---
title: "الكسور أعدادًا"
book: "الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية"
subject: math
language: ar
chapter: 31
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/31-fractions-as-numbers
---

# الفصل 31 — الكسور أعدادًا

[الكسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) ليس مجرد صورة لفطيرة: بل هو *عدد* حقيقي، له مكان على مستقيم الأعداد — وقد يكون المكان نفسه الذي يقع فيه عدد عشري. يصل هذا الفصل بين العالمين. (أما قواعد حساب الكسور كاملةً فتأتي في [الفصل 39](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/39-fractions-first-steps#ch-g6-fractions) وما بعده.)

## 31.1 الكسور على المستقيم من جديد

**مثال 31.1 (الوضع والقراءة).**

على مستقيم مقطوع أخماسًا، يقع $\frac{7}{5}$ على بُعد $7$ خطوات من $0$: بعد $1$ (وهو $\frac55$)، عند $1 + \frac25$. فكل [كسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) يعيش في مكان ما على المستقيم؛ [والبسط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) الأكبر (عند تساوي [المقام](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def)) يعني موضعًا أبعد نحو اليمين.

**قضية 31.2 (نقطة واحدة، وأسماء كثيرة).**

قطع كل جزء إلى جزأين (أو ثلاثة …) لا يحرّك النقطة:

$$
\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{5}{10},
\qquad
\frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{20}{30}.
$$

فضرب [البسط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) [والمقام](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) (أو قسمتهما) على العدد نفسه يعطي اسمًا آخر [للكسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) نفسه.

**برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎

![ثلاثة أشرطة، وثلاثة أسماء، ومقدار واحد: 1/2 = 2/4 = 5/10.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g5-fractions/fig-4f3e64597041.svg)

*ثلاثة أشرطة، وثلاثة أسماء، ومقدار واحد: $\frac12 = \frac24 =
\frac{5}{10}$.*

## 31.2 الكسور والأعداد العشرية

**قضية 31.3 (كسور لها أسماء عشرية).**

كسور الأعشار والأجزاء من مئة والأجزاء من ألف *هي* أعداد عشرية:

$$
\frac{3}{10} = 0.3, \qquad \frac{27}{100} = 0.27 .
$$

وبعض الكسور الأخرى له أسماء عشرية أيضًا، تُوجد بالانتقال إلى الأعشار أو الأجزاء من مئة:

$$
\frac{1}{2} = \frac{5}{10} = 0.5, \qquad
\frac{1}{4} = \frac{25}{100} = 0.25, \qquad
\frac{3}{4} = 0.75, \qquad
\frac{1}{5} = \frac{2}{10} = 0.2 .
$$

لكن ليس كلها: [فالكسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) $\frac13 = 0.333\dots$ لا ينتهي أبدًا — [والكسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) هو اسمه الدقيق الوحيد.

**برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎

![مستقيم واحد، ولغتان: فكل نقطة يمكن أن تحمل اسمًا كسريًّا واسمًا عشريًّا.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g5-fractions/fig-b13d61484ddb.svg)

*مستقيم واحد، ولغتان: فكل نقطة يمكن أن تحمل اسمًا كسريًّا واسمًا عشريًّا.*

**مثال 31.4 (اختيار الاسم الأيسر).**

لدفع ثلاثة أرباع $12$: الاسم الكسري أيسر، إذ $\frac34$ من $12$ هو $9$. ولمقارنة $\frac34$ و $0.8$: الاسم العشري أيسر، $0.75 < 0.8$. فإتقان اللغتين يفيد.

## 31.3 مقارنة الكسور

**طريقة 31.5 (ثلاث أدوات للمقارنة).**

1. *[المقام](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) نفسه* : الأجزاء الأكثر تفوز، $\frac57 > \frac37$ ؛
2. و *[البسط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) نفسه* : الأجزاء الأكبر تفوز، [فالمقام](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) *الأصغر* يفوز: $\frac35 > \frac38$ (فالأخماس أكبر من الأثمان)؛
3. و *المعالم* : قارن كلًّا منهما بالعدد $\frac12$ أو بالعدد $1$ : $\frac38 < \frac12 < \frac59$ ، إذن $\frac38 < \frac59$ .

**مثال 31.6.**

أيّهما أكل بيتزا أكثر: علي وقد أكل $\frac58$ أم بثينة وقد أكلت $\frac54$؟ [كسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) بثينة أكبر من $1$ (فخمسة أرباع أكثر من بيتزا كاملة واحدة)، [وكسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) علي أصغر من $1$: فبثينة أكلت أكثر — بل أكثر من بيتزا كاملة.

## 31.4 تمارين

**تمرين 31.1 ★.**

اُرسم مستقيم أعداد مقطوعًا أخماسًا من $0$ إلى $2$، وضع عليه: $\frac25$؛ $\frac55$؛ $\frac85$؛ $\frac{10}{5}$.

**حل التمرين 31.1.**

$\frac25$: خطوتان من $0$؛ و $\frac55$: على $1$؛ و $\frac85$: ثلاث خطوات بعد $1$؛ و $\frac{10}{5}$: على $2$.

**تمرين 31.2 ★.**

أكمل الأسماء المتساوية: $\frac12 = \frac{?}{8}$; $\frac34 = \frac{?}{8}$; $\frac{2}{5} = \frac{4}{?}$; $\frac{6}{9} = \frac{2}{?}$.

