---
title: "الحساب بالأعداد العشرية"
book: "الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية"
subject: math
language: ar
chapter: 30
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/30-computing-with-decimals
---

# الفصل 30 — الحساب بالأعداد العشرية

الأعداد العشرية تُجمع وتُطرح وتُضرب كالأعداد الصحيحة تقريبًا — والفنّ كله معرفة أين تقع النقطة. يغطي هذا الفصل طرائق الأعمدة وسحر الضرب أو القسمة على $10$ و $100$ و $1000$. (أما ضرب عددين عشريين فينتظر [الفصل 38](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/38-decimal-numbers#ch-g6-decimals).)

## 30.1 الجمع والطرح

**طريقة 30.1 (الأعمدة مع نقطة).**

1. اُكتب الأعداد مع *محاذاة النقاط العشرية* (فتصير الآحاد تحت الآحاد، والأعشار تحت الأعشار)؛
2. واحشُ الجزء العشري الأقصر بالأصفار؛
3. واجمع أو اطرح كما في الأعداد الصحيحة؛
4. وأنزِل نقطة النتيجة مستقيمةً إلى الأسفل.

**مثال 30.2.**

$27.5 + 3.86$ (باحتشاء $27.5 = 27.50$):

$$
\begin{array}{r}
2\,7.5\,0 \\
+\ \ \ 3.8\,6 \\
\hline
3\,1.3\,6
\end{array}
\qquad\qquad
\begin{array}{r}
1\,2.4\,0 \\
-\ \ \ 5.6\,5 \\
\hline
\ \ \,6.7\,5
\end{array}
$$

وفي الطرح ($12.4 - 5.65$): اِحشُ، واستلف كالعادة، وتحقّق بالجمع العكسي: $6.75 + 5.65 = 12.4$.

**مثال 30.3 (المتمّمات الذهنية).**

ماذا يجب أن نضيف إلى $7.6$ لنبلغ $10$؟ اِصعد: من $7.6 \to 8$ مقداره $0.4$، ثم من $8 \to 10$ مقداره $2$: فالمتمّم هو $2.4$. وهو مفيد في [الباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder): ادفع $10$ ثمنًا لشيء قيمته $7.60$، تسترد $2.40$.

## 30.2 عشر مرات أكبر، وعشر مرات أصغر

**قضية 30.4 (الضرب والقسمة على 10 و100 و1000).**

الضرب في $10$ يجعل كل رقم يساوي عشرة أمثال ما كان: فتنزلق الأرقام مرتبة واحدة إلى اليسار — وهو ما يبدو كأنّ *النقطة تنتقل مرتبة واحدة إلى اليمين*. والقسمة تفعل العكس:

$$
3.47 \times 10 = 34.7, \qquad
3.47 \times 100 = 347, \qquad
52.1 \div 10 = 5.21, \qquad
6 \div 100 = 0.06 .
$$

**برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎

![الضرب في 10: كل رقم يصعد مرتبة واحدة إلى اليسار. والنقطة لا تتحرك حقًّا — بل الأرقام هي التي تتحرك.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g5-decimalops/fig-96db54429bf4.svg)

*الضرب في $10$: كل رقم يصعد مرتبة واحدة إلى اليسار. والنقطة لا تتحرك حقًّا — بل الأرقام هي التي تتحرك.*

**مثال 30.5 (التحويلات من جديد).**

وحدات القياس تفصل بينها قوى العشرة، فالتحويلات ليست إلا هذه الانزلاقات: $2.35$ م $= 235$ سم ($\times 100$)؛ و $470$ غ $= 0.47$ كغ ($\div 1000$)؛ و $1.5$ ل $= 150$ سل.

## 30.3 ضرب عدد عشري في عدد صحيح

**طريقة 30.6 (عشري في صحيح).**

احسب كأن لا نقطة هناك، ثم أعطِ النتيجة من الأرقام العشرية بعدد ما في العامل العشري:

$$
4.35 \times 6: \quad 435 \times 6 = 2\,610
\ \to\ 4.35 \times 6 = 26.10 = 26.1 .
$$

وقدِّر لتضع النقطة بثقة: فالعدد $4.35$ قريب من $4$، و $4 \times 6 = 24$ — إذن $26.1$، لا $2.61$ ولا $261$.

**مثال 30.7 (الجمع المتكرر ما زال يعمل).**

$0.75 \times 4 = 0.75 + 0.75 + 0.75 + 0.75 = 3$: فأربعة أرباع تصنع وحدة كاملة، بلباس عشري. والضرب في عدد صحيح ما زال يعني «كذا مرة».

**مثال 30.8 (التسوّق).**

ثلاثة دفاتر ثمن الواحد $2.45$ وقلم ثمنه $1.20$:

1. الدفاتر: $2.45 \times 3 = 7.35$ ؛
2. [والمجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) : $7.35 + 1.20 = 8.55$ ؛
3. [والباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) من $10$ : $10 - 8.55 = 1.45$ .

## 30.4 تمارين

**تمرين 30.1 ★.**

احسب بالأعمدة: $45.7 + 8.93$؛ $16.25 + 3.75$؛ $0.86 + 12.4$.

**حل التمرين 30.1.**

$45.7 + 8.93 = 54.63$؛ $16.25 + 3.75 = 20$؛ $0.86 + 12.4 = 13.26$.

