة) لهذا الشكل: مربع طول ضلعه $3$ سم يجلس فوق مستطيل $3$ سم $\times$ $2$ سم، كبيت فوق طابقه الأرضي. واختبر برنامجك على زميل.

**حل التمرين 18.10.**

برنامج صحيح: «1. اُرسم مستطيلًا $ABCD$ فيه $AB = 3$ سم (في الأسفل) و $BC = 2$ سم. 2. فوق الضلع $[DC]$، اُرسم المربع $DCEF$ طول ضلعه $3$ سم، خارج المستطيل.» وكل برنامج واضح ومرقّم وكامل صحيح — واختبره باتّباعه حرفًا حرفًا.

**تمرين 18.11 ★★.**

كم مربعًا تجد في شبكة $3 \times 3$ من المربعات الصغيرة؟ (عُدّ مربعات $1 \times 1$، ومربعات $2 \times 2$، ومربع $3 \times 3$.)

**حل التمرين 18.11.**

مربعات $1 \times 1$: $9$. ومربعات $2 \times 2$: $4$. و $3 \times 3$: $1$. [والمجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def): $9 + 4 + 1 = 14$ مربعًا.