---
title: "الأعداد الصحيحة"
book: "الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية"
subject: math
language: ar
chapter: 37
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/37-whole-numbers
---

# الفصل 37 — الأعداد الصحيحة

كل شيء في الرياضيات يبدأ بالعدّ. يراجع هذا الفصل كيف تُكتب الأعداد الصحيحة وتُقارن وتُجمع — ويتأمل بعناية في القسمة، وهي العملية التي تعطي [خارج قسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) *و* باقيًا.

## 37.1 كتابة الأعداد الصحيحة ومقارنتها

**تعريف 37.1 (القيمة المكانية).**

طريقتنا في كتابة الأعداد تستعمل عشرة أرقام (من $0$ إلى $9$)، و *قيمة الرقم تتوقف على مرتبته*: ففي $5\,208$، يعدّ الرقم $5$ الآلاف، ويعدّ $2$ المئات، ويعدّ $0$ العشرات (ولا عشرات هنا)، ويعدّ $8$ الآحاد:

$$
5\,208 = 5 \times 1000 + 2 \times 100 + 0 \times 10 + 8 .
$$

![جدول المراتب للعدد 5\,208. والرقم 0 مهمّ: فلولاه لانزلق 5 و 2 إلى الأعمدة الخطأ ولصار العدد يُقرأ 528.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-wholes/fig-3f25fbdb0c76.svg)

*جدول المراتب للعدد $5\,208$. والرقم $0$ مهمّ: فلولاه لانزلق $5$ و $2$ إلى الأعمدة الخطأ ولصار العدد يُقرأ $528$.*

**طريقة 37.2 (مقارنة عددين صحيحين).**

1. العدد ذو الأرقام الأكثر هو الأكبر ( $1\,203 > 989$ ).
2. وإن تساوى عدد الأرقام، فقارن رقمًا رقمًا من *اليسار* ؛ وأول اختلاف يفصل: $6\,742 > 6\,715$ لأن في مرتبة العشرات $4 > 1$ .

والرمزان هما $<$ («أصغر من») و $>$ («أكبر من»)؛ والطرف الضيق من الرمز يشير إلى العدد الصغير.

**مثال 37.3.**

رتّب من الأصغر إلى الأكبر: $908$؛ $89$؛ $1\,001$؛ $980$. أولًا بعدد الأرقام: $89$ (رقمان) يتقدم، و $1\,001$ (أربعة أرقام) يتأخر. وبين $908$ و $980$: رقم المئات نفسه $9$، ثم العشرات $0 < 8$، إذن $908 < 980$. والجواب النهائي:

$$
89 < 908 < 980 < 1\,001 .
$$

![الأعداد تعيش على مستقيم: والأصغر يقع أبعد نحو اليسار. وكل تدريجة هنا تساوي 100.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-wholes/fig-9fc3a4fd334b.svg)

*الأعداد تعيش على مستقيم: والأصغر يقع أبعد نحو اليسار. وكل تدريجة هنا تساوي $100$.*

## 37.2 الجمع والطرح والضرب

**مثال 37.4 (الحساب بالأعمدة).**

للجمع أو الطرح، حاذِ الآحاد تحت الآحاد، والعشرات تحت العشرات، واعمل من اليمين إلى اليسار، محتفظًا عند اللزوم:

$$
\begin{array}{r}
4\,5\,7 \\
+\ 2\,8\,6 \\
\hline
7\,4\,3
\end{array}
\qquad\qquad
\begin{array}{r}
6\,0\,3 \\
-\ 1\,4\,7 \\
\hline
4\,5\,6
\end{array}
$$

في الجمع: $7 + 6 = 13$، اُكتب $3$ واحتفظ برقم $1$؛ ثم $5 + 8 + 1 = 14$، اُكتب $4$ واحتفظ برقم $1$؛ ثم $4 + 2 + 1 = 7$. وتحقّق من الطرح بالجمع العكسي: $456 + 147 = 603$.

**ملاحظة 37.5 (المفردات).**

ناتج الجمع *مجموع*؛ وناتج الطرح *فرق*؛ وناتج الضرب *جداء*؛ وناتج القسمة *خارج قسمة*. والأعداد الداخلة في العملية هي *الحدود* (في $+$ و $-$) أو *العوامل* (في $\times$).

