---
title: "القسمة والمضاعفات"
book: "الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية"
subject: math
language: ar
chapter: 32
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/32-division-and-multiples
---

# الفصل 32 — القسمة والمضاعفات

القسمة المطوّلة التي تعلّمناها في [الفصل 23](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/23-division#ch-g4-division) تنال ترقيتين: قواسم من رقمين، وخوارج قسمة تمضي بعد النقطة — فالعملية $3 \div 4$ تنال أخيرًا جوابًا، هو $0.75$. ويختم الفصل [بالمضاعفات](#def-g5-division-multiple) والقواسم وأولى مختصرات القابلية للقسمة.

## 32.1 القسمة على عدد من رقمين

**طريقة 32.1 (القواسم ذات الرقمين).**

الطريقة نفسها كما قبل، مع مهارة إضافية: تخمين عدد المرات التي يدخل فيها القاسم. فاكتب أولًا جدولًا صغيرًا [لمضاعفات](#def-g5-division-multiple) القاسم. وفي $986 \div 23$ ([مضاعفات](#def-g5-division-multiple) 23: 23، 46، 69، 92، 115، 138، 161، 184، 207):

1. $98$ عشرة: يدخل $23 \times 4 = 92$ ، ولا يدخل $23 \times 5 = 115$ : فالرقم $4$ ، [والباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $6$ ؛
2. وأنزِل $6$ : فيصير $66$ : ويدخل $23 \times 2 = 46$ : فالرقم $2$ ، [والباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $20$ ؛
3. [فخارج القسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $42$ ، [والباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $20$ . والتحقّق: $23 \times 42 + 20 = 966 + 20 = 986$ .

## 32.2 خوارج القسمة العشرية

**مثال 32.2 (القسمة التي ترفض التوقف عند الباقي).**

اِقسم $3$ بيتزات بين $4$ أطفال: للعملية $3 \div 4$ [خارج قسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $0$ وباقٍ $3$ — ولا فائدة منه! فواصل القسمة بعد النقطة:

1. $3$ وحدات $= 30$ عُشرًا؛ و $30 \div 4$ : $7$ أعشار، [والباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $2$ من الأعشار؛
2. و $2$ من الأعشار $= 20$ جزءًا من مئة؛ و $20 \div 4 = 5$ أجزاء من مئة، [والباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $0$ .

إذن $3 \div 4 = 0.75$: فينال كل طفل $0.75$ بيتزا — أي ثلاثة أرباع، كما كانت لغة الكسور تعرف من قبل ([القضية 31.3](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/31-fractions-as-numbers#prop-g5-fractions-decimal)).

**طريقة 32.3 (مواصلة القسمة بعد النقطة).**

حين تنفد الآحاد ويبقى باقٍ:

1. اُكتب [النقطة العشرية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/25-tenths-and-hundredths#def-g4-decimals-point) في [خارج القسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) ؛
2. وألحِق صفرًا [بالباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) (فتصير الآحاد أعشارًا، والأعشار أجزاءً من مئة …) وواصل القسمة؛
3. وقف حين يصير [الباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $0$ — أو حين تبدأ الأرقام تتكرر بلا نهاية، مثل $1 \div 3 = 0.333\dots$ : فأعطِ عندئذٍ قيمة مقرَّبة.

**مثال 32.4.**

$27 \div 6$: [خارج القسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $4$، [والباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $3$؛ ثم النقطة؛ و $30$ عُشرًا $\div\ 6 = 5$: إذن $27 \div 6 = 4.5$. وفي $22 \div 8$: $2$، [والباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $6$؛ ثم $60 \div 8 = 7$ [والباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $4$؛ ثم $40 \div 8 = 5$: إذن $22 \div 8 = 2.75$.

## 32.3 المضاعفات والقواسم

**تعريف 32.5 (المضاعف والقاسم).**

*مضاعفات* العدد $6$ هي جدوله ممتدًّا إلى ما لا نهاية: $0, 6, 12, 18, 24, \dots$ وحين يكون $24$ مضاعفًا للعدد $6$، نقول أيضًا إن $6$ *قاسم* للعدد $24$، أو إن $24$ *قابل للقسمة* على $6$: فالقسمة $24 \div 6$ لا تترك باقيًا.

