---
title: "المكعبات والصناديق"
book: "الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية"
subject: math
language: ar
chapter: 35
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/35-cubes-and-boxes
---

# الفصل 35 — المكعبات والصناديق

لنغادر الصفحة المستوية: [المجسّمات](#def-g5-solids-def) هي أشكال العالم الحقيقي — حجر النرد، وعلب الحبوب، والعلب المعدنية، والكرات. يتعلم هذا الفصل تسميتها، وعدّ أوجهها وأحرفها، ونشرها تصاميمَ مستوية، وقياس حجمها بعدّ المكعبات الصغيرة. (وصيغ [الحجم](#def-g5-solids-volume) تأتي في [الفصل 43](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#ch-g6-measure).)

## 35.1 عائلة المجسّمات

**تعريف 35.1 (المجسّمات ومفرداتها).**

*المجسّم* يشغل حيزًا. وجوانبه المستوية *أوجه*؛ وتلتقي الأوجه على *أحرف*؛ وتلتقي الأحرف في *رؤوس*. وصور العائلة:

- *المكعب* : $6$ أوجه مربعة، و $12$ حرفًا، و $8$ رؤوس؛
- و *الصندوق* (متوازي المستطيلات): $6$ أوجه مستطيلة، و $12$ حرفًا، و $8$ رؤوس؛
- و *الأسطوانة* : وجهان قرصيان ووجه ملفوف (علبة معدنية)؛
- و *الهرم* : قاعدة مضلعة ومثلثات تلتقي في رأس؛
- و *الكرة* : سطح مستدير تمامًا، لا وجه له ولا حرف.

![معرض المجسّمات. والخطوط المتقطعة تُظهر الأحرف المخفية — ظهر المجسّم، مرئيًّا من خلاله.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g5-solids/fig-a77960ea0704.svg)

*معرض [المجسّمات](#def-g5-solids-def). والخطوط المتقطعة تُظهر [الأحرف](#def-g5-solids-def) المخفية — ظهر [المجسّم](#def-g5-solids-def)، مرئيًّا من خلاله.*

**مثال 35.2 (العدّ على المكعب).**

تحقّق على حجر نرد: $6$ [أوجه](#def-g5-solids-def) (الأعداد $1$ إلى $6$)، و $8$ [رؤوس](#def-g5-solids-def) (الأركان)، و $12$ حرفًا (مرِّر إصبعك عليها: $4$ في الأعلى، و $4$ في الأسفل، و $4$ رأسية). و $6 + 8 = 12 + 2$ — والنمط الغريب نفسه يصحّ للصندوق وللهرم (و[المثال 62.2](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/62-pyramids-and-cones#ex-g8-solids-count) تعود إليه).

## 35.2 التصاميم

**تعريف 35.3 (التصميم).**

*تصميم* [المجسّم](#def-g5-solids-def) رسم مستوٍ لكل أوجهه، متصلة على [الأحرف](#def-g5-solids-def)، ينطوي فيعطي [المجسّم](#def-g5-solids-def) — أي [المجسّم](#def-g5-solids-def) مفرودًا كصندوق كرتوني مبسوط لإعادة التدوير.

![ثلاثة ترتيبات لستة مربعات. الأولان ينطويان فيعطيان مكعبًا؛ أما الثالث فلا — فعند الطيّ يقع مربعان على الوجه نفسه ويبقى المكعب مفتوحًا. قصّها وجرّب!](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g5-solids/fig-6e89ea444a42.svg)

*ثلاثة ترتيبات لستة مربعات. الأولان ينطويان فيعطيان مكعبًا؛ أما الثالث فلا — فعند الطيّ يقع مربعان على [الوجه](#def-g5-solids-def) نفسه ويبقى [المكعب](#def-g5-solids-def) مفتوحًا. قصّها وجرّب!*

**مثال 35.4 (قراءة تصميم).**

في حجر النرد، [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) الوجهين المتقابلين $7$. وفي [التصميم](#def-g5-solids-net)، الوجهان المتقابلان هما اللذان يفصل بينهما مربع واحد بالضبط في صفّ (أو حول ركن) — لا الجاران! وتعليم الأزواج على [التصميم](#def-g5-solids-net) قبل الطيّ تمرين ممتاز في رؤية الفضاء مستويًا.