**مثال 37.6 (الحساب الذكي).**

إعادة ترتيب الحدود أو العوامل توفّر جهدًا كثيرًا في الغالب:

$$
17 + 58 + 3 = (17 + 3) + 58 = 20 + 58 = 78 ,
$$

$$
25 \times 17 \times 4 = (25 \times 4) \times 17 = 100 \times 17 = 1700 .
$$

## 37.3 القسمة

**مبرهنة 37.7 (القسمة الإقليدية).**

إذا أُعطي عددان صحيحان $a$ (وهو *المقسوم*) و $b \neq 0$ (وهو *القاسم*)، فهناك طريقة واحدة بالضبط لكتابة

$$
a = b \times q + r
\qquad\text{بحيث}\qquad
0 \leq r < b .
$$

والعدد $q$ هو *خارج القسمة* و $r$ هو *الباقي* في قسمة $a$ على $b$.

**برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎

**مثال 37.8.**

اِقسم $137$ على $4$، خطوة خطوة.

1. كم مرة يدخل $4$ في $13$ ؟ ثلاث مرات ( $4 \times 3 = 12$ )، [والباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $13 - 12 = 1$ .
2. وأنزِل $7$ : كم مرة يدخل $4$ في $17$ ؟ أربع مرات ( $4 \times 4 = 16$ )، [والباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $1$ .

إذن $q = 34$ و $r = 1$:

$$
137 = 4 \times 34 + 1, \qquad\text{وفعلًا } 0 \leq 1 < 4 .
$$

والتحقّق: $4 \times 34 = 136$، و $136 + 1 = 137$.

![قسمة 137 على 4: يمكنك أن تضع 34 مجموعة كاملة من 4 (فتبلغ 136)، ويبقى 1 — والباقي أصغر دائمًا من القاسم.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-wholes/fig-203260bb9723.svg)

*قسمة $137$ على $4$: يمكنك أن تضع $34$ مجموعة كاملة من $4$ (فتبلغ $136$)، ويبقى $1$ — [والباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) أصغر دائمًا من القاسم.*

**تعريف 37.9 (القابل للقسمة).**

حين يكون [الباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $0$، نقول إن $a$ *قابل للقسمة* على $b$: فمثلًا $135$ قابل للقسمة على $5$ لأن $135 = 5 \times 27 + 0$.

**طريقة 37.10 (المسائل اللفظية مع القسمة).**

بعد حساب $a = bq + r$، عُد دائمًا إلى السؤال:

1. «كم علبة أو فريقًا أو صفحة كاملة؟» — الجواب هو [خارج القسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $q$ ؛
2. «وكم بقي؟» — الجواب هو [الباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $r$ ؛
3. «وكم علبة تلزم للجميع؟» — إن كان $r > 0$ ، فواحدة *أكثر* من [خارج القسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) : $q + 1$ .

**مثال 37.11.**

يذهب $137$ تلميذًا في رحلة بحافلات فيها $40$ مقعدًا. والقسمة: $137 = 40 \times 3 + 17$. فثلاث حافلات تحمل $120$ تلميذًا، ويبقى $17$ تلميذًا — وهم يحتاجون إلى حافلة أيضًا! إذن تلزم $4$ حافلات، مع أن [خارج القسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $3$.

## 37.4 تمارين

**تمرين 37.1 ★.**

اُكتب بالأرقام: «ثلاثة آلاف وسبعة وأربعون»؛ «عشرون ألفًا وخمسمئة»؛ «مئة وأربعة». ثم اُكتب $60\,013$ بالحروف.

**حل التمرين 37.1.**

$3\,047$؛ $20\,500$؛ $104$. $60\,013$: «ستون ألفًا وثلاثة عشر».

**تمرين 37.2 ★.**

في العدد $47\,209$: ما رقم المئات؟ وما رقم الآحاد؟ وماذا يعدّ الرقم $4$؟ واُكتب العدد مجموعَ [مضاعفات](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/32-division-and-multiples#def-g5-division-multiple) $1$ و $10$ و $100$، … كما في [التعريف 37.1](#def-g6-wholes-place).

