---
title: "ضرب الأعداد الأكبر"
book: "الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية"
subject: math
language: ar
chapter: 22
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/22-multiplying-larger-numbers
---

# الفصل 22 — ضرب الأعداد الأكبر

في السنة الماضية ضربنا في رقم واحد ([الفصل 16](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/16-multiplication#ch-g3-mult))؛ وهذا الفصل يضرب في أعداد من رقمين — ويشرح «السطر المزاح» الغامض في طريقة الأعمدة، وما هو إلا تفكيك إلى عشرات وآحاد.

## 22.1 الضرب في العشرات

**قضية 22.1 (الضرب في 10 و20 و300 …).**

الضرب في $10$ يُلحق صفرًا، وفي $100$ صفرين. وللضرب في $20$، اِضرب في $2$ ثم في $10$:

$$
36 \times 20 = 36 \times 2 \times 10 = 72 \times 10 = 720 .
$$

وكذلك $14 \times 300 = 14 \times 3 \times 100 = 4\,200$.

**برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎

## 22.2 طريقة الأعمدة برقمين

**مثال 22.2 (لماذا السطر المزاح؟).**

لحساب $23 \times 12$، فكّك $12$ إلى $10 + 2$:

$$
23 \times 12 = 23 \times 2 + 23 \times 10 = 46 + 230 = 276 .
$$

وطريقة الأعمدة تكتب هذين الجداءين بالضبط، أحدهما تحت الآخر — والثاني مزاح إلى اليسار لأنه عدد من *العشرات*:

$$
\begin{array}{r}
2\,3 \\
\times\ 1\,2 \\
\hline
4\,6 \\
2\,3\,\cdot \\
\hline
2\,7\,6
\end{array}
$$

(والنقطة تعلّم مرتبة الآحاد في السطر المزاح، وكثيرًا ما تُترك فارغة).

![صورة المستطيل للجداء 23 × 12: أربعة جداءات سهلة، 200 + 40 + 30 + 6 = 276. وطريقة الأعمدة تجمعها في سطرين: 46 (سطر «× 2») و 230 (سطر «× 10»).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g4-mult/fig-cb4114601663.svg)

*صورة المستطيل [للجداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) $23 \times 12$: أربعة [جداءات](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) سهلة، $200 + 40 + 30 + 6 = 276$. وطريقة الأعمدة تجمعها في سطرين: $46$ (سطر «$\times 2$») و $230$ (سطر «$\times 10$»).*

**طريقة 22.3 (الضرب بالأعمدة في عدد من رقمين).**

لحساب $457 \times 36$:

1. السطر الأول: $457 \times 6 = 2\,742$ ؛
2. والسطر الثاني: $457 \times 3$ *عشرات* $= 1\,371$ عشرة — اُكتب $1\,371$ مزاحًا مرتبة واحدة إلى اليسار؛
3. ثم اِجمع السطرين: $2\,742 + 13\,710 = 16\,452$ ؛
4. وقدِّر للتحقّق: $457 \times 36 \approx 500 \times 36  = 18\,000$ ؟ والأفضل: $450 \times 36$ نحو $16\,000$ — فالنتيجة معقولة.

$$
\begin{array}{r}
4\,5\,7 \\
\times\ \ \,3\,6 \\
\hline
2\,7\,4\,2 \\
1\,3\,7\,1\,\cdot \\
\hline
1\,6\,4\,5\,2
\end{array}
$$

**مثال 22.4 (حيل ذهنية).**

- *فكّك بالطريقة الودودة* : $18 \times 11 = 18 \times 10  + 18 = 198$ .
- *اِستعمل قريبًا من المئة* : $25 \times 99 = 25 \times 100 -  25 = 2\,475$ .
- *ضاعِف ونصِّف* : $16 \times 35 = 8 \times 70 =  560$ (فتنصيف أحد العاملين وتضعيف الآخر يحفظ [الجداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) ).

## 22.3 الضرب في المسائل

**مثال 22.5.**

تطلب مدرسة $28$ علبة فيها $145$ ورقة لكل علبة.

1. العملية: $145 \times 28$ .
2. التقدير: $150 \times 30 = 4\,500$ ، وهو أكثر قليلًا في العاملين معًا.
3. الأعمدة: $145 \times 8 = 1\,160$ ؛ و $145 \times 2$ عشرة $= 2\,900$ ؛ [والمجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $4\,060$ .
4. والجملة: تستلم المدرسة $4\,060$ ورقة.

## 22.4 تمارين

**تمرين 22.1 ★.**

احسب ذهنيًّا: $47 \times 10$؛ $23 \times 100$؛ $36 \times 20$؛ $15 \times 300$؛ $42 \times 50$.