## 35.3 الحجم: عدّ المكعبات

**تعريف 35.5 (الحجم بالعدّ).**

*حجم* [مجسّم](#def-g5-solids-def) مبنيّ من مكعبات واحدية هو عدد المكعبات التي يحتويها. والوحدة قد تكون [المكعب](#def-g5-solids-def) السنتيمتري (سم$^3$) أو [المكعب](#def-g5-solids-def) المتري (م$^3$).

**مثال 35.6 (عدّ صندوق طبقةً طبقة).**

صندوق طوله $4$ مكعبات، وعرضه $3$، وارتفاعه $2$: الطبقة السفلى تسع $4 \times 3 = 12$ مكعبًا، والطبقات $2$:

$$
12 \times 2 = 24 \text{ مكعبًا} .
$$

والعدّ بالطبقات ينجح دائمًا — وهو يبرهن ضمنًا الصيغة $V = L \times w \times h$ في [الفصل 43](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/43-perimeter-area-volume#ch-g6-measure).

![صندوق 4 × 3 × 2 من المكعبات الواحدية، معدودًا طبقةً طبقة.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g5-solids/fig-be668a941414.svg)

*صندوق $4 \times 3 \times 2$ من المكعبات الواحدية، معدودًا طبقةً طبقة.*

**مثال 35.7 (المكعبات نفسها، وأشكال مختلفة).**

ثمانية مكعبات واحدية يمكن أن تبني مكعبًا $2 \times 2 \times 2$، أو عصا $8 \times 1 \times 1$، أو لوحًا $4 \times 2 \times 1$: ثلاثة [مجسّمات](#def-g5-solids-def) مختلفة، [وحجم](#def-g5-solids-volume) واحد ($8$ مكعبات). [فالحجم](#def-g5-solids-volume) يعدّ المادة، لا الشكل.

## 35.4 تمارين

**تمرين 35.1 ★.**

سمِّ شيئًا حقيقيًّا على شكل: [مكعب](#def-g5-solids-def)؛ وصندوق؛ [وأسطوانة](#def-g5-solids-def)؛ وكرة؛ [وهرم](#def-g5-solids-def).

**حل التمرين 35.1.**

مثلًا: حجر النرد ([مكعب](#def-g5-solids-def))؛ وعلبة الحبوب (صندوق)؛ والعلبة المعدنية ([أسطوانة](#def-g5-solids-def))؛ وكرة القدم (كرة)؛ وبعض السقوف أو أهرام مصر ([هرم](#def-g5-solids-def)).

**تمرين 35.2 ★.**

كم وجهًا وحرفًا ورأسًا للصندوق؟ وتحقّق من النمط [الأوجه](#def-g5-solids-def) $+$ [الرؤوس](#def-g5-solids-def) $=$ [الأحرف](#def-g5-solids-def) $+ 2$.

**حل التمرين 35.2.**

للصندوق $6$ [أوجه](#def-g5-solids-def)، و $12$ حرفًا، و $8$ [رؤوس](#def-g5-solids-def) — و $6 + 8 = 12 + 2$. ✓

**تمرين 35.3 ★.**

أي [أوجه](#def-g5-solids-def) الصندوق متطابقة؟ (اجمع [الأوجه](#def-g5-solids-def) الستة أزواجًا.) وما الخاصّ في [أوجه](#def-g5-solids-def) [المكعب](#def-g5-solids-def)؟

**حل التمرين 35.3.**

تأتي [الأوجه](#def-g5-solids-def) الستة في ثلاثة أزواج من [الأوجه](#def-g5-solids-def) المتقابلة المتطابقة (أعلى–أسفل، وأمام–خلف، ويسار–يمين). وفي [المكعب](#def-g5-solids-def)، [الأوجه](#def-g5-solids-def) الستة كلها مربعات متطابقة.

**تمرين 35.4 ★.**

اُرسم تصميمًا [لمكعب](#def-g5-solids-def) طول ضلعه $2$ سم (اِستعمل النموذج المتصالب في الفصل)، وقصّه واطوِه.

**حل التمرين 35.4.**

[التصميم](#def-g5-solids-net) المتصالب: أربعة مربعات من $2$ سم في صفّ، وواحد فوق وواحد تحت المربع الثاني. وطيّ حلقة الأربعة يصنع الجوانب؛ والمربعان الزائدان يغلقان الأعلى والأسفل.

**تمرين 35.5 ★.**

على [التصميم](#def-g5-solids-net) المتصالب لحجر نرد، ضع الأعداد $1$ إلى $6$ بحيث يكون [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) الوجهين المتقابلين $7$. (واِستعمل [المثال 35.4](#ex-g5-solids-read) لإيجاد الأزواج المتقابلة أولًا.)