**حل التمرين 37.2.**

رقم المئات: $2$؛ ورقم الآحاد: $9$؛ والرقم $4$ يعدّ عشرات الآلاف. والتفكيك:

$$
47\,209 = 4 \times 10\,000 + 7 \times 1000 + 2 \times 100 + 0 \times 10
+ 9 .
$$

**تمرين 37.3 ★.**

اُنقل وأكمل بالإشارة $<$ أو $>$:

$$
507 \;?\; 570, \qquad
1\,099 \;?\; 989, \qquad
23\,456 \;?\; 23\,465, \qquad
9\,999 \;?\; 10\,000 .
$$

**حل التمرين 37.3.**

$507 < 570$ (العشرات: $0 < 7$)؛ $1\,099 > 989$ (أربعة أرقام تغلب ثلاثة)؛ $23\,456 < 23\,465$ (العشرات: $5 < 6$)؛ $9\,999 < 10\,000$ (أربعة أرقام مقابل خمسة).

**تمرين 37.4 ★.**

رتّب من الأصغر إلى الأكبر: $2\,043$؛ $978$؛ $2\,304$؛ $2\,034$؛ $1\,001$.

**حل التمرين 37.4.**

بعدد الأرقام، يتقدم $978$ و $1\,001$ على الأعداد الثلاثة ذات الأربعة أرقام التي تبدأ بالرقم $2$؛ وبينها، قارن العشرات والآحاد: $2\,034 < 2\,043 < 2\,304$. والترتيب النهائي:

$$
978 < 1\,001 < 2\,034 < 2\,043 < 2\,304 .
$$

**تمرين 37.5 ★.**

احسب بالأعمدة: $348 + 576$؛ $805 - 268$؛ $307 \times 26$. وتحقّق من الطرح بعملية جمع.

**حل التمرين 37.5.**

$348 + 576 = 924$؛ $805 - 268 = 537$ (التحقّق: $537 + 268 = 805$)؛ $307 \times 26 = 307 \times 20 + 307 \times 6
= 6\,140 + 1\,842 = 7\,982$.

**تمرين 37.6 ★.**

احسب بذكاء، بتجميع الحدود أو العوامل:

$$
38 + 45 + 12 + 5, \qquad
2 \times 83 \times 50, \qquad
4 \times 78 \times 25 .
$$

**حل التمرين 37.6.**

$38 + 45 + 12 + 5 = (38 + 12) + (45 + 5) = 50 + 50 = 100$.

$2 \times 83 \times 50 = (2 \times 50) \times 83 = 100 \times 83 =
8\,300$.

$4 \times 78 \times 25 = (4 \times 25) \times 78 = 100 \times 78 =
7\,800$.

**تمرين 37.7 ★.**

لكل قسمة، أعطِ [خارج القسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) [والباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder)، واكتب المساواة $a = b \times q + r$:

$$
95 \div 7, \qquad
230 \div 6, \qquad
504 \div 8 .
$$

**حل التمرين 37.7.**

$95 = 7 \times 13 + 4$ ([خارج القسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $13$، [والباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $4$).

$230 = 6 \times 38 + 2$ ([خارج القسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $38$، [والباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $2$).

$504 = 8 \times 63 + 0$ ([خارج القسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $63$، [والباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $0$: فالعدد $504$ [قابل للقسمة](#def-g6-wholes-divisible) على $8$).

**تمرين 37.8 ★.**

دون أن تقسم، اِشرح لماذا لا تكون المساواة $173 = 8 \times 20 + 13$ هي القسمة الإقليدية للعدد $173$ على $8$، وجِد [خارج القسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) [والباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) الصحيحين.

**حل التمرين 37.8.**

المساواة صحيحة، لكن [الباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $13$ *ليس* أصغر من القاسم $8$، فليست هي القسمة الإقليدية. أخرِج من [الباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $8$ أخرى: $173 = 8 \times 21 + 5$، مع $0 \leq 5 < 8$: [فخارج القسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $21$، [والباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $5$.

**تمرين 37.9 ★★.**

يُعبَّأ البيض في علب من $12$.

1. في مزرعة $2\,000$ بيضة. فكم علبة كاملة تستطيع أن تملأ، وكم بيضة تبقى؟
2. ويحتاج مخبز إلى $150$ بيضة. فكم علبة يجب أن يشتري؟

**حل التمرين 37.9.**

*1.* $2\,000 = 12 \times 166 + 8$: تملأ المزرعة $166$ علبة كاملة وتبقى $8$ بيضات.

