---
title: "التماثل"
book: "الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية"
subject: math
language: ar
chapter: 27
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/27-symmetry
---

# الفصل 27 — التماثل

الفراشات، والوجوه، ورقاقات الثلج: تحب الطبيعة الأشكال التي ينطبق نصفاها عند الطيّ. يستكشف هذا الفصل التماثل بالطيّ وبالورق المربّعات — أما الإنشاءات بالكوس فتنتظر [الفصل 42](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/42-axial-symmetry#ch-g6-symmetry).

## 27.1 الطيّ والانطباق

**تعريف 27.1 (محور التماثل).**

يكون المستقيم *محور تماثل* لشكل حين يجعل طيُّ الشكل على ذلك المستقيم نصفيه ينطبقان *تمامًا*. وقد يكون للشكل محور واحد، أو محاور عدة، أو لا محور له.

![اطوِ على الخط المتقطع: فينطبق النصفان. أما المثلث الأخير فلا طيّ ينجح فيه — ولا محور تماثل له.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g4-symmetry/fig-6e4ce552617d.svg)

*اطوِ على الخط المتقطع: فينطبق النصفان. أما المثلث الأخير فلا طيّ ينجح فيه — ولا [محور تماثل](#def-g4-symmetry-def) له.*

**مثال 27.2 (الاختبار بورق الشفّ).**

اِنقل الشكل على ورق الشفّ، واقلب الورقة على المحور المرشَّح، ثم أعِدها: فإن غطّى النقلُ الشكلَ تمامًا، فالمحور صحيح. والعين وحدها تُخدع كثيرًا — [فقطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) المستطيل *يبدو* محورًا، لكن اختبار الطيّ يقول لا (جرّبه!).

## 27.2 إكمال الأشكال على الشبكة

**طريقة 27.3 (مماثل شكل بالنسبة إلى خط من الشبكة).**

المحور خط رأسي (أو أفقي) من خطوط الشبكة.

1. خذ كل رأس من رؤوس الشكل بالتناوب؛
2. وعُدّ بُعده عن المحور بالمربعات؛
3. وضع رأس الصورة على البُعد *نفسه* من الجهة *الأخرى* ، في السطر نفسه (أو العمود نفسه)؛
4. وصِل رؤوس الصورة بالترتيب نفسه، وتحقّق: فالصورة هي التوأم المرآتي للشكل.

![الإكمال عبر المحور الأحمر: كل رأس يقفز إلى البُعد نفسه من الجهة الأخرى. أما الرؤوس التي تمسّ المحور فتبقى في مكانها.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g4-symmetry/fig-7196aa6feb76.svg)

*الإكمال عبر المحور الأحمر: كل رأس يقفز إلى البُعد نفسه من الجهة الأخرى. أما الرؤوس التي تمسّ المحور فتبقى في مكانها.*

**مثال 27.4 (الشكل نفسه، والحجم نفسه، مقلوبًا).**

للصورة الأطوال نفسها والزوايا نفسها تمامًا كالأصل: فالتماثل ينسخ الشكل — لكنه يقلبه، كاليد اليسرى واليد اليمنى. فإن كان الحرف الأصلي F، فصورته المرآتية F معكوس، لا F آخر.

## 27.3 محاور الأشكال المعتادة

**مثال 27.5 (عدّ المحاور).**

بالطيّ:

- للمربع $4$ محاور (اثنان يمرّان بمنتصفَي ضلعين متقابلين، واثنان على القطرين)؛
- وللمستطيل $2$ من المحاور (منتصفا الضلعين المتقابلين لا غير!)؛
- وللمثلث المتساوي الساقين $1$ ؛ وللمتساوي الأضلاع $3$ ؛
- وللدائرة كل مستقيم يمرّ بمركزها — محاور أكثر من أن تُعدّ.

**مثال 27.6 (التماثل في الأبجدية).**

الحروف A و M و T و U و V لها محور رأسي؛ والحروف B و C و D و E لها محور أفقي؛ والحروف H و I و O و X لها المحوران معًا. وكلمات مصنوعة من الحروف المناسبة قد تكون متماثلة أيضًا: فكلمة MUM لها محور رأسي؛ وكلمة OXO تنجح في الاتجاهين.

## 27.4 تمارين

**تمرين 27.1 ★.**

اِنقل واطوِ: أيّها له [محور تماثل](#def-g4-symmetry-def) — مربع؛ أم مستطيل (غير مربع)؛ أم مثلث مختلف الأضلاع (كل أضلاعه مختلفة)؛ أم دائرة؟

**حل التمرين 27.1.**

المربع: نعم ($4$ محاور). والمستطيل: نعم ($2$). والمثلث المختلف الأضلاع: لا طيّ ينجح فيه. والدائرة: نعم — أي مستقيم يمرّ بالمركز.

**تمرين 27.2 ★.**

اُرسم محاور التماثل: للمربع؛ وللمستطيل؛ وللمثلث المتساوي الأضلاع. وكم محورًا لكل منها؟

**حل التمرين 27.2.**

المربع: $4$ (خطّا المنتصف، والقطران). والمستطيل: $2$ (خطّا المنتصف لا غير). والمثلث المتساوي الأضلاع: $3$ (واحد يمرّ بكل رأس).