**حل التمرين 35.5.**

على [التصميم](#def-g5-solids-net) المتصالب (أربعة مربعات في صفّ، وواحد فوق وواحد تحت الثاني)، الأزواج المتقابلة هي: المربعان $1$ و $3$ من الصفّ؛ والمربعان $2$ و $4$ من الصفّ؛ والمربعان الأعلى والأسفل. وتسمية صحيحة: الصفّ $= 1, 2, 6, 5$؛ والأعلى $= 3$؛ والأسفل $= 4$ — فتكون $1{+}6$ و $2{+}5$ و $3{+}4$ كلها $7$.

**تمرين 35.6 ★.**

عُدّ المكعبات الواحدية: صندوق طوله $5$، وعرضه $2$، وارتفاعه $3$؛ [ومكعب](#def-g5-solids-def) طول ضلعه $3$؛ وكومة على هيئة L مصنوعة من لوح $3 \times 2 \times 1$ وفوقه لوح $1 \times 2 \times 1$.

**حل التمرين 35.6.**

الصندوق: $5 \times 2 = 10$ في الطبقة، و $3$ طبقات: $30$ مكعبًا. [والمكعب](#def-g5-solids-def): $3 \times 3 \times 3 = 27$. والكومة L: $3 \times 2 \times 1 = 6$ زائد $1 \times 2 \times 1 = 2$: أي $8$ مكعبات.

**تمرين 35.7 ★.**

يسع صندوق $12$ مكعبًا واحديًّا بالضبط في طبقة واحدة. أعطِ شكلين ممكنين للطبقة ($L \times w$)، وأعطِ لكل منهما [حجم](#def-g5-solids-volume) الصندوق إن كانت فيه $3$ طبقات كهذه.

**حل التمرين 35.7.**

طبقات من $12$: مثلًا $4 \times 3$ أو $6 \times 2$ (أو $12 \times 1$). ومع $3$ طبقات، يكون [الحجم](#def-g5-solids-volume) $12 \times 3 = 36$ مكعبًا في كل الحالات.

**تمرين 35.8 ★.**

مع $27$ مكعبًا واحديًّا، أي [مكعب](#def-g5-solids-def) تستطيع أن تبني؟ ومع $64$؟ (فكّر في عدّ الطبقات بالعكس.)

**حل التمرين 35.8.**

$27 = 3 \times 3 \times 3$: [مكعب](#def-g5-solids-def) طول ضلعه $3$. و $64 = 4 \times 4 \times 4$: [مكعب](#def-g5-solids-def) طول ضلعه $4$.

**تمرين 35.9 ★★.**

مكعبات سكر طول ضلعها $1$ سم تأتي في صندوق طوله $10$ سم، وعرضه $5$ سم، وارتفاعه $4$ سم (قياسات داخلية). فكم [مكعب](#def-g5-solids-def) سكر يدخل فيه؟ وإذا استعملت أسرة $6$ مكعبات في اليوم، فكم يومًا يكفيها الصندوق (قرِّب تقريبًا معقولًا)؟

**حل التمرين 35.9.**

يسع الصندوق $10 \times 5 \times 4 = 200$ [مكعب](#def-g5-solids-def) سكر. وبمعدل $6$ في اليوم: $200 = 6 \times 33 + 2$، إذن يكفي الصندوق $33$ يومًا كاملًا (ويبقى $2$ من المكعبات لصباح اليوم $34$).

**تمرين 35.10 ★★.**

[مكعب](#def-g5-solids-def) $3 \times 3 \times 3$ دُهن بالأحمر من الخارج، ثم قُطع إلى $27$ مكعبًا واحديًّا. فكم مكعبًا صغيرًا عليه دهان على $3$ [أوجه](#def-g5-solids-def) بالضبط؟ وعلى $2$؟ وعلى $1$؟ وعلى لا شيء؟ (والتحقّق: [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) الأعداد الأربعة يجب أن يكون $27$.)

**حل التمرين 35.10.**

دهان على $3$ [أوجه](#def-g5-solids-def): مكعبات الأركان $8$. وعلى $2$: أوساط [الأحرف](#def-g5-solids-def) $12$: أي $12$ مكعبًا. وعلى $1$: مراكز [الأوجه](#def-g5-solids-def) $6$: أي $6$ مكعبات. وعلى لا شيء: [المكعب](#def-g5-solids-def) المركزي المخفي الواحد: $1$. والتحقّق: $8 + 12 + 6 + 1 = 27$. ✓