*2.* $150 = 12 \times 12 + 6$: اثنتا عشرة علبة لا تسع إلا $144$ بيضة، وهي لا تكفي. فعلى المخبز أن يشتري $13$ علبة.

**تمرين 37.10 ★★.**

اليوم هو الثلاثاء. فأي يوم من الأسبوع يكون بعد $100$ يوم؟ (في الأسبوع $7$ أيام: اِقسم وفكّر في [الباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder).)

**حل التمرين 37.10.**

$100 = 7 \times 14 + 2$: فمئة يوم هي $14$ أسبوعًا كاملًا و $2$ من الأيام زيادة. وبعد أربعة عشر أسبوعًا يكون الثلاثاء من جديد؛ وبعد الثلاثاء بيومين يكون *الخميس*.

**تمرين 37.11 ★★.**

في قسمة على $9$، [خارج القسمة](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) $56$ [والباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) أكبر ما يمكن. فما المقسوم؟

**حل التمرين 37.11.**

أكبر باقٍ ممكن في القسمة على $9$ هو $8$ ([فالباقي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/17-sharing-and-division#def-g3-division-remainder) يجب أن يكون أصغر من القاسم). إذن المقسوم هو

$$
9 \times 56 + 8 = 504 + 8 = 512 .
$$

**تمرين 37.12 ★★★.**

أنا عدد من ثلاثة أرقام. رقم مئاتي ضعف رقم آحادي، ورقم عشراتي $0$، ومجموع أرقامي $9$. فمن أنا؟ (اِستدلّ خطوة خطوة، ثم تحقّق.)

**حل التمرين 37.12.**

لتكن الأرقام $h$ (المئات) و $0$ (العشرات) و $u$ (الآحاد). نعلم أن $h = 2 \times u$ و $h + 0 + u = 9$، إذن $2u + u = 9$، فيكون $3u = 9$ و $u = 3$ و $h = 6$. فالعدد هو $603$. والتحقّق: $6$ ضعف $3$، ورقم العشرات $0$، و $6 + 0 + 3 = 9$.

## 37.5 مسألة: غاوس الصغير ومجموع المئة عدد الأولى

**مسألة 37.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — جمع $1 + 2 + 3 + \dots +
100$ في عشر ثوانٍ، والأعداد المثلثية

قصة مشهورة: أراد معلّم أن يشغل صفّه، فطلب من تلاميذه أن يجمعوا كل الأعداد من $1$ إلى $100$. فكتب صبي $5\,050$ على لوحه في الحال تقريبًا — وهو كارل فريدريش غاوس، في التاسعة من عمره، وسيصير من أعظم الرياضيين على الإطلاق. ولم يكن سرّه إلا *الحساب الذكي* ([المثال 37.6](#ex-g6-wholes-smart)): تجميع الحدود بحيث تكون كل مجموعة سهلة. وتعيد هذه المسألة اكتشاف حيلته، وتجعلها تنجح في كل حال، وتُظهر كم تتكرر هذه المجاميع في الحياة اليومية.

**الجزء الأول — أزواج غاوس.**

1. احسب $1 + 2 + 3 + 4 + 5$ بتجميع الحدود بذكاء.
2. وفي $1 + 2 + 3 + \dots + 10$ : زوِّج الحدّ الأول مع الأخير ( $1 + 10$ )، والثاني مع ما قبل الأخير ( $2 + 9$ )، وهكذا. فكم يساوي كل زوج؟ وكم عدد الأزواج؟ ثم أتمّ الحساب.
3. والطريقة نفسها في $1 + 2 + \dots + 20$ : كم يساوي كل زوج، وكم عدد الأزواج، وما [المجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) ؟
4. والآن [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) المعلّم، $1 + 2 + \dots + 100$ : اِشرح لماذا تتساوى الأزواج $1 + 100$ و $2 + 99$ و $3 + 98, \dots$ كلها، ولماذا عددها $50$ بالضبط، وآخرها $50 + 51$ .
5. اُكتب جواب غاوس ضربًا واحدًا، ثم احسبه.