**قضية 32.6 (مختصرات القابلية للقسمة).**

بلا قسمة، يكون العدد قابلًا للقسمة:

- على $2$ حين يكون رقمه الأخير $0$ أو $2$ أو $4$ أو $6$ أو $8$ (وهي [الأعداد الزوجية](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd) )؛
- وعلى $5$ حين يكون رقمه الأخير $0$ أو $5$ ؛
- وعلى $10$ حين يكون رقمه الأخير $0$ ؛
- وعلى $3$ حين يكون *مجموع أرقامه* قابلًا للقسمة على $3$ (مثلًا $741$ : $7 + 4 + 1 = 12$ ، وهو قابل — وفعلًا $741 = 3 \times 247$ ).

**برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎

![الأعداد من 1 إلى 30: مضاعفات 2 ومضاعفات 3 ترسم أنماطًا — والأعداد التي تحمل العلامتين معًا (6 و 12 و 18 و 24 و 30) هي بالضبط مضاعفات 6.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g5-division/fig-473175f742af.svg)

*الأعداد من $1$ إلى $30$: [مضاعفات](#def-g5-division-multiple) $2$ [ومضاعفات](#def-g5-division-multiple) $3$ ترسم أنماطًا — والأعداد التي تحمل العلامتين معًا ($6$ و $12$ و $18$ و $24$ و $30$) هي بالضبط [مضاعفات](#def-g5-division-multiple) $6$.*

**مثال 32.7.**

هل $534$ قابل للقسمة على $2$؟ ينتهي بالرقم $4$: نعم. وعلى $5$؟ لا. وعلى $3$؟ $5 + 3 + 4 = 12$: نعم. إذن $534$ قابل للقسمة على $6$ أيضًا (على $2$ *وعلى* $3$) — والتحقّق: $534 = 6 \times 89$.

## 32.4 تمارين

**تمرين 32.1 ★.**

احسب القسمات المطوّلة (بجدول [المضاعفات](#def-g5-division-multiple) أولًا): $851 \div 23$؛ $704 \div 32$.

**حل التمرين 32.1.**

$851 \div 23$: [مضاعفات](#def-g5-division-multiple) $23$: $23, 46, 69, 92, 115, 138, 161,
184, 207$. ثم $85 \div 23$: $3$ مرات ($69$)، [والباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $16$؛ وأنزِل $1$: فيصير $161 \div 23 = 7$ بالضبط. [خارج القسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $37$، [والباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $0$ ($23 \times 37 = 851$).

$704 \div 32$: و $70 \div 32$: $2$ مرتان ($64$)، [والباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $6$؛ وأنزِل $4$: فيصير $64 \div 32 = 2$. [خارج القسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $22$، [والباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $0$.

**تمرين 32.2 ★.**

احسب [خوارج القسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) العشرية الدقيقة: $9 \div 2$؛ $27 \div 4$؛ $33 \div 5$؛ $21 \div 8$.

**حل التمرين 32.2.**

$9 \div 2 = 4.5$؛ $27 \div 4 = 6.75$؛ $33 \div 5 = 6.6$؛ $21 \div 8 = 2.625$.

**تمرين 32.3 ★.**

يتقاسم أربعة أصدقاء فاتورة مطعم قدرها $54$ بالتساوي. فكم يدفع كل واحد؟ (واصل بعد النقطة.)

**حل التمرين 32.3.**

$54 \div 4 = 13.5$: يدفع كل واحد $13.50$.

**تمرين 32.4 ★.**

احسب $10 \div 3$، مواصلًا ثلاثة أرقام بعد النقطة. فماذا تلاحظ؟ وأعطِ القيمة مقرَّبة إلى الجزء من مئة.

**حل التمرين 32.4.**

$10 \div 3 = 3.333\dots$: فالرقم $3$ يتكرر بلا نهاية — والقسمة لا تتوقف أبدًا. ومقرَّبًا إلى الجزء من مئة: $3.33$.

**تمرين 32.5 ★.**

اُذكر: [مضاعفات](#def-g5-division-multiple) $7$ حتى $70$؛ وقواسم $18$؛ وقواسم $24$.