**حل التمرين 22.1.**

$470$؛ $2\,300$؛ $720$؛ $4\,500$؛ $2\,100$.

**تمرين 22.2 ★.**

احسب $34 \times 21$ بالتفكيك كما في [المثال 22.2](#ex-g4-mult-why) ($34 \times 21 = 34 \times 20 + 34$)، ثم تحقّق بالأعمدة.

**حل التمرين 22.2.**

$34 \times 21 = 34 \times 20 + 34 = 680 + 34 = 714$؛ والأعمدة تعطي السطرين نفسيهما: $34$ و $680$.

**تمرين 22.3 ★.**

احسب بالأعمدة: $63 \times 24$؛ $85 \times 47$؛ $126 \times 53$.

**حل التمرين 22.3.**

$63 \times 24 = 1\,512$؛ $85 \times 47 = 3\,995$؛ $126 \times 53 = 6\,678$.

**تمرين 22.4 ★.**

احسب بالأعمدة، مع تقدير أولًا: $208 \times 34$؛ $517 \times 62$.

**حل التمرين 22.4.**

$208 \times 34$: التقدير $200 \times 34 = 6\,800$؛ وبالضبط $7\,072$.

$517 \times 62$: التقدير $500 \times 60 = 30\,000$؛ وبالضبط $32\,054$.

**تمرين 22.5 ★.**

احسب بحيلة من [المثال 22.4](#ex-g4-mult-tricks): $45 \times 11$؛ $32 \times 99$؛ $24 \times 45$ (ضاعِف ونصِّف — مرتين إن شئت).

**حل التمرين 22.5.**

$45 \times 11 = 450 + 45 = 495$.

$32 \times 99 = 3\,200 - 32 = 3\,168$.

$24 \times 45 = 12 \times 90 = 1\,080$ (أو مرة أخرى: $6 \times 180 = 1\,080$).

**تمرين 22.6 ★.**

في سينما $26$ صفًّا من $18$ مقعدًا. فكم مقعدًا فيها كلها؟

**حل التمرين 22.6.**

$26 \times 18 = 468$ مقعدًا.

**تمرين 22.7 ★.**

تحمل شاحنة $32$ منصّة فيها $48$ صندوقًا لكل منصّة. فكم صندوقًا؟ أعطِ تقديرًا أولًا، ثم الجواب الدقيق.

**حل التمرين 22.7.**

التقدير: $30 \times 50 = 1\,500$. وبالضبط: $32 \times 48 = 1\,536$ صندوقًا.

**تمرين 22.8 ★.**

جِد الخطأ: تحسب سلمى $57 \times 23$ هكذا: $57 \times 3 = 171$ و $57 \times 2 = 114$، ثم تجمع $171 + 114 = 285$. والجواب الصحيح هو $1\,311$. فماذا نسيت؟

**حل التمرين 22.8.**

نسيت أن الرقم $2$ في $23$ يعدّ *عشرات*: فالسطر الثاني يجب أن يكون $57 \times 20 = 1\,140$، لا $114$. [والمجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) الصحيح: $171 + 1\,140 = 1\,311$.

**تمرين 22.9 ★★.**

يغرس بستانيّ $14$ صفًّا من $35$ زهرة تُوليب و $12$ صفًّا من $28$ نرجسة. فكم زهرة في المجموع؟ (جداءان، ثم [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def).)

**حل التمرين 22.9.**

التوليب: $14 \times 35 = 490$. والنرجس: $12 \times 28 = 336$. [والمجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def): $490 + 336 = 826$ زهرة.

**تمرين 22.10 ★★.**

في كل يوم، يستعمل مخبز $67$ كغ من الدقيق. فكم يقارب ذلك من الدقيق في شهر من $30$ يومًا — قدِّر بأعداد مقرَّبة، ثم احسب بالضبط.

**حل التمرين 22.10.**

التقدير: $70 \times 30 = 2\,100$ كغ. وبالضبط: $67 \times 30 = 2\,010$ كغ.

**تمرين 22.11 ★★.**

اِشرح، بصورة مستطيل كصورة هذا الفصل، لماذا يمكن حساب $15 \times 12$ على صورة $15 \times 10 + 15 \times 2$. ثم اِبتكر تفكيكًا آخر [للجداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) $15 \times 12$ ينجح أيضًا.

**حل التمرين 22.11.**

مستطيل $15 \times 12$ من المربعات الواحدية يمكن قطعه بخط عمودي إلى جزء $15 \times 10$ وجزء $15 \times 2$: وعدّ كل جزء يعطي $150 + 30 = 180$. وقطع آخر ينجح كذلك، فمثلًا $15 = 10 + 5$: $10 \times 12 + 5 \times 12 = 120 + 60
= 180$. فأي طريقة لقطع المستطيل تترك عدد المربعات الكلي كما هو.