**الجزء الثاني — حيلة لا تخيب أبدًا.**

6. جرّب التزويج على $1 + 2 + \dots + 9$ : هذه المرة يبقى عدد واحد بلا شريك. فأيّه؟ زوِّج حوله ثم احسب [المجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) .
7. وإليك صورة من الحيلة تنجح سواء أكان عدد الحدود زوجيًّا أم فرديًّا: اُكتب [المجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) مرتين، مرة بالترتيب ومرة بالعكس، سطرًا تحت سطر، $$\begin{array}{ccccccc}  1 & + & 2 & + & \dots & + & 9 \\  9 & + & 8 & + & \dots & + & 1  \end{array}$$ ثم اجمع *عمودًا عمودًا*. فكم يساوي كل عمود؟ وكم عدد الأعمدة؟ واِشرح لماذا يكون [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) السطرين $9 \times 10 = 90$، واستنتج أن $1 + 2 + \dots + 9 = 45$ — وهو الجواب نفسه في السؤال 6.
8. اِستعمل حيلة السطرين لحساب $1 + 2 + \dots + 50$ ، ثم $1 + 2 + \dots + 200$ .
9. احسب [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) المئة عدد *الزوجي* الأولى، $2 + 4 + 6 + \dots + 200$ . (قارن كل حدّ بحدّ من [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) غاوس: فلا حاجة إلى تزويج جديد.)
10. احسب $101 + 102 + \dots + 200$ ، مستعملًا مجموعين تعرفهما وعملية طرح.

**الجزء الثالث — [الأعداد المثلثية](#pb-g6-wholes-1) في كل مكان.** والمجاميع $1$ و $3$ و $6$ و $10$ و $15, \dots$ الناتجة عن $1 + 2 + \dots + n$ تسمّى *أعدادًا مثلثية*، لأنها تعدّ أشياء مرصوصة في مثلث.

11. يلتقي ثمانية أصدقاء، ويصافح كل واحد كل واحد من الآخرين مرة واحدة بالضبط. اِشرح لماذا يكون عدد المصافحات $7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1$ ، ثم احسبه.
12. وتبني بقّالة هرمًا مثلثيًّا من العلب: $12$ علبة في الصف السفلي، و $11$ في الذي فوقه، وهكذا حتى علبة واحدة في القمة. فكم علبة تحتاج؟ (اِستعمل حيلة السؤال 7.)
13. اُرسم [المجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $1 + 2 + 3 + 4$ سلّمًا من المربعات: مربع واحد في العمود الأول، ومربعان في الثاني، وثلاثة في الثالث، وأربعة في الرابع. وبيّن على رسمك أن سلّمين *اثنين* كهذا، أحدهما مقلوب رأسًا على عقب، ينطبقان تمامًا في مستطيل من $4$ صفوف فيها $5$ مربعات — واِشرح لماذا يكون هذا هو حيلة السطرين في السؤال 7، مرسومةً بدل أن تكون مكتوبة.
14. وتدقّ ساعة $1$ مرة عند الواحدة، و $2$ مرتين عند الثانية، …، و $12$ مرة عند الثانية عشرة. فكم دقّة في الساعات الاثنتي عشرة؟ وكم في اليوم كله؟
15. وأخيرة لغاوس: $5\,050$ ثانية — أهي أكثر أم أقلّ من ساعة ونصف؟ حوّلها إلى ساعات ودقائق وثوانٍ، مستعملًا القسمة الإقليدية ( [المبرهنة 37.7](#thm-g6-wholes-division) ) مرتين.

**حل المسألة 37.1.**

**1.** مثلًا $(1 + 4) + (2 + 3) + 5 = 5 + 5 + 5 =
15$.

**2.** كل زوج يساوي $11$: $1 + 10$ و $2 + 9$ و $3 + 8$ و $4 + 7$ و $5 + 6$. وذلك $5$ أزواج (عشرة أعداد، اثنان لكل زوج)، إذن [المجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $5 \times 11 = 55$.

**3.** أزواج تساوي $21$ ($1 + 20$ و $2 + 19, \dots$)، و عددها $10$: $10 \times 21 = 210$.

**4.** في كل زوج، حين يكبر العدد الأول بمقدار $1$ يصغر الثاني بمقدار $1$، فلا يتغير [المجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) أبدًا: $1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = \dots = 101$. والأعداد المئة تصنع $50$ زوجًا (عددان لكل زوج)، وأوسطها $50 + 51 = 101$.

