---
title: "الإنشاءات الهندسية"
book: "الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية"
subject: math
language: ar
chapter: 33
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/33-geometric-constructions
---

# الفصل 33 — الإنشاءات الهندسية

المسطرة والكوس والفرجار: بهذه الأدوات الثلاث وشيء من المنهج، يمكن بناء أي شكل موصوف بالكلمات بناءً دقيقًا. ينشئ هذا الفصل الأعمدة والمتوازيات والمثلثات والرباعيات الخاصة — الحرفة أولًا، والنظرية لاحقًا (الفصول [40](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/40-lines-circles-and-angles#ch-g6-lines) و[41](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/41-triangles-and-quadrilaterals#ch-g6-shapes)).

## 33.1 الأعمدة والمتوازيات المارّة بنقطة

**طريقة 33.1 (الإنشاءان الأساسيان).**

*العمودي على $d$ المارّ بالنقطة $A$*: أزلق الكوس على $d$ حتى يبلغ حرفه الآخر ذو [الزاوية القائمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle) النقطة $A$؛ ثم اُرسم؛ وعلّم [الزاوية القائمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle).

*الموازي للمستقيم $d$ المارّ بالنقطة $A$*: ثبّت مسطرة على الكوس كسكّة موضوعة على $d$؛ وأزلق الكوس حتى $A$؛ ثم اُرسم. (والتحقّق: المسافة بين المستقيمين هي نفسها في كل مكان.)

**مثال 33.2 (تسلسل الإنشاءات).**

كثير من الأشكال سلاسل من هاتين الحركتين. فمستطيل $ABCD$ فيه $AB = 5$ سم و $BC = 3$ سم: اُرسم $[AB]$؛ ثم العمودي عند $A$؛ ثم العمودي عند $B$؛ وعلّم $D$ و $C$ على بُعد $3$ سم من الجهة نفسها؛ ثم صِل. فكل خطوة إنشاء أساسي واحد.

## 33.2 المثلثات بالفرجار

**طريقة 33.3 (مثلث من ثلاثة أضلاع).**

لبناء مثلث أضلاعه $6$ سم و $5$ سم و $4$ سم:

1. اُرسم الضلع الأطول، $[AB]$ حيث $AB = 6$ سم؛
2. وقوسًا مركزه $A$ ونصف قطره $5$ سم؛
3. وقوسًا مركزه $B$ ونصف قطره $4$ سم؛
4. وتقاطعهما هو الرأس الثالث $C$ ؛ ثم صِل.

والفرجار يضمن الأطوال: فكل نقطة من القوس الأول تبعد $5$ سم بالضبط عن $A$.

![قوسان وتقاطع واحد: المثلث 6–5–4 مبنيًّا بالفرجار. (ولو كان الضلعان القصيران معًا أقصر من القاعدة، لما التقى القوسان — والمزيد عن ذلك في .)](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g5-geometry/fig-edb3853c8809.svg)

*قوسان وتقاطع واحد: المثلث $6$–$5$–$4$ مبنيًّا بالفرجار. (ولو كان الضلعان القصيران معًا أقصر من القاعدة، لما التقى القوسان — والمزيد عن ذلك في [الفصل 51](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/51-triangles-and-angles#ch-g7-triangles).)*

**مثال 33.4 (المتساوي الساقين والمتساوي الأضلاع مجانًا).**

فتحة الفرجار نفسها للقوسين $\Rightarrow$ مثلث متساوي الساقين. وفتحة تساوي القاعدة $\Rightarrow$ متساوي الأضلاع. والفرجار لا يقيس: بل *ينسخ* الأطوال، وذلك أفضل.

## 33.3 الرباعيات الخاصة بالإنشاء

**طريقة 33.5 (بناء العائلة).**

1. *المستطيل* : زوجان من المتوازيات يتقاطعان في [زوايا قائمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle) — أو سلسلة [المثال 33.2](#ex-g5-geometry-chain) ؛
2. و *المربع* : مستطيل تستعمل أضلاعه الأربعة الطول نفسه — اِنقله بالفرجار؛
3. و *المعيّن* : أربعة أضلاع متساوية — اُرسم ضلعًا، ثم قوسان من طرفيه بالفتحة نفسها يحددان الرأسين الآخرين (فالمعيّن مثلثان متساويا الساقين ملصوقان على [قطر](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-circle) ).