**تمرين 27.3 ★.**

اِستعمل اختبار ورق الشفّ في [المثال 27.2](#ex-g4-symmetry-trace) لتبيّن أن [قطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) مستطيل $6 \times 4$ *ليس* [محور تماثل](#def-g4-symmetry-def).

**حل التمرين 27.3.**

بالطيّ على [القطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle)، يكون للنصفين المثلثين الشكل نفسه لكنهما لا ينطبقان — فأحدهما «مقلوب الاتجاه»: فينزل النقل بجانب الشكل لا عليه. إذن [القطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) ليس محورًا.

**تمرين 27.4 ★.**

على الورق المربّعات، اُرسم محورًا رأسيًّا وحرف L (بارتفاع ثلاثة مربعات وعرض مربعين) على بُعد $2$ من المربعات عن المحور. وأنشئ صورته المرآتية.

**حل التمرين 27.4.**

صورة الحرف L تقع على بُعد $2$ من المربعات من الجهة *الأخرى* للمحور، مكتوبة معكوسة (حرف L مرآتي)، بالأحجام نفسها.

**تمرين 27.5 ★.**

على الورق المربّعات، اُرسم محورًا أفقيًّا وعلمًا صغيرًا (مثلث $1 \times
1$ على سارية من $3$ مربعات) فوقه. وأكمل الشكل بالتماثل تحت المحور.

**حل التمرين 27.5.**

يُظهر الشكل المكتمل العلم وانعكاسه مقلوبًا تحت المحور، السارية تحت السارية.

**تمرين 27.6 ★.**

يمسّ شكل محورَ تماثله في نقطة $P$. فأين صورة $P$؟ اِشرح بصورة الطيّ.

**حل التمرين 27.6.**

لا تتحرك $P$: فالطيّ على المحور يترك كل نقطة *على* المحور في مكانها — فالنقطة $P$ صورة نفسها.

**تمرين 27.7 ★.**

صنّف الحروف الكبيرة A و B و E و F و H و N و O و T: محور رأسي؟ أم محور أفقي؟ أم كلاهما؟ أم لا محور؟

**حل التمرين 27.7.**

المحور الرأسي: A و H و O و T. والمحور الأفقي: B و E و H و O. وكلاهما: H و O. ولا محور: F و N.

**تمرين 27.8 ★.**

مثلث أضلاعه $5$ سم و $5$ سم و $3$ سم. فهل له [محور تماثل](#def-g4-symmetry-def)؟ وأي ضلعين يبدّل الطيّ بينهما؟

**حل التمرين 27.8.**

نعم: فالمثلث متساوي الساقين، ومحوره يمرّ بالرأس الواقع بين ضلعَي $5$ سم وبمنتصف القاعدة $3$ سم. ويبدّل الطيّ بين الضلعين المتساويين.

**تمرين 27.9 ★★.**

على الورق المربّعات، اُرسم شكلًا من عندك له *محورا تماثل بالضبط*، واُرسم المحورين. (تلميح: فكّر في مستطيل، أو في شكل علامة الزائد.)

**حل التمرين 27.9.**

كل شكل له محوران بالضبط يصلح: مستطيل (غير مربع)، أو شكل زائد ذراعاه بطولين مختلفين (أفقي طويل، ورأسي قصير)، أو بيضاوي. والمحوران يتقاطعان دائمًا في مركز الشكل.

**تمرين 27.10 ★★.**

أُعطي نصف رسم متماثل: النصف الأيسر لبيت (جدار مربع ونصف سقف مثلث)، ومحور رأسي على حافته اليمنى. صِف البيت كاملًا أو ارسمه. وكيف تقارن أطوال النصف الأيمن المكتمل بأطوال النصف الأيسر؟

**حل التمرين 27.10.**

البيت الكامل هو النصف الأيسر مع توأمه المرآتي: جدار عرضه ضعف نصف الجدار، تحت سقف مثلث كامل. وكل طول على اليمين يساوي شريكه على اليسار — فالتماثل ينسخ الأطوال بالضبط.

**تمرين 27.11 ★★.**

تدّعي آية: «كل مثلث فيه ضلعان متساويان له [محور تماثل](#def-g4-symmetry-def)، وكل مثلث له [محور تماثل](#def-g4-symmetry-def) ففيه ضلعان متساويان». اِختبر ادّعاءها المزدوج على رسوم: مثلث متساوي الساقين، ومثلث متساوي الأضلاع، ومثلث مختلف الأضلاع. فهل يؤيدها الطيّ؟

**حل التمرين 27.11.**

الرسوم تؤيد الاتجاهين: فالمثلث المتساوي الساقين ينطوي على المستقيم المارّ برأسه (ضلعان متساويان $\to$ محور)؛ والمتساوي الأضلاع ينطوي بثلاث طرق؛ والمختلف الأضلاع لا محور له (لا أضلاع متساوية $\to$ لا محور). وادّعاء آية المزدوج صحيح — وسيُبرهن عليه في [الفصل 42](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/42-axial-symmetry#ch-g6-symmetry).