**5.** $50$ زوجًا قيمة كل منها $101$:

$$
1 + 2 + \dots + 100 = 50 \times 101 = 5\,050 .
$$

**6.** مع تسعة أعداد، يبقى الأوسط، $5$، بلا شريك. وحوله: $1 + 9 = 2 + 8 = 3 + 7 = 4 + 6 = 10$، أي أربعة أزواج. [والمجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def): $4 \times 10 + 5 = 45$.

**7.** كل عمود يساوي $1 + 9 = 2 + 8 = \dots =
9 + 1 = 10$، والأعمدة $9$: فالسطران معًا يساويان $9 \times 10 = 90$. لكن السطرين هما [المجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) *نفسه* مكتوبًا مرتين، فالنسخة الواحدة تساوي النصف: $1 + 2 + \dots + 9 = 90 \div 2 = 45$. ولا يبقى عدد قطّ بلا شريك — فشريكه تحته مباشرة.

**8.** من $1$ إلى $50$: $50$ عمودًا قيمة كل منها $51$، [والمجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) [المضاعف](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/32-division-and-multiples#def-g5-division-multiple) $50 \times 51 = 2\,550$، إذن [المجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $2\,550 \div 2 = 1\,275$. ومن $1$ إلى $200$: $200$ عمود قيمة كل منها $201$، [والمجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) [المضاعف](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/32-division-and-multiples#def-g5-division-multiple) $40\,200$، [والمجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $20\,100$.

**9.** كل [عدد زوجي](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/14-numbers-up-to-10-000#def-g3-numbers-evenodd) ضعف عدد من [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) غاوس: $2 = 2 \times 1$ و $4 = 2 \times 2$، …، و $200 = 2 \times 100$. إذن [المجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) كله ضعف [مجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) غاوس:

$$
2 + 4 + \dots + 200 = 2 \times 5\,050 = 10\,100 .
$$

**10.** الأعداد من $101$ إلى $200$ هي الأعداد من $1$ إلى $200$ بعد حذف الأعداد من $1$ إلى $100$:

$$
101 + 102 + \dots + 200 = 20\,100 - 5\,050 = 15\,050 .
$$

**11.** صُفّ الأصدقاء. الأول يصافح $7$ أيدٍ (يدًا لكل واحد من الآخرين). والثاني قد سلّم على الأول من قبل، فيصافح $6$ أيدٍ *جديدة*؛ والثالث $5$؛ وهكذا، فالسابع يصافح $1$ والثامن لا يصافح يدًا جديدة. فكل مصافحة تُعدّ مرة واحدة بالضبط:

$$
7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28 \text{ مصافحة}
$$

(زوِّج حول الوسط: $(7+1) + (6+2) + (5+3) + 4 =
8 + 8 + 8 + 4 = 28$).

**12.** $1 + 2 + \dots + 12$: اثنا عشر عمودًا قيمة كل منها $13$، [والمجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) [المضاعف](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/32-division-and-multiples#def-g5-division-multiple) $12 \times 13 = 156$، إذن $156 \div 2 = 78$ علبة.

**13.** سلّم [المجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $1 + 2 + 3 + 4$ من المربعات، مع السلّم نفسه مقلوبًا، يملآن مستطيلًا من $4$ صفوف و $5$ أعمدة تمامًا: فكل صفّ من المستطيل هو عمود من حيلة السطرين (درجة من السلّم الصاعد تكمّلها درجة من السلّم الهابط، $1 + 4$ و $2 + 3$ و $3 + 2$ و $4 + 1$ — وكلها $5$). إذن ضعف [المجموع](https://one-course.com/books/math/1/ar/chapter/2-addition-first-steps#def-g1-addition-def) $4 \times 5 = 20$ مربعًا، و $1 + 2 + 3 + 4 = 10$: فالصورة *هي* السؤال 7.

**14.** $1 + 2 + \dots + 12 = 78$ دقّة في اثنتي عشرة ساعة (السؤال 12)، إذن $78 \times 2 = 156$ دقّة في اليوم كله.

**15.** اِقسم على $60$: $5\,050 = 60 \times 84 + 10$، إذن $5\,050$ ثانية هي $84$ دقيقة و $10$ ثوانٍ. ثم اِقسم الدقائق على $60$: $84 = 60 \times 1 + 24$، إذن $84$ دقيقة هي $1$ ساعة و $24$ دقيقة. وفي المجموع: $1$ سا و $24$ د و $10$ ثا — أي *أقلّ* قليلًا من ساعة ونصف ($1$ سا و $30$ د).