**تمرين 30.2 ★.**

احسب بالأعمدة وتحقّق: $9.4 - 2.72$؛ $20 - 13.45$؛ $6.03 - 5.9$.

**حل التمرين 30.2.**

$9.4 - 2.72 = 6.68$ (التحقّق: $6.68 + 2.72 = 9.4$).

$20 - 13.45 = 6.55$ (التحقّق: $6.55 + 13.45 = 20$).

$6.03 - 5.9 = 0.13$.

**تمرين 30.3 ★.**

المتمّمات الذهنية إلى $10$ (كما في [المثال 30.3](#ex-g5-decimalops-complement)): $6.2$؛ $3.75$؛ $9.99$.

**حل التمرين 30.3.**

$6.2 \to 10$: $3.8$. $3.75 \to 10$: $6.25$. $9.99 \to 10$: $0.01$.

**تمرين 30.4 ★.**

احسب بلا أعمدة:

$$
7.24 \times 10, \qquad
0.58 \times 100, \qquad
34.5 \div 10, \qquad
7 \div 100, \qquad
0.3 \times 1000 .
$$

**حل التمرين 30.4.**

$72.4$؛ $58$؛ $3.45$؛ $0.07$؛ $300$.

**تمرين 30.5 ★.**

حوِّل: $4.05$ م بالسنتيمتر؛ $325$ سم بالمتر؛ $0.6$ كغ بالغرام؛ $85$ سل باللتر.

**حل التمرين 30.5.**

$4.05$ م $= 405$ سم؛ $325$ سم $= 3.25$ م؛ $0.6$ كغ $= 600$ غ؛ $85$ سل $= 0.85$ ل.

**تمرين 30.6 ★.**

قدِّر أولًا، ثم احسب: $6.2 \times 4$؛ $3.45 \times 8$؛ $12.5 \times 6$.

**حل التمرين 30.6.**

$6.2 \times 4$: التقدير $24$؛ وبالضبط $24.8$.

$3.45 \times 8$: التقدير $28$ ($3.5 \times 8$)؛ وبالضبط $27.6$.

$12.5 \times 6$: التقدير $75$؛ وبالضبط $75$.

**تمرين 30.7 ★.**

طول لفّة واحدة من مضمار $0.4$ كم. فكم يبلغ طول $7$ لفّات؟ و $25$ لفّة؟

**حل التمرين 30.7.**

$7$ لفّات: $0.4 \times 7 = 2.8$ كم. و $25$ لفّة: $0.4 \times 25 = 10$ كم.

**تمرين 30.8 ★.**

تشتري لينا $2$ من الأرغفة ثمن الواحد $1.15$ وكعكة ثمنها $12.60$. وتدفع بورقة $20$. احسب [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) ما دفعت [والباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) لها.

**حل التمرين 30.8.**

الأرغفة: $1.15 \times 2 = 2.30$. [والمجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def): $2.30 + 12.60 = 14.90$. [والباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder): $20 - 14.90 = 5.10$.

**تمرين 30.9 ★.**

تسع قنينة $1.5$ ل. فكم لترًا في رزمة من $6$ قنينات؟ وتشرب أسرة $0.75$ ل في اليوم: فكم يومًا تكفيها الرزمة الواحدة؟ (كم مرة يدخل $0.75$ في $9$؟)

**حل التمرين 30.9.**

الرزمة: $1.5 \times 6 = 9$ ل. والأيام: $0.75 + 0.75 = 1.5$ ل كل يومين، إذن تكفي $9$ ل مدة $12$ يومًا (اثنتا عشرة حصة من $0.75$: $12 \times 0.75 = 9$).

**تمرين 30.10 ★★.**

يحسب مالك $5.6 \times 3 = 15.18$، محتجًّا بأن «$5 \times 3 = 15$ و $6 \times 3 = 18$». اِستعمل تقديرًا لتبيّن أن الجواب لا بد أن يكون خاطئًا، ثم احسب بالصواب.

**حل التمرين 30.10.**

التقدير: $5.6$ أكبر من $5.5$، و $5.5 \times 3 = 16.5$ — إذن يجب أن يكون [الجداء](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/10-multiplication-first-steps#def-g2-mult-def) *أكبر* من $16.5$، والعدد $15.18$ أصغر من ذلك. وبالصواب: $56 \times 3 = 168$، ورقم عشري واحد، إذن $5.6 \times 3 = 16.8$. وقد ألصق مالك جداءيه الجزئيين ($15$ و $18$) جنبًا إلى جنب بدل جمعهما بمراتبهما: $15 + 1.8 = 16.8$.

**تمرين 30.11 ★★.**

دارت أربع لفّات لعدّاءة في $65.4$ ثا و $64.9$ ثا و $65.0$ ثا و $66.1$ ثا.

1. احسب الزمن الكلي للفّات الأربع.
2. والرقم القياسي لأربع لفّات هو $260$ ثا. فهل حطّمته؟ وبكم؟

**حل التمرين 30.11.**

*1.* $65.4 + 64.9 + 65.0 + 66.1 = 261.4$ ثا.

*2.* $261.4 > 260$: فهي لم تحطّم الرقم القياسي؛ بل تجاوزته بمقدار $1.4$ ثا.