وبعد البناء، *تحقّق* دائمًا بالأدوات: الكوس على الأركان، والفرجار على الأضلاع.

**مثال 33.6 (التعرّف من وصف).**

«[رباعي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/26-lines-and-polygons#def-g4-geometry-polygon) أضلاعه الأربعة $4$ سم وفيه [زاوية قائمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle)» — اِبنه: فالأضلاع الأربعة المتساوية تفرض شكل معيّن، وضغط ركن واحد إلى [زاوية قائمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle) يقوّم الأركان الأخرى كلها: فالنتيجة مربع. وبعض الأوصاف تصف سرًّا شكلًا أخصّ مما تعلن. (وسبب انتشار [الزاوية القائمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle) إلى الأركان الأربعة مشروح في [الفصل 52](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/52-central-symmetry-and-parallelograms#ch-g7-central).)

## 33.4 الدوائر في الإنشاءات

**مثال 33.7 (الدائرة أداةً).**

«جِد كل النقط التي تبعد $3$ سم عن $A$»: هي الدائرة التي مركزها $A$ ونصف قطرها $3$ سم. و«جِد كل النقط التي تبعد $3$ سم عن $A$ *و* $4$ سم عن $B$»: اُرسم الدائرتين؛ وتقاطعاتهما (نقطتان أو نقطة أو لا نقطة) هي الأجوبة. وخرائط الكنوز وإنشاءات المثلثات تستعمل هذه الفكرة بالضبط.

## 33.5 تمارين

**تمرين 33.1 ★.**

اُرسم مستقيمًا $d$ ونقطة $A$ على بُعد $3$ سم منه تقريبًا. وأنشئ العمودي على $d$ المارّ بالنقطة $A$، ثم الموازي للمستقيم $d$ المارّ بالنقطة $A$. وعلّم [الزوايا القائمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle).

**حل التمرين 33.1.**

الإنشاءان يتبعان [الطريقة 33.1](#met-g5-geometry-basic)؛ والعمودي والموازي المارّان بالنقطة $A$ متعامدان هما نفسهما.

**تمرين 33.2 ★.**

أنشئ مستطيلًا $ABCD$ فيه $AB = 7$ سم و $BC = 4$ سم، متّبعًا [المثال 33.2](#ex-g5-geometry-chain). وتحقّق من الزاوية الرابعة بالكوس: فإن كان الإنشاء دقيقًا كانت قائمة تلقائيًّا.

**حل التمرين 33.2.**

سلسلة أعمدة كما في [المثال 33.2](#ex-g5-geometry-chain). فإن كانت الزوايا الثلاث المبنيّة قائمة تمامًا والأطوال دقيقة، فلا خيار للزاوية الرابعة إلا أن تكون قائمة هي أيضًا — فالمستطيل المبنيّ جيدًا يتحقق من نفسه.

**تمرين 33.3 ★.**

أنشئ مثلثًا أضلاعه $7$ سم و $6$ سم و $3$ سم ([الطريقة 33.3](#met-g5-geometry-triangle)).

**حل التمرين 33.3.**

القاعدة $[AB]$ من $7$ سم؛ وقوسان نصفا قطريهما $6$ سم (من $A$) و $3$ سم (من $B$)؛ وتقاطعهما هو $C$.

**تمرين 33.4 ★.**

أنشئ مثلثًا متساوي الساقين قاعدته $5$ سم وساقاه $7$ سم؛ ثم مثلثًا متساوي الأضلاع طول ضلعه $6$ سم.

**حل التمرين 33.4.**

المتساوي الساقين: قاعدة $5$ سم، والقوسان بالفتحة $7$ سم نفسها. والمتساوي الأضلاع: قاعدة $6$ سم، والقوسان بالفتحة $6$ سم.

**تمرين 33.5 ★.**

أنشئ مربعًا طول ضلعه $5$ سم. فأي الأدوات تضمن [الزوايا القائمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle)؟ وأيّها يضمن تساوي الأضلاع؟

**حل التمرين 33.5.**

الكوس يضمن [الزوايا القائمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle)؛ والفرجار (أو المسطرة) ينقل ضلع $5$ سم إلى الأضلاع الأربعة.

**تمرين 33.6 ★.**

أنشئ معيّنًا طول ضلعه $4$ سم وليس مربعًا (اختر بنفسك فتحة الركن الأول). وتحقّق من الأضلاع الأربعة بالفرجار.