**حل التمرين 32.5.**

[مضاعفات](#def-g5-division-multiple) $7$ حتى $70$: $7$، $14$، $21$، $28$، $35$، $42$، $49$، $56$، $63$، $70$. وقواسم $18$: $1$، $2$، $3$، $6$، $9$، $18$. وقواسم $24$: $1$، $2$، $3$، $4$، $6$، $8$، $12$، $24$.

**تمرين 32.6 ★.**

أقابل للقسمة على $2$؟ وعلى $5$؟ وعلى $10$؟ وعلى $3$؟ اِختبر كل مختصر على: $470$؛ $735$؛ $8\,001$؛ $1\,314$.

**حل التمرين 32.6.**

$470$: على $2$ (ينتهي بالرقم $0$)، وعلى $5$، وعلى $10$؛ ومجموع أرقامه $11$: فليس على $3$.

$735$: ينتهي بالرقم $5$: فعلى $5$، لا على $2$ ولا على $10$؛ [ومجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) أرقامه $15$: فعلى $3$.

$8\,001$: فردي؛ ومجموع أرقامه $9$: فعلى $3$ وحده.

$1\,314$: زوجي؛ ومجموع أرقامه $9$: فعلى $2$ وعلى $3$ (ومن ثَمّ على $6$)، لا على $5$.

**تمرين 32.7 ★.**

جِد كل الأعداد بين $60$ و $80$ القابلة للقسمة على $3$ *وعلى* $5$. (وأي قابلية واحدة يجمعها ذلك؟)

**حل التمرين 32.7.**

القابلية للقسمة على $3$ وعلى $5$ تعني القابلية للقسمة على $15$: وبين $60$ و $80$، العددان $60$ و $75$.

**تمرين 32.8 ★.**

يُقطع شريط طوله $7.2$ م إلى $6$ قطع متساوية. فكم يبلغ طول كل قطعة؟ (اِقسم عددًا عشريًّا على صحيح: اِقسم الأمتار، ثم الأعشار.)

**حل التمرين 32.8.**

$7.2 \div 6 = 1.2$: فطول كل قطعة $1.2$ م (والتحقّق: $1.2 \times 6 = 7.2$).

**تمرين 32.9 ★.**

تُرزم $1\,000$ كرة في أكياس من $24$. فكم كيسًا ممتلئًا، وكم كرة تبقى؟ (بقاسم من رقمين.)

**حل التمرين 32.9.**

$1\,000 = 24 \times 41 + 16$: واحد وأربعون كيسًا ممتلئًا، وتبقى $16$ كرة.

**تمرين 32.10 ★★.**

أيستطيع $5$ أصدقاء أن يتقاسموا $7$ ألواح شوكولاتة بالتساوي بلا باقٍ؟ أعطِ نصيب كل واحد عددًا عشريًّا. والسؤال نفسه في حالة $7$ أصدقاء يتقاسمون $5$ ألواح — فما الذي يختلف؟

**حل التمرين 32.10.**

$7 \div 5 = 1.4$: ينال كل واحد من الأصدقاء $5$ مقدار $1.4$ لوح — وذلك ممكن بقطع الألواح أعشارًا. أما $5 \div 7$: فالقسمة تعطي $0.714285\dots$، وهي لا تنتهي أبدًا — فلا وجود لنصيب عشري دقيق؛ ولا يسمّيه بالضبط إلا [الكسر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/24-first-fractions#def-g4-fractions-def) $\frac57$.

**تمرين 32.11 ★★.**

مستعملًا مختصر مجموع الأرقام، جِد أصغر رقم $d$ يجعل $52d$ (عددًا من ثلاثة أرقام ينتهي بالرقم $d$) قابلًا للقسمة على $3$. ثم جِد كل الأرقام $d$ الممكنة.

**حل التمرين 32.11.**

مجموع الأرقام: $5 + 2 + d = 7 + d$. ويكون قابلًا للقسمة على $3$ حين يكون $7 + d$ هو $9$ أو $12$ أو $15$: أي $d = 2$ أو $5$ أو $8$. وأصغرها $d = 2$ (فيعطي $522 = 3 \times 174$).