**حل التمرين 31.2.**

$\frac12 = \frac48$؛ $\frac34 = \frac68$؛ $\frac25 = \frac{4}{10}$؛ $\frac69 = \frac23$.

**تمرين 31.3 ★.**

أي الكسور تسمّي أعدادًا صحيحة؟ أعطِ العدد الصحيح عند ذلك: $\frac82$؛ $\frac{9}{4}$؛ $\frac{15}{3}$؛ $\frac{20}{5}$.

**حل التمرين 31.3.**

$\frac82 = 4$؛ $\frac94$ ليس صحيحًا (فالعدد $9$ ليس مضاعفًا للعدد $4$)؛ $\frac{15}{3} = 5$؛ $\frac{20}{5} = 4$.

**تمرين 31.4 ★.**

اُكتب على صورة أعداد عشرية: $\frac{7}{10}$؛ $\frac{41}{100}$؛ $\frac12$؛ $\frac34$؛ $\frac15$.

**حل التمرين 31.4.**

$0.7$؛ $0.41$؛ $0.5$؛ $0.75$؛ $0.2$.

**تمرين 31.5 ★.**

اُكتب على صورة كسور (أعشار أو أجزاء من مئة): $0.9$؛ $0.13$؛ $2.5$؛ $0.75$ (ثم أعطِ اسمه بالأرباع).

**حل التمرين 31.5.**

$0.9 = \frac{9}{10}$؛ $0.13 = \frac{13}{100}$؛ $2.5 = \frac{25}{10}$؛ $0.75 = \frac{75}{100} = \frac34$.

**تمرين 31.6 ★.**

قارن، مع تسمية الأداة المستعملة ([الطريقة 31.5](#met-g5-fractions-compare)):

$$
\frac47 \;?\; \frac67, \qquad
\frac35 \;?\; \frac37, \qquad
\frac25 \;?\; \frac{7}{12}, \qquad
\frac98 \;?\; \frac{11}{12} .
$$

**حل التمرين 31.6.**

$\frac47 < \frac67$ ([المقام](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) نفسه). $\frac35 > \frac37$ ([البسط](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) نفسه: فالأخماس أكبر). $\frac25 < \frac12 < \frac{7}{12}$، إذن $\frac25 < \frac{7}{12}$ (بمَعلَم $\frac12$). $\frac98 > 1 > \frac{11}{12}$ (بمَعلَم $1$).

**تمرين 31.7 ★.**

رتّب بالأسماء العشرية: $\frac12$؛ $0.4$؛ $\frac34$؛ $0.6$؛ $\frac15$.

**حل التمرين 31.7.**

بالأعداد العشرية: $0.5$؛ $0.4$؛ $0.75$؛ $0.6$؛ $0.2$. والترتيب:

$$
\frac15 < 0.4 < \frac12 < 0.6 < \frac34 .
$$

**تمرين 31.8 ★.**

ربع تلاميذ صفّ من $28$ يعزفون آلة، ونصفهم يمارسون رياضة. فكم تلميذًا في كل مجموعة؟ وأي المجموعتين أكبر؟

**حل التمرين 31.8.**

الآلة: $\frac14$ من $28 = 7$. والرياضة: $\frac12$ من $28 = 14$. فمجموعة الرياضة أكبر.

**تمرين 31.9 ★.**

اِربط كل [كسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) بمدة: $\frac14$ سا، و $\frac12$ سا، و $\frac34$ سا، و $\frac{1}{60}$ سا — والمدد هي $30$ د، و $45$ د، و $1$ د، و $15$ د.

**حل التمرين 31.9.**

$\frac14$ سا $= 15$ د؛ و $\frac12$ سا $= 30$ د؛ و $\frac34$ سا $= 45$ د؛ و $\frac{1}{60}$ سا $= 1$ د.

**تمرين 31.10 ★★.**

شرب عمر $\frac35$ من قنينته [سعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/12-money-and-measures#def-g2-measure-units) $50$ سل؛ وشربت آية $\frac12$ من قنينتها [سعة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/12-money-and-measures#def-g2-measure-units) $60$ سل. فأيّهما شرب أكثر؟ (احسب المقدارين بالسنتيلتر — فمقارنة الكسور المجرّدة لا تكفي هنا، وقل لماذا.)

**حل التمرين 31.10.**

عمر: $\frac35$ من $50 = 30$ سل. وآية: $\frac12$ من $60 = 30$ سل. فقد شربا المقدار نفسه! والكسور المجرّدة ($\frac35 > \frac12$) تقارن حصصًا من قنينتين *مختلفتين* — ولا يمكن أن تُقارن إلا المقادير الفعلية.

**تمرين 31.11 ★★.**

أعطِ كسرًا يقع تمامًا بين $\frac12$ و $1$؛ ثم كسرًا يقع تمامًا بين $\frac12$ و $\frac34$. (وقد تساعد الأسماء العشرية.)

**حل التمرين 31.11.**

بين $\frac12$ و $1$: مثلًا $\frac34$ (أي $0.75$). وبين $\frac12 = 0.5$ و $\frac34 = 0.75$: مثلًا $0.6 =
\frac35$.