**حل التمرين 33.6.**

اُرسم ضلعًا $[AB]$ من $4$ سم، واختر اتجاهًا للضلع $[AD]$ (ليس عموديًّا، تجنبًا للمربع)، حيث $AD = 4$ سم؛ ثم قوسان من $4$ سم من $B$ ومن $D$ يتقاطعان في $C$. والفرجار يؤكد الأضلاع الأربعة المتساوية.

**تمرين 33.7 ★.**

اُرسم نقطتين $A$ و $B$ حيث $AB = 5$ سم. وأنشئ كل النقط التي تبعد $4$ سم عن $A$ و $3$ سم عن $B$. فكم عددها؟

**حل التمرين 33.7.**

الدائرة التي مركزها $A$ ونصف قطرها $4$ سم، والدائرة التي مركزها $B$ ونصف قطرها $3$ سم، تتقاطعان في نقطتين *اثنتين* (واحدة فوق المستقيم $(AB)$ وواحدة تحته)، لأن $4 + 3 > 5$ فتتداخل الدائرتان.

**تمرين 33.8 ★.**

اُكتب برنامج إنشاء (خطوات مرقّمة، ونقاط مسمّاة) لمستطيل $6$ سم $\times$ $2$ سم يعلوه مثلث متساوي الساقين ساقاه $4$ سم (على هيئة قلم). ودع زميلًا ينفّذه.

**حل التمرين 33.8.**

برنامج صحيح: «1. اُرسم مستطيلًا $ABCD$ فيه $AB = 6$ سم (في الأسفل) و $BC = 2$ سم. 2. اُرسم قوسين نصف قطرهما $4$ سم مركزهما $D$ و $C$ (الركنان العلويان)؛ وسمِّ $S$ تقاطعهما فوق المستطيل. 3. اُرسم $[DS]$ و $[CS]$.» (وسنّ القلم هو المثلث المتساوي الساقين $DSC$.)

**تمرين 33.9 ★★.**

حاول أن تنشئ مثلثًا أضلاعه $8$ سم و $3$ سم و $4$ سم. فماذا يحدث للقوسين؟ اِشرح في جملة واحدة لماذا لا يمكن أن يوجد هذا المثلث.

**حل التمرين 33.9.**

القوسان نصفا قطريهما $3$ سم و $4$ سم، مرسومين من طرفَي القاعدة $8$ سم، لا يلتقيان أبدًا: فحتى طرفًا إلى طرف، $3 + 4 = 7$ سم لا تمتد عبر $8$ سم. [فمجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) ضلعين يجب أن يكون دائمًا أطول من الثالث — وإلا لم ينغلق المثلث.

**تمرين 33.10 ★★.**

أنشئ معيّنًا قطراه $6$ سم و $4$ سم، عالمًا أن قطرَي المعيّن يتقاطعان في منتصفيهما في [زاوية قائمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/18-shapes-and-right-angles#def-g3-shapes-rightangle): اُرسم القطرين *أولًا*، ثم صِل بين أطرافهما الأربعة.

**حل التمرين 33.10.**

اُرسم قطعة من $6$ سم ومنتصفها $O$؛ ثم العمودي عند $O$؛ وعلّم عليه نقطتين على بُعد $2$ سم من $O$ (واحدة في كل جهة)؛ ثم صِل بين الأطراف الأربعة بالترتيب. والفرجار يؤكد الأضلاع الأربعة المتساوية.

**تمرين 33.11 ★★.**

مِعزاة مربوطة إلى وتد $A$ بحبل طوله $4$ م، في حقل مستوٍ فيه سياج مستقيم يمرّ على بُعد $3$ م من $A$. اُرسم مخططًا (1 سم لكل متر): فأي منطقة تستطيع المعزاة أن تبلغها؟ وأين يحدّها السياج؟

**حل التمرين 33.11.**

على المخطط، تبلغ المعزاة القرص الذي مركزه $A$ ونصف قطره $4$ سم، مقطوعًا بخط السياج على بُعد $3$ سم من $A$: فمنطقتها هي القرص ناقص الشريحة التي وراء السياج. وعلى امتداد السياج تستطيع أن ترعى على قطعة (حيث تقطع الدائرة خط السياج)؛ أما وراءه فلا شيء.